Построение плоскости по уравнению онлайн: Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую онлайн

Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через данную точку и через данную прямую (точка не лежит на этой прямой). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямой (канонический или параметрический) введите координаты точки и коэффициенты уравнения прямой в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L:

и точка

M₀(x₀, y₀, z₀), которая не находится на этой прямой.

Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через точку M₀ и и через прямую L(Рис.1).

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} имеет следующий вид:

Направляющий вектор прямой L имеет вид q={m, p, l}. Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M₁(x₁, y₁, z₁) имеет вид:

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n={A, B, C} должен быть ортогональным направляющему вектору

q прямой L, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:

Решая совместно уравнения (4) и (5) отностительно коэффициентов A, B, C получим такие значения A, B, C, при которых уравнение (2) проходит через точку M₀ и через прямую (1). Для решения систему уравнений (4), (5), запишем их в матричном виде:

Как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн.

Получив частное решение уравнения (6) и подставив полученные значения A, B, C в (2), получим решение задачи.

Пример 1.Найти уравнение плоскости α, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀)=M₀(1, 2, 5) и через заданную прямую L:

Решение. Уравнение плоскости α, проходящей через точку M₀

(x₀, y₀, z₀)=M₀(1, 2, 5) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой (2).

Уравнение плоскости α, проходящей через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=M₁(2, 1, −3) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой (3).

Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n={A, B, C} должен быть ортогональным направляющему вектору q прямой L, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Подставим значения m, p, l, x₀, y₀, z₀, x

₁, y₁, z₁ в (8) и (9):

Решим систему линейных уравнений (10) и (11) отностительно A, B, C. Для этого представим эти уравнения в матричном виде:

Решив однородную систему линейных уравнений (12) используя метод Гаусса, найдем следующее частное решение:

Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (2), получим:

Упростим уравнение (13):

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(1, 2, 5) и через прямую (7) имеет вид (14).

Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M₀(4, 3, −6) и через прямую L, заданной параметрическим уравнением:

Решение. Приведем параметрическое уравнение (15) к каноническому виду:

Уравнение плоскости α, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий нормальный вектор

n={A, B, C} представляется формулой:

Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=(0, 2, 4). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M₁(x₁, y₁, z₁) имеет вид:

Вычитая уравнение (18) из уравнения (17), получим:

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n должен быть ортогональным направляющему вектору прямой L :

Подставим значения m, p, l, x₀, y₀, z₀, x₁, y₁, z₁ в (19) и (20):

Решим систему линейных уравнений (21) и (22) отностительно A, B, C. Для этого представим эти уравнения в матричном виде:

Решив однородную систему линейных уравнений (23) используя метод Гаусса, найдем следующее частное решение:

Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (17), получим:

Упростим уравнение (24):

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 23.

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(4, 3, −6) и через прямую (16) имеет вид (26).

Онлайн калькулятор. Уравнение плоскости.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения плоскости и закрепить пройденный материал.

Выберите метод решения исходя из имеющихся в задаче данных:

В задаче известны: координаты трех точек лежащих на плоскости.координаты вектора нормали и точки лежащей на плоскости.

Введите данные:

Уравнение плоскости.

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки

В зависимости от условий задачи уравнение плоскости можно составить следующими способами:

• Если заданы координаты трех точек A(

  x

  ₁,

  y

  ₁,

  z

  ₁), B(

  x

  ₂,

  y

  ₂,

  z

  ₂) и C(

  x

  ₃,

  y

  ₃,

  z

  ₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле

  x  —  x 1		y  —  y 1		z  —  z 1	= 0
  x 2 —  x 1		y 2 —  y 1		z 2 —  z 1
  x 3 —  x 1		y 3 —  y 1		z 3 —  z 1

  
  
• Если заданы координаты точки A(

  x

  ₁,

  y

  ₁,

  z

  ₁) лежащей на плоскости и вектор нормали

  n

  = {A; B; C} то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле A(

  x

  —

  x

  ₁) + B(

  y

  —

  y

  ₁) + C(

  z

  —

  z

  ₁) = 0

Подробная информацию об уравнении плоскости.

общее, через три точки, нормальное

Чтобы получить общее уравнение плоскости, разберём плоскость, проходящую через заданную точку.

Пусть в пространстве есть три уже известные нам оси координат — Ox, Oy и Oz. Подержим лист бумаги так, чтобы он оставался плоским. Плоскостью будет сам лист и его продолжение во всех направлениях.

Пусть P произвольная плоскость в пространстве. Всякий перпендикулярный ей вектор называется вектором нормали к этой плоскости. Естественно, речь идёт о ненулевом векторе.

Если известна какая-нибудь точка плоскости P и какой-нибудь вектор нормали к ней, то этими двумя условиями плоскость в пространстве вполне определена (через заданную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данному вектору). Общее уравнение плоскости будет иметь вид:

Итак, условия, которыми задаётся уравнение плоскости, есть. Чтобы получить само уравнение плоскости, имеющее приведённый выше вид, возьмём на плоскости P произвольную точку M с переменными координатами x, y, z. Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда

вектор перпендикулярен вектору (рис. 1). Для этого, согласно условию перпендикулярности векторов, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, то есть

.

Вектор задан по условию. Координаты вектора найдём по формуле :

.

Теперь, используя формулу скалярного произведения векторов , выразим скалярное произведение в координатной форме:

. (1)

Так как точка M(x; y; z) выбрана на плоскости произвольно, то последнему уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на плоскости P. Для точки N, не лежащей на заданной плоскости, , т.е. равенство (1) нарушается.

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Решение. Используем формулу (1), еще раз посмотрим на неё:

.

В этой формуле числа A, B и C координаты вектора , а числа x0, y0 и z0 — координаты точки .

Вычисления очень простые: подставляем эти числа в формулу и получаем

.

Умножаем всё, что нужно умножить и складываем просто числа (которые без букв). Результат:

.

Требуемое уравнение плоскости в этом примере оказалось выражено общим уравнением первой степени относительно переменных координат x, y, z произвольной точки плоскости.

Итак, уравнение вида

    (2)

называется общим уравнением плоскости.

Пример 2. Построить в прямоугольной декартовой системе координат плоскость, заданную уравнением .

Решение. Для построения плоскости необходимо и достаточно знать какие-либо три её точки, не лежащие на одной прямой, например, точки пересечения плоскости с осями координат.

Как найти эти точки? Чтобы найти точку пересечения с осью Oz, нужно в уравнение, данное в условии задачи, вместо икс и игрека подставить нули: x = y = 0. Поэтому получаем z = 6. Таким образом, заданная плоскость пересекает ось Oz в точке A(0; 0; 6).

Точно так же находим точку пересечения плоскости с осью Oy. При x = z = 0 получаем y = −3, то есть точку B(0; −3; 0).

И, наконец, находим точку пересечения нашей плоскости с осью Ox. При y = z = 0 получим x = 2, то есть точку C(2; 0; 0). По трём полученным в нашем решении точкам A(0; 0; 6), B(0; −3; 0) и C(2; 0; 0) строим заданную плоскость.

Решения типичных задач, которые бывают на контрольных работах — в пособии «Задачи на плоскость: параллельность, перпендикулярность, пересечение трёх плоскостей в одной точке».

Рассмотрим теперь частные случаи общего уравнения плоскости. Это случаи, когда те или иные коэффициенты уравнения (2) обращаются в нуль.

1. При D = 0 уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат, так как координаты точки 0(0; 0; 0) удовлетворяют этому уравнению.

2. При A = 0 уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ox, поскольку вектор нормали этой плоскости перпендикулярен оси Ox (его проекция на ось Ox равна нулю). Аналогично, при B = 0 плоскость параллельная оси Oy, а при C = 0 плоскость параллельна оси Oz.

3. При A = D = 0 уравнение определяет плоскость, проходящую через ось Ox, поскольку она параллельна оси Ox (A = 0) и проходит через начало координат (D = 0). Аналогично, плоскость проходит через ось Oy, а плоскость через ось Oz.

4. При A = B = 0 уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости xOy, поскольку она параллельна осям Ox (A = 0) и Oy (B = 0). Аналогично, плоскость параллельна плоскости yOz, а плоскость — плоскости xOz.

5. При A = B = D = 0 уравнение (или z = 0) определяет координатную плоскость xOy, так как она параллельна плоскости xOy (A = B = 0) и проходит через начало координат (D = 0). Аналогично, уравнение y = 0 в пространстве определяет координатную плоскость xOz, а уравнение x = 0 — координатную плоскость yOz.

Пример 3. Составить уравнение плоскости P, проходящей через ось Oy и точку .

Решение. Итак, плоскость проходит через ось Oy. Поэтому в её уравнении y = 0 и это уравнение имеет вид . Для определения коэффициентов A и C воспользуемся тем, что точка принадлежит плоскости P.

Поэтому среди её координат есть такие, которые можно подставить в уравнению плоскости, которое мы уже вывели (). Смотрим ещё раз на координаты точки:

M0(2; −4; 3).

Среди них x = 2, z = 3. Подставляем их в уравнение общего вида и получаем уравнение для нашего частного случая:

2A + 3C = 0.

Оставляем 2A в левой части уравнения, переносим 3C в правую часть и получаем

A = −1,5C.

Подставив найденное значение A в уравнение , получим

или .

Это и есть уравнение, требуемое в условии примера.

Решить задачу на уравнения плоскости самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Определить плоскость (или плоскости, если больше одной) относительно координатных осей или координатных плоскостей, если плоскость (плоскости) задана уравнением .

Посмотреть правильное решение и ответ.

---

Решения типичных задач, которые бывают на контрольных работах — в пособии «Задачи на плоскость: параллельность, перпендикулярность, пересечение трёх плоскостей в одной точке».

Как уже упоминалось, необходимым и достаточным условием для построения плоскости, кроме одной точки и вектора нормали, являются также три точки, не лежащие на одной прямой.

Используя выражение смешанного произведения в координатах, получим уравнение плоскости

    (3)

После раскрытия определителя это уравнение становится уравнением вида (2), т.е. общим уравнением плоскости.

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой:

, ,

и определить частный случай общего уравнения прямой, если такой имеет место.

Решение. По формуле (3) имеем:

Раскрываем определитель по первой строке:

Получили общее уравнение плоскости

или после деления на -2:

.

Это уравнение, в котором A = 0, т.е. оно определяет плоскость, параллельную оси Ox.

Решения типичных задач, которые бывают на контрольных работах — в пособии «Задачи на плоскость: параллельность, перпендикулярность, пересечение трёх плоскостей в одной точке».

Нормальным уравнением плоскости называется её уравнение, записанное в виде

,

где — направляющие косинусы нормали плоскости, — расстояние от начала координат до плоскости.

Нормалью к плоскости называется вектор, направление которого совпадает с направлением прямой, проведённой через начало координат перпендикулярно данной плоскости. (Есть полная аналогия с нормалью к прямой на плоскости, с той лишь разницей, что нормальное уравнение прямой существует в двух измерениях, а нормальное уравнение плоскости — в трёх).

Пусть M — какая угодно точка пространства. Для нахождения отклонения точки M от плоскости следует в левую часть нормального уравнения плоскости подставить на место x, y и z подставить координаты этой точки.

Это правило позволяет найти и расстояние от точки M до плоскости: расстояние равно модулю отклонения, т.е.

,

так как расстояние не может быть отрицательным числом.

Общее уравнение плоскости

приводится к нормальному виду почленным умножением на нормирующий множитель, определяемый формулой

.

Знак нормирующего множителя берётся противоположным знаку свободного члена в общем уравнении плоскости.

Пример 6. Привести уравнение плоскости к нормальному виду.

Решение. Вычислим нормирующий множитель:

.

Знак нормирующего множителя положительный, то есть, противоположен знаку свободного члена в общем уравнении плоскости. Умножим общее уравнение почленно на нормирующий множитель и получим требуемое в условии примера нормальное уравнение плоскости:

.

Пример 7. Вычислить величину отклонения и расстояния от точки до прямой, если точка задана координатами (-2; -4; 3), а плоскость задана общим уравнением .

Решение. Сначала приведём уравнение плоскости к нормальному виду. Вычислим нормирующий множитель:

.

Знак нормирующего множителя отрицательный, то есть, противоположен знаку свободного члена в общем уравнении плоскости. Умножим общее уравнение почленно на нормирующий множитель и получим нормальное уравнение плоскости:

.

Вычислим отклонение точки от плоскости:

Найдём теперь расстояние от точки до плоскости как модуль отклонения:

Всё по теме «Прямая и плоскость»

• Плоскость
• Прямая в пространстве
• Задачи на плоскость и прямую в пространстве
• Прямая на плоскости

Уравнение плоскости по трем точкам

Во многих стереометрических задачах, связанных с нахождением расстояния от точки до плоскости или расстояния между скрещивающимися прямыми, или угла между плоскостями, требуется найти уравнение плоскости. В этой статье я расскажу, как найти уравнение плоскости, если известны координаты трех точек, через которые она проходит.

Уравнение плоскости имеет вид: , где , , и  — числовые коэффициенты.

Пусть  нам нужно написать уравнение плоскости, которая проходит через точки , и  

Так как точки принадлежат плоскости, то при подстановке их координат в уравнение плоскости, мы получим верные равенства.

Так как у нас три точки, мы должны получить систему из трех уравнений с четырьмя неизвестными. Примем коэффициент  равным 1. Для этого разделим уравнение плоскости на  .  Получим:

Мы можем переписать  это уравнение в виде: 

Внимание! Если плоскость проходит через начало координат, то принимаем d=0.

Чтобы найти коэффициенты А, В и С, подставим координаты точек , и   в уравнение плоскости .

Получим систему уравнений:

Решив ее, мы найдем значения коэффициентов А, В и С.

Решим задачу.

В правильной четырехугольной призме  со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре  взята точка  так, что  равно 8. на ребре  взята точка  так, что  равно 8. Написать уравнение плоскости :

Поскольку для нахождения уравнения плоскости нам понадобятся координаты точек, я сразу помещаю призму в систему координат:

Запишем координаты точек:

Подставим их в систему уравнений:

Отсюда:

Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости:

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения плоскости на . Получим:

Ответ: уравнение плоскости   

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Плоскость — презентация онлайн

Плоскость
Дисциплина Математика 1
Лекция 5
2016-17 учебный год
План Лекции
1. Основные уравнения плоскости
2. Построение плоскости
3. Взаимное расположение
плоскостей
4. Расстояние от точки до плоскости

3. 1. Плоскость

Основные уравнения плоскости
1. Уравнение плоскости, проходящей через заданную
точку M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) перпендикулярно
заданному вектору N A; B; C
N A; B; C
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
2. Общее уравнение плоскости
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
Ax By Cz D 0
N A; B; C
Z
— вектор нормали
c
3. Уравнение плоскости « в отрезках»
x y z
1
a b c
Y
a
X
b

4. Уравнения плоскости

4. Уравнение плоскости, проходящей через три
заданные точки M 1 ( x1 ; y1 ; z1 ) , M 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) и M 3 ( x3 ; y3 ; z3 )
N A; B; C
M ( x; y; z )
M 2 ( x2 ; y 2 ; z 2 )
M 1 ( x1 ; y1 ; z1 )
M 3 ( x3 ; y3 ; z3 )
Условие компланарности векторов
x x1
y y1
z z1
x2 x1
y2 y1
z 2 z1 0
x3 x1
y3 y1
z3 z1
M 1M x x1 ; y y1 ; z z1
M 1M 2 x2 x1 ; y2 y1 ; z 2 z1
M1M 3 x3 x1; y3 y1 ; z3 z1
( M 1M M 1M 2 M 1M 3 ) 0

5. Построение плоскостей

1. Построить плоскость
3x 4 y 6 z 12 0
Находим координаты точек пересечения плоскости с осями координат.
Z
x
0
0
4
y
0
3
0
z
2
0
0
2
3 Y
4
X
Можно привести уравнение плоскости к уравнению «в отрезках»
1) Переносим вправо свободный член уравнения
3x 4 y 6 z 12
2) Делим на 12, чтобы получить единицу в правой части
3) Убираем коэффициенты из числителей
x y z
1
4 3 2
3x 4 y 6 z
1
12 12 12
Числа, стоящие в знаменателях, являются длинами отрезков, которые
плоскость отсекает на осях координат

6. Построение плоскостей

2. Построить плоскость
3x 5 y 10 0
В уравнении отсутствует переменная z.
Находим точки пересечения плоскости с осями OX и OY.
X
0
10/3
y
-2
0
Соединяем точки прямой линией и получаем
след плоскости на плоскости XOY.
Теперь из точек пересечения проводим
прямые, параллельные оси OZ.
Аналогично строятся все плоскости,
в уравнении которых отсутствует одна
переменная
Z
Z
3
2
Z
Y
-2
10/3
X
X
2
Y
7
2 x 7 z 14 0
X
3 y 2z 6
Y

7. Построение плоскостей

3z 8 0
3. Построить плоскость
В уравнении отсутствуют две переменные x и y. Такая плоскость
проходит параллельно и оси OX , и оси OY, т.е. она проходит
параллельно координатной плоскости XOY через точку z=8/3 на оси OZ.
Z
8/3
Y
Аналогично строятся плоскости,
в уравнениях которых отсутствуют
две переменные
0
X
Z
4x 9 0
5y 3 0
Z
Y
X
9/4
0
X
0
3/5
Y
Таким образом, если в уравнении плоскости
отсутствует одна переменная, то плоскость проходит
параллельно той оси координат, переменной которой
нет в уравнении.
Если в уравнении плоскости отсутствует свободный
член, то плоскость проходит через начало координат.
Если в уравнении плоскости отсутствуют две
переменные, то плоскость проходит параллельно
координатной плоскости, переменных которой нет в
уравнении.
Уравнения координатных плоскостей
— уравнение плоскости YOZ
x 0
— уравнение плоскости XOZ
y 0
— уравнение плоскости XOY
z 0

9. Взаимное расположение плоскостей

1. Условие параллельности плоскостей
N 1 || N 2
A1 B1 C1
A2 B2 C 2
N1 A1 ; B1 ; C1
N 2 A2 ; B2 ; C2
2. Условие перпендикулярности плоскостей
N1
N2
( N1 N 2 ) 0
A1 A2 B1 B2 C1 C 2 0
N1
N2
3. Косинус угла между плоскостями
Угол между плоскостями – это угол между векторами
нормалей этих плоскостей
cos cos( N1 , N 2 )
A1 A2 B1 B2 C1 C 2
A12 B12 C12 A22 B22 C 22

10. Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки M 1 ( x1 ; y1 ; z1 ) до плоскости
Ax By Cz D 0 находится по формуле
d
| Ax1 By1 Cz1 D |
M 1 ( x1 ; y1 ; z1 )
d
A2 B 2 C 2
Расстояние – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость
Правило: для нахождения расстояния от точки до плоскости нужно
координаты точки подставить в левую часть уравнения плоскости,
разделить на длину вектора нормали плоскости и полученное значение
взять по абсолютной величине.
!
Расстояние – величина всегда положительная
Задание на СРС
1. Построение произвольных плоскостей. [1]
2. Точка пересечения трех плоскостей (конспект).
Задание на СРСП
1. ИДЗ – 3.1. [1. стр.97].
Глоссарий
№
1
2
3
4
5
На русском языке
Плоскость
Общее уравнение
Параметрическое
Каноническое
Нормаль
На казахском языке
Жазықтық
Жалпы теңдеу
Параметрлік
Канондық
Нормаль
На английском языке
Plane
General equation
Parameter
Canon
Normal vector
Литература:
Основная
А.П. Рябушко. Индивидуальные задания по высшей математике, т.1.- Мн.: Выш. Школа, 2011.
Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для втузов.
— М.: Оникс, 2007.
Дополнительная
Буганова С.Н. Математика для технических специальностей с применением прикладных программ.
— Алматы: КазГАСА, 2015, с.108.
Сыдыкова Д.К. «Курс Математики- I», Модуль I, II для дистанционного обучения. Электронный
учебник.-Алматы: КазГАСА, 2012.
www.studentlibrary.ru
http://sferaznaniy.ru/vysshaya-matematika.

описание, примеры, решение задач, уравнение плоскости в пространстве

Данный раздел будет полностью посвящен теме «Уравнение плоскости в отрезках». Мы последовательно рассмотрим, какой вид имеет уравнение плоскости в отрезках, применение этого уравнения для построения заданной плоскости в прямоугольной системе координат, переход от общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках. В статье мы рассмотрим большое количество примеров, которые облегчат усвоение информации.

Уравнение плоскости в отрезках – описание и примеры

Уравнение плоскости в отрезках имеет вид xa+yb+zc=1 , где a, b и c – это действительные числа, отличные от нуля. Абсолютные величины чисел a, b и c равны длинам отрезков, которые отсекаются плоскостью на осях координат Oх, Oу и Oz в трехмерной системе координат Oхуz. Откладываются длины отрезков от начала координат. Направление, в котором необходимо отложить длину отрезка, определяет знак, стоящий перед числом. Наличие «-» свидетельствует о том, что отрезок надо откладывать от нуля в отрицательном направлении оси.

Действительно, координаты точек a, 0, 0, 0, b, 0, 0, 0, c  удовлетворяют уравнению плоскости в отрезках:

aa+0b+0c=1=1⇔1=10a+bb+0c=1=1⇔1=10a+0b+cc=1=1⇔1=1

Поясним этот момент, расположив заданные точки на графике.

Проиллюстрируем описанное выше примером.

Пример 1

Плоскость проходит через точки -2, 0, 0, 0, 3, 0 и 0, 0, -12 на осях координат в прямоугольной системе координат Oxyz. Необходимо записать уравнение плоскости в отрезках.

Решение

Определим положение отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат. На оси абсцисс откладываем в отрицательном направлении отрезок длиной 2 единицы. На оси ординат в положительном направлении откладываем отрезок длиной 3 . На оси аппликат в отрицательном направлении откладываем отрезок длиной 12 .

При этом, уравнение плоскости в отрезках будет иметь вид: x-2+y3+z-12=1 .

Ответ: x-2+y3+z-12=1

Уравнение плоскости в отрезках удобно использовать для построения чертежей. Проиллюстрируем это утверждение примером.

Пример 2

Плоскость в прямоугольной системе координат Oхуz задана уравнением плоскости в отрезках вида x-5+y-4+z4=1 . Необходимо изобразить эту плоскость на графике.

Решение

Изобразим оси координат, обозначаем начало координат и единичные отрезки на осях. Отмечаем длины отрезков, отсекаемых плоскостью, на каждой из осей. Соединяем концевые точки отрезков прямыми линиями. Полученная плоскость имеет вид треугольника. Она соответствует заданному уравнению плоскости в отрезках x-5+y-4+z4=1 .

Ответ:  

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Плоскость может быть задана уравнением плоскости другого вида. Для того, чтобы изобразить заданную плоскость на чертеже, можно сначала перейти к уравнению плоскости в отрезках. Получив уравнение плоскости в отрезках, нам останется лишь отметить точки a, 0, 0, 0, b, 0, 0, 0, c и соединить их прямыми линиями.

Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках

Мы имеем общее уравнение плоскости в пространстве вида Ax+By+Cz+D=0 . И мы можем получить уравнение плоскости в отрезках. Сделать это можно в том случае, если плоскость пересекает все координатные оси, причем не в начале координат.

Не получится перевести общее уравнение плоскости в пространстве в уравнение плоскости в отрезках в тех случаях, когда плоскость проходит через одну из координатных осей или располагается параллельно оси. Другими словами, мы можем работать лишь с полным уравнением плоскости вида Ax+By+Cz+D=0, где A≠0, B≠0, C≠0, D≠0 .

Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в пространстве производится следующим образом. Переносим слагаемое D в правую часть уравнения с противоположным знаком.

Ax+By+Cz+D=0⇔Ax+By+Cz=-D

Так как D≠0 , то обе части полученного уравнения можно разделить на –D:  A-Dx+B-Dy+C-Dz=1 .

Так как A≠0, B≠0, C≠0 , то мы можем отправить в знаменатели коэффициенты перед переменными x, y и z. Последнее уравнение эквивалентно равенству x-DA+y-DB+z-DC=1 . При этом мы использовали очевидное равенство pq=1qp, p, q∈R, p≠0, q≠0 .

В итоге, мы получаем уравнение плоскости в отрезках. Это становится хорошо видно в том случае, если обозначить -DA=a, -DB=b, -DC=c.

Разберем решение примера.

Пример 3

Плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве задана уравнением вида 3x+9y-6z-6=0 . Переведем это уравнение в уравнение плоскости в отрезках.

Решение

Данное в условии задачи уравнение является полным уравнением плоскости. Это дает нам возможность привески его к уравнению плоскости в отрезках. Перенесем -6 в правую часть равенства, а затем разделим обе части равенства на 6:

3x+9y-6z-6=0⇔3x+9y+6z=63x+9y-6z=6⇔12x+32y-z=1

Коэффициенты при переменных x, y и z отправим в знаменатели: 12x+32y-z=1⇔x2+y23+z-1=1 . Полученное уравнение и есть уравнение плоскости в отрезках.

Ответ: x2+y23+z-1=1

24. Уравнение плоскости в отрезках (вывод).

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу и Оz соответственно отрезки a, b и c, т. е. проходит через три точки A(a;0;0), B(0;b;0) и C(0;0;c) (см.рис. 70). Подставляя координаты этих точек в уравнение (12.6), получаем

Раскрыв определитель, имеем , т. е.или

(12.7)

Уравнение (12.7) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскости.

25. Уравнение плоскости, проходящей через три точки (вывод).

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q, проходящей через три данные точки M₁(x₁;y₁;z₁), М₂(x₂;y₂;z₂) и М₃(х₃,y₃,z₃), не лежащие на одной прямой.

Возьмем на плоскости произвольную точку M(x;y;z) и составим век­торы ,,. Эти векторы лежат на плоскости Q, следовательно, они компланарны. Используем условие компланарнос­ти трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем,  т. е.

(12.6)

Уравнение (12.6) есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

26. Угол между плоскостями (вывод).

Пусть заданы две плоскости Q₁ и Q₂:

Под углом между плоскостями Q₁ и Q₂ понимается один из двугран­ных углов, образованных этими плоскостями.

Угол    между  нормальными  векторами  иплоскостей Q₁ и Q₂ равен одному из этих углов (см. рис. 72).

Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.

Если плоскости Q₁ и Q₂ перпендикулярны    (см. рис. 73, а), то таковы же их нормали, т. е. (и наоборот). Но тогда, т. е.. Полученное равенство есть условие перпендикулярности двух плоскостей Q₁ и Q₂.

Если плоскости Q₁ и Q₂ параллельны (см. рис. 73, б), то будут параллельны и их нормали и(и наоборот). Но тогда, как известно координаты векторов пропорциональны:. Это и есть уcловиє параллельности двух плоскостей Q₁ и Q₂.

27. Расстояние от точки до плоскости (вывод).

Пусть задана точка и плоскость Q своим уравнением. Расстояние d от точкидо плоскости Q находится по формуле

Вывод этой формулы такой же, как вывод формулы расстояния от точки до прямой.

Расстояние d от точки M₀ до плоскости Q равно модулю проекции вектора , где— произвольная точка плоскости Q, на направление нормального вектора(см. рис. 74). Следовательно,

 

А так как точка принадлежит плоскости Q, то

Поэтому . Отметим, что если плоскость Q задана уравнением, то расстояние от точкидо плоскости Q может быть найдено по формуле

 

28. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей (вывод).

Если плоскости Q₁ и Q₂ перпендикулярны    (см. рис. 73, а), то таковы же их нормали, т. е. (и наоборот). Но тогда, т. е.. Полученное равенство есть условие перпендикулярности двух плоскостей Q₁ и Q₂.

Если плоскости Q₁ и Q₂ параллельны (см. рис. 73, б), то будут параллельны и их нормали и(и наоборот). Но тогда, как известно координаты векторов пропорциональны:. Это и есть условие параллельности двух плоскостей Q₁ и Q₂.

29. Уравнения прямой в r3. Уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки (вывод).

Прежде чем получить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат на плоскости, вспомним некоторые факты.

Одна из аксиом геометрии гласит, что через две несовпадающие точки на плоскости можно провести единственную прямую. Другими словами, задав две точки на плоскости, мы однозначно определяем прямую линию, которая через эти две точки проходит (при необходимости обращайтесь к разделу способы задания прямой на плоскости).

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координатOxy. В этой системе координат любой прямой линии соответствует некотороеуравнение прямой на плоскости. С этой же прямой неразрывно связаннаправляющий вектор прямой. Этих знаний вполне достаточно, чтобы составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Сформулируем условие задачи: составить уравнение прямой a, которая в прямоугольной декартовой системе координатOxyпроходит через две несовпадающие точкии.

Покажем самое простое и универсальное решение этой задачи.

Нам известно, что каноническое уравнение прямой на плоскостивидазадает в прямоугольной системе координатOxyпрямую линию, проходящую через точкуи имеющую направляющий вектор.

Напишем каноническое уравнение прямой a, проходящей через две заданные точкии.

Очевидно, направляющим вектором прямой a, которая проходит через точкиМ₁иМ₂, является вектор, он имеет координаты(при необходимости смотрите статьювычисление координат вектора по координатам точек его конца и начала). Таким образом, мы имеем все необходимые данные, чтобы написать каноническое уравнение прямойa– координаты ее направляющего вектораи координаты лежащей на ней точки(и). Оно имеет вид(или).

Также мы можем записать параметрические уравнения прямой на плоскости, проходящей через две точкии. Они имеют видили.

Разберем решение примера.

Пример.

Напишите уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки .

Решение.

Мы выяснили, что каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами и, имеет вид.

Из условия задачи имеем . Подставим эти данные в уравнение. Получаем.

Ответ:

.

Если нам потребуется не каноническое уравнение прямой и не параметрические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки, а уравнение прямой другого вида, то от канонического уравнения прямой всегда можно к нему прийти.

Пример.

Составьте общее уравнение прямой, которая в прямоугольной системе координатOxyна плоскости проходит через две точкии.

Решение.

Сначала напишем каноническое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Оно имеет вид . Теперь приведем полученное уравнение к требуемому виду:.

Ответ:

.

На этом можно и закончить с уравнением прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат на плоскости. Но хочется напомнить, как мы решали такую задачу в средней школе на уроках алгебры.

В школе нам было известно лишь уравнение прямой с угловым коэффициентомвида. Найдем значение углового коэффициентаkи числаb, при которых уравнениеопределяет в прямоугольной системе координатOxyна плоскости прямую линию, проходящую через точкиипри. (Если жеx₁=x₂, то угловой коэффициент прямой бесконечен, а прямуюМ₁М₂определяетобщее неполное уравнение прямойвидаx-x₁=0).

Так как точки М₁иМ₂лежат на прямой, то координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой, то есть, справедливы равенстваи. Решая систему уравнений видаотносительно неизвестных переменныхkиb, находимили. При этих значенияхkиbуравнение прямой, проходящей через две точкии, принимает видили.

Запоминать эти формулы не имеет смысла, при решении примеров проще повторять указанные действия.

Пример.

Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом, если эта прямая проходит через точки и.

Решение.

В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид . Найдемkиb, при которых уравнениесоответствует прямой, проходящей через две точкии.

Так как точки М₁иМ₂лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой, то есть, верны равенстваи. Значенияkиbнаходим как решение системы уравнений(при необходимости обращайтесь к статьерешение систем линейных уравнений):

Осталось подставить найденные значения ив уравнение. Таким образом, искомое уравнение прямой, проходящей через две точкии, имеет вид.

Колоссальный труд, не так ли?

Намного проще записать каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки и, оно имеет вид, и от него перейти к уравнению прямой с угловым коэффициентом:.

Ответ:

.

К началу страницы

Уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в трехмерном пространстве.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, и заданы две несовпадающие точкии, через которые проходит прямаяM₁M₂. Получим уравнения этой прямой.

Нам известно, что канонические уравнения прямой в пространствевидаипараметрические уравнения прямой в пространствевидазадают в прямоугольной системе координатOxyzпрямую линию, которая проходит через точку с координатамии имеет направляющий вектор.

Направляющим вектором прямой M₁M₂является вектор, и эта прямая проходит через точку(и), тогда канонические уравнения этой прямой имеют вид(или), а параметрические уравнения -(или).

Пример.

Напишите уравнение прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxyzв трехмерном пространстве проходит через две точкии.

Решение.

Мы выяснили, что в прямоугольной системе координат Oxyzв трехмерном пространстве канонические уравнения прямой, которая проходит через две точкии, имеют вид.

Из условия имеем , тогда искомые уравнения прямой запишутся как.

Ответ:

.

Если потребуется задать прямую М₁М₂с помощьюуравнений двух пересекающихся плоскостей, то сначала следует составить канонические уравнения прямой, проходящей через две точкии, и из этих уравнений получить нужные уравнения плоскостей.

Трехмерная координатная геометрия — уравнение плоскости

Когда мы знаем три точки на плоскости, мы можем найти уравнение плоскости, решая одновременные уравнения.

Пусть ax+by+cz+d=0 ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 — уравнение плоскости, на которой находятся следующие три точки: A=(1,0, 2),В=(2,1,1), А=(1,0,2), В=(2,1,1),А=(1,0,2),В=(2,1, 1) и С=(-1,2,1).С=(-1,2,1). С=(−1,2,1). Тогда уравнение плоскости устанавливается следующим образом:

У нас уже есть уравнение плоскости с 4 неизвестными константами:

топор+by+cz+d=0.(1)ax + by + cz +d = 0. \qquad (1) ax+by+cz+d=0.(1)

Мы также получаем следующие 3 уравнения, подставляя координаты A,B,A, B,A,B и CCC в (1):(1):(1):

a⋅1+b⋅0+c⋅2+d=0a⋅2+b⋅1+c⋅1+d=0a⋅(−1)+b⋅2+c⋅1+d=0, \begin {выровнено} а \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 2 + d &= 0 \\ а \cdot 2 + b \cdot 1 + c \cdot 1 + d &= 0 \\ a \cdot (-1) + b \cdot 2 + c \cdot 1 +d &= 0, \end{выровнено} a⋅1+b⋅0+c⋅2+da⋅2+b⋅1+c⋅1+da⋅(−1)+b⋅2+c⋅1+d​=0=0 =0,

, что дает b=3a,c=4a,d=-9a.(2)b=3а, с=4а, d=-9а. \qquad (2)b=3a,c=4a,d=-9a.(2)

Подставляя (2) (2) (2) в (1), (1), (1), получаем

ax+3ay+4az-9a=0x+3y+4z-9=0. \begin{выровнено} топор + 3ay + 4az -9a &= 0 \\ х + 3у + 4г — 9 &=0. \end{выровнено} ax+3ay+4az-9ax+3y+4z-9​=0=0.​

Следовательно, уравнение плоскости, проходящей через три точки A=(1,0,2),B=(2,1,1), A=(1,0,2), B=(2,1, 1),A=(1,0,2),B=(2,1,1) и C=(-1,2,1)C=(-1,2,1) C=(-1, 2,1) это

х+3у+4г-9=0. х + 3у + 4z — 9 = 0 .х+3у+4г-9=0.

Используя этот метод, мы можем найти уравнение плоскости, если нам известны три точки. Вот пара примеров:

Если плоскость проходит через три точки A=(0,0,2),B=(1,0,1), A=(0,0,2), B=(1,0,1),A =(0,0,2),B=(1,0,1) и C=(3,1,1),C=(3,1,1),C=(3,1,1), тогда что такое уравнение плоскости?

---

Пусть уравнение плоскости будет ax+by+cz+d=0.(1) ax+by+cz+d=0. \qquad (1)ax+by+cz+d=0.(1)

Тогда, поскольку эта плоскость включает в себя три точки A=(0,0,2),B=(1,0,1), A=(0,0,2), B=(1,0,1),A =(0,0,2),B=(1,0,1) и C=(3,1,1),C=(3,1,1),C=(3,1,1), у нас есть

a⋅0+b⋅0+c⋅2+d=0a⋅1+b⋅0+c⋅1+d=0a⋅3+b⋅1+c⋅1+d=0, \begin{выровнено} а \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 2 + d &= 0 \\ а \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 1 + d &= 0 \\ а \cdot 3 + b \cdot 1 + c \cdot 1 +d &= 0, \end{выровнено} a⋅0+b⋅0+c⋅2+da⋅1+b⋅0+c⋅1+da⋅3+b⋅1+c⋅1+d​=0=0=0,

, что дает b=-2a,c=a,d=-2a.(2)b=-2а, с=а, d=-2а. \qquad (2)b=−2a,c=a,d=−2a.(2)

Подставляя (2) (2) (2) в (1), (1), (1), получаем

ax+−2ay+az−2a=0x−2y+z−2=0. \begin{выровнено} топор + -2ау + аз -2а &= 0 \\ х-2у + z-2&=0. \end{выровнено} ax+−2ay+az−2ax−2y+z−2​=0=0.​

Отсюда уравнение плоскости, проходящей через три точки A=(0,0,2),B=(1,0,1) A=(0,0,2), B=(1,0,1 )A=(0,0,2),B=(1,0,1) и C=(3,1,1)C=(3,1,1) C=(3,1,1) равно

х-2у+г-2=0. □x -2y + z — 2 =0. \ _\квадрат x−2y+z−2=0.□​

Если плоскость проходит через три точки A=(3,1,2),B=(6,1,2), A=(3,1,2), B=(6,1,2),A =(3,1,2),B=(6,1,2) и C=(0,2,0),C=(0,2,0),C=(0,2,0), тогда каково уравнение плоскости?

---

Пусть уравнение плоскости будет ax+by+cz+d=0.(1) ax+by+cz+d=0. \qquad (1)ax+by+cz+d=0.(1)

Тогда, поскольку эта плоскость включает в себя три точки A=(0,0,2),B=(1,0,1), A=(0,0,2), B=(1,0,1),A =(0,0,2),B=(1,0,1) и C=(3,1,1),C=(3,1,1),C=(3,1,1), у нас есть

a⋅3+b⋅1+c⋅2+d=0a⋅6+b⋅1+c⋅2+d=0a⋅0+b⋅2+c⋅0+d=0, \begin{выровнено} а \cdot 3 + b \cdot 1 + c \cdot 2 + d &= 0 \\ а \cdot 6 + b \cdot 1 + c \cdot 2 + d &= 0 \\ а \cdot 0 + b \cdot 2 + c \cdot 0 +d &= 0, \end{выровнено} a⋅3+b⋅1+c⋅2+da⋅6+b⋅1+c⋅2+da⋅0+b⋅2+c⋅0+d​=0=0=0,

, что дает a=0,c=12b,d=-2b.(2)а=0, с=\фрак{1}{2}б, d=-2б. \qquad (2)a=0,c=21​b,d=−2b.(2)

Подставляя (2) (2) (2) в (1), (1), (1), получаем

0x+-by+12bz-2b=0x-y+12z-2=02x-2y+z-4=0. \begin{выровнено} 0x + -by + \frac{1}{2}bz -2b &= 0 \\ x -y + \frac{1}{2}z — 2 &=0 \\ 2x — 2y +z-4 &=0. \end{выровнено} 0x+-by+21bz-2bx-y+21z-22x-2y+z-4​=0=0=0.​

Следовательно, уравнение плоскости, проходящей через три точки A=(0,0,2),B=(1,0,1), A=(0,0,2), B=(1,0, 1),А=(0,0,2),В=(1,0,1) и С=(3,1,1)С=(3,1,1) С=(3,1,1) ) составляет

2x−2y+z−4=0.□2x — 2y +z-4 =0. \ _\квадрат 2x−2y+z−4=0. □​

Попробуйте решить следующую проблему:

х=1х=1х=1 х+у=3х+у=3х+у=3 у-х=1у-х=1у-х=1 Ни один из вышеперечисленных

Найдите уравнение плоскости, проходящей через (1,2,3)(1,2,3)(1,2,3) и (1,−3,2)(1,-3,2)(1, −3,2) и параллельно оси zzz.

Что такое плоскость в геометрии? — Определение и примеры — Видео и стенограмма урока

Дополнительные примеры и обсуждение

В следующих примерах учащиеся продемонстрируют свое понимание плоскостей, включая то, какие точки находятся на плоскости, а какие нет, а также правильные соглашения об именах плоскостей. После выполнения примеров учащиеся будут иметь четкое представление об основах плоскостей в геометрии и будут готовы перейти к обсуждению.В ходе обсуждения учащимся будет предложено думать более чем об одной плоскости за раз, представляя возможные пересечения этих плоских бесконечных объектов в геометрии.

Примеры

Используйте следующее изображение для примеров 1–3.

1. Какие точки лежат на плоскости?

2. Какие точки не лежат на плоскости?

3. Какое из следующих названий не подходит для самолета? B, ebf, fec, лицо, ebfc

Используйте следующее изображение для примеров 4–6.

4. Какие точки лежат на плоскости?

5. Какие точки не лежат на плоскости?

6. Перечислите все возможные названия самолета.

Решения

1. Точки e, b, f и c лежат на плоскости. Точка e выглядит так, как будто она находится на краю, но, поскольку плоскости простираются бесконечно, на самом деле она полностью находится внутри плоскости.

2. Точки a и d не лежат в плоскости. Их можно рассматривать либо как парящие над плоскостью в пространстве, либо под плоскостью в пространстве.

3. Название «грань» не подходит для этой плоскости, так как точка а не находится внутри плоскости. Все остальные названия подходят, потому что они либо состоят из 3-х или 4-х точек на плоскости, либо представляют собой заглавную букву В, написанную другим шрифтом и не стоящую рядом с точкой, и, таким образом, не относящуюся к точке.

4. Все точки x, y и z лежат на плоскости. Точки y и z кажутся на краю, но поскольку плоскости простираются бесконечно, обе они на самом деле полностью находятся внутри плоскости.

5. Все точки u, v и w не лежат на плоскости. Они либо выше, либо ниже плоскости в пространстве.

6. Одно из возможных имен — P, так как оно напечатано другим шрифтом, а не рядом с точкой, и поэтому не относится к точке. Другие возможности включают 3 или 4 точки на плоскости. У нас есть только 3 точки, помеченные на плоскости, поэтому единственные другие возможности — это все способы упорядочить эти точки: xyz, xzy, yxz, yzx, zxy или zyx.

Обсуждение

Представьте две разные плоскости в трехмерном пространстве.Если плоскости пересекаются, то как они пересекаются? Соприкасаются только в одной точке? Несколько очков? Бесконечно много точек?

Руководство по обсуждению

Это может помочь учащимся визуализировать пересекающиеся плоскости, если у них есть бумага для использования в качестве опоры. Для представления плоскостей можно использовать два листа бумаги, но учащиеся должны помнить, что плоскости простираются бесконечно, поэтому у плоскостей нет краев. Если учащиеся считают, что плоскости соприкасаются только в одной точке, напомните им, что плоскости простираются бесконечно.Цель состоит в том, чтобы учащиеся обнаружили, что есть два варианта пересечения плоскостей: либо они находятся непосредственно друг над другом и, таким образом, пересекаются везде (и фактически являются одной и той же плоскостью), либо они пересекаются по линии. Единственная другая возможность состоит в том, что плоскости не пересекаются — это когда они параллельны.

Перпендикулярное расстояние от точки до линии

(Кстати, нам не нужно говорить «перпендикулярно», потому что расстояние от точки до линии всегда означает кратчайшее расстояние.2`

После доказательства есть несколько примеров использования этой формулы.

Доказательство формулы перпендикулярного расстояния

Начнем со строки Ax + By + C = 0 и назовем ее DE. Он имеет уклон `-A/B`.

У нас есть точка P с координатами ( m , n ). Мы хотим найти расстояние по перпендикуляру от точки P до линии DE (то есть расстояние `PQ`).

Теперь мы проделаем трюк, чтобы облегчить себе задачу (иначе алгебра действительно ужасна). Проведем прямую, параллельную DE через ( м , n ). Эта линия также будет иметь наклон «-A/B», так как она параллельна DE. Мы назовем эту линию FG.

Теперь построим еще одну прямую, параллельную PQ, проходящую через начало координат.

Эта линия будет иметь наклон `B/A`, поскольку она перпендикулярна DE.

Назовем это линией RS.Мы расширяем его до начала координат `(0, 0)`.

Мы найдем расстояние RS, которое, надеюсь, вы согласны с тем, что оно равно расстоянию PQ, которое мы хотели в начале.

Так как FG проходит через ( м , n ) и имеет наклон `-A/B`, ее уравнение `y-n=-A/B(x-m)` или

`y=(-Ax+Am+Bn)/B`.2))`

Пользователи телефона

ПРИМЕЧАНИЕ: Если вы пользуетесь телефоном, вы можете прокручивать любые широкие уравнения на этой странице вправо или влево, чтобы увидеть выражение целиком.2`

`=(|(-2)(5)+(3)(6)+4|)/(кв.(4+9)`

`=3,328`

Вот график ситуации. Мы видим, что наш ответ чуть более 3 единиц является разумным.

Таким образом, требуемое расстояние составляет «3,3» единицы, с точностью до 1 знака после запятой.

Пример 2

Найти расстояние от точки `(-3, 7)` до прямой

`y=6/5x+2`

Ответить

Сначала нам нужно выразить заданную строку в стандартной форме.2`

`=(|(6)(-3)+(-5)(7)+10|)/кв.кв.(36+25)`

`=|-5.506|`

`=5,506`

Таким образом, требуемое расстояние составляет «5,506» единиц, с точностью до 3 знаков после запятой.

Нужна помощь в решении другой графической задачи? Попробуйте решение проблем.

Отказ от ответственности: IntMath.com не гарантирует точность результатов. Решатель задач предоставлен Mathway.

Теорема Пифагора (Пифагора) — Формула, Доказательство, Примеры

Теорема Пифагора , которую также называют теоремой Пифагора, объясняет взаимосвязь между тремя сторонами прямоугольного треугольника.По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон треугольника. Давайте узнаем больше о теореме Пифагора, ее выводах и уравнениях, за которыми следуют решенные примеры треугольника и квадратов теоремы Пифагора.

Что такое Теорема Пифагора?

Теорема Пифагора утверждает, что если треугольник прямоугольный (90 градусов), то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.Рассмотрим следующий треугольник ABC, , в котором имеем BC ² = AB ² + AC ² . Здесь АВ — основание, АС — высота (высота), ВС — гипотенуза.

Теорема Пифагора Уравнение

Уравнение теоремы Пифагора выражается как c ² = a ² + b ² , где ‘c’ = гипотенуза прямоугольного треугольника, а ‘a’ и ‘b’ — две другие стороны. Следовательно, любой треугольник с одним углом, равным 90 градусам, образует треугольник Пифагора, и уравнение Пифагора может быть применено к треугольнику.

История теоремы Пифагора

Теорема Пифагора была введена греческим математиком Пифагором Самосским. Он был древним ионийским греческим философом. Он сформировал группу математиков, которые религиозно работали над числами и жили как монахи. Наконец, греческий математик сформулировал теорему, поэтому она была названа в его честь «теоремой Пифагора». Хотя он был введен много веков назад, его применение в нынешнюю эпоху обязательно для решения прагматических ситуаций.

Хотя Пифагор ввел и популяризировал теорему, существует достаточно свидетельств, подтверждающих ее существование в других цивилизациях за 1000 лет до рождения Пифагора. Самые старые известные свидетельства датируются периодом между 20-м и 16-м веками до нашей эры в старовавилонский период.

Теорема Пифагора Формула

Формула теоремы Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике ABC квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других катетов.Если АВ и АС — стороны, а ВС — гипотенуза треугольника, то: ВС ² = АВ ² + АС ² ​. В этом случае АВ — основание, АС — высота или высота, а ВС — гипотенуза.

Другой способ понять формулу теоремы Пифагора — использовать следующий рисунок, который показывает, что площадь квадрата, образованного самой длинной стороной прямоугольного треугольника (гипотенузой), равна сумме площадей квадратов, образованных другой стороной. две стороны прямоугольного треугольника.

В прямоугольном треугольнике формула теоремы Пифагора выражается как:

в ² = а ² + б ²

Где,

• ‘c’ = гипотенуза прямоугольного треугольника
• «a» и «b» — две другие ноги.

Доказательство теоремы Пифагора

Теорему Пифагора можно доказать разными способами. Одними из наиболее распространенных и широко используемых методов являются алгебраический метод и метод подобных треугольников.Давайте посмотрим на оба этих метода по отдельности, чтобы понять доказательство этой теоремы.

Доказательство формулы теоремы Пифагора с использованием алгебраического метода

Доказательство теоремы Пифагора можно вывести с помощью алгебраического метода. Например, давайте использовать значения a, b и c, как показано на следующем рисунке, и выполнить шаги, указанные ниже:

• Шаг 1: Расположите четыре конгруэнтных прямоугольных треугольника в заданном квадрате PQRS со стороной a + b.Четыре прямоугольных треугольника имеют основание «b», высоту «a» и гипотенузу «c».
• Шаг 2: 4 треугольника образуют внутренний квадрат WXYZ, как показано, с четырьмя сторонами «с».
• Шаг 3: Площадь квадрата WXYZ при расположении четырех треугольников равна c ² .
• Шаг 4: Площадь квадрата PQRS со стороной (a + b) = площадь 4 треугольников + площадь квадрата WXYZ со стороной «c». Это означает (a + b) ² = [4 × 1/2 × (a × b)] + c ² .Это приводит к ² + b ² + 2ab = 2ab + c ² . Следовательно, a ² + b ² = c ² . Значит доказано.

Доказательство формулы теоремы Пифагора с использованием подобных треугольников

Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны и их соответствующие стороны находятся в одинаковом отношении. Кроме того, если углы имеют одинаковую меру, то, используя закон синусов, мы можем сказать, что соответствующие стороны также будут в том же отношении.Следовательно, соответствующие углы в подобных треугольниках приводят нас к равным отношениям длин сторон.

Вывод формулы теоремы Пифагора

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в точке B. Проведите перпендикуляр BD, пересекающий AC в точке D.

В △ABD и △ACB,

• ∠A = ∠A (общий)
• ∠ADB = ∠ABC (оба угла прямые)

Таким образом, △ABD ∼ △ACB (по критерию подобия AA)

Аналогично можно доказать △BCD ∼ △ACB.

Таким образом, △ABD ∼ △ACB, следовательно, AD/AB = AB/AC. Мы можем сказать, что AD × AC = AB ² .

Аналогично, △BCD ∼ △ACB. Следовательно, CD/BC = BC/AC. Мы также можем сказать, что CD × AC = BC ² .

Складывая эти 2 уравнения, мы получаем AB ² + BC ² = (AD × AC) + (CD × AC)

AB ² + BC ² =AC(AD +DC)

АВ ² + ВС ² =АС ²

Значит доказано.

Теорема Пифагора Треугольники

Прямоугольные треугольники подчиняются правилу теоремы Пифагора и называются треугольниками по теореме Пифагора.Три стороны такого треугольника в совокупности называются тройками Пифагора. Все треугольники по теореме Пифагора следуют теореме Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме двух сторон прямоугольного треугольника. Это можно выразить как c ² = a ² + b ² ; где «с» — гипотенуза, а «а» и «b» — катеты треугольника.

Теорема Пифагора Квадраты

Согласно теореме Пифагора, площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на двух других сторонах.Эти квадраты известны как квадраты Пифагора.

Приложения теоремы Пифагора

Применение теоремы Пифагора можно увидеть в нашей повседневной жизни. Вот некоторые из приложений теоремы Пифагора.

• Инженерные и строительные отрасли

Большинство архитекторов используют технику теоремы Пифагора для нахождения неизвестных размеров. Когда известна длина или ширина, очень легко вычислить диаметр конкретного сектора.Он в основном используется в двух измерениях в инженерных областях.

• Распознавание лиц в камерах наблюдения

Функция распознавания лиц в камерах безопасности использует концепцию теоремы Пифагора, то есть расстояние между камерой безопасности и местоположением человека отмечается и хорошо проецируется через объектив с использованием концепции.

• Изделия из дерева и дизайн интерьера

Концепция Пифагора применяется в дизайне интерьеров и архитектуре домов и зданий.

Люди, путешествующие по морю, используют эту технику, чтобы найти кратчайшее расстояние и маршрут, чтобы добраться до нужных им мест.

☛ Связанные статьи

Часто задаваемые вопросы по теореме Пифагора

Что такое теорема Пифагора в математике?

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон. Эта теорема может быть выражена как c ² = a ² + b ² ; где «с» — гипотенуза, а «а» и «b» — катеты треугольника.Эти треугольники также известны как треугольники теоремы Пифагора.

Что такое обратная теорема Пифагора?

Обратная теорема Пифагора: если сумма квадратов любых двух сторон треугольника равна квадрату третьей (наибольшей) стороны, то треугольник называется прямоугольным.

Какая польза от формулы теоремы Пифагора?

Теорема Пифагора работает только для прямоугольных треугольников. Когда известны любые два значения, мы можем применить теорему Пифагора и вычислить неизвестные стороны треугольника.Есть и другие реальные приложения теоремы Пифагора, например, в области инженерии и архитектуры.

Каковы применения теоремы Пифагора в реальной жизни?

Теорема Пифагора используется в различных областях. Ниже приведены некоторые из его применений.

• Архитектура, строительство и судоходство.
• Для вычисления расстояния между точками на плоскости.
• Для вычисления периметра, площади поверхности, объема геометрических фигур и т.д.

Можно ли применить формулу теоремы Пифагора к любому треугольнику?

Нет, теорему Пифагора можно применить только к прямоугольному треугольнику, поскольку теорема Пифагора выражает отношение между сторонами треугольника, где квадрат двух катетов равен квадрату третьей стороны, которая является гипотенузой.

Как решить теорему Пифагора?

Теорему Пифагора можно использовать для нахождения неизвестной стороны прямоугольного треугольника.Например, если два катета прямоугольного треугольника равны 4 единицам и 6 единицам, то гипотенузу (третью сторону) можно рассчитать по формуле c ² = a ² + b ² ; где «с» — гипотенуза, а «а» и «b» — два катета. Подставляя значения в формулу, c ² = a ² + b ² = c ² = 4 ² + 6 ² = 16 + 36 = √52 = 7,2 единицы.

Что такое формула теоремы Пифагора?

Формула теоремы Пифагора выражается как Гипотенуза ² = Основание ² + Высота ² .Это также записывается как c ² = a ² + b ² ; где «с» — гипотенуза, а «а» и «b» — катеты прямоугольного треугольника. Используя формулу теоремы Пифагора, можно вычислить любую неизвестную сторону прямого угла, если известны две другие стороны.

Почему важна теорема Пифагора?

Теорема Пифагора важна, потому что она помогает вычислить неизвестную сторону прямоугольного треугольника. У него есть и другие реальные приложения в области архитектуры и инженерии, навигации и так далее.

Баллистические уравнения полета

Изучение ракет – отличный способ для школьников изучить основы силы и реакция объекта на внешние силы. Самая простая ракета для постройки и запуска ракета на сжатом воздухе. В системе используется воздушный насос для запуск ракета и ракета катится по всему Остальные полет. Воздушные ракеты не имеют двигателя для непрерывного производства тяга, поэтому результирующий полет аналогичен полету снаряда из пушки, или пуля из ружья.Этот тип полет называется баллистический полет и на этом На странице представлены уравнения, описывающие баллистический полет.

Строго говоря, баллистический полет возможен только при идеальном условия, которые масса единственная сила, действующая на объект. Здесь нет толкать и нет аэродинамическое сопротивление воздействуя на объект в баллистическом полете. Такие условия полета возникнут на Луна, где нет атмосфера для создания сопротивления.На Земной шар, воздушные ракеты создают умеренное аэродинамическое сопротивление и не являются строго баллистическими. Однако баллистический полет хорошее первое приближение к полету воздушной ракеты. То уравнения полета включая перетаскивание, намного сложнее, потому что перетаскивание постоянно меняется на протяжении всего полета. Сопротивление зависит от квадрат скорости и скорость меняется во время полета.

Чтобы упростить наш анализ, мы предполагаем идеально вертикальную запуск.Если пуск наклонен под некоторым углом, мы можем разрешить начальную скорость на вертикальную и горизонтальную составляющие. Горизонтальное движение является равномерным, так как нет внешнего усилие в горизонтальном направлении. Вес — единственная сила действует на объект, и вес всегда вертикальный. Поскольку вес объекта является константой, мы можем использовать простая форма второго закона Ньютона для решения вертикального движения:

-W = F = m a = m dV/dt

где W – вес, m – масса, V – скорость, t время, a ускорение, и F — чистая внешняя сила.2

где y — вертикальная координата. При таком общем описании движения баллистического объекта мы можем сделать некоторые интересные выводы.

Обратите внимание, что уравнение полета не содержит информации о размера, формы или массы. Все объекты летают одинаково в чисто баллистическом полете. Это похоже на Принцип Галилея что все тела падают с одинаковой скоростью в вакууме.Если перетаскиванием можно пренебречь, полет объекта зависит только от начальной скорости и гравитационное ускорение.

В самой высокой точке в полете вертикальная скорость равна нулю. От скорости уравнения мы можем определить время, в которое это происходит:

В = 0

т = Vo / г

Время набора максимальной высоты линейно зависит от скорости старта.2/г

Максимальная высота изменяется пропорционально квадрату скорости запуска. Удвоение скорость запуска в четыре раза превышает максимальную высоту.

Вот калькулятор Java, который решит уравнения, представленные на этой странице:

Выберите планету, режим и единицы измерения

Если сопротивление включено, введите вес или массу,

площадь, коэффициент аэродинамического сопротивления, высота над уровнем моря или плотность воздуха

Нажмите кнопку вычисления

Вычисление

Выход

Конечная скорость

Максимальная высота

Время достижения максимальной высоты

На этой странице показан интерактивный Java-апплет, который вычисляет максимальную высоту над уровнем моря. и время, которое это происходит для баллистического снаряда.

Для работы с калькулятором сначала выберите планету с помощью кнопки выбора. вверху слева. Для баллистического полета выберите опцию «Игнорировать перетаскивание». со средней кнопкой выбора. На другой странице мы разрабатываем уравнения для полет с сопротивлением. Вы можете выполнять расчеты в английских (имперских) или метрических единицах. Введите начальную скорость, затем нажмите красную кнопку «Вычислить», чтобы вычислить максимальную высоту и время достижения максимальной высоты.Обратите внимание, что ввод другого значения веса или area не изменяет вычисленную максимальную высоту.

Мы предоставляем онлайновую веб-страницу, содержащую только это калькулятор. Вы также можете загрузить собственную копию калькулятора для использования в автономном режиме. Программа предоставляется как Fltcalc.zip. Вы должны сохранить этот файл на жестком диске и «Извлеките» нужные файлы из Fltcalc.zip. Нажмите «Fltcalc.html». чтобы запустить браузер и загрузить программу.2

t = 2 Vo/г

Общее время полета линейно зависит от скорости старта. То общее время полета в два раза превышает время достижения максимальной высоты. Итак, баллистический снаряд спускается так же долго, как и поднимается. Если мы подставим это время в уравнение скорости:

V = Vo — г (2 Vo / г)

В = — Во

Скорость при ударе имеет ту же величину, но противоположное направление как скорость при запуске.

Вы можете изучать баллистические летные характеристики с помощью RocketModeler III программа моделирования.

---

Экскурсии с гидом

---

Виды деятельности:
Pencil Rocket: 6-10 классы

---

Связанные сайты:
Rocket Index
Rocket Home
Руководство для начинающих Home

Постройте уравнение для расшифровки, легко заполняйте и редактируйте PDF онлайн.

Construct Equation Transcript: редактируйте PDF-файлы из любого места

Редактирование документов — это рутинная задача, которую многие люди выполняют ежедневно, и существует множество различных платформ для редактирования содержимого шаблона PDF или Word.Тем не менее, большинство опций — это приложения, которые требуют некоторого места на вашем устройстве и изменяют его производительность. Существует множество онлайн-инструментов для редактирования документов, которые лучше работают на старых устройствах и работают быстрее.

К счастью, теперь у вас есть возможность избежать этих сложностей, работая со своими шаблонами онлайн.

Благодаря таким решениям для обработки документов, как pdfFiller, редактирование документов в Интернете стало еще проще. Помимо документов PDF, можно работать с другими основными форматами, такими как Word, PowerPoint, изображениями, TXT и многими другими.Загружайте документы со своего устройства и редактируйте в один клик или создавайте новые самостоятельно. Все, что вам нужно, чтобы начать обрабатывать документы онлайн с помощью pdfFiller, — это любое устройство, подключенное к Интернету.

pdfFiller имеет полнофункциональный онлайн-инструмент для редактирования текста, упрощающий онлайн-процесс редактирования документов для всех пользователей. Большой выбор функций позволяет изменять содержимое и макет. Изменяйте страницы, добавляйте заполняемые поля в любом месте документа, добавляйте изображения и электронные таблицы, форматируйте текст и добавляйте свою цифровую подпись — все это в одном месте.

Для редактирования формы PDF вам необходимо:

01

Загрузите документ со своего устройства.

02

Откройте вкладку «Введите URL» и введите путь к вашему файлу.

03

Найдите нужную форму в онлайн-библиотеке.

04

Загрузите документ из облачного хранилища (Google Диск, Box, DropBox, One Drive и другие).{2} — 14$$$.{2} — 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 z\right) |_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 4$$$

Уравнение касательной плоскости $$$ \ гидроразрыва {\ парциальное} {\ парциальное х} \ влево (F {\ влево (х, у, г \ вправо)} \ вправо) | _ {\ влево (\ влево (х, у, г \ вправо) = \ влево (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0} \ вправо) \ вправо)} \ влево (x — x_ {0} \ вправо) + \ гидроразрыва {\ парциальное} {\ парциальное у} \ влево ( F {\ влево (х, у, г \ вправо)} \ вправо) | _ {\ влево (\ влево (х, у, г \ вправо) = \ влево (х_ {0}, у_ {0}, z_ { 0}\right)\right)} \left(y — y_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z\right)} \right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(z — z_{0}\справа) = 0.$$$

В нашем случае $$$2 \left(x — 1\right) + 6 \left(y — 3\right) + 4 \left(z — 2\right) = 0$$$.

Это можно переписать как $$$2 x + 6 y + 4 z = 28$$$.

Или проще: $$$z = — \frac{x + 3 y — 14}{2}$$$.