НаТмитС "Enter", Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΡŽ

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ: ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π³Ρ€Π°Ρ„ 6

Β§ 6. Π“Π ΠΠ€Π˜ΠšΠ˜ Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π™ И НЕРАВЕНБВВ Π‘ Π”Π’Π£ΠœΠ― ΠŸΠ•Π Π•ΠœΠ•ΠΠΠ«ΠœΠ˜

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 12

1. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° y = f (x) + g (x)

Если Π½Π°ΠΌ извСстны Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ y = f (x) ΠΈ y = g (x), Ρ‚ΠΎ эскиз Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = f (x) + g (x) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ: ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ f (x) ΠΈ g (x), Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ искомый Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ, выполняя для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ значСния Ρ… (ΠΈΠ· области опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (x) + g (x)) Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ с ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ f (x) ΠΈ g (x).

Аналогично ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ схСматичСскиС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

y = f (x)-g (x) ΠΈ y = -1-.

f (x)

Β 

86 Π Π°Π·Π΄Π΅Π» 1. ЀУНКЦИИ, Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π―, НЕРАВЕНБВВА

ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆ. Ρ‚Π°Π±Π». 12

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

ΠšΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

2 1

Ρƒ = Ρ…2 + -.

X

Β 

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€-Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ-слагаСмых: Ρƒ = Ρ…2 ΠΈ Ρƒ = β€” (Π½Π° рисункС ΠΎΠ½ΠΈ

X

ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ линиями).

Для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ значСния Ρ… (ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ… = 0, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ области опрСдСлСния Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ) справа ΠΎΡ‚ оси ΠžΡƒ прибавляСм ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ β€” значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ f (Ρ…) ΠΈ g (Ρ…) (ΠΎΠ±Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ), слСва ΠΎΡ‚ оси ΠžΡƒ β€” Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ (Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ). На рисункС синСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°-

2 β€”

ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = Ρ… +β€”.

2. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нСравСнств с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ уравнСния (нСравСнства) с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ… ΠΈ Ρƒ называСтся мноТСство всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (Ρ…; Ρƒ), Π³Π΄Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π° чисСл (Ρ…; Ρƒ) являСтся Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ уравнСния (нСравСнства).

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нСравСнств

Π£1 y>f(x) К&/ Π»/ y<f(x) Π£1 3 II * Ρ…>Π° Π£’ Ρ…<Π° Π² II Π½

0 X 0 Π° X 0 Π° Ρ…

Β 

Ρƒ’ Ρ…2 + Ρƒ2 > R2 \

1

1

\

\

\

\ ΠΎ ; Ρ… t t *

-Π”.’

Ρ…2 + Ρƒ2 < R2

\R

Β 

Β§ 6. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нСравСнств с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ 87

ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆ. β€” Π½Π° с. 92 (Π² послСднСм случаС

f (x)

ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ y = f (x) ΠΈ Ρƒ = Π½Π΅ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ систСмС

f (x)

ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π° Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ…, располоТСнных Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΡ… оси ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой).

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ способ построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ всСгда Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ всС Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ особСнности повСдСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° (часто это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ исслСдования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ рассмотрСно Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅ для 11 класса), Π½ΠΎ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… случаях ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ способ позволяСт ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ прСдставлСниС ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

2. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нСравСнств с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. Π‘ понятиСм Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° уравнСния с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Ρ‹ ознакомились Π² курсС Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹. Аналогично вводится ΠΈ понятиС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° нСравСнства с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ²:

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ уравнСния (нСравСнства) с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ… ΠΈ Ρƒ называСтся мноТСство всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (Ρ…; Ρƒ), Π³Π΄Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π° чисСл (Ρ…; Ρƒ) являСтся Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ уравнСния (нСравСнства).

9 Для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° нСравСнства y > f (x) (ΠΈΠ»ΠΈ y < f (x)) достаточно ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = f (x). Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = f (x) состоит ΠΈΠ· всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ M ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (x; y) = (x; f (x)). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ значСния x Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ нСравСнству y > f (x), Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ M (рис. 42, Π°), Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ нСравСнству y < f (x), Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ M (рис. 42, Π±). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ,

Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ нСравСнства y > f (x) состоит ΠΈΠ· всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости, находящихся Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = f (я), Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ нСравСнства y < f (я) состоит ΠΈΠ· всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости, находящихся Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = f (я). О

НапримСр, Π½Π° рисункС 43 ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ нСравСнства y > x2, Π° Π½Π° рисункС 44 β€” Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ нСравСнства y < x2. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° y = x2 Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ нСравСнства y > x2, Ρ‚ΠΎ Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π° y = x2 ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π° ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ; Π° Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° y = x2 ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ нСравСнства y < x2, Ρ‚ΠΎ Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π° y = x2 ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π° сплошной Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ.

Аналогично, Ссли Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости Π΅ΡΡ‚ΡŒ прямая x = Π°, Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ нСравСнства x > Π° Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости, находящиСся справа ΠΎΡ‚ этой прямой, Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ нСравСнства x < Π° Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости, находящиСся слСва ΠΎΡ‚ этой прямой.

Β§ 6. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нСравСнств с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ 89

Ρƒ\ 1

/(*)

*

*

* V>f(x) , А?’

1 0 Ρ… Ρ…

Π£ f(x) Π£ $ М%» y<f{x)

Β 

/

/

# 0 X

Π£1

1

1

1

1

t

1

1

V

V \

1

\

\

\ Π£ > Ρ…21 1 1 1 1 1 1 1 / i / /

0 ΠΆ

Рис. 42

Рис. 43

Β 

Β 

Β 

Рис. 45

НапримСр, Π½Π° рисункС 45 ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ нСравСнства x> 2, Π° Π½Π° рисункС 46 β€” Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ нСравСнства x < β€”1.

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΎ-Π±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ окруТности x2 + y2 = R2, Ρ‚ΠΎ

Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ нСравСнства x2 + y2 < R2 Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости, находящиСся Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ окруТности, Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ нСравСнства x2 + y2 > R2 Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости, находящиСся Π²Π½Π΅ окруТности.

0 Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ссли Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ M (x, y), Ρ‚ΠΎ OM2 = x2 + y2 (O β€” Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚). Если x2 + y2 = R2 (Π³Π΄Π΅ R > 0), Ρ‚ΠΎ OM2 = R2, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, OM = R β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° M Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° окруТности радиуса R с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (рис. 47, Π°).

Если x2 + y2 < R2, Ρ‚ΠΎ OM2 < R2, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, OM< R. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ нСравСнству x2 + y2 < R2 ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ (ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ этих Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ находятся Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ радиуса R с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (рис. 47, Π±).

Если x2 + y2 > R2, Ρ‚ΠΎ OM2 >R2, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, OM> R. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ нСравСнству x2 + y2 > R2 ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ (ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ этих Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ находятся Π²Π½Π΅ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ радиуса R (рис. 47, Π²).

Аналогично, Ссли Π½Π° плоскости Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ окруТности (x — Π°)2 + + (y — b)2 = R2, Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ нСравСнства (x — Π°)2 + (y — b)2 < R2 Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ всС Ρ‚ΠΎΡ‡

Π±

Π°

Β 

90 Π Π°Π·Π΄Π΅Π» 1. ЀУНКЦИИ, Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π―, НЕРАВЕНБВВА

ΠΊΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости, находящиСся Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ этой окруТности, Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ нСравСнства (Ρ… — Π°)2 + (Ρƒ — b)2 > R2 Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости, находящиСся Π²Π½Π΅ окруТности. !Π― 1 t * / βœ“ ΠΈ

Рис. 47

Π£’ * * / / / 1 1 Ρ…2 + Ρƒ2>9 Ρ‡ Ρ‡ Ρ‡ \ \ 1 1

1

1

\

\

\

Ρ‡

Ρ‡ ΠΎ Π·: Ρ… t / / / Π³ *

Рис. 48

Β 

3. ГСомСтричСскиС прСобразования Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° уравнСния F (я; Ρƒ) = 0.

О По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ уравнСния

F (Ρ…; Ρƒ) = 0 (1)

состоит ΠΈΠ· всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ М (Ρ…0; Ρƒ0) ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ (Ρ…0; Ρƒ0) ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ этого уравнСния. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ подстановкС ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ чисСл (Ρ…0; Ρƒ0) Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½ΠΎ обращаСтся Π² Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ числовоС равСнство, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, F (Ρ…0; Ρƒ0) = 0 β€” Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ равСнство.

Рассмотрим Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ М1 (Ρ…0 + Π°; Ρƒ0 + b). Если ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

F (Ρ… — Π°; Ρƒ — b) = 0, (2)

Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ равСнство F (Ρ…0; Ρƒ0) = 0. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М1 ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ уравнСния (2), Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° M1 ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ уравнСния F (Ρ… — Π°; Ρƒ — b) = 0.

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ М1 (Ρ…0 + Π°; Ρƒ0 + b) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М (Ρ…0; Ρƒ0) ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ пСрСносом Π΅Π΅ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ n (a; b). ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ каТдая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° М1 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

уравнСния F (Ρ… — Π°; Ρƒ — b) = 0 получаСтся ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° уравнСния F (Ρ…; Ρƒ) = 0 ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ пСрСносом Π΅Π΅ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ n (a; b) (рис. 50), Ρ‚ΠΎ ΠΈ вСсь

I

Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ уравнСния F (я — a; Ρƒ — b) = 0 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° уравнСния F (Ρ…; Ρƒ) = 0 ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ пСрСносом Π΅Π³ΠΎ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

n (a; b). О

β€’ Для обоснования связи ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ F (Ρ…; Ρƒ) = 0 ΠΈ F (| Ρ… |; Ρƒ) = 0 Π΄ΠΎ-статочно Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… 1 0 ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ F (| Ρ… |; Ρƒ) = 0 совпадаСт с ΡƒΡ€Π°Π²-Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ F (Ρ…; Ρƒ) = 0, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΈ ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ справа ΠΎΡ‚ оси ΠžΡƒ ΠΈ Π½Π° самой оси. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° M (Ρ…0; Ρƒ0) (Π³Π΄Π΅ Ρ…0 1 0) β€” ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ этих Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ². Π’ΠΎΠ³Π΄Π° F (Ρ…0; Ρƒ0) = 0 β€” Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ равСнство.

Β 

Β 

Рассмотрим Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ М1 (-Ρ…0; Ρƒ0 ). Если ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ F (| Ρ… |; Ρƒ) = 0 ΠΈ ΡƒΡ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ…0 1 0, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ равСнство F (Ρ…0; Ρƒ0) = 0. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М1 ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ уравнСния F (| Ρ… |; Ρƒ) = 0, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° M1 ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ этого уравнСния. Учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М ΠΈ М1 симмСтричны ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ΠžΡƒ (рис. 51) , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

I

Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ уравнСния F (| Ρ… |; Ρƒ) = 0 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΡƒΡ€Π°Π²-нСния F (Ρ…; Ρƒ) = 0 ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° уравнСния F (Ρ…; Ρƒ) = 0 справа ΠΎΡ‚ оси ΠžΡƒ (ΠΈ Π½Π° самой оси) остаСтся Π±Π΅Π· ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈ эта ΠΆΠ΅ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° отобраТаСтся симмСтрично ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ΠžΡƒ. О

Аналогично обосновываСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

1

для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° уравнСния F (Ρ…; | Ρƒ |) = 0 Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° уравнСния F (Ρ…; Ρƒ) = 0 Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ оси ΠžΡ… (ΠΈ Π½Π° самой оси) остаСтся Π±Π΅Π· ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈ эта ΠΆΠ΅ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° отобраТаСтся симмСтрично ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ΠžΡ….

Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ 12 ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ использования гСомСтричСских ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ приходится ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Π² заданиях Ρ‚ΠΈΠΏΠ°: ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ уравнСния ΠΈΠ»ΠΈ нСравСнства ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ (нСравСнству).

Β 

92 Π Π°Π·Π΄Π΅Π» 1. ЀУНКЦИИ, Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π―, НЕРАВЕНБВВА

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1*

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡

β€”

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ =

2

Ρ… — 9

РСшСниС

β–Ί Ρ…2 — 9 = 0 ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = Β±3. = ~2β€”β€”. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ

ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒ- Π½Ρ‹Π΅ прямыС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚

β€”

Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ =

f (Ρ…)

Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ для

ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ значСния Ρ… Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ 1 Π½Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ f (Ρ…) (ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ f (Ρ…) ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ Π½Π° Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅). На рисункС синСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ β€” Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Ρƒ = ~2β€”β€”. (Для построСния этого Π³Ρ€Π°-

Ρ…2 — 9

Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π± ΠΏΠΎ осям ΠžΡ… ΠΈ ΠžΡƒ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΉ.)

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2

ΠŸΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости мноТСство

Ρ…2 + Ρƒ m ΠΎ, Ρ… — Ρƒ < 2.

ΠšΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ систСмС

РСшСниС β–Ί Заданная систСма Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Π° си-

\Ρƒ m -Ρ…2,

стСмС

Ρƒ > Ρ… — 2.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ систСму Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… нСравСнств (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ запишСм нСравСнства Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρƒ > f (Ρ…)

Β 

Β§ 6. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нСравСнств с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ 93

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ нСравСнств систСмы (ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ β€” Π²Π΅Ρ€-Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ β€” Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ):

Β 

Π½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ систСмС, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ:

Β 

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3*

ΠΈΠ»ΠΈ Ρƒ < f (Ρ…)). ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΊΠΎ-ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ нСравСнству Ρƒ < -Ρ…2, являСтся объ-Π΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Ρƒ = -Ρ…2 ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости, находящихся Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ (Π½Π° Ρ€ΠΈ-сункС это мноТСство ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΎ Π²Π΅Ρ€-Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ). ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚-Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ нСравСнству Ρƒ > Ρ… — 2, состоит ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости, находящихся Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ прямой Ρƒ = Ρ… — 2 (Π½Π° рисункС это мноТСство ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ).

БистСмС нСравСнств ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚Π΅Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ мноТСств Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ· нСравСнств Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ систСмы (Π½Π° рисункС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ мноТСств соотвСтствуСт Ρ‚Π° ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ, Π³Π΄Π΅ ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²ΠΊΠΈ налоТились Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°).

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… заданиях ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… рисунков, Π° сразу ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ искомоС мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости (Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ прямой Ρƒ = Ρ… — 2 ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Ρƒ = -Ρ…2 вмСстС с Ρ‚ΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹, которая Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ прямой).

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ уравнСния | Ρ… — Ρƒ | + 2 | Ρ…+Ρƒ | = Ρ… + 6. ΠžΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€

Для упрощСния выраТСния с нСсколькими модулями с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ) ΠΈ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния рассматриваСмого выраТСния Π½Π° нСсколько частСй, Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ модуля раскрываСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ этот ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠ»Π°Π½ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ выраТСния Ρ… — Ρƒ = 0 (ΠΎΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Ρƒ = Ρ…) ΠΈ Ρ… + Ρƒ = 0 (ΠΎΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Ρƒ = -Ρ…). ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ Ρƒ = Ρ… ΠΈ Ρƒ = -Ρ… Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ области. Π’ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· этих областСй Π·Π½Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆ

94 Π Π°Π·Π΄Π΅Π» 1. ЀУНКЦИИ, Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π―, НЕРАВЕНБВВА

Π΄ΠΎΠ³ΠΎ модуля раскрываСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ, послС прСобразования ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ равСнства строим ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния.

РСшСниС

β–Ί 1. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния: Ρ… β€” любоС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Ρƒ β€” любоС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.

2. Ρ… — Ρƒ = 0 ΠΏΡ€ΠΈ Ρƒ = Ρ…; Ρ… + Ρƒ = 0 ΠΏΡ€ΠΈ Ρƒ = -Ρ….

3. ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ Ρƒ = Ρ… ΠΈ Ρƒ = -Ρ… Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ части, Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄- ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (рис.

Вопросы для контроля

1. ΠžΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ…, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, имСя Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ y = f (Ρ…) ΠΈ y = g (Ρ…), ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ эскиз Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = f (Ρ…) + g (Ρ…) ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

_ 1 Ρƒ _ f (Ρ…).

2. Π§Ρ‚ΠΎ называСтся Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ уравнСния с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ? Π§Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°-Стся Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ нСравСнства с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ? ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

3. Как, зная Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = f (Ρ…), ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ нСравСнства y > f (Ρ…) ΠΈ нСравСнства y < f (Ρ…)? ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

4. Как, зная Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ уравнСния F (Ρ…; y) = 0, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΡƒΡ€Π°Π²-нСния F (Ρ… — a; y — b) = 0 ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ F (| Ρ…| ; y) = 0 ΠΈ F (Ρ…; | y |) = 0? ΠŸΡ€ΠΈ-Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

5*. ΠžΠ±ΠΎΡΠ½ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° гСомСтричСских ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° уравнСния F (Ρ…; y) = 0 для получСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ F (Ρ… — a; y — b) = 0, F (| Ρ… |; y) = 0, F (Ρ…; | y |) = 0.

6. ΠžΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости ΠΌΠ½ΠΎ-ТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ систСмС нСравСнств с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.

УпраТнСния

1. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ эскиз Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

1) Ρƒ _ Ρ… + β€”; 2) Ρƒ _ Ρ… — β€”; 3*) Ρƒ _ Ρ…3 + β€”; 4*) Ρƒ _ Ρ…2 — β€”.

Ρ… Ρ… Ρ… Ρ…

2. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ уравнСния:

1) | y | = Ρ… — 2; 2) | y | = Ρ…2- Ρ…; 3) | Ρ… | = -y2;

4) | Ρ… | +| y | = 2; 5) | Ρ… | — | y | = 2.

3. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ нСравСнства:

1) y > Ρ…2 — 3; 2) Ρƒ < β€”; 3) Ρ…2 + y2 m 25;

Ρ…

4) (Ρ… — 2)2 + (y + 3 )2 > 4.

4. ΠŸΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΊΠΎ-ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ систСмС:

Ρƒ m 5 — Ρ…,

Ρƒ 1 Ρ…,

Ρƒ m 2Ρ… + 4.

5*. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ уравнСния:

1) | Ρ… — Ρƒ | — | Ρ… + Ρƒ | = y + 3; 2) | Ρ… — 2Ρƒ | + | 2Ρ… — Ρƒ | = 2 — y;

3) | 3Ρ… + Ρƒ | + | Ρ… — Ρƒ | = 4.

Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π² Excel ΠΏΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ

ΠžΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ: Автор: Π”ΠΌΠΈΡ‚Ρ€ΠΈΠΉ ΠŸΡ€ΠΎΡΠ²Π΅Ρ‚ΠΎΠ²

Как ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½Π° Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ Π²ΠΎΡΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»Π°ΡΡŒ. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ особСнно Π°ΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π² Π°Π½Π°Π»ΠΈΡ‚ΠΈΠΊΠ΅. Рассмотрим, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π² Excel ΠΏΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ.

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

  1. Π§Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅
  2. А Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈ это
  3. Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ уравнСния рСгрСссии Π² Excel
  4. ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹
  5. Как ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ
  6. Анализ
  7. Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π² Excel
  8. Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния
  9. Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄

Π§Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ зависят ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ…. Π˜Π½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡ Π»Π΅Π³Ρ‡Π΅ воспринимаСтся. ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ отобраТаСтся Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠ° измСнСния Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ….

А Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈ это

ГрафичСский способ отобраТСния ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ вострСбован Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ…, исслСдованиях, ΠΏΡ€ΠΈ создании Π΄Π΅Π»ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΏΠ»Π°Π½ΠΎΠ², ΠΎΡ‚Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠ², ΠΏΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΉ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ». Π Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‡ΠΈΠΊΠΈ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ»ΠΈ способы Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ прСдставлСния: Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹, ΠΏΠΈΠΊΡ‚ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹.

Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ уравнСния рСгрСссии Π² Excel

РСгрСссионный Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· β€” статистичСский ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ исслСдования. УстанавливаСт, ΠΊΠ°ΠΊ нСзависимыС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Π²Π»ΠΈΡΡŽΡ‚ Π½Π° Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ. Π Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ инструмСнты для Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°.

ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄ использованиСм Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠŸΠ°ΠΊΠ΅Ρ‚ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅:
Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»:
Π”Π°Π»Π΅Π΅:
ΠŸΡ€ΠΎΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠΊΠ½ΠΎ Π²Π½ΠΈΠ·, Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅:
ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚:
ΠžΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» Β«Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅Β», появится ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠ° «Анализ».

Как ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ

Рассмотрим Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅. Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π° Π²ΠΎΠ·Π΄ΡƒΡ…Π° ΠΈ число ΠΏΠΎΠΊΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ. Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ выводятся Π·Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΠΉ дСнь. Как Ρ‚Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π° влияСт Π½Π° ΠΏΠΎΡΠ΅Ρ‰Π°Π΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅:
Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅:
ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡΡ ΠΎΠΊΠ½ΠΎ настроСк, Π³Π΄Π΅ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»:

  1. Y. Π―Ρ‡Π΅ΠΉΠΊΠΈ с Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ влияниС Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ. Π­Ρ‚ΠΎ число ΠΏΠΎΠΊΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ. АдрСс ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π²Ρ€ΡƒΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ столбСц;
  2. Π₯. Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅, влияниС Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ. Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π° влияСт Π½Π° количСство ΠΏΠΎΠΊΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ выдСляСм ячСйки Π² столбцС Β«Π’Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Β».

Анализ

НаТав ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ «ОК», отобразится Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚.
Основной ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ β€” R-ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ качСство. Он Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0,825 (82,5%). Π§Ρ‚ΠΎ это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚? Зависимости, Π³Π΄Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ мСньшС 0,5 считаСтся ΠΏΠ»ΠΎΡ…ΠΈΠΌ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ это Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ. Y-пСрСсСчСниС. Число ΠΏΠΎΠΊΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, Ссли Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. 62,02 высокий ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ.

Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π² Excel

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄: y=ax2+bx+c. Рассмотрим Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ: [-4:4].

  1. Π‘ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° ΡΠΊΡ€ΠΈΠ½ΡˆΠΎΡ‚Π΅;
  2. Π’ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ строкС ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ коэффициСнты ΠΈ ΠΈΡ… значСния;
  3. ΠŸΡΡ‚Π°Ρ β€” Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ;
  4. Π’ ячСйку B6 вписываСм Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΡƒΒ =$B3*B5*B5+$D3*B5+$F3;

ΠšΠΎΠΏΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π΅Ρ‘ Π½Π° вСсь Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ.
ΠŸΡ€ΠΈ вычислСнии Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ прописываСтся Π·Π½Π°ΠΊ Β«$Β». Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ссылка Π±Ρ‹Π»Π° постоянной. ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ смотритС Π² ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅: «Как Π·Π°Ρ„ΠΈΠΊΡΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ячСйку».
Π’Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ Π½ΠΈΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅:
ΠŸΠΎΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π² свободноС мСсто Π½Π° листС.

Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния

Ѐункция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄: y=kx+b. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ [-4;4].

  1. Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ прописываСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ постоянных Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½. Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠΊΠ° Ρ‚Ρ€ΠΈ;
  2. Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠΊΠ° 5. Π’Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ;
  3. Π―Ρ‡Π΅ΠΉΠΊΠ° Π’6. ΠŸΡ€ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ.

Π’Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ячССк A5:J6. Π”Π°Π»Π΅Π΅:
Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ β€” прямая линия.

Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄

ΠœΡ‹ рассмотрСли, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π² ЭксСлС (Excel) ΠΏΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ. Π“Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ β€” ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ ΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ — ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ

30-DAY PROMIS | ΠŸΠžΠ›Π£Π§Π˜Π’Π• 100% Π’ΠžΠ—Π’Π ΠΠ’ ДЕНЕГ*

*T&C Apply

LearnPracticeDownload

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ β€” это процСсс прСдставлСния Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ β€” это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ стСпСни, Ρ‚. Π΅. Π½Π°ΠΈΠ²Ρ‹ΡΡˆΠ΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ стСпСни ΠΈΠ»ΠΈ показатСля стСпСни ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ 1, Π½ΠΎ Π½Π΅ большС 1 Π½ΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ· случаСв. РСшСниС Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ содСрТащихся Π² Π½Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, Π° графичСский ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ являСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.

1. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ графичСскоС ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ?
2. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
3. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ
4. Часто Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ вопросы ΠΎ графичСских Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… уравнСниях

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ графичСскоС ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ?

Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния β€” это алгСбраичСскиС уравнСния, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ константу, Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ содСрТит 2 ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅ΠΉ стСпСни 1. ΠœΡ‹ прСдставляСм Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ y=mx+b, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстной ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния y. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ называСтся графичСским ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. ΠœΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ x+2y=7 Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ x+2y=7 ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ линию. Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ всС Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния ΡΠΎΠ·Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ линию ΠΊΠ°ΠΊ с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ линию, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ оси y, ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ x ΠΈ y ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ линию. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡŽΡ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ программирования.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅:

  • Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ любая линия пСрСсСкаСт ось X Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ — Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния с X
  • Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ любая линия пСрСсСкаСт ось Y Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ — Y-Intercept

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ прСдставлСнии Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости. ΠŸΡ€ΠΈ построСнии уравнСния Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ достаточно Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ°Ρ€ (x, y). Однако ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ ошибки Π² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ этих Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ всСгда ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, рСкомСндуСтся нанСсти Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния, Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹. Для построСния Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ шаги:

  • Π£Π±Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прСдставлСно Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ y, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ y = mx + b.
  • ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΏΡ€ΠΎΠ± ΠΈ ошибок ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ значСния (x, y) Π΄ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΏΠ°Ρ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ.
  • НайдитС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния x ΠΈ y уравнСния. Для Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния ΠΏΠΎ оси y ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x = 0. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ x = a, для x-пСрСсСчСния ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y = 0 Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ y = c.
  • Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (a, 0) ΠΈ (0, c). Π‘ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΈ Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ значСния x ΠΈ y соотвСтствСнно.
  • НанСситС всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Π±ΡƒΠΌΠ°Π³Ρƒ.
  • Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚Π΅ всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅, ΠΈ Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ линию, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ графичСски.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния x+2y=7.

РСшСниС: ΠœΡ‹ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ шаги:

  • Π¨Π°Π³ 1: ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ x+2y=7 Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ y = mx + b. [ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ: Ρƒ = — (1/2) Ρ… + 7/2]
  • Π¨Π°Π³ 2: НайдитС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния x ΠΈ y соотвСтствСнно. Для этого Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ y = 0: x = 7-2(0), x=7. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ x=0 Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ. 2y=7-(0), y=7/2 = 3,5
  • Π¨Π°Π³ 3: ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΏΡ€ΠΎΠ± ΠΈ ошибок ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ 3 ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ (x, y), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ x=7-2y. (см. Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π½ΠΈΠΆΠ΅)
  • Π¨Π°Π³ 4: НанСситС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (7,0), (5,1) ΠΈ (3,2) Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.
  • Π¨Π°Π³ 5: Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚Π΅ всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ²ΠΊΠ΅, ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ линию, графичСски ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Π‘ΠΌ. значСния x ΠΈ y Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅:

x 7 5 3
Π³ 0 1 2

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. Π›ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, нанСсСнныС Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Иногда Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ, оставляя ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° этой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π² качСствС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ данная систСма ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ бСсконСчноС количСство Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Если систСма ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚ΠΎ говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ²Π°; Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ нСсовмСстим. НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ шаги для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ:

  • Π¨Π°Π³ 1: Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΌΡ‹ рисуСм ΠΎΠ±Π° уравнСния.
  • Π¨Π°Π³ 2. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ€ΡƒΡ‡Π½ΡƒΡŽ, сначала ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ y=mx+b, Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ y.
  • Π¨Π°Π³ 3: НачнитС Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ значСния x ΠΊΠ°ΠΊ 0, 1, 2 ΠΈ Ρ‚. Π΄. ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ значСния y ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚.
  • Π¨Π°Π³ 4: ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, Π³Π΄Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ.
  • Π¨Π°Π³ 5: Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния β€” это Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: НайдитС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ графичСски.

-x+2y-3 =0

3x+4y-11=0

РСшСниС: Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ шаги, упомянутыС Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ ΠΈΡ… Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ посмотрим, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Как Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π½ΠΈΠΆΠ΅, ΠΎΠ±Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² (1, 2). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΅ΡΡ‚ΡŒ x=1 ΠΈ y=2.

Π’Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹

  • Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
  • Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния всСгда прСдставляСт собой ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ линию.
  • Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ y = mx всСгда ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (0, 0).

Π—Π°Π³Π°Π΄ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ вопросы

  • Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ Π΄Π²ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа Ρ€Π°Π²Π½Π° 8. ΠŸΡ€ΠΈ пСрСстановкС Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ число увСличиваСтся Π½Π° 18. НайдитС число.
  • Π’ ΠΊΠΎΠΏΠΈΠ»ΠΊΠ΅ Π”ΠΆΠ΅ΠΉΠΊΠ° 11 ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ‚ (Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ дСсятицСнтовик) Π½ΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΎΠΌ 1,85 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€Π°. Бколько дСсятицСнтовиков ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ² Π² ΠΊΠΎΠΏΠΈΠ»ΠΊΠ΅?

Π’Π΅ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅

  • Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния
  • Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
  • Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ
  • ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
  • Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния
  • ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
  • КакоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ?

Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

  1. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: ИзабСлла ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ x — 2y = 2. ΠŸΠΎΠΌΠΎΠ³ΠΈΡ‚Π΅ Π΅ΠΉ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.

    РСшСниС:

    Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ x-2y=2. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ y = mx + bβ‡’ y = x/2 — 1. Нам Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния x ΠΈ y соотвСтствСнно. Для этого Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ y=0β‡’ x=2(0)+2, x=2. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ x=0 Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ. 2Ρƒ=(0) — 2, Ρƒ=1. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΏΡ€ΠΎΠ± ΠΈ ошибок ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ 3 ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ (x, y), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ y=x/2-1. Π‘ΠΌ. значСния x ΠΈ y Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅:

    Ρ… 2 4 0
    Π³ 0 1 -1

    НанСситС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (2,0),(4,1),(0,-1) Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚Π΅ всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ²ΠΊΠ΅, ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ линию, графичСски ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

  2. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: Уильям Ρ…ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ -1/2x+1/3y=1. ΠŸΠΎΠΌΠΎΠ³ΠΈΡ‚Π΅ Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ для Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

    РСшСниС:

    Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ -1/2x+1/3y=1. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ y = mx + bβ‡’ 6 + 6x/2. Нам Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния x ΠΈ y соотвСтствСнно. Для этого ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΏΡ€ΠΎΠ± ΠΈ ошибок, поставив Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ y=6β‡’ x=3. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ x=2 Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ. Ρƒ=3. Π‘ΠΌ. значСния x ΠΈ y Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅:

    Ρ… 2 0
    Ρƒ 6 3
    РСшСния (2,6) (0,3)

ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ слайдупСрСйти ΠΊ слайду

Π Π°Π·Π±ΠΈΠ²Π°ΠΉΡ‚Π΅ слоТныС ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ простых Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… срСдств.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° большС Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ слоТным ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠΌ, особСнно ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΉ.

Π—Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° бСсплатный ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠΊ

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ вопросы ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

Β 

ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ слайдупСрСйти ΠΊ слайдупСрСйти ΠΊ слайду

Часто Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ вопросы ΠΎ графичСских Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… уравнСниях

Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅?

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния:

  • ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² нанСсСнии всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.
  • Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ способ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² использовании Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния оси Y ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° уравнСния.

КакиС 3 способа ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅?

3 способа построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния:

  • ИспользованиС Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния.
  • Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΠΉ Y Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния.
  • ИспользованиС Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ пСрСсСчСния x ΠΈ y Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния.

Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния с двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ?

ГрафичСскоС Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ:

  • НайдитС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния оси Y ΠΈΠ· Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ΠΈ постройтС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ.
  • Из Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния оси Y Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΈ нанСсти Π΅Π΅ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.
  • Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ.

Какая Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния?

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния: y = mx + b.

Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ пСрСсСчСния?

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния алгСбраичСски, ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния ΠΏΠΎ оси x ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ y=0 ΠΈ всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния ΠΏΠΎ оси y ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ x=0.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ значСния x ΠΈ y, подставив значСния Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ пСрСсСчСния x ΠΈ y соотвСтствСнно.

КакоС минимальноС количСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния?

Π”Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ β€” это минимальноС количСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния.

Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния Y Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅?

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎ оси Y β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ пСрСсСкаСт ось Y, Π° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Y ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° X Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°?

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ ax+by=c. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹ просто устанавливаСтС x = 0, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния с осью y, ΠΈ устанавливаСтС y = 0, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния с x. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ значСния.

Π‘ΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π‘Π•Π‘ΠŸΠ›ΠΠ’ΠΠ«Π• ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹

Π Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΠΉ лист Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния

Π Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΠ΅ листы ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ»Π°Π½

1.1: Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния

  1. ПослСднСС обновлСниС
  2. Π‘ΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ PDF
  • Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€ страницы
    37805
    • Π ΡƒΠΏΠΈΠ½Π΄Π΅Ρ€ Π‘Π΅ΠΊΠΎΠ½ ΠΈ Π ΠΎΠ±Π΅Ρ€Ρ‚Π° Π‘Π»ΡƒΠΌ
    • КоллСдТ Π”Π΅ Анза
    • 900 57
      Π¦Π΅Π»ΠΈ обучСния

      Π’ этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Π²Ρ‹ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ:

      1. Π ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ линию, зная Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
      2. НарисуйтС линию, Ссли Π²Π°ΠΌ Π΄Π°Π½ΠΎ Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² парамСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅
      3. НачСртитС ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ уравнСния Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ

      ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈΠ· уравнСния

      УравнСния, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой прямыС Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ уравнСниями. НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:

      \(2 x-3 y=6, \quad 3 x=4 y-7, \quad y=2 x-5, \quad 2 y=3, \quad \text { ΠΈ } \quad x-2=0\)

      Линия ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСляСтся двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. Π­Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x ΠΈΠ»ΠΈ y, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ найдя Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ.

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ \(\PageIndex{1}\)

      НарисуйтС ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ: \(y = 3x + 2\)

      РСшСниС

      Нам Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ хотя Π±Ρ‹ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. ΠœΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ x = — 1, x = 0 ΠΈ x = 1.

      • Если x = -1, Ρ‚ΠΎ y = 3(-1) + 2 ΠΈΠ»ΠΈ -1. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, (-1, -1) β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° этой прямой.
      • Если x = 0, Ρ‚ΠΎ y = 3(0) + 2 ΠΈΠ»ΠΈ y = 2. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° (0, 2).
      • Если x = 1, Ρ‚ΠΎ y = 5, ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (1, 5).

      НиТС Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ суммированы, Π° линия построСна Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.

      Ρ… -1 0 1
      Ρƒ -1 2 5

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ \(\PageIndex{2}\)

      НарисуйтС линию: \(2x + y = 4\)

      РСшСниС

      ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ s Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ .

      ΠœΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ x = -1, x = 0 ΠΈ y = 2.

      • Если x = -1, Ρ‚ΠΎ 2(-1) + y = 4, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ y = 6. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, (-1 , 6) β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° этой прямой.
      • Если x = 0, Ρ‚ΠΎ 2(0) + y = 4, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ y = 4. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° (0, 4).
      • Если y = 2, Ρ‚ΠΎ 2x + 2 = 4, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ x = 1 ΠΈ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (1, 2).

      Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π° линия построСна Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.

      Ρ… -1 0 1
      Ρƒ 6 4 2

      Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния

      Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… линия пСрСсСкаСт оси ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ пСрСсСчСния .
      ΠŸΡ€ΠΈ построСнии Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ нанСсСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ часто ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π΅Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΈΡ… Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ.

      • Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ абсциссы, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ y = 0
      • Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния с осью y, ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ x = 0.
      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ \(\PageIndex{3}\)

      НайдитС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ: \(2x — 3y = 6\) ΠΈ постройтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

      РСшСниС

      Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния ΠΏΠΎ оси x, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ y = 0 Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ x.

      \[\begin{align*} 2x — 3(0) &= 6 \\[4pt] 2x — 0 &= 6 \\[4pt] 2x &= 6 \\[4pt] x &= 3 \end {align*} \nonumber \]

      Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния с x являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ (3,0).

      Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния с осью y, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ x = 0 Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ y.

      \[\begin{align*} 2(0) — 3y &= 6 \\[4pt] 0 — 3y &= 6 \\[4pt] -3y &= 6 \\[4pt] y &= -2 \end{align*} \nonumber \]

      Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ пСрСсСчСния с осью y являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° (0, -2).

      Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ линию, нанСситС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния ΠΏΠΎ осям x (3,0) ΠΈ y (0, -2) ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΈΡ… для построСния Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ.

      ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈΠ· уравнСния Π² парамСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅

      Π’ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ уравнСния прямых ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π² парамСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅. НапримСр, \(x = 3 + 2t\), \(y = 1 + t\). Π‘ΡƒΠΊΠ²Π° \(t\) называСтся ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΈΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.

      ΠŸΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, найдя значСния x ΠΈ y, Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² t числовыми значСниями. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ (x, y), ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ линию.

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ \(\PageIndex{4}\)

      НарисуйтС линию, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ парамСтричСскими уравнСниями: \(x = 3 + 2t\), \(y = 1 + t\)

      РСшСниС

      ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ t = 0, 1 ΠΈ 2; для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ значСния t Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ значСния для x ΠΈ y.

      Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

      Ρ‚ Ρ… Π³ Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ
      0 3 1 (3, 1)
      1 5 2 (5, 2)
      2 7 3 (7, 3)

      Π“ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ

      Когда ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ прСдставляСт собой Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ линию.

      • Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ прямой \(x = a\), Π³Π΄Π΅ \(a\) β€” константа, прСдставляСт собой Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ линию, ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ \((a, 0)\). КаТдая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° этой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ x, Ρ€Π°Π²Π½ΡƒΡŽ a, нСзависимо ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ y.
      • Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ прямой \(y = b\), Π³Π΄Π΅ \(b\) β€” константа, прСдставляСт собой Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ \((0, b)\). КаТдая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° этой прямой ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ y, Ρ€Π°Π²Π½ΡƒΡŽ b, нСзависимо ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ x.
      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ \(\PageIndex{5}\)

      НарисуйтС Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ: x = -2 ΠΈ y = 3.

      РСшСниС

      Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ x = -2 прСдставляСт собой Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ линию, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° x -2 нСзависимо ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ y. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ прСдставляСт собой Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ линию, ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (-2, 0).

      Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ y = 3 прСдставляСт собой Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ линию с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΠΉ y, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ 3, нСзависимо ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ x. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ прСдставляСт собой Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ линию, ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (0, 3).

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅.

    Π’Π°Ρˆ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ

      Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

      Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *