Нажмите "Enter", чтобы перейти к содержанию

Поверхность онлайн построение: Построение поверхности 3D online

Содержание

Поверхностная диаграмма в Excel и пример ее построения

Принцип построения поверхностных диаграмм в Excel можно сравнить с рельефными картами. Где положение пункта определяется не только долготой и широтой, но и третьей величиной – высотой.

Данное сравнение поможет понять, как создать на первый взгляд сложную поверхностную диаграмму в Excel и как ее использовать.

Построение поверхностной диаграммы в Excel

Практический пример применения и создания поверхностной диаграммы в Excel.

Напряжение излучения в квадратной комнате определено формулой z=[sin(x)*y]2. Начало осей координат расположено центру комнаты.

Визуально сложно определить место в комнате, где наиболее интенсивное излучение. Создадим графическое представление ситуации, которое будет читабельно даже для дилетантов.



Сначала выполним все необходимые расчеты и вычисления в таблице. А поверхностную диаграмму построим на основе уже полученных данных.

  1. Заполните таблицу как указано на рисунке.2 и нажмите комбинацию клавиш CTRL+Enter. Обратите внимание, как мы используем в аргументах формулы смешанные ссылки на ячейки.
  2. Между столбцами A и B вставьте новый столбец и заполните его вторую ячейку формулой: =» «&A2 (не забудьте поставить пробел между кавычками). Скопируйте эту формулу во все ячейки столбца до 12-ой строки (то есть заполните этой формулой диапазон ячеек B2:B12).
  3. Выделите диапазон: B2:M12 и выберите инструмент: «Вставка»-«Диаграммы»-«Другие»-«Поверхность».

Теперь четко видно на диаграмме что наибольшая интенсивность излучения находится в углах комнаты.

Чтобы правильно настроить горизонтальную ось X, щелкните по диаграмме, чтобы ее активировать и выберите инструмент: «Работа с диаграммами»-«Конструктор»-«Выбрать данные».

В появившемся окне «Выбор источника данных» в правом разделе «Подписи горизонтальной оси (категории)» щелкните на кнопку «Изменить».

В окне «Подписи оси» измените значение, выделив диапазон ячеек C13:M13 и на всех диалоговых окнах нажмите ОК.

Краткое описание примера

Стоит отметить! При создании поверхностной диаграммы мы изменили числовые значения столбца A в текстовые, поместив их в столбец B с помощью формулы . Если бы мы этого не сделали, то Excel воспринял бы эти числовые значения (столбца A) как данные для построения поверхностной диаграммы, а не как подписи данных.

Если бы мы просто присвоили текстовый формат для значений столбца A (вместо дополнительного столбца с формулами), тогда мы просто получили бы ошибку при расчетах.

Вот в такой нехитрый способ мы красиво сделали подписи для осей диаграммы и не допустили ошибок при расчетах.

Не удается найти страницу | Autodesk Knowledge Network

(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}}*

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}}/500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$item}} {{l10n_strings.PRODUCTS}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}  

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{l10n_strings.LANGUAGE}} {{$select.selected.display}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR}}  

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

{{$select.selected.display}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}

Онлайн калькулятор: Эллипсоид

Неравносторонний эллипсоид

Размеры эллипсоида

Эллипсоид — поверхность похожая на сферу, у которой сечение выглядит в виде эллипса.

Эллипсоиды

Выражение стандартного эллипсоида в трехмерной системе координат выглядит следующим образом:

,
где a — радиус по оси x, b — радиус по оси y, c — радиус по оси z.
Объем эллипсоида задается следующей формулой:
Формулу площади поверхности эллипсоида нельзя выразить при помощи простейших фуункций. Кнуд Томсен из Дании предложил следующую приближенную формулу площади поверхности эллипсоида: , где p=1.6075

Эллипсоид

Длина (радиус) полуоси a

Длина (радиус) полуоси b

Длина (радиус) полуоси с

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Площадь поверхности ( приблизительно)

 

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

Сфероид

Если две из трех полуосей эллипсоида равны друг другу, то такой эллипсоид называют сфероидом (эллипсоидом вращения). Различают два вида сфероидов: сплющенный сфероид (похожий на линзу) и вытянутый сфероид (по форме напоминающий сигару).
Объем сфероида любого типа вычисляется по формуле:

В отличие от эллипсоида, для сфероида известна точная формула для вычисления площади поверхности:

Сплющенный эллипсоид вращения (сфероид)

Для сплющенного сфероида (a = b > c):

где угловой эксцентриситет

Вытянутый эллипсоид вращения (сфероид)

Для вытянутого сфероида (a = b < c):

где угловой эксцентриситет

Сфероид
Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Площадь поверхности

 

Угловой эксцентриситет (в градусах)

 

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

Форма Земли похожа на сплющенный сфероид с экваториальным радиусом a ≈ 6,378.137 км и полярным радиусом c ≈ 6,356.752 км. Пользуясь калькулятором можно вычислить площадь поверхности Земли — получается примерно 510 млн. квадратных километров.

Взаимное пересечение поверхностей — презентация онлайн

1. Взаимное пересечение поверхностей Вид линии пересечения зависит от сочетаний пересекающихся поверхностей ● ДВЕ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ (ОБ

Взаимное пересечение
поверхностей
Вид линии пересечения зависит от
сочетаний пересекающихся поверхностей
● ДВЕ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ (ОБЩИЙ СЛУЧАЙ)
ЛИНИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ — ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КРИВАЯ

2. ● ДВА МНОГОГРАННИКА ЛИНИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ — ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЛОМАНАЯ С ПРЯМЫМИ ЗВЕНЬЯМИ

3. ● МНОГОГРАННИК И ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ЛИНИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ — ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЛОМАНАЯ С КРИВЫМИ ЗВЕНЬЯМИ (возможно наличие прямых звеньев )

4. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МОЖЕТ БЫТЬ ПОЛНЫМ и НЕПОЛНЫМ (ВРЕЗАНИЕ) В ПЕРВОМ СЛУЧАЕ — ДВА ЗАМКНУТЫХ КОНТУРА ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРИ ВРЕЗАНИИ — ОДИН ЗАМКНУТЫЙ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МОЖЕТ БЫТЬ
ПОЛНЫМ и НЕПОЛНЫМ (ВРЕЗАНИЕ)
В ПЕРВОМ СЛУЧАЕ — ДВА ЗАМКНУТЫХ КОНТУРА ЛИНИИ
ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
ПРИ ВРЕЗАНИИ — ОДИН ЗАМКНУТЫЙ КОНТУР

5. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧЕК, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ: 1. Способ секущих плоскостей 2. Способ сфер Концентрических Эксцентрических

6. Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей

8. ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ

9. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ   1 АНАЛИЗ УСЛОВИЯ (Какая линия? Сколько? Способ построения точек?) 2 ХАРАКТЕРНЫЕ ТОЧКИ (обозначить) 3 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
1 АНАЛИЗ УСЛОВИЯ
(Какая линия? Сколько? Способ построения точек?)
2 ХАРАКТЕРНЫЕ ТОЧКИ (обозначить)
3 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ
4 ОБВОДКА ЗАДАЧИ с учетом видимости
Ф
Точки 1 и 2 — на фронтальном
очерке, являются
экстремальными:
наиболее высокой и низкой .
ЭКВАТОР
Г2
ТОЧКИ НА
ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ОЧЕРКЕ
СФЕРЫ – ЭКВАТОРЕ (точки
раздела видимости
линии)
Дополнительные
точки цифрами
не обозначать !
Г32
Г12
Г22
Обвести линию
пересечения с
учетом видимости
(3 и 4 – точки раздела
видимости на
горизонтальной
проекции)
41
31
Обвести контуры
проекций с учетом
видимости

17. Пересечение поверхностей, описанных вокруг одной сферы

Некоторые особые случаи пересечения
поверхностей
Пересечение поверхностей, описанных
вокруг одной сферы

18. Теорема Монжа. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия пересечения распадается на две плоск

Теорема Монжа.
Если две поверхности второго порядка
описаны около третьей или вписаны в нее,
то линия пересечения распадается на две
плоские кривые второго порядка.

19. Соосные поверхности вращения


Соосные поверхности вращения

20. ● Пересечение цилиндров с параллельными образующими

21. Построение линии пересечения поверхностей способом сфер

22. КОМПЛЕКС УСЛОВИЙ для ПРИМЕНЕНИЯ СПОСОБА СФЕР : 1. Пересечение только поверхностей вращения   2. Наличие общей точки для осей поверхностей , о

КОМПЛЕКС УСЛОВИЙ для ПРИМЕНЕНИЯ
СПОСОБА СФЕР :
1. Пересечение только поверхностей вращения
2. Наличие общей точки для осей поверхностей ,
оси должны составлять плоскость
СПОСОБ СФЕР ОСНОВАН НА
СВОЙСТВЕ
СООСНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ПЕРЕСЕКАТЬСЯ ПО
ОКРУЖНОСТЯМ

23. Задача: Построить линию пересечения конуса и цилиндра Задача решается способом сфер

Построим сферу, вписанную в
большее тело.

24. Центр сферы — точка пересечения осей поверхностей. Радиус вписанной сферы определить ч/з перпендикуляр, опущенный из точки пересечения осе

Центр сферы — точка
пересечения осей
поверхностей.
Радиус вписанной
сферы определить ч/з
перпендикуляр,
опущенный из точки
пересечения осей на
образующую большей
поверхности.

26. Образуются две соосные пары КОНУС + СФЕРА и ЦИЛИНДР + СФЕРА

Каждая соосная пара пересекается
по окружности.
Найти точки пересечения этих окружностей.
Данные точки принадлежат искомой линии
пересечения.

Стереометрия (Геометрия в пространстве) — Все свойства, теоремы, аксиомы и формулы — Математика

Оглавление:

 

Базовые теоремы, аксиомы и определения стереометрии

Вводные определения и аксиомы стереометрии

К оглавлению…

Некоторые определения:

  1. Многогранник представляет собой геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два из которых, имеющие общую сторону, не лежат в одной плоскости. При этом сами многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами многогранника, а их вершины – вершинами многогранника.
  2. Фигура, образованная всеми гранями многогранника, называется его поверхностью (полной поверхностью), а сумма площадей всех его граней – площадью (полной) поверхности.
  3. Куб – это многогранник, имеющий шесть граней, которые являются равными квадратами. Стороны квадратов называются ребрами куба, а вершины – вершинами куба.
  4. Параллелепипед
    – это многогранник, у которого шесть граней и каждая из них – параллелограмм. Стороны параллелограммов называются ребрами параллелепипеда, а их вершины – вершинами параллелепипеда. Две грани параллелепипеда называются противолежащими, если они не имеют общего ребра, а имеющие общее ребро называются смежными. Иногда какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда выделяются и называются основаниями, тогда остальные грани – боковыми гранями, а их стороны, соединяющие вершины оснований параллелепипеда, – его боковыми ребрами.
  5. Прямой параллелепипед – это такой параллелепипед, у которого боковые грани – прямоугольники. Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, у которого все грани – прямоугольники. Заметим, что всякий прямоугольный параллелепипед является прямым параллелепипедом, но не любой прямой параллелепипед есть прямоугольный.
  6. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины параллелепипеда, называется диагональю параллелепипеда. У параллелепипеда всего четыре диагонали.
  7. Призма (n-угольная) – это многогранник, у которого две грани – равные n-угольники, а остальные n граней – параллелограммы. Равные n-угольники называются основаниями, а параллелограммы – боковыми гранями призмы. Прямая призма – это такая призма, у которой боковые грани – прямоугольники. Правильная n-угольная призма – это призма, у которой все боковые грани – прямоугольники, а ее основания – правильные n-угольники.
  8. Сумма площадей боковых граней призмы называется площадью ее боковой поверхности (обозначается Sбок). Сумма площадей всех граней призмы называется площадью поверхности призмы (обозначается Sполн).
  9. Пирамида (n-угольная) – это многогранник, у которого одна грань – какой-нибудь n-угольник, а остальные n граней – треугольники с общей вершиной; n-угольник называется основанием; треугольники, имеющие общую вершину, называются боковыми гранями, а их общая вершина называется вершиной пирамиды. Стороны граней пирамиды называются ее ребрами, а ребра, сходящиеся в вершине, называются боковыми.
  10. Сумма площадей боковых граней пирамиды называется площадью боковой поверхности пирамиды (обозначается Sбок). Сумма площадей всех граней пирамиды называется площадью поверхности пирамиды (площадь поверхности обозначается Sполн).
  11. Правильная n-угольная пирамида – это такая пирамида, основание которой – правильный n-угольник, а все боковые ребра равны между собой. У правильной пирамиды боковые грани – равные друг другу равнобедренные треугольники.
  12. Треугольная пирамида называется тетраэдром, если все ее грани – равные правильные треугольники. Тетраэдр является частным случаем правильной треугольной пирамиды (т.е. не каждая правильная треугольная пирамида будет тетраэдром).

Аксиомы стереометрии:

  1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
  2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
  3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствия из аксиом стереометрии:

  • Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.
  • Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.
  • Теорема 3. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость.

 

Построение сечений в стереометрии

К оглавлению…

Для решения задач по стереометрии остро необходимо умение строить на рисунке сечения многогранников (например, пирамиды, параллелепипеда, куба, призмы) некоторой плоскостью. Дадим несколько определений, поясняющих, что такое сечение:

  • Секущей плоскостью пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) называется такая плоскость, по обе стороны от которой есть точки данной пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба).
  • Сечением пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и секущей плоскости.
  • Секущая плоскость пересекает грани пирамиды (параллелепипеда, призмы, куба) по отрезкам, поэтому сечение есть многоугольник, лежащий в секущей плоскости, сторонами которого являются указанные отрезки.

Для построения сечения пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) можно и нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и соединить каждые две из них, лежащие в одной грани. Заметим, что последовательность построения вершин и сторон сечения не существенна. В основе построения сечений многогранников лежит две задачи на построение:

  1. Линии пересечения двух плоскостей.

Для построения прямой, по которой пересекаются некоторые две плоскости α и β (например, секущая плоскость и плоскость грани многогранника), нужно построить две их общие точки, тогда прямая, проходящая через эти точки, есть линия пересечения плоскостей α и β.

  1. Точки пересечения прямой и плоскости.

Для построения точки пересечения прямой l и плоскости α нужно построить точку пересечения прямой l и прямой l1, по которой пересекаются плоскость α и любая плоскость, содержащая прямую l.

 

Взаимное расположение прямых и плоскостей в стереометрии

К оглавлению…

Определение: В ходе решения задач по стереометрии две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если прямые а и b, либо AB и CD параллельны, то пишут:

Несколько теорем:

  • Теорема 1. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой.
  • Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
  • Теорема 3 (признак параллельности прямых). Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
  • Теорема 4 (о точке пересечения диагоналей параллелепипеда). Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в стереометрии:

  • Прямая лежит в плоскости (каждая точка прямой лежит в плоскости).
  • Прямая и плоскость пересекаются (имеют единственную общую точку).
  • Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая а параллельна плоскости β, то пишут:

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
  • Теорема 2. Если плоскость (на рисунке – α) проходит через прямую (на рисунке – с), параллельную другой плоскости (на рисунке – β), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей (на рисунке – d) параллельна данной прямой:

 

Если две различные прямые лежат в одной плоскости, то они либо пересекаются, либо параллельны. Однако, в пространстве (т.е. в стереометрии) возможен и третий случай, когда не существует плоскости, в которой лежат две прямые (при этом они и не пересекаются, и не параллельны).

Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если не существует плоскости, в которой они обе лежат.

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
  • Теорема 2. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой.

Теперь введем понятие угла между скрещивающимися прямыми. Пусть a и b – две скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную точку O в пространстве и проведем через нее прямые a1 и b1, параллельные прямым a и b соответственно. Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми a1 и b1.

Однако на практике точку O чаще выбирают так, чтобы она принадлежала одной из прямых. Это обычно не только элементарно удобнее, но и рациональнее и правильнее с точки зрения построения чертежа и решения задачи. Поэтому для угла между скрещивающимися прямыми дадим такое определение:

Определение: Пусть a и b – две скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную точку O на одной из них (в нашем случае, на прямой b) и проведем через неё прямую параллельную другой из них (в нашем случае a1 параллельна a). Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенной прямой и прямой, содержащей точку O (в нашем случае это угол β между прямыми a1 и b).

Определение: Две прямые называются взаимно перпендикулярными (перпендикулярными), если угол между ними равен 90°. Перпендикулярными могут быть как скрещивающиеся прямые, так и прямые лежащие и пересекающиеся в одной плоскости. Если прямая a перпендикулярна прямой b, то пишут:

Определение: Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Если две плоскости α и β параллельны, то, как обычно, пишут:

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
  • Теорема 2 (о свойстве противолежащих граней параллелепипеда). Противолежащие грани параллелепипеда лежат в параллельных плоскостях.
  • Теорема 3 (о прямых пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью). Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые их пересечения параллельны между собой.
  • Теорема 4. Отрезки параллельных прямых, расположенные между параллельными плоскостями, равны.
  • Теорема 5 (о существовании единственной плоскости, параллельной данной плоскости и проходящей через точку вне ее). Через точку, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.

Определение: Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости. Если прямая a перпендикулярна плоскости β, то пишут, как обычно:

Теоремы:

  • Теорема 1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой.
  • Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
  • Теорема 3 (о параллельности прямых, перпендикулярных плоскости). Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.
  • Теорема 4 (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
  • Теорема 5 (о плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой). Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.
  • Теорема 6 (о прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости). Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.
  • Теорема 7 (о свойстве диагонали прямоугольного параллелепипеда). Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, имеющих общую вершину:

Следствие: Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой.

 

Теорема о трех перпендикулярах

К оглавлению…

Пусть точка А не лежит на плоскости α. Проведем через точку А прямую, перпендикулярную плоскости α, и обозначим буквой О точку пересечения этой прямой с плоскостью α. Перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, называется отрезок АО, точка О называется основанием перпендикуляра. Если АО – перпендикуляр к плоскости α, а М – произвольная точка этой плоскости, отличная от точки О, то отрезок АМ называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α, а точка М – основанием наклонной. Отрезок ОМ – ортогональная проекция (или, короче, проекция) наклонной АМ на плоскость α. Теперь приведем теорему, которая играет важную роль при решении многих задач.

Теорема 1 (о трех перпендикулярах): Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной. Верно и обратное утверждение:

Теорема 2 (о трех перпендикулярах): Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная наклонной, перпендикулярна и ее проекции на эту плоскость. Данные теоремы, для обозначений с чертежа выше можно кратко сформулировать так:

Теорема: Если из одной точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и две наклонные, то:

  • две наклонные, имеющие равные проекции, равны;
  • из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

Определения расстояний объектами в пространстве:

  • Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной плоскости.
  • Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.
  • Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.
  • Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую и параллельной первой прямой.

Определение: В стереометрии ортогональной проекцией прямой a на плоскость α называется проекция этой прямой на плоскость α в случае, если прямая, определяющая направление проектирования, перпендикулярна плоскости α.

Замечание: Как видно из предыдущего определения, проекций бывает много. Другие (кроме ортогональной) проекции прямой на плоскость можно построить если прямая определяющая направление проецирования будет не перпендикулярна плоскости. Однако, именно ортогональную проекцию прямой на плоскость в будущем мы будем встречать в задачах. А называть ортогональную проекцию будем просто проекцией (как на чертеже).

Определение: Углом между прямой, не перпендикулярной плоскости, и этой плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость (угол АОА’ на чертеже выше).

Теорема: Угол между прямой и плоскостью является наименьшим из всех углов, которые данная прямая образует с прямыми, лежащими в данной плоскости и проходящими через точку пересечения прямой и плоскости.

 

Двугранный угол

К оглавлению…

Определения:

  • Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой и частью пространства, для которой эти полуплоскости служат границей.
  • Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру.

Таким образом, линейный угол двугранного угла – это угол, образованный пересечением двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Все линейные углы двугранного угла равны между собой. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если его градусная мера равна 90° (меньше 90°, больше 90°). В дальнейшем, при решении задач по стереометрии, под двугранным углом будем понимать всегда тот линейный угол, градусная мера которого удовлетворяет условию:

Определения:

  • Двугранным углом при ребре многогранника называется двугранный угол, ребро которого содержит ребро многогранника, а грани двугранного угла содержат грани многогранника, которые пересекаются по данному ребру многогранника.
  • Углом между пересекающимися плоскостями называется угол между прямыми, проведенными соответственно в данных плоскостях перпендикулярно их линии пересечения через некоторую ее точку.
  • Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак перпендикулярности плоскостей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
  • Теорема 2. Прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная прямой, по которой они пересекаются, перпендикулярна другой плоскости.

 

Симметрия фигур

К оглавлению…

Определения:

  1. Точки M и M1 называются симметричными относительно точки O, если O является серединой отрезка MM1.
  2. Точки M и M1 называются симметричными относительно прямой l, если прямая l проходит через середину отрезка MM1 и перпендикулярна ему.
  3. Точки M и M1 называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка MM1 и перпендикулярна этому отрезку.
  4. Точка O (прямая l, плоскость α) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно точки O (прямой l, плоскости α) некоторой точке этой же фигуры.
  5. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные между собой правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число ребер.

 

Призма

К оглавлению…

Определения:

  1. Призма – многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.
  2. Основания – это две грани, являющиеся равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях. На чертеже это: ABCDE и KLMNP.
  3. Боковые грани – все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. На чертеже это: ABLK, BCML, CDNM, DEPN и EAKP.
  4. Боковая поверхность – объединение боковых граней.
  5. Полная поверхность – объединение оснований и боковой поверхности.
  6. Боковые ребра – общие стороны боковых граней. На чертеже это: AK, BL, CM, DN и EP.
  7. Высота – отрезок, соединяющий основания призмы и перпендикулярный им. На чертеже это, например, KR.
  8. Диагональ – отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. На чертеже это, например, BP.
  9. Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. Другое определение: диагональная плоскость – плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани.
  10. Диагональное сечение – пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе, иногда, его частные случаи – ромб, прямоугольник, квадрат. На чертеже это, например, EBLP.
  11. Перпендикулярное (ортогональное) сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру.

Свойства и формулы для призмы:

  • Основания призмы являются равными многоугольниками.
  • Боковые грани призмы являются параллелограммами.
  • Боковые ребра призмы параллельны и равны.
  • Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:

где: Sосн – площадь основания (на чертеже это, например, ABCDE), h – высота (на чертеже это MN).

  • Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания:

  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы (на чертеже ниже перпендикулярное сечение это A2B2C2D2E2).
  • Углы перпендикулярного сечения – это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
  • Перпендикулярное (ортогональное) сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
  • Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

где: Sсеч – площадь перпендикулярного сечения, l – длина бокового ребра (на чертеже ниже это, например, AA1 или BB1 и так далее).

  • Площадь боковой поверхности произвольной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

где: Pсеч – периметр перпендикулярного сечения, l – длина бокового ребра.

Виды призм в стереометрии:

  • Если боковые ребра не перпендикулярны основанию, то такая призма называется наклонной (изображены выше). Основания такой призмы, как обычно, расположены в параллельных плоскостях, боковые рёбра не перпендикулярны этим плоскостям, но параллельны между собой. Боковые грани – параллелограммы.
  • Прямая призма – призма, у которой все боковые ребра перпендикулярны основанию. В прямой призме боковые ребра являются высотами. Боковые грани прямой призмы — прямоугольники. А площадь и периметр основания равны соответственно площади и периметру перпендикулярного сечения (у прямой призмы, вообще говоря, перпендикулярное сечение целиком является такой же фигурой, как и основания). Поэтому, площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на длину бокового ребра (или, в данном случае, высоту призмы):

где: Pосн – периметр основания прямой призмы, l – длина бокового ребра, равная в прямой призме высоте (h). Объем прямой призмы находится по общей формуле: V = Sоснh = Sоснl.

  • Правильная призма – призма в основании которой лежит правильный многоугольник (т.е. такой, у которого все стороны и все углы равны между собой), а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. Примеры правильных призм:

Свойства правильной призмы:

  1. Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками.
  2. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками.
  3. Боковые ребра правильной призмы равны между собой.
  4. Правильная призма является прямой.

 

Параллелепипед

К оглавлению…

Определение: Параллелепипед – это призма, основания которой параллелограммы. В этом определении ключевым словом является «призма». Таким образом, параллелепипед – это частный случай призмы, которая отличается от общего случая только тем, что в основании у нее не произвольный многоугольник, а именно параллелограмм. Поэтому все приведенные выше свойства, формулы и определения касающиеся призмы остаются актуальными и для параллелепипеда. Однако, можно выделить несколько дополнительных свойств характерных для параллелепипеда.

Другие свойства и определения:

  • Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противолежащими, а имеющие общее ребро – смежными.
  • Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими.
  • Отрезок, соединяющий противолежащие вершины, называется диагональю параллелепипеда.
  • Параллелепипед имеет шесть граней и все они – параллелограммы.
  • Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.
  • У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке, и каждая из них делится этой точкой пополам.
  • Если четыре боковые грани параллелепипеда – прямоугольники (а основания – произвольные параллелограммы), то он называется прямым (в этом случае, как и у прямой призмы, все боковые ребра перпендикулярны основаниям). Все свойства и формулы для прямой призмы актуальны для прямого параллелепипеда.
  • Параллелепипед называется наклонным, если не все его боковые грани являются прямоугольниками.
  • Объем прямого или наклонного параллелепипеда рассчитывается по общей формуле для объема призмы, т.е. равен произведению площади основания параллелепипеда на его высоту (V = Sоснh).
  • Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней – прямоугольники (т.е. кроме боковых граней еще и основания являются прямоугольниками), называется прямоугольным. Для прямоугольного параллелепипеда актуальны все свойства прямого параллелепипеда, а также:
    • Диагональ прямоугольного параллелепипеда d и его рёбра a, b, c связаны соотношением:

d2 = a2 + b2 + c2.

    • Из общей формулы для объема призмы можно получить следующую формулу для объема прямоугольного параллелепипеда:

  • Прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются равными квадратами, называется кубом. Помимо прочего, куб является правильной четырехугольной призмой, и вообще правильным многогранником. Для куба справедливы все свойства прямоугольного параллелепипеда и свойства правильных призм, а также:
    • Абсолютно все рёбра куба равны между собой.
    • Диагональ куба d и длина его ребра a связаны соотношением:

  • Из формулы для объема прямоугольного параллелепипеда можно получить следующую формулу для объема куба:

 

Пирамида

К оглавлению…

Определения:

  • Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и так далее. На рисунке приведены примеры: четырёхугольная и шестиугольная пирамиды.

  • Основание – многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды. На чертеже основание это BCDE.
  • Грани, отличные от основания, называются боковыми. На чертеже это: ABC, ACD, ADE и AEB.
  • Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды (именно вершиной всей пирамиды, а не просто вершиной, как все остальные вершины). На чертеже это A.
  • Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми. На чертеже это: AB, AC, AD и AE.
  • Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а затем – вершины основания. Для пирамиды с чертежа обозначение будет таким: ABCDE.

  • Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H. На чертеже высота это AG. Обратите внимание: только в случае если пирамида является правильной четырехугольной пирамидой (как на чертеже) высота пирамиды попадает на диагональ основания. В остальных случаях это не так. В общем случае у произвольной пирамиды, точка пересечения высоты и основания может оказаться где угодно.
  • Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На чертеже это, например, AF.
  • Диагональное сечение пирамиды – сечение пирамиды, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания. На чертеже это, например, ACE.

Еще один стереометрический чертеж с обозначениями для лучшего запоминания (на рисунке правильная треугольная пирамида):

Если все боковые ребра (SA, SB, SC, SD на чертеже ниже) пирамиды равны, то:

  • Около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр (точка O). Иными словами, высота (отрезок SO), опущенная из вершины такой пирамиды на основание (ABCD), попадает в центр описанной вокруг основания окружности, т.е. в точку пересечения посерединных перпендикуляров основания.
  • Боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы (на чертеже ниже это углы SAO, SBO, SCO, SDO).

Важно: Также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом (углы DMN, DKN, DLN на чертеже ниже равны), то:

  • В основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр (точка N). Иными словами, высота (отрезок DN), опущенная из вершины такой пирамиды на основание, попадает в центр вписанной в основание окружности, т.е. в точку пересечения биссектрис основания.
  • Высоты боковых граней (апофемы) равны. На чертеже ниже DK, DL, DM – равные апофемы.
  • Площадь боковой поверхности такой пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани (апофему).

где: P – периметр основания, a – длина апофемы.

Важно: Также верно и обратное, то есть если в основание пирамиды можно вписать окружность, причем вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом и высоты боковых граней (апофемы) равны.

 

Правильная пирамида

К оглавлению…

Определение: Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

  • Все боковые ребра правильной пирамиды равны.
  • Все боковые грани правильной пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом.

Важное замечание: Как видим правильные пирамиды являются одними из тех пирамид к которым относятся свойства, изложенные чуть выше. Действительно, если основание правильной пирамиды – это правильный многоугольник, то центр его вписанной и описанной окружностей совпадают, а вершина правильной пирамиды проецируется именно в этот центр (по определению). Однако важно понимать, что не только правильные пирамиды могут обладать свойствами, о которых говорилось выше.

  • В правильной пирамиде все боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
  • В любую правильную пирамиду можно как вписать сферу, так и описать около неё сферу.
  • Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

 

Формулы для объема и площади пирамиды

К оглавлению…

Теорема (об объеме пирамид, имеющих равные высоты и равные площади оснований). Две пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы (Вы конечно, наверняка уже знаете формулу для объема пирамиды, ну или видите ее несколькими строчками ниже, и Вам кажется это утверждение очевидным, но на самом деле, если судить «на глаз», то данная теорема не так уж и очевидна (см. рисунок ниже). Это относится кстати и к другим многогранникам и геометрическим фигурам: их внешний вид обманчив, поэтому, действительно – в математике нужно доверять только формулам и правильным расчетам).

  • Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

где: Sосн – площадь основания пирамиды, h – высота пирамиды.

  • Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Для площади боковой поверхности пирамиды можно формально записать такую стереометрическую формулу:

где: Sбок – площадь боковой поверхности, S1, S2, S3 – площади боковых граней.

  • Полная поверхность пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:

 

Тетраэдр

К оглавлению…

Определения:

  • Тетраэдр – простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, иными словами, треугольная пирамида. Для тетраэдра любая из его граней может служить основанием. Всего у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.
  • Тетраэдр называется правильным, если все его грани – равносторонние треугольники. У правильного тетраэдра:
    1. Все ребра правильного тетраэдра равны между собой.
    2. Все грани правильного тетраэдра равны между собой.
    3. Периметры, площади, высоты и все остальные элементы всех граней соответственно равны между собой.

На чертеже изображен правильный тетраэдр, при этом треугольники ABC, ADC, CBD, BAD – равны. Из общих формул для объема и площадей пирамиды, а также знаний из планиметрии не сложно получить формулы для объема и площадей правильного тетраэдра (а – длина ребра):

 

Прямоугольная пирамида

К оглавлению…

Определение: При решении задач по стереометрии, пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В таком случае, это ребро и является высотой пирамиды. Ниже примеры треугольной и пятиугольной прямоугольных пирамид. На рисунке слева SA – ребро, являющееся одновременно высотой.

 

Усечённая пирамида

К оглавлению…

Определения и свойства:

  • Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.
  • Фигура, полученная на пересечении секущей плоскости и исходной пирамиды, также называется основанием усеченной пирамиды. Итак, у усеченной пирамиды на чертеже два основания: ABC и A1B1C1.
  • Боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями. На чертеже это, например, AA1B1B.
  • Боковыми ребрами усеченной пирамиды называются части ребер исходной пирамиды, заключенные между основаниями. На чертеже это, например, AA1.
  • Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр (или длина этого перпендикуляра), проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания к плоскости другого основания.
  • Усеченная пирамида называется правильной, если она является многогранником, который отсекается плоскостью, параллельной основанию правильной пирамиды.
  • Основания правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники.
  • Боковые грани правильной усеченной пирамиды – равнобедренные трапеции.
  • Апофемой правильной усеченной пирамиды называется высота ее боковой грани.
  • Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей всех ее боковых граней.

Формулы для усеченной пирамиды

Объём усечённой пирамиды равен:

где: S1 и S2 – площади оснований, h – высота усечённой пирамиды. Однако на практике, удобнее искать объем усеченной пирамиды так: можно достроить усечённую пирамиду до пирамиды, продлив до пересечения боковые рёбра. Тогда объём усечённой пирамиды можно найти, как разность объёмов всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности также можно искать как разность между площадями боковой поверхности всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна полупроизведению суммы периметров её оснований и апофемы:

где: P1 и P2 – периметры оснований правильной усеченной пирамиды, а – длина апофемы. Площадь полной поверхности любой усеченной пирамиды, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности:

 

Пирамида и шар (сфера)

К оглавлению…

Теорема: Около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник (т.е. многоугольник около которого можно описать сферу). Данное условие является необходимым и достаточным. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им.

Замечание: Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу. Однако, список пирамид около которых можно описать сферу не исчерпывается этими типами пирамид. На чертеже справа, на высоте SH надо выбрать точку О, равноудалённую от всех вершин пирамиды: SO = = = OD = OA. Тогда точка О – центр описанного шара.

Теорема: В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Замечание: Вы, очевидно, не поняли того, что прочитали строчкой выше. Однако, главное запомнить, что любая правильная пирамида является такой, в которую можно вписать сферу. При этом список пирамид, в которые можно вписать сферу не исчерпывается правильными.

Определение: Биссекторная плоскость делит двугранный угол пополам, а каждая точка биссекторной плоскости равноудалена от граней, образующих двугранный угол. На рисунке справа плоскость γ является биссекторной плоскостью двугранного угла, образованного плоскостями α и β.

На стереометрическом чертеже ниже изображен шар вписанный в пирамиду (или пирамида описанная около шара), при этом точка О – центр вписанного шара. Данная точка О равноудалена от всех граней шара, например:

ОМ = ОО1

 

Пирамида и конус

К оглавлению…

В стереометрии конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие).

Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие).

Важное свойство: Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

 

Пирамида и цилиндр

К оглавлению…

Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.

Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды – вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

 

Сфера и шар

К оглавлению…

Определения:

  1. Сфера – замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо точкой сферы.
  2. Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы.
  3. Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр. Центр сферы делит любой его диаметр на два равных отрезка. Любой диаметр сферы радиусом R равен 2R.
  4. Шар – геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, которые находятся на расстоянии не большем заданного от некоторого центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Обратите внимание: поверхность (или граница) шара называется сферой. Можно дать и такое определение шара: шаром называется геометрическое тело, состоящее из сферы и части пространства, ограниченного этой сферой.
  5. Радиусом, хордой и диаметром шара называются радиус, хорда и диаметр сферы, которая является границей данного шара.
  6. Разница между шаром и сферой аналогична разнице между кругом и окружностью. Окружность – это линия, а круг – это ещё и все точки внутри этой линии. Сфера – это оболочка, а шар – это ещё и все точки внутри этой оболочки.
  7. Плоскость, проходящая через центр сферы (шара), называется диаметральной плоскостью.
  8. Сечение сферы (шара) диаметральной плоскостью называется большой окружностью (большим кругом).

Теоремы:

  • Теорема 1 (о сечении сферы плоскостью). Сечение сферы плоскостью есть окружность. Заметим, что утверждение теоремы остается верным и в случае, если плоскость проходит через центр сферы.
  • Теорема 2 (о сечении шара плоскостью). Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра, проведенного из центра шара к плоскости сечения, есть центр круга, полученного в сечении.

Наибольший круг, из числа тех, которые можно получить в сечении данного шара плоскостью, лежит в сечении, проходящем через центр шара О. Он то и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара AB. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра (на рис. A и B), можно провести бесчисленное множество больших кругов. Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов.

Определения:

  1. Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.
  2. Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.
  3. Любая прямая, лежащая в касательной плоскости сферы (шара) и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере (шару). По определению касательная плоскость имеет со сферой только одну общую точку, следовательно, касательная прямая также имеет со сферой только одну общую точку – точку касания.

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак касательной плоскости к сфере). Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через его конец, лежащий на сфере, касается сферы.
  • Теорема 2 (о свойстве касательной плоскости к сфере). Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

 

Многогранники и сфера

К оглавлению…

Определение: В стереометрии многогранник (например, пирамида или призма) называется вписанным в сферу, если все его вершины лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около многогранника (пирамиды, призмы). Аналогично: многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на границе этого шара. При этом шар называется описанным около многогранника.

Важное свойство: Центр сферы, описанной около многогранника, находится на расстоянии, равном радиусу R сферы, от каждой вершины многогранника. Приведем примеры вписанных в сферу многогранников:

Определение: Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера (шар) касается всех граней многогранника. При этом сфера и шар называются вписанными в многогранник.

Важно: Центр сферы, вписанной в многогранник, находится на расстоянии, равном радиусу r сферы, от каждой из плоскостей, содержащих грани многогранника. Приведем примеры описанных около сферы многогранников:

 

Объем и площадь поверхности шара

К оглавлению…

Теоремы:

  • Теорема 1 (о площади сферы). Площадь сферы равна:

где: R – радиус сферы.

  • Теорема 2 (об объеме шара). Объем шара радиусом R вычисляется по формуле:

 

Шаровой сегмент, слой, сектор

К оглавлению…

Шаровой сегмент

В стереометрии шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая секущей плоскостью. При этом соотношение между высотой, радиусом основания сегмента и радиусом шара:

где: h − высота сегмента, r − радиус основания сегмента, R − радиус шара. Площадь основания шарового сегмента:

Площадь внешней поверхности шарового сегмента:

Площадь полной поверхности шарового сегмента:

Объем шарового сегмента:

Шаровой слой

В стереометрии шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями. Площадь внешней поверхности шарового слоя:

где: h − высота шарового слоя, R − радиус шара. Площадь полной поверхности шарового слоя:

где: h − высота шарового слоя, R − радиус шара, r1, r2 − радиусы оснований шарового слоя, S1, S2 − площади этих оснований. Объем шарового слоя проще всего искать как разность объемов двух шаровых сегментов.

Шаровой сектор

В стереометрии шаровым сектором называется часть шара, состоящая из шарового сегмента и конуса с вершиной в центре шара и основанием, совпадающим с основанием шарового сегмента. Здесь подразумевается, что шаровой сегмент меньше чем пол шара. Площадь полной поверхности шарового сектора:

где: h − высота соответствующего шарового сегмента, r − радиус основания шарового сегмента (или конуса), R − радиус шара. Объем шарового сектора вычисляется по формуле:

 

Цилиндр

К оглавлению…

Определения:

  1. В некоторой плоскости рассмотрим окружность с центром O и радиусом R. Через каждую точку окружности проведем прямую, перпендикулярную плоскости окружности. Цилиндрической поверхностью называется фигура, образованная этими прямыми, а сами прямые называются образующими цилиндрической поверхности. Все образующие цилиндрической поверхности параллельны друг другу, так как они перпендикулярны плоскости окружности.

  1. Прямым круговым цилиндром или просто цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, которые перпендикулярны образующим цилиндрической поверхности. Неформально, можно воспринимать цилиндр как прямую призму, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности цилиндра.
  2. Боковой поверхностью цилиндра называется часть цилиндрической поверхности, расположенная между секущими плоскостями, которые перпендикулярны ее образующим, а части (круги), отсекаемые цилиндрической поверхностью на параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра. Основания цилиндра – это два равных круга.
  3. Образующей цилиндра называется отрезок (или длина этого отрезка) образующей цилиндрической поверхности, расположенный между параллельными плоскостями, в которых лежат основания цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны и равны между собой, а также перпендикулярны основаниям.
  4. Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры кругов, являющихся основаниями цилиндра.
  5. Высотой цилиндра называется перпендикуляр (или длина этого перпендикуляра), проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания цилиндра к плоскости другого основания. В цилиндре высота равна образующей.
  6. Радиусом цилиндра называется радиус его оснований.
  7. Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.
  8. Цилиндр можно получить поворотом прямоугольника вокруг одной из его сторон на 360°.
  9. Если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечением цилиндра служит прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – хорды оснований цилиндра.
  10. Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, две стороны которого есть образующие цилиндра, а две другие – диаметры его оснований.
  11. Если секущая плоскость, перпендикулярна оси цилиндра, то в сечении образуется круг равный основаниям. На чертеже ниже: слева – осевое сечение; в центре – сечение параллельное оси цилиндра; справа – сечение параллельное основанию цилиндра.

 

Цилиндр и призма

К оглавлению…

Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра. В этом случае цилиндр называется описанным около призмы. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае будут равны. Все боковые ребра призмы будут принадлежать боковой поверхности цилиндра и совпадать с его образующими. Так как под цилиндром мы понимаем только прямой цилиндр, то вписать в такой цилиндр можно также только прямую призму. Примеры:

Призма называется описанной около цилиндра, если ее основания описаны около оснований цилиндра. В этом случае цилиндр называется вписанным в призму. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае также будут равны. Все боковые ребра призмы будут параллельны образующим цилиндра. Так как под цилиндром мы понимаем только прямой цилиндр, то вписать такой цилиндр можно только в прямую призму. Примеры:

 

Цилиндр и сфера

К оглавлению…

Сфера (шар) называется вписанной в цилиндр, если она касается оснований цилиндра и каждой его образующей. При этом цилиндр называется описанным около сферы (шара). Сферу можно вписать в цилиндр, только если это равносторонний цилиндр, т.е. диаметр его основания и высота равны между собой. Центром вписанной сферы будет служить середина оси цилиндра, а радиус этой сферы будет совпадать с радиусом цилиндра. Пример:

Цилиндр называется вписанным в сферу, если окружности оснований цилиндра являются сечениями сферы. Цилиндр называется вписанным в шар, если основания цилиндра являются сечениями шара. При этом шар (сфера) называется описанным около цилиндра. Вокруг любого цилиндра можно описать сферу. Центром описанной сферы также будет служить середина оси цилиндра. Пример:

На основе теоремы Пифагора легко доказать следующую формулу, связывающую радиус описанной сферы (R), высоту цилиндра (h) и радиус цилиндра (r):

 

Объем и площадь боковой и полной поверхностей цилиндра

К оглавлению…

Теорема 1 (о площади боковой поверхности цилиндра): Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту:

где: R – радиус основания цилиндра, h – его высота. Эта формула легко выводится (или доказывается) на основе формулы для площади боковой поверхности прямой призмы.

Площадью полной поверхности цилиндра, как обычно в стереометрии, называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Площадь каждого основания цилиндра (т.е. просто площадь круга) вычисляется по формуле:

Следовательно, площадь полной поверхности цилиндра Sполн. цилиндра вычисляется по формуле:

Теорема 2 (об объеме цилиндра): Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

где: R и h – радиус и высота цилиндра соответственно. Эта формула также легко выводится (доказывается) на основе формулы для объема призмы.

Теорема 3 (Архимеда): Объём шара в полтора раза меньше объёма, описанного вокруг него цилиндра, а площадь поверхности такого шара в полтора раза меньше площади полной поверхности того же цилиндра:

 

Конус

К оглавлению…

Определения:

  1. Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга (называемого основанием конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (называемой вершиной конуса) и всех возможных отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Неформально, можно воспринимать конус как правильную пирамиду, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности конуса.

  1. Отрезки (или их длины), соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.
  2. Поверхность конуса состоит из основания конуса (круга) и боковой поверхности (составленной из всех возможных образующих).
  3. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
  4. Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом.
  5. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе, как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы, а основание – вращением катета, не являющимся осью.
  6. Радиусом конуса называется радиус его основания.
  7. Высотой конуса называется перпендикуляр (или его длина), опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту, т.е. прямая проходящая через центр основания и вершину.
  8. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Такое сечение называется осевым.

  1. Если секущая плоскость проходит через внутреннюю точку высоты конуса и перпендикулярна ей, то сечением конуса является круг, центр которого есть точка пересечения высоты и этой плоскости.
  2. Высота (h), радиус (R) и длина образующей (l) прямого кругового конуса удовлетворяют очевидному соотношению:

 

Объем и площадь боковой и полной поверхностей конуса

К оглавлению…

Теорема 1 (о площади боковой поверхности конуса). Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую:

где: R – радиус основания конуса, l – длина образующей конуса. Эта формула легко выводится (или доказывается) на основе формулы для площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площади боковой поверхности и площади основания. Площадь основания конуса (т.е. просто площадь круга) равна: Sосн = πR2. Следовательно, площадь полной поверхности конуса Sполн. конуса вычисляется по формуле:

Теорема 2 (об объеме конуса). Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:

где: R – радиус основания конуса, h – его высота. Эта формула также легко выводится (доказывается) на основе формулы для объема пирамиды.

 

Усеченный конус

К оглавлению…

Определения:

  1. Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом.

  1. Основание исходного конуса и круг, получающийся в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями, а отрезок, соединяющий их центры — высотой усеченного конуса.
  2. Прямая проходящая через высоту усеченного конуса (т.е. через центры его оснований) является его осью.
  3. Часть боковой поверхности конуса, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конуса, расположенные между основаниями усеченного конуса, называются его образующими.
  4. Все образующие усеченного конуса равны между собой.
  5. Усеченный конус может быть получен при повороте на 360° прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.
Формулы для усеченного конуса:

Объем усеченного конуса равен разности объемов полного конуса и конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию конуса. Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:

где: S1 = πr12 и S2 = πr22 – площади оснований, h – высота усечённого конуса, r1 и r2 – радиусы верхнего и нижнего оснований усеченного конуса. Однако на практике, всё же удобнее искать объем усеченного конуса как разность объёмов исходного конуса и отсеченной части. Площадь боковой поверхности усеченного конуса также можно искать как разность между площадями боковой поверхности исходного конуса и отсеченной части.

Действительно, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна разности площадей боковых поверхностей полного конуса и конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

где: P1 = 2πr1 и P2 = 2πr2 – периметры оснований усеченного конуса, l – длина образующей. Площадь полной поверхности усеченного конуса, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности:

Обратите внимание, что формулы для объема и площади боковой поверхности усеченного конуса получены на основе формул для аналогичных характеристик правильной усеченной пирамиды.

 

Конус и сфера

К оглавлению…

Конус называется вписанным в сферу (шар), если его вершина принадлежит сфере (границе шара), а окружность основания (само основание) является сечением сферы (шара). При этом сфера (шар) называется описанной около конуса. Вокруг прямого кругового конуса всегда можно описать сферу. Центр описанной сферы будет лежать на прямой содержащей высоту конуса, а радиус этой сферы будет равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения конуса (это сечение является равнобедренным треугольником). Примеры:

Сфера (шар) называется вписанной в конус, если сфера (шар) касается основания конуса и каждой его образующей. При этом конус называется описанным около сферы (шара). В прямой круговой конус всегда можно вписать сферу. Её центр будет лежать на высоте конуса, а радиус вписанной сферы будет равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение конуса (это сечение является равнобедренным треугольником). Примеры:

 

Конус и пирамида

К оглавлению…

  • Конус называется вписанным в пирамиду (пирамида – описанной около конуса), если основание конуса вписано в основание пирамиды, а вершины конуса и пирамиды совпадают.
  • Пирамида называется вписанной в конус (конус – описанным около пирамиды), если ее основание вписано в основание конуса, а боковые ребра являются образующими конуса.
  • Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Примечание: Подробнее о том, как в стереометрии конус вписывается в пирамиду или описывается около пирамиды уже говорилось в ранее здесь.

Построение 3 вида по 2 заданным онлайн. Пример построения третьей проекции точки по двум заданным

13.1. Способ построения изображений на основе анализа формы предмета . Как вы уже знаете, большинство предметов можно представить как сочетание геометрических тел. Следователыю, для чтения и выполнения чертежей надо знать. как изображаются эти геометрические тела.

Теперь, когда вы знаете, как на чертеже изображаются такие геометрические тела, и узнали, как проецируются вершины, ребра и грани, вам будет легче прочитать чертежи предметов.

На рисунке 100 изображена часть машины — противовес. Проанализируем его форму. На какие известные вам геометрические тела можно его разделить? Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним характерные признаки, присущие изображениям этих геометрических тел.

Рис. 100. Проекции детали

На рисунке 101, а. одно из них выделено условно синим цветом. Какое геометрическое тело имеет такие проекции?

Проекции в виде прямоугольников характерны для параллелепипеда. Три проекции и наглядное изображение параллелепипеда, выделенного на рисунке 101, а синим цветом, даны на рисунке 101, б.

На рисунке 101, в серым цветом условно выделено другое геометрическое тело. Какое геометрическое тело имеет такие проекции?

Рис. 101. Анализ формы детали

С такими проекциями вы встречались при рассмотрении изображений треугольной призмы. Три проекции и наглядное изображение призмы, выделенной серым цветом на рисунке 101, в, даны на рисунке 101, г. Таким образом, противовес состоит из прямоугольного параллелепипеда и треугольной призмы.

Но из параллелепипеда удалена часть, поверхность которой на рисунке 101, д условно выделена синим цветом. Какое геометрическое тело имеет такие проекции?

С проекциями в виде круга и двух прямоугольников вы встречались при рассмотрении изображений цилиндра. Следовательно, противовес содержит отверстие, имеющее форму цилиндра, три проекции и наглядное изображение которого даны на рисунке 101. е.

Анализ формы предмета необходим не только при чтении, но и при выполнении чертежей. Так, определив, форму каких геометрических тел имеют части противовеса, изображенного на рисунке 100, можно установить целесообразную последовательность построения его чертежа.

Например, чертеж противовеса строят так:

  1. на всех видах чертят параллелепипед, являющийся основанием противовеса;
  2. к параллелепипеду добавляют треугольную призму;
  3. вычерчивают элемент в виде цилиндра. На видах сверху и слева его показывают штриховыми линиями, так как отверстие невидимо.

Начертите по описанию деталь, называемую втулкой. Она состоит из усеченного конуса и правильной четырехугольной призмы. Общая длина детали 60 мм. Диаметр одного основания конуса равен 30 мм, другого-50 мм. Призма присоединена к большему основанию конуса, который располагается посередине ее основания размером 50X50 мм. Высота призмы 10 мм. Вдоль оси втулки просверлено сквозное цилиндрическое отверстие диаметром 20 мм.

13.2. Последовательность построения видов на чертеже детали . Рассмотрим пример построения видов детали — опоры (рис. 102).

Рис. 102. Наглядное изображение опоры

Прежде чем приступить к построению изображений, надо четко представить общую исходную геометрическую форму детали (будет ли это куб, цилиндр, параллелепипед или др.). Эту форму необходимо иметь в виду при построении видов.

Общая форма предмета, изображенного на рисунке 102,- прямоугольный параллелепипед. В нем сделаны прямоугольные вырезы и вырез в виде треугольной призмы. Изображать деталь начнем с ее общей формы — параллелепипеда (рис. 103, а).

Рис. 103. Последовательность построения видов детали

Спроецировав параллелепипед на плоскости V, Н, W, получим прямоугольники на всех трех плоскостях проекций. На фронтальной плоскости проекций отразятся высота и длина детали, т. е. размеры 30 и 34. На горизонтальной плоскости проекций — ширина и длина детали, т. е. размеры 26 и 34. На профильной — ширина и высота, т. е. размеры 26 и 30.

Каждое измерение детали показано без искажения дважды: высота — на фронтальной и профильной плоскостях, длина — на фронтальной и горизонтальной плоскостях, ширина — на горизонтальной и профильной плоскостях проекций. Однако дважды наносить один и тот же размер на чертеже нельзя.

Все построения выполним сначала тонкими линиями. Поскольку главный вид и вид сверху симметричны, на них нанесены оси симметрии.

Теперь покажем на проекциях параллелепипеда вырезы (рис. 103, б). Их целесообразнее показать сначала на главном виде. Для этого надо отложить по 12 мм влево и вправо от оси симметрии и провести через полученные точки вертикальные линии. Затем на расстоянии 14 мм от верхней грани детали провести отрезки горизонтальных прямых.

Построим проекции этих вырезов на других видах. Это можно сделать при помощи линий связи. После этого на видах сверху и слева нужно показать отрезки, ограничивающие проекции вырезов.

В заключение обводят изображения линиями, установленными стандартом, и наносят размеры (рис. 103, в).

  1. Назовите последовательность действий, из которых складывается процесс построения видов предмета.
  2. Для какой цели используются линии проекционной связи?

13.3. Построение вырезов на геометрических телах . На рисунке 104 приведены изображения геометрических тел, форма которых усложнена различного рода вырезами.

Рис. 104. Геометрические тела, содержащие вырезы

Детали такой формы широко распространены в технике. Чтобы начертить или прочитать их чертеж, надо представить форму заготовки, из которой получается деталь, и форму выреза. Рассмотрим примеры.

Пример 1 . На рисунке 105 дан чертеж прокладки. Какую форму имеет удаленная часть? Какой была форма заготовки?

Рис. 105. Анализ формы прокладки

Проанализировав чертеж прокладки, можно прийти к выводу, что она получилась в результате удаления из прямоугольного параллелепипеда (заготовки) четвертой части цилиндра.

Пример 2 . На рисунке 106, а дан чертеж пробки. Какова форма ее заготовки? В результате чего образовалась форма детали?

Рис. 106. Построение проекций детали, имеющей вырез

Проанализировав чертеж, можно прийти к выводу, что деталь изготовлена из заготовки цилиндрической формы. В ней сделан вырез, форма которого ясна из рисунка 106, б.

А как построить проекцию выреза на виде слева?

Сначала изображают прямоугольник — вид цилиндра слева, являющегося исходной формой детали. Затем строят проекцию выреза. Его размеры известны, следовательно, точки a», b» и a, b, определяющие проекции выреза, можно рассматривать как заданные.

Построение профильных проекций а», b» этих точек показано линиями связи со стрелками (рис. 106, в).

Установив форму выреза, легко решить, какие линии на виде слева надо обводить сплошными толстыми основными, какие штриховыми линиями, а какие удалить вовсе.


13.4. Построение третьего вида . Вам придется иногда выполнять задания, в которых необходимо по двум имеющимся видам построить третий.

На рисунке 108 вы видите изображение бруска с вырезом. Даны два вида: спереди и сверху. Требуется построить вид слева. Для этого необходимо сначала представить форму изображенной детали.

Рис. 108. Чертеж бруска с вырезом

Сопоставив на чертеже виды, заключаем, что брусок имеет форму параллелепипеда размером 10x35x20 мм. В параллелепипеде сделан вырез прямоугольной формы, его размер 12х12х10 мм.

Вид слева, как известно, помещается на одной высоте с главным видом справа от него. Проводим одну горизонтальную линию на уровне нижнего основания параллелепипеда, а другую — на уровне верхнего основания (рис. 109, а). Эти линии ограничивают высоту вида слева. В любом месте между ними проводим вертикальную линию. Она будет проекцией задней грани бруска на профильную плоскость проекций. От нее вправо отложим отрезок равный 20 мм, т. е. ограничим ширину бруска, и проведем еще одну вертикальную линию — проекцию передней грани (рис. 109, б).

Рис. 109. Построение третьей проекции

Покажем теперь на виде слева вырез в детали. Для этого отложим влево от правой вертикальной линии, являющейся проекцией передней грани бруска, отрезок в 12 мм и проведем еще одну вертикальную линию (рис. 109, в). После этого удаляем все вспомогательные линии построения и обводим чертеж (рис. 109, г).

Третью проекцию можно строить на основе анализа геометрической формы предмета. Рассмотрим, как это делается. На рисунке 110, а даны две проекции детали. Надо построить третью.

Рис. 110. Построение третьей проекции по двум данным

Судя по данным проекциям, деталь слагается из шестиугольной призмы, параллелепипеда и цилиндра. Мысленно объединив их в единое целое, представим форму детали (рис. 110, в).

Проводим на чертеже под углом 45° вспомогательную прямую и приступаем к построению третьей проекции. Как выглядят третьи проекции шестиугольной призмы, параллелепипеда и цилиндра, вам известно. Вычерчиваем последовательно третью проекцию каждого из этих тел, пользуясь линиями связи и осями симметрии (рис. 110, б).

Заметьте, что во многих случаях на чертеже строить третью проекцию не надо, так как рациональное выполнение изображений предполагает построение только необходимого (минимального) количества видов, достаточного для выявления формы предмета. В данном случае построение третьей проекции предмета является лишь учебной задачей.

  1. Вы ознакомились с разными способами построения третьей проекции предмета. Чем они отличаются друг от друга?
  2. С какой целью используется постоянная прямая? Как ее проводят?

Рис. 113. Задания для упражнений

Рис. 114. Задания для упражнений

Графическая работа № 5. Построение третьего вида по двум данным

Постройте третий вид по двум данным (рис. 115).

Рис. 115. Задания к графической работе № 5

Дата____

Класс: 9 « »

Тема: Построение третьего вида предмета по двум данным

Цель: научить строить третий вид предмета по двум данным

Задачи:

    Закрепить знания о видах на чертеже;

    Развивать пространственное представление и мышление, умение анализировать геометрическую форму предмета и навыки работы с чертежными инструментами;

    Воспитывать: трудолюбие, аккуратность, творческое отношение к труду, самостоятельность

Тип урока: комбинированный

Методы урока: объяснительно – иллюстративный, практический

Форма организации: коллективная, индивидуальна

Ход урока

    Орг момент

    Повторение

2 . Тест

    Сообщение нового

Прежде всего нужно выяснить форму отдельных частей поверхности изображенного предмета. Для этого оба заданных изображения нужно рассматривать одновременно. Полезно при этом иметь в виду, каким поверхностям соответствуют наиболее часто встречающиеся изображения: треугольник, четырехугольник, окружность, шестиугольник и т. д.

На виде сверху в форме треугольника могут изобразиться треугольная призма, треугольная и четырехугольная пирамиды, конус вращения и т.д.

Разберем построение вида слева по данным главному виду и виду сверху

Форма многих предметов усложняется различными срезами, вырезами, пересечением составляющих поверхности. Тогда предварительно нужно определить форму линий пересечения, а строить их нужно по отдельным точкам, вводя обозначения проекций точек, которые после выполнения построений могут быть удалены с чертежа.

На рис. построен вид слева предмета, поверхность которого образована поверхностью вертикального цилиндра вращения, с T-образным вырезом в его верхней части и цилиндрическим отверстием с фронтально проецирующей поверхностью. В качестве базовых плоскостей взяты плоскость нижнего основания и фронтальная плоскость симметрии Ф. Изображение Г-образного выреза на виде слева построено с помощью точек контура выреза A В, С, D и Е, а линия пересечения цилиндрических поверхностей — с помощью точек К, L, М и им симметричных. При построении третьего вида учтена симметрия предмета относительно плоскости Ф.

    Закрепление

Работа по карточкам (построить по двум заданным третий вид)


    Итог

Построение третьего вида измерением.

Открывается (рис.9) (технический рисунок закрыт.

Если деталь не очень сложная и по каким-то причинам нельзя выполнить проекционную связь с видом сверху, третий вид откладывается с помощью линейки. Если деталь простая, и вы можете мысленно представить её, технический рисунок строить не обязательно.


Вопрос: Кто построит вид сверху этой детали?

Вызывается учащийся по желанию и строит вид слева детали 9 на ИАД.

Для проверки открывается технический рисунок детали.

Обобщение: Этот метод не всегда может быть применён. Например, если бы не было проекционной связи между видом спереди и видом сверху, смогли бы мы построить линию выреза? Нет. Поэтому, я вам всё-таки рекомендую придерживаться проекционной связи на всех трёх видах.

4.Теперь вернёмся к нашему первоначальному заданию. Н а уроках мы будем пользоваться методом «постоянной прямой» для построения чертежа.

У вас на столе лежат отпечатанные на бумаге изображения двух видов детали.

Задание 1: Приклейте первое задание в тетрадь так, чтобы осталось место для построения третьего вида. Тетрадь располагаете горизонтально Проведите постоянную прямую. Постройте третий вид.

Учащиеся работают в тетради.

Тот, кто первый справился с заданием, выполняет его на ИАД.

У этой задачи несколько решений.

Вопрос: Кто найдёт другое решение?

Учащиеся по очереди выходят к доске и предлагают

свои решения. Открываются (рис. 6, 5, 4, 3, 2)

5. Упражнения для глаз.

Чтобы наши глаза отдохнули, сделаем для них гимнастику.

Возьмите в руки карандаш на вытянутую руку перед собой. Не отрывая от него взгляда, поднесите его к переносице, удалите прямо от себя (итак несколько раз), затем на вытянутой руке, следя за карандашом поводили им вправо — влево.

6. Задание2: Вклеили в тетрадь второе задание. Построили по двум видам детали третий вид.

Открывается (рис. 10) Технический рисунок закрыт.

Тот, кто первым выполнит его в тетради, чертит на доске.


В случае затруднения открывается технический рисунок детали или для проверки после выполнения задания.

7. Домашнее задание:

А. Д. Ботвинников Параграф 13.4 . В конце параграфа задания для упражнений: рис. 112, 113,114.

Вклеить в тетрадь задание 3. (рис. 11) По двум видам детали построить третий.


Комплексным чертежом называют изображения предмета, составленные из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемого геометрического образа (рис. 1).

Рис. 1. Наглядное изображение предмета

Фронтальную проекцию называют видом спереди , или главным видом . Главный вид, получаемый на фронтальной плоскости проекций, является исходным, он должен давать наиболее полное представление о форме и размерах предмета. Предмет располагают так, чтобы на чертеже большая часть его элементов изображалась как видимая. Корпусные детали (кронштейны, передние и задние бабки, корпуса кранов и вентилей, трубопроводов, насосов, редукторов) на главном изображении (виде) показывают в рабочем положении , т. е. в положении, которое деталь занимает при эксплуатации. Детали, находящиеся при работе в различных положениях, вычерчивают в положении, которое преобладает в процессе изготовления. Поэтому такие детали, как валы, оси, шпиндели, шкивы, штифты и др., имеющие цилиндрическую или коническую форму и обрабатываемые на токарных станках в горизонтальном положении, изображают с горизонтально расположенной осью. (Можно посмотреть ). Как было сказано на прошлом уроке, горизонтальная проекция (вид сверху) располагается под фронтальной, а профильная (вид слева) — справа от фронтальной и на одном уровне с ней. Нарушать это правило расположения проекций нельзя . Такое расположение проекций называют проекционной связью .


Рис.2.Комплексный чертеж

Проекционная связь показана на рис. 2 тонкими сплошными линиями, которые называются линиями связи . При проведении линий связи между горизонтальной и профильной проекциями удобно пользоваться вспомогательной прямой , которую проводят под углом 45° от осей в правой нижней четверти. Линии связи, идущие от вида сверху, доводят до вспомогательной прямой. Из точек пересечения с нею восставляют перпендикуляры для построения вида слева.

Так строят чертежи в прямоугольных проекциях. Используя размеры детали и перенося их с имеющихся видов на достраиваемый, можно построить чертеж детали любой сложности.

Построение чертежа

В учебной практике иногда приходится выполнять задания, связанные с увеличением или уменьшением количества изображений на чертеже, например строить третий вид по двум имеющимся.

Построение третьего вида предмета сводится к построению третьих видов его отдельных элементов (точек, линий, плоских фигур) и отдельных частей. Для этой цели, изучая чертеж, определяют форму, размеры и положение этих частей на предмете. Таким образом, вначале осуществляется чтение чертежа. После этого приступают к графическим построениям, вычерчивая последовательно один за другим те или иные элементы предмета.

На рисунке 3 показана последовательность построения вида слева по двум заданным: главному и сверху. Перенос размеров с вида сверху на достраиваемый вид осуществлен с помощью постоянной прямой чертежа.

Рис. 3

Иногда при построении отсутствующего на чертеже вида применение постоянной прямой не обязательно. Для переноса размеров с одного вида на другой можно воспользоваться циркулем или линейкой (см. рис. 3, размер, обозначен звездочкой).

В заключение нужно удалить линии построения и обвести чертеж.

Компоновка чертежа

Компоновка чертежа (или композиция чертежа) выражается в гармоничном сочетании отдельных элементов изображения в выбранном масштабе с заданным форматом бумаги. Компоновкой чертежа также называется размещение изображений, размеров и надписей на поле чертежа (т.е. внутри рамки).

Начинающие чертежники строят чертеж, как правило, без учета площади листа бумаги. В итоге чертеж либо не помещается в отведенном ему поле, либо занимает только его часть.

Поскольку мы воспринимаем изображение не само по себе, не изолированно, а вместе с листом, на котором оно расположено, то между величинами изображения и листа должна существовать определенная пропорциональная зависимость, или, как говорят художники, композиционное равновесие.

Простейший способ достижения равновесия в чертеже — это равномерное распределение проекций (но не за счет нарушения проекционной связи!). Из рисунка 4 легко понять суть этого требования.

Рис.4. Компоновка проекций на чертеже

Но здесь могут быть и неожиданности. На рисунке 5 проекция валика размещена строго посередине листа. Несмотря на это, изображение кажется сдвинутым вниз.

Рис.5. Деталь на чертеже кажется смещенной

Это объясняется особенностью восприятия изображений нашим глазом: горизонтальные линии нам представляются длиннее вертикальных, верхняя половина предмета — больше нижней. Поэтому изображение валика следовало бы расположить несколько выше середины листа. По той же причине верхние части некоторых типографических знаков делают меньше нижних, но мы их видим равными (рис. 6).

Рис.6. Компоновка типографических знаков

Поверните рисунок и вы убедитесь в этом (посмотрите ).

Это относится и к ряду букв и цифр чертежного шрифта. Взгляните на рисунок 7.

Рис.7. Компоновка круга в квадрате

Кажется, будто небольшой черный круг расположен в глубине квадрата, большой круг выдвинут на первый план и только третий круг лежит в плоскости квадрата. Этот пример поможет вам определить соотношение толщины и размеров линий, цифр, надписей и других элементов чертежа при его выполнении, т. е. выдержать равновесие между черным и белым.

На рисунке 8 легко увидеть, какая компоновка чертежа выполнена композиционно правильно.


Рис.8. Компоновка размерных линий на чертеже

Стрелки чертежей на рис. 8, а) и в) несоизмеримы с проекциями: первые — велики, вторые — слишком малы, цифры — также. Кроме того, на рис. 8, а) они «прижаты» к своим проекциям, на рис. 8, в), напротив, «оторваны» от них. Правильно исполнен чертеж на рис. 8, б). В нем зрительно все уравновешено и создаются благоприятные условия для глаза при его движении по изображению.

Законы композиции проявляются во всех видах искусств: в архитектуре, скульптуре, живописи, музыке, фотографии и т. п.

Количество изображений

Выбор числа изображений является важным этапом выпол-нения чертежей. Он заключается в нахождении положения детали на главном изображении и необходимого числа видов, которые позволят полно и точно отобразить внешнюю и внутреннюю форму, а также размеры предмета.

Количество видов должно быть наименьшим , но полностью выявляющим форму предмета .

Выбор положения детали в главном изображении должен давать наиболее полное представление о форме и размерах детали: на главном виде должна быть максимально представлена информация о форме.

Обычно деталь показывают в положении, которое она занимает при обработке. Поэтому ось деталей, получаемых точением (например, валы), располагают горизонтально . Это облегчает рабочему изготовление детали по чертежу, так как и на чертеже и на станке он видит ее в одинаковом положении.

Выбор положения детали на главном изображении в значительной степени определяет количество изображений на чертеже. Предмет стараются располагать так, чтобы большая часть его элементов на главном виде изображалась как видимая .

Форма детали, представленной на рисунке 9 выявляется одним видом при правильном выборе главного изображения (главного вида).

Рис. 9.

Для передачи формы детали (рис. 10) необходимы два вида. Одним, главным видом не возможно показать глубину пазов утолщенной части детали.

Рис. 10.

Форму детали, показанной на рисунке 11 выявляют тремя изображениями. Даже два вида детали не будет полно определять форму.

Три типовые проекции – общая, профильная и горизонтальная – содержат нужную и довольную информацию о внешнем виде и внутреннем устройстве деталей, имеющих правда бы одну ось симметрии. Если у детали трудная конфигурация либо много внутренних полостей с криволинейной поверхностью, могут понадобиться добавочные разрезы и проекции.

Вам понадобится

  • — комплект карандашей для черчения различной твердости;
  • — линейка;
  • — угольник;
  • — циркуль;
  • — ластик.

Инструкция

1. Проекционная связь между элементами детали сохраняется при любом расстоянии между изображениями 3 видов этой детали на чертеже. Вследствие такой связи дозволено по двум проекциям возвести третью недостающую. Пускай вам даны вид на деталь спереди (общая проекция) и вид сбоку (профильная проекция). Это предположение возможно для всяких 2-х проекций, чай деталь дозволено повернуть как желательно.

