Нажмите "Enter", чтобы перейти к содержанию

Построить схематично график функции: Построить схематически график функции. Пожалуйста, объясните как это решать.

Содержание

Применение свойств квадратичной функции при решении уравнений и неравенств второй степени

Просмотр содержимого документа
«Применение свойств квадратичной функции при решении уравнений и неравенств второй степени»

Квадратичная функция

Из данных высказываний выберите определение квадратичной функции.

  • Функция вида у=ах²+вх+с называется квадратичной функцией.
  • Функция вида у=ах²+вх+с, где х-переменная а≠0, в≠0, с≠0 называется квадратичной функцией.
  • Функция вида у=ах²+вх+с,где х-независимая переменная, а, в и с некоторые числа, причем а≠0 -называется квадратичной функцией.

Является ли квадратичной функция, заданная формулой, если да ,то записать коэффициенты

  • у=0,5х²-2
  • у=-х(х+5)
  • у=5х-х³
  • у=3+4х-х²
  • у=(7 – 5х ²):2

С помощью преобразования графика функции у= х² постройте графики функций и перечислите их свойства.

0 у"

Постройте график функции и перечислите свойства.

1)у=2х²

2) у=2х²+1

3) у=-2(х-5)²

4) у=-2(х+4)²+5

5) у=2х²+х-3

  • D (у)
  • E (у)
  • Монотонность.
  • у=0
  • у0
  • у

Постройте график функции у=2х²+4х+2.

Построение параболы.

Алгоритм построения.

1.Укажите направление ветвей параболы.

2.Вычислите координаты вершины параболы.

3.Построить несколько точек ,принадлежащих параболе.

4. Соединить отмеченные точки плавной линией.

Установите взаимно однозначное соответствие . ( на доске начертить графики заранее)

Изобразите схематически график функции и укажите область ее значений.

  • Г) у = -(х + 1) ² - 2.

Решение квадратичных неравенств.

Найти нули функции.

  • У=Х²+2Х-3 х=-3, х=1
  • У=-Х²-3Х+4 х=-4, х=1
  • У=Х²-6Х+5 х=5, х=1
  • У=-Х²+4Х х=0, х=4
  • У=Х²+4Х+5 нет точек пересечения с осью ох.
  • У=-Х²-6Х-10 нет точек пересечения с осью ох.

Укажите направление ветвей параболы.

Постройте схематически график функций .

1) У=Х²+2Х-3 2)У=-Х²-3Х+4

3) У=Х²-6Х+5 4) У=-Х²+4Х

5)У=Х²+4Х+5 6) У=-Х²-6Х-10

х

х

х

х

х

х

0 Х Є (-∞; 1) U (5;+∞) -Х²+4Х 0 Х Є (0;4) Х²+4Х+5 ≥ 0 Х Є (-∞; +∞) -Х²-6Х-10 ≥0 Нет решений. "

Решите неравенства.

  • Х²+2Х-3 ≤ 0 Х Є [-3;1]
  • -Х²-3Х+4 ≤ 0 Х Є (-∞; -4] U [ 1;+∞)
  • Х²-6Х+5 0 Х Є (-∞; 1) U (5;+∞)
  • Х²+4Х+5 ≥ 0 Х Є (-∞; +∞)
  • -Х²-6Х-10 ≥0 Нет решений.

Установите взаимно-однозначное соответствие.

-х²+х+6≤0 (-∞;+∞)

х²-7х+6

х²+2х+10≥0 (-∞;-2]U[3;+∞)

-х²+4х-4

х

1

6

3

-2

х

2

х

х

Решить неравенство Х²-6Х+5 ≥ 0.

Этапы решения:

Решить неравенство с параметром.

Х²-6Х+5-А ≥ 0

1) Х²-6Х+5≥А

2) Х²-6Х+5=А

3) Решим уравнение Х²-6Х+5=А графически.

4) У=Х²-6Х+5

у = А

Решение уравнения Х²-6Х+5=А.

1. Построить график

функции у = Х²-6Х+5;

2. Построить график

функции у = А ;(3 случая)

3.Правильная запись

Ответа.

Найти область определения и множество значений функции у = Х²-6Х+5-а

11.3.1. Показательная функция, ее свойства и график.




data-ad-client="ca-pub-8602906481123293"
data-ad-slot="8834522701"
data-ad-format="auto">
  • Функцию вида y=ax, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.
  • Область определения показательной функции: D (y)=R – множество всех действительных чисел.
  • Область значений показательной функции: E (y)=R+ - множество всех положительных чисел.
  • Показательная функция  y=ax возрастает при a>1.
  • Показательная функция y=ax убывает при 0<a<1.

Справедливы все свойства степенной функции:

  • а0=1  Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
  •  а1=а  Любое число в первой степени равно самому себе.
  •  ax∙ay=ax+
    y
       При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
  •  ax:ay=ax- y  При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
  • (ax)y=axy   При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают
  •  (a∙b)x=ax∙by   При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.
  • (a/b)x=ax
    /by  При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.
  •   а=1/ax
  •  (a/b)-x=(b/a)x.

Примеры.

1) Построить график функции y=2xНайдем значения функции

при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

x=0, y=20=1;                   Точка А.

x=1, y=21=2;                   Точка В.

x=2, y=22=4;                   Точка С.

x=3, y=23=8;                   Точка D.              

x=-1, y=2-1=1/2=0,5;       Точка K.

x=-2, y=2-2=1/4=0,25;     Точка M.

x=-3, y=2-3=1/8=0,125;   Точка N.

Большему  значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y=2x возрастает на всей области определения D (y)=R, так как основание функции 2>1.

2) Построить график функции y=(1/2)x. Найдем значения функции

при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

x=0, y=(½)0=1;                  Точка A.

x=1, y=(½)1=½=0,5;          Точка B.

x=2, y=(½)2=¼=0,25;        Точка C.

x=3, y=(½)3=1/8=0,125;    Точка D.

x=-1, y=(½)-1=21=2;          Точка K.

x=-2, y=(½)-2=22=4;          Точка M.

x=-3, y=(½)-3=23=8;          Точка N.

 

Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция y=(1/2)убывает на всей своей области определения: D (y)=R, так как основание функции  0<(1/2)<1.

3) В одной координатной плоскости построить графики функций: 

y=2x, y=3x, y=5x, y=10x. Сделать выводы.

График функции у=2х мы уже строили, графики остальных функций строим аналогично, причем, достаточно будет найти значения функций при х=0 и при х=±1.

Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение

у всегда будет больше нуля  (E (y)=R+).

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю. Чем больше основание а (если a>1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси Оу.

Все  данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

 

4) В одной координатной плоскости построить графики функций:

y=(1/2)x, y=(1/3)x, y=(1/5)x, y=(1/10)x. Сделать выводы.

Смотрите построение графика функции y=(1/2)x выше, графики остальных функций строим аналогично, вычислив их значения при х=0

и при х=±1.

Переменная х может принимать любое значение: D (y)=R, при этом область значений функции: E (y)=R+.

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю.

Чем меньше основание а (при 0<a<1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси Оу.

Все  эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Решить графически уравнения:

1) 3x=4-x.

В одной координатной плоскости построим графики функций: у=3х и у=4-х.

 

Графики пересеклись в точке А(1; 3).

 

Ответ: 1.

 

 

 

 

2) 0,5х=х+3.

 

В одной координатной плоскости строим графики функций: у=0,5х

(y=(1/2)x )

 и у=х+3.

Графики пересеклись в точке В(-1; 2).

Ответ: -1.

 

 

Найти область значений функции: 1) y=-2x; 2) y=(1/3)x+1; 3) y=3x+1-5.

Решение.

 1) y=-2

Область значений показательной функции y=2x – все положительные числа, т.е.

0<2x<+∞. Значит, умножая каждую часть двойного неравенства на (-1), получаем:

— ∞<-2x<0.

Ответ: Е(у)=(-∞; 0).

 2) y=(1/3)x+1;

0<(1/3)x<+∞, тогда, прибавляя ко всем частям двойного неравенства число 1, получаем:

0+1<(1/3)x+1<+∞+1;

1<(1/3)x+1<+∞.

Ответ: Е(у)=(1; +∞).

 3) y=3x+1-5.

Запишем функцию в виде: у=3х∙3-5.

0<3x<+∞;   умножаем все части двойного неравенства на 3:

0∙3<3x3<(+∞)∙3;

0<3x∙3<+∞;  из всех частей двойного неравенства вычитаем 5:

0-5<3x∙3-5<+∞-5;

— 5<3x∙3-5<+∞.

Ответ: Е(у)=(-5; +∞).

Смотрите Карту сайта, и Вы найдете нужные Вам темы!

15. Исследование функции и построение графика

График функции , заданной на множестве , т. е. множество точек плоскости с координатами , обычно строят с некоторой степенью приближения, так как точное построение невозможно.

Для построения графики функции выясняют особенности поведения функции. Существенную роль при этом играют характерные точки: концевые точки промежутков задания функции, точки разрыва, стационарные точки и точки недифференцируемости функции и ее производной и т. д. По этим точкам выделяются участки однообразного поведения функции, а именно: промежутки ее непрерывности; промежутки, на которых и сохраняют знак, что позволяет изучить характер монотонности функции и направление ее выпуклости.

Построение графика функции может быть осуществлено по следующему плану.

Если функция задана аналитическими выражениями, то выясняют естественную область определения функции, т. е. множество значений аргумента , при которых имеет смысл.

Если функция периодическая, то находят ее период, т. е. число такое, что , (обычно рассматривают наименьший положительный период). Дальнейшее изучение функции и построение графика проводят для какого-либо отрезка длины , например, для , а затем периодически продолжают.

Для четной функции: , или нечетной: . Исследование проводят на промежутке . Построенный график продолжают на все множество , используя симметричное отражение относительно оси для четной функции и относительно точки ‑ для нечетной функции.

Находят точки разрыва и промежутки, на которых она непрерывна. Выясняют характер точек разрыва. Вычисляют предельные значения функции в граничных точках множества (если таковые имеются). Находят вертикальные асимптоты (в точках бесконечного скачка). Если не ограничено, то вычисляют пределы функции при и . Если , то график имеет горизонтальную левостороннюю асимптоту , если , график имеет горизонтальную правостороннюю асимптоту . Если пределы (или один из пределов) бесконечны, то график может иметь наклонные (левостороннюю и правостороннюю) асимптоты . Коэффициенты левосторонней асимптоты можно найти по формулам:

.

Аналогично находят коэффициенты правосторонней асимптоты (нужно вычислить пределы при ).

Вычисляют производную . Находят критические точки функции , т. е. стационарные точки и точки, в которых не существует. Выделяют промежутки, на которых сохраняет знак. Это позволяет исследовать монотонность функции .

Вычисляют вторую производную . Находят критические точки производной . Выделяют промежутки, на которых сохраняет знак, и, следовательно, график функции сохраняет направление выпуклости. Находят точки перегиба, исследуя критические точки производной (т. е. точки, в которых равна нулю или не существует).

Исследуя стационарные точки функции , находят точки локального экстремума и локальные экстремальные значения функции. Для этого можно изучить поведение производной в окрестности стационарной точки или значение в стационарной точке. Изучают точки недифференцируемости функции, выясняя наличие локальных экстремумов в таких точках по поведению производной в их окрестностях.

Опираясь на характерные точки функции, строят таблицу, в которую вносят все особенности функции.

На координатную плоскость в выбранном масштабе наносят характерные точки функции, асимптоты и строят график, руководствуясь п.1‑6. Если нужно, строят дополнительно несколько точек графика.

Пример 5. Построить график функции .

I. Область определения .

Функция не является периодической, четной, нечетной.

II. Поскольку , то - точка разрыва (точка бесконечного скачка). Прямая является двусторонней вертикальной асимптотой.

Так как при и при , то возможно существование наклонных асимптот (негоризонтальных). Учитывая, что

при ,

Делаем вывод, что прямая является двусторонней наклонной асимптотой.

III. .

Из уравнения y'(x) = 0 находим стационарные точки: , .

IV. . Точка является стационарной точкой для производной , так как .

V. Строим таблицу, в которой выделены промежутки однообразного поведения функции и ее характерные точки.

X

(-¥, -2)

-2

(-2, 0)

0

(0, 1)

1

(1, +¥)

Y'(x)

+

0

-

+

0

+

Y''(x)

-

-

-

-

0

+

Возра­стает

Лок. 2 называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Квадратичная функция

Рис 1. Общий вид параболы

Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым.

Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0).

Основные свойства квадратичной функции

1. При х =0, у=0, и у>0 при х0

2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует. 3 называется кубической функцией. Графиком кубической функции называется кубическая парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.  

Если график квадратичной функции был симметричен оси Оу, то график кубической параболы симметричен относительно начала координат, то есть точки (0;0).

Свойства кубической функции

Перечислим основные свойства кубической функции

  • При х =0, у=0. у>0 при х>0 и y
  • У кубической функции не существует не максимального ни минимального значения.
  • Кубическая функция возрастает на всей числовой оси (-∞;+∞).
  • Противоположным значениям х, соответствуют противоположные значения y.

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Умножение одночленов и возведение одночлена в степень + примеры
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspАбсолютная погрешность: понятие, как вычислить + примеры

Определите функции с помощью графиков | Колледж алгебры

Результаты обучения

  • Проверить работу с помощью теста вертикальной линии
  • Проверить однозначное соответствие с помощью теста горизонтальной линии
  • Определить графики функций инструментария

Как мы видели в примерах выше, мы можем представить функцию с помощью графика. Графики отображают множество пар ввода-вывода на небольшом пространстве. Предоставляемая ими визуальная информация часто упрощает понимание взаимоотношений.Обычно мы строим графики с входными значениями по горизонтальной оси и выходными значениями по вертикальной оси.

Наиболее распространенные графики называют входное значение [latex] x [/ latex] и выходное значение [latex] y [/ latex], и мы говорим, что [latex] y [/ latex] является функцией [latex] x [ / latex] или [latex] y = f \ left (x \ right) [/ latex], если функция называется [latex] f [/ latex]. График функции - это набор всех точек [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex] в плоскости, которая удовлетворяет уравнению [латекс] y = f \ left (x \ right) [/ latex ].Если функция определена только для нескольких входных значений, то график функции представляет собой только несколько точек, где координата x каждой точки является входным значением, а координата y каждой точки является соответствующее выходное значение. Например, черные точки на графике на графике ниже говорят нам, что [латекс] f \ left (0 \ right) = 2 [/ latex] и [latex] f \ left (6 \ right) = 1 [/ latex ]. Однако набор всех точек [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex], удовлетворяющих [latex] y = f \ left (x \ right) [/ latex], является кривой.Показанная кривая включает [латекс] \ влево (0,2 \ вправо) [/ латекс] и [латекс] \ влево (6,1 \ вправо) [/ латекс], потому что кривая проходит через эти точки.

Тест вертикальной линии может использоваться для определения того, представляет ли график функцию. Вертикальная линия включает все точки с определенным значением [latex] x [/ latex]. Значение [latex] y [/ latex] точки, где вертикальная линия пересекает график, представляет собой выход для этого входного значения [latex] x [/ latex]. Если мы можем нарисовать любую вертикальную линию , которая пересекает график более одного раза, тогда график , а не определяет функцию, потому что это значение [latex] x [/ latex] имеет более одного вывода. Функция имеет только одно выходное значение для каждого входного значения.

Как сделать. Для данного графика используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, представляет ли график функцию.

  1. Проверьте график, чтобы убедиться, что какая-либо вертикальная линия пересекает кривую более одного раза.
  2. Если такая линия есть, график не представляет функцию.
  3. Если ни одна вертикальная линия не может пересекать кривую более одного раза, график действительно представляет функцию.

Пример: применение теста вертикальной линии

Какой из графиков представляет функцию [латекс] y = f \ left (x \ right)? [/ Latex]

Показать решение

Если какая-либо вертикальная линия пересекает график более одного раза, отношение, представленное графиком, не является функцией.Обратите внимание, что любая вертикальная линия будет проходить только через одну точку двух графиков, показанных в частях (a) и (b) графика выше. Из этого можно сделать вывод, что эти два графика представляют функции. Третий график не представляет функцию, потому что при максимальных значениях x вертикальная линия пересекает график более чем в одной точке.

Попробуйте

Представляет ли приведенный ниже график функцию?

Тест горизонтальной линии

После того, как мы определили, что график определяет функцию, простой способ определить, является ли функция взаимно однозначной, - это использовать тест горизонтальной линии .Проведите через график горизонтальные линии. Горизонтальная линия включает все точки с определенным значением [latex] y [/ latex]. Значение [latex] x [/ latex] точки, в которой вертикальная линия пересекает функцию, представляет вход для этого выходного значения [latex] y [/ latex]. Если мы можем нарисовать любую горизонтальную линию , которая пересекает график более одного раза, тогда график , а не представляет функцию, потому что это значение [latex] y [/ latex] имеет более одного входа.

Как сделать. Имея график функции, используйте тест горизонтальной линии, чтобы определить, представляет ли график функцию взаимно-однозначного соответствия.

  1. Проверьте график, чтобы увидеть, пересекает ли нарисованная горизонтальная линия кривую более одного раза.
  2. Если такая линия есть, функция не взаимно однозначная.
  3. Если ни одна горизонтальная линия не может пересекать кривую более одного раза, функция взаимно однозначна.

Пример: применение теста горизонтальной линии

Рассмотрим функции (a) и (b), показанные на графиках ниже.

Являются ли какие-либо функции взаимно однозначными?

Показать решение

Функция в (a) не является взаимно однозначной.Горизонтальная линия, показанная ниже, пересекает график функции в двух точках (и мы даже можем найти горизонтальные линии, которые пересекают его в трех точках).

Функция в (b) взаимно однозначна. Любая горизонтальная линия будет пересекать диагональную линию не более одного раза.

Определение основных функций набора инструментов

В этом тексте мы исследуем функции - формы их графиков, их уникальные характеристики, их алгебраические формулы и способы решения с ними проблем.Учимся читать, начинаем с алфавита. Изучая арифметику, мы начинаем с чисел. При работе с функциями также полезно иметь базовый набор стандартных элементов. Мы называем их «функциями набора инструментов», которые образуют набор основных именованных функций, для которых нам известны график, формула и специальные свойства. Некоторые из этих функций запрограммированы на отдельные кнопки на многих калькуляторах. Для этих определений мы будем использовать [latex] x [/ latex] в качестве входной переменной и [latex] y = f \ left (x \ right) [/ latex] в качестве выходной переменной.

Мы будем часто видеть эти функции набора инструментов, комбинации функций набора инструментов, их графики и их преобразования в этой книге. Будет очень полезно, если мы сможем быстро распознать эти функции набора инструментов и их возможности по имени, формуле, графику и основным свойствам таблицы. Графики и примерные значения таблицы включены в каждую функцию, показанную ниже.

Попробуйте

В этом упражнении вы построите график функций инструментария с помощью онлайн-инструмента построения графиков.

  1. Изобразите каждую функцию набора инструментов, используя обозначение функций.
  2. Создайте таблицу значений, которая ссылается на функцию и включает как минимум интервал [-5,5].

Внесите свой вклад!

У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

Улучшить страницуПодробнее

Графическое отображение основных функций

Основные функции

В этом разделе мы графически изображаем семь основных функций, которые будут использоваться на протяжении всего курса. Каждая функция отображается в виде точек. Помните, что f (x) = y, поэтому f (x) и y могут использоваться как взаимозаменяемые.

Любая функция вида f (x) = c, где c - любое действительное число, называется постоянной функцией. Любая функция формы f (x) = c, где c - действительное число. линейный и может быть записан f (x) = 0x + c. В этой форме ясно, что наклон равен 0, а точка пересечения y равна (0, c). Оценка любого значения x , например x = 2, приведет к c .

График постоянной функции представляет собой горизонтальную линию. Домен состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из одного значения { c }.

Далее мы определяем функцию идентичности: Линейную функцию, определяемую формулой f (x) = x. е (х) = х. Оценка любого значения для x приведет к тому же значению. Например, f (0) = 0 и f (2) = 2. Тождественная функция является линейной, f (x) = 1x + 0, с наклоном m = 1 и y -перехват (0, 0).

И домен, и диапазон состоят из действительных чисел.

Функция возведения в квадрат Квадратичная функция, определяемая как f (x) = x2., Определенная как f (x) = x2, является функцией, полученной возведением в квадрат значений в области определения. Например, f (2) = (2) 2 = 4 и f (−2) = (- 2) 2 = 4. Результат возведения в квадрат ненулевых значений в домене всегда будет положительным.

Результирующий изогнутый график называется параболой. Изогнутый график, образованный функцией возведения в квадрат.. Домен состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из всех значений y , больших или равных нулю [0, ∞).

Кубическая функция Кубическая функция, определяемая как f (x) = x3., Определяемая как f (x) = x3, возводит все значения в области в третью степень. Результаты могут быть положительными, нулевыми или отрицательными. Например, f (1) = (1) 3 = 1, f (0) = (0) 3 = 0 и f (−1) = (- 1) 3 = −1.

И домен, и диапазон состоят из всех действительных чисел ℝ.

Обратите внимание, что функции константы, тождества, возведения в квадрат и куба являются примерами основных полиномиальных функций. Следующие три основные функции не являются полиномами.

Функция абсолютного значения Функция, определенная как f (x) = | x |., Определенная как f (x) = | x |, является функцией, где выходные данные представляют расстояние до начала координат на числовой прямой. Результат вычисления функции абсолютного значения для любого ненулевого значения x всегда будет положительным. Например, f (−2) = | −2 | = 2 и f (2) = | 2 | = 2.

Область функции абсолютного значения состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из всех y -значений, больших или равных нулю [0, ∞).

Функция извлечения квадратного корня Функция, определенная как f (x) = x., Определенная как f (x) = x, не определяется как действительное число, если значения x отрицательны. Следовательно, наименьшее значение в домене равно нулю. Например, f (0) = 0 = 0 и f (4) = 4 = 2.

И домен, и диапазон состоят из действительных чисел, больших или равных нулю [0, ∞).

Обратная функция Функция, определенная как f (x) = 1x., Определенная как f (x) = 1x, является рациональной функцией с одним ограничением на область определения, а именно x ≠ 0. Обратное значение x , очень близкое к нулю, очень велико. Например,

f (1/10) = 1 (110) = 1⋅101 = 10f (1/100) = 1 (1100) = 1⋅1001 = 100f (1/1000) = 1 (11000) = 1⋅10001 = 1 000 900 13

Другими словами, когда значения x приближаются к нулю, их обратные значения будут стремиться либо к положительной, либо к отрицательной бесконечности.Это описывает вертикальную асимптоту - вертикальную линию, к которой график становится бесконечно близким. по оси y . Кроме того, там, где значения x очень большие, результат обратной функции очень мал.

f (10) = 110 = 0,1f (100) = 1100 = 0,01f (1000) = 11,000 = 0,001

Другими словами, когда значения x становятся очень большими, результирующие значения y стремятся к нулю. Это описывает горизонтальную асимптоту - горизонтальную линию, к которой график становится бесконечно близким, где значения x стремятся к ± ∞.по оси x . После нанесения ряда точек можно определить общий вид обратной функции.

И область, и диапазон обратной функции состоят из всех действительных чисел, кроме 0, который может быть выражен с использованием обозначения интервала следующим образом: (−∞, 0) ∪ (0, ∞).

Таким образом, основные полиномиальные функции:

Основные неполиномиальные функции:

Кусочно определенные функции

Кусочная функция Функция, определение которой изменяется в зависимости от значений в домене. , или функция разделения Термин, используемый при ссылке на кусочную функцию., - это функция, определение которой изменяется в зависимости от значения в домене. Например, мы можем написать функцию абсолютного значения f (x) = | x | как кусочная функция:

f (x) = | x | = {x, если x≥0 − x, если x <0

В этом случае используемое определение зависит от знака значения x . Если значение x положительно, x≥0, то функция определяется как f (x) = x. И если значение x отрицательное, x <0, тогда функция определяется как f (x) = - x.

Ниже приведен график двух частей на одной прямоугольной координатной плоскости:

Пример 1

График: g (x) = {x2, если x <0x, если x≥0.

Решение:

В этом случае мы строим график функции возведения в квадрат по отрицательным значениям x и функции квадратного корня по положительным значениям x .

Обратите внимание на открытую точку, используемую в начале координат для функции возведения в квадрат, и закрытую точку, используемую для функции извлечения квадратного корня.Это было определено неравенством, которое определяет область определения каждой части функции. Вся функция состоит из каждой части, построенной на одной и той же координатной плоскости.

Ответ:

При оценке значение в домене определяет подходящее определение для использования.

Пример 2

Для функции h найти h (−5), h (0) и h (3).

ч (t) = {7t + 3ift <0−16t2 + 32tift≥0

Решение:

Используйте h (t) = 7t + 3, где t отрицательно, на что указывает t <0.

h (t) = 7t + 5h (−5) = 7 (−5) + 3 = −35 + 3 = −32

Если t больше или равно нулю, используйте h (t) = - 16t2 + 32t.

h (0) = - 16 (0) +32 (0) h (3) = 16 (3) 2 + 32 (3) = 0 + 0 = −144 + 96 = 0 = −48

Ответ: h (−5) = - 32, h (0) = 0 и h (3) = - 48

Попробуй! График: f (x) = {23x + 1, если x <0x2, если x≥0.

Ответ:

Определение функции может отличаться в разных интервалах домена.

Пример 3

График: f (x) = {x3, если x <0x, если 0≤x≤46, если x> 4.

Решение:

В этом случае постройте график кубической функции на интервале (−∞, 0). Изобразите тождественную функцию на интервале [0,4]. Наконец, постройте график постоянной функции f (x) = 6 на интервале (4, ∞). И поскольку f (x) = 6, где x> 4, мы используем открытую точку в точке (4,6). Если x = 4, мы используем f (x) = x, и, следовательно, (4,4) - это точка на графике, обозначенная закрытой точкой.

Ответ:

Функция наибольшего целого числа Функция, которая присваивает любое действительное число x наибольшему целому числу, меньшему или равному x , обозначается f (x) = [[x]]., Обозначается f (x) = [[x]] , присваивает наибольшее целое число, меньшее или равное любому действительному числу в своем домене. Например,

f (2,7) = [[2,7]] = 2f (π) = [[π]] = 3f (0,23) = [[0,23]] = 0f (−3,5) = [[- 3,5]] = - 4

Эта функция связывает любое действительное число с наибольшим целым числом, меньшим или равным ему, и ее не следует путать с округлением.

Пример 4

График: f (x) = [[x]].

Решение:

Если x - любое действительное число, тогда y = [[x]] - наибольшее целое число, меньшее или равное x .

⋮ −1≤x <0⇒y = [[x]] = - 10≤x <1⇒y = [[x]] = 01≤x <2⇒y = [[x]]] = 1 ⋮

Используя это, мы получаем следующий график.

Ответ:

Область определения наибольшей целочисленной функции состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из набора целых чисел.Эту функцию часто называют нижней функцией - термин, используемый при обращении к наибольшей целочисленной функции. и имеет множество приложений в информатике.

Ключевые выводы

  • Точки графика для определения общей формы основных функций. Следует запомнить форму, а также область и диапазон каждого из них.
  • Основные полиномиальные функции: f (x) = c, f (x) = x, f (x) = x2 и f (x) = x3.
  • Основные неполиномиальные функции: f (x) = | x |, f (x) = x и f (x) = 1x.
  • Функция, определение которой изменяется в зависимости от значения в домене, называется кусочной функцией. Значение в домене определяет подходящее определение для использования.

Тематические упражнения

    Часть A: Основные функции

      Сопоставьте график с определением функции.

      Оценить.

    1. f (x) = x; найти f (−10), f (0) и f (a).

    2. f (x) = x2; найти f (−10), f (0) и f (a).

    3. f (x) = x3; найти f (−10), f (0) и f (a).

    4. f (х) = | х |; найти f (−10), f (0) и f (a).

    5. f (x) = x; найти f (25), f (0) и f (a), где a≥0.

    6. f (x) = 1x; найти f (−10), f (15) и f (a), где a ≠ 0.

    7. f (x) = 5; найти f (−10), f (0) и f (a).

    8. f (x) = - 12; найти f (−12), f (0) и f (a).

    9. График f (x) = 5 и укажите его область определения и диапазон.

    10. График f (x) = - 9 и укажите область определения и диапазон.

      Функция кубического корня.

    1. Найдите точки на графике функции, определенной как f (x) = x3, со значениями x в наборе {−8, −1, 0, 1, 8}.

    2. Найдите точки на графике функции, определенной как f (x) = x3, со значениями x в наборе {−3, −2, 1, 2, 3}. Воспользуйтесь калькулятором и округлите до ближайшей десятой.

    3. Постройте график функции корня куба, определяемый как f (x) = x3, путем нанесения точек, найденных в предыдущих двух упражнениях.

    4. Определите область и диапазон функции кубического корня.

      Найдите упорядоченную пару, которая задает точку P .

    Часть B: кусочные функции

      Постройте график кусочных функций.

    1. g (x) = {2, если x <0x, если x≥0

    2. g (x) = {x2, если x <03, если x≥0

    3. h (x) = {xifx <0xifx≥0

    4. h (x) = {| x |, если x <0x3ifx≥0

    5. f (x) = {| x |, если x <24ifx≥2

    6. f (x) = {xifx <1xifx≥1

    7. g (x) = {x2ifx≤ − 1xifx> −1

    8. g (x) = {- 3ifx≤ − 1x3ifx> −1

    9. h (x) = {0ifx≤01xifx> 0

    10. h (x) = {1xifx <0x2ifx≥0

    11. f (x) = {x2ifx <0xif0≤x <2−2ifx≥2

    12. f (x) = {xifx <−1x3if − 1≤x <13ifx≥1

    13. g (x) = {5ifx <−2x2if − 2≤x <2xifx≥2

    14. g (x) = {xifx <−3 | x | если − 3≤x <1xifx≥1

    15. h (x) = {1xifx <0x2if0≤x <24ifx≥2

    16. h (x) = {0ifx <0x3if0 2

      Оценить.

    1. f (x) = {x2ifx≤0x + 2ifx> 0

      Найдите f (−5), f (0) и f (3).

    2. f (x) = {x3ifx <02x − 1ifx≥0

      Найдите f (−3), f (0) и f (2).

    3. g (x) = {5x − 2ifx <1xifx≥1

      Найдите g (−1), g (1) и g (4).

    4. g (x) = {x3ifx≤ − 2 | x | ifx> −2

      Найдите g (−3), g (−2) и g (−1).

    5. h (x) = {- 5ifx <02x − 3if0≤x <2x2ifx≥2

      Найдите h (−2), h (0) и h (4).

    6. h (x) = {- 3xifx≤0x3if0 4

      Найдите h (−5), h (4) и h (25).

    7. f (x) = [[x − 0,5]]

      Найдите f (−2), f (0) и f (3).

    8. f (x) = [[2x]] + 1

      Найдите f (−1.2), f (0.4) и f (2.6).

      Оцените по графику f .

    1. Найдите f (−4), f (−2) и f (0).

    2. Найдите f (−3), f (0) и f (1).

    3. Найдите f (0), f (2) и f (4).

    4. Найдите f (−5), f (−2) и f (2).

    5. Найдите f (−3), f (−2) и f (2).

    6. Найдите f (−3), f (0) и f (4).

    7. Найдите f (−2), f (0) и f (2).

    8. Найдите f (−3), f (1) и f (2).

    9. Стоимость автомобиля в долларах выражается через количество лет, прошедших с момента приобретения нового автомобиля в 1975 году:

      1. Определить стоимость автомобиля в 1980 году.
      2. В каком году автомобиль оценивается в 9 000 долларов?
    10. Стоимость единицы нестандартных ламп в долларах зависит от количества произведенных единиц в соответствии со следующим графиком:

      1. Какова стоимость единицы, если производится 250 нестандартных ламп?
      2. Какой уровень производства минимизирует удельную стоимость?
    11. Продавец автомобилей получает комиссию на основе общего объема продаж каждый месяц x в соответствии с функцией: г (х) = {0. 03x, если 0≤x <20,0000,05x, если 20,000≤x <50,0000,07x, если x≥50,000

      1. Если общий объем продаж продавца за месяц составляет 35 500 долларов, какова его комиссия в соответствии с функцией?
      2. Сколько ей потребуется для перехода на следующий уровень в структуре комиссионных?
    12. Аренда лодки стоит 32 доллара за час, а каждый дополнительный час или неполный час стоит 8 долларов.Постройте график стоимости аренды лодки и определите стоимость аренды лодки на 412 часов.

    Часть C: Обсуждение

    1. Объясните начинающему изучающему алгебру, что такое асимптота.

    2. Изучите и обсудите разницу между функциями пола и потолка.Какие приложения вы можете найти, которые используют эти функции?

ответы

  1. f (−10) = - 10, f (0) = 0, f (a) = a

  2. f (−10) = - 1000, f (0) = 0, f (a) = a3

  3. f (−10) = 5, f (0) = 5, f (a) = 5

  4. Домен: ℝ; диапазон: {5}

  5. {(−8, −2), (−1, −1), (0,0), (1,1), (8,2)}

  1. f (−5) = 25, f (0) = 0 и f (3) = 5

  2. г (-1) = - 7, г (1) = 1 и г (4) = 2

  3. h (−2) = - 5, h (0) = - 3 и h (4) = 16

  4. f (−2) = - 3, f (0) = - 1 и f (3) = 2

  5. f (−4) = 1, f (−2) = 1 и f (0) = 0

  6. f (0) = 0, f (2) = 8 и f (4) = 0

  7. f (−3) = 5, f (−2) = 4 и f (2) = 2

  8. f (−2) = - 1, f (0) = 0 и f (2) = 1

График уравнения


Пример графика функции

Как нарисовать функциональный график

Во-первых, начните с такого пустого графика. Значения x идут слева направо, а значения y идут снизу вверх:


Ось x и ось y пересекают
, где x и y равны нулю.

Точки графика

Простой (но не идеальный) подход - вычислить функцию в некоторых точках и затем построить их.

График функции - это набор точек значений, принимаемых функцией.

Пример: y = x

2 - 5

Вычислим некоторые точки :

x у = х 2 −5
-2 -1
0 −5
1 −4
3 4

И начертите их так:


Пока не очень полезно.Добавим еще точек :

Выглядит лучше!

Теперь мы можем догадаться, что нанесение на график всех точек будет выглядеть так:

Хорошая парабола.

Мы должны попытаться нанести достаточно точек, чтобы быть уверенными в том, что происходит!

Пример: y = x

3 - 5x

С этими расчетными точками:

x y = x 3 −5x
-2 2
0 0
2 −2

Можно подумать, что это график:

А вот настоящий график:

Так что «нанесение некоторых точек» полезно, но может привести к ошибкам .

Полный график

Чтобы график был «законченным», нам нужно показать все важные особенности:

  • Пункты пропуска
  • Пики
  • Долины
  • Плоские участки
  • Асимптоты
  • Любые другие особенности

Часто это означает, что нужно тщательно продумать функцию.

Пример: (x − 1) / (x

2 −9)

На странице Rational Expressions мы проделали некоторую работу, чтобы обнаружить, что функция:

  • пересекает ось x в точке 1,
  • пересекает ось Y на 1/9,
  • имеет вертикальные асимптоты (где он направлен в сторону минус / плюс бесконечности) в −3 и +3

В результате мы можем сделать этот набросок:


Набросок (x − 1) / (x 2 −9) из Rational Expressions.2 = 9 дюймов (что означает x 2 + y 2 = 9 ).

Но помните, что они всего лишь помощники! Это всего лишь компьютерные программы, и легко мог пропустить что-то важное на графике или не построить что-то правильно.

Примечание: вы можете услышать фразу «удовлетворить уравнению», что означает, что уравнение истинно .

4. График функции

График функции - это набор всех точек, координаты которых ( x , y ) удовлетворяют функции `y = f (x) `.Это означает, что для каждого значения x существует соответствующее значение y , которое получается, когда мы подставляем в выражение для `f (x)`.

Поскольку количество точек на графике функции не ограничено, мы сначала будем следовать этой процедуре:

  1. Выберите несколько значений x (не менее 5)
  2. Получить соответствующие значения функции и занести их в таблицу
  3. Постройте эти точки, соединив их плавной кривой

Однако вам предлагается изучить общие формы некоторых общих кривых (например, прямую линию, парабола, тригонометрические и экспоненциальные кривые, с которыми вы столкнетесь в следующих главах). Это намного проще, чем рисовать точки, и это пригодится нам позже!

Пример 1

Мужчина ростом "2 м" бросает мяч прямо вверх, и его высота в момент времени t s ) определяется выражением ч = 2 + 9 т - 4,9 т 2 м.

Постройте график функции.

Ответ

Начнем с t = 0, поскольку отрицательные значения времени имеют практического смысла здесь нет.

Выбираем значения `0.С интервалом 5` (если бы мы использовали интервалы `t = 1 \" s "`, мы не увидели бы достаточно деталей на графике).

т 0 0,5 1 1,5 2
ч 2 5,3 6,1 4,5 0,4

График снаряда (парабола).

Эта форма называется параболой и является общей в приложениях математики.

ПРИМЕЧАНИЕ:

(1) На этом графике высота в зависимости от времени. Мяч пошел прямо вверх, а не вперед. (На нашем графике может создаться впечатление, что мяч двигался в направлении x , а также вверх, но это было не так.)

(2) В этом примере мы могли бы написать функцию с h ( t ), а не просто h . Следующие два уравнения означают одно и то же.

ч = 2 + 9 т - 4.9 т 2

ч ( т ) = 2 + 9 т - 4,9 т 2

Пример 2

Скорость (в «м / с») мяча в Примере 1 во время т с ) дается по

v = 9 - 9,8 т

Нарисуйте график v - t . Что скорость, когда мяч падает на землю?

Ответ

Это прямая линия, так как она имеет вид

y = м x + c

Смотрите больше на Straight Line.

Поскольку мы определили, что это прямая линия, нам нужно только построить 2 очка и присоединяйтесь к ним. Но мы находим 3 точки, просто чтобы убедиться, что у нас правильная линия.

График зависимости `v` от` t` - прямая.

Наш график начинается с t = 0 (поскольку отрицательные значения времени не имеют значения в этом примере).

В течение первых 0,918 «с» «мяч идет вверх (положительная скорость - то есть синяя линия находится выше оси t ), но замедляется.

После этого мяч приближается к земле и набирает скорость (участок, где синяя линия находится ниже оси t ).

Мяч ударяется о землю примерно за t = 2,04 с (мы можем см. это из примера 1). Скорость , когда мяч падает на землю с графика, который мы только что нарисовали, имеет значение `-11 \ "м / с" `. График останавливается на этом месте.

Наш график предполагает, что мяч приземляется в песок и не отскакивает.

Обычно, как мы сделали здесь, мы берем скорость в до направление быть положительным.

Пример 3

Постройте график функции y = x - x 2 .

Ответ

(a) Определите значения y- для типичного набора значений x и запишите их в таблицу.

x −2 -1 0 1 2 3
y −6 −2 0 0 −2 −6

(b) Поскольку `y = 0` как для` x = 0`, так и для `x = 1`, проверьте, что происходит между ними.2`, парабола.

Обратите внимание, что кривая продолжается за пределы того, что показано на графике. Это всего лишь общий вопрос, и практических ограничений для значений x или y нет.

Пример 4

Построить график функции `y = 1 + 1 / x`

Ответ

(a) Примечание: y не определено для `x = 0` из-за деление на `0`

Следовательно, `x = 0` не находится в области

(б) Составьте таблицу значений:

x `-4` `-3` `-2` `-1` `1` `2` `3` `4`
y `3/4` `2/3` `1/2` `0` `2` `3/2` `4/3` `5/4`

(c) Мы знаем, что что-то странное произойдет рядом с x = 0 (поскольку граф там не определен).Итак, мы проверяем, что происходит в некоторых типичных точках между `x = -1` и` x = 1`:

, когда `x = −0,5,` y = 1 + 1 / (- 0,5) = 1-2 = −1`

, когда `x = 0,5, \ y = 1 + 1 / (0,5) = 1 + 2 = 3`

(d) По мере приближения значения x к «0» точки становятся ближе к y - ось, правда ее не трогают. Ось y называется асимптотой кривой.

(Чтобы убедиться в этом, нарисуйте точки, где `x = 0.4`, `x = 0,3`,` x = 0,2`, `x = 0,1` и даже` x = 0,01`.)

График `y = 1 + 1 / x`, гипербола. Это прерывистая функция.

На этой кривой есть еще одна асимптота: `y = 1`, отмеченная пунктирной линией. Обратите внимание, что кривая не проходит через это значение.

Пример 5

Постройте график функции `y = sqrt (x + 1)`

Ответ

(a) Примечание: y не определено для значений x минус чем `-1`. (Попробуйте что-нибудь в своем калькуляторе, например, `x = −4`.)

(b) Мы определяем некоторые значения x и соответствующие значения y и записываем их в таблицу:

x -1 0 1 2 3 4 5
y 0 1 1,4 1,7 2 2. 2`

Постройте зависимость мощности от сопротивления.

Ответ

(a) Отрицательные значения для R не имеют физического значимость, поэтому P не отображается для отрицательных значений из р.

(б) Составьте таблицу значений:

р 0 1 2 3 4 5
п. 0 44.2`.

Обратите внимание, что оси имеют маркировку R, (сопротивление) и P, (мощность).

(d) Выводы:

(i) Максимальная мощность 50 Вт возникает при сопротивлении R = 0,5 Вт

(ii) P уменьшается по мере увеличения R за пределами `0,5 \" W "`

Упражнения

Построить график заданных функций

1 кв. y = x 3 - x 2

Ответ

(a) Нет никаких ограничений на значения, которые x может принимать в этом примере, поскольку это общий вопрос, не имеющий практического значения.

(б) Составьте таблицу значений:

x -1 0 1 2 3
y -2 0 0 4 18

Поскольку `y = 0`, когда` x = 0` и `x = 1`, мы исследуем, что происходит между этими 2 x -значениями:

Когда `x = 1/2, y = -1/8.`

Вот наш график:

График x = x 3 - x 2 , куб.

2 кв. `y = sqrt (x)`

Ответ

Мы можем извлечь квадратный корень только из положительного числа, поэтому `x ≥ 0`. Квадратный корень из числа может быть только положительным, поэтому `y ≥ 0`.

Этот график представляет собой половину параболы с горизонтальной осью.

График `y = sqrt (x)`, половинная парабола.


Конический резервуар для воды

3 кв. ( Приложение ) Вода вытекает из резервуара в форме перевернутого конуса (т. Е. Вода течет через заостренный конец конуса и самую широкую часть конус находится наверху). Объем воды уменьшается при постоянная скорость.

Нарисуйте эскизный график высоты воды в конусе. против времени.

Ответ

Нам нужно смоделировать высоту в момент времени t на основе того, что мы знаем о конусах.(1 "/" 3) `.

Как построить график функции

Обновлено 4 декабря 2020 г.

Автор Джон Папевски

Построить график математических функций не так уж и сложно, если вы знакомы с функцией, которую строите. Каждый тип функции, будь то линейная, полиномиальная, тригонометрическая или какая-либо другая математическая операция, имеет свои особенности и особенности. Подробная информация об основных классах функций дает отправные точки, подсказки и общие рекомендации по их графическому отображению.

TL; DR (слишком долго; не читал)

Чтобы построить график функции, вычислите набор значений оси y на основе тщательно выбранных значений оси x , а затем постройте график полученные результаты.

Построение графиков линейных функций

Линейные функции являются одними из самых простых для построения графиков; каждый - просто прямая линия. Чтобы построить линейную функцию, вычислите и отметьте две точки на графике, а затем проведите прямую линию, проходящую через обе из них. Формы point-slope и y -intercept сразу дают вам одно очко; линейное уравнение с перехватом y имеет точку (0, y ), а точка-наклон имеет некоторую произвольную точку ( x , y ).Чтобы найти еще одну точку, вы можете, например, установить y = 0 и решить для x . Например, для построения графика функции:

y = 11x + 3

3 - это пересечение y , поэтому одна точка равна (0, 3).

Установка y на ноль дает следующее уравнение:

0 = 11x + 3

Вычтем 3 с обеих сторон:

0 - 3 = 11x + 3 - 3

-3 = 11x

\ frac {-3} {11} = \ frac {11x} {11}

\ frac {-3} {11} = x

Итак, ваша вторая точка (-0. 273, 0)

При использовании общей формы вы устанавливаете y = 0 и решаете для x , а затем устанавливаете x = 0 и решаете для y , чтобы получить две точки. Для построения графика функции x - y = 5, например, установка x = 0 даст вам y из -5, а установка y = 0 дает вам x из 5. Две точки: (0, −5) и (5, 0).

Графические триггерные функции

Тригонометрические функции, такие как синус, косинус и тангенс, являются циклическими, а график, построенный с помощью триггерных функций, имеет регулярно повторяющийся волнообразный узор.Например, функция

y = \ sin (x)

начинается с y = 0, когда x = 0 градусов, затем плавно увеличивается до значения 1, когда x = 90 уменьшается обратно до 0, когда x = 180, уменьшается до -1, когда x = 270, и возвращается к 0, когда x = 360. Шаблон повторяется бесконечно. Для простых функций sin ( x ) и cos ( x ) y никогда не выходит за пределы диапазона от -1 до 1, и функции всегда повторяются каждые 360 градусов.Функции касательной, косеканса и секанса немного сложнее, хотя они тоже следуют строго повторяющимся образцам.

Более общие триггерные функции, такие как

y = A × \ sin (Bx + C)

, предлагают свои собственные сложности, хотя с изучением и практикой вы можете определить, как эти новые термины влияют на функцию. Например, константа A изменяет максимальное и минимальное значения, поэтому она становится A и отрицательной A вместо 1 и -1.Постоянное значение B увеличивает или уменьшает частоту повторения, а постоянное значение C сдвигает начальную точку волны влево или вправо.

Построение графиков с помощью программного обеспечения

Помимо построения графиков вручную на бумаге, вы можете автоматически создавать графики функций с помощью компьютерного программного обеспечения. Например, многие программы для работы с электронными таблицами имеют встроенные возможности построения графиков. Чтобы построить график функции в электронной таблице, вы создаете один столбец со значениями x , а другой, представляющий ось y , как вычисленную функцию столбца значений x .Когда вы заполнили оба столбца, выберите их и выберите в программе функцию точечной диаграммы. Диаграмма рассеяния отображает серию дискретных точек на основе двух столбцов. При желании вы можете сохранить график как отдельные точки или соединить каждую точку, создав непрерывную линию. Перед печатью графика или сохранением электронной таблицы пометьте каждую ось соответствующим описанием и создайте основной заголовок, описывающий назначение графика.

Функции и их графики

Функции: \ (f \), \ (g \), \ (y \), \ (u \)
Аргумент (независимая переменная): \ (x \)
Набор натуральных чисел: \ (\ mathbb {N} \)
Набор действительных чисел: \ (\ mathbb {R} \)
Основание натурального логарифма: \ (e \)

Натуральные числа: \ (n \)
Целые числа: \ (k \)
Действительные числа: \ (a \), \ (b \), \ (c \), \ (d \)
Угол: \ (\ alpha \)
Период функции: \ (T \)

  1. Понятие функции - одно из важнейших в математике. Это определяется следующим образом. Пусть даны два множества \ (X \) и \ (Y \). Если для каждого элемента \ (x \) в множестве \ (X \) есть ровно один элемент (изображение) \ (y = f \ left (x \ right) \) в множестве \ (Y \), то говорят, что функция \ (f \) определена на множестве \ (X \). Элемент \ (x \) называется независимой переменной, и, соответственно, выход \ (y \) функции называется зависимой переменной. Если мы рассмотрим множества чисел \ (X \ subset \ mathbb {R} \), \ (Y \ subset \ mathbb {R} \) (где \ (\ mathbb {R} \) - множество действительных чисел), тогда функция \ (y = f \ left (x \ right) \) может быть представлена ​​в виде графика в декартовой системе координат \ (Oxy \).
  2. Четная функция
    \ (f \ left ({- x} \ right) = f \ left (x \ right) \)
  3. Нечетная функция
    \ (f \ left ({- x} \ right) = -f \ left (x \ right) \)
  4. Периодическая функция
    \ (f \ left ({x + kT} \ right) = f \ left (x \ right), \)
    где \ (k \) - целое число, \ (T \) - период функция.
  5. Обратная функция
    Дана функция \ (y = f \ left (x \ right) \). Чтобы найти обратную ему функцию, необходимо решить уравнение \ (y = f \ left (x \ right) \) для \ (x \), а затем поменять местами переменные \ (x \) и \ (y \) .{- 1}} \ left (x \ right) \). Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой \ (y = x \).
  6. Составная функция
    Предположим, что функция \ (y = f \ left (u \ right) \) зависит от промежуточной переменной \ (u \), которая, в свою очередь, является функцией независимой переменной \ (x \): \ (и = г \ влево (х \ вправо) \). В этом случае связь между \ (y \) и \ (x \) представляет собой «функцию функции» или составную функцию, которую можно записать как \ (y = f \ left ({g \ left (x \верно-верно)\).Двухслойные составные функции легко обобщаются на произвольное количество «слоев».
  7. Линейная функция
    \ (y = ax + b, \) \ (x \ in \ mathbb {R} \).
    Здесь число \ (a \) называется наклоном прямой. Он равен касательной к углу между прямой и положительным направлением оси \ (x \): \ (a = \ tan \ alpha \). {- x}}}}} {2} \ normalsize}, \) \ (х \ в \ mathbb {R}.{- x}}}} \ normalsize}, \) \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne 0. \)
  8. Функция обратного гиперболического синуса
    \ (y = {\ mathop {\ rm arcsinh} \ nolimits} \, x, \) \ (x \ in \ mathbb {R}. \)
  9. Функция обратного гиперболического косинуса
    \ (y = {\ mathop {\ rm arccosh} \ nolimits} \, x, \) \ (x \ in \ left [{1, \ infty} \ right). \)
  10. Функция обратной гиперболической касательной
    \ (y = {\ mathop {\ rm arctanh} \ nolimits} \, x, \) \ (x \ in \ left ({-1,1} \ right). \)
  11. Обратная гиперболическая функция котангенса
    \ (y = {\ mathop {\ rm arccoth} \ nolimits} \, x, \) \ (x \ in \ left ({- \ infty, - 1} \ right) \ cup \ left ({1, \ infty} \ right).\)
  12. Обратная гиперболическая секущая функция
    \ (y = {\ mathop {\ rm arcsech} \ nolimits} \, x, \) \ (x \ in \ left ({0,1} \ right]. \)
  13. Обратная гиперболическая функция косеканса
    \ (y = {\ mathop {\ rm arccsch} \ nolimits} \, x, \) \ (x \ in \ mathbb {R}, \; x \ ne 0. \)

5.2 - Справочник - Графики восьми основных типов функций

5.2 - Справочник - Графики восьми основных типов функций

5.2 - Справочная информация - Графики восьми основных типов функций

Цель этого справочного раздела - показать вам графики различных типов функций чтобы вы могли ознакомиться с типами.Вы обнаружите, что каждый тип имеет свой собственный отличительный граф. Показывая несколько графиков на одном графике, вы сможете увидеть их общие черты. В этой галерее показаны примеры следующих типов функций: В каждом случае аргумент (вход) функции называется x , а значение (выход) функции называется y .

Линейные функции. Это функции формы:
y = м x + b ,
где m и b - постоянные.Типичное использование для линейные функции - это преобразование одной величины или набора единиц в другую. Графики этих функций представляют собой прямых . м, - это наклон, а b - точка пересечения y . Если м, положительный, линия поднимается вправо, а если м. отрицательно, линия падает вправо. Здесь подробно описаны линейные функции.

Квадратичные функции. Это функции формы:
y = a x 2 + b x + c ,
где a , b и c - константы. Их графики называются параболы . Это следующий по простоте тип функции после линейной функции. Падающие предметы движутся по параболическим траекториям. Если , - положительное число, тогда парабола открывается вверх, и если a - отрицательное число, тогда парабола открывается вниз.Квадратичные функции подробно описаны здесь.

Силовые функции. Это функции формы:
y = a x b ,
где a и b - константы. Они получили свое название от факта что переменная x возведена в некоторую степень. Многие физические законы (например, гравитационная сила как функция расстояния между двумя объектами или изгиб балки в зависимости от нагрузки на нее) представлены в виде степенных функций.Предположим, что a = 1, и рассмотрим несколько случаев для b :

Степень b - положительное целое число. См. График справа. Когда x = 0, все эти функции равны нулю. Когда x большой и позитивные они все большие и позитивные. Когда x большой и отрицательный тогда те, у кого четные полномочия, большие и положительные, в то время как с нечетной мощностью большие и отрицательные.

Степень b - отрицательное целое число. См. График справа. Когда x = 0, эти функции подвергаются делению на ноль и, следовательно, все бесконечны. Когда x большой и положительные они маленькие и положительные. Когда x большой и отрицательный тогда те, у кого четная степень, маленькие и положительные, а те, у кого нечетные степени малы и отрицательны.

Степень b - это дробная часть от 0 до 1. См. График справа. Когда x = 0, все эти функции равны нулю. Кривые вертикальные на origin, и по мере увеличения x они увеличиваются, но изгибаются к оси x .

Здесь подробно обсуждается степенная функция.



Полиномиальные функции. Это функции формы:
y = a n · x n + а n −1 · x n −1 +… + a 2 · x 2 + a 1 · x + a 0 ,
где a n , a n −1 ,…, a 2 , a 1 , a 0 - константы.Допускаются только целые числа x . Наивысшая степень x , которая встречается, называется градусом полинома. На графике показаны примеры полиномов 4 и 5 степени. Степень дает максимальное количество « взлетов и падений, », которые многочлен может иметь, а также максимальное количество пересечений x ось, которую он может иметь.

Полиномы полезны для создания гладких кривых в компьютерной графике. приложений и для аппроксимации других типов функций.Здесь подробно описаны полиномы.



Рациональные функции. Эти функции представляют собой отношение двух многочленов. Одна область обучения, где они важны при анализе устойчивости механических и электрических систем. (который использует преобразования Лапласа).

Когда многочлен в знаменатель равен нулю, то рациональная функция становится бесконечной, как указано вертикальной пунктирной линией (называемой асимптотой ) на его графике.Для пример справа это происходит, когда x = −2 и когда x = 7.

Когда x становится очень большим, кривая может выравниваться. Кривая справа выравнивается на y = 5.

На графике справа показан еще один пример рациональной функции. Здесь деление на ноль равно x = 0. Он не выравнивается, но приближается к прямой y = x , когда x большой, как показано пунктирной линией (еще одна асимптота).



Экспоненциальные функции. Это функции формы:
y = a b x ,
где x - показатель степени (не в основании, как это было для степенных функций) и a и b - константы. (Обратите внимание, что только b возводится в степень x , а не a .) Если основание b больше 1, то результат будет экспоненциальный рост.Многие физические величины растут экспоненциально (например, популяции животных и наличные деньги). на процентном счете).

Если основание b меньше 1, то результат будет экспоненциальный спад. Многие величины убывают экспоненциально (например, солнечный свет достигает заданной глубины океана и скорость замедления объекта из-за трения).

Экспоненциальные функции подробно описаны здесь.



Логарифмические функции. Есть много эквивалентных способов определения логарифмических функций. Мы будем определите их как имеющие форму:
y = a ln ( x ) + b ,
где x - натуральный логарифм, а a и b - константы. Они определены только для положительных x . Для маленьких x они отрицательные, а для больших x они положительные, но остаются маленькими.Логарифмические функции точно описывают реакцию человеческого уха на звуки различной громкости и реакция человеческого глаза на свет различной яркость. Здесь подробно описаны логарифмические функции.

Синусоидальные функции. Это функции формы:
y = a sin ( b x + c ),
где a , b и c - константы.Синусоидальные функции полезны для описания всего, что имеет форму волны относительно положение или время. Примеры: волны на воде, высота прилива в течение дневной и переменный ток в электричестве. Параметр a (называется амплитудой) влияет на высоту волны, b (угловая скорость) влияет на ширину волны и c (фазовый угол) сдвигает волну влево или вправо.Здесь подробно описаны синусоидальные функции.


Если вы нашли эту страницу в веб-поиске, вы не увидите
Оглавление в рамке слева.
Щелкните здесь, чтобы отобразить его. .

Ваш комментарий будет первым

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

© 2019 iApple-59.ru