Построить фигуру ограниченную линиями онлайн: Как найти площадь фигуры ограниченной линиями онлайн — 10 Августа 2013 — Примеры решений задач

Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла

На этом уроке будем учиться вычислять площади плоских фигур, которые называются криволинейными трапециями.

Примеры таких фигур — на рисунке ниже.

С одной стороны, найти площадь плоской фигуры с помощью определённого интеграла предельно просто. Речь идёт о площади фигуры, которую сверху ограничивает некоторая кривая, снизу — ось абсцисс (Ox), а слева и справа — некоторые прямые. Простота в том, что определённый интеграл функции, которой задана кривая, и есть площадь такой фигуры (криволинейной трапеции).

Но здесь нас подстерегают некоторые важные нюансы, без понимания которых не решить большинство задач на это практическое приложение определённого интеграла. Учтём эти нюансы и будем во всеоружии.

Для вычисления площади фигуры нам понадобятся:

1. Определённый интеграл от функции, задающей кривую, которая ограничивает криволинейную трапецию сверху. И здесь возникает первый существенный нюанс: криволинейная трапеция может быть ограничена кривой не только сверху, но и снизу. Как действовать в этом случае? Просто, но это важно запомнить: интеграл в этом случае берётся со знаком минус.
2. Пределы интегрирования a и b, которые находим из уравнений прямых, ограничивающих фигуру слева и справа: x = a, x = b, где a и b — числа.

Отдельно ещё о некоторых нюансах.

Кривая, которая ограничивает криволинейную трапецию сверху (или снизу) должна быть графиком непрерывной и неотрицательной функции

y = f(x).

Значения «икса» должны принадлежать отрезку [a, b]. То есть не учитываются такие, например, линии, как разрез гриба, у которого ножка вполне вписывается в этот отрезок, а шляпка намного шире.

Боковые отрезки могут вырождаться в точки. Если вы увидели такую фигуру на чертеже, это не должно вас смущать, так как эта точка всегда имеет своё значение на оси «иксов». А значит с пределами интегрирования всё в порядке.

Теперь можно переходить к формулам и вычислениям. Итак, площадь s криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

 (1).

Если же f(x) ≤ 0 (график функции расположен ниже оси

Ox), то площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

. (2)

Есть ещё случаи, когда и верхняя, и нижняя границы фигуры — функции, соответственно y = f(x) и y = φ(x), то площадь такой фигуры вычисляется по формуле

. (3)

Начнём со случаев, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (1).

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью абсцисс (Ox) и прямыми x = 1, x = 3.

Решение. Так как y = 1/x > 0 на отрезке [1; 3], то площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1):

.

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью абсцисс (Ox) и прямой x = 4.

Решение. Фигура, соответствующая условию задачи — криволинейная трапеция, у которой левый отрезок выродился в точку. Пределами интегрирования служат 0 и 4. Поскольку , по формуле (1) находим площадь криволинейной трапеции:

.

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , и находящейся в 1-й четверти.

Решение. Чтобы воспользоваться формулой (1), представим площадь фигуры, заданной условиями примера, в виде суммы площадей треугольника OAB и криволинейной трапеции ABC. При вычислении площади треугольника OAB пределами интегрирования служат абсциссы точек

O и A, а для фигуры ABC — абсциссы точек A и C (A является точкой пересечения прямой OA и параболы, а C — точкой пересечения параболы с осью Ox). Решая совместно (как систему) уравнения прямой и параболы, получим (абсциссу точки A) и (абсциссу другой точки пересечения прямой и параболы, которая для решения не нужна). Аналогично получим , (абсциссы точек C и D). Теперь у нас еть всё для нахождения площади фигуры. Находим:

Пример 5. Найти площадь криволинейной трапеции ACDB, если уравнение кривой CD и абсциссы A и B соответственно 1 и 2.

Решение. Выразим данное уравнение кривой через игрек: Площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1):

.

Переходим к случаям, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (2).

Пример 7. Найти площадь, заключённую между осью абсцисс (Ox) и двумя соседними волнами синусоиды.

Решение. Площадь данной фигуры можем найти по формуле (2):

.

Найдём отдельно каждое слагаемое:

.

.

Окончательно находим площадь:

.

Пример 8. Найти площадь фигуры, заключённой между параболой и кривой .

Решение. Выразим уравнения линий через игрек:

Площадь по формуле (2) получим как

,

где a и b — абсциссы точек A и B. Найдём их, решая совместно уравнения:

Отсюда

Окончательно находим площадь:

И, наконец, случаи, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (3).

Начало темы «Интеграл»

Как найти площадь фигуры ограниченной кривыми линиями

В одном из предыдущих постов, посвященных применению интегрального исчисления, уже обсуждался вопрос Как найти площадь плоской фигуры в Wolfram|Alpha.

И было сказано, что запрос area between, который  в Wolfram|Alpha служит для вычисления площадей плоских фигур при помощи интегралов, срабатывает корректно лишь в некоторых относительно простых случаях. А для решения более сложных задач можно обратится к «ручному» способу — пошаговой процедуре вычисления площади плоской фигуры при помощи интеграла. То есть, на первом шаге определяем пределы интегрирования, а затем, используя найденные пределы, вычисляем определенный интеграл — площадь фигуры.

2-1) dx, x=0.450764..1, то увидите, что способ area between … domain … более удобный, и выводит более наглядный результат.

Наконец, если нужно вычислить площадь, ограниченную замкнутой кривой, например, площадь внутри эллипса, используйте для этого запрос area inside:

Таким образом, для вычисления площадей плоских фигур, ограниченных кривыми линиями, Wolfram|Alpha использует такие запросы: area between, area between … domain … и area inside.

Вычисление площадей фигур, ограниченных заданными линиями

Вычисление площади фигуры – это, пожалуй, одна из наиболее сложных задач теории площадей. В школьной геометрии учат находить площади основных геометрических фигур таких как, например, треугольник, ромб, прямоугольник, трапеция, круг и т.п. Однако зачастую приходится сталкиваться с вычислением площадей более сложных фигур. Именно при решении таких задач очень удобно использовать интегральное исчисление.

Определение.

Криволинейной трапецией называют некоторую фигуру G, ограниченную линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, причем функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и не меняет на нем свой знак (рис. 1). Площадь криволинейной трапеции можно обозначить S(G).

Определенный интеграл ʃ_а^b f(x)dx для функции f(x), являющийся непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b], и есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.

То есть, чтобы найти площадь фигуры G, ограниченной линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, необходимо вычислить определенный интеграл  ʃ

а^b f(x)dx.

Таким образом, S(G) = ʃ_а^b f(x)dx.

В случае, если функция y = f(x) не положительна на [а; b], то площадь криволинейной трапеции может быть найдена по формуле S(G) = -ʃ_а^b f(x)dx.

Пример 1.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х³; у = 1; х = 2.

Решение.

Заданные линии образуют фигуру АВС, которая показана штриховкой на рис. 2.

Искомая площадь равна разности между площадями криволинейной трапеции DACE и квадрата DABE.

Используя формулу S = ʃ_а^b f(x)dx = S(b) – S(a), найдем пределы интегрирования. Для этого решим систему двух уравнений:

{у = х³,
{у = 1.

Таким образом, имеем х₁ = 1 – нижний предел и х = 2 – верхний предел.

Итак, S = S_DACE – S_DABE = ʃ₁² x³ dx – 1 = x⁴/4|₁² – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (кв. ед.).

Ответ: 11/4 кв. ед.

Пример 2.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = √х; у = 2; х = 9.

Решение.

Заданные линии образуют фигуру АВС, которая ограничена сверху графиком функции

у = √х, а снизу графиком функции у = 2. Полученная фигура показана штриховкой на рис. 3.

Искомая площадь равна S = ʃ_а^b(√x – 2). Найдем пределы интегрирования: b = 9, для нахождения а, решим систему двух уравнений:

{у = √х,
{у = 2.

Таким образом, имеем, что х = 4 = а – это нижний предел.

Итак, S = ∫₄⁹ (√x – 2)dx = ∫₄⁹ √x dx –∫₄⁹ 2dx = 2/3 x√х|₄⁹ – 2х|₄⁹ = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (кв. ед.).

Ответ: S = 2 2/3 кв. ед.

Пример 3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х³ – 4х; у = 0; х ≥ 0.

Решение.

Построим график функции у = х³ – 4х при х ≥ 0. Для этого найдем производную у’:

y’ = 3x² – 4, y’ = 0 при х = ±2/√3 ≈ 1,1 – критические точки.

Если изобразить критические точки на числовой оси и расставить знаки производной, то получим, что функция убывает от нуля до 2/√3 и возрастает от 2/√3 до плюс бесконечности. Тогда х = 2/√3 – точка минимума, минимальное значение функции у_min = -16/(3√3) ≈ -3.

Определим точки пересечения графика с осями координат:

если х = 0, то у = 0, а значит, А(0; 0) – точка пересечения с осью Оу;

если у = 0, то х³ – 4х = 0 или х(х² – 4) = 0, или х(х – 2)(х + 2) = 0, откуда х₁ = 0, х₂ = 2, х₃ = -2 (не подходит, т.к. х ≥ 0).

Точки А(0; 0) и В(2; 0) – точки пересечения графика с осью Ох.

Заданные линии образуют фигуру ОАВ, которая показана штриховкой на рис. 4.

Так как функция у = х³ – 4х принимает на (0; 2) отрицательное значение, то

S = |ʃ₀² (x³ – 4x)dx|.

Имеем: ʃ₀² (x³ – 4х)dx =(x⁴/4 – 4х²/2)|₀²= -4, откуда S = 4 кв. ед.

Ответ: S = 4 кв. ед.

Пример 4.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х² – 2х + 1, прямыми  х = 0, у = 0 и касательной к данной параболе в точке с абсциссой х₀ = 2.

Решение.

Сначала составим уравнение касательной к параболе у = 2х² – 2х + 1 в точке с абсциссой х₀ = 2.

Так как производная y’ = 4x – 2, то при х₀ = 2 получим k = y’(2) = 6.

Найдем ординату точки касания: у₀ = 2 · 2² – 2 · 2 + 1 = 5.

Следовательно, уравнение касательной имеет вид: у – 5 = 6(х – 2) или у = 6х – 7.

Построим фигуру, ограниченную линиями:

у = 2х² – 2х + 1, у = 0, х = 0, у = 6х – 7.

Г_у =  2х² – 2х + 1 – парабола. Точки пересечения с осями координат: А(0; 1) – с осью Оу; с осью Ох – нет точек пересечения, т.к. уравнение  2х² – 2х + 1 = 0 не имеет решений (D < 0). Найдем вершину параболы:

x_b = -b/2a;

x_b = 2/4 = 1/2;

y_b = 1/2, то есть вершина параболы точка В имеет координаты В(1/2; 1/2).

Итак, фигура, площадь которой требуется определить, показана штриховкой на рис. 5.

Имеем: S_ОAВD = S_OABC – S_ADBC.

Найдем координаты точки D из условия:

6х – 7 = 0, т.е. х = 7/6, значит DC = 2 – 7/6 = 5/6.

Площадь треугольника DBC найдем по формуле S_ADBC = 1/2 · DC · BC. Таким образом,

S_ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 кв. ед.

Далее:

S_OABC = ʃ₀²(2x² – 2х + 1)dx = (2x³/3 – 2х²/2 + х)|₀² = 10/3 (кв. ед.).

Окончательно получим: S_ОAВD = S_OABC – S_ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (кв. ед).

Ответ: S = 1 1/4 кв. ед.

Мы разобрали примеры нахождения площадей фигур, ограниченных заданными линиями. Для успешного решения подобных задач нужно уметь строить на плоскости линии и графики функций, находить точки пересечения линий, применять формулу для нахождения площади, что подразумевает наличие умений и навыков вычисления определенных интегралов.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Вычисление площадей с помощью интеграла

2. Определенный интеграл.

Ребята, на прошлом уроке мы с вами уже вычисляли площади
различных
фигур,
ограниченных
некоторым
графиком
и
,
дополнительными условиями. Стоит заметить, что во всех примерах
нижним основанием, требуемых фигур, служила прямая y=0. Но как быть
в случае, когда фигура снизу ограничена произвольной прямой?
Давайте рассмотрим произвольную фигуру, которая ограничена
сверху графиком функции y=f(x), и снизу графиком функции y=g(x), а так
же прямыми x=a и x=b. Так же стоит учесть, что на отрезке [a;b]
выполняется неравенство f(x)≥g(x).

3. Определенный интеграл.

До сих пор мы вычисляли площади фигур, которые были
расположены выше оси абсцисс. Давайте нашу фигуру параллельно
перенесем на m единиц вверх, площадь фигуры от такой операции не
изменится, изменится только общий вид заданных функций. Сверху наша
фигура будет ограничена функцией y=f(x)+m, снизу не трудно догадаться
y=g(x)+m.

4. Определенный интеграл.

Площадь требуемой фигуры S можно вычислить как разность
двух площадей двух фигур: первая фигура ограничена прямыми x=a и
x=b, осью абсцисс и функцией y=f(x)+m, обозначим как S1. Вторая
фигура ограничена прямыми x=a и x=b, осью абсцисс и функцией
y=g(x)+m, обозначим как S2. Тогда

5. Определенный интеграл.

Площадь фигуры ограниченной прямыми x=a и x=b и графиками
функций y=f(x) и y=g(x), непрерывных на отрезке [a;b], и таких, что для
любого х из отрезка [a;b] выполняется неравенство g(x)≤ f(x), вычисляется
по формуле

6. Определенный интеграл.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение. Построим
координатной плоскости.
графики
,
Сверху
наша
фигура
графиком функции
ограничена
Снизу
наша
фигура
графиком функции
ограничена
Воспользуемся формулой вычисления
площадей:
Ответ:
наших
функций
на
одной

7. Определенный интеграл.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение. Построим графики наших функций.
График первой функции — парабола, ее вершину легко найти, прировняв
уравнение производной к нулю
Вычислим значение самой функции в вершине
Дальше график параболы легко построить по точкам.
График второй функции – прямая. Такие графики мы умеем легко
строить.

8. Определенный интеграл.

Оба графика построим на одной координатной плоскости
Площадь требуемой фигуры закрашена. Давайте вычислим ее.

9. Определенный интеграл.

Задачи для самостоятельного решения.
*открой следующий файл с заданием.

Рисование и удаление линий

Вы можете добавлять линии, чтобы соединять фигуры или выделять данные, а также удалять их.

Рисование линии с точками соединения

Соединительной линией называется линия, на концах которой находятся точки соединения, используемые для ее прикрепления к фигурам. Соединительный линия может быть прямым , изогнутым или изогнутым . При выборе соединительной линии на контуре фигуры появляются точки. Они показывают, куда можно прикрепить линию.

Важно: В Word и Outlook точки соединения можно использовать только в том случае, когда линии и объекты, к которым они прикрепляются, помещены на полотно. Чтобы вставить полотно, на вкладке Вставка нажмите кнопку Фигуры и щелкните Новое полотно в нижней части меню.

Чтобы добавить линию, которая прикрепляется к другим объектам, выполните следующие действия:

1. На вкладке Вставка в группе элементов Иллюстрации нажмите кнопку Фигуры.

2. В группе Линии выберите соединительную линию, которую вы хотите добавить.

   Примечание: Последние три типа в разделе Линия («Кривая», «Полилиния: фигура» и «Полилиния: рисованная кривая») не являются соединительными линиями. Наведите указатель мыши на тип, чтобы просмотреть его название, прежде чем щелкать его.

3. Чтобы нарисовать линию, соединяющую фигуры, наведите указатель мыши на первую фигуру или объект.

   Появятся точки соединения, говорящие о том, что линию можно прикрепить к фигуре. (Цвет и тип этих точек зависит от версии Office.)

   Примечание: Если точки соединения не выводятся, вы либо выбрали линию, которая не является соединительной, либо работаете не на полотне (в Word или Outlook).

   Щелкните первую фигуру и перетащите указатель к точке соединения на втором объекте.

   Примечание: Когда вы изменяете положение фигур, связанных соединителями, соединители не открепляются от фигур и перемещаются вместе с ними. Если вы переместите конец соединителя, он открепится от фигуры и его можно будет прикрепить к другой точке соединения той же фигуры или к другой фигуре. Если соединитель прикреплен к точке соединения, он остается связан с фигурой, как бы вы ее не перемещали.

Рисование линии без точек соединения

Чтобы добавить линию, которая не прикреплена к другим объектам, выполните следующие действия:

1. На вкладке Вставка в группе элементов Иллюстрации нажмите кнопку Фигуры.

2. В группе Линии, выберите любой тип линии.

3. Щелкните в нужном месте документа, переместите указатель в другое место, удерживая нажатой кнопку мыши, а затем отпустите ее.

Дублирование линии

Если вам требуется несколько раз добавить в документ одну и ту же линию, это можно быстро сделать с помощью команды «Зафиксировать режим рисования».

1. На вкладке Вставка в группе элементов Иллюстрации нажмите кнопку Фигуры.

2. В разделе Линии щелкните правой кнопкой мыши линию или фигуру, которую вы хотите добавить, и выберите команду Зафиксировать режим рисования.

3. Щелкните в том месте, где должна начинаться линия или соединитель, а затем перетащите курсор в то место, где она должна заканчиваться.

4. Повторите шаг 3 для каждой линии, которую вы хотите добавить.

5. Когда вы добавите все линии или соединители, нажмите клавишу ESC.

Добавление, изменение и удаление стрелки или фигуры линии

1. Выберите линию, которую вы хотите изменить.
   Для работы с несколькими строками выберите первую, а затем, удерживая нажатой кнопку CTRL, выберем остальные.

2. На вкладке Формат щелкните стрелку Контур фигуры.

   
   Если вы не видите вкладку Формат, убедитесь, что вы выбрали линию. Для этого может потребоваться дважды щелкнуть ее.

3. Наведите указатель на пункт Стрелки и щелкните нужный тип стрелки.

   Чтобы изменить тип или размер стрелки, а также тип, ширину и цвет линии, щелкните Другие стрелки и задайте необходимые параметры.

   Чтобы удалить стрелку, щелкните первый тип Стрелка: стиль 1 (без наконечников).

Удаление линий

• Щелкните линию, соединитель или фигуру, которые вы хотите удалить, а затем нажмите клавишу DELETE.
  Если вы хотите удалить несколько линий или соедините линий, выберите первую, а затем, удерживая нажатой кнопку CTRL, выберите остальные, а затем нажмите удалить.

Дополнительные сведения

Калькулятор площади между двумя кривыми

Используйте эту область между двумя кривыми калькулятора, чтобы найти площадь между двумя кривыми на заданном интервале, соответствующую разнице между определенными интегралами. В координатной плоскости общая площадь занята между двумя кривыми, а калькулятор площади между кривыми вычисляет площадь, решая определенный интеграл между двумя различными функциями.

Итак, давайте начнем читать, как найти область между двумя кривыми с помощью определенного интегрирования, но сначала вам нужно рассмотреть некоторые основы!

Что такое rea между двумя кривыми?

В математике площадь между двумя кривыми может быть вычислена с помощью разницы между определенным интегралом двух точек или выражений.В двухмерной геометрии площадь может быть выражена двумя разными кривыми с охватом области. Для вычисления площади требуются две функции: f (x) и g (x), а также пределы интеграла от a до b, где b должно быть больше, чем \ (a, b> a \) выражения.

\ (Y = f (x) \ text {где x} = a, x = b \)

\ (Y = f (x) \) между пределами a и b

Формула для площади между двумя кривыми:

Мы можем найти площади между кривыми, используя его стандартную формулу, если у нас есть две разные кривые

$$ m = f (x) & m = g (x) $$

Где

\ (f (x) \ text {больше, чем} g (x) \)

Таким образом, площадь, ограниченная двумя линиями \ (x = a \ text {и} x = b \), составляет

$$ A = ∫ab [f (x) — g (x)] dx $$

Итак, калькулятор площади между двумя кривыми вычисляет площадь пересечения двух кривых, используя эту стандартную формулу.

Однако онлайн-калькулятор интегралов позволяет вам вычислять интегралы функций по отношению к задействованной переменной.

Расчет площади между кривыми:

Вот простые рекомендации, чтобы найти площадь между двумя кривыми:

• Нужны две кривые: \ (y = f (x), \ text {и} y = g (x) \)
• Найдите точки пересечения кривых, добавив одно значение уравнения к другому, и составьте уравнение, которое имеет только одну переменную.
• Решите данное выражение и найдите точки пересечения и начертите график для данной точки пересечения и кривых.
• Итак, площадь равна \ (A = ∫ab [f (x) -g (x)] dx \) и поместите эти значения в данную формулу.
• Затем решите определенное интегрирование и измените значения, чтобы получить результат.

Вы можете мгновенно вычислить площадь и определенный интеграл, поместив выражения в область между двумя кривыми калькулятора.

Пример:

Найдите область между двумя кривыми \ (x ^ 2 + 4y — x = 0 \), где прямая \ (x = y \)?

Решение:

Данное уравнение —

$$ x ^ 2 + 4y — x = 0, x = y $$

$$ X ^ 2 + 4y — x = 0 $$

Складываем x и вычитаем \ (x ^ 2 \) с обеих сторон. 2/2] 30 $$

$$ = — [(0 + 0) — (- 33/4 * 3 — 3/4 * 32/2) $$

$$ = — (-27/12 + 3/4 * 9/2) $$

$$ A = 27/24 $$

Площадь определенного интеграла равна \ (\ frac {-27} {24} \).

Кроме того, онлайн-калькулятор производной позволяет определить производную функции по заданной переменной.

Как работает калькулятор между двумя кривыми rea?

Калькулятор площади между кривыми найдет площадь между кривыми, выполнив следующие шаги:

Ввод:

• Введите два разных выражения кривых относительно \ (x или y \).
• Установите определенные верхний и нижний пределы для кривых
• Нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы продолжить процесс.

Выход:

Калькулятор отображает следующие результаты для области между двумя кривыми:

• Отобразите введенные вами данные в виде правильного уравнения, которое вы вводите в различные соответствующие поля.
• Показывает область, между которой ограничены две кривые со всеми этапами вычисления интеграла.

Часто задаваемые вопросы по области между кривыми:

Может ли область между двумя кривыми быть отрицательной или нет?

Если обе кривые лежат на оси x, площади между кривыми будут отрицательными (-).Однако окончательный ответ — это значение со знаком.

Почему мы используем только определенный интеграл для определения площади, ограниченной кривыми?

Площадь между кривыми калькулятор находит площадь по разным функциям только неопределенным интегралам, потому что неопределенный просто показывает семейство различных функций, а также используется для нахождения площади между двумя кривыми, которые интегрируют разницу выражений.

Что такое определенный интеграл и неопределенный интеграл?

Неопределенный интеграл показывает семейство различных функций, производными которых являются f. Различия между двумя функциями в семье просто постоянны. А определенный интеграл представляет собой числа, когда верхний и нижний пределы являются постоянными.

Конец Примечание:

Чтобы найти площадь между кривыми без графика, используйте этот удобный калькулятор области между двумя кривыми. В основном, площадь между кривой обозначает величину количества, которое получается как произведение величин, обозначенных осями x и y. Таким образом, онлайн-калькулятор области между кривыми — лучший способ точно определить величину количества.

Артикул:

Из источника в Википедии: Единицы, Преобразования, Неметрические единицы, Четырехугольник.

Из источника Brilliant: Площадь между кривой и осью x, Площадь между кривой и линией, Площадь между двумя кривыми.

Из источника Math Online: Области между кривыми, нижняя кривая g, верхняя кривая f.

Исчисление I — площадь между кривыми

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. , вероятно, вы пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 6-2: Площадь между кривыми

В этом разделе мы собираемся найти область между двумя кривыми.На самом деле есть два случая, которые мы собираемся рассмотреть.

В первом случае мы хотим определить область между \ (y = f \ left (x \ right) \) и \ (y = g \ left (x \ right) \) на интервале \ (\ left [{ яркий]\). Мы также будем предполагать, что \ (f \ left (x \ right) \ ge g \ left (x \ right) \). Взгляните на следующий рисунок, чтобы понять, на что мы изначально будем смотреть. 2} \) и \ (y = \ sqrt x \).Показать решение

Прежде всего, что мы подразумеваем под «замкнутой территорией». Это означает, что интересующая нас область должна иметь одну из двух кривых на каждой границе области. Итак, вот график двух функций с заштрихованной областью.

Обратите внимание, что мы не берем какую-либо часть области справа от точки пересечения этих двух графиков. В этой области нет границы с правой стороны, поэтому она не является частью замкнутой области.2} \) является верхней функцией, и они будут правильными для подавляющего большинства \ (x \) ‘s. Однако в данном случае это младшая из двух функций.

Пределы интегрирования для этого будут точками пересечения двух кривых. В этом случае довольно легко увидеть, что они будут пересекаться в точках \ (x = 0 \) и \ (x = 1 \), так что это пределы интегрирования.

Итак, интеграл, который нам потребуется вычислить, чтобы найти площадь, равен

. 2} \, dx}} \\ & = \ left.1 \\ & = \ frac {1} {3} \ end {align *} \]

Прежде чем перейти к следующему примеру, следует отметить несколько важных моментов.

Во-первых, почти во всех этих задачах граф требуется. Часто ограничивающую область, которая дает пределы интегрирования, трудно определить без графика.

Кроме того, без графика часто бывает трудно определить, какая из функций является верхней, а какая нижней функцией.Это особенно верно в случаях, подобных последнему примеру, где ответ на этот вопрос фактически зависел от диапазона значений \ (x \), которые мы использовали.

Наконец, в отличие от площади под кривой, которую мы рассматривали в предыдущей главе, площадь между двумя кривыми всегда будет положительной. Если мы получим отрицательное число или ноль, мы можем быть уверены, что где-то допустили ошибку, и нам нужно будет вернуться и найти ее.

Также обратите внимание, что иногда вместо того, чтобы говорить «регион, заключенный в», мы говорим «регион, ограниченный».2}}} \), \ (y = x + 1 \), \ (x = 2 \) и ось \ (y \) -. Показать решение

В этом случае последние две части информации, \ (x = 2 \) и ось \ (y \), сообщают нам правую и левую границы области. Также напомним, что ось \ (y \) задается линией \ (x = 0 \). Вот график с заштрихованной областью.

Здесь, в отличие от первого примера, две кривые не пересекаются. Вместо этого мы полагаемся на две вертикальные линии, чтобы ограничить левую и правую стороны области, как мы отметили выше

.

Вот интеграл, который даст площадь.2} + 10 \) и \ (y = 4x + 16 \). Показать решение

В этом случае точки пересечения (которые нам в конечном итоге понадобятся) будет нелегко идентифицировать по графику, так что давайте продолжим и получим их сейчас. Обратите внимание, что для большинства этих проблем вы не сможете точно определить точки пересечения на графике, поэтому вам нужно будет определить их вручную. 2} — 4x — 6 & = 0 \\ 2 \ left ({x + 1} \ right) \ left ({x — 3} \ right) & = 0 \ end {align *} \]

Итак, похоже, что две кривые пересекутся в точках \ (x = — 1 \) и \ (x = 3 \).Если они нам нужны, мы можем получить значения \ (y \), соответствующие каждому из них, вставив значения обратно в любое из уравнений. Мы предоставим вам проверить, что координаты двух точек пересечения на графике равны \ (\ left ({- 1,12} \ right) \) и \ (\ left ({3,28} \ right) ) \).

Также обратите внимание, что если вы не умеете строить графики, знание точек пересечения может помочь хотя бы в начале построения графика. Вот график региона.

С помощью графика мы теперь можем определить верхнюю и нижнюю функцию, и теперь мы можем найти замкнутую область.2} + 10 \), \ (y = 4x + 16 \), \ (x = — 2 \) и \ (x = 5 \). Показать решение

Итак, функции, используемые в этой задаче, идентичны функциям из первой задачи. Разница в том, что мы расширили ограниченную область за пределы точек пересечения. Поскольку это те же функции, которые мы использовали в предыдущем примере, мы больше не будем утруждать себя поиском точек пересечения.

Вот график этого региона.

Хорошо, у нас тут небольшая проблема.Наша формула требует, чтобы одна функция всегда была верхней функцией, а другая функция всегда была нижней функцией, а здесь этого явно нет. Однако на самом деле проблема не в этом, как может показаться на первый взгляд. Есть три области, в которых одна функция всегда является верхней функцией, а другая всегда является нижней функцией. Итак, все, что нам нужно сделать, это найти площадь каждой из трех областей, что мы можем сделать, а затем сложить их все.

Вот площадь.5 \\ & = \ frac {{14}} {3} + \ frac {{64}} {3} + \ frac {{64}} {3} \\ & = \ frac {{142}} {3 } \ end {align *} \] Пример 5 Определите площадь области, заключенной в \ (y = \ sin x \), \ (y = \ cos x \), \ (x = \ frac {\ pi} {2} \) и \ ( у \) — ось. 2} — 2y — 8 \\ 0 & = \ left ({y — 4} \ right) \ left ({y + 2} \ right) \ end {align *} \]

Итак, похоже, что две кривые пересекутся в точках \ (y = — 2 \) и \ (y = 4 \), или, если нам нужны полные координаты, они будут: \ (\ left ({- 1, — 2 } \ right) \) и \ (\ left ({5,4} \ right) \).

Вот эскиз двух кривых.

Если мы не будем осторожны, у нас возникнет серьезная проблема. До сих пор мы использовали верхнюю функцию и нижнюю функцию. Для этого обратите внимание, что на самом деле есть две части региона, которые будут выполнять разные нижние функции. В диапазоне \ (\ left [{- 3, — 1} \ right] \) парабола фактически является как верхней, так и нижней функцией.

Чтобы использовать формулу, которую мы использовали до сих пор, нам нужно решить параболу для \ (y \).Это дает,

\ [y = \ pm \ sqrt {2x + 6} \]

, где «+» означает верхнюю часть параболы, а «-» — нижнюю часть. {{\, 5}} {{- x + 1 \, dx}} \\ & = \ left.{{\, d}} {{\ left (\ begin {array} {c} {\ mbox {right}} \\ {\ mbox {function}} \ end {array} \ right) — \ left (\ begin {array} {c} {\ mbox {left}} \\ {\ mbox {function}} \ end {array} \ right) \, dy}}, \ hspace {0,5in} c \ le y \ le d \ ]

, и в нашем случае у нас есть одна функция, которая всегда слева, а другая всегда справа. Так что в данном случае это определенно правильный путь. Обратите внимание, что нам нужно будет переписать уравнение линии, поскольку оно должно быть в форме \ (x = f \ left (y \ right) \), но это достаточно легко сделать.4 \\ & = 18 \ end {align *} \]

Это то же самое, что мы получили, используя первую формулу, и это было определенно проще, чем первый метод.

Итак, в этом последнем примере мы видели случай, когда мы могли использовать любую формулу для определения площади. Однако второе было определенно легче.

Студенты часто приходят в класс по математике с мыслью, что единственный простой способ работать с функциями — использовать их в форме \ (y = f \ left (x \ right) \). 2} + 4y + 6 \, dy} } \\ & = \ left.3 = \ frac {{64}} {3} \ end {align *} \]

Калькулятор площади между двумя кривыми

Следуйте простым инструкциям, чтобы найти область между двумя кривыми, которые лежат вдоль линий

• Если у нас есть две кривые P: y = f (x), Q: y = g (x)
• Получите точки пересечения кривой, подставив значения одного уравнения в другое и сделав это уравнение только одной переменной.
• Решите это уравнение и найдите точки пересечения.
• Нарисуйте график для заданных кривых и точки пересечения.
• Тогда площадь будет A = ∫ ^x2 _x1 [f (x) -g (x)] dx
• Подставьте значения в приведенную выше формулу.
• Решите интегрирование и замените значения, чтобы получить результат.

Пример

Вопрос: Вычислить площадь области, ограниченной кривыми y ² + 4x — y = 0 и прямой y = x?

Решение:

Указанные уравнения: y ² + 4x — y = 0, y = x

y ² + 4x — y = 0

Складываем y и вычитаем y ² с обеих сторон.

y ² + 4x — y + y — y ² = y — y ²

4x = у — у ²

Разделить на 4 с обеих сторон

х = у — у ² /4

Используя другое уравнение y = x в уравнении кривой будет

y ² + 4y-y = 0

y ² + 3y = 0

y (y + 3) = 0

y = 0 или -3

В соответствии со значениями y мы получаем x = 0 или -3.Таким образом, точки пересечения — это P (-3, -3) и Q (0,0).

График для системы будет:

На графике кривая справа — это f (y), а кривая слева — это g (y).

f (y) = y — y ² /4

г (у) = у

Площадь: A = ∫ ^x2 _x1 [f (x) -g (x)] dx

A = ∫ ³ ₀ [(y — y ² /4) -y] dy

= ∫ ³ ₀ ((-y ² -3y) / 4) dy

= [- y ³ /4 * 3 — 3/4 * y ² /2] ³ ₀

= — [(0 + 0) — (- 3 ³ /4 * 3 — 3/4 * 3 ² /2)

= — (-27/12 + 3/4 * 9/2)

= 27/24

Площадь, определяемая определенным интегралом, равна -27/24. b {f \ left (x \ right) dx} = F \ left (b \ right) — F \ left (a \ right), \]

, где \ (F \ left (x \ right) \) — любая первообразная от \ (f \ left (x \ right).b {\ left [{f \ left (x \ right) — g \ left (x \ right)} \ right] dx} = F \ left (b \ right) — G \ left (b \ right) — F \ влево (а \ вправо) + G \ влево (а \ вправо), \]

, где \ (F \ left (x \ right) \) и \ (G \ left (x \ right) \) — первообразные функций \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right), \) соответственно.

Обратите внимание, что эта область всегда будет неотрицательной как \ (f \ left (x \ right) — g \ left (x \ right) \ ge 0 \) для всех \ (x \ in \ left [{a, b } \ right]. \)

Если есть точки пересечения, мы должны разбить интервал на несколько подинтервалов и определить, какая кривая больше на каждом подынтервале.\ prime \ left (t \ right), \) \ (y \ left (t \ right) \) здесь предполагается непрерывными на интервале \ (\ left [{a, b} \ right]. \) Кроме того то есть функция \ (x \ left (t \ right), \) должна быть монотонной на этом интервале. \ prime \ left (t \ right) y \ left (t \ right)} \ right] dt}.2} \) на интервале \ (\ left [{1, b} \ right] \) равно \ (1? \)

Пример 3

Найдите координату точки \ (a \), которая разделяет область под корневой функцией \ (y = \ sqrt {x} \) на интервале \ (\ left [{0,4} \ right] \) на равные части.

Пример 4

Область ограничена вертикальными линиями \ (x = t \), \ (x = t + \ frac {\ pi} {2} \), осью \ (x — \) и кривой \ (y = a + \ cos x, \) где \ (a \ ge 1. \) Определите значение \ (t \), при котором область имеет наибольшую площадь.{t + \ frac {\ pi} {2}} = a \ left ({t + \ frac {\ pi} {2}} \ right) + \ sin \ left ({t + \ frac {\ pi} { 2}} \ right) — at — \ sin t = \ cancel {at} + \ frac {{a \ pi}} {2} + \ sin \ left ({t + \ frac {\ pi} {2}} \ right) — \ cancel {at} — \ sin t = \ frac {{a \ pi}} {2} + \ sin \ left ({t + \ frac {\ pi} {2}} \ right) — \ грех т. \]

Использование тождества разницы синусов

\ [\ sin \ alpha — \ sin \ beta = 2 \ cos \ frac {{\ alpha + \ beta}} {2} \ sin \ frac {{\ alpha — \ beta}} {2}, \]

получаем

\ [A = \ frac {{a \ pi}} {2} + 2 \ cos \ frac {{t + \ frac {\ pi} {2} + t}} {2} \ sin \ frac {{\ cancel {t} + \ frac {\ pi} {2} — \ cancel {t}}} {2} = \ frac {{a \ pi}} {2} + 2 \ cos \ left ({t + \ frac {\ pi} {4}} \ right) \ sin \ frac {\ pi} {4} = \ frac {{a \ pi}} {2} + 2 \ cos \ left ({t + \ frac {\ pi } {4}} \ right) \ cdot \ frac {{\ sqrt 2}} {2} = \ frac {{a \ pi}} {2} + \ sqrt 2 \ cos \ left ({t + \ frac { \ pi} {4}} \ right).\]

Область имеет самую большую площадь, когда \ (\ cos \ left ({t + \ frac {\ pi} {4}} \ right) = -1. \)

Решая это уравнение, находим

\ [\ cos \ left ({t + \ frac {\ pi} {4}} \ right) = — 1, \; \; \ Rightarrow t + \ frac {\ pi} {4} = \ pi + 2 \ pi n, \; \; \ Rightarrow t = \ frac {{3 \ pi}} {4} + 2 \ pi n, \, n \ in \ mathbb {Z}. \]

См. Другие проблемы на странице 2.

Числовое смещение в задачах с ограниченными и неограниченными числовыми линиями

Psychon Bull Rev.Авторская рукопись; доступно в PMC 2012 1 апреля.

Опубликован в окончательной редакции как:

PMCID: PMC3110999

NIHMSID: NIHMS265636

Дейл Дж. Коэн

Департамент психологии, Университет Северной Каролины, Колледж Уилмингтон, 601 Южная Каролина, Колледж Уилмингтон, 601 Южная Каролина. , Wilmington, NC 28403-5612

Daryn Blanc-Goldhammer

Департамент психологии, Университет Северной Каролины, Уилмингтон, 601 South College Road, Wilmington, NC 28403-5612

Dale J.Коэн, факультет психологии Университета Северной Каролины в Уилмингтоне, 601 South College Road, Wilmington, NC 28403-5612;

Для корреспонденции обращайтесь к Дейлу Дж. Коэну, доктору философии. ude.wcnu@dnehoc. Телефон: 910.962.3917. Факс: 910.962.7010 Окончательная отредактированная версия этой статьи издателем доступна на Psychon Bull Rev. См. Другие статьи в PMC, в которых цитируется опубликованная статья.

Abstract

Задача числовой прямой часто используется для оценки представления целых чисел детьми и взрослыми.Однако традиционные задачи с ограниченными числовыми линиями имеют ограничения, которые могут привести к неправильной интерпретации. Здесь мы представляем новую задачу, задачу неограниченная числовая линия , которая преодолевает эти ограничения. В эксперименте 1 мы показываем, что взрослые используют стратегию оценки смещенных пропорций для выполнения традиционной задачи с ограниченной числовой линией. В эксперименте 2 мы показываем, что взрослые используют целочисленную стратегию исчисления в нашей задаче с неограниченной числовой линией. Участники выявили положительно ускоряющуюся числовую погрешность в обеих задачах, но показали скалярную дисперсию только в задаче с неограниченной числовой линией.Мы пришли к выводу, что задача с неограниченной числовой линией — это более чистая мера представления целых чисел, и, используя эти результаты, мы даем предварительное описание основного представления целых чисел взрослыми.

Задача числовой прямой часто используется для оценки представления целых чисел детьми и взрослыми (например, Berteletti, Lucaneli, Piazza, Dehaene & Zorzi, 2010; Geary, Hoard, Nugent & Byrd-Craven, 2008; Opfer & DeVries, 2007; Зиглер и Бут, 2004; Зиглер и Опфер, 2003).Традиционная задача состоит из ограниченной числовой строки с помеченными конечными точками (например, 0–100) и целевого числа. В каждом испытании участника просят указать позицию в числовой строке, которую будет занимать целевой номер. Однако задачи с ограниченными числовыми линиями имеют ограничения (например, Barth & Paladino, In Press). Здесь мы (а) демонстрируем, что задача ограниченной числовой линии является недопустимой мерой целочисленного представления, (б) представляем новую задачу, задачу неограниченной числовой линии , которая преодолевает ограничения задачи ограниченной числовой линии и дает согласованные данные с целочисленным представлением, и (c) представляет предварительное описание базового представления целых чисел взрослыми с использованием данных неограниченной числовой линии.

Интуитивное понимание целого числа (также называемого аналоговым представлением величины или аналоговой величиной ) можно описать как распределение величин. Например, каждый раз, когда мы видим 15, мы понимаем, что его количество немного отличается (иногда больше 15, иногда меньше). Распределение величин, которые ассоциируются с целым числом, описывает психологическое понимание этого целого числа. В литературе ведется много споров относительно размещения и вариативности этих психологических распределений по отношению друг к другу.Споры касаются того, лучше ли описывать целые числа психологическим представлением, в котором (а) средние расстояния между последовательными целыми числами расположены логарифмически, а ошибки восприятия, связанные с последовательными целыми числами, имеют фиксированную дисперсию (логарифмические модели , ; например, Banks & Hill, 1974; Dehaene, 2003; Dehaene, Dupoux & Mehler, 1990; Nieder & Miller, 2003), или (б) средние расстояния между последовательными целыми числами линейно разнесены, а ошибки восприятия, связанные с последовательными целыми числами, имеют скалярную дисперсию (т.е., дисперсия увеличивается с последовательными целыми числами; линейные модели ; например, Gibbon, 1977; Гиббон ​​и Черч, 1981; Мек и Черч, 1983; Whalen, Gallistel & Gelman, 1999).

Используя задачу числовой прямой, Зиглер и Опфер (2003) показали, что у детей младшего возраста наблюдается отрицательно ускоряющийся шаблон ошибок (например, логарифмический). Напротив, дети старшего возраста и взрослые дали более линейные оценки. Авторы пришли к выводу, что произошел постепенный переход от логарифмических представлений целых чисел к линейным представлениям.Этот эффект был хорошо воспроизведен для включения большего количества возрастных групп и участников с различными математическими способностями (например, Booth & Siegler, 2006; Berteletti, et al., 2010; Geary, et al., 2008; Laski & Siegler, 2007; Siegler & Бут, 2004; Томпсон и Опфер, 2008).

Barth and Paladino (In Press) переосмысливает данные числовой линии, предполагая, что очевидная линейность данных числовой линии детей на самом деле является образцом оживления, типичным для стратегии оценки пропорции (для обзора оценки пропорции см. Cohen, Ferrell, & Johnson , 2002) ¹ .В частности, смещение стимула часто следует закону мощности Стивенса,

, где I представляет интенсивность стимула; k — постоянная; и a — характеристический показатель, который описывает смещение стимула наблюдателя. Показатели больше 1 указывают на положительное смещение ускорения (например, экспоненциальное), а показатели меньше 1 указывают на отрицательное смещение ускорения (например, логарифмическое). Данные из традиционных задач с числовыми линиями обычно интерпретируются в рамках степенного закона Стивенса.Однако при внимательном рассмотрении данные числовой линии кажутся более оживляющими, чем линейными или ускоряющимися. Образец ошибки оживления символизирует задачи оценки пропорции. В задаче оценки пропорции наблюдателей представляют целиком и просят оценить часть этого целого, скажем, 20%. Спенс (1990) обнаружил, что наблюдатели склонны оценивать целевую долю по отношению к целому. Спенс адаптировал степенной закон Стивенса для моделирования этого процесса (названный моделью мощности ). Модель власти Спенса предсказывает, что наблюдатели будут точными как на границах, так и на полпути, с искажением восприятия, проявляющимся в виде характерного образа оживления.Холландс и Дайр (2000) расширили модель мощности Спенса, чтобы описать использование нескольких опорных точек (называемых циклической моделью мощности , здесь сокращенно CPM). CPM предсказывает несколько циклов оживления в зависимости от количества ориентиров, которые принимает наблюдатель.

Задача числовой линии может быть концептуализирована как задача оценки пропорции, потому что помеченные конечные точки показывают ценность целого. Чтобы точно выполнить задачу, целые числа меньше целого должны быть преобразованы в пропорции этого целого (например,g., 50 — это половина пути от 0 до 100), а не непосредственно как целые числа (например, 50 — это 50 единиц вправо). Барт и Паладино (In Press) показали, что CPM точно предсказывает предвзятость семилетних детей в задаче с ограниченной числовой прямой и пришли к выводу, что дети концептуализируют задачу с ограниченной числовой прямой как задачу оценки пропорций. Поскольку связь между когнитивными процессами, лежащими в основе понимания пропорций и целых чисел, неясна (например, Cohen, In Press), нельзя предположить, что данные из задачи ограниченной числовой линии адекватно описывают целочисленное представление.

Ограничения задачи ограниченной числовой линии выходят за рамки ее сходства с задачей оценки пропорции. В частности, нижняя и верхняя границы ограничивают степень и направление возможной ошибки в задаче. Нижняя граница ограничивает способность недооценивать малые значения, а верхняя граница ограничивает способность переоценивать большие значения. Таким образом, задача с ограниченной числовой прямой, вероятно, является неверным показателем изменчивости оценки. Вариабельность оценок имеет центральное значение для теорий числового познания (например,g., как обсуждалось выше: логарифмические модели часто предполагают фиксированную дисперсию, а линейные модели часто предполагают скалярную дисперсию).

Здесь мы представляем новую задачу, задачу «неограниченная числовая линия», которая не имеет ограничений задачи ограниченной числовой линии. Эксперимент 1 оценивает предвзятость взрослых к задаче с ограниченными числовыми линиями. Чтобы оценить, рассматривают ли взрослые задачу с ограниченной числовой линией как задачу оценки пропорций или задачу оценки целого числа, мы подбираем линейную модель и CPM к данным каждого участника, а также анализируем данные об ошибках.Эксперимент 2 оценивает предвзятость взрослых к нашей новой задаче с неограниченной числовой прямой. В этой задаче мы отобразили расстояние между 0 и 1 и попросили участников указать расположение своей оценки справа от представленной единицы. Чтобы оценить стратегию взрослых, мы подобрали линейную модель и новую нелинейную «Модель зубчатой ​​мощности» к данным каждого участника, а также проанализировали данные об ошибках.

Эксперимент 1

Методы

Участники

Пятьдесят два студента вводного курса психологии вызвались добровольцами в обмен на зачетные единицы курса.

Аппаратура и стимулы

Все стимулы предъявлялись на 24-дюймовых цветных светодиодных мониторах с частотой обновления 72 Гц, управляемой Mac mini. Разрешение монитора составляло 1920 на 1200 пикселей. Участники сидели примерно в 30 дюймах от экрана.

