Уравнение окружности онлайн график: Каноническое уравнение окружности

Содержание

Графики уравнений 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Тема: Системы уравнений

Урок: Графики уравнений

1. Тема урока, введение

Мы рассматриваем рациональное уравнение вида и системы рациональных уравнений вида

Мы говорили, что каждое уравнение в этой системе имеет свой график, если конечно имеются решения уравнений. Мы рассмотрели несколько графиков различных уравнений.

Сейчас мы систематически рассмотрим каждое из известных нам уравнений, т.е. выполним обзор по графикам уравнений.

2. График линейного уравнения

1. Линейное уравнение с двумя переменными

x, y – в первой степени; a,b,c – конкретные числа.

Пример:

Графиком этого уравнения является прямая линия.

Мы действовали равносильными преобразованиями – y оставили на месте, всё остальное перенесли в другую сторону с противоположными знаками. Исходное и полученное уравнения равносильны, т.е. имеют одно и то же множество решений. График этого уравнения мы умеем строить, и методика его построения такова: находим точки пересечения с координатными осями и по ним строим прямую.

X	0
Y	1	0

В данном случае

Зная график уравнения, мы можем многое сказать о решениях исходного уравнения, а именно: если сли

Эта функция возрастает, т.е. с увеличением x увеличивается y. Мы получили два частных решения, а как записать множество всех решений?

Если точка имеет абсциссу x, то ордината этой точки

Значит, решением исходного уравнения является множество пар чисел

У нас было уравнение, мы построили график, нашли решения. Множество всех пар – сколько их? Бесчисленное множество.

3. График рационального уравнения

Это рациональное уравнение,

Найдем y, равносильными преобразованиями получаем

Положим и получаем квадратичную функцию, ее график нам известен.

Пример: Построить график рационального уравнения.

Графиком является парабола, ветви направлены вверх.

Найдем корни уравнения:

Схематически изобразим график (Рис. 2).

С помощью графика мы получаем всевозможные сведения и о функции, и о решениях рационального уравнения. Мы определили промежутки знакопостоянства, теперь найдем координаты вершины параболы.

У уравнения бесчисленное множество решений, т.е. бесчисленное множество пар , удовлетворяющих уравнению, но все А каким может быть x? Любым!

Если мы зададим любое x, то получим точку

Решением исходного уравнения является множество пар

4.

График уравнения – гипербола

3. Построить график уравнения

Необходимо выразить y. Рассмотрим два варианта.

Графиком функции является гипербола, функция не определена при

Функция убывающая.

Если

Если мы возьмем точку с абсциссой , то ее ордината будет равна

Решением исходного уравнения является множество пар

Построенную гиперболу можно сдвигать относительно осей координат.

Например, график функции – тоже гипербола – будет сдвинут на единицу вверх по оси ординат.

5. График уравнения окружности

4. Уравнение окружности

Это рациональное уравнение с двумя переменными. Множеством решений являются точки окружности. Центр в точке радиус равен R (Рис. 4).

Рассмотрим конкретные примеры.

Приведем уравнение к стандартному виду уравнения окружности, для этого выделим полный квадрат суммы:

– получили уравнение окружности с центром в .

Построим график уравнения (Рис. 5).

b. Построить график уравнения

Вспомним, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю, а второй существует.

График заданного уравнения состоит из совокупности графиков первого и второго уравнений, т.е. двух прямых.

Построим его (Рис. 6).

Построим график функции Прямая будет проходить через точку (0; -1). Но как она пройдет – будет возрастать или убывать? Определить это нам поможет угловой коэффициент, коэффициент при x, он отрицательный, значит функция убывает. Найдем точку пересечения с осью ox, это точка (-1; 0).

Аналогично строим график второго уравнения. Прямая проходит через точку (0; 1), но возрастает, т.к. угловой коэффициент положителен.

Координаты всех точек двух построенных прямых и являются решением уравнения.

6. Вывод

Итак, мы проанализировали графики важнейших рациональных уравнений, они будут использоваться и в графическом методе и в иллюстрации других методов решения систем уравнений.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 95-102.

как составить, решение задач по теме

Уравнение окружности и прямой — как между собой связаны

Определение

Окружностью называют замкнутую плоскую кривую, состоящую из всех точек на плоскости, которые равноудалены от заданной точки, лежащей в аналогичной плоскости, что и кривая. Данная точка является центром окружности.

Записать уравнение окружности можно, используя известные свойства геометрической фигуры:

Любые точки окружности равноудалены от ее центра.

2=4\)

Центром данной геометрической фигуры является точка C(1;-2). Радиус окружности равен R=2.

Источник: itest.kzОпределение

Прямая представляет собой линию, которая не имеет начала и не имеет конца, и при этом не искривляется.

Каждую прямую на плоскости можно представить в виде уравнения прямой первой степени. Формула имеет следующий вид:

Ax + By + C = 0

В данном случае А и В не могут одновременно принимать нулевые значения.

С учетом углового коэффициента общее уравнение прямой при значении b, не равном нулю, записывают следующим образом:

y = kx + b

Здесь k является угловым коэффициентом, который можно посчитать, как тангенс угла между рассматриваемой прямой и положительным направлением оси ОХ.

Рассмотрим случай, когда прямая пересекает оси ОХ и ОУ в точках, имеющих следующие координаты:

\((a; 0)\ и\ (0; b)\)

Найти рассматриваемую прямую можно с помощью уравнения прямой в отрезках:

\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)

Предположим, что прямая пересекает пару точек \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2; y_2),\) удовлетворяющих данным условиям:

\(x_1 ≠ x_2\ и\ y_1 ≠ y_2\)

В таком случае уравнение прямой рассчитывают по формуле:

\(\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}\)

Например, существует некая прямая в прямоугольной системе координат. {2}=\frac{9}{5}\)

Задача 6

Требуется записать уравнение, описывающее прямую с угловым коэффициентом \(k= \frac{3}{2}\). Искомая прямая пересекает точку А (3;2).

Решение

В первую очередь следует записать стандартную формулу:

\(y-y_{0}=k(x-x_{0})\)

Применительно к условиям задачи, получим:

\(y-(-2)= \frac{3}{2} (x-3)\)

\(y+2= \frac{3}{2}х-\frac{9}{2}\)

\(y= \frac{3}{2}х-\frac{13}{2}\)

Ответ: \(y= \frac{3}{2}х-\frac{13}{2}\)

уравнение калькулятора круговой калькуляции

  Исследование  Math  Геометрия

Этот калькулятор уравнения круга отображает стандартное уравнение формы, параметрическое уравнение формы и общее уравнение окружность с центром и радиусом окружности. Формулы находятся под калькулятором.

Уравнение окружности с учетом центра и радиуса

Центр

Радиус

Стандартная форма уравнения окружности

Общая форма уравнения окружности

Параметрическая форма уравнения окружности

Уравнение окружности точки, лежащие на окружности круг.

То есть, если точка удовлетворяет уравнению окружности, она лежит на окружности окружности. Существуют разные формы уравнения окружности:

общая форма
стандартная форма
параметрическая форма
полярная форма.

Уравнение общей формы окружности

Общее уравнение окружности с центром и радиусом:
,
где

При общей форме трудно рассуждать о свойствах окружности, а именно о центре и радиусе. Но его можно легко преобразовать в стандартную форму, в которой гораздо легче разобраться.

Стандартное уравнение формы окружности

Стандартное уравнение окружности с центром в точке и радиусом равно

Вы можете преобразовать общую форму в стандартную, используя технику, известную как Завершение квадрата. Из этого уравнения окружности вы можете легко определить координаты центра и радиус окружности.

Параметрическое уравнение формы окружности

Параметрическое уравнение окружности с центром в точке и радиусом

Это уравнение называется «параметрическим», поскольку угол тета называется «параметром». Это переменная, которая может принимать любые значения (но, конечно, они должны быть одинаковыми в обоих уравнениях). Он основан на определениях синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике.

Полярная форма Уравнение окружности

Полярная форма несколько похожа на стандартную форму, но требует, чтобы центр окружности находился в полярных координатах от начала координат. В этом случае полярные координаты точки на окружности должны удовлетворять следующему уравнению
,
, где a — радиус окружности.

URL скопирован в буфер обмена