Нажмите "Enter", чтобы перейти к содержанию

Построить график функции с подробным решением: Построить график функции онлайн калькулятор

3 значит x в кубе, также можно написать xxx или x*x*x. root(x,n) Корень n-ой степени из x. Например: root(x,3) есть корень 3й степени из x. sqrt() Квадратный корень. Эквивалентно root(аргумент,2) cbrt() Кубический корень. Эквивалентно root(аргумент,3) logn(x,a) Логарифм x пооснованию a ln()
Натуральный логарифм (с основанием е) lg() Логарифм по основанию 10 (Десятичный логарифм), то же, что и logn(аргумент,10). аргумент sin() Синус cos() Косинус tan() Тангенс cot() Котангенс
sec() Секанс, определяется как 1/cos() csc() Косеканс, определяется как 1/sin() asin() Арксинус acos() Арккосинус atan() Арктангенс acot() Арккотангенс asec() Арксеканс, обратный секанс
acsc() Арккосеканс, обратный косеканс sinh() Гиперболический синус, шинус cosh() Гиперболический косинус, чосинус tanh() Гиперболический тангенс coth() Гиперболический котангенс sech() Гиперболический секанс csch()
Гиперболический косеканс asinh() Гиперболический арксинус, функция обратная sinh() acosh() Гиперболический арккосинус, функция обратная cosh() atanh() Гиперболический арктангенс, функция обратная tanh() acoth() Гиперболический арккотангенс, функция обратная cotanh() asech() Гиперболический арксеканс, функция обратная sech()
acsch() Гиперболический арккосеканс, функция обратная csch() gaussd(x,среднее,сигма) Нормальное распределение (Распределение Гаусса). Например gaussd(x,0,1) есть нормальное стандартное расперделение со средним значением 0 и стандартным отклонением 1. min(число1,число2) Вычисляет наименьшее из 2х значений max(число1,число2) Вычисляет наибольшее из 2х значений round()
Округляет аргумент до целого значения floor() Округление вниз ceil() Округление вверх abs() или | | Модуль (абсолютное значение) sgn() Функция сигнум, определяет знак аргумента
sgn(x)  =    1 for x > 0
 0 for x = 0
-1 for x < 0
rand Случайное число от 0 до 1

Содержание

Как построить график функции онлайн по уравнению с подробным решением


В золотой век информационных технологий мало кто будет покупать миллиметровку и тратить часы для рисования функции или произвольного набора данных, да и зачем заниматься столь муторной работой, когда можно построить график функции онлайн. Кроме того, подсчитать миллионы значений выражения для правильного отображения практически нереально и сложно, да и несмотря на все усилия получится ломаная линия, а не кривая. Потому компьютер в данном случае – незаменимый помощник.

Что такое график функций

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент другого множества, например, выражение y = 2x + 1 устанавливает связь между множествами всех значений x и всех значений y, следовательно, это функция. Соответственно, графиком функции будет называться множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному выражению.

Пример:

На рисунке мы видим график функции y = x. Это прямая и у каждой ее точки есть свои координаты на оси X и на оси Y. Исходя из определения, если мы подставим координату X некоторой точки в данное уравнение, то получим координату этой точки на оси Y.

Сервисы для построения графиков функций онлайн

Рассмотрим несколько популярных и лучших по сервисов, позволяющих быстро начертить график функции.

Umath.ru

Открывает список самый обычный сервис, позволяющий построить график функции по уравнению онлайн. Umath содержит только необходимые инструменты, такие как масштабирование, передвижение по координатной плоскости и просмотр координаты точки на которую указывает мышь.

Инструкция:

  1. Введите ваше уравнение в поле после знака =.
  2. Нажмите кнопку «Построить график».

Как видите все предельно просто и доступно, синтаксис написания сложных математических функций: с модулем, тригонометрических, показательных приведен прямо под графиком. Также при необходимости можно задать уравнение параметрическим методом или строить графики в полярной системе координат.

Перейти на официальный сайт Umath

Yotx.ru

В Yotx есть все функции предыдущего сервиса, но при этом он содержит такие интересные нововведения как создание интервала отображения функции, возможность строить график по табличным данным, а также выводить таблицу с целыми решениями.

Инструкция:

  1. Выберите необходимый способ задания графика.
  2. Введите уравнение.
  3. Задайте интервал.
  4. Нажмите кнопку «Построить».

Огромным плюсом этого сайта можно считать визуализацию графика. Удобно реализована возможность построения нескольких графиков на одной координатной плоскости: можно назначить каждому свой уникальный цвет, толщину линии.

Перейти на официальный сайт Yotx

Graph.reshish.ru

Для тех, кому лень разбираться, как записать те или иные функции, на этой позиции представлен сервис с возможностью выбирать из списка нужную одним кликом мыши.

Инструкция:

  1. Найдите в списке необходимую вам функцию.
  2. Щелкните на нее левой кнопкой мыши
  3. При необходимости введите коэффициенты в поле «Функция:».
  4. Нажмите кнопку «Построить» .

В плане визуализации есть возможность менять цвет графика, а также скрывать его или вовсе удалять.

Перейти на официальный сайт сервиса

Desmos.com

Desmos безусловно – самый навороченный сервис для построения уравнений онлайн. Передвигая курсор с зажатой левой клавишей мыши по графику можно подробно посмотреть все решения уравнения с точностью до 0,001. Встроенная клавиатура позволяет быстро писать степени и дроби. Самым важным плюсом является возможность записывать уравнение в любом состоянии, не приводя к виду: y = f(x).

Инструкция:

  1. В левом столбце кликните правой кнопкой мыши по свободной строке.
  2. В нижнем левом углу нажмите на значок клавиатуры.
  3. На появившейся панели наберите нужное уравнение (для написания названий функций перейдите в раздел «A B C»).
  4. График строится в реальном времени.

Визуализация просто идеальная, адаптивная, видно, что над приложением работали дизайнеры. Из плюсов можно отметить огромное обилие возможностей, для освоения которых можно посмотреть примеры в меню в верхнем левом углу.

Перейти на официальный сайт Desmos

Сайтов для построения графиков функций великое множество, однако каждый волен выбирать для себя исходя из требуемого функционала и личных предпочтений. Список лучших был сформирован так, чтобы удовлетворить требования любого математика от мала до велика. Успехов вам в постижении «царицы наук»!

Загрузка...

Как решать задачи на исследовании функции по алгоритму

Исследование функции (с помощью производных) - широко распространенное задание, как в курсе школьной, так и университетской математики, которое позволяет проверить знания и навыки по нескольким разделам математики (общие сведения о функциях, преобразования функций, пределы, производная и ее приложения).

Целью исследования функции является изучение важных свойств функции и построение по результатам графика функции (поэтому иногда задание формулируют как «исследование графика функции»). Чтобы правильно построить график, нужно последовательно выполнять шаги исследования.

Схема полного исследования функции

Ниже приведена полная схема исследования функции (или алгоритм исследования функции) по пунктам. Часть из этих шагов обычно опускается при исследовании функции, в зависимости от вида функции и требований к решению (например, для многочлена можно не проверять наличие асимптот или точек разрыва и т.п.).

Ключевые пункты (основная схема исследования) выделены черным, пункты, которые включаются в исследование опционально, выделены серым.

  • Найти область определения функции.
  • Найти область значений функции. Обычно этот пункт пропускают или заполняют после исследования на экстремумы.
  • Исследовать непрерывность функции, выделить особые точки (точки разрыва).
  • Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
  • Найти точки пересечения с осями координат.
  • Найти нули функции. Найти интервалы знакопостоянства функции.
  • Установить, является ли функция чётной или нечётной. Сделать выводы о симметричности графика функции.
  • Установить, является ли функция периодической или нет. Обычно проверяют для тригонометрических функций, для других данный пункт пропускается.
  • Найти первую производную. Найти точки экстремума (локального минимума и максимума) и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.
  • Найти вторую производную. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
  • Найти наклонные/горизонтальные асимптоты функции.
  • Исследовать поведение функции на бесконечности.
  • Построить график функции. Построить асимптоты.
  • Отметить важные точки на графике.

Используйте этот алгоритм для решения своих заданий на исследование функций, и вы добьтесь успеха. Нужны еще примеры, чтобы разобраться "на пальцах"? На сайте вы найдете примеры исследования функций самых разных типов, которые можно скачать бесплатно для изучения.

Смотрите также:

Исследование функции и построение ее графика

1) Найдем область определения функции. Функция представляет собой рациональную дробь, поэтому нужно исключить значения обнуляющие знаменатель.

   

таким образом, область определения функции:

2) Точки пересечения графика функции с осями координат:

с осью ;

с осью .

Таким образом, функция проходит через начало координат — точку .

3) Функция не периодическая. Исследуем функции на четность:

   

Ни одно из равенств или не выполняется, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. График функции не будет иметь никакой симметрии.

4) Найдем асимптоты графика функции.

В точке функция разрывная. Определим, как ведет себя точка в окрестности этой точки

   

Таким образом, — уравнение вертикальной асимптоты.

Найдем наклонные асимптоты , где

   

   

   

Получаем уравнение наклонной асимптоты .

5) Найдем экстремум функции и интервалы возрастания и убывания. Для этого вычислим первую производную, используя правило дифференцирования частного:

   

   

Найдем критические точки: при

   

не существует при , но эта точка не принадлежит области определения. Находим знак производной в каждом из интервалов и результаты занесем в таблицу

   

То есть точка — точка максимума.

6) Найдем точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости. Для этого находим вторую производную

   

   

   

   

Найдем критические точки: при не существует при , но эта точка не принадлежит области определения. Находим знак второй производной в каждом из интервалов и результат занесем в таблицу:

Значение функции в точке перегиба . Точка — точка перегиба.

7) Используя полученные данные, строим пунктиром асимптоты и жирным график функции.

3. Примеры исследования функций и построения графиков

В данном разделе рассмотрены задачи, связанные с исследованием функций и построением их графиков. Примеры даны с подробным решением. Приступая к выполнению типового расчета, студент может рассмотреть соответствующий пример данного раздела и найти ответы на возникающие при работе вопросы.

Пример 1.Найти асимптоты кривойи построить график функции по точкам.

Решение.

1. Поскольку корень четной степени принимает только арифметические значения, то график функции целиком расположен выше оси ОХ. Функция определена при условии , т.е. в интервалахи. Поэтому исследуем поведение функции прии.

, значит прямаях= 2 является вертикальной асимптотой.

Теперь рассмотрим поведение функции слева от нуля: . Мы получили конечный предел, поэтому прямаяне является вертикальной асимптотой. По мере приближения к точкеслева функция стремится к нулю, оставаясь при этом положительной.

2.Определим уравнения невертикальных асимптот.

прии.

1;= === ==.

Таким образом, существует правая наклонная асимптота .

-1;

=== ==.

Существует левая наклонная асимптота .

Для построения графика необходимо взять несколько дополнительных точек:

Х

0

-1

-2

2,5

3

4

у

0

0,58

1,4

5,6

5,2

5,6

График функции изображен на рис. 1.

Рис.1. График функции .

Пример 2. Провести полное исследование функциии построить ее график.

Решение.

  1. Область определения функции: .

  2. Точек разрыва нет, так как функция существует при любых действительных значениях .

  3. Найдем асимптоты:

а) вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва второго рода;

б) невертикальные асимптоты (в данном примере исследования при ианалогичны):

;

== == =.

Уравнение невертикальной асимптоты

4. Исследование на экстремум

==;

при. Производная не существует прии.

Составим таблицу:

х

0

(0;4)

4

(4;6)

6

(6;+∞)

+

Не

сущест.

0

+

Не

сущест.

+

у

возрастает

max

убывает

min

возрастает

возрастает

5. Исследование на перегиб

=

== == =.

Вторая производная при любых отлична от нуля и не существует прии.

Составим таблицу:

+

Не сущ.

+

Не сущ.

-

Вогнута

Нет точек перегиба

Вогнута

Точка перегиба

Выпукла

Значение функции в точке перегиба .

6. Точки пересечения с осями координат.

=

прии.

7. По данным исследования строим график функции (рис. 2).

Рис. 2. График функции .

Пример 3. Провести полное исследование функциии построить её график.

Решение.

1. Область определения функции:

2. Исследуем граничную точку .

==

=.

3. Заметим, что функция в окрестности точки стремится к нулю, оставаясь при этом отрицательной. Конечный предел означает, что вертикальных асимптот нет. Находим невертикальные асимптоты.

Так как функция определена при , то исследуем ее поведение лишь при.

.

Невертикальных асимптот нет.

  1. Исследование на экстремум

;

,приили, причем─ граничная точка области определения.

Составим таблицу:

0

+

Функция убывает

-(min)

Функция возрастает

  1. Определим интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Найдем точки перегиба

.

Производная обращается в ноль при .

Составим таблицу:

-

0

+

выпукла

точка перегиба

вогнута

=.

График функции изображен на рис. 3.

Пример 4. Исследовать функцию и поострить её график

.

Замечание.При исследовании функций, заданных параметрически, можно пользоваться упрощенной схемой исследования.

1. Найти область изменения переменных

2. Найти точки пересечения графика с осями координат.

3. Найти производную функции и точки, в которых она обращается в нуль или не существует. Учитываем, что в точках, где производная равна нулю, касательная к графику параллельна оси ОХ, а в точках, где производная не существует, касательная перпендикулярна оси ОХ.

4. При необходимости взять несколько дополнительных точек.

Решение.

Поскольку х и у выражены через параметр t, то можно получить соответствующие значения х и у. Таким образом, построение функции, заданной параметрически, удобнее всего проводить поточечно, если есть возможность вычислить достаточно большое число точек.

  1. Рассмотрим первоначально икак функции от. В системе координатвыражениеопределяет параболу, переменнаяопределена при любом, причем припеременная. Максимальное значениесоответствует значению(вершина параболы), следовательно. Для функциимаксимального значения не существует. Функция определена прии,,.

  2. Точки пересечения с осями координат.

Если , то, то. Этим значениямсоответствуют следующие значения:. Это точки пересечения графика с осью ОХ.

Если , то,Этим значениямсоответствуют следующие значения:Это точки пересечения с осью ОУ.

  1. Вычислим производную и определим экстремум функции и интервалы монотонности: ==

Заметим, что при производнаяне определена. На графике параметрусоответствует точка с координатами,, точка (1;2). В окрестности точкипроизводнаяположительна, что соответствует монотонному возрастанию функции.

Производная при, что соответствует точке (-3;-2). В этой точке касательная к графику функции параллельна оси ОХ, а точка (-3;-2) является точкой минимума, поскольку производная при переходе через точкуменяет знак с «-» на «+».

  1. Вторая производная позволит выяснить направление выпуклости графика функции: . Посколькупри, то функция выпукла вниз (вогнута), а приграфик функции направлен выпуклостью вверх, так как.

  2. Можно взять дополнительные точки и нарисовать график функции (рис. 4):

Рис. 4. График функции .

Как построить график функции f(x) по результатам проведенного исследования

В этом посте мы наконец-то построим график функции по результатам проведенного ранее исследования.

