Построить функцию двух переменных онлайн: Построить трехмерный график онлайн

Функция двух и более переменных. Её область определения

При изучении многих закономерностей в естествознании и экономике приходится встречаться с функциями от двух (и более) независимых переменных.

Определение (для функции двух переменных). Пусть X, Y и Z — множества. Если каждой паре (x, y) элементов из множеств соответственно X и Y в силу некоторого закона f ставится в соответствие один и только один элемент z из множества Z, то говорят, что задана функция двух переменных z = f(x, y).

В общем случае область определения функции двух переменных геометрически может быть представлена некоторым множеством точек (x; y

Подобно тому, как функция y = f(x) геометрически изображается графиком, можно геометрически истолковать и уравнение z = f(x, y).

Ставя в соответствие каждой точке аппликату z = f(x, y), мы получим некоторое множество точек (x; y; z) трёхмерного пространства – чаще всего некоторую поверхность. Поэтому равенство z = f(x, y) называют уравнением поверхности.

Из аналитической геометрии известно, что множество всех упорядоченных троек чисел (x; y; z) образует координатное пространство. При этом каждой тройке (x; y; z) в пространстве соответствует точка

Аналогично можно дать определение функции четырёх переменных u = f(x; y; z; t). В этом случае множество упорядоченных четвёрок чисел (x; y; z; t) образуют так называемое четырёхмерное пространство, а каждая четвёрка (x; y; z; t) называется точкой этого пространства. Однако область определения функции четырёх переменных уже не имеет наглядного геометрического истолкования.

Забавный, хотя и нематематический случай функции нескольких переменных можно найти в романе Джерома К. Джерома «Трое в лодке, не считая собаки». Герой романа сообщает: «Как-то раз я зашёл в библиотеку Британского музея, чтобы навести справку о средстве против пустячной болезни, которую я где-то подцепил, — кажется, сенной лихорадки. Я взял справочник и нашёл там всё, что мне было нужно…» Итак, описана функция одной переменной — найти симптомы одного заболевания. Дальше: «… а потом, от нечего делать, начал перелистывать книгу, просматривая то, что там сказано о разных других болезнях.» И герой находил у себя симптомы всех болезней, о которых читал: «Так я добросовестно перебрал все буквы алфавита, и единственная болезнь, которой я у себя не обнаружил, была родильная горячка». То есть, самая настоящая функция нескольких (многих) переменных — обнаружить у себя симптомы болезней (нескольких или даже многих), о которых человек прочёл. Впрочем, случай не такой уж и нематематический. Если условиться считать, что закон, которым задаётся функция, заключается в суммировании чисел, означающих число симптомов, а на выходе — число, которое следует толковать как степень нервного истощения героя. У этой функции есть и область определения — множество симптомов всех болезней, которые можно найти в справочниках.

Пример 0 (наиболее общий). Рассмотрим температуру t в пункте p земной поверхности P. Таким образом, возникает температурная функция , аргументом которой является точка p поверхности P, а значением t = T(p) — температура в этой точке. Чтобы привести эту функцию к числовой записи, точку p характеризуют некоторыми числовыми параметрами, например, широтой и долготой . После этого вместо t = T(p) пишут , где теперь t, , — числа. И t оказывается, таким образом, зависящей не от одной, а от двух переменных — и , поэтому такую числовую функцию называют функцией двух переменных. В этом же смысле температура атмосферы в целом есть функция трёх переменных: две первые (, ) указывают, над какой точкой земной поверхности проводится измерение температуры, а последняя —

Таким образом, то, что раньше выглядело как функция одного аргумента, при переходе к числовой записи может оказаться функцией нескольких числовых аргументов.

Аналогично можно ввести понятия функции пяти и вообще n переменных .

Множество D называется областью определения функции z, а множество E – множеством её значений. Переменные x и y по отношению к функции z называются её аргументами. Переменная z называется зависимой переменной.

Частным значениям аргументов

соответствует частное значение функции

Если функция нескольких переменных (например, двух переменных) задана формулой z = f(x, y), то областью её определения является множество всех таких точек плоскости x0y, для которых выражение f(x, y) имеет смысл и принимает действительные значения. Общие правила для области определения функции нескольких переменных выводятся из общих правил для области определения функции одной переменной. Отличие в том, что для функции двух переменных областью определения является некоторое множество точек плоскости, а не прямой, как для функции одной переменной. Для функции трёх переменных областью определения является соответствующее множество точек трёхмерного пространства, а для функции n переменных — соответствующее множество точек абстрактного

Область определения функции двух переменных с корнем

В случае, когда функция двух переменных задана формулой и n — натуральное число:

если n — чётное число, то областью определения функции является множество точек плоскости, соответствующих всем значениями подкоренного выражения, которые больше или равны нулю, то есть

если n — нечётное число, то областью определения функции является множество любых значений , то есть вся плоскость x0y.

Область определения степенной функции двух переменных с целым показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если a — положительное, то областью определения функции является вся плоскость x0y;

если a — отрицательное, то областью определения функции является множество значений , отличных от нуля: .

Область определения степенной функции двух переменных с дробным показателем степени

Область определения логарифмической функции двух переменных

Область определения тригонометрических функций двух переменных

Область определения функции — вся плоскость x0y.

Область определения функции — вся плоскость x0y.

Область определения функции — вся плоскость x0y, кроме пар чисел, для которых принимает значения .

Область определения функции — вся плоскость x0y, кроме пар чисел, для которых принимает значения .

Область определения обратных тригонометрических функций двух переменных

Область определения функции — множество таких точек плоскости, для которых .

Область определения функции — множество таких точек плоскости, для которых .

Область определения функции — вся плоскость x0y.

Область определения дроби как функции двух переменных

Если функция задана формулой , то областью определения функции являются все точки плоскости, в которых .

Область определения линейной функции двух переменных

Если функция задана формулой вида z = ax + by + c, то область определения функции — вся плоскость x0y.

Пример 1. Найти область определения функции двух переменных .

Решение. По правилам для области определения составляем двойное неравенство

.

Умножаем всё неравенство на и получаем

.

Полученное выражение и задаёт область определения данной функции двух переменных.

Пример 2. Найти область определения функции двух переменных .

Решение. По правилам для области определения составляем двойное неравенство

.

Переносим икс в правую часть и получаем

.

Полученное выражение и задаёт область определения данной функции двух переменных.

Пример 3. Найти область определения функции двух переменных S = xy и частное значение этой функции при при x = 3, y = 5.

Решение. Область определения функции S = xy, выражающей зависимость площади многоугольника от длин его сторон, может быть записана двумя неравенствами  и , которые определяют I квадрант на плоскости xOy. Частное значение этой функции при x = 3, y = 5 составляет

Функции нескольких переменных

Область определения функции двух переменных

• повторить и систематизировать нахождение области определения функции, закрепить это понятие и наглядно представить в координатной плоскости и в пространстве;
• рассмотреть аналитические и геометрические методы не изолированно друг от друга, а в тесной взаимосвязи. Это позволит облегчить переход от стандартных решений конкретных математических задач к нестандартным;
• воспитание интереса к математике и мультимедиа, активности, мобильности; восприятие компьютера, как инструмента обучения;
• использование компьютера для нахождения области определения и построения графиков с помощью графического редактора 3D Grapher 1.2, Copyright © 2000-2002 RomanLab Software и формирование информационной компетентности учащихся.

Определение функции двух переменных

Если каждой паре ( x;y) значений двух независимых друг от друга переменных величин х и у из некоторого множества D соответствует единственное значение величины, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определенная на множестве D.

Обозначается: z=f(x;y) или z=z(x;y).

Например, S=ab, S=S(a;b)- функции двух переменных; V=abc, V=V(a,b.c) – функция трех переменных;

A= – функция трех переменных.

Способы задания функций нескольких переменных

Чтобы задать функцию двух (трех) переменных, нужно указать способ, с помощью которого для каждой пары (тройки) значений аргументов можно найти соответствующее значение функции. Наиболее часто функция задается аналитически — это явное задание функции или неявное задание

Например, — это явно заданная функция двух переменных; уравнение задает неявно две функции двух переменных.

Область определения функции

Непрерывное множество пар значений независимых переменных , при которых функцияопределена, называется областью определения функции.

Область определения называется замкнутой областью, если она включает в себя свою границу; открытой областью, если она не включает в себя свою границу; ограниченной областью, если может быть помещена в круг конечного радиуса.

Геометрически изобразить область определения функции можно только для функций:

• одной переменной – на прямой ,
• двух переменных – на плоскости ,
• трех переменных– в пространстве .

Геометрическое изображение самой функции возможно только для функции двух переменных.

Графиком функции двух переменных является поверхность, проектирующаяся на плоскость в область D, которая является областью определения функции.

На рис. изображена поверхность графика функции и ее область определения.

В курсе учебного материала 9-го класса мы рассматриваем следующие задания на нахождение и построение области определения функции.

ПРИМЕРЫ

Найти область определения функции

Решение. Областью определения данной функции является вся плоскость, т.к. нет ограничений на переменные x и y.

2. Найти область определения функции .

Решение. Данная функция определена, когда xy > 0, т.е. в тех точках координатной плоскости, в которых знаки координат x и y - одинаковы. Это будут точки, лежащие в I и III координатных четвертях, т.е. множество точек, удовлетворяющих условиям:

и

3. Найти область определения функции .

Решение. Данная функция определена при условии, когда

Изобразить на координатной плоскости Оху область определения функции .

Решение. Подкоренное выражение должно быть неотрицательно, т.е. следовательно, . Геометрическим решением неравенства служит полуплоскость, расположенная выше прямой и сама прямая.

5. Найти область определения функции и изобразить её графически.

.

Решение. Областью определения функции является множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

6. Изобразить на координатной плоскости Оху область определения функции

Решение. Эта функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно, т.е. Данным соотношениям удовлетворяют координаты всех точек, находящихся внутри кольца, образованного двумя окружностями с центрами в начале координат и радиусами R=3, R=4.

7. Изобразить на координатной плоскости Оху область определения функции

.

Решение. Учащиеся не могут найти область определения данной функции аналитически, но с помощью графического редактора 3D Grapher 1.2 это выполняется легко.

В Приложении приведено ещё несколько примеров, с решениями, для учащихся девятых классов.

Для учащихся 10-11 классов мы предлагаем систему упражнений по нахождению и построению области определения функции двух переменных. При этом отрабатываются свойства логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Данные упражнения можно использовать при изучении нового материала, при повторении, при решении уравнений и неравенств.

Найти и изобразить на плоскости область определения функции

Решение. Область определения функции есть пересечение областей определения слагаемых функции. Для первой функции подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е. Если значение логарифмической функции неотрицательно, то выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть больше или равно единице, т.е. отсюда . Это неравенство задает нам множество точек плоскости, лежащих вне окружности с центром в начале координат, радиуса 2, включая и точки данной окружности. Вторая функция определена при Следовательно, Имеем две параболы с вершиной в начале координат . Поэтому полученное неравенство задает нам часть плоскости, заключенную между этими параболами, включая границы без начала координат. Третья функция определена при

Областью определения данной функции является общая часть найденных областей определения слагаемых.

Покажите на координатной плоскости xOy область определения функции

.

Решение. Ограничения для функции имеют вид:

3. Изобразить область определения функции

Решение. Эта функция определена при , т.е.

Областью определения является часть плоскости, расположенная между двумя прямыми.

4. Найти область определения функции .

Решение. Областью определения функции является решение неравенства. Поэтому нужно решить неравенство

Решая данное неравенство, получим Это область, заключенная между двумя параболами и .

5. Построить область определения функции

Решение. Область определения данной функции определяется системой неравенств:

Первое неравенство определяет круг с центром в точке (-2;0) и радиусом равным 2 за исключением его границы:

Второе неравенство определяет I и III координатные четверти, за исключением осей.

В Приложении приведено ещё несколько примеров, с решениями, для учащихся десятых и одиннадцатых классов.

Рассмотрим задание С5, используя функцию двух переменных.

Найдите все значения параметра а, при которых система , имеет ровно два решения.

Решение. Из второго уравнения находим y =. Первое уравнение принимает вид .

Пусть . В этом случае уравнение имеет единственное решение .

Запишем второе уравнение в виде = 0. Его дискриминант равен 4 , и он положителен, поскольку . Уравнение имеет два различных корня и Значит, в этом случае система имеет ровно два решения и .

Пусть теперь 1. В этом случае уравнение если и имеет корни, то только больше единицы Но тогда дискриминант уравнения = 0 отрицателен. Решений нет.

Ответ: .

С помощью графического редактора задаем функцию двух переменных , Находим значения а, при которых функция обращается в ноль.

На рисунке видно, что решением является интервал от 0 до 1.

При подготовке учащихся к итоговой аттестации мы сталкиваемся с тем, что задания уровня С5 решаются тяжело и не сразу. А ведь это функция двух переменных! Оперирование геометрическими образами упрощает решение задач с параметрами, а в некоторых случаях геометрический подход часто является единственно возможным методом решения. В сборнике ЕГЭ-2011 предложено задание.

Найдите все значения а, такие, что для любого х выполняется неравенство.

Решение. Рассмотрим функцию

Если то убывает.

Если то возрастает.

Значит, наименьшее значение функции равно или , или . Поэтому решение задачи получаем из решения системы

Ответ: .

C помощью графического редактора мы построили график функции и определили значение параметра а при . График функции в системе координат выглядит следующим образом.

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Список источников и литературы.

1. Математика (математический анализ): учебно-методическое пособие для студентов нематематических специальностей / О.Ю. Ватюкова, Е.Е.Зайцева, Ю.В.Зайцева и др.; ВолГУ.-4-е изд., Волгоград: Волгоградское научное издательство, 2009. – 238с.
2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных: типовой расчет по высшей математике / Сост.: А. В. Анкилов, Н. Я. Горячева, Т. Б. Распутько.- Ульяновск: УлГТУ, 2004.-32 с.
3. ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания / И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И.Захаров, В.С. Панферов, и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. -М.: Издательство “Экзамен”, 2011.-63с.
4. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2010: Математика/авт.- сост. И.Р.Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. -М.: АСТ: Астрель, 2010.-93с.
5. Мордкович А.Г. Алгебра . 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г.Мордкович, П.В.Семенов .—11-е изд., стер. -М.: Мнемозина, 2009.-224 с.
6. Смирнова И.М. Геометрия. 10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений (гуманитарный профиль).- М.: Мнемозина,2004. -223с.

Конспект лекций по высшей математике на тему «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных»

Сардарова Валида Яхьяевна, преподаватель математики

ГБПОУ АО СПО «Астраханский технологический техникум»

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных

Пусть каждой упорядоченной паре чисел из некоторой области соответствует определенное число _. Тогда z называется функцией двух переменных и ,,– независимыми переменными или аргументами, D – областью определения или существования функции, а множество Е всех значений функции – областью ее значений. Символически функция двух переменных записывается в виде равенства ,в котором — закон соответствия. Всякое уравнение определяет в декартовой системе координат некоторую поверхность. Под графиком функции двух переменных понимают геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют соотношению .

С геометрической точки зрения область определения функции двух переменных D представляет собой множество точек плоскости Оху, ограниченную линиями, которые могут принадлежать или не принадлежать этой области. В первом случае область D называется замкнутой и обозначается D, во втором случае – открытой.

Пример. Найти область определения функции

Решение. Запишем функцию в виде Функция определена для тех значений и , которые удовлетворяют неравенству . Геометрически это означает, что функция определена во множестве точек, лежащих внутри окружности и на ее границе.

Пример. Найти область определения функции

Решение. Так как функция одной переменной определена для значений аргумента из отрезка , то искомая область определения функции двух переменных найдем из условия _{откуда Графически область определения данной функции будет заключена между двумя концентрическими окружностями: причем включаются и точки, принадлежащие окружностям.}

Пример. Найти область определения функции

Решение. Должно выполняться требование _{Эта дробь будет положительна, когда положителен ее знаменатель, т.е. когда x² –y² > 0, или y² < x², а это влечет за собой неравенство}

Рассмотрим два случая: 1), 2) .

1) Если, то , и тогда , или . Геометрически это означает, что область определения, есть часть правой полуплоскости (т.к. рассматриваются значения ), ограниченная прямыми и , причем точки, лежащие на этих прямых, не рассматриваем.

2) Если , то |, и тогда , или .

Последние неравенства определяют ту часть левой полуплоскости, которая находится между прямыми и , причем точки, принадлежащие этим прямым, не рассматриваем.

Упражнения для самостоятельной работы

Найти области определения следующих функций:

Ответы:

1. Круг 2.

3. І и ІІІ квадранты.

4. Все точки плоскости, не лежащие на гиперболе .

Предел функции двух переменных

Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству , называется δ- окрестностью точки .

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Число А называется пределом функции в точке , если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех и удовлетворяющих неравенству справедливо неравенство

Если – предел функции в точке , то пишут:

Пример. Найти пределы:

;

Решение.

так как

Будем приближаться к точке по прямой , где — угловой коэффициент прямой. Тогда

Функция в точке предела не имеет, т.к. при различных значениях функция имеет различные предельные значения.

Обозначим Условие равносильно тому, что

Запишем предел в виде

Упражнения для самостоятельной работы

Найти пределы:

Ответы:

1.. 2. . 3. Не существует. 4. .

Непрерывность функции двух переменных

Функция называется непрерывной в точке , если:

а) функция определена в этой точке и некоторой ее окрестности;

б) функция имеет предел

в) этот предел равен значению функции в точке , т.е. справедливо равенство

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области D, называется непрерывной в данной области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции.

Например, функция непрерывна в любой точке плоскости, за исключением точки М(0, 0), в которой функция терпит бесконечный разрыв, а функция имеет линию разрыва

Частные производные первого порядка

Пусть задана функция . Так как x и y – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение.

Если переменной дать некоторое приращение , а оставить постоянной, то функция получит приращение , называемое частным приращением функции по переменной :

Аналогично, если переменная получает приращение , а остается постоянной, то частное приращение функции по переменной :

Если существуют пределы:

они называются частными производными функции по пе­ременным и соответственно.