В каждом испытании участникам были представлены числовая линия и целевой номер (см.). Числовая линия располагалась по центру оси Y экрана. Номер цели был помещен на полдюйма ниже левой границы числовой линии.Числовая линия была построена из красных линий толщиной в один пиксель. Вертикальная линия высотой 10 пикселей обозначила начало числовой линии. Эта левая граница была помечена цифрой «0». Аналогичная вертикальная линия указывала на правый конец числовой прямой и была обозначена цифрой «26». Две вертикальные линии были соединены внизу красной горизонтальной линией (то есть числовой линией). Целевые числа варьировались от 2 до 25 и выбирались случайным образом из равномерного распределения от испытания к испытанию.

Методы и результаты эксперимента 1 с использованием задачи ограниченной числовой прямой. Изображение вверху представляет собой средство, с помощью которого участники оценили местоположение целевого числа (обозначенного здесь как X) на ограниченной числовой линии. Черные линии указывают на предъявленный стимул, серые линии указывают на линии, появляющиеся при «щелчке и перетаскивании». Рука представляет собой курсор, а синяя стрелка указывает на движение. Под числовой линией приведены примеры участников, которые лучше всего подошли по следующим критериям: а) линейная, б) одноцикловая цена за тысячу показов и в) двухцикловая цена за тысячу показов.Нижний график представляет собой соотношение между стандартным отклонением оценок и целевым числом. Стандартное отклонение ниже для целевых чисел рядом с контрольными точками и выше для целевых чисел между контрольными точками.

Чтобы участники не использовали контрольные точки, внешние по отношению к числовой линии (например, положение левого края монитора, центр монитора и т. Д.), Мы изменили расположение и физическую длину числовой линии. Для каждого испытания числовая линия случайным образом размещалась между 100 и 200 пикселями с левой стороны экрана.Длина числовой строки варьировалась случайным образом от 52 до 832 пикселей. Кроме того, мы поместили полосу черной ленты поперек нижней части монитора, чтобы скрыть светоотражающий символ «Apple».

Процедура

Эксперимент проходил в индивидуальных темных комнатах. Участникам было поручено оценить соответствующее положение количества, указанного целевым числом в числовой строке. Для этого участники использовали мышь, чтобы «щелкнуть и перетащить» левую граничную линию в предполагаемое целевое местоположение.Чтобы щелкнуть и перетащить, участник переместил курсор на левую граничную линию. В этот момент появилась серая линия, закрывающая левую красную ограничивающую линию. Затем участник нажал левую кнопку мыши и перетащил серую линию в предполагаемое целевое местоположение. Когда серая линия была перемещена, левая красная ограничивающая линия осталась на месте. Участники могли свободно перемещать серую линию, перетаскивая и отпуская, не отправляя ответа. Когда участник определил, что линия цели была точной, он или она нажали пробел, чтобы отправить ответ.Следующее испытание появилось через секунду после представления ответа. Были записаны точность участников до пикселя и RT.

Каждому участнику были представлены три практических испытания и 400 экспериментальных испытаний. Каждому 101 испытанию у участников был самостоятельный перерыв. Обычно эксперимент длился менее часа.

Результаты

Мы удалили все оценки, в которых RT участников были больше 45 секунд или меньше 500 миллисекунд. Оценивает более трех стандартных отклонений от средней ошибки для каждого целевого числа (т.е., менее 25 процентов или более 150 процентов от целевого числа) также были удалены. Эти ограничения устранили 2,6 процента данных.

Мы рассчитали среднюю оценку каждого целевого числа из всех испытаний для каждого участника. Затем мы проверили соответствие трех моделей с помощью обобщенных нелинейных методов наименьших квадратов (ННК). Использовались следующие модели: линейная ² , CPM с двумя контрольными точками (т.е. границами числовой прямой) и CPM с тремя контрольными точками (т.е. границами и средней точкой числовой прямой) ³ (см. Hollands & Dyre, 2000).

Каждый участник был классифицирован как участник с линейным, двухточечным или трехточечным CPM на основе критерия согласия AIC. Мы оценили глобальную пригодность моделей по модели, которая подходит большинству участников. Семь участников были определены как линейные, 32 соответствовали двухточечной CPM и 13 соответствовали трехточечной CPM. Таким образом, 87% участников были лучше всего классифицированы CPM. Критический показатель, описывающий числовое смещение, для CPM (M = 1,13, SD = 0,14) значительно отличался от 1 ( t (44) = 6.3, p <0,01). Пересечение линейной модели было -1,1 и значительно отличалось от 0 ( t (6) = -7,46, p <0,01). Наклон составлял 1,03 и приближался к значительному отличию от 1 ( t (6) = 2,17, p = 0,06). R ² всех моделей был более 0,99. показывает данные некоторых участников, данные которых были лучше всего предсказаны каждой из трех моделей.

отображает среднюю SD участников как функцию от целевого числа. Среднее стандартное отклонение ниже в контрольных точках и увеличивается между контрольными точками.Этот шаблон соответствует стратегии оценки пропорции, а не стратегии целочисленной оценки.

Обсуждение

Мы применили CPM к задаче числовой прямой, чтобы оценить числовую погрешность. Большинство (87%) данных участников лучше соответствовали CPM, чем линейной модели. Это указывает на то, что взрослые рассматривают задачу с ограниченной числовой прямой как задачу оценки пропорции. Оценки взрослых описываются положительным смещением ускорения, показывая, что субъективное расстояние между последовательными числами увеличивается по мере увеличения целевого числа.Мы обсудим это открытие подробно в Общем обсуждении.

В попытке убрать стратегию оценки пропорций, используемую большинством участников Эксперимента 1, мы провели Эксперимент 2.

Эксперимент 2

Методы

Участники

Пятьдесят два наивных студента вводного курса психологии вызвались добровольно в обмен на конечно кредит.

Аппараты и стимулы

Неограниченная числовая прямая отличается от ограниченной числовой прямой двумя способами.Во-первых, неограниченная числовая линия представляет только одно единичное расстояние, здесь мы используем ноль к единице. Во-вторых, оценки производятся вне границ, а не внутри них.

Для каждого испытания участникам была представлена ​​неограниченная числовая линия и целевой номер (см.). Левая и правая границы представляли собой немаркированные вертикальные линии ⁴ . Вертикальные линии были соединены внизу горизонтальной линией. Длина горизонтальной линии представляет собой расстояние в одну единицу.По центру, прямо под единицей, была метка «1». Целевое число было указано под этикеткой.

Методы и результаты эксперимента 2 с использованием задачи с неограниченной числовой прямой. Изображение вверху представляет собой средство, с помощью которого участники оценили местоположение целевого числа (обозначенного здесь как X) за пределами представленной единицы. Черные линии указывают на предъявленный стимул, серые линии указывают на линии, появляющиеся при «щелчке и перетаскивании». Рука представляет собой курсор, а синяя стрелка указывает на движение.Под числовой линией приведены примеры участников, которые лучше всего подошли по моделям а) линейного, б) двойного гребешка и в) многозубого гребешка. На нижнем левом графике показано увеличение стандартного отклонения оценок от целевого числа. На нижнем правом графике стандартное отклонение показано как постоянная доля целевых чисел, превышающих 5.

Расположение числовой линии варьировалось так же, как в эксперименте 1. Однако длина числовой линии изменялась случайным образом от 2 до 32 пикселей. .Эти расстояния соответствуют наименьшему и наибольшему размеру отдельной единицы в эксперименте 1. Хотя оценки не ограничивались границами числовой линии, оценки не могли быть ближе, чем 100 пикселей к правому краю экрана. Это дало участникам достаточно места для оценки наибольшего целевого числа с наибольшим размером подразделения на 200 процентов.

Процедура

Использовались те же комнаты и компьютеры, что и в Эксперименте 1. Участникам было сообщено, что представленные линии являются началом числовой линии и представляют 1 единицу.Их задачей было оценить положение целевого числа справа от числовой строки для каждого испытания. Для этого участники щелкнули и перетащили правую граничную линию к предполагаемому целевому местоположению. Здесь использовался тот же метод щелчка и перетаскивания, что и в эксперименте 1. Итак, если целевым числом было 10, участники должны были перетащить линию на девять единиц вправо, чтобы крайняя правая граница была расположена на 10 единиц справа от крайней левой границы числовой линии. Во всем остальном процедура Эксперимента 2 была идентична Эксперименту 1.

Результаты

Подобно эксперименту 1, испытания со временем реакции более 45 секунд или менее 500 миллисекунд были удалены. Оценки более трех стандартных отклонений от средней ошибки для каждого целевого числа (т.е. менее 25 процентов или более 480 процентов от целевого числа) также были удалены. Эти ограничения устранили 3,5 процента данных. Наконец, мы удалили ответы участников на целевые числа 23–25, потому что граница экрана компьютера действовала как искусственная конечная точка и искажала эти данные в меньшую сторону.То есть ошибка, связанная со средними ответами участников, была больше, чем мы ожидали, и край экрана компьютера мешал участникам оценивать более крупные целевые числа.

Поскольку задача с неограниченной числовой линией была разработана, чтобы препятствовать стратегии оценки пропорций участников, и в данных наших участников было мало свидетельств оживления, мы полагаем, что успешно помешали участникам использовать стратегию оценки пропорций.Тем не менее, участники, как правило, придерживались стратегии « с расчетом по ». Мы определили стратегию окончательного расчета на основе устных отчетов участников пилотного проекта и проверили валидность этой гипотетической стратегии, разработав модель и оценив ее соответствие. В этой стратегии точного расчета участники сначала переместили единицу на числовую линию, а затем оценили позицию следующей единицы на основе своего текущего положения и так далее. Эта мертвая стратегия расплаты часто проявляется в повторяющихся зубчатых ошибках в данных (см. Раздел «Ресурсы»).Этот зубчатый узор возникает, когда участники используют кратное небольшое количество (около 10), чтобы оценить свое положение на числовой прямой. Мы называем этот диапазон рабочим окном участников с числами . Когда участников просят оценить числа, превышающие этот диапазон, они считают до последнего числа в своем рабочем окне, скажем, 10, а затем с этой конечной точки они снова начинают отсчет с единицы. Например, если целевым числом было 12, участник может оценить местоположение как 10, а затем оценить еще две единицы.Это создает зубчатый узор в данных, обнаруживая повторяющуюся систематическую ошибку. У нас было три класса участников: (1) участники, которые оценивали числа напрямую (один гребешок), (2) участники, которые повторяли свою систематическую ошибку дважды (двойной гребешок), и (3) участники, которые повторяли свою систематическую ошибку несколько раз (мульти гребешок). . Эти математические формулы для модели мощности гребешка (SPM) приведены ниже:

Y = X ^b , одинарный гребешок

(2)

i f ( X < d ) , затем X ^b ) еще ( Y = d ^d + ( X — d ) ^b ), двойной скальп

(3) truncate (Xd, 0) ∗ db + (Xmodulod) bMulti-Scallop

(4)

Пример стратегии точного счета, используемой большинством участников в задаче с неограниченной числовой строкой.Точки представляют собой средние оценки местоположения целевого числа для одного участника. Серые линии представляют повторяющийся образец ошибки. Кривизна ошибки описывается b , смещение и степень смещенного сегмента описываются d , размером рабочего окна чисел. В этом примере рабочее окно составляет около пяти, а смещение — это характеристический показатель больше 1.

Где X — целевое число, b — характеристический показатель, а d — размер рабочего окно.

Для каждого участника мы рассчитали среднюю оценку каждого целевого числа из всех испытаний. Затем мы проверили соответствие четырех моделей методами GNLS. Были использованы следующие модели: линейная модель, модель с одним гребешком, с двумя гребешками и с несколькими гребешками. Каждый участник был отнесен к модели наилучшего соответствия на основе критерия согласия AIC. Мы оценили глобальную пригодность моделей по модели, которая подходит большинству участников. Четверо участников были определены как линейные, 20 соответствовали модели одиночного гребешка, 16 соответствовали модели двойного гребешка и 12 соответствовали модели множественного гребешка.Таким образом, 92% участников были лучше всего классифицированы SPM. Критические показатели, описывающие численное смещение, SPM (M = 1,11, SD = 0,2) значительно отличались от 1 (t (47) = 3,4, p <0,01). Среднее рабочее окно составляло 10,6 для SPM, который включал параметр (двойной и мульти). Среднее значение пересечения линейной модели составило -1,21, а средний наклон - 1,56. Поскольку было всего 4 линейных наблюдения, мы не оценивали значимость. R ² в среднем составлял 0,95 для SPM и.975 для линейной модели. показывает некоторых участников, данные которых лучше всего предсказывала каждая из моделей.

отображает среднюю SD участников как функцию от целевого числа. Среднее стандартное отклонение увеличивалось с увеличением целевого числа, так что дисперсия ошибки составляла постоянную долю целевого числа для всех чисел больше 5. Этот образец согласуется со скалярной дисперсией (Гиббон, 1977).

Обсуждение

Как и в эксперименте 1, участники показали положительно ускоряющуюся числовую погрешность.В отличие от эксперимента 1, ошибка участников увеличилась до скалярной дисперсии с 2–5 и осталась стабильной при скалярной дисперсии для величин больше пяти. Мы обсудим эти результаты ниже.

Общее обсуждение

В эксперименте 1 мы представили участникам задачу с ограниченной числовой линией, аналогичную той, которую использовали Зейглер и Опфер (2003) и их коллеги. Наши результаты показывают, что взрослые используют стратегию оценки пропорций, которая делает их предвзятые оценки линейными. В эксперименте 2 мы представили участникам задачу с неограниченной числовой линией, которая успешно устранила использование стратегии оценки пропорций.Оба эксперимента 1 и 2 выявили ускоряющую степенную функцию числового смещения. Кроме того, в то время как дисперсия ошибок в задаче с ограниченной числовой линией подавлялась границами, в задаче с неограниченной числовой линией присутствовал шаблон ошибки скалярной дисперсии. Текущие данные предполагают, что обе задачи используют одну и ту же основную структуру числового познания, но данные об ошибках предполагают, что задача с неограниченной числовой линией является более чистой мерой целочисленного представления.

Задача числовой прямой часто используется для оценки психологического представления целых чисел.Психологическое представление каждого целого числа (ψ _i ) можно описать относительным расположением (μ _i ) и дисперсией (σ _i ) психологического распределения, описывающего наше понимание количества этого целого числа:

Воспринимаемое среднее расстояние — это психологическая конструкция, связанная со средним расстоянием между психологическими распределениями, представляющими последовательные целые числа на психологической числовой линии:

Воспринимаемое среднее расстояние дает понимание структуры нашей психологической числовой линии, но само по себе не дает информации о том, насколько хорошо люди могут различать два последовательных целых числа.Задачи как с ограниченной, так и с неограниченной числовой линией показывают положительно ускоряющуюся степенную функцию, описывающую воспринимаемое среднее расстояние между последовательными целыми числами. Этот результат был неожиданным, потому что ни одна из основных теорий не делает таких предсказаний. Тем не менее, очень немногие эмпирические исследования оценивают воспринимаемое среднее расстояние без использования ограниченной числовой линии ⁵ . В результате мало что известно о воспринимаемом среднем расстоянии между целыми числами. Наши данные предоставляют поразительное новое свидетельство, которое может помочь нам глубже понять расположение целых чисел на психологической числовой линии.

Большинство эмпирических исследований, посвященных числовой систематической ошибке, оценивают воспринимаемую разницу . Воспринимаемая разница может быть концептуализирована как степень перекрытия психологических распределений, связанных с двумя последовательными целыми числами, и может быть формализована следующей формулой:

(μi − μi − 1) (σi + σi − 1) 2

(7)

Воспринимаемая разница дает понимание того, насколько хорошо люди могут различать два следующих друг за другом целых числа. Два целых числа с распределениями, которые сильно перекрываются (небольшая воспринимаемая разница), труднее различить, чем два целых числа с распределениями, которые имеют небольшое перекрытие (большая воспринимаемая разница).Большинство численных исследований познания выявили отрицательно ускоряющуюся функцию воспринимаемого различия (например, Campbell, 2005).

Дисперсия ошибок — критический компонент формулы воспринимаемой разницы. Задачи с ограниченными и неограниченными числовыми линиями выявляют различные модели ошибок восприятия. Тип ошибки, связанный с задачей ограниченной числовой линии, был функцией стратегии оценки пропорции. Поэтому мы не учитываем его при отображении психологического представления целых чисел.Напротив, образец ошибки, связанный с задачей неограниченной числовой линии, был скалярным, что согласуется с текущими теориями целочисленного представления. Скалярная дисперсия, связанная с распределениями ошибок, наблюдаемыми в эксперименте 2, имеет важные последствия для воспринимаемой разницы между целыми числами. Скалярная дисперсия (знаменатель уравнения 7) подавляет положительно ускоряющую функцию воспринимаемого среднего расстояния (числитель в уравнении 7), что приводит к отрицательно ускоряющей воспринимаемой функции различия.Таким образом, по мере увеличения целевого числа воспринимаемая разница между последовательными целыми числами уменьшается. Этот вывод согласуется как с линейной, так и с логарифмической моделями целочисленного представления (и с большинством опубликованных данных по этой теме). представляет собой описание психологического представления целых чисел на основе данных нашей неограниченной числовой линии.

График воспринимаемой разницы и расстояния между числами. Ось x представляет оценки целевых чисел, а ось y представляет плотность.Каждая кривая представляет собой психологическую конструкцию обозначенного целевого числа. Между средними значениями больших чисел больше воспринимаемых расстояний, чем меньшими числами. Тем не менее, воспринимаемая разница между числами уменьшается по мере увеличения целевого числа, потому что увеличивается количество целевых чисел, совпадающих с распределением.

Если кто-то принимает, что задачи с ограниченной числовой линией являются допустимой мерой оценки пропорции, а неограниченная задача — допустимой мерой целочисленной оценки, связь между результатами этих двух задач дает некоторые подсказки о когнитивных структурах, лежащих в основе нашего понимания пропорция и целые числа.Сходство воспринимаемых оценок среднего расстояния, извлеченных из ограниченных и неограниченных задач, предполагает, что наше понимание пропорций основывается на нашем понимании целых чисел. Различие в паттернах ошибок подтверждает предположение о том, что, хотя наше понимание пропорций основано на нашем понимании целых чисел, психологическая конструкция пропорции, вероятно, отличается от таковой у целых чисел (Cohen, 2010). Для дальнейшего разделения этих двух конструкций требуется дополнительное исследование этого вопроса.

Таким образом, мы обнаружили, что числовое смещение в оценках лучше всего описывается функцией ускоряющей мощности как в задачах с ограниченными, так и с неограниченными числовыми линиями. Это говорит о том, что обе задачи связаны с одинаковыми психологическими конструкциями. Однако стратегия оценки пропорции, используемая в задаче ограниченной числовой линии, позволила получить меры дисперсии ошибок, связанных с оценкой пропорции. Напротив, задача с неограниченной числовой линией выявила скалярную дисперсию ошибки, которая согласуется с целочисленной оценкой.Этот паттерн, вместе с ускоряющейся функцией воспринимаемого расстояния, привел к отрицательному ускорению воспринимаемой функции различия, повсеместно распространенной в литературе по числовому познанию. Мы пришли к выводу, что задача неограниченной числовой линии является более чистой мерой числового смещения целых чисел, чем задача неограниченной числовой линии.

Благодарности

Эта работа поддержана грантом NIH RO1HD047796.

Сноски

¹ Зиглер и Опфер (2003) неофициально обсуждают возможные стратегии пропорций.

² Мы оценили линейную модель, используя метод GNLS, чтобы получить соответствующую статистику соответствия модели.

³ Мы также провели анализ с 4 циклами (5 контрольных точек). Только данные одного участника лучше всего описывались четырехцикловой моделью (данные изначально были классифицированы как линейные).

⁴ Мы исключили метку «0», потому что она мешала метке «1», когда физическое расстояние до устройства было небольшим. Участники хорошо понимали задачу без физического напоминания о значении левой границы.

⁵ Чтобы оценить воспринимаемое среднее расстояние, экспериментатор должен получить оценку субъективной величины, связанной с целым числом (например, Whalen et al., 1999). Получить такую ​​оценку сложно без использования какой-либо формы задачи прямого оценивания (см. Stevens, 1956). Вместо того, чтобы получать оценки субъективных величин, экспериментаторы часто получают субъективную разницу между двумя целыми числами, которая объединяет воспринимаемое среднее расстояние и дисперсию ошибок.

Информация для авторов

Дейл Дж.Коэн, факультет психологии Университета Северной Каролины в Уилмингтоне, 601 South College Road, Wilmington, NC 28403-5612.

Дарин Блан-Голдхаммер, факультет психологии, Университет Северной Каролины, Уилмингтон, 601 South College Road, Wilmington, NC 28403-5612.

Ссылки

• Banks WP, Hill DK. Кажущаяся величина числа, вычисленная случайным образом. Журнал экспериментальной психологии Монография. 1974. 102: 353–376. [Google Scholar]
• Barth HC, Paladino AM.Развитие числовой оценки: свидетельства против репрезентативного сдвига. Наука о развитии (в печати) [PubMed] [Google Scholar]
• Бертелетти И., Луканджели Д., Пьяцца М., Дехаене С., Зорзи М. Численное оценивание у дошкольников. Психология развития. 2010. 46: 545–551. [PubMed] [Google Scholar]
• Booth JL, Siegler RS. Различия в развитии и индивидуальные различия в чисто числовой оценке. Психология развития. 2006; 41: 189–201. [PubMed] [Google Scholar]
• Кэмпбелл Дж.Справочник по математическому познанию. Психология прессы; Нью-Йорк: 2005. [Google Scholar]
• Cohen DJ. Доказательства для прямого извлечения информации об относительных количествах в задаче количественной оценки: десятичные дроби, целые числа и роль физического сходства. Журнал экспериментальной психологии: обучение, память и познание. 2010; 36: 1389–1398. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
• Коэн Д. Д., Феррелл Дж. М., Джонсон Н. Что означают очень маленькие числа. Журнал экспериментальной психологии: Общие.2002. 131: 424–442. [PubMed] [Google Scholar]
• Dehene S, Dupoux E, Mehler J. Является ли цифровое сравнение цифровым? Аналоговые и символьные эффекты при сравнении двузначных чисел. Журнал экспериментальной психологии: человеческое восприятие и производительность. 1990; 16: 626–641. [PubMed] [Google Scholar]
• Geary DC, Hoard MK, Nugent L, Byrd-Craven J. Развитие представления числовой прямой у детей с математической неспособностью к обучению. Нейропсихология развития. 2008; 33: 277–299. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
• Гиббон ​​Дж.Теория скалярного ожидания и закон Вебера для определения времени животных. Психологический обзор. 1977; 84: 279–325. [Google Scholar]
• Gibbon J, Church RM. Оставшееся время: линейное и логарифмическое субъективное время. Журнал экспериментальной психологии: процессы поведения животных. 1981; 7: 87–108. [PubMed] [Google Scholar]
• Hollands JG, Dyre BP. Пропорциональные суждения: модель циклической власти. Психологический обзор. 2000; 107: 500–524. [PubMed] [Google Scholar]
• Ласки Э.В., Зиглер Р.С. 27 — большое число? Корреляционные и причинно-следственные связи между числовой категоризацией, оценкой числовой линии и сравнением числовой величины.Развитие ребенка. 2007; 78: 1723–1743. [PubMed] [Google Scholar]
• Meck WH, Church RM. Модель управления режимами подсчета и хронометража. Журнал экспериментальной психологии: процессы поведения животных. 1983; 9: 320–344. [PubMed] [Google Scholar]
• Nieder A, Miller EK. Кодирование когнитивной величины: сжатое масштабирование числовой информации в коре головного мозга приматов. Природа. 2003. 37: 149–157. [PubMed] [Google Scholar]
• Опфер Дж. Э., Де Врис Дж. М.. Изменение представления и оценка величины: почему маленькие дети могут проводить более точные сравнения заработной платы, чем взрослые.Познание. 2007; 108: 843–849. [PubMed] [Google Scholar]
• Siegler RS, Booth JL. Развитие численного оценивания у детей раннего возраста. Развитие ребенка. 2004. 75: 428–444. [PubMed] [Google Scholar]
• Зиглер Р.С., Опфер Дж. Э. Развитие численного оценивания: свидетельство множественных представлений числовой величины. Психологическая наука. 2003. 14: 237–243. [PubMed] [Google Scholar]
• Спенс И. Визуальная психофизика простых графических элементов. Журнал экспериментальной психологии: человеческое восприятие и производительность.1990; 16: 683–692. [PubMed] [Google Scholar]
• Стивенс СС. Прямая оценка сенсорных величин — громкости. Американский журнал психологии. 1956; 69: 1–25. [PubMed] [Google Scholar]
• Thompson CA, Opfer JE. Издержки и выгоды репрезентативного изменения: влияние контекста на возрастные и половые различия в оценке символической величины. Журнал экспериментальной детской психологии. 2008. 101: 20–51. [PubMed] [Google Scholar]
• Whalen J, Gallistel CR, Gelman R. Невербальный счет у людей: психофизика представления чисел.Психологическая наука. 1999. 10: 130–137. [Google Scholar]

Что такое изогнутая линия? — Определение, факты и примеры

Кривая линия

Представьте, что муравей должен переместиться из точки A в точку B. Какими способами муравей может добраться из точки A в точку B?

Муравей может пройти несколькими путями, чтобы добраться из точки А в точку Б. На приведенных рисунках показаны некоторые пути, по которым муравей может добраться из точки А в точку Б.

Мы видим, что на первых четырех рисунках муравей изменил свое направление, путешествуя из точки A в точку B, то есть он не следовал одному постоянному направлению.Однако на последнем рисунке муравей двигался прямо, и расстояние, на которое он перемещался, было самым коротким. Движение от одной точки к другой рождает прямые или изогнутые линии.

Прямая линия	Изогнутая линия
Самая короткая линия, соединяющая любые 2 точки, — это прямая линия. Если точка движется только в одном направлении, мы получаем прямую линию.	Непрямая линия называется изогнутой. Если точка не движется в одном направлении, мы получаем кривую.

Примеры изогнутой линии

Указанные выше буквы и цифры состоят только из кривых.

Не образцы изогнутой линии

Указанные выше буквы и цифры образованы соединением прямых линий.

Изогнутые линии образуют открытые и замкнутые кривые.

Открытые кривые : Примеры открытых кривых:

Замкнутые кривые: Примеры замкнутых кривых.

Круг: Круг — это замкнутая кривая, образующаяся, когда точка движется в плоскости так, что она находится на постоянном расстоянии от своего центра.

Интересный факт Геометрия, раздел математики, имеет дело с различными фигурами и телами, состоящими из прямых и изогнутых линий.

Зонирование: О зонировании — Глоссарий терминов зонирования

Использование дополнительных принадлежностей *

Использование в качестве принадлежностей — это случайное использование, которое обычно встречается в связи с основным использованием.Вспомогательное использование должно проводиться на том же участке зонирования, что и основное использование, к которому оно относится, если только правила округа не разрешают другое место для вспомогательного использования. (Например, дополнительные парковочные места за пределами территории разрешены в некоторых районах зонирования.)

Права воздуха (см. Права на развитие)

Arts Bonus (см. Поощрительное зонирование)

Незавершенное строительство

Правильное строительство соответствует всем применимым правилам зонирования и не требует каких-либо дискреционных действий со стороны Комиссии по городскому планированию или Совета по стандартам и апелляциям.Большинство застройок и расширений в городе правильные.

Пристроенное здание * (см. Здание)

Пособие на чердак

Пособие на чердак

Допуск на чердак — это увеличение на 20 процентов максимальной площади пола (FAR) для обеспечения скатной крыши. Пособие доступно в округах R2X и во всех округах R3 и R4 (кроме R4B).

Пособие на чердак в зонах управления застройкой с меньшей плотностью

За пределами зон управления ростом с низкой плотностью (LDGMA) увеличенная площадь пола должна располагаться непосредственно под скатной крышей и иметь высоту потолка от пяти до восьми футов.

Авторизация

Разрешение — это дискреционное действие, предпринимаемое Комиссия по городскому планированию, часто после неформального обращения в доску (-и) затронутого сообщества, что изменяет определенные требования к зонированию, если определенные выводы встречались.

Базовая высота

Базовая высота здания — это максимально допустимая высота передней стены здания до любого необходимого отступления. От здания требуется соответствие минимальной базовой высоте только тогда, когда высота здания превышает максимальную базовую высоту.

Базовая плоскость *

Базовая плоскость — это горизонтальная плоскость, от которой измеряется высота здания. Он используется в большинстве районов с низкой плотностью и контекстом, а также для собственности, подлежащей зонированию на набережной.Часто базовая плоскость находится на уровне бордюра; на участках с уклоном вверх или вниз от улицы или на больших участках, где здания расположены далеко от улицы, базовая плоскость настраивается для более точного отражения уровня, на котором здание встречается с землей.

Подвал *

Подвал — это этаж здания, высота от пола до потолка которого составляет не менее половины высоты над уровнем бордюра или плоскости основания. Напротив, подвал имеет, по крайней мере, половину своей высоты от пола до потолка ниже уровня бордюра или плоскости основания.Подвал включен в расчет площади дома.

Bioswale

Биозвонок — это элемент ландшафта, предназначенный для улавливания ливневых стоков с прилегающих участков поверхности. Он имеет перевернутые наклонные стороны, которые позволяют дождевой воде стекать в него, и содержит растительность и мульчу, предназначенную для удаления загрязняющих веществ до того, как вода проникнет в почву. Они требуются на некоторых автостоянках, используемых в коммерческих и общественных помещениях.

Блок *

Квартал — это участок земли, ограниченный со всех сторон улицами или сочетанием улиц, общественных парков, полос отвода железных дорог, линий пристани или границ аэропорта.

Блокфронт

Фасад квартала — это часть квартала, состоящая из всех зонируемых участков, выходящих на одну улицу.

Совет по стандартам и апелляциям (BSA)

BSA, состоящая из пяти уполномоченных, назначенных мэром, рассматривает и предоставляет заявки на получение специальных разрешений, как предписано в Постановлении о зонировании, для некоторых предлагаемых застроек и видов использования. BSA также предоставляет отклонения для зонирования участков с нестандартными физическими условиями, строительство которых в противном случае было бы невозможным.Кроме того, Совет заслушивает и принимает решения по апелляциям на определения Департамента строительства.

Бонус (см. Поощрительное зонирование)

Дом *

Здание — это строение, имеющее один или несколько этажей и крышу, которое постоянно прикреплено к земле и ограничено открытыми площадками или линиями земельного участка для зонирования.

Пристроенное здание * примыкает к двум боковым линиям участка или является одним из ряда примыкающих зданий.