В серии постов, посвященной реализации общей схемы исследования функции одной переменной с применением Wolfram | Alpha, мы последовательно прошли целый ряд этапов, действуя так, как если бы мы проводили исследование функции "вручную". Wolfram | Alpha при этом мы использовали, как вспомогательный инструмент - своего рода калькулятор на все случаи жизни. Это позволило нам в значительной степени отвлечься от рутинных вычислений и сосредоточиться собственно на исследовании функции. Без Wolfram | Alpha некоторая часть необходимых вычислений оказалась бы слишком трудоемкой для ручных расчетов, и исследование данной функции показалось бы нам слишком сложной задачей.

Именно это соображение - возможность, невзирая на объемность и трудоемкость рутинных вычислений исследовать любые функции, - главный резон в пользу использования Wolfram | Alpha при решении подобного рода задач. Фактически, без ограничения общности решается прежде всего методическое задание - изучить и научиться применять на практике общую схему исследования функции.

Однако, на практике, при решении прикладных задач, навряд ли кто-либо станет идти таким сложным и запутанным путем, если только имеются иные возможности. А они имеются. По ходу решения, эти возможности я систематически рассматривал, и пытался акцентировать на них ваше внимание: это специфические запросы Wolfram | Alpha, которые позволяют " в один клик" по мере надобности находить все отдельные свойства и характерные точки функции. Подробное изложение "практического" подхода к исследованию функции с помощью Wolfram | Alpha, в отличие от "теоретического", которому мы следовали все это время, будет представлено в одном из следующих постов.

Однако, вернемся к заключительному этапу классической общей схемы исследования функции. Это четвертый этап в общей схеме исследования функции. Цель этого этапа - построить по результатам проведенного выше исследования график функции:


Основные задания четвертого этапа состоят в следующем: используя результаты предыдущего исследования построить график функции f(x). Для этого нам понадобятся результаты всех предыдущих этапов исследования функции.

Это задание, особенно для самостоятельной работы учащихся, требует дальнейшей детализации в виде отдельных заданий:


16.1. Начертить систему координат, учитывая найденные ранее область определения данной функции (см. также: область определения функции в Wolfram | Alpha) и множество значений данной функции (см. также: множество значений функции в Wolfram | Alpha). Эти сведения на данном этапе нужны, чтобы начертить систему координат так, чтобы график функции расположился в ней крупным масштабом и по центру, а не как "очень одинокий петух" в поучительной детской книжке про Карлсона, который живет на крыше 🙂

16.2. Обозначить на оси абсцисс точки разрыва функции. Сведения о точках разрыва были получены при исследовании области определения данной функции.

16.3. Обозначить точки пересечения графика функции с осью абсцисс и точки пересечения с осью ординат.

16.4. Начертить вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

16.5. Обозначить на чертеже с помощью условных обозначений характер поведения функции возле вертикальных асимптот (см. также: изучение разрывных функций).

16.6. Обозначить точки пересечения графика функции с ее асимптотами.

16.7. Обозначить на чертеже точки экстремума функции, угловые точки графика функции (если они есть).

16.8.  Обозначить на чертеже точки перегиба графика функции.4)

18. Осталось, пользуясь полученным графиком функции, проанализировать геометрические свойства построенного графика (симметрия относительно оси ординат и начала отсчета системы координат и др.) и сформулировать выводы относительно свойств четности-нечетности и периодичности данной функции f(x). Эту часть оставляю вам на самостоятельную проработку.

P.S.
Как я обещал в начале этого поста,  в одном из следующих постов будет представлено подробное изложение "практического" подхода к исследованию функции с помощью Wolfram | Alpha, в отличие от "теоретического", которому мы следовали все это время.

Построение функций, содержащих модули

Здравствуйте, уважаемые посетители! В этой статье мы попробуем подробно разобраться, как построить график функции, если эта функция содержит модуль. В статье разобраны различные примеры с пошаговым построением и подробным объяснением, как получен тот или иной график.

1. Начнем с построения графика

 

В “основе” его лежит график функции

и все мы знаем, как он выглядит:

Теперь построим график

Чтобы получить этот график, достаточно всего лишь сдвинуть полученный ранее график на три единицы вправо. Заметим, что, если бы в знаменателе дроби стояло бы выражение х+3, то мы сдвинули бы график влево:

Теперь необходимо умножить на два все ординаты, чтобы получить график функции

Наконец, сдвигаем график вверх на две единицы:

Последнее, что нам осталось сделать, это построить график данной функции, если она заключена под знак модуля. Для этого отражаем симметрично вверх всю часть графика, ординаты которой отрицательны (ту часть, что лежит ниже оси х):

2. Теперь построим график функции

Выражение, стоящее под знаком модуля, меняет знак в точке х=2/3. При х<2/3 функция запишется так:

При х>2/3 функция запишется так:

То есть точка х=2/3 делит нашу координатную плоскость на две области, в одной из которых (левее) мы строим функцию

 

а в другой (правее) – график функции

Строим:

3. Следующий график – также ломаная, но имеет две точки излома, так как содержит два выражения под знаками модуля:

Посмотрим, в каких точках подмодульные выражения меняют знак:

Расставим знаки для подмодульных выражений на координатной прямой:

Раскрываем модули на первом интервале:

На втором интервале:

На третьем интервале:

Таким образом, на интервале (-∞; 1.5] имеем график, записанный первым уравнением, на интервале [1.5; 2] – график, записанный вторым уравнением, и на интервале [2;∞) – график по третьему уравнению:

Строим:

4. Теперь можем построить  график, похожий на один из предыдущих, и все же отличающийся:

В основе опять знакомый нам график функции

но, если в знаменателе x стоит под знаком модуля,

то график имеет вид:

Теперь произведем сдвиг на три единицы,

 при этом сдвинутся обе части: правая – вправо, левая – влево (своеобразное зеркало : отходишь дальше – видно больше)

График этой функции, умноженной на два,

выглядит так:

Теперь можно поднять график по оси у:

и тогда он будет таким:

Наконец, строим окончательный вид графика, отражая все, что ниже оси абсцисс, вверх:

5.Очень интересно выглядит график функции

В точках 2 и (-2) знак подмодульного выражения меняет знак, поэтому функция состоит из трех кусков (точки 2 и (-2) выколоты). На участках  (-∞; -2) и (2; ∞) справедливо первое уравнение, а на участке (-2;2) – второе:

6. Две следующие функции отличаются знаком, и графики их выглядят по-разному:

7. Еще два похожих графика, вид которых меняется в зависимости от х в показателе степени:

Первый:

Второй:

 

8.Теперь построим график такой функции:

Здесь точкой перемены знака подмодульного выражения является х=4. Тогда на интервале (-∞; 4] функция выглядит так:

А на интервале [4; ∞)  так:

Точка вершины первой параболы (2;-12), она обращена вниз ветвями, точка вершины второй параболы (6, -20), ветви ее обращены вверх. В итоге имеем:

9. Построим график функции, которая, на первый взгляд, выглядит устрашающе:

Однако многочлен в числителе раскладывается на множители:

Точки перемен знака подмодульных выражений – 4 и (-2). Точки эти (они выколоты) разбивают числовую прямую на три интервала, на которых данная функция будет выглядеть:

На первом интервале (-∞; -2):

На втором интервале (-2;4):

На третьем интервале (4;∞):

Строим:

Внесем небольшие изменения, добавив двойку в знаменатель исходной функции:

Тогда точки перемены знака остаются те же, но функция выглядит иначе на разных интервалах:

На первом интервале (-∞; -2):

На втором интервале (-2;4):

На третьем интервале (4;∞):

График изменится:

10. Наконец, последний график мы построим для функции

Начнем построение с “базовой” для этого графика функции

она выглядит так:

Далее добавим знак модуля под корень:

Теперь опустим этот график вниз на 4 единицы по оси у:

“Опрокинем” все, что ниже оси х, вверх,

и не забудем поделить все ординаты на 2:

Графические линейные функции | Колледж алгебры

Результаты обучения

  • Построение линейной функции путем нанесения точек
  • Постройте линейную функцию, используя наклон и точку пересечения оси Y
  • Построение линейной функции с помощью преобразований

Ранее мы видели, что график линейной функции представляет собой прямую линию. Мы также смогли увидеть точки функции, а также начальное значение на графике.

Есть три основных метода построения графиков линейных функций.Первый заключается в нанесении точек, а затем в проведении линии через точки. Второй - с использованием точки пересечения y- и наклона. Третий - применение преобразований к тождественной функции [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].

Построение графика функции по точкам

Чтобы найти точки функции, мы можем выбрать входные значения, оценить функцию по этим входным значениям и вычислить выходные значения. Входные значения и соответствующие выходные значения образуют пары координат.Затем мы наносим пары координат на сетку. В общем, мы должны оценивать функцию как минимум на двух входах, чтобы найти как минимум две точки на графике функции. Например, учитывая функцию [latex] f \ left (x \ right) = 2x [/ latex], мы можем использовать входные значения 1 и 2. Оценка функции для входного значения 1 дает выходное значение 2, которое представлена ​​точкой (1, 2). Оценка функции для входного значения 2 дает выходное значение 4, которое представлено точкой (2, 4).Часто рекомендуется выбирать три точки, потому что, если все три точки не попадают на одну линию, мы знаем, что допустили ошибку.

Как сделать: для данной линейной функции построить график с помощью точек.

  1. Выберите минимум два входных значения.
  2. Оцените функцию для каждого входного значения.
  3. Используйте полученные выходные значения для определения пар координат.
  4. Нанесите пары координат на сетку.
  5. Проведите линию через точки.

Пример: построение графика по точкам

График [латекс] f \ left (x \ right) = - \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex] путем нанесения точек.

Показать решение

Начните с выбора входных значений. Эта функция включает дробь со знаменателем 3, поэтому давайте выберем в качестве входных значений числа, кратные 3. Мы выберем 0, 3 и 6.

Оцените функцию для каждого входного значения и используйте выходное значение для определения пар координат.

[латекс] \ begin {array} {llllll} x = 0 & & f \ left (0 \ right) = - \ frac {2} {3} \ left (0 \ right) + 5 = 5 \ Rightarrow \ left ( 0,5 \ right) \\ x = 3 & & f \ left (3 \ right) = - \ frac {2} {3} \ left (3 \ right) + 5 = 3 \ Rightarrow \ left (3,3 \ вправо) \\ x = 6 & & f \ left (6 \ right) = - \ frac {2} {3} \ left (6 \ right) + 5 = 1 \ Rightarrow \ left (6,1 \ right) \ end {array} [/ latex]

Постройте пары координат и проведите линию через точки.На приведенном ниже графике показана функция [латекс] f \ left (x \ right) = - \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex].

Анализ решения

График функции представляет собой линию, как и ожидалось для линейной функции. Кроме того, график имеет наклон вниз, что указывает на отрицательный наклон. Это также ожидается от отрицательной постоянной скорости изменения уравнения для функции.

Попробуйте

График [латекс] f \ left (x \ right) = - \ frac {3} {4} x + 6 [/ latex] путем нанесения точек.

Показать решение

Построение линейной функции с использованием точки пересечения по оси Y и наклона

Другой способ построения графиков линейных функций - использование конкретных характеристик функции, а не точек.Первая характеристика - это точка пересечения y-, которая является точкой, в которой входное значение равно нулю. Чтобы найти точку пересечения y- , мы можем установить [latex] x = 0 [/ latex] в уравнении.

Другой характеристикой линейной функции является ее наклон м , который является мерой ее крутизны. Напомним, что наклон - это скорость изменения функции. Наклон линейной функции равен отношению изменения выходов к изменению входов.Другой способ думать о наклоне - разделить вертикальную разницу или подъем между любыми двумя точками на горизонтальную разницу или бег. Наклон линейной функции будет одинаковым между любыми двумя точками. Мы столкнулись как с точкой пересечения y-, так и с наклоном в линейных функциях.

Рассмотрим следующую функцию.

[латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x + 1 [/ latex]

Уклон [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex]. Поскольку наклон положительный, мы знаем, что график будет наклоняться вверх слева направо.Пересечение y- - это точка на графике, когда x = 0. График пересекает ось y в точке (0, 1). Теперь мы знаем наклон и пересечение y . Мы можем начать построение графика с построения точки (0, 1). Мы знаем, что уклон возрастает над пробегом, [latex] m = \ frac {\ text {rise}} {\ text {run}} [/ latex]. В нашем примере [latex] m = \ frac {1} {2} [/ latex], что означает, что подъем равен 1, а диапазон равен 2. Начиная с нашего интервала y (0, 1) , мы можем подняться на 1 и затем пробежать 2 или пробежать 2 и затем подняться на 1.Мы повторяем, пока не получим несколько точек, а затем проводим линию через точки, как показано ниже.

Общее примечание: графическая интерпретация линейной функции

В уравнении [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex]

  • b - пересечение графика y и указывает точку (0, b ), в которой график пересекает ось y .
  • м - это наклон линии, указывающий вертикальное смещение (подъем) и горизонтальное смещение (пробег) между каждой последовательной парой точек.Напомним формулу наклона:

[латекс] m = \ frac {\ text {изменение на выходе (подъем)}} {\ text {изменение на входе (запуск)}} = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ frac { {y} _ {2} - {y} _ {1}} {{x} _ {2} - {x} _ {1}} [/ latex]

Вопросы и ответы

Все ли линейные функции имеют точки пересечения y ?

Да. Все линейные функции пересекают ось Y и, следовательно, пересекаются по оси Y. (Примечание: Вертикальная линия, параллельная оси y, не имеет точки пересечения оси y.Имейте в виду, что вертикальная линия - единственная линия, которая не является функцией.)

Практическое руководство. Получив уравнение для линейной функции, постройте график функции, используя точку пересечения

y и наклон.
  1. Оцените функцию при нулевом входном значении, чтобы найти точку пересечения y-.
  2. Определите уклон.
  3. Постройте точку, представленную точкой пересечения y-.
  4. Используйте [latex] \ frac {\ text {rise}} {\ text {run}} [/ latex], чтобы определить еще как минимум две точки на линии.
  5. Проведите линию, проходящую через точки.

Пример: построение графика с использованием точки пересечения

y- и наклона

График [латекс] f \ left (x \ right) = - \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex] с использованием точки пересечения y- и наклона.

Показать решение

Оцените функцию при x = 0, чтобы найти точку пересечения y-. Выходное значение, когда x = 0, равно 5, поэтому график пересечет ось y в точке (0, 5).

Согласно уравнению для функции, наклон линии составляет [латекс] - \ frac {2} {3} [/ latex].Это говорит нам о том, что для каждого вертикального уменьшения «подъема» на [латекс] –2 [/ латекс] единиц, «пробег» увеличивается на 3 единицы в горизонтальном направлении. Теперь мы можем построить график функции, сначала построив точку пересечения y . От начального значения (0, 5) мы перемещаемся вниз на 2 единицы и вправо на 3 единицы. Мы можем продлить линию влево и вправо, повторяя, а затем провести линию через точки.

