Нажмите "Enter", чтобы перейти к содержанию

Построение кривых заданных параметрически онлайн: Построение линии кривой в пространстве, заданной параметрически

2
Функция — Квадрат x
ctg(x)
Функция — Котангенс от x
arcctg(x)
Функция — Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция — Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция — Тангенс от x
tgh(x)
Функция — Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция — кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x
В выражениях можно применять следующие операции:
Действительные числа
вводить в виде
7. 3
— возведение в степень
x + 7
— сложение
x — 6
— вычитание

Другие функции:
asec(x)
Функция — арксеканс от x
acsc(x)
Функция — арккосеканс от x
sec(x)
Функция — секанс от x
csc(x)
Функция — косеканс от x
floor(x)
Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция — Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция — гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция — гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция — гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:
pi
Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..
e
Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности — знак для бесконечности

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Содержание

§4. Построение кривых, заданных параметрически

Рассмотрим способы построения кривых, заданных системой уравнений вида ,.

В ряде случаев эту систему можно решить, получив уравнение, связывающее переменные и. Например, система

,

, дает уравнение . Учитывая, что множеством значений,, является отрезок, получаем, что исходная система уравнений задаёт функцию, определенную на отрезке. Из курса аналитической геометрии также известно, что уравнения,задают окружность радиуса, а также уравнения,, задают эллипс с полуосямии.

Если явно выразить черезне удается, то используется схема, которую мы дадим на примере построения кривой, заданной системой уравнений,.

Начнем с построения графика функции . Эта функция непрерывна на всей числовой прямой,,. Первое из этих утверждений очевидное, второе следует из того, что. Далее, прифункциястремится к 0 (применяется правило Лопиталя), а функциястремится кпри.

Производная . Привыполнено неравенствои, поэтомуубывает. При, поэтомуи функция возрастает. Наименьшего значения функциядостигает при,. При этом и.

График имеет вид:

Каждому значению соответствуют два значения, обозначим ихи, причем,.

Так как функция непрерывна и убывает при, функциятакже непрерывна и возрастает при, а так какнепрерывна и возрастает при,также непрерывна и возрастает (мы использовали теорему об обратной функции).

Следовательно, по теореме о непрерывности сложной функции и- также непрерывные.

Исследуем асимптотическое поведение функций ипри. Прифункцияи, так как,, а. Так как

,

функция не имеет наклонной асимптоты.

При функцияи функция, при этом. Наконец,

.

Поэтому прямая является наклонной асимптотой для.

Вычислим производные функций и. Обе они получаются по формуле. Приполучаем, что, поэтому, как, так и- возрастающие функции.

В точке обе функциииимеют первую производную, равную.

Наконец, вторая производная равна .

Поэтому при получаем, криваявыгнута вверх, а при, криваявыгнута вниз.

Комментарий к графику: идают «клюв» — имеют особую правую касательную с тангенсом угла наклона вравным 4.

§5. Построение кривых, заданных уравнением в полярных координатах.

Рассмотрим задачу построения на плоскости , введенной прямоугольной декартовой системой координат, кривой, уравнение которой имеет вид. При этом мы считаем, что начало координат совпадает с полюсом полярной системы координат и что ось абсцисс совпадает с полярной осью. В этом случае для декартовых координат точки, имеющей полярные координаты, выполняются равенства,и уравнениеравносильно системе.

Поэтому задание кривой полярным уравнением можно рассматривать, как частный случай задания кривой системой параметрических уравнений.

Рассмотрим несколько примеров.

Уравнение или, т.е. задает прямую линию на плоскости.

Построим кардиоиду, заданную уравнением ,.

Так как функция периодическая, с периодом , рассматриваем. Так как функция чётная, достаточно построить кривую, а затем отразить ее симметрично полярной оси, т. е. оси абсцисс. При, меняющейся отдо, величинаубывает от значениядо. Поэтому эскиз части кривой приимеет примерный вид:

Эскиз всей кривой получаем отражением относительно полярной оси.

Осталось ответить на два естественных вопроса. Первый из них: чему равна абсцисса точки ? Второй вопрос – о выпуклости кривой. Для получения ответов на эти вопросы рассмотрим параметрические уравнения части кардиоиды:,.

,

.

Из уравнения при, находим,, откуда,. Этим значениям соответствуют(при),(при), абсцисс 0.

(при ) — абсцисса точки.

Таким образом, на вопрос об абсциссе точки получим ответ.

Производная .

Отметим, что в точках ,кривая имеет вертикальную касательную.

Вторая производная равна .

На промежутке эта величина меньше 0, на промежутке- больше 0.

Поэтому верхняя половина кардиоиды состоит из выгнутой вверх кривой, соединяющей точки ии выгнутой вниз кривой, соединяющей точкии.

«Особенности построения графиков функций заданных неявно и параметрически»

Полякова О.Л.

Доклад

ОСОБЕННОСТИ Построения графиков функций

заданных неявно и параметрически

Из курса математического анализа известен стандартный алгоритм исследования явно заданных функций (область определения; множество значений; четность – нечетность; асимптоты; периодичность; нули; экстремумы; интервалы монотонности, выпуклости и вогнутости; точки перегиба). При параметрическом или неявном задании функции существует ряд специфических особенностей, отличающих построение графиков этих функций. Рассмотрим эти особенности на примерах.

Пример 1. Построить график функции [2, с. 126].

Сначала строим графики функций и соответственно в системах координат и .

1 а)

Рис. 1 б)

Учитывая графическое изображение функций и , исследуем функцию по схеме [3].

  1. Область определения функции: .

  2. Множество значений функции: .

  3. Таккак — функция общего вида, а — нечетная функция, то симметрииграфик не имеет.

  4. При исследовании функции заданной параметрически, необходимо найти

особые точки (точка особая точка кривой, если ) и определить их вид.

Пусть, — первая отличная от нуля производная и — первая из производных, не коллинеарных вектору . Тогда если:

Рис. 2 а)

Рис. 2 б)

Точка является особой точкой кривой, так как производные первого порядка: равны нулю при . Определяем тип особой точки, для этого вычисляем вторую и третью производные:

Таким образом, точка – точка возврата первого рода.

  1. Точки самопересечения находим из условия , решая систему:

.

Так как , значит, кривая не имеет точек самопересечения.

  1. Угловой коэффициент касательной:

.

При и при , т.е. в точках с координатами , и касательные параллельны оси абсцисс; при , т.е. в точке с координатами касательная параллельна оси ординат.

  1. Экстремумы функции и интервалы монотонности.

Точка – точка минимума; точки , – точки максимума; при и при функция убывает; при , и при функция возрастает.

  1. Интервалы выпуклости и точки перегиба. Так как вторая производная

отлична от нуля, следовательно кривая не имеет точек перегиба; при и при кривая выпукла вверх; при и при кривая выпукла вниз.

  1. Асимптоты.

Прямая является наклонной асимптотой, т.к.

; .

Прямая наклонная асимптота, так как при , , и .

Прямая  вертикальная асимптота, т.к. при .

Горизонтальных асимптот кривая не имеет.

  1. График функции (рис. 3):

Рисунок 3 — График функции

При исследовании и построении графика функции заданной неявно также определяют особые точки кривой.

Точка кривой называется особой точкой, если ее координаты одновременно удовлетворяют трем уравнениям:

Если в особой точке производные второго порядка не равны одновременно нулю, тогда точка является двойной точкой кривой, причем форма кривой у ее двойной точки зависит от знака определителя

.

Возможные случаи изображены на рисунке [1, с. 271]:

а) узловая точка

Рис. 4 б) изолированная точка

Рис. 4 в) точка возврата первого рода

4 г) точка возврата второго рода

Рис. 4 д) точка самокасания

Пример 2. Построить график функции [1, с.182].

  1. Область определения находим, решая уравнение:

Откуда, область определения первой ветви , второй ветви —

  1. Кривая симметрична относительно координатных осей.

  2. Точки пересечения кривой с осями координат:

  1. Асимптоты. Горизонтальных и вертикальных асимптот кривая не имеет, так как коэффициенты при высших степенях и постоянные величины. Наклонные асимптоты находим из условия:

,

приравнивая к нулю коэффициенты при , . Получаем и — наклонные асимптоты искомой кривой.

  1. Особые точки:

Точка является особой двойной точкой, так как и производные второго порядка в этой точке одновременно не равны нулю. Т.к. точка с координатами узловая точка.

Найдем касательные к кривой в особой точке, для этого приравняем к нулю коэффициенты при низших степенях:

,

Таким образом, прямые и – две касательные к кривой в особой точке.

  1. Координаты точек, в которых касательные параллельны оси абсцисс, найдем, решив систему:

.

В точках , касательные параллельны оси абсцисс. Исследуем их на экстремум. Так как в точке , то в ней функция не имеет экстремума. Так как произведение

в точке с координатами принимает положительные значения, то в этой точке максимум; а в точках с координатами произведение , следовательно это точки минимума.

Координаты точек, в которых касательные параллельны оси ординат, найдем, решив систему:

.

В точках с координатами , касательные параллельны оси ординат. Исследуем их на экстремум. Так как в точке , то в ней функция не имеет экстремума. Так как произведение

в точке с координатами , принимает положительные значения, то в этой точке максимум; а в точке с координатами – минимум, так как произведение .

  1. Точкиперегиба находим, приравняв к нулю вторую производную:

,

очевидно, точка перегиба.

  1. График функции (рис. 5):

Рис. 5 — График функции

Исследовать кривую – значит выявить совокупность важнейших свойств, дающих исчерпывающую информацию для изображения графика этой кривой. В целом, алгоритм исследования параметрических и неявно заданных функций совпадает с алгоритмом исследования функций заданных явно. Однако, существуют следующая специфическая особенность отличающая исследование этих функций от функций заданных явно, заключающаяся в нахождении особых точек и точек самопересечения.

При исследовании параметрических функций часто возникают сложности при определении точек перегиба и промежутков вогнутости, так как это исследование требует нахождения второй производной функции, которая представляет собой громоздкое выражение и решить уравнение точными методами не удается, необходимо прибегать к численным методам. Аналогичные сложности возникают и при исследовании неявно заданных функций: из-за сложных выражений второй производной определять точки перегиба приходится методом подбора (интуитивно) или же не определять вовсе.

Библиографический список:

  1. Графики функций: Справочник / Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. – Киев: Наук. думка, 1979. – 320 с.

  2. Райхмист Р. Б. Графики функций: Справ. пособие для вузов. – М., «Высшая школа», 1991. – 160 с.

Средства визуализации данных

SciDAVis представляет собой интерактивное приложение, направленное на анализ научных данных и их визуализацию/публикацию. SciDAVis — многоплатформенное — Windows, Linux, MacOS X — свободное программное обеспечение. Данное программное обеспечение совмещает в себе широкую функциональность и интуитивно-понятный интерфейс. SciDAVis позволяет анализировать, обрабатывать и визуализировать экспериментальные данные и аппроксимировать кривые. Поддерживает большое количество аппроксимирующих функций, скрипты, базовые статистики с графиками и визуализацией и многое другое. Основные особенности программы SciDAVis:

  • Генерирование таблиц, матриц, графиков и заметок, собираемых в проекте с удобной организацией.
  • Таблицы для ввода данных напрямую или импорта из ASCII-файлов.
  • Встроенные операции по анализу статистики.
  • Различные форматы публикаций в двухмерном и трехмерном пространствах (включая EPS и PDF). У SciDAVis еще есть функции для расчета корреляции, автокорреляции, свертки и деконволюции.
  • Функции взятия прямого и обратного быстрого преобразования Фурье (БПФ, оно же FFT) и функции для работы со спектрами и сигналами.
  • (С установленной программой Python у вас появляется доступ к объектам.)

 

Список встроенных стандартных функций для создания формул

Стандартные функции:
abs, acos, acosh, asin, asinh, atan, atanh, avg
bessel_i0, bessel_i1, bessel_in, bessel_in_zero, bessel_y0, bessel_y1, bessel_yn, beta
ceil, cos, cosh, erf, erfc, erfz, erfq, exp, floor, gamma, gammaln
hazard, if, ln, log, log10, log2, min, max, mod, pow, rint, sign
sin, sinh, sqrt, sum, tan, tanh, w0, wm1

 

Хранение

SciDAVis хранит все данные в файле своего проекта. В качестве исходных данных программа понимает текстовые файлы, в которых числа записаны столбцами, и файлы, в которых числа разделяются запятыми (CSV). При открытии текстовых файлов в SciDAVis есть возможность указать разделитель между столбцами, разделитель дробной части и символ, отделяющий в больших числах тысячи, миллионы и т.д. для более наглядного вида. Для SciDAVis основная рабочая область – таблица с данными, а графики не привязываются к их расположению на листе, а просто рисуются в отдельных окнах.
Графики могут быть сохранены в нескольких растровых графических форматах файлов, а также в форматах Portable Document Format PDF , Encapsulated PostScript EPS или SVG.

Типы графиков

Программа может рисовать разные типы графиков.

• Исходные точки на графике могут отмечаться какими-нибудь символами. А можно оставить только эти символы без линий и получится так называемый Scatter.
• Графики, у которых точки соединяются только горизонтальными и вертикальными линиями, получаются ступеньки.
• Графики, представляющие собой вертикальные столбики, обычно их называют Bar. Есть отдельный тип графиков, когда кроме вертикального верхнего уровня столбиков задаются еще и нижние уровни.
• Есть отдельные типы графиков для рисования гистограмм.
• График, когда область под графиком закрашивается или заштриховывается.
• Диаграмма в виде долек пирога – Pie Chart.
• График, изобращающий набор векторов. Причем можно задавать координаты начала и конца вектора, а можно задавать координаты начала, его длину и угол поворота.
• Так называемый Box Plot, используемый для отображения статистических данных.
• Линии уровней.
• Можно рисовать различные трехмерные графики.
  • Трехмерные траектории
  • Трехмерные Scatter’ы
  • Графики в виде трехмерной ленты
  • Трехмерные столбцы, положение на плоскости которых задается двумя координатами, а третья координата определяет их высоту.
  • Трехмерные поверхности. Правда, у SciDAVis такой тип графиков получается угловатый. Трехмерные графики в SciDAVis’е можно вращать, приближать и удалять мышкой.

 

Как создать график в SciDAVis

  1. Построим, например, график, используя функцию IF. Откроем меню Файл и выберем команду Новый/Новый график функции (Рис. №1)

    В откывшемся диалоговом окне, зададим функцию и диапазон изменения аргумента х.

     

    Результат:

  2. Создадим таблицу и на основе значений её ячеек построим график. Заполним первый столбец рядом чисел от 1 до 30 по возрастанию с шагом 1:

    a) Выделим 1-ый столбец
    b) Заполним выделенное с помощью Таблица/Fill Selection with/Row Numbers.

    Ко второму столбцу таблицы, предварительно выделив его, применим формулу sin(col(«1»))/col(«1»), используя для задания формулы списки диалогового окна (см. Рис. №5)


    Выбрав График/Линия вы построите график по табличным данным. К построенному графику добавим еще график с заданием функции (см. Рис. №2):

  3. Построим график функции импортируя текстовый файл.

    • Для построения графика по насчитанным данным, записанным в файл, выполним Файл/Импорт ASCII… и не забудем правильно задать десятичные разделители (Рис. №8). В результате данные заполнят столбцы (Рис. № 9).
    • Ну а теперь знакомыми приёмами построим график, т.е.выделим 2-й столбик и График/Линия(Рис.№10). Далее вы можете делать с ним что угодно, например, сглаживать или сразу из точек вместо линии построитьсплайн (Рис. №11) т.д.

  4. Построим поверхность. Выполним Файл/Новый/Новый график 3D поверхности , в открывшемся диалоговом окне определим поверхность (Рис. №12)

Трехмерные графики в SciDAVis’е можно вращать, приближать и удалять мышкой.

Перечень пунктов меню SciDAVis

Проиллюстрируем пункты меню. Состав пункта Файл мы уже приводили, приведём и другие пункты для знакомства с интерфейсом приложения:

Официальная страница SciDAVis находится – здесь.

GeoGebra — построение графиков, инструменты

GeoGebra (Геогебра) — это бесплатная математическая программа, которая объединяет геометрию, алгебру и анализ. Она разработана для изучения математики в школах.

Оглавление

  • 1 Основные возможности
  • 2 Графический калькулятор
  • 3 Панель инструментов
    • 3.1 Перемещение, фигура от руки
    • 3.2 Точка, пересечение, середина отрезка
    • 3.3 Прямая, отрезок, луч, вектор
    • 3.4 Перпендикулярная прямая, биссектриса, касательная
    • 3.5 Многоугольник
    • 3.6 Окружность, сектор, дуга
    • 3.7 Эллипс, парабола, коника
    • 3.8 Угол, наклон прямой, периметр, площадь
    • 3.9 Отражение, поворот, гомотетия
    • 3.10 Ползунок, текст и другие элементы
    • 3.11 Масштаб, перемещение полотна, скрытие объекта
  • 4 Ссылки по теме

Можно работать с программой прямо в браузере, а можно скачать и установить на свой компьютер или телефон отдельные приложения.

Самая замечательная особенность в GeoGebra — это двойное представление объектов: каждому выражению в алгебраическом окне соответствует объект в геометрическом окне и наоборот.
Команды можно вводить как на английском, так и на русском языках.

Основные возможности

  • Построение графиков функций
  • Построение кривых, заданных параметрически в декартовой системе координат
  • Построение конических сечений
  • Построение геометрического места точек, зависящих от положения некоторой другой точки, принадлежащей какой-либо кривой или многоугольнику (инструмент Локус).
  • Действия с матрицами, вычисление определителя
  • Аппроксимация множества точек кривой заданного вида
  • Работа с таблицами
  • Анимация

Графический калькулятор

В этой заметке рассмотрим Графический калькулятор

Экран разбит на несколько областей, аналогично тому как это сделано в Desmos. Слева расположена панель для ввода уравнений (панель объектов), в центре отображаются графики и объекты (полотно), внизу всплывающая панель виртуальной клавиатуры, вверху — панель инструментов, справа — свойства выбранной фигуры. Есть и другие панели, отображение которых пока не будем включать.

Панель инструментов

Геогебра предоставляет широкий спектр инструментов для графического представления объектов. Перечислим их в том же порядке, в котором расположены иконки.

Перемещение, фигура от руки


Режим перемещения позволяет выбирать и передвигать объекты мышкой и клавишами со стрелками. Клавиша Delete позволяет удалить выделенный объект или группу объектов. Перейти в режим перемещения можно нажатием клавиши Esc. Также в любом режиме можно перетаскивать фигуры правой кнопкой мыши

Пример. Введем функцию f(x) = x³ - 2x² в поле ввода текста; сразу же будет отображен график функции. Введем команду производная[f]. Снимем галочку «Закрепить объект» в свойствах этой кривой. Выберем режим «Перемещение». Будем перемещать график с помощью мыши и наблюдать за изменением уравнения функции и ее производной.

Фигура от руки и карандаш:

Инструмент Карандаш — можно писать на чертеже как ручкой.
В режиме «фигура от руки» каракули, нарисованные мышкой, волшебным образом превращаются в геометрические фигуры. Программа пытается угадать что нарисовано и преобразовать, угадывает даже некоторые функции.

Точка, пересечение, середина отрезка

Группа инструментов под названием Точка:

Точка на объекте отличается от обычной точки тем, что при перемещении она ограничена контуром объекта-владельца.
Команда: Point
Команда для задания точки зависит от настроек, по умолчанию T = (x,y).
Здесь вместо координат x, y могут быть числовые константы или другие переменные:
T = (3, f(a)).
Пересечение — позволяет создать точку пересечения двух выбранных объектов.
Команда: Intersect

Примеры:
Point[{1, 2}] — нарисовать точку с координатами (1,2).
или просто S=(1,2) — нарисовать точку S с координатами (1,2)

Intersect[y = x + 3, y=-2x+5] — построить точку пересечения двух прямых, сами прямые нужно строить отдельными командами.

Более сложный пример. Зададим функцию параметрически, введем выражения
a = Curve[cos(t), sin(t), t, 0, π]
b = Curve[cos(t) + 1, sin(t), t, 0, π]
и попробуем найти точку пересечения этих кривых a и b на отрезке от 0 до 2:
Intersect[a, b, 0, 2].
Результат:

Символы x, y, z не нужно использовать для именования объектов. Эти имена зарезервированы для получения координат точки. Например:
B = (x(T), s) — построить точку B с абсциссой, совпадающей с абсциссой точки T
С = (5, y(T)) — построить точку С с абсциссой 5 и ординатой, совпадающей с ординатой точки T.

Команда для получения длины отрезка:
Расстояние[M, C]

Команда для нахождения середины отрезка или центра коники:
C=Середина(A,B)
Команды: Midpoint, Length, Distance

Последние два инструмента для нахождения корней и точек экстремума выбранной функции:


Команды: Корень, Экстремум, НулиФункции, Min

Прямая, отрезок, луч, вектор


Набор инструментов для построения прямой, проходящей через две точки, отрезка по двум точкам, отрезка с заданной длиной, луча, вектора, ломаной линии.
Команды: Прямая / Line, Отрезок / Segment, Луч / Ray, Вектор, Ломаная, Перенести

Перпендикулярная прямая, биссектриса, касательная


Набор инструментов позволяет построить:
— перпендикулярную прямую, проходящую через заданную точку, к указанной прямой
— параллельную прямую, проходящую через заданную точку, к указанной прямой
— срединный перпендикуляр по двум точкам или к отрезку
— биссектрису угла по трем точкам или двум прямым
— касательную к окружности, конике или функции через точку
— поляру или диаметр по точке или прямой, и конике.

Инструмент Аппроксимация позволяет построить линейную регрессию по набору точек. Пример:
FitLine[{(-2, 1), (1, 2), (2, 4), (4, 3), (5, 4)}]
результатом будет прямая y=0.4x+2
Синонимы ЛинейнаяАппроксимацияПоX, ЛинейнаяАппроксимацияПоY

Инструмент Локус.

Многоугольник


Набор инструментов позволяет построить:
— многоугольник по заданным вершинам
— правильный многоугольник по вершине, стороне и числу сторон
— жесткий многоугольник — можно указать последовательно вершины, а можно кликнуть по существующему многоугольнику, чтобы сделать с него копию.
— векторный многоугольник.

Команды: Многоугольник

Окружность, сектор, дуга


Набор инструментов для построения окружностей, заданных разными способами, дуг, секторов.
Команды: Окружность, Полуокружность, СекторКруга, ОписаннаяДуга

Эллипс, парабола, коника


Набор инструментов для построения эллипса, гиперболы, параболы, коники по пяти точкам

Команды: Эллипс, Гипербола, Парабола, Коника

Угол, наклон прямой, периметр, площадь

— Построение угла по трем точкам или двум прямым (указывать в порядке против часовой стрелки), угла заданной величины.
— Расстояние между двумя точками, длина отрезка, периметр многоугольника, длина окружности или замкнутой кривой.
— Площадь многоугольника, окружности или коники.
— Наклон прямой (угловой коэффициент)
— Создать список — щелкнуть по элементам, затем снова щелкнуть по иконке инструмента

Отношение объектов
Инструмент позволяет выбрать два объекта и получить сообщение о равенстве некоторых величин этих объектов.
* две прямые перпендикулярны?
* две прямые параллельны?
* два объекта равны?
* прямая является касательной или секущей к конике?
* точка лежит на прямой или конике?

Исследователь функции


Выбрать функцию, указать интервал, будет сформирована таблица с данными — точки экстремума, интеграл, площадь, корни, длина.

Команды: Угол, Повернуть, Расстояние, Периметр, Периферия, Наклон. Список обозначается фигурными скобками

Отражение, поворот, гомотетия


Отражение относительно прямой: выбрать исходный объект и прямую (отрезок)
Отражение относительно точки: выбрать исходный объект и точку

Отражение относительно окружности:

Поворот вокруг точки: указать объект, центр вращения и угол поворота.
Параллельный перенос по вектору: указать исходный объект и вектор переноса.

Гомотетия относительно точки: указать проектируемый объект, центр и коэффициент гомотетии.

Команды: Отразить, Повернуть, Перенести, Гомотетия

Ползунок, текст и другие элементы


Ползунок (слайдер) можно создать как с клавиатуры в панели объектов: ввести, например, a=2 и затем выбрать «Показывать объект», так и с помощью инструмента Ползунок. Вы можете изменять значение ползунка, передвигая его мышью или нажимая клавиши со стрелками.

Пример. Ввести команды:
A=(1,1)
r=3
окружность(A,r)

Будет создана точка A, ползунок r и окружность с центром в точке A и радиусом r, который можно менять вручную или включить анимацию.

Ползунок скрыт на чертеже, при желании показать его щелкните по кружку слева от объекта.
Ползунок может быть горизонтальным или вертикальным, регулируется скорость анимации, длина ползунка.

Изображение

Добавить на чертеж картинку из файла. Можно регулировать прозрачность. Можно сделать фоновым — тогда сетка просвечивает через рисунок.

Текст — создание надписи, пояснительного текста. Поддерживается latex. Надпись можно привязать к определенной точке на чертеже или к месту на листе, абсолютно или относительно — см. свойства.
Для создания динамического текста, который будет отображать изменение параметров объекта, выберите объект из списка объектов. Имя объекта в поле ввода заключается в рамку, на чертеже будет показано значение объекта (например, для отрезка будет показана его длина). Правый клик по рамке позволяет переключаться между определением и значением объекта. Если перетащить объект из панели объектов на полотно, надпись будет создана автоматически.

Можно выполнять алгебраические операции или применять команды к объектам, просто вписывая команды в текст. Результат операций будет динамически показан на чертеже.
Пример. Ввести команды:

a=10
b=30
c=a+b

Объекты a и b будут преобразованы в ползунки. Перетащите последний объект на чертеж — будет создана надпись. По мере изменения параметров a и b с помощью ползунков сумма этих объектов будет автоматически отображаться на чертеже.

Команды: LaTeX, двойные кавычки

Доступны также такие элементы, как кнопка, флажок, окно ввода.

Флажок можно использовать, например, для управления видимостью других объектов. С окном ввода связан другой объект, например, отрезок, и поле ввода будет управлять длиной этого отрезка.

Масштаб, перемещение полотна, скрытие объекта

Копировать стиль — выбрать объект-источник стиля и объект, к которому следует применить стиль.

Ссылки по теме

* Графический калькулятор Geogebra
* Форум GeoGebra
* Список всех команд GeoGebra

графики онлайн | Give me an art!

Построение графика функции онлайн .

Построение графика функции онлайн . Обязательно писать все знаки умножения. Десятичные дроби нужно разделять точкой. Список функций и констант смотрите ниже. Режим : Обычный y(x) Параметрический Полярные координаты.  … В этом режиме можно строить графики функций, заданных уравнением. Параметрический. Этот режим предназначен для построения графиков кривых, заданных параметрически, то есть в виде. Полярные координаты. Здесь можно построить график кривой, заданной в полярной системе координат, то есть уравнением где — радиальная координата, а — полярная координата.

При необходимости вы можете построить одновременно графики двух функций онлайн .

При необходимости вы можете построить одновременно графики двух функций онлайн . Для этого нажмите кнопку «Добавить функцию». В случае построения двух графиков функции будут показаны их точки пересечения. Таблица обозначений для задания функций. Математическая операция. Символ. Пример использования.

Выборка интернет калькуляторов для совершенного изучения функции и возведение графика . Отыскать Район определения функции Определить Четность функции Периодичность функции Вычисление точек скрещения графика с осью (нули функции) Промежутки знакопостоянства Асимптоты функции Отыскать экстремумы функции Точки перегиба, интервалы неровности и вогнутости Выстроить график функции. even – четная функция; odd – нечетная функция; neither even nor odd – функция совместного вида; Для нахождения интервалов на коих функция положительна пользуйтесь сигнал «>» для интервалов на коих функция отрицател… Утаить

Построить график онлайн . Как нарисовать график функции или сделать диаграмму нужного вида? Визуализируйте данные с программой для построения графиков Canva. Вам нужно сравнить числа, отразить изменения за определенный промежуток времени, показать соотношение двух и более наборов данных или проиллюстрировать структуру организации? Самый удобный способ представить эту информацию — это нарисовать график . Не нужно нанимать графического дизайнера — в Canva можно бесплатно создавать свои собственные графики , которые будут выглядеть профессионально.

Построение графика функции онлайн , а также исследование функции: нахождение точек пересечения с осями координат; экстремумы функции: интервалы возрастания и убывания; точки перегиба: отрезки выпуклости и вогнутости; асимптоты вертикальные и горизонтальные, наклонные, четность и нечетность.

Построение графика функции онлайн , а также исследование функции: нахождение точек пересечения с осями координат; экстремумы функции: интервалы возрастания и убывания; точки перегиба: отрезки выпуклости и вогнутости; асимптоты вертикальные и горизонтальные, наклонные, четность и нечетность.  … Построим (исследуем) график функции y=f(x), для этого задайте функцию f(x). Важно : a должно быть меньше b, иначе график не сможет построиться. Cледите за масштабом — если графика на рисунке нету, значит стоит поварьировать значения a и b. Примеры. Построить график функции онлайн . Построение графиков онлайн с помощью нашего сервиса является простой задачей. Возможность построения одновременно сразу нескольких функций, помеченных разными цветами. Укажите пределы переменной и функции — и наш сервис быстро нарисует ваш график . Построение графиков онлайн .  … С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций.

Создавайте диаграммы и графики онлайн . Огромный выбор из различных типов графиков: линейные и столбчатые диаграммы , круговые диаграммы , точечные графики .  … Диаграммы — великолепное изобретение для визуализации информации . На сайте OnlineCharts.ru Вы сможете создавать и публиковать Ваши собственные онлайн диаграммы абсолютно бесплатно. Наша система поддерживает множество типов диаграмм , включая такие, как: столбчатые диаграммы , круговые диаграммы , линейные диаграммы , пузырьковые диаграммы и радиальные диаграммы . Создайте Вашу диаграмму ».

Функции и графики . Изучение свойств функций и их графиков занимает значительное место как в школьной математике, так и в последующих курсах. Причем не только в курсах математического и функционального анализа, и даже не только в других разделах высшей математики, но и в большинстве узко профессиональных предметов.  … Общий случай линейной зависимости: коэффициенты k и b — любые действительные числа. Здесь k = 0.5, b = -1. Подробнее.

Сервис построения графиков функций онлайн с автоматическим выбором значений по оси У, с возможностью сохранения графика , печатью, расшаривания в социальных сетях и пр.  … Сервис онлайн построения графиков. Этот сервис создан в помощь школьникам и студентам в изучении математики (алгебры и геометрии) и физики и предназначен для онлайн построения графиков функций (обычных и параметрических) и графиков по точкам (графиков по значениям), а также графиков функций в полярной системе координат. Просто введите формулу функции в поле » Графики :» и нажмите кнопку «Построить». Почитайте в cправкe, как правильно вводить формулы функций.

Рекомендуем следующие статьи:

  • функции графиков

    графики функций и их формулы, виды графиков функций , четверти графика , алгебра функции их…

  • построитель графиков

    Калькуляторы для построения графиков функций онлайн сокращают выполнение домашней работы по алгебре в 10 раз.…

  • графики перемещения

    Задание по теме Перемещение графика функции. Поручение по теме Движение графика функции. Исследования , поручения…

Вычисление площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой

Когда мы выясняли геометрический смысл определенного интеграла, у нас получилась формула, с помощью которой можно найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми x=a, x=b, а также непрерывной (неотрицательной или неположительной) функцией y=f(x). Иногда удобнее задавать функцию, ограничивающую фигуру, в параметрическом виде, т.е. выражать функциональную зависимость через параметр t. В рамках данного материала мы покажем, как можно найти площадь фигуры, если она ограничена параметрически заданной кривой.

После объяснения теории и выведения формулы мы разберем несколько характерных примеров на нахождение площади таких фигур.

Основная формула для вычисления

Допустим, что у нас имеется криволинейная трапеция, границами которой являются прямые x=a, x=b, ось Ox и параметрически заданная кривая x=φ(t)y=ψ(t), а функции x=φ(t) и y=ψ(t) являются непрерывными на интервале α; β, α<β, x=φ(t) будет непрерывно возрастать на нем и φ(α)=a, φ(β)=b.

Определение 1

Чтобы вычислить площадь трапеции при таких условиях, нужно использовать формулу S(G)=∫αβψ(t)·φ'(t)dt.

Мы вывели ее из формулы площади криволинейной трапеции S(G)=∫abf(x)dx методом подстановки x=φ(t)y=ψ(t):

S(G)=∫abf(x)dx=∫αβψ(t)d(φ(t))=∫αβψ(t)·φ'(t)dt

Определение 2

Учитывая монотонное убывание функции x=φ(t) на интервале β; α, β<α, нужная формула принимает вид S(G)=-∫βαψ(t)·φ'(t)dt.

Если функция x=φ(t) не относится к основным элементарным, то нам понадобится вспомнить основные правила возрастания и убывания функции на интервале, чтобы определить, будет ли она возрастающей или убывающей.

Решение задач на вычисление площади фигуры, которая ограничена параметрически заданной кривой

В этом пункте мы разберем несколько задач на применение формулы, выведенной выше.

Пример 1

Условие: найдите площадь фигуры, которую образует линия, заданная уравнениями вида x=2cos ty=3sin t.

Решение

У нас есть параметрически заданная линия. Графически ее можно отобразить в виде эллипса с двумя полуосями 2 и 3. См на иллюстрацию:

Попробуем найти площадь 14 полученной фигуры, которая занимает первый квадрант. Область находится в интервале x∈a; b=0; 2. Далее умножим полученное значение на 4 и найдем площадь целой фигуры.

Вот ход наших вычислений:

x=φ(t)=2cos ty=ψ(t)=3sin tφα=a⇔2cos α=0⇔α=π2+πk, k∈Z,φβ=b⇔2cos β=2⇔β=2πk, k∈Z

При k, равном 0, мы получим интервал β; α=0; π2. Функция x=φ(t)=2cos t на нем будет монотонно убывать (подробнее см. статью об основных элементарных функциях и их свойствах).  Значит, можно применить формулу вычисления площади и найти определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

-∫0π23 sin t·2cos t’dt=6∫0π2sin2t dt=3∫0π2(1-cos(2t)dt==3·t-sin(2t)20π2=3·π2-sin2·π22-0-sin2·02=3π2

Значит, площадь фигуры, заданной исходной кривой, будет равна S(G)=4·3π2=6π.

Ответ: S(G)=6π

Уточним, что при решении задачи выше можно было взять не только четверть эллипса, но и его половину – верхнюю или нижнюю. Одна половина будет расположена на интервале x∈a; b=-2; 2. В этом случае у нас бы получилось:

φ(α)=a⇔2cos α=-2⇔α=π+πk, k∈Z,φ(β)=b⇔2cos β=2⇔β=2πk, k∈Z

Таким образом, при k равном 0, мы получили β; α=0; π. Функция x=φ(t)=2cos t на этом интервале будет монотонно убывать.

После этого вычисляем площадь половины эллипса:

-∫0π3sin t·2cos t’dt=6∫0πsin2t dt=3∫0π(1-cos(2t)dt==3·t-sin(2t)20π=3·π-sin2·π2-0-sin2·02=3π

Важно отметить, что можно взять только верхнюю или нижнюю часть, а правую или левую нельзя.

Можно составить параметрическое уравнение данного эллипса, центр которого будет расположен в начале координат. Оно будет иметь вид x=a·cos ty=b·sin t. Действуя так же, как и в примере выше, получим формулу для вычисления площади эллипса Sэлипса=πab.

Задать окружность, центр которой расположен в начале координат, можно с помощью уравнения x=R·cos ty=R·sin t, где t является параметром, а R – радиусом данной окружности. Если мы сразу воспользуемся формулой площади эллипса, то то у нас получится формула, с помощью которой можно вычислить площадь круга с радиусом R: Sкруга=πR2.

Разберем еще одну задачу.

Слишком сложно?

Не парься, мы поможем разобраться и подарим скидку 10% на любую работу

Опиши задание Пример 2

Условие: найдите, чему будет равна площадь фигуры, которая ограничена параметрически заданной кривой x=3cos3ty=2sin3t.

Решение

Сразу уточним, что данная кривая имеет вид вытянутой астроиды. Обычно астроида выражается с помощью уравнения вида x=a·cos3ty=a·sin3t.

Теперь разберем подробно, как построить такую кривую. Выполним построение по отдельным точкам. Это самый распространенный метод, который применим для большинства задач. Более сложные примеры требуют проведения дифференциального исчисления, чтобы выявить параметрически заданную функцию.

У нас x=φ(t)=3cos3t, y=ψ(t)=2sin3t.

Данные функции являются определенными для всех действительных значений t. Для sin и cos известно, что они являются периодическими и их период составляет 2 пи. Вычислив значения функций x=φ(t)=3cos3t, y=ψ(t)=2sin3t для некоторых t=t0∈0; 2π π8, π4, 3π8, π2,…, 15π8, получим точки x0; y0=(φ(t0); ψ(t0)).

Составим таблицу итоговых значений:

t00π8π43π8π25π83π47π8π
x0=φ(t0)32.361.060.160-0. 16-1.06-2.36-3
y0=ψ(t0)00.110.701.5721.570.700.110

 

t09π85π411π83π213π87π415π82π
x0=φ(t0)-2.36-1.06-0.1600.161.062.363
y0=ψ(t0)-0.11-0.70-1.57-2-1.57-0.70-0.110

После этого отметим нужные точки на плоскости и соединим их одной линией.

Теперь нам надо найти площадь той части фигуры, что находится в первой координатной четверти. Для нее x∈a; b=0; 3:

φ(α)=a⇔3cos3t=0 ⇔α=π2+πk, k∈Z,φ(β)=b⇔3cos3t=3⇔β=2πk, k∈Z

Если k равен 0, то у нас получится интервал β; α=0; π2, и функция x=φ(t)=3cos3t на нем будет монотонно убывать. Теперь берем формулу площади и считаем:

-∫0π22sin3t·3cos3t’dt=18∫0π2sin4t·cos2tdt==18∫0π2sin4t·(1-sin2t)dt=18∫0π2sin4tdt-∫0π2sin6tdt

У нас получились определенные интегралы, которые можно вычислить с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Первообразные для этой формулы можно найти, используя рекуррентную формулу Jn(x)=-cos x·sinn-1(x)n+n-1nJn-2(x), где Jn(x)=∫sinnxdx.

∫sin4tdt=-cos t·sin3t4+34∫sin2tdt==-cos t·sin3t4+34-cos t·sin t2+12∫sin0tdt==-cos t·sin3t4-3cos t·sin t8+38t+C⇒∫0π2sin4tdt=-cos t·sin3t4-3cos t·sin t8+38t0π2=3π16∫sin6tdt=-cos t·sin5t6+56∫sin4tdt⇒∫0π2sin6tdt=-cos t·sin5t60π2+56∫0π2sin4tdt=56·3π16=15π96

Мы вычислили площадь четверти фигуры. Она равна 18∫0π2sin4tdt-∫0π2sin6tdt=183π16-15π96=9π16.

Если мы умножим это значение на 4, получим площадь всей фигуры – 9π4.

Точно таким же образом мы можем доказать, что площадь астроиды, заданной уравнениями x=a·cos3ty=a·sin3t, можно найти по формуле Sастроиды=3πa28, а площадь фигуры, которая ограничена линией x=a·cos3ty=b·sin3t, считается по формуле S=3πab8.

Параметрические кривые

Параметрические кривые (c) Коалиция Фонда авторского права (С. А. Фуллинг) 1997

Класс 6.2 (и 4.M, 6.M и 7.M)

Задание по чтению на среду, 8 октября
  • Стюарт 9.1 и 11.7
  • Просмотрите инструкцию для Лаборатория 4.M (Написание букв с использованием параметризованных кривых)
  • Эта веб-страница

Параметрическое представление кривых

Что такое параметрические уравнения и откуда они взялись? Рассмотрим несколько сценариев.
  1. Сорвиголова Боб мчался на своем мотоцикле по пустыне все быстрее и быстрее. Относительно своего жилого автофургона (и с расстояниями, измеряемыми в милях) его положение в качестве функция времени была дана

    x = 2 cos (1 + t 2 ) (восток-запад),

    y = 2 sin (1 + t 2 ) (север-юг).

    Он стартовал в полдень ( t = 0 ). При t = sqrt (2 * Pi — 1) он оказался в исходной точке и нажал на тормоза.Мы видим, что путь Боба удовлетворяет

    x 2 + y 2 = 4 ,

    и, следовательно, это круг с радиусом 2 мили (окружность 4 * Пи миль).

  2. В ознаменование подвига Боба служба парков построила асфальтированную дорогу вдоль его маршрут. Когда выбоины необходимо заделать, передовая бригада фиксирует их местоположение, отмечая их расстояние по дороге от начальной точки. Точка на расстоянии с находится на

    = .

    Область определения этой вектор-функции — интервал с от 0 до 4 * Pi. (Те же уравнения использовались геодезистами при строительстве дороги в первое место.)

  3. Сестра Боба, Сара, осталась дома, изучая математический анализ. В одной задаче она встретила круг с уравнением

    x 2 + y 2 = 4 .

    Она увидела, что невозможно решить для и как функция x , потому что при выборе знака квадратного корня она потеряет половину круга. По той же причине круг не может быть представлен размером x как одиночный функция и . Сара поняла, что хороший способ представить круг — это рассматривать x . и y одинаково, записывая каждый из них как функцию угла, и , по кругу.

    x = 2 cos (u) , у = 2 грех (и) .

Здесь следует отметить несколько концептуальных моментов.

  1. В третьем сценарии мы начали с кривой (геометрический объект) и нашел его параметрическое представление.В первом рассказе мы начали с параметризации, возникшей как описание движения и вывод кривой (или «орбиты») из него. (Второй сценарий можно рассматривать как угодно, в зависимости от того, являетесь ли вы строительство дороги или ее ремонт.)
  2. Для данной кривой параметрическое представление не является уникальным. Мы видели три разные пары параметрических уравнений, которые все описывают тот же круг. Вторая и третья параметризации кажутся более простыми и естественными, но первый был подходящим для конкретной физической проблемы. (Параметр расстояния с называется длиной дуги и является геометрически естественный способ параметризации произвольной кривой, для которой «угол» не имеет значения.)
  3. В первом сценарии параметр имел физическое значение время , переменная такая же «реальная», как координаты x и y . самих себя. В остальных случаях параметр вводился более произвольно, в основном как инструмент для описания кривой. Наша интуиция движения настолько сильна, что мы часто используем язык точка «движется» по кривой даже в более абстрактных ситуациях, когда кривая не имеет механической интерпретации (точно так же, как мы говорим о скалярном оценочная функция «меняется», даже если независимая переменная не является временем).
  4. Во втором рассказе мы записали параметризацию как векторную функция параметра, а в двух других случаях мы написали два отдельных скалярные уравнения. Свобода выбора любой из этих точек зрения ценно, как мы увидим ниже при обсуждении скорости.

Легко записать простые параметрические уравнения, такие как

x = t 2 , y = t 5 ,

, которые описывают кривые, которые не слишком знакомы.И наоборот, есть знакомые кривые, такие как гиперболы, для которых параметризация может быть не сразу очевидна. Вы увидите множество примеров параметризованных кривых в домашнем задании. и в Лаборатории 6.M (Полет бейсбольного мяча). Однако наш основной интерес находится в (а) параметризованных кривых в абстрактном, как общий двумерный движения в физике; и (б) простейшие случаи, прямые и круги. Мы, наверное, уже достаточно сказали о кругах.

Линия имеет параметрические уравнения

x = x 0 + v x т, y = y 0 + v y t,

, где x 0 , y 0 , v x , и v y — константы.Если t изменяется через все действительные числа, кривая изображения — это вся линия; меньшие интервалы на т сегменты линии доходности. Приятной особенностью параметрического представления является то, что вертикальные линии не нужно рассматривать как отдельный случай: это как раз те, для которых v x = 0 . Два параметрических уравнения могут быть объединены в векторные параметрические уравнение

r = r 0 + v t .

При таком выборе обозначений должно быть ясно, что эта формула описывает движение свободной частицы с начальным положением r 0 = 0, y 0 > и скорость v = x, v y > .

Касательные векторы; векторная скорость и ускорение

В предыдущем примере вектор скорости v , точки вдоль линии. (В раздаточный материал лаборатории он был построен путем вычитания координат одной точки на прямой из другого.) Следует также отметить, что его компоненты могут быть получены дифференцированием параметрические уравнения:

v x = dx / dt, v y = dy / dt.

Эти производные оказываются постоянными (одинаковыми для всех т ) в этом частном случае.

Производные более общей системы параметрических уравнений имеют аналогичный значение. Для примера

x = t 2 , у = т 5 ,

находим

dx / dt = 2t, dy / dt = 5т 4 .

Мы можем сложить их вместе в вектор

v (t) = d r / dt = 4> .

Построим кривую и прикрепим вектор v (0.8) в точке r (0,8).

[Вставить чертеж.] (временный экран с обоими рисунками)

Мы видим, что вектор касается касательной к кривой (и указывает на направление увеличения параметра). Это в целом верно, потому что это можно показать (см. стр.554 (Раздел 9.2) Стюарта) что наклон вектора v (t) совпадает с наклоном кривой в точке r (т) :

(dy / dt) / (dx / dt) = dy / dx.

(Этот факт станет легче понять после того, как мы изучим «цепное правило» на следующей неделе.)

Боковое замечание: Если dx / dt = 0 и dy / dt не равно нулю, тогда касательная линия и касательный вектор вертикальны, а наклон кривая в этой точке не определена (бесконечна).Если обе производные равны нулю (как при t = 0 на кривой нашего примера), касательный вектор не имеет четко определенного направления; физически это означает, что движущаяся точка «замедлилась» до остановка на время т . Затем следует выбрать лучшую параметризацию. (см. ниже), чтобы получить более полезный касательный вектор.

Касательный вектор v (t) = d r / dt также называется производная вектор-функции r (t) .Вместо того, чтобы собирать его из производных скалярной координаты функции x (t) и y (t) , его можно определить непосредственно как предел разностного отношения (см. Стюарт, стр. 727).

Касательный вектор кривой в точке не уникален; это зависит от параметризации. Касательный вектор Сары к окружности в точке под углом и , рассчитывается на основе ее параметризации

r = ,

это

v = .

Параметризация ее брата

r = 2), 2 sin (1 + t 2 )> .

Используя Maple, или загляните в литературу на следующей неделе, чтобы изучить цепочку правило, мы видим, что его касательный вектор

v = 2), 4t cos (1 + t 2 ))> .

Даже после того, как Сара подставила в нее u = 1 + t 2 формула (чтобы она и Боб одинаково обозначали точки), их формулы различны.Два касательных вектора указывают в одном направлении, но имеют разные длины. Параметризация длины дуги дорожной бригады дает тангенс единицы вектор, длина 1; этот выбор предпочтительнее для некоторых целей.

[Вставить чертеж] (временный экран с обоими рисунками)

С другой стороны, касательный вектор Боба — это скорость его физическое движение. (В более общем смысле, если параметризация кривой не произвольна, а имеет какое-то собственное значение, то то же самое верно и для соответствующих касательный вектор.) Поскольку вектор скорости сам является функцией t , можно снова дифференцировать его, чтобы получить вектор ускорения , компонентами которого являются (скалярные) ускорения в x и у направления.

Фактически, с точки зрения Сорвиголовы Боба, вектор ускорения — это самое важное, так как это то, что он контролирует с помощью педали акселератора (и руль). В механике нам обычно дают ускорение и нужно найти скорость и положение (второй закон Ньютона).В векторной ситуации это означает, что мы начинаем с векторнозначного функция a (t) и в итоге получается параметрическая кривая описывающий движение. [пример]

Подробнее о параметрических уравнениях

Параметрические уравнения обеспечивают полезный способ просмотра двух графиков одновременно. Предположим, что у одного есть две функции: f (t) и g (t) . Затем обычным способом их построения было бы использование двух графиков, f (t) vs. т и г (т) против т . Но параметрическое построение позволяет исключить t , чтобы показать количества представлены f и g построены в одной системе координат.

Например, популяция F лисиц в районе может меняться в зависимости от года примерно как F = 50 + 20 sin (t) , и население H зайцев в районе может варьироваться как H = 500 + 300 cos (t) .Затем, построив они функционируют как одна параметрическая кривая в плоскости F-H (кстати, это эллипс с центром в точке (F, H) = (50,500) ) дает дополнительный способ визуализации взаимодействия лисиц и зайцев. Это может предполагать причинно-следственную связь между ними, например, что больше лис вызывают сокращение популяции зайцев, в то время как меньшее количество зайцев вызывает сокращение в популяции лисиц.

Пример 4 в раздаточный материал лаборатории построил прямоугольник как четыре параметризованных отрезка линии, каждый с область параметров $ 0 [вставить уравнения] (временный экран с обоими наборами уравнений)

Этот способ действия вполне адекватен и стандартен для компьютерной графики. Приложения.Однако иногда может быть важно учитывать весь прямоугольник как единая параметризованная кривая. Эта ситуация возникнет автоматически, если прямоугольник является путем движущееся тело. (Начинается с угла с координатами (1,1), перемещается по первому сегменту в (3 / 2,1), затем по четвертому отрезку до (3 / 2,3 / 2), затем по третьему отрезку в обратном направлении до (1,1 / 2), затем по второму отрезку в обратном направлении к (1,1).) В этом случае параметрический уравнения включают две кусочно-определенные функции вместо восьми простых функции. Мы можем легко построить новые параметрические уравнения из старых одни, вспомнив «смещение и масштабирование» в первые две недели этого курс. Прежде всего обратите внимание, что для движения в обратном направлении по сегменту параметризовано на 0, нам просто нужно заменить т на 1 — t в формулах. Сдвиг каждого интервала длиной 1/4, чтобы он начинался с t = 0 а затем масштабируя его на 4, чтобы получить длину 1, мы получаем следующие формулы:

[вставить уравнения] (временный экран с обоими наборами уравнений)

Конечно, эти выражения можно упростить, но мы оставили их в форма, которая проясняет, как они возникли из исходных параметризаций из четырех отрезков.

Параметрические уравнения: графики | Precalculus II

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Графические плоские кривые, описываемые параметрическими уравнениями путем нанесения точек.
  • Графические параметрические уравнения. \ circ [/ latex] к горизонтали.Как далеко полетит мяч? Сможет ли он очистить забор для выигрышного хоумрана? Результат может частично зависеть от других факторов (например, ветра), но математики могут смоделировать траекторию снаряда и приблизительно предсказать, как далеко он пройдет, используя параметрические уравнения . В этом разделе мы обсудим параметрические уравнения и некоторые общие приложения, такие как задачи о движении снаряда.

    Рис. 1. Параметрические уравнения могут моделировать траекторию полета снаряда.(Источник: Пол Крехер, Flickr)

    Построение параметрических уравнений по точкам

    Вместо графического калькулятора или компьютерной программы построения графиков стандартным методом является нанесение точек для представления графика уравнения. Пока мы осторожны при вычислении значений, точечное построение очень надежно.

    Практическое руководство. Имея пару параметрических уравнений, нарисуйте график с помощью точек.

    1. Создайте таблицу с тремя столбцами: [latex] t, x \ left (t \ right), \ text {и} y \ left (t \ right) [/ latex].{2} +1 [/ латекс] [латекс] y \ left (t \ right) = 2 + t [/ латекс] [латекс] -5 [/ латекс] [латекс] 26 [/ латекс] [латекс] -3 [/ латекс] [латекс] -4 [/ латекс] [латекс] 17 [/ латекс] [латекс] -2 [/ латекс] [латекс] -3 [/ латекс] [латекс] 10 [/ латекс] [латекс] -1 [/ латекс] [латекс] -2 [/ латекс] [латекс] 5 [/ латекс] [латекс] 0 [/ латекс] [латекс] -1 [/ латекс] [латекс] 2 [/ латекс] [латекс] 1 [/ латекс] [латекс] 0 [/ латекс] [латекс] 1 [/ латекс] [латекс] 2 [/ латекс] [латекс] 1 [/ латекс] [латекс] 2 [/ латекс] [латекс] 3 [/ латекс] [латекс] 2 [/ латекс] [латекс] 5 [/ латекс] [латекс] 4 [/ латекс] [латекс] 3 [/ латекс] [латекс] 10 [/ латекс] [латекс] 5 [/ латекс] [латекс] 4 [/ латекс] [латекс] 17 [/ латекс] [латекс] 6 [/ латекс] [латекс] 5 [/ латекс] [латекс] 26 [/ латекс] [латекс] 7 [/ латекс]

      График представляет собой параболу с вершиной в точке [latex] \ left (1,2 \ right) [/ latex], открывающуюся вправо. См. Рисунок 2.

      Рисунок 2

      Анализ решения

      По мере того, как значения [latex] t [/ latex] изменяются в положительном направлении от 0 до 5, нанесенные на график точки очерчивают верхнюю половину параболы. Когда значения [latex] t [/ latex] становятся отрицательными, они отслеживают нижнюю половину параболы. Ограничений по домену нет. Стрелки указывают направление согласно возрастающим значениям [латекс] t [/ латекс]. График не представляет функцию, так как он не пройдет проверку вертикальной линии.График состоит из двух частей: положительные значения для [latex] t [/ latex] и отрицательные значения для [latex] t [/ latex].

      Попробуй 1

      Нарисуйте график параметрических уравнений [латекс] x = \ sqrt {t}, y = 2t + 3,0 \ le t \ le 3 [/ latex].

      Решение

      Пример 2: Построение графика тригонометрических параметрических уравнений

      Постройте таблицу значений для заданных параметрических уравнений и нарисуйте график:

      [латекс] \ begin {массив} {l} \\ \ begin {array} {l} x = 2 \ cos t \ hfill \\ y = 4 \ sin t \ hfill \ end {array} \ end {array} [/ латекс]

      Решение

      Создайте таблицу, подобную приведенной ниже, используя угловую меру в радианах в качестве входных данных для [latex] t [/ latex] и оценивая [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex]. Использование углов с известными значениями синуса и косинуса для [latex] t [/ latex] упрощает вычисления.

      [латекс] t [/ латекс] [латекс] x = 2 \ cos t [/ латекс] [латекс] y = 4 \ sin t [/ латекс]
      0 [латекс] x = 2 \ cos \ left (0 \ right) = 2 [/ latex] [латекс] y = 4 \ sin \ left (0 \ right) = 0 [/ латекс]
      [латекс] \ frac {\ pi} {6} [/ латекс] [латекс] x = 2 \ cos \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ sqrt {3} [/ latex] [латекс] y = 4 \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = 2 [/ latex]
      [латекс] \ frac {\ pi} {3} [/ латекс] [латекс] x = 2 \ cos \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) = 1 [/ latex] [латекс] y = 4 \ sin \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) = 2 \ sqrt {3} [/ latex]
      [латекс] \ frac {\ pi} {2} [/ латекс] [латекс] x = 2 \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) = 0 [/ latex] [латекс] y = 4 \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) = 4 [/ latex]
      [латекс] \ frac {2 \ pi} {3} [/ латекс] [латекс] x = 2 \ cos \ left (\ frac {2 \ pi} {3} \ right) = — 1 [/ latex] [латекс] y = 4 \ sin \ left (\ frac {2 \ pi} {3} \ right) = 2 \ sqrt {3} [/ latex]
      [латекс] \ frac {5 \ pi} {6} [/ латекс] [латекс] x = 2 \ cos \ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right) = — \ sqrt {3} [/ latex] [латекс] y = 4 \ sin \ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right) = 2 [/ latex]
      [латекс] \ pi [/ латекс] [латекс] x = 2 \ cos \ left (\ pi \ right) = — 2 [/ латекс] [латекс] y = 4 \ sin \ left (\ pi \ right) = 0 [/ латекс]
      [латекс] \ frac {7 \ pi} {6} [/ латекс] [латекс] x = 2 \ cos \ left (\ frac {7 \ pi} {6} \ right) = — \ sqrt {3} [/ latex] [латекс] y = 4 \ sin \ left (\ frac {7 \ pi} {6} \ right) = — 2 [/ latex]
      [латекс] \ frac {4 \ pi} {3} [/ латекс] [латекс] x = 2 \ cos \ left (\ frac {4 \ pi} {3} \ right) = — 1 [/ latex] [латекс] y = 4 \ sin \ left (\ frac {4 \ pi} {3} \ right) = — 2 \ sqrt {3} [/ latex]
      [латекс] \ frac {3 \ pi} {2} [/ латекс] [латекс] x = 2 \ cos \ left (\ frac {3 \ pi} {2} \ right) = 0 [/ latex] [латекс] y = 4 \ sin \ left (\ frac {3 \ pi} {2} \ right) = — 4 [/ latex]
      [латекс] \ frac {5 \ pi} {3} [/ латекс] [латекс] x = 2 \ cos \ left (\ frac {5 \ pi} {3} \ right) = 1 [/ latex] [латекс] y = 4 \ sin \ left (\ frac {5 \ pi} {3} \ right) = — 2 \ sqrt {3} [/ latex]
      [латекс] \ frac {11 \ pi} {6} [/ латекс] [латекс] x = 2 \ cos \ left (\ frac {11 \ pi} {6} \ right) = \ sqrt {3} [/ latex] [латекс] y = 4 \ sin \ left (\ frac {11 \ pi} {6} \ right) = — 2 [/ latex]
      [латекс] 2 \ pi [/ латекс] [латекс] x = 2 \ cos \ left (2 \ pi \ right) = 2 [/ latex] [латекс] y = 4 \ sin \ left (2 \ pi \ right) = 0 [/ латекс]

      На рисунке 3 показан график.

      Рисунок 3

      По симметрии, показанной в значениях [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex], мы видим, что параметрические уравнения представляют собой эллипс . Эллипс отображается в направлении против часовой стрелки, как показано стрелками, указывающими увеличение значений [латекс] t [/ латекс].

      Анализ решения

      Мы видели, что параметрические уравнения могут быть построены на графике с помощью точек. Однако графический калькулятор сэкономит время и выявит нюансы на графике, которые могут быть слишком утомительными, чтобы обнаружить их, используя только ручные вычисления.

      Обязательно измените режим на калькуляторе на параметрический (PAR). Для подтверждения в окне [latex] Y = [/ latex] должно отображаться

      [латекс] \ begin {array} {c} {X} _ {1T} = \\ {Y} _ {1T} = \ end {array} [/ latex]

      вместо [латекс] {Y} _ {1} = [/ latex].

      Попробуй 2

      Изобразите параметрические уравнения: [латекс] x = 5 \ cos t, y = 3 \ sin t [/ latex].

      Решение

      Пример 3: Графическое отображение параметрических уравнений и прямоугольной формы вместе

      Изобразите параметрические уравнения [латекс] x = 5 \ cos t [/ latex] и [latex] y = 2 \ sin t [/ latex].Сначала постройте график, используя точки данных, сгенерированные из параметрической формы . Затем изобразите прямоугольную форму уравнения. Сравните два графика.

      Решение

      Создайте таблицу значений, как в таблице ниже.

      9), (-1, x=5cos(-1) =approx 2.7, y=2sin(-1) =approx -1.7), (-2, x=5cos(-2) =approx -2.1, y=2sin(-2) =approx -1.8), (-3, x=5cos(-3) =approx -4.95, y=2sin(-3) =approx -0.28), (-4, x=5cos(-4) =approx -3.3, y=2sin(-4) =approx 1.5), (-5, x=5cos(-5) =approx 1.4, y=2sin(-5) =approx 1.9).»>
      [латекс] t [/ латекс] [латекс] x = 5 \ cos t [/ латекс] [латекс] y = 2 \ sin t [/ латекс]
      [латекс] \ text {0} [/ latex] [латекс] x = 5 \ cos \ left (0 \ right) = 5 [/ латекс] [латекс] y = 2 \ sin \ left (0 \ right) = 0 [/ latex]
      [латекс] \ text {1} [/ latex] [латекс] x = 5 \ cos \ left (1 \ right) \ приблизительно 2.7 [/ латекс] [латекс] y = 2 \ sin \ left (1 \ right) \ приблизительно 1,7 [/ латекс]
      [латекс] \ text {2} [/ латекс] [латекс] x = 5 \ cos \ left (2 \ right) \ приблизительно -2,1 [/ латекс] [латекс] y = 2 \ sin \ left (2 \ right) \ приблизительно 1,8 [/ латекс]
      [латекс] \ text {3} [/ latex] [латекс] x = 5 \ cos \ left (3 \ right) \ приблизительно -4,95 [/ латекс] [латекс] y = 2 \ sin \ left (3 \ right) \ приблизительно 0,28 [/ латекс]
      [латекс] \ text {4} [/ latex] [латекс] х = 5 \ соз \ влево (4 \ вправо) \ приблизительно -3. 3 [/ латекс] [латекс] y = 2 \ sin \ left (4 \ right) \ приблизительно -1,5 [/ латекс]
      [латекс] \ text {5} [/ latex] [латекс] x = 5 \ cos \ left (5 \ right) \ приблизительно 1,4 [/ латекс] [латекс] y = 2 \ sin \ left (5 \ right) \ приблизительно -1,9 [/ латекс]
      [латекс] -1 [/ латекс] [латекс] x = 5 \ cos \ left (-1 \ right) \ приблизительно 2,7 [/ латекс] [латекс] y = 2 \ sin \ left (-1 \ right) \ приблизительно -1,7 [/ латекс]
      [латекс] -2 [/ латекс] [латекс] x = 5 \ cos \ left (-2 \ right) \ приблизительно -2.1 [/ латекс] [латекс] y = 2 \ sin \ left (-2 \ right) \ приблизительно -1,8 [/ латекс]
      [латекс] -3 [/ латекс] [латекс] x = 5 \ cos \ left (-3 \ right) \ приблизительно -4,95 [/ латекс] [латекс] y = 2 \ sin \ left (-3 \ right) \ приблизительно -0,28 [/ латекс]
      [латекс] -4 [/ латекс] [латекс] x = 5 \ cos \ left (-4 \ right) \ приблизительно -3,3 [/ латекс] [латекс] y = 2 \ sin \ left (-4 \ right) \ приблизительно 1,5 [/ латекс]
      [латекс] -5 [/ латекс] [латекс] x = 5 \ cos \ left (-5 \ right) \ приблизительно 1. 4 [/ латекс] [латекс] y = 2 \ sin \ left (-5 \ right) \ приблизительно 1,9 [/ латекс]

      Постройте значения [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] из таблицы. См. Рисунок 4.

      Рисунок 4

      Затем преобразуйте параметрические уравнения в прямоугольную форму. Для этого мы решаем [латекс] t [/ латекс] либо в [латексе] x \ left (t \ right) [/ latex], либо в [latex] y \ left (t \ right) [/ latex], и затем подставьте выражение для [латекс] t [/ латекс] в другое уравнение. Результатом будет функция [latex] y \ left (x \ right) [/ latex], если вычислить [latex] t [/ latex] как функцию [latex] x [/ latex] или [latex] x \ left (y \ right) [/ latex] при решении для [latex] t [/ latex] как функции [latex] y [/ latex].{2}} {4} = 1 \ end {array} [/ latex]

      Анализ решения

      На рисунке 5 данные параметрических уравнений и прямоугольного уравнения нанесены вместе. Параметрические уравнения показаны синим цветом; график для прямоугольного уравнения нарисован поверх параметрического пунктирным красным цветом. Ясно, что обе формы дают один и тот же график.

      Рисунок 5

      Пример 4: Построение графиков параметрических и прямоугольных уравнений в системе координат

      Изобразите параметрические уравнения [латекс] x = t + 1 [/ latex] и [latex] y = \ sqrt {t}, t \ ge 0 [/ latex] и прямоугольный эквивалент [латекс] y = \ sqrt { x — 1} [/ latex] в той же системе координат.

      Решение

      Создайте таблицу значений для параметрических уравнений, как мы делали в предыдущем примере, и граф [latex] y = \ sqrt {t}, t \ ge 0 [/ latex] на той же сетке, что и на рисунке 6.

      Рисунок 6

      Анализ решения

      С ограничением домена [latex] t [/ latex], мы наносим только положительные значения [latex] t [/ latex]. Параметрические данные показаны синим цветом, а график прямоугольного уравнения — красным. И снова мы видим, что эти две формы пересекаются.

      Попробуй 3

      Нарисуйте график параметрических уравнений [латекс] x = 2 \ cos \ theta \ text {и} y = 4 \ sin \ theta [/ latex] вместе с прямоугольным уравнением на той же сетке.

      Решение

      Приложения параметрических уравнений

      Многие преимущества параметрических уравнений становятся очевидными при применении к решению реальных задач. Хотя прямоугольные уравнения в x и y дают общую картину траектории объекта, они не раскрывают положение объекта в конкретное время.Однако параметрические уравнения показывают, как значения x и y меняются в зависимости от t , как местоположения движущегося объекта в конкретный момент времени.

      Обычно параметрические уравнения используются для решения задач, связанных с движением снаряда. В этом типе движения объект продвигается вперед в направлении вверх, образуя угол [латекс] \ тета [/ латекс] к горизонтали, с начальной скоростью [латекс] {v} _ {0} [/ latex ], и на высоте [латекс] ч [/ латекс] над горизонтом.{2} [/ латекс]. Уравнение для [latex] x [/ latex] дает горизонтальное расстояние, а уравнение для [latex] y [/ latex] дает вертикальное расстояние. \ круг \ справа) \ справа) t \ hfill \ end {array} [/ latex]

      Вертикальное положение определяется с помощью параметрического уравнения для [латекс] y [/ латекс].{\ circ} \ right) \ right) t + 3 \ hfill & \ hfill \\ y = 0 \ hfill & \ text {Set} y \ left (t \ right) = 0 \ text {и решите квадратное уравнение}. \ hfill \\ t = 6.2173 \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

      Когда [latex] t = 6,2173 [/ latex] секунды, мяч упал на землю. (Квадратное уравнение можно решить различными способами, но эта задача была решена с помощью компьютерной математической программы.)

    2. Мы не можем подтвердить, что удар был хоумраном, не учитывая размер дальнего поля, который варьируется от поля к полю.Однако для простоты предположим, что внешняя стена находится в 400 футах от домашней плиты в самой глубокой части парка. Предположим также, что высота стены составляет 10 футов. Чтобы определить, касается ли мяч стены, нам нужно вычислить, насколько высок мяч, когда x = 400 футов. \ circ \ right) \ right) t \ hfill \\ \ text {} t = 4.\ circ \ right) \ right) \ left (4.04 \ right) +3 \ hfill \\ \ text {} y = 141.8 \ hfill \ end {array} \ hfill \ end {array} [/ latex]

      Мяч находится на высоте 141,8 фута, когда он взлетает за пределы поля. Это был действительно хоумран. См. Рисунок 7.

    Рисунок 7

    Ключевые концепции

    • Когда есть третья переменная, третий параметр, от которого зависят [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex], можно использовать параметрические уравнения.
    • Для построения графиков параметрических уравнений путем нанесения точек составьте таблицу с тремя столбцами, обозначенными [латекс] t, x \ left (t \ right) [/ latex] и [latex] y \ left (t \ right) [/ latex] .Выберите значения для [latex] t [/ latex] в порядке возрастания. Постройте последние два столбца для [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex].
    • При построении параметрической кривой путем нанесения точек отметьте соответствующие значения t и покажите стрелки на графике, указывающие ориентацию кривой.
    • Параметрические уравнения позволяют отображать направление или ориентацию кривой на графике. Уравнения, которые не являются функциями, можно изобразить в виде графиков и использовать во многих приложениях, связанных с движением.{2} + \ left ({v} _ {0} \ sin \ theta \ right) t + h [/ латекс]. Начальная скорость обозначается как [латекс] {v} _ {0} [/ latex]. [latex] \ theta [/ latex] представляет собой начальный угол объекта при броске, а [latex] h [/ latex] представляет высоту, на которой объект перемещается.

    Упражнения по разделам

    1. Какие два метода используются для построения графиков параметрических уравнений?

    2. В чем отличие параметрических уравнений точечной графики от декартовых уравнений?

    3.{2} -1 \ hfill \ end {case} [/ latex]

    The other two columns are left blank for completion.» data-label=»»>
    [латекс] t [/ латекс] [латекс] x [/ латекс] [латекс] y [/ латекс]
    [латекс] -3 [/ латекс]
    [латекс] -2 [/ латекс]
    [латекс] -1 [/ латекс]
    [латекс] 0 [/ латекс]
    [латекс] 1 [/ латекс]
    [латекс] 2 [/ латекс]
    [латекс] 3 [/ латекс]

    7.{2} \ hfill \ end {case} [/ латекс]

    [латекс] t [/ латекс] [латекс] -3 [/ латекс] [латекс] -2 [/ латекс] [латекс] -1 [/ латекс] [латекс] 0 [/ латекс] [латекс] 1 [/ латекс] [латекс] 2 [/ латекс]
    [латекс] x [/ латекс]
    [латекс] y [/ латекс]

    8. [латекс] \ begin {case} x \ left (t \ right) = 2 + t \ hfill \\ y \ left (t \ right) = 3 — 2t \ hfill \ end {case} [/ latex]

    [латекс] t [/ латекс] [латекс] -2 [/ латекс] [латекс] -1 [/ латекс] [латекс] 0 [/ латекс] [латекс] 1 [/ латекс] [латекс] 2 [/ латекс] [латекс] 3 [/ латекс]
    [латекс] x [/ латекс]
    [латекс] y [/ латекс]

    9.[латекс] \ begin {case} x \ left (t \ right) = — 2 — 2t \ hfill \\ y \ left (t \ right) = 3 + t \ hfill \ end {case} [/ latex]

    The first row is labeled t, the second is labeled x, and the third is labeled y. The first row contains the numbers -3, -2, -1, 0, 1. The other two columns are left blank for completion.» data-label=»»>
    [латекс] t [/ латекс] [латекс] -3 [/ латекс] [латекс] -2 [/ латекс] [латекс] -1 [/ латекс] [латекс] 0 [/ латекс] [латекс] 1 [/ латекс]
    [латекс] x [/ латекс]
    [латекс] y [/ латекс]

    10.{3} \ hfill \\ y \ left (t \ right) = t + 2 \ hfill \ end {case} [/ latex]

    [латекс] t [/ латекс] [латекс] -2 [/ латекс] [латекс] -1 [/ латекс] [латекс] 0 [/ латекс] [латекс] 1 [/ латекс] [латекс] 2 [/ латекс]
    [латекс] x [/ латекс]
    [латекс] y [/ латекс]

    11. {2} \ hfill \\ y \ left (t \ right) = t + 3 \ hfill \ end {case} [/ latex]

    [латекс] t [/ латекс] [латекс] -2 [/ латекс] [латекс] -1 [/ латекс] [латекс] 0 [/ латекс] [латекс] 1 [/ латекс] [латекс] 2 [/ латекс]
    [латекс] x [/ латекс]
    [латекс] y [/ латекс]

    Для следующих упражнений нарисуйте кривую и укажите ее ориентацию.

    12. [латекс] \ begin {case} x \ left (t \ right) = t \\ y \ left (t \ right) = \ sqrt {t} \ end {case} [/ latex]

    13. [латекс] \ begin {case} x \ left (t \ right) = — \ sqrt {t} \\ y \ left (t \ right) = t \ end {case} [/ latex]

    14. [латекс] \ begin {case} x \ left (t \ right) = 5- | t | \\ y \ left (t \ right) = t + 2 \ end {case} [/ latex]

    15. [латекс] \ begin {case} x \ left (t \ right) = — t + 2 \\ y \ left (t \ right) = 5- | t | \ end {case} [/ latex]

    16. [латекс] \ begin {case} x \ left (t \ right) = 4 \ text {sin} t \ hfill \\ y \ left (t \ right) = 2 \ cos t \ hfill \ end {case } [/ латекс]

    17.{2}}, 0

    31. [латекс] x \ left (t \ right) = — t, y \ left (t \ right) = \ sqrt {t}, t \ ge 0 [/ латекс]

    32. [латекс] x = -2 \ cos t, y = 6 \ sin t, 0 \ le t \ le \ pi [/ латекс]

    33. [латекс] x = — \ sec t, y = \ tan t, — \ frac {\ pi} {2}

    Для следующих упражнений используйте параметрические уравнения для целых чисел a и b :

    [латекс] \ begin {case} x \ left (t \ right) = a \ cos \ left (\ left (a + b \ right) t \ right) \\ y \ left (t \ right) = a \ cos \ left (\ left (ab \ right) t \ right) \ end {case} [/ latex]

    34. График в области [латекс] \ left [- \ pi, 0 \ right] [/ latex], где [latex] a = 2 [/ latex] и [latex] b = 1 [/ latex], и включает ориентацию .

    35. График в домене [latex] \ left [- \ pi, 0 \ right] [/ latex], где [latex] a = 3 [/ latex] и [latex] b = 2 [/ latex], и включить ориентацию.

    36. График в домене [latex] \ left [- \ pi, 0 \ right] [/ latex], где [latex] a = 4 [/ latex] и [latex] b = 3 [/ latex], и включить ориентацию.

    37. График в домене [latex] \ left [- \ pi, 0 \ right] [/ latex], где [latex] a = 5 [/ latex] и [latex] b = 4 [/ latex], и включить ориентацию.{2} [/ latex] и [latex] x \ left (t \ right) [/ latex] линейны

    45. Напишите параметрические уравнения круга с центром [латекс] \ влево (0,0 \ вправо) [/ латекс], радиусом 5 и ориентацией против часовой стрелки.

    46. Напишите параметрические уравнения эллипса с центром [латекс] \ влево (0,0 \ вправо) [/ латекс], большой осью длиной 10, малой осью длины 6 и ориентацией против часовой стрелки.

    Для следующих упражнений используйте графическую утилиту для построения графика в окне [latex] \ left [-3,3 \ right] [/ latex] с помощью [latex] \ left [-3,3 \ right] [/ latex] в домене [latex] \ left [0,2 \ pi \ right) [/ latex] для следующих значений [latex] a [/ latex] и [latex] b [/ latex], включая ориентацию.

    [латекс] \ begin {case} x \ left (t \ right) = \ sin \ left (at \ right) \\ y \ left (t \ right) = \ sin \ left (bt \ right) \ end { футляры} [/ латекс]

    47. [латекс] a = 1, b = 2 [/ латекс]

    48. [латекс] a = 2, b = 1 [/ латекс]

    49. [латекс] a = 3, b = 3 [/ латекс]

    50. [латекс] a = 5, b = 5 [/ латекс]

    51. [латекс] a = 2, b = 5 [/ латекс]

    52. [латекс] a = 5, b = 2 [/ латекс]

    Для следующих упражнений посмотрите на графики, которые были созданы с помощью параметрических уравнений вида [латекс] \ begin {cases} x \ left (t \ right) = a \ text {cos} \ left (bt \ right) \ hfill \\ y \ left (t \ right) = c \ text {sin} \ left (dt \ right) \ hfill \ end {case} [/ latex]. Используйте параметрический режим графического калькулятора, чтобы найти значения [latex] a, b, c [/ latex] и [latex] d [/ latex] для построения каждого графика.

    53.

    54.

    55.

    56.

    Для следующих упражнений используйте графическую утилиту для построения графиков заданных параметрических уравнений.

    1. [латекс] \ begin {case} x \ left (t \ right) = \ cos t — 1 \\ y \ left (t \ right) = \ sin t + t \ end {case} [/ latex]
    2. [латекс] \ begin {case} x \ left (t \ right) = \ cos t + t \\ y \ left (t \ right) = \ sin t — 1 \ end {case} [/ latex]
    3. [латекс] \ begin {case} x \ left (t \ right) = t- \ sin t \\ y \ left (t \ right) = \ cos t — 1 \ end {case} [/ latex]

    57.Изобразите все три набора параметрических уравнений в области [latex] \ left [0,2 \ pi \ right] [/ latex].

    58. Постройте график всех трех наборов параметрических уравнений в области [latex] \ left [0,4 \ pi \ right] [/ latex].

    59. Изобразите все три набора параметрических уравнений в области [латекс] \ left [-4 \ pi, 6 \ pi \ right] [/ latex].

    60. Кажется, что график каждого набора параметрических уравнений «скользит» по одной из осей. Что контролирует, по какой оси ползет график?

    61.{2} + 10t + 5. \ Text {} [/ latex] Напишите параметрические уравнения для положения мяча, а затем исключите время, чтобы записать высоту как функцию горизонтального положения.

    Для следующих упражнений используйте этот сценарий: Дротик бросается вверх с начальной скоростью 65 футов / с под углом возвышения 52 °. Учитывайте положение дротика в любое время [латекс] т [/ латекс]. Пренебрегайте сопротивлением воздуха.

    65. Найдите параметрические уравнения, моделирующие проблемную ситуацию.

    66. Найдите все возможные значения [latex] x [/ latex], которые представляют ситуацию.

    67. Когда дротик упадет на землю?

    68. Найдите максимальную высоту дротика.

    69. В какое время дротик достигнет максимальной высоты?

    Для следующих упражнений посмотрите на графики каждого из четырех параметрических уравнений. Хотя они выглядят необычно и красиво, они настолько распространены, что имеют названия, как указано в каждом упражнении. Используйте графическую утилиту для построения графика каждого в указанном домене.

    70. Эпициклоида: [латекс] \ begin {cases} x \ left (t \ right) = 14 \ cos t- \ cos \ left (14t \ right) \ hfill \\ y \ left (t \ right) = 14 \ sin t + \ sin \ left (14t \ right) \ hfill \ end {case} [/ latex] на домене [latex] \ left [0,2 \ pi \ right] [/ latex].

    71. Гипоциклоида: [латекс] \ begin {case} x \ left (t \ right) = 6 \ sin t + 2 \ sin \ left (6t \ right) \ hfill \\ y \ left (t \ right) = 6 \ cos t — 2 \ cos \ left (6t \ right) \ hfill \ end {case} [/ latex] в домене [latex] \ left [0,2 \ pi \ right] [/ latex].

    72. Гипотрохоид: [латекс] \ begin {cases} x \ left (t \ right) = 2 \ sin t + 5 \ cos \ left (6t \ right) \ hfill \\ y \ left (t \ right) = 5 \ cos t — 2 \ sin \ left (6t \ right) \ hfill \ end {case} [/ latex] в домене [latex] \ left [0,2 \ pi \ right] [/ latex].

    73. Роза: [латекс] \ begin {case} x \ left (t \ right) = 5 \ sin \ left (2t \ right) \ sin t \ hfill \\ y \ left (t \ right) = 5 \ sin \ left (2t \ right) \ cos t \ hfill \ end {case} [/ latex] в домене [latex] \ left [0,2 \ pi \ right] [/ latex].

    8.6 Параметрические уравнения — предварительное вычисление

    Цели обучения

    В этом разделе вы:

    • Параметризация кривой.
    • Удалите параметр.
    • Найдите прямоугольное уравнение для параметрической кривой.
    • Найдите параметрические уравнения для кривых, заданных прямоугольными уравнениями.

    Рассмотрим путь, по которому следует Луна, вращаясь вокруг планеты, которая одновременно вращается вокруг Солнца, как показано на рисунке 1.В любой момент Луна находится в определенном месте относительно планеты. Но как мы можем написать и решить уравнение для положения Луны, когда расстояние от планеты, скорость орбиты Луны вокруг планеты и скорость вращения вокруг Солнца — все это неизвестны? Мы можем решать только одну переменную за раз.

    Рис. 1

    В этом разделе мы рассмотрим системы уравнений, задаваемые как x (t) x (t) и y (t) y (t), где tt — независимая переменная времени.Мы можем использовать эти параметрические уравнения в ряде приложений, когда мы ищем не только конкретное положение, но и направление движения. Когда мы отслеживаем последовательные значения t, t, ориентация кривой становится ясной. Это одно из основных преимуществ использования параметрических уравнений: мы можем отслеживать движение объекта по пути в зависимости от времени. Мы начинаем этот раздел с рассмотрения основных компонентов параметрических уравнений и того, что означает параметризация кривой.Затем мы узнаем, как исключить параметр, преобразовать уравнения кривой, определенной параметрически, в прямоугольные уравнения и найти параметрические уравнения для кривых, определяемых прямоугольными уравнениями.

    Параметризация кривой

    Когда объект движется по кривой — или криволинейной траектории — в заданном направлении и за заданный промежуток времени, положение объекта на плоскости задается координатой x- и координатой y-. Однако и xx, и yy изменяются со временем, как и функции времени.По этой причине мы добавляем еще одну переменную, параметр, от которого и xx, и yy являются зависимыми функциями. В примере в открывателе раздела параметром является время, т.к. Положение луны xx в момент времени t, t представляется как функция x (t), x (t), а положение луны yy в момент времени t, t представлено как функция y (t ) .y (t). Вместе x (t) x (t) и y (t) y (t) называются параметрическими уравнениями и генерируют упорядоченную пару (x (t), y (t)). (X (t), y (t) )). Параметрические уравнения в первую очередь описывают движение и направление.

    Когда мы параметризуем кривую, мы переводим одно уравнение с двумя переменными, такими как xx и y, y, в эквивалентную пару уравнений с тремя переменными: x, y, x, y и t.t. Одна из причин, по которой мы параметризуем кривую, заключается в том, что параметрические уравнения дают больше информации: в частности, направление движения объекта во времени.

    При графическом отображении параметрических уравнений мы можем наблюдать индивидуальное поведение xx и y. y. Есть ряд фигур, которые нельзя представить в виде y = f (x), y = f (x), что означает, что они не являются функциями.Например, рассмотрим график круга, заданный как r2 = x2 + y2.r2 = x2 + y2. Решение относительно yy дает y = ± r2 − x2, y = ± r2 − x2 или два уравнения: y1 = r2 − x2y1 = r2 − x2 и y2 = −r2 − x2.y2 = −r2 − x2. Если мы построим график y1y1 и y2y2 вместе, график не пройдет проверку вертикальной линии, как показано на рисунке 2. Таким образом, уравнение для графика круга не является функцией.

    Рисунок 2

    Однако, если бы мы построили график для каждого уравнения отдельно, каждое из них прошло бы проверку вертикальной линии и, следовательно, представило бы функцию.В некоторых случаях концепция разбиения уравнения для круга на две функции аналогична концепции создания параметрических уравнений, поскольку мы используем две функции для создания нефункции. Это станет яснее по мере продвижения вперед.

    Параметрические уравнения

    Предположим, что tt — это число на интервале, I. I. Множество упорядоченных пар (x (t), (x (t), y (t)), y (t)), где x = f (t) x = f (t) и y = g (t), y = g (t), образует плоскую кривую на основе параметра t.t. Уравнения x = f (t) x = f (t) и y = g (t) y = g (t) являются параметрическими уравнениями.

    Пример 1

    Параметризация кривой

    Задайте параметры кривой y = x2−1y = x2−1, положив x (t) = t.x (t) = t. Изобразите оба уравнения.

    Решение

    Если x (t) = t, x (t) = t, то для нахождения y (t) y (t) мы заменяем переменную xx выражением, заданным в x (t) .x (t). Другими словами, y (t) = t2−1.y (t) = t2−1. Составьте таблицу значений, аналогичную таблице 1, и нарисуйте график.

    tt х (т) х (т) г (т) г (т)
    −4−4 −4−4 y (−4) = (- 4) 2−1 = 15y (−4) = (- 4) 2−1 = 15
    −3−3 −3−3 y (−3) = (- 3) 2−1 = 8y (−3) = (- 3) 2−1 = 8
    −2−2 −2−2 y (−2) = (- 2) 2−1 = 3y (−2) = (- 2) 2−1 = 3
    -1-1 −1−1 y (−1) = (- 1) 2−1 = 0y (−1) = (- 1) 2−1 = 0
    00 00 у (0) = (0) 2−1 = −1y (0) = (0) 2−1 = −1
    11 11 y (1) = (1) 2−1 = 0y (1) = (1) 2−1 = 0
    22 22 y (2) = (2) 2−1 = 3y (2) = (2) 2−1 = 3
    33 33 у (3) = (3) 2−1 = 8y (3) = (3) 2−1 = 8
    44 44 y (4) = (4) 2−1 = 15y (4) = (4) 2−1 = 15

    Таблица 1

    См. Графики на рисунке 3.Может быть полезно использовать функцию TRACE графического калькулятора, чтобы увидеть, как точки генерируются при увеличении tt.

    Рисунок 3 (а) Параметрический y (t) = t2−1y (t) = t2−1 (б) Прямоугольный y = x2−1y = x2−1
    Анализ

    Стрелки указывают направление, в котором создается кривая. Обратите внимание, что эта кривая идентична кривой y = x2−1.y = x2−1.

    Попробуй # 1

    Постройте таблицу значений и постройте параметрические уравнения: x (t) = t − 3, x (t) = t − 3, y (t) = 2t + 4; −1≤t≤2.у (t) = 2t + 4; −1≤t≤2.

    Пример 2

    Нахождение пары параметрических уравнений

    Найдите пару параметрических уравнений, моделирующих график y = 1 − x2, y = 1 − x2, используя параметр x (t) = t.x (t) = t. Нанесите несколько точек и нарисуйте график.

    Решение

    Если x (t) = tx (t) = t и мы подставляем tt вместо xx в уравнение yy, то y (t) = 1 − t2. y (t) = 1 − t2. Наша пара параметрических уравнений:

    x (t) = ty (t) = 1 − t2x (t) = ty (t) = 1 − t2

    Чтобы отобразить уравнения, сначала создадим таблицу значений, подобную таблице 2.Мы можем выбрать значения около t = 0, t = 0, от t = −3t = −3 до t = 3.t = 3. Значения в столбце x (t) x (t) будут такими же, как и в столбце tt, потому что x (t) = t.x (t) = t. Вычислите значения для столбца y (t) .y (t).

    tt x (t) = tx (t) = t у (t) = 1 − t2y (t) = 1 − t2
    −3−3 −3−3 y (−3) = 1 — (- 3) 2 = −8y (−3) = 1 — (- 3) 2 = −8
    −2−2 −2−2 y (−2) = 1 — (- 2) 2 = −3y (−2) = 1 — (- 2) 2 = −3
    -1-1 −1−1 y (−1) = 1 — (- 1) 2 = 0y (−1) = 1 — (- 1) 2 = 0
    00 00 у (0) = 1-0 = 1у (0) = 1-0 = 1
    11 11 y (1) = 1− (1) 2 = 0y (1) = 1− (1) 2 = 0
    22 22 y (2) = 1− (2) 2 = −3y (2) = 1− (2) 2 = −3
    33 33 y (3) = 1− (3) 2 = −8y (3) = 1− (3) 2 = −8

    Таблица 2

    График y = 1 − t2y = 1 − t2 представляет собой параболу, направленную вниз, как показано на рисунке 4. Мы нанесли кривую на отрезок [−3,3], [- 3,3], показанный сплошной линией со стрелками, указывающими ориентацию кривой согласно t.t. Ориентация относится к пути, проведенному вдоль кривой с точки зрения увеличения значений t.t. Поскольку эта парабола симметрична относительно линии x = 0, x = 0, значения xx отражаются по оси y .

    Рисунок 4

    Попробуй # 2

    Параметризуйте кривую как x = y3−2y.x = y3−2y.

    Пример 3

    Нахождение параметрических уравнений, моделирующих заданные критерии

    Объект движется с постоянной скоростью по прямой траектории от (−5,3) (- 5,3) до (3, −1) (3, −1) в той же плоскости за четыре секунды.Координаты измеряются в метрах. Найдите параметрические уравнения для положения объекта.

    Решение

    Параметрические уравнения представляют собой простые линейные выражения, но нам нужно рассматривать эту проблему поэтапно. Значение объекта x начинается с −5−5 метров и достигает 3 метров. Это означает, что расстояние x изменилось на 8 метров за 4 секунды, что составляет 8 м4 с, 8 м4 с или 2 м / с и 2 м / с. Мы можем записать координату x как линейную функцию по времени как x (t) = 2t − 5.х (t) = 2t − 5. В шаблоне линейной функции y = mx + b, 2t = mxy = mx + b, 2t = mx и −5 = b. − 5 = b.

    Точно так же значение y объекта начинается с 3 и переходит в -1, -1, что является изменением расстояния y на -4 метра за 4 секунды, что соответствует скорости -4. m4 s, −4 m4 s или −1m / s. − 1m / s. Мы также можем записать координату y как линейную функцию y (t) = — t + 3.y (t) = — t + 3. Вместе это параметрические уравнения для положения объекта, где xx и гг выражаются в метрах и tt представляет время:

    x (t) = 2t − 5y (t) = — t + 3x (t) = 2t − 5y (t) = — t + 3

    Используя эти уравнения, мы можем построить таблицу значений для t, x, t, x и yy (см. таблицу 3).В этом примере мы ограничили значения tt неотрицательными числами. Как правило, можно использовать любое значение tt.

    tt x (t) = 2t − 5x (t) = 2t − 5 y (t) = — t + 3y (t) = — t + 3
    00 x = 2 (0) −5 = −5x = 2 (0) −5 = −5 у = — (0) + 3 = 3у = — (0) + 3 = 3
    11 x = 2 (1) −5 = −3x = 2 (1) −5 = −3 у = — (1) + 3 = 2у = — (1) + 3 = 2
    22 x = 2 (2) −5 = −1x = 2 (2) −5 = −1 у = — (2) + 3 = 1у = — (2) + 3 = 1
    33 x = 2 (3) −5 = 1x = 2 (3) −5 = 1 y = — (3) + 3 = 0y = — (3) + 3 = 0
    44 x = 2 (4) −5 = 3x = 2 (4) −5 = 3 y = — (4) + 3 = −1y = — (4) + 3 = −1

    Таблица 3

    Из этой таблицы мы можем создать три графика, как показано на рисунке 5.

    Рис. 5 (a) График зависимости xx от t, t, представляющий горизонтальное положение во времени. (b) График yy от t, t, представляющий вертикальное положение во времени. (c) График yy в зависимости от x, x, представляющий положение объекта на плоскости в момент времени t.t.
    Анализ

    Опять же, мы видим, что на рисунке 5 (c), когда параметр представляет время, мы можем указывать движение объекта по пути с помощью стрелок.

    Удаление параметра

    Во многих случаях у нас может быть пара параметрических уравнений, но оказывается, что проще нарисовать кривую, если уравнение включает только две переменные, такие как xx и y.у. Удаление параметра — это метод, который может облегчить построение графиков некоторых кривых. Однако, если нас интересует отображение уравнения по времени, тогда также необходимо указать ориентацию кривой. Существуют различные методы исключения параметра tt из системы параметрических уравнений; не каждый метод работает для всех типов уравнений. Здесь мы рассмотрим методы для наиболее распространенных типов уравнений.

    Исключение параметра из полиномиальных, экспоненциальных и логарифмических уравнений

    Для полиномиальных, экспоненциальных или логарифмических уравнений, выраженных в виде двух параметрических уравнений, мы выбираем уравнение, которым легче всего манипулировать, и решаем для t.т. Подставим полученное выражение на tt во второе уравнение. Это дает одно уравнение в xx и y.y.

    Пример 4

    Исключение параметра в многочленах

    Дано x (t) = t2 + 1x (t) = t2 + 1 и y (t) = 2 + t, y (t) = 2 + t, исключите параметр и запишите параметрические уравнения как декартово уравнение.

    Решение

    Мы начнем с уравнения для yy, потому что линейное уравнение для t.t решить проще.

    Затем подставляем y − 2y − 2 вместо tt в x (t).х (т).

    x = t2 + 1x = (y − 2) 2 + 1 Подставляем выражение для t в xx = y2−4y + 4 + 1x = y2−4y + 5x = y2−4y + 5x = t2 + 1x = (y − 2 ) 2 + 1 Подставляем выражение для t в xx = y2−4y + 4 + 1x = y2−4y + 5x = y2−4y + 5

    Декартова форма имеет вид x = y2−4y + 5. x = y2−4y + 5 .

    Анализ

    Это уравнение параболы, в которой в прямоугольной форме xx зависит от y.y. От вершины кривой в точках (1,2), (1,2) график развернется вправо. См. Рисунок 6. В этом разделе мы рассматриваем системы уравнений, задаваемые функциями x (t) x (t) и y (t), y (t), где tt — независимая переменная времени.Обратите внимание, как xx, так и yy являются функциями времени; так что в общем случае yy не является функцией x.x.

    Рисунок 6

    Попробовать # 3

    Учитывая приведенные ниже уравнения, удалите параметр и запишите в виде прямоугольного уравнения yy как функцию
    от x.x.

    x (t) = 2t2 + 6y (t) = 5 − tx (t) = 2t2 + 6y (t) = 5 − t

    Пример 5

    Исключение параметра в экспоненциальных уравнениях

    Исключите параметр и запишите как декартово уравнение: x (t) = e − tx (t) = e − t и y (t) = 3et, y (t) = 3et, t> 0.т> 0.

    Решение

    Изолят и др.

    Подставьте выражение в y (t) .y (t).

    y = 3ety = 3 (1x) y = 3xy = 3ety = 3 (1x) y = 3x

    Декартова форма y = 3x.y = 3x.

    Анализ

    График параметрического уравнения показан на рисунке 7 (a) . Область ограничена t> 0. t> 0. Декартово уравнение y = 3xy = 3x показано на рисунке 7 (b) и имеет только одно ограничение на область определения x ≠ 0.x ≠ 0.

    Рисунок 7

    Пример 6

    Исключение параметра в логарифмических уравнениях

    Исключите параметр и запишите в виде декартового уравнения: x (t) = t + 2x (t) = t + 2 и y (t) = log (t).у (т) = журнал (т).

    Решение

    Решите первое уравнение относительно t.t.

    x = t + 2 x − 2 = t (x − 2) 2 = t Возвести обе части в квадрат. x = t + 2 x − 2 = t (x − 2) 2 = t Возвести обе части в квадрат.

    Затем подставьте выражение для tt в уравнение yy.

    y = журнал (t) y = журнал (x − 2) 2y = журнал (t) y = журнал (x − 2) 2

    В декартовой форме y = log (x − 2) 2. y = log (x − 2) 2.

    Анализ

    Чтобы убедиться, что параметрические уравнения эквивалентны декартовому уравнению, проверьте области.Параметрические уравнения ограничивают область x = t + 2x = t + 2 до t> 0; t> 0; мы ограничиваем область на xx до x> 2.x> 2. Область для параметрического уравнения y = log (t) y = log (t) ограничена t> 0; t> 0; мы ограничиваем область на y = log (x − 2) 2y = log (x − 2) 2 до x> 2.x> 2.

    Попробовать # 4

    Удалите параметр и запишите в виде прямоугольного уравнения.

    x (t) = t2y (t) = lntt> 0x (t) = t2y (t) = lntt> 0
    Исключение параметра из тригонометрических уравнений

    Исключение параметра из тригонометрических уравнений является простой заменой.Мы можем использовать несколько знакомых тригонометрических тождеств и теорему Пифагора.

    Сначала мы используем идентификаторы:

    x (t) = acosty (t) = bsintx (t) = acosty (t) = bsint

    Решая для costcost и sint, sint, мы имеем

    xa = costyb = sintxa = costyb = sint

    Затем используйте теорему Пифагора:

    cos2t + sin2t = 1 cos2t + sin2t = 1

    Подстановка дает

    cos2t + sin2t = (xa) 2+ (yb) 2 = 1 cos2t + sin2t = (xa) 2+ (yb) 2 = 1

    Пример 7

    Исключение параметра из пары тригонометрических параметрических уравнений

    Исключите параметр из данной пары тригонометрических уравнений, где 0≤t≤2π0≤t≤2π, и нарисуйте график.

    x (t) = 4costy (t) = 3sintx (t) = 4costy (t) = 3sint
    Решение

    Решая для costcost и sint, sint, мы получаем

    x = 4costx4 = costy = 3sinty3 = sintx = 4costx4 = costy = 3sinty3 = sint

    Затем используйте тождество Пифагора и сделайте замены.

    cos2t + sin2t = 1 (x4) 2+ (y3) 2 = 1×216 + y29 = 1cos2t + sin2t = 1 (x4) 2+ (y3) 2 = 1×216 + y29 = 1

    График уравнения показан на рисунке 8.

    Рисунок 8

    Анализ

    Применяя общие уравнения для конических сечений (введенные в аналитической геометрии, мы можем идентифицировать x216 + y29 = 1×216 + y29 = 1 как эллипс с центром в точке (0,0).(0,0). Обратите внимание, что при t = 0t = 0 координаты равны (4,0), (4,0), а при t = π2t = π2 координаты равны (0,3). (0,3). Это показывает ориентацию кривой при увеличении значений t.t.

    Попробовать # 5

    Исключите параметр из данной пары параметрических уравнений и запишите как декартово уравнение: x (t) = 2costx (t) = 2cost и y (t) = 3sint.y (t) = 3sint.

    Нахождение декартовых уравнений по параметрически определенным кривым

    Когда нам дается набор параметрических уравнений и нам нужно найти эквивалентное декартово уравнение, мы, по сути, «исключаем параметр.Однако есть различные методы, которые мы можем использовать, чтобы переписать набор параметрических уравнений в декартово уравнение. Самый простой способ — установить одно уравнение равным параметру, например x (t) = t.x (t) = t. В этом случае y (t) y (t) может быть любым выражением. Например, рассмотрим следующую пару уравнений.

    x (t) = ty (t) = t2−3x (t) = ty (t) = t2−3

    Переписывая этот набор параметрических уравнений, нужно заменить xx на t.t. Таким образом, декартово уравнение y = x2−3.y = x2−3.

    Пример 8

    Нахождение декартова уравнения альтернативными методами

    Используйте два разных метода, чтобы найти декартово уравнение, эквивалентное заданному набору параметрических уравнений.

    x (t) = 3t − 2y (t) = t + 1x (t) = 3t − 2y (t) = t + 1.
    Решение

    Метод 1 . Во-первых, давайте решим уравнение xx относительно t.t. Затем мы можем подставить результат в уравнение yy.

    x = 3t − 2x + 2 = 3tx + 23 = t x = 3t − 2x + 2 = 3tx + 23 = t

    Теперь подставьте выражение для tt в уравнение yy.

    y = t + 1y = (x + 23) + 1y = x3 + 23 + 1y = 13x + 53y = t + 1y = (x + 23) + 1y = x3 + 23 + 1y = 13x + 53

    Метод 2 . Решите уравнение yy для tt и подставьте это выражение в уравнение xx.

    y = t + 1y − 1 = t y = t + 1y − 1 = t

    Сделайте замену и затем решите относительно y.y.

    x = 3 (y − 1) −2 x = 3y − 3−2 x = 3y − 5x + 5 = 3yx + 53 = y y = 13x + 53 x = 3 (y − 1) −2 x = 3y − 3 −2 x = 3y − 5x + 5 = 3yx + 53 = y y = 13x + 53

    Попробуйте # 6

    Запишите данные параметрические уравнения в виде декартова уравнения: x (t) = t3x (t) = t3 и y (t) = t6.y (t) = t6.

    Нахождение параметрических уравнений для кривых, определяемых прямоугольными уравнениями

    Хотя мы только что показали, что существует только один способ интерпретировать набор параметрических уравнений как прямоугольное уравнение, существует несколько способов интерпретировать прямоугольное уравнение как набор параметрических уравнений. Любая стратегия, которую мы можем использовать для нахождения параметрических уравнений, действительна, если она обеспечивает эквивалентность. Другими словами, если мы выберем выражение для представления x, x, а затем подставим его в уравнение yy, и оно построит тот же график в той же области, что и прямоугольное уравнение, тогда набор параметрических уравнений будет действительным. Если область становится ограниченной в наборе параметрических уравнений, а функция не позволяет использовать те же значения для xx, что и область прямоугольного уравнения, то графики будут другими.

    Пример 9

    Нахождение набора параметрических уравнений для кривых, определяемых прямоугольными уравнениями

    Найдите набор эквивалентных параметрических уравнений для y = (x + 3) 2 + 1. y = (x + 3) 2 + 1.

    Решение

    Очевидным выбором было бы положить x (t) = t.x (t) = t. Тогда y (t) = (t + 3) 2 + 1. y (t) = (t + 3) 2 + 1. Но давайте попробуем кое-что поинтереснее. Что, если мы положим x = t + 3? X = t + 3? Тогда имеем

    y = (x + 3) 2 + 1y = ((t + 3) +3) 2 + 1y = (t + 6) 2 + 1y = (x + 3) 2 + 1y = ((t + 3) +3) 2 + 1y = (t + 6) 2 + 1

    Система параметрических уравнений

    x (t) = t + 3y (t) = (t + 6) 2 + 1x (t) = t + 3y (t) = (t + 6) 2 + 1

    См. рисунок 9.

    Рисунок 9

    8.6 Упражнения по разделам

    Устные
    1.

    Что такое система параметрических уравнений?

    2.

    Некоторые примеры третьего параметра: время, длина, скорость и масштаб. Объясните, когда время используется в качестве параметра.

    3.

    Объясните, как удалить параметр из набора параметрических уравнений.

    4.

    В чем преимущество записи системы параметрических уравнений в виде декартового уравнения?

    5.

    В чем преимущество использования параметрических уравнений?

    6.

    Почему существует множество наборов параметрических уравнений для представления декартовых функций?

    Алгебраический

    Для следующих упражнений удалите параметр tt, чтобы переписать параметрическое уравнение как декартово уравнение.

    7.

    {x (t) = 5 − ty (t) = 8−2t {x (t) = 5 − ty (t) = 8−2t)

    8.

    {x (t) = 6−3ty (t) = 10 − t {x (t) = 6−3ty (t) = 10 − t)

    9.

    {x (t) = 2t + 1y (t) = 3t {x (t) = 2t + 1y (t) = 3t

    10.

    {x (t) = 3t − 1y (t) = 2t2 {x (t) = 3t − 1y (t) = 2t2

    11.

    {x (t) = 2ety (t) = 1−5t {x (t) = 2ety (t) = 1−5t)

    12.

    {x (t) = e − 2ty (t) = 2e − t {x (t) = e − 2ty (t) = 2e − t)

    13.

    {x (t) = 4log (t) y (t) = 3 + 2t {x (t) = 4log (t) y (t) = 3 + 2t)

    14.

    {x (t) = журнал (2t) y (t) = t − 1 {x (t) = log (2t) y (t) = t − 1

    15.

    {x (t) = t3 − ty (t) = 2t {x (t) = t3 − ty (t) = 2t

    16.

    {x (t) = t − t4y (t) = t + 2 {x (t) = t − t4y (t) = t + 2).

    17.

    {x (t) = e2ty (t) = e6t {x (t) = e2ty (t) = e6t

    18.

    {x (t) = t5y (t) = t10 {x (t) = t5y (t) = t10

    19.

    {x (t) = 4costy (t) = 5sint {x (t) = 4costy (t) = 5sint

    20.

    {x (t) = 3sinty (t) = 6cost {x (t) = 3sinty (t) = 6cost

    21.

    {x (t) = 2cos2ty (t) = — sint {x (t) = 2cos2ty (t) = — sint

    22.

    {x (t) = стоимость + 4y (t) = 2sin2t {x (t) = стоимость + 4y (t) = 2sin2t

    23.

    {x (t) = t − 1y (t) = t2 {x (t) = t − 1y (t) = t2

    24.

    {x (t) = — ty (t) = t3 + 1 {x (t) = — ty (t) = t3 + 1

    25.

    {x (t) = 2t − 1y (t) = t3−2 {x (t) = 2t − 1y (t) = t3−2

    Для следующих упражнений перепишите параметрическое уравнение как декартово уравнение, построив таблицу x-yx-y.

    26.

    {x (t) = 2t − 1y (t) = t + 4 {x (t) = 2t − 1y (t) = t + 4

    27.

    {x (t) = 4 − ty (t) = 3t + 2 {x (t) = 4 − ty (t) = 3t + 2

    28.

    {x (t) = 2t − 1y (t) = 5t {x (t) = 2t − 1y (t) = 5t

    29.

    {x (t) = 4t − 1y (t) = 4t + 2 {x (t) = 4t − 1y (t) = 4t + 2

    Для следующих упражнений параметризуйте (напишите параметрические уравнения) каждое декартово уравнение, задав x (t) = tx (t) = t или задав y (t) = t.y (t) = t.

    32.

    x (y) = 3log (y) + yx (y) = 3log (y) + y

    Для следующих упражнений параметризуйте (напишите параметрические уравнения для) каждое декартово уравнение, используя x (t) = acostx (t) = acost и y (t) = bsint. у (т) = бсинт. Определите кривую.

    38.

    Параметризуйте строку от (3,0) (3,0) до (−2, −5) (- 2, −5) так, чтобы строка находилась в точке (3,0) (3,0) при t = 0 , t = 0, и при (−2, −5) (- 2, −5) при t = 1.t = 1.

    39.

    Параметризуйте строку от (−1,0) (- 1,0) до (3, −2) (3, −2) так, чтобы линия находилась в точке (−1,0) (- 1,0) в точке t = 0, t = 0, и при (3, −2) (3, −2) при t = 1. t = 1.

    40.

    Параметризуйте строку от (−1,5) (- 1,5) до (2,3) (2,3) так, чтобы линия находилась в точке (−1,5) (- 1,5) при t = 0 , t = 0, и в (2,3) (2,3) при t = 1.t = 1.

    41.

    Параметризуйте строку от (4,1) (4,1) до (6, −2) (6, −2) так, чтобы прямая находилась в точке (4,1) (4,1) при t = 0, t = 0, а при (6, −2) (6, −2) при t = 1. t = 1.

    Технологии

    Для следующих упражнений используйте функцию таблицы в графическом калькуляторе, чтобы определить, пересекаются ли графики.

    42.

    {x1 (t) = 3ty1 (t) = 2t − 1 и {x2 (t) = t + 3y2 (t) = 4t − 4 {x1 (t) = 3ty1 (t) = 2t − 1 и {x2 ( t) = t + 3y2 (t) = 4t − 4

    43.

    {x1 (t) = t2y1 (t) = 2t − 1 и {x2 (t) = — t + 6y2 (t) = t + 1 {x1 (t) = t2y1 (t) = 2t − 1 и {x2 (t) = — t + 6y2 (t) = t + 1

    В следующих упражнениях воспользуйтесь графическим калькулятором, чтобы заполнить таблицу значений для каждого набора параметрических уравнений.

    44.

    {x1 (t) = 3t2−3t + 7y1 (t) = 2t + 3 {x1 (t) = 3t2−3t + 7y1 (t) = 2t + 3

    45.

    {x1 (t) = t2−4y1 (t) = 2t2−1 {x1 (t) = t2−4y1 (t) = 2t2−1

    46. ​​

    {x1 (t) = t4y1 (t) = t3 + 4 {x1 (t) = t4y1 (t) = t3 + 4

    Добавочные номера
    47.

    Найдите два разных набора параметрических уравнений для y = (x + 1) 2. y = (x + 1) 2.

    48.

    Найдите два разных набора параметрических уравнений для y = 3x − 2.y = 3x − 2.

    49.

    Найдите два разных набора параметрических уравнений для y = x2−4x + 4.у = х2−4х + 4.

    Параметрические формы для линий и векторов

    Мы рассматриваем параметрические формы для линий и сравниваем их с декартовыми формами.

    Во многих ситуациях полезно иметь альтернативный способ описания кривой, помимо уравнения для нее на плоскости \ (\ normalsize {x-y} \). Параметрическая форма для линии возникает, когда мы рассматриваем частицу, движущуюся по ней способом, который зависит от параметра \ (\ normalsize {t} \), который можно рассматривать как время.Таким образом, как \ (\ normalsize {x} \), так и \ (\ normalsize {y} \) становятся функциями от \ (\ normalsize {t} \). Простейшие параметризации — линейные. На этом этапе
    • смотрим на параметризацию простейших кривых: линии
    • показывают, как перейти от параметрических уравнений к декартовым уравнениям
    • , вводя векторы.

    Параметризация линии

    Простым примером параметризации является линейная параметризация: \ [\ Large {p (t) = [t + 1, 2t-3]}. \] As \ (\ normalsize {t} \) меняется, точка \ (\ normalsize {p (t)} \) движется по прямой.Когда \ (\ normalsize {t = 0} \), \ (\ normalsize {p (0) = [1, -3]} \), когда \ (\ normalsize {t = 1} \), \ (\ normalsize {p (1) = [2, -1]} \), а когда \ (\ normalsize {t = 2} \), \ (\ normalsize {p (2) = [3,1]} \). Ясно, что разрешены также дробные значения \ (\ normalsize {t} \). Как перейти от параметрической формы для линии к одной из более обычных декартовых форм, включающих \ (\ normalsize {x} \) и \ (\ нормальный размер {y} \)? Исключаем параметр \ (\ normalsize {t} \). Например, для параметрического уравнения \ (\ normalsize {p (t) = [t + 1, 2t-3]} \) мы имеем \ [\ Large {x = t + 1} \] \ [\ Large {y = 2t-3} \] так, чтобы \ (\ normalsize {y = 2 (x-1) -3} \) или \ (\ normalsize {y = 2x-5} \).Убедитесь, что это та же линия, но с другим уравнением.

    Q1 (E): Найдите декартово уравнение для параметрической линии \ ({\ normalsize p (s) = [2s + 1, 4s-3]} \).

    Как перейти от декартового уравнения к параметрической форме?

    С другой стороны, как мы можем перейти от декартова уравнения прямой, скажем, \ (\ normalsize {y = 3x + 2} \) к параметрической форме? Важно понимать, что, хотя декартова форма более или менее уникальна, это совсем не так для параметрической формы.

    Один из способов — ввести параметр простым способом, например, установив \ (\ normalsize {x = t} \). Тогда исходное уравнение дает \ (\ normalsize {y = 3x + 2 = 3t + 2} \). Их объединение дает параметризацию \ (\ normalsize {p (t) = [t, 3t + 2]} \).

    Q2 (E): Найдите другую параметризацию \ (\ normalsize y = 3x + 2 \), установив \ (\ normalsize x = 3t \).

    Использование векторов для параметризации линий

    Остальная часть этого шага посвящена векторам для тех, кто знаком с ними.Вектор — это направленный линейный сегмент или геометрически разница между двумя точками на плоскости. Мы будем обозначать векторы круглыми скобками, например \ (\ normalsize {v = (1,4)} \). Это представляет относительное смещение \ (\ normalsize {1} \) вправо в направлении \ (\ normalsize x \) — и \ (\ normalsize {4} \) вверх в \ (\ normalsize y \) — направление. Мы согласны с тем, что векторы не фиксируются на месте, так как они определяются только в относительном смысле.

    Предположим, что мы рассматриваем прямую, проходящую через точку \ (\ normalsize {[3,2]} \), которая идет в направлении \ (\ normalsize {v = (1,4)} \).Эта линия может быть выражена как

    \ [\ Large {[3,2] + t (1,4) = [3 + t, 2 + 4t]} \]

    , которая теперь находится в параметрической форме с параметром \ (\ normalsize {t} \).

    Какое декартово уравнение этой прямой? Мы можем исключить \ (\ normalsize {t} \) из уравнений \ (\ normalsize {x = 3 + t} \), \ (\ normalsize {y = 2 + 4t} \), чтобы получить \ (\ normalsize {y = 2 + 4 (x-3) = 4x-10} \), поэтому уравнение имеет вид \ (\ normalsize {y = 4x-10} \).

    Ответы

    A1. Это тоже \ (\ normalsize {y = 2x-5} \).

    A2. Другая параметризация: \ (p (t) = [3t, 9t + 2] \).

    параметрических кривых

    параметрических кривых

    Параметрические кривые

    Кривые и поверхности могут иметь явные, неявные и параметрические представления. Параметрические представления являются наиболее распространенными в компьютерной графике.
    Повторная параметризация
    Параметризация, как правило, не уникальна. Рассматривать следующие параметризации для строки:
      L (P0, P1) = P0 + u (P1-P0), u = [0 ... 1]
  L (P0, P1) = v (P1-P0) / 2 + (P1 + P0) / 2, v = [-1...1]
    Параметры можно изменить, чтобы они находились между желаемыми границы. Чтобы изменить параметры с u = [a … b] на w = [0 … 1], мы можем использовать w = (u-a) / (b-a), что дает u = w (b-a) + a. Таким образом, мы имеем:
      P (u), u = [a ... b] = P (w (b-a) + a), w = [0 ... 1]
    Параметрические кубические кривые
    Кубические кривые обычно используются в графике, потому что кривые низшего порядка обычно слишком мало гибкости, в то время как кривые более высокого порядка обычно считаются излишне сложными и облегчить введение нежелательных покачиваний.

    Параметрическая кубическая кривая в 3D определяется следующим образом:

    Обычно мы рассматриваем t = [0 . 2 2t 1 0] A Часто удобно рассматривать параметр t как время по порядку для визуализации некоторых свойств кривой.Производные также имеют интуитивную интерпретацию в декартовом пространстве. кривой:

    Первый пример
    Предположим, мы хотим определить кубическую кривую так, чтобы пользователь указывает положение двух конечных точек и средней точки, а также как касательная в средней точке. На следующем рисунке показано несколько образцов кривых.

    Сначала мы построим кубическую кривую для x (t). Есть четыре ограничения, которые должны быть выполнены, и четыре неизвестных:



    Мы можем найти A, используя A = B_inv G_x.Окончательное уравнение для x таким образом:

      x (t) = T B_inv G_x
    Матрицу B_inv часто называют базисной матрицей , которая обозначим M . Таким образом, мы можем написать
      х (t) = T M G_x
    В этом случае мы имеем
          [-4 0 -4 4]
  M = [8–4 6–4]
      [-5 4 -2 1]
      [1 0 0 0]
    Наконец, мы также можем написать
      x (t) = [f1 (t) f2 (t) f3 (t) f4 (t)] G_x
    где f1 (t) . .. f4 (t) — функции, полученные из произведения T M.2 + 1, где f1 (t) — весовая функция для P0, f2 (t) — весовая функция для P0,5, f3 (t) — весовая функция для T0,5, и f4 (t) — весовая функция для P1. Эти базовые функции выглядят следующим образом:

    Кривые для y (t) и z (t) построены аналогичным образом. к этому для x (t). Таким образом, базисная матрица и базисные функции остаются тоже самое. Меняется только вектор геометрии. Вектор геометрии для y (t) дает y-компоненты P0, P0.5, T0.5 и P1. В общем, мы можем запишите кривую как одно векторное уравнение
    P (t) = T M G
    который включает следующие три уравнения:
    х (t) = T M G_x
y (t) = T M G_y
z (t) = T M G_z

    Кривые Эрмита

    В качестве второго примера рассмотрим кривые Эрмита.Т Как и раньше, мы выразим кривую как:
    х (t) = T A_h
     = Т M_h G_h
    Ограничения, которые мы будем использовать для определения кривой:
    x (0) = P1 = [0 0 0 1] A_h
x (1) = P4 = [1 1 1 1] A_h
x '(0) = R1 = [0 0 1 0] A_h
x '(1) = R4 = [3 2 1 0] A_h
    Запись этих ограничений в матричной форме дает:
    G_h = B_h A_h
A_h = inv (B_h) G_h
х (t) = T A_h
     = T inv (B_h) G_h
     = Т M_h G_h
    Таким образом, инверсия B_h определяется как базисная матрица для кривой Эрмита. 3
    Собственность выпуклого корпуса
    Свойство выпуклой оболочки гарантирует, что кривая никогда не будет выходить за пределы выпуклой оболочки, образованной четырьмя управляющие вершины.Таким образом, он обеспечивает определенную предсказуемость Кривая. Базисные функции Безье удовлетворяют условиям необходимо для выпуклой оболочки, а именно:
    • 0 f1 (t) + … + fn (t) = 1

    Кривые Безье степени n

    Не случайно базисные функции для кривых Безье обладают свойством выпуклой оболочки. Как тогда можно заняться проектированием набор базовых функций, которые в сумме составляют одну и гарантируют, что каждый отдельный базисная функция остается в диапазоне [0,1]? Полиномы Бернштейна обладают именно необходимыми свойствами.

    Используя полиномы Бернштейна, мы можем построить кривую Безье произвольная степень. Для кривых более высокой степени, чем кубическая Безье кривая, обсуждаемая до сих пор, нам понадобится более четырех контрольных точек. Общая кривая Безье степени n задается формулой

    . Базисные функции эквивалентны членам, возникающим из расширение

    с помощью теоремы о биномиальном разложении. Отсюда также очевидно, почему сумма всех слагаемых равно одному.

    Кусочные кривые Эрмита и Безье

    Сегменты кривой Эрмита могут быть соединены непрерывным образом: обеспечение того, чтобы конечная точка одной кривой была такой же, как и начальная точка другого, а также обеспечение того, чтобы касательные векторы для этой точки имеют то же направление.

    В терминах приведенного выше рисунка это означает P1 ‘= P4, R1’ = k R4 . Для кривой Безье условия таковы, что две последние точки одной кривой и первые две точки второй кривой совмещены.

    Геометрическая и параметрическая непрерывность

    Геометрическая непрерывность
    • G0: кривые соединяются
    • G1: первые производные пропорциональны в точке соединения
      Таким образом, касательные к кривым имеют одинаковое направление, но не обязательно такой же величины. т. е. C1 ‘(1) = (a, b, c) и C2’ (0) = (k * a, k * b, k * c).
    • G2: первая и вторая производные пропорциональны в точке соединения
    Параметрическая непрерывность
    • C0: кривые соединяются
    • C1: первые производные равны
    • C2: первая и вторая производные равны
      Если t принять за время, это означает, что ускорение является непрерывным.
    • Cn: n-е производные равны
    Как следует из их названия, геометрическая непрерывность требует геометрии быть непрерывным, в то время как параметрическая непрерывность требует, чтобы базовая параметризация также будет непрерывной.

    Параметрическая непрерывность порядка n влечет геометрическую непрерывность порядка n, но не наоборот.

    Сводка кривых Безье и Эрмита

    • предлагает местное управление
    • предложить непрерывность C1
    • интерполирует (некоторые) контрольные точки

    Шлицы

    • шлицы — это кубические кривые, которые поддерживают непрерывность C2.
    • естественный шлиц
      • интерполирует все свои контрольные точки.
      • эквивалент тонкой металлической полоски, вынужденной проходить через контрольные точки
      • без местного управления
    • B-шлицевая
      • местное управление
      • не интерполирует контрольные точки
    Ниже приведен пример пятисегментной B-сплайновой кривой (хотя это просто нарисованный от руки пример). Точки, указывающие концы отдельных сегментов кривой и, следовательно, соединение точки известны как узла .

    Каждый сегмент кривой определяется четырьмя контрольными точками, как показано ниже:


    Кривые B-сплайна определяются базовой матрицей, как и другие типы кубических кривых. Мы не будем обсуждать вывод этого матрица здесь.

                    [-1 3 -3 1]
M_bspline = 1/6 [3-6 3 0]
                [-3 0 3 0]
                [1 4 1 0]
    где вектор геометрии состоит из четырех последовательных контрольных точек. Легко показать, что B-сплайн-кривые непрерывны C2 и что они удовлетворяют свойству выпуклой оболочки.Базисные функции для B-шлицы следующие:

    Несколько узлов
    Контрольные вершины могут повторяться, чтобы учесть геометрическая непрерывность в точках соединения. 905

    NURBS: неоднородные рациональные B-шлицы

    Один из недостатков обсуждаемых на сегодняшний день кривых заключается в том, что их нельзя использовать для создания обычных конических форм, таких как круги, эллипсы, параболы и др.Однако это можно сделать с помощью рациональных кубических кривых. Отрезок рациональной кубической кривой в 3D может быть построен следующим образом
      х (t) = X (t) / W (t)
  y (t) = Y (t) / W (t)
  z (t) = Z (t) / W (t)
    где каждый из X (t), Y (t), Z (t) и W (t) — кубические полиномиальные кривые. Определение кривых как рациональных многочленов таким образом позволяет простые точные представления конических сечений, таких как круги, а также как кривые, инвариантные относительно перспективной проекции.
    От Университета Торонто — подробности

    Как построить параметризованную геометрию архимедовой спирали

    Архимедовы спирали часто используются при анализе катушек индуктивности, спиральных теплообменников и микрофлюидных устройств.Сегодня мы продемонстрируем, как построить спираль Архимеда, используя аналитические уравнения и их производные, чтобы определить набор спиральных кривых. На основе этих кривых мы затем создадим 2D-геометрию определенной толщины, выдавив ее до полной 3D-геометрии.

    Краткое введение в архимедовы спирали

    Спирали или спирали, широко встречающиеся в природе, используются во многих инженерных конструкциях. Как, например, инженер-электрик, вы можете наматывать индукционные катушки по спирали и проектировать спиральные антенны. Как инженер-механик, вы можете использовать спирали при конструировании пружин, косозубых шестерен или даже часового механизма, указанного ниже.


    Пример архимедовой спирали, используемой в часовом механизме. Изображение предоставлено Greubel Forsey. Лицензировано CC BY-SA 3.0 через Wikimedia Commons.

    Здесь мы сосредоточимся на конкретном типе спирали, той, которая представлена ​​в механизме, показанном выше: спирали Архимеда. Спираль Архимеда — это спираль, у которой есть фиксированное расстояние между ее последовательными витками.Это свойство позволяет широко использовать его в конструкции плоских витков и пружин.

    Мы можем описать спираль Архимеда следующим уравнением в полярных координатах:

    г = а + б \ тета

    , где a и b — параметры, определяющие начальный радиус спирали и расстояние между ее последовательными витками, последний из которых равен 2 \ pi b. Обратите внимание, что спираль Архимеда также иногда называют арифметической спиралью . Это название происходит от арифметической прогрессии расстояния от исходной точки до точки на том же радиале.

    Проектирование параметризованной архимедовой спиральной геометрии

    Теперь, когда мы представили спирали Архимеда, давайте посмотрим, как параметризовать и создать такую ​​конструкцию для анализа в COMSOL Multiphysics.


    Спираль Архимеда может быть описана как в полярных, так и в декартовых координатах.

    Для начала нам нужно преобразовать уравнения спирали из полярной в декартову систему координат и выразить каждое уравнение в параметрической форме:

    \ begin {align *}
    x_ {component} = rcos (\ theta) \\
    y_ {component} = rsin (\ theta)
    \ end {align *}

    Это преобразование позволяет нам переписать уравнение спирали Архимеда в параметрической форме в декартовой системе координат:

    \ begin {align *}
    x_ {component} = (a + b \ theta) cos (\ theta) \\
    y_ {component} = (a + b \ theta) sin (\ theta)
    \ end {align *}

    В COMSOL Multiphysics необходимо выбрать набор параметров, которые будут определять геометрию спирали. Этими параметрами являются начальный радиус спирали a_ {initial}, конечный радиус спирали a_ {final} и желаемое количество витков n. Тогда скорость спирального роста b может быть выражена как:

    b = \ frac {a_ {final} -a_ {initial}} {2 \ pi n}

    Далее, нам нужно определить начальный угол спирали theta_0 и конечный угол theta_f. Начнем со значений theta_0 = 0 и theta_f = 2 \ pi n. Имея эту информацию, мы можем определить набор параметров спиральной геометрии.


    Параметры, используемые для построения спиральной геометрии.

    Чтобы построить эту спираль, мы начнем с 3D-компонента и создадим рабочую плоскость в ветви Geometry . Затем в геометрию Work Plane мы добавляем параметрическую кривую и используем параметрические уравнения, указанные выше, с переменным углом, чтобы нарисовать 2D-версию спирали Архимеда. Эти уравнения можно непосредственно ввести в поле параметрической кривой Expression , или мы можем сначала определить каждое уравнение в новой функции Analytic как:

    \ begin {align *}
    X_ {fun} = (a + bs) cos (s) \\
    Y_ {fun} = (a + bs) sin (s) \\
    \ end {align *}


    X-компонент уравнения архимедовой спирали, определенный в функции Analytic .

    Функцию Analytic можно использовать в выражениях для параметрической кривой. В этой параметрической кривой мы изменяем параметр s от начального угла спирали, theta_0, до конечного угла спирали, theta_f = 2 \ pi n.


    Настройки для функции параметрической кривой.

    Параметрические уравнения спирали, используемые в параметрической кривой, приведут к спирали, представленной кривой. Давайте теперь построим эту геометрию, добавив к ней толщину, чтобы создать твердый двухмерный объект.

    До этого момента наша спираль параметризовалась в терминах начального радиуса a_ {initial}, конечного радиуса a_ {final} и желаемого количества витков n. Теперь мы должны включить толщину в качестве еще одного управляющего параметра в уравнение спирали.

    Начнем с основного свойства спирали, которое гласит, что расстояние между витками спирали равно 2 \ pi b. Это также эквивалентно \ frac {a_ {final} -a_ {initial}} {n}. Чтобы учесть толщину, мы представляем расстояние между каждым последующим витком спирали как сумму толщины спирали и оставшегося зазора между витками, толщина + зазор.


    Расстояние между витками спирали определяется толщиной спирали и параметрами зазора.

    Для контроля толщины и получения одинакового расстояния между витками расстояние можно выразить как:

    \ begin {align *}
    distance = \ frac {a_ {initial} -a_ {final}} {n} \\
    gap = расстояние толщиной
    \ end {align *}

    После определения толщины и выражения зазора между витками в терминах толщины и постоянного расстояния между осевыми линиями спирали, мы можем переписать параметр роста спирали в терминах толщины как:

    \ begin {align *}
    distance = 2 \ pi b \\
    b = \ frac {gap + Thick} {2 \ pi}
    \ end {align *}

    Мы также захотим выразить конечный угол спирали через ее начальный и конечный радиусы:

    \ begin {align *}
    \ theta_ {final} = 2 \ pi n \\
    a_ {final} = \ text {общее расстояние} + a_ {initial} \\
    a_ {final} = 2 \ pi bn + a_ {initial} \\
    n = \ frac {a_ {final} -a_ {initial}} {2 \ pi b} \\
    \ theta_ {final} = \ frac {2 \ pi (a_ {final} -a_ {initial})} {2 \ pi b} \\
    \ theta_ {final} = \ frac {a_ {final} -a_ {initial}} {b}
    \ end {align *}

    Хотите начать спираль под углом, отличным от нуля? Если это так, вам нужно будет добавить этот начальный угол к окончательному углу в выражении для параметра: theta_f = \ frac {a_ {final} -a_ {initial}} {b} + theta_0.

    Двойное дублирование существующей спиральной кривой и размещение этих кривых со смещением — \ frac {толстый} {2} и + \ frac {толстый} {2} по отношению к исходной спиральной кривой позволяет нам построить спираль с толщиной. Чтобы правильно расположить верхнюю и нижнюю спирали, мы должны убедиться, что смещенные спирали перпендикулярны исходной спиральной кривой. Этого можно достичь, умножив расстояние смещения \ pm \ frac {Thick} {2} на единичный вектор, нормальный к спиральной кривой. Уравнения векторов нормали к кривой в параметрической форме:

    n_x = — \ frac {dy} {ds} \ quad \ text {and} \ quad n_y = \ frac {dx} {ds}

    , где s — параметр, используемый в параметрической кривой.2}}
    \ end {align *}

    , где каждый N_x и N_y определяется с помощью функции Analytic в COMSOL Multiphysics, аналогично тому, как мы определили X_ {fun} и Y_ {fun} для первой параметрической кривой. Внутри функции мы используем оператор дифференцирования d (f (x), x) , чтобы взять производную, как показано на следующем снимке экрана.


    Примеры оператора производной, используемого в функции Analytic .

    Функции X_ {fun}, Y_ {fun}, N_x и N_y могут затем использоваться непосредственно в выражениях параметрической кривой для кривой на одной стороне:

    \ begin {align *}
    x_ {lower} = X_ {fun} (s) + N_x (s) \ frac {Thick} {2} \\
    y_ {lower} = Y_ {fun} (s) + N_y (s) \ frac {Thick} {2}
    \ end {align *}

    Функции также можно использовать для кривой на другой стороне:

    \ begin {align *}
    x_ {upper} = X_ {fun} (s) -N_x (s) \ frac {Thick} {2} \\
    y_ {upper} = Y_ {fun} (s) -N_y (s) \ frac {Thick} {2}
    \ end {align *}


    Уравнения для второй из двух параметрических кривых смещения.

    Чтобы соединить концы двух кривых, мы добавляем еще две параметрические кривые, используя небольшую модификацию уравнений, упомянутых выше. Для кривой, соединяющей центр спирали, мы должны вычислить X_ {fun}, Y_ {fun}, N_x и N_y для начального значения угла, theta. Для кривой, соединяющей внешнюю сторону спирали, мы должны оценить окончательное значение тета. Следовательно, соединительная кривая в центре:

    \ begin {align *}
    X_ {fun} (theta_0) + s \ cdot N_x (theta_0) \ cdot \ frac {Thick} {2} \\
    Y_ {fun} (theta_0) + s \ cdot N_y (theta_0 ) \ cdot \ frac {толстый} {2}
    \ end {align *}

    Между тем, внешняя кривая соединения:

    \ begin {align *}
    X_ {fun} (theta_f) + s \ cdot N_x (theta_f) \ cdot \ frac {Thick} {2} \\
    Y_ {fun} (theta_f) + s \ cdot N_y (theta_f ) \ cdot \ frac {толстый} {2}
    \ end {align *}

    В обоих приведенных выше уравнениях s изменяется от -1 до +1, как показано на скриншоте ниже.


    Уравнения кривой, соединяющей один конец спирали.

    Теперь у нас есть пять кривых, определяющих центральную линию спирали и все четыре стороны профиля. Мы можем отключить (или даже удалить) кривую, описывающую осевую линию, поскольку в этом нет необходимости, оставив только контур спирали. Определив контур нашей спирали, можно использовать операцию Convert to Solid для создания единого геометрического объекта. Эта двухмерная спираль наконец может быть преобразована в трехмерную с помощью операции Extrude .


    Полная геометрическая последовательность и экструдированная трехмерная спиральная геометрия.

    Заключительные замечания о моделировании архимедовых спиралей в COMSOL Multiphysics

    Мы провели вас через этапы создания полностью параметризованной архимедовой спирали. С помощью этой спиральной геометрии вы можете изменять любые параметры и экспериментировать с различными конструкциями или даже использовать их в качестве параметров в исследовании оптимизации. Мы рекомендуем вам использовать этот метод в ваших собственных процессах моделирования, продвигая анализ вашего конкретного спирального инженерного проекта.

    Дополнительные ресурсы по проектированию и анализу спиралей

    Справка

    в Интернете — Справка Origin

    PD-Dialog-2DParaFunc-Tab

    кратность
    1 G2 непрерывная
    2 G1 непрерывная
    3 G0 непрерывная, интерполирует точку

    Чтобы создать данные для 2D-графика параметрической функции, дважды щелкните график, чтобы открыть сведения о графике, затем нажмите кнопку Workbook в нижней части диалогового окна.

    Параметр

    Параметр

    Укажите параметр.

    Очки

    Укажите количество точек данных для отображения на графике функции.

    От и до

    Укажите начало и конец диапазона параметров.

    X (t) и Y (t)

    Введите здесь формулу параметра X и Y.

    Общие математические и статистические функции распределения доступны при нажатии кнопки треугольника справа от текстовых полей X (t) и Y (t) . Для получения подробной информации об этих функциях, пожалуйста, прочтите встроенные функции LabTalk.

    Кроме того, вы можете ввести функцию прямо в текстовое поле, используя любые операторы, распознаваемые Origin.Для умножения вы должны включить оператор умножения (*). Вы также можете вызвать любую из встроенных функций Origin, даже если они недоступны из раскрывающегося меню треугольной кнопки или из любых функций, которые вы определили.

    Если вы нажмете кнопку «Показать в отдельном окне» под кнопкой треугольника, откроется новое диалоговое окно Y (x) = с более широким полем ввода и панелью предварительного просмотра. На панели предварительного просмотра отображается столбец, рассчитанный по заданной вами формуле. Вы можете проверить результат и при необходимости отредактировать формулу в поле ввода.

    Определение

    Задайте имена и значения переменных. Эти переменные можно использовать в определении функции. Если переменная еще не определена, но используется в теле функции, она будет выделена красным цветом.

    Показать скрипт LabTalk

    Установите этот флажок, чтобы определять переменные с помощью сценариев LabTalk. Если вы уже определили некоторые переменные в таблице Definition , установите этот флажок, чтобы отобразить эквиваленты этих определений в сценариях LabTalk.

    Помимо встроенных или определяемых пользователем функций, здесь поддерживаются любые сценарии LabTalk. Вы можете использовать переменные диапазона, строковые переменные, циклы и X-функции, доступные в LabTalk. Введенные здесь сценарии будут запущены перед определением формулы.

    Существует быстрый способ загрузить сценарий условного управления или цикла при выполнении сценария в поле Перед сценарием формулы .

    Published in Разное

    Ваш комментарий будет первым

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

      © 2019 iApple-59.ru