A Отдельно стоящее здание * — отдельно стоящее здание, которое не граничит ни с одним другим зданием и где все стороны здания окружены дворами или открытыми площадками в пределах участка для зонирования.

Смежное здание * — это здание, которое примыкает к стене или разделяет ее на боковой линии участка с другим зданием на прилегающем участке зонирования, а остальные стороны здания окружены открытыми участками или улицами. . Здание с нулевой линией участка * — это отдельно стоящее здание, которое примыкает к одной боковой линии участка зонирования и не примыкает к каким-либо другим зданиям на прилегающем участке.

Строительный конверт

Оболочка здания — это максимальное трехмерное пространство на участке зонирования, в пределах которого может быть построена конструкция, в соответствии с применимыми мерами контроля высоты, отступа и двора.

Высота здания

Высота здания — это высота здания, измеренная от уровня бордюра или базовой плоскости до крыши здания (за исключением разрешенных препятствий, таких как переборки лифтов).

Строительный сегмент *

Сегмент здания — это часть здания, каждая часть которой имеет одну или несколько жилых единиц, обслуживаемых отдельным входом. Например, ряд пристроенных таунхаусов состоит из строительных сегментов.

навалом

Правила массового строительства — это комбинация элементов управления (размер участка, соотношение площадей, охват участка, открытое пространство, ярды, высота и отступ), которые определяют максимальный размер и размещение здания на участке для зонирования.

Переборка

Переборка — это закрытая конструкция на крыше здания, которая может включать механическое оборудование, резервуары для воды. и доступ на крышу с внутренних лестничных клеток. Это не считается площадью пола, и разрешается превышать требования по высоте зонирования и отступлениям в пределах, указанных в Постановлении о зонировании.

Переборка (см. Набережную)

Подвал

Подвал — это уровень здания, у которого, по крайней мере, половина его высоты от пола до потолка находится ниже уровня бордюра или плоскости основания. Напротив, подвал имеет по крайней мере половину своей высоты от пола до потолка над уровнем бордюра или базовой плоскостью. Подвал не учитывается в расчетах площади.

Сертификация

Сертификация — это недискреционное действие, предпринимаемое Комиссией по городскому планированию или ее председателем, информирующее Департамент строительства о том, что правильная застройка соответствует особым условиям, изложенным в соответствии с положениями Резолюции о зонировании.Сертификация также является началом процесса ULURP, показывая, что Департамент городского планирования определил, что заявка заполнена и готова к официальному публичному рассмотрению.

Обзор качества окружающей среды города (CEQR)

В соответствии с законодательством штата в процессе Городской экологической экспертизы (CEQR) выявляются и оцениваются потенциальные воздействия на окружающую среду дискреционных действий, предлагаемых государственными или частными заявителями.Дискреционное действие, такое как изменение карты зонирования, не может быть начато для публичного рассмотрения до тех пор, пока не будет выпущено «условно отрицательное заявление» или «отрицательное заявление», в котором указывается, что не было выявлено никаких значительных воздействий на окружающую среду, или, если были выявлены какие-либо потенциальные воздействия, Был завершен проект заявления о воздействии на окружающую среду, в котором оценивается значимость выявленных воздействий и предлагаются соответствующие меры по смягчению последствий.

Буква «E», присвоенная участку для зонирования, указывает на участок, на котором должны быть соблюдены экологические требования, прежде чем может быть выдано разрешение на строительство для любого развития, расширения или изменения использования.

Карта города

Карта города — это набор карт, на которых показаны разрешенные улицы, уклоны, парки, пристани и переборки, общественные места и другие установленные законом элементы карты. Это официальная карта Нью-Йорка и основа для карт зонирования в Резолюции о зонировании. В офисе президента каждого района есть карты города.

Градостроительная комиссия (ГТК)

Комиссия по городскому планированию, созданная в 1936 году, представляет собой комиссию из 13 членов, ответственную за проведение планирования, связанного с упорядоченным ростом и развитием города.Комиссия регулярно собирается для проведения общественных слушаний, рассмотрения и голосования по заявлениям, связанным с использованием и улучшением земель, в соответствии с городским законодательством и рассмотрением воздействия на окружающую среду. Мэр назначает председателя, который также является директором Департамента городского планирования (DCP), и еще шесть членов; Президент каждого округа назначает одного члена, а один член назначается Общественным адвокатом. DCP обеспечивает техническую поддержку работы Комиссии.

Коммерческое здание *

Коммерческое здание — это любое здание, используемое только для коммерческих целей, как указано в группах использования с 5 по 16.

Торговый район *

Коммерческий район, обозначенный буквой C (например, C1-2, C3, C4-7), является районом зонирования, в котором разрешено коммерческое использование. Также может быть разрешено использование в жилых и общественных помещениях.

Коммерческое покрытие

Коммерческое наложение — это район C1 или C2, нанесенный на карту в жилых районах для обслуживания местных розничных потребностей (например, продуктовых магазинов, химчисток, ресторанов).Коммерческие оверлейные районы, обозначенные буквами от C1-1 до C1-5 и от C2-1 до C2-5, показаны на картах зонирования в виде рисунка, наложенного на жилой район.

Если на картах зонирования не указано иное, глубина перекрывающихся районов C1, измеренная от ближайшей улицы, составляет 200 футов для районов C1-1, 150 футов для районов C1-2, C1-3, C2-1, C2-2 и C2-3 районы и 100 футов для районов C1-4, C1-5, C2-4 и C2-5. При отображении на длинном измерении блока коммерческие наложения простираются до середины этого блока.

Коммерческое использование

Коммерческое использование — это любое использование в розничной торговле, обслуживании или офисе, перечисленное в группах использования с 5 по 16 или разрешенное специальным разрешением.

Общественный округ (CD)

Город Нью-Йорк разделен на 59 общинных округов. Каждый CD представлен Общественным советом, состоящим из добровольцев-членов сообщества, назначаемых президентом района, которые помогают жителям района и консультируют по вопросам планирования и обслуживания в районе и в городе.

Общественное здание

Общественное здание — это любое здание, занятое исключительно общественным объектом.

Общественное пользование

Общественное учреждение предоставляет образовательные, медицинские, развлекательные, религиозные или другие важные услуги сообществу, которому оно служит. Использование общественных объектов перечислено в группах использования 3 и 4.

Контекстное зонирование

Контекстное зонирование регулирует высоту и размер новых зданий, их отступ от линии улиц и их ширину вдоль фасада улицы, чтобы строить здания, соответствующие характеру существующего района.Жилые и коммерческие районы с суффиксами A, B, D или X являются районами контекстного зонирования.

Преобразование

Переоборудование — это переход здания к другому назначению.

Суд

Корт — это любая открытая площадка, за исключением двора или части двора, которая свободна от самого нижнего уровня до неба и ограничена стенами зданий или стенами зданий и одной или несколькими линиями участков.

Curb Cut

Прорезь на бордюре — это разрез под углом на краю бордюра, который обеспечивает доступ транспортных средств с улицы к подъездной дорожке, гаражу, стоянке или погрузочной платформе.В жилых районах правила ширины и расстояния для бордюров обеспечивают соответствующую парковку у бордюра.

Уровень обочины

Уровень бордюра — средний уровень бордюра, примыкающего к участку зонирования. В целом, это основа для контроля за высотой зданий и отступом в неконтекстных районах со средней и высокой плотностью населения и производственных районах.

Плотность

Плотность относится к максимальному количеству жилых единиц, разрешенных на участке для зонирования.Коэффициенты для каждого района являются приблизительными значениями среднего размера квартиры плюс надбавки на общие площади. Особые правила плотности применяются к смешанным зданиям, в которых используются как жилые, так и общественные объекты.

Особняк * (см. Дом)

Девелопмент

Развитие включает строительство нового здания или другого сооружения на участке для зонирования, перемещение существующего здания на другой участок для зонирования или создание нового открытого использования на участке земли.

Права на развитие

Права на застройку обычно относятся к максимальной площади, разрешенной на участке для зонирования. Когда фактическая застроенная площадь меньше максимально допустимой площади этажа, разница называется «неиспользованные права на застройку». Неиспользованные права на развитие часто называют воздушными правами.

Слияние участков для зонирования — это объединение двух или более соседних участков для зонирования в один новый участок.Неиспользованные права на застройку могут быть переданы с одного лота на другой по праву только в результате слияния участков для зонирования.

A передача прав на застройку (TDR) позволяет передавать неиспользованные права на застройку с одного участка на другой в ограниченных обстоятельствах, как правило, для содействия сохранению исторических зданий, открытых пространств или уникальных культурных ресурсов. Для таких целей может быть разрешено TDR, если передача не может быть осуществлена ​​путем слияния участков для зонирования.В случае здания ориентира, например, перенос может быть произведен по специальному разрешению CPC с участка зонирования, содержащего обозначенный ориентир, на соседний участок зонирования или участок, который находится прямо через улицу, или, для углового участка, другой угол. участок на том же перекрестке.

Дискреционное действие

Дискреционное действие требует рассмотрения и утверждения Комиссией по городскому планированию или Советом по стандартам и апелляциям.Изменения зонирования, специальные разрешения, разрешения и отклонения являются дискреционными действиями.

Журнал

Досье — это официальное описание Департаментом городского планирования предлагаемого мероприятия по землепользованию. Описание досье включено в решение Комиссии и городского совета об одобрении и, за исключением действий Карты города, является юридическим и обязательным описанием действия.

Дормер

Слуховое окно — это разрешенное препятствие в пределах требуемой зоны отступления, которое может превышать высоту здания.В районах с более низкой плотностью населения из наклонной крыши часто выступает окно, через которое свет и воздух проникают на верхние этажи домов. В контекстных районах от R6 до R10 слуховые окна — это части зданий, которым разрешено преодолевать требуемое отступление выше максимальной базовой высоты, чтобы обеспечить разнообразие базовой высоты зданий вдоль улицы. Оба типа слуховых окон имеют ограничения по размеру.

Жилой блок

Жилая единица состоит из одной или нескольких комнат, в которых есть законные кухонные и санитарные помещения, в которых проживают одно или несколько лиц, живущих вместе и ведущих общее домашнее хозяйство, в жилом здании или жилой части здания.

Расширение

Расширение — это надстройка к существующему зданию. что увеличивает площадь дома.

Добавочный номер

Расширение — это расширение существующей площади пола занят существующим использованием.

Забор

В жилых районах максимальная высота ограждения, возведенного вдоль передней линии участка, составляет четыре фута над уровнем земли.Максимальная высота забора по боковой или задней линии участка составляет шесть футов. В большинстве случаев заборы считаются разрешенными препятствиями.

Площадь

Площадь здания — это сумма общей площади каждого этажа здания, исключая механическое пространство, площадь подвала, площадь открытых балконов, лифтов или лестничных переборок и, в большинстве зон зонирования, площадь пола, используемую для вспомогательного оборудования. парковка, расположенная менее чем на 23 фута над уровнем бордюра.

Коэффициент площади (FAR)

Соотношение площади этажа является основным нормативным актом, регулирующим размер зданий. FAR — это отношение общей площади здания к площади его зонирования. Каждый район зонирования имеет FAR, который при умножении на площадь участка зонирования дает максимальную площадь пола, допустимую на этом участке. Например, на участке для зонирования площадью 10 000 квадратных футов в районе с максимальным значением FAR равным 1,0 площадь пола на участке для зонирования не может превышать 10 000 квадратных футов.

FRESH Food Store *

Магазин свежих продуктов — это продуктовый магазин с полным ассортиментом, созданный в районах с недостаточным уровнем обеспеченности услугами за счет стимулирования зонирования, который способствует продаже свежих продуктов питания.

Передний двор * (см. Двор)

Front Yard Line *

Линия переднего двора — это линия, проведенная параллельно передней линии участка на глубине необходимого переднего двора.

Групповая парковка

Групповая автостоянка — это здание, строение или участок, используемые для парковки, которые обслуживают более одной жилой единицы.

Фактор высоты

Коэффициент высоты здания равен общей площади здания, деленной на площадь его участка (в квадратных футах). Как правило, коэффициент высоты равен количеству этажей в здании, построенном без провалов.

Высота здания

Здание с коэффициентом высоты — это здание, содержащее жилые дома, жилой объем которых определяется дополнительным диапазоном коэффициентов высоты, соотношений площадей и открытых пространств и расположен в плоскости экспозиции неба.Нормативы фактора высоты продвигают высокие здания, окруженные открытым пространством. Здания с фактором высоты разрешены только в неконтекстных районах с R6 по R9.

Работа на дому

Домашнее занятие — это бизнес, управляемый жильцом (жителями) жилой единицы, которая является вспомогательной по отношению к жилому помещению. Обычно он ограничивается не более чем 25 процентами площади жилого помещения (максимум 500 кв. Футов). Занятия, которые могут создавать чрезмерный шум, запахи или движение пешеходов, запрещены.

Поощрительное зонирование

Поощрительное зонирование предоставляет бонус, обычно в виде дополнительной площади, в обмен на предоставление общественных услуг или доступного жилья. Существуют поощрительные бонусы за предоставление общественных площадей (частных общественных мест), площадок для изобразительного или исполнительского искусства, модернизации метро, ​​сохранения театров, продовольственных магазинов FRESH и доступного жилья (программа инклюзивного жилья).

Программа инклюзивного жилья

Программа инклюзивного жилья предусматривает два факультативных стимула для использования жилой площади в обмен на создание или сохранение доступного жилья на территории или за ее пределами, преимущественно для семей с низкими доходами.

Исходная программа R10 предусматривает бонус к площади помещений до 20 процентов, увеличивая максимальный FAR с 10,0 до 12,0 для предоставления доступного жилья в соответствующих жилых и коммерческих районах с плотностью R10.

В обозначенных районах инклюзивного жилья * , нанесенных на карту в жилых кварталах со средней и высокой плотностью населения и коммерческих районах с эквивалентной плотностью, можно получить бонус в размере 33 процентов жилой площади за предоставление 20 процентов доступного жилья.Базовый FAR в обозначенных зонах, в большинстве случаев, ниже максимального FAR, разрешенного в том же районе зонирования, расположенном за пределами обозначенной зоны.

Жилье с ограниченным доходом

Жилая единица, соответствующая определению доступного жилья в рамках одной из программ инклюзивного жилья, или любая другая единица жилья с юридически обязательным ограничением семейного дохода на уровне 80 процентов от среднего дохода по району или ниже.

Заполнить жилье (см. Преимущественно застроенные районы)

Жилые-рабочие помещения для художников *

Совместные жилые и рабочие помещения для художников — это помещения в нежилых зданиях, используемые в качестве жилых и рабочих помещений для художников и их семей.

Крупномасштабная разработка

Крупномасштабная застройка — это застройка, обычно включающая несколько участков для зонирования, планируемых как единое целое.Правила крупномасштабной застройки позволяют вносить изменения в различные правила зонирования, такие как распределение площади пола без учета линий зонирования участков, по усмотрению КТК. Такие модификации могут позволить гибкость дизайна для достижения превосходного плана участка.

A крупномасштабная генеральная разработка * — разработка или расширение для любого использования, разрешенного основным правила округа в коммерческих районах (кроме округов C1, C2, C3 и C4-1) и во всех производственных районы.Развитие должно происходить на участке земельный участок площадью не менее 1,5 акра, который может включать существующие постройки.

A крупномасштабная жилая застройка * — это застройка, предназначенная преимущественно для жилых помещений в жилых кварталах, а также в районах C1, C2, C3 и C4-1. Застройка должна быть на участке земли площадью не менее трех акров (130 680 квадратных футов) с минимум 500 жилых единиц или по крайней мере 1,5 акра (65 340 квадратных футов) с минимум тремя основными жилыми зданиями.Существующие здания не могут быть частью крупномасштабной жилой застройки.

Крупномасштабная застройка общественных объектов * — это застройка или расширение преимущественно для использования в общественных объектах в жилых районах и в районах C1, C2, C3 и C4-1. Застройка должна быть на участке земли размером не менее трех акров (130 680 кв. Футов) и может включать существующие постройки.

Район ограниченной высоты

Район с ограниченной высотой может быть наложен на район, обозначенный Комиссией по сохранению достопримечательностей как исторический район.Он нанесен на карту в районах Верхнего Ист-Сайда, Грамерси-парка, Бруклин-Хайтс и Коббл-Хилл. Максимальная высота здания составляет 50 футов в районе LH-1, 60 футов в районе LH-1A, 70 футов в районе LH-2 и 100 футов в районе LH-3.

Лофт

Чердак — это здание или пространство внутри здания, предназначенное для коммерческого или производственного использования, как правило, построенное до 1930 года. В некоторых производственных районах чердаки могут быть преобразованы в жилые помещения по специальному разрешению CPC.

Лот или Зонирование Участок

Участок или участок для зонирования — это участок земли, состоящий из одного налогового участка или двух или более смежных налоговых участков в пределах квартала. Например, многоквартирный дом на одном участке зонирования может содержать отдельные единицы кондоминиума, каждая из которых занимает свой налоговый участок. Точно так же здание, состоящее из ряда таунхаусов, может занимать несколько отдельных налоговых участков в пределах одного участка для зонирования, или два или более отдельно стоящих дома на одном участке для зонирования могут иметь свой собственный налоговый участок.

Участок для зонирования является базовой единицей для правил зонирования и может быть разделен на два или более участков для зонирования, а два или более прилегающих участков для зонирования в одном блоке могут быть объединены при условии, что все полученные участки для зонирования соответствуют применимым нормам.

Угловой участок * — участок зонирования, примыкающий к точке пересечения двух и более улиц; это также участок для зонирования, полностью ограниченный улицами.

Внутренний участок * — это любой участок зонирования, который не является ни угловым, ни сквозным.

A через участок * — это любой участок для зонирования, который соединяет две, как правило, параллельные улицы, и не является угловым участком.

Площадь участка

Площадь участка — это площадь (в квадратных футах) зонируемого участка.

Лот Покрытие

Покрытие участка — это та часть зонируемого участка, которая, если смотреть сверху, закрывается зданием.Допустимые препятствия не учитываются при расчете покрытия участка.

Глубина лота

Глубина участка — это среднее расстояние по горизонтали между линией переднего участка и линией заднего участка зонируемого участка.

Линия участка

или линия участка зонирования

Линия земельного участка или линия участка зонирования является границей участка зонирования.

A Передняя линия участка *, также известная как линия улицы, является той частью линии зонирования участка, которая выходит на улицу.

A Задняя линия участка * — это любая линия участка, которая обычно параллельна линии улицы, ограничивающей зонируемый участок, и не пересекает линию улиц.

A побочная линия лота * — это любая линия лота, которая не является ни передней линией, ни задней линией лота.

Ширина участка

Ширина участка — это среднее расстояние по горизонтали между боковыми линиями участка зонирования.

Зона управления ростом с низкой плотностью

Зона управления ростом с низкой плотностью — это обозначенная зона, которая, как правило, удалена от остановок общественного транспорта и характеризуется быстрым ростом и высоким уровнем владения автомобилями, например Статен-Айленд или район Трогс-Нек в Бронксе. Новые застройки должны предоставить больше парковок во дворе, большие дворы и больше открытого пространства, чем в противном случае потребовалось бы в нанесенных на карту районах зонирования.

Манхэттен Ядро

Ядро Манхэттена простирается от южной оконечности Манхэттена у Бэттери до 110-й Западной улицы в Вест-Сайде и 96-й Ист-Стрит в Ист-Сайде.Это территория, охватываемая муниципальными районами Манхэттена с 1 по 8.

Производственный район

Производственный район, обозначенный буквой M (например, M1-1, M2-2), является районом зонирования, в котором разрешены производственные, коммерческие и некоторые общественные объекты. Промышленное использование регулируется рядом стандартов производительности. Жилая застройка не допускается, за исключением районов с M1-1D по M1-5D по разрешению CPC и в районах M1-6D по праву или по сертификации CPC.

Использование в производстве

Производственное использование — это любое использование, указанное в Группе использования 17 или 18, или промышленное использование, разрешенное только специальным разрешением.

Смешанный корпус *

Смешанное здание — это здание в коммерческом районе, используемое частично для жилого, частично для общественного или коммерческого использования.

Когда здание предназначено для более чем одного использования, максимальный FAR, разрешенный на участке зонирования, является самым высоким FAR, разрешенным для любого из видов использования, при условии, что FAR для каждого использования не превышает максимальный FAR, разрешенный для этого использования.Например, в районе C1-8A, где максимальный коммерческий FAR равен 2,0, а максимальный FAR для жилого дома равен 7,52, общий разрешенный FAR для смешанного жилого / коммерческого здания будет 7,52, из которых может применяться не более 2,0 FAR. в торговую площадь.

Район смешанного использования *

Район смешанного использования — это район особого назначения, в котором один набор правил применяется ко многим различным районам, показанным на картах зонирования как MX с цифровым суффиксом (например, MX-8).В районах MX район M1 соединен с жилым районом (например, M1-2 / R6), и новые жилые и нежилые использования разрешены по праву в одном здании. В этом районе здание, предназначенное для жилого и любого другого назначения, является зданием смешанного использования.

Узкая улица * (см. Улица)

Несоответствие или Несоответствие

Несоответствующее здание — это любое здание, которое больше не соответствует одному или нескольким основным нормам применимого района зонирования.Степень несоблюдения не может быть увеличена. Правила, регулирующие здания, не отвечающие требованиям, можно найти в главе 4 статьи V Резолюции о зонировании.

Несоответствие или Несоответствие

Несоответствующее использование — это любое использование, которое больше не соответствует одному или нескольким правилам использования соответствующего района зонирования. Степень несоответствия не может быть увеличена. Положения, регулирующие использование в несоответствии, можно найти в статьях V, главах 2 и 3, Резолюции о зонировании.

Открытое пространство *

Открытое пространство — это часть участка жилого зонирования (который может включать корты или дворы), который открыт и беспрепятственно от его нижнего уровня до неба, за исключением особых разрешенных препятствий, и доступный и пригодный для использования всем лицам, занимающим жилые единицы на зонирование участка. В зависимости от района количество необходимого открытого пространства определяется соотношением открытого пространства, минимальными правилами двора или максимальной площадью участка.

Коэффициент открытого пространства (OSR)

Коэффициент открытой площади — это количество открытого пространства, необходимое на участке для жилого зонирования в неконтекстных районах, выраженное в процентах от общей площади участка для зонирования. Например, если для здания с площадью пола 20 000 квадратных футов ЛАРН составляет 20, на участке для зонирования потребуется 4 000 квадратных футов открытого пространства (0,20 × 20 000 квадратных футов).

Оверлейский район

Дополнительный район — это район, наложенный на другой район, который заменяет, изменяет или дополняет основные правила.Районы с ограниченной высотой и коммерческие районы наложения являются примерами районов наложения.

парных округов

Парный район соответствует району M1 с районом от R3 до R10 (например, M1-5 / R10), чтобы разрешить сочетание жилых и нежилых видов использования (коммерческое, общественное, легкое производство) в одном и том же районе зонирования, блок или здание. Парные районы нанесены на карту в районах особого смешанного использования и в Специальном районе смешанного использования Лонг-Айленд-Сити.

Парапет

Парапет — это невысокая стена или защитный барьер, который возвышается вертикально над крышей здания или другого сооружения. Стена парапета высотой не более четырех футов является допустимым препятствием и может преодолевать максимальную высоту или требуемую зону отступления.

Категория требований к парковке (PRC)

Требования к парковке для коммерческого использования сгруппированы в девять категорий требований к парковке в зависимости от совместимости использования и объема генерируемого трафика.

Стандарт производительности

Стандарт производительности — это минимальное требование или максимально допустимый предел шума, вибрации, дыма, запаха и других эффектов промышленного использования, перечисленных в группах использования 17 и 18.

Стена по периметру

Стены по периметру — это самые внешние стены здания в районе с меньшей плотностью, которые охватывают площадь пола и поднимаются от базовой плоскости до указанной максимальной высоты.

Разрешенное препятствие

Допустимое препятствие — это конструкция или объект, который может располагаться в требуемом дворе или открытом пространстве или преодолевать предел высоты, зону отступления или плоскость экспонирования неба.Балкон, решетка, кондиционер, желоб или забор — допустимое препятствие в необходимых дворах или открытом пространстве. Определенные конструкции на крыше, такие как переборки лифтов, водонапорные башни или парапеты, являются разрешенными препятствиями, которые могут преодолевать пределы высоты, зоны отступления или плоскости, открывающие доступ к небу.

Pierhead Line (см. Набережную)

Посадочные полосы

Посадочные полосы — это участки с травой, простирающиеся по краю бордюра, в пределах которых высаживаются уличные деревья в районах от R1 до R5.Посадочные полосы необходимы для улучшения городского пейзажа в определенных районах.

Зона преимущественно застройки

Преимущественно застроенная территория — это блокпост, полностью расположенный в районе R4 или R5 (без суффикса), в котором дополнительные правила, разрешающие более высокие соотношения площадей этажей и более низкие требования к парковке, могут использоваться для создания заполняемого жилья. Не менее 50 процентов площади квартала должны быть заняты участками зонирования, застроенными застройками, а участок зонирования, который будет застроен застройкой, не может превышать 1.5 акров (65340 квадратных футов). Правила заполнения не могут использоваться для перепланировки участка, занятого одно- или двухквартирным или двухквартирным домом, за исключением случаев, когда блок-фасад преимущественно застроен прилегающим или многоквартирным домом.

Частная дорога

Частная дорога — это полоса отвода, которая дает доступ для транспортных средств к застройкам с пятью или более жилыми домами, расположенными на расстоянии не менее 50 футов от общественной улицы в районах от R1 до R5. Застройки на частных дорогах должны соответствовать особым правилам проектирования.В зонах управления застройкой с меньшей плотностью отвода полоса отчуждения, которая обеспечивает доступ к трем или более жилищным единицам, является частной дорогой.

Частное общественное пространство

Частное общественное пространство — это благоустройство, предоставляемое и поддерживаемое собственником для общественного пользования, обычно в обмен на дополнительную площадь пола. Расположенные в основном в центральных деловых районах Манхэттена с высокой плотностью населения, эти пространства обычно имеют форму галереи или общественной площади с сидячими местами и ландшафтным дизайном и могут располагаться внутри или снаружи здания.

Общественный парк

Общественный парк — это любой принадлежащий государству парк, детская площадка, пляж, бульвар или проезжая часть, находящиеся под юрисдикцией и контролем Уполномоченного по паркам и зонам отдыха г. Нью-Йорка. Обычно в общественных парках правила зонирования не распространяются.

Общественная парковка, гараж

Общественный гараж — это здание или часть здания, которое ежедневно используется для общественной парковки. Общественная парковка в гараже может включать в себя дополнительные парковочные места вне улицы для использования на той же территории.

Общественная парковка

Общественная парковка — это участок земли, который ежедневно используется для общественной парковки и не является вспомогательным для использования на том же или другом участке для зонирования.

Public Plaza

Общественная площадь — это открытая территория, находящаяся в частной собственности, прилегающая к зданию и доступная для публики. Как правило, он должен быть на уровне тротуара, к которому он примыкает, и не иметь препятствий к небу, за исключением сидячих мест и других разрешенных удобств.В некоторых районах с высокой плотностью зонирования за предоставление общественной площади предоставляется бонус к общей площади.

Квалификационный цокольный этаж

Первый этаж застройки или расширения здания Качественного жилья, где начало второго этажа находится на высоте 13 футов или более над уровнем тротуара и, в некоторых случаях, где соблюдены дополнительные условия дополнительного использования. В некоторых районах зонирования зданиям с квалификационным цокольным этажом разрешается более высокая максимальная базовая и общая высота.

Программа качественного жилья

Программа «Качественное жилье», обязательная в контекстных жилых районах от R6 до R10 и необязательная в неконтекстных районах с R6 по R10, способствует развитию, соответствующему характеру многих традиционных кварталов. Его правила для массового строительства устанавливают ограничения по высоте и позволяют строить здания с высокой площадью покрытия, которые устанавливаются на линии улиц или рядом с ними. Программа качественного жилья также требует наличия благоустройства внутреннего пространства, зон отдыха и озеленения.

Железная дорога или транзитное воздушное пространство

Железнодорожное или транзитное воздушное пространство — это пространство непосредственно над открытой железной дорогой или транзитной полосой отчуждения или площадкой, существующее на 27 сентября 1962 года или после этой даты. Развитие может быть разрешено только по специальному разрешению КТК.

Задний двор * (см. Двор)

Эквивалент

для заднего двора (см. Двор)

Резиденция *

Резиденция состоит из одной или нескольких жилых единиц или комнат для проживания, а также любых общих частей, включая односемейные и двухквартирные дома, многоквартирные дома или апарт-отели.

A односемейный дом * — здание на участке зонирования, содержащее одну жилую единицу, занимаемую одним домохозяйством.

A двухквартирный дом * — здание на участке зонирования, содержащее две жилые единицы, занимаемые двумя домохозяйствами. В районах R3-1, R3A, R3X, R4-1 и R4A в двухквартирных домах, как отдельно стоящих, так и двухквартирных, должно быть не менее 75% одной жилой единицы непосредственно над или под другой.

Многоквартирный дом — здание на участке зонирования, содержащее не менее трех жилых единиц.

Жилой район

Район проживания, обозначенный буквой R (например, R3-2, R5, R10A), является районом зонирования, в котором разрешены только жилые дома и общественные объекты.

, эквивалент жилого района

Эквивалент жилого района — это обозначение жилого района, присвоенное району C1, C2, C3, C4, C5 или C6, которое устанавливает правила жилищной застройки в пределах района.Например, любая жилая застройка в районе C4-4 должна соответствовать основным правилам его жилого эквивалента, района R7.

Жилое использование

Жилое использование — это любое использование, указанное в группе использования 1 (отдельные дома для одной семьи) или группе использования 2 (все другие типы жилой застройки).

Ограничительная декларация

Ограничительное заявление — это договор, действующий с землей, который связывает настоящих и будущих владельцев собственности.Ограничительные декларации используются для выполнения условий утверждения землепользования или обеспечения реализации мер по смягчению воздействия на окружающую среду и компонентов проекта.

Rezoning

Изменение зонирования или переназначение происходит, когда обозначение (я) зонирования для области изменяется на карте зонирования для облегчения политических инициатив, таких как сохранение кварталов и содействие экономическому развитию вокруг транзитных узлов. Поправка к карте зонирования подлежит рассмотрению ULURP.

Совместный дом * (см. Корпус)

Сетбэк, дом

Неудача — это часть здания, которая возвышается над базовая высота (или уличная стена, или стена по периметру) перед достигнута общая высота здания. Положение отступа застройки в районах с фактором высоты контролируется плоскостями экспозиции неба, а в контекстуальных районах — заданные расстояния от стен улиц.

Неудачников, передний двор или уровень земли

дворов необходимо в районах от R1 до R5; правила, регулирующие глубину открытых площадок на уровне земли между передней стеной здания и линией улицы, применяются в районах от R6 до R10. Передние дворы и открытые площадки должны быть озеленены и иметь минимальную глубину, соответствующую следующим требованиям:

R2A, R3A, R3X, R4A, R4-1 и R5A

В районах R2A, R3A, R3X, R4A, R4-1 и R5A, если прилегающие передние дворы глубже минимально необходимого переднего двора, новое здание должно обеспечивать передний двор глубиной не менее одного из соседних дворов, но это не обязательно должно быть глубже 20 футов.

R4B, R5B и R5D

В районах R4B, R5B и R5D, если соседние палисадники глубже, чем минимально необходимый палисадник, то палисадник нового здания должен быть не менее глубиной одного соседнего палисадника и не глубже другого, но она не должна быть глубже 20 футов.

R6B, R7B и R8B

В районах R6B, R7B и R8B уличная стена нового здания на любом участке шириной до 50 футов должна быть такой же глубиной, как одна соседняя стена, но не глубже другой.На участках шириной более 50 футов уличная стена нового здания не может быть ближе к линии улицы, чем уличная стена соседнего здания. Уличную стену не обязательно располагать дальше от линии улицы, чем на 15 футов.

R6A, R7A и R7X

В районах R6A, R7A, 7D и R7X уличная стена нового здания может располагаться не ближе к линии улицы, чем уличная стена любого здания в пределах 150 футов на том же фасаде, но не обязательно дальше от улицы. линия, чем 15 футов.

Shore Public Walkway * (см. Зона общественного доступа на набережной)

Береговая линия (см. Береговая линия)

Лента

Side Lot

Лента бокового участка представляет собой полосу шириной от 8 до 10 футов, которая проходит по длине линии бокового участка участка для зонирования. Он не обязательно должен быть открыт для неба и может проходить через пристроенный дом, расположенный вдоль боковой линии участка.В районах R3, R4 и R5, если ширина участка для зонирования составляет менее 35 футов, парковка должна быть расположена в ленте бокового участка.

Боковой двор * (см. Двор)

Тротуарное кафе

Кафе на тротуаре — это часть заведения общественного питания, расположенного на тротуаре. Правила использования уличных кафе регулируются Департаментом по делам потребителей.

Закрытое кафе на тротуаре * — кафе на тротуаре, которое находится внутри строения.

Открытое кафе на тротуаре * содержит легко снимаемые столы, стулья или перила, не покрываемые сверху, кроме зонтов или выдвижных навесов.

A маленькое кафе на тротуаре * — открытое кафе на тротуаре, содержащее не более одного ряда столов и стульев на расстоянии не более 4½ футов от линии улицы, без барьера между кафе и тротуаром.

Знак

Знак — это любая надпись — слова, изображения или символы, — которая прикреплена к зданию или другой конструкции или прикреплена к ним.

Дополнительный знак * привлекает внимание к бизнесу, профессии, товарам, услугам или развлечениям, которые проводятся, продаются или предлагаются на одном и том же участке для зонирования.

Рекламный знак * обращает внимание на бизнес, профессию, товар, услугу или развлечение, которые проводятся, продаются или предлагаются на другом участке для зонирования.

A мигающий знак * — любой световой знак, неподвижный, вращающийся или вращающийся, меняющий свет или цвет.

Световой знак * использует искусственный свет или отраженный свет от искусственного источника.

Эскизные карты

Эскизная карта — это иллюстрация предлагаемого изменения карты зонирования или карты города, которая представляет собой графическую, легко читаемую версию изменения. Эскизная карта прилагается к Уведомлению о сертификации (NOC), когда заявка на изменение карты зонирования или карты города заверяется Департаментом городского планирования и распространяется для всеобщего ознакомления.Эскизные карты ограничены по объему и масштабу и включают только область, затронутую предлагаемым действием, и не обязательно отражают окончательное действие.

Самолет для съемки неба

Плоскость экспонирования неба — это виртуальная наклонная плоскость, которая начинается на определенной высоте над линией улицы и поднимается внутрь над участком зонирования с отношением вертикального расстояния к горизонтальному расстоянию, установленным в правилах округа. Здание не должно проходить через плоскость экспонирования неба, которая предназначена для обеспечения света и воздуха на уровне улицы, в первую очередь в районах со средней и высокой плотностью населения.

Sliver Building

Высокое здание или пристройка шириной 45 футов или меньше в районе R7-2, R7X, R8, R9 или R10 обычно называют ленточным зданием. Такие здания обычно ограничены высотой, равной ширине примыкающей улицы или 100 футов, в зависимости от того, что меньше.

Специальное разрешение

Специальное разрешение — это дискреционное действие Комиссии по городскому планированию (CPC), подлежащее проверке ULURP, или Совета по стандартам и апелляциям (BSA), которые могут изменять правила использования, парковки или парковки при определенных условиях и выводах, указанных в Решение о зонировании выполнено.Заявки на получение специальных разрешений в рамках юрисдикции КТК обычно касаются использования или массовых модификаций с потенциалом более значительных воздействий на землепользование, чем те, которые рассматриваются BSA.

Округ особого назначения

Регламенты для районов специального назначения разработаны для дополнения и изменения лежащего в основе зонирования, чтобы реагировать на особые районы с конкретными проблемами и целями. Районы специального назначения показаны в виде наложений на карты зонирования и включены в статьи VIII – XIII Постановления.

Сплит Лот

Разделенный участок — это участок для зонирования, расположенный в двух или более районах зонирования и разделенный границей района зонирования. В большинстве случаев правила зонирования для каждого района должны применяться отдельно для каждой части участка. Особые правила зонирования участков, существовавшие до 1961 года или до любого повторного зонирования участков, можно найти в главе 7 статьи VII Резолюции о зонировании.

Правило 25 футов

Правило 25 футов применяется к существующему участку зонирования, разделенному между двумя или более районами зонирования, которые разрешают различное использование или имеют разные правила массового использования (например, C1-9 и R8B).Когда ширина одного района составляет 25 футов или меньше в каждой точке, правила использования и массового использования более крупного района могут применяться ко всему участку зонирования.

Рассказ

Этаж — это часть здания между поверхностью одного этажа и потолком непосредственно над ним. Подвал не считается историей.

улица (индекс

)

Улица — это любая дорога (кроме частной), шоссе, бульвар, проспект, переулок или другой путь, показанный на Карте города, или дорога шириной не менее 50 футов и предназначенная для общественного пользования, которая соединяет дорогу, указанную на карте города. Карта города на другой такой же путь или на здание или строение.Под улицей понимается вся проезжая часть (включая тротуары).

A узкая улица * — улица длиной менее 75 футов широкий.

A широкая улица * — улица шириной 75 футов или более. Большинство правил, применимых к широким улицам, также применимы к зданиям на пересекающихся улицах в пределах 100 футов от широкой улицы.

Street Line *

Линия улицы — это линия переднего участка, отделяющая участок от улицы.

Street Wall

Уличная стена — это стена или часть стены здания, выходящая на улицу.

Дополнительная зона общественного доступа * (см. Зона общественного доступа на набережной)

Налог Лот

Налоговый лот — это земельный участок, которому присвоен уникальный район, квартал и номер лота для целей налога на имущество.Участок для зонирования включает в себя один или несколько смежных налоговых участков в пределах квартала.

Башня

Башня — это часть здания, которая выходит за пределы плоскости экспонирования неба и допускается только в определенных районах города с высокой плотностью населения. Башня может использоваться в жилых, коммерческих или общественных помещениях.

Стандарт , правила для башен обычно разрешают башенной части здания занимать не более 40 процентов площади зонируемого участка или до 50 процентов на участках менее 20 000 квадратных футов.Башенная часть здания должна располагаться на расстоянии не менее 10 футов от широкой улицы и не менее 15 футов от узкой улицы. Эти правила изменены для разных целей и районов.

A башня на основании требует контекстного основания высотой от 60 до 85 футов, которое непрерывно проходит вдоль линии улицы. Высота башни контролируется минимальным требованием к покрытию участка и правилом, согласно которому не менее 55 процентов площади пола на участке зонирования должны располагаться ниже высоты 150 футов.На широкой улице в районах R9 и R10 и их эквивалентах C1 или C2 здание, включающее жилую башню, должно соответствовать правилам размещения башни на основании в дополнение к стандартным правилам башни.

Передача прав на развитие (см. Права)

Транзитная зона

Район, где действуют особые требования к более низким дополнительным парковкам для различных типов доступного жилья, включая жилые единицы с ограниченным доходом.Как правило, это районы города за пределами ядра Манхэттена в пределах полумили от станции метро, ​​где уровень владения автомобилями является одним из самых низких в городе.

Единая процедура проверки землепользования (ULURP)

Единая процедура проверки землепользования (ULURP) — это процесс публичной проверки, предусмотренный Уставом города, для всех предлагаемых поправок к карте зонирования, специальных разрешений и других действий, таких как выбор и приобретение участков для капитальных проектов города и отчуждение городской собственности.ULURP устанавливает временные рамки и другие требования для участия общественности на уровне Совета сообщества, Совета района и президента района, а также для общественных слушаний и решений советов сообщества, президентов районов, Комиссии по городскому планированию (CPC) и городского совета. Поправки к тексту зонирования проходят аналогичный процесс проверки, но без ограничения по времени для проверки CPC.

Upland Connection * (см. Зона общественного доступа на набережной)

Использовать

Использование — это любая деятельность, занятие, бизнес или операция, перечисленные в группах использования с 1 по 18 или указанные в специальном разрешении, которые осуществляются в здании или на участке земли.Определенное использование разрешено только по специальному разрешению CPC или BSA.

Используйте группу

Использование со схожими функциональными характеристиками и / или нежелательными воздействиями и, как правило, совместимо друг с другом, включено в одну или несколько из 18 групп, которые классифицируются как использование в жилых помещениях (группы использования 1–2), виды использования в общественных учреждениях (группы использования 3– 4), использование в розничной торговле и сфере обслуживания (группы использования 5–9), использование в региональных коммерческих центрах / развлекательных заведениях (группы использования 10–12), использование на набережной / рекреационных целях (группы использования 13–15), использование в тяжелых транспортных средствах (группа использования 16) и промышленное использование (группы использования 17–18).Таблицы групп использования можно найти в главе 2 статей II, III и IV Резолюции о зонировании.

Разница

Отклонение — это дискреционное действие Совета по стандартам и апелляциям, которое освобождает от использования и массовых положений Резолюции о зонировании в той мере, в какой это необходимо для обеспечения разумного или практического использования земли. Отклонение может быть предоставлено после публичных слушаний, когда уникальные условия на конкретном земельном участке вызовут практические трудности и неоправданные трудности владельца собственности, если он был разработан в соответствии с применимыми положениями.

План доступа

Waterfront Access Plan (WAP)

План доступа к набережной — это детальная основа, изложенная в Постановлении о зонировании, которая адаптирует правила массового доступа к набережной и требования общественного доступа к конкретным условиям конкретной береговой линии. Развитие индивидуальных участков на набережной, регулируемое планом, вызывает требование о строительстве и обслуживании зон общественного доступа в соответствии с WAP.

Набережная

Прибрежная зона — это географическая зона, прилегающая к водоему шириной не менее 100 футов, включающая все блоки между линией пирса и параллельной линией в 800 футах от берега.Блоки в пределах набережной подлежат правилам зонирования набережной.

Линия переборок — это линия, показанная на картах зонирования, которая разделяет прибрежные и морские части участков зонирования береговой линии.

Линия пирса — это линия, показанная на картах зонирования, которая определяет крайнюю морскую границу зоны, регулируемой Постановлением о зонировании.

Береговая линия * является средней отметкой высокого уровня воды.

A прибрежный квартал *, прибрежный общественный парк * или прибрежный участок * — это квартал, общественный парк или участок для зонирования в прибрежной зоне, которая примыкает к береговой линии или пересекает ее.

Зона общественного доступа на набережной *

Зона общественного доступа на набережной (WPAA) — это часть участка для зонирования береговой линии, где открытое для общественности пространство предоставляется вдоль береговой линии и вдоль нее.Все WPAA должны быть улучшены озеленением, деревьями, сиденьями и другими удобствами. WPAA может включать в себя береговую общественную пешеходную дорожку, наземное соединение, дополнительную зону общественного доступа, зону общественного доступа на пирсе или плавучей конструкции или любую дополнительную зону, улучшенную для общественного пользования. Минимальная необходимая площадь общественного доступа на набережной — это определенный процент от участка для зонирования.

A прибрежная общественная пешеходная дорожка * — это линейная зона общественного доступа, проходящая вдоль берега.

Подземный переход * — это пешеходная дорога между общественным местом (например, улицей, тротуаром или парком) и общественной пешеходной дорожкой на берегу. Соединение с возвышенностями может быть обеспечено по частной дороге.

A Дополнительная зона общественного доступа * — это зона общественного доступа, необходимая для выполнения минимального процента WPAA, требуемого на участке прибрежного зонирования, после того, как будут обеспечены береговая общественная пешеходная дорожка и наземное соединение.

Двор на набережной *

Двор на набережной — это часть участка береговой зоны, простирающаяся по всей длине береговой линии, которая должна быть открытой и беспрепятственной от самого нижнего уровня до неба, за исключением некоторых разрешенных препятствий. В зависимости от района зонирования минимальная глубина обычно составляет от 30 до 40 футов. Береговые общественные пешеходные дорожки должны быть расположены во дворе набережной.

Wide Street * (см. Улицу)

Окно

, требуется по закону *

Закон требует, чтобы окна в жилых помещениях обеспечивали необходимый свет, воздух и вентиляцию.Законные окна не могут быть расположены на линии участка или ближе, чем на 30 футов от нее.

Двор

Двор — это обязательная открытая площадка вдоль линий участка зонируемого участка, которая должна быть беспрепятственной от самого нижнего уровня до неба, за исключением некоторых разрешенных препятствий. Правила двора обеспечивают свет и воздух между конструкциями.

A Передний двор * проходит по всей ширине передней линии участка.В случае углового участка любой двор, проходящий по всей длине линии улицы, считается передним двором. (См. Также Неудачи, двор перед домом или уровень земли)

A Задний двор * простирается на всю ширину линии заднего участка. В жилых районах минимальная глубина заднего двора составляет 30 футов, за исключением районов R2X. В коммерческих, производственных и R2X районах минимальная глубина заднего двора составляет 20 футов. Угловой участок не требует наличия заднего двора.В коммерческих и производственных районах, а также в некоторых общественных зданиях в жилых кварталах задний двор может быть полностью занят одноэтажным зданием высотой до 23 футов.

A Эквивалент заднего двора * — открытая площадка на проходном участке, необходимая для соблюдения правил заднего двора.

A боковой двор * простирается вдоль боковой линии участка от требуемого переднего двора или от передней линии участка, если передний двор не требуется, до требуемого заднего двора или до задней линии участка, если задний двор отсутствует требуется для.В случае углового участка любой двор, не являющийся передним, считается боковым двором.

Zero Lot Line Building * (см. Здание)

Зональный район

Район зонирования — это жилой, коммерческий или производственный район города, в котором правила зонирования регулируют землепользование и площадь застройки. Районы со специальным зонированием обладают отличительными чертами, где правила адаптированы к району.Районы зонирования показаны на картах зонирования.

Зонирование Участка * (см. Лот)

Зонирование слияния участков (см. Права на застройку)

Карты зонирования

126 карт зонирования г. Нью-Йорка указывают расположение и границы районов зонирования и являются частью Постановления о зонировании. Каждая карта покрывает территорию размером примерно 8000 футов (север / юг) на 12500 футов (восток / запад).