Нажмите "Enter", чтобы перейти к содержанию

Построить прямую по точкам онлайн: Построение графика по точкам — Калькулятор Онлайн

Содержание

Уравнение прямой, проходящей через две точки онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение прямой, проходящей через две точки. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения прямой задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точек в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Уравнение прямой, проходящей через две точки − примеры и решения

Пример 1. Построить прямую, проходящую через точки A(2, 1, 1), B(3, 1, -2).

Решение.

Уравнение прямой, проходящей через точки A(x1,

y1, z1) и B(x2, y2, z2) имеет следующий вид:

Подставив координаты точек A и B в уравнение (1), получим:

или

(Здесь 0 в знаменателе не означает деление на 0).

Составим параметрическое уравнение прямой:

Выразим переменные x, y, z через параметр t :

Ответ.

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A(2, 1, 1), B(3, 1, -2) имеет следующий вид:

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки A(2, 1, 1), B(3, 1, -2) имеет следующий вид:

Пример 2. Построить прямую, проходящую через точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2).

Решение.

Уравнение прямой, проходящей через точки A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2) имеет следующий вид:

Подставив координаты точек A и B в уравнение (2), получим:

или

Составим параметрическое уравнение прямой:

Выразим переменные

x, y, z через параметр t :

Ответ.

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2) имеет следующий вид:

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2) имеет следующий вид:

Проекция точки на прямую онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на прямую. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления проекции точки на прямую, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точки и элементы уравнения в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа.

Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Проекция точки на прямую − теория, примеры и решения

Рассмотрим эту задачу в двухмерном и трехмерном пространствах.

1. Пусть в двухмерном пространстве задана точка M0(x0, y0) и прямая L:

где q=(m,p) направляющий вектор прямой L.

Найдем проекцию точки M0 на прямую (1)(Рис.1).

Алгоритм нахождения проекции точки на прямую L содержит следующие шаги:

  • построить прямую L1, проходящую через точку M0 и перпендикулярную прямой L,
  • найти пересечение прямых L и L1(точка M1)

Уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0) имеет следующий вид:

где n=(A,B) нормальный вектор прямой L1.

Как видно из рисунка Рис.1, для того, чтобы прямая

L1 была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n прямой L1, поэтому в качестве нормального вектора прямой L1 достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение прямой L1, представленной уравнением (2) можно записать так:

Откроем скобки

Для нахождения точки пересечения прямых L и L1, которая и будет проекцией точки M0 на прямую L, можно решить систему из двух уравнений (1) и (3) с двумя неизвестными x и y. Выражая неизвестную x из одного уравнения и подставляя в другое уравнение получим координаты точки M1(x1, y1).

Найдем точку пересечения прямых L и L1 другим методом.

Выведем параметрическое уравнение прямой (1):

Подставим значения x и y в (4):

Мы нашли такое значение t=t', при котором координаты x и y точки на прямой L

удовлетворяют уравнению прямой L1(4). Следовательно, подставляя значение t' в (5) получим координаты проекции точки M0 на прямую L:

где x1=mt'+x', y1=pt'+y'.

Пример 1. Найти проекцию точки M0(1, 3) на прямую

Решение.

Направляющий вектор прямой (6) имеет вид:

Т.е. m=4, p=5. Из уравнения прямой (6) видно, что она проходит через точку M' (x', y')=(2, −3)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (6) получим тождество 0=0), т.е. x'=2, y'=-3. Подставим значения m, p, x0, y0, x', y' в (5'):

Подставляя значение t в (5), получим:

Ответ:

Проекцией точки M0(1, 3) на прямую (6) является точка:

 

2. Пусть в трехмерном пространстве задана точка M0(x0, y0, z0) и прямая L:

где q=

(m, p, l) направляющий вектор прямой L.

Найдем проекцию точки M0 на прямую (7)(Рис.2).

Нахождение проекцию точки на прямую L содержит следующие шаги:

  • построить плоскость α, проходящую через точку M0 и перпендикулярную прямой L,
  • найти пересечение плоскости α и прямой L(точка M1)

Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) имеет следующий вид:

где n=(A,B,C) нормальный вектор плоскости α.

Как видно из рисунка Рис.2, для того, чтобы плоскость α была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n плоскости α, поэтому в качестве нормального вектора плоскости α достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение плоскости α, представленной уравнением (8) можно записать так:

Откроем скобки

Для нахождения точки пересечения плоскости α и прямой L, которая и будет проекцией точки M0 на прямую L, выведем параметрическое уравнение прямой (7):

Подставим значения x и y в (9):

Мы нашли такое значение t=t', при котором координаты x,y и z точки на прямой L удовлетворяют уравнению плоскости (9). Следовательно, подставляя значение t' в (10) получим координаты проекции точки M0 на прямую L:

где x1=mt'+x', y1=pt'+y', z1=lt'+z'.

Пример 2. Найти проекцию точки M0(3, −1, −2) на прямую

Решение.

Направляющий вектор прямой (11) имеет вид:

Т.е. m=2, p=3, l=−4. Из уравнения прямой (11) видно, что она проходит через точку M' (x', y', z')=(2, 1, 1)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (11) получим тождество 0=0=0), т.е.

x'=2, y'=1, z'=1. Подставим значения m, p, l x0, y0, z0 x', y', z' в (10'):

Подставляя значение t=t' в (10), получим:

Ответ:

Проекцией точки M0(3, −1, −2) на прямую (11) является точка:

Точка пересечения прямых на плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямых на плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямых задайте вид уравнения прямых ("канонический", "параметрический" или "общий"), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Точка пересечения прямых на плоскости − теория, примеры и решения

1. Точка пересечения прямых, заданных в общем виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:

где n1={A1, B1} и n2={A2, B2} − нормальные векторы прямых L1 и L2, соответственно.

Для нахождения точки пересечения прямых (1) и (2) нужно решить систему линейных уравнений (1) и (2) относительно переменных x,y. Для этого запишем систему (1),(2) в матричном виде:

Построим расширенную матрицу:

Приведем (4) к верхнему диагональному виду. Пусть A1≠0 . Тогда сложим строку 2 со строкой 1, умноженной на −A2/A1:

где

Если

B'2=0 и С'2=0, то система линейных уравнений имеет множество решений. Следовательно прямые L1 и L2 совпадают. Если B'2=0 и С'2≠0, то система несовместна и, следовательно прямые параллельны и не имеют общей точки. Если же B'2≠0, то система линейных уравнений имеет единственное решение. Из второго уравнения находим y: y=С'2/B'2 и подставляя полученное значение в первое уравнение находим x: x=(−С1B1y)/A1. Получили точку пересечения прямых L1 и L2: M(x, y).

Подробнее о решении систем линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн.

2. Точка пересечения прямых, заданных в каноническом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2

:

где M1(x1, y1) и M2(x2, y2) − точки, лежащие на прямых L1 и L2, соответственно, а q1={m1, p1} и q2={m2, p2} − направляющие векторы прямых L1 и L2, соответственно.

Приведем уравнение L1 к общему виду. Сделаем перекрестное умножение в уравнении (6):

Откроем скобки и сделаем преобразования:

Обозначив A1=p1, B1=−m1, C1=−p1x1+m1y1, получим общее уравнение прямой (6):

Аналогичным методом получим общее уравнение прямой (7):

Терерь можно найти точку пересечения прямых L1 и L2 методом, описанным в параграфе 1.

3. Точка пересечения прямых, заданных в параметрическом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2 в параметрическом виде:

где M1(x1, y1) и M2(x2, y2) − точки, лежащие на прямых L1 и L2, соответственно, а q1={m1, p1} и q2={m2, p2} − направляющие векторы прямых L1 и L2, соответственно.

Приведем уравнение прямой L1 к каноническому виду. Для этого из уравнений (10) найдем параметр t:

Из уравнений (12) следует:

Аналогичным образом можно найти каноническое уравнение прямой L2:

Как найти точку пересечения прямых, заданных в каноническом виде описано выше.

4. Точка пересечения прямых, заданных в разных видах.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:

где n={A1, B1} нормальный вектор прямой L1, q={m, p} − направляющий вектор прямой L2 .

Найдем точку пересечения прямых L1 и L2. Для этого подставим x=x2+mt, y=y2+pt в (13):

Найдем t:

Если числитель и знаменатель в (16) одновременно равны нулю, то любое значение t удовлетворяет уравнению (15), следовательно прямые L1 и L2 совпадают. Если знаменатель равен нулю а числитель отличен от нуля, то прямые L1 и L2 не пересекаются, т.е. они параллельны.

Пусть знаменатель не равен нулю. Подставляя полученное значение t в (14), получим координаты точки пересечения прямых L1 и L2.

5. Примеры нахождения точки пересечения прямых на плоскости.

Пример 1. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:

Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 нужно решить систему линейных уравнений (17) и (18). Представим уравнения в матричном виде:

Решим систему линейных уравнений отностительно x, y. Для этого воспользуемся методом Гаусса. Получим:

Ответ. Точка пересечения прямых L1 и L2 имеет следующие координаты:

Пример 2. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:

Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 нужно решить систему линейных уравнений (20) и (21). Представим уравнения в матричном виде:

Для решения (22) воспользуемся методом Гаусса. Получим:

где λ− произвольное действительное число.

Имеем больше одного решения. Это означает, что прямые L1 и L2 совпадают.

Ответ. Прямые L1 и L2 совпадают.

Пример 3. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:

Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 нужно решить систему линейных уравнений (23) и (24). Представим уравнения в матричном виде:

Применив метод Гаусса получим, что система (25) несовместна. Следовательно эти прямые не пересекаются, т.е. они параллельны.

Ответ. Прямые L1 и L2 не имеют общую точку, т.е. они параллельны.

Пример 4. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:

Приведем, сначала, уравнение прямой (26) к общему виду:

Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 нужно решить систему линейных уравнений (28) и (27). Представим уравнения в матричном виде:

Решим систему линейных уравнений отностительно x, y:

Ответ. Точка пересечения прямых L1 и L2 имеет следующие координаты:

Общее уравнение прямой на плоскости

Уравнение вида называется общим уравнением прямой на плоскости. При различных численных значениях A, B и C, в том числе нулевых, оно может определять всевозможные прямые без исключения.

Одна из фундаментальных задач аналитической геометрии - составление общего уравнения прямой по точке, ей принадлежащей, и вектору нормали.

Вектор нормали - это вектор, перпендикулярный искомой прямой. Вектор нормали чаще всего записывается так: . Координаты точки - и .

Общее уравнение прямой на плоскости по точке и вектору нормали составляется по формуле:

  (1).

Пример 1. Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точку и вектор нормали к ней .

Решение. Используя формулу (1), получаем:

Из примера 1 видно, что координаты вектора нормали пропорциональны числам A и B из общего уравнения прямой на плоскости. Это не совпадение, а закономерность! Поэтому в общем случае, если известно общее уравнение прямой на плоскости, то вектор нормали к прямой можно записать так: .

Пример 2. Задано общее уравнение прямой на плоскости: . Записать вектор нормали к этой прямой.

Решение. В заданном уравнении , . Поэтому вектор нормали запишется:

.

Если вектор нормали перпендикулярен искомой прямой, то направляющий вектор параллелен ей. Направляющий вектор обычно записывается так: . Имеет место следующая зависимость координат направляющего вектора от чисел A и B общего уравнения прямой: .

Пример 3. Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точку и её направляющий вектор .

Решение. Используя формулу (2), имеем:

.

Далее путём преобразований получаем:

На всякий случай сделаем проверку - подставим в полученное общее уравнение прямой координаты точки, которая должна ей принадлежать:

.

Получили верное равенство. А координаты вектора связаны с числами A и B уравнения закономерностью . Значит, задание выполнено корректно.


Пример 4. Задано общее уравнение прямой на плоскости: . Записать направляющий вектор к этой прямой.

Решение. В заданном уравнении , . Поэтому направляющий вектор запишется:

.

Решая задачи контрольных работ, особенно, если задач много и к концу контрольной студент стремится наверстать упущенное за время обдумывания заданий, можно запутаться в знаках, записывая вектор нормали и направляющий вектор. Будьте внимательны!

Если заданы две точки и , то уравнение прямой, проходящей через эти точки, можно составить по формуле

.   (3)

Полученное выражение следует преобразовать к виду общего уравнения прямой.

Пример 5. Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точки и .

Решение. Используя формулу (3), имеем:

.

Далее путём преобразований получаем:

Получили общее уравнение плоскости.

Во многих задачах аналитической геометрии возникает необходимость преобразовать уравнения одного вида к уравнению другого вида. Преобразование уравнения прямой с угловым коэффициентом в общее уравнение прямой делается достаточно просто: в уравнении вида всё переносим в левую часть, а в правой остаётся нуль. Получается уравнение вида .

Пример 7. Дано уравнение прямой с угловым коэффициентом . Записать уравнение этой прямой в общем виде и направляющий вектор этой прямой.

Решение. Всё переносим в левую часть, а в правой оставляем нуль:

.

Получили общее уравнение прямой. В нём . Поэтому направляющий вектор запишется так:

.

Рассмотрим особенности расположения прямой на плоскости в тех случаях, когда те или иные коэффициенты общего уравнения прямой равны нулю.

1. При уравнение определяет прямую, проходящую через начало координат, так как кординаты точки удовлетворяют этому уравнению.

3. При уравнение определяет ось Ox, так как эта прямая одновременно параллельна оси Ox и проходит через начало координат. Аналогично, при уравнение определяет ось Oy.

Всё по теме "Прямая на плоскости

Урок 3: Линии на плоскости

План урока:

Уравнение линии в координатах

Уравнение окружности

Уравнение прямой

Задачи на пересечение двух фигур

 

Уравнение линии в координатах

Если какое-то уравнение содержит две переменные – х и у, то какие-то пары значений этих чисел будут являться его решением, а какие-то нет. Однако каждой такой паре чисел можно сопоставить точку на координатной плоскости. Все вместе такие точки могут образовать линию, которую можно обозначить буквой L. В таком случае исходное уравнение называют уравнением линии L.

Мы уже рассматривали некоторые уравнения линий на плоскости, когда изучали графики функций. Если некоторую функцию у = у(х) рассматривать как уравнение, то тогда график функции у(х) будет той самой линией, которая задается уравнением. Например, парабола может быть задана уравнением у = х2.

Однако уравнение линии не обязательно выглядит как функция. Наиболее простой задачей является определение факта, принадлежит ли та или иная точка той линии, которая задана уравнением.

 

Задание. Какие из точек А (2;1), В (3; 2), С (– 2; 5) и D(0; 0) принадлежат линии, заданной уравнением:

Решение. Надо просто подставить координаты точек в уравнение и посмотреть, превратится ли оно при этом в верное равенство. Сначала подставляем точку А (2; 1):

Получилось верное равенство, значит, А принадлежит заданной линии. Теперь подставляем координаты В (3; 2):

Равенство неверное, следовательно, В на заданной линии не лежит. Проверяем третью точку С (– 2; 5):

Получили, что и С не является частью линии. Проверяем последнюю точку D (0; 0):

Справедливость равенства означает, что D принадлежит линии.

Ответ: А и D.

Использование координат и уравнений линии порождает две обратные друг другу задачи:

1) по заранее заданному уравнению определить геометрический вид линии;

2) для заданной геометрической фигуры, построенной на координатной плоскости, найти уравнение линии.

Геометрия занимается в первую очередь решением второй задачи. Первая же задача рассматривается по большей части в курсе алгебры при изучении графиков функций.

 

Уравнение окружности

Попытаемся составить уравнение окружности, про которую нам известен ее радиус (обозначим его буквой r) и координаты центра окруж-ти(х0; у0). Пусть некоторая точка М с координатами (х; у) лежит на окруж-ти. Тогда, по определению окруж-ти, расстояние между С и М равно радиусу r:

Но расстояние между точками М и С может быть вычислено по формуле

Если же точка М НЕ лежит на окруж-ти, то длина отрезка МС не будет равна r, и потому координаты М не будут удовлетворять уравнению (1). Получается, что (1) как раз и является уравнением окруж-ти.

 

Задание. Составьте уравнение окружности, имеющей радиус 5, если ее центр находится в точке (6; 7), и проверьте, лежат на ней точки H(2; 10)и Р(3; 8).

Решение. Сначала запишем уравнение окруж-ти в общем виде

Это и есть уравнение окруж-ти. При желании можно раскрыть скобки в правой части, но делать это необязательно. Теперь будем подставлять в полученное уравнение координаты точек Н и Р:

Проверка показала, что Н находится на окруж-ти, а Р – нет.

 

Задание. Начертите окружность, заданную уравнением

Именно эти значения и являются параметрами окруж-ти, которые нужны нам для ее построения. Ее центр находится в точке (х0; у0), то есть в (1; – 2), радиус равен r, то есть 2. В итоге выглядеть она будет так:

Особый случай представляет окруж-ть, центр которой находится в начале координат, то есть в точке (0; 0). В этом случае параметры xи yокруж-ти равны нулю, и уравнение

Например, окруж-ть с радиусом 4, если ее центр совпадает с началом координат, описывается уравнением:

Если при подстановке координат точки в уравнение получилось неверное равенство, то возможны два случая: либо точка находится внутри окруж-ти, либо она находится вне нее. Заметим, что в уравнении окруж-ти

левая часть представляет собой квадрат расстояния между точкой (х; у) и центром окруж-ти (х0; у0). Если оно больше квадрата радиуса, то точка находится вне окруж-ти, а если меньше – то внутри нее.

 

Задание. Определите для точек M(3; 4), N(2; 3), F(4; 4), лежат ли они на окруж-ти

x2 + y2 = 25

внутри нее или за пределами окруж-ти.

Решение.Снова подставляем координаты точек в уравнение окруж-ти:

Это ошибочное равенство, ведь в реальности левая часть больше:

32 > 25

Это значит, что F(4; 4) лежит вне окруж-ти. Убедиться в правильности сделанных выводов можно, построив заданную окруж-ть и отметив точки M, N и F:

Рассмотрим несколько более сложных задач по данной теме.

 

Задание.Запишите уравнение окружности с центром С(– 4; 2), и окруж-ть проходит через точку А(0; 5).

Решение. В данном случае радиус окруж-ти явно не указан, и его надо найти. Подставим в уравнение окруж-ти известные нам данные:

 

Задание. Даны точки К (– 2; 6) и М (2; 0). Запишите уравнение окруж-ти, в которой КМ будет являться диаметром.

Решение. Для составления уравнения нужно знать радиус окруж-ти и координаты ее центра. Обозначим центр буквой С. Ясно, что центр окруж-ти делит любой ее диаметр пополам, на два одинаковых радиуса, то есть является серединой диаметра. То есть С – середина КМ, а потому для поиска координат С используем формулы:

Итак, координаты центра теперь известны, это (0; 3). Чтобы найти радиус, поступим также, как и в предыдущей задаче – подставим координаты точек С и, например, К, в уравнение окруж-ти

Обратите внимание, что нам необязательно вычислять радиус, ведь для уравнении окруж-ти нужна его величина, возведенная в квадрат, и мы ее нашли. Теперь можем записать уравнение окончательно

 

Задание. Дано уравнение окружности

(x - 2)2 + (y - 4)2 = 9

Найдите точки этой окруж-ти, абсцисса которых равна 2.

Решение. Напомним, что абсцисса – это координат х точки. Она нам уже известна, х = 2. Остается только найти ординату, то есть координату у. Для этого подставим известное нам значение абсциссы в уравнение и решим его:

Обратите внимание, что у квадратного уравнения нашлось сразу 2 корня, они соответствуют двум точкам, (2; 1) и (2; 7).

Ответ: (2; 1) и (2; 7).

 

Задание. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки D(3; 8), L(6; 7) и K(7; 0).

Решение. Эта задача сложнее предыдущих и потребует громоздких вычислений. Нам надо найти радиус окруж-ти r и ее центр (х0; у0). Запишем для точки D(3; 8) уравнение окруж-ти:

Далее раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности (это необходимо для упрощения дальнейших расчетов):

В итоге нам удалось составить три уравнения, которые содержат три переменные: r, х0 и у0. Вместе они образуют систему уравнений, которую можно попробовать решить:

Далее можно, например, вычесть из (2) уравнение (3):

Нам удалось найти одно из интересующих нас чисел, у0. С помощью (5) легко найдем и х0:

x0 = 7y0 - 18 = 7*3 - 18 = 21 - 18 = 3

Итак, центр окруж-ти находится в точке (3; 3). Осталось найти радиус окруж-ти. Для этого подставим в уравнение окруж-ти вычисленные нами координаты центра, а также координаты одной из точек из условия, например, K(7; 0):

Радиус окруж-ти равен 5. Теперь мы можем окончательно записать уравнение окруж-ти

Чтобы убедиться в правильности найденного решения, можно подставить в полученное уравнение координаты трех точек из условия и посмотреть, обращают ли они его в верное равенство. Вместо этого мы для наглядности просто построим в координатной плоскости получившуюся окруж-ть и отметим на ней точки из условия:

Ответ: (х – 3)2 + (у – 3)2 = 25

 

Уравнение прямой

Пусть на координатной плоскости построена произвольная прямая m. Для составления его уравнения отметим две точки А(х1; у1) и В(х2; у2) так, чтобы прямая оказалась серединным перпендикуляром для отрезка АВ:

Тогда, согласно свойству серединного перпендикуляра,про любую точку М(х; у), лежащую на m, можно сказать, что она равноудалена от А и В, и наоборот, любая точка, НЕ лежащая на m, НЕ равноудалена от А и В. Это означает, что для точки M, если она лежит на m, должно выполняться равенство:

Квадратные корни равны, если одинаковы их подкоренные выражения, поэтому

Заметим, что так как точки А и В – различные, то хотя бы одна из разностей (2х2 – 2х1) и (2у2 – 2у1) будет не равна нулю, поэтому в (2) хотя бы один их коэффициентов а и b точно ненулевой. Это означает, что уравнение (2) является уравнением первой степени. Заметим, что (2) называют общим уравнением прямой, так как оно описывает любую прямую на плоскости. При более глубоком изучении геометрии вы познакомитесь с множеством других видов уравнений прямой (нормальным, каноническим, тангенциальным, параметрическим и т. п.).

В последнем примере коэффициент с равен нулю, поэтому его просто не записали.

Заметим важный аспект – одна и та же прямая может описываться различными уравнениями вида (2). Например, пусть уравнение прямой выглядит так:

Это уравнение равносильно предыдущему, хотя у них и различны коэффициенты а, b и c. Это значит, что однозначно определить эти коэффициенты при решении задач в большинстве случаев невозможно. Поэтому удобней рассмотреть два отдельных случая.

1) Если коэффициент b в уравнении прямой (2) не равен нулю, то его можно привести к виду:

получим линейную функцию:

y = kx + d (3)

Из курса алгебры мы помним, что ее графиком как раз является прямая. В большинстве случаев уравнение прямой удобно записывать именно в таком виде. Напомним, что число k называется угловым коэффициентом прямой.Поэтому (3) так и называют – уравнением прямой с угловым коэффициентом. В качестве примера подобных уравнений можно привести:

Каждое из них описывает вертикальную прямую, параллельную оси Оу.

 

Задание. Прямая задана уравнением

4x + 2y + 6 = 0

Постройте ее на координатной плоскости

Решение. Для построения прямой надо всего лишь найти две различные точки, лежащие на ней, и соединить их. Мы будем брать произвольные значения координаты х, подставлять их в уравнение и находить соответствующее им значение координаты у. Подставим х = 1:

Получили другую точку (– 1; – 1). Осталось отметить эти две точки на и соединить их:

 

Задание. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки D(1; 10) и Е(– 1; – 4).

Решение. Задачу можно решить разными способами.

Способ 1 – универсальный и более сложный.

В общем виде уравнение прямой выглядит так:

ax + by + c = 0

Нам надо найти коэффициенты а, b и c. Для этого просто подставляем координаты известных точек в уравнение. Начнем с координат D:

Нам удалось выразить коэффициента двумя различными выражениями (1) и (2). Так как в них одинаковы левые части, то можно приравнять и правые части:

Мы можем взять любое значение коэффициента с (кроме нуля), и при этом получатся различные, но равносильные друг другу уравнения. Удобно взять с = 3, тогда в уравнении исчезнут дроби:

Это и есть ответ задания.

Далее рассмотрим более простой способ, который, однако, может потребовать анализа различных вариантов.

Способ 2

Уравнение прямой может иметь либо вид

y = kx + d

если прямая является графиком линейной функции, либо вид

x = C

если прямая параллельна оси Оу. Во втором случае у всех точек прямой абсцисса должна быть одинакова, однако у точек D(1; 10) и Е(– 1; – 4) она различна, поэтому ее точно можно описать уравнением

y = kx + d

Надо найти коэффициенты k и d. Подставим в уравнение координаты D(1; 10):

Итак, уравнение можно записать так:

 

Задание. Запишите уравнение прямой, если ей принадлежат точки:

Подставим сюда уже известное нам значение d:

В (1) и (2) мы выразили d с помощью разных выражений, которые теперь можно приравнять:

То, что коэффициент оказался нулевым, означает, что прямая параллельна оси Ох.

в) Попытаемся сделать те же действия, что и в двух предыдущих примерах, подставляя точки в уравнение у = kx + d:

На этот раз мы не смогли найти коэффициент k, а вместо этого получили ошибочное равенство. То есть уравнение просто не имеет решений. Что же это значит? Из этого факта следует, что в этом примере уравнение прямой НЕ может иметь вид

y = kx + b

Значит, оно имеет другой вид:

x = C

Действительно, у обеих точек (2; 7) и (2; 8) одинаковы абсциссы. Это значит, что прямая, проходящая через них, вертикальная. Коэффициент С как раз равен значению этой абсциссы, так что уравнение выглядит так:

x = 2

Ответ а) у = 1,5х + 3; б) у = 8; в) х = 2.

 

Задание. Найдите площадь треугольника MON, изображенного на рисунке, если известно, что M и N лежат на прямой, задаваемой уравнением:

Решение. ∆MON – прямоугольный, и для вычисления его площади нужно найти длины OM и ON. По рисунку видно, что М лежит на оси Ох, то есть у неё ордината нулевая:

yM = 0

Зная это, легко найдем и абсциссу М, ведь координаты М при их подстановке в уравнение прямой должны давать верное равенство:

Далее рассмотрим точку N. Она уже лежит на Оу, а потому у нее нулевой оказывается абсцисса:

Напомним, что площадь прямоугольного треугольника может быть вычислена по формуле:

 

Задачи на пересечение двух фигур

Метод координат помогает находить точки, в которых пересекаются те или иные геометрические фигуры. В большинстве случаев надо просто составить систему из уравнений, задающих эти фигуры, и найти их общее решение. В курсе алгебры мы уже рассматривали как решение простых, в основном линейных систем, так и решение более сложных, нелинейных систем. Рассмотрим несколько задач на эту тему.

 

Задание. Две прямые заданы уравнениями:

Определите, в какой точке они пересекаются.

Решение. Если точка пересечения прямых существует, то ее координаты являются решением каждого из двух уравнений. Таким, образом, нам надо просто решить систему:

Мы нашли единственное решение системы – это пара чисел (3; – 2). Эта же пара определяет координаты искомой нами точки.

Ответ: (3; – 2).

 

Задание. Найдите точки пересечения окруж-ти и прямой, если они задаются уравнениями

Решаем квадратное уравнение, используя дискриминант:

Мы нашли два различных значения у. Это значит, что прямая пересекается с окруж-тью в двух различных точках, а найденные нами числа – их ординаты. Отметим, что возможны случаи, когда корень только один (и тогда у окруж-ти с прямой одна общая точка, то есть они касаются), и когда корней вовсе нет (тогда окруж-ть и прямая не пересекаются). В нашем же примере осталось найти абсциссы точек. Для этого используем уравнение (3):

Получили в итоге пары точек (3; 8) и (6; 7), в которых заданная окруж-ть и прямая пересекаются.

Ответ: (3; 8) и (6; 7).

 

Задание. Две окруж-ти заданы уравнениями:

Для ее решения сначала раскроем скобки в обоих уравнениях и приведем подобные слагаемые:

Нам удалось выразить у через х. Теперь снова запишем одно из исходных уравнений окруж-ти, но заменим в нем у с помощью только что найденного выражения:

Мы нашли абсциссы точек пересечения окруж-тей, теперь можно вернуться к (1), чтобы найти и ординаты:

Получили точки (5; 2) и (4; 3).

Ответ:(5; 2) и (4; 3).

В конце решим одну задачу чуть более высокого уровня сложности.

 

Задание. К окруж-ти радиусом 5, чей центр совпадает с началом координат, построена касательная в точке (3; 4). Составьте уравнение этой касательной.

Решение. Сначала составим уравнение окруж-ти. Так как ее центр находится в начале координат, а радиус имеет длину 5, то оно примет вид:

Нам надо найти коэффициенты и d, а для этого надо составить какие-нибудь уравнения с этими переменными. Нам известно, что касательная проходит через точку (3; 4), а потому эти координаты можно подставить в (2):

Обратите внимание, что мы получили квадратное уравнение относительно переменной х. Если бы нам были известны и d, то мы смогли бы его решить, и тогда мы определили бы точки пересечения прямой и окруж-ти. В этой задаче и d нам неизвестны, но мы знаем, что окруж-ть и прямая касаются, то есть имеют ровно одну общую точку. Но тогда и квадратное уравнение (4) должно иметь только одно решение! Это означает, что его дискриминант равен нулю. Сначала выпишем коэффициенты квадратного уравнения, используемые при вычислении дискриминанта:

Теперь у нас есть два уравнения, (3) и (5), которые содержат только переменные k и d. Осталось лишь совместно решить их. Для этого подставим (3) в (5):

В рамках урока мы выяснили, как выглядят уравнения окруж-ти и прямой, а также научились решать несколько типовых заданий, в которых эти уравнения необходимо использовать. Хотя формулы, используемые при этом, могут показаться слишком сложными, главное – просто набить руку в их применении, решая как можно больше задач.

 

Уравнение прямой

Уравнение прямой обычно записывают так:

(или "y = mx + c" в Великобритании см. ниже)

Что это означает?


y = насколько выше

x = расстояние от

м = Наклон или градиент (насколько крутая линия)

b = значение y , когда x = 0

Как найти «м» и «б»?

  • b легко: просто посмотрите, где линия пересекает ось Y.
  • м (Уклон) требует расчета:
м = Изменение в Y Изменение в X

Зная это, мы можем составить уравнение прямой:

Пример 1

м = 2 1 = 2

b = 1 (значение y при x = 0)

Итак: y = 2x + 1

Теперь вы можете воспользоваться этим уравнением. ..

... выберите любое значение для x и найдите соответствующее значение для y

Например, когда x равно 1:

y = 2 × 1 + 1 = 3

Убедитесь сами, что x = 1 и y = 3 действительно на линии.

Или мы могли бы выбрать другое значение для x, например 7:

y = 2 × 7 + 1 = 15

Итак, когда x = 7, у вас будет y = 15

Положительный или отрицательный наклон?

Двигаясь слева направо, велосипедист должен пройти P по пролету P Угол наклона:

Пример 2

м = −3 1 = −3

b = 0

Это дает нам y = −3x + 0

Нам ноль не нужен!

Итак: y = −3x

Пример 3: Вертикальная линия

Какое уравнение представляет собой вертикальная линия?
Наклон undefined ... а где он пересекает ось Y?

Фактически, это особый случай , и вы используете другое уравнение, а не « y = . ..», а вместо этого используете « x = ...».

Как это:

x = 1,5

Каждая точка на линии имеет координату x 1,5 ,
, поэтому ее уравнение составляет x = 1,5

Взлет и бег

Иногда используются слова «взлетать» и «бегать».

  • Рост - насколько далеко вверх
  • Run - это расстояние вдоль

Итак, уклон «м» равен:

м = подъем пробег

Возможно, вам будет легче запомнить.

Другие формы

Мы смотрели на форму «наклон-пересечение». Уравнение прямой можно записать многими другими способами .

Еще одна популярная форма - это уравнение прямой и наклонной плоскости.

Сноска

Страна Примечание:

В разных странах учат разным "обозначениям" (прислал мне добрые читатели):

В США, Австралии, Канаде, Эритрее, Иране, Мексике, Португалии, Филиппинах и Саудовской Аравии обозначение: y = mx + b
В Великобритания, Австралия (также), Багамы, Бангладеш, Бельгия, Бруней, Болгария, Кипр, Египет, Германия, Гана, Индия, Индонезия, Ирландия, Ямайка, Кения, Кувейт, Малайзия, Малави, Мальта, Непал , Новая Зеландия, Нигерия, Оман, Пакистан, Перу, Сингапур, Соломоновы Острова, Южная Африка, Шри-Ланка, Турция, ОАЭ, Замбия и Зимбабве y = mx + c
В Афганистан, Албания, Алжир, Бразилия, Китай, Чешская Республика, Дания, Эфиопия, Франция, Ливан, Нидерланды, Косово, Кыргызстан, Норвегия, Польша, Румыния, Южная Корея, Суринам, Испания, Тунис и Вьетнам Нам: у = ах + Ь
В Азербайджане, Китае, Финляндии, России и Украине : y = kx + b
В Греция : ψ = αχ + β
В Италия : y = mx + q
В Япония : y = mx + d
В Куба и Израиль : y = mx + n
В Румыния : у = gA + C
В Латвии и Швеции : y = kx + m
В Сербии и Словении : y = kx + n
В вашей стране: сообщите нам!

. .. но все это означает одно и то же, только разные буквы.

c # - Рисование прямой из точек

Переполнение стека
  1. Около
  2. Продукты
  3. Для команд
  1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
  2. Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
  3. Вакансии Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
  4. Талант Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя
  5. Реклама Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира
  6. О компании

Загрузка…

Что такое прямая линия? (Определение, видео и примеры) // Репетиторы. com

Что такое прямая линия? (Определение, видео и примеры)


Хорошо, давайте проясним одну вещь ... прямую линию. Что может быть проще по геометрии, чем изящная, разреженная, прямая линия? (Честно говоря, точка на проще; совокупность точек составляет прямую линию.) Прямая линия может показаться банальной, но это немного сложнее, и даже можно замаскироваться.

Что вы узнаете:

Пройдя этот урок и видео, вы сможете:

  • Распознать и построить прямую
  • Определить особые виды прямых линий
  • Напомним свойства прямых
  • Напомним и назовите фигуры, полученные из прямых линий
  • Связать прямые с прямыми углами

Что такое прямая линия?

По определению, прямая линия - это совокупность всех точек между двумя точками и выходящих за их пределы.В большинстве геометрических форм линия - это примитивный объект, не имеющий формальных свойств, кроме длины, своего единственного измерения.

Два свойства прямых линий в евклидовой геометрии состоят в том, что они имеют только одно измерение, длину, и простираются в двух направлениях навсегда.

Свойства прямых

  • Одномерный
  • Может быть горизонтальным, вертикальным или диагональным
  • Оба конца расширяются в двух направлениях навсегда
  • Делает угол 180 градусов при рисовании угловой дуги от одной точки к другой

Что такое точка?

точек - простейшая фигура в геометрии.Это место в пространстве без измерения. У него нет ширины, объема, толщины, длины или глубины. Но когда у вас есть две точки, если вы соедините каждую точку между этими двумя точками, у вас будет прямая линия.

Точки на линии коллинеарны (col = "с," или "вместе" и линейная = "строка," или "строка" ). Для определения линии нужны только две точки.

Обозначение и определение прямых линий

Прямые линии называются любыми двумя точками на их длине. Обычно вы называете их слева направо. Вот линия AB:

[вставить чертеж линии AB]

Чтобы обозначить линию на письме, вы пишете две точки заглавными буквами и рисуете крошечную двуглавую линию над двумя буквами, например:

[вставьте изображение символа]

Как построить прямую

Прямая линия - одно из самых простых геометрических построений. С помощью листа чистой бумаги, карандаша и линейки вы можете легко построить линию:

  1. Нарисуйте на бумаге две точки на некотором расстоянии друг от друга; это Очки
  2. Используйте линейку, чтобы соединить две точки с помощью линии карандаша, и продлите линию далеко за обе точки
  3. Нарисуйте наконечники стрелок на концах проведенной линии

Отрезки линии и лучи

Прямые линии считаются бесконечными в двух направлениях по своей длине.Из-за этого вы редко используете чистые линии в повседневной геометрии. Берешь отрывки прямых:

  1. Сегмент линии - Сегмент линии - это сегмент или конечная часть бесконечной прямой линии
  2. Луч - Луч - это бесконечный отрезок прямой линии; он имеет одну точку происхождения, но продолжается в одном направлении навсегда

Вот сегмент линии CD:

[вставить чертеж линейного сегмента CD]

А вот луч EF:

[вставить чертеж луча EF]

Сегменты линии используются для построения сторон всех многоугольников.Лучи используются для создания углов. Сегменты линий и лучи являются частями или сегментами прямых линий.

А как насчет кривых?

Кривая не является прямой линией, так же как прямая линия не является кривой. Кривая линия содержит точки, которые не являются линейными по отношению к двум заданным точкам. Кривая перемещается в других направлениях от прямой линии, образованной соединением коллинеарных точек.

Направление прямых

Прямые линии могут быть горизонтальными , то есть перемещаться влево и вправо от места просмотра, навсегда.Прямые линии могут быть вертикальными , то есть подниматься выше и опускаться ниже точки обзора навсегда. Прямые линии могут иметь диагональ и , что означает любой угол, кроме горизонтального или вертикального.

Прямые линии могут быть одиночными или парами. Пары прямых линий могут проходить на параллельно друг к другу, никогда не приближаясь и не расходясь дальше друг от друга. Они обозначены символом ∥.

Пары прямых также могут пересекаться друг с другом под любым углом.Когда две прямые пересекаются под углом 90 °, они представляют собой перпендикуляр и , обозначенный символом ⊥.

Угол прямой

Прямые линии могут показаться другим рисунком, и наоборот. Прямой угол 180 ° - это прямая линия. Прямой угол состоит из двух лучей с общим концом. Поскольку два луча имеют общую конечную точку, и каждый луч продолжается в одном направлении бесконечно, единственным признаком того, что у вас есть прямой угол (а не прямая линия), могут быть три идентифицированные точки (вместо двух) вдоль фигуры:

[вставить чертеж прямого угла с тремя обозначенными точками слева, в центре и справа]

Краткое содержание урока

Теперь, когда вы изучили урок, вы можете распознать и построить прямую линию, определить особые виды прямых линий (горизонтальные, вертикальные, диагональные, параллельные и перпендикулярные линии), вспомнить свойства прямых линий, а также вспомнить и назовите фигуры, образованные из прямых линий, а именно отрезки и лучи.Вы также можете соотнести прямые линии с прямыми углами, образованными двумя лучами.

Следующий урок:

Рабочие листы на

линий и плоскостей ⋆ GeometryCoach.com

точек на линии и плоскости в геометрии - это урок, который многие учителя пропускают или пропускают, потому что они «предполагают» (в огромных кавычках), что ученики знают, что это за вещи, еще до того, как они получат к геометрии средней школы.

К сожалению, без хорошего понимания точек, линий и плоскостей для них почти невозможно понять более сложные вещи.

Большинство студентов думают, что точка - это то, что они действительно могут нарисовать. Они думают, что вы должны это увидеть. Они не понимают, что это место, а не точка на бумаге карандашом.

1.) Очки

Отличный способ начать рисовать линии и плоскости на уроке геометрии - это попросить их нарисовать точку либо на бумаге, либо попросить одного ученика нарисовать ее на доске. Они просят другого ученика измерить длину и длину острия линейкой.Они сделают это или попытаются сделать это и назовут реальные цифры.

Тогда вы их спрашиваете. Если у точки нет размеров, то как вы просто дали мне измерения? Здесь вы объясняете, что точка в геометрии - это местоположение. На самом деле вы не можете его нарисовать, потому что, как только вы положите карандаш на бумагу, вы сможете измерить его.

Это отличное место для перехода к объяснению того, что такое Измерения!

Очки не имеют размеров!

2. ) Строки

Линия имеет одно измерение. И снова вы не можете нарисовать один, потому что, когда вы кладете карандаш на бумагу, у него есть длина и ширина, вы можете измерить оба. Линии, которые вы на самом деле рисуете в классе геометрии, представляют собой линии. На самом деле мы их не видим. Линии используются для измерения расстояния. Отличный способ показать им это - взять действительно тонкий карандаш и действительно толстый маркер и попросить двух учеников нарисовать линии. Они будут визуально видеть толщину маркера.

Линии одномерные!

3.) Самолеты

Самолеты - вот где развлечься. Теперь вы говорите о космосе. Самолеты имеют длину и ширину и состоят из бесконечного множества линий, состоящих из бесконечного множества точек! Какая?

Плоскость - это плоская поверхность, у которой нет начала и конца в двух измерениях. Так можно ли его нарисовать? Нет!

Самолеты двухмерные!

Не сбивайте с толку то, что уже есть. Ваш урок по [Размеры] значительно уменьшит путаницу с этими тремя вещами. Чем лучше они понимают размеры, тем лучше они понимают точки, линии и плоскости.

Рисуйте прямые линии или выравнивайте объекты по линейке в PowerPoint

Вы можете управлять линейкой с помощью пальцев, мыши или нажатия клавиш.

Эта функция доступна в PowerPoint для Microsoft 365 и PowerPoint 2019.Если вы не видите линейку на ленте, см. Дополнительные сведения в разделе «Требования» ниже.

Включите вкладку Draw, чтобы увидеть линейку

  1. Открыть файл > Параметры .

  2. Коснитесь вкладки Настроить ленту в диалоговом окне «Параметры » .

  3. В поле в правой части диалогового окна установите флажок Draw .

  4. Нажмите ОК , чтобы закрыть диалоговое окно Параметры .

  5. Коснитесь вкладки Draw , и на ленте вы увидите линейку.

Нарисуйте линию или выровняйте элементы

  1. Выберите слайд, на котором вы хотите использовать линейку.

  2. Нажмите на линейку на вкладке Draw , чтобы он отображался на поверхности для рисования слайда.

  3. Расположите линейку под нужным углом.

    • Используйте одним пальцем для перемещения линейки вверх / вниз или влево / вправо.

    • Используйте двумя пальцами , чтобы повернуть линейку на нужный угол.

    • Используйте тремя пальцами , чтобы повернуть линейку с шагом в пять градусов.

  4. Чтобы нарисовать линию Коснитесь ручки или маркера на вкладке Draw и начните рисовать.

    Чтобы выровнять отдельные элементы Выберите каждый из них по очереди и перетащите объект, пока его маркер выбора не зафиксируется на линейке.

    Для одновременного выравнивания группы элементов. Выделите несколько элементов, нажав Ctrl, одновременно касаясь каждого элемента по очереди. Перетащите набор объектов, пока он не прикрепится к линейке.

    Фигура выравнивается по линейке на ее краю, тогда как объект, такой как значок, рисунок или текстовое поле, выравнивается по линейке на ее ограничивающем поле.

Управление линейкой с помощью мыши

Перемещайте линейку, щелкая и перетаскивая мышью. Чтобы прекратить перемещение линейки, отпустите кнопку мыши.

Поворачивайте линейку с шагом в один градус, поворачивая колесо прокрутки мыши. Линейка поворачивается туда, куда указывает указатель мыши. (Для вращения требуется колесо прокрутки мыши; оно не работает с трекпадами ноутбуков.)

Управление линейкой с клавиатуры

Если у вас нет сенсорного экрана или вы предпочитаете использовать клавиатуру, используйте эти комбинации клавиш для управления линейкой после того, как вы нажали кнопку линейки, чтобы активировать ее на поверхности слайда.

Для управления линейкой с клавиатуры:

  1. Нажмите на линейку на вкладке Draw , чтобы он отображался на поверхности для рисования слайда.

  2. Щелкните линейку мышью.

  3. Нажмите Shift + F6, чтобы войти в режим управления линейкой.

  4. Используйте сочетание клавиш для управления линейкой:

    Действие

    Клавиши

    Перемещение линейки вверх, вниз, влево или вправо

    Стрелка вверх, стрелка вниз, стрелка влево, стрелка вправо

    Поверните линейку с шагом 15 градусов

    Удерживая нажатой клавишу Alt, нажмите стрелку влево или вправо один раз для каждого приращения

    Левая стрелка вращает линейку против часовой стрелки; стрелка вправо вращает его по часовой стрелке.

    Поверните линейку с шагом в один градус

    Удерживая Alt + Ctrl, коснитесь стрелки влево или вправо один раз для каждого приращения *

    Левая стрелка вращает линейку против часовой стрелки; стрелка вправо вращает его по часовой стрелке.

    (Темно-серая рамка появляется по краям линейки, когда вы перемещаете ее, чтобы указать, что включен режим управления линейкой.)

    * Комбинация клавиш Alt + Ctrl + стрелка также может использоваться Windows для поворота монитора. Функция поворота монитора контролируется видеокартой компьютера. Если эта функция включена для вашего компьютера, она будет иметь приоритет над сочетанием клавиш линейки, и в результате дисплей вашего монитора будет повернут на 90 градусов, когда вы нажмете Alt + Ctrl + стрелка вправо или влево. Вы можете сбросить поворот монитора, нажав Alt + Ctrl + стрелка вверх.

    Если вы хотите использовать комбинацию клавиш для управления линейкой, отключите функцию поворота монитора, щелкнув правой кнопкой мыши рабочий стол компьютера и выбрав команду, например Graphics Properties или Graphics Options . Найдите команду Hot Keys и установите для нее значение Disabled . (Точное расположение и названия этих команд различаются в зависимости от производителя.) После того, как вы отключили функцию поворота монитора, комбинации клавиш Alt + Ctrl + стрелка можно использовать как на линейке, так и на фигурах, вставленных на слайды в PowerPoint.

Скрыть линейку

Требования к линейке

Эта функция работает на планшетах Windows, но не на телефонах Windows. См. Требования ниже для более подробной информации.

Провести линию или выровнять элементы

  1. Коснитесь слайда, на котором вы хотите использовать линейку.

  2. Нажмите на линейку на вкладке Draw , чтобы он отображался на поверхности для рисования слайда.

  3. Расположите линейку под нужным углом:

    • Используйте одним пальцем для перемещения линейки вверх / вниз или влево / вправо.

    • Используйте двумя пальцами , чтобы повернуть линейку на нужный угол.

    • Используйте тремя пальцами , чтобы повернуть линейку с шагом в пять градусов.

  4. Чтобы нарисовать линию Коснитесь ручки или маркера на вкладке Draw и начните рисовать.

    Чтобы выровнять отдельные элементы Выберите каждый из них по очереди и перетащите объект, пока его маркер выбора не зафиксируется на линейке.

    Одновременное выравнивание группы элементов Выделите несколько элементов, выбрав один, а затем нажав и удерживая его, последовательно касаясь других элементов другим пальцем. Перетащите набор объектов, пока он не прикрепится к линейке.

    Форма выравнивается по линейке на ее краю, тогда как объект, такой как значок , изображение , изображение или текстовое поле , выравнивается по линейке на его ограничивающей рамке.

Скрыть линейку

Требования к линейке

Эта функция доступна всем пользователям планшетов Windows.

Применимо к:

PowerPoint Mobile:
Версия 17.9330.20541

Операционная система:

Windows 10, версия 1709 или более поздняя
Найдите свою версию Windows

См. Также

Нарисуйте прямые линии или измерьте линейкой в ​​OneNote

Как рисовать прямые линии в Photoshop

Не существует «правильного» способа рисования линий в Photoshop - каждый художник и дизайнер со временем разрабатывает собственные методы и выбирает инструменты, которые им удобны.Независимо от того, используете ли вы инструмент «Линия», «Перо» или «Кисть», можно подойти к творческому проекту разными способами и при этом добиться тех же результатов. В этом практическом руководстве мы рассказали, как рисовать прямые линии в Photoshop, используя множество инструментов рисования, включенных в программное обеспечение.

Инструмент Line

Чтобы найти инструмент «Линия», щелкните и удерживайте указатель мыши над инструментом «Прямоугольник» на главной панели инструментов. Это вызовет подменю с дополнительными инструментами формы. Если у вас включен какой-либо из инструментов формы, вы также можете выбрать инструмент «Линия» в верхнем меню параметров.

Итак, почему линия считается инструментом формы? По сути, инструмент «Линия» просто создает тонкие прямоугольники, которые выглядят как линии, потому что цвета Заливки и Обводки одинаковы. Если вы хотите, чтобы линия выглядела полой (как прямоугольник), просто отключите цвет заливки.

Рисовать прямые линии легко с помощью инструмента «Линия»; просто щелкните и перетащите в любом направлении, чтобы создать новую линию. Если вы хотите нарисовать идеально горизонтальную или вертикальную линию, вы можете удерживать клавишу Shift во время перетаскивания, и Photoshop позаботится обо всем остальном.

Как только вы научитесь рисовать прямые линии в Photoshop, вы можете начать экспериментировать с некоторыми расширенными параметрами линий, чтобы создавать пунктирные или пунктирные линии. Чтобы получить доступ к этим параметрам, щелкните значок «Параметры обводки», расположенный в левой части панели параметров, а затем выберите «Дополнительные параметры». Здесь вы можете сохранить пользовательские предустановки линий, включить пунктирные линии и выбрать длину каждого штриха и пробела.

Кисть

Далее, инструмент «Кисть» столь же эффективен при рисовании прямых линий и предлагает большую универсальность, чем инструмент «Линия», если вы хотите создавать собственные стили кисти.Вы найдете инструмент «Кисть» на главной панели инструментов, расположенный в отдельной области от инструментов фигур.

Удерживая нажатой клавишу Shift, рисуйте с помощью инструмента «Кисть», чтобы создавать идеально прямые линии в любом направлении. Чтобы создать фигуру с несколькими линейными сегментами, вы можете удерживать Shift и нарисовать линию, отпустить мышь, снова удерживать Shift, а затем начать рисование с конечной точки последней линии, чтобы создать новый сегмент.

Как и инструмент «Линия», кисть имеет множество настроек обводки, которые можно настроить на верхней панели параметров, включая жесткость, непрозрачность и стиль кисти.Мы рекомендуем настроить эти параметры до того, как вы начнете рисовать какие-либо линии, потому что изменения не будут иметь обратной силы для любых мазков кисти, которые вы уже сделали.

Ваш комментарий будет первым

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *