Нажмите "Enter", чтобы перейти к содержанию

Построить кусочную функцию онлайн: Построение графиков кусочно-непрерывных функций | Онлайн калькулятор

Содержание

Как построить график кусочной функции

Кусочные функции — это функции, заданные разными формулами на разных числовых промежутках. Например,

Такая запись обозначает, что значение функции вычисляется по формуле √x, когда x больше или равен нулю. Когда же x меньше нуля, то значение функции определяется по формуле –x2. Например, если x = 4, то f(x) = 2, т. к. в данном случае используется формула извлечения корня. Если же x = –4, то f(x) = –16, т. к. в этом случае используется формула –x2 (сначала возводим в квадрат, потом учитываем минус).

Чтобы построить график такой кусочной функции, сначала строятся графики двух разных функций не зависимо от значения x (т. е. на всей числовой прямой аргумента). После этого от полученных графиков берутся только те части, которые принадлежат соответствующим диапазонам x. Эти части графиков объединяются в один. Понятно, что в простых случаях чертить можно сразу части графиков, опустив предварительную прорисовку их «полных» вариантов.

Для приведенного выше примера для формулы y = √x получим такой график:

Здесь x в принципе не может принимать отрицательных значений (т. е. подкоренное выражение в данном случае не может быть отрицательным). Поэтому в график кусочной функции уйдет весь график уравнения y = √x.

Построим график функции f(x) = –x2. Получим перевернутую параболу:

В данном случае в кусочную функции мы возьмем только ту часть параболы, для которой x принадлежит промежутку (–∞; 0). В результате получится такой график кусочной функции:

Рассмотрим другой пример:

Графиком функции f(x) = (0.6x – 0.5)2 – 1.7 будет видоизмененная парабола. Графиком f(x) = 0.5x + 1 является прямая:

В кусочной функции x может принимать значения в ограниченных промежутках: от 1 до 5 и от –5 до 0. Ее график будет состоять из двух отдельных частей. Одну часть берем на промежутке [1; 5] от параболы, другую — на промежутке [–5; 0] от прямой:

Наибольшее и наименьшее значение функции — Мегаобучалка

__ и достигается в любой точке вида x=__________

__ и достигается в любой точке вида x=__________

 

Непрерывность функции.

Функция __

 

Область значений.

______________

II. Построение графика функции

                                       
 
             
                                                       
                                                       
                                                       
                                                       

 

 

График функции — косинусоида



Упражнения:

1. Рассмотреть по учебнику графическое решение уравнения .

По аналогии решить уравнение

                                                                               
                                                                 
 
           
                                                                               
                                                                               
                                                                               
                                                         
 
                   
                                                                               
                                                                               
                                                                               
                                                                               
                                                                               

2. Построить и прочитать график кусочной функции

                                                       
                                                       
                                                       
                                                       
                                                       
                                                       

1. Область определения _________________________

2. Чётность, нечётность: _____________________________

3. Монотонность функции: ___________________________
4. Ограниченность функции: __________________________

5. Наибольшее и наименьшее значение функции.

__ и достигается в любой точке вида x=_______

__ и достигается в любой точке вида x=_______

6. Непрерывность функции:___________________________

7. Область значений _____________________________

 

Периодичность функций

Определение. Функцию , называют периодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого х из множества X выполняется двойное равенство ,гдеT — период функции .

 

Отсюда следует, что, поскольку для любого х справедливы равенства

Периодичность — это восьмое свойство функций синус и косинус
то, функции синус и косинус являются периодическими, причем число служит периодом этих функций.

 

 

Если функция имеет период Т, то для построения графика функции нужно сначала построить ветвь (волну, часть) графика на любом промежутке длины Т, а затем сдвинуть эту ветвь по оси х вправо и влево на Т, 2Т, ЗТ и т. д.

 

Упражнения:

1. На рисунке изображена часть графика периодической функции на отрезке [-1; 1], длина которого равна периоду функции. Постройте график функции:

а) на отрезке [1; 3];

б) на отрезке [-3; -1];

в) на отрезке [3; 7];

г) на всей числовой прямой.

Решение:

а) на отрезке [1; 3];

                                                       
                                                       
                                                       
                                                       
                                                       

 

б) на отрезке [-3; -1];

                                                       
                                                       
                                                       
                                                       
                                                       

 

в) на отрезке [3; 7];

                                                       
                                                       
                                                       
                                                       
                                                       

 

г) на всей числовой прямой.

                                                       
                                                       
                                                       
                                                       
                                                       

 

 

2. На рисунке изображена часть графика периодической функции на отрезке [0; 3], длина которого равна периоду функции. Постройте график функции:

а) на отрезке [3; 6];

б) на отрезке [-3; 0];

в) на отрезке [6; 12];

г) на всей числовой прямой.

Решение:

а) на отрезке [3; 6];

                                                       
                                                       
                                                       
                                                       

 

б) на отрезке [-3; 0];

                                                       
                                                       
                                                       
                                                       

 

в) на отрезке [6; 12];

                                                       
                                                       
                                                       
                                                       

 

г) на всей числовой прямой.

                                                       
                                                       
                                                       
                                                       

 

 

3. Является ли число 32 периодом функции у = sin x, у = cos х?

_______________________

_______________________А основным периодом? _______________________________

4. Постройте график периодической функции у = f(x) с периодом Т = 2, если известно, что на отрезке [-1; 1].

Решение:

                                                       
                                                       
                                                       
                                                       
                                                       

 

5. Постройте график периодической функции у = f(x) с периодом Т = 4, если известно, что на отрезке [-2; 2].

Решение:

                                                       
                                                       
                                                       
                                                       
                                                       
                                                       

 

6. Вычислите и запишите ответы:

sin 50,5 = sin390°=  
sin 25,25 = sin540°=  
sin 51,75 = cos750°=  
sin 29,5 = cos930°=  

 

Докажите тождество:

а) sin2 (х — 8 ) = 1 — cos2 (16 — х)

                                                     
                                                       
                                                       
                                                       

б) cos2 (4 + х) = 1 — sin2 (22 — х).

                                                       
                                                       
                                                       
                                                       

Функция ,

Её свойства и график.

I. Работа с учебником.

По соответствующему разделу учебника заполните следующие пункты.

 

Свойства функции тангенс:

1. Область определения. ______________

 

Периодичность.

Основной период функции равен ______________

Чётность, нечётность.

Функция тангенс является ___________________________

Доказательство:

                                                     
                                                     
                                                     
                                                     

 

4. Монотонность функции.Функция тангенс является возрастающей в интервале ___________________________ и убывающей в интервале ____________________________

 

Построение графика кусочной функции

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8

Задание №41. Построить график кусочной функции на отрезке [-10,10] с шагом 1.

 

1. Введите значения аргумента функции x от -10 до 10 с шагом 0,5 в диапазоне ячеек A1:A21.

2. В ячейке B1 c использованием функции ЕСЛИ вычислите значение функции y для первого значения аргумента.

 

 

3. Скопируйте формулу для вычисления всех остальных значений функции в диапазон ячеек B2:B21  и постройте с помощью точечной диаграммы график заданной кусочной функции.

 

Задание №42. Построить график кусочной функции на отрезке [-5,5] с шагом 0,5.

 

 

Для построения данного графика необходимо воспользоваться вложенной функцией Если.

1. Введите аргументы кусочной функции в диапазоне ячеек A1:A21.

2. Введите значение первого участка кусочной  функции с помощью функции Если:

— в поле Лог_выражение введите условие A1<2;

— в поле Значение_если_истина введите выражение A1-2.

 

3 Введите значение второго и третьего участков кусочной функции. Переместите курсор в поле Значение_если_ложь и вызовите еще одну функцию Если из списка функций в строке формул.

 

4. В окне функции Если введите условие для третьего участка функции, значение третьего участка и значение второго участка.

 

5. Постройте график кусочной функции.

Задание №43. Самостоятельно постройте график кусочной функции на отрезке    [-15;10] с шагом 0,5

 

                                                             

 

Контрольные вопросы

 

1. Какие способы загрузки MS Excel вам известны?

2. Укажите расположение основных элементов интерфейса: ленты, главного меню, панели быстрого запуска, строки состояния.

3. Как скрыть /отобразить ленту на экране?

4. Как сохранить созданный документ в заданной папке?

5. Как сохранить таблицу на диске после внесения изменений?

6. Как выделить ячейку, столбец, строку, диапазон не смежных ячеек?

7. Укажите все известные вам способы редактирования ячеек.

8. Как очистить значение, формат ячеек?

9. Как скопировать данные в пределах листа?

10. Как перенести содержимое ячеек из одного диапазона в другой?

11. Для чего служит строка формул, где она располагается?

12. Укажите расположение основных элементов интерфейса: кнопки Office, ленты, панели быстрого запуска.

13. С какого знака начинается занесение формулы в ячейку?

14. Как просуммировать значения диапазона ячеек?

15. Как записать функцию для определения среднего, максимального, минимального значения диапазона ячеек.

16. Логическая функция «Если». Правила записи функции.

17. Как установить абсолютные ссылки в формуле? Чем отличается относительная ссылка от абсолютной?

18. Как округлить значения в ячейке?

19. Как в ячейке установить для числа нужное количество десятичных знаков после запятой?

20. Как установить денежный формат для числа?

21. Как изменить ширину столбцов и высоту строк?

22. Как объединить несколько ячеек?

23. Как занести формулу в ячейку B5 Листа 3 для суммирования данных из ячейки D5 Листа 1 и ячейки F5 Листа 2?

24. Как написать текст в ячейках по вертикали?

25. Как включить перенос слов в ячейке?

26. Как удалить строку (столбец) в таблице?

27. Как вставить новую строку (столбец) в таблице?

28. Как выполнить обрамление ячеек? Назовите все известные вам способы?

29. Как изменить цвет фона в диапазоне ячеек?

30. Как изменить параметры шрифта: размер, гарнитуру и т.д.?

31. Как вставить новый лист?

32. Как удалить лист?

33. Как переименовать ярлык листа?

34. Как переместить или скопировать лист в пределах текущей рабочей книги в другую рабочую книгу?

35. Как можно создать диаграмму по данным таблицы?

36. Как можно построить график функции, кусочной функции?

37. Где можно разместить диаграмму?

38. Как отредактировать элементы диаграммы: изменить расположение легенды, изменить подписи данных?

39. Как отформатировать элементы диаграммы: изменить параметры шрифта заголовков диаграммы, как изменить заливку секторов диаграммы?

40. Как отсортировать данные в таблице по возрастанию, по убыванию? Назовите все известные вам способы.

41. Фильтрация записей. Как задать условие отбора? Что происходит с записями, не удовлетворяющими условию фильтрации.

