Построение графиков функций: Построение графика функции онлайн

В основном вы строили графики «по точкам», т. е. для заданной функции находили контрольные точки,,,и т. д., отмечали их на координатной пло­скости и, полагаясь на интуицию, соединяли найденные точки плавной кривой. Как выбирали эти контрольные точки? Иногда обдуманно, например, строили вершину параболы

Графики любых функций строят по точкам. Но в тех случа­ях, когда вид графика заранее неизвестен, эти точки надо выби­рать со смыслом — уметь выделять особо важные точки графи­ка, которые определяют его структуру. Об этом мы уже говори­ли выше, когда строили графики функций у = 2х³ +Зх²— 1 иу =Зx⁴— 16х³+ 24x²— 11. К особо важным точкам графика функцииу =f(x)относят:

— стационарные и критические точки;

— точки экстремума;

— точки пересечения графика с осями координат;

— точки разрыва функции.

В тех случаях, когда речь идет о построении графика незна­комой функции, когда заранее невозможно представить вид гра­фика, полезно применять определенную схему исследования свойств функции, которая помогает составить представление о ее графике. Когда такое представление составится, можно при­ступить к построению графика по точкам.

В курсе математического анализа разработана универсальная схема исследования свойств функции и построения графика функции, позволяющая строить весьма сложные графики. Для наших нужд будут достаточны упрощенные варианты указанной схемы.

1)Если функцияу =f(x)непрерывна на всей числовой пря­мой, то достаточно найти стационарные и критические точки, точки экстремума, промежутки монотонности, точки пересече­ния графика с осями координат и при необходимости выбрать еще несколько контрольных точек.

2)Если функцияу =f(x)определена не на всей числовой прямой, то начинать следует с отыскания области определения функции (если область не задана) и с указания ее точек разрыва.

3)Полезно исследовать функцию на четность, поскольку графики четной или нечетной функции обладают симметрией (соответственно относительно осиуили относительно начала ко­ординат), и, следовательно, можно сначала построить только ветвь графика при , азатем достроить симметричную ветвь.

4)Если то, как известно, прямая

у = bявляетсягоризонтальной асимптотойграфика функцииу = f(х).Асимптоту следует строить на координатной плоско­сти, она дает своеобразный ориентир для графика.

Самый распространенный признак существования верти­кальной асимптоты заключается в следующем:

если приx=а знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен от нуля, то х=а — вертикальная асимптота графика функцииу = f(х).

В следующих примерах учтем все вышеуказанные обстоя­тельства и построим графики функций, придерживаясь опреде­ленной схемы.

Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значении величин

Создание пользовательских функций построения графиков с помощью matplotlib | Матиас Кальдерини

TLDR: определите свои собственные функции, которые включают построение графиков на определенных осях, используя следующий синтаксис:

 def custom_plot(x, y, ax=None, **plt_kwargs): 
, если ax равен None: 
 ax = plt.gca() 
 ax.plot(x, y, **plt_kwargs) ## здесь пример графика 
 return(ax)def multiple_custom_plots(x, y, ax=None, plt_kwargs={}, sct_kwargs={}): 
, если ax имеет значение None: 
 ax = plt.gca() 
 ax.plot(x, y, **plt_kwargs) #example plot1 
 ax.scatter(x, y, **sct_kwargs) #example plot2 
 return(ax) 

Репозиторий исходного кода можно найти по этой ссылке.

В предыдущем посте я показал вам, как лучше организовать свои фигуры. Мы увидели, как можно аккуратно отображать различные графики с помощью подграфиков, как добавлять свободно плавающие оси и как легко создавать мозаичную организацию осей с помощью GridSpec.

Поскольку основное внимание в этом посте уделялось общей структуре и представлению общей фигуры, сами графики были довольно простыми в том смысле, что они использовали только одну предопределенную функцию matplotlib, такую ​​как .plot или .hist с параметрами по умолчанию. Тем не менее, часто в пределах красивой мозаичной структуры, которую вы узнали в предыдущем посте, вам нужно будет нарисовать собственный график, который объединяет информацию из различных типов базовых функций построения графика вместе с вызовами некоторых других генерирующих данные или данных. функция обработки. Например, построение распределения случайных выборок с соответствующей теоретической функцией плотности сверху.

Здесь я покажу вам, как создавать собственные пользовательские функции построения графиков, которые можно легко использовать, вызывая их в ваших организованных графиках примерно следующим образом:

 fig, axes = plt. subplots(number_of_subplots) 
 for axe in axes: 
 my_custom_plotting_function(ax=ax, function_kwargs) 

Вместе с хорошей организацией подграфиков это поможет вам максимизировать ваши статические графики на matplotlib (предвосхищая последующее руководство по динамическим графикам… может быть…) и используйте информацию из разных графиков, чтобы поделиться всеобъемлющей историей ваших данных.

Первый шаг к созданию серии пользовательских графиков на фигуре — это возможность подключить отдельный пользовательский график к отдельным осям. Первым шагом является передача осей, по которым мы хотим построить график, в нашу пользовательскую функцию. Это можно сделать просто так:

 def custom_plot(x, y, ax=None, **plt_kwargs): 
, если ax равен None: 
 ax = plt.gca() 
 ax.plot(x, y, **plt_kwargs) ## пример графика здесь 
 return(ax) 

Так что же я там делал? Первой важной частью здесь является аргумент x . Если вы уже использовали seaborn раньше, возможно, вы уже знаете, как это использовать. По сути, x будет принимать объект осей, на котором вы хотите построить. Это могут быть оси подсюжета или простые свободно плавающие оси вставки. Идея состоит в том, что организационная часть сюжета будет решаться вне этой функции, возможно, другой функцией.

Почему x по умолчанию равно Нет ? На это лучше ответить строками:

 if ax is None: 
 ax = plt.gca() 

мы видим, что если объект осей не был предоставлен в ax , по умолчанию он равен None и запускает этот , если Состояние . В этом случае, поскольку оси не заданы, по умолчанию функция будет искать последние оси, использованные в текущей фигуре, или создавать их, если они недоступны, с помощью функции .gca (что означает , получить текущие оси ) и использовать их в качестве осей для построения графика. В конце функции мы также возвращаем этот топор, если мы хотим использовать его для других настроек (не нужных, но в некоторых случаях практичных).

Давайте проверим это, сначала построив график без указания осей, а затем указав определенные оси:

 # Без указания осей (по умолчанию None -> gca()) 
 plt.figure(figsize=(10, 5)) 
 custom_plot([1, 2], [10, 20]) 
 plt.title('Наш пользовательский график без осей (по умолчанию .gca())') 
 plt.xlabel('x') 
 plt.ylabel('y') 
 plt.show() 

 # Предоставление осей 
 fig, axes = plt.subplots(2, figsize=(10, 5))# Построение графика с помощью нашей функции 
 custom_plot([2, 3], [4, 15], ax=axes[0]) 
 axes[0].set(xlabel='x', ylabel='y', title='Это наш пользовательский график по указанным осям')# Пример графика для заполнения второго подграфика (ничего общего с нашей функцией) 
 axes[1].hist(np.random.normal(size=100)) 
 axes[1].set_title('Этот график не имеет ничего общего с нашей функцией. Просто гистограмма некоторых случайных чисел')plt.tight_layout() #Это позволяет избежать наложения меток и заголовков на графиках 
 plt. show() 

Пока все хорошо; мы можем создать функцию для построения данных, и мы можем подключить ее к определенным осям нашего графика (она даже позаботится о себе, если оси не были предоставлены). А как насчет **plt_kwargs ?

Если вы не привыкли работать с **kwargs (как в аргументах ключевого слова) в своих функциях (фактическое имя аргумента не имеет значения, вы можете назвать его **kwargs , **plt_kwargs , **literally_anything_else до тех пор, пока вы ставите двойную звездочку «**»), это будет проще объяснить, сначала создав и используя новую функцию, которая не имеет * * kwargs в нем.

В качестве отступления, если вы действительно раньше не видели этот тип звездочек, использование одинарных звездочек * и двойных звездочек ** в python весьма полезно во многих ситуациях, будь то внутри или помимо функций, и определенно стоит поискать в Google (может быть, даже написать об этом сообщение в блоге. … может быть…). Во всяком случае, вернемся к нашему примеру с custom_plot без **kwargs :

 def no_kwargs_plot(x, y, ax=None): 
 если ax равно None: 
 ax = plt.gca() 
 ax.plot(x, y) ## пример график здесь 
 return(ax)plt.figure(figsize=(10, 5)) 
 no_kwargs_plot([1, 2], [10, 20]) 
 plt.show() 

Нет ошибок, нет проблем… Однако, что, если вы хотите сделать линию толще? Обычно в .plot() мы просто устанавливаем аргумент linewidth на более толстое значение. мы могли бы добавить linewidth в список входных данных для no_kwargs_plot , а затем передать его в .plot() следующим образом:
ax = plt.gca()
ax.plot(x, y, linewidth) ## пример графика здесь

Это решит проблему. Но как насчет всех других возможных аргументов в .plot() . Записывать их все в нашу функцию вместе со значениями по умолчанию было бы очень долго и не очень практично:

 def no_kwargs_plot(x, y, ax=None, linewidth=1, other=1,. ..): 
 если ax равен None: 
 ax = plt.gca() 
 ax.plot(x, y, linewidth , other,....) ## пример графика здесь 

Вот где использование нотации ** ( **kwargs ) становится полезным. При использовании на свободных элементах ключ-значение, таких как потерянные входные данные в нашей функции (те, которые не связаны с предопределенными аргументами x, y и ax в нашем случае) **имя упакует все эти элементы в словарь и сохранить их в переменной имя .

Например, если бы мы использовали нашу функцию построения графика как custom_plot(x=xdata, y=ydata, ax=axes[0], linewidth=2, c='g') , результирующий словарь plt_kwargs будет {'linewidth':2, 'c':'g'} . Если это все еще не совсем понятно, посмотрите на приведенный ниже пример кода, вывод (>>) и схему под ним:

 def print_kwargs_only(x, y, ax=None, **plt_kwargs): 
 print(plt_kwargs) # распечатать словарь со всеми сиротскими kwargsprint_kwargs_only(x=[1, 2], y=[10, 20], not_xyax=1, random_orphan_kwarg='так одиноко', linewidth=2, c='g')>> { 'not_xyax': 1, 'random_orphan_kwarg': 'так одиноко', 'linewidth': 2, 'c': 'g'} 

Таким образом, использование ** решает проблему переноса всех возможных входных данных в нашу функцию без необходимости их явного предварительного определения и наличия их готовых к использованию внутри словаря. Но как же используется этот словарь дополнительных аргументов ключевых слов?

Ранее я упоминал, что ** ведет себя как функция упаковки при использовании на свободных элементах. Когда вы используете ** в словаре (независимо от того, был ли он упакован ** или нет), ** на самом деле выполнит обратное действие: распаковает словарь на разные свободные элементы. В custom_function , когда мы пишем **plt_kwargs внутри .plot() , т.е. ax.plot(x, y, **plt_kwargs) , мы фактически просим python взять словарь plt_kwargs и распакуйте все его пары ключ-значение отдельно в функцию .plot() в качестве отдельных входных данных.

Таким образом, не зная, сколько и какие настройки графика будут использоваться, мы можем передать их все той части нашей функции, которая будет выполнять построение графика.

Мы можем увидеть это снова, используя нашу исходную функцию custom_plot (вы могли заметить, что на этот раз я использовал оси, возвращаемые функцией, чтобы показать вам, как ее можно использовать):

 plt. figure(figsize=(10, 5)) 
 out_ax = custom_plot([1, 2], [10, 20], ширина линии=5, c='g') 
 out_ax.set(xlabel='xlabel', ylabel='ylabel', title=' Тестирование полезности **kwargs') 
 plt.show() 

Это позаботится об основном синтаксисе. С этим вы уже сможете начать создавать еще несколько интересных сюжетов.

Однако прежде чем приступить к делу, нам нужно позаботиться об одной потенциальной проблеме, с которой вы можете столкнуться при использовании **kwargs . То есть, что, если бы вы делали несколько графиков внутри функции custom_plot ? например, что, если вы рисуете две линии, и одна должна быть пунктирной, а другая сплошной. Откуда **kwargs знать, какие аргументы входят в какой сюжет?

Ответ заключается в том, что « **kwargs упаковочная машина» больше не будет работать и ее необходимо будет заменить, но « **kwargs машина для распаковки» будет работать отлично. Что я имею в виду? Давайте определим новую функцию с именем multiple_custom_plots , чтобы прояснить ее: }, sct_kwargs={}):
, если ax равен None:
ax = plt. gca()
ax.plot(x, y, **plt_kwargs)
ax.scatter(x, y, **sct_kwargs)
return (ax)

Чем здесь отличается и как его использовать?Сначала посмотрим на список возможных входов.Теперь вместо **kwargs , у нас есть два новых аргумента, по одному для каждого из наших графиков. Кроме того, по умолчанию эти аргументы являются пустыми словарями.

Если вы следовали моему объяснению до **kwargs , надеюсь, это уже достаточно ясно для вас. Идея состоит в том, что, поскольку мы не можем попросить функцию автоматически упаковать все несвязанные входные данные в один словарь (теперь нам нужны два отдельных словаря), вместо этого нам придется самим предоставлять каждый словарь параметров построения предварительно упакованным.

Использование их позже с двойной звездочкой ничем не отличается от оригинального custom_plot , поскольку использование ** в словаре по-прежнему означает, что мы хотим, чтобы его значения были распакованы. Мы используем пустые словари в качестве значений по умолчанию, потому что, если бы вы не предоставили словарь настроек, мы столкнулись бы с проблемами при попытке распаковать их (или их отсутствие) с помощью ** . Пустые словари, по сути, предназначены для того, чтобы ничего не распаковывать в функции, если ничего не предоставлено.

Давайте посмотрим, как это использовать:

 plot_params = {'linewidth': 2, 'c': 'g', 'linestyle':'--'} 
 scatter_params = {'c':'red', 'marker':'+', 's':100} 
 xdata = [1, 2] 
 ydata = [10, 20]plt.figure(figsize=(10, 5)) 
 multiple_custom_plots(xdata, ydata, plt_kwargs =plot_params, sct_kwargs=scatter_params) 
 plt.show() 

Итак, когда дело доходит до создания пользовательских функций, из которых вы можете строить графики, предыдущего раздела должно быть достаточно для того, чтобы вы немного повеселились со статическими участки. В следующем разделе я просто приведу пример графика с использованием пользовательской функции, надеюсь, он вдохновит вас на создание собственных графиков.

Представьте, что вы хотите посмотреть, как размер выборки из данной случайной величины влияет на оценку лежащего в ее основе распределения вероятностей.

Предположим, у нас есть непрерывная случайная величина X, которая нормально распределена со средним значением μ (мю) и стандартным отклонением σ (сигма) (, т. Мы хотели бы знать, как на оценку плотности ядра scipy (kde) влияет размер нашей случайной выборки (сколько раз мы случайным образом выбираем из нашего нормального распределения), сравнивая ее с оценкой основного истинного распределения плотности вероятности (pdf) .

Мы сделаем это, построив сами образцы, их kde и лежащую в их основе PDF для различных значений N.

 def , kde_kwargs={}, ax=None): 
 # создать образец 
 .linspace(-1, 1, 100) 
 pdf = stats.norm.pdf(xrange, loc=mu, scale=sigma) 
 
 # сгенерировать оценку kde 
 = stats.gaussian_kde(sample) 
 kde = оценка (xrange) 
 
 # График 
, если ax равен None: 
 ax = plt. gca() 
 ax.scatter(sample, np.zeros_like(sample), **sct_kwargs) 
 ax.plot(xrange, pdf, **pdf_kwargs) 
 ax.plot(xrange, kde, **kde_kwargs) 
 return(xrange) 
 

Давайте разберем функцию шаг за шагом:

Во-первых, входные данные. Здесь вместо того, чтобы запрашивать массивы данных, мы будем создавать наши собственные данные из генератора случайных чисел Гаусса. Поэтому нам нужно запросить соответствующие статистические параметры μ и σ (среднее значение и стандартное отклонение соответственно для гауссовых распределений). Нам также нужно задать количество отбираемых образцов N. На самом деле мы будем перебирать различные значения N позже, чтобы увидеть влияние размера выборки на оценку. Идея состоит в том, чтобы отображать выборки в виде точек рассеяния, а pdf и kde — в виде обычных линейных графиков. Таким образом, мы предоставим в качестве входных данных словарь для соответствующих параметров построения графика (ширина линии, размер маркера и т. д.). Наконец, мы зададим оси фигуры, на которой мы хотим построить все три вещи.

Первая часть функции просто сгенерирует случайную гауссову выборку размера N из предоставленных статистических параметров.

Вторая часть кода создаст пары x-y линейного графика, соответствующие PDF нормального распределения, заданного μ и σ. Мы ограничиваем диапазон PDF до ± 5 стандартных отклонений, поскольку все, что дальше по обеим сторонам, в любом случае будет довольно маленьким.

Третья часть кода сначала вычисляет kde нашего образца, а затем применяет его к тому же диапазону значений по оси x, что и наш PDF-файл.

Наконец, в четвертой части кода мы просто строим в виде точечной диаграммы все выбранные значения по оси x (на высоте 0), а pdf и kde — в виде линейных графиков. Все три, с соответствующими аргументами ключевого слова построения графика.

 # Параметры выборки 
 sample_sizes = (10, 20, 100, 250, 500, 2_000) 
 mean = 100 
 std = 15# Параметры построения графика 
 scatter_params = {'alpha':0.1, 'c':'g', 's':100, 'метка':'образцы'} 
 pdf_params = {"linewidth":2, 'c':'k', 'метка':'pdf'} 
 kde_params = {"linewidth":3, 'ls':'--', 'c':'g', 'label':'kde'}# Построение графика 
 fig, axes = plt. subplots(6, figsize= (15, 20)) 
 для ax, n в zip(axes, sample_sizes): 
 sample_plot(mu=mean, sigma=std, N=n, ax=ax, 
 sct_kwargs=scatter_params, pdf_kwargs=pdf_params, kde_kwargs=kde_params ) 
 ax.set_title(f'N={n}')axes[0].legend() 
 осей[-1].set_xlabel('Sample Value', fontsize=13) 
 plt.tight_layout() 
 plt. savefig('finalplot') 
 plt.show() 

Вот и все! Надеюсь, вы научились добавлять возможности построения графиков в свои функции, правильно передавая соответствующие оси и аргументы ключевых слов. Это должно помочь вам иметь все более модульный код для быстрого изучения и визуализации ваших данных.

Первоначально опубликовано по адресу https://maticalderini.github.io 28 апреля 2020 г.

Графики основных функций

2.4 Графики основных функций

Цели обучения

1. Определить семь основных функций и изобразить их на графике.
2. Определение кусочных функций и построение графика.
3. Вычислить кусочно-определенные функции.
4. Определите функцию наибольшего целого числа.

Основные функции

В этом разделе представлены семь основных функций, которые будут использоваться на протяжении всего курса. График каждой функции изображается точками. Помните, что f(x)=y, поэтому f(x) и y могут использоваться взаимозаменяемо.

Любая функция вида f(x)=c, где c — любое действительное число, называется постоянной функцией Любая функция вида f(x)=c, где c — вещественное число.. Постоянные функции линейны и могут быть записаны как f(x)=0x+c. В этой форме ясно, что наклон равен 0, а y — точка пересечения (0,c). Оценка любого значения для x , например x = 2, даст результат c .

График постоянной функции представляет собой горизонтальную линию. Домен состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из одного значения { c }.

Затем мы определим функцию тождества. Линейная функция определяется формулой f(x)=x.f(x)=x. Оценка любого значения для x приведет к тому же самому значению. Например, f(0)=0 и f(2)=2. Функция тождества является линейной, f(x)=1x+0, с наклоном m=1 и г -перехват (0, 0).

Домен и диапазон состоят из действительных чисел.

Функция возведения в квадрат Квадратичная функция, определяемая формулой f(x)=x2, определяемая формулой f(x)=x2, представляет собой функцию, полученную путем возведения в квадрат значений в области. Например, f(2)=(2)2=4 и f(-2)=(-2)2=4. Результат возведения в квадрат ненулевых значений в домене всегда будет положительным.

Полученный криволинейный график называется параболой. Криволинейный график, образованный функцией возведения в квадрат.. Область определения состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из всех y -значения больше или равны нулю [0,∞).

Функция куба Кубическая функция, определяемая формулой f(x)=x3. , определяемая формулой f(x)=x3, возводит все значения в области значений в третью степень. Результаты могут быть положительными, нулевыми или отрицательными. Например, f(1)=(1)3=1, f(0)=(0)3=0 и f(-1)=(-1)3=-1.

Домен и диапазон состоят из всех действительных чисел ℝ.

Обратите внимание, что функции константы, идентичности, возведения в квадрат и куба — все это примеры базовых полиномиальных функций. Следующие три основные функции не являются полиномами.

Функция абсолютного значенияФункция, определяемая как f(x)=|x|., определяемая как f(x)=|x|, представляет собой функцию, выходные данные которой представляют собой расстояние до начала координат на числовой прямой. Результат вычисления функции абсолютного значения для любого ненулевого значения x всегда будет положительным. Например, f(−2)=|−2|=2 и f(2)=|2|=2.

Область определения функции абсолютного значения состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из всех y -значений, больших или равных нулю [0,∞).

Функция квадратного корняФункция, определяемая f(x)=x., определяемая f(x)=x, не определяется как действительное число, если значения x отрицательные. Следовательно, наименьшее значение в области равно нулю. Например, f(0)=0=0 и f(4)=4=2.

Домен и диапазон состоят из действительных чисел, больших или равных нулю [0,∞).

Обратная функцияФункция, определяемая формулой f(x)=1x., определяемая формулой f(x)=1x, является рациональной функцией с одним ограничением на область определения, а именно x≠0. Обратное значение x — значение очень близко к нулю очень велико. Например,

f(1/10)=1(110)=1⋅101=10f(1/100)=1(1100)=1⋅1001=100f(1/1000)=1(11000)=1 ⋅1,0001=1,000

Другими словами, когда значения x приближаются к нулю, их обратные величины будут стремиться либо к положительной, либо к отрицательной бесконечности. Это описывает вертикальную асимптоту — вертикальную линию, к которой график становится бесконечно близким. на оси и . Кроме того, там, где значения x очень велики, результат обратной функции очень мал.

f(10)=110=0,1f(100)=1100=0,01f(1000)=11 000=0,001

Другими словами, когда значения x становятся очень большими, результирующие значения y стремятся к нулю. Это описывает горизонтальную асимптоту Горизонтальная линия, к которой график становится бесконечно близким, где значения x стремятся к ±∞. по оси x . После нанесения ряда точек можно определить общий вид обратной функции.

И область определения, и диапазон обратной функции состоят из всех действительных чисел, кроме 0, который может быть выражен с использованием интервальной записи следующим образом: (−∞,0)∪(0,∞).

Таким образом, основные полиномиальные функции:

Основные неполиномиальные функции:

Кусочно-определенные функции ссылаясь на кусочную функцию., это функция, определение которой изменяется в зависимости от значения в области определения.

Например, мы можем написать функцию абсолютного значения f(x)=|x| как кусочная функция:

f(x)=|x|={ x if   x≥0−x  if   x<0

В этом случае используемое определение зависит от знака x -значения. Если значение x положительно, x≥0, то функция определяется как f(x)=x. И если значение x отрицательно, x<0, то функция определяется как f(x)=−x.

Ниже приведен график двух частей на одной и той же прямоугольной координатной плоскости:

Пример 1

График: g(x)={   x2 if x<0x  if x≥0.

Решение:

В этом случае мы изобразим функцию возведения в квадрат для отрицательных значений x и функцию квадратного корня для положительных значений x .

Обратите внимание на открытую точку, используемую в начале координат для функции возведения в квадрат, и закрытую точку, используемую для функции извлечения квадратного корня. Это определялось неравенством, определяющим область определения каждой части функции. Вся функция состоит из каждой детали, нанесенной на одну и ту же координатную плоскость.

Ответ:

При оценке значение в домене определяет подходящее определение для использования.

Пример 2

Для заданной функции h найдите h(−5), h(0) и h(3).

h(t)={ 7t+3ift<0−16t2+32tift≥0

Решение:

Используйте h(t)=7t+3, где t отрицательно, на что указывает t<0.

h(t)=7t+5h(-5)=7(-5)+3=-35+3=-32

Где t больше или равно нулю, используйте h(t)= −16т2+32т.

ч(0)=-16(0)+32(0)ч(3)=16(3)2+32(3)=0+0=-144+96=0=-48

Ответ: h(-5)=-32, h(0)=0 и h(3)=-48

Попробуйте! График: f(x)={23x+1   если x<0x2   если x≥0.

Ответ:

(нажмите, чтобы посмотреть видео)

Определение функции может различаться на нескольких интервалах в домене.

Пример 3

График: f(x)={x3 if x<0x  if 0≤x≤46  if x>4.

Решение:

В этом случае постройте график кубической функции на интервале (−∞,0). Постройте график функции идентичности на интервале [0,4]. Наконец, нарисуйте график постоянной функции f(x)=6 на интервале (4,∞). И поскольку f(x)=6, где x>4, мы используем открытую точку в точке (4,6). Где x=4, мы используем f(x)=x, и, таким образом, (4,4) является точкой на графике, обозначенной закрытой точкой.

Ответ:

Наибольшая целочисленная функция Функция, которая сопоставляет любое действительное число x наибольшему целому числу, меньшему или равному x , обозначаемому f(x)=[[x]]., обозначаемому f(x)= [[x]], присваивает наибольшее целое число, меньшее или равное любому вещественному числу в своей области определения. Например,

f(2,7)=[[2,7]]=2f(π)=[[π]]=3f(0,23)=[[0,23]]=0f(−3,5)=[[−3,5]] =−4

Эта функция связывает любое действительное число с наибольшим целым числом, меньшим или равным ему, и ее не следует путать с округлением.

Пример 4

График: f(x)=[[x]].

Решение:

Если x — любое действительное число, то y=[[x]] — наибольшее целое число, меньшее или равное x .

⋮−1≤x<0⇒y=[[x]]=−10≤x<1⇒y=[[x]]=01≤x<2⇒y=[[x]]=1⋮

Используя это, мы получаем следующий график.

Ответ:

Область определения функции наибольшего целого числа состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из набора целых чисел ℤ. Эту функцию часто называют функцией пола. Термин, используемый для обозначения функции наибольшего целого числа. и имеет множество приложений в информатике.

Ключевые выводы

• Точки графика для определения общей формы основных функций. Форма, а также домен и диапазон каждого из них должны быть запомнены.
• Основные полиномиальные функции: f(x)=c, f(x)=x, f(x)=x2 и f(x)=x3.
• Основные неполиномиальные функции: f(x)=|x|, f(x)=x и f(x)=1x.
• Функция, определение которой изменяется в зависимости от значения в области определения, называется кусочной функцией. Значение в домене определяет подходящее определение для использования.

Тематические упражнения

Часть A: основные функции

Сопоставьте график с определением функции.

1. ф(х)=х

2. f(x)=x2

3. f(x)=x3

4. е(х)=|х|

5. ф(х)=х

6. f(x)=1x

Оценить.

7. ф(х)=х; найти f(−10), f(0) и f(a).

8. f(x)=x2; найти f(−10), f(0) и f(a).

9. f(x)=x3; найти f(−10), f(0) и f(a).

10. f(x)=|x|; найти f(−10), f(0) и f(a).

11. ф(х)=х; найти f(25), f(0) и f(a), где a≥0.

12. f(x)=1x; найти f(−10), f(15) и f(a), где a≠0.

13. f(x)=5; найти f(−10), f(0) и f(a).

14. f(x)=-12; найти f(−12), f(0) и f(a).

15. График f(x)=5 и укажите его область определения и диапазон.

16. Нарисуйте график f(x)=−9 и укажите его домен и диапазон.

Функция кубического корня.

17. Найдите точки на графике функции, определяемой f(x)=x3 с x -значения в наборе {−8, −1, 0, 1, 8}.

18. Найдите точки на графике функции, определяемой f(x)=x3 с x -значениями в наборе {−3, −2, 1, 2, 3}. Воспользуйтесь калькулятором и округлите до десятых.

19. Нарисуйте график функции кубического корня, определяемой формулой f(x)=x3, нанеся точки, найденные в двух предыдущих упражнениях.

20. Определите домен и диапазон функции кубического корня.

Найдите упорядоченную пару, задающую точку P .

Часть B: Кусочные функции

График кусочных функций.

25. г(х)={2 если х<0х если х≥0

26. г(х)={х2 если х<03   если х≥0

27. ч(х)={xifx<0xifx≥0

28. ч(х)={|х|еслих<0x3еслих≥0

29. f(x)={|x|ifx<24ifx≥2

30. f(x)={xifx<1xifx≥1

31. g(x)={x2ifx≤−1xifx>−1

32. г(х)={−3ifx≤−1x3ifx>−1

33. ч(х)={0ifx≤01xifx>0

34. ч(х)={1xifx<0x2ifx≥0

35. f(x)={x2ifx<0xif0≤x<2−2ifx≥2

36. f(x)={xifx<−1x3if−1≤x<13ifx≥1

37. g(x)={5ifx<−2x2if−2≤x<2xifx≥2

38. g(x)={xifx<−3|x|if-3≤x<1xifx≥1

39. ч(х)={1xifx<0x2if0≤x<24ifx≥2

40. ч(х)={0ifx<0x3if02

41. ф(х)=[[х+0,5]]

42. ф(х)=[[х]]+1

43. ф(х)=[[0,5х]]

44. ф(х)=2[[х]]

Оценить.

45. f(x)={x2ifx≤0x+2ifx>0

    Найдите f(−5), f(0) и f(3).

46. f(x)={x3ifx<02x−1ifx≥0

    Найти f(−3), f(0) и f(2).

47. g(x)={5x−2ifx<1xifx≥1

    Найти g(−1), g(1) и g(4).

48. g(x)={x3ifx≤−2|x|ifx>−2

    Найти g(−3), g(−2) и g(−1).

49. h(x)={−5ifx<02x−3if0≤x<2x2ifx≥2

    Найти h(−2), h(0) и h(4).

50. h(x)={−3xifx≤0x3if04

    Найдите h(−5), h(4) и h(25).

51.  

    f(x)=[[x−0,5]]

    Найти f(−2), f(0) и f(3).

52.  

    f(x)=[[2x]]+1

    Найдите f(−1,2), f(0,4) и f(2,6).

Оценить данный график f .

53. Найдите f(−4), f(−2) и f(0).

54. Найдите f(−3), f(0) и f(1).

55. Найдите f(0), f(2) и f(4).

56. Найдите f(−5), f(−2) и f(2).

57. Найдите f(−3), f(−2) и f(2).

58. Найдите f(−3), f(0) и f(4).

59. Найдите f(−2), f(0) и f(2).

60. Найдите f(−3), f(1) и f(2).

61. Стоимость автомобиля в долларах определяется количеством лет, прошедших с момента его покупки новым в 1975 году:

    1. Определите стоимость автомобиля в 1980 году.
    2. В каком году автомобиль стоит 9000 долларов?

62. Стоимость единицы нестандартных ламп в долларах зависит от количества произведенных единиц согласно следующему графику:

    1. Какова цена за единицу при изготовлении 250 нестандартных ламп?
    2. При каком уровне производства стоимость единицы продукции минимальна?

63. Продавец автомобилей получает комиссию на основе общего объема продаж каждый месяц x в соответствии с функцией: g(x)={0,03x если 0≤x<20 0000,05x если  20000$≤x<500000,07x если x≥50000$

    1. Если общий объем продаж продавца за месяц составляет 35 500 долларов, какова ее комиссия в зависимости от функции?
    2. Чтобы достичь следующего уровня в структуре комиссионных, насколько больше продаж ей потребуется?

64. Аренда лодки стоит 32 доллара за один час, а каждый дополнительный час или неполный час стоит 8 долларов.