Z x 2 y 2 график: Построить трехмерный график онлайн

Определение области действия функции двух переменных включает в себя учет любых ограничений области, которые могут существовать. Давайте взглянем.

Пример 4.1

Домены и диапазоны для функций двух переменных

Найдите домен и диапазон каждой из следующих функций:

1. f (x, y) = 3x + 5y + 2f (x, y) = 3x + 5y + 2
2. г (x, y) = 9 − x2 − y2g (x, y) = 9 − x2 − y2

Решение

1. Это пример линейной функции от двух переменных.Нет значений или комбинаций xx и yy, которые заставляют f (x, y) f (x, y) быть неопределенным, поэтому область определения ff равна ℝ2. ℝ2. Чтобы определить диапазон, сначала выберите значение для z.z. Нам нужно найти решение уравнения f (x, y) = z, f (x, y) = z или 3x − 5y + 2 = z.3x − 5y + 2 = z. Одно из таких решений может быть получено, если сначала задать y = 0, y = 0, что дает уравнение 3x + 2 = z.3x + 2 = z. Решением этого уравнения является x = z − 23, x = z − 23, что дает упорядоченную пару (z − 23,0) (z − 23,0) как решение уравнения f (x, y) = zf (x, y) = z для любого значения z.z. Следовательно, диапазон функции — это все действительные числа или ℝ.ℝ.
2. Чтобы функция g (x, y) g (x, y) имела действительное значение, величина под квадратным корнем должна быть неотрицательной:
   9-х2-у2≥0.9-х2-у2≥0.
   Это неравенство можно записать в виде
   
   Следовательно, область определения g (x, y) g (x, y) равна {(x, y) ∈ℝ2 | x2 + y2≤9}. {(X, y) ∈ℝ2 | x2 + y2≤9}. График этого набора точек можно описать как диск радиуса 33 с центром в начале координат. Область включает граничный круг, как показано на следующем графике.
   Рисунок 4.3 Область определения функции g (x, y) = 9 − x2 − y2g (x, y) = 9 − x2 − y2 — замкнутый круг радиуса 3.
   Чтобы определить диапазон значений g (x, y) = 9 − x2 − y2g (x, y) = 9 − x2 − y2, мы начнем с точки (x0, y0) (x0, y0) на границе области, которое определяется соотношением x2 + y2 = 9. x2 + y2 = 9. Отсюда следует, что x02 + y02 = 9×02 + y02 = 9 и
   g (x0, y0) = 9 − x02 − y02 = 9− (x02 + y02) = 9−9 = 0. g (x0, y0) = 9 − x02 − y02 = 9− (x02 + y02) = 9− 9 = 0.
   Если x02 + y02 = 0x02 + y02 = 0 (другими словами, x0 = y0 = 0), x0 = y0 = 0), то
   g (x0, y0) = 9 − x02 − y02 = 9− (x02 + y02) = 9−0 = 3.g (x0, y0) = 9 − x02 − y02 = 9− (x02 + y02) = 9−0 = 3.
   Это максимальное значение функции. Учитывая любое значение c между 0 и 3,0 и 3, мы можем найти весь набор точек внутри области gg, таких что g (x, y) = c: g (x, y) = c:
   9 − x2 − y2 = c9 − x2 − y2 = c2x2 + y2 = 9 − c2.9 − x2 − y2 = c9 − x2 − y2 = c2x2 + y2 = 9 − c2.
   Поскольку 9 − c2> 0,9 − c2> 0, это описывает круг радиуса 9 − c29 − c2 с центром в начале координат. Любая точка на этой окружности удовлетворяет уравнению g (x, y) = c.g (x, y) = c. Следовательно, диапазон этой функции может быть записан в интервальной записи как [0,3].[0,3].

КПП 4.1

Найдите область определения и диапазон функции f (x, y) = 36−9×2−9y2.f (x, y) = 36−9×2−9y2.

Графические функции двух переменных

Предположим, мы хотим построить график функции z = (x, y) .z = (x, y). Эта функция имеет две независимые переменные (xandy) (xandy) и одну зависимую переменную (z). (Z). При построении графика функции y = f (x) y = f (x) одной переменной мы используем декартову плоскость. Мы можем построить график любой упорядоченной пары (x, y) (x, y) на плоскости, и каждая точка на плоскости имеет связанную с ней упорядоченную пару (x, y) (x, y).С функцией двух переменных каждая упорядоченная пара (x, y) (x, y) в области определения функции отображается в действительное число z. z. Следовательно, график функции ff состоит из упорядоченных троек (x, y, z). (X, y, z). График функции z = (x, y) z = (x, y) двух переменных называется поверхностью.

Чтобы более полно понять концепцию построения набора упорядоченных троек для получения поверхности в трехмерном пространстве, представьте плоскую систему координат (x, y) (x, y). Тогда каждая точка в области определения функции ff имеет уникальное значение z, связанное с ней.Если zz положительно, то графическая точка расположена выше xy-plane, xy-plane, если zz отрицательна, то графическая точка расположена ниже xy-plane.xy-plane. Набор всех нанесенных на график точек становится двумерной поверхностью, которая является графиком функции f.f.

Пример 4.2

Графические функции двух переменных

Создайте график каждой из следующих функций:

1. г (x, y) = 9 − x2 − y2g (x, y) = 9 − x2 − y2
2. f (x, y) = x2 + y2f (x, y) = x2 + y2

Решение

1. В примере 4. 1, мы определили, что область определения g (x, y) = 9 − x2 − y2g (x, y) = 9 − x2 − y2 равна {(x, y) ∈ℝ2 | x2 + y2≤9} {(x , y) ∈ℝ2 | x2 + y2≤9}, а диапазон равен {z∈ℝ2 | 0≤z≤3}. {z∈ℝ2 | 0≤z≤3}. Когда x2 + y2 = 9×2 + y2 = 9, мы имеем g (x, y) = 0. G (x, y) = 0. Следовательно, любая точка на окружности радиуса 33 с центром в начале координат в x, y-planex, y-плоскости отображается в z = 0z = 0 в ℝ3.ℝ3. Если x2 + y2 = 8, x2 + y2 = 8, то g (x, y) = 1, g (x, y) = 1, поэтому любая точка на окружности радиуса 2222 с центром в начале координат x, y -planex, y-плоскость отображается в z = 1z = 1 в ℝ3.ℝ3. Когда x2 + y2x2 + y2 приближается к нулю, значение z приближается к 3.Когда x2 + y2 = 0, x2 + y2 = 0, тогда g (x, y) = 3.g (x, y) = 3. Это начало координат в плоскости x, y, плоскости x, y. Если x2 + y2x2 + y2 равно любому другому значению между 0 и 9,0 и 9, то g (x, y) g (x, y) равно некоторой другой константе между 0 и 3,0 и 3. Поверхность, описываемая этой функцией, представляет собой полусферу с центром в начале координат с радиусом 33, как показано на следующем графике.
   

   Рис. 4.4 График полушария, представленный заданной функцией двух переменных.

2. Эта функция также содержит выражение x2 + y2.х2 + у2. Приравнивая это выражение к различным значениям, начиная с нуля, мы получаем круги увеличивающегося радиуса. Минимальное значение f (x, y) = x2 + y2f (x, y) = x2 + y2 равно нулю (достигается, когда x = y = 0.). X = y = 0.). Когда x = 0, x = 0, функция становится z = y2, z = y2, а когда y = 0, y = 0, функция становится z = x2.z = x2. Это сечения графика и параболы. Напомним из «Введение в векторы в космосе», что имя графика f (x, y) = x2 + y2f (x, y) = x2 + y2 — это параболоид . График ff представлен на следующем графике.
   

   Рис. 4.5 Параболоид — это график заданной функции двух переменных.

Пример 4.3

Гайки и болты

Функция прибыли для производителя оборудования задается

, где xx — количество гаек, проданных в месяц (в тысячах), а yy — количество болтов, проданных за месяц (в тысячах). Прибыль измеряется тысячами долларов. Нарисуйте график этой функции.

Решение

Эта функция является полиномиальной функцией от двух переменных. Область ff состоит из пар координат (x, y) (x, y), которые дают неотрицательную прибыль:

Это диск радиуса 44 с центром в точке (3,2). (3,2). Еще одно ограничение состоит в том, что оба xandyxandy должны быть неотрицательными. Когда x = 3x = 3 и y = 2, y = 2, f (x, y) = 16. f (x, y) = 16. Обратите внимание, что любое значение может быть нецелым числом; например, можно продать 2.52,5 тысячи орехов в месяц. Таким образом, домен содержит тысячи точек, поэтому мы можем рассматривать все точки в пределах диска. Для любых z <16, z <16 мы можем решить уравнение f (x, y) = z: f (x, y) = z:

Поскольку z <16, z <16, мы знаем, что 16 − z> 0,16 − z> 0, поэтому предыдущее уравнение описывает круг с радиусом 16 − z16 − z с центром в точке (3,2). ( 3,2). Следовательно. диапазон f (x, y) f (x, y) равен {z∈ℝ | z≤16}. {z∈ℝ | z≤16}.График f (x, y) f (x, y) также является параболоидом, и этот параболоид направлен вниз, как показано.

Рис. 4.6 График данной функции двух переменных также является параболоидом.

Кривые уровня

Если туристы идут по пересеченным тропам, они могут использовать топографическую карту, показывающую, насколько круто меняются маршруты. Топографическая карта содержит изогнутые линии, называемые контурными линиями . Каждая горизонтальная линия соответствует точкам на карте, имеющим одинаковую высоту (Рисунок 4.7). Линия уровня функции двух переменных f (x, y) f (x, y) полностью аналогична контурной линии на топографической карте.

Рис. 4.7 (a) Топографическая карта Башни Дьявола, Вайоминг. Линии, расположенные близко друг к другу, указывают на очень крутой рельеф. (б) Перспективное фото Башни Дьявола показывает, насколько круты ее стены. Обратите внимание, что вершина башни имеет ту же форму, что и центр топографической карты.

Определение

Для данной функции f (x, y) f (x, y) и числа cc в диапазоне f, af кривая уровня функции двух переменных для значения cc определяется как набор точек, удовлетворяющих условиям уравнение f (x, y) = c.е (х, у) = с.

Возвращаясь к функции g (x, y) = 9 − x2 − y2, g (x, y) = 9 − x2 − y2, мы можем определить кривые уровня этой функции. Диапазон gg — это закрытый интервал [0,3]. [0,3]. Сначала мы выбираем любое число в этом отрезке, например c = 2.c = 2. Кривая уровня, соответствующая c = 2c = 2, описывается уравнением

Для упрощения возведем в квадрат обе части этого уравнения:

Теперь умножьте обе части уравнения на −1−1 и прибавьте 99 к каждой стороне:

Это уравнение описывает круг с центром в начале координат и радиусом 5. 5. Использование значений cc между 0 и 30 и 3 дает другие круги с центром в начале координат. Если c = 3, c = 3, то круг имеет радиус 0,0, поэтому он состоит исключительно из начала координат. Рисунок 4.8 представляет собой график кривых уровня этой функции, соответствующих c = 0,1,2 и 3.c = 0,1,2 и3. Обратите внимание, что в предыдущем выводе возможно, что мы ввели дополнительные решения, возведя обе части в квадрат. Здесь дело обстоит не так, потому что диапазон функции квадратного корня неотрицателен.

График различных кривых уровня функции называется контурной картой.

Пример 4.4

Создание контурной карты

Дана функция f (x, y) = 8 + 8x − 4y − 4×2 − y2, f (x, y) = 8 + 8x − 4y − 4×2 − y2, найти кривую уровня, соответствующую c = 0. c = 0. Затем создайте контурную карту для этой функции. Каковы домен и диапазон f? F?

Решение

Чтобы найти кривую уровня для c = 0, c = 0, мы устанавливаем f (x, y) = 0f (x, y) = 0 и решаем. Это дает

Затем возводим обе части в квадрат и умножаем обе части уравнения на −1: −1:

Теперь мы переставляем термины, складывая члены xx вместе и члены yy вместе, и добавляем 88 с каждой стороны:

Затем мы группируем пары терминов, содержащих одну и ту же переменную в круглых скобках, и множим 44 из первой пары:

Затем мы заполняем квадрат в каждой паре круглых скобок и добавляем правильное значение в правую часть:

Затем мы факторизуем левую часть и упрощаем правую:

Наконец, делим обе стороны на 16:16:

(4,1)

Это уравнение описывает эллипс с центром в точке (1, −2). (1, −2). График этого эллипса представлен на следующем графике.

Мы можем повторить тот же вывод для значений cc меньше 4.4. Тогда уравнение 4.1 принимает вид

для произвольного значения c.c. На рисунке 4.10 показана контурная карта для f (x, y) f (x, y) с использованием значений c = 0,1,2 и 3.c = 0,1,2 и 3. Когда c = 4, c = 4, кривая уровня представляет собой точку (−1,2). (- 1,2).

КПП 4.2

Найдите и изобразите кривую уровня функции g (x, y) = x2 + y2−6x + 2yg (x, y) = x2 + y2−6x + 2y, соответствующую c = 15. c = 15.

Еще один полезный инструмент для понимания графика функции двух переменных называется вертикальной трассой. Кривые уровня всегда отображаются в плоскости xy, плоскости xy, но, как следует из их названия, вертикальные линии отображаются в плоскостях xzxz или yz-planees.yz.

Определение

Рассмотрим функцию z = f (x, y) z = f (x, y) с областью определения D⊆ℝ2.D⊆ℝ2.Вертикальный след функции может быть либо набором точек, который решает уравнение f (a, y) = zf (a, y) = z для данной константы x = ax = a, либо f (x, b) = zf (x, b) = z для данной константы y = by = b.

Пример 4.5

Поиск вертикальных следов

Найдите вертикальные следы для функции f (x, y) = sinxcosyf (x, y) = sinxcosy, соответствующей x = −π4,0, и π4, x = −π4,0, и π4, и y = −π4,0, и π4.y = −π4,0, а π4.

Решение

Сначала установите x = −π4x = −π4 в уравнении z = sinxcosy: z = sinxcosy:

Это описывает косинусный график в плоскости x = −π4.x = −π4. Остальные значения zz представлены в следующей таблице.

Аналогичным образом мы можем подставить значения y в уравнение f (x, y) f (x, y), чтобы получить трассы в плоскости yz, плоскости yz, как указано в следующей таблице. .

Три следа в плоскости xz-planexz являются косинусоидальными функциями; три следа в плоскости yz-planeyz являются синусоидальными функциями.Эти кривые появляются на пересечениях поверхности с плоскостями x = −π4, x = 0, x = π4x = −π4, x = 0, x = π4 и y = −π4, y = 0, y = π4y = — π4, y = 0, y = π4, как показано на следующем рисунке.

КПП 4.3

Определите уравнение вертикального следа функции g (x, y) = — x2 − y2 + 2x + 4y − 1g (x, y) = — x2 − y2 + 2x + 4y − 1, соответствующего y = 3, y = 3, и описать его график.

Функции двух переменных могут создавать поразительно выглядящие поверхности. На следующем рисунке показаны два примера.

Рисунок 4.12 Примеры поверхностей, представляющих функции двух переменных: (a) комбинация степенной функции и синусоидальной функции и (b) комбинация тригонометрических, экспоненциальных и логарифмических функций.

Функции более двух переменных

До сих пор мы рассматривали только функции двух переменных. Однако полезно кратко рассмотреть функции более чем двух переменных.Два таких примера:

и

В первой функции (x, y, z) (x, y, z) представляет точку в пространстве, а функция ff сопоставляет каждую точку в пространстве с четвертой величиной, такой как температура или скорость ветра. Во второй функции (x, y) (x, y) может представлять точку на плоскости, а tt может представлять время.Функция может сопоставлять точку на плоскости с третьей величиной (например, давлением) в данный момент времени t.t. Метод поиска области определения функции более двух переменных аналогичен методу для функций одной или двух переменных.

Пример 4.6

Области для функций трех переменных

Найдите домен каждой из следующих функций:

1. f (x, y, z) = 3x − 4y + 2z9 − x2 − y2 − z2f (x, y, z) = 3x − 4y + 2z9 − x2 − y2 − z2
2. г (x, y, t) = 2t − 4×2 − y2g (x, y, t) = 2t − 4×2 − y2

Решение

1. Для определения функции f (x, y, z) = 3x − 4y + 2z9 − x2 − y2 − z2f (x, y, z) = 3x − 4y + 2z9 − x2 − y2 − z2 (и реальное значение) должны выполняться два условия:
   1. Знаменатель не может быть нулевым.
   2. Подкоренное выражение не может быть отрицательным.
   Комбинирование этих условий приводит к неравенству
   9 − x2 − y2 − z2> 0,9 − x2 − y2 − z2> 0.
   Перемещение переменных на другую сторону и изменение неравенства дает домен как
   область (f) = {(x, y, z) ∈ℝ3 | x2 + y2 + z2 <9}, область (f) = {(x, y, z) ∈ℝ3 | x2 + y2 + z2 <9},
   который описывает шар радиуса 33 с центром в начале координат. ( Примечание : Поверхность шара не включена в этот домен.)
2. Чтобы функция g (x, y, t) = 2t − 4×2 − y2g (x, y, t) = 2t − 4×2 − y2 была определена (и была действительным значением), должны выполняться два условия:
   1. Подкоренное выражение не может быть отрицательным.
   2. Знаменатель не может быть нулевым.
   Поскольку подкоренное выражение не может быть отрицательным, отсюда следует 2t − 4≥0,2t − 4≥0, а значит, t≥2.t≥2. Поскольку знаменатель не может быть равен нулю, x2 − y2 ≠ 0, x2 − y2 ≠ 0 или x2 ≠ y2, x2 ≠ y2, которые можно переписать как y ≠ ± xy ≠ ± x, которые являются уравнениями двух прямых, проходящих через Происхождение. Следовательно, домен gg —
   область (g) = {(x, y, t) | y ≠ ± x, t≥2}. область (g) = {(x, y, t) | y ≠ ± x, t≥2}.

КПП 4.4

Найти область определения функции h (x, y, t) = (3t − 6) y − 4×2 + 4.ч (х, у, т) знак равно (3т-6) у-4х2 + 4.

Функции двух переменных имеют кривые уровня, которые показаны как кривые на плоскости xy. Xy. Однако, когда функция имеет три переменных, кривые становятся поверхностями, поэтому мы можем определить поверхности уровня для функций трех переменных.

Определение

Для данной функции f (x, y, z) f (x, y, z) и числа cc в диапазоне f, f поверхность уровня функции трех переменных определяется как набор точек, удовлетворяющих уравнение f (x, y, z) = c.е (х, у, г) = с.

Пример 4.7

Поиск ровной поверхности

Найти поверхность уровня для функции f (x, y, z) = 4×2 + 9y2 − z2f (x, y, z) = 4×2 + 9y2 − z2, соответствующей c = 1.c = 1.

Решение

Поверхность уровня определяется уравнением 4×2 + 9y2 − z2 = 1,4×2 + 9y2 − z2 = 1. Это уравнение описывает гиперболоид из одного листа, как показано на следующем рисунке.

Рис. 4.13. Гиперболоид из одного листа с некоторыми его плоскими поверхностями.

КПП 4.5

Найти уравнение поверхности уровня функции

, соответствующий c = 2, c = 2, и, если возможно, опишите поверхность.

Раздел 4.1. Упражнения

В следующих упражнениях оцените каждую функцию с указанными значениями.

W (x, y) = 4×2 + y2.W (x, y) = 4×2 + y2. Найдите W (2, −1), W (2, −1), W (−3,6) .W (−3,6).

W (x, y) = 4×2 + y2.W (x, y) = 4×2 + y2. Найдите W (2 + h, 3 + h). W (2 + h, 3 + h).

Объем правого кругового цилиндра вычисляется функцией двух переменных: V (x, y) = πx2y, V (x, y) = πx2y, где xx — радиус правого кругового цилиндра, а yy — высота. цилиндра. Оцените V (2,5) V (2,5) и объясните, что это означает.

Кислородный баллон состоит из правого цилиндра высотой yy и радиуса xx с двумя полусферами радиуса xx, установленными сверху и снизу баллона. Выразите объем резервуара как функцию двух переменных, xandy, xandy, найдите V (10,2), V (10,2) и объясните, что это означает.

Для следующих упражнений найдите домен функции.

V (x, y) = 4×2 + y2V (x, y) = 4×2 + y2

f (x, y) = x2 + y2−4f (x, y) = x2 + y2−4

f (x, y) = 4ln (y2 − x) f (x, y) = 4ln (y2 − x)

г (x, y) = 16−4×2 − y2g (x, y) = 16−4×2 − y2

г (х, у) = у2-х2z (х, у) = у2-х2

Найдите диапазон функций.

г (x, y) = 16−4×2 − y2g (x, y) = 16−4×2 − y2

V (x, y) = 4×2 + y2V (x, y) = 4×2 + y2

Для следующих упражнений найдите кривые уровня каждой функции при указанном значении cc, чтобы визуализировать данную функцию.

z (x, y) = y2 − x2, z (x, y) = y2 − x2, c = 1c = 1

z (x, y) = y2 − x2, z (x, y) = y2 − x2, c = 4c = 4

g (x, y) = x2 + y2; c = 4, c = 9g (x, y) = x2 + y2; c = 4, c = 9

g (x, y) = 4 − x − y; c = 0,4g (x, y) = 4 − x − y; c = 0,4

f (x, y) = xy; c = 1; c = −1f (x, y) = xy; c = 1; c = −1

h (x, y) = 2x − y; c = 0, −2,2h (x, y) = 2x − y; c = 0, −2,2

f (x, y) = x2 − y; c = 1,2 f (x, y) = x2 − y; c = 1,2

г (х, у) = хх + у; с = -1,0,2 г (х, у) = хх + у; с = -1,0,2

г (х, у) = х3-у; с = -1,0,2 г (х, у) = х3-у; с = -1,0,2

г (x, y) = exy; c = 12,3g (x, y) = exy; c = 12,3

f (x, y) = x2; c = 4,9f (x, y) = x2; c = 4,9

f (x, y) = xy − x; c = −2,0,2f (x, y) = xy − x; c = −2,0,2

h (x, y) = ln (x2 + y2); c = −1,0,1h (x, y) = ln (x2 + y2); c = −1,0,1

г (x, y) = ln (yx2); c = −2,0,2g (x, y) = ln (yx2); c = −2,0,2

z = f (x, y) = x2 + y2, z = f (x, y) = x2 + y2, c = 3c = 3

f (x, y) = y + 2×2, f (x, y) = y + 2×2, c = c = любая константа

Для следующих упражнений найдите вертикальные кривые функций при указанных значениях xx и y и постройте кривые.

z = 4 − x − y; x = 2z = 4 − x − y; x = 2

f (x, y) = 3x + y3, x = 1 f (x, y) = 3x + y3, x = 1

z = cosx2 + y2z = cosx2 + y2 x = 1x = 1

Найдите домен следующих функций.

z = 100−4×2−25y2z = 100−4×2−25y2

f (x, y, z) = 136−4×2−9y2 − z2f (x, y, z) = 136−4×2−9y2 − z2

f (x, y, z) = 49 − x2 − y2 − z2f (x, y, z) = 49 − x2 − y2 − z2

f (x, y, z) = 16 − x2 − y2 − z23f (x, y, z) = 16 − x2 − y2 − z23

f (x, y) = cosx2 + y2f (x, y) = cosx2 + y2

Для следующих упражнений постройте график функции.

z = f (x, y) = x2 + y2z = f (x, y) = x2 + y2

Используйте технологию для построения графика z = x2y.z = x2y.

Нарисуйте следующее, найдя кривые уровня. Проверить график с помощью технологии.

f (x, y) = 4 − x2 − y2f (x, y) = 4 − x2 − y2

f (x, y) = 2 − x2 + y2f (x, y) = 2 − x2 + y2

z = 1 + e − x2 − y2z = 1 + e − x2 − y2

Опишите изолинии для нескольких значений cc для z = x2 + y2−2x − 2y.z = x2 + y2−2x − 2y.

Найдите поверхность уровня для функций трех переменных и опишите ее.

w (x, y, z) = x − 2y + z, c = 4w (x, y, z) = x − 2y + z, c = 4

w (x, y, z) = x2 + y2 + z2, c = 9w (x, y, z) = x2 + y2 + z2, c = 9

w (x, y, z) = x2 + y2 − z2, c = −4w (x, y, z) = x2 + y2 − z2, c = −4

w (x, y, z) = x2 + y2 − z2, c = 4w (x, y, z) = x2 + y2 − z2, c = 4

w (x, y, z) = 9×2−4y2 + 36z2, c = 0w (x, y, z) = 9×2−4y2 + 36z2, c = 0

Для следующих упражнений найдите уравнение кривой уровня ff, которое содержит точку P.P.

f (x, y) = 1−4×2 − y2, P (0,1) f (x, y) = 1−4×2 − y2, P (0,1)

г (x, y) = y2arctanx, P (1,2) g (x, y) = y2arctanx, P (1,2)

g (x, y) = exy (x2 + y2), P (1,0) g (x, y) = exy (x2 + y2), P (1,0)

Напряженность EE электрического поля в точке (x, y, z) (x, y, z), возникающего из-за бесконечно длинного заряженного провода, лежащего вдоль оси y, равна E (x, y, z) = k / x2 + y2, E (x, y, z) = k / x2 + y2, где kk — положительная постоянная. Для простоты положим k = 1k = 1 и найдем уравнения поверхностей уровня для E = 10 и E = 100, E = 10 и E = 100.

Тонкая пластина из железа расположена в плоскости xy.xy-плоскость. Температура TT в градусах Цельсия в точке P (x, y) P (x, y) обратно пропорциональна квадрату ее расстояния от начала координат. Выразите TT как функцию от xandy.xandy.

См. Предыдущую проблему. Используя найденную там температурную функцию, определите константу пропорциональности, если температура в точке P (1,2) составляет 50 ° C, P (1,2) составляет 50 ° C. Используйте эту константу, чтобы определить температуру в точке Q (3,4) .Q (3,4).

См. Предыдущую проблему.Найдите кривые уровня для T = 40 ° C и T = 100 ° C, T = 40 ° C и T = 100 ° C и опишите, что представляют собой кривые уровня.