42. Когда используется макрос? Как создать макрос? Как его удалить?

43. Как присвоить макросу комбинацию клавиш? Укажите все известные вам способы.

44. Как присвоить макросу кнопку?

45. Как посмотреть документ перед печатью?

46. Как установить параметры страницы табличного документа?

47. Как распечатать табличный документ? Назовите все известные способы.

48.

Список использованной литературы


 

1. Информатика: учеб. для студ. вузов по спец. 080801 «Прикладная информатика» / В. В. Трофимов [и др.] ; СПбГУЭиФ; под ред. В.В. Трофимова. — М. : Юрайт; ИД Юрайт, 2011. — 912с.

2. Баловсяк Н.В. Видеосамоучитель Office 2007/ Н. В. Баловсяк. — СПб.: Питер, 2008. — 320с.: ил. + CD.

3. Веденеева Е.А. Функции и формулы Excel 2007 / Е. А. Веденеева. – СПб.: Питер, 2008. – 384c.

4. Голышева А.В. Excel 2007 «без воды». Все, что нужно знать для уверенной работы / А. В. Голышева, В. Н. Корнеев. – СПб.: Наука и техника, 2008. – 188с.

5. Днепров А.Г. Видеосамоучитель Excel 2007/ А. Г. Днепров. – СПб.: Питер, 2008. — 202с.: ил. + CD.

 




И.С. Бурцев. Методическое пособие по GeoGebra построение графиков, исследование функций

1 И.С. Бурцев Методическое пособие по GeoGebra построение графиков, исследование функций 2

2 Оглавление Оглавление… 3 Введение… 4 Глава I. Основы работы с GeoGebra… 5 Запуск программы… 5 Строка ввода… 6 Примеры записи выражений… 7 Глава II. Построение графиков функций… 8 Построение графика функции f(x)=kx+b Построение графика квадратичной функции График кубической функции График функции f(x)=sin(x) График функции f(x)=cos(x) Логарифмическая функция Глава III. Исследование функций Изучение свойств функций в программе GeoGebra с помощью команд Изучение свойств функций в программе GeoGebra, отсутствующих в меню команд Касательная к графику функции Заключение Литература:

3 Введение Работа является учебным пособием на тему «Методическое пособие по GeoGebra: построение графиков, исследование функций». Она представляет собой практическое руководство по изучению возможностей динамической геометрической среде GeoGebra. Последовательное изучение тем позволит шаг за шагом освоить основные приемы работы в математической системе GeoGebra. Целью работы является разработка методического пособия по использованию динамической геометрической среды GeoGebra в образовательном процессе. Облегчить обучения школьников решению математических задач, а также ускорить процесс построения графиков на уроках математики и физики на персональном компьютере при помощи среды GeoGebra. В первую очередь предназначена для обучения учителей применению данной программы для построения графиков и исследования функций на персональном компьютере при помощи GeoGebra. Задачи и упражнения, приведенные в качестве примеров и практических заданий. Работа состоит из Введения, 3-х глав, Контрольных вопросов, Контрольных заданий с 15 вариантами, Заключения, Списка использованной литературы. Первая глава посвящена основным элементам программы GeoGebra. Во второй главе идет речь о процессе построения графиков различных функций. Третья глава посвящена исследованию функций. В четвертой главе речь пойдет о построение графиков. 4

4 Глава I. Основы работы с GeoGebra Рассмотрим более подробно программу GeoGebra, которая как нельзя лучше подходит для использования ее в процессе обучения. GeoGebra это свободная образовательная математическая программа, соединяющая в себе геометрию, алгебру и математические исчисления. Проще говоря, вы можете строить чертежи, используя точки, векторы, отрезки, линии и конусные сечения, а также другие функции, которые вы сможете впоследствии изменять, работая только с помощью мыши.2=25, и перечень команд, включая дифференциацию и интеграцию, — всё это в вашем распоряжении. Самой запоминающейся характеристикой GeoGebra является двойное отображение объектов, то есть каждое выражение в окне алгебры соответствует объекту в блокноте и наоборот. Запуск программы После запуска GeoGebra появляется окно, как показано ниже (Рисунок 1). С помощью чертежных инструментов (моделей), которые выбираются на панели инструментов, вы можете строить чертежи в блокноте, используя мышь. В это же время соответствующие координаты и уравнения отображаются в окне алгебры. Поле ввода текста используется для непосредственного ввода координат, уравнений, команд, функций; они сразу отображаются в блокноте после нажатия клавиши ввод (Enter). 5

5 Рисунок 1 Строка ввода Для построения графиков и исследования функций мы будем использовать строку ввода Строка ввода состоит из двух частей: непосредственно сама Строка ввода, а также Список команд (Рисунок 2) выпадающее меню, в котором можно выбрать команду для ввода из списка. Отображение Списка команд можно отключить в меню Вид. Рисунок 2 6

6 Так же на Строке ввода имеются выпадающие меню со специальными символами и обозначениями (Рисунок 3). Рисунок 3 И меню с буквами греческого алфавита (Рисунок 4). Рисунок 4 Примеры записи выражений 1. Для записи выражения sin α из первого выпадающего меню выбираем пункт sin(x), удаляем из скобок x и на его место вставляем символ α из второго меню. 2. При записи модуля и квадратного корня используются буквенные обозначения, пришедшие из языков программирования abs(x) и sqrt(x), которые можно также найти в первом выпадающем меню. 3. Число π можно найти сразу во всех двух меню. 7

7 Глава II. Построение графиков функций В программе GeoGebra график можно построить двумя способами: геометрическим (с помощью инструментов и команд) и алгебраическим (путем ввода формулы в командную строку).2+c. Получаем график: 12

12 Рисунок 13 График функции f(x)=sin(x) a) функция с заданными коэффициентами При построении графика функции f(x)=sin(x) вводим формулу в строку формул и получаем готовый график. Рисунок 14 13

13 b) функция с изменяемыми переменными Если же в основную формулу добавляются коэффициент и свободный член, то построение происходит по тому же алгоритму, что и в предыдущих функциях. Рассмотрим на примере функции f(x)=sin(а*x)+b. Строим два ползунка a и b, затем вводим формулу f(x)=sin(а*x)+b Рисунок 15 График функции f(x)=cos(x) a) функция с заданными коэффициентами Процесс построение графика функции f(x)=cos(x) в программе GeoGebra ничем не отличается от процесса построения графика функции f(x)=sin(x). Вводим формулу f(x)=cos(x), нажимаем клавишу Enter и смотрим получившийся график: Рисунок 16 14

14 b) функция с изменяемыми переменными Рассмотрим на примере функции f(x)=cos(а*x)+b. Строим два ползунка a и b, затем вводим формулу f(x)=cos(а*x)+b, после нажатия клавиши Enter появляется график: Рисунок 17 Логарифмическая функция 1) натуральный логарифм: a) функция с заданными коэффициентами Построим график функции f(x)=ln(x). 15

15 Рисунок 18 b) функция с изменяемыми коэффициентами Построим график функции f(x)=a*ln(b*x)+c. В данном случае мы взяли три коэффициента, соответственно нам понадобиться три ползунка, отвечающих за изменение значений этих коэффициентов. 16

16 Рисунок 19 2) десятичный логарифм a) функция с заданными коэффициентами Построим график функции f(x)=lg(x). 17

17 Рисунок 20 b) функция с изменяемыми коэффициентами Построим график функции f(x)=a*lg(b*x)+c. Рисунок 21 В ПРОЦЕССЕ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ, ФОРМУЛА ФУНКЦИИ ЗАПИСЫВАЕТСЯ ТОЛЬКО С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЛАТИНСКИХ БУКВ!!! 18

18 Глава III. Нажимаем Enter. На поле чертежей появится график функции f ( x) x 3 x 2 1. Для удобства можно сделать его цветным и увеличить его толщину. Для этого наводим на график курсор (график должен стать более жирным) и щелкаем правой клавишей мыши. В появившемся подменю выбираем (щелкаем на ней мышью) последнюю строку Свойства и в окошке Цвет щелкаем на нужном оттенке. Затем нажимаем на соседнее окно Размер и ведем курсором стрелочку в верхнем прямоугольнике, например, до цифры 5. Теперь нажимаем на рамочку со словом Закрыть. График изменил цвет и стал более жирным. 3. Теперь покажем на графике корни (нули) функции. Для этого используем команду Корень которую можно ввести самостоятельно в окно ввода данных, т.е. набрать Корень[f], или найти, используя список команд в правом нижнем углу Команды, регулируемый бегунком. Затем в квадратные скобки записать f. 4. Нажимаем Enter. На графике появились точки пересечения с осью ОХ. Определить абсциссы этих точек можно с помощью окна алгебры, в котором автоматически появляются координаты полученных точек. 5. Для нахождения точек экстремума функции используем команду Экстремум (находим ее в окне команд и щелкаем на ней мышью). В окне набора появится Экстремум []. Необходимо в квадратные скобки записать f. 19

19 6. Нажимаем Enter. На графике появились новые точки, которые можно выделить другим цветом (так как описано в пункте 2). 7. Команда ТочкаПерегиба поможет продемонстрировать точки перегиба фунции. Используем список команд в правом нижнем углу Команды, регулируемый бегунком. Выбрав соответствующую команду и щелкнув на ней, и вставив затем f, в окне набора в итоге должно быть записано ТочкаПерегиба [f]. 8. Нажимаем Enter. На графике появилась точка перегиба. Ее также можно выделить другим цветом, а также изменить размер. 9. Нахождение первой производной. Выбираем в меню Команд пункт Производная[] и в квадратных скобках указываем имя функции [f]. 10. Для графика первой производной находим корни (нули) функции для этого повторяем пункт Для нахождения второй производной повторяем пункт 9, но указываем имя функции не f, а f. 12. В окне алгебры можно увидеть все построенные точки и их координаты, которые будут также выделены тем цветом, что и сами точки на графике. 13. В результате получим следующую картинку (рис.). Рисунок 22 20

20 Изучение свойств функций в программе GeoGebra, отсутствующих в меню команд С помощью программы можно также показать и другие свойства функций. Рассмотрим некоторые из них и покажем, как можно их выделить на чертеже. 1. Промежутки, в которых функция принимает положительные и отрицательные значения, можно выделить на чертеже цветом. Покажем это на примере графика функции y ( x 1) 2 4 (вводить формулу можно в любом виде, в окне алгебры формула запишется так: 2 y x 2x 3). 2. Поставим точки пересечения графика с осью ОХ. Это можно сделать, как было описано выше с помощью команды Корень[f], а можно используя панель инструментов. Во втором квадрате выбираем вторую строку Пересечение двух объектов, и щелкаем последовательно на графике и на оси ОХ. Появляются две точки А и В, координаты которых записаны в окне алгебры (3). 3. Выделим полученные точки, например, зеленым цветом и увеличим их размер, для этого достаточно щелкнуть на одной из точек и вывести для нее подменю, в котором выбираем последнюю строку Свойства. Изменим цвет и размер сначала для одной точки, затем в левом окне подменю Объекты (в котором показаны все построенные объекты), щелкнем на второй точке и также изменим ее. 4. Выделим теперь промежуток, в котором функция принимает отрицательные значения. Выбираем третий квадрат на панели инструментов и в нем вторую строку Отрезок по двум точкам (отрезок, соединяющий две точки), которая проиллюстрирована соответствующим рисунком. И 21

21 последовательно нажимаем на точки А и В курсором (они становятся более яркими и крупными). Получился отрезок а (в окне алгебры автоматически появилась длина этого отрезка). 5. Выделим полученный отрезок, например, синим цветом. Для этого делаем активным первый квадрат на панели инструментов (операция Перемещать) и щелкаем на отрезке а, появится окошко, в котором будет два объекта (отрезок а и ось абсцисс). Выбираем отрезок а и еще раз щелкаем на нем. Появляется окно Свойства. Выбираем нужный оттенок и размер. 6. Можно скрыть название отрезка (а). Для этого тут же в свойствах выбираем первую задачу Основные и в нем вторую операцию Показывать обозначения, отменяем эту операцию (щелкаем на квадратике с галочкой, галочка должна исчезнуть). Затем нажимаем Закрыть. 7. Также выделяем другим цветом промежутки, в которых функция принимает отрицательные значения. В данном случае это будут два луча, поэтому выбираем в третьем квадрате четвертую строку Луч по двум точкам и нажимаем последовательно на точку А и затем на любую точку правее ее. Появится точка С и обозначение луча, которые можно скрыть, нажав на них правой клавишей мыши и в появившемся подменю для точки, щелкнуть на третьей строке Показывать объект (убрать галочку напротив этих слов). Также отмечаем луч с началом в точке В и выделяем полученные лучи нужным цветом с помощью свойств. 8. Для наглядности можно записать, что синим цветом выделен промежуток, в котором функция принимает отрицательные значения, а красным промежутки, в которых она принимает положительные значения. Для этого выбираем восьмой предпоследний квадрат на панели инструментов Надпись, который проиллюстрирован буквами АВС. Нажимаем на этом поле, а затем на поле чертежей. Появляется окно Текст. Теперь ставим курсор на поле выделенного прямоугольника и пишем y 0. Затем нажимаем внизу ОК. Текст появляется довольно мелкий, поэтому 22

22 изменяем его размеры и цвет. Выбираем последнюю строку Свойства и в появившемся окне щелкаем на третьем прямоугольнике Текст и ставим нужный размер, толщину и наклон, в четвертом прямоугольнике выбираем оттенок и нажимаем Закрыть. Затем также набираем текст y 0 и повторяем те же действия для нового текста. 9. Получаем следующую картинку: Рисунок 23 23

23 Касательная к графику функции Программа GeoGebra предоставляет возможность строить касательные к графикам различных функций. x 3. x 3x в точке 3 2 Построим касательную к графику функции Записываем поочередно в область ввода окно набора следующие команды и после каждой нажимаем клавишу Enter: 1.2 появится график данной функции. f x 0 (Enter). В результате в области чертежей 3. После построения графика в окне команд находим слово Касательная и нажимаем на нем левой клавишей мыши, оно появляется в окне набора. Теперь в квадратных скобках записываем [a,f], таким образом, вводим команду t=tangent[a,f]. (Enter). 4. График касательной построен (Рисунок 24). Рисунок 24 24

24 5. В окне алгебры (слева от области чертежей) появляется уравнение касательной к построенному графику. 25

25 Заключение В работе: приведено описание изучаемых команд GeoGebra по теме построение графиков и исследование функций; приведены примеры решения практических заданий с подробным пошаговым описанием действия команд GeoGebra на конкретных примерах; эти задания предназначены для выполнения студентами под руководством преподавателя; приведено 15 вариантов контрольных заданий, в которых 9 задач для самостоятельного выполнения студентами. 26

26 Литература: Исследование_функции

27 Вариант 1 1. Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -5;3], b [- 3;5] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-2 ;2 ], b [1 ;3 ], c [-3 ;5 ] Постройте график производной от функции: f(x) = x — 2x 4. Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ -2;4 ], d [ -5;5 ] 5. Постройте график функции: f(x)=sin3x. 6. Постройте график функции: f(x)=-cos(x). 7. Постройте график и исследуйте функцию: f x x 2 4x. 8. Постройте график и исследуйте функцию: f(x)=x 3 +5x. 9. Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : f(x)=-x -4x+2, х =-1. Вариант 2 1. Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -3;5], b [- 5;2] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-1 ;2 ], b [1 ;3 ], c [-3 ;5 ] 3 3. Постройте график производной от функции: f(x) = x + 8x 4. Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ -6;4 ], d [ -5;8 ] 5. Постройте график функции: f(x)=sin1/3x. 6. Постройте график функции: f(x)=cos(-x). 7. Постройте график и исследуйте функцию: f x x 2 3x. 8. Постройте график и исследуйте функцию: f(x)=x 3 3x

28 9. Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : f(x)=-x +6x+8, х =-2. Вариант 3 1. Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -4;3], b [- 1;2] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-4 ;5 ], b [1 ;5 ], c [-3 ;5 ] 3 3. Постройте график производной от функции: f(x) = x — 4x 4. Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ -3;4 ], d [ -2;3 ] 5. Постройте график функции: f(x)=sin(3x-π/2). 6. Постройте график функции: f(x)=2cos(x). 7. Постройте график и исследуйте функцию: f x x 2 2x. 8. Постройте график и исследуйте функцию: f(x)=x 3 +2x. 9. Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : Вариант 4 f(x)=x +5x+5, х = Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -1;3], b [- 5;2] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-7 ;5 ], b [-3 ;5 ], c [1 ;5 ] Постройте график производной от функции: f(x) = 2x — 9x +12x Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ -5;7 ], d [ -4;4 ] 5. Постройте график функции: f(x)=-sin3x

29 6. Постройте график функции: f(x)=-3cos(x). 7. Постройте график и исследуйте функцию: f x x 2 10x Постройте график и исследуйте функцию: f(x)=x 3 +10x Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : f(x)=2cosx, х = 2 Вариант 5 1. Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -4;5], b [1;4] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-5 ;0 ], b [0 ;5 ], c [1 ;5 ] Постройте график производной от функции: f(x) = x — x 4. Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ 2;7 ], d [0;4 ] 5. Постройте график функции: f(x)=-2sin(1/3x). 6. Постройте график функции: f(x)=½cos(x). 7. Постройте график и исследуйте функцию: f x x 2 5x Постройте график и исследуйте функцию: f(x)=3x 3 +5x Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : Вариант 6 f(x)=sinx, х =π 1. Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -5;3], b [- 3;5] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-2 ;2 ], b [1 ;3 ], c [-3 ;5 ] 3. Постройте график производной от функции: f(x) 1 3 = 2x 3 — x 30

30 4. Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ -2;4 ], d [ -5;5 ] 5. Постройте график функции: f(x)=sin(2x+π/3)-1,2. 6. Постройте график функции: f(x)=2cos(2x). 7. Постройте график и исследуйте функцию: f x x 2 x Постройте график и исследуйте функцию: f(x)= 2×3 2x Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : Вариант 7 f(x)=1-sin2x, х =0. 1. Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -3;5], b [- 5;2] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-1 ;2 ], b [1 ;3 ], c [-3 ;5 ] 3. Постройте график производной от функции: f(x) = 2x 3-3x 2-12x Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ -6;4 ], d [ -5;8 ] 5. Постройте график функции: f(x)=-sin(1/2x-π/6) Постройте график функции: f(x)=1/2cos(1/2x). 7. Постройте график и исследуйте функцию: f x 2x 2 4x Постройте график и исследуйте функцию: f(x)=x 3 4x Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : Вариант 8 1 f(x)= ; х =-2. x 3 1. Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -4;3], b [- 1;2] 31

31 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-4 ;5 ], b [1 ;5 ], c [-3 ;5 ] 3. Постройте график производной от функции: f(x) = 2x 3 + 9x 2 +12x Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ -3;4 ], d [ -2;3 ] 5. Постройте график функции: f(x)=2sin(2x+π/3)-1,5. 6. Постройте график функции: f(x)=cos(x)-1,5. 7. Постройте график и исследуйте функцию: f x 2x 2 3x Постройте график и исследуйте функцию: f(x)= 2x 3 +7x Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : Вариант 9 f(x)= 2+x-2x, x =1. 1. Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -1;3], b [- 5;2] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-7 ;5 ], b [-3 ;5 ], c [1 ;5 ] 3. Постройте график производной от функции: + 3x Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ -5;7 ], d [ -4;4 ] 5. Постройте график функции: f(x)=3sinx. 6. Постройте график функции: f(x)=cos(x-π/4). 7. Постройте график и исследуйте функцию: f x x/ 1 x Постройте график и исследуйте функцию: f(x)= x/(1+x 3 ). 9. Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : 2 x f(x)=, x =8. 2 f(x) = x 3 32

32 Вариант Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -4;5], b [1;4] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-5 ;0 ], b [0 ;5 ], c [1 ;5 ] 3. Постройте график производной от функции: 4. Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ 2;7 ], d [0;4 ] 5. Постройте график функции: f(x)=-2sinx. 6. Постройте график функции: f(x)=cos(2x-π/3). f(x) = x 3 + 3x 7. Постройте график и исследуйте функцию: f x x 2 8x Постройте график и исследуйте функцию: f(x)=x 3 8x Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : Вариант 11 f(x)= 5x -3x -7, x = Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -5;3], b [- 3;5] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-2 ;2 ], b [1 ;3 ], c [-3 ;5 ] Постройте график производной от функции: f(x) = x — 3x + 9x Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ -2;4 ], d [ -5;5 ] 5. Постройте график функции: f(x)=-3sin2x. 6. Постройте график функции: f(x)=cos(x-1) Постройте график и исследуйте функцию: f(x)= x Постройте график и исследуйте функцию: f(x)= 4x 3+ 2x

33 9. Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : f(x)= 3x -2lnx, x =2. Вариант Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -3;5], b [- 5;2] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-1 ;2 ], b [1 ;3 ], c [-3 ;5 ] 3. Постройте график производной от функции: f(x) 3 = — 2x 4. Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ -6;4 ], d [ -5;8 ] 5. Постройте график функции: f(x)=1/2sin3x. 6. Постройте график функции: f(x)=-2cos(2x+π/3). 7. Постройте график и исследуйте функцию: f ( x )=2x 2 8. Постройте график и исследуйте функцию: f(x)=5x 3 8x Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : 1 6 f(x)= x -x+14, x =1. 3 Вариант Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -4;3], b [- 1;2] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-4 ;5 ], b [1 ;5 ], c [-3 ;5 ] 3 3. Постройте график производной от функции: f(x) = x Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ -3;4 ], d [ -2;3 ] 34

34 5. Постройте график функции: f(x)=2sin(3x+ π/2). 6. Постройте график функции: f(x)=-1/2cos(3x-π/2) Постройте график и исследуйте функцию: f ( x )=2x 2 x Постройте график и исследуйте функцию: f(x)=2x 3 x Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : f(x)=2sinx+2, x =0. Вариант Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -1;3], b [- 5;2] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-7 ;5 ], b [-3 ;5 ], c [1 ;5 ] 3. Постройте график производной от функции: f(x) = (x — 3) 4. Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ -5;7 ], d [ -4;4 ] 5. Постройте график функции: f(x)=-sin(1/3x- π/6). 6. Постройте график функции: f(x)=ǀ cos(x)ǀ. 7. Постройте график и исследуйте функцию: f ( x )=3x 2 x 2). 8. Постройте график и исследуйте функцию: f(x)=x /(x 2). 9. Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : f(x)=4cosx-1, x =. 6 x 2 Вариант Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -4;5], b [1;4] 35

35 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-5 ;0 ], b [0 ;5 ], c [1 ;5 ] 2 4x (x — 2) 3. Постройте график производной от функции: f(x) = 2 4. Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ 2;7 ], d [0;4 ] 5. Постройте график функции: f(x)=-2sin(2x-2) Постройте график функции: f(x)=-1/2cos(2-x). 7. Постройте график и исследуйте функцию: f ( x)=(x 2,5)/(x2 4). 8. Постройте график и исследуйте функцию: f(x)=x 2,5/(x 3 5) 9. Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : f(x)= 2 x +3, x =4. 36

36 37

37 38

Табулирование функции в Excel: подробная инструкция

Табулирование функции представляет собой вычисление значения функции для каждого соответствующего аргумента, заданного с определенным шагом, в четко установленных границах. Эта процедура является инструментом для решения целого ряда задач. С её помощью можно локализовать корни уравнения, найти максимумы и минимумы, решать другие задачи. С помощью программы Excel выполнять табулирование намного проще, чем используя бумагу, ручку и калькулятор. Давайте выясним, как это делается в данном приложении.

Использование табулирования

Табулирование применяется путем создания таблицы, в которой в одной колонке будет записано значение аргумента с выбранным шагом, а во второй — соответствующее ему значение функции. Затем на основе расчета можно построить график.2+2x, хотя для процедуры табулирования может использоваться функция любого вида. Устанавливаем шаг (h) в размере 2. Граница от -10 до 10. Теперь нам нужно заполнить столбец аргументов, придерживаясь шага 2 в заданных границах.

  1. В первую ячейку столбца «x» вписываем значение «-10». Сразу после этого жмем на кнопку Enter. Это очень важно, так как если вы попытаетесь произвести манипуляцию мышкой, то значение в ячейке превратится в формулу, а в данном случае это не нужно.
  2. Все дальнейшие значения можно заполнить вручную, придерживаясь шага 2, но удобнее это сделать с помощью инструмента автозаполнения. Особенно этот вариант актуален, если диапазон аргументов большой, а шаг — относительно маленький.

    Выделяем ячейку, в которой содержится значение первого аргумента. Находясь во вкладке «Главная», кликаем по кнопке «Заполнить», которая размещена на ленте в блоке настроек «Редактирование».2+2*x

    При этом, вместо значения x подставляем координаты первой ячейки из столбца с аргументами. Жмем на кнопку Enter, чтобы вывести результат вычислений на экран.

  3. Для того, чтобы произвести вычисление функции и в других строках, снова воспользуемся технологией автозаполнения, но в данном случае применим маркер заполнения. Устанавливаем курсор в нижний правый угол ячейки, в которой уже содержится формула. Появляется маркер заполнения, представленный в виде небольшого по размеру крестика. Зажимаем левую кнопку мыши и протягиваем курсор вдоль всего заполняемого столбца.
  4. После этого действия вся колонка со значениями функции будет автоматически заполнена.

Таким образом, табуляция функции была проведена. На её основе мы можем выяснить, например, что минимум функции (0) достигается при значениях аргумента -2 и 0. Максимум функции в границах вариации аргумента от -10 до 10 достигается в точке, соответствующей аргументу 10, и составляет 120.

Урок: Как сделать автозаполнение в Эксель

Построение графика

На основе произведенной табуляции в таблице можно построить график функции.

  1. Выделяем все значения в таблице курсором с зажатой левой кнопкой мыши. Перейдем во вкладку «Вставка», в блоке инструментов «Диаграммы» на ленте жмем на кнопку «Графики». Открывается список доступных вариантов оформления графика. Выбираем тот вид, который считаем наиболее подходящим. В нашем случае отлично подойдет, например, простой график.
  2. После этого на листе программа выполняет процедуру построения графика на основе выделенного табличного диапазона.

Далее по желанию пользователь может отредактировать график так, как считает нужным, используя для этих целей инструменты Excel. Можно добавить названия осей координат и графика в целом, убрать или переименовать легенду, удалить линию аргументов, и т.д.

Урок: Как построить график в Эксель

Как видим, табулирование функции, в общем, процесс несложный. Правда, вычисления могут занять довольно большое время. Особенно, если границы аргументов очень широкие, а шаг маленький. Значительно сэкономить время помогут инструменты автозаполнения Excel. Кроме того, в этой же программе на основе полученного результата можно построить график для наглядного представления.

Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.
Опишите, что у вас не получилось. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.
Помогла ли вам эта статья?
ДА НЕТ

Построение графика кусочной функции

ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ СРЕДСТВАМИ POWER POINT

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КУСОЧНОЙ ФУНКЦИИ

ГРАФИК ФУНКЦИИ

Y

5

1

X

-5

ГРАФИК ФУНКЦИИ

y=|2(x-3) 2 -2| 1

Y

6

4

3

1

-2

X

ГРАФИК ФУНКЦИИ

Y

Y

1

X

7

4

3

СБОР ГРАФИКА

5

Y

4

2

1

-5

X

7

4

0 Выпукла вниз y min YY 6 5 2 X 0 -5 4 7 1 2 3 -∞ — ∞ «

ЧТЕНИЕ ГРАФИКА КУСОЧНОЙ ФУНКЦИИ

y наиб.

y наим.

ε (f)

Функция убывает

Функция возрастает

Y=0

D(f)

Выпукла вверх

y max

Y0

Выпукла вниз

y min

Y

Y

6

5

2

X

0

-5

4

7

1

2

3

-∞

— ∞

Y

6

5

X

1

3

4

2

7

-5

— ∞

— ∞

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

Y

1

X

0

1

2

-2

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

Y=x 2

Эффект построения линии графика

9

3

Используемые для этого эффекты

Преобразование графиков (сужение по горизонтали)

Y=2x 2

8

4

2

Используемые для этого эффекты

Преобразование графиков (растяжение по горизонтали)

Y=x 2 /2

8

4

2

2

4

Используемые для этого эффекты

Эффект «выцветание»

Y=-x 2

Используемые для этого эффекты

Перемещение графика

Y=(x-3) 2 -2

3

-2

Используемые для этого эффекты

Как осуществлялся сбор графика на предложенной презентации

Слайд с исследованием графика

Как эксперты ОГЭ проверяют номер 22 | Онлайн поневоле

Номер 22 в ОГЭ по математике- это задание повышенной сложности. Многие выпускники поступают к его решению, но очень-очень непросто получить 2 балла за его решение.

Почему?

При его решении выпускник должен показать понимание зависимости друг от друга: формулы, графика и названия функции. Любое нарушение — 0 баллов.

Вообще-то за верное решение каждого задания части 2 дают 2 балла. Но это задание состоит из двух частей: 1) постройте график; 2) дайте ответ на вопрос. Если график построен неверно, то 2) не оценивается.

Важно:

1) Нет ОДЗ или неверная ОДЗ — 0 баллов

2) нет названия кривой или названия функции — 0 баллов

3) В таблице значений (х;у) менее трех точек для каждой ветви гиперболы — 0 баллов; менее пяти точек параболы — 0 баллов

4) Если график просто страшный 0 баллов

Для кусочных функций важно прописать так называемую точку стыка в таблице для каждой! функции

Для параболы отсутствие выписанной вершины — 0 баллов

В задании с параметром (вторая часть этого задания) должна быть построена прямая (или прямые), которая удовлетворяет условию и подтверждает верный ответ. Иначе 0 баллов за эту часть задания.

Примеры оцененных работ:

0 баллов. Нет названия графика, нет выколотой точки

0 баллов. Нет названия графика, нет выколотой точки

1 балл. Хотя… График можно признать «страшным»

1 балл. Хотя… График можно признать «страшным»

0 баллов. Нет описания графика, не указано, что х не равен 0

0 баллов. Нет описания графика, не указано, что х не равен 0

0 баллов. Нет координат выколотой точки

0 баллов. Нет координат выколотой точки

0 баллов. Не описано построение графика

0 баллов. Не описано построение графика

0 баллов. Неверно построен график

0 баллов. Неверно построен график

2 балла

2 балла

2 балла

2 балла

0 баллов. ОДЗ неверно (знак совокупности неверно поставлен!)

0 баллов. ОДЗ неверно (знак совокупности неверно поставлен!)

===========

А здесь я писала о том, как эксперты проверяют номер 21 и как эксперты проверяют номер 20

Моделирование кусочно-определенной функции по ее графику — Krista King Math

Работать с графиком будем слева направо. Горизонтальная линия слева имеет ???y???-значение ???-3??? и включает все значения ???x??? в интервале ???x<-2??? (все действительные числа ???x???, которые меньше ???-2???). Для этого произведения мы пишем ???-3??? для функции (постоянная функция, значение которой равно ???-3???) и ???x<-2??? для своего домена.

Наклонная линия имеет наклон ???5/4??? и ???y???-перехват ???-1/2???.Чтобы увидеть, как получить наклон, обратите внимание, что точки ???(-2,-3)??? и ???(2,2)??? находятся на этой линии, поэтому

???y=\frac{5}{4}x-\frac{1}{2}???

Для этой части мы пишем

???f(x)=\frac{5}{4}x-\frac{1}{2}???

для функции и ???-2\le x\le 2??? для своего домена.

Горизонтальная линия справа имеет ???y???-значение ???2??? и включает все значения ???x??? в интервале ???x>2???. Для этой части мы пишем ???2??? для функции и ???x>2??? для своего домена.

Соединяя три части вместе, мы определяем эту кусочную функцию следующим образом:

???f(x) = \begin{cases} -3 & \quad x < -2 \\ \frac{5}{4} x-\frac12 & \quad -2 \leq x \leq 2\\ 2 & \quad x > 2 \end{case}???

Вам может быть интересно, как мы решаем, какая часть этой функции получает ???\le??? или ???\ge??? знак и какая часть получает ?????? подписать. Правда в том, что это не имеет значения, пока каждый ???x??? в область определения всей кусочной функции входит в область определения ровно одной ее части — и, конечно, что функция для этой части дает правильное значение ???f(x)???.Вы также можете написать это так:

???f(x)=\begin{cases}-3 & \quad x \leq -2 \\\frac{5}{4}x-\frac{1 {2} & \quad -2 < x <2\\2 & \quad x \geq 2\end{cases}???

Но это нельзя было записать как

???f(x)=\begin{cases}-3 & \quad x \leq -2 \\\frac{5}{4}x-\frac{1 {2} & \quad -2 \leq x \leq 2\\2 & \quad x \geq 2\end{case}???

потому что здесь ???-2??? входит в домены двух разных частей функции, как и ???2???.

Кусочно-определенные функции | Колледж алгебры

Результаты обучения

  • Запись кусочно определенных функций.
  • График кусочно определенных функций.

Иногда мы сталкиваемся с функцией, которая требует более одной формулы для получения заданного вывода. Например, в функциях инструментария мы ввели функцию абсолютного значения [latex]f\left(x\right)=|x|[/latex]. С доменом всех действительных чисел и диапазоном значений, большим или равным 0, абсолютное значение может быть определено как величина или модуль значения действительного числа независимо от знака.Это расстояние от 0 на числовой прямой. Все эти определения требуют, чтобы результат был больше или равен 0,

.

Если мы вводим 0 или положительное значение, вывод будет таким же, как ввод.

[латекс]f\left(x\right)=x\text{ если }x\ge 0[/латекс]

Если мы вводим отрицательное значение, вывод будет противоположен вводу.

[латекс]f\left(x\right)=-x\text{ если }x<0[/латекс]

Поскольку для этого требуются два разных процесса или части, функция абсолютного значения является примером кусочной функции.Кусочная функция — это функция, в которой используется более одной формулы для определения выходных данных для разных частей области.

Мы используем кусочные функции для описания ситуаций, в которых правило или отношение изменяются, когда входное значение пересекает определенные «границы». Например, в бизнесе мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда цена за единицу определенного товара снижается, когда количество заказанного товара превышает определенное значение. Налоговые скобки — еще один реальный пример кусочных функций.Например, рассмотрим простую налоговую систему, в которой доходы до [латекс]10 000 долларов[/латекс] облагаются налогом по ставке [латекс]10%[/латекс], а любой дополнительный доход облагается налогом по ставке [латекс]20\%[/латекс]. ]. Налог на общий доход, [латекс] S[/латекс] , будет [латекс]0,1 ш[/латекс], если [латекс]{S}\le$10 000[/латекс] и [латекс]1000 + 0,2 (с — 10 000 долларов США)[/latex] , если [латекс] S> 10 000 долларов США[/latex] .

A Общее примечание: кусочные функции

Кусочная функция — это функция, в которой для определения выходных данных используется более одной формулы.У каждой формулы есть свой домен, а домен функции представляет собой объединение всех этих меньших доменов. Обозначим эту идею так:

[латекс] f\left(x\right)=\begin{cases}\text{формула 1, если x находится в домене 1}\\ \text{формула 2, если x находится в домене 2}\\ \text{формула 3, если x находится в домене 3}\end{cases} [/latex]

В кусочной записи функция абсолютного значения равна

[латекс]|x|=\begin{cases}\begin{align}x&\text{ if }x\ge 0\\ -x&\text{ if }x<0\end{align}\end{cases} [/латекс]

Как сделать: учитывая кусочную функцию, напишите формулу и определите домен для каждого интервала.


  1. Определите интервалы, для которых применяются разные правила.
  2. Определите формулы, описывающие, как вычислить выход из входа в каждом интервале.
  3. Используйте фигурные скобки и операторы if для записи функции.

Пример: запись кусочной функции

Музей взимает 5 долларов США с человека за экскурсию с группой от 1 до 9 человек или фиксированную плату в размере 50 долларов США за группу из 10 и более человек. Напишите функцию , связывающую количество людей [latex]n[/latex] со стоимостью [latex]C[/latex].

Показать решение

Потребуются две разные формулы. Для значений [latex]n[/latex] меньше 10 [latex]C=5n[/latex]. Для значений [latex]n[/latex], равных 10 и более, [latex]C=50[/latex].

[латекс]C(n)=\begin{cases}\begin{align}{5n}&\hspace{2mm}\text{if}\hspace{2mm}{0}<{n}<{10}\ \ 50&\hspace{2mm}\text{if}\hspace{2mm}{n}\ge 10\end{align}\end{cases}[/latex]

Анализ раствора

График представляет собой диагональную линию от [latex]n=0[/latex] до [latex]n=10[/latex] и константу после нее.В этом примере две формулы совпадают в точке встречи, где [latex]n=10[/latex], но не все кусочные функции обладают этим свойством.

Пример: работа с кусочной функцией

Компания сотовой связи использует приведенную ниже функцию для определения стоимости [latex]C[/latex] в долларах за [latex]g[/latex] гигабайт передачи данных.

[латекс]C\left(g\right)=\begin{cases}\begin{align}{25} \hspace{2mm}&\text{ if }\hspace{2mm}{ 0 }<{ g }< { 2 }\\ { 25+10 }\left(g - 2\right) \hspace{2mm}&\text{ if }\hspace{2mm}{ g}\ge{ 2 }\end{align}\end {случаи}[/латекс]

Найдите стоимость использования 1.5 гигабайт данных и стоимость использования 4 гигабайт данных.

Показать решение

Чтобы найти стоимость использования 1,5 гигабайт данных, [latex]C(1.5)[/latex], мы сначала смотрим, к какой части домена относятся наши входные данные. Поскольку 1,5 меньше 2, мы используем первый формула.

[латекс]C(1.5) = 25 долларов[/латекс]

Чтобы найти стоимость использования 4 гигабайт данных, [latex]C(4)[/latex], мы видим, что введенное значение 4 больше, чем 2, поэтому мы используем вторую формулу.

[латекс]C(4)=25 + 10(4-2) =45$[/латекс]

Анализ раствора

Мы можем видеть, где функция меняется от постоянной к смещенной и растянутой идентичности в [latex]g=2[/latex].Мы строим графики для различных формул на общем наборе осей, следя за тем, чтобы каждая формула применялась в соответствующей области.

Как сделать: учитывая кусочную функцию, нарисуйте график.

  1. Укажите на оси [latex]x[/latex] границы, определяемые интервалами на каждой части домена.
  2. Для каждой части области постройте график на этом интервале, используя соответствующее уравнение, относящееся к этой части. Не изображайте две функции на одном интервале, потому что это нарушит критерии функции.{2} \hspace{2mm}&\text{ if }\hspace{2mm}{ x }\le{ 1 }\\ { 3 } \hspace{2mm}&\text{ if }\hspace{2mm} { 1 }&lt{ x }\le 2\\ { x } \hspace{2mm}&\text{ if }\hspace{2mm}{ x }&gt{ 2 }\end{align}\end{cases}[/latex]

    Показать решение

    Каждая функция компонента взята из нашей библиотеки функций инструментария, поэтому мы знаем их форму. Мы можем представить график каждой функции, а затем ограничить график указанной областью. В конечных точках домена мы рисуем открытые кружки, чтобы указать, где конечная точка не включена из-за неравенства меньше или больше; мы рисуем замкнутый круг, где конечная точка включена из-за неравенства «меньше или равно» или «больше или равно».{2}\text{ если }x\le 1[/latex]; (b) [латекс]f\left(x\right)=3\text{, если 1< }x\le 2[/latex]; (c) [латекс]f\left(x\right)=x\text{, если }x>2[/latex]

    Теперь, когда мы нарисовали каждую деталь по отдельности, мы объединим их в одной координатной плоскости.

    Анализ раствора

    Обратите внимание, что график проходит тест вертикальной линии даже при [латексе]x=1[/латексе] и [латексе]х=2[/латексе], потому что точки [латекс]\левый(1,3\правый)[ /latex] и [latex]\left(2,2\right)[/latex] не являются частью графика функции, хотя [latex]\left(1,1\right)[/latex] и [latex ]\left(2,3\right)[/latex].{3} \hspace{2mm}&\text{ if }\hspace{2mm}{ x }&lt{-1 }\\ { -2 } \hspace{2mm}&\text{ if } \hspace{2mm}{ -1 }&lt{ x }&lt{ 4 }\\ \sqrt{x} \hspace{2mm}&\text{ if }\hspace{2mm}{ x }&gt{ 4 }\end{align}\end{cases }[/латекс]

    Показать решение

     

    Попробуйте

    Вы можете использовать онлайн-инструмент для построения графиков кусочно-определенных функций. Посмотрите это обучающее видео, чтобы узнать, как это сделать.

    Постройте график следующей кусочной функции с помощью графического онлайн-инструмента.{3} \hspace{2mm}&\text{ if }\hspace{2mm}{ x }&lt{-1 }\\ { -2 } \hspace{2mm}&\text{ if } \hspace{2mm}{ -1 }&lt{ x }&lt{ 4 }\\ \sqrt{x} \hspace{2mm}&\text{ if }\hspace{2mm}{ x }&gt{ 4 }\end{align}\end{cases }[/латекс]

    Вопросы и ответы

    Можно ли применить более одной формулы кусочной функции к значению в области?

    Нет. Каждое значение соответствует одному уравнению в кусочной формуле.

     

    Поддержите!

    У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.

    Улучшить эту страницуПодробнее

    Определение и запись кусочных функций

    Результаты обучения

    • Определение кусочной функции
    • Вычисление кусочной функции
    • Напишите кусочную функцию для данного приложения

    Кусочная функция — это функция, в которой используется более одной формулы для определения выходных данных по разным частям области.

    Мы используем кусочные функции для описания ситуаций, когда правило или отношение изменяются, когда входное значение пересекает определенные «границы».«Например, мы часто сталкиваемся с ситуациями в бизнесе, когда стоимость за штуку определенного товара снижается, когда количество заказанного товара превышает определенное значение. Налоговые скобки — еще один реальный пример кусочных функций. Например, рассмотрим простую налоговую систему, в которой доходы до [латекс]10 000 долл. США[/латекс] облагаются налогом [латекс]10\%[/латекс], а любой дополнительный доход облагается налогом [латекс]20\%[/латекс]. . Налог на общий доход, S, будет [латекс]0,1[/латекс]S, если [латекс]S\le[/латекс] [латекс]10 000 долларов США[/латекс] и [латекс]1000 + 0.2 (S — 10 000 долларов)[/латекс], если S > [латекс] 10 000 долларов[/латекс].

    Кусочная функция

    Кусочная функция — это функция, в которой для определения выходных данных используется более одной формулы. У каждой формулы есть свой домен, а домен функции представляет собой объединение всех этих меньших доменов. Обозначим эту идею так:

    [латекс] f\left(x\right)=\begin{cases}\text{формула 1, если x находится в домене 1}\\ \text{формула 2, если x находится в домене 2}\\ \text{формула 3, если x находится в домене 3}\end{cases} [/latex]

    В кусочной записи функция абсолютного значения равна

    [латекс]|x|=\begin{cases}x\text{ if }x\ge 0\\ -x\text{ if }x<0\end{cases}[/latex]

    Вычисление кусочно-определяемой функции

    В первом примере мы покажем, как вычислить кусочно определенную функцию.Обратите внимание, как важно обращать внимание на домен, чтобы определить, какое выражение использовать для оценки ввода.

    Пример

    Учитывая функцию [латекс]f(x)=\begin{cases}7x+3\text{ if }x<0\\7x+6\text{ if }x\ge{0}\end{cases}[ /латекс], оценить:

    1. [латекс]f (-1)[/латекс]
    2. [латекс]f (0)[/латекс]
    3. [латекс]f (2)[/латекс]
    Показать решение

    1. [латекс]f(x)[/латекс] определяется как [латекс]7x+3[/латекс] для [латекс]х=-1\текст{, потому что }-1<0[/латекс].

    Оценка: [латекс]f(-1)=7(-1)+3=-7+3=-4[/латекс]

    2. [латекс]f(x)[/латекс] определяется как [латекс]7x+6[/латекс] для [латекс]х=0\текст{ потому что }0\ge{0}[/латекс].

    Оценка: [латекс]f(0)=7(0)+6=0+6=6[/латекс]

    3. [латекс]f(x)[/латекс] определяется как [латекс]7x+6[/латекс] для [латекс]х=2\текст{ потому что }2\ge{0}[/латекс].

    Оценка: [латекс]f(2)=7(2)+6=14+6=20[/латекс]

    В следующем видеоролике показано, как вычислить несколько значений по кусочно-определенной функции.

    В следующем примере показано, как оценить функцию, моделирующую стоимость передачи данных для телефонной компании.

    Пример

    Компания сотовой связи использует приведенную ниже функцию для определения стоимости [latex]C[/latex] в долларах за [latex]g[/latex] гигабайт передачи данных.

    [латекс]C\left(g\right)=\begin{cases}{25}\text{ if }{ 0 }<{ g }<{ 2 }\\ 10g+5\text{ if }{ g} \ge{ 2 }\end{случаи}[/latex]

    Найдите стоимость использования [латекса]1.5[/latex] гигабайт данных и стоимость использования [latex]4[/latex] гигабайт данных.

    Показать решение

    Чтобы определить стоимость использования [latex]1,5[/latex]гигабайт данных, C[latex](1.5)[/latex], мы сначала смотрим, к какой части домена относятся наши входные данные. Поскольку [латекс]1,5[/латекс] меньше, чем [латекс]2[/латекс], мы используем первую формулу.

    [латекс]C(1.5) = 25 долларов[/латекс]

    Чтобы найти стоимость использования [latex]4[/latex] гигабайт данных, C[latex](4)[/latex], мы видим, что наш ввод [latex]4[/latex] больше, чем [latex]4[/latex] ]2[/latex], поэтому используем вторую формулу.

    [латекс]C(4)=10(4)+5=45$[/латекс]

    Функция из предыдущего примера представлена ​​на графике ниже. Мы можем видеть, где функция изменяется от постоянной до прямой с положительным наклоном при [latex]g=2[/latex]. Мы строим графики для различных формул на общем наборе осей, следя за тем, чтобы каждая формула применялась в соответствующей области.

     Написать кусочно-определяемую функцию

    В последнем примере мы покажем, как написать кусочно-определенную функцию, которая моделирует стоимость экскурсии по музею.

    Пример

    Музей взимает [латекс]5 долларов[/латекс] с человека за экскурсию для группы от [латекс]1[/латекс] до [латекс]9[/латекс] человек или фиксированную плату в размере 50 долларов США за группу [ латекс]10[/латекс] и более человек. Напишите функцию , связывающую количество людей [latex]n[/latex] со стоимостью [latex]C[/latex].

    Показать решение

    Потребуются две разные формулы. Для n -значения ниже [латекс]10[/латекс], [латекс]C=5n[/латекс]. Для значений n, равных [latex]10[/latex] или больше, [latex]C=50[/latex].

    [латекс]C(n)=\begin{cases}{5n}\text{ if }{0}<{n}<{10}\\ 50\text{ if }{n}\ge 10\end{ чехлы}[/латекс]

    Ниже показан график функции для предыдущего примера. График представляет собой диагональную линию от [latex]n=0[/latex] до [latex]n=10[/latex] и константу после нее. В этом примере две формулы совпадают в точке встречи, где [latex]n=10[/latex], но не все кусочные функции обладают этим свойством.

    В следующем видео мы показываем пример того, как написать кусочно-определяемую функцию с учетом сценария.

    Как: Для кусочной функции напишите формулу и определите домен для каждого интервала


    1. Определите интервалы, в которых применяются разные правила.
    2. Определите формулы, описывающие, как вычислить выход из входа в каждом интервале.
    3. Используйте квадратные скобки и операторы «если» для записи функции.

    Резюме

    • Кусочная функция — это функция, в которой используется более одной формулы для определения выходных данных для разных частей области.
    • Вычисление кусочной функции означает, что вам необходимо обратить пристальное внимание на правильное выражение, используемое для данного входа.

    Кусочные функции – определение, график и примеры 

    Есть случаи, когда выражение для функций зависит от заданного интервала входных значений. Когда это происходит, мы называем эти типы функций кусочно-определенными функциями .

    Кусочные функции определяются разными функциями на разных интервалах области.

    На самом деле мы применяем кусочные функции в нашей жизни чаще, чем нам кажется. Налоговые скобки, оценка наших тарифных планов мобильных телефонов и даже наша зарплата (с оплатой сверхурочных) используют кусочные функции.

    Поэтому для этой функции мы выделили специальный артикул. В этой статье вы узнаете следующее:

    • Определение кусочной функции.
    • Научиться вычислять кусочно-определенные функции на заданных интервалах.
    • Графики и интерпретация кусочных функций.

    Что такое кусочная функция?

    Чтобы полностью понять, что такое кусочно-определенные функции и как мы можем построить наши собственные кусочно-определенные функции, давайте сначала углубимся в понимание того, как это работает.

    Определение кусочной функции

    Кусочная функция — это функция, которая определяется различными формулами или функциями для каждого заданного интервала. Это также в названии: шт. Функция определяется фрагментами функций для каждой части домена .

    2x, при x > 0

    1, при x = 0

    -2x, при x < 0

    Как видно из приведенного выше примера, f(x) является кусочной функцией, поскольку она определяется однозначно для трех интервалов: x > 0, x = 0 и x < 0.

    Как читать кусочные функции?

    Получив заданную кусочно-определенную функцию, мы можем интерпретировать ее, рассматривая заданные интервалы. Если мы посмотрим на наш пример, мы можем прочитать его как:

    • Когда x > 0, f(x) равно 2x.
    • Когда x = 0, f(x) равно 1.
    • Когда x < 0, f(x) равно -2x.

    При задании графика кусочной функции обязательно соблюдайте заданные интервалы, где f(x) имеет различные графики. Но прежде чем мы попробуем примеры, которые включают анализ графиков кусочных функций, давайте продолжим и узнаем, как мы можем сначала оценить и построить график кусочных функций.

    Как решать кусочные функции?

    Теперь, когда мы узнали об этой уникальной функции, как нам убедиться, что мы возвращаем правильное значение для функции, заданной x ? Вот советы, которые следует помнить при решении и вычислении кусочных функций:

    • Дважды проверьте, где x находится в заданном интервале.
    • Оцените значение с помощью соответствующей функции.

    Допустим, мы хотим найти f(8) , используя показанную нами кусочную функцию.

    2x, для x > 0

    1, для x = 0

    -2x, для x < 0

    Поскольку 8 больше 0, функция, которую мы будем использовать для вычисления f(8) , равна f(x) = 2x . Следовательно, мы имеем f(8) = 2(8) = 16 . Это также означает, что f(-6) = -2(-6) = 12 и f(0) = 1 .

    Как построить график кусочных функций?

    Как мы уже упоминали ранее, кусочные функции содержат разные функции для каждого из заданных интервалов. Это означает, что при графическом отображении кусочных функций предполагается также графическое отображение различных функций для каждого интервала .

    Вот несколько быстрых напоминаний при построении графика кусочных функций:

    • Это помогает определить, как будет выглядеть каждая функция.
    • Для инклюзивных интервалов (т. е. x ≥ 0), включая конечные точки.
    • Для исключающих интервалов (т. е. x < 0) исключайте конечные точки, используя незакрашенные точки.

    Каковы общие функции, с которыми вы можете столкнуться при построении графика кусочных функций? Вот некоторые ресурсы, и не стесняйтесь проверить ссылки, чтобы освежить свои знания о некоторых часто используемых графиках:

    Это не единственные функции, которые могут использовать кусочные функции, поэтому обязательно проверьте библиотеку функций вашего учебника. всякий раз, когда вам нужно. Попробуем построить график кусочной функции, приведенной в первом разделе.

    2x, для x > 0

    1, для x = 0

    -2x, для x < 0

    Когда x > 0 и x < 0, f(x) возвращает линейную функцию . Найдите по крайней мере две пары точек, удовлетворяющих каждой функции, и используйте их для построения двух линейных графиков.

    Поскольку оба неравенства являются исключающими, мы оставляем точку в начале координат незаполненной. Теперь у нас осталось условие, когда x = 0. Поскольку значение постоянно при f (x) = 1, давайте нанесем точку в (0,1).

    Этот график возвращает окончательный график для данной кусочной функции. Из графика видно, что f(x) имеет домен и диапазон (-∞, ∞) и [0, -∞) соответственно.

    Мы рассмотрели все основные свойства и методы, которые мы можем использовать с кусочными функциями, поэтому пришло время проверить наши знания на этих примерах!

    Пример 1

    Оцените данную кусочную функцию при данных значениях x , как показано ниже.

    √x , для x > 0

    5, для x = 0

    x/6, для x < 0

         a. f(-36)

         б. f(0)

         c. f(49)

    Решение

    • Когда x = -36 (или меньше 0), выражение для f(x) равно x/6 . Давайте оценим f(-36) , используя выражение. Следовательно, мы имеем f(-36) = -36/6 = -6 .
    • Когда x = 0, f(x) является константой . Это означает, что у нас есть f(0) = 5 .
    • Когда x = 49 (и, следовательно, больше 0), выражение для f(x) равно x . Давайте оценим f(49) , используя выражение. Следовательно, мы имеем f(49) = 49 = 7 .

    Пример 2

    Постройте график кусочной функции, показанной ниже. Используя график, определите его домен и диапазон.

    2x , для x ≠ 0

    1, для x = 0 функция).Чтобы построить график линейной функции, мы можем использовать две точки для соединения линии. Просто убедитесь, что две точки удовлетворяют y = 2x . Не забудьте оставить точку происхождения незаполненной.

    Поскольку f(x) = 1 , когда x = 0 , мы наносим закрашенную точку на (0,1). На приведенном выше графике показан окончательный график кусочной функции.

    Поскольку граф охватывает все значения x, областью определения будет все действительные числа или  (-∞, ∞). То же самое относится и к диапазону функций.Поскольку она распространяется в обоих направлениях, диапазон функции равен (- , ) в интервальной нотации .

    Пример 3

    Постройте график кусочной функции, показанной ниже. Используя график, определите его домен и диапазон.

    x 2  , для x ≤ 0

    5, для 0 < x < 2

    x/2 , для x ≥ 2 функции будет выглядеть так:

    • Когда x ≤ 0, f(x) становится квадратичной функцией с параболой, проходящей через начало координат и (-2, 4).Поскольку это применимо только для 0 и отрицательных чисел, мы получим только половину параболы.
    • Когда 0 < x < 2, f(x) будет представлять константу, которая представляет собой горизонтальную линию, проходящую через y = 5 . Обязательно оставьте (0,5) и (2,5) незаполненными, так как они не являются частью решения.
    • Когда x ≥ 2, f(x) является функцией и проходит через (2, 1) и (6,3).

    Используя эту информацию, мы можем построить график f(x) .

    На изображении выше показаны три компонента кусочной функции.Давайте продолжим и упростим этот график, чтобы мы могли проанализировать его домен и диапазон.

    Поскольку все значения x простираются в обоих направлениях, областью определения будет все действительные числа или  (-∞, ∞). Поскольку график охватывает только значения y выше оси x, диапазон функции равен [0, ) в интервальной нотации .

    Пример 4

    В близлежащем кафе проводится устная поэзия.Они берут 6 долларов с человека за стол от 1 до 5 человек. Они также предлагают фиксированную плату в размере 50 долларов за стол с 6 или более людьми. Напишите функцию, которая связывает количество людей x и стоимость посещения мероприятия f(x) .

    Решение

    Давайте разберем задачу и найдем выражение f(x) для каждого интервала:

    • Для стола от 1 до 5 гостей мы можем выразить это как 1 ≤ x ≤ 5 по x.Поскольку это будет стоить каждому гостю 6 долларов, общее количество гостей для x составит 6x .
    • Теперь для стола с 6 или более людьми мы можем выразить интервал как x ≥ 6. Для этого интервала f(x) будет всегда равно 60 .

    Теперь мы можем суммировать это в кусочную функцию:

    6x, для 1 ≤ x ≤ 5

    50, для x ≥ 6

    Эта кусочная функция представляет стоимость f(x) для x количество гостей.

    Кусочная функция | Как построить график кусочных функций?

    Введение

    Некоторые функции определяются по-разному в разных частях своей области и, таким образом, более естественно выражаются в терминах более чем одной формулы. Назовем такую ​​функцию кусочно-функция или кусочно-определенная функция . Кусочные функции будут нам полезны при изучении пределов, непрерывности и производной как примеры и контрпримеры функций, обладающих определенными свойствами.

    Если вы не находите достаточно времени, чтобы прочитать эту статью за одно чтение, не забудьте ЗАКЛАДКА эту страницу для будущего насыщения, если вы не хотите пропустить этот полезный контент.

    Примеры: как построить график кусочно-определяемой функции?

    Пример №1

    Пусть f будет функцией, заданной формулой;

    \[ f(x) = \begin{case} х-1, \текст{ если } х <3 \\ 5, \text{ если } x =3 \\ 2x+1 , \text{ если } 3 < x \end{случаи} \]

    Определить область определения и область значений f и начертить ее график .

    Решение:-

    Область определения f равна (-∞, +∞), на следующем рисунке показан график f;

    состоит из части прямой y=x-1, для которой x<3, точки (3,5) и части прямой y = 2x+1, для которой 3

    Пример №2

    Пусть g будет функцией, заданной формулой;

    \[ f(x) = \begin{case} 3x-2, \text{ если } x < 1 \\ х^2, \текст{ если } 1 ≤ х \end{случаи} \]

    Определите область определения и область значений g и нарисуйте ее кусочный график.

    Решение:-

    Область определения g равна (-∞, +∞), ниже приведен график функции;

    График содержит участок прямой y= 3x-2, для которого x<1, и участок параболы y = x 2 , для которого 1 ≤ x. Диапазон составляет (-∞, +∞).

    Пример №3

    Функция H определяется формулой;

    \[ H(x) = \begin{case} х+3, \текст{ если } х ≠ 3 \\ 2 , \текст{ если } х = 3 \end{случаи} \]

    Определите домен и диапазон H и нарисуйте его график.2, \text{ если } х ≠ 2 \\ 7 , \text{ если } х = 2 \end{случаи} \]

    Определите область определения и диапазон f и нарисуйте его график.

    Решение:-

    Поскольку f определено для всех x, область определения равна (-∞, +∞). График ниже;

    состоит из точки (2, 7) и всех точек параболы y = x 2 кроме (2, 4). Диапазон равен [0, +∞).

    Пример №5

    Определите область определения и диапазон функции абсолютного значения ‘f’, для которой f(x) = |x| и нарисуйте его график.

    Решение:-

    Из определения функции абсолютного значения |x|, f(x) определяется кусочно, как показано ниже,

    \[ f(x) = \begin{case} х, \текст{ если } х ≥ 0 \\ -x , \text{ если } x < 0 \end{случаи} \]

    Домен (-∞, +∞). График «f» состоит из двух полупрямых, проходящих через начало координат и выше оси x.

    один имеет наклон 1, а другой имеет наклон -1.Диапазон равен [0, +∞).

    Пример №6

    Кусочная функция f определяется как;

    \[ f(x) = \begin{case} -2, \text{ если } x ≤ 3 \\ 2 , \текст{ если } 3 < х \end{случаи} \]

    Определите домен и диапазон f и нарисуйте его график.2 , \text{ если } x < 0 \\ 3x + 1 , \text{ если } 0 ≤ x \end{случаи} \]

    Определите домен и диапазон f и нарисуйте его график.

    Решение:-

    Область определения g равна (-∞, +∞), ниже приведен график функции;

    Это непрерывный график с диапазоном (-∞, +∞).

    Пример № 8

    Кусочная функция f определяется как;

    \[ f(x) = \begin{case} 6x + 7 , \text{ если } x ≤ -2 \\ 4 – х , \текст{ если } -2 < х \end{случаи} \]

    Определите домен и диапазон f и нарисуйте его график.

    Решение:-

    Область определения g равна (-∞, +∞), ниже приведен график функции;

    Диапазон: (-∞, 6).

    Пример № 9

    Нарисуйте график сигнум-функции (или знаковой функции), обозначенной «sgn» и определенной кусочно, как показано ниже;

    \[ sgn(x) = \begin{case} -1 , \text{ если } x < 0 \\ 0 , \текст{ если } х = 0 \\ 1 , \текст{ если } 0 < х \end{случаи} \]

    sgn x читается как «знак ‘x’».2} , \text{ если } -5 ≤ x≤ 5 \\ 3-x , \text{ если } 5

    Решение:-

    Домен (-∞, +∞), вот как мы нарисовали график;

    И диапазон равен (-∞, -2) ∪ [0, 5].

    Как использовать вычисление кусочной функции r для построения графика?

    Существуют различные доступные онлайн и загружаемые графические калькуляторы, которые облегчают пользователям набросок кусочных функций, некоторые из них, как показано ниже;

    Узнайте, как использовать Desmos Graphing Calculator для наброска кусочной функции

    Здесь я подробно расскажу, как построить график кусочных функций с помощью Графического калькулятора Desmos ?

    В приведенном выше видео я выбрал несколько примеров, которые были решены и нарисованы вручную в этой статье, и ввел их кусочные определения с соответствующими доменами, чтобы получить их график, Я выбрал Example#1 вот и попробовал подставить команды на интерфейс Desmos , попробуем разобраться пошагово .

    ШАГ №1

    • Откройте графический калькулятор Desmos
    • Сначала введите кусочную область, а затем конкретную функцию, разделенную символом «:»
    • Заключите эту команду в скобки { }.

    ШАГ №2

    Так как «3» не входит в первую кусочную область «x < 3», это означает, что субъективный граф не содержит (3, 2), поэтому для этого нам нужно разработать там «дыру»;

    • Нажмите значок «+» в правом верхнем углу, откроется следующая вкладка выражения.
    • Тип (3, 2)
    • Нажмите на цветной кружок рядом с (3,2), вы получите панель, где вы можете выбрать вариант полого круга.
    • Нажмите на значок полой точки.

    Первая кусочная операция завершена.

    ЭТАП №3

    • Нарисуйте точку (3, 5), которая была вторым определением данной кусочной функции.
    • Держите его твердой точкой.

    ШАГ №4

    • Наконец, введите y= {3
    • Мы получим еще одну прямую линию, представляющую график f(x) = 2x+1 в области, содержащей все значения x>3.
    • Поскольку «3» не входит в область определения f(x)=2x+1, мы не будем включать (3, 7).
    • Введите (3,7) как другое выражение и сделайте его «дыркой».

    ШАГ №5

    Дополнительные примеры можно посмотреть в моем вышеупомянутом видео .

    Использование/применение кусочных функций

    Кусочные функции в дополнение к исчислению великодушно способствуют математическому моделированию различных повседневных задач реальной жизни, которые впоследствии оцениваются для получения оптимальных и точных решений. Я попытался собрать несколько примеров из области счетов, физики, биологии и т. д., которые помогут вам получить представление о приложениях и значении кусочных функций.

    • В Дании подоходный налог назначается на основе величины дохода, здесь f(x) — функция, представляющая процент дохода, который вычитается как налог, а «x» определяет величину дохода.

    \[ f(x) = \begin{case} 0, \text{ если } x < $10 000 \\ 10\text{%} , \text{ если } 10 000 долларов США ≤ x≤ 20 000 долларов США \\ 15\text{%} , \text{ если } x> 20 000 долларов \end{случаи} \]

    \[ C(x) = \begin{case} 7x, \text{ если } 0 50 \end{случаи} \]

    Где C(x) — общая стоимость крышек, а «x» — количество заказанных крышек.

    • В большинстве случаев на ранней стадии роста эукариотической клетки существует только одна копия каждого гена, которая представлена ​​как N i -1. В то время как у бактерий в каждой клетке имеется несколько плазмид ДНК (более 100). Теперь для простоты предполагается, что перед клеточным делением гены или ДНК, включая плазмидную ДНК, дублируются. Здесь мы обозначили период цикла клеточного деления как «𝜏», таким образом, следующая кусочная функция может быть использована для объяснения коэффициента объема клетки v(t).{\ left ( t / \ tau-k \ right) \ ln 2} , \ text { if } k𝜏 ≤ t < (k + 1)𝜏 \\ 1, \text{ если } t = (k+1)𝜏 \end{случаи} \]

      • Большегрузный автомобиль движется по шоссе с переменной скоростью, определенной кусочно ниже;

      \[ v(t) = \begin{case} 5t, \text{ если } 0 \le t < 15 \\ 70 , \text{ если } 15 ≤ x< 50 \\ 250-3t , \text{ если } т \geq 50 \end{случаи} \]

      Заключение

      Кусочная функция действительно является отличительной чертой в области исчисления и тесно связана с концепциями пределов, непрерывности, дифференциального и интегрального исчисления.Вне всякого сомнения, кусочные функции упростили многие сложные цели

      .
      • Виртуальные поля деформации
      • Искусственный интеллект
      • поле Случайное моделирование
      • оптической науки
      • Фармацевтические науки (Фармакокинетика)
      • Лазерное сканирование для наук об окружающей среде
      • Научные вычисления в Электротехника
      • Решение проблем геологии и минералогии
      • Бизнес, социальные науки и науки о жизни

      Функция является ярким примером этого.

      Статьи по теме:

      Эпсилон и Дельта Определение предела

      Непрерывные и прерывистые функции

      Теорема сжатия и непрерывность тригонометрических функций

      Хотите улучшить свои академические оценки?

      Не стесняйтесь обращаться к нам за качественным и стандартизированным онлайн-сервисом обучения математике

      НАЖМИТЕ НА ССЫЛКИ НИЖЕ

      Для более быстрого и уверенного общения присоединяйтесь к нашему сообществу WhatsApp

      Как строить графики кусочных функций на TI-83/84

      Как строить графики кусочных функций на TI-83/84

      Copyright 20032022 Стэн Браун, BrownMath.ком

      Сводка: Вы можете построить график кусочных функций на вашем TI-83/84. с помощью меню ТЕСТ. Чтобы показать метод, нарисуйте график функции

      читается как f из x равно x +11 для x <0, 11-4 x для x от 0 до 2 включительно и x −3 x +5 для x >2. Эта конкретная функция, как вы видите, в нем нет пробелов, но точно такая же техника работает для кусочных функций, которые имеют пробелы.

      См. также: Как построить график функций на TI-83/84

      Настройка: точечный режим

      TI-83/84 любит соединять точки непрерывными линиями или кривые, где это возможно. Но кусочная функция может иметь пробелы законно, и поэтому вы хотите выбрать точечный режим.

      На цветном TI-84 можно выбрать толстые или тонкие линии или точки. Мне нравятся более толстые точки, но это просто вопрос того, что вы найдете проще всего использовать.
       
      Обратите внимание: если вы выберете MATHPRINT в режиме экран, и ваша функция длиннее, чем ширина экрана, TI-84 отобразит только первую строку, и вам нужно прокрутить до увидеть остальные.Чтобы сразу увидеть всю функцию на экране, измените на CLASSIC в первой строке экрана режима.
      [ РЕЖИМ ] [ 5 раз ] [] [ ВВОД ]
       
      Экран режимов для черно-белого TI-84 содержит то же самое. информация как для TI-83, кроме часов. [ РЕЖИМ ] [  4 раза ] [ ] [ ВВОД ]
       

      (может потребоваться переключение между режимом точки и режимом подключения, в зависимости от функций, которые вы рисуете, потому что функция с круто наклонный график может быть трудно увидеть в точечном режиме.)

      Войдите в функцию

      Общая форма , которую вы хотите получить, это

      (первая часть)(первое условие)+(вторая часть)(вторая состояние)+…

      Это работает, потому что в языке программирования TI условие эквивалентно 1, а ложное условие — нулю. Поэтому включается каждая ветвь функции (умножается на 1) в нужном регионе и выключено (умножено на 0) везде еще.

      У вас может быть столько пар (кусок)(состояние), сколько потребуется для определить функцию, и вам всегда нужны круглые скобки вокруг каждого кусок и вокруг каждого условия.Если у тебя есть сложное состояние, подобное 0 ≤  x  ≤ 2, вы можете использовать [ 2nd   MATH делает TEST ] [ ] [ 1 ] для создания и условие или закодируйте два условия в круглых скобках и перемножьте их.

      Для нашего примера функции вы хотите получить это на экран Y= :

      Y1=(x+11)(x<0)+(11−4x)(0≤x и x≤2)+(x−3x+5)(x>2)

      или

      Y1=(x+11)(x<0)+(11−4x)(0≤x)(x≤2)+(x−3x+5)(x>2)

      Все это вы уже знаете, кроме знаков неравенства в тестах, и, как вы увидите, это довольно просто.

      Очистите все предыдущие графики. (Рассмотрите это на общем графике страницу, если вам нужно.) [ Y= ] и деактивировать все, что выделено.
      Введите первую ветвь определения функции, ( х +11). На экране Y= курсор на один из Y= линии. нажимать [ CLEAR ] при необходимости и введите первую часть в скобках:
      [ (] [ x,T,θ,n ] [ x ] [ + ] 11 [) ]
      Введите тест, ( x <0). Нажмите [ ( ] [ x,T,θ,n ] [ 2-й   МАТЕМАТИКА делает ТЕСТ ] [ 5 913 [ ) ]
      Введите вторую ветвь определения функции, (11−4 x ). [ + ] [ (] 11 [] 4 [ x,T,θ,n ] [) ]
      Введите второй тест, (0 ≤  x  ≤ 2). Вы можете закодировать это как продукт двух тестов, (0≤x)(x≤2) или с условием и , (0≤x и x≤2) .Первый способ экономит пару нажатия клавиш, так вот что я сделаю. [ ( ] 0 [ 2-й   МАТЕМАТИКА делает ТЕСТ ] [ 6 ] [ 6 ] [ x, t, θ, n ] [) ] [ (] [ (9134] [] [ x, t, θ, n 9134] [ 2nd математика ТЕСТ ] [ 6 ] 2 [ ) ]
      Введите плюс и последнюю ветвь функции, ( х -3 х +5). [ + ] [ (] [ x,T,θ,n ] [ x ] [] 3 [ x,T,θ,n ] [ + ] 5 [) ]
      Введите последний тест (x>2). [] [] [ x, t, θ, n ] [ 2-й математика тест ] [ 3 ] 2 [) ]

      Если у вас цвет TI-84 с Обновление ОС 5.3 или более поздней версии, а вы находитесь на экране Y= , вы можете нажать [ MATH ] и выберите Piecewise , чтобы ввести каждую ветвь функции, с его состояние отдельной строкой.Этот YouTube видео дает пример. Не вижу в этом большого плюса, но повторюсь. вопрос личных предпочтений.

      Показать график

      Часто полезно начинать с [ ZOOM ] [ 6 ], стандартный зум, а затем настроить окно. Эту конкретную функцию я думаю, немного проще визуализировать с параметрами окна показано.

      Вы можете масштабировать, отслеживать и находить значения и точки пересечения точно так же, как вы подойдет для любой другой функции.

      См. страницу общих графиков для общих проблем.

      Одна из особых проблем с кусочными функциями заключается в том, что TI-83/84 может попытаться соединить части. Убедитесь, что вы находитесь в точечный режим, не подключенный режим: посмотрите на Y= найдите три точки слева от вашего уравнения.

      Графики кусочных функций на графических калькуляторах семейства TI-89, семейства TI-92 и Voyage™ 200.

      Контролируйте настройки файлов cookie

      Вы можете контролировать свои предпочтения относительно того, как мы используем файлы cookie для сбора и использования информации, когда вы находитесь на веб-сайтах TI, настраивая статус этих категорий.

      Категория Описание Разрешить
      Аналитические и эксплуатационные файлы cookie Эти файлы cookie, в том числе файлы cookie из Google Analytics, позволяют нам распознавать и подсчитывать количество посетителей на сайтах TI, а также отслеживать, как посетители перемещаются по нашим сайтам. Это помогает нам улучшить работу сайтов TI (например, упрощая поиск информации на сайте).
      Рекламные и маркетинговые файлы cookie Эти файлы cookie позволяют размещать рекламу на основе интересов на сайтах TI и сторонних веб-сайтах с использованием информации, которую вы предоставляете нам при взаимодействии с нашими сайтами. Объявления на основе интересов отображаются для вас на основе файлов cookie, связанных с вашими действиями в Интернете, такими как просмотр продуктов на наших сайтах. Мы также можем передавать эту информацию третьим лицам для этих целей.Эти файлы cookie помогают нам адаптировать рекламу, чтобы она лучше соответствовала вашим интересам, управлять частотой, с которой вы видите рекламу, и понимать эффективность нашей рекламы.
      Функциональные файлы cookie

      Эти файлы cookie помогают определить, кто вы, и сохраняют информацию о вашей деятельности и учетной записи, чтобы обеспечить расширенные функциональные возможности, включая более персонализированный и актуальный опыт на наших сайтах.Если вы не разрешите использование этих файлов cookie, некоторые или все функции и службы сайта могут работать неправильно.

      Если вы не разрешите эти файлы cookie, некоторые или все функции и службы сайта могут работать неправильно.

      Файлы cookie социальных сетей Эти файлы cookie позволяют идентифицировать пользователей и контент, связанный с онлайн-социальными сетями, такими как Facebook, Twitter и другие платформы социальных сетей, и помогают TI улучшить охват социальных сетей.

      Ваш комментарий будет первым

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован.

      © 2019 iApple-59.ru