Построение поверхностей второго порядка онлайн: Построение поверхности 3D online

Содержание

Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка

1. Лекция 11

• Взаимное пересечение кривых
поверхностей . Частные случаи
пересечения поверхностей второго
порядка.
• Метод концентрических сфер.
• Метод эксцентрических сфер.

2. Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка

• При пересечении поверхностей второго
порядка линией пересечения в общем случае
является пространственная кривая 4-го
порядка. Эта кривая пересекается
плоскостью в четырех точках
(действительных и мнимых)
• Порядок линии пересечения равен
произведению порядков пересекающихся
поверхностей.
• Кривая четвертого порядка может
распадаться на две кривые второго порядка

3. Некоторые частные случаи взаимного пересечения поверхностей второго порядка, когда линиями их пересечения являются кривые

второго порядка
Две поверхности вращения
заданы одной осью и
главными меридианами.
Такие поверхности
называются соосными.
Рассмотрим пересечение 2-х
поверхностей вращения,
одна из которых – сфера.
Оси двух пересекающихся
поверхностей вращения
совпадают.
i2
i2
i1
i1
• Точки пересечения главных
меридианов сферы и тела
вращения 1 и 2 при
вращении вокруг оси
описывают параллели,
которые принадлежат обеим
поверхностям.
• Две соосные поверхности
вращения пересекаются по
параллелям, при этом если
оси поверхностей
параллельны плоскости
проекций, то параллели
проецируются на эту
плоскость прямыми линиями,
перпендикулярными
проекции оси.
Т2
12
°
12
°
22°
22 °
2°1 1°1
Т1
° 21
11≡

5. Пересечение поверхностей вращения методом концентрических сфер-посредников

Условия применимости метода
концентрических сфер-посредников:
1. Обе пересекающиеся поверхности
являются поверхностями вращения.
2. Оси поверхностей пересекаются
3. Поверхности имеют общую плоскость
симметрии, параллельную одной из
плоскостей проекций.

6. Определение рабочей зоны сфер-посредников

• Центр сфер выбирается в месте пересечения
осей искомых поверхностей вращения
• Минимальный радиус выбирается так, чтобы

сфера касалась обеих поверхностей, или
касалась одной и пересекала другую
• Максимальный радиус равен наибольшему
расстоянию от центра сферы до точки
наложенных сечений главных меридианов
искомых поверхностей

7. Метод концентрических сфер Определение минимальной сферы

12 ≡ 22
Î
1
Рис.1
32≡42
°
Î
1
°
Рис. 2
12≡22
°Î 1
Рис. 3
Рис. 1 – сфера касается только одной поверхности – решения нет, т.к. с друго
поверхностью сфера не имеет общих параллелей
Рис. 2 – сфера касается большей поверхности по окружности и пересекает
меньшую по двум окружностям: получаем две пары общих точек (1…4)
Рис. 3 – сфера касается обеих поверхностей одинаковой величины по двум
окружностям – получаем одну пару общих точек (1-2).
Пересечение поверхностей вращения
методом концентрических сфер
12
12
Задача: Определить линию
Rê
Rm
ax
пересечения конуса и цилиндра
Решение: Рассекаем поверхности
°
Rö
● 22
плоскостью α ┴П1, проходящей по
плоскости симметрии
x
0
Rê > Rö
поверхностей (по главным
меридианам). При пересечении
очерков поверхностей получаем
Находим горизонтальные проекции
этих точек с учетом видимости.
α1
11
°
фронтальные проекции точек 12 и 22.
2
х1
Определяем радиус минимальной
сферы (должна коснуться обеих
12
12
поверхностей или коснуться одной
Rê
ax
и пересечь другую). Сфера радиуса
Rm
Rц, касательная к цилиндру, не
Rö
22
имеет общих параллелей с
конусом.
x
0
Rê > Rö
Сфера радиуса Rк, касается конуса
и пересекает цилиндр. Т.о. она и
является минимальной.
Определяем радиус максимальной
Это сфера, проходящая через
наиболее удаленную (·) 2 накладки
сечений главных меридианов.
α1
11
°
сферы.
2
х1
Минимальная сфера,
R1

вписанная в конус, касается
12
Rmin
конуса по окружности
Rmin
R 42≡32
радиуса R1
Î
°
22
2
и пересекает цилиндр по
окружности,
перпендикулярной оси
x
0
цилиндра. При пересечении
построенных параллелей
(окружностей) получаем
31
точки 3 и 4 (32 и 42).
Î
°
4°
3
1
11
R1R
31
4
21
На плоскости П1 находим
R1
горизонтальные проекции 31 и
12
Rmin
41 по линии связи на
Rmin
R 42≡32
окружности радиуса R1,
Î
°
22
2
принадлежащей поверхности
конуса. Данная окружность
параллельна П1 и
x
0
проецируется без искажения.
Определяем видимость
горизонтальных проекций
31
точек: 31 и 41 видимы, т.к.
находятся в верхней части
цилиндра (это видно на П2выше оси цилиндра)
Î
1
11
R1R
31
4
21
Задаем сферу произвольного
радиуса, больше минимальной, но
12
R3
R3 6422 ≡52
°
32
меньше максимальной. Она
рассекает конус по двум
R2
Î 2 82≡7
52°
окружностям радиусами R2 и R3, и
Rпроизв.
цилиндр по одной. Окружности,
пересекаясь, дают (..)5,6,7,8
22
x
0
принадлежащие одновременно трем
поверхностям: искомым и сферепосреднику. На П1 строим
горизонтальные проекции точек 51 —
81, как лежащие на поверхности
конуса (т.е. на окружностях
радиусами R3 и R2 соответственно)
с учетом видимости поверхностей.
Î
31
41
6
1
х5
81
11
5411
4311
21
х
511
х7
Соединяем построенные
точки между
12
собой с учетом
52≡ 642
42≡ 32
À
А2≡В2 2
°
видимости.
52
82≡7
Линия пересечения
поверхностей
22
x
0
проходит через (..) А и В,
лежащих на очерковых

образующих цилиндра –
границе видимости на П1.
Î
À11
31 А
х851
641
11 х 21
541
х 7511
431
À
В11
°
1
°
Пересечение прямого кругового конуса с
вершиной в точке S и сферы с центром в точке О:
Данную задачу можно
решить и методом
плоскостей –
посредников, и методом
сфер- посредников.
S
O
°
° O1 °
П1
s1
Рассмотрим метод плоскостей-посредников на примере
данной задачи в аксонометрии
П2
Первую плоскость
–посредник
проведем через
главные
меридианы
поверхностей,
параллельно
плоскости
проекций П2
°
S
1
O
х
°
° О1 °S1
П1
11
•главный меридиан сферы- очерковая окружность,
главный меридиан конуса- очерковые образующие
(треугольник)
П2
•Найдем
пересечение
полученных
сечений: получим
общие точки 1 и 2
S

1
S1
11
1
°
O
°
х
2
°
° 21 ° О1 °11°
П1
Далее будем рассекать обе поверхности
горизонтальными плоскостями-посредниками
•Например, взяв
плоскость 2,
параллельную
плоскости П1 и
проходящую
через экватор
сферы, в
сечении по
сфере и конусу
получим
окружности.
Точки 3 и 4общие точки
полученных
сечений
S
экватор
°
O
3
°
° 4
О1
П1
S1
параллель
2
Повторим операцию с горизонтальными плоскостямипосредниками, взяв плоскость 3 выше плоскости №2
•получим
окружности параллели.
Точки 5 и 6общие точки
полученных
сечений
S
6
O
3
°5
°3
°
°
°4
О1
П1
S1
2
Повторим операцию с горизонтальными плоскостямипосредниками, взяв плоскость 4 ниже плоскости №2
•получим
окружности параллели.
Точки 7 и 8общие точки

полученных
сечений
S
1
°°
°5
°
O
8°
°
2°
П1
° О1
3
° 4
7
°
3
6
S1
2
4
Соединим найденные точки и получим линию
пересечения двух искомых поверхностей
S
1
3
6
°° 5
° 3
°
O
8°
°
2°
П1
2
° 4
7
°
° О1
S1
4

21. Рассмотрим решение задачи методом концентрических сфер-посредников

Пересечение прямого
кругового конуса с
вершиной в точке S и
сферы с центром в
точке О:
Первую плоскость –
посредник проведем
через главные
меридианы
поверхностей,
параллельно плоскости
проекций П2
П1
S
1
O
°
11
О1
S1
главный меридиан сферы- очерковая окружность,
главный меридиан конуса- очерковые образующие
•Получим общие
точки 1 и 2
S
1
1
°
O
°
2 °
О1
П1
S1
11
• На эпюре рассмотрим
решение задачи на
плоскости П2:
• Проекции точек 12 и 22
получим при
проведении
плоскости-посредника
через главные
меридианы
поверхностей по
плоскости симметрии
Гл.меридиан конуса
S2
Гл.меридиан сферы
°
12
O2
°
конуса и сферы.
22 °
Т.к. обе поверхности
являются
поверхностями
вращения, они
соосны и оси обеих
поверхностей
параллельны П2можем применить
метод
концентрических
сфер-посредников.
Центр сфер- в точке
пересечения осей- (.)S
Гл.меридиан конуса
S2
Гл.меридиан сферы
°
12
O2
°
22 °
Выбираем зону
действия сферпосредников.
R min –
расстояние от
(.)S2 до 12:
сферапосредник
коснулась
искомой сферы
в точке 1 и
пересекла конус
по окружности.
В результате
получим общую
точку 1
Гл.меридиан
конуса
S2
Гл.меридиан
сферы

12
°
O2
°
22 °
Rmax –расстояние
от центра сферыпосредника до
самой дальней
точки накладки
главных
меридианов
обеих
поверхностей, т.е.
от (.)S2 до (.)22:
сфера-посредник
коснулась
искомой сферы в
(.)2 и пересекла
конус по
окружности. В
результате
получим общую
точку 2
Гл.меридиан
конуса
S2
Гл.меридиан
сферы
12
°
O2
°
22 °
Rmax
Вводим произвольную
сферу – посредник
радиуса R1.
Строим сечения сферы
– посредника с
существующими
поверхностями.
Определяем общие
точки 3 и 4, на
пересечении
полученных сечений
3°
4
°
S2
12
°
32≡42
°
O2
°
22 °
Вводим произвольную
сферу – посредник
радиуса R2.
Строим сечения сферы
– посредника с
существующими
поверхностями.
Определяем общие
точки 5 и 6, на
пересечении
полученных сечений
5°
6
°
S2
12
°
32≡42
°
O2
°
22 °
°
52≡62
Вводим произвольную
сферу – посредник
радиуса R3.
Строим сечения
сферы – посредника
с существующими
поверхностями.
Определяем общие
точки 7 и 8, на
пересечении
полученных сечений
7°
8
°
S2
12
°
32≡42
°
O2
°
22 °
°
°
72≡82
52≡62
Соединим найденные
точки 1-8,
принадлежащие
обеим искомым
поверхностям.
Получим линию
пересечения
(перехода) сферы и
конуса.
S2
°
12
32≡42
°
O2
°
22 °
°
°
72≡82
52≡62

31. Поверхности конуса и цилиндра с общей фронтальной плоскостью симметрии касаются сферы по линиям 1-2 и 3-4. Линии пересечения

поверхностей представляют собой эллипсы, плоскости которых
перпендикулярны П2. Теорема Монжа: Если две поверхности второго
порядка описаны вокруг третьей поверхности второго порядка или
вписаны в нее, то они пересекаются по двум плоским кривым второго
порядка

32. Эта закономерность имеет важное значение при проектировании различных архитектурных форм и пространственных конструкций,

например сводов.
Пересечение двух цилиндров- крестовый свод
Задача 10.11 стр.60
Построить проекции
линии пересечения
конуса вращения с
параболоидом
вращения методом
концентрических сферпосредников.
Решение:
1. Для определения
линии пересечения
двух искомых
поверхностей
применим метод
плоскостейпосредников.
1-ую плоскостьпосредник проведем
через плоскость
симметрии
поверхностей (по
главным меридианам).
В сечении конуса
получим треугольник, в
сечении параболоида
вращения – параболу.
Накладка двух сечений
определяет проекции
точек на П2 : 12…42.
Строим их
горизонтальные
проекции 11…41
1
2. Проверяем, можно ли еще взять
вертикальные плоскости-посредники,
параллельные П2. В сечении по
конусу получим гиперболу, по
параболоиду вращения -параболу.
Обе кривые требуют времени для
построения. Вывод: больше
вертикальные плоскости
использовать нельзя.
3. Возьмем горизонтальную плоскостьпосредник 2. В сечении по конусу
получим окружность радиусом R. По
параболоиду – параболу,
совпадающую с очерком
параболоида на П1. Находим точки
пересечения двух полученных
сечений- в этом случае – точки
касания 51 и 61. Строим
фронтальные проекции этих точек 52
и 62.
2
1
4. Проверяем, можно ли еще
использовать
горизонтальные плоскости посредники. В сечении по
конусу получаем окружности,
а в сечении по параболоиду –
параболы, построение
которых занимает много
времени. Вывод: кроме
плоскости 2 больше
использовать
горизонтальные плоскости не
целесообразно.
Найденного количества общих
точек недостаточно, чтобы
построить линию перехода
двух искомых поверхностей
2
1
5. Проверяем возможность
применения метода
концентрических сферпосредников:
• Обе пересекающиеся поверхности
являются поверхностями
вращения.
• Оси поверхностей пересекаются
2
• Поверхности имеют общую
плоскость симметрии,
параллельную одной из плоскостей
проекций.
Вывод: можно применить метод сфер-
посредников
Центр сфер- точка пересечения осей
поверхностей
1
6. Определяем минимальный радиус
сферы:
проводим касательно к конусу
сферу радиусом R1. Данная
2
сфера находится внутри
параболоида, следовательно не
имеет с ним общих точек.
Проводим сферу касательно к
параболоиду радиусом R2.
Данная сфера пересекает
поверхность конуса.
Вывод: Минимальный радиус =
R2
1
7. Определяем
максимальный
радиус сфер –
посредников. Он
равен наибольшему
расстоянию от
центра сферы до
точек накладки
главных меридианов.
R max = расстоянию
до точки 42
2
1
8. Т.к. минимальная сфера
является соосной с искомыми
поверхностями, определяем
общие параллели сферы с
конусом и параболоидом. На
П2 они проецируются в
прямые, перпендикулярные
осям поверхностей,
проведенные в точках
пересечения очерков
соответствующих поверхностей
со сферой. Получили две
параллели по конусу и одну- по
параболоиду.
Находим общие точки
пересечения полученных
параллелей: 52 и 62. Эти точки
мы уже определили раньше
методом плоскостейпосредников, когда
использовали плоскость 2.
1
2
Точки 7 и 8: фиксируем
фронтальную проекцию 72
и 82 на пересечении
верхней параллели конуса
и параллели параболоида.
Затем строим
горизонтальные проекции
этих точек. Т.к. точки 7 и 8
принадлежат
одновременно и конусу и
параболоиду, на П1 их
проще строить как
лежащие на параллели
конуса . Измеряем на П2
радиус R3 от оси до
очерковой образующей
конуса и строим на П1
проекцию окружности, на
которой по линиям связи
находим 71 и 81.
2
1
9.Сфера максимального
радиуса пересекает
параболоид по двум
параллелям и конус по
двум параллелям. В
результате находим одну
точку 4 (точку касания
двух окружностей). Мы
ранее нашли (.)4 с
помощью плоскостипосредника 1.
2
°
1
Рассмотрим отдельно
пример с
использованием сферыпосредника
произвольного радиуса.
Для определения
промежуточных точек
линии перехода в
пределах «рабочей
зоны» сферпосредников (между
минимальной и
максимальной)
построим сферу
произвольного радиуса
R4
Определяем общие
параллели сферы
посредника и
конуса.
На П2 окружности
проецируются в
прямые,
перпендикулярные оси
конуса, проведенные в
точках пересечения
очерков конуса со
сферой. Получили две
параллели по конусу
Определяем общие
параллели сферыпосредника и
параболоида
вращения.
На П2 окружности
проецируются в
прямые,
перпендикулярные оси
параболоида,
проведенные в точках
пересечения очерков
параболоида со
сферой. Получили две
параллели по
параболоиду
Находим фронтальные
проекции точек
пересечения полученных
параллелей
92 ≡ 102, 112 ≡ 122, (.)22 –
точка касания
(подтвердили ранее
найденную точку с
помощью плоскостипосредника 1) и М2мнимая точка
Для определения
горизонтальных
проекций найденных
точек построим на П1
окружность радиусом
R5, на которой лежат
точки 9 , 10, 11 , 12.
R5
• Строим горизонтальные
проекции 91 , 101, 111 ,
121.
• Т.к. точки 9…12
находятся в нижней
части параболоида, на
П1 их проекции будут
невидимы.
R5
• Таким образом, в
результате
применения
промежуточной
сферы-посредника
радиусом R4, были
найдены пять
точек: 2, 9…12
R6
R5

50. Вернемся к первоначальному чертежу

2
2
2
1
2
1
• Для определения
дополнительных точек в
нижней части конуса вводим
сферу — посредник радиусом
R7. В результате получим
точки 13 и 14 и подтвердим
(.)3.
Для построения
горизонтальной проекции
точек 13 и 14 строим
окружность R8 (параллель
конуса, на которой лежат
данные точки)
2
°
R8
1
141
• Для уточнения
линии пересечения
(перехода) в
верхней части
конуса построим
сферу –посредник
произвольным
радиусом, но
меньше R4 →R9.
• Построим общие
параллели сферыпосредника и искомых
поверхностей. Найдем
общие точки полученных
сечений: 15 и 16
°
152≡162
15
°
16
°
•Определим фронтальные проекции точек 152 и 162
R4
• Построим
горизонтальные
проекции этих точек
151 и 161, они лежат
на поверхности
конуса на параллели
радиусом R10
R10
R9
°
2
°
1
°
°
• Соединим
полученные
точки, получим
две линии
перехода конуса
и параболоида
вращения .
• На П1 строим
изображение
горизонтальных
проекций линий
перехода с
учетом
видимости
2
1
2
1

57. Пересечение поверхностей вращения методом эксцентрических сфер

Метод эксцентрических сфер применяется в том
случае, когда:
1. Пересекаются две поверхности вращения, или
одна из них – циклическая.
2. Оси поверхностей скрещиваются.
3. Поверхности имеют общую плоскость
симметрии.
Задача 10.9 в) стр. 58:
Построить линию
пересечения тора с
прямым круговым
цилиндром
Решение: Т.к. поверхность
цилиндра
перпендикулярна
плоскости П1, проекция
линия пересечения
искомых поверхностей
на П1 совпадает с
основанием цилиндра
1. Проведем плоскость
–посредник №1 по
плоскости
симметрии двух
поверхностей. В
сечении по цилиндру
получим
прямоугольник
(очерк цилиндра на
П2), по тору – сектор
между двумя
очерковыми
окружностями.
Накладка двух
сечений позволяет
определить общие
точки 1 и 2
1
2. Далее применим метод
эксцентрических сфер посредников. Через ось
тора (центр О2) проведем
фронтальнопроецирующую плоскость
2 (22), которая разрежет
тор по окружности с
центром в точке N (N2) (на
П2 окружность совпадает
с проекцией плоскости 22
). Восстановим к
плоскости окружности
перпендикуляр в (.) N (N2)
и найдем его пересечение
с осью цилиндра –(.)К
(К2)- это центр сферыпосредника
1
Радиус сферы R1расстояние от
центра (.)К2 до
точек
пересечения
плоскости 2 с
очерком тора.
Проводим
фронтальную
проекцию
сферыпосредника
Определим
пересечение
сферы-посредника
с цилиндром –
окружность,
перпендикулярная
оси цилиндра.
Находим
пересечение
полученных
сечений — 32≡42
2
• На П1
горизонтальные
проекции точек 31 и
41 находятся на
проекции основания
цилиндра
2
1
Задаем следующий
срез по тору.
Проводим через
ось тора (.)О2
плоскость 3 (32),
которая разрезает
тор по окружности.
Из центра
окружности L2
(пересечение
плоскости 3 с
осью) восстановим
перпендикуляр к
плоскости
окружности и
найдем его
пересечение с
осью цилиндра- Е2
2
2
Проводим
сферу –
посредник
радиусом
R2
2
2
Находим
пересечение
построенной
сферы с
цилиндром и
определяем
точки 52 ≡ 62
пересечения
двух
полученных
сечений
(окружностей)
2
2
52≡62
°
1
Повторяем
операцию,
разрезав тор
плоскостью 4
(42) и построим
сферу с
центром в (.)М2
радиусом R3 ,
которая
разрезает тор
по окружности
с центром в
(.)А2
2
2
2
Строим срез
третьей сферой
по цилиндру.
Находим
фронтальные
проекции точек
взаимного
пересечения
полученных
срезов:
построенного по
цилиндру и
заданного по
тору 72 и 82
2
2
2
На П1
горизонтальные
проекции точек 71
и 81 находятся на
проекции
основания
цилиндра
2
2
2
1
• Соединяем
найденные
точки ,
получим
линию
пересечения
тора и прямого
кругового
цилиндра.
Определяем
видимость
поверхностей
2
2
2
1

Построение поверхностей второго порядка в среде Mathcad

Построение поверхностей в Mathcad.

Построение графика поверхности в системе Mathcad может осуществляться несколькими способами.

1 Построение поверхностей по матрице аппликат их точек.

Поскольку элементы матрицы М – индексированные переменные с целочисленными индексами, то перед созданием матрицы требуется задать индексы в виде ранжированных переменных с целочисленными значениями, а затем из них сформировать сетку значений х и у – координат для аппликат z(x,y). Значения х и у могут быть любыми действительными числами.

После указанных выше определений вводится шаблон графика (либо с помощью подменю меню Вставка, либо с помощью панели Graph). Левый верхний угол шаблона помещается в место расположения курсора. Шаблон содержит единственное место ввода – темный прямоугольник у левого нижнего угла основного шаблона. В него надо занести имя матрицы аппликат поверхности. После этого надо установить указатель мыши в стороне от графического блока и щелкнуть левой кнопкой.

Следует заметить, так как график строится на основе матрицы, содержащей только координаты высот фигуры, то истинные масштабы по осям абсцисс и ординат неизвестны и на рисунках не проставляются. Однако можно выводить порядковые номера элементов матриц в заданном направлении. Необходимо следить за тем, как сформировать векторы Х и У, чтобы поверхность выглядела естественно и была видна нужная часть поверхности.

2 Построение трехмерных графиков без задания матрицы.

В данном случае для построения достаточно задать функцию переменных х и у. В результате построение графиков поверхностей выполняется также просто, как и построение двухмерных графиков. Недостатками такого построения являются неопределенность в масштабировании и то, что не все поверхности второго порядка можно построить таким образом.

Форматирование трехмерных графиков.

Принцип форматирования трехмерных графиков такой же, как и форматирования двухмерных графиков. Отличие состоит лишь в большем количестве параметров форматирования.

Задание 1. Построить поверхность по матрице аппликат ее точек (рисунок 30).

Задание 2. Построить поверхность без задания матрицы (рисунок 31).

Рисунок 30

Рисунок 31

Уравнение поверхности не всегда задается в явном виде. Для того чтобы построить поверхность заданную неявно необходимо сначала уравнение данной поверхности разрешить относительно какой-либо переменной, а затем строить поверхности по полученным уравнениям.

Задание 3.Построить поверхность, заданную уравнением (рисунок 32).

Задание 4. Построить поверхность, заданную уравнением (рисунок 33).

Возможности системы Mathcad позволяют строить пересекающиеся поверхности в одной системе координат.

Задание 5.Построить поверхности , (рисунок 34).

В пакете Mathcad также возможно построение поверхностей, заданных в параметрической форме. Примеры таких построений приведены на рисунках 36 и 37.

Рисунок 32

Рисунок 33

Рисунок 34

Рисунок 35

Рисунок 36

Рисунок 37

Построение конических сечений / Хабр

Намедни, отлаживая фрагмент программы, связанной с геометрическими вычислениями я заметил, что одна из переменных имеет одно и то же значение вне зависимости от значений входных параметров. Естественно, в первую очередь я заподозрил ошибку и потратил некоторое время на ее поиски, но, немного подумав, я понял, что это не ошибка, а одно из известных свойств конических сечений о котором зачастую забывают. После этого я потратил уже значительно больше времени, рисуя красивые геометрические построения, и в итоге решил, что стоит поделиться картинками с кем-то. Так появилась эта пятничная статья.

Напомню (а тем, кто не учил высшую математику — сообщу), что коническими сечениями называются такие кривые, как эллипс, парабола и гипербола (есть еще вырожденные случаи – на них мы сейчас останавливаться не будем). Вообще, конические сечения — очень замечательный объект, встречаются они во многих областях. Можно вспомнить, например, параболические антенны или орбиты небесных тел.

Каждое коническое сечение являются сечением конуса (правда, КЭП?), то есть линией, образовавшейся при пересечении конуса и плоскости. Ну а внешний вид зависит от взаимного расположения плоскости и образующих конуса. Также несложно доказать, что все такие линии являются графиками уравнений второго порядка.

Неужели кому-то нужно доказательство?

Конус описывается каноническим уравнением второго порядка вида

Секущую плоскость можно превратить в плоскость z = 0 сделав линейную замену координат. Понятно, что после линейной замены координат степень уравнения не повысится и, подставив в это уравнение значение z = 0, мы получим искомое уравнение второго порядка.

Все кто учил высшую математику наверняка потратили некое количество времени заучивая классификацию линий и поверхностей второго порядка (слова богу их не слишком много, особенно если не учитывать мнимые фигуры).

Но для классического определениями эллипса, параболы и гиперболы используется другое их свойство, а именно (цитирую википедию):
Эллипс — геометрическое место точек Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между этими точками.

Гипербола — геометрическое место точек Евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний до двух выделенных точек (называемых фокусами) постоянно.

Парабола — геометрическое место точек Евклидовой плоскости, равноудалённых от данной прямой и данной точки.

Доказательство этих свойств – прямолинейно. Нужно взять соответствующее уравнение второго порядка, аккуратно выписать формулы для расстояний и произвести алгебраические преобразования. Выкладки довольно громоздки, поэтому здесь я приведу только самый простой случай – параболу.

Хочется формул?

Пусть парабола задана уравнением y = a*x*x, где а некоторая константа. Посчитаем расстояние от любой точки параболы, до точки с координатами (0, 1/(4a)):

Тут второе преобразование проведено с использованием уравнения параболы, а остальные – просто перегруппировка элементов и раскрытие скобок. Получилось, что расстояние от точки параболы до точки (0, 1/(4a)) равно расстоянию от той же точки параболы до прямой y = -1/(4a), что и требовалось.

Термин «геометрическое место точек» сразу напоминает школьную парту и построения с циркулем и линейкой. Вообще это была моя любимая часть геометрии, хотя алгебраически действовать зачастую было проще. Конечно же, полностью построить конические сечения, используя циркуль и линейку – невозможно, но можно построить любое количество точек, лежащих на этих кривых. Наиболее простой способ сделать это – использовать упомянутые свойства. Рассмотрим такое построение для эллипса.

Пусть O и Q – фокусы эллипса и 2a – заданная сумма расстояний. Возьмем любую прямую, проходящую через фокус O и рассмотри точку X – пересечение прямой и эллипса. Отложив на той же прямой отрезок OY равный 2a, мы получим треугольник QXY. По свойству эллипса QX + OX равно 2a, а значит QX = XY и указанный треугольник равнобедренный. Это позволяет легко восстановить точку X, построив серединный перпендикуляр к QY.

Для гиперболы построение аналогично, только точку Y надо откладывать в другую сторону. При этом получается, что OY – это разность отрезков XY и OX, а треугольник QXY по-прежнему равнобедренный. Так как алгоритм построения одинаковый, то что именно получится — эллипс или гипербола зависит от того, что больше расстояние между фокусами или длина отрезка, задающего сумма (разность).

С параболой немножко сложнее. Пусть O – фокус параболы и задана директриса. Вместо равнобедренного прямоугольника тут надо рассмотреть Параллелограмм OXYZ, где прямые XY и OZ перпендикулярны директрисе. По свойству параболы, XY = XO, следовательно, этот параллелограмм является ромбом. Имея прямую OX восстановить ромб и найти точку X уже несложно – достаточно провести биссектрису угла XOZ – получить точку Y, как пересечение биссектрисы и директрисы, а потом восстановить перпендикуляр из этой точки до пересечения с задающей прямой.

Процесс рисования параболы запечатлен на следующем видео:

Ну а все желающие могут самостоятельно увидеть последовательность построений, пошевелить задающие точки и понаблюдать за завораживающим движением вспомогательных окружностей здесь. Не забудьте подвигать точки, подписанные как «Drag me».

Онлайн-тесты на oltest.ru: Начертательная геометрия

Онлайн-тестыТестыИнженерные дисциплиныНачертательная геометриявопросы46-60

46. Задачи на пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения и пересечение двух плоскостей общего положения называются:
• основными позиционными задачами

47. Задачи, решение которых связано с определением значений геометрических величин — длин отрезков, размеров углов, площадей, объемов, расстояний между геометрическими фигурами и т.д., называются:
• метрическими

48. Задачи, решение которых связано с отображением на чертеже каких-либо метрических свойств фигуры или определением их по чертежу, называют:
• метрическими

49. Изложение и обоснование способов построения изображений пространственных форм на плоскости и способов решения задач геометрического характера по заданным изображениям этих форм — это:
• предмет начертательной геометрии

50. Касательная плоскость или не определена, или же их существует несколько в:
• особых точках

51. Когда многогранная поверхность, аппроксимирующая данную кривую, имеет треугольные грани, построение развертки производится способом
• триангуляции

52. Когда нормальное сечение цилиндрической поверхности представляет собой кривую второго порядка, то цилиндрическая поверхность относится к числу
• поверхностей второго порядка

53. Когда прямой угол, одна сторона которого параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, проецируется в прямой угол — это:
• теорема о проецировании прямого угла

54. Кривая, определяемая двумя параметрами: шагом и радиусом, называется ____________________ линей.
• винтовой

55. Кривую, все точки которой не лежат в одной плоскости, называют:
• пространственной

56. Кривую, составленную из дуг различных кривых, состыкованных между собой определенным образом, называют:
• обводом

57. Кривые второго порядка: эллипс (окружность), параболу, гиперболу и их вырожденные случаи — точку, «двойную» прямую и две пересекающиеся (или параллельные) прямые называют:
• коническими сечениями или кониками

58. Кривые и ломаные линии, лежащие в одной плоскости, называют:
• плоскими

59. Кривые, полученные в сечении поверхности осевыми плоскостями, называются:
• меридианами

60. Линейчатая поверхность, образованная перемещением прямой по прямолинейной направляющей, — это:
• плоскость

Открытое образование — Начертательная геометрия и инженерная графика

Одной из главных задач начертательной геометрии является формирование и развитие пространственного геометрического мышления – способности личности, необходимой для конструкторской и технологической деятельности. Инженерное творчество немыслимо без знания законов, связывающих пространственную форму и ее плоское изображение. Этим обусловлена большая роль начертательной геометрии в формировании будущего специалиста — дисциплина является теоретической базой для освоения инженерной графики и последующих общепрофессиональных и специальных дисциплин.

Инженерная графика дает основы для изучения других общеинженерных дисциплин: сопротивления материалов, теории механизмов и машин и деталей машин, формирующих способность разрабатывать рабочую проектную и техническую документацию деталей и узлов машиностроительных конструкций, оформлять законченные проектно-конструкторские работы в соответствии с действующими стандартами, техническими условиями и другими нормативными документами.

Раздел начертательной геометрии включает изучение теории и практики графических построений пространственных геометрических форм на плоскости. Рассматриваются примеры приложения начертательной геометрии к решению практических задач.

Современная методология проектирования представлена разделом инженерной графики: «3D технология разработки конструкторских документов». Базовые знания, полученные при изучении предыдущих разделов дисциплины, развиваются при освоении принципов проектирования трехмерных моделей деталей, сборок, при создании рабочих чертежей.

Изучение курса предполагает:

просмотр видео лекций;
изучение текстового материала;
анализ учебных заданий, иллюстрирующих приложения теории к решению практических задач;
использование тренажеров для отработки навыков практического применения теоретического материала;
выполнение тестовых заданий;
лабораторный практикум по компьютерной графике.

Предусмотрено промежуточное контрольное тестирование по каждому разделу и итоговое контрольное тестирование по всему содержанию курса.

Для успешного освоения курс начертательной геометрии и инженерной графики необходимы знания по геометрии, стереометрии.

Раздел 1. Предмет и метод начертательной геометрии
Тема 1.1. Метод проецирования
Тема 1.2. Инвариантные свойства параллельного проецирования
Тема 1.3. Метод двух изображений для косоугольного проецирования
Тема 1.4. Метод двух изображений для ортогонального проецирования
Тема 1.5. Инвариантные свойства

Раздел 2. Задание геометрических объектов на чертеже
Тема 2.1. Ортогональный чертеж точки.
Тема 2.2. Ортогональные чертежи прямой
Тема 2.3. Ортогональные чертежи плоскости
Тема 2.4. Принадлежность точки и линии плоскости

Раздел 3. Позиционные задачи
Тема 3.1. Пересечение прямой линии с плоскостью
Тема 3.2. Пересечение плоскостей
Тема 3.3. Параллельность геометрических объектов
Тема 3.4. Перпендикулярность геометрических объектов

Раздел 4. Способы преобразования чертежа. Метрические задачи
Тема 4.1. Способ замены плоскостей проекций
Тема 4.2. Способ плоскопараллельного перемещения и вращения
Тема 4.3. Вращение вокруг проецируемых прямых
Тема 4.4. Вращение вокруг прямых уровня
Тема 4.5. Совмещение

Раздел 5. Кривые линии. Поверхности
Тема 5.1. Плоские кривые линии. Кривые второго порядка
Тема 5.2. Пространственные кривые линии. Винтовые линии
Тема 5.3. Поверхности вращения
Тема 5.4. Сечение поверхностей плоскостью
Тема 5.5. Пересечение прямой линии с поверхностью

Раздел 6. Пересечение поверхностей
Тема 6.1. Обобщенные позиционные задачи
Тема 6.2. Способ вспомогательных секущих плоскостей
Тема 6.3. Способ вспомогательных секущих концентрических сфер
Тема 6.4. Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка

Раздел 7. Развертки
Тема 7.1. Основные понятия
Тема 7.2. Приближенные развертки развертывающихся поверхностей
Тема 7.3. Инженерная графика
Тема 7.4. Государственные стандарты
Тема 7.5. Общие правила оформления конструкторской документации
Тема 7.6. Изображение изделий на черчежах
Тема 7.7. Изделия с винтовыми поверхностями
Тема 7.8. Рабочие черчежи деталей
Тема 7.9. Виды соединений.Сборочные черчежи изделий
Тема 7.10. Детализирование черчежей общего вида изделий

По окончании освоения дисциплины обучающийся будет способен:

отображать пространственные формы на плоскости;
применять элементы инженерной компьютерной графики при построении компьютерных моделей
разбираться в технологических схемах, машиностроительных чертежах и другом графическом материале, представленном в производственной документации;
представлять техническую документацию в соответствии со стандартами,техническими условиями и другими нормативными документами;
работать со справочной и технической литературой общеинженерной направленности;
принимать обоснованные технические решения, используя одну из графических и систем автоматизированного проектирования.

(PDF) Поверхности второго порядка в архитектуре и строительстве

ICCATS 2018

IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering451 (2018) 012118 IOP Publishing

doi:10.1088/1757-899X/451/1/012118

Рассмотрим плоскости α и β вместе. На прямой m=α∩β указать произвольные точки M, N. Через

точек 1, 2, 3, M, N плоскости α провести коническое сечение a2. Через точки 4, 5, 6, М, N в плоскости

β проводят коническое сечение b2 (рис. 3).

Определение. Конические сечения a2, b2, лежащие в плоскостях α и β, будем называть «сопряженными», если они

пересекаются в точках, лежащих на прямой m=α∩β.

Проведите поляры pa, pb точки P относительно конических сечений a2, b2. Поляры сопряженных

конических сечений также называют «сопряженными». Сопряженные поляры пересекаются в точках, лежащих на прямой m.

Набор сопряженных конических сечений a2~b2 соответствует набору сопряженных поляр pa~pb [15, 16].

Произвольно определив точки M, N на прямой m, провести в плоскостях α, β три пары

сопряженных конических сечений a2~b2, a′2~b′2, a′′2~b′′2. Три пары сопряженных конических сечений соответствуют

трем парам сопряженных поляр pa~pb, p′a~p′ b, p′′ a~p′′b. Сопряженные поляры попарно пересекаются на линии

m, образуя пространственную конфигурацию Дезарга с центром Oαβ и осью m. Центр Oαβ

находится на пересечении прямых, соединяющих соответствующие точки (pa∩p′a)↔(pb∩p′b),

(p′a∩p′′a)↔(p′b∩p ′′b), (pa∩p′′a)↔(pb∩p′′b).

Аналогично устанавливаются перспективные отношения между парами плоскостей α↔γ (с центром

Oαγ и осью l=α∩γ) и β↔γ (с центром Oβγ и осью n=β∩γ). Обратите внимание на важный результат.

Пусть через один из центров, например через центр Oαβ, проведена произвольная плоскость δ. Плоскость

δ пересекает плоскости α, β по прямым pα=δ∩α, pβ=δ∩β. Эти линии можно

рассматривать как сопряженные поляры (относительно полюса P) двух сопряженных конических сечений dα2 (1, 2,

3)~dβ2(4, 5, 6).Коническое сечение dα2, проходящее через точки 1, 2, 3, полностью определяется

полюсом P и полярой pα. Коническое сечение dβ2, проходящее через точки 4, 5, 6, полностью определяется

полюсом P и полярным pβ [17].

Произвольная плоскость δ, падающая на центр Oαβ, порождает в плоскостях α, β пару сопряженных

конических сечений, проходящих через заданные точки (1, 2, 3) и (4, 5, 6). Следовательно, плоскость

Δ(OαβOαγOβγ) порождает в плоскостях α, β, γ три пары сопряженных конических сечений a2~b2, a2~g2, b2~g2,

, проходящих через заданные точки (1, 2, 3) , (4, 5, 6), (7, 8, 9).Эти конические сечения определяют требуемую поверхность

Θ. Задача реконструкции полностью решена. Алгоритм практически реализован с

с помощью современной компьютерной графики.

3. Соединение поверхностей второго порядка

Соединение параболических цилиндров. Секции параболического цилиндра применяются в архитектуре и строительстве

при устройстве арок спортивных сооружений. При устройстве составных арок требуется

для обеспечения их соединения по пологим кривым.

Рис. 4. Параболические цилиндры: а — ортогональный чертеж; б — аксонометрия.

3.1. Теорема 1

Параболические цилиндры с параллельными плоскостями симметрии пересекаются по плоской кривой (рис. 4).

Доказательство. В расширенном евклидовом пространстве E3 параболический цилиндр касается неправильной плоскости по своей

неправильной образующей. Неправильная образующая параболического цилиндра совпадает с неправильной линией

12.6: Quadric Surfaces — Mathematics LibreTexts

Мы изучали векторы и векторные операции в трехмерном пространстве и разработали уравнения для описания линий, плоскостей и сфер. .В этом разделе мы используем наши знания о плоскостях и сферах, которые являются примерами трехмерных фигур, называемых поверхностями , для изучения множества других поверхностей, которые можно изобразить в трехмерной системе координат.

Идентификация цилиндров

Первая поверхность, которую мы рассмотрим, это цилиндр. Хотя большинство людей сразу же думают о полой трубке или соломинке из-под газировки, когда слышат слово «цилиндр», здесь мы используем широкое математическое значение этого термина.2=9\) представляет собой цилиндр радиуса $ 3$ с центром на оси $z$. Это продолжается бесконечно в положительном и отрицательном направлениях.

Определение: цилиндры и линейки

Набор линий, параллельных данной линии, проходящей через данную кривую, известен как цилиндрическая поверхность или цилиндр . Параллельные линии называются линейками .

Из этого определения видно, что у нас все еще есть цилиндр в трехмерном пространстве, даже если кривая не является окружностью.2=25\) представляет собой цилиндр радиусом $ 5$ с центром на оси $y$.

б. В этом случае уравнение содержит все три переменные — $x,y,$ и $z$— поэтому ни одна из переменных не может изменяться произвольно. Самый простой способ визуализировать эту поверхность — использовать компьютерную графическую утилиту (рис. $\PageIndex{4}$).

Рисунок $\PageIndex{4}$

c. В этом уравнении переменная $z$ может принимать любое значение без ограничений. Следовательно, линии, составляющие эту поверхность, параллельны оси $z$.2\).

Подсказка: Переменная $ x$ может принимать любое значение без ограничений.
Ответить

При рисовании поверхностей мы видели, что полезно рисовать пересечение поверхности с плоскостью, параллельной одной из координатных плоскостей. Эти кривые называются трассами. Мы можем видеть их на графике цилиндра на рисунке $\PageIndex{6}$.

Определение: следы

трасс поверхности представляют собой поперечные сечения, созданные при пересечении поверхностью плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей.

Трассировки полезны при создании эскизов цилиндрических поверхностей. Однако для трехмерного цилиндра полезен только один набор трасс. Обратите внимание на рисунок $\PageIndex{6}$, что трассировка графика $ z=\sin x$ в плоскости xz полезна при построении графика. Однако след в плоскости xy представляет собой просто серию параллельных линий, а след в плоскости yz представляет собой просто одну линию.

Рисунок $\PageIndex{6}$: (a) Это один вид графика уравнения $ z=\sin x$. (b) Чтобы найти след графа в $xz$-плоскости, установите $y=0$. Трассировка представляет собой просто двумерную синусоиду.

Цилиндрические поверхности образованы набором параллельных линий. Однако не все поверхности в трех измерениях конструируются так просто. Теперь мы исследуем более сложные поверхности, и трассировки являются важным инструментом в этом исследовании.

Квадратные поверхности

Мы узнали о трехмерных поверхностях, описываемых уравнениями первого порядка; это самолеты.2}=1.2}=1\) в плоскости $xy$, когда мы устанавливаем $z=0$. (b) Когда мы устанавливаем $y=0$, мы получаем след эллипсоида в $xz$-плоскости, который является эллипсом. (c) Когда мы устанавливаем $x=0$, мы получаем след эллипсоида в $yz$-плоскости, который также является эллипсом.

Теперь, когда мы знаем, как выглядят следы этого твердого тела, мы можем сделать набросок поверхности в трех измерениях (рис. $\PageIndex{8}$).

Рисунок $\PageIndex{8}$: (a) Трассировки обеспечивают основу для поверхности. (b) Центр этого эллипсоида является началом координат.2}=1\) (см. следующий рисунок).

Гиперболоиды из одного листа обладают интересными свойствами. Например, их можно построить с помощью прямых линий, как в скульптуре на рисунке $\PageIndex{1a}$. На самом деле градирни для атомных электростанций часто строят в форме гиперболоида. Строители могут использовать в конструкции прямые стальные балки, что делает башни очень прочными при использовании относительно небольшого количества материала (рис.2}{100}=\dfrac{z}{4},\), где — фокусное точка отражателя?

Рисунок $\PageIndex{12}$: Энергия отражается от параболического отражателя и собирается в фокусе.2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Jz+K=0.\]

На следующих рисунках представлены наиболее важные из них.

Рисунок $\PageIndex{13}$: Характеристики обычных квадратичных поверхностей: эллипсоид, гиперболоид из одного листа, гиперболоид из двух листов. Рисунок $\PageIndex{14}$: Характеристики обычных квадратичных поверхностей: эллиптический конус , эллиптический параболоид, гиперболический параболоид.

Пример $ \PageIndex{5}$: определение уравнений квадратных поверхностей

Определите поверхности, представленные данными уравнениями.2}{9}=1. \номер\]

Итак, на самом деле это эллипсоид с центром в начале координат.

б. Сначала заметим, что член $z$ возводится только в первую степень, так что это либо эллиптический параболоид, либо гиперболический параболоид.2}{9} =z.2+2z−10=0.\)

Подсказка: Посмотрите на знаки и степени членов $x,y$ и $z$
Ответить: Гиперболоид из одного листа с центром в точке $(0,0,1)$.

Урок 11: Методы и схемы поверхности отклика

Давайте рассмотрим ситуацию первого порядка — метод наискорейшего подъема. Теперь помните, во-первых, мы не знаем, существует ли вообще «холм», поэтому мы начнем с того места, где, по нашему мнению, существует оптимум.Мы начинаем с натуральных единиц и используем закодированные единицы для проведения нашего эксперимента. Рассмотрим пример 11.1 в учебнике. Мы хотим начать в области, где $x_{1} = $ время реакции (30-40 секунд) и $x_{2} = $ температура (150-160 градусов), и мы хотим посмотреть на выход процесса в зависимости от этих факторов. В некотором смысле, с целью иллюстрации этой концепции, мы можем наложить эту область экспериментов на наш участок нашего неизвестного «холма». Очевидно, что мы проводим эксперимент в его натуральных единицах, но планы будут указаны в закодированных единицах, чтобы мы могли применить их к любой ситуации.2\) дизайн и пять центральных точек. Теперь мы подгоняем эту модель первого порядка и исследуем ее.

Мы вводим фактические данные для A и B и измерения отклика Y.

Сначала мы подгоняем полную модель: См. Ex-11-1-output.doc

Подгоняем поверхность. Модель имеет два основных эффекта: один член перекрестного произведения, а затем один дополнительный параметр в виде среднего значения для центральной точки. Остатки в этом случае имеют четыре $df$ , которые происходят от повторения центральных точек . Так как центральных точек пять, т. е. четыре $df$ среди пяти центральных точек. Это мера чистой ошибки.

Начнем с проверки кривизны. Вопрос заключается в том, отличается ли среднее значение центральных точек от значений при $x_{1},x_{2} = (0,0)$, предсказанных на основе модели отклика скрининга (основные эффекты плюс взаимодействие). Мы проверяем, находятся ли средние значения точек в центре на плоскости, соответствующей четырем угловым точкам. Если бы p-значение было небольшим, это могло бы сказать вам, что среднее значение центральных точек находится выше или ниже плоскости, указывающей на кривизну поверхности отклика.Тот факт, что в данном случае он не имеет значения, указывает на отсутствие кривизны. Действительно, центральные точки ложатся точно на плоскость, соответствующую четвертным точкам.

В этом тесте есть только одна степень свободы, потому что в проекте есть только одно дополнительное место с точки зрения разрешения x .

Далее мы проверяем значимость влияния факторов. Из дисперсионного анализа мы видим, что взаимодействия нет. Итак, давайте переделаем эту модель без члена взаимодействия, оставив только члены A и B.У нас все еще есть среднее значение центральных точек, и наш AOV теперь показывает $5\df$ для остаточной ошибки. Одним из них является несоответствие аддитивной модели, и, как и прежде, есть $4\df$ чистой ошибки. У нас есть $1\ df$ для кривизны, и несоответствие в этом случае — это просто взаимодействия из модели.

Что нам с этим делать? См. анализ Minitab и повторите эти результаты в EX11-1.mpx | Ex11-1.csv

Наша оценочная модель: $\hat{y} = 40,34 + 0,775x_{1} + 0,325x_{2}$

Итак, для любых $x_{1}$ и $x_{2}$ мы можем предсказать $y$.Это соответствует плоской поверхности и говорит нам, что предсказанное $y$ является функцией $x_{1}$ и $x_{2}$, а коэффициенты являются градиентом этой функции. В настоящее время мы работаем с закодированными переменными, поэтому эти коэффициенты безразмерны.

Если мы переместимся на 0,775 в направлении $x_{1}$, а затем на 0,325 в направлении $x_{2}$, это будет направление наискорейшего подъема. Все, что мы знаем, это то, что эта плоская поверхность является одной стороной «холма».

Метод наискорейшего подъема предлагает нам провести эксперимент первого порядка и найти направление, в котором «холм» идет вверх, и начать движение вверх по холму, выполняя дополнительные измерения в каждом $(x_{1}, x_{2})\ ) до тех пор, пока отклик не начнет уменьшаться.Если мы начнем с 0 в закодированных единицах, то сможем провести серию одиночных экспериментов на этом пути вверх по «холму» самого крутого спуска. Если мы сделаем это с размером шага \(x_{1} = 1$, то:

$1\ /\ 0,775 = x_{2}\ /\ 0,325 \стрелка вправо x_{2} = 0,325\ /\ 0,775 = 0,42 $

, и, таким образом, размер нашего шага $x_{1} = 1$ определяет, что $x_{2} = 0,42$, чтобы двигаться в направлении, определяемом как самый крутой подъем. Если мы сделаем шаги 1 в кодированных единицах, это будет пять минут с точки зрения единиц времени.И для каждого шага на этом пути мы поднимались бы на 0,42 закодированных единицы в $x_{2}$ или примерно на 2 градуса по шкале температур.

Шаги	Кодированные переменные		Естественные переменные		Лечение Всего
Шаги	$x_1$	$x_1$	$\xi_1$	$\xi_1$	и
Происхождение	0	0	35	155
$\Дельта$	1.00	0,42	5	2
Начало + $\Дельта$	1,00	0,42	40	157	41,0
Начало + $2 \Дельта$	2,00	0,84	45	159	42,9
Начало + $3 \Дельта$	3,00	1,26	50	161	47.1
Начало + $4 \Дельта$	4,00	1,68	55	163	49,7
Начало + $5 \Дельта$	5,00	2.10	60	165	53,8
Начало + $6 \Дельта$	6,00	2,52	65	167	59,9
Начало + $7 \Дельта$	7.00	2,94	70	169	65,0
Начало + $8 \Дельта$	8.00	3,36	75	171	70,4
Начало + $9 \Дельта$	9.00	3,78	80	173	77,6
Начало + $10 \Дельта$	10.00	4.20	85	175	80,3
Начало + $11 \Дельта$	11.00	4,62	90	179	76,2
Начало + $12 \Дельта$	12.00	5.04	95	181	75,1
Таблица 11-3 Эксперимент с самым крутым подъемом для примера 11-1

Вот ряд шагов в дополнительных мерах пяти минут и 2º температуры.Отклик нанесен на график и показывает увеличение, которое падает к концу.

Рисунок 11-5. Урожайность в зависимости от шагов на пути наискорейшего подъема для примера 11-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 40 50 60 70 80 90 шагов Урожайность

Это довольно плавная кривая, и в действительности вы вероятно, следует пройти немного дальше пика, чтобы убедиться, что вы находитесь на пике. Но все, что вы пытаетесь сделать, это приблизительно выяснить, где находится вершина «холма». Если ваш первый эксперимент оказался не совсем правильным, возможно, вы пошли не в том направлении!

Возможно, вы захотите провести еще один эксперимент первого порядка, чтобы убедиться.Или вы можете провести эксперимент второго порядка, предполагая, что вы близки к вершине. Это то, что мы обсудим в следующем разделе. Эксперимент второго порядка поможет найти более точное положение пика.

Дело в том, что это довольно дешевый способ «обследовать гору», чтобы попытаться найти оптимальные условия. Помните, что этот пример показан в двух измерениях, но вы можете работать в трех- или четырехмерном пространстве! Вы можете использовать тот же метод, подобрав модель первого порядка, а затем перемещаясь вверх по поверхности отклика в пространстве измерений k , пока не решите, что вы близки к оптимальным условиям.

Если вы находитесь в более чем 2-х измерениях, вы не сможете получить хороший сюжет. Но это нормально. Метод наискорейшего подъема подскажет, где провести новые измерения, и вы узнаете отклик в этих точках. Вы можете продвинуться на несколько шагов и увидеть, что реакция продолжает расти или, возможно, нет, — тогда вы можете провести еще один эксперимент первого порядка и перенаправить свои усилия. Дело в том, что когда мы проводим эксперимент для модели второго порядка, мы надеемся, что оптимум будет в диапазоне эксперимента, а если нет, то мы экстраполируем, чтобы найти оптимум.В этом случае безопаснее всего провести еще один эксперимент вокруг этого предполагаемого оптимума. Поскольку эксперимент для модели второго порядка требует большего количества прогонов, чем эксперименты для модели первого порядка, мы хотим перейти в правую область до того, как мы начнем подгонять модели второго порядка.

Издательство Inderscience Publishers – связывает научные круги, бизнес и промышленность посредством исследований

Время, в которое мы живем, по очевидным причинам часто описывается как «Век пластика».Изобретение и широкое распространение синтетических полимеров в 20-м веке в качестве альтернативы дереву, керамике, камню, металлам и сплавам, а также множеству других материалов произвело революцию в мире, в котором мы живем. Мы извлекаем исходные материалы из сырой нефти и производим из них множество вариаций на тему полимера, пластика, для невероятного диапазона применений в строительстве, производстве, здравоохранении, продовольствии и водоснабжении и не только.

К сожалению, наша зависимость от пластика значительно возросла за последние несколько десятилетий, и неизбежная утилизация продуктов, изготовленных из этих материалов, особенно одноразовых пластиковых предметов, таких как упаковка для продуктов питания и напитков, привела к накоплению огромного количества отходов в свалки и свалки.Хуже того, большая часть наших пластиковых отходов никогда не перерабатывается, и большая их часть попадает со свалок и сточных вод в окружающую среду, в реки и в море.

Пластиковые отходы теперь представляют собой невообразимую нагрузку на окружающую среду, проблему, которую мы не можем легко решить. Ежегодно более 5 миллионов тонн пластика выбрасывается на свалки и в океан. Добавьте к этому тот факт, что теперь мы знаем, что многие пластиковые изделия в конечном итоге превращаются в почти микроскопические частицы в водные пути и океаны, и проблема, очевидно, хуже, чем представление о пластиковых бутылках и пакетах, скапливающихся в океанских круговоротах и тому подобном.Микропластик может легко попасть в пищевую цепочку и представлять все более опасный риск для здоровья морских обитателей и, в конечном счете, для тех, кто зависит от них в качестве пищи.

На протяжении многих лет было предпринято множество попыток найти более простые способы сбора и переработки пластика в продукты вторичного использования, но они не имели успеха, учитывая огромные масштабы производства по всему миру. Также были предприняты значительные исследовательские усилия по поиску способов создания биоразлагаемых альтернатив пластику, некоторые из которых все еще могут быть получены из нефтехимии, а другие — из сельскохозяйственных культур, выращиваемых для конкретной цели создания новых материалов.

В новой работе, опубликованной в International Journal of Industrial and Systems Engineering , рассматривалась возможность изготовления биоразлагаемых пластиков с использованием натуральных добавок для замены полностью синтетических материалов.

Амаль Эльхуссиени, Марва Фейсал и Ирен С. Фахим из Университета Нила в Гизе, Египет, и Джакомо Д’Анджело, Несма Т. Абулхайр и Никола М. Эверитт из Ноттингемского университета, Ноттингем, Великобритания, объясняют, как они рассмотрели альтернативы пластиковой пленке с натуральными добавками для армирования.Пластиковая пленка считается одним из основных загрязнителей окружающей среды, поскольку она обычно используется одноразово почти во всех отраслях промышленности. Природные добавки, полученные из хитозана, извлеченного из раковин моллюсков и отходов рисовой соломы, находятся в центре внимания текущего исследования.

Группа провела экспериментальный и статистический анализ типов и концентрации натуральных наполнителей в биоразлагаемых пленках с точки зрения физических, биологических, механических и термических свойств композитных материалов. Команда сообщает, что как хитозан, так и добавки, полученные из риса, добавленные в количестве 25% и 35% по весу соответственно, могут улучшить все эти различные свойства.

«В настоящее время ведется дальнейшая работа по определению характеристик с многообещающими результатами, которые проложат путь к промышленному внедрению этих материалов и их производству в виде гранул», — заключает команда.

Эльхуссиени А., Фейсал М., Д’Анджело Г., Абулхаир Н.Т., Эверитт Н.М. и Фахим И.С. (2021) «Биоразлагаемые пластики с натуральными добавками как замена синтетическим пластикам», Int. J. Промышленная и системная инженерия, Vol. 39, № 4, стр. 520–535.
DOI: 10.1504/IJISE.2021.120622

Простой математический подход к определению пересечения квадратных поверхностей

‘) var buybox = document.querySelector(«[data-id=id_»+ метка времени +»]»).parentNode ;[].slice.call(buybox.querySelectorAll(«.вариант-покупки»)).forEach(initCollapsibles) функция initCollapsibles(подписка, индекс) { var toggle = подписка.querySelector(«.Цена-варианта-покупки») подписка.classList.remove(«расширенный») var form = подписка.querySelector(«.форма-варианта-покупки») если (форма) { вар formAction = form.getAttribute(«действие») form.setAttribute(«действие», formAction.replace(«/checkout», «/cart»)) document.querySelector(«#ecommerce-scripts»).addEventListener(«load», bindModal(form, formAction, timestamp, index), false) } var priceInfo = подписка.селектор запросов(«.Информация о цене») var PurchaseOption = toggle.parentElement если (переключить && форма && priceInfo) { toggle.setAttribute(«роль», «кнопка») toggle.setAttribute(«tabindex», «0») toggle.addEventListener («щелчок», функция (событие) { var expand = toggle.getAttribute(«aria-expanded») === «true» || ложный переключать.setAttribute(«расширенная ария», !расширенная) form.hidden = расширенный если (! расширено) { покупкаOption.classList.add(«расширенный») } еще { покупкаOption.classList.remove(«расширенный») } priceInfo.hidden = расширенный }, ложный) } } функция bindModal (форма, formAction, метка времени, индекс) { var weHasBrowserSupport = окно.выборка && Array.from функция возврата () { var Buybox = EcommScripts ? EcommScripts.Buybox : ноль var Modal = EcommScripts ? EcommScripts.Modal : ноль if (weHasBrowserSupport && Buybox && Modal) { var modalID = «ecomm-modal_» + метка времени + «_» + индекс var modal = новый модальный (modalID) модальный.domEl.addEventListener(«закрыть», закрыть) функция закрыть () { form.querySelector(«кнопка[тип=отправить]»).фокус() } форма.setAttribute( «действие», formAction.replace(«/checkout», «/cart?messageOnly=1») ) form.addEventListener( «Отправить», Буйбокс.перехват формы отправки ( Buybox.fetchFormAction(окно.fetch), Buybox.triggerModalAfterAddToCartSuccess(модальный), консоль.лог, ), ложный ) document.body.appendChild(modal.domEl) } } } функция initKeyControls() { документ.addEventListener(«keydown», функция (событие) { if (document.activeElement.classList.contains(«цена-варианта-покупки») && (event.code === «Пробел» || event.code === «Enter»)) { если (document.activeElement) { событие.preventDefault() документ.activeElement.click() } } }, ложный) } функция InitialStateOpen() { var buyboxWidth = buybox.смещениеШирина ;[].slice.call(buybox.querySelectorAll(«.опция покупки»)).forEach(функция (опция, индекс) { var toggle = option.querySelector(«.цена-варианта-покупки») var form = option.querySelector(«.форма-варианта-покупки») var priceInfo = option.querySelector(«.Информация о цене») если (buyboxWidth > 480) { переключить.щелчок() } еще { если (индекс === 0) { переключать.щелчок() } еще { toggle.setAttribute («ария-расширенная», «ложь») form.hidden = «скрытый» priceInfo.hidden = «скрытый» } } }) } начальное состояниеОткрыть() если (window.buyboxInitialized) вернуть window.buyboxInitialized = истина initKeyControls() })()

Обзор пространственной привязки—ArcGIS Pro | Документация

Растровые данные получены из многих источников, таких как спутниковые изображения, аэрофотоснимки и отсканированные карты.Современные спутниковые снимки и аэрофотокамеры, как правило, имеют относительно точное местоположение информацию, но могут потребоваться небольшие корректировки, чтобы выровнять все ваши данные ГИС. Отсканированные карты и исторические данные обычно не содержат информацию о пространственной привязке. В этих случаях вам нужно будет использовать точные данные о местоположении для выравнивания или географической привязки ваших растровых данных в систему координат карты. Система координат карты определена с помощью картографической проекции — метода, с помощью которого криволинейная поверхность Земля изображена на плоской поверхности.

При пространственной привязке растровых данных вы определяете их местоположение используя координаты карты и назначив систему координат карты Рамка. Географическая привязка растровых данных позволяет их просматривать, запрашивать, и проанализированы с другими вашими географическими данными. Инструменты пространственной привязки на вкладке «Географическая привязка» позволяют любой набор растровых данных.

Как правило, существует четыре шага для пространственной привязки ваших данных:

Добавьте набор растровых данных, который вы хотите выровнять с проецируемыми данными.
Используйте вкладку «Географическая привязка» для создания контрольных точек, чтобы связать растр с известными позициями на карте.
Просмотрите контрольные точки и ошибки.
Сохраните результат привязки, когда вы будете удовлетворены выравниванием.

Выравнивание растра по опорным точкам

Как правило, растровые данные будут географически привязаны к существующим пространственные данные (целевые данные), такие как растры с географической привязкой или класс векторных объектов, который находится в нужной координате карты система.Процесс включает в себя идентификацию серии наземных контрольных точки — известные координаты x, y — которые связывают местоположения на растре набор данных с местоположениями в данных с пространственной привязкой. Контрольные точки — это места, которые можно точно в наборе растровых данных и в реальных координатах. Многие различные типы функций могут быть использованы в качестве идентифицируемых мест, таких как пересечение дорог или ручьев, устье реки ручей, скальные выходы, конец пристани, угол установленное поле, углы улиц или пересечение двух живые изгороди.

Контрольные точки используются совместно с преобразованием чтобы сместить и деформировать набор растровых данных из его существующего местоположения в пространственно правильное расположение. Связь между одним управлением точку в наборе растровых данных (точка от) и соответствующую контрольная точка на выровненных целевых данных (точка до) — это пара контрольных точек.

Количество ссылок, которые необходимо создать, зависит от сложности преобразования, которое вы планируете использовать для преобразования растра набор данных для отображения координат.Однако добавление дополнительных ссылок не обязательно даст лучшую регистрацию. Если возможно, вы должны распределять ссылки по всему набору растровых данных, а не сосредоточение их в одной области. Как правило, наличие хотя бы одной ссылки рядом с каждым углом набора растровых данных и несколько по всему интерьер дает наилучшие результаты.

Как правило, чем больше перекрытие между набором растровых и целевые данные, тем лучше результаты выравнивания, потому что вы имеют более широко разнесенные точки для географической привязки набор растровых данных.Например, если ваши целевые данные занимают только четверть площади вашего набора растровых данных, точки, которые вы может использоваться для выравнивания набора растровых данных, будет ограничен этим площадь перекрытия. Таким образом, области за пределами области перекрытия не скорее всего правильно выровнены. Имейте в виду, что ваши данные с географической привязкой настолько точны, насколько данные, с которыми он связан. Чтобы свести к минимуму ошибки, следует географическая привязка к данным с самым высоким разрешением и наибольшим масштаб для ваших нужд.

Преобразование растра

Когда вы создали достаточно контрольных точек, вы можете преобразовать растр набор данных с координатами карты целевые данные. У вас есть выбор использования нескольких типов преобразований, таких как полиномиальное, сплайновое, приспособиться, проективно или подобие, чтобы определить правильное местоположение координат карты для каждой ячейки в растр.

Полиномиальное преобразование использует полином, построенный на управлении точки и алгоритм подбора методом наименьших квадратов (LSF).Он оптимизирован для глобальной точности, но не гарантирует локальной точности. То полиномиальное преобразование дает две формулы: одну для вычисления выходная координата x для входного (x, y) местоположения и одна для вычисление координаты y для входного (x, y) местоположения. Цель алгоритм подбора методом наименьших квадратов состоит в том, чтобы вывести общую формулу которое можно применить ко всем точкам, как правило, за счет незначительного движение к позициям контрольных точек. Номер некоррелированные контрольные точки, необходимые для этого метода, должны быть 1 для сдвига нулевого порядка, 3 для аффинного первого порядка, 6 для второго порядок и 10 для третьего порядка.Полиномы более низкого порядка стремятся чтобы дать ошибку случайного типа, в то время как полиномы более высокого порядка склонны давать ошибку экстраполяции.

Для сдвига данных используется полином нулевого порядка. Это обычно используется, когда ваши данные уже имеют географическую привязку, но небольшой shift лучше выровняет ваши данные. Требуется только одна контрольная точка выполнить полиномиальный сдвиг нулевого порядка. Может быть хорошей идеей создайте несколько контрольных точек, затем выберите ту, которая больше всего выглядит точный.

Полиномиальное преобразование первого порядка обычно используется для географическая привязка изображения. Используйте преобразование первого порядка или аффинное преобразование для сдвига, масштабирования и повернуть набор растровых данных. Обычно это приводит к прямым линиям в наборе растровых данных, отображаемом как прямые линии в деформированном растре набор данных. Таким образом, квадраты и прямоугольники в наборе растровых данных обычно превращается в параллелограммы произвольного масштаба и угла ориентация. Ниже приведено уравнение для преобразования растра набор данных с использованием аффинного (первого порядка) полиномиального преобразования.Вы можете видеть, как шесть параметров определяют, как строки растра и столбцы преобразуются в координаты карты.

При минимум трех контрольных точках используемое математическое уравнение с преобразованием первого порядка может точно отображать каждую растровую точку к целевому местоположению. Наличие более трех контрольных точек вводит ошибки или остатки, распределенные по всем контрольные точки. Однако следует добавить более трех контрольных точек, т.к. один элемент управления является неточным, он оказывает гораздо большее влияние на трансформация.Таким образом, хотя математическое преобразование ошибка может увеличиваться по мере создания большего количества ссылок, общая точность трансформации также будет увеличиваться.

Чем выше порядок преобразования, тем сложнее искажения, которые можно исправить. Однако преобразования выше чем третий порядок редко требуется. Преобразования высшего порядка требуют больше ссылок и, таким образом, будут вовлекать все больше время обработки. В общем, если ваш набор растровых данных должен быть растянутые, масштабированные и повернутые, используйте преобразование первого порядка.Однако, если набор растровых данных должен быть согнут или искривлен, используйте преобразования второго или третьего порядка.

Преобразование Adjust оптимизирует как глобальный LSF, так и локальная точность. Он построен на алгоритме, который объединяет полиномиальное преобразование и триангулированная нерегулярная сеть (TIN) приемы интерполяции. Преобразование Adjust выполняет полиномиальное преобразование с использованием двух наборов контрольных точек и регулирует контрольные точки локально, чтобы лучше соответствовать цели контрольные точки с использованием метода интерполяции TIN.Настройка требует не менее трех контрольных точек.

Преобразование подобия является преобразованием первого порядка который пытается сохранить форму исходного растра. RMS ошибка имеет тенденцию быть выше, чем другие полиномиальные преобразования так как сохранение формы важнее наилучшего соответствовать. Сходство требует не менее трех контрольных точек.

Проективное преобразование может деформировать линии так, чтобы они оставались прямой.При этом линии, которые когда-то были параллельны, больше не могут оставаться параллельными. Проективное преобразование особенно полезно для перспективных изображений, отсканированных карт и некоторых изображений такие как Landsat и Digital Globe. Минимум четыре ссылки необходимо выполнить проективное преобразование. Когда только четыре используются ссылки, среднеквадратическая ошибка будет равна нулю. Когда больше очков используется, среднеквадратическая ошибка будет немного выше нуля. Projective требует минимум четырех контрольных точек.

Преобразование сплайнов представляет собой настоящий метод изготовления листов резины и оптимизирует локальную точность, но не глобальную точность. Он основан на сплайн-функцию, кусочный полином, который поддерживает непрерывность и гладкость между соседними полиномами. Сплайн преобразует исходные контрольные точки точно в целевые контрольные точки точки; пиксели, которые находятся на расстоянии от контрольных точек, не гарантируется точность. Это преобразование полезно, когда контрольные точки важны, и требуется, чтобы они зарегистрирован точно.Добавление большего количества контрольных точек может увеличить общая точность преобразования сплайна. Сплайн требует не менее 10 контрольных точек.

Интерпретация среднеквадратичной ошибки

Когда общая формула выводится и применяется к контролю точка, возвращается мера остаточной ошибки. То ошибка — это разница между тем, где точка начала оказалась как в отличие от фактического местоположения, которое было указано. Общая ошибка рассчитывается путем взятия среднеквадратичной (RMS) суммы всех остатки для вычисления среднеквадратичной ошибки.Это значение описывает, как согласованное преобразование между различными элементами управления точки. Когда ошибка особенно велика, вы можете удалить и добавить контрольные точки для корректировки ошибки.

Хотя среднеквадратическая ошибка является хорошей оценкой точности преобразования, не путайте малую среднеквадратичную ошибку с точная регистрация. Например, преобразование может по-прежнему содержат существенные ошибки из-за плохо введенной контрольной точки. Чем больше контрольных точек одинакового качества используется, тем точнее полином может преобразовывать входные данные в выходные координаты.Как правило, преобразования Adjust и Spline дают среднеквадратичное значение почти ноль; однако это не означает, что образ будет идеально географически привязан.

Прямой остаток показывает ошибку в тех же единицах, что и пространственная привязка фрейма данных. Обратный остаток показывает вам ошибка в единицах пикселей. Прямо-обратная невязка представляет собой мера того, насколько близка ваша точность, измеряемая в пикселях. Все остатки ближе к нулю считаются более точными.

Сохранение информации о географической привязке

Вы можете навсегда преобразовать свой набор растровых данных после привязать его с помощью кнопки Сохранить в Новая команда на вкладке «Географическая привязка» или с помощью инструмента «Деформация». Вы также можете хранить информацию о преобразовании во вспомогательные файлы с помощью команды «Сохранить» на вкладке «Географическая привязка».

Сохранить в Новый или инструмент геообработки Деформация создаст новый набор растровых данных, с географической привязкой с использованием координат карты и пространственной привязки.ArcGIS не требует постоянного преобразования вашего растра. набор данных для его отображения с другими пространственными данными; однако вы должны сделайте это, если вы планируете выполнять с ним анализ или хотите его использовать с другим программным пакетом, который не распознает внешний информация о географической привязке, созданная в файле мира.

При сохранении пространственной привязки будет сохранено преобразование информация во внешних файлах — новый растр не создается набор данных, который происходит, когда вы постоянно преобразуете свой растр набор данных.Для набора растровых данных, основанного на файлах, таких как TIFF, преобразование обычно сохраняется во внешнем XML файл с расширением .aux.xml. Если набор растровых данных является необработанным изображение, такое как BMP, и преобразование аффинное, оно будет записывается в мировой файл. Для набора растровых данных в базе геоданных Сохранить сохранит геоданные преобразование во внутренний вспомогательный файл растра набор данных.

Мы не можем найти эту страницу

(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}}*

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}}/500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$элемент}} {{l10n_strings.ПРОДУКТЫ}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}
{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}
{{l10n_strings.LANGUAGE}} {{$выбрать.выбранный.дисплей}}
{{article.content_lang.display}}
{{l10n_strings.АВТОР}}
{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}
{{$выбрать.выбранный.дисплей}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}} .