Аналогично определяются частные производные функций любого числа независимых переменных.

Так как частная производная по любой переменной является производной по этой переменной, найденной при условии, что осталь­ные переменные — постоянны, то все правила и формулы дифферен­цирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных функций любого числа переменных.

Пример. Найти частные производные первого порядка следующих функций:

Решение.

Функция — функция двух независимых переменных и . Определяя частную производную данной функции по переменной , вторую независимую переменную будем рассматривать как величину постоянную. Дифференцируя, получаем . Аналогично, отыскивая , получим

Функция – функция трех независимых переменных ,и . При определении частной производной по каждой из этих переменных две другие считаем величинами постоянными. Получаем

Функция _{есть функция двух независимых переменных ,}

_{При дифференцировании по каждой из них вторую переменную рассматриваем как величину постоянную. Поэтому}

_{Упражнения для самостоятельной работы}

_{Найти частные производные первого порядка следующих функций:}

Ответы:

Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция .

Частные производные высших порядков

Частными производными второго порядка называют частные производные, взятые от частных производных первого порядка:

Аналогично определяются частные производные третьего и более высоких порядков.

Частные производные и называются смешанными частными производными.

Теорема (Шварц). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, для функции имеем:

Пример. Найти частные производные второго порядка функции

Решение. Вначале находим частные производные первого порядка:

Продифференцировав их еще раз, получим:

Сравнивая последние два выражения, видим, что

Пример. Показать, что функция удовлетворяет уравнению Лапласа

Решение. Найдем частные производные первого порядка:

Найдем частные производные второго порядка:

Подставив полученные частные производные второго порядка в уравнение Лапласа, имеем:

Упражнения для самостоятельной работы

Найти частные производные второго порядка функций:

Ответы:

Показать, что функция удовлетворяет указанному уравнению.

Дифференцируемость функции и полный дифференциал функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки

Полным приращением функции называется разность

Функция называется дифференцируемой в точке если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде:

где — некоторые не зависящие от _{и числа, а}

-бесконечно малые при функции.

Главная часть полного приращения функции , линейно зависящая от приращений независимых переменных и , называется полным дифференциалом функции и обозначается . Если функция имеет непрерывные частные производные, то полный дифференциал существует и равен

где – произвольные приращения независимых переменных, называемые их дифференциалами.

Для функции _{переменных полный дифференциал определяется выражением}

_{Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные и , причем}

Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция имеет непрерывные частные производные и в точке , то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой

Пример. Найти полное приращение и полный дифференциал функции

_{Решение. По определению}

_{Выражение линейное относительно и , есть дифференциал} , а величина — бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с Итак,

Пример. Найти полный дифференциал функции

Решение. Найдем частные производные функции:

Применяя формулу , получаем

Упражнения для самостоятельной работы

Найти частные дифференциалы следующих функций:

Ответы:

Найти полные дифференциалы следующих функций:

Ответы:

Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям

Значение функции в приращенной точке приближенно равно сумме значения функции в начальной точке и значения полного дифференциала в этой точке, т.е.

Пример. Вычислить приближенно величину

Решение.

Найдем частные производные функции:

Пример. Вычислить приближенно величину (1,03)^3,001.

Решение. Мы знаем, что 1³ = 1, Нам следует теперь про­извести вычисления для того случая, когда основание степени 1 получит приращение 0,03, а показатель степени 3 — приращение 0,001. Будем исходить из функции и воспользуемся формулой .

Учитывая, что в нашем случае получим_{Поскольку то}

Упражнения для самостоятельной работы

Вычислить приближенно данные выражения, заменив приращения соответствующих функций их полными дифференциалами:

Ответы:

1. . 2. . 3. . 4. .

Производная сложной функции. Полная производная

Пусть _{функция двух переменных и каждая из которых является функцией независимой переменной}

В таком случае говорят, что функция есть сложная функция независимой переменной , а переменные x и y-промежуточные переменные. Производная сложной функции по независимой переменной t вычисляется по формуле:

Частный случай. Если , где , то — сложная функция переменной _{На основании формулы , в которой роль играет , получим}

а так как то получаем формулу полной производной .

Пример. Найти производную функции

Решение. Определим производные, входящие в формулу полной

производной:

Итак, подставляя по формуле, имеем

Пример. Вычислить значение производной сложной функции

Решение.

При получаем, что

Если – функция от двух переменных и , а каждая из них есть в свою очередь функция двух независимых переменных _{и , то есть функция независимых переменных и , а ее частные производные по этим переменным вычисляются по формулам}

Частный случай. Если функция зависит от переменных и не только через посредство и , но и явно, т.е. z = f(x, y, u, v), то имеют место формулы:

причем следует иметь в виду, что производные от функции вычисляются в предположении, что и – величины постоянные.

Пример. Найти _{и , если}

Решение. Определим частные производные, входящие в формулы:

Подстановка этих производных дает

Пример. Определить и , если

Решение. Определяем частные производные:

Поэтому

Упражнения для самостоятельной работы

Найти производные сложных функций:

Ответы:

Вычислить значение производной сложной функции

где при с точностью до двух знаков после запятой.

Ответы:

Дифференцирование неявной функции

Если независимая переменная и функция связаны урав­нением неразрешенным относительно , то говорят, что есть неявная функция (или функция от переменной задана неявно). Для того чтобы, не решая уравнение относительно , найти производную от функции по переменной , пользуются формулой

Функция называется неявной, если она задается уравнением _{неразрешенным относительно . В этом случае частные производные функции по независимым переменным и определяются по формулам}

Пример. Найти производную функции , заданной неявно уравнением .

Решение. Обозначим левую часть этого уравнения через _:

.

Чтобы воспользоваться формулой, найдем частные производные

Подставляя эти выражения, получим

Пример. Функция от переменной задана уравнением

Определить при

Решение. Обозначим левую часть заданного уравнения через . Имеем:

Найдем частные производные первого порядка:

И на основании формулы, получаем

Подставляя вместо и их значения, имеем Перепишем производную в виде

Продифференцируем это равенство по переменной , имея в виду, что есть функция от переменной :

Подставляя сюда вместо и их значения, а вместо найденное выше его значение , получим

откуда а

Пример. Найти частные производные функции заданной неявно уравнением

Решение. Обозначим левую часть уравнения через , т.е. Тогда

По формулам получаем

Упражнения для самостоятельной работы

Найти производные неявных функций:

Ответы:

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Если на поверхности через точку провести всевозможные кривые и к ним в этой точке провести касательные прямые, то окажется, все эти касательные лежат в одной плоскости, которая называется касательной плоскостью к поверхности в точке , а перпендикуляр к касательной плоскости, восстановленный к ней в точке касания , называется нормалью к поверхности.

Если поверхность задана уравнением , то уравнение касательной плоскости в точке к данной поверхности:

,

а канонические уравнения нормали, проведенной через точку поверхности:

.

Если поверхность задана в неявном виде: , то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид

,

а уравнение нормали к поверхности в точке :

.

Пример. Найти уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в точке

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

По условию

Найдем частные производные функции

Вычисляем значения частных производных в точке

Для получения уравнения касательной плоскости в точке , воспользуемся формулой:

Разделим все уравнение на и раскроем скобки:

Для нахождения уравнения нормали, воспользуемся формулой:

Упражнения для самостоятельной работы

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке

Ответы:

Экстремум функции двух независимых переменных

Пусть функция определена в некоторой области , точка .

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая δ — окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство .

Точка называется точкой минимума функции , если существует такая δ — окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство .

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют экстремумами функции.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: .

Точка , в которой частные производные первого порядка функции равны нулю, т.е. , называется стационарной точкой функции .

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке и некоторой ее окрестности функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке значения , , . Обозначим

Тогда:

1) если , то функция в точке имеет экстремум: максимум, если ; минимум, если ;

2) если , то функция в точке экстремума не имеет.

В случае экстремум в точке может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Пример. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Найдем частные производные данной функции:

Согласно теореме 1 (необходимому признаку существования экстремума) частные производные должны быть равны нулю. Получаем систему двух уравнений:

Итак, точка — критическая точка, в которой возможен экстремум.

Используем теорему 2 (достаточный признак существования экстремума), для чего найдем частные производные второго порядка:

В точке имеем:

значит, Так как то в данной точке функция имеет минимум. Найдем значение функции в точке минимума

Пример. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Найдем частные производные

Решаем систему уравнений

которая в нашем случае запишется так:

после сокращения на 6 имеем

Из первого уравнения . Подставляя его во второе уравнение, получим , или, которое перепи­шем так:

Разлагая на множители выражение в скобках, получим уравнение

Отсюда следует, что , а остальные два корня — комплексные, которые нас, не интересуют (это корни уравнения ).

Подставляя эти значения в равенство , получаем, что

Итак, имеем две пары решений системы уравнений:

т.е. получили две точки: .

Теперь определим число , для чего найдем

Получаем, что

Найдем значения частных производных второго порядка в т. и :

а потому число

Так как Δ < 0, то при функция не имеет экстремума.

Так как число , то экстремум при значениях есть. Учитывая, что , получаем при таких значениях и имеет место минимум. Чтобы определить минимальное значение функции, подставим в нее , и получим

Упражнения для самостоятельной работы

Исследовать на экстремум следующие функции:

Ответы:

Наибольшее и наименьшее значения функции двух независимых переменных в замкнутой области

Функция _{ограниченная и дифференцируемая в замкнутой области достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значения во внутренних точках этой области, которые являются стационарными точками функции, или на границе области.}

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, надо:

1) Найти стационарные точки функции, для чего следует решить систему уравнений

2) вычислить в стационарных точках значения функции;

3) найти наибольшее и наименьшее значение функций на каждой линии, ограничивающей область;

4) сравнить все полученные зна­чения. Наибольшее из них будет наибольшим, а наименьшее — наименьшим значением функции, в замкнутой области.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в замкнутом треугольнике, ограничен­ном осями координат и прямой .

Рис

Решение.

Находим стационар­ные точки функции:

Решаем систему уравнений

Итак, имеется одна стацио­нарная точка .

Определяем значение данной функции в этой точке:

(запись означает, что находим значение функции при ).

Переходим к исследованию функции на границах области,
которая состоит из отрезка , отрезка _{и отрезка
АВ прямой.}

а заданная функция принимает при вид:

Эта функция должна быть рассмотрена на отрезке . Так как на этом отрезке функция непрерывна, то она дости­гает на нем как наибольшего, так и наименьшего своего значения. Это может произойти в стационарных точках функции, где , или на концах отрезка . Определим стационарные точки

Определим значение функции при и на концах отрезка

Сравнивая, получаем z_наиб;

, а данная функция при примет вид:

Эта функция — функция одной независимой переменной. Она должна быть рассмотрена на отрезке . Определим на этом отрезке ее наименьшее и наибольшее значе­ния, которые в силу непрерывности должны существовать. Прежде всего определяем точки стационарности функции:

Определим значение функции при , а также на концах отрезка :

Исследуем данную функцию на отрезке прямой АВ, принадлежащем границе области.

Уравнение прямой АВ: . Поэтому на ней .

Подставляя это значение в заданную функцию, получаем

Наибольшее и наименьшее, значение этой функции должно быть определено для значений :

Находим соответствующее значение . Из следует, что

Итак, рассмотрим точку т.к. она принадлежит рассматри­ваемой области:

Сравнивая теперь значение функции z в стационарной точке
с наибольшими и наименьшими значениями на отрезках OA, OB и АВ, найденными в пунктах а), б) и в), усматриваем, что в заданной замкнутой области

таким образом, оказалось, что наименьшего своего значения функция достигла в стационарной точке , а наиболь­шего — на границе области, в точке

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области , ограниченной линиями

Решение. Построив данную область, получаем точки пересечения заданных линий

Рис

Найдем критические точки функции, принадлежащие области Для этого найдем частные производные функции и решим систему уравнении:

Получаем точку , но она не принадлежит области

Теперь исследуем функцию на границе области.

На границе функция приобретает вид Так как получаем, что критических точек нет.

На границе функция принимает вид

Т.к. получили точку

На границе функция приобретает вид Отсюда значит, критических точек нет.

На границе функция принимает вид

Т.к. получаем, что на границе также нет критических точек.

Таким образом, мы не обнаружили критические точки, поэтому вычисляем значения данной функции только в узловых точках (вершинах прямоугольника):

Из всех полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее.

Упражнения для самостоятельной работы

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области ограниченной заданными линиями.

Ответы:

Линии и поверхности уровня

Физическим полем называется часть пространства, в которой происходит физическое явление.

Физическое поле называется скалярным, если физическое явление, его образующее, характеризуется функцией зависящей только от координат точек пространства, в котором это явление происходит. Скалярное поле полностью опреде­лено заданием одной функции трех независимых пере­менных.

Если физическое явление образовало скалярное поле, то каж­дой точке пространства, в котором происходит это явление ставится в соответствие определенное число, характери­зующее это явление в рассматриваемой точке. Это число есть частное значение функции , вычисленное в точке _.

Если однозначная функция соответствует скаляр­ному полю, образованному физическим явлением, то поверхностью уровня поля называется поверхность, во всех точках которой функция сохраняет одно и то же значение. Поверхности уровня имеют уравнение

где — постоянная величина.

Придавая постоянной различные числовые значения, получим семейство поверхностей уровня. Через каждую точку простран­ства проходит одна поверхность уровня.

Во всех точках поверхности уровня физическое явление протекает одинаково.

Уравнение поверхности уровня, проходящей через точку
, имеет вид

Пример. Построить линии уровня функции

Решение. На основании формулы линия уровня это кривая на плоскости задаваемая уравнением

Преобразовывая это уравнение, имеем

Полученное уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в точке и радиусом Точка — вырожденная линия уровня, соответствующая минимальному значению функции и достигающемуся в точке . Линии уровня – концентрические окружности, радиус которых увеличивается с ростом причем расстояния между линиями с одинаковым шагом уровня уменьшаются по мере удаления от центра.

Рис

Пример. Скалярное поле образовано функцией

Найти поверхности уровня этого поля.

Решение. На основании определения уравнение семейства поверхностей уровня запишем в виде

Отсюда уже, получаем окончательно, Поверхностями уровня являются семейство концентрических сфер.

Пример. Найти поверхности уровня для скалярного поля

Решение. Уравнение семейства поверхностей уровня имеет вид

Отсюда

и окончательно

Это уравнение семейства круговых конусов с общей вершиной в начале координат.

Производная по направлению

Производной функции по направлению называется предел отношения приращения функции в направлении л к длине элементарного отрезка при обозначается

_{Производная от функции по направлению характеризует скорость изменения функции по этому направлению.
Эта производная вычисляется по формуле}

где — направляющие косинусы вектора (координаты единичного вектора данного направления).

Если вектор направления задан координатами то ,,.

Производнаяравна нулю по любому направлению, касательному к поверхности уровня. Она достигает своего наибольшего значения по направлению нормали к поверхности уровня.

Пример. Найти производную функции в точке по направлению вектора

Решение. Найдем частные производные функции:

Теперь найдем значения частных производных функции в точке :

Вычисляем направляющие косинусы данного вектора :

Согласно определению:

Пример. Найти производную функции в точке в направлении , составляющем угол α = 60° с положительным направлением оси .

Решение. В формуле

Кроме того,

Подстановка дает

В точке имеем . Подставляя эти значения и в последнее неравенство, будем иметь

Итак, искомая производная

Упражнения для самостоятельной работы

Найти производную функции в точке по направлению :

Ответы:

Градиент функции

Градиентом скалярной функции называется вектор, проекции которого на координатные оси и соответственно равны т. е.

На основании определения проекции вектора _{на координатные оси запишутся так:}

Модуль вектора вычисляется по формуле:

Вектор в каждой точке направлен по норма­ли к поверхности уровня, проходящей через эту точку, в сторону возрастания функции. Скорость изменения скалярной функции по некоторому направлению равна проекции вектора на это направление, т. е.

В этом состоит основное свойство градиента функции.

Пример. Найти градиент функции в точке и вычислите модуль градиента.

Решение. Находим частные производные первого порядка данной функции:

;

Вычисляем значения этих производных в точке :

;

Согласно формуле, получаем

Найдем модуль градиента:

Пример. Определить производную функции

в точке в направлении , составляющем с осями прямоугольной системы координат и углы, соответственной равные α, β и γ, градиент этой функции, его величину и направляющие косинусы.

Решение.

По формуле находим производную по указанному в задаче направлению. Чтобы воспользоваться этой формулой, найдем частные производные

Подставляя эти значения, получим

В точке значениенайдем, подставив в предыдущее равенство

По формуле

В точке а его проекции на координатные оси и его модуль в этой точке равны:

Направляющие косинусы вектора в точке равны:

Контроль: .

Эти направляющие косинусы определяют направление наибыстрейшего роста нашей функции в точке А.

Если направление , о котором шла речь в задаче, совпадало бы с направлением вектора , то производная достигла бы своего наибольшего значения на этом направлении, и тогда в точке имеем:

Упражнения для самостоятельной работы

Найти градиент функции в точке :

Ответы:

Литература

1. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. «Высшая матема­тика в упражнениях и задачах», ч.2. – М.: Высшая школа, М., 1986-2001.

2. Рябушко А.П., Бархатов В.В., и др. «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», ч.2.- М.: Высшая школа, М.,1990.

3. Письменный Д.Т. «Конспект лекций по высшей математике» М.:Айрис-пресс,2005. (Высшее образование).

График двух переменных онлайн. Квадратичная и кубическая функции

В золотой век информационных технологий мало кто будет покупать миллиметровку и тратить часы для рисования функции или произвольного набора данных, да и зачем заниматься столь муторной работой, когда можно построить график функции онлайн. Кроме того, подсчитать миллионы значений выражения для правильного отображения практически нереально и сложно, да и несмотря на все усилия получится ломаная линия, а не кривая. Потому компьютер в данном случае – незаменимый помощник.

Что такое график функций

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент другого множества, например, выражение y = 2x + 1 устанавливает связь между множествами всех значений x и всех значений y, следовательно, это функция. Соответственно, графиком функции будет называться множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному выражению.

На рисунке мы видим график функции y = x . Это прямая и у каждой ее точки есть свои координаты на оси X и на оси Y . Исходя из определения, если мы подставим координату X некоторой точки в данное уравнение, то получим координату этой точки на оси Y .

Сервисы для построения графиков функций онлайн

Рассмотрим несколько популярных и лучших по сервисов, позволяющих быстро начертить график функции.

Открывает список самый обычный сервис, позволяющий построить график функции по уравнению онлайн. Umath содержит только необходимые инструменты, такие как масштабирование, передвижение по координатной плоскости и просмотр координаты точки на которую указывает мышь.

Инструкция:

1. Введите ваше уравнение в поле после знака «=».
2. Нажмите кнопку «Построить график» .

Как видите все предельно просто и доступно, синтаксис написания сложных математических функций: с модулем, тригонометрических, показательных — приведен прямо под графиком. Также при необходимости можно задать уравнение параметрическим методом или строить графики в полярной системе координат.

В Yotx есть все функции предыдущего сервиса, но при этом он содержит такие интересные нововведения как создание интервала отображения функции, возможность строить график по табличным данным, а также выводить таблицу с целыми решениями.

Инструкция:

1. Выберите необходимый способ задания графика.
2. Введите уравнение.
3. Задайте интервал.
4. Нажмите кнопку «Построить» .

Для тех, кому лень разбираться, как записать те или иные функции, на этой позиции представлен сервис с возможностью выбирать из списка нужную одним кликом мыши.

Инструкция:

1. Найдите в списке необходимую вам функцию.
2. Щелкните на нее левой кнопкой мыши
3. При необходимости введите коэффициенты в поле «Функция:» .
4. Нажмите кнопку «Построить» .

В плане визуализации есть возможность менять цвет графика, а также скрывать его или вовсе удалять.

Desmos безусловно – самый навороченный сервис для построения уравнений онлайн. Передвигая курсор с зажатой левой клавишей мыши по графику можно подробно посмотреть все решения уравнения с точностью до 0,001. Встроенная клавиатура позволяет быстро писать степени и дроби. Самым важным плюсом является возможность записывать уравнение в любом состоянии, не приводя к виду: y = f(x).

Инструкция:

1. В левом столбце кликните правой кнопкой мыши по свободной строке.
2. В нижнем левом углу нажмите на значок клавиатуры.
3. На появившейся панели наберите нужное уравнение (для написания названий функций перейдите в раздел «A B C»).
4. График строится в реальном времени.

Визуализация просто идеальная, адаптивная, видно, что над приложением работали дизайнеры. Из плюсов можно отметить огромное обилие возможностей, для освоения которых можно посмотреть примеры в меню в верхнем левом углу.

Сайтов для построения графиков функций великое множество, однако каждый волен выбирать для себя исходя из требуемого функционала и личных предпочтений.2 называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Квадратичная функция

Рис 1. Общий вид параболы

Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым.

Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0).

Основные свойства квадратичной функции

1. При х =0, у=0, и у>0 при х0

2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.

3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке }

Построить график функции | Решатели

Графиком функции \(y=f\left(x \right)\) называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, т.е. точек \(M\left(x,f\left(x \right) \right)\).

Для построения графиков функций со значениями аргумента и значениями функции, изменяющимися в широком диапазоне, удобно использовать логарифмический масштаб (от значения функции берется десятичный логарифм).3 t)

parametric plot (sin 10t, sin 8t), t=0..2pi

Непрерывность функции двух переменных

Определение 25.7.

Функция называетсянепрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму точку) и предел функции в этой точке существует, и равен значению функции в этой точке, т.е.

или .

Пример 25.3.

1) непрерывна в любой точке.

2)

Предел не существует при , т.е. (0,0) – точка разрыва.

Основные свойства непрерывных функций двух переменных

Определение 25.8.

Множество точек плоскости называетсясвязным, если любые две точки этого множества можно соединить линией.

Определение 25.9.

Точка называетсявнутренней точкой множества , если существует, состоящая из точек данного множества.

Определение 25.10.

Связное, открытое множество (состоящее лишь из внутренних точек) называетсяоткрытой областью или просто область

(например, внутренность круга).

Определение 25.11.

Точка называетсяграничной точкой области, если в любой существуют точки, как ей принадлежащие, так и не принадлежащие. Множество всех граничных точек этой области называетсяграницей области. Обозначение: .

Определение 25.12.

Множество точек, образованное областью и ее границей, называется замкнутой областью.

Определение 25.13.

Множество называется ограниченным, если существует круг, внутри которого оно содержится.

Замечание 4. Замкнутая ограниченная область, в которой определена функция двух переменных, является аналогом отрезка для функции одной переменной.

1) Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области, то.

2) Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она достигает в этой области своих точных граней.

3) Непрерывная в области функция принимает все свои промежуточные значения, т.е. если

и , то.

Частные производные

 Пусть функция определена в окрестности точки. Зададим переменнойв точкеприращение, оставляянеизменным, т.е. перейдем к точке, принадлежащей области(области определения функции).

Определение 26.1.

называется частным приращением по переменной в точке

Определение 26.2.

Если существует предел , то он называетсячастной производной функции в точкепо переменной.

Обозначение: .

Аналогично определяется

.

Если рассматривать частную производную по переменной в любой точке области определения функциина области, то частные производные можно рассматривать как новые функции на области.

Таким образом, частная производная функции двух переменных по переменной есть обычная производная одной переменнойпри фиксированном значении.

Пример 26.1.

Найти частные производные функций: ,,.

1) .

, .

2)

.

3) .

Понятие дифференцируемости функции двух переменных

Определение 26.3.

Пусть определена функция , тогда

— полное приращение функции.

Определение 26.4.

Пусть функция определена в окрестности точки.

Функция называетсядифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:

(26.1),

где -константы,-бесконечно малые функции  при .

Теорема 26.1.

Если функция дифференцируема в точке, то онанепрерывна в этой точке.

Доказательство.

Очевидно из (26.1): .

Теорема 26.2 (необходимое условие дифференцируемости).

Если функция дифференцируема в точке, то она имеет в этой точке частные производные, причем:

.                  (26.2)

Доказательство.

Пусть имеет место формула (26.1).

Положим ,

где при- бесконечно малая функция.

Разделив на , и переходя к пределу при, получим:

,

то есть частная производная по переменной существует и равна.

Второе равенство доказывается аналогично.

Замечание 1. Из непрерывности не следует ее дифференцируемость!

Пример 26.2.

непрерывна в точке (0,0), но не существует.

Аналогочно, не существует частной производной по . Следовательно, функция не дифференцируема.

Замечание 2. Из существования частных производных не следует дифференцируемость функции.

Пример 26.3.

Функция имеет частные производные в точке (0,0),

но не является в этой точке непрерывной, следовательно –

не дифференцируема.

Теорема 26.3 (достаточное условие дифференцируемости).

Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точкии эти производные непрерывны в самой точке, то функция дифференцируема в точке.

Следствие.

Если частные производные непрерывны, то функция непрерывна.

Определение 26.5.

Если функция дифференцируема в точке, то дифференциаломназываетсялинейная относительно приращений часть полного приращения этой функции в точке, т.е.

, или

(26.3)

Дифференциалами независимых переменных называются их приращения

(26.3’)

Производная сложной функции двух переменных

Пусть – функция двух переменныхи каждая из них является функцией от переменной:.

Тогда – сложная функция переменной.

Теорема 26.4.

Если функции дифференцируемые в точке,

–дифференцируема в точке , то сложная функциятакже дифференцируема в точке. При этом:

(26.4)

Пример 26.4.

1)

.

2)

.

Замечание 3.

Если и, то.

Градие́нт (от лат.gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.

Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона.

Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции координат,,называется векторная функция с компонентами

, ,.

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :

Если — функцияпеременных, то её градиентом называется-мерный вектор

компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.

• Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идет речь.

• Оператором градиента (обозначаемым обычно, как говорилось выше, или) называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) дает ее градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто «градиентом».

Смысл градиента любой скалярной функции в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещениядаетполный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть измененияпри смещении на. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку— это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказываетсяковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

линией уровня функции называется множество точек из ее области определения, в которых функция принимает одно и то же фиксированное значение. Градиентом функции f(x) называется вектор

Δf(x) = df,…, df

dx₁dx_n

указывающий направление наиболее быстрого возрастания функции, и, стало быть, ориентированный перпендикулярно линиям уровня.

Для линейной функции двух переменных линия уровня представляет собой прямую, перпендикулярную вектору с, который служит градиентом данной функции. Следовательно, если линия уровня определяется уравнением f(x)=c₁x₁+ c₂x₂ =const, то этот вектоp имеет вид

и указывает направление возрастания функции.

Таким образом, с геометрической точки зрения задача максимизации сводится к определению такой точки области D, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему из возможных значений. Последнее означает, что для нахождения точки экстремума в задаче линейного программирования мы должны сначала построить линию уровня для некоторого произвольного значения целевой функции. Затем необходимо осуществлять ее параллельное передвижение (так, чтобы она оставалась перпендикулярной вектору с) до тех пор, пока не достигнем такой точки области допустимых планов D, из которой смещение в направлении вектора с было бы невозможно. Такой метод решения получил название графического. Заметим, что решение задачи поиска минимума линейной функции осуществляется аналогично, с той лишь разницей, что движение по линиям уровня должно производиться в направлении, обратном градиенту целевой функции, т. е. по вектору (-с).

На рис. 1.1 изображен некоторый частный случай, для которого решение ЗЛП достигается в угловой точке х* = (0, 6) области D. Нетрудно представить, что возможны и другие варианты. Они изображены на рис. 1.2.

Рисунок (а) иллюстрирует ситуацию неограниченности целевой функции f(x)=cx на множестве D, т.е. сколько бы мы ни перемещались по линиям уровня в направлении вектора с, ее значение будет возрастать.

В случае, изображенном на рисунке (b), линия уровня, соответствующая максимальному значению f(x), касается грани множества D, и, соответственно, все точки, лежащие на этой грани, являются оптимальными планами.

Во всех рассмотренных иллюстрациях допустимые планы ЗЛП представлялись в виде некоторого многогранного выпуклого множества на плоскости. Такое их представление в литературе получило название первой геометрической интерпретации задачи линейного программирования.

Исследовать на выпуклость функции двух переменных — 31 Октября 2013 — Примеры решений задач

Исчисление III — Функции нескольких переменных

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-5: Функции нескольких переменных

В этом разделе мы хотим рассмотреть некоторые основные идеи о функциях более чем одной переменной.

Во-первых, помните, что графики функций двух переменных, \ (z = f \ left ({x, y} \ right) \) — это поверхности в трехмерном пространстве.2} — 4 \).

Это эллиптический параболоид, являющийся примером квадратичной поверхности. Некоторые из них мы видели в предыдущем разделе. В дальнейшем в «Исчислении III» мы будем довольно часто видеть квадратичные поверхности.

Другой распространенный график, который мы будем часто видеть в этом курсе, — это график плоскости. У нас есть соглашение для построения графиков плоскостей, которое упростит их построение и, надеюсь, визуализацию.

Напомним, что уравнение плоскости дает

, или если мы решим это для \ (z \), мы можем записать его в терминах обозначения функций.Это дает,

Для построения графика плоскости мы обычно находим точки пересечения с тремя осями, а затем строим треугольник, соединяющий эти три точки. Этот треугольник будет частью плоскости и даст нам довольно хорошее представление о том, как должна выглядеть сама плоскость. Например, давайте изобразим плоскость в виде

Для построения графика, вероятно, было бы проще записать это как,

Теперь каждая из точек пересечения с тремя главными осями координат определяется тем фактом, что две из координат равны нулю. Например, пересечение с осью \ (z \) — определяется как \ (x = y = 0 \). Итак, три точки пересечения:

Вот график самолета.

Теперь, если продолжить, графики функций вида \ (w = f \ left ({x, y, z} \ right) \) будут четырехмерными поверхностями. Конечно, мы не можем нанести их на график, но не помешает указать на это.

Далее мы хотим поговорить об областях функций более чем одной переменной. Напомним, что домены функций одной переменной \ (y = f \ left (x \ right) \) состояли из всех значений \ (x \), которые мы могли подключить к функции и получить обратно действительное число.Теперь, если мы подумаем об этом, это означает, что область определения функции одной переменной — это интервал (или интервалы) значений из числовой прямой или одномерного пространства.

Область функций двух переменных, \ (z = f \ left ({x, y} \ right) \), является областями из двухмерного пространства и состоит из всех пар координат, \ (\ left ({x, y} \ right) \), чтобы мы могли подключиться к функции и получить действительное число.

В данном случае мы знаем, что не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, поэтому это означает, что мы должны потребовать,

Вот набросок графика этого региона.

Эта функция отличается от функции в предыдущей части.2}> 16 \]

Итак, область определения этой функции — это набор точек, полностью лежащих вне сферы радиуса 4 с центром в начале координат.

Следующая тема, на которую мы должны обратить внимание, — это кривые уровня или контурные кривые . Кривые уровня функции \ (z = f \ left ({x, y} \ right) \) представляют собой двумерные кривые, которые мы получаем, полагая \ (z = k \), где \ (k \) — любое число. Таким образом, уравнения линий уровня: \ (f \ left ({x, y} \ right) = k \).Обратите внимание, что иногда уравнение будет иметь вид \ (f \ left ({x, y, z} \ right) = 0 \), и в этих случаях уравнения кривых уровня имеют вид \ (f \ left ({x, y, k} \ right) = 0 \).

Вы, наверное, уже видели кривые уровня (или контурные кривые, как бы вы их ни называли) раньше. Если вы когда-нибудь видели карту высот для участка земли, это не что иное, как контурные кривые для функции, которая дает высоту земли в этой области. Конечно, у нас, вероятно, нет функции, которая дает высоту, но мы можем, по крайней мере, изобразить контурные кривые.2}} \]

Вспомните из раздела «Квадрические поверхности», что это верхняя часть «конуса» (или поверхности в форме песочных часов).

Обратите внимание, что для этой проблемы этого не требовалось. Это было сделано для практики распознавания поверхности, и это может пригодиться в будущем.

А теперь перейдем к реальной проблеме. Кривые уровня (или контурные кривые) для этой поверхности задаются уравнением, которое находится путем замены \ (z = k \).2} \]

, где \ (k \) — любое число. Итак, в этом случае кривые уровня представляют собой окружности радиуса \ (k \) с центром в начале координат.

Мы можем построить график одним из двух способов. Мы можем либо изобразить их на самой поверхности, либо изобразить в двухмерной системе осей. Вот каждый график для некоторых значений \ (k \).

Обратите внимание, что мы можем думать о контурах в терминах пересечения поверхности, которая задается \ (z = f \ left ({x, y} \ right) \) и плоскостью \ (z = k \).Контур будет представлять собой пересечение поверхности и плоскости.

Для функций вида \ (f \ left ({x, y, z} \ right) \) мы иногда будем смотреть на поверхности уровня . 2} \ hspace {0.2} \]

, а вот и эскизы кейса.

Линейные системы с двумя переменными

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, разговариваете по мобильному телефону). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 7-1: Линейные системы с двумя переменными

Линейная система двух уравнений с двумя переменными — это любая система, которую можно записать в форме.

, где любая из констант может быть равна нулю, за исключением того, что каждое уравнение должно содержать хотя бы одну переменную.

Также система называется линейной, если переменные указаны только в первой степени, присутствуют только в числителе и нет произведений переменных ни в одном из уравнений.

Вот пример системы с числами.

Прежде чем мы обсудим, как решать системы, мы должны сначала поговорить о том, что такое решение системы уравнений.Решение системы уравнений — это значение \ (x \) и значение \ (y \), которые при подстановке в уравнения удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

В приведенном выше примере \ (x = 2 \) и \ (y = — 1 \) является решением системы. Проверить это достаточно легко.

Итак, конечно, эта пара чисел является решением системы.Не беспокойтесь о том, как мы получили эти ценности. Это будет самая первая система, которую мы решим, когда перейдем к примерам.

Обратите внимание, что важно, чтобы пара чисел удовлетворяла обоим уравнениям. Например, \ (x = 1 \) и \ (y = — 4 \) удовлетворяют первому уравнению, но не второму, и поэтому не являются решением системы. Точно так же \ (x = — 1 \) и \ (y = 1 \) будут удовлетворять второму уравнению, но не первому, и поэтому не могут быть решением системы.

Итак, что же представляет собой решение системы двух уравнений? Хорошо, если вы думаете об этом, оба уравнения в системе являются линиями.Итак, давайте построим их график и посмотрим, что мы получим.

Как видите, решение системы — это координаты точки пересечения двух линий. Итак, при решении линейных систем с двумя переменными мы действительно спрашиваем, где пересекаются две линии.

В этом разделе мы рассмотрим два метода решения систем.

Первый метод называется методом подстановки . В этом методе мы решим одно из уравнений для одной из переменных и подставим его в другое уравнение.Это даст одно уравнение с одной переменной, которую мы сможем решить. Как только это решено, мы подставляем это значение обратно в одно из уравнений, чтобы найти значение оставшейся переменной.

На словах этот метод не всегда очень понятен. Давайте рассмотрим пару примеров, чтобы увидеть, как работает этот метод.

1. \ (\ begin {align *} 3x — y & = 7 \\ 2x + 3y & = 1 \ end {align *} \)
2. \ (\ begin {align *} 5x + 4y & = 1 \\ 3x — 6y & = 2 \ end {align *} \)

Итак, это была первая система, которую мы рассмотрели выше.Мы уже знаем решение, но это даст нам возможность проверить значения, которые мы записали для решения.

Теперь метод говорит, что нам нужно решить одно из уравнений для одной из переменных. Какое уравнение мы выберем и какую переменную выбрать, зависит от вас, но обычно лучше выбрать уравнение и переменную, с которыми будет легко иметь дело. Это означает, что мы должны стараться избегать дробей, если это вообще возможно.

В этом случае похоже, что будет действительно легко решить первое уравнение для \ (y \), так что давайте сделаем это.

Теперь подставим это во второе уравнение.

Это уравнение в \ (x \), которое мы можем решить, так что давайте сделаем это.

Итак, есть часть решения \ (x \).

Наконец, НЕ забудьте вернуться и найти часть решения \ (y \).Это одна из наиболее частых ошибок, которые студенты делают при решении систем. Для этого мы можем либо вставить значение \ (x \) в одно из исходных уравнений и решить для \ (y \), либо мы можем просто вставить его в нашу замену, которую мы нашли на первом шаге. Так будет проще, так что давайте.

Итак, решение — \ (x = 2 \) и \ (y = — 1 \), как мы отметили выше.

С этой системой мы не сможем полностью избежать дробей.Однако похоже, что если мы решим второе уравнение для \ (x \), мы сможем их минимизировать. Вот эта работа.

Теперь подставьте это в первое уравнение и решите полученное уравнение относительно \ (y \).

Наконец, подставьте это в исходную замену, чтобы найти \ (x \).

Итак, решение этой системы — \ (x = \ frac {1} {3} \) и \ (y = — \ frac {1} {6} \).

Как и в случае с отдельными уравнениями, мы всегда можем вернуться и проверить это решение, подключив его к обоим уравнениям и убедившись, что оно удовлетворяет обоим уравнениям. Также обратите внимание, что нам действительно нужно включить оба уравнения.Вполне возможно, что ошибка может привести к тому, что пара чисел будет удовлетворять одному из уравнений, но не другому.

Теперь перейдем к следующему методу решения систем уравнений. Как мы видели в последней части предыдущего примера, метод подстановки часто заставляет нас иметь дело с дробями, что увеличивает вероятность ошибок. У второго метода этой проблемы не будет. Что ж, это не совсем так. Если будут отображаться дроби, они будут отображаться только на последнем этапе, и они будут отображаться только в том случае, если решение содержит дроби.

Этот второй метод называется методом исключения . В этом методе мы умножаем одно или оба уравнения на соответствующие числа (, т.е. , умножаем каждый член в уравнении на число), чтобы одна из переменных имела одинаковый коэффициент с противоположными знаками. Затем следующим шагом будет сложение двух уравнений. Поскольку одна из переменных имела одинаковый коэффициент с противоположными знаками, она будет удалена, когда мы сложим два уравнения.Результатом будет одно уравнение, которое мы можем решить для одной из переменных. Как только это будет сделано, замените этот ответ на одно из исходных уравнений.

Как и в случае с первым методом, гораздо легче увидеть, что здесь происходит, с помощью пары примеров.

1. \ (\ begin {align *} 5x + 4y & = 1 \\ 3x — 6y & = 2 \ end {align *} \)
2. \ (\ begin {align *} 2x + 4y & = — 10 \\ 6x + 3y & = 6 \ end {align *} \)

Это система из предыдущего набора примеров, которая заставила нас работать с дробями.Работа с ним здесь покажет различия между двумя методами, а также покажет, что любой метод может использоваться для получения решения для системы.

Итак, нам нужно умножить одно или оба уравнения на константы, чтобы одна из переменных имела одинаковый коэффициент с противоположными знаками. Итак, поскольку члены \ (y \) уже имеют противоположные знаки, давайте работать с этими терминами. Похоже, что если мы умножим первое уравнение на 3, а второе уравнение на 2, члены \ (y \) будут иметь коэффициенты 12 и -12, что нам и нужно для этого метода.

Вот работа для этого шага.

Итак, как и было обещано в описании метода, у нас есть уравнение, которое можно решить относительно \ (x \).Это дает \ (x = \ frac {1} {3} \), что мы и нашли в предыдущем примере. Однако обратите внимание, что единственная дробь, с которой нам пришлось иметь дело до этого момента, — это сам ответ, который отличается от метода подстановки.

Теперь снова не забудьте найти \ (y \). В этом случае работы будет немного больше, чем метод подстановки. Чтобы найти \ (y \), нам нужно подставить значение \ (x \) в любое из исходных уравнений и решить относительно \ (y \).Поскольку \ (x \) является дробью, заметим, что в этом случае, если мы подставим это значение во второе уравнение, мы потеряем дроби, по крайней мере, временно. Обратите внимание, что часто этого не происходит, и нам придется иметь дело с дробями, хотим мы этого или нет.

Опять же, это то же значение, которое мы нашли в предыдущем примере.

В этой части все переменные положительны, поэтому нам придется принудительно установить противоположный знак, умножив где-нибудь на отрицательное число. Также заметим, что в этом случае, если мы просто умножим первое уравнение на -3, тогда коэффициенты \ (x \) будут -6 и 6.

Иногда нам нужно только умножить одно из уравнений, а другое можно оставить в покое.Вот эта работа по этой части.

Наконец, подставьте это в любое из уравнений и решите относительно \ (x \).На этот раз мы воспользуемся первым уравнением.

Итак, решение этой системы — \ (x = 3 \) и \ (y = — 4 \).

Существует третий метод, который мы рассмотрим для решения систем из двух уравнений, но он немного сложнее и, вероятно, более полезен для систем как минимум с тремя уравнениями, поэтому мы рассмотрим его в следующем разделе.

Перед тем, как покинуть этот раздел, мы должны рассмотреть несколько частных случаев решения систем.

Здесь мы можем использовать любой метод, но похоже, что замена будет немного проще. Мы решим первое уравнение относительно \ (x \) и подставим его во второе уравнение.

Итак, это явно неправда, и, похоже, нигде в нашей работе нет ошибки. Так в чем проблема? Чтобы увидеть, давайте изобразим эти две линии и посмотрим, что мы получим.

Похоже, что эти две линии параллельны (можете ли вы проверить это с помощью наклона?), И мы знаем, что две параллельные линии с разными пересечениями \ (y \) (что важно) никогда не пересекутся.

Как мы видели в начале обсуждения этого раздела, решения представляют собой точку пересечения двух линий. Если две линии не пересекаются, у нас не будет решения.

Итак, когда мы получаем такой бессмысленный ответ в результате нашей работы, у нас есть две параллельные линии, и не существует решения этой системы уравнений.

Система в предыдущем примере называется несовместимая .Также обратите внимание, что если бы мы использовали исключение в этой системе, мы бы получили аналогичный бессмысленный ответ.

В этом примере кажется, что устранение было бы самым простым методом.

На первый взгляд может показаться, что это та же проблема, что и в предыдущем примере. Однако в этом случае мы пришли к равенству, которое просто не соответствовало действительности. В этом случае мы имеем 0 = 0, и это истинное равенство, и в этом смысле в этом нет ничего плохого.

Однако это явно не тот ответ, который мы ожидали здесь, и поэтому нам нужно определить, что именно происходит.

Мы предоставим вам проверить это, но если вы найдете наклон и \ (y \) — точки пересечения для этих двух линий, вы обнаружите, что обе линии имеют точно такой же наклон, и обе линии имеют одинаковые \ ( y \) — перехват. Итак, что это значит для нас? Хорошо, если две линии имеют одинаковый наклон и одинаковые \ (y \) — точки пересечения, тогда графики этих двух линий являются одним и тем же графиком.Другими словами, графики этих двух линий — это один и тот же график. В этих случаях любой набор точек, удовлетворяющий одному из уравнений, также будет удовлетворять другому уравнению.

Также напомним, что график уравнения — это не что иное, как набор всех точек, удовлетворяющих уравнению. Другими словами, существует бесконечный набор точек, которые удовлетворяют этой системе уравнений.

В этих случаях мы действительно хотим записать что-нибудь для решения.Итак, что мы сделаем, так это решим одно из уравнений для одной из переменных (неважно, что вы выберете). Решим первую относительно \ (y \).

Затем для любого \ (x \) мы можем найти \ (y \), и эти два числа образуют решение системы уравнений. Обычно мы обозначаем это, записывая решение следующим образом:

Чтобы показать, что они дают решения, давайте рассмотрим несколько значений \ (t \).

\ (t = 0 \)

Чтобы показать, что это решение, нам нужно вставить его в оба уравнения системы.

Итак, \ (x = 0 \) и \ (y = — \ frac {1} {5} \) является решением системы. Давай быстро сделаем еще один.

\ (t = — 3 \)

И снова нам нужно вставить его в оба уравнения системы, чтобы показать, что это решение.? 5 \\ — 1 & = — 1 & \ hspace {0,25 дюйма} 5 & = 5 \ end {align *} \]

Конечно, \ (x = — 3 \) и \ (y = 1 \) — это решение.

Итак, поскольку существует бесконечное количество возможных \ (t \) ‘, должно быть бесконечное количество решений для этой системы, и они даются как,

Системы, подобные тем, что в предыдущих примерах, называются зависимыми .

Теперь мы увидели все три возможности решения системы уравнений. Система уравнений не будет иметь решения, ровно одно решение или бесконечно много решений.

функций записи с несколькими параметрами в Python | Наука о данных о Земле

  def имя_функции (data_1, data_2):
  

  def multiply_values ​​(x, y):
  

  def multiply_values ​​(x, y):
    г = х * у
    вернуть z
  

  def multiply_values ​​(x, y):
    "" "Рассчитайте произведение двух входов.
    
    Параметры
    ----------
    x: int или float
    y: int или float

    Возврат
    ------
    z: int или float
    "" "
    г = х * у
    вернуть z
  

  # Вызов функции с числовыми значениями
multiply_values ​​(x = 0,7, y = 25,4)
  

  # Среднемесячные осадки (в дюймах) для января в Боулдере, Колорадо
Prec_jan_in = 0,7

# Коэффициент перевода дюймов в миллиметры
to_mm = 25,4
  

  # Вызов функции с предварительно заданными переменными
осадка_жан_мм = умножить_значения (
    x = осадков_ян_в,
    y = to_mm)

осадка_жан_мм
  

  def mm_to_in (mm):
    "" "Преобразование миллиметров в дюймы.
    
    Параметры
    ----------
    мм: int или float
        Числовое значение в миллиметрах.Возврат
    ------
    дюймы: int или float
        Числовое значение в дюймах.
    "" "
    дюймы = мм / 25,4
    возвратные дюймы
  

  def mean_mm_to_in_arr (arr_mm, axis_value):
  

  def mean_mm_to_in_arr (arr_mm, axis_value):
    mean_arr_mm = np.mean (arr_mm, axis = axis_value)
  

  def mean_mm_to_in_arr (arr_mm, axis_value):
    mean_arr_mm = np.mean (arr_mm, axis = axis_value)
    mean_arr_in = mean_arr_mm / 25.4
        
    вернуть mean_arr_in
    
  

  def mean_mm_to_in_arr (arr_mm, axis_value):
    "" "Вычислить средние значения входного массива по заданному
    оси и преобразовать значения из миллиметров в дюймы.
    
    Параметры
    ----------
    arr_mm: массив numpy
        Числовые значения в миллиметрах.
    axis_value: int
        0 для вычисления среднего значения для каждого столбца.
        1 для вычисления среднего значения для каждой строки.Возврат
    ------
    mean_arr_in: массив numpy
        Средние значения входного массива в дюймах.
    "" "
    mean_arr_mm = np.mean (arr_mm, axis = axis_value)
    mean_arr_in = mean_arr_mm / 25,4
        
    вернуть mean_arr_in
  

  # Импортировать необходимый пакет для запуска функции
импортировать numpy как np
  

  # 2d массив среднемесячных осадков (мм) за 2002 и 2013 годы в Боулдере, Колорадо
осадков_2002_2013_mm = np.array ([[27.178, 11.176, 38.1, 5.08, 81.28, 29.972,
                                 2,286, 36,576, 38,608, 61,976, 19,812, 0,508],
                                [6.858, 28.702, 43.688, 105.156, 67.564, 15.494,
                                 26,162, 35,56, 461,264, 56,896, 7,366, 12.7]
                               ])
  

  # Вычислить среднемесячное значение (в дюймах) для осадков_2002_2013
month_mean_in = mean_mm_to_in_arr (arr_mm = sizes_2002_2013_mm,
                                    axis_value = 0)

month_mean_in
  

  массив ([0,67, 0,785, 1,61, 2,17, 2,93, 0,895, 0,56, 1,42, 9,84,
       2,34, 0,535, 0,26])
  

  # Вычислить среднегодовое значение (в дюймах) для осадков_2002_2013
Annual_mean_in = mean_mm_to_in_arr (arr_mm = sizes_2002_2013_mm,
                                   axis_value = 1)

Annual_mean_in
  

  массив ([1.15666667, 2,84583333])
  

  # 1d массив среднемесячных осадков (мм) за 2002 год в Боулдере, Колорадо
осадка_2002_мм = np.array ([27.178, 11.176, 38.1, 5.08, 81.28, 29.972,
                           2.286, 36,576, 38,608, 61,976, 19,812, 0,508])
  

  # Вычислить среднее значение (дюймы) для осадков_2002
month_mean_in = mean_mm_to_in_arr (arr_mm = осадков_2002_мм)
  

  TypeError: mean_mm_to_in_arr () отсутствует 1 обязательный позиционный аргумент: 'axis_value'
  

  def mean_mm_to_in_arr (arr_mm, axis_value = None):
  

  def mean_mm_to_in_arr (arr_mm, axis_value = None):
    
    если значение axis_value равно None:
        mean_arr_mm = np.mean (arr_mm)
  

  def mean_mm_to_in_arr (arr_mm, axis_value = None):
    
    если значение axis_value равно None:
        mean_arr_mm = np.mean (arr_mm)
    еще:
        mean_arr_mm = np.mean (arr_mm, axis = axis_value)
  

  def mean_mm_to_in_arr (arr_mm, axis_value = None):
    если значение axis_value равно None:
        mean_arr_mm = np.mean (arr_mm)
    еще:
        mean_arr_mm = нп.среднее (arr_mm, axis = axis_value)
    
    mean_arr_in = mean_arr_mm / 25,4
        
    вернуть mean_arr_in
  

  def mean_mm_to_in_arr (arr_mm, axis_value = None):
    "" "Вычислить средние значения входного массива и преобразовать значения
    от миллиметров до дюймов. Если указана ось,
    среднее значение будет вычислено по этой оси.Параметры
    ----------
    arr_mm: массив numpy
        Числовые значения в миллиметрах.
    axis_value: int (необязательно)
        0 для вычисления среднего значения для каждого столбца.
        1 для вычисления среднего значения для каждой строки.

    Возврат
    ------
    mean_arr_in: массив numpy
        Средние значения входного массива в дюймах.
    "" "
    если значение axis_value равно None:
        mean_arr_mm = np.mean (arr_mm)
    еще:
        mean_arr_mm = np.mean (arr_mm, axis = axis_value)
    
    mean_arr_in = mean_arr_mm / 25.4
        
    вернуть mean_arr_in
  

  # Рассчитать среднемесячное значение (в дюймах) для осадков_2002_2013
month_mean_in = mean_mm_to_in_arr (arr_mm = sizes_2002_2013_mm,
                                    axis_value = 0)

month_mean_in
  

  массив ([0,67, 0,785, 1,61, 2,17, 2,93, 0,895, 0,56, 1,42, 9,84,
       2.34, 0,535, 0,26])
  

  # Рассчитать среднее значение (в дюймах) для осадков_2002
month_mean_in = mean_mm_to_in_arr (arr_mm = осадков_2002_мм)

month_mean_in
  

  def download_import_df (file_url, путь):
  

  def download_import_df (file_url, путь):
    et.data.get_data (url = file_url)
    df = pd.read_csv (путь)
  

  def download_import_df (file_url, path):
    
    et.data.get_data (url = file_url)
    os.chdir (os.path.join (et.io.HOME, "земля-аналитика"))
    df = pd.read_csv (путь)
    
    return df
  

  def download_import_df (file_url, путь):
    "" "Загрузить файл с указанного URL и импортировать файл
    в фреймворк pandas по указанному пути.
    
    Рабочий каталог установлен на каталог earth-analytics
    под домом, который автоматически создается
    скачать.

    
    Параметры
    ----------
    file_url: str
        URL-адрес CSV-файла (http или https).путь: ул.
        Путь к CSV-файлу с использованием относительного пути
        в каталог earth-analytics под домом.

    Возврат
    ------
    df: фрейм данных pandas
        Фрейм данных импортирован из загруженного файла CSV.
    "" "
    
    et.data.get_data (url = file_url)
    os.chdir (os.path.join (et.io.HOME, "земля-аналитика"))
    df = pd.read_csv (путь)
    
    return df
  

  # Импортировать необходимые пакеты для запуска функции
импорт ОС
импортировать панд как pd
импортировать earthpy as et
  

  # URL для среднемесячных осадков (дюймов) за 2002 и 2013 годы в Боулдере, Колорадо.
осадка_2002_2013_df_url = "https://ndownloader.figshare.com/files/12710621"

# Путь к скачанному .csv файлу с заголовками
diver_2002_2013_df_path = os.path.join ("данные", "earthpy-downloads",
                                        "осадков-2002-2013-месяцев-сезонов.csv")
  

  # Создать фрейм данных с помощью функции загрузки / импорта
осадка_2002_2013_df = download_import_df (
    file_url = diver_2002_2013_df_url,
    path = diver_2002_2013_df_path)

осадков_2002_2013_df
  

  Загрузка с https://ndownloader.figshare.com/files/12710621
  

 9034 

  Returns
-------
path_data: str
    Путь к загруженным данным.
  

  def download_import_df (file_url):
    "" "Загрузить файл с указанного URL и импортировать файл
    в фреймворк pandas.
    
    Путь к загруженному файлу автоматически
    генерируется загрузкой и передается в
    pandas для создания нового фрейма данных.Параметры
    ----------
    file_url: str
        URL-адрес CSV-файла (http или https).

    Возврат
    ------
    df: фрейм данных pandas
        Фрейм данных импортирован из загруженного файла CSV.
    "" "

    df = pd.read_csv (et.data.get_data (url = file_url))
    
    return df
  

  # Создать фрейм данных с помощью функции загрузки / импорта
осадка_2002_2013_df = download_import_df (
    file_url = diver_2002_2013_df_url)

осадков_2002_2013_df
  

  df.mean (axis = axis_value)