Построение графиков функций: Построение графика функции онлайн

Анализ графиков элементарных функций показывает, что если известен график функции , то при помощи геометрических преобразований можно построить график более сложной функции.

Рассмотрим некоторые способы построения графиков при помощи геометрических преобразований.

1. График функции получается из графика увеличением всех ординат этого графика в раз, если и уменьшение ординат графика в раз, если (рис. 5.47).

Пример 3. Постройте график функции .

Решение. Сначала построим график функции .

Увеличим все ординаты этого графика в 2 раза и получим график функции (рис. 5.48).

Ответ. График функции показан на рис. 5.48 сплошной линией.

2. График функции получается из графика сжатием графика вдоль оси , если и растяжением графика вдоль оси , если .

Пример 4. Постройте графики функций и .

Решение. Составим таблицу некоторых значений функций и (табл. 5.3).

Таблица 5.3 – Значения функций , ,

Для функции основным периодом будет . Тогда основной период функции равен , а основной период функции равен .

По данным таблицы 5.3 построим графики всех трех функций (рис. 5.49).

Вывод. Из графика функции сжатием его вдоль оси получается график функции , а график функции получается растяжением графика функции вдоль оси

Ответ. График функции показан на рис. 5.49 точечной линией. График функции показан на рис. 5.49 пунктирной линией.

3. График функции Получается сдвигом графика вдоль оси на величину влево (в отрицательном направлении оси ), если и вправо (в положительном направлении оси ), если .

Пример 5. Постройте графики функций и .

Решение. Составим таблицу некоторых значений функций и (табл. 5.4).

Таблица 5.4 – Значения функций , ,

Построим графики этих функций по данным таблицы 5. 4 (рис. 5.50).

Вывод. График функции получается сдвигом графика на 2 единицы вдоль оси влево (в отрицательном направлении оси ), а график функции получается сдвигом графика на 2 единицы вдоль оси вправо (в положительном направлении оси ).

Ответ.

Пример 6. Постройте график функции .

Решение. Сначала построим график функции . Сдвинем его на 3 единицы влево (по правилу построения графика функции ). При этом вертикальная асимптота гиперболы тоже сдвинется на 3 единицы влево. Следовательно, график функции имеет две асимптоты: и . Найдем координаты точки пересечения графика с осью : ; .

Ответ. График функции показан на рис. 5.51 сплошной линией.

4. График функции Получается сдвигом графика на величину в положительном направлении оси (вверх), если и в отрицательном направлении оси (вниз), если .

Пример 7. Постройте графики функций и .

Решение. Составим таблицу некоторых значений функций , и (табл. 5.5).

Таблица 5.5 – Значения функций , ,

Построим графики этих функций по данным таблицы 5.5 (рис. 5.52).

Вывод. График функции получается сдвигом графика на 2 единицы вниз вдоль оси а график функции получается сдвигом графика на 2 единицы вверх вдоль оси .

Ответ. График функции показан на рис. 5.52 пунктирной линией. График функции показан на рис. 5.52 точечной линией.

Пример 8. Постройте график функции .

Решение. Сначала построим график функции . Сдвинем его на 2 единицы вниз (по правилу построения графика функции ). При этом горизонтальная асимптота гиперболы тоже сдвинется на 2 единицы вниз. Следовательно, график функции имеет две асимптоты: и . График функции пересекает ось .
При получим: , т. е. (рис. 5.53).

Ответ. График функции показан на рис. 5.53 сплошной линией.

5. График функции Получается симметричным отображением графика функции относительно оси .

Пример 9. Постройте графики функций и .

Решение. Составим таблицу некоторых значений этих функций (табл. 5.6).

Таблица 5.6 – Значения функций та

Построим графики этих функций по данным таблицы 5.6 (рис. 5.54).

Вывод. График функции получается симметричным отображение графика относительно оси .

Ответ. График функции показан на рис. 5.54 сплошной линией. График функции показан на рис. 5.54 пунктирной линией.

Пример 10. Постройте график функции .

Решение. Построим одну полуволну графика функции . Произведем ее сжатие вдоль оси с коэффициентом 3 и растяжение вдоль оси с коэффициентом 2, а затем симметричное преобразование относительно оси Получим график функции (рис. 5.55 а).

На рисунке 5.55 а показана одна полуволна графика, а на рисунке 5.55 б – весь график.

Ответ. График функции показан на рис. 5.55 (б) сплошной линией.

6. График функции получается симметричным отображением графика функции относительно оси .

Пример 11. Постройте графики функций и .

Решение. Составим таблицу некоторых значений этих функций (табл. 5.7).

Таблица 5.7 – Значения функций та

Построим графики этих функций по данным табл. 5.7 (рис. 5.56).

Вывод. График функции получается симметричным отображение графика относительно оси .

Ответ. График функции показан на рис. 5.56 сплошной линией. График функции показан на рис. 5.56 пунктирной линией.

Пример 12. Постройте график функции .

Решение. Строим график функции и симметрично отображаем его относительно оси .

Ответ. График функции показан на рис. 5.57 сплошной линией.

7. График функции получается из графика функции симметричным отображением относительно оси части графика, которая лежит под осью (). Часть графика над осью () остается без изменений.

Пример 13. Постройте график функции .

Решение. Составим таблицу некоторых значений функции (табл. 5.8).

Таблица 5.8 – Значения функции

Из решения уравнения находим, что нулями функции будут два значения: и .

Найдем координаты вершины параболы:

; .

По полученным результатам построим график функции (рис. 5.58).

Интервалами положительности для этой функции будут интервалы . Интервалом отрицательности будет .

Из определения модуля функции запишем:

На интервале значения функций и совпадают и по величине и по знаку, а на интервале значения функций совпадают по величине, но противоположны по знаку.

Вывод. График функции получается из графика функции симметричным отображением относительно оси той части графика, которая лежит ниже оси .

Ответ. График функции показан на рис. 5.58 сплошной линией.

8. График функции получается из графика функции так: график функции сохраняется только при , и отображается симметрично относительно оси (рис. 5.59).

Пример 14. Постройте график функции .

Решение. Учитывая определение модуля, функцию можно записать так:

Составим таблицу значений функции по этим формулам на соответствующих интервалах (табл. 5.9).

Таблица 5.9 – Значения функции

По данным этой таблицы построим график функции (рис. 5.60).

Вывод. Как видно из рис. 5.60 график функции получается из графика функции симметричным отображение части графика при относительно оси .

Ответ. График функции показан на рис. 5.60 сплошной линией.

Пример 15. Постройте график функции .

Решение. Заданная функция содержит как модуль аргумента, так и модуль функции.

Перепишем формулу заданной функции в виде: .

Построим параболу квадратичной функции без модуля аргумента. Это будет график функции , смещенный на 1 вправо вдоль оси и на 4 вниз вдоль оси . Осью симметрии графика будет прямая . Координатами вершины параболы будут и (рис. 5.61).

График функции будет получен из графика симметричным отображением части графика при относительно оси (рис. 5.62).

График модуля функции получается симметричным отображением относительно оси части графика функции , которая находится под осью (рис. 5.63).

Ответ. График функции показан на рис. 5.63 сплошной линией.

Графики основных функций

2.4 Графическое представление основных функций

Цели обучения

1. Определить и изобразить семь основных функций.
2. Определить и построить график кусочных функций.
3. Вычислить кусочно-определенные функции.
4. Определить функцию наибольшего целого числа.

Основные функции

В этом разделе представлены семь основных функций, которые будут использоваться на протяжении всего курса. График каждой функции изображается точками. Помните, что f(x)=y и, следовательно, f(x) и и взаимозаменяемы.

Любая функция вида f(x)=c, где c — любое действительное число, называется постоянной функцией Любая функция вида f(x)=c, где c — вещественное число.. Постоянные функции линейны и могут быть записаны как f(x)=0x+c. В этой форме ясно, что наклон равен 0, а точка пересечения y равна (0,c). Вычисление любого значения для x , например x = 2, даст результат c .

График постоянной функции представляет собой горизонтальную линию. Домен состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из единственного значения { с }.

Затем мы определим функцию тождества. Линейная функция определяется формулой f(x)=x.f(x)=x. Оценка любого значения для x приведет к тому же самому значению. Например, f(0)=0 и f(2)=2. Функция тождества является линейной, f(x)=1x+0, с наклоном m=1 и y -перехватом (0, 0).

Домен и диапазон состоят из действительных чисел.

Функция возведения в квадратКвадратичная функция, определяемая формулой f(x)=x2, определяемая формулой f(x)=x2, представляет собой функцию, полученную путем возведения в квадрат значений в области. Например, f(2)=(2)2=4 и f(-2)=(-2)2=4. Результат возведения в квадрат ненулевых значений в домене всегда будет положительным.

Полученный криволинейный график называется параболой. Криволинейный график, образованный функцией возведения в квадрат.. Область определения состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из всех y -значений, больших или равных нулю [0,∞).

Кубическая функцияКубическая функция, определяемая формулой f(x)=x3., определяемая формулой f(x)=x3, возводит все значения в домене в третью степень. Результаты могут быть положительными, нулевыми или отрицательными. Например, f(1)=(1)3=1, f(0)=(0)3=0 и f(-1)=(-1)3=-1.

Домен и диапазон состоят из всех действительных чисел ℝ.

Обратите внимание, что функции константы, идентичности, возведения в квадрат и куба — все это примеры базовых полиномиальных функций. Следующие три основные функции не являются полиномами.

Функция абсолютного значенияФункция, определяемая как f(x)=|x|., определяемая как f(x)=|x|, представляет собой функцию, в которой выходные данные представляют собой расстояние до начала координат на числовой прямой. Результат вычисления функции абсолютного значения для любого ненулевого значения x всегда будет положительным. Например, f(−2)=|−2|=2 и f(2)=|2|=2.

Область определения функции абсолютного значения состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из всех y -значений, больших или равных нулю [0,∞).

Функция квадратного корняФункция, определяемая как f(x)=x. , определенная как f(x)=x, не определяется как действительное число, если значения x отрицательные. Следовательно, наименьшее значение в области равно нулю. Например, f(0)=0=0 и f(4)=4=2.

Домен и диапазон состоят из действительных чисел, больших или равных нулю [0,∞).

Обратная функцияФункция, определяемая формулой f(x)=1x., определяемая формулой f(x)=1x, является рациональной функцией с одним ограничением на область определения, а именно x≠0. Обратное значение x , очень близкое к нулю, очень велико. Например,

f(1/10)=1(110)=1⋅101=10f(1/100)=1(1100)=1⋅1001=100f(1/1000)=1(11000)=1 ⋅1,0001=1,000

Другими словами, когда x -значения приближаются к нулю, их обратные величины будут стремиться либо к положительной, либо к отрицательной бесконечности. Это описывает вертикальную асимптоту — вертикальную линию, к которой график становится бесконечно близким. в и -ось. Кроме того, там, где значения x очень велики, результат обратной функции очень мал.

f(10)=110=0,1f(100)=1100=0,01f(1000)=11 000=0,001

Другими словами, когда значения x становятся очень большими, результирующие значения y стремятся к нулю. Это описывает горизонтальную асимптоту Горизонтальная линия, к которой график становится бесконечно близким, где значения x стремятся к ±∞. по оси x . После нанесения ряда точек можно определить общий вид обратной функции.

И область определения, и область значений обратной функции состоят из всех действительных чисел, кроме 0, который можно выразить с помощью интервальной записи следующим образом: (−∞,0)∪(0,∞).

Таким образом, основные полиномиальные функции:

Основные неполиномиальные функции:

Кусочно-определенные функции

Кусочная функцияФункция, определение которой изменяется в зависимости от значений в области. ссылаясь на кусочную функцию., это функция, определение которой изменяется в зависимости от значения в области определения. Например, мы можем написать функцию абсолютного значения f(x)=|x| как кусочная функция:

f(x)=|x|={ x if   x≥0−x  if   x<0

В этом случае используемое определение зависит от знака x -значения. Если значение x положительно, x≥0, то функция определяется как f(x)=x. И если значение x отрицательно, x<0, то функция определяется как f(x)=−x.

Ниже приведен график двух частей на одной и той же прямоугольной координатной плоскости:

Пример 1

График: g(x)={   x2 if x<0x  if x≥0.

Решение:

В этом случае мы изобразим функцию возведения в квадрат по отрицательным значениям x и функцию квадратного корня по положительным значениям x .

Обратите внимание на открытую точку, используемую в начале координат для функции возведения в квадрат, и закрытую точку, используемую для функции извлечения квадратного корня. Это определялось неравенством, определяющим область определения каждой части функции. Вся функция состоит из каждой детали, нанесенной на одну и ту же координатную плоскость.

Ответ:

При оценке значение в домене определяет подходящее определение для использования.

Пример 2

По заданной функции h найдите h(−5), h(0) и h(3).

h(t)={ 7t+3ift<0−16t2+32tift≥0

Решение:

Используйте h(t)=7t+3, где t отрицательно, как показано t<0.

h(t)=7t+5h(-5)=7(-5)+3=-35+3=-32

Где t больше или равно нулю, используйте h(t)= −16т2+32т.

ч(0)=-16(0)+32(0)ч(3)=16(3)2+32(3)=0+0=-144+96=0=−48

Ответ: h(−5)=−32, h(0)=0 и h(3)=−48

Попробуйте! График: f(x)={23x+1   если x<0x2   если x≥0.

Ответ:

(щелкните, чтобы посмотреть видео)

Определение функции может различаться на нескольких интервалах в домене.

Пример 3

График: f(x)={x3 if x<0x  if 0≤x≤46  if x>4.

Решение:

В этом случае постройте график кубической функции на интервале (−∞,0). Постройте график функции идентичности на интервале [0,4]. Наконец, нарисуйте график постоянной функции f(x)=6 на интервале (4,∞). И поскольку f(x)=6, где x>4, мы используем открытую точку в точке (4,6). Где x=4, мы используем f(x)=x, и, таким образом, (4,4) является точкой на графике, обозначенной закрытой точкой.

Ответ:

Функция наибольшего целого числа Функция, которая сопоставляет любое действительное число x наибольшему целому числу, меньшему или равному x , обозначаемому f(x)=[[x]]., обозначаемому f(x)= [[x]], присваивает наибольшее целое число, меньшее или равное любому вещественному числу в своей области определения. Например,

f(2,7)=[[2,7]]=2f(π)=[[π]]=3f(0,23)=[[0,23]]=0f(−3,5)=[[−3,5]] =−4

Эта функция связывает любое действительное число с наибольшим целым числом, меньшим или равным ему, и ее не следует путать с округлением.

Пример 4

График: f(x)=[[x]].

Решение:

Если x — любое действительное число, то y=[[x]] — наибольшее целое число, меньшее или равное x .

⋮−1≤x<0⇒y=[[x]]=−10≤x<1⇒y=[[x]]=01≤x<2⇒y=[[x]]=1⋮

Используя это, мы получаем следующий график.

Ответ:

Область определения наибольшей целочисленной функции состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из набора целых чисел ℤ. Эту функцию часто называют функцией пола. Термин, используемый для обозначения функции наибольшего целого числа. и имеет множество приложений в информатике.

Ключевые выводы

• Точки графика для определения общей формы основных функций. Форма, а также домен и диапазон каждого из них должны быть запомнены.
• Основные полиномиальные функции: f(x)=c, f(x)=x, f(x)=x2 и f(x)=x3.
• Основные неполиномиальные функции: f(x)=|x|, f(x)=x и f(x)=1x.
• Функция, определение которой изменяется в зависимости от значения в области определения, называется кусочной функцией. Значение в домене определяет подходящее определение для использования.

Тематические упражнения

Часть A: основные функции

Сопоставьте график с определением функции.

