Построение графиков заданных параметрически онлайн: Построить график функции, параметрической функции, график в полярной системе координат онлайн

6. Построение графика функции, заданной параметрически

Пусть имеем две функции и , где — общей для и области определения. Вычисляя при и считаем, что полученное значение есть функция от полученного . Тем самым получаем функцию . Такое приведение, параметрически заданной, функции к явной не всегда возможно и может быть потеряна часть информации. Параметрически заданную функцию удобно тракторвать как уравнение движения точки на плоскости. В момент времени мы знаем координаты точки . Множество всех точек , где , называетя графиком функции или траекторией движения точки. При построении графика получаем направление движения точки.

Основной метод построения графика функции, заданной параметрически, состоит в том, чтобы разбить весь график на монотонные и непрерывные куски (ветви). Монотонную и непрерывную ветвь можно строить по точкам, используя при этом исследование функции на концах промежутка, если на концах хотя бы одна из функций или разрывна.

6.1. Порядок построения графика параметрически заданной функции

• Найти — область определения по общую для и и отметить её на числовой оси , там же отметить точки разрыва функций.

• Найти производные и и их область определения и отметить её на той же числовой оси , также отметить точки разрыва производных.

• Решить уравнения , и нули производных отметить на той же оси.

Тем самым ось будет разбита на промежутки, на каждом из которых , и вместе с ними будут монотонны и непрерывны.

Результат исследования на монотонность функций и оформляют в виде таблицы (см. ниже в решении примера). По таблице строится черновик графика, который позже уточняется нахождением асимптот, участков выпуклости определённого знака и точек перегиба.

6. 2. Асимптоты параметрического графика

• Если при некотором или и , то — горизонтальная асимптота. Пределы слева и справа вычисляются отдельно, т.

к. это могут быть две разные асимптоты. Эти пределы уже бывают вычислены при заполнении таблицы.

• Если , или , то -вертикальная асимптота.

• Если или и или , то возможно, у этой ветви есть наклонная асимптота , где

Если существует, то ищем :

Если — существует, то у соответствующей ветви будет наклонная асимптота .

6. 3. Точки перегиба

Для нахождения участков выпуклости и точек перегиба нужна производная , которая находится по формуле

Исследуем знак , определяем направдение выпуклости, находим точки перегиба, если есть, и корректируем черновик графика.

6.4. Пример построения графика параметрически заданной функции

Пример 18. 21 Построить эскиз графика , .

Решение. Совокупная область определения: .

Найдем , :

Получаем, что не существует при , при , не существует при и в нуль не обращается.

На ось наносим точки , , (см. рис. 40):

Рис. 40. Ось .

Мы получили четыре интервала. На каждом интервале функции , , а вместе с ними и будут непрерывны и монотонны. Осталось найти промежутки изменения функций и . Другими словами, откуда и куда движется точка по плоскости. Результат такого иследования оформляем в виде таблицы. Основных трок в таблице четыре, а столбцов только, сколько отмечено интервалов на оси .

Таблица 14.

Знак
	Убывает	Убывает	Возрастает	Возрастает
	от до	от до	от до	от до
Знак
	Возрастает	Возрастает	Возрастает	Убывает
	от до	от до	от до	от до

Для заполнения первой клетки изменения функции вычисляем

Для первой клетки функции вычисляем

Аналогично заполняются остальные клетки.

В точках непрерывности вычисляем просто значение функции.

Для построения графика читаем таблицу по столбцам. Получаем, что переменная точка движется от точки неограниченно влнво ( — убывает) и одновременно поднимается от до .

В данном случае при имеем горизонтальную асимптоту . Получим монотонную ветвь по которой точка движется влево (см. рис. 41). Правый конец ветви на рис. 41 соответствует , левый — .

Рис. 41. Ветвь графика функции , при .

Остальные три ветви строим аналогично как движение точки в нужном направлении.

Для уточнения графика на ветви найдем хотя бы одну точку. Выберем получим округлённо . На ветви возьмем получим .

Исследуем направление выпуклости. Находим

Наносим на ось точки разрыва функций , и нули . Находим и проставляем знаки . (см. рис.

42).

Рис. 42. Ось и знаки .

При получаем точку перегиба .

При кривая будет выпукла вверх, при — выпукла вниз, при — выпукла вверх, при — выпукла вниз, при — выпукла вниз.

При имеем , , поэтому у ветви может быть наклонная асимптота. Проверим это:

Это значит, что асимптоты не существует. У ветви при проверка показывает отсутствие аимптоты. При — горизонтальная асимптота . Заметим также, что при любых , поэтому график функции находится выше оси .

График функции , изображен на рис. 43.

Рис. 43. График функции , .

Дифференцирование функции, заданной параметрически

Примеры решенийРанг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса Найти производную Найти интегралРешение СЛАУ методом Крамера Диф уравнения онлайнОпределитель матрицы Точки разрыва функции

Зависимость функции y от аргумента x может осуществляться через посредство третьей переменной t, называемой параметром:
В этом случае говорят, что функция y от x задана параметрически. (2/3)

см. также Производная от неявной функции

Пример 1. Найти производную функции y по x, заданной параметрически:
Решение.

.

Запишем функцию y’_x в параметрической форме:
В случае параметрического задания функции первую производную вычисляли по формуле:

(*)

и записывали y’_x тоже в параметрической форме:
К ней снова применим формулу (*) (при условии, что производные второго порядка существуют):

.

Результат тоже записываем в параметрической форме и берем третью производную и т.д. Так можно получить производную от y по x любого порядка.

Пример 2. Найти y’’_xx функции
Решение. Найдем y’_x по формуле (*): .
Производную y’_x запишем в параметрической форме
К этой функции снова применим формулу (*):

.

Пример 3. Для функции найти y’’’_xxx.

Решение. тогда и

.

Получаем

Еще раз применяем формулу (*):

.

Если требуется получить зависимость y’’’_xxx от x, то выражаем x из соотношения x=e^—t и подставляем в y’’’_xxx.
Для функций, заданных неявно, производные высших порядков можно находить тем же способом, что и первую производную, так как производная любого порядка сама является функцией, заданной неявно, если ее не разрешать относительно производной предыдущего порядка.
Пример 7. Найти производную первого и второго порядка функции, заданной параметрически:
.
Решение.
;
.
Далее будем искать y’’_xx по формуле
.
Отсюда

.

Производную второго порядка также можно было найти по формуле
.

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

параметрических уравнений: графики | Алгебра и тригонометрия

Цели обучения

В этом разделе вы будете:

• Наносить на график плоские кривые, описываемые параметрическими уравнениями, путем построения точек.
• Граф параметрических уравнений.

Это конец девятого иннинга, с двумя аутами и двумя игроками на базе. Хозяева проигрывают с разницей в два раунда. Тесто раскачивается и ударяет по бейсбольному мячу со скоростью 140 футов в секунду и под углом приблизительно [латекс]\,45°\,[/латекс] к горизонтали. Какое расстояние пролетит мяч? Сможет ли он очистить забор для победного хоумрана? Результат может частично зависеть от других факторов (например, ветра), но математики могут смоделировать траекторию снаряда и приблизительно предсказать, как далеко он пролетит, используя параметрические уравнения. В этом разделе мы обсудим параметрические уравнения и некоторые распространенные приложения, такие как задачи о движении снарядов.

Рисунок 1. Параметрические уравнения могут моделировать траекторию снаряда. (кредит: Пол Крехер, Flickr)

Построение графиков параметрических уравнений с помощью точек

Вместо графического калькулятора или компьютерной графической программы, построение точек для представления графика уравнения является стандартным методом. Пока мы тщательно подсчитываем значения, построение точечных графиков очень надежно.

Как сделать

Имея пару параметрических уравнений, нарисуйте график, нанеся точки.

1. Создайте таблицу с тремя столбцами: [латекс]\,t,x\left(t\right),\text{and}\,\,y\left(t\right).[/latex]
2. Вычислите значения [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] для значений [latex]t[/latex] на интервале, для которого определены функции.
3. Постройте получившиеся пары[латекс]\,\влево(х,у\вправо). {2}+1,\,\,y \влево(т\вправо)=2+т.[/латекс]

   Показать решение

   Анализ

   По мере того, как значения [латекс]\,t\,[/латекс] увеличиваются в положительном направлении от 0 до 5, точки на графике очерчивают верхнюю половину параболы. Когда значения [latex]\,t\,[/latex] становятся отрицательными, они очерчивают нижнюю половину параболы. Ограничений по домену нет. Стрелки указывают направление в соответствии с возрастающими значениями [latex]\,t.\,[/latex] График не представляет функцию, так как он не пройдет тест вертикальной линии. График состоит из двух частей: положительные значения для [latex]t,[/latex] и отрицательные значения для [latex]t[/latex]

   Попробуйте

   Нарисуйте график параметрических уравнений[латекс]\,x=\sqrt{t},\,\,y=2t+3,\,\,\,0\le t\le 3. [/latex]

   Показать решение

   Набросок графика тригонометрических параметрических уравнений

   Построить таблицу значений заданных параметрических уравнений и начертить график:

   [латекс]\begin{array}{l}\\ \begin{array}{l}x =2\mathrm{cos}\,t\hfill \\ y=4\mathrm{sin}\,t\hfill \end{массив}\end{массив}[/latex]

   Показать решение

   Анализ

   Мы видели, что параметрические уравнения можно изобразить в виде графика, нанеся точки. Однако графический калькулятор сэкономит некоторое время и выявит нюансы на графике, которые могут быть слишком утомительными, чтобы обнаруживать их, используя только ручные вычисления.

   Не забудьте изменить режим калькулятора на параметрический (PAR). Для подтверждения в окне [latex]\,Y=\,[/latex] должно отображаться

   [latex]\begin{array}{c}{X}_{1T}=\\ {Y}_{1T} =\end{массив}[/latex]

   вместо [latex]\,{Y}_{1}=.[/latex]

   Попробуйте

   График параметрических уравнений:[латекс]\,х=5\mathrm{cos}\,t,\,\,y=3\mathrm{sin}\,t.[/латекс]

   Показать решение

   Совместное графическое отображение параметрических уравнений и прямоугольной формы

   Графическое отображение параметрических уравнений [латекс]\,x=5\mathrm{cos}\,t\,[/latex]и[латекс]\,y=2\mathrm{sin }\,t.\,[/latex]Сначала постройте график, используя точки данных, сгенерированные из параметрической формы. Затем начертите прямоугольную форму уравнения. Сравните два графика.

   Показать решение

   Анализ

   На (рисунке) данные параметрических уравнений и прямоугольного уравнения нанесены вместе. Параметрические уравнения показаны синим цветом; график для прямоугольного уравнения нарисован поверх параметрического пунктирным красным цветом. Ясно, что обе формы дают один и тот же граф.

   Рис. 5.

   Графики параметрических уравнений и уравнений прямоугольной формы в системе координат sqrt{t},\,\,t\ge 0,\,[/latex] и прямоугольный эквивалент [latex]y=\sqrt{x-1}\,[/latex] в той же системе координат.

   Показать решение

   Анализ

   С доменом [latex]\,t\,[/latex]restricted, мы наносим на график только положительные значения[latex]\,t.\,[/latex]. график прямоугольного уравнения заштрихован красным. И снова мы видим, что эти две формы пересекаются.

   Попробуйте

   Нарисуйте график параметрических уравнений[латекс]\,x=2\mathrm{cos}\,\theta \,\,\,\text{and}\,\,y=4\mathrm {sin}\,\theta ,\,[/latex] вместе с прямоугольным уравнением на той же сетке.

   Показать решение

   Применение параметрических уравнений

   Многие преимущества параметрических уравнений становятся очевидными при их применении для решения реальных задач. Хотя прямоугольные уравнения в x и y дают общую картину пути объекта, они не раскрывают положение объекта в определенное время. Параметрические уравнения, однако, иллюстрируют, как значения x и y изменяются в зависимости от t , как местоположение движущегося объекта в определенное время.

   Обычно параметрические уравнения применяются при решении задач, связанных с движением снаряда. В этом типе движения объект продвигается вперед в направлении вверх, образуя угол [латекс]\тета [/латекс] с горизонтом, с начальной скоростью [латекс]{v}_{0},\, [/latex]и на высоте [latex]h[/latex] над горизонталью.

   Путь объекта, движущегося с наклоном [латекс]\тета[/латекс] к горизонту, с начальной скоростью [латекс]{v}_{0},\,[/латекс] и на высоте [ латекс]h[/латекс] над горизонталью равен 9{2}. \,[/latex]Уравнение для [латекс]\,x\,[/латекс] дает расстояние по горизонтали, а уравнение для [латекс]\,у\,[/латекс] дает расстояние по вертикали.

   How To

   Дана задача о движении снаряда. Для ее решения используйте параметрические уравнения.

   1. Горизонтальное расстояние определяется как [латекс]\,x=\left({v}_{0}\mathrm{cos}\,\theta \right)t.\,[/latex]Замените начальное скорость объекта for[latex]\,{v}_{0}.[/latex]
   2. Выражение[латекс]\,\mathrm{cos}\,\theta \,[/латекс] указывает угол, под которым перемещается объект. Подставьте этот угол в градусах вместо [латекс]\,\mathrm{cos}\,\theta .[/латекс] 9{2}.\,[/latex]Снова подставьте начальную скорость вместо [латекс]\,{v}_{0},\,[/латекс] и высоту, на которую объект был брошен вместо [латекс]\ ,ч.[/латекс]
   3. Продолжайте вычислять каждый член для решения для[latex]\,t.[/latex]

   Нахождение параметрических уравнений для описания движения бейсбольного мяча

   Решите задачу, представленную в начале этого раздела. Удастся ли отбивающему сделать победный хоумран? Предположим, что по мячу ударили с начальной скоростью 140 футов в секунду под углом [латекс]\,45°\,[/латекс] к горизонту, и он коснулся мяча на высоте 3 фута над землей.

   1. Найдите параметрические уравнения для моделирования траектории бейсбольного мяча.
   2. Где мяч через 2 секунды?
   3. Как долго мяч находится в воздухе?
   4. Это хоумран?

   Показать решение

   Доступ к следующему онлайн-ресурсу для получения дополнительных инструкций и практики с графиками параметрических уравнений.

   • Графические параметрические уравнения на TI-84

   Ключевые понятия

   • Когда есть третья переменная, третий параметр, от которого зависят [латекс]\,х\,[/латекс]и[латекс]\,у\,[/латекс], параметрические уравнения могут быть использовал.
   • Чтобы построить параметрические уравнения с помощью точек, создайте таблицу с тремя столбцами, помеченными [латекс]\,t,x\left(t\right),\,[/latex] и [латекс]\,y\left(t\ right). \,[/latex]Выберите значения для[latex]\,t\,[/latex] в порядке возрастания. Постройте два последних столбца для [латекс]\,х\,[/латекс]и[латекс]\,у.\,[/латекс] См. (Рисунок) и (Рисунок).
   • При построении параметрической кривой с помощью точек обратите внимание на соответствующие значения t и покажите на графике стрелки, указывающие ориентацию кривой. См. (Рисунок) и (Рисунок). 9{2}+\left({v}_{0}\mathrm{sin}\,\theta \right)t+h.\,[/latex]Начальная скорость обозначается как[latex]\,{v}_ {0}.\,\theta [/latex] представляет собой начальный угол объекта при броске, а [latex]\,h\,[/latex] представляет высоту, на которую движется объект.

   Раздел Упражнения

   Вербальный

   Какие два метода используются для построения графиков параметрических уравнений?

   Показать решение

   В чем отличие параметрических уравнений точечного построения от декартовых уравнений? 9{2}-1\hfill \end{массив}[/latex]

   The first row is labeled t, the second is labeled x, and the third is labeled y. The first columns contains the numbers -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. The other two columns are left blank for completion.»> 9{2}\hfill \end{массив}[/latex]

   [латекс]т[/латекс]	[латекс]x[/латекс]	[латекс]у[/латекс]
   [латекс]-3[/латекс]
   [латекс]-2[/латекс]
   [латекс]-1[/латекс]
   [латекс]0[/латекс]
   [латекс]1[/латекс]

   [латекс]т[/латекс]	[латекс]-3[/латекс]	[латекс]-2[/латекс]	[латекс]-1[/латекс]	[латекс]0[/латекс]	[латекс]1[/латекс]	[латекс]2[/латекс]
   [латекс]х[/латекс]
   [латекс]у[/латекс]

   Показать решение

   [латекс] \{\ begin {массив} {l} x (t) = 2 + t \ hfill \\ y (t) = 3-2t \ hfill \ end {массив} [/ латекс]

   The first row is labeled t, the second is labeled x, and the third is labeled y. The first row contains the numbers -2, -1, 0, 1, 2, 3. The other two columns are left blank for completion.»>

   [латекс]т[/латекс]	[латекс]-2[/латекс]	[латекс]-1[/латекс]	[латекс]0[/латекс]	[латекс]1[/латекс]	[латекс]2[/латекс]	[латекс]3[/латекс]
   [латекс]х[/латекс]
   [латекс]у[/латекс]

   [латекс] \{\ begin {массив} {l} x (t) = -2-2t \ hfill \\ y (t) = 3 + t \ hfill \ end {массив} [/ латекс]

   «> 9{3}\hfill \\ y(t)=t+2\hfill \end{массив}[/latex]

   [латекс]т[/латекс]

   [латекс]-3[/латекс]

   [латекс]-2[/латекс]

   [латекс]-1[/латекс]

   [латекс]0[/латекс]

   [латекс]1[/латекс]

   9{2}\hfill \\ y(t)=t+3\hfill \end{массив}[/latex]

   [латекс]т[/латекс]	[латекс]-2[/латекс]	[латекс]-1[/латекс]	[латекс]0[/латекс]	[латекс]1[/латекс]	[латекс]2[/латекс]
   [латекс]х[/латекс]
   [латекс]у[/латекс]

   The first row is labeled t, the second is labeled x, and the third is labeled y. The first row contains the numbers — -2, -1, 0, 1, 2. The other two columns are left blank for completion.»>

   [латекс]т[/латекс]	[латекс]-2[/латекс]	[латекс]-1[/латекс]	[латекс]0[/латекс]	[латекс]1[/латекс]	[латекс]2[/латекс]
   [латекс]х[/латекс]
   [латекс]у[/латекс]

   Показать решение

   Для следующих упражнений нарисуйте кривую и включите ориентацию.

   [латекс] \{\ begin {массив} {l} x (t) = t \\ y (t) = \ sqrt {t} \ end {массив} [/ латекс]

   [латекс] \ {\ begin{array}{l}x(t)=-\,\sqrt{t}\\ y(t)=t\end{array}[/latex]

   Показать решение

   [латекс]\{\begin{массив}{l}x(t)=5-|t|\\ y(t)=t+2\end{массив}[/латекс]

   [латекс]\ {\begin{array}{l}x(t)=-t+2\\ y(t)=5-|t|\end{array}[/latex]

   Показать решение

   9{2}},\,0

   [латекс]x\left(t\right)=-t,y\left(t\right)=\sqrt{t},\ ,t\ge 0[/latex]

   Показать решение

   [латекс]x=-2\mathrm{cos}\,t,\,y=6\,\mathrm{sin}\,t,\,0\le t\le \pi [/latex]

   [латекс] x = — \ mathrm {sec} \, t, \, y = \ mathrm {tan} \, t, \, — \ frac {\, \ pi} {2}

   Показать решение

   В следующих упражнениях используйте параметрические уравнения для целых чисел a и b :

   [латекс]\begin{array}{l}x\left(t\right)=a\mathrm{cos}\ влево (\ влево (a + b \ вправо) t \ вправо) \\ y \ влево (t \ вправо) = a \ mathrm {cos} \ влево (\ влево (a-b \ вправо) t \ вправо) \ конец {массив }[/латекс]

   Граф в области [латекс]\,\слева[-\пи ,0\справа],\,[/латекс]где[латекс]\,а=2\,[/латекс]и[латекс]\, b=1,\,[/latex] и укажите ориентацию.

   Граф в области [латекс]\,\слева[-\пи ,0\справа],\,[/латекс]где[латекс]\,а=3\,[/латекс]и[латекс]\, b=2[/latex] и укажите ориентацию.

   Показать решение

   Граф в области [латекс]\,\слева[-\pi ,0\справа],\,[/латекс],где[латекс]\,а=4\,[/латекс]и[латекс]\, b=3[/latex] и укажите ориентацию.

   Граф в домене [латекс]\,\слева[-\пи ,0\справа],\,[/латекс]где[латекс]\,а=5\,[/латекс]и[латекс]\, b=4[/latex] и укажите ориентацию.

   Показать решение

   Если [латекс]\,а\,[/латекс] больше, чем [латекс]\,b,\,[/латекс] на 1, опишите эффект значения [латекс]\,а\,[/латекс] и [латекс]\,b\,[/латекс] имеют на графике параметрические уравнения.

   Опишите график, если[латекс]\,а=100\,[/латекс]и[латекс]\,b=99.[/латекс]

   Показать решение

   Что произойдет, если [латекс]\,b\,[/латекс]на 1 больше, чем [латекс]\,а?\,[/латекс]Опишите график.

   Если параметрические уравнения [латекс]\,х\влево(т\вправо)={т}^{2}\,[/латекс] и [латекс]\,у\влево(т\вправо)=6- 3t\,[/latex]есть график горизонтальной параболы, открывающейся вправо, что изменит направление кривой? 9{2}\,[/латекс]и[латекс]\,х\влево(т\вправо)\,[/латекс]линейно

   Запишите параметрические уравнения окружности с центром[латекс]\,\влево( 0,0\right),[/latex]радиус 5 и ориентация против часовой стрелки.

   Показать решение

   Напишите параметрические уравнения эллипса с центром[латекс]\,\влево(0,0\вправо),[/латекс]большой осью длиной 10, малой осью длиной 6 и ориентацией против часовой стрелки.

   В следующих упражнениях используйте графическую утилиту для построения графика в окне[латекс]\,\слева[-3,3\справа]\,[/латекс]по[латекс]\,\слева[-3,3 \right]\,[/latex]в домене[latex]\,\left[0,2\pi \right)\,[/latex]для следующих значений [latex]\,a\,[/latex ]and[latex]\,b[/latex] и укажите ориентацию.

   [латекс] \{\ begin {array} {l} x (t) = \ mathrm {sin} (at) \\ y (t) = \ mathrm {sin} (bt) \ end {array} [/ латекс]

   [латекс]a=1,b=2[/латекс]

   Показать решение

   [латекс]a=2,b=1[/латекс]

   [латекс]a=3,b=3[/латекс]

   Показать решение

   [латекс]a=5,b=5[/латекс]

   [латекс]a=2,b=5[/латекс]

   Показать решение

   [латекс]a=5,b=2[/латекс]

   Технология

   В следующих упражнениях посмотрите на графики, созданные с помощью параметрических уравнений вида [латекс]\,\{\begin{array }{l}x(t)=a\text{cos}(bt)\hfill \\ y(t)=c\text{sin}(dt)\hfill \end{массив}. \,[/latex] Используйте параметрический режим графического калькулятора, чтобы найти значения [латекс]a,b,c,[/латекс] и [латекс]d[/латекс] для построения каждого графика.

   Показать решение

   Показать решение

   В следующих упражнениях используйте графическую утилиту для построения графиков заданных параметрических уравнений.

   1. [латекс] \ {\ begin {array} {l} x (t) = \ mathrm {cos} t-1 \\ y (t) = \ mathrm {sin} t + t \ end {array} [ /латекс]
   2. [латекс] \{\ begin {array} {l} x (t) = \ mathrm {cos} t + t \\ y (t) = \ mathrm {sin} t-1 \ end {array} [/latex ]
   3. [латекс] \{\ begin {array} {l} x (t) = t- \ mathrm {sin} t \\ y (t) = \ mathrm {cos} t-1 \ end {array} [/latex ]

   Постройте график всех трех наборов параметрических уравнений в области [латекс]\,\влево[0,\,2\пи \вправо].[/латекс]

   Показать решение

   Построить график всех трех наборов параметрических уравнений в области [латекс]\,\left[0,4\pi \right]. [/latex]

   Построить график всех трех наборов параметрических уравнений в области [латекс]\, \left[-4\pi ,6\pi \right].[/latex]

   Показать решение

   График каждого набора параметрических уравнений «ползет» по одной из осей. Что определяет, по какой оси ползет график?

   Объясните влияние на график параметрического уравнения, когда мы поменяли местами [латекс]\,\mathrm{sin}\,t\,[/latex]и [латекс]\,\mathrm{cos}\,t[/ латекс]. 9{2}+10t+5.\text{}[/latex]Напишите параметрические уравнения для положения мяча, а затем освободите время для записи высоты как функции горизонтального положения.

   Для следующих упражнений используйте этот сценарий: Дротик брошен вверх с начальной скоростью 65 футов/с под углом возвышения 52°. Учитывайте положение дротика в любой момент[latex]\,t.\,[/latex]Сопротивлением воздуха пренебрегайте.

   Найдите параметрические уравнения, моделирующие проблемную ситуацию.

   Показать решение

   Найдите все возможные значения [latex]\,x\,[/latex], представляющие ситуацию.

   Когда дротик упадет на землю?

   Показать решение

   Найдите максимальную высоту дротика.

   Когда дротик достигнет максимальной высоты?

   Показать решение

   В следующих упражнениях посмотрите на графики каждого из четырех параметрических уравнений. Хотя они выглядят необычно и красиво, они настолько распространены, что имеют имена, указанные в каждом упражнении. Используйте графическую утилиту, чтобы построить график каждого в указанном домене.

   Эпициклоида: [латекс]\,\{\begin{array}{l}x(t)=14\mathrm{cos}\,t-\mathrm{cos}(14t)\hfill \\ y(t )=14\mathrm{sin}\,t+\mathrm{sin}(14t)\hfill \end{array}\,[/latex]в домене[latex]\,[0,2\pi ][/latex ].

   Гипоциклоида: [латекс] \{\ begin {array} {l} x (t) = 6 \ mathrm {sin} \, t + 2 \ mathrm {sin} (6t) \ hfill \\ y (t) =6\mathrm{cos}\,t-2\mathrm{cos}(6t)\hfill \end{array}\,[/latex]в домене[latex]\,[0,2\pi ][/ латекс].

   Показать решение

   Гипотрохоид: [латекс] \{\ begin {array} {l} x (t) = 2 \ mathrm {sin} \, t + 5 \ mathrm {cos} (6t) \ hfill \\ y (t) =5\mathrm{cos}\,t-2\mathrm{sin}(6t)\hfill \end{массив}\,[/latex]в домене[latex]\,\left[0,2\pi \ справа][/латекс].

   A rose: [латекс] \, \ {\ begin {array} {l} x (t) = 5 \ mathrm {sin} (2t) \ mathrm {sin} t \ hfill \\ y (t) = 5 \mathrm{sin}(2t)\mathrm{cos}t\hfill \end{array}\,[/latex]в домене[latex]\,\left[0,2\pi \right][/latex] .

   Показать решение

   8.7: Параметрические уравнения — графики

   1. Последнее обновление

   2. Сохранить как PDF

4. Идентификатор страницы

   1381

• OpenStax
• OpenStax

Цели обучения

• Графические кривые плоскости, описываемые параметрическими уравнениями, путем построения точек.
• Граф параметрических уравнений.

Это конец девятого иннинга, с двумя аутами и двумя игроками на базе. Хозяева проигрывают с разницей в два раунда. Тесто раскачивается и ударяет по бейсбольному мячу со скоростью \(140\) футов в секунду и под углом примерно \(45°\) к горизонтали. Какое расстояние пролетит мяч? Сможет ли он очистить забор для победного хоумрана? Результат может частично зависеть от других факторов (например, ветра), но математики могут смоделировать траекторию снаряда и приблизительно предсказать, как далеко он пролетит, используя параметрические уравнения. В этом разделе мы обсудим параметрические уравнения и некоторые распространенные приложения, такие как задачи о движении снарядов.

Рисунок \(\PageIndex{1}\): Параметрические уравнения могут моделировать траекторию снаряда. (кредит: Пол Крехер, Flickr)

Построение графиков параметрических уравнений с помощью точек

Вместо графического калькулятора или компьютерной графической программы, построение точек для представления графика уравнения является стандартным методом. Пока мы тщательно подсчитываем значения, построение точечных графиков очень надежно.

Как: Имея пару параметрических уравнений, начертить график, нанеся точки 92+1\)

\(у(т)=2+т\) \(−5\) \(26\) \(−3\) \(−4\) \(17\) \(−2\) \(−3\) \(10\) \(−1\) \(−2\) \(5\) \(0\) \(−1\) \(2\) \(1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(1\) \(2\) \(3\) \(2\) \(5\) \(4\) \(3\) \(10\) \(5\) \(4\) \(17\) \(6\) \(5\) \(26\) \(7\)

График представляет собой параболу с вершиной в точке \((1,2)\), открывающуюся вправо. См. рисунок \(\PageIndex{2}\).

Рисунок \(\PageIndex{2}\)

Анализ

По мере того, как значения \(t\) увеличиваются в положительном направлении от \(0\) до \(5\), точки на графике очерчивают верхнюю половину параболы. Поскольку значения часто становятся отрицательными, они очерчивают нижнюю половину параболы. Ограничений по домену нет. Стрелки указывают направление в соответствии с возрастающими значениями \(t\). График не представляет функцию, так как он не пройдет тест вертикальной линии. График состоит из двух частей: положительные значения для \(t\) и отрицательные значения для \(t\).

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Нарисуйте график параметрических уравнений \(x=\sqrt{t}\), \( y=2t+3\), \(0≤t≤3 \).

Ответить

Рисунок \(\PageIndex{3}\)

Пример \(\PageIndex{2}\): построение графика тригонометрических параметрических уравнений

Построить таблицу значений заданных параметрических уравнений и начертить график:

\(x=2 \cos t\)

\(y=4 \sin t\)

Решение

Постройте таблицу, подобную таблице \(\PageIndex{2}\), используя угол в радианах в качестве входных данных для \(t\), и вычисление \(x\) и \(y\). Использование углов с известными значениями синуса и косинуса для \(t\) упрощает расчеты.

Таблица \(\PageIndex{2}\)

\(т\)	\(x=2 \cos t\)	\(y=4 \sin t\)
\(0\)	\(х=2 \cos(0)=2\)	\(y=4 \sin(0)=0\)
\(\dfrac{\pi}{6}\)	\(x=2 \cos(\dfrac{\pi}{6})=\sqrt{3}\)	\(y=4 \sin(\dfrac{π}{6})=2\)
\(\dfrac{\pi}{3}\)	\(x=2 \cos(\dfrac{\pi}{3})=1\)	\(y=4 \sin(\dfrac{\pi}{3})=2\sqrt{3}\)
\(\dfrac{\pi}{2}\)	\(х=2 \cos(\dfrac{\pi}{2})=0\)	\(y=4 \sin(\dfrac{\pi}{2})=4\)
\(\dfrac{2\pi}{3}\)	\(x=2 \cos(\dfrac{2\pi}{3})=−1\)	\(y=4 \sin(\dfrac{2\pi}{3})=2\sqrt{3}\)
\(\dfrac{5\pi}{6}\)	\(x=2 \cos(\dfrac{5\pi}{6})=-\sqrt{3}\)	\(y=4 \sin(\dfrac{5\pi}{6})=2\)
\(\пи\)	\(х=2 \cos(\pi)=−2\)	\(y=4 \sin(\pi)=0\)
\(\dfrac{7\pi}{6}\)	\(x=2 \cos(\dfrac{7\pi}{6})=-\sqrt{3}\)	\(y=4 \sin(\dfrac{7\pi}{6})=−2\)
\(\dfrac{4\pi}{3}\)	\(x=2 \cos(\dfrac{4\pi}{3})=−1\)	\(y=4 \sin(\dfrac{4\pi}{3})=−2\sqrt{3}\)
\(\dfrac{3\pi}{2}\)	\(х=2 \cos(\dfrac{3\pi}{2})=0\)	\(y=4 \sin(\dfrac{3\pi}{2})=−4\)
\(\dfrac{5\pi}{3}\)	\(х=2 \cos(\dfrac{5\pi}{3})=1\)	\(y=4 \sin(\dfrac{5\pi}{3})=−2\sqrt{3}\)
\(\dfrac{11\pi}{6}\)	\(x=2 \cos(\dfrac{11\pi}{6})=\sqrt{3}\)	\(y=4 \sin(\dfrac{11\pi}{6})=−2\)
\(2\пи\)	\(х=2 \cos(2\pi)=2\)	\(y=4 \sin(2\pi)=0\)

На рисунке \(\PageIndex{4}\) показан график.

Рисунок \(\PageIndex{4}\)

По симметрии, показанной в значениях \(x\) и \(y\), мы видим, что параметрические уравнения представляют собой эллипс. Эллипс отображается в направлении против часовой стрелки, как показано стрелками, указывающими на увеличение значений \(t\).

Анализ

Мы видели, что параметрические уравнения можно изобразить в виде графика с помощью точек. Однако графический калькулятор сэкономит некоторое время и выявит нюансы на графике, которые могут быть слишком утомительными, чтобы обнаруживать их, используя только ручные вычисления. Не забудьте изменить режим калькулятора на параметрический (PAR). Для подтверждения в окне \(Y=\) должно отображаться

\[\begin{align*} X_{1T} &= \\ Y_{1T} &= \end{align*}\]

вместо \ (Y_1=\).

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

График параметрических уравнений: \(x=5 \cos t\), \(y=3 \sin t\).

Ответить

Рисунок \(\PageIndex{5}\)

Пример \(\PageIndex{3}\): графическое отображение параметрических уравнений и прямоугольной формы вместе

Построение графического изображения параметрических уравнений \(x=5 \cos t\) и \(y=2 \sin t\). Сначала постройте график, используя точки данных, сгенерированные из параметрической формы. Затем начертите прямоугольную форму уравнения. Сравните два графика.

Решение

Создайте таблицу значений, подобную таблице \(\PageIndex{3}\).

4, y=2sin(-5) =approx 1.9).»>

Таблица \(\PageIndex{3}\)

\(т\)	\(x=5 \cos t\)	\(y=2 \sin t\)
\(0\)	\(х=5 \cos(0)=5\)	\(y=2 \sin(0)=0\)
\(1\)	\(x=5 \cos(1)≈2,7\)	\(y=2 \sin(1)≈1,7\)
\(2\)	\(х=5 \cos(2)≈−2,1\)	\(y=2 \sin(2)≈1.8\)
\(3\)	\(х=5 \cos(3)≈−4,95\)	\(y=2 \sin(3)≈0,28\)
\(4\)	\(х=5 \cos(4)≈−3,3\)	\(y=2 \sin(4)≈−1,5\)
\(5\)	\(х=5 \cos(5)≈1,4\)	\(y=2 \sin(5)≈−1,9\)
\(−1\)	\(х=5 \cos(-1)≈2,7\)	\(у=2 \sin(-1)≈-1,7\)
\(−2\)	\(х=5 \cos(-2)≈-2,1\)	\(у=2 \sin(-2)≈-1,8\)
\(−3\)	\(х=5 \cos(-3)≈-4,95\)	\(y=2 \sin(−3)≈−0,28\)
\(−4\)	\(х=5 \cos(-4)≈-3,3\)	\(y=2 \sin(−4)≈1,5\)
\(−5\)	\(х=5 \cos(-5)≈1,4\)	\(у=2 \sin(-5)≈1,9\)

Нанесите значения \((x,y)\) из таблицы (рисунок \(\PageIndex{6}\)).

Рисунок \(\PageIndex{6}\)

Затем преобразуйте параметрические уравнения в прямоугольную форму. Для этого мы находим \(t\) либо в \(x(t)\), либо в \(y(t)\), а затем подставляем выражение для \(t\) в другое уравнение. Результатом будет функция \(y(x)\) при решении \(t\) как функция \(x\) или \(x(y)\) при решении \(t\) как функция \(y\). 92}{4} &=1 \end{align*}\]

Анализ

На рисунке \(\PageIndex{7}\) данные параметрических уравнений и прямоугольного уравнения нанесены вместе. Параметрические уравнения показаны синим цветом; график для прямоугольного уравнения нарисован поверх параметрического пунктирным красным цветом. Ясно, что обе формы дают один и тот же граф.

Рисунок \(\PageIndex{7}\)

Пример \(\PageIndex{4}\): графическое отображение параметрических уравнений и уравнений прямоугольной формы в системе координат

Начертите параметрические уравнения \(x=t+1\) и \(y=\sqrt{t}\), \(t≥0\) и прямоугольный эквивалент \(y=\sqrt{x−1 }\) в той же системе координат.

Решение

Постройте таблицу значений для параметрических уравнений, как мы делали в предыдущем примере, и график \(y=\sqrt{t}\), \(t≥0\) на той же сетке , как показано на рисунке \(\PageIndex{8}\).

Рисунок \(\PageIndex{8}\)

Анализ

Поскольку домен \(t\) ограничен, мы наносим на график только положительные значения \(t\). Параметрические данные показаны синим цветом, а график прямоугольного уравнения — красным пунктиром. И снова мы видим, что эти две формы пересекаются.

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Нарисуйте график параметрических уравнений \(x=2 \cos \theta\) и \(y=4 \sin \theta\) вместе с прямоугольным уравнением на той же сетке.

Ответить

График параметрических уравнений выделен красным цветом, а график прямоугольного уравнения нарисован синими точками поверх параметрических уравнений.

Рисунок \(\PageIndex{9}\)

Применение параметрических уравнений

Многие преимущества параметрических уравнений становятся очевидными при их применении для решения реальных задач. 2+(v_0 \sin\theta)t+h \end{align *}\] 92\). Уравнение для \(x\) дает горизонтальное расстояние, а уравнение для \(y\) дает вертикальное расстояние.

Как: Для решения задачи о движении снаряда используйте параметрические уравнения.

1. Расстояние по горизонтали определяется как \(x=(v_0 \cos \theta)t\). Замените начальную скорость объекта на \(v_0\).
2. Выражение \(\cos \theta\) указывает угол, под которым движется объект. Подставьте этот угол в градусах вместо \(\cos\theta\).
92\). Снова замените начальную скорость на \(v_0\) и высоту, на которую объект был брошен на \(h\).
3. Продолжайте вычислять каждый член для решения \(t\).

Пример \(\PageIndex{5}\): поиск параметрических уравнений для описания движения бейсбольного мяча

Решите задачу, представленную в начале этого раздела. Удастся ли отбивающему сделать победный хоумран? Предположим, что мяч ударяется с начальной скоростью \(140\) футов в секунду под углом \(45°\) к горизонту, касаясь \(3\) футов над землей.

1. Найдите параметрические уравнения для моделирования траектории бейсбольного мяча.
2. Где находится мяч через \(2\) секунды?
3. Как долго мяч находится в воздухе?
4. Это хоумран?

Решение

1. Используйте формулы для составления уравнений. Горизонтальное положение находится с помощью параметрического уравнения для \(x\). Таким образом,

\[\begin{align*} x &= (v_0 \cos \theta)t \\ x &= (140 \cos(45°))t \end{align*}\] 92+(140\sin(45∘))t+3 \\ y &=0 \text{ Установить }y(t)=0 \text{ и решить квадратное уравнение.} \\ t &= 6.2173 \end{align *}\]

Через \(t=6,2173\) секунд мяч коснулся земли. (Квадратное уравнение можно решить разными способами, но эта задача была решена с помощью компьютерной математической программы.)

4. Мы не можем подтвердить, что попадание было хоум-раном, не принимая во внимание размер дальнего поля, который варьируется от поля к полю. поле. Однако для простоты предположим, что дальняя стена находится в \(400\) футов от домашней площадки в самой глубокой части парка. Предположим также, что высота стены \(10\) футов. Чтобы определить, отскочил ли мяч от стены, нам нужно вычислить высоту мяча, когда \( 92+(140 \sin(45°))(4.04)+3 \\ y &= 141.8 \end{align*}\]

Мяч находится в \(141.8\) футах в воздухе, когда он вылетает из стадион. Это был действительно хоумран. См. рисунок \(\PageIndex{10}\).

Рисунок \(\PageIndex{10}\)

Носитель

Доступ к следующему онлайн-ресурсу для получения дополнительных инструкций и практики с графиками параметрических уравнений.

• Графические параметрические уравнения на TI-84

Ключевые понятия

• Когда есть третья переменная, третий параметр, от которого зависят \(x\) и \(y\), можно использовать параметрические уравнения.
• Чтобы построить параметрические уравнения с помощью точек, составьте таблицу с тремя столбцами, помеченными \(t\), \(x(t)\) и \(y(t)\). Выберите значения for t в порядке возрастания.