Построение графиков второго порядка онлайн: Математическое Бюро. Страница 404

Содержание

Расчет кривой второго порядка на плоскости по точкам

Полученная формула

Коэффициенты через пробел

Калькулятор предназначен для расчета и создания уравнения кривых второго порядка на декартовой плоскости по нескольким точкам, от двух до пяти.

Не является секретом то, что уравнение кривой второго порядка может быть представлена формулой

Мы будем использовать чуть измененную формулу, разделив все коэффициенты на a6

отсюда видно, что кривую второго порядка можно однозначно определить по пяти точкам.

Кривая второго порядка при различных коэффициентах может превращатся в следующие «типы»:

— Эллипс

— Окружность

— Парабола

— Гипербола

— пара пересекающихся прямых

— пара паралельных несовпадающих прямых

— пары совпадающих прямых

— линии, вырождающиеся в точку

— «нулевые линии», то есть «линии», вовсе не имеющие точек

Если Вам интересны формулы при которых получаются все эти типы, то пожалуйста

— окружность

— «нулевая» окружность

$\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}-1=0$ — эллипс

— точка

— равносторонняя гипербола

— пара пересекающихся прямых

— формула параболы

— пара параллельных прямых

— нулевая линия

— пара совпадающих прямых

Этот сервис позволяет Вам по заданным точкам определить, какую же кривую второго порядка провести через эти точки. Кроме этого, Вы увидите все основные параметры полученной кривой второго порядка.

От Вас лишь понадобится предоставить боту от двух до пяти декартовых координат, что бы бот мог решить эту задачу.

ИНВАРИАНТЫ И СВОДНАЯ ТАБЛИЦА

Любая кривая второго порядка характеризуется тремя инвариантами, имеющими вид

$I_2=begin{pmatrix}a_1&frac{a_3}{2}%20%20frac{a_3}{2}&%20a_2end{pmatrix}$

$I_3=K_2=begin{pmatrix}a_1&%20frac{a_3}{2}%20&frac{a_4}{2}frac{a_3}{2}&%20a_2&frac{a_5}{2}frac{a_4}{2}&%20frac{a_5}{2}&a_6end{pmatrix}$

И одним семиинвариантом

если Вам интересно, откуда они появились, то рекомендуем прочитать книгу «Аналитическая геометрия — Делоне»

Характеристическое уравнение кривой второго порядка:

Таким образом сводная таблица имеет вид

Анализируя написанные онлайн калькуляторы по этой теме, нашел интересную «особенность». Попробовав рассчитать по трем точкам кривую второго порядка, зная что эти точки принадлежат окружности, я с завидным постоянством получал ответ, что графиком(формой)полученного уравнения кривой является эллипс.

Нет формально, конечно стоит признать что окружность является частным примером эллипса, но ведь можно пойти дальше и признать что и эллипс и гипербола и парабола, являются лишь частным примером кривой второго порядка общего вида, и в ответах таких калькуляторов выдавать ответ пользователю «вы получили уравнение второго порядка» и всё… не соврали же…

Такое сверхлегкое трактование и смешение определений геометрических фигур, никак не способствует пониманию и сути решаемых задач. Это как в анекдоте «А теперь нарисуем квадрат со сторонами 3 на 4»(с) И не поймешь то ли рисовать квадрат, то ли прямоугольник….

Пример:

Начнем сразу с проверочного примера

Вообще, убедимся правильно ли считает бот?

Итак, есть у нас функция x*x+3x-11=y

определим значения при x=1,2,3,4,5

значения получились такие y=-7,-1,7,17,29

и зададим эти точки в качестве исходных

пишем kp2 1:-7 2:-1 3:7 4:17 5:29

в результате получаем следующее:

На первый взгляд получилось далеко не то, что должно получится. 2-3*x+y+11=0\)

то есть

Что и требовалось доказать в качестве правильности расчетов нашего бота.

Теперь пусть у нас есть всего лишь три точки

С координатами x=1,2,3 и y=-7,-1,7

Логично, что это тоже самое уравнение параболы что мы разбирали в первом примере. НО! при трех точках такое решение не единственное.

Давайте попробуем задать боту всего три координаты и скажем ему какого вида уравнение мы хотим получить.

Например:

Это частное уравнение кривой второго порядка в котором коэффициенты а1 и а5 равны нулю

Скажем об этом боту

kp2 0 1:-7 2:-1 3:7 0 1

где 0- показывает какие коэффициенты нам НЕ надо учитывать, а 1 — это постоянный коэффициент, то есть его находить нет необходимости. Он известен.

Видим что не учитываем 1 и 5 коэффициент.

получим

Кривая второго порядка a1*x*x+a2*y*y+a3*x*y+a4*x+a5*y+a6 = 0

Коэффициент a2 при y*y равен -0.00621100

Коэффициент a3 при x*y равен 0.

03312600

Коэффициент a4 при x равен -0.46376800

Коэффициент a6 равен 1

То есть есть еще одна кривая которая проходит через заданные три точки

это

Кто желает может проверить. Но уверяю что все правильно.

Расчет параметров прямой линии по заданным параметрам >>

Построить график по каноническому уравнению

Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.

Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.

Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 .

4y=-6-sqrt(4x-x 2 )
sqrt(4x-x 2 ) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x 2 = (4y+6) 2
Раскрывая скобки, получаем:
16y 2 +48y + 36 +x 2 -4x = 0

Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x 2 = (4y+6) 2
-(x 2 — 4x) = 2(y+3/2) 2
-(x 2 — 4x + 4) = (y+3/2) 2
-(x — 2) 2 = (y+3/2) 2
(y+3/2) 2 + (x — 2) 2 = 0

Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0
9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0

Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5
9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9
9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9
-1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1

Введите график функции

Важно a должно быть меньше b, иначе график не сможет построиться

Видео пример:

Построим график параметрической функции x=x(t) и y=y(t),
где параметр t лежит в промежутке [a, b],
и вы можете задать свои границы.
Задайте также функции x и y, зависящих от параметра.

Правила ввода выражений и функций

Построение графиков онлайн с помощью нашего сервиса является простой задачей. Возможность построения одновременно сразу нескольких функций, помеченных разными цветами. Укажите пределы переменной и функции — и наш сервис быстро нарисует ваш график.

Построение графиков онлайн

Построить функцию

Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos. Для ввода функций воспользуйтесь левой колонкой. Вводить можно вручную либо с помощью виртуальной клавиатуры внизу окна. Для увеличения окна с графиком можно скрыть как левую колонку, так и виртуальную клавиатуру.

2/16=1)

Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете

Управление масштабом, цветом линий

Возможность построения графиков по точкам, использование констант

Построение одновременно нескольких графиков функций

Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ( heta) )

С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.

Интегрированный урок по теме «Поверхности второго порядка»

Предмет: информатика и математика.

Цели урока: изучение нового материала и первичное закрепление полученных знаний.

Задачи урока:

Образовательные:

повторить построение графиков функций одной переменной с помощью табличного процессора Excel;
доказать практическую значимость изучаемой темы;
познакомить учащихся с понятием «функция двух переменных»; примерами алгебраических поверхностей второго порядка; областью применения параболоида вращения;
научить применять табличный процессор Excel для построения трехмерных графиков.

Развивающие:
- формирование у учащихся логического и алгоритмического мышления;
- развитие познавательного интереса к предмету;
- развитие умения оперировать ранее полученными знаниями;
- развитие умения планировать свою деятельность.
Воспитательные:

воспитание умения самостоятельно мыслить;
нести ответственность за выполняемую работу;
воспитание аккуратности при выполнении работы;
формирование чувства коллективизма и здорового соперничества.

Тип урока: комбинированный.

Форма урока: лекция, практикум.

Технологии: развивающее обучение, проблемное обучение, проектные методы обучения, ИКТ, здоровьесберегающие технологии, обучение в сотрудничестве.

Технические и программные средства:

персональные компьютеры;
электронные таблицы Excel;
программа создания презентаций PowerPoint;
проект «Алгебраические поверхности второго порядка», уч-ся 11 класса Петроченкова Олеся.

Раздаточный материал:

карточки с заданиями на построение графиков функций одной переменной и прогнозируемым результатом работы;
карточки с заданиями на построение графиков функций двух переменных и прогнозируемым результатом работы.

Оформление кабинета.

Плакаты:

портреты ученых, внесших вклад в развитие понятия «функция»;
примеры трехмерных графиков;
практическое использование поверхностей вращения на примере параболоида вращения;
таблица табулирования функции двух переменных;
результаты построения трехмерного графика по таблице табуляции;
таблица оценки результатов своей работы.

Оборудование урока: компьютеры, локальная сеть.

Литература, использованная при подготовке к уроку:

«Дидактические требования к современному уроку — четкое формулирование образовательных задач в целом и его составных элементов, их связь с развивающими и воспитательными задачами», ресурсы сети Интернет.
Информатика, приложение к 1 сентября, №24, 2006 год.
Евдокимов В.И., Федотов А.Н. Точечный массаж. Тула, Приокское книжное издательство, 1991
Обухова Л.А., Лемяскина Н.А. Тридцать уроков здоровья для первоклассников. М.: Творческий центр «Сфера», 1999
Вестник образования, №6, 2006 год.

План урока.

Организационный момент – 3 мин.
Проверка домашнего задания –5 мин.
Объяснение нового материала –10 мин.
Применение полученных знаний –10 мин.
Самостоятельная работа – 10 мин.
Подведение итогов урока. Домашнее задание – 2 мин.

Ход урока

1. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку, отметка отсутствующих, объявление темы и цели урока.

2. Проверка домашнего задания (фронтальный опрос).

Вопросы для проверки.

Назначение табличного процессора?
Как определяется адрес ячейки?
Что такое относительная адресация ячеек?
Что такое абсолютная адресация ячеек? Как она задается?
Как ввести формулу в Excel?
Что такое функциональная зависимость у = f(х)? Какая переменная является зависимой, а какая независимой?
Как ввести функцию в Excel?
Что такое график функции у = f(х)?
Как построить график функции одной переменной в Excel?

3. Объяснение нового материала.

Учитель: На предыдущих уроках вы выяснили, что одной из главных задач, решаемых с помощью программы Microsoft Excel, является построение диаграмм и графиков. А можно ли построить в Microsoft Excel трехмерное изображение?

В нашей жизни все объекты – пространственные (объёмные), поэтому очень важно уметь представлять, как будет выглядеть тот или иной объект, т. е. иметь пространственное воображение. Помочь в этом нам сможет программа Microsoft Excel. Построим поверхность, которая называется параболоидом вращения, получена путем вращения параболы вокруг оси симметрии. Парабола обладает рядом интересных свойств, которые широко применяются в технике. Например, на оси симметрии параболы есть точка, которую называют фокусом параболы. Если в этой точке находится источник света, то все отраженные от параболы лучи идут параллельно.

Где на практике используется это свойство параболы?

Это свойство используется при изготовлении прожекторов, локаторов и других приборов. Форму параболоида вращения имеют спутниковые антенны.

Но прежде чем рассказать о том, как строятся поверхности в Microsoft Excel, надо немного поговорить о так называемых функциях двух переменных. Такая функция имеет вид z=f(x, y), где х, y — координаты точки на плоскости, а z — значение функции. Например, функция, параболоид вращения, записывается так:

Кроме параболоида вращения, существует огромное количество различных поверхностей, которые вы можете видеть на доске. Это — … Далее мы приступаем к работе за компьютерами.

Применение полученных знаний.

4.1. Краткий инструктаж по ТБ.

Нельзя самостоятельно, без разрешения учителя, включать и выключать компьютеры.
Нельзя касаться тыльной стороны компьютера и проводов.
Нельзя работать мокрыми руками и во влажной одежде.
Нельзя нажимать клавиши ручкой или карандашом.
Нельзя ходить по классу, вставать со своего места.
В случае неисправности компьютера или при обнаружении запаха гари – подозвать учителя.

4.2. Просмотр презентации «Алгебраические поверхности второго порядка», выполненной ученицей 11 класса МОУ СОШ № 4 Петроченковой Олесей в программе PowerPoint. Это проект, который был предложен ученикам нашей школы как зачетный по данной теме.

Выполняя практическую работу «Табулирование функций и статистическая обработка данных в МS Excel», учащиеся должны были оформить эту работу в ТР MS Word, используя умения копировать объекты из одного приложения в другие.

4.3. Практическая работа «Построение трехмерных изображений».

Давайте познакомимся с «Таблицей оценки результатов своей работы», которая находится у вас на рабочем столе.

4.3.1. Построить поверхность, которая называется параболоидом вращения. Определим интервалы, в которых будут изменяться значения x и y. Пусть это будет симметричный интервал [-5,5] для х и другой симметричный интервал [-9,9] для y. Шаг, с которым будут изменяться значения x и y (шаг табуляции), установим равным 0,5. Теперь на рабочем листе Excel зададим значения этих координат в виде строки В1:V1 для х и столбца А2:А38 для y.

Так должна выглядеть таблица табулирования функции f(x,y) в режиме отображения значений:

В режиме отображения формул:

Теперь введем в ячейку В2 формулу. Необходимо предварительно продумать адресацию ячеек, ведь этой формулой мы потом заполним весь диапазон B2:V38.

Итак, формула. При заполнении интервала по горизонтали (оси х) формулы во всех ячейках должны ссылаться на соответствующую ячейку верхнего ряда, следовательно, она должна иметь абсолютную адресацию по номеру строки, а по номеру столбца – относительную адресацию. Напомню, что абсолютная адресация обозначается знаком $ перед соответствующей координатой адреса ячейки. В нашем случае адресация выглядит так: B$1. Что касается y, то здесь, наоборот: абсолютным должен быть номер столбца. А номер строки – относительным, т.е. адрес имеет вид: $A2. Теперь соберем формулу. Чтобы не использовать дополнительных функций, в квадрат будем возводить простым умножением:

=B$1*B$1+$A2*$A2. Этой формулой заполняем весь прямоугольник от В2 до V38. Таблица табулирования функции готова.

Теперь можно строить диаграмму. Выделяем ячейки А1:V38. Вызываем мастер диаграмм. Для построения трехмерных картинок надо выбрать тип диаграммы – поверхность. Далее следовать указаниям Мастера диаграмм. В результате построения вы должны получить следующее изображение:

Физкультминутка.

Крепко сомкнуть веки, а затем в течение нескольких секунд часто моргать.
Без усилий, но плотно сомкнуть веки и прикрыть их ладонями, чтобы на одну минуту полностью исключить воздействие на глаза света.
Сделать массаж век, легко поглаживая их указательным пальцем в направлении от носа к виску.

1. 1. Построить поверхность «седло», которая задается формулой . Сравнить полученный вами результат с тем, который представлен у вас в карточке. Для построения вам надо только изменить значение ячейки В2 и растянуть формулу на весь прямоугольник В2:V38. График функции автоматически изменить с параболоида вращения на поверхность, называемую «седлом». Необходимо будет только изменить название.

4. 4. Самостоятельная работа «Построение графика функции одной переменной».

Работа по карточкам. Построить график функции, заданной уравнением (см. карточку).
Сравнить полученный график, с тем который изображен на карточке.
Воспользоваться таблицей оценки результатов своей работы.

Итоги урока и домашнее задание.

Оцените, пожалуйста, результаты своей работы и покажите их учителю.

Домашнее задание: создать презентацию на тему «Алгебраические поверхности второго порядка», оформить самостоятельную работу «Построение графика функции одной переменной» в MS Word.

Выбираем приложение на iOS для построения графиков и не только / Хабр

Доброго времени дня, дорогие читатели!

Многим требуется помощник в деле. Каждому — свой. В этой статье я хочу рассмотреть серьезные калькуляторы с возможностью построения графиков для iOS, а конкретно — для iPad.

Как только я поступил в институт и столкнулся с мат. анализом, я понял, что как никогда нуждаюсь в помощнике. Но помощник этот не может быть банальным калькулятором. Было бы неплохо, если бы он умел считать интегралы, раскладывать функцию в ряд Тейлора, строить нетривиальные графики. Стоит заметить, что на момент начала обучения, у меня уже имелся яблочный планшет iPad 2. Он и стал моим помощником.

Сам по себе планшет не может ничего, поэтому наша задача — исследовать

AppStore

на наличие в нем интересных нам приложений. В этой статье я постараюсь описать несколько приложений, которые мне показались наиболее интересными. Некоторые, действительно, могут сыграть значительную роль в процессе обучения.

Я не буду заострять внимание на дизайне, так как нам важнее функциональность, а хорошие приложения на iOS редко бывают уродливыми.

Сформулируем некоторые требования к идеальному приложению:

-Специализированная клавиатура
-Адекватный «построитель» графиков
-Автономная работа

За идеал хочется принять

Wolfram Calcus

, который предоставляет все это за исключением автономной работы (требуется выход в интернет). Данное приложение я рассмотрю в самом конце, потому что считаю его самым интересным.

iMathematics

Хочу начать именно с него, так как иду по возрастанию полезности программ.

Иконка приложения выглядит в виде блокнотика с буквой «Пи» (не знаю почему, но разработчики обожают ставит сей символ на иконки), само по себе оно бесплатно, но некоторые функции закрыты, стоимость «анлока» отдельных функций $1.99, а Pro-версия $2.99. Посмотрим, что же нам предлагает Free-версия.

В приложении есть две вкладки: Form и Utilites. Первая представляет собой некоторый справочник по основным математическим разделам, который «высасывает» информацию из Wikipedia.

Смысла в этой части программы лично я не вижу, так как серьезную теорию Вики редко предоставляет и пользоваться всегда предпочтительнее выданными учебниками — так надежнее. Вкладка Utilites содержит намного более интересные вещи.

Калькулятор

— мне ОЧЕНЬ не понравился, выполнен с каким-то закосом под инженерный, но реализация и удобство пользования оставляют желать лучшего.

«Решатель» уравнений

— решает только квадратные уравнения, полезно разве что школьнику 6го класса (или когда там квадратные уравнения проходят…)

Вычислитель дробей

— пишем десятичную дробь, указываем максимальный порядок знаменателя и получаем простую дробь, также бесполезно.

Расширенный калькулятор

— о-па! Попадаем в жутко неудобный мини-браузер с выходом на

WolframAlpha

. Спасибо, можем и сами так сделать.

Ну что ж, остальные функции, такие, как построитель графиков, решалка систем уравнений, решалка матриц и загадочное Quick Form закрыты в бесплатной версии. Судя по скриншотам в

AppStore

они такие же слабо-реализованные утилитки, как и бесплатные. Что ж, это приложение не достойно внимания студента, который уже перестал решать школьные задачки. Единственная забавная и, может, даже полезная фишка — возможность рисовать на полях. Свободного места достаточно для этого.

iTunes — iMathematics!

Free Graphing Simbolic Calculator — PocketCAS lite

Бесплатна, та же буква «Пи» на иконке. Строит только графики. Есть встроенная специализированная клавиатура, пользоваться ей достаточно удобно, что не скажешь о самом приложении в целом. Простые графики строит, и на этом спасибо.

требовать чего-то сложного не стоит. Лично мне не удалось окончательно разобраться в программе, что делает невозможной дальнейшую комфортную и быструю работу с ней. Чего только стоят мои мучения по удалению уже построенного графика. А жаль. Сама идея программы замечательная.

iTunes — Free Graphing Simbolic Calculator — PocketCAS lite

Free Graphing Calculator

Как видно из названия, оно бесплатно и весь функционал сразу открыт. Эта программа уже очень близка к моим требованиям и ее хочется назвать «серьезной».

Тут мы имеем восемь вкладок.

Калькулятор.

Тут мы видим НАСТОЯЩИЙ инженерный калькулятор с просто поражающим числом функций. Все описывать нет смысла, но поверьте, вам их должно хватить. Удобно и то, что старые результаты вычислений не удаляются — последние четыре видны. Также хорошо реализовано управление скобками — набор не тормозится, все быстро и четко.

Уравнения.

Здесь видно 4 поля, где можно вводить любые функции и уравнения с помощью всех функций калькулятора. Все так же удобно и быстро.

Графики.

Тут строятся графики по уже введенным в предыдущей вкладке уравнениям, они выделяются разными цветами, оси можно масштабировать и двигать так, как нам удобно.

Справка.

Как видно из названия — справочный материал по основным правилам различных разделов математики. Их настолько много, что даже лень все просматривать.

Таблица.

Понятно. Показывает некоторые значения введенной функции.

Решалка треугольников.

Вводим длины сторон — получаем углы. Можно наоборот. (Опять же функция, скорее всего, будет полезна только в школе, хотя…)

Решалка квадратных уравнений.

Аналогично.

More.

Все, что касается настроек и прочей информации.

Что мы имеем? Это достойное приложение, одно из лучших, может помочь в критический момент.
iTunes — Free Graphing Calculator
Но в AppStore существует и платая версия, предлагающая еще более и без того широкий функционал. Стоит $1.99 и называется Scientific Graphing Calculator.

Quick Graph

Одно из лучших приложений, по моему мнению. Бесплатная версия своей идеей смахивает на

PocketCAS lite

, но вот реализовано все это значительно ровнее и удобнее. Позволяет строить только графики, но возможностей, связанных с ними очень много. Сразу выводить можно до шести графиков (в платной версии за $1.99 этого ограничения нет), выделять их различными цветами. Рабочая область конечно же масштабируется. Можно строить графики в 3D. Есть возможность сохранить как картинку в галерею или же сразу отправить по почте. В наличии есть достаточно подробная справка по пользованию программой. Расширенная клавиатура в комплекте.

iTunes — Quick Graph

Wolfram Calcus

Это единственное платное приложение из моего списка. Но оно стоит свои $2.99 и окупает их сполна.

Надеюсь, все знают непостижимые возможности сервиса

WolframAlpha

. Так вот, данное приложение — идеальный инструмент работы с ним. В отличие от обычной поисковой строки, тут мы имеем разделение по основным разделам, в каждом из которых — расширенное управление какой-либо функцией. Например, беря производную, мы можем выставить ее порядок, раскладывая функцию в ряд Тейлора можно выбрать точность разложения. Пройдусь по основным разделам программы:

Обычные вычисления
Кусок графика функции (промежуток можно задать). Строит графики любой сложности. На то он и Wolfram.
Пределы
Дифференцирование
Интегрирование
Ряды
Последовательности

Почти в каждой есть подразделы, уточняющие задачу. Конечно же, присутствует расширенная клавиатура со специальными символами, которая упрощает и ускоряет ввод данных. Единственным минусом, достаточно весомым, является требование наличия интернета, что снижает нашу мобильность.

iTunes — Wolfram Calcus Course Assistant

Есть и еще более функциональное приложение от

Wolfram

, стоит оно дороже и функций имеет больше, но ничего конкретного по нему сказать не могу.

iTunes — Wolfram Multivariable Calculus Course Assistant

Что ж, подведем итоги. В

AppStore

не так уж и много приложений такого типа, но они есть, выбрать тоже есть из чего. Есть бесплатные, есть платные, все со своими плюсами и минусами. Но выбирать каждый должен сам, в зависимости от потребностей.

P.S. Я изложил лишь свое мнение по данному вопросу и, надеюсь, оно кому-нибудь поможет определиться с выбором.

Полярные координаты. Параметрическая форма кривых

1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Тема: Полярные координаты.
Параметрическая форма кривых.
Лектор Имас О.Н.
2018 г.
Кривой 2-го порядка на плоскости называют геометрическое место точек
M(x;y), удовлетворяющих уравнению F(x;y)=0.

Или
i j
a
x
ij y 0, max(i j ) 2
i , j n
Q( x1; x2 ;…; xn )
a xx
i , j n
Рассмотрим Q(x1;x2)
ij i
j
Функция Q называется квадратичной формой
a xx
i , j n
ij i
j
a11x12 a12 x1x2 a21x2 x1 a22 x2 2
a11 a12
Матрица A
называется матрицей квадратичной формы, где aij a ji
a21 a22
1 0
Диагональная матрица вида
, полученная из матрицы А путем
0
2
преобразования координат, называется канонической формой матрицы А
Вопрос. Как найти эти новые координаты, т.е этот новый базис?
Очевидно, должно выполняться: АХ= X AX- X=0 (A- E)X=0
(A- E)X=0 – система линейных однородных уравнений, из которой и
найдем фундаментальную систему решений Х, они-то и будут новым
базисом, в котором квадратичная форма примет каноническую форму
Определение. Матрица A- E называется характеристической матрицей
| A- E | называется характеристическим
Определение.

Определитель
многочленом от .
a11
a12
a21
a22
Определение. Корни характеристического многочлена | A- E | 0 называются
собственными числами, а ненулевые решения системы (A- E)X=0
называются собственными векторами.
пропустить 3 страницы

4. Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка называется геометрическое
место точек в пространстве, декартовы координаты которых
удовлетворяют уравнению F(x,y,z) = 0,
F(x,y,z) – многочлен степени 2.
В общем случае :
a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a10x+2a20y+2a30z+a00=0 .
Поверхности второго порядка делятся на
1) вырожденные
и
2) невырожденные
Вырожденные — это плоскости, точки и вырожденные (мнимые)
поверхности (уравнению не удовлетворяет ни одна точка
пространства).
Невырожденными
поверхности
второго
порядка
подразделяются на пять типов.
Эллипсоид,
Гиперболоид (однополосный и двуполостный),
Конус,
Параболоид
Цилиндрическая поверхность
Название
поверхности
Сфера
Аналитический вид
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 r 2
M0(x0;y0;z0) – центр сферы, r – радиус
Эллипсоид
Цилиндр
Конус
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2
1
a2
b2
c2
M0(x0;y0;z0) – центр эллипсоида, a, b, с – полуоси
( x x0 ) 2 ( z z0 ) 2
1 Ось l | | Oy
а)
a2 2
b2 2
( x x0 )
( y y0 )
1
2
б)
Ось l | | Oz
a
b2
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2
M0(x0;y0) – вершина конуса
Эллиптический
параболоид
( x x0 )2 ( y y0 )2 2 p( z z0 )
Гиперболоид
(однополостный)
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 ) 2
1
2
2
2
a
b
c
Гиперболоид
(двуполостный)
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 ) 2
1
2
2
2
a
b
c
Графическое изображение
x2 y
2 z, p, q 0
p q
Гиперболический параболоид
z
x
пропустить 0,5 страницы
y
Полярная система координат
y
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Полярная система координат – это
M ( x, y) M ( , ) точка О (полюс) и ось – полярный
луч (совпадает по направлению с
осью Ох).
Связь полярной и декартовой системы координат
x cos
x x
y sin
y
O
Декартова сетка
Полярная сетка
y
3 / 8
/4
1
2
/8
3
O
4
O
1
2
3
4 x
1 2 3 4
пропустить 2 страницы

8. 5. Построение графиков функций, заданных параметрически

Пример.
Построить кривую, заданную уравнением x a cos t ,
y b sin t
Подготовим таблицу значений x и y
t
x
y
0
a
0
/6
√3/2 a
½b
/4
√2/2 a
√2/2 b
/3
½a
√3/2 b
/2
0
b
пропустить 1 страницу
в I четверти
y
O
x

Построение графиков функций в Excel

Построение графиков функций — одна из возможностей Excel. В этой статье мы рассмотрим процесс построение графиков некоторых математических функций: линейной, квадратичной и обратной пропорциональности.

Функция, это множество точек (x, y), удовлетворяющее выражению y=f(x). Поэтому, нам необходимо заполнить массив таких точек, а Excel построит нам на их основе график функции.

1) Рассмотрим пример построения графика линейной функции: y=5x-2

Графиком линейной функции является прямая, которую можно построить по двум точкам. Создадим табличку

В нашем случае y=5x-2. В ячейку с первым значением y введем формулу: =5*D4-2. В другую ячейку формулу можно ввести аналогично (изменив D4 на D5) или использовать маркер автозаполнения.

В итоге мы получим табличку:

Теперь можно приступать к созданию графика.

Выбираем: ВСТАВКА — > ТОЧЕЧНАЯ -> ТОЧЕЧНАЯ С ГЛАДКИМИ КРИВЫМИ И МАРКЕРАМИ (рекомендую использовать именно этот тип диаграммы)

Появиться пустая область диаграмм. Нажимаем кнопку ВЫБРАТЬ ДАННЫЕ

Выберем данные: диапазон ячеек оси абсцисс (х) и оси ординат (у). 2-2. Используя маркер автозаполнения, рассчитываем значения у для остальных х.

Выбираем: ВСТАВКА — > ТОЧЕЧНАЯ -> ТОЧЕЧНАЯ С ГЛАДКИМИ КРИВЫМИ И МАРКЕРАМИ и действуем аналогично построению графика линейной функции.

Получим:

Чтобы не было точек на графике, поменяйте тип диаграммы на ТОЧЕЧНАЯ С ГЛАДКИМИ КРИВЫМИ.

Любые другие графики непрерывных функций строятся аналогично.

3) Если функция кусочная, то необходимо каждый «кусочек» графика объединить в одной области диаграмм.

Рассмотрим это на примере функции у=1/х.

Функция определена на интервалах (- беск;0) и (0; +беск)

Создадим график функции на интервалах: [-4;0) и (0; 4].

Подготовим две таблички, где х изменяется с шагом 0,2:

Находим значения функции от каждого аргумента х аналогично примерам выше.

На диаграмму вы должны добавить два ряда — для первой и второй таблички соответственно

Далее нажимаем кнопочку ДОБАВИТЬ и заполняем табличку ИЗМЕНЕНИЕ РЯДА значениями из второй таблички

Получаем график функции y=1/x

В дополнение привожу видео — где показан порядок действий, описанный выше.

В следующей статье расскажу как создать 3-мерные графики в Excel.

Спасибо за внимание!

на Ваш сайт.

Онлайн калькулятор: Аппроксимация функции одной переменной

Данный калькулятор по введенным данным строит несколько моделей регрессии: линейную, квадратичную, кубическую, степенную, логарифмическую, гиперболическую, показательную, экспоненциальную. Результаты можно сравнить между собой по корреляции, средней ошибке аппроксимации и наглядно на графике. Теория и формулы регрессий под калькулятором.

Если не ввести значения x, калькулятор примет, что значение x меняется от 0 с шагом 1.

Аппроксимация функции одной переменной

83 71 64 69 69 64 68 59 81 91 57 65 58 62

Значения x, через пробел

183 168 171 178 176 172 165 158 183 182 163 175 164 175

Значения y, через пробел

Линейная аппроксимация Квадратичная аппроксимация Кубическая аппроксимация Аппроксимация степенной функцией Показательная аппроксимация Логарифмическая аппроксимация Гиперболическая аппроксимация Экспоненциальная аппроксимацияТочность вычисления

Знаков после запятой: 4

Линейная регрессия

Коэффициент линейной парной корреляции

Коэффициент детерминации