Построение графика функции с помощью производной, сопутствующие задачи 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |
Введение
Методика исследования функции, построение ее графика, включает в себя 2 этапа:
1. исследование без производной;
2. исследование с помощью производной.
Построение графика и исследование функции без производной
При исследовании функции без производной нахождение интервалов знакопостоянства и определение знаков функции на них выполнить очень затруднительно. Однако некоторые свойства данной функции можно узнать:
1. Область определения функции – это множество всех действительных чисел.
2. Если x стремится к , то и данная функция стремится к . Следовательно, множество значений функции – это вся числовая ось.
3.
График этой функции симметричен относительно точки .
Пояснение
Рассмотрим функцию
Эта функция позволяет найти интервалы знакопостоянства и построить эскиз графика (см. Рис. 1).
Эта функция нечетная:
График нечетной функции симметричен относительно точки с координатами .
Рис. 1. График функции
При прибавлении 4 к функции график сдвинется на 4 единицы вверх по оси (см. Рис. 2): корни и пропадают, а корень сдвигается влево. Следовательно, график функции будет симметричен относительно точки .
Рис. 2. Схематичное изображение графиков функции и
Нам удалось установить, что функция имеет как минимум один корень, который меньше чем .
Построение графика и исследование функции с помощью производной
Приравниваем производную к 0 и находим критические точки:
– критические точки
Выделим интервалы знакопостоянства производной, которые определяют интервалы монотонности самой функции (см.
Рис. 3).
До точки функция возрастала (производная была положительна), после этой точки функция убывает (производная отрицательная), следовательно, – это точка максимума.
До точки функция убывала, после этой точки функция возрастает, следовательно, – это точка минимума.
Рис. 3. График производной функции
Найдем значения функции в точках минимума и максимума:
Можно сделать вывод, что функция возрастает от до 6 и от 2 до ; функция убывает от 6 до 2.
На рисунке 4 показан график функции . Этот график читается следующим образом:
Если аргумент возрастает от до , то функция возрастает от до 6; если аргумент от до 1, то функция убывает от 6 до 2; если аргумент возрастает от 1 до , то функция возрастает от 2 до .
Рис. 4. График функции
Результаты исследования функции
1.
при и при
2. при
3. – т. max
– т. min
3. . Наибольшего и наименьшего значения функции не существует.
Задача
Найти число корней уравнения в зависимости от параметра .
Решение
1. Перенесем в правую часть уравнения:
2. Построим график функции (см. Рис. 5) (как построить график этой функции см. выше).
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
3. Рассечем этот график семейством прямых , при разных . Найдем точки пересечения этих прямых с графиком функции (см. Рис. 6).
Рис. 6. Иллюстрация к задаче
Уравнение имеет один корень при каждом из множества , а также из множества .
Уравнение имеет два корня при и при .
Уравнение имеет три корня при всех из множества .
Ответ: 1 корень:
2 корня: ; ;
3 корня: .
Частные случаи для задачи
1. Найти все значения параметра , при каждом из которых данное уравнение имеет ровно два различных корня.
Ответ: уравнение имеет два корня при и при .
2. Найти наибольшее натуральное значение параметра a, при котором уравнение имеет три различных корня.
Решение
Уравнение имеет три корня при всех из множества . В это множество входят такие натуральные числа: 3, 4, 5. Наибольшее из них – это 5.
Ответ: .
Общий план построения графика и исследования функции
Общий план состоит из двух этапов:
1. Этап А: исследование без производной.
2. Этап Б: исследование с производной.
Этап А
1. Найти область определения функции .
2. Выделить интервалы знакопостоянства функции и определить знаки функции на них (для этого нужно приблизительно оценить расположение корней или точно найти их).
3. Найти точку пересечения графика с осью , для этого приравнять и вычислить .
4. Выяснить специфику функции:
— четность, нечетность, периодичность;
— наличие центра или оси симметрии.
5. Построить эскиз графика в окрестностях каждого корня (в окрестностях корня функция может возрастать, убывать, иметь точку максимума или минимума (см. Рис. 7)).
Рис. 7. Эскиз графиков в окрестностях корня
6. Построить эскиз графика функции в окрестностях точек разрыва области определения . Точки разрыва – это, как правило, корни знаменателя.
Они могут определять вертикальные асимптоты.
7. Построить график функции в окрестностях бесконечно удаленных точек: .
Этап Б
1. Найти производную функции .
2. Найти интервалы знакопостоянства производной и определить знаки производной на них. Эти интервалы определяют интервалы монотонности самой функции.
3. Найти критические точки, исследовать их на экстремум.
4. Построить и описать график функции .
Предложенная схема работает особенно хорошо для функций вида: , где и – многочлены.
Список литературы
1. Мордкович А.Г., Семенов П. В. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс.
В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
4. Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Федорова М.В., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)
2. Интернет-сайт «Вся элементарная математика» (Источник)
3. Интернет-сайт YouTube (Источник)
Домашнее задание
1. Задание 45.13, 45.15(а), 45.3 (б) (стр.
265) – Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник (Источник)
2. Исследуйте функцию и постройте ее график .
404 — Страница не найдена
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
by/algebra/funkcii/postroit-grafik-funkcii-onlajn/] не найдена.
05.13 
by 2013-2016Интеллектуальное построение диаграмм | Lucidchart
Lucidchart — интеллектуальное приложение для построения диаграмм, которое объединяет команды для принятия лучших решений и построения будущего.
Зарегистрируйтесь бесплатно
Уточнение сложности
Отдельные лица и группы могут легко и быстро определить, где они находятся, чего не хватает и что будет дальше.
Перейти к разделу «Уточнить сложность»
Узнать большеСогласование идей
Общий визуальный язык ускоряет совместную работу и улучшает общение, помогая людям принимать правильные решения.
Перейти к разделу аналитики Align
Согласовать сейчасПостроить будущее — быстрее
Даже самые лучшие идеи нуждаются в помощи, чтобы воплотиться в жизнь. Воплотите в жизнь планы, которые будут способствовать развитию вашего бизнеса.
Переход к построению будущего — более быстрая секция
Начните сейчас99% компаний из списка Fortune 500 выбирают Lucidchart
Создайте общее видение.
Быстро визуализируйте процессы, системы и организационную структуру вашей команды. Интеллектуальное построение диаграмм позволяет визуализировать сложные идеи быстрее, четче и в более тесном сотрудничестве.
В буквальном смысле все на одной странице.
Общий визуальный язык ускоряет совместную работу и улучшает общение. Легче согласовывать и оставаться единым, когда все сотрудничают в одном пространстве. Lucidchart упрощает привлечение нужных людей к принятию правильных решений.
Воплотите планы в жизнь.
Даже самые лучшие идеи нуждаются в помощи, чтобы стать реальностью. Lucidchart позволяет вам оставаться сосредоточенным и целенаправленно двигаться вперед. Воплотите в жизнь планы, которые будут способствовать развитию вашего бизнеса.
Тодд Маккиннон
Генеральный директор и соучредитель Okta
Lucidchart помогает пользователям делать наброски и делиться профессиональными блок-схемами, предоставляя проекты для всего, от мозгового штурма до управления проектами.
Я не думаю, что достаточно людей знают, насколько полезной может быть эта технология, но я знаю — я нарисовал некоторые оригинальные наброски архитектуры и продуктов для Okta с помощью Lucidchart.
Готовность к работе на предприятии
Каждая команда может извлечь выгоду из интеллектуального построения диаграмм, и Lucidchart предлагает организациям безопасный и масштабируемый способ сделать это.
Узнать большеЧасть пакета Lucid Visual Collaboration Suite
Lucidchart становится еще более мощным в сочетании с Lucidspark, нашей виртуальной доской. Вместе эти продукты помогают командам представлять будущее, а затем строить его.
Узнать большеИнтеграция с ведущими в отрасли приложениями
Общайтесь визуально и согласовывайте команды там, где вы уже работаете.
Подключайтесь к Google Workspace, Microsoft, Atlassian, Slack и другим ресурсам.
Воспользуйтесь возможностями интеллектуального построения диаграмм с помощью Lucidchart.
Зарегистрируйтесь бесплатно
Генератор диаграмм стеблей и листьев
Использование калькулятора
Создайте онлайн диаграмму стеблей и листьев или stemplot и рассчитайте базовую описательную статистику для выборочного набора данных с 4 или более значениями и до 2500 значений, положительный и отрицательный. Введите значения, разделенные запятыми, например 31, 26, 20, 28, 13, 10, 18, 13.
Вы также можете копировать и вставлять строки точек данных из документов, таких как электронные таблицы Excel или текстовые документы, с запятыми или без них в поле ввода. форматы, указанные в таблице ниже.
Примечания :- Не обрабатывает десятичные дроби.
Если вам нужно работать с десятичными дробями, вы можете умножить все свои значения на коэффициент 10 и вычислить на их основе. Вам просто нужно будет правильно интерпретировать результаты.
Если вам нужно работать с десятичными дробями, вы можете умножить все свои значения на коэффициент 10 и вычислить на их основе. Вам просто нужно будет правильно интерпретировать результаты.Дополнительные описательные статистические значения см. Калькулятор описательной статистики.
Ниже приведены образцы стеблей и листьев, а также расчетные статистические значения.
Образец стебля и листа с разделенными стеблями
Набор данных:
42, 14, 22, 16, 2, 15, 8, 27, 6, 15, 19, 48, 4, 31, 26, 20, 28 , 13, 10, 18, 13, 15, 48, 16, 15, 5, 18, 16, 28, 11, 0, 27, 28, 5, 40, 21, 18, 7, 12, 6, 40, 12 , 2, 20, 35, 3, 16, 13, 8, 15, 7, 65, 65, 25, 15, 21, 12, 12, 35, 30, 14, 35, 20, 35, 7, 35
Участок стебля и листа:
0 2 2 3 4
5 5 6 6 7 7 7 8 8
1
0 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 1 6 6 6 6 8 8 8 92
0 0 0 1 1 2
2
5 6 7 7 8 8 8
3
5 5 5 5 5
4
0 0 2 9003
этот Калькулятор
Минимум
Упорядочивание набора данных {x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ .
{n} \]
9{n}x_i}{n} \]
Медиана
Упорядочивание набора данных {x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ … ≤ x n } от меньшего к большему значению, медиана — это числовое значение, отделяющее верхнюю половину упорядоченных выборочных данных из нижней половины. Если n нечетно, медиана является центральным значением. Если n равно четному, медиана является средним значением двух центральных значений.
Если n нечетно, медианой является значение в позиции p, где
9{2}}{n — 1} \]
Допустимо Разделитель
Форматы данных
Столбец (новые строки)
42
54
65
47
59
40
53
42, 54, 65, 47, 59, 40, 53
Разделенные запятыми (CSV)
42,
54,
65, г.
Ваш комментарий будет первым