Анализ решения

График наклонен вниз слева направо, что означает, что он имеет отрицательный наклон, как и ожидалось.

Попробуйте

Найдите точку на графике, который мы нарисовали в примере: построение графика с использованием точки пересечения y и угла наклона, которая имеет отрицательное значение x .

Показать решение

Возможные ответы: [латекс] \ left (-3,7 \ right) [/ latex], [latex] \ left (-6,9 \ right) [/ latex] или [latex] \ left (-9, 11 \ справа) [/ латекс].

Построение графика линейной функции с помощью преобразований

Другой вариант построения графиков - использовать преобразования для функции идентичности [latex] f \ left (x \ right) = x [/ latex].Функция может быть преобразована сдвигом вверх, вниз, влево или вправо. Функция также может быть преобразована с помощью отражения, растяжения или сжатия.

Вертикальное растяжение или сжатие

В уравнении [латекс] f \ left (x \ right) = mx [/ latex], m действует как вертикальное растяжение или сжатие функции идентичности. Когда м отрицательное, также имеется вертикальное отражение графика. Обратите внимание, что умножение уравнения [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex] на m растягивает график f на коэффициент m единиц, если m > 1, и сжимает график f с коэффициентом м единиц, если 0 < м <1.Это означает, что чем больше абсолютное значение м , тем круче уклон.

Вертикальные растяжения, сжатия и отражения на функции [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].

Вертикальный сдвиг

В [latex] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex], b действует как вертикальный сдвиг , перемещая график вверх и вниз, не влияя на наклон линии. Обратите внимание, что добавление значения b к уравнению [latex] f \ left (x \ right) = x [/ latex] сдвигает график f всего на b единиц вверх, если b равно положительный и | b | единиц вниз, если значение b отрицательное.

Этот график иллюстрирует вертикальные сдвиги функции [латекс] f \ влево (x \ вправо) = x [/ латекс].

Использование вертикального растяжения или сжатия вместе с вертикальным сдвигом - еще один способ определения различных типов линейных функций. Хотя это может быть не самый простой способ построить график функций такого типа, все же важно практиковать каждый метод.

Практическое руководство. Учитывая уравнение линейной функции, используйте преобразования, чтобы построить график линейной функции в виде [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex].

  1. График [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].
  2. Растянуть или сжать график по вертикали в м .
  3. Сдвинуть график вверх или вниз b единиц.

Пример: построение графиков с использованием преобразований

График [латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x - 3 [/ latex] с использованием преобразований.

Показать решение

Уравнение для функции показывает, что [latex] m = \ frac {1} {2} [/ latex], поэтому функция идентичности сжимается по вертикали посредством [latex] \ frac {1} {2} [/ latex].Уравнение для функции также показывает, что [latex] b = -3 [/ latex], поэтому функция идентичности смещена по вертикали на 3 единицы.

Сначала изобразите функцию идентичности и покажите вертикальное сжатие.

Функция [latex] y = x [/ latex] сжимается с коэффициентом [latex] \ frac {1} {2} [/ latex].

Затем покажите вертикальный сдвиг.

Функция [latex] y = \ frac {1} {2} x [/ latex] сдвинута на 3 единицы вниз.

Попробуйте

График [латекс] f \ left (x \ right) = 4 + 2x [/ latex], с использованием преобразований.

Показать решение

Вопросы и ответы

В примере: построение графиков с помощью преобразований, могли бы мы изобразить график, изменив порядок преобразований на противоположный?

Нет. Порядок преобразований соответствует порядку операций. Когда функция оценивается на заданном входе, соответствующий выход вычисляется в соответствии с порядком операций. Вот почему мы сначала выполнили сжатие. Например, следуя порядку операций, пусть на входе будет 2.

[латекс] \ begin {array} {l} f \ text {(2)} = \ frac {\ text {1}} {\ text {2}} \ text {(2)} - \ text {3} \ hfill \\ = \ text {1} - \ text {3} \ hfill \\ = - \ text {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Внесите свой вклад!

У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

Улучшить страницуПодробнее

Построение графиков и запись уравнений линейных функций

Результаты обучения

  • Построение линейных функций путем построения точек, с использованием наклона и пересечения по оси Y, а также с использованием преобразований.
  • Напишите уравнение линейной функции по ее графику.
  • Сопоставьте линейные функции с их графиками.
  • Найдите точку пересечения с координатой x функции, заданной ее уравнением.
  • Найдите уравнения вертикальных и горизонтальных линий.
  • Определите, являются ли прямые параллельными или перпендикулярными по их уравнениям.
  • Найдите уравнения прямых, параллельных или перпендикулярных данной прямой.
  • Постройте график функции абсолютного значения.
  • Найдите точки пересечения функции абсолютного значения.

Теперь мы можем описать множество характеристик, которые объясняют поведение линейных функций. Мы будем использовать эту информацию, чтобы проанализировать построенную на графике линию и написать уравнение, основанное на ее наблюдаемых свойствах. Что вы можете определить об этой линейной функции, оценив график?

  • начальное значение (точка пересечения оси Y)?
  • одно или два очка?
  • наклон?
  • увеличивается или уменьшается?
  • вертикальный или горизонтальный?

В этом разделе вы попрактикуетесь в написании линейных функциональных уравнений, используя собранную вами информацию.Мы также попрактикуемся в построении графиков линейных функций с использованием различных методов и спрогнозируем, как графики линейных функций изменятся при изменении частей уравнения.

[латекс] \ [/ латекс]

Графические линейные функции

Ранее мы видели, что график линейной функции представляет собой прямую линию. Мы также смогли увидеть точки функции, а также начальное значение на графике.

Есть три основных метода построения графиков линейных функций.Первый заключается в нанесении точек, а затем в проведении линии через точки. Второй - с использованием точки пересечения y- и наклона. Третий - применение преобразований к тождественной функции [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].

Построение графика функции по точкам

Чтобы найти точки функции, мы можем выбрать входные значения, оценить функцию по этим входным значениям и вычислить выходные значения. Входные значения и соответствующие выходные значения образуют пары координат.Затем мы наносим пары координат на сетку. В общем, мы должны оценивать функцию как минимум на двух входах, чтобы найти как минимум две точки на графике функции. Например, учитывая функцию [latex] f \ left (x \ right) = 2x [/ latex], мы можем использовать входные значения 1 и 2. Оценка функции для входного значения 1 дает выходное значение 2, которое представлена ​​точкой (1, 2). Оценка функции для входного значения 2 дает выходное значение 4, которое представлено точкой (2, 4).Часто рекомендуется выбирать три точки, потому что, если все три точки не попадают на одну линию, мы знаем, что допустили ошибку.

Как сделать: для данной линейной функции построить график с помощью точек.

  1. Выберите минимум два входных значения.
  2. Оцените функцию для каждого входного значения.
  3. Используйте полученные выходные значения для определения пар координат.
  4. Нанесите пары координат на сетку.
  5. Проведите линию через точки.

Пример: построение графика по точкам

График [латекс] f \ left (x \ right) = - \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex] путем нанесения точек.

Показать решение

Начните с выбора входных значений. Эта функция включает дробь со знаменателем 3, поэтому давайте выберем в качестве входных значений числа, кратные 3. Мы выберем 0, 3 и 6.

Оцените функцию для каждого входного значения и используйте выходное значение для определения пар координат.

[латекс] \ begin {array} {llllll} x = 0 & & f \ left (0 \ right) = - \ frac {2} {3} \ left (0 \ right) + 5 = 5 \ Rightarrow \ left ( 0,5 \ right) \\ x = 3 & & f \ left (3 \ right) = - \ frac {2} {3} \ left (3 \ right) + 5 = 3 \ Rightarrow \ left (3,3 \ вправо) \\ x = 6 & & f \ left (6 \ right) = - \ frac {2} {3} \ left (6 \ right) + 5 = 1 \ Rightarrow \ left (6,1 \ right) \ end {array} [/ latex]

Постройте пары координат и проведите линию через точки.На приведенном ниже графике показана функция [латекс] f \ left (x \ right) = - \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex].

Анализ решения

График функции представляет собой линию, как и ожидалось для линейной функции. Кроме того, график имеет наклон вниз, что указывает на отрицательный наклон. Это также ожидается от отрицательной постоянной скорости изменения уравнения для функции.

Попробуйте

График [латекс] f \ left (x \ right) = - \ frac {3} {4} x + 6 [/ latex] путем нанесения точек.

Показать решение

Построение линейной функции с использованием точки пересечения по оси Y и наклона

Другой способ построения графиков линейных функций - использование конкретных характеристик функции, а не точек.Первая характеристика - это точка пересечения y-, которая является точкой, в которой входное значение равно нулю. Чтобы найти точку пересечения y- , мы можем установить [latex] x = 0 [/ latex] в уравнении.

Другой характеристикой линейной функции является ее наклон м , который является мерой ее крутизны. Напомним, что наклон - это скорость изменения функции. Наклон линейной функции равен отношению изменения выходов к изменению входов.Другой способ думать о наклоне - разделить вертикальную разницу или подъем между любыми двумя точками на горизонтальную разницу или бег. Наклон линейной функции будет одинаковым между любыми двумя точками. Мы столкнулись как с точкой пересечения y-, так и с наклоном в линейных функциях.

Рассмотрим следующую функцию.

[латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x + 1 [/ latex]

Уклон [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex]. Поскольку наклон положительный, мы знаем, что график будет наклоняться вверх слева направо.Пересечение y- - это точка на графике, когда x = 0. График пересекает ось y в точке (0, 1). Теперь мы знаем наклон и пересечение y . Мы можем начать построение графика с построения точки (0, 1). Мы знаем, что уклон возрастает над пробегом, [latex] m = \ frac {\ text {rise}} {\ text {run}} [/ latex]. В нашем примере [latex] m = \ frac {1} {2} [/ latex], что означает, что подъем равен 1, а диапазон равен 2. Начиная с нашего интервала y (0, 1) , мы можем подняться на 1 и затем пробежать 2 или пробежать 2 и затем подняться на 1.Мы повторяем, пока не получим несколько точек, а затем проводим линию через точки, как показано ниже.

Общее примечание: графическая интерпретация линейной функции

В уравнении [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex]

  • b - пересечение графика y и указывает точку (0, b ), в которой график пересекает ось y .
  • м - это наклон линии, указывающий вертикальное смещение (подъем) и горизонтальное смещение (пробег) между каждой последовательной парой точек.Напомним формулу наклона:

[латекс] m = \ frac {\ text {изменение на выходе (подъем)}} {\ text {изменение на входе (запуск)}} = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ frac { {y} _ {2} - {y} _ {1}} {{x} _ {2} - {x} _ {1}} [/ latex]

Вопросы и ответы

Все ли линейные функции имеют точки пересечения y ?

Да. Все линейные функции пересекают ось Y и, следовательно, пересекаются по оси Y. (Примечание: Вертикальная линия, параллельная оси y, не имеет точки пересечения оси y.Имейте в виду, что вертикальная линия - единственная линия, которая не является функцией.)

Практическое руководство. Получив уравнение для линейной функции, постройте график функции, используя точку пересечения

y и наклон.
  1. Оцените функцию при нулевом входном значении, чтобы найти точку пересечения y-.
  2. Определите уклон.
  3. Постройте точку, представленную точкой пересечения y-.
  4. Используйте [latex] \ frac {\ text {rise}} {\ text {run}} [/ latex], чтобы определить еще как минимум две точки на линии.
  5. Проведите линию, проходящую через точки.

Пример: построение графика с использованием точки пересечения

y- и наклона

График [латекс] f \ left (x \ right) = - \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex] с использованием точки пересечения y- и наклона.

Показать решение

Оцените функцию при x = 0, чтобы найти точку пересечения y-. Выходное значение, когда x = 0, равно 5, поэтому график пересечет ось y в точке (0, 5).

Согласно уравнению для функции, наклон линии составляет [латекс] - \ frac {2} {3} [/ latex].Это говорит нам о том, что для каждого вертикального уменьшения «подъема» на [латекс] –2 [/ латекс] единиц, «пробег» увеличивается на 3 единицы в горизонтальном направлении. Теперь мы можем построить график функции, сначала построив точку пересечения y . От начального значения (0, 5) мы перемещаемся вниз на 2 единицы и вправо на 3 единицы. Мы можем продлить линию влево и вправо, повторяя, а затем провести линию через точки.

Анализ решения

График наклонен вниз слева направо, что означает, что он имеет отрицательный наклон, как и ожидалось.

Попробуйте

Найдите точку на графике, который мы нарисовали в предыдущем примере: Построение графика с использованием интервала y и угла наклона, имеющего отрицательное значение x .

Показать решение

Возможные ответы: [латекс] \ left (-3,7 \ right) [/ latex], [latex] \ left (-6,9 \ right) [/ latex] или [latex] \ left (-9, 11 \ справа) [/ латекс].

Построение линейной функции с помощью преобразований

Другой вариант построения графиков - использовать преобразования для функции идентичности [latex] f \ left (x \ right) = x [/ latex].Функция может быть преобразована сдвигом вверх, вниз, влево или вправо. Функция также может быть преобразована с помощью отражения, растяжения или сжатия.

Вертикальное растяжение или сжатие

В уравнении [латекс] f \ left (x \ right) = mx [/ latex], m действует как вертикальное растяжение или сжатие функции идентичности. Когда м отрицательное, также имеется вертикальное отражение графика. Обратите внимание, что умножение уравнения [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex] на m растягивает график f на коэффициент m единиц, если m > 1, и сжимает график f с коэффициентом м единиц, если 0 < м <1.Это означает, что чем больше абсолютное значение м , тем круче уклон.

Вертикальные растяжения, сжатия и отражения на функции [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].

Вертикальный сдвиг

В [latex] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex], b действует как вертикальный сдвиг , перемещая график вверх и вниз, не влияя на наклон линии. Обратите внимание, что добавление значения b к уравнению [latex] f \ left (x \ right) = x [/ latex] сдвигает график f всего на b единиц вверх, если b равно положительный и | b | единиц вниз, если значение b отрицательное.

Этот график иллюстрирует вертикальные сдвиги функции [латекс] f \ влево (x \ вправо) = x [/ латекс].

Использование вертикального растяжения или сжатия вместе с вертикальным сдвигом - еще один способ определения различных типов линейных функций. Хотя это может быть не самый простой способ построить график функций такого типа, все же важно практиковать каждый метод.

Практическое руководство. Учитывая уравнение линейной функции, используйте преобразования, чтобы построить график линейной функции в виде [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex].

  1. График [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].
  2. Растянуть или сжать график по вертикали в м .
  3. Сдвинуть график вверх или вниз b единиц.

Пример: построение графиков с использованием преобразований

График [латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x - 3 [/ latex] с использованием преобразований.

Показать решение

Уравнение для функции показывает, что [latex] m = \ frac {1} {2} [/ latex], поэтому функция идентичности сжимается по вертикали посредством [latex] \ frac {1} {2} [/ latex].Уравнение для функции также показывает, что [latex] b = -3 [/ latex], поэтому функция идентичности смещена по вертикали на 3 единицы.

Сначала изобразите функцию идентичности и покажите вертикальное сжатие.

Функция [latex] y = x [/ latex] сжимается с коэффициентом [latex] \ frac {1} {2} [/ latex].

Затем покажите вертикальный сдвиг.

Функция [latex] y = \ frac {1} {2} x [/ latex] сдвинута на 3 единицы вниз.

Попробуйте

График [латекс] f \ left (x \ right) = 4 + 2x [/ latex], с использованием преобразований.

Показать решение

Вопросы и ответы

В примере: построение графиков с помощью преобразований, могли бы мы изобразить график, изменив порядок преобразований на противоположный?

Нет. Порядок преобразований соответствует порядку операций. Когда функция оценивается на заданном входе, соответствующий выход вычисляется в соответствии с порядком операций. Вот почему мы сначала выполнили сжатие. Например, следуя порядку операций, пусть на входе будет 2.

[латекс] \ begin {array} {l} f \ text {(2)} = \ frac {\ text {1}} {\ text {2}} \ text {(2)} - \ text {3} \ hfill \\ = \ text {1} - \ text {3} \ hfill \\ = - \ text {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Написание уравнений линейных функций

Ранее мы написали уравнение для линейной функции из графика. Теперь мы можем расширить наши знания о построении графиков линейных функций для более тщательного анализа графиков. Начните с просмотра графика ниже. Сразу видно, что график пересекает ось y в точке (0, 4), так что это пересечение y .

Затем мы можем вычислить наклон, найдя подъем и пробег. Мы можем выбрать любые две точки, но давайте посмотрим на точку (–2, 0). Чтобы перейти от этой точки к точке пересечения y-, мы должны продвинуться на 4 единицы (подъем) и вправо на 2 единицы (бег). Значит уклон должен быть:

[латекс] m = \ frac {\ text {rise}} {\ text {run}} = \ frac {4} {2} = 2 [/ latex]

Подстановка угла наклона и точки пересечения y- в форму линии пересечения откоса дает:

[латекс] y = 2x + 4 [/ латекс]

Как: по графику линейной функции найдите уравнение для описания функции.

  1. Найдите точку пересечения y- на графике.
  2. Выберите две точки для определения наклона.
  3. Замените точку пересечения y- и уклон в форму линии с пересечением уклона.

Пример: сопоставление линейных функций с их графиками

Сопоставьте каждое уравнение линейной функции с одной из линий на графике ниже.

  1. [латекс] f \ влево (x \ вправо) = 2x + 3 [/ латекс]
  2. [латекс] g \ left (x \ right) = 2x - 3 [/ латекс]
  3. [латекс] h \ left (x \ right) = - 2x + 3 [/ латекс]
  4. [латекс] j \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x + 3 [/ latex]
Показать решение

Проанализируйте информацию по каждой функции.

  1. Эта функция имеет наклон 2 и точку пересечения y 3. Она должна проходить через точку (0, 3) и наклоняться вверх слева направо. Мы можем использовать две точки, чтобы найти наклон, или мы можем сравнить его с другими перечисленными функциями. Функция g имеет тот же наклон, но другую точку пересечения y- . Линии I и III имеют одинаковый уклон, потому что они имеют одинаковый уклон. Линия III не проходит через (0, 3), поэтому f должно быть представлено строкой I.
  2. Эта функция также имеет наклон 2, но угол пересечения y равен –3. Он должен проходить через точку (0, –3) и наклоняться вверх слева направо. Он должен быть представлен линией III.
  3. Эта функция имеет наклон –2 и точку пересечения y- , равную 3. Это единственная перечисленная функция с отрицательным наклоном, поэтому она должна быть представлена ​​линией IV, поскольку она наклонена вниз слева направо.
  4. Эта функция имеет наклон [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] и точку пересечения y- равную 3.Он должен проходить через точку (0, 3) и наклоняться вверх слева направо. Линии I и II проходят через (0, 3), но наклон j меньше, чем наклон f , поэтому линия j должна быть более пологой. Эта функция представлена ​​линией II.

Теперь мы можем перемаркировать строки.

Поиск точки пересечения линии

x

До сих пор мы находили точки пересечения функций y-: точку, в которой график функции пересекает ось y .Функция также может иметь точку пересечения x , - координату x точки, в которой график функции пересекает ось x . Другими словами, это входное значение, когда выходное значение равно нулю.

Чтобы найти точку пересечения x , установите функцию f ( x ) равной нулю и найдите значение x . Например, рассмотрим показанную функцию:

[латекс] f \ left (x \ right) = 3x - 6 [/ латекс]

Установите функцию равной 0 и решите для x .

[латекс] \ begin {array} {l} 0 = 3x - 6 \ hfill \\ 6 = 3x \ hfill \\ 2 = x \ hfill \\ x = 2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

График функции пересекает ось x в точке (2, 0).

Вопросы и ответы

Все ли линейные функции имеют точки пересечения x ?

Нет. Однако линейные функции вида y = c , где c - ненулевое действительное число, являются единственными примерами линейных функций без перехвата x .Например, y = 5 - это горизонтальная линия на 5 единиц выше оси x . У этой функции нет x - перехватывает .

A Общее примечание:

x - интервал

Перехват x функции - это значение x , где f ( x ) = 0. Его можно найти, решив уравнение 0 = mx + b .

Пример: поиск точки перехвата

x

Найдите точку пересечения x [latex] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x - 3 [/ latex].

Показать решение

Установите функцию равной нулю, чтобы найти x .

[латекс] \ begin {array} {l} 0 = \ frac {1} {2} x - 3 \\ 3 = \ frac {1} {2} x \\ 6 = x \\ x = 6 \ end {array} [/ latex]

График пересекает ось x в точке (6, 0).

Анализ решения

График функции показан ниже. Мы видим, что перехват x равен (6, 0), как и ожидалось.

График линейной функции [латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x - 3 [/ latex].

Попробуйте

Найдите точку пересечения x [latex] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {4} x - 4 [/ latex].

Показать решение

[латекс] \ left (16, \ text {0} \ right) [/ latex]

Описание горизонтальных и вертикальных линий

Есть два особых случая линий на графике - горизонтальные и вертикальные линии. Горизонтальная линия указывает постоянный выходной сигнал или значение y . На графике ниже мы видим, что выход имеет значение 2 для каждого входного значения.Изменение выходных сигналов между любыми двумя точками равно 0. В формуле наклона числитель равен 0, поэтому наклон равен 0. Если мы используем м, = 0 в уравнении [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex], уравнение упрощается до [latex] f \ left (x \ right) = b [/ latex]. Другими словами, значение функции постоянно. Этот график представляет функцию [латекс] f \ left (x \ right) = 2 [/ latex].

Горизонтальная линия, представляющая функцию [латекс] f \ left (x \ right) = 2 [/ latex].

Вертикальная линия указывает постоянный ввод или значение x .Мы видим, что входное значение для каждой точки на линии равно 2, но выходное значение варьируется. Поскольку это входное значение отображается более чем на одно выходное значение, вертикальная линия не представляет функцию. Обратите внимание, что между любыми двумя точками изменение входных значений равно нулю. В формуле наклона знаменатель будет равен нулю, поэтому наклон вертикальной линии не определен.

Обратите внимание, что вертикальная линия имеет точку пересечения x , но не имеет точки пересечения y-, если только это не линия x = 0.На этом графике представлена ​​линия x = 2.

Вертикальная линия [латекс] x = 2 [/ latex], которая не представляет функции.

Общее примечание: горизонтальные и вертикальные линии

Линии могут быть горизонтальными или вертикальными.

Горизонтальная линия - это линия, определяемая уравнением вида [латекс] f \ left (x \ right) = b [/ latex], где [latex] b [/ latex] является константой.

Вертикальная линия - это линия, определяемая уравнением вида [латекс] х = а [/ латекс], где [латекс] а [/ латекс] является константой.

Пример: запись уравнения горизонтальной линии

Напишите уравнение линии, изображенной ниже.

Показать решение

Для любого значения x значение y равно [latex] –4 [/ latex], поэтому уравнение [latex] y = –4 [/ latex].

Пример: запись уравнения вертикальной линии

Напишите уравнение линии, изображенной ниже.

Показать решение

Константа x - значение 7, поэтому уравнение [латекс] x = 7 [/ латекс].

Попробуйте

  • Запишите уравнение функции, проходящей через точки [latex] (2,6) [/ latex] и [latex] (4,4) [/ latex] в форме пересечения наклона.
  • Напишите уравнение функции, наклон которой равен 2 и проходит через точку [latex] (- 1,0) [/ latex]
  • Напишите уравнение функции, наклон которой не определен.

Параллельные и перпендикулярные прямые

Две линии на графике ниже - это параллельные линии : они никогда не пересекаются.Обратите внимание, что они имеют одинаковую крутизну, что означает, что их уклоны одинаковы. Единственное различие между двумя линиями - перехват y . Если бы мы сдвинули одну линию по вертикали в сторону пересечения y другой, они стали бы той же линией.

Параллельные линии.

Мы можем определить из их уравнений, параллельны ли две прямые, сравнив их наклоны. Если уклоны одинаковы и точки пересечения и разные, линии параллельны.Если уклоны разные, линии не параллельны.

В отличие от параллельных прямых, перпендикулярные прямые пересекаются. Их пересечение образует прямой или 90-градусный угол. Две линии ниже перпендикулярны.

Перпендикулярные линии.

Перпендикулярные линии не имеют одинакового наклона. Наклоны перпендикулярных линий определенным образом отличаются друг от друга. Наклон одной линии является обратной величиной наклона другой линии. Произведение числа на обратную единицу.Если [latex] {m} _ {1} \ text {и} {m} _ {2} [/ latex] являются отрицательными обратными друг другу, их можно умножить вместе, чтобы получить [latex] -1 [/ latex] .

[латекс] {m} _ {1} * {m} _ {2} = - 1 [/ латекс]

Чтобы найти обратное число, разделите 1 на число. Таким образом, величина, обратная 8, равна [latex] \ frac {1} {8} [/ latex], а обратная величина [latex] \ frac {1} {8} [/ latex] - 8. Чтобы найти обратную обратную величину, сначала найдите обратное, а затем измените знак.

Как и в случае с параллельными линиями, мы можем определить, являются ли две прямые перпендикулярными, сравнивая их наклон.Наклон каждой линии ниже отрицателен, обратный другой, поэтому линии перпендикулярны.

[латекс] \ begin {array} {ll} f \ left (x \ right) = \ frac {1} {4} x + 2 \ hfill & \ text {отрицательная обратная величина} \ frac {1} {4} \ text {is} -4 \ hfill \\ f \ left (x \ right) = - 4x + 3 \ hfill & \ text {отрицательная обратная величина} -4 \ text {is} \ frac {1} {4} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Произведение наклонов равно –1.

[латекс] -4 \ влево (\ frac {1} {4} \ right) = - 1 [/ латекс]

Общее примечание: параллельные и перпендикулярные линии

Две прямые - это параллельные прямые , если они не пересекаются.Наклоны линий такие же.

[латекс] f \ left (x \ right) = {m} _ {1} x + {b} _ {1} \ text {and} g \ left (x \ right) = {m} _ {2} x + {b} _ {2} \ text {параллельны, если} {m} _ {1} = {m} _ {2} [/ latex].

Если и только если [латекс] {b} _ {1} = {b} _ {2} [/ latex] и [latex] {m} _ {1} = {m} _ {2} [/ latex] , мы говорим, что линии совпадают. Совпадающие линии - это одна и та же линия.

Две прямые - это перпендикулярные прямые , если они пересекаются под прямым углом.

[латекс] f \ left (x \ right) = {m} _ {1} x + {b} _ {1} \ text {and} g \ left (x \ right) = {m} _ {2} x + {b} _ {2} \ text {перпендикулярны, если} {m} _ {1} * {m} _ {2} = - 1, \ text {и} {m} _ {2} = - \ frac { 1} {{m} _ {1}} [/ latex].

Пример: определение параллельных и перпендикулярных линий

Учитывая приведенные ниже функции, определите функции, графики которых представляют собой пару параллельных линий и пару перпендикулярных линий.

[латекс] \ begin {array} {l} f \ left (x \ right) = 2x + 3 \ hfill & \ hfill & h \ left (x \ right) = - 2x + 2 \ hfill \\ g \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x - 4 \ hfill & \ hfill & j \ left (x \ right) = 2x - 6 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Показать решение

Параллельные прямые имеют одинаковый наклон. Поскольку функции [latex] f \ left (x \ right) = 2x + 3 [/ latex] и [latex] j \ left (x \ right) = 2x - 6 [/ latex] имеют наклон 2, они представляют собой параллельные линии.Перпендикулярные линии имеют обратный отрицательный наклон. Поскольку −2 и [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] являются обратными отрицательными числами, уравнения [latex] g \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x - 4 [ / latex] и [latex] h \ left (x \ right) = - 2x + 2 [/ latex] представляют собой перпендикулярные линии.

Анализ решения

График линий показан ниже.

График показывает, что линии [латекс] f \ left (x \ right) = 2x + 3 [/ latex] и [latex] j \ left (x \ right) = 2x - 6 [/ latex] параллельны, и линии [латекс] g \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x - 4 [/ latex] и [latex] h \ left (x \ right) = - 2x + 2 [/ latex] перпендикулярны.

Написание уравнений параллельных линий

Если мы знаем уравнение прямой, мы можем использовать то, что мы знаем о наклоне, чтобы написать уравнение прямой, параллельной или перпендикулярной данной прямой.

Предположим, нам дана следующая функция:

[латекс] f \ влево (x \ вправо) = 3x + 1 [/ латекс]

Мы знаем, что наклон линии равен 3. Мы также знаем, что точка пересечения y- равна (0, 1). Любая другая линия с наклоном 3 будет параллельна f ( x ).Линии, сформированные всеми следующими функциями, будут параллельны f ( x ).

[латекс] \ begin {array} {l} g \ left (x \ right) = 3x + 6 \ hfill \\ h \ left (x \ right) = 3x + 1 \ hfill \\ p \ left (x \ справа) = 3x + \ frac {2} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Предположим, мы хотим написать уравнение прямой, параллельной f и проходящей через точку (1, 7). Мы уже знаем, что наклон равен 3. Нам просто нужно определить, какое значение для b даст правильную линию.Мы можем начать с использования формы точечного уклона уравнения для прямой. Затем мы можем переписать его в форме пересечения наклона.

[латекс] \ begin {array} {l} y- {y} _ {1} = m \ left (x- {x} _ {1} \ right) \ hfill \\ y - 7 = 3 \ left ( x - 1 \ right) \ hfill \\ y - 7 = 3x - 3 \ hfill \\ \ text {} y = 3x + 4 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Итак, [latex] g \ left (x \ right) = 3x + 4 [/ latex] параллельно [latex] f \ left (x \ right) = 3x + 1 [/ latex] и проходит через точку (1 , 7).

Как сделать: учитывая уравнение линейной функции, напишите уравнение линии, КОТОРАЯ проходит через данную точку и параллельна данной прямой.

  1. Найдите наклон функции.
  2. Подставляет уклон и заданную точку в форму «точка-уклон» или «наклон-пересечение».
  3. Упростить.

Пример: поиск прямой, параллельной заданной

Найдите прямую, параллельную графику [латекса] f \ left (x \ right) = 3x + 6 [/ latex], которая проходит через точку (3, 0).

Показать решение

Наклон данной линии равен 3. Если мы выберем форму пересечения наклона, мы можем заменить [латекс] m = 3 [/ латекс], [латекс] x = 3 [/ латекс] и [латекс] f (x ) = 0 [/ latex] в форму пересечения наклона, чтобы найти точку пересечения y-.

[латекс] \ begin {array} {l} g \ left (x \ right) = 3x + b \ hfill \\ \ text {} 0 = 3 \ left (3 \ right) + b \ hfill \\ \ text {} b = -9 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Линия, параллельная f ( x ), которая проходит через (3, 0), равна [latex] g \ left (x \ right) = 3x - 9 [/ latex].

Анализ решения

Мы можем подтвердить, что две линии параллельны, построив их график. На рисунке ниже показано, что две линии никогда не пересекутся.

Написание уравнений перпендикулярных прямых

Мы можем использовать очень похожий процесс, чтобы написать уравнение линии, перпендикулярной данной линии.Однако вместо того, чтобы использовать один и тот же наклон, мы используем отрицательную величину, обратную данному наклону. Предположим, нам дана следующая функция:

[латекс] f \ влево (x \ вправо) = 2x + 4 [/ латекс]

Наклон линии равен 2, и его отрицательная обратная величина равна [латекс] - \ frac {1} {2} [/ latex]. Любая функция с наклоном [латекс] - \ frac {1} {2} [/ latex] будет перпендикулярна f ( x ). Линии, образованные всеми следующими функциями, будут перпендикулярны f ( x ).

[латекс] \ begin {array} {l} g \ left (x \ right) = - \ frac {1} {2} x + 4 \ hfill \\ h \ left (x \ right) = - \ frac { 1} {2} x + 2 \ hfill \\ p \ left (x \ right) = - \ frac {1} {2} x- \ frac {1} {2} \ hfill \ end {array} [/ latex ]

Как и раньше, мы можем сузить наш выбор для конкретной перпендикулярной линии, если мы знаем, что она проходит через данную точку. Предположим, что мы хотим написать уравнение линии, которая перпендикулярна f ( x ) и проходит через точку (4, 0). Мы уже знаем, что наклон [латекс] - \ frac {1} {2} [/ latex].Теперь мы можем использовать точку, чтобы найти точку пересечения y , подставив заданные значения в форму пересечения линии наклона и решив для b .

[латекс] \ begin {array} {l} g \ left (x \ right) = mx + b \ hfill \\ 0 = - \ frac {1} {2} \ left (4 \ right) + b \ hfill \\ 0 = -2 + b \ hfill \\ 2 = b \ hfill \\ b = 2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Уравнение для функции с наклоном [латекс] - \ frac {1} {2} [/ latex] и точкой пересечения y- , равной 2, составляет

[латекс] g \ left (x \ right) = - \ frac {1} {2} x + 2 [/ latex].

Итак, [латекс] g \ left (x \ right) = - \ frac {1} {2} x + 2 [/ latex] перпендикулярен [латексу] f \ left (x \ right) = 2x + 4 [/ латекс] и проходит через точку (4, 0). Имейте в виду, что перпендикулярные линии могут не выглядеть явно перпендикулярными на графическом калькуляторе, если мы не используем функцию квадратного масштабирования.

Вопросы и ответы

Горизонтальная линия имеет нулевой наклон, а вертикальная линия имеет неопределенный наклон. Эти две линии перпендикулярны, но произведение их наклонов не равно –1. Не противоречит ли этот факт определению перпендикулярных линий?

№Для двух перпендикулярных линейных функций произведение их угловых коэффициентов равно –1. Однако вертикальная линия не является функцией, поэтому определение не противоречит.

Как сделать: учитывая уравнение линейной функции, напишите уравнение линии, КОТОРАЯ проходит через данную точку и перпендикулярна данной линии.

  1. Найдите наклон заданной функции.
  2. Определите отрицательную обратную величину уклона.
  3. Подставьте новый наклон и значения для x и y из данной точки в [latex] g \ left (x \ right) = mx + b [/ latex].
  4. Решите относительно b .
  5. Напишите уравнение линии.

Пример: поиск уравнения перпендикулярной прямой

Найдите уравнение линии, перпендикулярной [латексу] f \ left (x \ right) = 3x + 3 [/ latex], которая проходит через точку (3, 0).

Показать решение

Исходная линия имеет наклон [латекс] m = 3 [/ latex], поэтому наклон перпендикулярной линии будет обратной обратной величиной [латекс] - \ frac {1} {3} [/ latex]. Используя этот наклон и данную точку, мы можем найти уравнение для прямой.

[латекс] \ begin {array} {l} g \ left (x \ right) = - \ frac {1} {3} x + b \ hfill \\ 0 = - \ frac {1} {3} \ left (3 \ right) + b \ hfill \\ \ text {} 1 = b \ hfill \\ b = 1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Линия, перпендикулярная к f ( x ), которая проходит через (3, 0), это [латекс] g \ left (x \ right) = - \ frac {1} {3} x + 1 [/ latex] .

Анализ решения

График двух линий показан ниже.

Попробуйте

  1. Для какого пересечения по оси Y график [latex] f (x) [/ latex] будет проходить через точку [latex] (- 2,5) [/ latex]?
  2. Добавьте новую функцию, которая использует уклон м , которая создаст линию, перпендикулярную функции [latex] f (x) = mx-2 [/ latex].
  3. За какой перехват по оси Y новая функция будет проходить через точку [latex] (4,1) [/ latex] и по-прежнему будет перпендикулярна [latex] f (x) [/ latex]
Показать решение
  1. Когда точка пересечения оси Y равна [latex] (0,3) [/ latex], функция будет [latex] f (x) = mx + 3 [/ latex] и функция будет проходить через точку [latex] (-2,5) [/ латекс].
  2. Например,
  3. [латекс] f (x) = \ frac {-1} {m} x-2 [/ latex]. Подойдет любое значение точки пересечения по оси Y.
  4. Пересечение оси y [latex] (0, -3) [/ latex] даст линию, перпендикулярную [latex] f (x) [/ latex], которая проходит через точку [latex] (4,1) [/ латекс].

Как сделать: даны две точки на линии и третья точка, напишите уравнение перпендикулярной линии, проходящей через точку.

  1. Определите наклон линии, проходящей через точки.
  2. Найдите отрицательное значение, обратное наклону.
  3. Используйте форму наклона-пересечения или форму точки-наклона, чтобы написать уравнение, подставляя известные значения.
  4. Упростить.

Пример: поиск уравнения прямой, проходящей через точку и перпендикулярной заданной прямой

Линия проходит через точки (–2, 6) и (4, 5).Найдите уравнение прямой, проходящей через точку (4, 5).

Показать решение

По двум точкам данной линии мы можем вычислить наклон этой линии.

[латекс] \ begin {array} {l} {m} _ {1} = \ frac {5-6} {4- \ left (-2 \ right)} \ hfill \\ {m} _ {1} = \ frac {-1} {6} \ hfill \\ {m} _ {1} = - \ frac {1} {6} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Найдите отрицательное значение, обратное наклону.

[латекс] \ begin {array} {l} {m} _ {2} = \ frac {-1} {- \ frac {1} {6}} \ hfill \\ {m} _ {2} = - 1 \ left (- \ frac {6} {1} \ right) \ hfill \\ {m} _ {2} = 6 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Затем мы можем найти точку пересечения y- прямой, проходящей через точку (4, 5).

[латекс] \ begin {array} {l} g \ left (x \ right) = 6x + b \ hfill \\ 5 = 6 \ left (4 \ right) + b \ hfill \\ 5 = 24 + b \ hfill \\ -19 = b \ hfill \\ b = -19 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Уравнение линии, проходящей через точку (4, 5) и перпендикулярной линии, проходящей через две заданные точки: [латекс] y = 6x - 19 [/ латекс].

Попробуйте

Линия проходит через точки (–2, –15) и (2, –3). Найдите уравнение перпендикулярной линии, проходящей через точку (6, 4).

Показать решение

[латекс] y = - \ frac {1} {3} x + 6 [/ латекс]

Функции абсолютного значения

Расстояния в глубоком космосе можно измерить во всех направлениях. Таким образом, полезно рассматривать расстояние в абсолютных величинах. (кредит: «s58y» / Flickr)

До 1920-х годов считалось, что так называемые спиральные туманности представляют собой облака пыли и газа в нашей галактике на расстоянии нескольких десятков тысяч световых лет от нас. Затем астроном Эдвин Хаббл доказал, что эти объекты сами по себе являются галактиками на расстояниях в миллионы световых лет.Сегодня астрономы могут обнаруживать галактики, удаленные от нас на миллиарды световых лет. Расстояния во Вселенной можно измерить во всех направлениях. Таким образом, полезно рассматривать расстояние как функцию абсолютного значения. В этом разделе мы исследуем функцию абсолютного значения .

Понимание абсолютного значения

Напомним, что в своей базовой форме [latex] \ displaystyle {f} \ left ({x} \ right) = {| x |} [/ latex], функция абсолютного значения, является одной из функций нашего набора инструментов. Абсолютное значение Функция обычно рассматривается как обеспечение расстояния, на котором число от нуля на числовой прямой.Алгебраически, для любого входного значения, выход - это значение без учета знака.

A Общее примечание: функция абсолютного значения

Функция абсолютного значения может быть определена как кусочная функция

[латекс] f (x) = \ begin {cases} x, \ x \ geq 0 \\ -x, x <0 \\ \ end {cases} [/ latex]

Пример: определение числа в пределах заданного расстояния

Опишите все значения [latex] x [/ latex] в пределах или включая расстояние 4 от числа 5.

Показать решение

Мы хотим, чтобы расстояние между [latex] x [/ latex] и 5 было меньше или равно 4. Мы можем нарисовать числовую линию, чтобы обозначить условие, которое должно быть выполнено.

Расстояние от [latex] x [/ latex] до 5 можно представить с помощью [latex] | x - 5 | [/ latex]. Нам нужны значения [latex] x [/ latex], которые удовлетворяют условию [latex] | x - 5 | \ le 4 [/ latex].

Анализ решения

Обратите внимание, что

[латекс] \ displaystyle {-4} \ le {x - 5} [/ latex]
[латекс] \ displaystyle {1} \ le {x} [/ latex]
и:
[латекс] \ displaystyle {x -5} \ le {4} [/ latex]
[латекс] \ displaystyle {x} \ le {9} [/ latex]

Итак, [latex] | x - 5 | \ le 4 [/ latex] равно [latex] 1 \ le x \ le 9 [/ latex].

Однако математики обычно предпочитают запись абсолютных значений.

Попробуйте

Опишите все значения [latex] x [/ latex] на расстоянии 3 от числа 2.

Показать решение

[латекс] | x - 2 | \ le 3 [/ латекс]

Пример: сопротивление резистора

Электрические детали, такие как резисторы и конденсаторы, поставляются с указанными значениями рабочих параметров: сопротивления, емкости и т. Д. Однако из-за неточности изготовления фактические значения этих параметров несколько варьируются от детали к детали, даже если они предполагаются. быть таким же.Лучшее, что могут сделать производители, - это попытаться гарантировать, что вариации останутся в пределах указанного диапазона, часто [latex] \ pm 1 \%, \ pm5 \%, [/ latex] или [latex] \ displaystyle \ pm10 \%. [/латекс].

Предположим, у нас есть резистор на 680 Ом, [латекс] \ pm 5 \% [/ latex]. Используйте функцию абсолютного значения, чтобы выразить диапазон возможных значений фактического сопротивления.

Показать решение

5% от 680 Ом составляет 34 Ом. Абсолютное значение разницы между фактическим и номинальным сопротивлением не должно превышать заявленную изменчивость, поэтому с сопротивлением [латекс] R [/ латекс] в Ом

[латекс] | R - 680 | \ le 34 [/ латекс]

Попробуйте

Студенты, набравшие в пределах 20 баллов из 80, пройдут тест.Запишите это как расстояние от 80, используя обозначение абсолютного значения.

Показать решение

Использование переменной [latex] p [/ latex] для передачи, [latex] | p - 80 | \ le 20 [/ latex].

Наиболее важной особенностью графика абсолютных значений является угловая точка, в которой график меняет направление. Эта точка отображается в исходной точке .

На графике ниже [латекс] y = 2 \ left | x - 3 \ right | +4 [/ latex]. График [latex] y = | x | [/ latex] был сдвинут вправо на 3 единицы, растянут по вертикали в 2 раза и сдвинут на 4 единицы вверх.Это означает, что угловая точка расположена в [latex] \ left (3,4 \ right) [/ latex] для этой преобразованной функции.

Пример: написание уравнения для функции абсолютного значения

Напишите уравнение для функции, показанной ниже.

Показать решение

Основная функция абсолютного значения изменяет направление в начале координат, поэтому этот график сдвинут вправо на 3 единицы и на 2 единицы вниз от базовой функции инструментария.

Мы также замечаем, что график выглядит растянутым по вертикали, потому что ширина окончательного графика на горизонтальной линии не равна двукратному расстоянию по вертикали от угла до этой линии, как это было бы для функции абсолютного значения без растяжения.Вместо этого ширина равна 1 вертикальному расстоянию.

Из этой информации мы можем написать уравнение

[латекс] \ begin {array} {l} f \ left (x \ right) = 2 \ left | x - 3 \ right | -2, \ hfill & \ text {обработка растяжения как вертикального растяжения, или} \ hfill \\ f \ left (x \ right) = \ left | 2 \ left (x - 3 \ right) \ right | -2, \ hfill & \ text {обработка растяжения как горизонтального сжатия}. \ hfill \ конец {array} [/ latex]

Анализ решения

Обратите внимание, что эти уравнения алгебраически одинаковы - растяжение для функции абсолютного значения может быть взаимозаменяемо записано как вертикальное или горизонтальное растяжение или сжатие.

Вопросы и ответы

Если бы мы не могли наблюдать растяжение функции по графикам, могли бы мы его определить алгебраически?

Да. Если мы не можем определить растяжение на основе ширины графика, мы можем вычислить коэффициент растяжения, введя известную пару значений для [latex] x [/ latex] и [latex] f \ left (x \ справа) [/ латекс].

[латекс] f \ left (x \ right) = a | x - 3 | -2 [/ латекс]

Теперь подставляем в точку (1, 2)

[латекс] \ begin {array} {l} 2 = a | 1-3 | -2 \ hfill \\ 4 = 2a \ hfill \\ a = 2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Попробуйте

Напишите уравнение для функции абсолютного значения, которая сдвигается по горизонтали на 2 единицы влево, переворачивается по вертикали и смещается по вертикали на 3 единицы.

