Построение плоскости по уравнению онлайн – 3D Calculator — GeoGebra

matworld.ru

Определить вид поверхности 2-го порядка онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Приведём примеры поверхностей второго порядка, для которых можно определить канонический вид онлайн:

Ислледование на определение вида будет выглядеть примерно так:

Дано ур-ние поверхности 2-порядка: $$x^{2} — 2 x + y^{2} — 2 y — z^{2} + 2 z + 2 = 0$$ Это уравнение имеет вид: $$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$ где $$a_{11} = 1$$ $$a_{12} = 0$$ $$a_{13} = 0$$ $$a_{14} = -1$$ $$a_{22} = 1$$ $$a_{23} = 0$$ $$a_{24} = -1$$ $$a_{33} = -1$$ $$a_{34} = 1$$ $$a_{44} = 2$$ Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители: $$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$

     |a11  a12|   |a22  a23|   |a11  a13|
I2 = |        | + |        | + |        |
     |a12  a22|   |a23  a33|   |a13  a33|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$ $$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}a_{11} — \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} — \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} — \lambda\end{matrix}\right|$$

     |a11  a14|   |a22  a24|   |a33  a34|
K2 = |        | + |        | + |        |
     |a14  a44|   |a24  a44|   |a34  a44|


     |a11  a12  a14|   |a22  a23  a24|   |a11  a13  a14|
     |             |   |             |   |             |
K3 = |a12  a22  a24| + |a23  a33  a34| + |a13  a33  a34|
     |             |   |             |   |             |
     |a14  a24  a44|   |a24  a34  a44|   |a14  a34  a44|

подставляем коэффициенты $$I_{1} = 1$$

     |1  0|   |1  0 |   |1  0 |
I2 = |    | + |     | + |     |
     |0  1|   |0  -1|   |0  -1|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1\end{matrix}\right|$$ $$I_{4} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1\\0 & 1 & 0 & -1\\0 & 0 & -1 & 1\\-1 & -1 & 1 & 2\end{matrix}\right|$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}- \lambda + 1 & 0 & 0\\0 & — \lambda + 1 & 0\\0 & 0 & — \lambda — 1\end{matrix}\right|$$

     |1   -1|   |1   -1|   |-1  1|
K2 = |      | + |      | + |     |
     |-1  2 |   |-1  2 |   |1   2|


     |1   0   -1|   |1   0   -1|   |1   0   -1|
     |          |   |          |   |          |
K3 = |0   1   -1| + |0   -1  1 | + |0   -1  1 |
     |          |   |          |   |          |
     |-1  -1  2 |   |-1  1   2 |   |-1  1   2 |

$$I_{1} = 1$$ $$I_{2} = -1$$ $$I_{3} = -1$$ $$I_{4} = -1$$ $$I{\left (\lambda \right )} = — \lambda^{3} + \lambda^{2} + \lambda — 1$$ $$K_{2} = -1$$ $$K_{3} = -4$$ Т.к. $$I_{3} \neq 0$$ то по признаку типов поверхностей:
надо
Составляем характеристическое уравнение для нашей поверхности: $$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda — I_{3} + \lambda^{3} = 0$$ или $$\lambda^{3} — \lambda^{2} — \lambda + 1 = 0$$ $$\lambda_{1} = 1$$ $$\lambda_{2} = 1$$ $$\lambda_{3} = -1$$ тогда канонический вид уравнения будет $$\tilde z^{2} \lambda_{3} + \tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{4}}{I_{3}} = 0$$ $$\tilde x^{2} + \tilde y^{2} — \tilde z^{2} + 1 = 0$$ $$- \tilde z^{2} + \frac{\tilde x^{2}}{1^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{1^{2}} = -1$$ это уравнение для типа двусторонний гиперболоид
— приведено к каноническому виду

www.kontrolnaya-rabota.ru

Проекция точки на плоскость онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на заданную плоскость. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения проекции точки на данную плоскость введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Проекция точки на плоскость − теория, примеры и решения

Для нахождения проекции точки M₀ на плоскость α, необходимо:

• построить прямую L, проходящую через точку M₀ и ортогональной плоскости α.
• найти пересечение данной плоскости α с прямой L(Рис.1).

Общее уравнение плоскости имеет вид:

где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и ортогональной плоскости (1) имеет следующий вид:

Для нахождения точку пересечения прямой L с плоскостью α, проще всего рассматривать параметрическое уравнение прямой. Составим ее

Выразим переменные x, y, z через рараметр t.

Подставим значения x,y,z из выражения (4) в (1) и решим относительно t.

Подставляя значение параметра t в выражения (4), находим проекцию M₁ точки M₀ на плоскость (1).

Пример 1.Найти проекцию M₁ точки M₀(4, -3, 2) на плоскость

Решение.

Нормальный вектор плоскости имеет вид:

т.е. A=5, B=1, C=−8.

Координаты точки M₀: x₀=4, y₀=−3, z₀=2.

Подставляя координаты точки M₀ и нормального вектора плоскости в (5), получим:

Из выражений (7) находим:

Ответ:

Проекцией точки M₀(4, -3, 2) на плоскость (6) является точка:

matworld.ru

Онлайн калькулятор. Уравнение плоскости.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения плоскости и закрепить пройденный материал.

Выберите метод решения исходя из имеющихся в задаче данных:

В задаче известны: координаты трех точек лежащих на плоскости.координаты вектора нормали и точки лежащей на плоскости.

Введите данные:

Уравнение плоскости.

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки

В зависимости от условий задачи уравнение плоскости можно составить следующими способами:

• Если заданы координаты трех точек A(

  x

  ₁,

  y

  ₁,

  z

  ₁), B(

  x

  ₂,

  y

  ₂,

  z

  ₂) и C(

  x

  ₃,

  y

  ₃,

  z

  ₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле

  x  —  x 1		y  —  y 1		z  —  z 1	= 0
  x 2 —  x 1		y 2 —  y 1		z 2 —  z 1
  x 3 —  x 1		y 3 —  y 1		z 3 —  z 1

  
  
• Если заданы координаты точки A(

  x

  ₁,

  y

  ₁,

  z

  ₁) лежащей на плоскости и вектор нормали

  n

  = {A; B; C} то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле A(

  x

  —

  x

  ₁) + B(

  y

  —

  y

  ₁) + C(

  z

  —

  z

  ₁) = 0

Подробная информацию об уравнении плоскости.

o-math.com

Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через данную точку и через данную прямую (точка не лежит на этой прямой). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямой (канонический или параметрический) введите координаты точки и коэффициенты уравнения прямой в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L:

и точка M₀(x₀, y₀, z₀), которая не находится на этой прямой.

Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через точку M₀ и и через прямую L(Рис.1).

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} имеет следующий вид:

Направляющий вектор прямой L имеет вид q={m, p, l}. Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M₁(x₁, y₁, z₁) имеет вид:

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n={A, B, C} должен быть ортогональным направляющему вектору q прямой L, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:

Решая совместно уравнения (4) и (5) отностительно коэффициентов A, B, C

получим такие значения A, B, C, при которых уравнение (2) проходит через точку M₀ и через прямую (1). Для решения систему уравнений (4), (5), запишем их в матричном виде:

Как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн.

Получив частное решение уравнения (6) и подставив полученные значения A, B, C в (2), получим решение задачи.

Пример 1.Найти уравнение плоскости α, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀)=M₀(1, 2, 5) и через заданную прямую L:

Решение. Уравнение плоскости α, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀)=M₀(1, 2, 5) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой (2).

Уравнение плоскости α, проходящей через точку M₁

(x₁, y₁, z₁)=M₁(2, 1, −3) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой (3).

Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n={A, B, C} должен быть ортогональным направляющему вектору q прямой L, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Подставим значения m, p, l, x₀, y₀, z₀, x₁, y₁, z₁ в (8) и (9):

Решим систему линейных уравнений (10) и (11) отностительно A, B, C. Для этого представим эти уравнения в матричном виде:

Решив однородную систему линейных уравнений (12) используя метод Гаусса, найдем следующее частное решение:

Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (2), получим:

Упростим уравнение (13):

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(1, 2, 5) и через прямую (7) имеет вид (14).

Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M₀(4, 3, −6) и через прямую L, заданной параметрическим уравнением:

Решение. Приведем параметрическое уравнение (15) к каноническому виду:

Уравнение плоскости α, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой:

Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=(0, 2, 4). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку

M₁(x₁, y₁, z₁) имеет вид:

Вычитая уравнение (18) из уравнения (17), получим:

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n должен быть ортогональным направляющему вектору прямой L :

Подставим значения m, p, l, x₀, y₀, z₀, x₁, y₁, z₁ в (19) и (20):

Решим систему линейных уравнений (21) и (22) отностительно A, B, C. Для этого представим эти уравнения в матричном виде:

Решив однородную систему линейных уравнений (23) используя метод Гаусса, найдем следующее частное решение:

Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (17), получим:

Упростим уравнение (24):

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 23.

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(4, 3, −6) и через прямую (16) имеет вид (26).

matworld.ru

Плоскость по трем точкам

Уравнение плоскости

Рассмотрим задачу построения уравнения плоскости   по  точкам в пространстве. Эта статья лишь вершина айсберга расчета поверхностей второго порядка в пространстве. Используется такая же методика что и в материале Расчет кривой второго порядка на плоскости

 

 

Уравнение плоскости в пространстве имеет вид

 

 

Легко заметить,  что раз тут три переменные, то мы однозначно определяем все значения плоскости по трем точкам.

Самый простой способ  определить уравнение плоскости это решить матричное уравнение

 

 

Проверим как это работает 

Пусть нам заданы три точки  с координантами P₀(1:-2:0) P₁(2:0:-1) и P₂(0:-1:2)

Подставив значения в уравнение получим.

 

Решая уравнение мы получим  вот такой результат

 

 

Наш бот, будет рассчитывать по своей методике и  при тех же самых данных,  мы получим  вот такое решение.

 

Читатель, может сразу заметить, что  коэффициенты при неизвестных совершенно другие чем  мы получили через матрицу.

Но тем не менее,  это одно и тоже уравнение плоскости. Достаточно лишь  умножить  правую и левую часть уравнения на 7

и получим 

 

 

Что подтверждает наши расчеты и правильность вычисления.

 

Если у вас в результате получилось например вот такое уравнение

А хочется получить все таки решение, где все значения в целых числах, рекомендую перевести числа в  дробь. Для этого достаточно посетить материал Непрерывные, цепные дроби онлайн или в случае когда результат  получается неудовлетоврительный,  Вычисление приближенной правильной дроби и каждое дробное значение превратить в дробь.

И наше уравнение превращается

 

И умножим правую и левую часть на 84 мы получим уравнение в целых числах.

 

Хотелось бы заметить только одно, три точки, которые Вы будете вводить, не должны быть на одной прямой, так как в таком случае, уравнение плоскости вычислить  неудастся в связи с неоднозначностью её положения в пространстве. 

Удачных расчетов!

 

• Площадь многоугольника по координатам онлайн >>

abakbot.ru