График Z ​​X 2 Y 2

Простое объяснение нормального распространения (часть 1) YouTube

Нормальное распределение: найти вероятность с помощью Z баллов

Periodische Vorgänge Die allgemeine Sinusfunktion

Эта подсвеченная ОЗУ конфетного цвета выглядит достаточно хорошо для

livraison de la weed france bretagne andorre toulouse

Галерея вебмастеров Май, 2015 Галерея вебмастеров

Плюшевые Sega Mascot Trio Shin Godzilla 3 Forms Clawmark Toys

Кривая блеска переменной звезды цефеиды V1 ESA / Hubble

построить график x2 y2 z2 математическое уравнение изменяет эти

радиус графика y0 z0 x0 центр выглядит что-то

график 3d y2 график x2 введение

Gráfico Función î €€ zî € = î €€ xî € î € € 2î € î €€ yî ​​€ î €€ 2î € 9 Formas en 3D en MATLAB

График уравнения соответствия 2z его x2 y2 2z2 chegg

пространство для рисования графика цилиндров в matlab три

плоскость 2xy контурные графики вырезать седло wisc miller math edu аналогично m223 progs

График уравнение x2 y2 2z2 match 4y z2 2z 4y2 9x

MATLAB параметрический график xy графические поверхности с учетом построенного графика параметризация аналогично оси surf spl Holycross mathcs edu

Плоская математика 2xy седло графики пересечения между формой оси графика найти imgur исчисление

График уравнения его графики

графики математика граф форма поверхности 2xy wisc плоскость контур в поверхности уравнение миллера же домен edu

поверхности график поверхность график математика контур параболы герцог материалы образование edu перпендикуляр ccp

кривые уровня matlab вектор учебные поля spl Holycross mathcs edu

конус цилиндрических координат поверхности Matlab с использованием

направление математика направление касательный наклон градиент поле мин макс плоскость двойные точки функция производная wisc miller edu its

график поверхности математика сюжет кривая формы поверхность дифференциация цель контур площадь Duke материалы образование edu

математическая плоскость графики квадрат вырезать контур

графики sin кривые пределы wisc miller math edu

График 3D выглядит калькулятор графиков mathlab кредитов создано

график matlab ниже показан учебник по графику Holycross spl mathcs edu

matlab математика 3d поверхность лаборатория ms спектр exp серфинг непрерывный юта темы edu проект финансовые проекты btech mtech center engineering

сферический график координаты сферы рисования Matlab с использованием

matlab граф цилиндры цилиндр пространство для рисования три поверхность

В наброске sie socratic disgnare skizzieren fa come wie si

гиперболические поверхности параболоидный конус greenl ltcconline курсы

QaruSiteMathematica Le Math Stack

2xy плоскости графики седло вырезать контур аналогично wisc miller math edu поверхности

кривые wisc miller math edu point could bad hand there

граф геогебра

графики уравнения соответствуют 4y 9x поверхности y2 z2 chegg ниже решены

y2 x2 график z2 уравнение соответствует его транскрибированному тексту

График 4y 9x уравнение соответствует его транскрибированному тексту

matlab частная производная поверхность mse directional redwoods darnold edu производные

страница не найдена — Williams College

’62 Центр театра и танца, 62 Центр
касса	597-2425
Магазин костюмов	597-3373
Менеджер мероприятий / Помощник менеджера	597-4808	597-4815 факс
Производство		597-4474 факс
Магазин сцен	597-2439
’68 Центр карьерного роста, Мирс	597-2311	597-4078 факс
Academic Resources, Парески	597-4672	597-4959 факс
Служба поддержки инвалидов, Парески	597-4672
Прием, Вестон Холл	597-2211	597-4052 факс
Программа позитивных действий, Хопкинс-холл	597-4376
Africana Studies, Hollander	597-2242	597-4222 факс
Американские исследования, Шапиро	597-2074	597-4620 факс
Антропология и социология, Холландер	597-2076	597-4305 факс
Архивы и специальные коллекции, Sawyer	597-4200	597-2929 факс
Читальный зал	597-4200
Искусство (История, Студия), Spencer Studio Art / Lawrence	597-3578	597-3693 факс
Архитектурная студия, Spencer Studio Art	597-3134
Фотостудия, Spencer Studio Art	597-2030
Printmaking Studio, Spencer Studio Art	597-2496
Студия скульптуры, Spencer Studio Art	597-3101
Senior Studio, Spencer Studio Art	597-3224
Видео / Фотостудия, Spencer Studio Art	597-3193
Азиатские исследования, Холландер	597-2391	597-3028 факс
Астрономия / Астрофизика, Thompson Physics	597-2482	597-3200 факс
Департамент легкой атлетики, физическое воспитание, отдых, Ласелл	597-2366	597-4272 факс
Спортивный директор	597-3511
Лодочный домик, Озеро Онота	443-9851
Автобусы	597-2366
Фитнес-центр	597-3182
Hockey Rink Ice Line, Lansing Chapman	597-2433
Intramurals, Атлетический центр Чандлера	597-3321
Физическая культура	597-2141
Pool Wet Line, Атлетический центр Чандлера	597-2419
Спортивная информация, Хопкинс Холл	597-4982	597-4158 факс
Спортивная медицина	597-2493	597-3052 факс
Площадки для игры в сквош	597-2485
Поле для гольфа Taconic	458-3997
Биохимия и молекулярная биология, Thompson Biology	597-2126
Биоинформатика, геномика и протеомика, Бронфман	597-2124
Биология, Thompson Biology	597-2126	597-3495 факс
Охрана и безопасность кампуса, Хопкинс-холл	597-4444	597-3512 факс
Карты доступа / системы сигнализации	597-4970 / 4033
Служба сопровождения, Хопкинс Холл	597-4400
Офицеры и диспетчеры	597-4444
Секретарь, удостоверения личности	597-4343
Коммутатор	597-3131
Центр развития творческого сообщества, 66 Stetson Court	884-0093
Центр экономики развития, 1065 Main St	597-2148	597-4076 факс
Компьютерный зал	597-2522
Вестибюль	597-4383
Центр экологических исследований, класс 1966 г. Экологический центр	597-2346	597-3489 факс
Лаборатория наук об окружающей среде, Морли	597-2380
Экологические исследования	597-2346
ГИС Лаборатория	597-3183
Центр иностранных языков, литератур и культур, Холландер	597-2391	597-3028 факс
Арабоведение, Холландер	597-2391	597-3028 факс
Сравнительная литература, Холландер	597-2391
Критические языки, Hollander	597-2391	597-3028 факс
Языковая лаборатория	597-3260
Россия, Холландер	597-2391
Центр обучения в действии, Brooks House	597-4588	597-3090 факс
Библиотека редких книг Чапина, Сойер	597-2462	597-2929 факс
Читальный зал	597-4200
Офис капелланов, Парески	597-2483	597-3955 факс
Еврейский религиозный центр, Стетсон-Корт 24,	597-2483
Мусульманская молитвенная комната, часовня Томпсона (нижний уровень)	597-2483
Католическая часовня Ньюмана, часовня Томпсона (нижний уровень)	597-2483
Химия, Thompson Chemistry	597-2323	597-4150 факс
Классика (греческий и латинский), Hollander	597-2242	597-4222 факс
Когнитивная наука, Бронфман	597-4594
Маршал колледжа, Thompson Physics	597-2008
Отношения с колледжем	597-4057
Программа 25-го воссоединения, Фогт	597-4208	597-4039 факс
Программа 50-го воссоединения, Фогт	597-4284	597-4039 факс
Advancement Operations, Мирс-Вест	597-4154	597-4333 факс
Мероприятия для выпускников, Vogt	597-4146	597-4548 факс
Фонд выпускников	597-4153	597-4036 факс
Связи с выпускниками, Мирс Вест	597-4151	597-4178 факс
Почтовые службы для выпускников / разработчиков, Мирс-Уэст	597-4369
Девелопмент, Vogt	597-4256
Отношения с донорами, Vogt	597-3234	597-4039 факс
Офис по планированию подарков, Vogt	597-3538	597-4039 факс
Grants Office, Мирс-Уэст	597-4025	597-4333 факс
Программа крупных подарков, Vogt	597-4256	597-4548 факс
Parents Fund, Vogt	597-4357	597-4036 факс
Prospect Management & Research, Mears	597-4119	597-4178 факс
Начало занятий и академические мероприятия, Jesup	597-2347	597-4435 факс
Коммуникации, Хопкинс Холл	597-4277	597-4158 факс
Спортивная информация, Хопкинс Холл	597-4982	597-4158 факс
Web Team, Southworth Schoolhouse
Williams Magazines (ранее Alumni Review), Hopkins Hall	597-4278
Компьютерные науки, Thompson Chemistry	597-3218	597-4250 факс
Conferences & Events, Парески	597-2591	597-4748 факс
Запросы Elm Tree House, Mt.Ферма Надежды	597-2591
Офис диспетчера, Хопкинс Холл	597-4412	597-4404 факс
Счета к оплате и ввод данных, Хопкинс-холл	597-4453
Bursar & Cash Receipts, Hopkins Hall	597-4396
Финансовые информационные системы, Хопкинс Холл	597-4023
Карты покупок, Хопкинс Холл	597-4413
Студенческие ссуды, Хопкинс Холл	597-4683
Dance, 62 Центр	597-2410
Davis Center (бывший Многокультурный центр), Jenness	597-3340	597-3456 факс
Харди Хаус	597-2129
Jenness House	597-3344
Райс Хаус	597-2453
Декан колледжа, Хопкинс-холл	597-4171	597-3507 факс
Декан факультета, Хопкинс Холл	597-4351	597-3553 факс
Столовая, капельницы	597-2121	597-4618 факс
’82 Гриль, Парески	597-4585
Булочная, Паресский	597-4511
Общественное питание, Дом факультета	597-2452
Driscoll Dining Hall, Дрисколл	597-2238
Эко-кафе, Научный центр	597-2383
Grab ‘n Go, Парески	597-4398
Lee Snack Bar, Парески	597-3487
Обеденный зал Mission Park, Mission Park	597-2281
Whitmans ‘, Парески	597-2889
Экономика, Шапиро	597-2476	597-4045 факс
Английский, Холландер	597-2114	597-4032 факс
Сооружения, здание хозяйственно-бытового обслуживания	597-2301
College Car Request	597-2302
Скорая помощь вечером / в выходные дни	597-4444
Запросы на работу объектов		597-4141 факс
Особые мероприятия	597-4020
Склад	597-2143	597-4013 факс
Клуб преподавателей, Дом факультетов / Центр выпускников	597-2451	597-4722 факс
Бронирование	597-3089
Офис стипендий, Хопкинс-холл	597-3044	597-3507 факс
Financial Aid, Weston Hall	597-4181	597-2999 факс
Науки о Земле, Кларк Холл	597-2221	597-4116 факс
Немецко-Русский, Hollander	597-2391	597-3028 факс
Глобальные исследования, Холландер	597-2247
Магистерская программа по истории искусств, Кларк		458-2317 факс
Службы здравоохранения и хорошего самочувствия, Thompson Ctr Health	597-2206	597-2982 факс
Медицинское просвещение	597-3013
Услуги интегративного благополучия (консультирование)	597-2353
Чрезвычайные ситуации с опасностью для жизни	Позвоните 911
Медицинские услуги	597-2206
История, Hollander	597-2394	597-3673 факс
История науки, Бронфман		597-4116 факс
Лес Хопкинса	597-4353
Розенбург Центр	458-3080
Отдел кадров, B&L Building	597-2681	597-3516 факс
Услуги няни, корпус B&L	597-4587
Льготы	597-4355
Программа помощи сотрудникам	800-828-6025
Занятость	597-2681
Заработная плата	597-4162
Ресурсы для супруга / партнера	597-4587
Занятость студентов	597-4568
Линия погоды (ICEY)	597-4239
Humanities, Schapiro	597-2076
Информационные технологии, Jesup	597-2094	597-4103 факс
Пакеты для чтения курса, Dropbox Office Services	597-4090
Центр аренды оборудования, Додд Приложение	597-4091
Служба поддержки преподавателей / сотрудников, [электронная почта защищена]	597-4090
Медиа-услуги и справочная служба	597-2112
Служба поддержки студентов, [электронная почта]	597-3088
Телекоммуникации / телефоны	597-4090
Междисциплинарные исследования, Холландер	597-2552
Международное образование и учеба, Хопкинс-холл	597-4262	597-3507 факс
Инвестиционный офис, Хопкинс Холл	597-4447
Бостонский офис	617-502-2400	617-426-5784 факс
Еврейские исследования, Мазер	597-3539
Правосудие и закон, Холландер	597-2102
Latina / o Studies, Hollander	597-2242	597-4222 факс
Исследования лидерства, Шапиро	597-2074	597-4620 факс
Морские исследования, Бронфман	597-2297
Математика и статистика, Bascom	597-2438	597-4061 факс
Музыка, Бернхард	597-2127	597-3100 факс
Concertline (записанная информация)	597-3146
Неврология, Thompson Biology	597-4107	597-2085 факс
Окли Центр, Окли	597-2177	597-4126 факс
Управление институционального разнообразия и справедливости, Хопкинс-холл	597-4376	597-4015 факс
Офис студенческих счетов, Хопкинс-холл	597-4396	597-4404 факс
Исследования эффективности, 62 Центр	597-4366
Философия, Шапиро	597-2074	597-4620 факс
Физика, Thompson Physics	597-2482	597-4116 факс
Планетарий / Обсерватория Хопкинса	597-3030
Театр старой обсерватории Хопкинса	597-4828
Бронирование	597-2188
Политическая экономия, Шапиро	597-2327
Политология, Шапиро	597-2168	597-4194 факс
Офис президента, Хопкинс Холл	597-4233	597-4015 факс
Дом Президента	597-2388	597-4848 факс
Услуги печати / почты для преподавателей / сотрудников, ’37 House	597-2022
Программа обучения, Бронфман	597-4522	597-2085 факс
Офис Провоста, Хопкинс Холл	597-4352	597-3553 факс
Психология, психологические кабинеты и лаборатории	597-2441	597-2085 факс
Недвижимость, B&L Building	597-2195 / 4238	597-5031 факс
Ипотека для преподавателей / сотрудников	597-4238
Профессорско-преподавательский состав Аренда жилья	597-2195
Офис регистратора, Хопкинс Холл	597-4286	597-4010 факс
Религия, Холландер	597-2076	597-4222 факс
Romance Languages, Hollander	597-2391	597-3028 факс
Планировщик помещений	597-2555
Соответствие требованиям безопасности и охраны окружающей среды, класс ’37, дом	597-3003
Библиотека Сойера, Сойер	597-2501	597-4106 факс
Службы доступа	597-2501
Поступления / серийные номера	597-2506
Каталогизация / Службы метаданных	597-2507
Межбиблиотечный абонемент	597-2005	597-2478 факс
Исследовательские и справочные службы	597-2515
Стеллаж	597-4955	597-4948 факс
Системы	597-2084
Научная библиотека Шоу, Научный центр	597-4500	597-4600 факс
Исследования в области науки и технологий, Бронфман	597-2239
Научный центр, Бронфман		597-4116 факс
Магазин электроники	597-2205
Машинно-модельный цех	597-2230
Безопасность	597-4444
Специальные академические программы, Харди	597-3747	597-4530 факс
Спортивная информация, Хопкинс Холл	597-4982	597-4158 факс
Студенческая жизнь, Паресский	597-4747
Планировщик помещений	597-2555
Управление студенческими центрами	597-4191
Организация студенческих мероприятий	597-2546
Студенческое общежитие, Паресский	597-2555
Вовлеченность студентов	597-4749
Программы проживания для старших классов	597-4625
Студенческая почта, Парески, офис	597-2150
Центр устойчивого развития / Зилха, Харпер	597-4462
Коммутатор, Хопкинс Холл	597-3131
Книжный магазин Williams	458-8071	458-0249 факс
Театр, 62 Центр	597-2342	597-4170 факс
Trust & Estate Administration, Sears House	597-4259
Учебники	597-2580
вице-президент по вопросам жизни в кампусе, Хопкинс-холл	597-2044	597-3996 факс
Вице-президент по связям с колледжем, Мирс	597-4057	597-4178 факс
Вице-президент по финансам и администрированию, Hopkins Hall	597-4421	597-4192 факс
Центр визуальных ресурсов, Лоуренс	597-2015	597-3498 факс
Детский центр Williams College, Детский центр Williams	597-4008	597-4889 факс
Музей искусств колледжа Уильямс (WCMA), Лоуренс	597-2429	597-5000 факс
Подготовка музея	597-2426
Служба безопасности музея	597-2376
Музейный магазин	597-3233
Williams International	597-2161
Williams Outing Club, Парески	597-2317
Оборудование / Студенческий стол	597-4784
Проект Уильямса по экономике высшего образования, Мирс-Вест	597-2192
Williams Record, Парески	597-2400	597-2450 факс
Программа Уильямса-Эксетера в Оксфорде, Оксфордский университет	011-44-1865-512345
Программа Williams-Mystic, Mystic Seaport Museum	860-572-5359	860-572-5329 факс
Исследования женщин, гендера и сексуальности, Schapiro	597-3143	597-4620 факс
Написание программ, Хопкинс-холл	597-4615
Центр экологических инициатив «Зилха», Харпер	597-4462

Квадрические поверхности · Исчисление

• Определите цилиндр как тип трехмерной поверхности.
• Распознавать основные особенности эллипсоидов, параболоидов и гиперболоидов.
• Используйте трассировки, чтобы нарисовать пересечения квадратичных поверхностей с координатными плоскостями.

Мы изучали векторы и векторные операции в трехмерном пространстве, и мы разработали уравнения для описания линий, плоскостей и сфер. В этом разделе мы используем наши знания о плоскостях и сферах, которые являются примерами трехмерных фигур, называемых поверхностями , для изучения множества других поверхностей, которые могут быть построены в трехмерной системе координат.

Идентификационные цилиндры

Первая поверхность, которую мы рассмотрим, — это цилиндр. Хотя большинство людей сразу же думают о полой трубке или соломке с газировкой, когда слышат слово цилиндр , здесь мы используем широкое математическое значение этого термина. Как мы видели, цилиндрические поверхности не обязательно должны быть круглыми. Прямоугольный нагревательный канал представляет собой цилиндр, как и свернутый коврик для йоги, поперечное сечение которого имеет форму спирали.

В двумерной координатной плоскости уравнение x2 + y2 = 9

описывает круг с центром в начале координат и радиусом 3.

В трехмерном пространстве это же уравнение представляет поверхность. Представьте себе копии круга, сложенные друг на друга с центром на оси z ([ссылка]), образуя полую трубу. Затем мы можем построить цилиндр из набора прямых, параллельных оси z , проходящих через окружность x2 + y2 = 9

в плоскости xy , как показано на рисунке. Таким образом, любую кривую в одной из координатных плоскостей можно продолжить, чтобы она стала поверхностью.

Определение

Набор линий, параллельных заданной линии, проходящей через заданную кривую, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром .Параллельные линии называются постановлениями .

Из этого определения мы видим, что у нас все еще есть цилиндр в трехмерном пространстве, даже если кривая не является окружностью. Любая кривая может образовывать цилиндр, и линейки, составляющие цилиндр, могут быть параллельны любой данной линии ([ссылка]).

Графическое изображение цилиндрических поверхностей

Нарисуйте графики следующих цилиндрических поверхностей.

1. х2 + z2 = 25
2. г = 2х2-у
3. у = sinx

1. Переменная y

   может принимать любое значение без ограничений.Следовательно, линии, управляющие этой поверхностью, параллельны оси y . Пересечение этой поверхности с плоскостью xz образует круг с центром в начале координат с радиусом

   . 5

   (см. Следующий рисунок).

   ---

2. В этом случае уравнение содержит все три переменные —X, y,

   и

   z—

   , поэтому ни одна из переменных не может изменяться произвольно. Самый простой способ визуализировать эту поверхность — использовать компьютерную программу для построения графиков (см. Следующий рисунок).

   ---

3. В этом уравнении переменная z может принимать любое значение без ограничений. Следовательно, линии, составляющие эту поверхность, параллельны оси z . Пересечение этой поверхности с плоскостью yz очерчивает кривую y = sinx

   (см. следующий рисунок).

   ---

Нарисуйте или воспользуйтесь графическим инструментом для просмотра графика цилиндрической поверхности, определяемой уравнением z = y2.

Намекать

Переменная x

может принимать любое значение без ограничений.

При рисовании поверхностей мы увидели, что полезно рисовать пересечение поверхности с плоскостью, параллельной одной из координатных плоскостей. Эти кривые называются следами. Мы можем увидеть их на графике цилиндра в [ссылка].

Определение

Следы поверхности — это поперечные сечения, созданные, когда поверхность пересекает плоскость, параллельную одной из координатных плоскостей.

Следы полезны при рисовании цилиндрических поверхностей. Однако для трехмерного цилиндра полезен только один набор следов. Обратите внимание, в [ссылка], что след графика z = sinx

в плоскости xz полезен при построении графика. Однако след на плоскости xy представляет собой просто серию параллельных линий, а след на плоскости yz — это просто одна линия.

Цилиндрические поверхности образованы набором параллельных линий.Однако не все поверхности в трех измерениях строятся так просто. Теперь мы исследуем более сложные поверхности, и следы являются важным инструментом в этом исследовании.

Квадрические поверхности

Мы узнали о трехмерных поверхностях, описываемых уравнениями первого порядка; это самолеты. Некоторые другие распространенные типы поверхностей можно описать уравнениями второго порядка. Мы можем рассматривать эти поверхности как трехмерные продолжения конических сечений, которые мы обсуждали ранее: эллипса, параболы и гиперболы.Мы называем эти графы квадратичными поверхностями.

Определение

Квадрические поверхности представляют собой графики уравнений, которые могут быть выражены в форме

Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Jz + K = 0.

Когда квадратная поверхность пересекает координатную плоскость, след представляет собой коническое сечение.

Эллипсоид — это поверхность, описываемая уравнением вида x2a2 + y2b2 + z2c2 = 1.

Установить x = 0

, чтобы увидеть след эллипсоида на плоскости yz .Чтобы увидеть следы в плоскостях y и xz , установите z = 0

и y = 0,

соответственно. Обратите внимание, что если a = b,

след на плоскости xy представляет собой круг. Аналогично, если a = c,

след на плоскости xz представляет собой круг и, если b = c,

, то след на плоскости yz представляет собой круг. Таким образом, сфера — это эллипсоид с a = b = c.

Построение эллипсоида

Нарисуйте эллипсоид x222 + y232 + z252 = 1.

Начните с рисования следов. Чтобы найти след на плоскости xy , установите z = 0:

(см. [ссылка]). Чтобы найти другие следы, сначала установите y = 0

, а затем установите x = 0.

Теперь, когда мы знаем, как выглядят следы этого твердого тела, мы можем нарисовать поверхность в трех измерениях ([ссылка]).

След эллипсоида представляет собой эллипс в каждой из координатных плоскостей.Однако это не обязательно для всех квадратичных поверхностей. На многих квадратичных поверхностях есть следы, которые представляют собой различные виды конических сечений, и это обычно обозначается названием поверхности. Например, если поверхность может быть описана уравнением вида x2a2 + y2b2 = zc,

, то мы называем эту поверхность эллиптическим параболоидом . Трасса на плоскости xy представляет собой эллипс, но следы на плоскости xz и yz являются параболами ([ссылка]).Другие эллиптические параболоиды могут иметь другую ориентацию, просто меняя переменные местами, чтобы получить другую переменную в линейном члене уравнения x2a2 + z2c2 = yb

или y2b2 + z2c2 = xa.

Выявление следов квадратичных поверхностей

Опишите следы эллиптического параболоида x2 + y222 = z5.

Чтобы найти след на плоскости xy , установите z = 0:

След в плоскости z = 0

— это просто одна точка, начало координат.Поскольку одна точка не сообщает нам, что это за форма, мы можем переместиться вверх по оси z в произвольную плоскость, чтобы найти форму других следов фигуры.

След в плоскости z = 5

— график уравнения x2 + y222 = 1,

, который представляет собой эллипс. В плоскости xz уравнение принимает вид z = 5×2.

След представляет собой параболу в этой плоскости и в любой плоскости с уравнением y = b.

В плоскостях, параллельных плоскости yz , следы также являются параболами, как мы можем видеть на следующем рисунке.

Гиперболоид из одного листа — это любая поверхность, которую можно описать уравнением вида x2a2 + y2b2 − z2c2 = 1.

Опишите следы гиперболоида одного листа, заданные уравнением x232 + y222 − z252 = 1.

Трассы, параллельные плоскости xy , представляют собой эллипсы, а трассы, параллельные плоскостям xz и yz , являются гиперболами. В частности, след на плоскости xy представляет собой эллипс x232 + y222 = 1,

кривая на плоскости xz является гиперболой x232 − z252 = 1,

, а след на плоскости yz — это гипербола y222 − z252 = 1

(см. Следующий рисунок).* * *

Намекать

Чтобы найти следы в координатных плоскостях, установите каждую переменную на ноль отдельно.

Гиперболоиды одного листа обладают удивительными свойствами. Например, они могут быть построены с использованием прямых линий, как в скульптуре в [ссылка] (а). Фактически градирни для атомных электростанций часто имеют форму гиперболоида. Строители могут использовать в конструкции прямые стальные балки, что делает башни очень прочными при использовании относительно небольшого количества материала ([ссылка] (b)).

Вступление к главе: Как найти фокус параболического отражателя

Энергия, падающая на поверхность параболического отражателя, концентрируется в фокусе отражателя ([ссылка]). Если поверхность параболического отражателя описывается уравнением x2100 + y2100 = z4,

где фокус рефлектора?

Поскольку z является переменной первой степени, ось отражателя соответствует оси z .Коэффициенты x2

и y2

равны, поэтому поперечное сечение параболоида, перпендикулярного оси z , представляет собой круг. Мы можем рассмотреть след в плоскости xz или yz ; результат тот же. Установка y = 0,

кривая представляет собой параболу, раскрывающуюся вдоль оси z , со стандартным уравнением x2 = 4pz,

где p

— фокусное расстояние параболы.В этом случае это уравнение принимает вид x2 = 100 · z4 = 4pz

или 25 = 4п.

Так p составляет 6,25

м, что говорит о фокусе параболоида 6,25

м вверх по оси от вершины. Поскольку вершина этой поверхности является началом координат, точка фокусировки находится в (0,0,6.25).

Семнадцать стандартных квадратичных поверхностей могут быть получены из общего уравнения

Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Jz + K = 0.

На следующих рисунках приведены наиболее важные из них.

Идентификация уравнений квадратичных поверхностей

Определите поверхности, представленные данными уравнениями.

1. 16×2 + 9y2 + 16z2 = 144
2. 9×2−18x + 4y2 + 16y − 36z + 25 = 0

1. x, y,

   и

   z

   члены возведены в квадрат и все положительны, так что это, вероятно, эллипсоид. Однако давайте на всякий случай приведем уравнение в стандартную форму для эллипсоида.У нас

   ---

   16×2 + 9y2 + 16z2 = 144.

   ---

   Если разделить на 144, получим

   ---

   х29 + у216 + z29 = 1.

   ---

   Итак, это, на самом деле, эллипсоид с центром в начале координат.

2. Сначала мы замечаем, что z

   возведен только в первую степень, так что это либо эллиптический параболоид, либо гиперболический параболоид. Также отметим, что есть

   x

   терминов и

   y

   членов, которые не возведены в квадрат, поэтому эта квадратичная поверхность не центрирована в начале координат.Нам нужно заполнить квадрат, чтобы представить это уравнение в одной из стандартных форм. У нас

   ---

   9×2−18x + 4y2 + 16y − 36z + 25 = 09×2−18x + 4y2 + 16y + 25 = 36z9 (x2−2x) +4 (y2 + 4y) + 25 = 36z9 (x2−2x + 1−1) +4 (y2 + 4y + 4−4) + 25 = 36z9 (x − 1) 2−9 + 4 (y + 2) 2−16 + 25 = 36z9 (x − 1) 2 + 4 (y + 2) 2 = 36z (x − 1) 24+ (y − 2) 29 = z.

   ---

   Это эллиптический параболоид с центром в

   . (1,2,0).

Определите поверхность, представленную уравнением 9×2 + y2 − z2 + 2z − 10 = 0.

Гиперболоид из одного листа с центром в точке (0,0,1)

Намекать

Посмотрите на знаки и степени x, y и z

условия.

Ключевые понятия

• Набор линий, параллельных заданной линии, проходящей через заданную кривую, называется цилиндром или цилиндрической поверхностью . Параллельные линии называются постановлениями .
• Пересечение трехмерной поверхности и плоскости называется трассой . Чтобы найти след в плоскостях xy -, yz — или xz , установите z = 0, x = 0 или y = 0,

  соответственно.

• Квадрические поверхности — это трехмерные поверхности со следами, состоящими из конических участков.Каждую квадратичную поверхность можно выразить уравнением вида Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Jz + K = 0.
• Чтобы нарисовать график квадратичной поверхности, начните с рисования следов, чтобы понять структуру поверхности.
• Важные квадратичные поверхности приведены в [link] и [link].

Для следующих упражнений нарисуйте и опишите цилиндрическую поверхность данного уравнения.

Поверхность представляет собой цилиндр с линейками, параллельными оси y .* * *

Поверхность представляет собой цилиндр с бороздками, параллельными оси y . * * *

Поверхность представляет собой цилиндр с бороздками, параллельными оси x . * * *

Для следующих упражнений дается график квадратичной поверхности.

1. Укажите имя квадратичной поверхности.
2. Определите ось симметрии квадратичной поверхности.

! [Этот рисунок представляет собой поверхность внутри коробки. Его поперечное сечение, параллельное плоскости y z, было бы перевернутой параболой. Внешние края трехмерного блока масштабируются для представления трехмерной системы координат.] (/ Calculus-book / resources / CNX_Calc_Figure_12_06_215.jpg)

а. Цилиндр; б. x — ось

! [Этот рисунок представляет собой поверхность внутри коробки. Это эллиптический конус. Внешние края трехмерного блока масштабируются для представления трехмерной системы координат.] (/ Calculus-book / resources / CNX_Calc_Figure_12_06_214.jpg)

! [Этот рисунок представляет собой поверхность в трехмерной системе координат. Есть две конические формы, обращенные друг к другу. У них ось x проходит через центр.] (/ Calculus-book / resources / CNX_Calc_Figure_12_06_221.jpg)

а. Гиперболоид из двух листов; б. x — ось

! [Эта фигура представляет собой поверхность в трехмерной системе координат. Это параболическая поверхность с осью x, проходящей через центр.] (/ Calculus-book / resources / CNX_Calc_Figure_12_06_222.jpg)

Для следующих упражнений сопоставьте данную квадратную поверхность с соответствующим уравнением в стандартной форме.

1. х24 + у29-z212 = 1
2. х24 − y29 − z212 = 1
3. х24 + у29 + z212 = 1
4. г2 = 4х2 + 3у2
5. г = 4х2-у2
6. 4×2 + y2 − z2 = 0

Гиперболоид из двух листов

Для следующих упражнений перепишите данное уравнение квадратичной поверхности в стандартной форме.Определите поверхность.

−x2 + 36y2 + 36z2 = 9

гиперболоид одного листа с осью симметрии x в качестве оси симметрии

−3×2 + 5y2 − z2 = 10

гиперболоид двух листов с осью симметрии y в качестве оси симметрии

5у = х2 − z2

с осью симметрии y в качестве оси симметрии

x2 + 5y2−8z2 = 0

эллиптический конус с осью симметрии z в качестве оси симметрии

6x = 3y2 + 2z2

с осью симметрии x в качестве оси симметрии

Для следующих упражнений найдите след данной квадратичной поверхности в указанной плоскости координат и нарисуйте его.

Парабола y = −x24,

[T] −4×2 + 25y2 + z2 = 100, x = 0

Эллипс y24 + z2100 = 1,

[T] −4×2 + 25y2 + z2 = 100, y = 0

Эллипс y24 + z2100 = 1,

Используйте график данной квадратичной поверхности, чтобы ответить на вопросы.

1. Укажите имя квадратичной поверхности.
2. Какое из уравнений — 16×2 + 9y2 + 36z2 = 3600,9×2 + 36y2 + 16z2 = 3600,

   или

   36×2 + 9y2 + 16z2 = 3600

   — соответствует графику?

3. Использование b. записать уравнение квадратичной поверхности в стандартном виде.

а. Эллипсоид; б. Третье уравнение; c. х2100 + у2400 + z2225 = 1

Используйте график данной квадратичной поверхности, чтобы ответить на вопросы.

1. Укажите имя квадратичной поверхности.
2. Какое из уравнений — 36z = 9×2 + y2,9×2 + 4y2 = 36z или −36z = −81×2 + 4y2

   — соответствует приведенному выше графику?

3. Использование b. записать уравнение квадратичной поверхности в стандартном виде.

Для следующих упражнений дано уравнение квадратичной поверхности.

1. Воспользуйтесь методом заполнения квадрата, чтобы написать уравнение в стандартной форме.
2. Определите поверхность.

x2 + 2z2 + 6x − 8z + 1 = 0

а.(х + 3) 216+ (г — 2) 28 = 1;

г. Цилиндр с центром (−3,2)

с направляющими параллельно оси и

4×2 − y2 + z2−8x + 2y + 2z + 3 = 0

x2 + 4y2−4z2−6x − 16y − 16z + 5 = 0

а. (x − 3) 24+ (y − 2) 2− (z + 2) 2 = 1;

г. Гиперболоид из одного листа с центром (3,2, −2),

с осью симметрии z в качестве оси симметрии

x2 + y24 − z23 + 6x + 9 = 0

а.(х + 3) 2 + y24-z23 = 0;

г. Эллиптический конус с центром (−3,0,0),

с осью симметрии z в качестве оси симметрии

Напишите стандартную форму уравнения эллипсоида с центром в начале координат, который проходит через точки A (2,0,0), B (0,0,1),

и C (12,11,12).

х24 + у216 + z2 = 1

Запишите стандартную форму уравнения эллипсоида с центром в точке P (1,1,0)

, проходящий через точки A (6,1,0), B (4,2,0)

и С (1,2,1).

Определить точки пересечения эллиптического конуса x2 − y2 − z2 = 0

с линией симметричных уравнений x − 12 = y + 13 = z.

Определить точки пересечения параболического гиперболоида z = 3×2−2y2

со строкой параметрических уравнений x = 3t, y = 2t, z = 19t,

где t∈ℝ.

Найдите уравнение квадратичной поверхности с точками P (x, y, z)

, которые равноудалены от точки Q (0, −1,0)

и плоскость уравнения y = 1.

Определите поверхность.

эллиптический параболоид

Найдите уравнение квадратичной поверхности с точками P (x, y, z)

, которые равноудалены от точки Q (0,2,0)

и плоскость уравнения y = −2.

Определите поверхность.

Если поверхность параболического отражателя описывается уравнением 400z = x2 + y2,

найти фокус рефлектора.

(0,0,100)

Рассмотрим параболический отражатель, описываемый уравнением z = 20×2 + 20y2.

Найдите точку фокусировки.

Покажите, что квадратная поверхность x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + x + y + z = 0

сводится к двум параллельным плоскостям.

Покажите, что квадратная поверхность x2 + y2 + z2−2xy − 2xz + 2yz − 1 = 0

сводится к прохождению двух параллельных плоскостей.

[T] Пересечение цилиндра (x − 1) 2 + y2 = 1

и сфера x2 + y2 + z2 = 4

называется кривой Вивиани .

1. Решите систему, состоящую из уравнений поверхностей, чтобы найти уравнение кривой пересечения. ( Подсказка: Найти x

   и

   y

   в пересчете на

   з.)
2. Используйте систему компьютерной алгебры (CAS), чтобы визуализировать кривую пересечения на сфере х2 + у2 + z2 = 4.

а. х = 2 − z22, y = ± z24 − z2,

, где z∈ [−2,2];

б.* * *

Гиперболоид одного листа 25×2 + 25y2 − z2 = 25

и эллиптический конус −25×2 + 75y2 + z2 = 0

показаны на следующем рисунке вместе с их кривыми пересечения. Найдите кривые пересечения и найдите их уравнения ( Подсказка: Найдите y из системы, состоящей из уравнений поверхностей.)

[T] Используйте CAS, чтобы создать пересечение между цилиндром 9×2 + 4y2 = 18

и эллипсоид 36×2 + 16y2 + 9z2 = 144,

и найдите уравнения кривых пересечения.

два эллипса уравнений x22 + y292 = 1

в плоскостях z = ± 22

[T] Сфероид — это эллипсоид с двумя равными полуосями. Например, уравнение сфероида с осью симметрии z в качестве оси симметрии задается формулой x2a2 + y2a2 + z2c2 = 1,

где

и c

— положительные действительные числа. Сфероид называется сжатым , если c

и вытягивают при c> a.

1. Роговица глаза приблизительно представляет собой вытянутый сфероид с осью, которая является глазом, где a = 8,7 мм и c = 9,6 мм.

   Напишите уравнение сфероида, моделирующего роговицу, и нарисуйте поверхность.

2. Приведите два примера объектов с вытянутой сфероидной формой.

[T] В картографии Земля аппроксимируется сплюснутым сфероидом, а не сферой. Радиусы на экваторе и полюсах составляют примерно 3963

миль и 3950

миль соответственно.

1. Напишите уравнение в стандартной форме эллипсоида, представляющего форму Земли. Предположим, что центр Земли находится в начале координат и что след, образованный плоскостью z = 0

   соответствует экватору.

2. Нарисуйте график.
3. Найдите уравнение кривой пересечения поверхности с плоскостью. z = 1000

   , что параллельно плоскости xy . Кривая пересечения называется параллелью .

4. Найдите уравнение кривой пересечения поверхности с плоскостью. x + y = 0

   , который проходит через ось z . Кривая пересечения называется меридианом .

а. x239632 + y239632 + z239502 = 1;

б. * * *

; * * *

г. Кривая пересечения — это эллипс уравнения x239632 + y239632 = (2950) (4950) 39502,

, а перекресток представляет собой эллипс.; d. Кривая пересечения — это эллипс уравнения 2y239632 + z239502 = 1.

[T] Набор жужжащих магнитов для трюков (или «яиц гремучей змеи») включает в себя два сверкающих, полированных, сверхсильных магнита сфероидной формы, хорошо известных для детских развлечений. Каждый магнит 1,625

дюйма в длину и 0,5

дюйма шириной посередине. Подбрасывая их в воздух, они издают жужжащий звук, притягиваясь друг к другу.

1. Напишите уравнение вытянутого сфероида с центром в начале координат, которое описывает форму одного из магнитов.
2. Напишите уравнения вытянутых сфероидов, моделирующих форму гудящих магнитов для каскадеров. Используйте CAS для создания графиков.

[T] Поверхность в форме сердца задается уравнением (x2 + 94y2 + z2−1) 3 − x2z3−980y2z3 = 0.

1. Используйте CAS для построения графика поверхности, моделирующей эту форму.
2. Определите и нарисуйте след сердцевидной поверхности на плоскости xz .

а.* * *

б. Кривая пересечения равна (x2 + z2−1) 3 − x2z3 = 0.

[T] Кольцевой тор, симметричный относительно оси z , представляет собой особый тип поверхности в топологии, и его уравнение задается формулой (x2 + y2 + z2 + R2 − r2) 2 = 4R2 (x2 + y2) ,

где R> r> 0.

Номера R

и

называются соответственно большим и малым радиусами поверхности.На следующем рисунке показан кольцевой тор, для которого R = 2andr = 1.

1. Напишите уравнение кольцевого тора с R = 2andr = 1,

   и используйте CAS для построения графика поверхности. Сравните график с приведенным рисунком.

2. Определите уравнение и нарисуйте след кольцевого тора из a. на самолете xy .
3. Приведите два примера объектов кольцевой формы тора.

Глоссарий

цилиндр

набор линий, параллельных заданной линии, проходящей через заданную кривую

эллипсоид

трехмерная поверхность, описываемая уравнением вида x2a2 + y2b2 + z2c2 = 1;

все следы этой поверхности эллипсы

эллиптический конус

трехмерная поверхность, описываемая уравнением вида x2a2 + y2b2 − z2c2 = 0;

Следы этой поверхности включают эллипсы и пересекающиеся линии

эллиптический параболоид

трехмерная поверхность, описываемая уравнением вида z = x2a2 + y2b2;

следы этой поверхности включают эллипсы и параболы

гиперболоид одного листа

трехмерная поверхность, описываемая уравнением вида x2a2 + y2b2 − z2c2 = 1;

следы этой поверхности включают эллипсы и гиперболы

двухлистный гиперболоид

трехмерная поверхность, описываемая уравнением вида z2c2 − x2a2 − y2b2 = 1;

следы этой поверхности включают эллипсы и гиперболы

квадратичные поверхности

трехмерных поверхностей, имеющих свойство, состоящее в том, что следы поверхности представляют собой конические сечения (эллипсы, гиперболы и параболы)

постановлений

параллельных линий, образующих цилиндрическую поверхность

след

пересечение трехмерной поверхности с координатной плоскостью

Пример 9.

Решение.

Мы будем рассматривать \ (R \) как область типа \ (II \) \ (\ left ({\ text {Figure} 9} \ right). \)

Значения \ (y \) — это значения между \ (a \) и \ (2a \), в то время как, учитывая \ (y, \), соответствующие значения \ (x \) находятся между \ ( х = у — а \) и \ (х = у.3}}} {2}.} \]

Комплексные числа: абсолютное значение

Для комплексного числа z = x + yi, определяем абсолютное значение | z | как расстояние от z до 0 в комплексной плоскости C . Это расширит определение абсолютного значения для действительных чисел, поскольку абсолютное значение | x | действительного числа x можно интерпретировать как расстояние от x до 0 на строке действительного числа.Мы можем найти расстояние | z | с помощью теоремы Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник с одной вершиной в 0, другой в z и третьим в x на действительной оси непосредственно под z (или выше z , если z оказывается ниже действительной оси). Горизонтальная сторона треугольника имеет длину | x |, вертикальная сторона имеет длину | y |, а диагональная сторона имеет длину | z |. Следовательно,

(Обратите внимание, что для вещественных чисел, таких как x, , мы можем опустить абсолютное значение при возведении в квадрат, поскольку | x | ² = x ² .) Это дает нам формулу для | z |, а именно,

Единичный круг.

Комплексное число z = x + yi будет лежать на единичной окружности, когда x ² + y ² = 1. Некоторые примеры, кроме 1, –1, i, и — 1 равны ± √2 / 2 ± i √2 / 2, где плюсы и минусы могут быть взяты в любом порядке.Это четыре точки на пересечении диагональных линий y = x и y = x с единичной окружностью. Позже мы увидим их как квадратные корни из i и — i.

Вы можете найти другие комплексные числа на единичной окружности из троек Пифагора. тройка Пифагора состоит из трех целых чисел a, b, и c , так что a ² + b ² = c ² Если разделить это уравнение на c ² , тогда вы обнаружите, что ( a / c ) ² + ( b / c ) ² = 1.Это означает, что a / c + i b / c — комплексное число, лежащее на единичной окружности. Самая известная тройка Пифагора — 3: 4: 5. Эта тройка дает нам комплексное число 3/5 + i 4/5 на единичной окружности. Некоторые другие пифагорейские тройки: 5:12:13, 15: 8: 17, 7:24:25, 21:20:29, 9:40:41, 35:12:27 и 11:60:61. Как и следовало ожидать, их бесконечно много. (Для еще немного о троек Пифагора см. в конце страницы по адресу http: // www.clarku.edu/~djoyce/trig/right.html.)

Неравенство треугольника.

Существует важное свойство комплексных чисел, относящееся к сумме абсолютного значения, называемое неравенством треугольника. Если z и w — любые два комплексных числа, то

Вы можете увидеть это из правила сложения параллелограмма. Рассмотрим треугольник с вершинами 0, z, и z + w. Одна сторона треугольника от 0 до z + w имеет длину | z + w |.Вторая сторона треугольника от 0 до z, имеет длину | z |. И третья сторона треугольника, от z до z + w, параллельна и равна прямой от 0 до w, и, следовательно, имеет длину | w |. Итак, в любом треугольнике любая сторона меньше или равна сумме двух других сторон, и, следовательно, мы имеем неравенство треугольника, показанное выше.