Построение графиков кусочных функций онлайн: Построение графиков функций онлайн

Построение графиков кусочных функций — презентация онлайн

1. Построение графиков кусочных функций

2. у = х3

Кусочно-заданная функция

Реальные процессы, происходящие в природе, можно описать с помощью функций. Так, можно выделить два основных типа течения процессов, противоположных друг другу – это

Наверняка вам уже встречались функции, заданные несколькими формулами, в зависимости от значений аргумента, например:

y = {x – 3, при x > -3;
     {-(x – 3), при x < -3.

Такие функции называются кусочными или кусочно-заданными. Участки числовой прямой с различными формулами задания, назовем составляющими область определения. Объединение всех составляющих является областью определения кусочной функции. Те точки, которые делят область определения функции на составляющие, называются

Упражнения.

Построить графики кусочных функций:

1)       {-3, при -4 ≤ x < 0,
f(x) = {0, при x = 0,
          {1, при 0 < x ≤ 5.

График первой функции – прямая, проходящая через точку y = -3. Она берет свое начало в точке с координатами (-4; -3), идет параллельно оси абсцисс до точки с координатами (0; -3). График второй функции – точка с координатами (0; 0). Третий график аналогичен первому – это прямая, проходящая через точку y = 1, но уже на участке от 0 до 5 по оси Ох.

Ответ: рисунок 1.

2)       {3, если x ≤ -4,
f(x) = {|x² – 4|x| + 3|, если  -4 < x ≤ 4,
          {3 – (x – 4)², если x > 4.

Рассмотрим отдельно каждую функцию и построим ее график.

Так, f(x) = 3 – прямая, параллельная оси Ох, но изображать ее нужно только на участке, где x ≤ -4.

График функции f(x) = |x² – 4|x| + 3| может быть получен из параболы y = x² – 4x + 3. Построив ее график, часть рисунка, которая лежит над осью Ox, необходимо оставить без изменений, а часть, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отобразить относительно оси Ox. Затем симметрично отобразить часть графика, где
x ≥ 0 относительно оси Oy для отрицательных x. Полученный в результате всех преобразований график оставляем только на участке от -4 до 4 по оси абсцисс.

График третьей функции – парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке с координатами (4; 3). Чертеж изображаем только на участке, где x > 4.

Ответ: рисунок 2.

3)       {8 – (x + 6)², если x ≤ -6,
f(x) = {|x² – 6|x| + 8|, если -6 ≤ x < 5,
          {3, если x ≥ 5.

Построение предлагаемой кусочной-заданной функции аналогично предыдущему пункту. Здесь графики первых двух функций получаются из преобразований параболы, а график третьей – прямая, параллельная Ох.  

Ответ: рисунок 3.

4) Построить график функции y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x)² .

Решение. Область определения данной функции – все действительные числа, кроме нуля. Раскроем модуль. Для этого рассмотрим два случая:

1) При x > 0 получим y = x – x + (x – 1 – 1)² = (x – 2)².

2) При x < 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1)² = 2x + x².

Таким образом, перед нами кусочно-заданная функция:

y = {(x – 2)²

Графики обоих функций – параболы, ветви которых направлены вверх.

Ответ: рисунок 4.

5) Построить график функции y = (x + |x|/x – 1)² .

Решение.

Легко видеть, что областью определения функции являются все действительные числа, кроме нуля. После раскрытия модуля получим кусочно-заданную функцию:

1) При x > 0 получим y = (x + 1 – 1)² = x².

2) При x < 0 получим y = (x – 1 – 1)² = (x – 2)².

Перепишем.

y = {x², при x > 0;
      {(x – 2)², при x < 0.

Графики этих функций – параболы.

Ответ: рисунок 5.

6) Существует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую точку с любой прямой?

Решение.

Примером может быть функция f(x) = x³. Действительно, с вертикальной прямой х = а график кубической параболы пересекается в точке (а; а³). Пусть теперь прямая задана уравнением y = kx + b. Тогда уравнение
x³ – kx – b = 0 имеет действительный корень х₀ (так как многочлен нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень). Следовательно, график функции пересекается с прямой y = kx + b, например, в точке (х₀; х₀³).

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Игра в переводчика. Формирование графической культуры учащихся на уроках алгебры

В школьном курсе математики встречаются следующие методы доказательства (решения): аналитический, синтетический, графический, метод от противного, метод математической индукции. Подавляющее большинство задач решается аналитическим методом. Поэтому многие учащиеся полагают, что задачу можно свести к определенной схеме решения, то есть каждый тип задач решается по стандартному алгоритму. Но это ошибочное мнение. Иногда аналитическое решение приводит к громоздким выкладкам, и возникает необходимость использовать другой метод решения, наиболее рациональный для данной задачи. Например, графический метод.

Изучение методической литературы, школьных учебников и различных пособий по математике показало, что графическому методу решения задач не уделяется должного внимания. Решение задач с помощью построения графиков требует определенного уровня подготовки. По мере изучения новых функций увеличивается база знаний учащихся. Зная свойства функций, учащиеся могут строить более сложные графики, а следовательно, имеют возможность решать более сложные задачи. Такие задачи – важное средство развития геометрической интуиции и графической культуры учащихся. Они помогают более глубокому усвоению основных понятий и теорем и применению их на практике, способствуют преодолению формализма в знаниях. Графические образы – наглядная опора, позволяющая упростить аналитическое решение.Разработанная система упражнений может быть использована учителем на уроках математики, на дополнительных занятиях.1. Графическая культура  как одна из составляющих математической культурыВ методике преподавания математики выделяют ряд качеств, характеризующих высокий уровень культуры мышления.Вот основные из них: самостоятельность мышления, то есть умение ставить вопрос и находить соответствующее решение и ответ; критичность и самокритичность мышления – умение давать объективную оценку явлениям, собственным действиям и мыслям; целенаправленность – умение осуществлять разумный выбор действий при решении какой-либо проблемы; широта ума – умение конкретно и всесторонне подходить к рассмотрению того или иного вопроса; глубина ума – умение доходить во всяком вопросе до сути дела, не успокаиваясь на первом, поверхностном объяснении; гибкость ума – умение свободно распоряжаться исходным материалом и видеть его в развитии; открытость ума – умение находить в известном неизвестное; дисциплинированность ума – определенность, непротиворечивость, последовательность, обоснованность; организованность памяти, ясность, точность, лаконичность речи и записи.Специфика математического языка, отличающая его от языков других наук, состоит в  том, что он включает в себя по крайней  мере два подъязыка: символический язык математических формул и язык геометрических фигур, графиков, диаграмм. Второй подъязык хотя и содержит в себе символы, однако обладает образной природой, дает возможность материализовать идеи с помощью тех или иных геометрических образов.Культура принадлежит к числу наиболее сложных, многогранных и многоликих социальных явлений. Графическая культура тесно переплетается со многими другими компонентами феномена «культура» – культурой мышления, речи, визуальной культурой и т. д.Графическую культуру можно рассматривать как умение создавать иллюстрации, блок-схемы, плакаты, рисовать схемы и чертежи.Графические средства отображения информации сегодня широко используются во всех сферах жизни общества. Графические изображения характеризуются образностью, символичностью, компактностью, относительной легкостью прочтения. Именно эти качества графических изображений обусловливают их широкое использование. Прогнозируется, что около 60-70% информации в ближайшее время будет иметь графическую форму предъявления. Учитывая эту  мировую тенденцию, общее среднее образование должно предусмотреть формирование знаний о методах графического представления информации, что обеспечит условия и возможности ориентации выпускника в обществе.Развитие графической культуры учащихся – одна из задач школьного курса алгебры. При построении графиков закладываются основы аналитического мышления, формируется интуиция, развиваются логика и культура использования функциональных изображений.При изучении этой темы осуществляется последовательный переход от одного уровня математической деятельности к следующему, более высокому, обобщаются знания из разных разделов, идет работа с аналитическими и графическими моделями, появляется возможность оценить смысл и значение приобретенных знаний, растет качество знаний. Умение применять графические модели при решении задач способствует формированию целостного представления о классе функций и развитию графического мышления. Графическая культура включает в себя не только умение строить графики (хотя это и считается важным фактором), но и умение видеть по готовому чертежу (графику) свойства функций, а также видеть наиболее рациональный способ решения уравнения, неравенства и системы уравнения и неравенств. Важно, чтобы учащиеся могли делать выводы о взаимном расположении графиков.Типичной ошибкой можно считать сведение всей работы по формированию графической культуры к беспрестанному вычерчиванию все новых и новых графиков. При этом учителя нередко сетуют на то, что хотя они и построили с учащимися большое количество графиков, школьники все же не видят по графику свойств функции.Графический язык является важным средством преодоления формализма в знаниях школьников, развития геометрической интуиции, необходимой для понимания основных факторов анализа и их применения на практике, он способствует формированию прикладных и политехнических умений. Реализация этих возможностей в процессе обучения требует активного оперирования графическими моделями и может быть осуществлена при широком систематическом использовании разнообразных задач графического содержания.    2. Функции и графики в школьных учебникахФункции, их свойства и графики, как в явной, так и в неявной форме, составляют стержень школьного курса алгебры (приложение 1).Уже в 5-6-х классах закладываются основы для систематического изучения функций и дальнейшего развития графической культуры. Проанализировав содержание некоторых учебников по алгебре, можно сделать вывод, что функционально-графическая линия наиболее содержательно прослеживается в учебниках А.Г.Мордковича. Методология концепции изучения функций заключается в том, что каждый год обучения ориентирован на конкретную модель реальной действительности.Основная тема 7-го класса – линейная функция, что с точки зрения моделирования реальных процессов соответствует равномерным процессам. Основная тема 8-го класса – квадратичная функция, моделирующая равноускоренное движение. Что касается старшей школы, тема 10-го класса – тригонометрические функции, которые моделируют периодические процессы. В 11-м классе появляется показательная функция, которая описывает процессы органического роста.Методические особенности концепции изучения функций в учебниках А.Г.Мордковича:1. Отказ от формулировки определений функций при первом появлении этого понятия.2. Постепенное введение в программу свойств функций, подлежащих изучению на различных уровнях строгости.Приведу таблицу стратегии и тактики изучения свойств функций в курсе алгебры 7-10-х классов. Стратегия определяет время введения понятия, а тактика – формирование уровней строгости предъявления понятия. В таблице приняты следующие обозначения:Н – соответствующее свойство функции вводится на наглядно-интуитивном уровне;Р – свойство функции изучается на рабочем уровне, на уровне словесного описания, не загнанного в жесткую формальную конструкцию; Ф – формальное определение свойств. (См. таблицу.)В 7-м классе функционально-графический материал изучается на наглядно-интуитивном уровне, в 8-м классе – на рабочем, и только в 9-м классе – на формальном.3. Для изучения разных видов функций в системе упражнений выделяется инвариантное ядро. Оно строится из шести направлений:- функциональная символика; – графическое решение уравнений;- преобразование графиков; – чтение графика;- отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке; – кусочные функции.Учащиеся привыкают к тому, что, какую бы новую функцию они ни изучали, в системе упражнений обязательно будут упражнения, рассредоточенные по указанным шести блокам.Раскрою методические особенности некоторых из этих направлений, при изучении которых, с моей точки зрения, формируется и развивается графическая культура учащихся.Графическое решение уравненийГрафический метод решения уравнений приводит ученика к ситуации, когда график функции строится не ради графика, а для решения другой задачи. График функции становится не целью, а средством, помогающим решить уравнение. Учащиеся вынуждены применять его, привыкают к нему и относятся как к своему первому помощнику, поскольку никаких других приемов решения того или иного уравнения к этому времени не знают. Я замечаю, что большинству учащихся графический метод решения уравнений нравится, они чувствуют его полезность и красоту и в то же время ощущают проблемность ситуации, вызванную неточностью этого метода. Примеры уравнений для решения графическим способом:  Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежуткеПри изучении каждого класса функций я предлагаю учащимся задания такого типа:найдите наибольшее и наименьшее значения функций ;  на промежутках .Учащиеся строят график функции, выделяют ту часть графика, которая соответствует указанному промежутку, и по графику находят наибольшее и наименьшее значения функции.Методическая ценность подобных заданий заключается в том, что, во-первых, это новая «игра» с функцией, когда график нужен не сам по себе, а для ответа на вопрос задачи, во-вторых, учащиеся привыкают к достаточно сложным математическим понятиям, восприятие которых требует как определенной подготовки, так и определенного уровня графической культуры.Кусочные функцииВо многих случаях именно кусочные функции являются математическими моделями реальных ситуаций. Использование таких функций способствует преодолению обычного заблуждения учеников, отождествляющих функцию только с ее аналитическим заданием в виде некоторой формулы. Использование на уроках кусочной функции дает возможность учителю сделать систему упражнений более разнообразной.Чтение графикаВажно научить учащихся по графику описывать свойства функции, переходить от заданной геометрической модели (графика) к вербальной (словесной). Наличие в курсе алгебры 7-11-х классов достаточно большого числа свойств функций позволяет сделать процесс чтения графика интересным и разнообразным с литературной точки зрения. Ученик учится составлять довольно четкий «словесный портрет» функции по ее графику и аналитическую модель, соответствующую данной геометрической. Времени на прочтение расходуется немного, а воспитательный эффект подобной работы велик.3. Некоторые методические аспекты формирования графической культурыТермин «визуальное мышление» (зрительное, наглядное) – это, по словам Р.Арнхейма, «мышление посредством визуальных (зрительных) операций». Л.Лурия, исследуя познавательные процессы, выделяет «ум, который работает с помощью зрения, умозрительно». Поэтому, чтобы правильно видеть вещи, необходимо обучение.Если написать на доске сложные алгебраические выражения и предложить классу задание  упростить их, то ученики постараются сразу преобразовать. Нужно остановить их. Первым шагом в каждом этапе познания является «живое созерцание».Для того чтобы сделать «живое созерцание» действенным, ученик должен научиться анализу визуальной информации. Какие шаги сопровождают такой анализ? Прежде всего должно произойти осознание общей структуры предложенного изображения (это могут быть формула, чертеж, график, схема и т. п.). При этом ученик стремится распознать некоторую эталонную, стандартную ситуацию, то есть мысленно ответить на вопрос: применение каких знаний, какого правила предполагает поставленная перед ним задача?Происходит расчленение, зрительный анализ информации, в котором важную роль играет узнавание, опознание отдельных ее фрагментов, отождествление одинаковых, сходных по форме или смыслу элементов.Зрительные образы в большей степени, чем слуховые или двигательные, позволяют мгновенно схватывать, понимать отношения, существующие между различными элементами воспринимаемой ситуации. Зрительный образ необычайно емок, так как в нем практически одновременно отражается информация о пространственных, цветовых, динамических, фигуративных характеристиках объектов. Образы обладают гораздо большей ассоциативной силой, чем слова. Зрительный образ весьма пластичен. Манипуляции образами, их достраивание – важнейшие средства продуктивного восприятия и визуального мышления.Многие исследования свидетельствуют о том, что в зрительной системе есть механизмы, обеспечивающие порождение нового образа.Для того чтобы воспитать «математическое зрение», нужно постоянно заботиться об организации зрительной информации. От наивного использования наглядности как средства повышения эффективности урока нужно переходить к формированию стойких визуальных понятий, которые по своему объему, степени обобщенности не уступали бы привычным вербальным понятиям.Но неверным будет абсолютизация роли визуального мышления при обучении математике. Речь должна идти о том, чтобы целенаправленно использовать  зрение  в  развитии  мыслительных  способностей  учащихся, сделать зрительный образ не вспомогательным, а одним из основных методических средств. Большое значение при этом приобретает сочетание визуальных и вербальных приемов. Чтение графика. Ученикам демонстрируется заготовленный заранее график и предлагается перечислить все известные свойства этой функции, задаются вопросы о решении разнообразных уравнений и неравенств, связанных с этим графиком.Чтение графика – это переход от геометрической модели к вербальной, то есть к словесному описанию свойств этой модели, что в процессе обучения не менее важно, чем построение графика на основе исследованных свойств функции. Школьникам, как правило, нравится процедура чтения графика, для них это своеобразная игра в переводчика. Построение графика функции с заданным набором свойств. Например, построить график функции, областью определения которой является отрезок [0; 2], а областью значений – [-2; 2]. Если задавать различные условия, то есть участки монотонности, точки экстремума и т. д., получаются различные варианты решений. Достроение графиков. По заданной части графика достроить его так, чтобы выполнялось требуемое условие или свойство (четность, периодичность)  (приложение 2). В школе чаще всего осуществляются аналитический и формальный подходы к изучению функций. Графикам же уделяется недостаточное внимание. Не разработаны упражнения образного (графического) характера на освоение понятий и утверждений. В качестве упражнений на закрепление приводятся в основном функции, заданные аналитически, поэтому упускаются из виду несущественные свойства. Ученики запоминают определения понятий, формулировки свойств формально, без подкрепления графическими примерами. Жаль, но некоторые учителя верят в ненужность использования графиков разрывных функций, думают,  что для обучения достаточно приводить в качестве примера только функции непрерывные. Работая по учебникам А.Г.Мордковича, при изучении класса функций большое внимание уделяю изучению кусочных функций –  функций,  заданных различными  формулами  на различных участках.Кусочные функции являются во многих случаях математическими моделями реальных ситуаций. Их использование способствует преодолению заблуждения многих учащихся, отождествляющих функцию только с некой формулой, объясняет как в пропедевтическом, так и в мотивационном плане понятие непрерывности. Использование на уроках кусочных функций позволяет сделать систему упражнений более разнообразной (что важно для поддержания интереса), творческой (поскольку появляется возможность предложить учащимся самим конструировать примеры). Отмечу также и воспитательный эффект: умение принять решение, зависящее от правильной ориентировки в условиях; своеобразная эстетика (оценка красоты графиков кусочных функций, предложенных самими учащимися).Готовясь к формированию мысленного образа математического объекта, необходимо в первую очередь создавать у детей адекватное ожидание и привлекать такой наглядно-образный материал, который бы подкреплял это ожидание и не входил с ним в противоречие.Традиционно понятие функции вводится с использованием таких бытовых ситуаций, которые создают неадекватное ожидание. Они формируют неверное направление мысли ученика и такой образ функции, которые затем приводят к многочисленным ошибкам. Обычно такие примеры касаются изменения температуры воздуха и некоторых других непрерывных процессов. В действительности чаще приходится иметь дело с разрывными функциями.Для учеников нужно придумать такие реальные ситуации, которые были бы им понятны и интересны. Описание их с помощью графика должно быть достаточно простым. В то же время первое знакомство с графиками не должно закладывать неправильные представления, которые могут оказаться стойкими и трудно поддающимися исправлению в дальнейшем. Поэтому не рекомендуется приводить только те примеры, которые описываются непрерывными графиками. Необходимо привыкать к разрывным графикам. Первый опыт работы запоминается надолго. И в дальнейшем ребята будут воспринимать разрывные функции как рядовое явление. Практика использования разнообразных задач графического характера показывает, что детям посильны и интересны такие задачи, которые на первый взгляд им не под силу.В приложении 3 я привожу примеры кусочных функций, которые я использую на уроках при изучении различных  типов функций.Кусочные функции начинают встречаться при изучении функционального материала уже в 7-м классе, в других классах сюжет с кусочными функциями становится непременным атрибутом учебного процесса (конспект урока по теме «Построение графиков кусочных функций» в приложении 4).Графически, то есть с помощью геометрических построений, уравнения решались еще древними греками и арабами, но только благодаря трудам Р.Декарта геометрический метод решения уравнений стал общепринятым. Ученикам, которым привито то, что можно назвать графической культурой, не составляет труда решать уравнения таким способом. Идея графического метода решения уравнения F(х) = G(х) достаточно проста и понятна: нужно построить графики функций Y = F(х) и Y=G(х) и найти точки их пересечения; абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения. Графический метод позволяет определить число корней уравнения, найти точные значения корней (хотя и редко, но это все-таки удается), угадать значение корня. Это совсем немало.Но есть и очень яркая разновидность графического метода: если одна из функций F(х) и G(х) убывает, а другая возрастает на промежутке X, то на этом промежутке уравнение F(х) = G(х) либо имеет только один корень, либо не имеет корней.В подобных случаях даже графики функций F(х) и G(х) чертить не надо: если установить разную монотонность функций Y = F(х) и Y = G(х) и каким-то образом подобрать один корень уравнения F(х) = G(х), то уравнение полностью решено – данный корень единственный.Есть еще несколько свойств функций, которые могут быть полезны при решении уравнений. Если, например, наибольшее значение функции F(х) на промежутке X равно А и наименьшее значение функции G(х) на промежутке X равно А, то уравнение F(х) = G(х) равносильно на промежутке X системе уравнений F(х)=A, G(х) = A.Нужно приучать школьников к активному применению функционально-графического метода с самого начала изучения темы «Уравнения» (приложение 5).Хочу заметить, что отработать навыки построения кривой в окрестности точки в зависимости от значения производной функции в этой точке надо заранее, до построения графика функции. Я начинаю формировать этот навык с момента изучения материала о геометрическом смысле производной. В работе я сталкиваюсь с проблемой – дети не всегда могут сопоставить график функции и график производной. На уроках я предлагаю некоторые типы заданий, способствующих решению этой проблемы (приложение 6).В 11-м классе изучается тема «Первообразная и интеграл». Центральное место в этом разделе занимает вычисление площади плоских фигур. Основной фигурой считается криволинейная трапеция, то есть фигура, ограниченная в координатной плоскости двумя прямыми х=а, х=b и графиком непрерывных на отрезке [a; b] функций y=f(x), y = g(x). Главное здесь – построение геометрических моделей и снятие соответствующей информации с чертежа, а не вычисление интегралов. Не ради изучения интеграла считаются площади, наоборот, интеграл изучается ради вычисления площадей.Я предлагаю обратить внимание на упражнения, где предлагается вычислить интеграл, опираясь на геометрические соображения (приложение 7).Графо-аналитический метод является достаточно эффективным при решении задач с параметром. В школьном курсе алгебры им не уделяют должного внимания: либо решают простейшие задачи на уроке, либо переносят сложную тему на факультативные занятия. При этом в основном изучают уравнения вида f(x)=a. В результате большинство учащихся не умеют или боятся решать задачи с параметром. Полезно показать, что данный метод делает решение задачи наглядным и доступным. К тому же на экзаменах это одно из наиболее часто встречающихся заданий. Во многих случаях самый рациональный способ решения – графический. Для того чтобы у учащихся не было особых затруднений при их решении, надо научить их видеть алгоритм графического способа решения. На сегодняшний день это умение очень актуально.Когда в ходе преобразований появляется необходимость строить график, мы переходим в плоскость хОа или хОу. В результате задача с параметром сводится к решению обычной задачи. Поэтому, если учащийся владеет графическим методом решения задач, не содержащих параметров, он легко усвоит аналогичный метод решения задач с параметром. Таким образом, графики функций упрощают решение задачи, а иногда заменяют аналитический метод решения более простым и очевидным графическим. Приведу перечень задач, которые могут быть решены с учащимися как на уроках математики, так и на дополнительных занятиях (приложение 8).Мои учащиеся на этапах промежуточного и итогового контроля успешно выполняют задания с графическими моделями, умело представляют информацию с помощью различных графических образов. При изучении графических моделей развиваются воображение, интуиция,  логическое мышление,  необходимые школьнику в современной жизни.Над данной темой я работаю в течение 10 лет, мною накоплен богатый дидактический материал; подготовлены и прочитаны лекции для учителей математики, слушателей курсов повышения квалификации, проведены мастер-классы на уровне района, города, области, которые получили высокую оценку коллег.Приложения к статье опубликованы на сайте «Учительской газеты» http://www.ug.ru/method_article/693 ​Марина КЛИКУНЕНЕ, учитель математики средней школы №2 Ярославля, учитель года Ярославской области-2012

Задайте цепочку преобразований для построения графика функции. Старт в науке

Гипотеза: Если изучить движение графика при образовании уравнения функций то можно заметить что все графики подчиняются общим закономерностям поэтому можно сформулировать общие законы вне зависимости от функций, что позволит не только облегчить построение графиков различных функций, но и использовать их при решении задач.

Цель: Изучить движение графиков функций:

1)Задача изучение литературы

2) Научится строить графики различных функций

3) Научится преобразовывать графики линейных функций

4) Рассмотреть вопрос применения графиков при решении задач

Объект исследования: Графики функций

Предмет исследования: Движения графиков функций

Актуальность: Построение графиков функций, как правило занимает очень много времени и требует внимательности со стороны ученика, но зная правила преобразования графиков функций и графики основных функций можно достаточно быстро и легко построить графики функций что позволит не только выполнять задания на построения графиков функций, но и решать связанные с ним задачи (на нахождения максимально (минимально высоты времени и точки встречи))

Данный проект полезен всем ученикам школы.

Обзор литературы :

В литературе рассматриваются способы построения графика различных функций, а так же приведены примеры преобразования графиков этих функций. Графики практически всех основных функций используются в различных технических процессах, что позволяет более наглядно представить течение процесса и спрограммировать результат

Постоянная функция. Эта функция задана формулой у = b, где b – некоторое число. Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0; b) на оси ординат. Графиком функции у = 0 является ось абсцисс.

Виды функции 1Прямая пропорциональность. Эта функция задана формулой у = kx, где коэффициент пропорциональности k ≠ 0. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.

Линейная функция. Такая функция задана формулой у = kx + b, где k и b – действительные числа. Графиком линейной функции является прямая.

Графики линейных функций могут пересекаться или быть параллельными.

Так, прямые графиков линейных функций у = k 1 x + b 1 и у = k 2 x + b 2 пересекаются, если k 1 ≠ k 2 ; если же k 1 = k 2 , то прямые параллельны.

2Обратная пропорциональность – это функция, которая задана формулой у = k/x, где k ≠ 0. K называется коэффициентом обратной пропорциональности. Графиком обратной пропорциональности является гипербола.

Функция у = х 2 представлена графиком, получившим название парабола: на промежутке [-~; 0] функция убывает, на промежутке функция возрастает.

Функция у = х 3 возрастает на всей числовой прямой и графически представлена кубической параболой.

Степенная функция с натуральным показателем. Эта функция задана формулой у = х n , где n – натуральное число. Графики степенной функции с натуральным показателем зависят от n. Например, если n = 1, то графиком будет прямая (у = х), если n = 2, то графиком будет парабола и т.д.

Степенная функция с целым отрицательным показателем представлена формулой у = х -n , где n – натуральное число. Данная функция определена при всех х ≠ 0. График функции также зависит от показателя степени n.

Степенная функция с положительным дробным показателем. Эта функция представлена формулой у = х r , где r – положительная несократимая дробь. Данная функция также не является ни четной, ни нечетной.

График-линия которая отображает взаимосвязь зависимой и независимой переменных на координатной плоскости. График служит для наглядного отображения этих элементов

Независимая переменная это переменная которая может принимать любые значения в области определения функций (где данная функция имеет смысл(нельзя делить на нуль))

Чтобы построить график функций необходимо

1)Найти ОДЗ (область допустимых значений)

2)взять несколько произвольных значений для независимой переменной

3)Найти значен6ие зависимой переменной

4)Построить координатную плоскость отметить на ней данные точки

5) Соединить их линии при необходимости исследовать полученный график Преобразование графиков элементарных функций.

Преобразование графиков

В чистом виде основные элементарные функции встречаются, к сожалению, не так часто. Гораздо чаще приходится иметь дело с элементарными функциями, полученными из основных элементарных при помощи добавления констант и коэффициентов. Графики таких функций можно строить, применяя геометрические преобразования к графикам соответствующих основных элементарных функций (или переходить к новой системе координат). К примеру, квадратичная функция формула представляет собой квадратичную параболу формула, сжатую втрое относительно оси ординат, симметрично отображенную относительно оси абсцисс, сдвинутую против направления этой оси на 2/3 единицы и сдвинутую по направлению оси ординат на 2 единицы.

Давайте разберемся в этих геометрических преобразованиях графика функции пошагово на конкретных примерах.

С помощью геометрических преобразований графика функции f(x) может быть построен график любой функции вида формула, где формула — коэффициенты сжатия или растяжения вдоль осей oy и ox соответственно, знаки «минус» перед коэффициентами формула и формула указывают на симметричное отображение графика относительно координатных осей, а и b определяют сдвиг относительно осей абсцисс и ординат соответственно.

Таким образом, различают три вида геометрических преобразований графика функции:

Первый вид — масштабирование (сжатие или растяжение) вдоль осей абсцисс и ординат.

На необходимость масштабирования указывают коэффициенты формулы отличные от единицы, если число меньше 1 , то происходит сжатие графика относительно oy и растяжение относительно ox , если число больше 1, то производим растяжение вдоль оси ординат и сжатие вдоль оси абсцисс.

Второй вид — симметричное (зеркальное) отображение относительно координатных осей.

На необходимость этого преобразования указывают знаки «минус» перед коэффициентами формулы (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси ox) и формула (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси oy). Если знаков «минус» нет, то этот шаг пропускается.

Параллельный перенос.

ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ ОРДИНАТ

f(x) => f(x) — b
Пусть требуется построить график функции у = f(х) — b. Нетрудно заметить, что ординаты этого графика для всех значений x на |b| единиц меньше соответствующих ординат графика функций у = f(х) при b>0 и на |b| единиц больше — при b 0 или вверх при b Для построения графика функции y + b = f(x) следует построить график функции y = f(x) и перенести ось абсцисс на |b| единиц вверх при b>0 или на |b| единиц вниз при b

ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ АБСЦИСС

f(x) => f(x + a)
Пусть требуется построить график функции у = f(x + a). Рассмотрим функцию y = f(x), которая в некоторой точке x = x1 принимает значение у1 = f(x1). Очевидно, функция у = f(x + a) примет такое же значение в точке x2, координата которой определяется из равенства x2 + a = x1, т.е. x2 = x1 — a, причем рассматриваемое равенство справедливо для совокупности всех значений из области определения функции. Следовательно, график функции у = f(x + a) может быть получен параллельным перемещением графика функции y = f(x) вдоль оси абсцисс влево на |a| единиц при a > 0 или вправо на |a| единиц при a Для построения графика функции y = f(x + a) следует построить график функции y = f(x) и перенести ось ординат на |a| единиц вправо при a>0 или на |a| единиц влево при a

Примеры:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Отражение.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ВИДА Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Очевидно, что функции y = f(-x) и y = f(x) принимают равные значения в точках, абсциссы которых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Иначе говоря, ординаты графика функции y = f(-x) в области положительных (отрицательных) значений х будут равны ординатам графика функции y = f(x) при соответствующих по абсолютной величине отрицательных (положительных) значениях х. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = f(-x) следует построить график функции y = f(x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y = f(-x)

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ВИДА Y = — F(X)

f(x) => — f(x)
Ординаты графика функции y = — f(x) при всех значениях аргумента равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку ординатам графика функции y = f(x) при тех же значениях аргумента. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = — f(x) следует построить график функции y = f(x) и отразить его относительно оси абсцисс.

Примеры:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Деформация.

ДЕФОРМАЦИЯ ГРАФИКА ВДОЛЬ ОСИ ОРДИНАТ

f(x) => k f(x)
Рассмотрим функцию вида y = k f(x), где k > 0. Нетрудно заметить, что при равных значениях аргумента ординаты графика этой функции будут в k раз больше ординат графика функции у = f(x) при k > 1 или 1/k раз меньше ординат графика функции y = f(x) при k Для построения графика функции y = k f(x) следует построить график функции y = f(x) и увеличить его ординаты в k раз при k > 1(произвести растяжение графика вдоль оси ординат) или уменьшить его ординаты в 1/k раз при k
k > 1 — растяжение от оси Ох
0 — сжатие к оси OX

ДЕФОРМАЦИЯ ГРАФИКА ВДОЛЬ ОСИ АБСЦИСС

f(x) => f(k x)
Пусть требуется построить график функции y = f(kx), где k>0. Рассмотрим функцию y = f(x), которая в произвольной точке x = x1 принимает значение y1 = f(x1). Очевидно, что функция y = f(kx) принимает такое же значение в точке x = x2, координата которой определяется равенством x1 = kx2, причем это равенство справедливо для совокупности всех значений х из области определения функции. Следовательно, график функции y = f(kx) оказывается сжатым (при k 1) вдоль оси абсцисс относительно графика функции y = f(x). Таким образом, получаем правило.
Для построения графика функции y = f(kx) следует построить график функции y = f(x) и уменьшить его абсциссы в k раз при k>1 (произвести сжатие графика вдоль оси абсцисс) или увеличить его абсциссы в 1/k раз при k
k > 1 — сжатие к оси Оу
0 — растяжение от оси OY

Работу выполнили Чичканов Александр, Леонов Дмитрий под руководством Ткач Т.В, Вязовова С.М, Островерховой И.В.
©2014

Основные элементарные функции в чистом виде без преобразования встречаются редко, поэтому чаще всего приходится работать с элементарными функциями, которые получили из основных с помощью добавления констант и коэффициентов. Такие графики строятся при помощи геометрических преобразований заданных элементарных функций.

Рассмотрим на примере квадратичной функции вида y = — 1 3 x + 2 3 2 + 2 , графиком которой является парабола y = x 2 , которая сжата втрое относительно О у и симметрична относительно О х, причем сдвинутую на 2 3 по О х вправо, на 2 единицы по О у вверх. На координатной прямой это выглядит так:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Геометрические преобразования графика функции

Применяя геометрические преобразования заданного графика получаем, что график изображается функцией вида ± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b , когда k 1 > 0 , k 2 > 0 являются коэффициентами сжатия при 0 1 , k 2 > 1 вдоль О у и О х. Знак перед коэффициентами k 1 и k 2 говорит о симметричном отображении графика относительно осей, a и b сдвигают ее по О х и по О у.

Определение 1

Существует 3 вида геометрических преобразований графика :

• Масштабирование вдоль О х и О у. На это влияют коэффициенты k 1 и k 2 при условии не равности 1 , когда 0 1 , k 2 > 1 , то график растягивается по О у и сжимается по О х.
• Симметричное отображение относительно координатных осей. При наличии знака « — » перед k 1 симметрия идет относительно О х, перед k 2 идет относительно О у. Если « — » отсутствует, тогда пункт при решении пропускается;
• Параллельный перенос (сдвиг) вдоль О х и О у. Преобразование производится при наличии коэффициентов a и b неравных 0 . Если значение a положительное, до график сдвигается влево на | а | единиц, если отрицательное a , тогда в право на такое же расстояние. Значение b определяет движение по оси О у, что значит при положительном b функция движется вверх, при отрицательном – вниз.

Рассмотрим решения на примерах, начиная со степенной функции.

Пример 1

Преобразовать y = x 2 3 и построить график функции y = — 1 2 · 8 x — 4 2 3 + 3 .

Решение

Представим функции таким образом:

y = — 1 2 · 8 x — 4 2 3 + 3 = — 1 2 · 8 x — 1 2 2 3 + 3 = — 2 x — 1 2 2 3 + 3

Где k 1 = 2 , стоит обратить внимание на наличие « — » , а = — 1 2 , b = 3 . Отсюда получаем, что геометрические преобразования производятся с растяжения вдоль О у вдвое, отображается симметрично относительно О х, сдвигается вправо на 1 2 и вверх на 3 единицы.

Если изобразить исходную степенную функцию, получим, что

при растягивании вдвое вдоль О у имеем, что

Отображение, симметричное относительно О х, имеет вид

а движение вправо на 1 2

движение на 3 единицы вверх имеет вид

Преобразования показательной функции рассмотрим на примерах.

Пример 2

Произвести построение графика показательной функции y = — 1 2 1 2 (2 — x) + 8 .

Решение.

Преобразуем функцию, исходя из свойств степенной функции. Тогда получим, что

y = — 1 2 1 2 (2 — x) + 8 = — 1 2 — 1 2 x + 1 + 8 = — 1 2 · 1 2 — 1 2 x + 8

Отсюда видно, что получим цепочку преобразований y = 1 2 x:

y = 1 2 x → y = 1 2 · 1 2 x → y = 1 2 · 1 2 1 2 x → → y = — 1 2 · 1 2 1 2 x → y = — 1 2 · 1 2 — 1 2 x → → y = — 1 2 · 1 2 — 1 2 x + 8

Получаем, что исходная показательная функция имеет вид

Сжимание вдвое вдоль О у дает

Растягивание вдоль О х

Симметричное отображение относительно О х

Отображение симметрично относительно О у

Сдвигание на 8 единиц вверх

Рассмотрим решение на примере логарифмической функции y = ln (x) .

Пример 3

Построить функцию y = ln e 2 · — 1 2 x 3 при помощи преобразования y = ln (x) .

Решение

Для решения необходимо использовать свойства логарифма, тогда получаем:

y = ln e 2 · — 1 2 x 3 = ln (e 2) + ln — 1 2 x 1 3 = 1 3 ln — 1 2 x + 2

Преобразования логарифмической функции выглядят так:

y = ln (x) → y = 1 3 ln (x) → y = 1 3 ln 1 2 x → → y = 1 3 ln — 1 2 x → y = 1 3 ln — 1 2 x + 2

Изобразим график исходной логарифмической функции

Производим сжимание строе по О у

Производим растягивание вдоль О х

Производим отображение относительно О у

Производим сдвигание вверх на 2 единицы, получаем

Для преобразования графиков тригонометрической функциинеобходимо подгонять под схему решения вида ± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b . Необходимо, чтобы k 2 приравнивался к T k 2 . Отсюда получаем, что 0

Рассмотрим примеры решения заданий с преобразованиями y = sin x .

Пример 4

Построить график y = — 3 sin 1 2 x — 3 2 — 2 с помощью преобразований функции y=sinx.

Решение

Необходимо привести функцию к виду ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b . Для этого:

y = — 3 sin 1 2 x — 3 2 — 2 = — 3 sin 1 2 (x — 3) — 2

Видно, что k 1 = 3 , k 2 = 1 2 , a = — 3 , b = — 2 . Так как перед k 1 имеется « — » , а перед k 2 — нет, тогда получим цепочку преобразований вида:

y = sin (x) → y = 3 sin (x) → y = 3 sin 1 2 x → y = — 3 sin 1 2 x → → y = — 3 sin 1 2 x — 3 → y = — 3 sin 1 2 (x — 3) — 2

Подробное преобразование синусоиды. При построении графика исходной синусоиды y = sin (x) получаем, что наименьшим положительным периодом считается T = 2 π . Нахождение максимума в точках π 2 + 2 π · k ; 1 , а минимума — — π 2 + 2 π · k ; — 1 , k ∈ Z .

Производится растягивание по О у втрое, значит возрастание амплитуды колебаний возрастет в 3 раза. T = 2 π — это наименьший положительный период. Максимумы переходят в π 2 + 2 π · k ; 3 , k ∈ Z , минимумы — — π 2 + 2 π · k ; — 3 , k ∈ Z .

При растягивании по О х вдвое получаем, что наименьший положительный период увеличивается в 2 раза и равняется T = 2 π k 2 = 4 π . Максимумы переходят в π + 4 π · k ; 3 , k ∈ Z , минимумы – в — π + 4 π · k ; — 3 , k ∈ Z .

Изображение производится симметрично относительно О х. Наименьший положительный период в данном случае не меняется и равняется T = 2 π k 2 = 4 π . Переход максимума выглядит как — π + 4 π · k ; 3 , k ∈ Z , а минимума – π + 4 π · k ; — 3 , k ∈ Z .

Производится сдвижение графика вниз на 2 единицы. Изменение наименьшего общего периода не происходит. Нахождение максимумов с перехождением в точки — π + 3 + 4 π · k ; 1 , k ∈ Z , минимумов — π + 3 + 4 π · k ; — 5 , k ∈ Z .

На данном этапе график тригонометрической функции считается преобразованным.

Рассмотрим подробное преобразование функции y = cos x .

Пример 5

Построить график функции y = 3 2 cos 2 — 2 x + 1 при помощи преобразования функции вида y = cos x .

Решение

По алгоритму необходимо заданную функцию привести к виду ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b . Тогда получаем, что

y = 3 2 cos 2 — 2 x + 1 = 3 2 cos (- 2 (x — 1)) + 1

Из условия видно, что k 1 = 3 2 , k 2 = 2 , a = — 1 , b = 1 , где k 2 имеет « — » , а перед k 1 он отсутствует.

Отсюда получаем, что получится график тригонометрической функции вида:

y = cos (x) → y = 3 2 cos (x) → y = 3 2 cos (2 x) → y = 3 2 cos (- 2 x) → → y = 3 2 cos (- 2 (x — 1)) → y = 3 2 cos — 2 (x — 1) + 1

Пошаговое преобразование косинусоиды с графической иллюстрацией.

При заданной графике y = cos (x) видно, что наименьший общий период равняется T = 2 π . Нахождение максимумов в 2 π · k ; 1 , k ∈ Z , а минимумов π + 2 π · k ; — 1 , k ∈ Z .

При растягивании вдоль О у в 3 2 раза происходит возрастание амплитуды колебаний в 3 2 раза. T = 2 π является наименьшим положительным периодом. Нахождение максимумов в 2 π · k ; 3 2 , k ∈ Z , минимумов в π + 2 π · k ; — 3 2 , k ∈ Z .

При сжатии вдоль О х вдвое получаем, что наименьшим положительным периодом является число T = 2 π k 2 = π . Производится переход максимумов в π · k ; 3 2 , k ∈ Z ,минимумов — π 2 + π · k ; — 3 2 , k ∈ Z .

Симметричное отображение относительно О у. Так как график нечетный, то он не будет изменяться.

При сдвигании графика на 1 . Отсутствуют изменения наименьшего положительного периода T = π . Нахождение максимумов в π · k + 1 ; 3 2 , k ∈ Z , минимумов — π 2 + 1 + π · k ; — 3 2 , k ∈ Z .

При сдвигании на 1 наименьший положительный период равняется T = π и не изменен. Нахождение максимумов в π · k + 1 ; 5 2 , k ∈ Z , минимумов в π 2 + 1 + π · k ; — 1 2 , k ∈ Z .

Преобразования функции косинуса завершено.

Рассмотрим преобразования на примере y = t g x .

Пример 6

Построить график функции y = — 1 2 t g π 3 — 2 3 x + π 3 при помощи преобразований функции y = t g (x) .

Решение

Для начала необходимо привести заданную функцию к виду ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b , после чего получаем, что

y = — 1 2 t g π 3 — 2 3 x + π 3 = — 1 2 t g — 2 3 x — π 2 + π 3

Отчетливо видно, что k 1 = 1 2 , k 2 = 2 3 , a = — π 2 , b = π 3 , а перед коэффициентами k 1 и k 2 имеется « — » . Значит, после преобразования тангенсоиды получаем

y = t g (x) → y = 1 2 t g (x) → y = 1 2 t g 2 3 x → y = — 1 2 t g 2 3 x → → y = — 1 2 t g — 2 3 x → y = — 1 2 t g — 2 3 x — π 2 → → y = — 1 2 t g — 2 3 x — π 2 + π 3

Поэтапное преобразование тангенсоиды с графическим изображением.

Имеем, что исходный график – это y = t g (x) . Изменение положительного периода равняется T = π . Областью определения считается — π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z .

Сжимаем в 2 раза вдоль О у. T = π считается наименьшим положительным периодом, где область определения имеет вид — π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z .

Растягиваем вдоль О х в 3 2 раза. Вычислим наименьший положительный период, причем равнялся T = π k 2 = 3 2 π . А область определения функции с координатами — 3 π 4 + 3 2 π · k ; 3 π 4 + 3 2 π · k , k ∈ Z , меняется только область определения.

Симметрия идет по сторону О х. Период не изменится в этот момент.

Необходимо симметрично отображать оси координат. Область определения в данном случае неизменна. График совпадает с предыдущим. Это говорит о том, что функция тангенса нечетная. Если к нечетной функции задать симметричное отображение О х и О у, тогда преобразуем до исходной функции.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

Преобразование графиков функции является одним из основных математических понятий, непосредственно связанные с практической деятельностью. Преобразование графиков функций впервые встречается в алгебре 9 класса при изучении темы «Квадратичная функция». Квадратичная функция вводится и изучается в тесной связи с квадратными уравнениями и неравенствами. Так же многие математические понятия рассматриваются графическими методами, например в 10 — 11 классах исследование функции дает возможность найти область определения и область значения функции, области убывания или возрастания, асимптоты, интервалы знакопостоянства и др. Так же этот немаловажный вопрос выносится на ГИА. Отсюда следует, построение, и преобразование графиков функции является одной из главных задач обучения математике в школе.

Однако для построения графиков многих функций можно использовать ряд методов, облегчающих построение. Выше сказанное определяет актуальность темы исследования.

Объектом исследования является изучение преобразование графиков в школьной математике.

Предмет исследования — процесс построение и преобразование графиков функции в общеобразовательной школе.

Проблемный вопрос : можно ли построить график не знакомой функции, имея навык преобразования графиков элементарных функций?

Цель: построение графиков функции в незнакомой ситуации.

Задачи:

1. Проанализировать учебный материал по исследуемой проблеме. 2. Выявить схемы преобразования графиков функции в школьном курсе математики. 3. Отобрать наиболее эффективные методы и средства построение и преобразование графиков функции. 4.Уметь применять данную теории в решении задач.

Необходимые начальные знания, умения, навыки:

Определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;

Строить графики изученных функций;

Описывать по графику и в простейших случаях по формуле поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения;

Описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков.

Основная часть

Теоретическая часть

В качестве исходного графика функции y = f(x) выберу квадратичную функциюy = x 2 . Рассмотрю случаи преобразования данного графика, связанные с изменениями формулы, задающей эту функцию и сделаю выводы для любой функции.

1. Функция y = f(x) + a

В новой формуле значения функции (ординаты точек графика) изменяются на число a, по сравнению со «старым» значением функции. Это приводит к параллельному переносу графика функции вдоль оси OY:

вверх, если a > 0; вниз, если a

ВЫВОД

Таким образом график функции y=f(x)+a, получается из графика функции y=f(x) с помощью параллельного переноса вдоль оси ординат на a единиц вверх, если a > 0, и на a единиц вниз, если a

2. Функция y = f(x-a),

В новой формуле значения аргумента (абсциссы точек графика) изменяются на число a, по сравнению со «старым» значением аргумента. Это приводит к параллельному переносу графика функции вдоль оси OX: вправо, если a 0.

ВЫВОД

Значит график функции y= f(x — a), получается из графика функции y=f(x) с помощью параллельного переноса вдоль оси абсцисс на a единиц влево, если a > 0, и на a единиц вправо, если a

3. Функция y = k f(x), где k > 0 и k ≠ 1

В новой формуле значения функции (ординаты точек графика) изменяются в k раз, по сравнению со «старым» значением функции. Это приводит к: 1) «растяжению» от точки (0; 0) вдоль оси ОY в k раз, если k > 1, 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OY в раз, если 0

ВЫВОД

Следовательно: чтобы построить график функции y = kf(x), где k > 0 и k ≠ 1 нужно ординаты точек заданного графика функции y = f(x) умножить на k. Такое преобразование называется растяжением от точки (0; 0) вдоль оси ОY в k раз, если k > 1; сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OY в раз, если 0

4. Функция y = f(kx), где k > 0 и k ≠ 1

В новой формуле значения аргумента (абсциссы точек графика) изменяются в k раз, по сравнению со «старым» значением аргумента. Это приводит к: 1) «растяжению» от точки (0; 0) вдоль оси ОX в 1/k раз, если 0 1.

ВЫВОД

И так: чтобы построить график функции y = f(kx), где k > 0 и k ≠ 1 нужно абсциссы точек заданного графика функции y=f(x) умножить на k. Такое преобразование называется растяжением от точки (0; 0) вдоль оси ОX в 1/k раз, если 0 1.

5. Функция y = — f (x).

В данной формуле значения функции (ординаты точек графика) изменяются на противоположные. Это изменение приводит к симметричному отображению исходного графика функции относительно оси Ох.

ВЫВОД

Для построения графика функции y = — f (x) необходимо график функции y= f(x)

симметрично отразить относительно оси OX. Такое преобразование называется преобразованием симметрии относительно оси OX .

6. Функция y = f (-x).

В данной формуле значения аргумента (абсциссы точек графика) изменяются на противоположные. Это изменение приводит к симметричному отображению исходного графика функции относительно оси ОY.

Пример для функции у = — х² это преобразование не заметно, т. к. данная функция чётная и график после преобразования не меняется. Это преобразование видно, когда функция нечётная и когда ни чётная и ни нечётная.

7. Функция y = |f(x)|.

В новой формуле значения функции (ординаты точек графика) находятся под знаком модуля. Это приводит к исчезновению частей графика исходной функции с отрицательными ординатами (т.е. находящихся в нижней полуплоскости относительно оси Ох) и симметричному отображению этих частей относительно оси Ох.

8. Функция y= f (|x|).

В новой формуле значения аргумента (абсциссы точек графика) находятся под знаком модуля. Это приводит к исчезновению частей графика исходной функции с отрицательными абсциссами (т.е. находящихся в левой полуплоскости относительно оси ОY) и замещению их частями исходного графика, симметричными относительно оси ОY.

Практическая часть

Рассмотрим несколько примеров применения вышеизложенной теории.

ПРИМЕР 1.

Решение. Преобразуем данную формулу:

1) Построим график функции

ПРИМЕР 2.

Построить график функции, заданной формулой

Решение. Преобразуем данную формулу, выделив в данном квадратном трехчлене квадрат двучлена:

1) Построим график функции

2) Выполним параллельный перенос построенного графика на вектор

ПРИМЕР 3.

ЗАДАНИЕ ИЗ ЕГЭПостроение графика кусочной функции

График функции График функции y=|2(x-3)2-2|; 1

Преобразование графиков функций

В этой статье я познакомлю вас с линейными преобразованиями графиков функций и покажу, как с помощью этих преобразований из графика функции получить график функции

Линейным преобразованием функции называется преобразование самой функции и/или ее аргумента к виду , а также преобразование, содержащее модуль аргумента и/или функции.

Наибольшие затруднения при построении графиков с помощью линейных преобразований вызывают следующие действия:

1. Вычленение базовой функции, собственно, график которой мы и преобразовываем.
2. Определения порядка преобразований.

И менно на этих моментах мы и остановимся подробнее.

Рассмотрим внимательно функцию

В ее основе лежит функция . Назовем ее базовой функцией .

При построении графика функции мы совершаем преобразования графика базовой функции .

Если бы мы совершали преобразования функции в том же порядке, в каком находили ее значение при определенном значении аргумента, то

Рассмотрим какие виды линейных преобразований аргумента и функции существуют, и как их выполнять.

Преобразования аргумента.

1. f(x) f(x+b)

1. Строим график фунции

2. Сдвигаем график фунции вдоль оси ОХ на |b| единиц

• влево, если b>0
• вправо, если b

Построим график функции

1. Строим график функции

2. Сдвигаем его на 2 единицы вправо:

2. f(x) f(kx)

1. Строим график фунции

2. Абсциссы точек графика делим на к, ординаты точек оставляем без изменений.

Построим график функции .

1. Строим график функции

2. Все абсциссы точек графика делим на 2, ординаты оставляем без изменений:

3. f(x) f(-x)

1. Строим график фунции

2. Отображаем его симметрично относительно оси OY.

Построим график функции .

1. Строим график функции

2. Отображаем его симметрично относительно оси OY:

4. f(x) f(|x|)

1. Строим график функции

2. Часть графика, расположенную левее оси ОY стираем, часть графика, расположенную правее оси ОY Достраиваем симметрично относительно оси OY:

График функции выглядит так:

Построим график функции

1. Строим график функции (это график функции , смещенный вдоль оси ОХ на 2 единицы влево):

2. Часть графика, расположенную левее оси OY (x

3. Часть графика, расположенную правее оси OY (x>0) достраиваем симметрично относительно оси OY:

Важно! Два главных правила преобразования аргумента.

1. Все преобразования аргумента совершаются вдоль оси ОХ

2. Все преобразования аргумента совершаются «наоборот» и «в обратном порядке».

Например, в функции последовательность преобразований аргумента такая:

1. Берем модуль от х.

2. К модулю х прибавляем число 2.

Но построение графика мы совершали в обратном порядке:

Сначала выполнили преобразование 2. — сместили график на 2 единицы влево (то есть абсциссы точек уменьшили на 2, как бы «наоборот»)

Затем выполнили преобразование f(x) f(|x|).

Коротко последовательность преобразований записывается так:

Теперь поговорим о преобразовании функции . Преобразования совершаются

1. Вдоль оси OY.

2. В той же последовательности, в какой выполняются действия.

Вот эти преобразования:

1. f(x)f(x)+D

2. Смещаем его вдоль оси OY на |D| единиц

• вверх, если D>0
• вниз, если D

Построим график функции

1. Строим график функции

2. Смещаем его вдоль оси OY на 2 единицы вверх:

2. f(x)Af(x)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Ординаты всех точек графика умножаем на А, абсциссы оставляем без изменений.

Построим график функции

1. Построим график функции

2. Ординаты всех точек графика умножим на 2:

3. f(x)-f(x)

1. Строим график функции y=f(x)

Построим график функции .

1. Строим график функции .

2. Отображаем его симметрично относительно оси ОХ.

4. f(x)|f(x)|

1. Строим график функции y=f(x)

2. Часть графика, расположенную выше оси ОХ оставляем без изменений, часть графика, расположенную ниже оси OX, отображаем симметрично относительно этой оси.

Построим график функции

1. Строим график функции . Он получается смещением графика функции вдоль оси OY на 2 единицы вниз:

2. Теперь часть графика, расположенную ниже оси ОХ, отобразим симметрично относительно этой оси:

И последнее преобразование, которое, строго говоря, нельзя назвать преобразованием функции, поскольку результат этого преобразования функцией уже не является:

|y|=f(x)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем, затем часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.

Построим график уравнения

1. Строим график функции :

2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем:

3. Часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.

И, наконец, предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК в котором я показываю пошаговый алгоритм построения графика функции

График этой функции выглядит так:

Методы построения графиков функций содержащих модуль

Цель урока:

• повторить построение графиков функций содержащих знак модуля;
• познакомиться с новым методом построения графика линейно-кусочной функции;
• закрепить новый метод при решении задач.

Оборудование:

• мультимедиа проектор,
• плакаты.

Ход урока

Актуализация знаний

На экране слайд 1 из презентации.

Что является графиком функции y=|x| ? (слайд 2).

(совокупность биссектрис 1 и 2 координатных углов)

Найдите соответствие между функциями и графиками, объясните ваш выбор (слайд 3).

Рисунок 1

y=| x+3|

y=| x| +3

y=-2| x| -2

y=6-| x-5|

y=1/3| x-6| -3

Расскажите алгоритм построения графиков функций вида y=|f(x)| на примере функции y=|x²-2x-3| (слайд 4)

Ученик: чтобы построить график данной функции нужно

— построить параболу y=x²-2x-3

— часть графика над ОХ сохранить, а часть графика расположенную ниже ОХ отобразить симметрично относительно оси ОХ (слайд 5)

Рисунок 2

Рисунок 3

Расскажите алгоритм построения графиков функций вида y=f(|x|) на примере функции y=x²-2|x|-3 (слайд 6).

Ученик: Чтобы построить график данной функции нужно:

— построить параболу.

— часть графика при х 0 сохраняется и отображается симметрии относительно оси ОУ (слайд 7)

Рисунок 4

Расскажите алгоритм построения графиков функций вида y=|f(|x|)| на примере функции y=|x²-2|x|-3| (слайд 8).

Ученик: Чтобы построить график данной функции нужно:

— нужно построить параболу у=x²-2x-3

— строим у= x²-2|x|-3, часть графика сохраняем и симметрично отображаем относительно ОУ

— часть над ОХ сохраняем, а нижнюю часть симметрично отображаем относительно ОХ (слайд 9)

Рисунок 5

Следующее задание выполняем письменно в тетрадях.

1. Построить график линейно-кусочной функции у=|х+2|+|х-1|-|х-3|

Ученик на доске с комментарием:

— находим нули подмодульных выражений х₁=-2, х₂=1, х₃=3

— разбиваем ось на промежутки

— для каждого промежутка запишем функцию

при х < -2, у=-х-4

при -2 х<1, у=х

при 1 х<3, у = 3х-2

при х 3, у = х+4

— строим график линейно-кусочной функции.

Мы с вами построили график функции используя определение модуля (слайд 10).

Рисунок 6

Предлагаю вашему вниманию “метод вершин”, который позволяет строить график линейно-кусочной функции (слайд 11). Алгоритм построения дети записывают в тетрадь.

Метод вершин

Алгоритм:

1. Найдем нули каждого подмодульного выражения
2. Составим таблицу, в которой кроме нулей запишем по одному значению аргумента слева и справа
3. Нанесем точки на координатную плоскость и соединим последовательно

2. Разберем этот метод на той же функции у=|х+2|+|х-1|-|х-3|

Учитель на доске, дети в тетрадях.

Метод вершин:

— найдем нули каждого подмодульного выражения;

— составим таблицу, в которой кроме нулей запишем по одному значению аргумента слева и справа

х -3 -2 1 3 4

у -1 -2 1 7 8

— нанесем точки на координатную плоскость и соединим последовательно.

Графиком линейно-кусочной функции является ломанная с бесконечными крайними звеньями (слайд 12) .

Рисунок 7

Каким же методом график получается быстрее и легче?

3. Чтобы закрепить данный метод предлагаю выполнить следующее задание:

При каких значения х функция у=|х-2|-|х+1| принимает наибольшее значение.

Следуем алгоритму; ученик на доске.

у=|х-2|-|х+1|

х₁=2, х₂=-1

у(-2)=4-1=3

у(-1)=3

у(2)=-3

у(3)=1-4=3, соединяем последовательно точки.

у_наиб = 3

4. Дополнительное задание

При каких значениях а уравнение ||4+x|-|x-2||=a имеет два корня.

5. Домашняя работа

а) При каких значениях Х функция у =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| принимает наименьшее значение.

б) Построить график функции y=||x-1|-2|-3| .

Выход на ленинском проспекте

Построение графиков функций — одна из возможностей Excel. В этой статье мы рассмотрим процесс построение графиков некоторых математических функций: линейной, квадратичной и обратной пропорциональности.

Функция, это множество точек (x, y), удовлетворяющее выражению y=f(x). Поэтому, нам необходимо заполнить массив таких точек, а Excel построит нам на их основе график функции.

1) Рассмотрим пример построения графика линейной функции: y=5x-2

Графиком линейной функции является прямая, которую можно построить по двум точкам. Создадим табличку

В нашем случае y=5x-2. В ячейку с первым значением y введем формулу: =5*D4-2 . В другую ячейку формулу можно ввести аналогично (изменив D4 на D5 ) или использовать маркер автозаполнения.

В итоге мы получим табличку:

Теперь можно приступать к созданию графика.

Выбираем: ВСТАВКА — > ТОЧЕЧНАЯ -> ТОЧЕЧНАЯ С ГЛАДКИМИ КРИВЫМИ И МАРКЕРАМИ (рекомендую использовать именно этот тип диаграммы)

Появиться пустая область диаграмм.2-2. Используя маркер автозаполнения, рассчитываем значения у для остальных х .

Выбираем: ВСТАВКА — > ТОЧЕЧНАЯ -> ТОЧЕЧНАЯ С ГЛАДКИМИ КРИВЫМИ И МАРКЕРАМИ и действуем аналогично построению графика линейной функции.

Чтобы не было точек на графике, поменяйте тип диаграммы на ТОЧЕЧНАЯ С ГЛАДКИМИ КРИВЫМИ.

Любые другие графики непрерывных функций строятся аналогично.

3) Если функция кусочная, то необходимо каждый «кусочек» графика объединить в одной области диаграмм.

Рассмотрим это на примере функции у=1/х .

Функция определена на интервалах (- беск;0) и (0; +беск)

Создадим график функции на интервалах: [-4;0) и (0; 4].

Подготовим две таблички, где х изменяется с шагом 0,2 :

Находим значения функции от каждого аргумента х аналогично примерам выше.

На диаграмму вы должны добавить два ряда — для первой и второй таблички соответственно

Получаем график функции y=1/x

В дополнение привожу видео — где показан порядок действий, описанный выше.

В следующей статье расскажу как создать 3-мерные графики в Excel.

Спасибо за внимание!

В золотой век информационных технологий мало кто будет покупать миллиметровку и тратить часы для рисования функции или произвольного набора данных, да и зачем заниматься столь муторной работой, когда можно построить график функции онлайн. Кроме того, подсчитать миллионы значений выражения для правильного отображения практически нереально и сложно, да и несмотря на все усилия получится ломаная линия, а не кривая. Потому компьютер в данном случае – незаменимый помощник.

Что такое график функций

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент другого множества, например, выражение y = 2x + 1 устанавливает связь между множествами всех значений x и всех значений y, следовательно, это функция. Соответственно, графиком функции будет называться множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному выражению.

На рисунке мы видим график функции y = x . Это прямая и у каждой ее точки есть свои координаты на оси X и на оси Y . Исходя из определения, если мы подставим координату X некоторой точки в данное уравнение, то получим координату этой точки на оси Y .

Сервисы для построения графиков функций онлайн

Рассмотрим несколько популярных и лучших по сервисов, позволяющих быстро начертить график функции.

Открывает список самый обычный сервис, позволяющий построить график функции по уравнению онлайн. Umath содержит только необходимые инструменты, такие как масштабирование, передвижение по координатной плоскости и просмотр координаты точки на которую указывает мышь.

Инструкция:

1. Введите ваше уравнение в поле после знака «=».
2. Нажмите кнопку «Построить график» .

Как видите все предельно просто и доступно, синтаксис написания сложных математических функций: с модулем, тригонометрических, показательных — приведен прямо под графиком. Также при необходимости можно задать уравнение параметрическим методом или строить графики в полярной системе координат.

В Yotx есть все функции предыдущего сервиса, но при этом он содержит такие интересные нововведения как создание интервала отображения функции, возможность строить график по табличным данным, а также выводить таблицу с целыми решениями.

Инструкция:

1. Выберите необходимый способ задания графика.
2. Введите уравнение.
3. Задайте интервал.
4. Нажмите кнопку «Построить» .

Для тех, кому лень разбираться, как записать те или иные функции, на этой позиции представлен сервис с возможностью выбирать из списка нужную одним кликом мыши.

Инструкция:

1. Найдите в списке необходимую вам функцию.
2. Щелкните на нее левой кнопкой мыши
3. При необходимости введите коэффициенты в поле «Функция:» .
4. Нажмите кнопку «Построить» .

В плане визуализации есть возможность менять цвет графика, а также скрывать его или вовсе удалять.

Desmos безусловно – самый навороченный сервис для построения уравнений онлайн. Передвигая курсор с зажатой левой клавишей мыши по графику можно подробно посмотреть все решения уравнения с точностью до 0,001. Встроенная клавиатура позволяет быстро писать степени и дроби. Самым важным плюсом является возможность записывать уравнение в любом состоянии, не приводя к виду: y = f(x).

Инструкция:

1. В левом столбце кликните правой кнопкой мыши по свободной строке.
2. В нижнем левом углу нажмите на значок клавиатуры.
3. На появившейся панели наберите нужное уравнение (для написания названий функций перейдите в раздел «A B C»).
4. График строится в реальном времени.

Визуализация просто идеальная, адаптивная, видно, что над приложением работали дизайнеры. Из плюсов можно отметить огромное обилие возможностей, для освоения которых можно посмотреть примеры в меню в верхнем левом углу.

Сайтов для построения графиков функций великое множество, однако каждый волен выбирать для себя исходя из требуемого функционала и личных предпочтений. Список лучших был сформирован так, чтобы удовлетворить требования любого математика от мала до велика. Успехов вам в постижении «царицы наук»!

«Натуральный логарифм» — 0,1. Натуральные логарифмы. 4. «Логарифмический дартс». 0,04. 7. 121.

«Степенная функция 9 класс» — У. Кубическая парабола. У = х3. 9 класс учитель Ладошкина И.А. У = х2. Гипербола. 0. У = хn, у = х-n где n – заданное натуральное число. Х. Показатель – четное натуральное число (2n).

«Квадратичная функция» — 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод. Свойства: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. План: График: -Промежутки монотонности при а > 0 при а

«Квадратичная функция и её график» — Решение.у=4x А(0,5:1) 1=1 А-принадлежит. При а=1 формула у=аx принимает вид.

«8 класс квадратичная функция» — 1) Построить вершину параболы. Построение графика квадратичной функции. x. -7. Построить график функции. Алгебра 8 класс Учитель 496 школы Бовина Т. В. -1. План построения. 2) Построить ось симметрии x=-1. y.

 void _nlsfpiecewise (
// Подгонка параметра (ов):
двойной xc, двойной a, двойной b, двойной t1,
// Независимые переменные):
двойной х,
// Зависимые переменные):
двойной & y)
{
// Начало редактируемой части
// Делим кривую на условие if.if (x 
 По изгибу 
 Нажмите  Ctrl + Y , чтобы открыть диалоговое окно NLFit с активным окном графика. Выберите определенную нами кусочно- функцию  и инициализируйте значения параметров:
 Нажмите кнопку  Fit , чтобы сгенерировать результаты:
  xc: 
 0,24
  а: 
 36.76585
  г: 
 -24,62876
  t1: 
 0,04961
 Обратите внимание, что эта функция чувствительна к  xc  и  t1 , разные начальные значения могут давать разные результаты.
 Qalaxia - это бесплатный сайт вопросов и ответов для классных комнат. В Калаксии:
 Студенты просят помочь с домашними заданиями на онлайн-форумах по домашним заданиям и получают помощь от экспертов и студентов-волонтеров
 Студенты задают вопросы и получают ответы от экспертов отрасли
 Студенты получают вознаграждение за то, что задают вопросы и отвечают на них
 Студенты зарабатывают часы волонтерской работы, помогая другим студентам, не выходя из дома
 Учащиеся заинтересованы в том, чтобы задавать вопросы и отвечать на вопросы экспертов
 Учителя имеют доступ к библиотеке вопросов с участием учителей и отраслевых экспертов
 Студенты наслаждаются индивидуальным обучением с помощью механизма рекомендаций, который адаптируется к успеваемости студентов, и индивидуальной помощи экспертов
 Qalaxia будет готова к использованию в апреле 2017 года.Пожалуйста, подпишитесь здесь для получения обновлений
  Лучшие вопросы и ответы. От экспертов для учебных заведений. 
 Qalaxia - это награждаемый сайт вопросов и ответов для учителей, студентов и экспертов, где эксперты делятся своими мыслями и знаниями с классами.
 Эксперты любят Qalaxia за то, что они могут помогать студентам в свободное и удобное время, отвечая на них и задавая вопросы.
 Студенты любят Qalaxia, поскольку они получают вознаграждение за правильные ответы на вопросы викторины и за размещение хороших вопросов для экспертов. Qalaxia стимулирует и предоставляет студентам необходимую помощь для своевременного выполнения домашних заданий и удовлетворения их любопытства.
 Учителя любят Qalaxia, потому что она не только помогает своим ученикам закончить домашнее задание и удовлетворить их любопытство, но также дает учителям полную прозрачность в отношении того, сколько усилий учеников и экспертной помощи было вложено в каждый вопрос домашнего задания.
 Мир, в котором ни один вопрос ученика не остается без ответа или без ответа 
 Мы пробуждаем и укрепляем вопрошающего в каждом ребенке и наставника в каждом отдельном человеке 
 Qalaxia - это платформа вопросов и ответов, созданная для воспитания в каждом ученике исследователя, ищущего и исследователя.Qalaxia поощряет студентов получать знания не только от учителей, но и от удаленных экспертов-волонтеров.
 Искусственный интеллект и опытный помощник преподавателя в каждом классе
 Актуальная помощь для студентов
 Замечательный учитель рядом с каждым учеником, когда это необходимо
 С увлечением воспитанием
 Эксперты в области искусственного интеллекта и программного обеспечения
 Имеют опыт академической и профессиональной подготовки
 Как найти кусочные функции [Видео] 
 Привет, и добро пожаловать в это видео о кусочных функциях! В этом видео мы рассмотрим
 Что такое кусочные функции
 Как определяются кусочные функции
 И как можно использовать кусочные функции
 Во-первых, давайте посмотрим на определение функции.Функция   - это отношение, в котором каждому входу назначается один выход.
 Многие функции принадлежат к  семействам функций , потому что их уравнения и графики имеют схожие характеристики.
 Например, функции в линейном семействе   имеют уравнения, которые напоминают, что f x равно mx плюс b, а их графики представляют собой прямые линии. Функции в квадратичном семействе   имеют уравнения, которые выглядят как f x равняется x в квадрате, а их графики являются параболами.
 Кусочные функции сами по себе не считаются семейством функций. Как следует из названия, это функции, состоящие из частей других функций.
 Первое, что мы рассмотрим, - это функция  абсолютного значения . Функции в семействе абсолютных значений имеют уравнения, которые напоминают, что f от x равно абсолютному значению x, и все их графики имеют характерную V-образную форму. Это график, и часть таблицы значений f для x равна абсолютному значению x:
 Вместо одного V, f (x) также можно визуализировать как части двух линейных функций.Слева f от x равно отрицательному x, а справа f от x равно x.
 Когда мы «читаем» график слева направо, мы находимся на функции f от x, равной отрицательному x, пока x = 0. В этот момент определение функции меняется на f, если x равно x.
 Область определения функции абсолютного значения - все действительные числа. Обычно оба f из x равны отрицательному x и f из x равны x также имеют области всех действительных чисел, но если бы мы изобразили их вместе, график выглядел бы так, и у нас больше не было бы функции.
 Таким образом, каждая часть должна быть определена в секции своего домена, чтобы определить кусочную функцию. Если левая функция определена только для отрицательных x-значений, а правая - только для положительных x-значений (и мы помещаем 0 в одно из них - подробнее об этом через минуту), мы можем определить это как одиночный кусочный функция.
 Один из способов визуализировать это - построить график обеих функций  linear  и стереть участки, которые не являются частью функции абсолютного значения.
 Давайте сделаем небольшой перерыв и попрактикуемся в описании пары кусочных функций с точки зрения того, как выглядят их части и где они определены.
 Сначала идет наибольшая целочисленная функция, f от x равняется нижнему пределу x. Это также называется функцией пола или функцией ступеньки.
 Эта функция состоит из частей постоянных функций шириной в 1 единицу.
 Далее у нас есть пилообразная функция, f x равно x минус нижний предел x. Эта функция также называется функцией замкового края.
 Эта функция состоит из частей параллельных линейных функций длиной в одну единицу
 Формат определения кусочных функций имеет следующую общую форму:
 Есть два критерия для именования кусочных функций:
 Чтение частей сверху -вниз в списке соответствует чтению графика слева направо. Итак, первая часть в списке - это левая часть графика.
 Домены частей должны «составлять» домен всей функции.
 Давайте начнем с переписывания нашей функции абсолютного значения в следующем виде:
 Вот список выражений, которые определяют каждую часть слева направо:
 f of x равно подмножеству минус x, которое является неизвестной величиной. , и x, который также является неизвестной величиной.
 Теперь давайте на минутку рассмотрим домен каждой части.
 f x равно абсолютному значению x, имеет область всех действительных чисел. Мы можем ввести любое число и получить один результат.
 Но мы должны быть осторожны с нашим кусочным определением, когда мы рассматриваем x = 0. Почему? Потому что 0 - это определенная точка на обеих частях, но нам нужно включить ее только один раз.
 Если мы напишем функцию так:
 f из x равно подмножеству отрицательных x, когда x меньше нуля, и x, когда x больше нуля 
, тогда ни одна часть не включает 0, и домен является неполным.
 Если мы запишем это так:
 f of x равно отрицательному значению x, когда x меньше или равно нулю, и x, когда x больше или равно нулю.
, то мы не определяем функцию, потому что мы говорим, что f (x) равно как -x, так и x при x = 0 (даже если в этом случае выходные данные будут технически одинаковыми).
 Поскольку 0 находится в области определения обеих частей, мы просто выбираем, в какую часть ее поместить. Оба этих уравнения правильно определяют функцию:
 Все наши примеры до сих пор изображали кусочные функции с областями определения всех действительных чисел. Части не нужно соединять, и их не нужно расширять до плюс или минус бесконечность.
 Взгляните на эту функцию и попробуйте определить ее с помощью уравнения (и да, эта единственная точка является его частью!):
 f x равно x, когда x больше отрицательных семи и меньше отрицательных три; один, когда x равен отрицательному 1; квадратный корень из x, когда x больше или равен нулю и меньше четырех; и x, когда x больше шести и меньше или равен семи.
 Подобно другим функциям, кусочные функции могут использоваться для рассказа историй. Это история автомобильного путешествия, которое Боб совершил на прошлой неделе:
 d из t равно пятидесяти t, когда t больше или равно нулю и меньше или равно трем; сто пятьдесят, если t больше трех и меньше трех целых пять десятых; двадцать пять t плюс шестьдесят две целых пять десятых, когда t больше или равно трем целым пяти целым и менее семи целым пяти десятым; двести пятьдесят, когда t больше или равно семи целых пять десятых и меньше восьми; и отрицательные шестьдесят две целые пять десятых t, когда t больше или равно восьми и меньше или равно двенадцати
 Давайте посмотрим, на сколько из этих обзорных вопросов мы можем ответить о путешествии Боба, прежде чем мы отправимся в путь:
 Сколько времени прошло последнее путешествие?  12 часов  
 На каком расстоянии Боб проехал от своего дома?  250 mi  
 Сколько времени ему потребовалось, чтобы добраться туда?  7.5 часов  
 Что делал Боб через 3–3,5 часа?  не двигается  
 Когда Боб повернул к дому? на  8 часов  mark 
 Когда Боб ехал быстрее всех? с 8 до 12 часов он проехал  62,5 миль в час  
 Какова была средняя скорость Боба с 0 до 8 часов?  31,25 миль / ч 
 Спасибо за просмотр и удачной учебы!
 Область кусочного калькулятора функций 
 Бесплатный калькулятор кусочных функций исследуйте диапазон фрагментов функций, шаг за шагом перехватывает крайние точки и асимптоты. Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить максимальное удобство работы.Это выглядит так.
 Рабочий лист по кусочным функциям из Common Core Fun On Teachersnotebook Com 2-страничные рабочие листы с задачами Word Функции алгебры Обучение алгебре
 Рабочий лист по кусочным функциям из Common Core Fun on Teachersnotebook Com 2-страничные рабочие листы с Word-задачами Функции Алгебра Обучение алгебре 
 Мы можем создавать
 функций которые ведут себя по-разному в зависимости от входного значения x. 
  Область вычислителя кусочных функций .Изучите односторонний. Онлайн-калькулятор домена и диапазона находит домен и диапазон функции с помощью вольфрам-альфа. Больше, чем просто средство поиска свойств функций в Интернете.
 Узнайте, как это сделать, из этого бесплатного видеоурока. Кусочные функции Функция может быть разбита на части. А благодаря Интернету стало проще, чем когда-либо, пойти по их стопам, или просто закончить домашнее задание, или подготовиться к следующему серьезному испытанию.
 Функция состоит из 3 частей. Он также показывает графики функции и иллюстрирует домен и диапазон на числовой прямой, чтобы улучшить вашу математическую интуицию.Сплошная точка означает включение, открытая точка означает отсутствие включения.
 Щелкните синюю стрелку, чтобы отправить и увидеть результат. Используя этот сайт, вы соглашаетесь с нашей политикой использования файлов cookie. Введите в редактор функцию, которую вы хотите добавить в домен.
 Найдите больше математических виджетов в вольфрам альфа. Бесплатный калькулятор кусочных функций исследует диапазон кусочных функций, шаг за шагом перехватывает крайние точки и асимптоты. Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам лучший опыт.Калькулятор домена бесплатных функций шаг за шагом поиск домена функций. Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить максимальное удобство использования.
 Бесплатная программа для решения математических задач, как репетитор по математике, отвечает на ваши вопросы по математическому исчислению, тригонометрии и статистике с пошаговыми объяснениями. Необходимо вычислить область и диапазон построенной на графике кусочной функции. Получите бесплатный виджет кусочно-функционального виджета для своего веб-сайта, блога wordpress blogger или igoogle.
 Когда x больше 2, но меньше или равно 6, получается линия 10 x.Калькулятор домена позволяет вам взять простую или сложную функцию и мгновенно найти домен как в интервале, так и установить нотацию. От Рамануджана до соавтора математических вычислений Готфрида Лейбница многие из лучших и ярких математических умов мира принадлежали к самовоспитателям.
 Используя этот сайт, вы соглашаетесь с нашей политикой использования файлов cookie. Wolfram alpha - отличный инструмент для поиска домена и диапазона функции. Когда x меньше 2, он дает x 2, когда x ровно 2, он дает 6.
 Построение графиков кусочных функций на Ti 83 84 Построение графиков Графические калькуляторы Функция
 Построение кусочных графиков функций на Ti 83 84 Построение графиков Графические калькуляторы Функция 
 Графический органайзер Перехватывает диапазон доменов Асимптоты Интервалы Inc Уменьшить максимальное минимальное и закончить Высшее поведение Обучение математике Алгебра Школьная математика
 Графический органайзер Диапазон домена перехватывает Асимптоты Интервалы Inc Уменьшение максимального минимального и конечного поведения Обучение алгебре Математические методы Математика в старшей школе 
 Учащиеся создадут американские горки, которые продемонстрируют их знания и понимание следующих навыков Графические функции Обучение математике Алгебра Математика
 Студенты создадут американские горки, которые продемонстрируют их знания и понимание следующих навыков Графические функции Обучение математике Алгебра Математика 
 Пример кусочных функций и график Учитель математики Алгебра Словесные задачи 900 04
 Пример кусочных функций и график Учитель математики Алгебра Задачи со словами 
 Учитель математики Мамбо Кусочные функции Обучение алгебре Учитель математики Функции Алгебра
 Учитель математики Мамбо Кусочные функции Обучение алгебре Учитель математики Функции Алгебра 
 9 Решение системы уравнений Видео о том, как решить систему Equa Graphing Calculator Calculator Системы уравнений
 Использование графического калькулятора Ti 84 Решение системы уравнений Видео о том, как решить систему Equa Graphing Calculator Calculator Системы уравнений 
 Складное вычисление кусочных функций, построение графиков кусочно-функций и запись уравнений для кусочно-функциональных функций. Написание уравнений. Функции Складные складные формы.
 Складные складные элементы
 Кусочно-непрерывная и прерывистая функция алгебры предвычисления
 Кусочно-непрерывная и прерывистая функция алгебры предвычисления 
 Кусочная функция Графические обозначения Математика
 Кусочно-непрерывные функции Графические обозначения математики 
 Математические задачи со словами 
 Кусочные функции, которые она любит Математика Алгебра Помогите полюбить математические задачи со словами 
 Пин на предварительном исчислении
 Пин на предварительном исчислении 
 Пин на алгебре 1
 Пин на алгебре 1 
 Шаговые функции Mathbitsnotebook A1 Ccss Math Шаговая функция Ccss Math School Algebra
 Кусочно-абсолютное значение и пошаговые функции Mathbitsnotebook A1 Ccss Math Шаговая функция Ccss Math School Algebra 
 Кусочное вычисление функций или Пошаговый справочный лист Школьная алгебра Старшая школа математика Старшая школа математики
 Кусочный калькулятор функций Пошаговый справочный лист Школьная алгебра Старшая школа математика Старшая школа математика 
 Прикрепить к математике
 Прикрепить к математике 
 Кусочные функции Ws Pdf Обозначения математических действий в исчислении
 Кусочные функции Ws Pdf Обозначения математических действий в исчислении 
 Графический калькулятор Справочный лист Graph A Производный графический калькулятор Графический калькулятор для средней школы Математика для старших классов
 Графический калькулятор Справочный лист Графический производный график Математика 
 Ограничения предметной области и кусочные функции в уравнениях Десмоса Учитель средней школы общей основной математики
 Ограничения предметной области и кусочные функции в уравнениях Десмоса Учитель средней школы общей основной математики 
 Это веселое занятие Для построения графиков кусочно определенных функций с использованием только линейных уравнений Набор включает десять различных нарисованных графиков и математическую математику
 Это увлекательное занятие для построения графиков кусочно определенных функций с использованием только линейных уравнений Набор включает десять различных нарисованных графиков и математическую математику 
 
 графический калькулятор кусочных функций mathway 
 Пример 1: f (x) = - x if x 2 Выше сказано, что если x меньше или равно 2, формула для функции будет f (x) =… Например, не набирайте x 1 3, чтобы вычислить кубический корень из x.Интерактивный бесплатный онлайн-калькулятор графиков от geogebra. Калькулятор кусочных функций Введите функцию 1 и функцию 2 с доменами и получите график кусочной функции. Покажите пошаговые решения. Кусочные функции. Действительно понятные уроки математики (предварительная алгебра, алгебра, предварительное вычисление), классные математические игры, графические онлайн-калькуляторы, геометрическое искусство, фракталы, многогранники, области для родителей и учителей. На схеме показана электрическая схема с четырьмя колокольчиками, которую планирует построить ученик. Используйте отрезки прямых линий на графике, чтобы смоделировать рост человека в разные промежутки времени.Greer Conference каждый год, когда единомышленники собираются, чтобы поделиться идеями о привлечении студентов. ... Нахождение области произведения функций. Математический калькулятор оценит вашу проблему до окончательного решения. functiony Больше, чем просто онлайн-инструмент для исследования непрерывности функций. Wolfram | Alpha - отличный инструмент для поиска разрывов функции. Он также показывает пошаговое решение, графики функции, области и диапазона. Получите бесплатный виджет "Piecewise Function Widget" для своего веб-сайта, блога, WordPress, Blogger или iGoogle.В нашем случае мы будем рисовать только одну линию с x = -3. Вы также можете лучше визуализировать и лучше понять функцию, используя наш инструмент построения графиков. На этой странице вы можете получить различные действия с кусочно определенной функцией, как и для большинства сервисов - получить подробное решение. Область и диапазон рациональных функций с дырками. Область вычислителя кусочных функций. Нахождение квадратного корня с помощью деления в столбик. Как решать кусочные функции на графическом калькуляторе, Классное руководство, Как решать кусочные функции на графическом калькуляторе Запатентованная система обучающих программ Virtual Nerd предоставляет контекстную информацию, подсказки и ссылки на вспомогательные руководства, синхронизированные с видео, каждые 3… Использование графического калькулятора полезно для решения систем уравнений.Ярлыки: как решать кусочно определенные функции, как решать кусочные функции, как решать область и диапазон кусочных функций, как решать кусочные функции для обеспечения непрерывности, как решать границы кусочных функций, как решать кусочные функции mathway, как решать кусочно функции на графическом калькуляторе, как решать кусочные функции шаг за шагом, как решать кусочно ... Калькулятор будет использовать лучший доступный метод, поэтому попробуйте множество различных типов задач. Скачать бесплатно в iTunes.Кусочные функции - определение, график и примеры Есть случаи, когда выражение для функций зависит от заданного интервала входных значений. Скачать бесплатно в Google Play. Попробуйте использовать приведенные примеры или введите свою проблему и проверьте свой ответ с помощью пошаговых объяснений. Шаг 2: Нажмите синюю стрелку, чтобы отправить и увидеть результат! Давайте установим ограждение: помните, что они не могут перейти в другие районы! Синтаксис: If condition1 Statement 1; else заявление 2; конечный график (Калькулятор домена позволяет вам взять простую или сложную функцию и найти область как в интервале, так и мгновенно установить обозначение.Кусочная функция - это функция, в которой более одной формулы используется для определения выходных данных по разным частям домена. Мы используем кусочные функции для описания ситуаций, в которых правило или взаимосвязь изменяется, когда входное значение пересекает определенные «границы». Графики. Вот шаги для построения графика кусочной функции в вашем калькуляторе: Нажмите [АЛЬФА] [Y =] [ENTER], чтобы вставить шаблон дроби n / d в редактор Y =. Введите функциональную часть в числитель и введите соответствующий интервал в знаменатель.Нажмите [GRAPH], чтобы построить график функциональных частей. Калькулятор кусочных функций mathway. Адрес электронной почты. Mathway - это программа №1 в мире по решению математических задач с миллионами пользователей и решенными миллиардами задач. Бесплатный калькулятор кусочных функций - исследуйте область кусочных функций, диапазон, точки пересечения, крайние точки и асимптоты шаг за шагом. Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить максимальное удобство работы. Введите функцию в поле ввода. Калькулятор интервальной записи Mathway. Используя этот сайт, вы соглашаетесь с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.Если вы видите это сообщение, это означает, что у нас возникли проблемы с загрузкой внешних ресурсов на нашем веб-сайте. Общая математическая алгебра штата Нью-Йорк I, модуль 3, урок 11 Кусочные функции Функция может быть в частях. Создайте график кусочной функции, который соответствует предоставленному графику (черные линии), изменив три предоставленных уравнения. Кусочные функции 1 - Cool Math предлагает бесплатные уроки математики онлайн, классные математические игры и увлекательные математические задания. Бесплатный онлайн-калькулятор для построения двумерных графиков, плоттер или калькулятор кривой, который может строить кусочно-линейный квадратичный кубический полиномиальный тригонометрической степени.Мы просто используем разные условия для разных диапазонов и присваиваем соответствующие значения. Когда это происходит, мы называем эти типы функций кусочно-определенными функциями. Вычислить кусочную функцию f (x) = {(3-5X IF X = 7):} | Mathway. Получите помощь с домашним заданием прямо сейчас! Что умеет калькулятор? Шаг 3: Наконец, в новом окне отобразится пошаговая функция для заданных интервалов. Предалгебра. Используя этот сайт, вы соглашаетесь с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie. Кусочная функция на самом деле состоит из «кусочков» разных функций.получить идти. В общем, кусочную функцию можно рассматривать как функцию, которая описывается более чем одним уравнением, причем каждое уравнение применимо к функции только в определенных областях. Новости и блог. Аппроксимируйте функцию кусочно-постоянной функцией с заданным числом секций. Функции назначают выходы входам. Вы можете использовать свой графический калькулятор для построения графиков так называемых «кусочно-определенных» функций, таких как: Используя клавишу, вы вводите две «части», одну как Y1, а другую как Y2.Практика: оценивать кусочно ... Калькулятор кусочных функций mathway 15 сентября 2020 г. Больше, чем просто онлайн-инструмент для исследования непрерывности функций. Wolfram | Alpha - отличный инструмент для поиска разрывов функции. Он также показывает пошаговое решение , графики функции, области и диапазона. Обозначьте свои -axis и -axis соответствующим образом и дайте название вашему графику. Использование графического калькулятора Одним из инструментов, используемых в алгебре, тригонометрии и исчислении, является графический калькулятор.Шаг 2: Теперь нажмите кнопку «Отправить», чтобы получить кусочную функцию. Калькулятор кусочных функций mathway Кусочно - Desmos bunkcacave.tk/ Онлайн-калькулятор разрывов Находите разрывы функции с помощью Wolfram | Alpha. Калькулятор пределов поддерживает определение предела как x… В математике кусочно-определенная функция (также называемая кусочной функцией или гибридной функцией) - это функция, определяемая несколькими подфункциями, каждая подфункция применяется к определенному интервалу домен основной функции, поддомен.Кусочно - это фактически способ выразить функцию, ... Поддержка Mathway 14 октября 2020 г., 22:57. калькулятор для построения графика кусочной функции, см. Техническое приложение, T-16. Расшифровка стенограммы. Вот как я изобразил кусочные функции на TI-84 + CE: Если на вашем CE еще нет кусочных функций, обновите операционную систему. Построение графиков линейных уравнений Используйте формулу y = mx + b. Чтобы построить график линейного уравнения, все, что вам нужно сделать, это заменить переменные в этой формуле. Нарисуйте свой график. Построить линейное уравнение проще всего, так как вам не нужно вычислять какие-либо числа перед построением графика.Найдите точку пересечения оси Y (b) на вашем графике. Скачать бесплатно на Amazon. Интерактивный бесплатный онлайн-калькулятор для построения графиков от GeoGebra: функции графиков, данные для построения графиков, ползунки перетаскивания и многое другое! На этой странице вы можете получить различные действия с кусочно определенной функцией, как и для большинства сервисов - получить подробное решение. Найдите формулу для кусочной функции из графика В этом видео представлен график и показано, как создать кусочно определенную функцию, которая описывала бы этот график! Кусочные функции - определение, график и примеры Есть случаи, когда выражение для функций зависит от заданного интервала входных значений.Здесь вы можете получить доступ к своим сохраненным элементам. Если вы находитесь за веб-фильтром, убедитесь, что домены * .kastatic.org и * .kasandbox.org разблокированы. Некоторые функции имеют простые правила, например «для каждого x возвращать x²». Кусочные функции определяются разными функциями в разных интервалах области. Чтобы построить график кусочной функции, сначала посмотрите на неравенства. Вместо этого, подобно лестнице if-else, кусочно возвращает значение для первого истинного условия. Mathway в настоящее время вычисляет только линейные регрессии.Инструкции в read-me. б. Бесплатный графический калькулятор - функция построения графиков, проверка точек пересечения, поиск максимума и минимума и многое другое. Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам максимальное удобство. Онлайн-калькуляторы для построения графиков прямоугольных треугольников. Бесплатный графический калькулятор мгновенно отображает ваши математические задачи. Сопоставьте формулу кусочной функции с ее графиком. Введение в кусочные функции. Чтобы этого избежать, отмените подписку и войдите в YouTube на своем компьютере. В этом случае функция состоит из трех отдельных строк.… Основы математики. Кусочные функции (или кусочные функции) - это именно то, что они называют: части разных функций (подфункции) на одном графике. 2562 D) 0. 2) Введите уравнение для второго интервала. Бесплатные функции и графический калькулятор - анализируйте и выводите на график линейные уравнения и функции, шаг за шагом. Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам максимальное удобство. Посетите Mathway в Интернете. Нарисуйте все данные функции. Нахождение области определения частного функций. Построение графиков кусочно определенных функций Как построить график кусочно определенной функции вручную и на графическом калькуляторе? Математический калькулятор.В этом видео обсуждается кусочная нотация функций и показано, как построить график кусочной функции с помощью графического калькулятора TI-83 (или TI-84). Используя этот сайт, вы соглашаетесь с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie. Вы также можете использовать pi и e в качестве соответствующих констант. Использование калькулятора TI-84 Plus для построения графиков кусочных функций может быть немного сложным, но вы быстро научитесь с этим. Создайте бесплатную учетную запись Teacher Student. Сопоставьте формулу кусочной функции с ее графиком. Используя этот сайт, вы соглашаетесь с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.Мы здесь, чтобы помочь вам с математическими вопросами. как ввести кусочную функцию в mathway как ввести кусочную функцию в mathway Ваш калькулятор оценивает утверждения и выдает одну из двух возможных истин […] Найдите местного репетитора прямо сейчас! Кусочные функции. Рабочий пример: вычисление кусочных функций. Построение графиков рациональных функций с отверстиями. Скачать бесплатно в Магазине Windows. Чтобы написать кусочную функцию, используйте следующий синтаксис: y = {условие: значение, условие: значение и т. Д.} Построение графика кусочной функции. Онлайн-калькулятор пошаговой функции BYJU ускоряет вычисления и отображает кусочную функцию за доли секунды. Каждая линейная функция определяется на интервале времени, представленном на горизонтальной оси. знак (2i) = i. Тем не менее, для некоторых это может упростить построение графика кусочной функции. Ряды Фурье (Обычно в примерах используются кусочки для вычисления ряда). Приведенные выше примеры также содержат: модуль или абсолютное значение: абсолютное (x) или | x |.Однако мы надеемся, что эта функция появится в будущем. Итак, давайте пока определим нашу функцию с помощью операторов if-else. Ваша картинка представляет собой пример графика кусочно-линейной функции. Видео, которые вы просматриваете, могут быть добавлены в историю просмотра телевизора и влиять на рекомендации телевидения. Знак любого комплексного числа - это результат деления x на его абсолютное значение, например Когда вы закончите, они будут выглядеть так: Y1 = 2X-2 / (X2) Практика построения графиков кусочных функций. Бесплатный калькулятор функций - исследуйте область функций, диапазон, точки перехвата, экстремальные точки и асимптоты шаг за шагом. Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить максимальное удобство использования.Когда это происходит, мы называем эти типы функций кусочно-определенными функциями. Процедура использования калькулятора пошаговых функций следующая: Шаг 1: Введите функции и интервалы в соответствующее поле ввода. Проверка вертикальной линии, применяемая к функции f (x) = x 2 + 2, может выглядеть как «Построить график каждой функции с помощью графического калькулятора» и применить проверку горизонтальной линии, чтобы определить, существует ли ее обратная функция. Построение графика кусочной функции по ее формуле. Имя. Посетите сайт mathway в Интернете.z −3 = 4 z = 7 Попробуйте бесплатный калькулятор Mathway и средство решения задач ниже, чтобы попрактиковаться в различных математических вопросах. Основы математики. Используйте его, чтобы проверить свои ответы. Нажмите синюю стрелку, чтобы отправить и увидеть результат. Выполните следующие действия в режиме графика: 1) Введите уравнение для первого интервала. Войдите или зарегистрируйтесь. Метод L.C.M для решения задач времени и работы Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби. Определение кусочных функций. Шаг 2: …. В этом случае главный цепной должен держать измерительную линию горизонтально, над землей.Бесплатный калькулятор кусочных функций исследует диапазон кусочных функций, шаг за шагом перехватывает крайние точки и асимптоты. Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам лучший опыт. … Получите бесплатный виджет «Элементарные функции» для своего веб-сайта, блога, WordPress, Blogger или iGoogle. Создайте новую учетную запись учителя для LearnZillion. Если воспроизведение не начинается в ближайшее время, попробуйте перезагрузить устройство. Построение 3-сторонней кусочной функции на графическом калькуляторе ti84 plus se. Настройки r могут быть либо числами, либо функциями q: Бесплатный онлайн-3D-графер от GeoGebra: функции 3D-графиков, построение поверхностей, построение твердых тел и многое другое! Бесплатный графический калькулятор - функция построения графика, проверка точек пересечения, поиск максимума и минимума подробнее Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам максимальное удобство.Обратите внимание, что это не лучший способ сделать это в Matlab, но я упоминаю об этой идее, потому что это фундаментальная концепция, и в некоторых языках программирования это невозможно сделать по-другому. Как решать кусочные функции. Процедура использования калькулятора пошаговой функции следующая: Это видео демонстрирует, как построить график кусочной функции на любом из калькуляторов серии TI-84. Давайте сделаем одну из трех частей ... График. Бесплатный калькулятор преобразования Лапласа - Пошаговый поиск функций преобразования Лапласа и обратного преобразования Лапласа. Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить максимальное удобство работы.... Графический калькулятор Справочный лист Кусочные функции Полиномиальный граф Квадратичный графический калькулятор. Поддержка Mathway; Примеры проблем Примеры проблем. Вам нужно будет изменить уравнения в каждом поле и домен для каждой детали. Найдите больше виджетов математики в Wolfram | Alpha. Калькулятор ступенчатой ​​функции - это бесплатный онлайн-инструмент, который отображает кусочно-постоянную функцию. Введите функцию 1 и функцию 2 с доменами и получите график кусочной функции Чтобы встроить виджет в боковую панель вашего блога, установите Мы ценим ваш интерес к Wolfram | Alpha и вскоре свяжемся с вами.
 Спецификаторы доступа и модификаторы доступа в Java,
Запор винчестера,
Может альфа- и бета-глюкозная связь,
Рестораны на открытом воздухе Марлоу,
Стили с коротким переплетением 2020,
Примеры анализа отдельных слов,
Список Заслуг доктора оптометрии,
Hammerin '___' 'Кроссворд Аарона,
Последние слова Теодена,
Правда о сатурналиях,
Описание комитета,  .
Published in Разное
 Ваш комментарий будет первым
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
 Комментарий
 Имя* 
 Email* 
 Веб-сайт 
  
 Scroll to the top