Показать решение

[латекс] f \ left (x \ right) = - | x + 2 | +3 \\ [/ латекс]

Вопросы и ответы

Всегда ли графики функций абсолютных значений пересекают вертикальную ось? Горизонтальная ось?

Да, они всегда пересекают вертикальную ось. График функции абсолютного значения будет пересекать вертикальную ось, когда вход равен нулю.

Нет, они не всегда пересекают горизонтальную ось. График может пересекать или не пересекать горизонтальную ось в зависимости от того, как график был смещен и отражен.Функция абсолютного значения может пересекать горизонтальную ось в нуле, одной или двух точках.

(a) Функция абсолютного значения не пересекает горизонтальную ось. (b) Функция абсолютного значения пересекает горизонтальную ось в одной точке. (c) Функция абсолютного значения пересекает горизонтальную ось в двух точках.

Найдите точки пересечения функции абсолютного значения

Знать, как решать задачи, связанные с функциями абсолютного значения полезно.Например, нам может потребоваться определить числа или точки на линии, которые находятся на заданном расстоянии от заданной контрольной точки.

Как: по формуле для функции абсолютного значения найдите горизонтальные пересечения ее графика.

  1. Выделите член абсолютного значения.
  2. Используйте [latex] | A | = B [/ latex] для записи [latex] A = B [/ latex] или [latex] \ mathrm {-A} = B [/ latex], предполагая, что [latex] B> 0 [/латекс].
  3. Найдите [латекс] x [/ latex].

Пример: поиск нулей функции абсолютного значения

Для функции [latex] f \ left (x \ right) = | 4x + 1 | -7 [/ latex] найдите такие значения [latex] x [/ latex], что [latex] \ text {} f \ left (x \ right) = 0 [/ латекс].

Показать решение

[латекс] \ begin {array} {l} 0 = | 4x + 1 | -7 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text {Заменить 0 на} f \ left ( x \ right). \ hfill \\ 7 = | 4x + 1 | \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text {Изолировать абсолютное значение на одной стороне уравнения}. \ hfill \\ \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ 7 = 4x + 1 \ hfill & \ text {или} \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & -7 = 4x + 1 \ hfill & \ text {Разбейте на два отдельных уравнения и решите}.\ hfill \\ 6 = 4x \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & -8 = 4x \ hfill & \ hfill \\ \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ x = \ frac {6} {4} = 1.5 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text {} x = \ frac {-8} {4} = - 2 \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

Функция возвращает 0, если [latex] x = 1,5 [/ latex] или [latex] x = -2 [/ latex].

Попробуйте

Для функции [latex] f \ left (x \ right) = | 2x - 1 | -3 [/ latex] найдите такие значения [latex] x [/ latex], что [latex] f \ left (x \ right) = 0 [/ латекс].

Показать решение

[латекс] x = -1 [/ латекс] или [латекс] x = 2 [/ латекс]

Ключевые понятия

  • Линейные функции могут быть построены на графике путем нанесения точек или с помощью точки пересечения y и наклона.
  • Графики линейных функций можно преобразовать, сдвигая график вверх, вниз, влево или вправо, а также используя растяжения, сжатия и отражения.
  • Пересечение y и наклон линии можно использовать для записи уравнения линии.
  • Пересечение x - это точка, в которой график линейной функции пересекает ось x .
  • Горизонтальные линии записываются в виде [латекс] f (x) = b [/ latex].
  • Вертикальные линии записываются в виде [латекс] x = b [/ латекс].
  • Параллельные прямые имеют одинаковый наклон.
  • Перпендикулярные линии имеют обратный отрицательный наклон, при условии, что ни один из них не является вертикальным.
  • Линия, параллельная другой линии, проходящая через данную точку, может быть найдена путем подстановки значения наклона линии и значений x и y данной точки в уравнение [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex] и получаем результат b .Аналогичным образом можно использовать форму уравнения «точка-наклон».
  • Линия, перпендикулярная другой линии, проходящая через данную точку, может быть найдена таким же образом, за исключением использования отрицательного обратного наклона.
  • Функция абсолютного значения обычно используется для измерения расстояний между точками.
  • Прикладные задачи, такие как диапазоны возможных значений, также могут быть решены с помощью функции абсолютного значения.
  • График функции абсолютного значения напоминает букву V.У него есть угловая точка, в которой график меняет направление.
  • В уравнении абсолютного значения неизвестная переменная является входом функции абсолютного значения.
  • Если абсолютное значение выражения установлено равным положительному числу, ожидайте два решения для неизвестной переменной.
  • Уравнение абсолютного значения может иметь одно решение, два решения или не иметь решений.
  • Неравенство абсолютного значения аналогично уравнению абсолютного значения, но принимает форму [latex] | A | B, \ text {или} | A | \ ge B [ /латекс].Ее можно решить, определив границы набора решений и затем проверив, какие сегменты входят в набор.
  • Неравенства абсолютных значений также могут быть решены графически.

Глоссарий

Уравнение абсолютного значения
уравнение вида [латекс] | A | = B [/ латекс], где [латекс] B \ ge 0 [/ латекс]; у него будут решения, когда [латекс] A = B [/ latex] или [latex] -A = B [/ latex]
неравенство по абсолютной величине
отношение в форме [латекс] | {A} | <{B}, | {A} | \ le {B}, | {A} |> {B}, \ text {или} | {A} | \ ge {B} [/ latex]
горизонтальная линия
строка, определенная как [латекс] f \ left (x \ right) = b [/ latex], где b - действительное число.Наклон горизонтальной прямой 0,
параллельные линии
две или более линий с одинаковым уклоном
перпендикулярные линии
две линии, пересекающиеся под прямым углом и имеющие отрицательные значения, обратные друг другу
вертикальная линия
строка, определяемая как [latex] x = a [/ latex], где a - действительное число. Наклон вертикальной линии не определен.
x - перехват
точка на графике линейной функции, когда выходное значение равно 0; точка, в которой график пересекает горизонтальную ось

Линейные функции и их графики

Обзор линий графика

Напомним, что множество всех решений линейного уравнения может быть представлено на прямоугольной координатной плоскости с помощью прямой линии, проходящей по крайней мере через две точки; эта линия называется ее графиком.Например, чтобы построить график линейного уравнения 8x + 4y = 12, мы сначала решим относительно y .

8x + 4y = 12 Вычтем 8x с обеих сторон. 4y = −8x + 12 Разделим обе части на 4. y = −8x + 124 Упростим. Y = −8x4 + 124y = −2x + 3

Написано в этой форме, мы видим, что y зависит от x ; другими словами, x - это независимая переменная, которая определяет значения других переменных. Обычно мы думаем о x -значении упорядоченной пары ( x , y ) как о независимой переменной.и y - зависимая переменная Переменная, значение которой определяется значением независимой переменной. Обычно мы думаем о значении y упорядоченной пары ( x , y ) как о зависимой переменной. Выберите как минимум два значения x и найдите соответствующие значения y . Рекомендуется выбирать ноль, некоторые отрицательные числа, а также некоторые положительные числа. Здесь мы выберем пять значений x , определим соответствующие значения y , а затем сформируем репрезентативный набор упорядоченных парных решений.

x

y

y = −2x + 3

Решения

-2

7

y = −2 (−2) + 3 = 4 + 3 = 7

(-2, 7)

-1

5

y = −2 (−1) + 3 = 2 + 3 = 5

(-1, 5)

0

3

y = −2 (0) + 3 = 0 + 3 = 3

(0, 3)

4

−5

y = −2 (4) + 3 = −8 + 3 = −5

(4, −5)

6

−9

y = −2 (6) + 3 = −12 + 3 = −9

(6, −9)

Постройте точки и проведите через них линию с помощью линейки.Не забудьте добавить стрелки на обоих концах, чтобы указать, что график неограничен.

Результирующая линия представляет все решения 8x + 4y = 12, которых бесконечно много. Вышеупомянутый процесс описывает метод построения графиков, известный как построение точек. Способ определения графика с использованием конечного числа типичных упорядоченных парных решений. Этот метод будет использоваться для построения графиков более сложных функций по мере продвижения в этом курсе.

Крутизну любого наклона можно измерить как отношение вертикального изменения к горизонтальному.Например, уклон 5% можно записать как 5100, что означает, что на каждые 100 футов вперед высота увеличивается на 5 футов.

В математике мы называем наклон линии наклоном Наклон линии, измеряемый как отношение вертикального изменения к горизонтальному изменению, часто называемый «подъем через пробег», обозначается буквой м . Вертикальное изменение называется подъемом. Вертикальное изменение между любыми двумя точками на линии. Горизонтальное изменение называется пробегом. Горизонтальное изменение между любыми двумя точками на линии.. Для любых двух точек (x1, y1) и (x2, y2) мы можем получить подъем и бег, вычитая соответствующие координаты.

Это приводит нас к формуле наклона. Наклон прямой, проходящей через точки (x1, y1) и (x2, y2), задается формулой m = y2 − y1x2 − x1 .. Для любых двух точек (x1, y1) и (x2, y2), наклон определяется по формуле:

Уклон m = riserun = y2 − y1x2 − x1 = ΔyΔx ← Изменение y ← Изменение x

Греческая буква дельта (Δ) часто используется для описания изменения количества.Поэтому наклон иногда описывают с использованием обозначения ΔyΔx, которое представляет изменение y , деленное на изменение x .

Пример 1

Найдите наклон прямой, проходящей через (−3, −5) и (2, 1).

Решение:

Учитывая (−3, −5) и (2, 1), вычислите разницу значений y , деленную на разность значений x . Будьте последовательны при вычитании координат:

(x1, y1) (x2, y2) (- 3, −5) (2,1)

м = y2 − y1x2 − x1 = 1 - (- 5) 2 - (- 3) = 1 + 52 + 3 = 65

Неважно, какую точку вы считаете первой и второй.Однако, поскольку вычитание не является коммутативным, вы должны позаботиться о том, чтобы вычесть координаты первой точки из координат второй точки в том же порядке. Например, мы получим тот же результат, если применим формулу наклона с переключенными точками:

(x1, y1) (x2, y2) (2,1) (−3, −5)

м = y2 − y1x2 − x1 = −5−1−3−2 = −6−5 = 65

Ответ: m = 65

Убедитесь, что наклон равен 65, построив линию, описанную в предыдущем примере.

Конечно, график не является обязательным; Красота формулы наклона состоит в том, что для любых двух точек мы можем получить наклон, используя только алгебру.

Пример 2

Найдите значение y , для которого наклон прямой, проходящей через (6, −3) и (−9, y), равен −23.

Решение:

Подставить данную информацию в формулу наклона.

Наклон (x1, y1) (x2, y2) m = −23 (6, −3) (−9, y)

м = y2 − y1x2 − x1−23 = y - (- 3) −9−6−23 = y + 3 −15

После подстановки данной информации остается единственная переменная y .Решить.

−15 (−23) = - 15 (−y + 3 15) 10 = y + 37 = y

Ответ: y = 7

Имеется четыре геометрических случая для значения наклона.

Если читать график слева направо, линии с наклоном вверх имеют положительный наклон, а линии с наклоном вниз - отрицательный. В двух других случаях используются горизонтальные и вертикальные линии. Напомним, что если k - действительное число, мы имеем

y = k Горизонтальная линия x = k Вертикальная линия

Например, если мы построим график y = 2, мы получим горизонтальную линию, а если мы построим график x = −4, мы получим вертикальную линию.

Из графиков мы можем определить две точки и рассчитать наклон по формуле наклона.

Горизонтальная линия

Вертикальная линия

(x1, y1) (x2, y2) (- 3,2) (3, 2)

m = y2 − y1x2 − x1 = 2− (2) 3 - (- 3) = 2−23 + 3 = 06 = 0

(x1, y1) (x2, y2) (- 4, −1) (−4, 1)

m = y2 − y1x2 − x1 = 1 - (- 1) −4 - (- 4) = 1 + 1−4 + 4 = 20 Не определено

Обратите внимание, что точки на горизонтальной линии имеют одинаковые значения y .Следовательно, подъем равен нулю и, следовательно, наклон равен нулю. Точки на вертикальной линии имеют одинаковые значения x . Следовательно, пробег равен нулю, что приводит к неопределенному уклону. В целом

Линейные функции

Для любого линейного уравнения в стандартной форме Любая невертикальная линия может быть записана в стандартной форме ax + by = c., Ax + by = c, мы можем решить для y , чтобы получить форму пересечения наклона Любая невертикальная линия может быть записана в форма y = mx + b, где м - наклон, а (0, b ) - пересечение y ., у = mx + b. Например,

3x − 4y = 8 ← Стандартная форма − 4y = −3x + 8y = −3x + 8−4y = −3x − 4 + 8−4y = 34x − 2 ← Форма пересечения наклона

Где x = 0, мы видим, что y = −2 и, следовательно, (0, −2) - решение для упорядоченной пары. Это точка, в которой график пересекает ось y и называется пересечением y Точка (или точки), где график пересекает ось y , выраженную в виде упорядоченной пары (0, y ) .. Мы можем использовать эту точку и наклон как средство для быстрого построения линии.Например, чтобы построить график y = 34x − 2, начните с точки пересечения y (0, −2) и отметьте наклон, чтобы найти вторую точку. Затем используйте эти точки, чтобы построить линию следующим образом:

Тест с вертикальной линией показывает, что этот график представляет функцию. Кроме того, домен и диапазон состоят из всех действительных чисел.

В общем случае линейная функция Любая функция, которую можно записать в форме f (x) = mx + b, является функцией, которую можно записать в форме f (x) = mx + b Линейная функция где уклон м и b представляют любые действительные числа.Поскольку y = f (x), мы можем использовать y и f (x) как взаимозаменяемые, а упорядоченные парные решения на графе (x, y) можно записать в форме (x, f (x)).

(х, у) ⇔ (х, f (х))

Мы знаем, что любой интервал y будет иметь значение x , равное нулю. Следовательно, перехват y может быть выражен как упорядоченная пара (0, f (0)). Для линейных функций

f (0) = m (0) + b = b

Следовательно, перехват y любой линейной функции равен (0, b).Чтобы найти точку пересечения x Точка (или точки), где график пересекает ось x , выраженную в виде упорядоченной пары ( x , 0)., Точка, в которой функция пересекает ось x . , находим x , где y = 0 или f (x) = 0.

Пример 3

Изобразите линейную функцию f (x) = - 53x + 6 и обозначьте точку пересечения x .

Решение:

Из функции мы видим, что f (0) = 6 (или b = 6) и, следовательно, перехват y равен (0, 6).Также мы можем видеть, что наклон m = −53 = −53 = riserun. Начиная с точки пересечения и , отметьте вторую точку на 5 единиц ниже и на 3 единицы вправо. Проведите линейкой линию, проходящую через эти две точки.

Чтобы определить интервал x , найдите значение x , при котором функция равна нулю. Другими словами, определите x , где f (x) = 0.

f (x) = - 53x + 60 = −53x + 653x = 6 (35) 53x = (35) 6x = 185 = 335

Следовательно, интервал x равен (185,0).Общее правило - помечать все важные точки, которые нельзя четко прочитать на графике.

Ответ:

Пример 4

Определите линейную функцию, которая определяет данный график, и найдите точку пересечения x .

Решение:

Начнем с считывания наклона графика. В этом случае даются два балла, и мы видим, что

м = стояк = −23

Кроме того, перехват y равен (0, 3) и, следовательно, b = 3.Мы можем подставить в уравнение любую линейную функцию.

г (х) = mx + b ↓↓ g (x) = - 23x + 3

Чтобы найти точку пересечения x , мы устанавливаем g (x) = 0 и решаем относительно x .

г (x) = - 23x + 30 = −23x + 323x = 3 (32) 23x = (32) 3x = 92 = 412

Ответ: g (x) = - 23x + 3; x -перехват: (92,0)

Далее рассмотрим горизонтальные и вертикальные линии. Используйте тест вертикальной линии, чтобы убедиться, что любая горизонтальная линия представляет функцию, а вертикальная - нет.

Для любой горизонтальной линии тест вертикальной линии показывает, что каждое значение x в домене соответствует ровно одному значению y в диапазоне; это функция. С другой стороны, вертикальная линия не проходит тест вертикальной линии; это не функция. Вертикальная линия представляет собой набор упорядоченных пар, в которых все элементы в домене одинаковы. Это нарушает требование о том, что функции должны связывать ровно один элемент в диапазоне с каждым элементом в домене.Резюмируем следующим образом:

Горизонтальная линия

Вертикальная линия

Уравнение:

y = 2

х = −3

пересечение по оси x:

Нет

(−3,0)

Y-пересечение:

(0,2)

Нет

Домен:

(-∞, ∞)

{−3}

Диапазон:

{2}

(-∞, ∞)

Функция:

Есть

Нет

Горизонтальная линия часто называется постоянной функцией .Дано любое действительное число c ,

f (x) = c Константа функция

Пример 5

Изобразите график постоянной функции g (x) = - 2 и укажите домен и диапазон.

Решение:

Здесь дана постоянная функция, эквивалентная y = −2. Это определяет горизонтальную линию через (0, −2).

Ответ: Домен: ℝ; диапазон: {−2}

Попробуй! График f (x) = 3x − 2 и обозначьте точку пересечения x .

Ответ:

Линейные уравнения и неравенства: графическая интерпретация

Мы можем использовать идеи этого раздела, чтобы развить геометрическое понимание того, что значит решать уравнения вида f (x) = g (x), где f и g являются линейными функциями. Используя алгебру, мы можем решить линейное уравнение 12x + 1 = 3 следующим образом:

12x + 1 = 312x = 2 (2) 12x = (2) 2x = 4

Решение этого уравнения: x = 4.Геометрически это значение x пересечения двух графиков f (x) = 12x + 1 и g (x) = 3. Идея состоит в том, чтобы построить график линейных функций по обе стороны от уравнения и определить, где графики совпадают.

Пример 6

График f (x) = 12x + 1 и g (x) = 3 на одном и том же наборе осей и определяет, где f (x) = g (x).

Решение:

Здесь f - линейная функция с наклоном 12 и y -пересечение (0,1).Функция g является постоянной функцией и представляет собой горизонтальную линию. Изобразите обе эти функции на одном наборе осей.

Из графика видно, что f (x) = g (x), где x = 4. Другими словами, 12x + 1 = 3, где x = 4.

Ответ: x = 4

Мы можем немного расширить геометрическую интерпретацию, чтобы решить неравенства. Например, мы можем решить линейное неравенство 12x + 1≥3, используя алгебру, следующим образом:

12x + 1≥312x≥2 (2) 12x≥ (2) 2x≥4

Набор решений состоит из всех действительных чисел, больших или равных 4.Геометрически это значения x , для которых график f (x) = 12x + 1 лежит выше графика g (x) = 3.

Пример 7

График f (x) = 12x + 1 и g (x) = 3 на одном и том же наборе осей и определить, где f (x) ≥g (x).

Решение:

На графике мы видим это заштрихованным.

Из графика видно, что f (x) ≥g (x) или 12x + 1≥3, где x≥4.

Ответ: Значения x , решающие неравенство, в интервальной нотации равны [4, ∞).

Ключевые выводы

  • Мы можем рисовать линии, нанося точки. Выберите несколько значений для x , найдите соответствующие значения y и затем постройте полученные решения для упорядоченных пар. Проведите линию через точки с помощью линейки, чтобы завершить график.
  • Для любых двух точек на прямой мы можем вычислить наклон алгебраически, используя формулу наклона, m = riserun = y2 − y1x2 − x1 = ΔyΔx.
  • Используйте форму пересечения наклона y = mx + b, чтобы быстро нарисовать график линии.От точки пересечения y (0, b) отметьте наклон, чтобы определить вторую точку. Поскольку две точки определяют линию, проведите линию через эти две точки линейкой, чтобы завершить график.
  • Линейные функции имеют вид f (x) = mx + b, где наклон m и b - действительные числа. Чтобы найти перехват x , если он существует, установите f (x) = 0 и решите для x .
  • Поскольку y = f (x), мы можем использовать y, и f (x) как взаимозаменяемые.Любую точку на графике функции можно выразить с помощью обозначения функции (x, f (x)).

Тематические упражнения

    Часть A: Построение линий по точкам

      Найдите пять упорядоченных парных решений и график.

      Найдите наклон прямой, проходящей через заданные точки.

    1. (-52,14) и (-12,54)

    2. (−4, −3) и (−2, −3)

    3. (12, -1) и (-1, -32)

      Найдите значение y , для которого наклон прямой, проходящей через данные точки, имеет данный наклон.

    1. м = 32; (6,10), (−4, у)

    2. м = −13; (−6,4), (9, у)

    3. м = −4; (−2,5), (−1, y)

    4. м = 3; (1, −2), (−2, y)

    5. м = 15; (1, у), (6,15)

    6. м = −34; (-1, у), (-4,5)

      По графику определите наклон.

    Часть B: Линейные функции

      Найдите точки пересечения x и y и используйте их для построения графика следующих функций.

      Изобразите линейную функцию и обозначьте точку пересечения x .

      Определите линейную функцию, которая определяет данный график, и найдите интервал x .

    Часть C: Графическая интерпретация линейных уравнений и неравенств

      Постройте график функций f и g на одном и том же наборе осей и определите, где f (x) = g (x). Проверьте свой ответ алгебраически.

    1. f (x) = 3x − 2, g (x) = - 2x + 3

    2. f (x) = - 13x, g (x) = - 23x + 1

    3. f (x) = 23x − 1, g (x) = - 43x − 3

      Постройте график функций f и g на одном и том же наборе осей и определите, где f (x) ≥g (x). Проверьте свой ответ алгебраически.

      Постройте график функций f и g на одном и том же наборе осей и определите, где f (x) Проверьте свой ответ алгебраически.

    1. f (x) = 32x + 3, g (x) = - 32x − 3

    Часть D: Обсуждение

    1. Все ли линейные функции имеют точки пересечения y ? Все ли линейные функции имеют перехваты x ? Объяснять.

    2. Может ли функция иметь более одного перехвата y ? Объяснять.

    3. Как проверка вертикальной линии показывает, что вертикальная линия не является функцией?

ответы

  1. f (x) = x + 1; (−1,0)

  2. f (x) = - 32x; (0,0)

Как построить график функции.

Обновлено 4 декабря 2020 г.Каждый тип функции, будь то линейная, полиномиальная, тригонометрическая или какая-либо другая математическая операция, имеет свои особенности и особенности. Подробная информация об основных классах функций дает отправные точки, подсказки и общие рекомендации по их построению в виде графиков.

TL; DR (слишком долго; не читал)

Чтобы построить график функции, вычислите набор значений оси y на основе тщательно выбранных значений оси x , а затем постройте график Результаты.

Построение графиков линейных функций

Линейные функции являются одними из самых простых для построения графиков; каждый - просто прямая линия.Чтобы построить линейную функцию, вычислите и отметьте две точки на графике, а затем проведите прямую линию, проходящую через обе из них. Формы point-slope и y -intercept сразу дают вам одно очко; линейное уравнение с перехватом y имеет точку (0, y ), а точка-наклон имеет некоторую произвольную точку ( x , y ). Чтобы найти еще одну точку, вы можете, например, установить y = 0 и решить для x . Например, для построения графика функции:

y = 11x + 3

3 - интервал y , поэтому одна точка равна (0, 3).

Установка y на ноль дает следующее уравнение:

0 = 11x + 3

Вычтем 3 с обеих сторон:

0 - 3 = 11x + 3 - 3

-3 = 11x

\ frac {-3} {11} = \ frac {11x} {11}

\ frac {-3} {11} = x

Итак, ваша вторая точка (-0,273, 0)

При использовании В общем виде вы устанавливаете y = 0 и решаете для x , а затем устанавливаете x = 0 и решаете для y , чтобы получить две точки.Чтобы построить график функции, x - y = 5, например, установка x = 0 даст вам y из -5, а установка y = 0 дает вам x из 5. Две точки: (0, −5) и (5, 0).

Графические триггерные функции

Тригонометрические функции, такие как синус, косинус и тангенс, являются циклическими, а график, построенный с помощью триггерных функций, имеет регулярно повторяющийся волнообразный узор. Например, функция

y = \ sin (x)

начинается с y = 0, когда x = 0 градусов, затем плавно увеличивается до значения 1, когда x = 90, уменьшается до 0, когда x = 180, уменьшается до -1, когда x = 270, и возвращается к 0, когда x = 360.Шаблон повторяется бесконечно. Для простых функций sin ( x ) и cos ( x ) y никогда не выходит за пределы диапазона от -1 до 1, и функции всегда повторяются каждые 360 градусов. Функции касательной, косеканса и секанса немного сложнее, хотя они тоже следуют строго повторяющимся образцам.

Более общие триггерные функции, такие как

y = A × \ sin (Bx + C)

, предлагают свои собственные сложности, хотя с изучением и практикой вы можете определить, как эти новые термины влияют на функцию.Например, константа A изменяет максимальное и минимальное значения, поэтому она становится A и отрицательной A вместо 1 и -1. Постоянное значение B, увеличивает или уменьшает частоту повторения, а постоянное значение C сдвигает начальную точку волны влево или вправо.

Построение графиков с помощью программного обеспечения

Помимо построения графиков вручную на бумаге, вы можете автоматически создавать графики функций с помощью компьютерного программного обеспечения.Например, многие программы для работы с электронными таблицами имеют встроенные возможности построения графиков. Чтобы построить график функции в электронной таблице, вы создаете один столбец со значениями x , а другой, представляющий ось y , как вычисленную функцию столбца значений x . Когда вы заполнили оба столбца, выберите их и выберите в программе функцию точечной диаграммы. Диаграмма рассеяния отображает серию дискретных точек на основе двух столбцов. При желании вы можете сохранить график как отдельные точки или соединить каждую точку, создав непрерывную линию.Перед печатью графика или сохранением электронной таблицы пометьте каждую ось соответствующим описанием и создайте основной заголовок, описывающий назначение графика.

Графики линейных уравнений с двумя переменными - элементарная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Определите взаимосвязь между решениями уравнения и его графика.
  • Постройте линейное уравнение, нанеся точки.
  • График вертикальных и горизонтальных линий.

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

  1. Оценить, когда.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
  2. Решить в общем.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Распознавать взаимосвязь между решениями уравнения и его графика

В предыдущем разделе мы нашли несколько решений уравнения. Они перечислены на (Рисунок).Итак, упорядоченные пары, и являются некоторыми решениями уравнения. Мы можем построить эти решения в прямоугольной системе координат, как показано на (Рисунок).

Обратите внимание, как точки идеально совпадают? Соединяем точки линией, чтобы получился график уравнения. См. (Рисунок). Обратите внимание на стрелки на концах каждой стороны линии. Эти стрелки указывают на продолжение линии.

Каждая точка на линии является решением уравнения. Кроме того, каждое решение этого уравнения представляет собой точку на этой прямой.Пункты , а не на линии, не являются решением.

Обратите внимание, что точка с координатами находится на линии, показанной на (Рисунок). Если вы подставите и в уравнение, вы обнаружите, что это решение уравнения.

Итак, дело в решении уравнения. (Фраза «точка, координаты которой равны» часто сокращается до «точка».)

Значит, это не решение уравнения. Следовательно, дело не в контуре.См. (Рисунок). Это пример поговорки: «Картинка стоит тысячи слов». Линия показывает всех решений уравнения. Каждая точка на линии - это решение уравнения. И каждое решение этого уравнения находится на этой линии. Эта линия называется графиком уравнения.

График линейного уравнения

График линейного уравнения представляет собой линию.

  • Каждая точка на линии является решением уравнения.
  • Каждое решение этого уравнения - точка на этой прямой.

Используйте график, чтобы решить, составляет ли каждая упорядоченная пара:

  • решение уравнения.
  • на линии.

ⓐ да, да ⓑ да, да

Используйте график, чтобы определить, является ли каждая упорядоченная пара:

  • решение уравнения
  • по линии

ⓐ нет, нет ⓑ да, да

Построение линейного уравнения по точкам

Есть несколько методов, которые можно использовать для построения графика линейного уравнения.Метод, который мы использовали для построения графиков, называется построением точек или методом построения точек.

Как построить график уравнения по точкам

Изобразите уравнение, нанеся точки.

Изобразите уравнение, нанеся точки:.

Изобразите уравнение, нанеся точки:.

Действия, которые необходимо предпринять при построении линейного уравнения с помощью точек, приведены ниже.

Постройте линейное уравнение, нанеся точки.

  1. Найдите три точки, координаты которых являются решениями уравнения.Разложите их в виде таблицы.
  2. Постройте точки в прямоугольной системе координат. Убедитесь, что точки совпадают. Если нет, внимательно проверьте свою работу.
  3. Проведите линию через три точки. Вытяните линию, чтобы заполнить сетку, и поместите стрелки на обоих концах линии.

Верно, что для определения линии нужны только две точки, но использование трех точек - хорошая привычка. Если вы нанесете только две точки, и одна из них неверна, вы все равно можете нарисовать линию, но она не будет представлять решения уравнения.Это будет неправильная линия.

Если вы используете три точки, а одна неверна, точки не выровняются. Это говорит о том, что что-то не так, и вам нужно проверить свою работу. Посмотрите на разницу между частью (a) и частью (b) на (Рисунок).

Рассмотрим другой пример. На этот раз мы покажем последние два шага в одной сетке.

Изобразите уравнение.

Решение

Найдите три точки, которые являются решениями уравнения. Здесь, опять же, легче выбрать значения для.Вы понимаете почему?

Перечислим точки на (Рисунок).

Постройте точки, убедитесь, что они совпадают, и проведите линию.

Изобразите уравнение, нанеся точки:.

Изобразите уравнение, нанеся точки:.

Когда уравнение включает дробь в качестве коэффициента, мы все равно можем заменить на любые числа. Но математика будет проще, если мы сделаем «правильный» выбор значений.Таким образом, мы избежим дробных ответов, которые сложно построить точным графиком.

Изобразите уравнение.

Решение

Найдите три точки, которые являются решениями уравнения. Поскольку в этом уравнении дробь является коэффициентом, мы будем тщательно выбирать значения. Мы будем использовать ноль в качестве одного варианта и кратное 2 для других вариантов. Почему значения, кратные 2, являются хорошим выбором?

Точки показаны на (Рисунок).

Постройте точки, убедитесь, что они совпадают, и проведите линию.

Изобразите уравнение.

Изобразите уравнение.

Пока что все уравнения, которые мы построили, были выражены в терминах. Теперь изобразим уравнение с одной и той же стороной и на одной стороне. Посмотрим, что получится в уравнении. Если в чем ценность?

Эта точка имеет дробную часть для координаты x , и, хотя мы можем построить график этой точки, трудно быть точным, указав дроби. Помните, что в этом примере мы тщательно выбирали значения для, чтобы вообще не отображать дроби.Если мы решим уравнение для, будет легче найти три решения уравнения.

Решения для, и показаны на (Рисунок). График представлен на (Рисунок).

Можете ли вы определить точку, которую мы нашли, спустив на линию?

Изобразите уравнение.

Изобразите уравнение.

Изобразите уравнение.

Если вы можете выбрать любые три точки для построения линии, как вы узнаете, совпадает ли ваш график с тем, который показан в ответах в книге? Если точки пересечения графиков осей x и y совпадают, графики совпадают!

Уравнение на (Рисунок) было записано в стандартной форме, с обеими и на одной и той же стороне.Мы решили это уравнение всего за один шаг. Но для других уравнений в стандартной форме это не так просто решить, поэтому мы оставим их в стандартной форме. Мы все еще можем найти первую точку для построения, позволяя и решая для. Мы можем построить вторую точку, позволив, а затем решив для. Затем мы построим третью точку, используя другое значение для или.

Изобразите уравнение.

Решение

Мы перечисляем упорядоченные пары на (Рисунок). Нанесите точки, убедитесь, что они совпадают, и проведите линию.См. (Рисунок).

Изобразите уравнение.

Изобразите уравнение.

График вертикальных и горизонтальных линий

Можно ли построить уравнение только с одной переменной? Просто и нет, или просто без? Как мы составим таблицу значений, чтобы получить точки для построения?

Давайте рассмотрим уравнение. Это уравнение имеет только одну переменную,. Уравнение говорит, что всегда равно , поэтому его значение не зависит от. Независимо от того, что есть, ценность всегда есть.

Итак, чтобы составить таблицу значений, впишите все значения. Затем выберите любые значения для. Поскольку не зависит от, вы можете выбрать любые номера, которые вам нравятся. Но чтобы уместить точки на нашем координатном графике, мы будем использовать 1, 2 и 3 для координат y . См. (Рисунок).

Постройте точки из (Рисунок) и соедините их прямой линией. Обратите внимание на (Рисунок), что мы построили вертикальную линию .

Вертикальная линия

Вертикальная линия - это график уравнения вида.

Линия проходит через ось x в точке.

Изобразите уравнение.

Изобразите уравнение.

Изобразите уравнение.

Что делать, если в уравнении есть, но нет? Давайте изобразим уравнение в виде графика. На этот раз значение y - является константой, поэтому в этом уравнении не зависит от. Заполните 4 для всех (рисунок), а затем выберите любые значения для. Мы будем использовать 0, 2 и 4 для координат x .

График представляет собой горизонтальную линию, проходящую через ось y в точке 4. См. (Рисунок).

Горизонтальная линия

Горизонтальная линия - это график уравнения вида.

Линия проходит через ось y в точке.

Постройте уравнение

Изобразите уравнение.

Изобразите уравнение.

Уравнения для вертикальных и горизонтальных линий очень похожи на уравнения типа В чем разница между уравнениями и?

В уравнении есть и и.Значение зависит от значения. Координата y изменяется в зависимости от значения. Уравнение имеет только одну переменную. Значение постоянно. Координата y всегда равна 4. Она не зависит от значения. См. (Рисунок).

Обратите внимание, что на (Рисунок) уравнение дает наклонную линию, а дает горизонтальную линию.

График и в той же прямоугольной системе координат.

Решение

Обратите внимание, что в первом уравнении есть переменная, а во втором - нет.См. (Рисунок). Два графика показаны на (Рисунок).

График и в той же прямоугольной системе координат.

График и в той же прямоугольной системе координат.

Ключевые понятия

  • Построение линейного уравнения по точкам
    1. Найдите три точки, координаты которых являются решениями уравнения. Разложите их в виде таблицы.
    2. Постройте точки в прямоугольной системе координат. Убедитесь, что точки совпадают.Если нет, внимательно проверьте свою работу!
    3. Проведите линию через три точки. Вытяните линию, чтобы заполнить сетку, и поместите стрелки на обоих концах линии.
Повседневная математика

Стоимость дома на колесах. Робинсоны арендовали дом на колесах на неделю, чтобы поехать в отпуск. Аренда дома на колесах обходится им в 594 фунта плюс 0,32 фунта за милю, поэтому линейное уравнение дает стоимость проезда на несколько миль. Рассчитайте стоимость аренды за проезд 400, 800 и 1200 миль, а затем нарисуйте линию.

? 722,? 850,? 978

Еженедельный доход. В художественной галерее, где он работает, Сальвадору платят 200 фунтов в неделю плюс 15% от продаж, которые он совершает, поэтому уравнение дает сумму, которую он зарабатывает на продаже произведений искусства в долларах. Подсчитайте сумму, которую Сальвадор зарабатывает от продажи 900, 1600 и 2000 фунтов стерлингов, а затем изобразите эту линию.

Письменные упражнения

Объясните, как выбрать три значения x , чтобы составить таблицу для построения графика линии.

В чем разница между уравнениями вертикальной и горизонтальной линии?

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что вы сделаете после ознакомления с этим контрольным списком, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?

Алгебра - Графики

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с "узкой" шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-1: Графики

В этом разделе нам нужно рассмотреть некоторые основные идеи построения графиков.Предполагается, что вы видели некоторые графики до этого момента, поэтому мы не будем здесь вдаваться в подробности. Мы рассмотрим только некоторые из основных идей.

Начнем с прямоугольной или декартовой системы координат. Это просто стандартная система осей, которую мы используем при рисовании наших графиков. Вот декартова система координат с нанесенными на нее несколькими точками.

Горизонтальная и вертикальная оси, обычно называемые осью \ (x \) и осью \ (y \) соответственно, делят систему координат на квадранты, как показано выше.В каждом квадранте есть следующие знаки для \ (x \) и \ (y \).

Квадрант I \ (x> 0 \), или \ (x \) положительный \ (y> 0 \), или \ (y \) положительный
Квадрант II \ (x <0 \) или \ (x \) отрицательное значение \ (y> 0 \), или \ (y \) положительный
Квадрант III \ (x <0 \) или \ (x \) отрицательное значение \ (y <0 \), или \ (y \) отрицательное значение
Квадрант IV \ (x> 0 \), или \ (x \) положительный \ (y <0 \), или \ (y \) отрицательное значение

Каждая точка в системе координат определяется упорядоченной парой вида \ (\ left ({x, y} \ right) \).Первое указанное число - это \ (x \) - координата точки, а второе указанное число - это \ (y \) - координата точки. Упорядоченная пара для любой заданной точки \ (\ left ({x, y} \ right) \) называется координатами и точки.

Точка пересечения двух осей называется исходной точкой и имеет координаты \ (\ left ({0,0} \ right) \).

Обратите внимание, что порядок координат важен.Например, точка \ (\ left ({2,1} \ right) \) - это точка, которая находится на две единицы правее начала координат, а затем на одну единицу вверх, а точка \ (\ left ({1, 2} \ right) \) - это точка, которая находится на 1 единицу правее начала координат, а затем на 2 единицы вверх.

Теперь нам нужно обсудить построение уравнения. Первый вопрос, который мы должны задать, - что такое график уравнения? График - это набор всех упорядоченных пар, координаты которых удовлетворяют уравнению.

Например, точка \ (\ left ({2, - 3} \ right) \) является точкой на графике \ (y = {\ left ({x - 1} \ right) ^ 2} - 4 \), а \ (\ left ({1,5} \ right) \) нет на графике.2} - 4 \\ 5 & \ ne - 4 \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {НЕ ОК}} \ end {align *} \]

Координаты этой точки НЕ удовлетворяют уравнению, поэтому этой точки нет на графике.

А теперь, как нарисовать график уравнения? Конечно, ответ на этот вопрос зависит от того, насколько хорошо вы знаете об уравнении для начала. Например, если вы знаете, что уравнение представляет собой линию или круг, у нас есть простые способы определить график в этих случаях. Есть также много других видов уравнений, по которым мы обычно можем получить график из уравнения без особых усилий.Мы увидим многие из них в следующей главе.

Однако предположим, что мы не знаем заранее, что это за уравнение или какой из способов быстро набросать график. В этих случаях нам нужно будет вспомнить, что график - это просто все точки, удовлетворяющие уравнению. Итак, все, что мы можем сделать, это точки на графике. Мы выберем значения \ (x \), вычислим \ (y \) из уравнения, а затем построим упорядоченную пару, заданную этими двумя значениями. 2} - 4 \).Показать решение

Теперь это парабола, и после следующей главы вы сможете быстро построить график без особых усилий. Однако мы еще не продвинулись так далеко, поэтому нам нужно будет выбрать некоторые значения \ (x \), подключить их и вычислить значения \ (y \).

Как упоминалось ранее, при выборе значений \ (x \) полезно иметь представление о том, как должен выглядеть этот график. Так что не беспокойтесь, почему мы выбрали именно те ценности, которые сделали.После следующей главы вы также сможете выбрать эти значения \ (x \).

Вот таблица значений этого уравнения.

\ (х \) \ (у \) \ (\ влево ({х, у} \ вправо) \)
-2 5 \ (\ left ({- 2,5} \ right) \)
-1 0 \ (\ left ({- 1,0} \ right) \)
0 -3 \ (\ left ({0, - 3} \ right) \)
1 -4 \ (\ left ({1, - 4} \ right) \)
2 -3 \ (\ left ({2, - 3} \ right) \)
3 0 \ (\ влево ({3,0} \ вправо) \)
4 5 \ (\ влево ({4,5} \ вправо) \)

Давайте проверим первый, а остальное предоставим вам.2} - 4 \\ & = 9 - 4 \\ & = 5 \ end {align *} \]

Вот график этого уравнения.

Обратите внимание, что когда мы настраиваем систему осей в этом примере, мы настраиваем ровно столько, сколько нам нужно. Например, поскольку мы не прошли мимо -2 в наших вычислениях, мы не прошли мимо этого с нашей системой осей.

Также обратите внимание, что мы использовали разный масштаб на каждой из осей. По горизонтальной оси мы увеличили на 1, а по вертикальной оси - на 2.Часто это делается для того, чтобы упростить рисование.

Последняя тема, которую мы хотим обсудить в этом разделе, - это перехватывает . Обратите внимание, что график в приведенном выше примере пересекает ось \ (x \) в двух местах и ​​ось \ (y \) в одном месте. Все три точки называются перехватчиками. Однако мы можем и часто будем более конкретными.

Нам часто нужно знать, пересекает ли точка пересечения ось \ (x \) или \ (y \) конкретно.Итак, если точка пересечения пересекает ось \ (x \), мы назовем ее точкой пересечения \ (x \) . Точно так же, если точка пересечения пересекает ось \ (y \), мы назовем ее точкой пересечения \ (y \) .

Теперь, поскольку точка пересечения \ (x \) пересекает ось \ (x \), координаты \ (y \) точки пересечения \ (x \) будут равны нулю. Кроме того, координата \ (x \) точки пересечения \ (y \) будет равна нулю, поскольку эти точки пересекают ось \ (y \). Эти факты дают нам возможность определить точки пересечения для уравнения.2} + x - 6 \\ 0 & = \ left ({x + 3} \ right) \ left ({x - 2} \ right) \ hspace {0,25in} \ Rightarrow \ hspace {0,25in} x = - 3, \, \, \, x = 2 \ end {align *} \]

Для этого уравнения есть две точки пересечения \ (x \): \ (\ left ({- 3,0} \ right) \) и \ (\ left ({2,0} \ right) \). Ах да, вы ведь помните, как решать квадратные уравнения?

Для проверки здесь приведен эскиз графика для этого уравнения. 2} \) Показать решение

Вот работа точки пересечения \ (y \) для этого уравнения.2} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} x = - 1 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({- 1,0} \ right) \]

В этом случае мы имеем единственный \ (x \) - точку пересечения.

Вот эскиз графика для этого уравнения.

Теперь обратите внимание, что в этом случае график фактически не пересекает ось \ (x \) в точке \ (x = - 1 \). Однако эта точка все еще называется \ (x \) - точкой пересечения.

Перед тем, как покинуть этот раздел, мы должны сделать один последний комментарий.В предыдущем наборе примеров все уравнения были квадратными уравнениями. Это было сделано только потому, что они демонстрировали диапазон поведения, который мы искали, и мы также могли выполнять эту работу. Вы не должны уходить от этого обсуждения перехватов с мыслью, что они будут иметь место только для квадратных уравнений. Они могут иметь место и имеют место для множества различных уравнений.

Искусство решения проблем

График - это визуальное представление функции.Если тогда точка лежит на графике.

Содержание

  • 1 точек графика
  • 2 графических линии
    • 2.1 Проблема
    • 2.2 Решение
  • 3 графических полинома
    • 3.1 Проблема
    • 3.2 Решение
    • 3.3 Задача
    • 3.4 Решение
  • 4 См. Также

точек графика

Одна точка - это самая простая вещь для построения графика.На графике будет точка на 2 единицы справа от -axis и на 5 единиц выше -axis.

Графические линии

Учитывая две различные точки на прямой, можно построить всю прямую. Итак, один из способов изобразить линию с учетом ее уравнения - просто найти на ней две точки и провести через них прямую линию.

Задача

Постройте линию.

Решение

Чтобы построить линию, необходимо найти две удовлетворяющие точки. Сдача дает.Так это одна точка на графике.

Найдите другую точку, позволив. Включение этого и решение дает. Так что это наша другая точка зрения.

Теперь нарисуйте их на координатной плоскости и проведите через них линию:

Стрелки на концах отрезка линии указывают на то, что линия продолжается бесконечно в обоих направлениях.

Графические полиномы

Первый шаг в построении многочлена, состоит в том, чтобы найти нули. Затем следует провести плавную кривую через нули, учитывая множественные корни и убедившись, что знаки совпадают (т.е. график находится выше оси -оси, когда многочлен положительный, и ниже ее, когда многочлен отрицательный). Этот процесс лучше всего понять на примерах.

Задача

Постройте параболу.

Решение

К счастью, квадратичные множители лежат в основе и. Квадратичный может переключать знаки только как его нули.

Ваш комментарий будет первым

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *