Построить график по каноническому уравнению онлайн: Построение графика функции онлайн

Решение высшей математики онлайн

‹— Назад

Из школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением , где  — число, называется гиперболой. Однако это — частный случай гиперболы (равносторонняя гипербола).

        Определение 12.5   Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.         

Так же, как и в случае эллипса, для получения уравнения гиперболы выберем подходящую систему координат. Начало координат расположим на середине отрезка между фокусами, ось направим вдоль этого отрезка, а ось ординат — перпендикулярно к нему.

        Теорема 12.3   Пусть расстояние между фокусами и гиперболы равно , а абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна . Тогда гипербола в выбранной выше системе координат имеет уравнение

(12. 8)

где

(12.9)

        Доказательство.     Пусть  — текущая точка гиперболы (рис. 12.9).

Рис.12.9.

Так как разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны, то , то есть , . В силу последнего неравенства вещественное число , определяемое формулой (12.9), существует.

По условию, фокусы — , . По формуле (10.4) для случая плоскости получаем

По определению гиперболы

Это уравнение запишем в виде

Обе части возведем в квадрат:

После приведения подобных членов и деления на 4, приходим к равенству

Опять обе части возведем в квадрат:

Раскрывая скобку и приводя подобные члены, получим

С учетом формулы (12.9) уравнение принимает вид

Разделим обе части уравнения на и получим уравнение (12. 8)     

Уравнение (12.8) называется каноническим уравнением гиперболы.

        Предложение 12.3   Гипербола обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых лежат фокусы гиперболы, и центром симметрии. Если гипербола задана каноническим уравнением, то ее осями симметрии служат координатные оси и , а начало координат — центр симметрии гиперболы.

        Доказательство.     Проводится аналогично доказательству предложения 12.1.     

Проведем построение гиперболы, заданной уравнением (12.8). Заметим, что из-за симметрии достаточно построить кривую только в первом координатном угле. Выразим из канонического уравнения как функцию , при условии, что ,

и построим график этой функции.

Область определения — интервал , , функция монотонно растет. Производная

существует во всей области определения, кроме точки . Следовательно, график — гладкая кривая (без углов). Вторая производная

во всех точках интервала отрицательна, следовательно, график — выпуклый вверх.

Проверим график на наличие асимптоты при . Пусть асимптота имеет уравнение . Тогда по правилам математического анализа

Выражение под знаком предела домножим и разделим на . Получим

Итак, график функции имеет асимптоту . Из симметрии гиперболы следует, что  — тоже асимптота. Остается неясным характер кривой в окрестности точки , а именно, образует ли график и симметричная ему относительно оси часть гиперболы в этой точке угол или гипербола в этой точке — гладкая кривая (есть касательная). Для решения этого вопроса выразим из уравнения (12.8) через :

Очевидно, что данная функция имеет производную в точке , , и в точке у гиперболы есть вертикальная касательная. По полученным данным рисуем график функции (рис. 12.10).

Рис.12.10.График функции

Окончательно, используя симметрию гиперболы, получаем кривую рисунка 12. 11.

Рис.12.11.Гипербола

        Определение 12.6   Точки пересечения гиперболы, заданной каноническим уравнением (12.8), с осью называются вершинами гиперболы, отрезок между ними называется действительной осью гиперболы. Отрезок оси ординат между точками и называется мнимой осью. Числа и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Начало координат называется ее центром. Величина называется эксцентриситетом гиперболы.         

        Замечание 12.3   Из равенства (12.9) следует, что , то есть у гиперболы . Эксцентриситет характеризует угол между асимптотами, чем ближе к 1, тем меньше этот угол.         

        Замечание 12.4   В отличие от эллипса в каноническом уравнении гиперболы соотношение между величинами и может быть произвольным. В частности, при мы получим равностороннюю гиперболу, известную из школьного курса математики. Ее уравнение имеет знакомый вид , если взять , а оси и направить по биссектрисам четвертого и первого координатных углов (рис. 12.12).

Рис.12.12.Равносторонняя гипербола

        

Для отражения на рисунке качественных характеристик гиперболы достаточно определить ее вершины, нарисовать асимптоты и нарисовать гладкую кривую, проходящую через вершины, приближающуюся к асимптотам и похожую на кривую рисунка 12.10.

        Пример 12.4   Постройте гиперболу , найдите ее фокусы и эксцентриситет.

Решение. Разделим обе части уравнения на 4. Получим каноническое уравнение

, . Проводим асимптоты и строим гиперболу (рис. 12.13).

Рис.12.13.Гипербола

Из формулы (12.9) получим . Тогда фокусы — , , .         

        Пример 12. 5   Постройте гиперболу . Найдите ее фокусы и эксцентриситет.

Решение. Преобразуем уравнение к виду

Данное уравнение не является каноническим уравнением гиперболы, так как знаки перед и противоположны знакам в каноническом уравнении. Однако, если переобозначить переменные , , то в новых переменных получим каноническое уравнение

Действительная ось этой гиперболы лежит на оси , то есть на оси исходной системы координат, асимптоты имеют уравнение , то есть уравнение в исходных координатах. Действительная полуось равна 5, мнимая — 2. В соответствии с этими данными проводим построение (рис. 12.14).

Рис.12.14.Гипербола с уравнением

Из формулы (12.9) получим , , фокусы лежат на действительной оси — , , где координаты указаны в исходной системе координат.         

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

теория, примеры, решение задач, угол наклона прямой к оси х

Продолжение темы уравнение прямой на плоскости основывается на изучении прямой линии из уроков алгебры. Данная статья дает обобщенную информацию по теме уравнения прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим определения, получим само уравнение, выявим связь с другими видами уравнений. Все будет рассмотрено на примерах решений задач.

Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой

Перед записью такого уравнения необходимо дать определение угла наклона прямой к оси Ох с их угловым коэффициентом. Допустим, что задана декартова система координат Ох на плоскости.

Определение 1

Угол наклона прямой к оси Ох, расположенный в декартовой системе координат Оху на плоскости, это угол, который отсчитывается от положительного направления Ох к прямой против часовой стрелки.

Когда прямая параллельна Ох или происходит совпадение в ней, угол наклона равен 0. Тогда угол наклона заданной прямой α определен на промежутке [0, π).

Определение 2

Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона заданной прямой.

Стандартное обозначение буквой k. Из определения получим, что k=tg α. Когда прямая параллельна Ох, говорят, что угловой коэффициент не существует, так как он обращается в бесконечность.

Угловой коэффициент положительный, когда график функции возрастает и наоборот. На рисунке показаны различные вариации расположения прямого угла относительно системы координат со значением коэффициента.

Для нахождения данного угла необходимо применить определение об угловом коэффициенте и произвести вычисление тангенса угла наклона в плоскости.

Пример 1

Посчитать угловой коэффициент прямой при угле наклона равном 120°.

Решение

Из условия имеем, что α=120°. По определению необходимо вычислить угловой коэффициент. Найдем его из формулы k=tg α=120=-3.

Ответ: k=-3.

Если известен угловой коэффициент, а необходимо найти угол наклона к оси абсцисс, тогда следует учитывать значение углового коэффициента. Если k>0, тогда угол прямой острый и находится по формуле α=arctg k. Если k<0, тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α=π-arctgk.

Пример 2

Определить угол наклона заданной прямой к Ох при угловом коэффициенте равном 3.

Решение

Из условия имеем, что угловой коэффициент положительный, а это значит, что угол наклона к Ох меньше 90 градусов. Вычисления производятся по формуле α=arctg k=arctg 3.

Ответ: α=arctg 3.

Пример 3

Найти угол наклона прямой к оси Ох, если угловой коэффициент = -13.

Решение

Если принять за обозначение углового коэффициента букву k, тогда α является углом наклона к заданной прямой по положительному направлению Ох. Отсюда k=-13<0, тогда необходимо применить формулу α=π-arctgkПри подстановке получим выражение:

α=π-arctg-13=π-arctg 13=π-π6=5π6.

Ответ: 5π6.

Уравнение с угловым коэффициентом

Уравнение вида y=k·x+b, где k является угловым коэффициентом, а b некоторым действительным числом, называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Уравнение характерно для любой прямой, непараллельной оси Оу.

Если подробно рассмотреть прямую на плоскости в фиксированной системе координат, которая задана уравнением с угловым коэффициентом, который имеет вид y=k·x+b.  В данном случае значит, что уравнению соответствуют координаты любой точки прямой. Если подставить координаты точки М, M1(x1, y1),  в уравнениеy=k·x+b, тогда в этом случае прямая будет проходить через эту точку, иначе точка не принадлежит прямой.

Пример 4

Задана прямая с угловым коэффициентом y=13x-1. Вычислить, принадлежат ли точки M1(3, 0) и M2(2, -2) заданной прямой.

Решение

Необходимо подставить координаты точки M1(3, 0)  в заданное уравнение, тогда получим 0=13·3-1⇔0=0. Равенство верно, значит точка принадлежит прямой.

Если подставим координаты точки M2(2, -2), тогда получим неверное равенство вида -2=13·2-1⇔-2=-13. Можно сделать вывод, что точка М2 не принадлежит прямой.

Ответ: М1 принадлежит прямой, а М2 нет.

Известно, что прямая определена уравнением y=k·x+b, проходящим через M1(0, b), при подстановке получили равенство вида b=k·0+b⇔b=b. Отсюда можно сделать вывод, что уравнение прямой с угловым коэффициентом y=k·x+b на плоскости определяет прямую, которая проходит через точку 0, b. Она образует угол αс положительным направлением оси Ох, где k=tg α.

Рассмотрим на примере прямую, определенную при помощи углового коэффициента, заданного по виду y=3·x-1. Получим, что прямая пройдет через точку с координатой 0, -1 с наклоном в α=arctg3=π3 радиан по положительному направлению оси Ох. Отсюда видно, что коэффициент равен 3.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку

Необходимо решить задачу, где необходимо получить уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящим через точку M1(x1, y1).

Равенство y1=k·x+b можно считать справедливым, так как прямая проходит через точку M1(x1, y1). Чтобы убрать число b, необходимо из левой и правой частей вычесть уравнение с угловым коэффициентом. Из этого следует, что y-y1=k·(x-x1).  Данное равенство называют уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом k, проходящая через координаты точки M1(x1, y1).

Пример 5

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М1 с координатами (4,-1), с угловым коэффициентом равным -2.

Решение

По условию имеем, что x1=4, y1=-1, k=-2. Отсюда уравнение прямой запишется таким образом y-y1=k·(x-x1)⇔y-(-1)=-2·(x-4)⇔y=-2x+7.

Ответ: y=-2x+7.

Пример 6

Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, которое проходит через точку М1 с координатами (3,5), параллельную прямой y=2x-2.

Решение

По условию имеем, что параллельные прямые имеют совпадающие углы наклона, отсюда значит, что угловые коэффициенты являются равными. Чтобы найти угловой коэффициент из данного уравнения, необходимо вспомнить его основную формулу y=2x-2, отсюда следует, что k=2. Составляем уравнение с угловым коэффициентом и получаем:

y-y1=k·(x-x1)⇔y-5=2·(x-3)⇔y=2x-1

Ответ: y=2x-1.

Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнений прямой и обратно

Такое уравнение не всегда применимо для решения задач, так как имеет не совсем удобную запись. Для этого необходимо представлять в другом виде. Например, уравнение вида y=k·x+b не позволяет записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора. Для этого нужно научиться представлять уравнениями другого вида.

Можем получить каноническое уравнение прямой на плоскости, используя уравнение прямой с угловым коэффициентом. Получаем x-x1ax=y-y1ay. Необходимо слагаемое b перенести в левую часть и поделить на выражение полученного неравенства. Тогда получим уравнение вида y=k·x+b⇔y-b=k·x⇔k·xk=y-bk⇔x1=y-bk.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом стало каноническим уравнением данной прямой.

Пример 7

Привести уравнение прямой с угловым коэффициентом y=-3x+12к каноническому виду.

Решение

Вычислим и представим в виде канонического уравнения прямой. Получим уравнение вида:

y=-3x+12⇔-3x=y-12⇔-3x-3=y-12-3⇔x1=y-12-3

Ответ: x1=y-12-3.

Общее уравнение прямой проще всего получить из y=k·x+b, но для этого необходимо произвести преобразования: y=k·x+b⇔k·x-y+b=0. Производится переход из общего уравнения прямой к уравнениям другого вида.

Пример 8

Дано уравнение прямой видаy=17x-2. Выяснить, является ли вектор с координатами a→=(-1, 7) нормальным вектором прямой?

Решение

Для решения необходимо перейти к другому виду данного уравнения, для этого запишем:

y=17x-2⇔17x-y-2=0

Коэффициенты перед переменными являются координатами нормального вектора прямой. Запишем это так n→=17, -1, отсюда 17x-y-2=0. Понятно, что вектор a→=(-1, 7) коллинеарен вектору n→=17, -1, так как имеем справедливое соотношение a→=-7·n→. Отсюда следует, что исходный вектор a→=-1, 7 — нормальный вектор прямой 17x-y-2=0, значит, считается нормальным вектором для прямой y=17x-2.

Ответ: Является

Решим задачу обратную данной.

Необходимо перейти от общего вида уравнения Ax+By+C=0, где B≠0, к уравнению с угловым коэффициентом. для этого решаем уравнение относительно у. Получим Ax+By+C=0⇔-AB·x-CB.

Результат и является уравннием с угловым коэффициентом, который равняется -AB.

Пример 9

Задано уравнение прямой вида 23x-4y+1=0 . Получить уравнение данной прямой с угловым коэффициентом.

Решение

Исходя из условия, необходимо решить относительно у, тогда получим уравнение вида:

23x-4y+1=0⇔4y=23x+1⇔y=14·23x+1⇔y=16x+14.

Ответ: y=16x+14.

Аналогичным образом решается уравнение вида xa+yb=1, которое называют уравнение прямой в отрезках, или каноническое вида x-x1ax=y-y1ay. Нужно решить его относительно у, только тогда получим уравнение с угловым коэффициентом:

xa+yb=1⇔yb=1-xa⇔y=-ba·x+b.

Каноническое уравнение можно привести к виду с угловым коэффициентом. Для этого:

x-x1ax=y-y1ay⇔ay·(x-x1)=ax·(y-y1)⇔⇔ax·y=ay·x-ay·x1+ax·y1⇔y=ayax·x-ayax·x1+y1

Пример 10

Имеется прямая, заданная уравнением x2+y-3=1. Привести к виду уравнения с угловым коэффициентом.

Решение.

Исходя из условия, необходимо преобразовать, тогда получим уравнение вида _formula_. Обе части уравнения следует умножить на -3 для того, чтобы получить необходимо уравнение с угловым коэффициентом.

Преобразуя, получим:

y-3=1-x2⇔-3·y-3=-3·1-x2⇔y=32x-3.

Ответ: y=32x-3.

Пример 11

Уравнение прямой вида x-22=y+15 привести к виду с угловым коэффициентом.

Решение

Необходимо выражение x-22=y+15 вычислить как пропорцию. Получим, что 5·(x-2)=2·(y+1). Теперь необходимо полностью его разрешить, для этого:

5·(x-2)=2·(y+1)⇔5x-10=2y+2⇔2y=5x-12⇔y=52x

Ответ: y=52x-6.

Для решения таких заданий следует приводит параметрические уравнения прямой вида x=x1+ax·λy=y1+ay·λ к каноническому уравнению прямой, только после этого можно переходить к уравнению с угловым коэффициентом.

Пример 12

Найти угловой коэффициент прямой, если она задана параметрическими уравнениями x=λy=-1+2·λ.

Решение

Необходимо выполнить переход от параметрического вида к угловому коэффициенту. Для этого найдем каноническое уравнение из заданного параметрического:

x=λy=-1+2·λ⇔λ=xλ=y+12⇔x1=y+12.

Теперь необходимо разрешить данное равенство относительно y, чтобы получить уравнение прямой с угловым коэффициентом. для этого запишем таким образом:

x1=y+12⇔2·x=1·(y+1)⇔y=2x-1

Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой равен 2. Это записывается как k=2.

Ответ: k=2.

Приведение к канонической форме онлайн

⚟

График:

x : [ ]

у : [ ]

z : [ ]

Качество:

(Количество точек на оси)

Тип графика:

SurfaceGridLineDot

Что умеет канонический калькулятор?

• Для заданного уравнения находит:
  • Каноническая форма уравнения (для линий и поверхностей второго порядка)
  • Базис-вектор канонической системы координат (для линий 2-го порядка)
  • Центр канонической системы координат (для линий 2-го порядка)
• Подробное решение двумя способами:
  • Прямой метод с переходом в новый центр координат и поворотом вокруг нового центра координат (для линий) 92/=1/14 Две параллельные плоскости Поверхность

    Чтобы увидеть подробное решение — поделитесь со всеми друзьями-студентами

    Калькулятор гиперболы — eMathHelp

    Этот калькулятор найдет либо уравнение гиперболы по заданным параметрам, либо центр, фокусы, вершины, ко-вершины, (полу) длина большой оси, (полу)длина малой оси, латеральная прямая мышца, длина латеральной прямой кишки (ширина фокуса), фокальный параметр, эксцентриситет, линейный эксцентриситет (фокусное расстояние), директрисы, асимптоты, пересечения по оси x, пересечения по оси y, домен, и диапазон введенной гиперболы. Кроме того, он будет отображать гиперболу. Шаги доступны.

    Связанные калькуляторы: Калькулятор параболы, Калькулятор окружности, Калькулятор эллипса, Калькулятор конического сечения

    Тип:

    из уравненияиз данных

    Уравнение:
    Центр:$$$($$$
    ,
    $$$)$$$
    Первый фокус:$$$($$$
    ,
    $$$)$$$
    Второй фокус:$$$($$$
    ,
    $$$)$$$
    Первая вершина:$$$($$$
    ,
    $$$)$$$
    Вторая вершина:$$$($$$
    ,
    $$$)$$$
    Первая ковершина:$$$($$$
    ,
    $$$)$$$
    Вторая ковершина:$$$($$$
    ,
    $$$)$$$
    Длина большой (поперечной) оси:

    Если у вас есть длина большой полуоси (a), введите здесь ее значение, умноженное на $$$2$$$.

    Длина малой (сопряженной) оси:

    Если у вас есть длина малой полуоси (b), введите здесь ее значение, умноженное на $$$2$$$.

    Эксцентриситет:
    Первая направляющая:

    В любой форме: $$$y = -6$$$, $$$y = 2 x + 5$$$ и т. д.

    Вторая направляющая:

    В любой форме: $$$x — 3 = 0$$$, $$$- 8 x + 7 y + 1 = 0$$$ и т. д.

    Первая асимптота:

    В любой форме: $$$x = -2$$$, $$$y = 5 — 3 x$$$ и т. д.

    Вторая асимптота:

    В любой форме хочу: $$$y + 1 = 0$$$, $$$x = 2 y — 7$$$ и т. д.

    Первая точка:$$$($$$
    ,
    $$$)$$$
    Вторая точка:$$$($$$
    ,
    $$$)$$$
    Третья точка:$$$($$$
    ,
    $$$)$$$
    Четвертая точка:$$$($$$
    ,
    $$$)$$$
    Большая вертикальная (поперечная) ось (параллельно оси Y)?

    Горизонтальная малая (сопряженная) ось (параллельная оси x)??

    Если калькулятор что-то не рассчитал, или вы обнаружили ошибку, или у вас есть предложение/отзыв, пожалуйста, напишите его в комментариях ниже.