2. Проведите тонкую вертикальную линию между общей и профильной проекциями. Продлите эту линию вниз до яруса желаемого расположения третьей проекции. Проведите тонкую горизонтальную линию под двумя данными проекциями на произвольном расстоянии. Третья проекция будет построена ниже горизонтальной линии под общей проекцией. Вспомогательные вертикальная и горизонтальная линии служат для построения третьей проекции детали.

3. Постройте проекции всех вершин 2-х имеющихся видов детали на вспомогательную горизонталь. Другими словами – опустите перпендикуляры на вспомогательную горизонталь из всех вершин на общей и профильной проекциях. Перпедикуляры, проведенные из точек общей поверхности, продлите ниже вспомогательной горизонтальной линии до желаемого места размещения третьей проекции. Вы получили ширину еще не вычерченной третьей проекции. Перпендикуляры, проведенные из точек профильной проекции, за горизонталь продолжать не необходимо.

4. Поставьте иглу циркуля в точку пересечения вспомогательных вертикали и горизонтали. Карандаш циркуля установите в точку пересечения вспомогательной горизонтали и перпендикуляра, опущенного из точки профильной проекции. Полученным радиусом сделайте отметку на вспомогательной вертикали вниз. Таким же образом с поддержкой циркуля перенесите проекции всех вершин профильной проекции со вспомогательной горизонтали на вспомогательную вертикаль.

5. Восстановите перпендикуляры к вертикальной вспомогательной линии из перенесенных на нее проекций вершин профильной проекции детали. Продлите полученные перпендикуляры до пересечения с теснее построенными линиями третьей проекции.

6. Завершите вычерчивание третьей проекции детали. Обведите стержневой линией силуэт детали и все видимые части проекции. Штриховой линией исполните заметные части детали. Места расположения окружностей на исполняемой третьей проекции обозначены квадратами, получившимися при пересечении перпендикуляров к вспомогательным линиям. Впишите в эти квадраты окружности.

7. Для заключения работы нанесите размерные линии и проставьте размеры.

Проекция крепко ассоциируется с точными науками — геометрией и черчением. Впрочем это не мешает ей встречаться сплошь и рядом в вдалеке, казалось бы, не научных и обыденных вещах: тень предмета, которая ложится на плоскую поверхность при ясном освещении, шпалы железной дороги, любая карта и всякий чертеж теснее есть не что иное? как проекция. Финально, создание карт и чертежей требует глубокого постижения предмета, а вот простейшие проекции дозволено возвести самосильно, вооружившись только линейкой и карандашом.

Вам понадобится

  • * карандаш;
  • * линейка;
  • * лист бумаги.

Инструкция

1. 1-й метод построения проекции именуется центральным проектированием и исключительно подходит для изображения на плоскости предметов, когда нужно уменьшить либо увеличить их фактический размер (Рис. а). Алгорифм центрального проектирования заключается в дальнейшем: обозначаем плоскость проектирования(П’) и центр проектирования (S). Дабы спроектировать треугольник АВС в плоскость П’, проводим через точку центра S и точки А, В и С прямые АS, SВ и SC. Пересечение их с плоскостью П’ образует точки А’, В’ и С’, при соединении которых прямыми мы получаем центральную проекцию треугольника АВС.

2. 2-й метод отличается от описанного выше только в том, что прямые, при помощи которых вершины треугольника АВС проектируются в плоскость П’, не пересекаются, а параллельны обозначенному направлению проектирования (S). Нюанс: направление проектирования не может быть параллельно плоскости П’. При соединении точек проектирования А’В’С’ мы получаем параллельную проекцию.Невзирая на простоту, навык построения таких вот примитивных проекций чудесно помогает развить пространственное мышление и может храбро считаться первым шагом в начертательной геометрии.

Видео по теме

Одна из самых интересных задач начертательной геометрии – построение третьего вида при заданных 2-х. Она требует вдумчивого подхода и мелочного измерения расстояний, следственно не неизменно дается с первого раза. Тем не менее, если скрупулезно следовать рекомендованной последовательности действий, возвести 3-й вид абсолютно допустимо, даже без пространственного воображения.

Вам понадобится

  • — лист бумаги;
  • — карандаш;
  • — линейка либо циркуль.

Инструкция

1. В первую очередь постарайтесь по двум имеющимся вида м определить форму отдельных частей изображенного предмета. Если на виде сверху изображен треугольник, то это может быть треугольная призма, конус вращения, треугольная либо четырехугольная пирамида. Форму четырехугольника могут принять цилиндр, четырехугольная либо треугольная призма либо другие предметы. Изображение в форме круга может обозначать шар, конус, цилиндр либо другие поверхности вращения. Так либо напротив, попытайтесь представить всеобщую форму предмета в совокупности.

2. Расчертите границы плоскостей, для комфорта переноса линий. Начните перенос с самого комфортного и внятного элемента. Возьмите всякую точку, которую вы верно «видите» на обоих вида х и перенесите ее на 3-й вид. Для этого опустите перпендикуляр на границы плоскостей и продолжите его на дальнейшей плоскости. При этом учтите, что при переходе с вида слева на вид сверху (либо напротив), нужно пользоваться циркулем либо отмерять расстояние при помощи линейки. Таким образом, на месте вашего третьего вида пересекутся две прямые. Это и будет проекция выбранной точки на 3-й вид. Таким же образом дозволено переносить сколько желательно точек, пока вам не станет внятным всеобщий вид детали.

3. Проверьте правильность построения. Для этого измерьте размеры тех частей детали, которые отражаются всецело (скажем, стоящий цилиндр будет одного «роста» на виде слева и виде спереди). Для того, дабы осознать, ничего ли вы не позабыли, постарайтесь посмотреть на вид спереди с позиции наблюдателя сверху и пересчитать (правда бы приблизительно), сколько должно быть видно границ отверстий и поверхностей. Вся прямая, всякая точка обязаны иметь отражение на всех вида х. Если деталь симметрична, не позабудьте подметить ось симметрии и проверить равенство обеих частей.

4. Удалите все вспомогательные линии, проверьте, дабы все заметные линии были подмечены пунктирной линией.

Дабы изобразить тот либо другой предмет, вначале изображают его отдельные элементы в виде простейших фигур, а после этого выполняется их проекция. Построение проекции достаточно зачастую применяется в начертательной геометрии.

Вам понадобится

  • — карандаш;
  • — циркуль;
  • — линейка;
  • — справочник «Начертательная геометрия»;
  • — резинка.

Инструкция

1. Вдумчиво прочитайте данные поставленной задачи: к примеру, дана общая проекция F2. Принадлежащая ей точка F расположена на боковой поверхности цилиндра вращения. Требуется построение 3 проекций точки F. Мысленно представьте, как все это должно выглядеть, позже чего приступайте к построению изображения на бумаге.

2. Цилиндр вращения может быть представлен в виде вращающегося прямоугольника, одна из сторон которого принимается за ось вращения. Вторая сторона прямоугольника — противоположная оси вращения — образует боковую поверхность цилиндра. Остальные две стороны представляют нижнее и верхнее основание цилиндра.

3. Ввиду того, что поверхность цилиндра вращения при построении заданных проекций выполняется в виде горизонтально-проецирующей поверхности, проекция точки F1 непременно должна совпадать с точкой Р.

4. Изобразите проекцию точки F2: от того что F находится на общей поверхности цилиндра вращения, точка F2 будет спроецированной на нижнее основание точкой F1.

5. Третью проекцию точки F постройте при помощи оси ординаты: отложите на ней F3 (эта точка-проекция будет расположена правее оси z3).

Видео по теме

Обратите внимание!
В ходе построения проекций изображения руководствуйтесь основными правилами, используемыми в начертательной геометрии. В отвратном случае, исполнить проекции не удастся.

Полезный совет
Дабы возвести изометрическое изображение, используйте верхнее основание цилиндра вращения. Для этого вначале постройте эллипс (он будет размещен в плоскости х’О’у’). Позже этого проведите касательные линии и нижний полуэллипс. После этого проведите координатную ломаную и с ее подмогой постройте проекцию точки F, то есть точку F’.

Горизонтали – изогипсы (линии идентичных высот) – линии, которые соединяют на земной поверхности точки, имеющие идентичные отметки по высоте. Построение горизонталей применяют для составления топографических и географических карт. Горизонтали строятся на основе измерений теодолитами. Места выхода секущих плоскостей наружу проецируется на горизонтальную плоскость.

Инструкция

1. В нашей стране существуют разные масштабы для построения сечений между горизонталями. В некоторых случаях для больше точного изложения трудного рельефа местности применяют горизонтали с произвольным сечением. На картах горизонтали вычерчивают красно-каштановой либо красной тушью.

2. Уровенной поверхностью для отсчета горизонталей в России считается нуль Кронштадтского футштока. Именно от нее идет отсчет горизонталей, что дает вероятность объединить между собой отдельные планы и карты, составленные разными организациями.Горизонталями определяют не только земной рельеф, но и рельеф водных бассейнов. Изобаты (водные горизонтали) соединяют точки с идентичной глубиной.

3. Для обозначения рельефа на картах применяются общие условные знаки, которые бывают контурные (масштабные), внемасштабные и пояснительные. Помимо того, существуют еще добавочные элементы, сопутствующие условным знакам. К ним относятся всевозможные надписи, наименования рек, городов, цветовое оформление карт.

4. Для составления строительных чертежей и планов существуют особые условные знаки, предусмотренные действующими СНиПами.

5. Возвести горизонталь на плане между двумя точками дозволено двумя методами: графическим и аналитическим. Для графического построения горизонтали на плане возьмите миллиметровую бумагу.

6. Нарисуйте на бумаге несколько горизонтальных параллельных линий на равном расстоянии. Число линий определяется числом нужных сечений между двумя точками. Расстояние между линиями принимается равным заданному расстоянию между горизонталями.

7. Нарисуйте две вертикальные параллельных линии на расстоянии, равном расстоянию между заданными точками. Подметьте на них эти точки, рассматривая их высоту (альтитуду). Объедините точки наклонной линией. Точки пересечения линией горизонтальных прямых являются точками выхода секущих плоскостей наружу.

8. Перенесите отрезки, полученные в итоге пересечения на горизонтальную прямую линию, соединяющую две заданные точки, способом ортогонального проецирования. Объедините полученные точки плавной линией.

9. Для построения горизонталей аналитическим способом пользуются формулами, выведенными из знаков подобия треугольников. Помимо этих способов для построения горизонталей сегодня применяются и компьютерные программы, такие как «Архикад» и «Архитерра».

Видео по теме

При создании архитектурного плана либо разработке дизайна интерьера дюже главно представить, как будет выглядеть объект в пространстве. Дозволено применять аксонометрическую проекцию, но она отменна для маленьких предметов либо деталей. Преобладание общей перспективы в том, что она дает представление не только о внешнем виде объекта, но разрешает зрительно представить соотношение размеров в зависимости от расстояния.

Вам понадобится

  • — лист бумаги;
  • — карандаш;
  • — линейка.

Инструкция

1. Тезисы построения общей перспективы идентичны для листа ватмана и графического редактора. Следственно исполните его на листе. Если предмет маленький, довольно будет формата А4. Для общей перспективы здания либо интерьера возьмите лист побольше. Положите его горизонтально.

2. Для технического рисунка либо чертежа выберите масштаб. За стандарт примите какой-нибудь ясно различимый параметр — скажем, длину здания либо ширину комнаты. Нанесите на лист произвольный отрезок, соответствующий этой линии, и вычислите соотношение.

3. Данный же станет основанием картинной плоскости, следственно расположите его в нижней части листа. Финальные точки обозначьте, скажем, как А и B. Для картины линейкой ничего вымерять не необходимо, но определите соотношение частей объекта. Лист должен быть огромнее картинной плоскости, дабы на линии горизонта дозволено было поместить еще две точки, надобные для построения. Поделите эту линию на равные отрезки и обозначьте их, скажем, цифрами.

4. Определите 2-й параметр картинной плоскости. Это может быть, скажем, высота комнаты. Если вы собираетесь строить фронтальную перспективу здания, захватив кусок окружающего пространства, высота картинной плоскости может быть произвольной. Из точек А и В проведите вверх перпендикуляры на высоту картинной плоскости и объедините их концы прямой линией.

5. Выберите расположение линии горизонта. Она должна находиться несколько выше середины картинной плоскости. При построении общей перспективы интерьера традиционной комнаты в современном доме, скажем, линия горизонта должна находиться приблизительно на высоте 1,5-2 м. Если потолки высокие, то и линия горизонта может располагаться повыше.

6. Обозначьте на линии горизонта точку схода. Обозначьте ее, скажем, как Р. Вверх от нее проведите перпендикуляр к линии горизонта. Измерьте либо примерно прикиньте диагональ картинной плоскости. Умножьте данный параметр на 2. Это расстояние отложите от точки Р по перпендикуляру. Обозначьте новую точку как S.

7. От линии SP в точек S отложите 2 угла по 45? и продолжите лучи до пересечения с линией горизонта. Поставьте точки C и D. Они именуются точками отдаления. Зная их расположение и точку схода, дозволено возвести сетку общей перспективы.

8. Определите, где будет находиться наблюдатель по отношению к тому, что изображено на картинной плоскости. Отменнее поместить его где-нибудь с краю. Объедините эту точку с точкой P. Вторую точку отдаления спроецируйте на основание картинной плоскости. Объедините проекцию и точку, где находится наблюдатель, с точкой P.

9. Для определения расположения поперечных линий сетки объедините одну из точек отдаления с точками на основании картинной плоскости, которые вы обозначали цифрами. Вторую точку отдаления объедините с расположенным по диагонали концом основания. Точки пересечения этой линии с отрезками D1, D2 и т.д. дадут вам вероятность определить соотношение размеров по мере их удаления от наблюдателя.

10. Если плоскость объекта находится прямо перед зрителем, она получится на рисунке верно такой же, как и в натуре. Плоскости, находящиеся под углом, стройте по линий сетки. Все линии обязаны сходиться в точке P. Зритель видит их верно под тем же углом, что и в натуре. При этом размеры их также ограничиваются линиями сетки, что и дозволяет соблюдать соотношение.

Видео по теме

Пирамидой называют пространственную геометрическую фигуру, одна из граней которой является основанием и может иметь форму всякого многоугольника, а остальные — боковые — неизменно являются треугольниками. Все боковые поверхности пирамиды сходятся в одной всеобщей вершине, противолежащей основанию. Для полного представления на чертеже особенностей этой фигуры абсолютно довольно ее горизонтальной и общей проекций.

Инструкция

1. Начните построение проекции пирамиды с положительным треугольным основанием с горизонтальной проекции этого основания. Вначале проведите горизонтальный отрезок, равный длине ребра основания в заданном масштабе. Крайнюю левую его точку обозначьте единицей, а правую — тройкой. После этого отложите длину отрезка на циркуле и пересечение вспомогательных окружностей, проведенных из точек 1 и 2, обозначьте цифрой 3. Объедините точку 3 с краями отрезка — сейчас на чертеже есть линии всех 3 ребер основания, и построение его горизонтальной проекции дозволено считать законченным.

2. На горизонтальной проекции подметьте вершину пирамиды — она будет совпадать с пересечением 2-х вспомогательных отрезков, проведенных между вершинами треугольника и серединами противолежащих им сторон. Проекцию вершины обозначьте буквой S и объедините ее с углами треугольника основания — это горизонтальные проекции ребер боковых граней. На этом чертеж горизонтальной проекции будет завершен.

3. Чертеж общей проекции начните с построения отрезка 1′-2′, параллельного отрезку 1-2 — это будет общая проекция основания. После этого проведите вертикальную линию связи из горизонтальной проекции вершины пирамиды S и отложите от ее пересечения с отрезком 1′-2′ расстояние, равное заданной высоте фигуры в том же масштабе. На этом расстоянии поставьте точку S’ — это общая проекция вершины.

4. Проведите вертикальную линию связи из точки 3 горизонтальной проекции и подметьте ее пересечение с отрезком 1′-2′ — это общая проекция третьего угла основания, обозначьте ее 3′. После этого начертите проекции боковых ребер, объединив точки 1′, 2′ и 3′ с точкой S’. Чертеж общей проекции на этом тоже будет закончен.

5. Последовательность операций для пирамид с основаниями других форм будет такой же — начинайте с горизонтальной проекции, после этого по линиям связи стройте фронтальную.

Видео по теме

Пусть известны главный вид и вид сверху. Необходимо построить вид слева.

Для построения третьего вида по двум известным применяют два основных способа.

Построение третьего вида с помощью вспомогательной прямой.

Для того чтобы перенести размер ширины детали с вида сверху на вид слева, удобно воспользоваться вспомогательной прямой(рис. 27а, б). Эту прямую удобнее провести справа от вида сверху под углом 45° к горизонтальному направлению.

Чтобы построить третью проекцию А 3 вершины А , проведём через её фронтальную проекцию А 2 горизонтальную прямую 1 . На ней будет нахо­диться искомая проекция А 3 . После этого через горизонтальную проекцию А 1 проведём горизонтальную прямую 2 до пересечения ее со вспомо­гательной прямой в точке А 0 . Через точку А 0 проведём вертикальную пря­мую 3 до пересечения с прямой 1 в искомой точке А 3 .

Аналогично строятся профильные проекции остальных вершин предмета.

После того как проведена вспомогательная прямая под углом 45 О, по­строение третьей проекции также удобно выполнять с помощью рейсшины и треугольника (рис. 27б). Вначале через фронтальную проекцию А 2 проведём горизонтальную прямую. Проводить горизонтальную прямую через проекцию А 1 нет необходимости, достаточно, приложив рейсшину, сделать горизонтальную засечку в точке А 0 на вспомогательной прямой. После этого, немного сдвинув рейсшину вниз, прикладываем угольник одним катетом к рейсшине так, чтобы второй катет прошёл через точку А 0 , и отмечаем положение профильной проекции А 3 .

Построение третьего вида с помощью базовых линий.

Для построения третьего вида необходимо определить, какие линии чертежа целесообразно принять за базовые для отсчёта размеров изобра­жений предмета. В качестве таких линий принимают обычно осевые линии (проекции плоскостей симметрии предмета) и проекции плоскостей оснований предмета. Разберём на примере (рис. 28) построение вида слева по двум данным проекциям предмета.

Рис. 27 Построение третьей проекции по двум данным

Рис. 28. Второй способ построения третьей проекции по двум данным

Сопоставив оба изображения, устанавливаем, что поверхность предме­та включает в себя поверхности: правильной шестиугольной 1 и четы­рёхугольной 2 призм, двух цилиндров 3 и 4 и усечённого конуса 5 . Предмет имеет фронтальную плоскость симметрии Ф , которую удобно принимать за базу отсчёта размеров по ширине отдельных частей предмета при построении его вида слева. Высоты отдельных участков предмета отсчитываются от нижнего основания предмета и контролируются горизонтальными линиями связи.

Форма многих предметов усложняется различными срезами, вырезами, пересечением составляющих поверхностей. Тогда предварительно нужно определить форму линий пересечения, построить их по отдельным точкам, вводя обозначения проекций точек, которые после выполнения построений могут быть удалены с чертежа.

На рис. 29 построен вид слева предмета, поверхность которого обра­зована поверхностью вертикального цилиндра вращения с Т -образным вырезом в его верхней части и цилиндрическим отверстием, занимающим фронтально-проецирующее положение. В качестве базовых плоскостей взя­ты плоскость нижнего основания и фронтальная плоскость симметрии Ф . Изображение Т -образного выреза на виде слева построено с помощью точек А, В, С, Д и Е контура выреза, а линия пересечения цилиндрических по­верхностей – с помощью точек К, L, М и им симметричных. При построении третьего вида учтена симметрия предмета относительно плоскости Ф .

Рис. 29. Построение вида слева

5.2.3. Построение линий перехода. Очень многие детали содержат линии пересечения всевозможных геометрических поверхностей. Эти линии называются линиями перехода. На рис. 30 изображена крышка подшипника, поверхность которой ограничена поверхностями вращения: коническими и цилиндрическими.

Линия пересечения строится с помощью вспомогательных секущих плоскостей (см. раздел 4).

Определяются характерные точки линии пересечения.

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПОВЕРХНОСТЕЙ Методические рекомендации по курсу начертательной геометрии

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова»

Бийский технологический институт (филиал)

Г.И. Куничан, Л.И. Идт

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК

ПОВЕРХНОСТЕЙ

Методические рекомендации по курсу начертательной геометрии

для самостоятельной работы студентов механических специальностей

171200, 120100, 171500, 170600

Бийск

2005

УДК 515.0(075.8)

Куничан Г.И., Идт Л.И . Построение разверток поверхностей:

Методические рекомендации по курсу начертательной геометрии для самостоятельной работы студентов механических специальностей 171200, 120100, 171500, 170600.

Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск.

Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2005. – 22с.

В методических рекомендациях подробно рассмотрены примеры построения разверток многогранников и поверхностей вращения по теме построение разверток поверхностей курса начертательной геометрии, которые изложены в виде лекционного материала. Методические рекомендации предлагаются для самостоятельной работы студентов дневной, вечерней и заочной форм обучения.

Рассмотрены и одобрены

на заседании

кафедры

технической

графики.

Протокол №20 от 05.02.2004 г.

Рецензент: завкафедрой МРСиИ БТИ АлтГТУ, к.т.н. Фирсов А.М.

 Куничан Г.И., Идт Л.И., Леонова Г.Д., 2005

БТИ АлтГТУ, 2005

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О РАЗВЕРТЫВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Представляя поверхность в виде гибкой, но нерастяжимой пленки, можно говорить о таком преобразовании поверхности, при котором поверхность совмещается
с плоскостью без складок и разрывов. Следует указать, что далеко не каждая поверхность допускает такое преобразование. Ниже будет показано, какие типы поверхностей возможно совместить с плоскостью при помощи изгибания, без растяжения и сжатия.

Поверхности, которые допускают такое преобразование, называются развертывающимися, а фигура на плоскости, в которую поверхность преобразуется, называется разверткой поверхности.

Построение разверток поверхностей имеет большое практическое значение при конструировании различных изделий из листового материала. При этом необходимо отметить, что часто приходится изготовлять из листового материала не только развертывающиеся поверхности, но и неразвертывающиеся поверхности. В этом случае неразвертывающуюся поверхность разбивают на части, которые можно приближенно заменить развертывающимися поверхностями, а затем строят развертки этих частей.

К числу развертывающихся линейчатых поверхностей относятся цилиндрические, конические и торы.

Все остальные кривые поверхности не развертываются на плоскость и поэтому при необходимости изготовления этих поверхностей из листового материала их приближенно заменяют развертывающимися поверхностями.

1 ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПИРАМИДАЛЬНЫХ

ПОВЕРХНОСТЕЙ

Построение разверток пирамидальных поверхностей приводит к многократному построению натурального вида треугольников, из которых состоит данная пирамидальная поверхность или многогранная поверхность, вписанная (или описанная) в какую-либо коническую или линейчатую поверхность, которой заменяется указанная поверхность. Описываемый способ приводит к разбивке поверхности на треугольники, он называется способом треугольников (триангуляции).

Покажем применение этого способа для пирамидальных поверхностей. Если пренебречь графическими ошибками, то построенные развертки таких поверхностей можно считать точными.

Пример 1. Построить полную развертку поверхности части треугольной пирамиды SABC.

Так как боковые грани пирамиды являются треугольниками, то для построения ее развертки нужно построить натуральные виды этих треугольников. Для этого предварительно должны быть определены натуральные величины боковых ребер. Натуральную величину боковых ребер можно определить при помощи прямоугольных треугольников, в каждом из которых одним катетом является превышение точки S над точками А, В и С, а вторым катетом – отрезок, равный горизонтальной проекции соответствующего бокового ребра (рисунок 1).

Так как стороны нижнего основания являются горизонталями, то их натуральные величины можно измерить на плоскости П1. После этого каждая боковая грань строится как треугольник по трем сторонам. Развертка боковой поверхности пирамиды получается в виде ряда примыкающих один к другому треугольников с общей вершиной S (S2C*, S2A*, S2B* – являются натуральными величинами ребер пира-миды).

Для нанесения на развертку точек D, E и F, соответствующих вершинам сечения пирамиды плоскостью, нужно предварительно определить их натуральные расстояния от вершины S, для чего следует перенести точки D*, E* и F* на соответствующие натуральные величины боковых ребер.

Рисунок 1

После построения развертки боковой поверхности усеченной части пирамиды, следует пристроить к ней треугольники АВС и DEF. Треугольник АВС является основанием усеченной пирамиды и изображен на горизонтальной плоскости проекций в натуральную величину.

2 ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК КОНИЧЕСКИХ

ПОВЕРХНОСТЕЙ

Рассмотрим построение разверток конических поверхностей. Несмотря на то, что конические поверхности являются развертывающимися и, следовательно, имеют теоретически точные развертки, практически строят их приближенные развертки, пользуясь способом треугольников. Для этого заменяют коническую поверхность вписанной в нее поверхностью пирамиды.

Пример 2. Построить развертку прямого конуса с отсеченной вершиной (рису-нок 2а, б).

1. Необходимо предварительно построить развертку боковой поверхности конуса. Этой разверткой является круговой сектор, радиус которого равен натуральной величине образующей конуса, а длина дуги равна длине окружности основания конуса. Практически дугу сектора определяют при помощи ее хорд, которые принимают равными хордам, стягивающим дуги основания конуса. Иначе говоря, поверхность конуса заменяется поверхностью вписанной пирамиды.

2. Чтобы на развертку нанести точки фигуры сечения (А,В,С,D,F,G,K), нужно предварительно определить их натуральные расстояния от вершины S, для чего следует перенести точки А2, В2, С2, D2, F2, G2, K2 на соответствующие натуральные величины образующих конуса. Так как в прямом конусе все образующие равны, то достаточно перенести проекции точек сечения на крайние образующие S212 и S272. Таким образом, отрезки S2A*, S2B*, S2D*, S2F*, S2G*, S2K* являются искомыми, т.е. равными натуральной величине расстояния от S до точек сечения.

Рисунок 2 (а)

Рисунок 2 (б)

Пример 3. Построить развертку боковой поверхности эллиптического конуса с круговым основанием (рисунок 3).

В данном примере коническая поверхность заменяется поверхностью вписанной двенадцатиугольной пирамиды. Так как коническая поверхность имеет плоскость симметрии, то можно построить развертку только одной половины поверхности. Разделив от точки О половину окружности основания конической поверхности на шесть равных частей и определив с помощью прямоугольных треугольников натуральные величины образующих, проведенных в точки деления, строим шесть примыкающих один к другому треугольников с общей вершиной S.

Каждый из этих треугольников строится по трем сторонам; при этом две стороны равны натуральным величинам образующих, а третья – хорде, стягивающей дугу окружности основания между соседними точками деления (например О1-11, 11-21, 21— 31 и т.д.) После этого через точки 0, 1, 2 … разогнутого по способу хорд основания конической поверхности проводится плавная кривая.

Если на развертке надо нанести какую-либо точку М, находящуюся на поверхности конуса, то следует предварительно построить точку М* на гипотенузе S2 –7* прямоугольного треугольника, с помощью которого определена натуральная величина образующей S – 7, проходящей через точку М. После этого следует провести на развертке прямую S – 7, определив точку 7 из условия равенства хорд 21 – 71=2 – 7, и на ней отложить расстояние SM=S2M*.

Рисунок 3

3 ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПРИЗМАТИЧЕСКИХ

И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Построение разверток призматических и цилиндрических поверхностей приводит в общем случае к многократному построению натурального вида трапеций, из которых состоит данная призматическая поверхность, или призматическая поверхность, вписанная (или описанная) в цилиндрическую поверхность и заменяющая ее. Если, в частности, призматическая или цилиндрическая поверхности ограничены параллельными основаниями, то трапеции, на которые разбивается поверхность, обращаются в прямоугольники или параллелограммы, в зависимости от того, перпендикулярны или нет плоскости оснований боковым ребрам или образующим поверхности.

Построение трапеций или параллелограммов проще всего произвести по их основаниям и высотам, причем необходимо также знать отрезки оснований, на которые они делятся высотой. Поэтому для построения развертки призматической или цилиндрической поверхности необходимо предварительно определить натуральный вид нормального сечения данной поверхности. Стороны этого сечения, в случае призматической поверхности, и будут высотами трапеций или параллелограммов, из которых состоит поверхность. В случае цилиндрической поверхности высотами будут хорды, стягивающие дуги нормального сечения, на которые разделена кривая, ограничивающая это сечение.

Так как указанный способ требует построения нормального сечения, то он называется способом нормального сечения.

Покажем применение этого способа для призматических поверхностей. Если пренебречь графическими ошибками, то построенные развертки этих поверхностей можно считать точными.

Пример 4. Построить полную развертку поверхности треугольной призмы АВСDEF (рисунок 4).

Пусть данная призма расположена относительно плоскостей проекций так, что ее боковые ребра являются фронталями. Тогда они проецируются на плоскость проекций П2 в натуральную величину и фронтально проецирующая плоскость Sv, перпендикулярная боковым ребрам, определит нормальное сечение PQR призмы.

Построив натуральный вид P4Q4R4 этого сечения, найдем натуральные величины P4Q4 , Q4R4 и R4P4 высот параллелограммов, из которых состоит боковая поверхность призмы.

Рисунок 4

Так как боковые ребра призмы параллельны между собой, а стороны нормального сечения им перпендикулярны, то из свойства сохранения углов на развертке следует, что на развертке призмы боковые ребра будут также параллельны между собой, а стороны нормального сечения развернутся в одну прямую. Поэтому для построения развертки призмы нужно отложить на произвольной прямой натуральные величины сторон нормального сечения, а затем через их концы провести прямые,

перпендикулярные к этой прямой. Если теперь отложить на этих перпендикулярах

по обе стороны от прямой QQ отрезки боковых ребер, измеренные на плоскости проекций П2, и соединить отрезками прямых концы отложенных отрезков, то получим развертку боковой поверхности призмы. Присоединяя к этой развертке оба основания призмы, получим ее полную развертку.

Если боковые ребра данной призмы имели бы произвольное расположение относительно плоскостей проекций, то нужно было бы предварительно преобразовать их в прямые уровня.

Существуют также другие способы построения разверток призматических поверхностей, один из которых – раскатка на плоскости – рассмотрим на примере 5.

Пример 5. Построить полную развертку поверхности треугольной призмы ABCDEF (рисунок 5).

Рисунок 5

Эта призма расположена относительно плоскостей проекций так, что ее ребра являются фронталями, т.е. на фронтальной плоскости проекций П2 изображены в натуральную величину. Это позволяет использовать один из методов вращения, позволяющих находить натуральную величину фигуры путем вращения ее вокруг прямой уровня. В соответствии с этим методом точки B,C,A,D,E,F, вращаясь вокруг ребер AD, BE и CF, совмещаются с фронтальной плоскостью проекций. Т.е. траектория движения точек В2и F2 изобразится перпендикулярно A2 D2.

Раствором циркуля, равным натуральной величине отрезка АВ (АВ=А1В1),из точек А2 и D2 делаем засечки на траектории движения точек В2и F2. Полученная грань A2D2BF изображена в натуральную величину. Следующие две грани BFCEи CEAD строим аналогичным способом. Пристраиваем к развертке два основания АВС и DEF. Если призма расположена так, что ее ребра не являются прямыми уровня, то используя методы преобразования чертежа (замены плоскостей проекций или вращения), следует провести преобразование так, чтобы ребра призмы стали прямыми уровня.

Рассмотрим построение разверток цилиндрических поверхностей. Хотя цилиндрические поверхности являются развертывающимися, практически строят приближенные развертки, заменяя их вписанными призматическими поверхностями.

Пример6. Построить развертку прямого цилиндра, усеченного плоскостью Sv (рисунок 6).

Рисунок 6

Построение развертки прямого цилиндра не представляет никакой сложности, т.к. является прямоугольником, длина одной стороны равняется 2πR, а длина другой равна образующей цилиндра. Но если требуется нанести на развертку контур усеченной части, то построение целесообразно вести, вписав в цилиндр двенад-цатигранную призму. Обозначим точки сечения (сечение является эллипсом), лежащие на соответствующих образующих, точками 12, 22, 32 … и по линиям связи
перенесем их на развертку цилиндра. Соединим эти точки плавной линией и пристроим натуральную величину сечения и основание к развертке.

Если цилиндрическая поверхность наклонная, то развертку можно строить двумя способами, рассмотренными ранее на рисунках 4 и 5.

Пример 7. Построить полную развертку наклонного цилиндра второго порядка (рисунок 7).

Рисунок 7

Образующие цилиндра параллельны плоскости проекций П2, т.е. изображены на фронтальной плоскости проекций в натуральную величину. Основание цилиндра делят на 12 равных частей и через полученные точки проводят образующие. Развертку боковой поверхности цилиндра строят так же, как была построена развертка наклонной призмы, т.е. приближенным способом.

Для этого из точек 12, 22, …, 122 опускают перпендикуляры к очерковой образующей и радиусом, равным хорде 1121, т.е. 1/12 части деления окружности основания, последовательно делают засечки на этих перпендикулярах. Например, делая засечку из точки 12 на перпендикуляре, проведенном из точки 22, получают 2. Принимая далее точку 2 за центр, тем же раствором циркуля делают засечку на перпендикуляре, проведенном из точки 32, и получают точку 3 и т.д. Полученные точки 12, 2, 3,, 1 соединяют плавной лекальной кривой. Развертка верхнего основания симметрична развертке нижнего, так как сохраняется равенство длин всех образующих цилиндра.

4 ПРИБЛИЖЕННОЕ РАЗВЕРТЫВАНИЕ ШАРОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Шаровая поверхность относится к так называемым неразвертываемым поверхностям, т. е. к таким, которые не могут быть совмещены с плоскостью, не претерпев при этом каких-либо повреждений (разрывов, складок). Таким образом, шаровая поверхность может быть развернута лишь приближенно.

Один из способов приближенной развертки шаровой поверхности рассмотрен на рисунке 8.

Сущность этого приема состоит в том, что шаровая поверхность при помощи меридианальных плоскостей, проходящих через ось шара SP, разбивается на ряд одинаковых частей.

На рисунке 8 шаровая поверхность разбита на 12 равных частей и показана горизонтальная проекция (s1, k1, l1)только одной такой части. Затем дуга k4lзаменена прямой (m1n1), касательной к окружности, и эта часть шаровой поверхности заменена цилиндрической поверхностью с осью, проходящей через центр шара и параллельной касательной тп. Далее дуга s242разделена на четыре равные части. Точки 12, 22, 32, 42приняты за фронтальные проекции отрезков образующих цилиндрической поверхности с осью, параллельной тп. Их горизонтальные проекции: a1b1, c1d1, e1f1, т1п1. Затем на произвольной прямой MNотложен отрезок тп. Через его середину проведен перпендикуляр к MNи на нем отложены отрезки 4232, 3222, 2212, 12S2, равные соответствующим дугам 4232, 3222, 2212, 12s2. Через полученные точки проведены линии, параллельные тп, и на них отложены соответственно отрезки а1b1, c1d1, e1f1. Крайние точки этих отрезков соединены плавной кривой. Получилась развертка 1/12 части шаровой поверхности. Очевидно, для построения полной развертки шара надо вычертить 12 таких разверток.

5 ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТКИ КОЛЬЦА

Пример 9. Построить развертку поверхности кольца (рисунок 9).

Разобьем поверхность кольца при помощи меридианов на двенадцать равных частей и построим приближенную развертку одной части. Заменяем поверхность этой части описанной цилиндрической поверхностью, нормальным сечением которой будет средний меридиан рассматриваемой части кольца. Если теперь спрямить этот меридиан в отрезок прямой и через точки деления провести перпендикулярно к нему образующие цилиндрической поверхности, то, соединив их концы плавными кривыми, получим приближенную развертку 1/12 части поверхности кольца.

Рисунок 8

Рисунок 9

6 ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТКИ ВОЗДУХОВОДА

В заключение покажем построение развертки поверхности одной технической детали, изготовляемой из листового материала.

На рисунке 10 изображена поверхность, с помощью которой осуществляется переход с квадратного сечения на круглое. Эта поверхность состоит из двух
конических поверхностей I, двух конических поверхностей II, двух плоских треугольников IIIи плоских треугольников IVи V.

Рисунок 10

Для построения развертки данной поверхности нужно предварительно определить натуральные величины тех образующих конических поверхностей I и II, спомощью которых эти поверхности заменяются совокупностью треугольников. На вспомогательном чертеже по способу прямоугольного треугольника построены натуральные величины этих образующих. После этого строят развертки конических поверхностей, а между ними в определенной последовательности строят треугольники III, IVи V, натуральный вид которых определяется по натуральной величине их сторон.

На чертеже (см. рисунок 10) показано построение развертки части от данной поверхности. Для построения полной развертки воздуховода следует достроить конические поверхности I, II и треугольник III.

Рисунок 11

На рисунке 11 приведен пример развертки воздуховода, поверхность которого можно разбить на 4 одинаковые цилиндрические поверхности и 4 одинаковые треугольника. Цилиндрические поверхности представляют собой наклонные цилиндры. Метод построения развертки наклонного цилиндра методом раскатки приведен подробно ранее на рисунке 7. Более удобным и наглядным для данной фигуры методом построения развертки представляется метод триангуляции, т.е. цилиндрическая поверхность разбивается на треугольники. А затем определяется натуральная величина сторон методом прямоугольного треугольника. Построение развертки цилиндрической части воздуховода обоими способами приведено на рисунке 11.

Вопросы для самоконтроля

1. Укажите приемы построения разверток цилиндрических и конических поверхностей.

2. Как построить развертку боковой поверхности усеченного конуса, если нельзя достроить этот конус до полного?

3. Как построить условную развертку сферической поверхности?

4. Что называется разверткой поверхности?

5. Какие поверхности относятся к развертывающимся?

6. Перечислите свойства поверхности, которые сохраняются на ее развертке.

7. Назовите способы построения разверток и сформулируйте содержание каждого из них.

8. В каких случаях для построения развертки используются способы нормального сечения, раскатки, треугольников?

Литература

Основная литература

1. Гордон, В.О.  Курс начертательной геометрии / В.О. Гордон, М.А. Семенцо-Огиевский; под ред. В.О. Гордона. – 25-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003.

2. Гордон, В.О.  Сборник задач по курсу начертательной геометрии / В.О. Гордон, Ю.Б. Иванов, Т.Е. Солнцева; под ред. В.О. Гордона. – 9-е изд., стер. – М.:  Высш. шк., 2003.

3. Курс начертательной геометрии / под ред. В.О. Гордона. – 24-е изд, стер. – М.: Выcшая школа, 2002.

4. Начертательная геометрия / под ред. Н.Н. Крылова. – 7-е изд., перераб. и доп.- М.: Выcшая школа, 2000.

5. Начертательная геометрия. Инженерная и машинная графика: программа, контрольные задания и методические указания для студентов-заочников инже-нерно-технических и педагогических специальностей вузов / А.А. Чекмарев, 
А.В. Верховский, А.А. Пузиков; под ред. А.А. Чекмарева. – 2-е изд., испр. – М.: Выcшая школа, 2001.

Дополнительная литература

6. Фролов, С.А. Начертательная геометрия / С.А. Фролов. – М.: Машиностроение, 1978.

7. Бубенников, А.В. Начертательная геометрия / А.В. Бубенников, М.Я. Громов. – М.: Высшая школа, 1973.

8. Начертательная геометрия / под общей ред. Ю.Б. Иванова. – Минск: Вышейшая школа, 1967.

9. Боголюбов, С.К. Черчение: учебник для машиностроительных специальностей средних специальных учебных заведений / С.К. Боголюбов. – 3-е изд., испр. и дополн. – М.: Машиностроение, 2000.

СОДЕРЖАНИЕ

Общие понятия о развертывании поверхностей…………………………………………3

1 Построение разверток пирамидальных поверхностей………………………………..3

2 Построение разверток конических поверхностей………………………………….….5

3 Построение разверток призматических и цилиндрических поверхностей………….9

4 Приближенное развертывание шаровой поверхности………………………….….. 14

5 Построение развертки кольца………………………………………………………….14

6 Построение развертки воздуховода……………………………………………………16

Вопросы для самоконтроля………………………………………………………………19

Литература………………………………………………………………………………..20

Куничан Галина Ивановна

Идт Любовь Ивановна

Построение разверток поверхностей

Методические рекомендации по курсу начертательной геометрии для самостоятельной работы студентов механических специальностей 171200, 120100, 171500, 170600

Редактор Идт Л.И.

Технический редактор Малыгина Ю.Н.

Корректор Малыгина И.В.

Подписано в печать 25.01.05. Формат 61х86 /8.

Усл. п. л. 2,67. Уч.-изд. л. 2,75.

Печать – ризография, множительно-копировальный

аппарат «RISO TR -1510»

Тираж 60 экз. Заказ 2005-06.

Издательство Алтайского государственного

технического университета,

656099, г. Барнаул, пр.-т Ленина, 46

Оригинал-макет подготовлен ИИЦ БТИ АлтГТУ.

Отпечатано в ИИЦ БТИ АлтГТУ.

659305, г. Бийск, ул. Трофимова, 29

Г.И. Куничан, Л.И. Идт

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПОВЕРХНОСТЕЙ

Методические рекомендации по курсу начертательной геометрии

для самостоятельной работы студентов механических специальностей

171200, 120100, 171500, 170600

Бийск

2005

Создайте трехмерный график поверхности в интерактивном режиме с помощью Chart Studio и Excel

Выберите «Трехмерный график поверхности» из кнопки СДЕЛАТЬ ГРАФИК в строке меню.

Выберите форму ввода как «Z-матрица», нажмите кнопку «Выбрать все столбцы». Если эти параметры включены, нажмите кнопку графика, чтобы создать график

.

Ваш участок должен выглядеть примерно так:

Теперь мы добавим элементы стиля к сгенерированному сюжету.Сначала дадим ему имя. Мы можем добавить заголовок, щелкнув текстовое поле прямо над графиком:

Варианты стиля присутствуют в левой части графика. Чтобы установить цвет фона, (1) Щелкните селектор «Ось» на панели инструментов, (2) Щелкните вкладку «Линии» во всплывающем окне, (3) Установите для параметра «Фон» значение «Вкл.» И ( 4) Выберите цвет фона из цветовой палитры.

Оси и сетка : перейдите на вкладку «Линии» из всплывающего окна «Ось».(1) Установите для линий сетки значение «Вкл.» И выберите белый цвет во всплывающем окне. (2) Установите для параметра «Нулевые линии» значение «Вкл.» И выберите белый цвет во всплывающем окне

.

Изменить цветовую шкалу : Chart Studio позволяет нам выбирать среди широкого диапазона цветовых шкал. Чтобы изменить цветовую шкалу графика, (1) Щелкните всплывающее окно «Следы» на панели инструментов, (2) Нажмите «Стиль» ‘во всплывающем окне, (3) Установите для параметра «Автоцвет» значение «Выкл.» и установите одну из цветовых шкал.

Окончательный сюжет должен выглядеть примерно так:

Готовый график можно экспортировать для вставки в блокнот Excel. Мы также рекомендуем добавить ссылку Chart Studio на Excel для быстрого доступа к интерактивной версии.Чтобы получить ссылку на график, нажмите кнопку «Поделиться». Чтобы экспортировать диаграмму в виде изображения, нажмите кнопку «ЭКСПОРТ» на панели инструментов.

Чтобы добавить файл Excel в книгу, щелкните в том месте, куда вы хотите вставить изображение в Excel. На вкладке ВСТАВИТЬ в Excel щелкните ИЗОБРАЖЕНИЕ. Найдите загруженное изображение графика Chart Studio и дважды щелкните его:

Справка в Интернете — Учебные пособия — 3D-поверхность с меткой точки

3D-Surface-PointLabel

Сводка

В этом руководстве будет показано, как добавить 3D Scatter к 3D-поверхности и включить метки, как показано ниже:

Требуется минимальная исходная версия: Origin 2015 SR0

Что вы узнаете

Из этого туториала Вы узнаете, как:

  • Создание трехмерной поверхности с боковыми стенками
  • Добавьте 3D-разброс на 3D-поверхность и добавьте метки
  • Изменить положение метки на 3D-графиках
  • Добавьте линию для соединения символа и метки

Шаги

Создайте 3D-поверхность с боковыми стенками:

Это руководство связано с файлом \ Samples \ Tutorial Data.opj .
Также вы можете обратиться к этому графику в Учебном центре. (Выберите Help: Learning Center menu или нажмите F11 key, а затем откройте Graph Sample: 3D Surface )

  1. Откройте Tutorial Data.opj и перейдите к папке 3D Surface with Point Label в Project Explorer (PE).
  2. Активируйте MBook4 и выделите все. Выберите Plot> 3D: 3D Colormap Surface из главного меню.Будет сгенерирован трехмерный график цветовой карты, как показано ниже:

  3. Выберите Формат: Оси: Ось Z … в меню, чтобы открыть диалоговое окно Оси . (Или дважды щелкните одну из осей на графике). Установить масштаб оси Z От: -500 и До: 8000 . Нажмите ОК .

  4. Выберите в меню Format: Plot , чтобы открыть диалоговое окно Plot Details . (Или дважды щелкните в любом месте графика). Если левая панель не раскрыта, используйте кнопку в левом нижнем углу диалогового окна, чтобы развернуть ее, и выберите первый вариант в разделе Layer1 .Чтобы создать и настроить боковые стенки, на вкладке Боковые стены установите флажок Включить . Измените цвет боковых стенок X и Y на Gray и LT Gray .

  5. Чтобы настроить цветовую шкалу, на вкладке Colormap / Contour щелкните заголовок столбца Fill , чтобы открыть диалоговое окно. Выберите опцию Limited Mixing и установите From : Blue и To : Green , как показано ниже.Нажмите кнопку OK , чтобы закрыть диалоговое окно Fill .

  6. На вкладке Mesh выберите цвет Major Minor Lines как Black и выберите Apply Apply .

  7. Следующий шаг — добавить и настроить световой эффект. В том же диалоговом окне Plot Details разверните левую панель и выберите Layer 1 . На вкладке Lighting выберите Directional Mode, введите 279 и -3 в поля Horizontal и Vertical соответственно.Установите цвет Ambient на LT Yellow .

  8. Чтобы скорректировать плоскости, на вкладке Плоскости снимите флажок YZ и ZX , чтобы скрыть две плоскости на графике. Нажмите кнопку ОК .

Добавьте 3D-разброс на 3D-поверхность с помощью меток:

  1. Чтобы добавить символы в желаемую позицию на трехмерном графике, выберите График: Содержимое слоя в главном меню, чтобы открыть диалоговое окно Содержимое слоя (Или дважды щелкните значок слоя 1 в левом верхнем углу графика).В появившемся диалоговом окне выберите Worksheet в папке из раскрывающегося списка в верхнем левом углу.
  2. Нажмите кнопку Plot Type , показанную ниже, чтобы указать 3D Scatter / Trajectory / Vector в качестве типа графика:

  3. Чтобы переместить компоненты с левой панели на правую, удерживая нажатой клавишу Ctrl, выберите два столбца Высота на левой панели и нажмите кнопку Добавить график . Это добавит два столбца к Layer1.Нажмите кнопку ОК .

    Используйте кнопку Rotate Tool на панели инструментов Tools или удерживайте клавишу R и используйте мышь, чтобы повернуть график. Вы можете найти два красных символа, добавленных к трехмерной поверхности, и график будет выглядеть, как показано ниже:

  4. Чтобы добавить метки и линии выноски к двум символам, дважды щелкните любой из них, чтобы открыть диалоговое окно Plot Details . Убедитесь, что левая панель диалогового окна Plot Details развернута и на уровне графика Position1 отображается Original .На вкладке Label установите флажок Enable . В раскрывающемся списке Label From выберите col («Label») в качестве источника метки. Укажите смещение , положение и линию выноски для этикетки, как показано на изображении ниже:

  5. На левой панели щелкните Исходный под уровнем графика Position2 . На вкладке Label повторите вышеуказанный шаг, сделав выбор, указанный ниже.


    Нажмите кнопку ОК . На графике должны появиться ярлыки и ведущие линии.

Справка в Интернете — Учебники — Основы трехмерного построения

Базовое 3D-построение

Сводка

В Origin можно создавать контурные и трехмерные графики, такие как графики поверхности цветовой карты, непосредственно из данных XYZ.

Но, если вы хотите построить более гладкую трехмерную поверхность, вам настоятельно рекомендуется использовать одну из встроенных процедур построения координатной сетки Origin для преобразования данных XYZ в матрицу.

Требуется минимальная исходная версия: Origin 9.0 SR1

Что вы узнаете

Из этого туториала Вы узнаете, как:

  • Создание трехмерного графика из данных XYZ
  • Используйте диалог Layer Contents , чтобы добавить / удалить график данных
  • Преобразование данных XYZ в матрицу
  • Используйте диалоговое окно Plot Details для настройки графика

Создание трехмерной поверхности и точечной диаграммы

  1. Выберите Data: Connect to File: Text / CSV , чтобы импортировать файл \ Samples \ Matrix Conversion and Gridding \ XYZ Random Gaussian.dat с настройками по умолчанию.
  2. Выделите столбец C и нажмите кнопку Z на появившейся мини-панели инструментов.
  3. Выберите Plot> 3D: 3D ColorMap Surface , чтобы создать 3D-график поверхности Colormap Surface (Graph2 по умолчанию).
  4. Щелкните правой кнопкой мыши значок слоя в левом верхнем углу графика, чтобы открыть диалоговое окно Layer Contents . В этом диалоговом окне нажмите кнопку и выберите из выпадающего меню 3D Scatter / Trajectory / Vector .
  5. Выберите столбец C на левой панели и нажмите кнопку Добавить график , чтобы добавить трехмерную диаграмму рассеяния на график. Нажмите ОК , чтобы закрыть диалоговое окно.
  6. Дважды щелкните диаграмму рассеяния Graph2, чтобы открыть диалоговое окно Plot Details . На вкладке Symbol установите Shape to Ball , Size to 12 и Color to Map: Col (C) (разверните Color Chooser, чтобы выполнить настройки в подгруппе By Points ). -tab, как показано ниже).
  7. На вкладке Drop Lines снимите флажок Parallel to Z Axis .
  8. На вкладке Colormap щелкните заголовок столбца Fill … , чтобы открыть диалоговое окно. В диалоговом окне Fill выберите Load Palette , нажмите Select Palette и выберите Rainbow из списка.
  9. Выберите Layer1 на левой панели диалогового окна Plot Details .На вкладке Lighting выберите Directional как Mode и выполните настройки в разделе Light Color , как показано на изображении ниже. Нажмите ОК , чтобы закрыть диалоговое окно.

    График должен выглядеть следующим образом:

Нажмите клавишу «S» при наведении курсора на трехмерный график openGL. Курсор будет менять режимы. Перетащите с помощью мыши или используйте клавиши со стрелками, чтобы изменить направление источника освещения.

Сглаживание трехмерной поверхности

Если вы хотите создать трехмерную поверхность, более гладкую, чем приведенный выше график поверхности (созданный из данных XYZ), вы можете сначала преобразовать данные XYZ в матрицу с помощью инструмента XYZ Gridding . А затем используйте данные матрицы результатов для создания трехмерной поверхности.

  1. Снова активируйте книгу XYZ Random Gaussian .
  2. Выберите Worksheet: Convert to Matrix: XYZ Gridding , чтобы открыть диалоговое окно.Разверните ветвь Gridding Settings , выберите Random (Thin Plate Spline) из раскрывающегося списка Gridding Method and Parameters и установите для столбцов и Rows с по 30 . Щелкните OK , чтобы преобразовать данные XYZ в матрицу.
  3. Активируйте матрицу и выберите Plot> 3D: 3D Colormap Surface , чтобы создать еще один трехмерный график, говорит Graph3 .
  4. Вернитесь к Graph2 , щелкните правой кнопкой мыши любое пустое пространство в рамке слоя, чтобы выбрать Copy Format: All Style Formats в контекстном меню.
  5. Снова переключитесь на Graph3 , щелкните правой кнопкой мыши фрейм слоя, выберите Вставить формат в контекстном меню.
  6. Выберите Format: Plot … из главного меню, чтобы открыть диалоговое окно Plot Details . Перейдите на вкладку Colormap / Contours , снимите флажок Включить контуры :

    Graph3 должен выглядеть следующим образом:

Построение трехмерной поверхности на Python с использованием Matplotlib

из mpl_toolkits импорт mplot3d

импорт numpy as np

импорт matplotlib.pyplot как plt

x = np.outer (np.linspace ( - 3 , 3 , 32 ), np.ones ( 32) 32 32

y = x.copy (). T

z = (np.sin (x * * 2 ) + np.cos (y * * 2 ))

рис = рис. (Размер = ( 14 , 9 ))

ax = осей plt. (Проекция = '3d' )

my_cmap = plt.get_cmap ( 'горячий' )

прибой = ax.plot_surface (x, y, z,

rstride = 8 ,

cstride = 8 ,

альфа = 0.8 ,

cmap = my_cmap)

cset = ax.contourf (x, y, z,

zdir = 'z' ,

смещение = нп. мин. (z),

cmap = my_cmap)

cset = ax.contourf (x, y, z,

zdir = 'x' ,

смещение = - 5 ,

cmap = my_cmap)

cset = ax.contourf (x, y, z,

zdir = 'y' ,

смещение = 5 ,

cmap = my_cmap)

рис.палитра цветов (прибой, топор = топор,

усадка = 0,5 ,

аспект = 5 )

ax.set_xlabel ( 'Ось X' )

ax.set_xlim ( - 5 , 5 )

топор.set_ylabel ( 'Ось Y' )

ax.set_ylim ( - 5 , 5 )

ax.set_zlabel ( 'Ось Z' )

ax.set_zlim (np. min (z), np. max (z))

ax.set_title ( '3D-поверхность, имеющая 2D-проекции контурных графиков' )

PLT.показать ()

Построение поверхности выемки в 3DEC | США, Миннеаполис,

Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам максимальное удобство работы с ним.

Данная политика применяется к сайту www.itascacg.com (далее «Сайт»).

(1) Файлы cookie веб-сайта, используемые ITASCA CONSULTING GROUP

Cookie — это небольшой текстовый файл в буквенно-цифровом формате, хранящийся на жесткий диск пользователя посещенным сервером Сайта или третьим сторонний сервер (рекламная сеть, служба веб-аналитики и т. д.). Когда вы входите на наш Сайт, мы можем устанавливать на ваше устройство различные файлы cookie. Мы выпускаем следующие файлы cookie:

  • куки, необходимые для вашей навигации;
  • файлов cookie, позволяющих вести статистику;
  • файлов cookie, анализирующих ваш просмотр.

В соответствии с регламентом файлы cookie хранятся 13 месяцев.

(2) Файлы cookie, выдаваемые сторонними приложениями, интегрированными на наш сайт

Просматривая наш сайт, вы можете нажимать кнопки «социальных сетей», чтобы просмотреть наш профиль LinkedIn и нашу страницу YouTube.Нажав на значок, соответствующий социальной сети, последняя может идентифицировать вас. Если вы подключены к социальной сети во время навигации по на нашем Сайте, кнопки совместного использования позволяют связывать просматриваемое содержимое в вашу учетную запись пользователя. Google через Google Analytics размещает файлы cookie и отслеживает аудиторию сайта. Мы не можем контролировать процесс, используемый сторонними приложениями для сбора информации о вашем просмотре нашего Сайта. Мы приглашаем вас ознакомиться с их политикой защиты персональных данных, чтобы знать цель использования и навигационную информацию, которую они могут собирать.

(3) Управление файлами cookie

Когда вы впервые посещаете наш Сайт, баннер cookie Появится указание на назначение файлов cookie. Обратите внимание, что дальнейшая навигация по сайту равносильна предоставлению вашего согласия на использование файлов cookie ITASCA CONSULTING GROUP. Вы можете выбрать любой время адаптировать управление файлами cookie в соответствии с вашими предпочтениями, отключить их или выразить другой выбор с помощью описанных средств ниже. Если вы откажетесь от использования файлов cookie, у вас больше не будет доступ к ряду функций, необходимых для навигации по определенным областям наш сайт.

Для управления файлами cookie и вашего выбора каждый браузер предлагает свою конфигурацию.

Для хрома:

  1. В правом верхнем углу нажмите «Еще», затем «Настройки».
  2. Внизу нажмите «Дополнительные настройки».
  3. В разделе «Конфиденциальность и безопасность» нажмите «Настройки содержимого».
  4. Щелкните «Cookies».
  5. Выбери свои предпочтения

Для Internet Explorer 8:

  1. Нажмите кнопку «Инструменты», затем «Свойства обозревателя».
  2. Выберите вкладку «Конфиденциальность», затем в «Настройки» переместите курсор вверх до заблокировать все файлы cookie или выключить, чтобы разрешить все файлы cookie, затем нажмите «ОК».

Для Internet Explorer 10 и 11:

  1. Нажмите кнопку «Инструменты», затем «Свойства обозревателя».
  2. Выберите вкладку «Конфиденциальность», затем в «Настройках» выберите «Дополнительно». Выберите, хотите ли вы разрешить, заблокировать или получить запрос на определение настройка внутренних и сторонних файлов cookie.

Для FireFox:

  1. Нажмите кнопку «Меню» и выберите «Параметры»
  2. Выберите панель «Конфиденциальность и безопасность» и перейдите в раздел «История».
  3. Сделайте свой выбор в файлах cookie.

Для Safari:

  1. Выберите Safari> Настройки, нажмите Конфиденциальность
  2. Выберите вариант «Файлы cookie и данные веб-сайтов»

Для Opera:

  1. Нажмите «Настройки», затем «Дополнительно», а затем «Файлы cookie».
  2. Чтобы управлять файлами cookie в соответствии с определенным сайтом, нажмите «Управление файлами cookie».
  3. Если вы хотите принять или отклонить все файлы cookie в одном домене, выберите «Запомнить мой выбор для всех файлов cookie в этом домене».В следующий раз, когда для этого домена будет предложен файл cookie, диалоговое окно cookie не появится.
  4. Чтобы изменить срок действия cookie в конце сеанса, выберите «Принудительное удаление при выходе из Opera».
  5. Подробная информация о файлах cookie доступна под заголовком «Сведения о файлах cookie».

(4) Ваши права

Согласно GDPR, вы имеете право на доступ, исправление, возражение, удалять и ограничивать информацию из файлов cookie и других трассировщиков. Вы тоже имеют право отозвать свое согласие.Для этого обращайтесь по адресу [email protected].

Исчисление III — Квадрические поверхности

Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.2}}} = 1 \]

Вот набросок типичного эллипсоида.

Если \ (a = b = c \), то у нас будет сфера.

Обратите внимание, что мы дали уравнение только для эллипсоида, центр которого находится в начале координат. Ясно, что эллипсоиды не обязательно должны быть центрированы относительно начала координат. Однако, чтобы немного упростить обсуждение в этом разделе, мы решили сконцентрироваться на поверхностях, которые так или иначе «центрированы» относительно начала координат.2}}} \]

Вот эскиз типичного конуса.

Теперь обратите внимание, что хотя мы и назвали это конусом, это больше похоже на форму песочных часов, чем на то, что большинство людей назвали бы конусом. Конечно, верхняя и нижняя части песочных часов действительно являются конусами, как мы обычно думаем о них.

Возникает вопрос: а что, если нам действительно нужна только верхняя или нижняя часть (, т.е. конус в традиционном смысле)? На это достаточно легко ответить.2}} \) всегда будет отрицательным, как и уравнение только для нижней части «конуса» выше.

Также обратите внимание, что это уравнение конуса, который открывается вдоль оси \ (z \). Чтобы получить уравнение конуса, который открывается по одной из других осей, все, что нам нужно сделать, это внести в уравнение небольшую модификацию. Так будет и с остальными поверхностями, которые мы рассмотрим в этом разделе.

В случае конуса переменная, стоящая сама по себе по одну сторону от знака равенства, будет определять ось, по которой конус открывается.2} \]

Вот эскиз типичного цилиндра с эллиптическим поперечным сечением.

Цилиндр будет центрирован на оси, соответствующей переменной, не фигурирующей в уравнении.

Будьте осторожны, не путайте это с кругом. В двух измерениях это круг, а в трех измерениях — это цилиндр.

Гиперболоид одного листа

Вот уравнение гиперболоида одного листа.2}}} = 1 \]

Вот набросок типичного гиперболоида из двух листов.

Переменная, перед которой стоит положительное число, задает ось, вдоль которой центрируется график.

Обратите внимание, что единственное различие между гиперболоидом одного листа и гиперболоидом двух листов — это знаки перед переменными. Это ровно противоположные знаки.

Также обратите внимание, что так же, как мы могли бы поступить с конусами, если мы решим уравнение для \ (z \), положительная часть даст уравнение для верхней части этого, а отрицательная часть даст уравнение для нижней части этого .2}}} = \ frac {z} {c} \]

Как и цилиндры, он имеет поперечное сечение эллипса, а если \ (a = b \), он будет иметь поперечное сечение круга. Когда мы имеем дело с ними, мы обычно имеем дело с теми, у которых есть круг вместо поперечного сечения.

Вот набросок типичного эллиптического параболоида.

В этом случае переменная, которая не возведена в квадрат, определяет ось, на которой раскрывается параболоид. Также знак \ (c \) будет определять направление, в котором открывается параболоид.2}}} = \ frac {z} {c} \]

Вот набросок типичного гиперболического параболоида.

Эти графики имеют неопределенную седловидную форму, и, как и в случае с эллиптическим параболоидом, знак \ (c \) будет определять направление, в котором поверхность «открывается». График выше показан для положительного значения \ (c \).

Для обоих типов параболоидов, рассмотренных выше, обратите внимание, что поверхность можно легко перемещать вверх или вниз, добавляя / вычитая константу с левой стороны.2} + 6 \]

— это эллиптический параболоид, который открывается вниз (будьте осторожны, «-» стоит на \ (x \) и \ (y \) вместо \ (z \)) и начинается с \ (z = 6 \) вместо из \ (z = 0 \).

Вот несколько быстрых набросков этой поверхности.

Обратите внимание, что здесь мы привели две формы эскиза. На эскизе слева стандартный набор осей, но цифры на оси трудно увидеть. Эскиз справа «заключен в рамку», и это позволяет легче видеть числа, чтобы придать эскизу ощущение перспективы.В большинстве эскизов, которые на самом деле включают числа в системе осей, мы дадим оба эскиза, чтобы помочь понять, как выглядит эскиз.

Исчисление III — Функции нескольких переменных

Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-5: Функции нескольких переменных

В этом разделе мы хотим рассмотреть некоторые основные идеи о функциях более чем одной переменной.2} — 4 \).

Это эллиптический параболоид, являющийся примером квадратичной поверхности. Мы видели несколько из них в предыдущем разделе. В дальнейшем в исчислении III мы будем довольно часто видеть квадратичные поверхности.

Другой распространенный график, который мы будем часто видеть в этом курсе, — это график плоскости. У нас есть соглашение для построения графиков плоскостей, которое упростит их построение и, надеюсь, визуализацию.

Напомним, что уравнение плоскости дает

\ [ax + by + cz = d \]

, или если мы решим это для \ (z \), мы можем записать его в терминах обозначения функций.Это дает,

\ [f \ left ({x, y} \ right) = Ax + By + D \]

Для построения графика плоскости мы обычно находим точки пересечения с тремя осями, а затем строим треугольник, соединяющий эти три точки. Этот треугольник будет частью плоскости и даст нам довольно хорошее представление о том, как должна выглядеть сама плоскость. Например, давайте изобразим плоскость, заданную формулой

. \ [f \ left ({x, y} \ right) = 12 — 3x — 4y \]

Для построения графика, вероятно, было бы проще записать это как,

\ [z = 12 — 3x — 4y \ hspace {0.25 дюймов} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \, \, \, \, \, 3x + 4y + z = 12 \]

Теперь каждая из точек пересечения с тремя главными осями координат определяется тем фактом, что две из координат равны нулю. Например, пересечение с осью \ (z \) — определяется как \ (x = y = 0 \). Итак, три точки пересечения:

\ [\ begin {align *} & x — {\ mbox {axis:}} \ left ({4,0,0} \ right) \\ & y — {\ mbox {axis:}} \ left ({0 , 3,0} \ right) \\ & z — {\ mbox {axis:}} \ left ({0,0,12} \ right) \ hspace {0.25 дюймов} \ end {align *} \]

Вот график самолета.

Теперь, если продолжить, графики функций вида \ (w = f \ left ({x, y, z} \ right) \) будут четырехмерными поверхностями. Конечно, мы не можем нанести их на график, но не помешает указать на это.

Далее мы хотим поговорить об областях функций более чем одной переменной. Напомним, что домены функций одной переменной \ (y = f \ left (x \ right) \) состояли из всех значений \ (x \), которые мы могли подключить к функции и получить обратно действительное число.Теперь, если мы подумаем об этом, это означает, что область определения функции одной переменной — это интервал (или интервалы) значений из числовой прямой или одномерного пространства.

Область функций двух переменных, \ (z = f \ left ({x, y} \ right) \), является областями из двухмерного пространства и состоит из всех пар координат, \ (\ left ({x, y} \ right) \), чтобы мы могли подключиться к функции и получить действительное число.

Пример 1 Определите домен каждого из следующих.2}} \ справа) \) Показать все решения Скрыть все решения a \ (f \ left ({x, y} \ right) = \ sqrt {x + y} \) Показать решение

В данном случае мы знаем, что не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, поэтому это означает, что мы должны требовать,

\ [х + у \ ge 0 \]

Вот набросок графика этого региона.


b \ (f \ left ({x, y} \ right) = \ sqrt x + \ sqrt y \) Показать решение

Эта функция отличается от функции в предыдущей части.2}> 16 \]

Итак, область определения этой функции — это набор точек, полностью лежащих вне сферы радиуса 4 с центром в начале координат.

Следующая тема, которую мы должны рассмотреть, — это кривые уровня или контурные кривые . Кривые уровня функции \ (z = f \ left ({x, y} \ right) \) — это двумерные кривые, которые мы получаем, полагая \ (z = k \), где \ (k \) — любое число. Таким образом, уравнения линий уровня следующие: \ (f \ left ({x, y} \ right) = k \).Обратите внимание, что иногда уравнение будет иметь вид \ (f \ left ({x, y, z} \ right) = 0 \), и в этих случаях уравнения кривых уровня имеют вид \ (f \ left ({x, y, k} \ right) = 0 \).

Вы, наверное, уже видели кривые уровня (или контурные кривые, как бы вы их ни называли) раньше. Если вы когда-нибудь видели карту высот для участка земли, это не что иное, как контурные кривые для функции, которая дает высоту земли в этой области. Конечно, у нас, вероятно, нет функции, которая дает высоту, но мы можем, по крайней мере, изобразить контурные кривые.2}} \]

Вспомните из раздела «Квадрические поверхности», что это верхняя часть «конуса» (или поверхности в форме песочных часов).

Обратите внимание, что этого не требовалось для решения данной проблемы. Это было сделано для практики распознавания поверхности, и это может пригодиться в будущем.

А теперь перейдем к реальной проблеме. Кривые уровня (или контурные кривые) для этой поверхности задаются уравнением, которое находится путем замены \ (z = k \).2} \]

, где \ (k \) — любое число. Итак, в этом случае кривые уровня представляют собой окружности радиуса \ (k \) с центром в начале координат.

Мы можем построить график одним из двух способов. Мы можем либо изобразить их на самой поверхности, либо изобразить в двухмерной системе осей. Вот каждый график для некоторых значений \ (k \).

Обратите внимание, что мы можем думать о контурах в терминах пересечения поверхности, задаваемой \ (z = f \ left ({x, y} \ right) \) и плоскостью \ (z = k \).Контур будет представлять собой пересечение поверхности и плоскости.

Для функций вида \ (f \ left ({x, y, z} \ right) \) мы иногда будем смотреть на поверхности уровня . Уравнения поверхностей уровня задаются формулой \ (f \ left ({x, y, z} \ right) = k \), где \ (k \) — любое число.

Последняя тема в этом разделе — трассировка . В чем-то они похожи на контуры. Как отмечалось выше, мы можем думать о контурах как о пересечении поверхности, задаваемой \ (z = f \ left ({x, y} \ right) \), и плоскости \ (z = k \).2} \]

, и это будет отображено в плоскости, заданной как \ (x = 1 \).

Ниже представлены два графика. График слева — это график, показывающий пересечение поверхности и плоскости, заданной как \ (x = 1 \). Справа — график поверхности и след, который мы ищем в этой части.

Для \ (y = 2 \) мы сделаем почти то же самое, что и с первой частью.

Ваш комментарий будет первым

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *