Исследовать функцию и построить график онлайн: Исследование функции и построение графика

График чётной функции симметричен относительно оси Oy, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; y).

Функция y = f(x) называется нечётной, если

для всех x, принадлежащих области определения функции.

График нечётной функции симметричен относительно начала координат, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; -y).

Наша исследуемая функция чётная, так как

её график симметричен относительно оси Oy. Поэтому исследование можно выполнять только для ]0, +∞[.

3. Вертикальных асимптот у графика нет, поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой. Горизонтальной асимптотой является ось Ox, так как

Поскольку кривая имеет двустороннюю горизонтальную асимптоту y = 0, у неё не может быть наклонных асиптот.

4. Находим . Из уравнения имеем .

Так как при переходе через значение x = 0 меняет знак с плюса на минус, то функция в точке x = 0 переходит от возрастания к убыванию, а (0; 1) – точка максимума. Касательная к кривой в этой точке горизонтальна, поскольку .

5. Находим Из уравнения получаем т. е. .

Учитывая чётность функции, исследуем знаки в окрестности только точки .

Следовательно, при x = 1 кривая меняет выпуклость на вогнутость. Так как то — точка перегиба кривой. Угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке . Поэтому в точке перегиба касательная образует с осью Ox тупой угол.

6. График не пересекает оси Ox, поскольку он расположен выше неё. Найдём точки пересечения кривой с осью Oy: полагая x=0, имеем

Тем самым получим точку (0; 1) графика, которая совпадает с точкой максимума.

7. Составим сводную таблицу исследования функции, куда внесём все характерные точки и интервалы между ними. Учитывая чётность функции, получаем следующую таблицу:

8. Используя результаты исследования, строим график функции (см. рисунок).

Весь блок «Производная»

Исследование функции и построение графика с помощью производной

Пример 1.

Решение

1) Область определения функции

2) Чётность, нечётность функции:

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

3) Точки разрыва функции :

 — вертикальная асимптота

Найдём наклонные асимптоты функции :

 - горизонтальная асимптота

4) Промежутки монотонности функции и точки экстремума:

               — критическая точка первого рода

Функция возрастает при и при .

Точек экстремума нет.

5) Промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба:

              — критические точки второго рода

Функция выпукла при  и вогнута при .

 — точка перегиба

6) Точки пересечения с осями координат:

с :  — точек пересечения с нет

с: 

7) Построим график функции:

Пример 2.

Исследовать функцию  и построить ее график:

Решение

1) Область определения функции

2) Чётность, нечётность функции:

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

3) Точки разрыва функции :

 — вертикальная асимптота

Найдём наклонные асимптоты функции :

 - горизонтальная асимптота

4) Промежутки монотонности функции и точки экстремума:

               — критические точки первого рода

Функция возрастает при и убывает при  и при.

 — точка максимума

5) Промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба:

              — критические точки второго рода

Функция выпукла при и и вогнута при .

 — точка перегиба

6) Точки пересечения с осями координат:

с :

с: 

7) Построим график функции:

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа

Схема исследования поведения функций, применяемая для построения графиков функций

      Для построения графика функции   y = f (x)   желательно сначала провести исследование поведения функции   y = f (x)   по следующей схеме.

1. Найти область определения   D ( f ).

2. Выяснить, является ли функция   y = f (x)   четной или нечетной.

3. Выяснить, является ли функция   y = f (x)  периодической.

4. Найти асимптоты графика функции.

5. Вычислить производную функции   f ‘ (x) .

6. Найти критические точки функции   y = f (x) .

7. Найти интервалы возрастания и убывания функции   y = f (x) .

8. Найти экстремумы функции   y = f (x) .

9. Найти точки пересечения графика функции   y = f (x)   с осями координат.

   Если не удается точно найти нули функции, то есть точки, в которых график функции пересекает ось абсцисс   Ox,   то нужно попытаться найти интервалы, на которых нули функции располагаются. Часто эти интервалы удается найти, зная точки максимума и минимума функции.

10. Вычислить вторую производную функции   f »  (x) .

11. Найти интервалы, на которых функция   y = f (x)   выпукла вверх, а также интервалы, на которых функция   y = f (x)  выпукла вниз.

12. Найти точки перегиба графика функции  y = f (x) .

      Замечание. Желательно рисовать схему поведения функции параллельно с проведением исследования свойств функции по описанному выше плану.

Примеры построения графиков функций

      Пример 1. Построить график функции

      Решение. Областью определения функции (1) является вся числовая прямая.

      Функция (1) не является ни четной, ни нечетной.

      Функция (1) не является периодической.

      Вертикальных асимптот у графика функции (1) нет, так как для любого числа   x₀

     Проверим, есть ли у графика функции (1) наклонные асимптоты. Поскольку

то делаем вывод, что наклонных асимптот у графика функции (1) нет.

      Теперь вычислим производную функции (1):

y’ (x) = 3x² + 16x + 16 .

      Поскольку   y’ (x)   существует для всех , то все критические точки функции являются ее стационарными точками, то есть точками, в которых

y’ (x) = 0 .

      Найдем стационарные точки функции (1), интервалы, на которых   y’ (x)   сохраняет знак, а также экстремумы функции. Для этого решим квадратное уравнение

3x² + 16x + 16 = 0.

      Изобразим на рисунке 1 диаграмму знаков производной   y’ (x)

Рис.1

      На интервалах и производная   y’ (x)   положительна, значит, функция (1) возрастает. На интервале производная   y’ (x)   отрицательна, значит, функция (1) убывает. Схематически поведение функции (1) изображено на рисунке 2.

Рис.2

      При переходе через точку   x = – 4   производная функции   y’ (x)   меняет знак с   «+»   на   «–» . Следовательно, точка   x = – 4   является точкой максимума функции (1). При переходе через точку производная функции   y’ (x)   меняет знак с   «–»   на   «+» . Следовательно, точка является точкой минимума функции (1).

      Найдем значения функции (1) в стационарных точках:

y (–4) = 256 ,

     Теперь вычислим вторую производную функции (1):

y» (x) = (y’ (x))‘ = (3x² + 16x + 16)‘ = 6x + 16 .

y» (x) = (y’ (x))‘ =
= (3x² + 16x + 16)‘ =
= 6x + 16 .

     Вторая производная   y» (x)   обращается в нуль при . Изобразим на рисунке 3 диаграмму знаков второй производной   y» (x)

Рис.3

      При переходе через точку вторая производная функции   y» (x)   меняет знак с   «–»   на   «+» . Следовательно, – точка перегиба графика функции (1). При функция (1) выпукла вверх, при функция (1) выпукла вниз.

      Дополним схему поведения функции, представленную на рисунке 2, новыми данными о направлении выпуклости функции (рис. 4).

Рис.4

      Для того, чтобы найти точки пересечения функции (1) с осью   Ox ,   решим уравнение

x³ + 8x² + 16x + 128 = 0 ,

x² (x + 8) + 16 (x + 8) = 0 ,

(x + 8) (x² + 16) = 0 .

      Таким образом, точка   (– 8; 0)   является единственной точкой пересечения графика функции (1) с осью   Ox .   Точкой пересечения графика функции (1) с осью   Oy   будет точка   (0; 128) .

      На схеме поведения функции, представленной на рисунке 4, добавим информацию о знаках функции (1) (рис. 5).

Рис. 5

     Принимая во внимание результаты исследования поведения функции (1) (большая часть данных компактно представлена на рисунке 5), мы можем построить график функции (1) (рис.6):

Рис.6

      Пример 2. Построить график функции

      Решение. Областью определения функции (2) является вся числовая прямая, за исключением точки   x = 0 ,   то есть .

      Функция (2) не является ни четной, ни нечетной.

      Функция (2) не является периодической.

      Прямая   x = 0   является вертикальной асимптотой графика функции (2), так как

      Для того, чтобы выяснить, имеются ли у графика функции (2) наклонные асимптоты, представим правую часть формулы (2) в другом виде:

      Из формулы (3) получаем равенство

откуда вытекает, что прямая

y = x + 3

является наклонной асимптотой графика функции (2), как при , так и при .

      Теперь вычислим производную функции (2). Проще всего это сделать, воспользовавшись формулой (3):

      Для того, чтобы найти стационарные точки функции (2), преобразуем правую часть формулы (4):

      Следовательно,

и стационарными точками функции (2) являются точки   x = – 1   и   x = 2 .   Поскольку   y’ (x)   не существует при   x = 0 ,   то критическими точками функции (2) являются точки

x = – 1 ,   x = 0,   x = 2 .

      Изобразим на рисунке 7 диаграмму знаков производной   y’ (x)

Рис.7

      На интервалах , и производная   y’ (x)   положительна, значит, функция (2) возрастает на этих интервалах. На интервале   (0, 2)   производная   y’ (x)   отрицательна, значит, функция (2) убывает на этом интервале. Схематически поведение функции (2) изображено на рисунке 8.

Рис.8

      При переходе через точку   x = – 1   производная функции   y’ (x)   знак не меняет, значит, в этой точке экстремума нет. При переходе через точку   x = 2   производная функции   y’ (x)   меняет знак с   «–»   на   «+» .   Следовательно, точка   x = 2   является точкой минимума функции (2).

      Найдем значения функции (1) в стационарных точках:

y (–1) = 0 ,

     Теперь перейдем к вычислению второй производной функции (2). Проще всего это сделать, воспользовавшись формулой (4):

      Вторая производная   y» (x)   обращается в нуль при   x = – 1 .   Изобразим на рисунке 9 диаграмму знаков второй производной   y» (x)

Рис.9

      При переходе через точку   x = – 1   вторая производная функции   y» (x)   меняет знак с   «–»   на   «+» . Следовательно,   x = – 1   – точка перегиба графика функции (2). При   x < – 1   функция (2) выпукла вверх, при   x > – 1   функция (2) выпукла вниз.

      Дополним схему поведения функции, представленную на рисунке 8, данными о направлении выпуклости функции (рис. 10).

Рис.10

      Найдем точки пересечения функции (2) с осями координат: точка   (– 1; 0)   является единственной точкой пересечения графика функции (2) с осью   Ox ,   а точек пересечения графика функции (2) с осью   Oy   нет, поскольку   x = 0   не входит в область определения функции (2).

      На схеме поведения функции, представленной на рисунке 10, добавим информацию о знаках функции (2) (рис. 11).

Рис.11

     Принимая во внимание результаты исследования поведения функции (2) (большая часть данных компактно представлена на схеме рисунка 11), мы можем построить график функции (2) (рис.12):

Рис.12

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Общая схема исследования функции и построения графиков (Лекция №11)

1. 1. Найти ОДЗ и точки разрыва функции.
   2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
2. Провести исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания.
3. Исследовать функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
4. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные.
5. На основании проведенного исследования построить график функции.

Заметим, что перед построением графика полезно установить, не является ли данная функция четной или нечетной.

Вспомним, что функция называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не меняется: f(-x) = f(x) и функция называется нечетной, если f(-x) = -f(x).

В этом случае достаточно исследовать функцию и построить её график при положительных значениях аргумента, принадлежащих ОДЗ. При отрицательных значениях аргумента график достраивается на том основании, что для четной функции он симметричен относительно оси Oy, а для нечетной относительно начала координат.

Примеры. Исследовать функции и построить их графики.

1. . 1. Область определения функции D(у)= (–∞; +∞). Точек разрыва нет.

   Пересечение с осью Ox: x = 0,у=0.

   Функция нечетная, следовательно, можно исследовать ее только на промежутке [0, +∞).

   2. . Критические точки: x₁ = 1; x₂= –1.
   3.
   4. а) Вертикальных асимптот нет

   б) . Асимптота – y = 0.

   
   

2. .
   1. D(y)=(–∞; +∞). Точек разрыва нет.

      Пересечение с осью Ox: .

   3. .
   4. а) Вертикальных асимптот нет

      б).

      
      Наклонных асимптот нет.

3. .
   1. D(y)=(0; +∞). Функция непрерывна на области определения.

      Пересечение с осью :

   4. а) .

      Вертикальная асимптота x = 0.

      
      б).

      Наклонная асимптота y = 0.

4. .
   1. D(y)=( –∞;0)È(0;1)È(1;+∞).

      Функция имеет две точки разрыва x= 0 и x= 1.

      Точек пересечения с осями координат нет.

   2. при любых действительных значениях x. Поэтому функция возрастает на всей числовой прямой.
   3.  

   4.  

      а)

      Вертикальные асимптоты x = 0, x = 1.

      б)

      Наклонная асимптота y = x + 1.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Во многих приложениях математического анализа встречаются комбинации показательных функций. Эти комбинации рассматриваются как новые функции и обозначаются:

– гиперболический синус.

– гиперболический косинус.

С помощью этих функций можно определить еще две функции.

– гиперболический тангенс.

– гиперболический котангенс.

Функции sh x, ch x, th x определены, очевидно, для всех значений x, т.е. их область определения (–∞; +∞). Функция же cthx определена всюду за исключением точки x = 0.

Между гиперболическими функциями существуют следующие соотношения, аналогичные соответствующим соотношениям между тригонометрическими функциями.

Найдем: .

Т.е. .

.

Итак, .

Следовательно, .

Найдем производные гиперболических функций

.

Аналогично можно показать .

.

Т.е. и .

Графики гиперболических функций. Для того чтобы изобразить графики функций

shx и chx нужно вспомнить графики функций y = e^x и y = e^—x

Проведем исследования функции y = th x.

1. 1. D(f) = (–∞; +∞), точек разрыва нет.
   2. Точка пересечения с осями координат .
2.  

   , функция возрастает на (–∞; +∞).

4. 1. Вертикальной асимптоты нет.
   2. 
      .

y = cth x

1. D. Точка разрыва x = 0 cth x = 0 – нет
2.  

   убывает на .

4. 2. При x → +∞

Использование графических технологий для построения графиков функций

Графический калькулятор

Этот первый калькулятор существует уже несколько десятилетий. Это графический калькулятор . Это калькулятор с экраном и возможностью отображать ваши функции на графике для вас, как TI-85. Вы можете увеличивать и уменьшать масштаб графика. Эти калькуляторы могут отображать в виде графиков все виды функций за вас. Некоторые из более дорогих даже построят ваши 3D-функции.

Чтобы построить график на одном из этих калькуляторов, вы начнете с ввода функции y в единицах x . Если у вас есть калькулятор, способный строить трехмерные графики, вы можете ввести функцию с тремя переменными. После того, как вы закончите, вы затем нажмете кнопку, которая сообщает калькулятору о построении графика. Вы увидите график на своем экране. Затем вы можете использовать кнопки со стрелками для перемещения по графику. Переместите курсор туда, где ваш график пересекает ось x , и вы сможете увидеть, каковы ваши решения для функции.Это особенно полезно, если вам нужно решить сложную функцию.

Графические онлайн-калькуляторы

Еще одна технология, которую вы можете использовать, — это онлайн-графические калькуляторы. Вместо того, чтобы покупать физический графический калькулятор, теперь вы можете выйти в Интернет, посетить онлайн-графический калькулятор и ввести свою функцию для построения графика. И тогда вы увидите, что ваш график появится на экране. Вы можете использовать мышь, чтобы нажимать на разные точки на графике. С помощью этого метода вы сможете легко найти свои решения.

Например, вы хотите построить график этой функции.

Вы заходите в свой онлайн-калькулятор графиков, вводите свою функцию, а затем видите, как график появляется на вашем экране вот так.

Эти графические онлайн-калькуляторы позволяют легко находить важные моменты. Щелкните точки, и вы увидите их значения.

Единственным недостатком этих графических онлайн-калькуляторов является то, что для их использования требуется подключение к Интернету.

Программное обеспечение для построения графиков

Есть еще одна технология, которую вы можете использовать для построения графиков ваших функций. Вместо того, чтобы использовать онлайн-решение, вы можете фактически установить на свой компьютер математическое программное обеспечение, которое будет отображать функции для вас. Эта опция позволит вам графически отображать функции в любое время, когда вы используете свой компьютер.Для его использования не требуется подключение к Интернету. С ними более крутая кривая обучения, так как вам нужно немного изучить математическое программирование, чтобы использовать такое программное обеспечение.

Есть еще один тип графического программного обеспечения, которое вы можете использовать, для которого не требуется компьютер. Вместо этого требуется смартфон или планшет. Да, есть приложения для графического калькулятора, которые вы можете установить на свой телефон или планшет, которые позволят вам выполнять графические функции. Эти графические приложения позволяют создавать трехмерные графики с тремя переменными и на параметрических поверхностях.

Как и в случае с онлайн-калькуляторами для построения графиков, для построения графиков с помощью этих программ построения графиков вам необходимо ввести свою функцию, а затем указать программе, чтобы она построила график. Если у вас есть особые ограничения, их тоже нужно ввести. Затем вы можете увеличивать и уменьшать масштаб, чтобы увидеть, что делает график, и найти свои решения.

Итоги урока

Давайте рассмотрим.

Функции построения графиков никогда не были такими простыми. Это благодаря сегодняшним технологиям построения графиков.

Вот таблица, в которой перечислены технологии, упомянутые в этом уроке.

Изучение студентами функций и их графиков с помощью Desmos — Technology Tools for Teaching in Higher Education, The Practical Handbook Series

Ана Дафф

Desmos — это открытый онлайн-инструмент с обширной числовой и визуальной универсальностью.Это позволяет пользователю строить и маркировать точки на декартовой плоскости, демонстрировать решения уравнений и неравенств, функции графиков и создавать модели регрессии из наборов данных, среди других возможностей. Он имеет мощный встроенный инструмент калькулятора и инструмент слайдера, который позволяет пользователю создавать динамические визуальные эффекты, иллюстрирующие изменения или привлекающие внимание к конкретным компонентам.

Преимущества обучения с использованием Desmos

• Открытый и бесплатный ресурс без регистрации или подписки
• Позволяет статические и динамические графические демонстрации и количественный анализ двухмерных моделей
• Можно предварительно организовать демонстрации и мероприятия
• Требует от пользователей легко приобретаемых технических навыков
• Позволяет легко делиться демонстрациями с другими пользователями

Ресурсы

• Ноутбук или мобильное устройство (Android или iOS)
• Интернет-браузер или приложение Desmos Graphing Calculator

Шаг 1.Создайте учетную запись на Desmos.com (необязательно)

Перейдите на сайт Desmos.com и перейдите по ссылке «Начать построение графиков». У вас есть возможность создать учетную запись и войти в систему, что позволит вам сохранять, называть и искать свою работу. Последующие шаги по реализации будут основаны на предположении, что вы вошли в свою учетную запись, чтобы воспользоваться этими функциями. Однако графические возможности Desmos не ограничиваются держателями учетных записей, и в этом случае можно сохранить доступ к своей работе, создав ссылку для общего доступа и сохранив ее на будущее.

Шаг 2. Откройте Графический калькулятор Desmos и создайте график

Щелкните График без названия и введите название графика (доступно только зарегистрированным пользователям). Введите краткое описание действия: поместите курсор в строку 1, нажмите +
(Добавить элемент), затем заметку «» и добавьте описание в строку 1.

Шаг 3. Укажите функцию, функциональные компоненты или данные, моделируемые функцией

Desmos позволяет пользователю явно указывать функцию (функции) и моделировать данные с помощью функции с использованием регрессии.Если вы используете упражнение как часть оценивания, попросите учащихся импортировать случайно сгенерированные данные (например, из документа Excel), чтобы в результирующих функциях была изменчивость.

Шаг 4. Создайте набор инструкций

Позвольте результатам обучения направлять ваш набор инструкций. Обратите внимание, что задачи могут включать статическое и динамическое исследование модели, включая визуализацию изменений с помощью ползунка. Для лучшего прогресса задачи можно организовать по папкам и руководствоваться примечаниями инструктора, встроенными в график Desmos.Оба могут быть добавлены, нажав
+ (Добавить элемент), затем папку или заметку.

Шаг 4. Предложите учащимся изучить руководства по графическим инструментам Desmos

Раздел справки предоставляет большой банк подробных и интерактивных учебных ресурсов для новых и опытных пользователей Desmos. Студенты могут научиться создавать ползунки и таблицы, определять ограничения домена и диапазона и выполнять регрессию, следуя простым интерактивным турам, предоставляемым Desmos. Библиотека видеоуроков обширна и легко доступна для поиска, а Руководство пользователя Desmos предоставляет базовое руководство по инструментам Desmos.

Шаг 5. Поделитесь графиком (ами) со своими учениками

Нажмите на инструмент «Поделиться своим графиком», расположенный в верхнем левом углу. Созданная ссылка отправит студентов на график и позволит каждому студенту просматривать и изменять его отдельно от других пользователей, не влияя на созданный вами график. Обратите внимание, что вы также можете использовать этот инструмент, чтобы сохранить изображение графика (за некоторыми исключениями) и встроить его в другие платформы.

Шаг 6. Включите Калькулятор Графа Десмоса в оценки

Включите результаты исследований учащихся и извлеченные уроки в оценки с помощью инструмента «Поделитесь своим графиком», с помощью которого учащиеся делятся ссылкой или изображениями своей работы внутри, непосредственно или как часть отдельного документа для отправки.Обратите внимание, что ссылка будет включать график в том виде, в котором он был на момент создания ссылки.

• Избегайте путаницы, сводя к минимуму двусмысленность- Разработайте инструкции, соответствующие результатам обучения. Разбейте занятие на компоненты и распределите их по папкам. По мере необходимости направляйте учащихся к конкретным ресурсам в ходе упражнения по темам, которые могут нуждаться в разъяснении. Воспользуйтесь преимуществами обширной библиотеки обучающих видео от Desmos и его пользователей (доступных через любую поисковую систему с «выбранной темой Desmos +») в качестве ресурса для студентов по конкретным задачам.
• Помните о времени и требуемых навыках. — Проверьте, сколько времени вам потребуется на выполнение задания, затем умножьте это время на три. На протяжении всего теста размышляйте о своих знаниях учеников, диапазоне их навыков, связанных с технологиями и контентом, и соответствующим образом корректируйте деятельность.
• Поощряйте решение проблем и устранение неполадок с помощью одноранговой поддержки — Покажите учащимся, как делиться работой с помощью инструмента «Поделиться своим графиком», чтобы искать помощи у других во время упражнения.Наблюдая за работой учащегося, будет легче определить, где учащийся допустил ошибку или где он наткнулся на камень преткновения.

Цифровые ресурсы

Руководство пользователя Desmos

Примеры изучения функций через Desmos в действии:

Экичи, Селил и Плайли, Крис. «Моделирование динамики населения на основе запросов с помощью логистических дифференциальных и разностных уравнений». ПРИМУС 29.6 (2019): 553–570. Интернет.

Годин, Шон. «В чем проблема? Ищу лжецов.Бюллетень — Ассоциация математиков Онтарио 56.4 (2018): 11–13. Интернет.

Хойлс, Селия. «Преобразование математической практики учащихся и учителей с помощью цифровых технологий». Исследования в области математического образования. 20.3 1–20. Интернет.

Набб, Кейт и Муравска, Жаклин. «Мотивация расчетов с помощью одного вопроса». ПРИМУС 29.10 (2019): 1140–1153. Интернет.

Shahriari, Razieh et al. «Влияние использования технологий на понимание студентами математики и алгебры в колледже.”ProQuest Dissertations Publishing, 2019. Web.

Ана Дафф — научный сотрудник факультета бизнеса и информационных технологий Технического университета Онтарио, где она преподает математические курсы первого года обучения. Ее исследовательский опыт связан с математикой, в которой она имеет докторскую степень. из Университета Оттавы. До Технологического университета Онтарио она преподавала математику в Оттавском университете, Королевском военном колледже Канады и Международной школе Белграда в Сербии. Она также имеет обширный опыт разработки и управления крупномасштабными программами мобилизации и обучения сообществ в Канаде и за рубежом в неправительственном и государственном секторах.

Исследуйте математику с Desmos

Что такое Десмос?

Desmos — это бесплатный онлайн-калькулятор, позволяющий пользователям изучать математику новыми и увлекательными способами. Desmos хочет помочь каждому ученику выучить математику и полюбить ее. Графические функции, построение таблиц данных, оценка уравнений, изучение преобразований и многое другое — бесплатно!

ТОП 5 ПРИЧИН СЛЕДУЕТ ИСПОЛЬЗОВАТЬ ДЕСМО В КЛАССЕ

1. Это бесплатно !!! Для учителей и студентов.
2. Это графический калькулятор, который прекрасно работает в Интернете или как приложение для учащихся для моделирования с помощью математики — MP 4.
3. Когда вы регистрируетесь в качестве учителя, вы можете назначать занятия и игры (да, все они бесплатны, тоже) своим ученикам, и вы можете проверить их прогресс на странице своего учителя.
   
4. Вы можете легко создавать свои собственные занятия с помощью Activity Builder.
5. Доступ к нему можно получить в Интернете с компьютера или планшета, но есть также бесплатные приложения для iOS и Android, которые позволяют получить доступ к программе без использования Wi-Fi или данных.

Начните с калькулятора…

Как вы можете использовать эту функцию?

• Учащиеся могут создавать графики
• Учителя могут создавать графики для отображения и обмена с классом (режим проектора)
• Учителя могут создавать графики и делать снимки экрана для использования в заданиях или экзаменах
• Если вы вошли в систему, вы Вы можете сохранять созданные графики и возвращаться к ним в любое время.
• Ползунки !!!
• Загрузить картинки

Let’s Play!

или

щелкните здесь

Учитель Desmos

Учитель Desmos

1. Искать в теме и использовать задание как есть со своими учащимися
2. Создайте собственное задание и раздайте его своим учащимся

С чего начать?

• Используйте одно из многих действий на полиграфе, разработанных Desmos (просто введите «Полиграф» в поисковую систему)
• Если вы найдете то, что вам нравится, нажмите «начать новый сеанс» и поделитесь кодом в синем поле со своими учениками
• Desmos позаботится обо всем остальном, и вы сможете наблюдать за тем, что делает каждый ученик
• Если вы найдете занятие, которое вам нравится, но вы хотите внести несколько изменений, нажмите «продублировать это действие», и вы сможете внести изменения.

Студент Десмос

Учащиеся увидят подсказку с просьбой ввести код (вы получите код, когда решите начать новый сеанс в Teacher Desmos).

Marbleslides

Marbleslides

Куда мне пойти в первую очередь?

Вы найдете:

• интерактивных занятий
  
• коротких обучающих видео
  
• примеров
  
• вебинаров

4.График функции

График функции — это набор всех точек, координаты которых ( x , y ) удовлетворяют функции `y = f (x) `. Это означает, что для каждого значения x существует соответствующее значение y , которое получается, когда мы подставляем в выражение для `f (x)`.

Поскольку количество точек на графике функции не ограничено, сначала мы будем следовать этой процедуре:

1. Выберите несколько значений x (минимум 5)
2. Получить соответствующие значения функции и занести их в таблицу
3. Постройте эти точки, соединив их плавной кривой
   

Тем не менее, вам предлагается изучить общие формы некоторых общих кривых (таких как прямая линия, парабола, тригонометрические и экспоненциальные кривые, с которыми вы встретитесь в следующих главах).Это намного проще, чем рисовать точки, и гораздо полезнее на будущее!

Пример 1

Мужчина ростом «2 м» бросает мяч прямо вверх, и его высота в момент времени t (в s ) определяется выражением ч = 2 + 9 т — 4,9 т ² м.

Постройте график функции.

Ответ

Начнем с t = 0, поскольку отрицательные значения времени имеют практического смысла здесь нет.

Выбираем значения `0.С интервалом 5` (если бы мы использовали интервалы `t = 1 \» s «`, мы не увидели бы достаточно деталей на графике).

График снаряда (парабола).

Эта форма называется параболой и является общепринятой. в приложениях математики.

ПРИМЕЧАНИЕ:

(1) На этом графике высота против времени. Мяч пошел прямо вверх, а не вперед. (Наш график может создать впечатление, что мяч двигался в направлении x , а также вверх, но это было не так.)

(2) Мы могли бы написать функцию в этом примере с h ( t ), а не просто h . Следующие два уравнения означают одно и то же.

ч = 2+ 9 т — 4.9 т ²

ч ( т ) = 2 + 9 т — 4,9 т ²

Пример 2

Скорость (в «м / с») мяча в Примере 1 во время т (в с ) дается по

v = 9 — 9,8 t

Нарисуйте график v — t . Что скорость при ударе мяча о землю?

Ответ

Это прямая линия, так как она имеет вид

y = м x + c

Подробнее на Straight Line.

Поскольку мы определили, что это прямая линия, нам нужно только построить 2 очка и присоединяйтесь к ним. Но мы находим 3 точки, просто чтобы убедиться, что у нас правильная линия.

График зависимости `v` от` t` — прямой.

Наш график начинается с t = 0 (поскольку отрицательные значения времени не имеют значения в этом примере).

В течение первых 0,918 «с» «мяч идет вверх (положительная скорость, то есть синяя линия находится выше оси t ), но замедляется.

После этого мяч приближается к земле и набирает скорость (участок, где синяя линия находится ниже оси t ).

Мяч падает на землю примерно за t = 2,04 с (мы можем см. это из примера 1). Скорость , когда мяч падает на землю с графика, который мы только что нарисовали, имеет значение `-11 \ «м / с» `. График останавливается на этом месте.

На нашем графике предполагается, что мяч приземляется в песок и не отскакивает.

Обычно, как мы сделали здесь, мы берем скорость в до направление быть положительным.

Пример 3

Постройте график функции y = x — x ² .

Ответ

(a) Определите значения y- для типичного набора значений x и запишите их в таблицу.

(b) Так как y = 0 как для x = 0, так и для x = 1`, проверьте, что происходит между ними.2`, парабола.

Обратите внимание, что кривая продолжается за пределы того, что показано на графике. Это просто общий вопрос, и нет никаких практических ограничений для значений x или y .

Пример 4

Построить график функции `y = 1 + 1 / x`

Ответ

(a) Примечание: y не определено для `x = 0` из-за деление на `0`

Следовательно, `x = 0` не находится в области

(б) Составьте таблицу значений:

(c) Мы знаем, что что-то странное произойдет рядом с x = 0 (поскольку граф там не определен).Итак, мы проверяем, что происходит в некоторых типичных точках между `x = -1` и` x = 1`:

, когда `x = −0,5,` y = 1 + 1 / (- 0,5) = 1-2 = −1`

, когда `x = 0,5, \ y = 1 + 1 / (0,5) = 1 + 2 = 3`

(d) По мере приближения значения x к «0» точки становятся ближе к y — ось, правда ее не трогают. Ось y называется асимптотой кривой.

(Чтобы убедиться в этом, нанесите на график точки, где `x = 0.4, x = 0,3, x = 0,2, x = 0,1 и даже x = 0,01.)

График `y = 1 + 1 / x`, гипербола. Это прерывистая функция.

На этой кривой есть еще одна асимптота: y = 1, отмеченная пунктирной линией. Обратите внимание, что кривая не проходит через это значение.

Пример 5

Построить график функции `y = sqrt (x + 1)`

Ответ

(a) Примечание: y не определяется для значений x минус чем `-1`. (Попробуйте что-нибудь в своем калькуляторе, например, `x = −4`.)

(b) Мы определяем некоторые значения x и соответствующие значения y и записываем их в таблицу:

 Библиотека  (tidyverse)
#> ── Присоединение пакетов ──────────────────────────────────────── tidyverse 1.3.0 ─ ─
#> ✔ ggplot2 3.3.2 ✔ мурлыкать 0.3.4
#> ✔ tibble 3.0.3 ✔ dplyr 1.0.2
#> ✔ тидыр 1.1.2 ✔ стрингер 1.4.0
#> ✔ readr 1.4.0 ✔ forcats 0.5.0
#> ── Конфликты ─────────────────────────────────────────── tidyverse_conflicts () ──
#> ✖ dplyr :: filter () маскирует stats :: filter ()
#> ✖ dplyr :: lag () маски stats :: lag ()  

  миль на галлон
#> # Таблица: 234 x 11
#> модель производителя displ год cyl trans drv cty hwy fl class
#>           
#> 1 audi a4 1.8 1999 4 авто (l5) f 18 29 p компа…
#> 2 audi a4 1.8 1999 4 механика (m5) f 21 29 p compa…
#> 3 audi a4 2 2008 4 механика (m6) f 20 31 p compa…
#> 4 audi a4 2 2008 4 auto (av) f 21 30 p compa…
#> 5 audi a4 2.8 1999 6 auto (l5) f 16 26 p compa…
#> 6 audi a4 2.8 1999 6 механика (m5) f 18 26 p compa…
#> #… С еще 228 строками  

  ggplot (данные = миль на галлон) +
  geom_point (отображение = aes (x = displ, y = hwy))  

  ggplot (data = ) +
   (отображение = aes ())  

  ggplot (данные = миль на галлон) +
  geom_point (отображение = aes (x = displ, y = hwy, color = class))  

  ggplot (данные = миль на галлон) +
  geom_point (отображение = aes (x = displ, y = hwy, size = class))
#> Предупреждение: не рекомендуется использовать размер дискретной переменной. 

  # Left
ggplot (данные = миль на галлон) +
  geom_point (отображение = aes (x = displ, y = hwy, alpha = class))

# Правильно
ggplot (данные = миль на галлон) +
  geom_point (отображение = aes (x = displ, y = hwy, shape = class))  

  ggplot (данные = миль на галлон) +
  geom_point (mapping = aes (x = displ, y = hwy), color = "blue")  

  ggplot (данные = миль на галлон)
+ geom_point (отображение = aes (x = displ, y = hwy))  

  ggplot (данные = миль на галлон) +
  geom_point (отображение = aes (x = displ, y = hwy)) +
  facet_wrap (~ класс, nrow = 2)  

  ggplot (данные = миль на галлон) +
  geom_point (отображение = aes (x = displ, y = hwy)) +
  facet_grid (DRV ~ Cyl)  

  # осталось
ggplot (данные = миль на галлон) +
  geom_point (отображение = aes (x = displ, y = hwy))

# верно
ggplot (данные = миль на галлон) +
  geom_smooth (отображение = aes (x = displ, y = hwy))  

  ggplot (данные = миль на галлон) +
  geom_smooth (отображение = aes (x = displ, y = hwy, linetype = drv))  

  ggplot (данные = миль на галлон) +
  geom_smooth (отображение = aes (x = displ, y = hwy))
              
ggplot (данные = миль на галлон) +
  geom_smooth (отображение = aes (x = displ, y = hwy, group = drv))
    
ggplot (данные = миль на галлон) +
  geom_smooth (
    отображение = aes (x = displ, y = hwy, color = drv),
    show.legend = ЛОЖЬ
  )  

  ggplot (данные = миль на галлон) +
  geom_point (отображение = aes (x = displ, y = hwy)) +
  geom_smooth (отображение = aes (x = displ, y = hwy))  

  ggplot (данные = миль на галлон, отображение = aes (x = displ, y = hwy)) +
  geom_point () +
  geom_smooth ()  

  ggplot (данные = миль на галлон, отображение = aes (x = displ, y = hwy)) +
  geom_point (отображение = aes (цвет = класс)) +
  geom_smooth ()  

  ggplot (данные = миль на галлон, отображение = aes (x = displ, y = hwy)) +
  geom_point (отображение = aes (цвет = класс)) +
  geom_smooth (data = filter (mpg, class == "subcompact"), se = FALSE)  

  ggplot (данные = бриллианты) +
  geom_bar (отображение = aes (x = вырезано))  

  ggplot (данные = бриллианты) +
  stat_count (mapping = aes (x = cut))  

  ggplot (данные = бриллианты) +
  geom_bar (отображение = aes (x = вырезать, цвет = вырезать))
ggplot (данные = бриллианты) +
  geom_bar (отображение = aes (x = вырезать, заполнить = вырезать))  

  ggplot (данные = бриллианты) +
  geom_bar (mapping = aes (x = вырезать, заполнить = четкость))  

  ggplot (данные = миль на галлон) +
  geom_point (mapping = aes (x = displ, y = hwy), position = "jitter")  

  ggplot (data = ) +
   (
     отображение = aes (<КАРТЫ>),
     stat = ,
     position = <ПОЛОЖЕНИЕ>
  ) +
   +
    

 #Author DataFlair
данные <- read.csv ("/ home / dataflair / data / piedata.csv ")
данные
 

 пирог (данные $ суммы, метки = as.character (данные $ имена))
 

 данных («mtcars»)
scatter_data <- mtcars [, c ('вес', 'миль на галлон')]
# Присвоение имени файлу
png (file = "DataFlair_scatterplot.png")
# Создание нашей диаграммы рассеяния
график (x = scatter_data $ wt, y = scatter_data $ mpg,
     xlab = "Вес",
     ylab = "Milage",
     xlim = c (2,5,5),
     ylim = c (15,30),
     main = "Вес по сравнению с пробегом"
)
dev.off () # Сохраняем файл
 

 х = 0:10
у = 0:10
сюжет (x, y)
 

> #Author DataFlair
> сюжет (x, y)
> строки (x, y, col = "красный")
 

> lines (x, y, col = "green", type = 'S') 

 температура <- c (28, 35, 31, 40, 29, 41, 42)
days <- c («Вс», «Пн», «Вт», «Ср»,
          «Чт», «пт», «сб»)
barplot (temperature, main = "Максимальные температуры
        через неделю",
        xlab = "Дни",
        ylab = "Степень Цельсия",
        имена.arg = дни,
        col = "darkred")
 

 стрелки (xO, yO, xl, yl) 

 участок (x, y)
стрелки (2,1,9,8, код = 3)
#Author DataFlair
 

 данных <- таблица чтения (имя файла, заголовок = T)
прикрепить (данные)