1. ф(х)=х

2. f(x)=x2

3. f(x)=x3

4. ф(х)=|х|

5. ф(х)=х

6. f(x)=1x

Оценить.

7. ф(х)=х; найти f(−10), f(0) и f(a).

8. f(x)=x2; найти f(−10), f(0) и f(a).

9. f(x)=x3; найти f(−10), f(0) и f(a).

10. f(x)=|x|; найти f(−10), f(0) и f(a).

11. ф(х)=х; найти f(25), f(0) и f(a), где a≥0.

12. f(x)=1x; найти f(−10), f(15) и f(a), где a≠0.

13. f(x)=5; найти f(−10), f(0) и f(a).

14. f(x)=-12; найти f(−12), f(0) и f(a).

15. Постройте график f(x)=5 и укажите его область определения и диапазон.

16. Нарисуйте график f(x)=−9 и укажите его домен и диапазон.

Функция кубического корня.

17. Найдите точки на графике функции, определяемой f(x)=x3 с x -значениями в наборе {−8, −1, 0, 1, 8}.

18. Найдите точки на графике функции, определяемой f(x)=x3 с x -значениями в наборе {−3, −2, 1, 2, 3}. Воспользуйтесь калькулятором и округлите до десятых.

19. Нарисуйте график функции кубического корня, определяемой выражением f(x)=x3, нанеся точки, найденные в двух предыдущих упражнениях.

20. Определите домен и диапазон функции кубического корня.

Найдите упорядоченную пару, задающую точку P .

Часть B: Кусочные функции

График кусочных функций.

25. г(х)={2 если х<0х если х≥0

26. г(х)={х2 если х<03   если х≥0

27. ч(х)={xifx<0xifx≥0

28. ч(х)={|х|еслих<0x3еслих≥0

29. f(x)={|x|ifx<24ifx≥2

30. f(x)={xifx<1xifx≥1

31. г(х)={x2ifx≤−1xifx>−1

32. г(х)={−3ifx≤−1x3ifx>−1

33. ч(х)={0ifx≤01xifx>0

34. ч(х)={1xifx<0x2ifx≥0

35. f(x)={x2ifx<0xif0≤x<2−2ifx≥2

36. f(x)={xifx<−1x3if−1≤x<13ifx≥1

37. g(x)={5ifx<−2x2if−2≤x<2xifx≥2

38. г(х)={xifx<−3|x|if-3≤x<1xifx≥1

39. ч(х)={1xifx<0x2if0≤x<24ifx≥2

40. ч(х)={0ifx<0x3if02

41. ф(х)=[[х+0,5]]

42. ф(х)=[[х]]+1

43. ф(х)=[[0,5х]]

44. f(x)=2[[x]]

Оценить.

45. f(x)={x2ifx≤0x+2ifx>0

    Найдите f(−5), f(0) и f(3).

46. f(x)={x3ifx<02x−1ifx≥0

    Найти f(−3), f(0) и f(2).

47. g(x)={5x−2ifx<1xifx≥1

    Найдите g(−1), g(1) и g(4).

48. g(x)={x3ifx≤−2|x|ifx>−2

    Найти g(−3), g(−2) и g(−1).

49. h(x)={−5ifx<02x−3if0≤x<2x2ifx≥2

    Найти h(−2), h(0) и h(4).

50. h(x)={−3xifx≤0x3if04

    Найдите h(−5), h(4) и h(25).

51.  

    f(x)=[[x−0,5]]

    Найти f(−2), f(0) и f(3).

52.  

    f(x)=[[2x]]+1

    Найдите f(−1,2), f(0,4) и f(2,6).

Оценить данный график f .

53. Найдите f(−4), f(−2) и f(0).

54. Найдите f(−3), f(0) и f(1).

55. Найдите f(0), f(2) и f(4).

56. Найдите f(−5), f(−2) и f(2).

57. Найдите f(−3), f(−2) и f(2).

58. Найдите f(−3), f(0) и f(4).

59. Найдите f(−2), f(0) и f(2).

60. Найдите f(−3), f(1) и f(2).

61. Стоимость автомобиля в долларах определяется количеством лет, прошедших с момента его покупки новым в 1975 году:

    1. Определите стоимость автомобиля в 1980 году.
    2. В каком году автомобиль стоит 9000 долларов?

62. Стоимость единицы нестандартных ламп в долларах зависит от количества произведенных единиц согласно следующему графику:

    1. Какова цена за единицу при изготовлении 250 нестандартных ламп?
    2. При каком уровне производства стоимость единицы продукции минимальна?

63. Продавец автомобилей получает комиссию на основе общего объема продаж каждый месяц x в соответствии с функцией: g(x)={0,03x если 0≤x<20 0000,05x если  20000$≤x<500000,07x если x≥50000$

    1. Если общий объем продаж продавца за месяц составляет 35 500 долларов, какова ее комиссия в зависимости от функции?
    2. Чтобы достичь следующего уровня в структуре комиссионных, насколько больше продаж ей потребуется?

64. Аренда лодки стоит 32 доллара за один час, а каждый дополнительный час или неполный час стоит 8 долларов. Постройте график стоимости аренды лодки и определите стоимость аренды лодки на 412 часов.

Часть C: Дискуссионная доска

65. Объясните начинающему студенту алгебры, что такое асимптота.

66. Исследуйте и обсудите разницу между функциями пола и потолка. Какие приложения вы можете найти, которые используют эти функции?

Ответы

1. б

3. с

5. и

7. f(−10)=−10, f(0)=0, f(a)=a

9. f(−10)=−1000, f(0)=0, f(a)=a3

11. f(25)=5, f(0)=0, f(a)=a

13. f(−10)=5, f(0)=5, f(a)=5

15. Домен: ℝ; диапазон: {5}

17. {(−8,−2), (−1,−1), (0,0), (1,1), (8,2)}

21. (32 278)

23. (-52,-52)

45. f(−5)=25, f(0)=0 и f(3)=5

47. г(-1)=-7, г(1)=1 и г(4)=2

49. ч(-2)=-5, ч(0)=-3 и ч(4)=16

51. f(−2)=−3, f(0)=−1 и f(3)=2

53. f(−4)=1, f(−2)=1 и f(0)=0

55. f(0)=0, f(2)=8 и f(4)=0

57. f(−3)=5, f(−2)=4 и f(2)=2

59. f(−2)=−1, f(0)=0 и f(2)=1

61. 1. 3000 долларов США;
    2. 2005
63. 1. 1775 долларов США;
    2. 14 500 долларов

65. Ответ может отличаться

Построение графиков в Python | Набор 1

В этой серии статей вы познакомитесь с графическим представлением в Python с помощью Matplotlib, возможно, самой популярной библиотеки графического представления и визуализации данных для Python.
Установка
Самый простой способ установить matplotlib — использовать pip. Введите в терминал следующую команду:

 pip install matplotlib 

ИЛИ вы можете скачать ее отсюда и установить вручную.
 

Getting started ( Plotting a line)

Python

Output: 

Код говорит сам за себя. Были выполнены следующие шаги: 

• Определите оси X и соответствующие значения оси Y в виде списков.
• Нанесите их на холст с помощью функции .plot() .
• Дайте имя оси x и оси y, используя функции .xlabel() и . ylabel() .
• Дайте название вашему графику, используя функцию .title() .
• Наконец, чтобы просмотреть график, мы используем функцию .show() .

Plotting two or more lines on same plot

Python

Результат:

• Здесь мы наносим две линии на один и тот же график. Мы различаем их, давая им имя ( label ), которое передается в качестве аргумента функции .plot().
• Маленькое прямоугольное поле, дающее информацию о типе линии и ее цвете, называется легендой. Мы можем добавить легенду к нашему графику, используя функцию .legend() .

Настройка графиков

Здесь мы обсудим некоторые элементарные настройки, применимые практически к любому графику.

Python

Выход:

. Поскольку вы видите, мы выполнили несколько настройки