Нажмите "Enter", чтобы перейти к содержанию

Построение графиков функций онлайн с подробным решением: Исследование функции онлайн y=f(x). Исследовать график функции.

2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Содержание

Что исследует?

Для периодических функций идет исследование графика функции только на промежутке периода

Наш калькулятор позволяет исследовать график функции. Но пока что нет возможности находить область определения функции

Что умеет находить этот калькулятор:

  • Область определения функции: Да. Умеет определять только точки, в которых знаменатель функции обращается в нуль, но в остальных случаях:
  • Умеет определять точки пересечения графика функции с осями координат: Да
  • Экстремумы функции: интервалы (отрезки) возрастания и убывания функции: Да
  • Точки перегибов графика функции: перегибы: интервалы выпуклости, вогнутости (впуклости): Да
  • Вертикальные асимптоты : Да (это завязано с областью определения функции, на точки, где знаменатель функции обращается в нуль)
  • Горизонтальные асимптоты графика функции: Да
  • Наклонные асимптоты графика функции: Да
  • Четность и нечетность функции:
    Да
Правила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
absolute(x)
Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)
arccos(x)
Функция - арккосинус от x
arccosh(x)
Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x)
Арксинус от x
arcsinh(x)
Арксинус гиперболический от x
arctg(x)
Функция - арктангенс от x
arctgh(x)
Арктангенс гиперболический от x
exp(x)
Функция - экспонента от x (что и e^x)
log(x) or ln(x)
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
sin(x)
Функция - Синус от x
cos(x)
Функция - Косинус от x
sinh(x)
Функция - Синус гиперболический от x
cosh(x)
Функция - Косинус гиперболический от x
sqrt(x)
Функция - квадратный корень из x
sqr(x) или x^2
Функция - Квадрат x
ctg(x)
Функция - Котангенс от x
arcctg(x)
Функция - Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция - Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция - Тангенс от x
tgh(x)
Функция - Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция - кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x
В выражениях можно применять следующие операции:
Действительные числа
вводить в виде 7.3
- возведение в степень
x + 7
- сложение
x - 6
- вычитание
15/7
- дробь

Другие функции:
asec(x)
Функция - арксеканс от x
acsc(x)
Функция - арккосеканс от x
sec(x)
Функция - секанс от x
csc(x)
Функция - косеканс от x
floor(x)
Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция - округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция - Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция - гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция - гиперболический косеканс от
x
sech(x)
Функция - гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция - гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:
pi
Число "Пи", которое примерно равно ~3.14159..
e
Число e - основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности - знак для бесконечности

Решение функций | Онлайн калькулятор

  • Область определения функции
    найти область определения функции онлайн
  • Четность и нечетность функции
    калькулятор предназначен для определения четности и нечетности функции
  • Точки пересечения графика функции с осью
    определения точек пересечения графика функции с осями координат
  • Асимптоты функции
    нахождение асимптот графика функции онлайн
  • Разложить на слагаемые
    методом неопределенных коэффициентов
  • Периодичность функции
    онлайн калькулятор для определения периодичности
  • Точки перегиба графика функции
    и интервалы его выпуклости и вогнутости онлайн
  • Построение графиков
    кусочно-непрерывных функций
  • Найти градиент функции
    u=f(x,y,z)
  • Полное исследование функции
    и построение графика
  • Промежутки знакопостоянства функции
    найти интервалы знакопостоянства
  • Найти нули функции
    они же точки пересечения
  • Найти критические точки
    и интервалы монотонности
  • Оригинал функции по ее изображению
    обратное преобразования Лапласа онлайн
  • Найти изображения функций
    интегральное преобразование Лапласа онлайн
  • Найти сумму ряда
    по формуле общего члена ряда
  • Угол наклона прямой
    вычислить угол наклона
  • Угловой коэффициент прямой
    рассчитать угловой коэффициент
  • Найти экстремумы функции
    онлайн калькулятор
  • Найти максимум функции
    достаточно задать функцию, чтобы получить значения максимума
  • Найти минимум функции
    одно из необходимых условий наличия минимума
  • Точки разрыва функции
    функция в этих точках не является непрерывной
  • Построить график функции
    провести исследование графика функции
  • Решение пределов функции
    решать пределы любых функций онлайн
  • Уравнение касательной к графику функции
    составить и решить уравнение касательно
  • Тригонометрические функции
    найти как косинусы и синусы угла, так и решить выражения
  • Значения тригонометрических функций
    функции относятся к простейшим
  • Формула прямой, функции
    график функции
  • Разложение функции в ряд Тейлора
    раскладывается в степенной ряд по степеням
  • Разложение функции в ряд Маклорена
    любое число раз и в некоторой окрестности
  • Разложение функции в ряд Фурье
    абсолютно любую четную функцию можно разложить в ряды Фурье
  • Формула общего члена последовательности
    нахождение формулы
  • Прямая перпендикулярная прямой
    найти прямую перпендикулярной прямой
  • Построить график
    в полярных координатах на плоскости
  • Прямая перпендикулярная прямой
    найти прямую перпендикулярной прямой
  • Построить график
    в полярных координатах на плоскости
  • Вычислить площадь фигуры
    в полярных координатах
  • Интерполяция полиномами
    построить полином по точкам
  • Вычисление значений функции
    переменной
  • Найти наибольшее значение функции
    на отрезке в заданном интервале
  • Найти наименьшее значение функции
    на отрезке в заданном интервале
  • Точки экстремума
    найти точки экстремума функции
  • Множество значений функции
    найти область значений фукции
  • Интервалы монотонности функции
    найти нули производной
  • Найти наибольшее и наименьшее
    значение функции на отрезке
  • Стационарные точки функции
    производная функции равна 0 или не существует
  • Найти угловые точки
    графика функции

    Калькулятор онлайн - Построение графика квадратичной функции (с подробным решением)

    Если вам нужно просто построить график любой функции, то для этого у нас есть отдельная программа.2+q $$

    Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

    Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

    Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

    В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
    Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

    Числа можно вводить целые или дробные.2 \)

    При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении введённое выражение сначала упрощается.
    Например: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

    Построение графиков онлайн, подробное

    На данной странице представлен удобный сервис для построения графиков функций онлайн. Наш сервис работает совершенно бесплатно и не требует регистрации. Для построения графика онлайн введение функцию (Можно ввести несколько функций и графики будут построены на одном рисунке), задайте интервалы видимости и нажмите кнопку «Построить график», после чего внизу появятся подробные графики введенных функций!

    Введите данные для построения графика функции   Решили сегодня: раз, всего раз
    Понравился сайт? Расскажи друзьям!

    Как построить график функции онлайн?

    Наш онлайн калькулятор помогает студентам и школьникам построить график функции любой сложности всего за пару минут, для этого достаточно выполнить несколько простых шагов. Введите данные для построения графика функции:

    • Введите сами функции. В нашем сервисе можно вводить неограниченное количество функций, чтобы можно было посмотреть их поведение одновременно, найти точки пересечения с осями, нули функции и другие параметры, необходимые для исследования функции.
    • Задайте интервалы видимости. По умолчанию, они заданы от -10 до 10, но вы можете выбрать любые, ведь график может быть очень большим и просто не поместить в заданные промежутки.
    • Нажмите кнопку «Построить график», после чего внизу появится график!

    y x 1 x 2 1 исследовать функцию и построить

    Вы искали y x 1 x 2 1 исследовать функцию и построить? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и y x 1 x 2 1 исследовать функцию и построить график, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели - у нас уже есть решение. Например, «y x 1 x 2 1 исследовать функцию и построить».

    Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как y x 1 x 2 1 исследовать функцию и построить,y x 1 x 2 1 исследовать функцию и построить график,анализ функции,анализ функции онлайн,график функции для исследования,графики для исследования функций,графики функций для исследования,исследование графика функции,исследование графика функции онлайн,исследование и построение графика функции,исследование и построение графика функции онлайн,исследование и построение графика функции с помощью производной,исследование и построение графика функции с помощью производной онлайн,исследование и построение графиков функции,исследование на непрерывность функции онлайн,исследование на непрерывность функции онлайн калькулятор,исследование функции,исследование функции y 2 x,исследование функции y x 1 x 2,исследование функции y x 2,исследование функции y x 2 x 1,исследование функции и построение графика,исследование функции и построение графика калькулятор онлайн,исследование функции и построение графика онлайн,исследование функции и построение графика онлайн калькулятор,исследование функции и построение графика онлайн с подробным решением,исследование функции и построение графика примеры решения задач,исследование функции и построение графика с помощью производной,исследование функции и построение графика с помощью производной онлайн,исследование функции и построение графика функции с помощью производной,исследование функции и построение графиков,исследование функции и построение графиков функции,исследование функции калькулятор,исследование функции на непрерывность онлайн,исследование функции на непрерывность онлайн калькулятор,исследование функции на непрерывность онлайн с подробным решением,исследование функции онлайн,исследование функции онлайн калькулятор,исследование функции онлайн калькулятор с подробным решением,исследование функции онлайн с подробным решением,исследование функции онлайн с подробным решением онлайн,исследование функции с помощью производной и построение графика,исследование функции с помощью производной и построение графика онлайн,исследование функции с помощью производной онлайн с решением,исследование функции с помощью производной построение графика функции,исследование функции с помощью производной примеры решения,исследование функций,исследование функций и построение графиков,исследование функций онлайн,исследования функции онлайн,исследовать график на непрерывность и построить график онлайн,исследовать график функции,исследовать график функции и построить график,исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики онлайн,исследовать и построить график функции,исследовать и построить график функции онлайн с подробным решением,исследовать и построить график функции онлайн с решением,исследовать методами дифференциального исчисления и построить график,исследовать методами дифференциального исчисления и построить график онлайн,исследовать методами дифференциального исчисления функцию,исследовать методом дифференциального исчисления функцию и построить график,исследовать на монотонность функцию онлайн,исследовать на непрерывность и построить график функции онлайн,исследовать на непрерывность функции онлайн,исследовать на непрерывность функцию и построить график онлайн,исследовать на непрерывность функцию онлайн,исследовать на непрерывность функцию онлайн калькулятор,исследовать на непрерывность функцию онлайн с подробным решением,исследовать на ограниченность функцию онлайн,исследовать с помощью производной функцию и построить график,исследовать средствами дифференциального исчисления функцию онлайн,исследовать функции и построить график,исследовать функции и построить график онлайн,исследовать функции на непрерывность онлайн,исследовать функцию,исследовать функцию x y x,исследовать функцию y 2 x 2,исследовать функцию y x 1 x,исследовать функцию y x 2 1 x,исследовать функцию y x 2 1 x 2,исследовать функцию y x 2 x,исследовать функцию y x 3 x 2,исследовать функцию и построить график,исследовать функцию и построить график y x 1 x 2,исследовать функцию и построить график онлайн,исследовать функцию и построить график онлайн решение,исследовать функцию и построить график онлайн с подробным решением,исследовать функцию и построить график онлайн с подробным решением онлайн,исследовать функцию и построить график примеры решения,исследовать функцию и построить график решение онлайн калькулятор,исследовать функцию и построить график с помощью производной,исследовать функцию и построить ее график,исследовать функцию и построить ее график калькулятор онлайн,исследовать функцию и построить ее график онлайн калькулятор,исследовать функцию и построить ее график онлайн с решением,исследовать функцию методами дифференциального исчисления,исследовать функцию методом дифференциального исчисления и построить график,исследовать функцию на монотонность и экстремумы онлайн,исследовать функцию на монотонность онлайн,исследовать функцию на непрерывность и построить график онлайн,исследовать функцию на непрерывность калькулятор онлайн,исследовать функцию на непрерывность онлайн,исследовать функцию на непрерывность онлайн калькулятор,исследовать функцию на непрерывность онлайн с подробным решением,исследовать функцию на ограниченность онлайн,исследовать функцию онлайн,исследовать функцию онлайн с подробным решением,исследовать функцию по графику,исследовать функцию с помощью производной и построить график,исследовать функцию с помощью производной и построить график онлайн,исследовать функцию средствами дифференциального исчисления онлайн,исследовать функцию что значит,исследуйте и постройте график функции,исследуйте и постройте график функции у 3 2х,исследуйте на непрерывность функцию онлайн,исследуйте функции и постройте график,исследуйте функцию,исследуйте функцию y,исследуйте функцию и постройте график,исследуйте функцию и постройте ее график,исследуйте функцию и постройте ее график онлайн,исследуйте функцию на непрерывность онлайн,исследуйте функцию у f x и постройте ее график,как исследовать график функции,как исследовать функцию и построить график,как исследовать функцию и построить ее график,как построить график и исследовать функцию,калькулятор исследование функции,калькулятор исследования функции,калькулятор исследования функции и построения графика,калькулятор онлайн исследование функции на непрерывность,методами дифференциального исчисления исследовать функцию,непрерывность функции онлайн,онлайн анализ функции,онлайн исследование на непрерывность функции онлайн,онлайн исследование функции и построение графика,онлайн исследование функции и построение графика с подробным решением,онлайн исследование функции с помощью производной,онлайн исследования функции,онлайн исследовать функцию на непрерывность и построить график,онлайн калькулятор исследование функции,онлайн калькулятор исследование функции и построение графика,онлайн калькулятор исследование функции на непрерывность,онлайн полное исследование функции и построение графика,периодичность функции онлайн,полное исследование и построение графика функции,полное исследование и построение графика функции онлайн,полное исследование функции,полное исследование функции и построение графика,полное исследование функции и построение графика онлайн,полное исследование функции и построение графика онлайн решение,полное исследование функции и построение графика функции,полное исследование функции онлайн,полное исследование функции онлайн и построение графика,построение графиков и исследование функции,построение графиков функций и исследование,построение и исследование графиков функции,построить график функции используя общую схему исследования функции,построить и исследовать график функции онлайн с подробным решением,примеры исследование функции и построение графика функции,провести исследование и построить график функции,провести исследование и построить график функции онлайн,провести исследование функции и построить график,провести исследование функции и построить график онлайн,провести полное исследование и построить график функции,провести полное исследование и построить график функции онлайн калькулятор,провести полное исследование функции и построить график,провести полное исследование функции и построить график калькулятор онлайн,провести полное исследование функции и построить график онлайн калькулятор,провести полное исследование функции и построить график онлайн решение,провести полное исследование функции и построить график функции,точки пересечения графика функции с осями координат онлайн,функции исследования,что значит исследовать функцию. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и y x 1 x 2 1 исследовать функцию и построить. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, анализ функции).

    Где можно решить любую задачу по математике, а так же y x 1 x 2 1 исследовать функцию и построить Онлайн?

    Решить задачу y x 1 x 2 1 исследовать функцию и построить вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

    Интересные факты про логотипы известных компаний

    «Натуральный логарифм» - 0,1. Натуральные логарифмы. 4. «Логарифмический дартс». 0,04. 7. 121.

    «Степенная функция 9 класс» - У. Кубическая парабола. У = х3. 9 класс учитель Ладошкина И.А. У = х2. Гипербола. 0. У = хn, у = х-n где n – заданное натуральное число. Х. Показатель – четное натуральное число (2n).

    «Квадратичная функция» - 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод. Свойства: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. План: График: -Промежутки монотонности при а > 0 при а

    «Квадратичная функция и её график» - Решение.у=4x А(0,5:1) 1=1 А-принадлежит. При а=1 формула у=аx принимает вид.

    «8 класс квадратичная функция» - 1) Построить вершину параболы. Построение графика квадратичной функции. x. -7. Построить график функции. Алгебра 8 класс Учитель 496 школы Бовина Т. В. -1. План построения. 2) Построить ось симметрии x=-1. y.

    Построить функцию

    Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos .2/16=1)

  • Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете
  • Управление масштабом, цветом линий
  • Возможность построения графиков по точкам, использование констант
  • Построение одновременно нескольких графиков функций
  • Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ(\theta))
  • С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.

    Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х , а на оси ординат - значения функции у = f (х) .

    Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

    Другими словами, график функции y = f (х) - это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x) .

    На рис. 45 и 46 приведены графики функций у = 2х + 1 и у = х 2 - 2х .

    Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».

    С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции y = f(x) , то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а ) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 47).

    Например, для функции f(х) = х 2 - 2x с помощью графика (рис. 46) находим f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.

    График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция у = х 2 - 2х принимает положительные значения при х и при х > 2 , отрицательные - при 0 у = х 2 - 2х принимает при х = 1 .

    Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х , у которых удовлетворяют уравнению y = f(x) . В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно - с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений - скажем, х 1 , х 2 , x 3 ,..., х k и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.

    Таблица выглядит следующим образом:


    Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции y = f(x) . Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y = f(x).

    Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.

    Пример 1 . Для построения графика функции y = f(x) некто составил таблицу значений аргумента и функции:


    Соответствующие пять точек показаны на рис. 48.

    На основании расположения этих точек он сделал вывод, что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 48 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. надежным.

    Для обоснования своего утверждения рассмотрим функцию

    .

    Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 49). Другим примером может служить функция y = x + l + sinπx; ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.

    Эти примеры показывают, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен. Поэтому для построения графика заданной функции,как правило, поступают следующим образом. Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.

    Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим позже, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.

    График функции у = |f(x)|.

    Нередко приходится строить график функции y = |f(x) |, где f(х) - заданная функция. Напомним, как это делается. По определению абсолютной величины числа можно написать

    Это значит, что график функции y =|f(x)| можно получить из графика, функции y = f(x) следующим образом: все точки графика функции у = f(х) , у которых ординаты неотрицательны, следует оставить без изменения; далее, вместо точек графика функции y = f(x) , имеющих отрицательные координаты, следует построить соответствующие точки графика функции у = -f(x) (т. е. часть графика функции
    y = f(x) , которая лежит ниже оси х, следует симметрично отразить относительно оси х ).

    Пример 2. Построить график функции у = |х|.

    Берем график функции у = х (рис. 50, а) и часть этого графика при х (лежащую под осью х ) симметрично отражаем относительно оси х . В результате мы и получаем график функции у = |х| (рис. 50, б).

    Пример 3 . Построить график функции y = |x 2 - 2x|.

    Сначала построим график функции y = x 2 - 2x. График этой функции - парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы имеет координаты (1; -1), ее график пересекает ось абсцисс в точках 0 и 2. На промежутке (0; 2) фукция принимает отрицательные значения, поэтому именно эту часть графика симметрично отразим относительно оси абсцисс. На рисунке 51 построен график функции у = |х 2 -2х| , исходя из графика функции у = х 2 - 2x

    График функции y = f(x) + g(x)

    Рассмотрим задачу построения графика функции y = f(x) + g(x). если заданы графики функций y = f(x) и y = g(x) .

    Заметим, что областью определения функции y = |f(x) + g(х)| является множество всех тех значений х, для которых определены обе функции y = f{x) и у = g(х), т. е. эта область определения представляет собой пересечение областей определения, функций f{x) и g{x).

    Пусть точки (х 0 , y 1 ) и (х 0 , у 2 ) соответственно принадлежат графикам функций y = f{x) и y = g(х) , т. е. y 1 = f(x 0), y 2 = g(х 0). Тогда точка (x0;. y1 + y2) принадлежит графику функции у = f(х) + g(х) (ибо f(х 0) + g(x 0 ) = y1 +y2 ),. причем любая точка графика функции y = f(x) + g(x) может быть получена таким образом. Следовательно, график функции у = f(х) + g(x) можно получить из графиков функций y = f(x) . и y = g(х) заменой каждой точки (х n , у 1) графика функции y = f(x) точкой (х n , y 1 + y 2), где у 2 = g(x n ), т. е. сдвигом каждой точки (х n , у 1 ) графика функции y = f(x) вдоль оси у на величину y 1 = g(х n ). При этом рассматриваются только такие точки х n для которых определены обе функции y = f(x) и y = g(x) .

    Такой метод построения графика функции y = f(x) + g(х ) называется сложением графиков функций y = f(x) и y = g(x)

    Пример 4 . На рисунке методом сложения графиков построен график функции
    y = x + sinx .

    При построении графика функции y = x + sinx мы полагали, что f(x) = x, а g(x) = sinx. Для построения графика функции выберем точки с aбциссами -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Значения f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx вычислим в выбранных точках и результаты поместим в таблице.

    Построение графиков онлайн весьма полезный способ графически отобразить то, что не в силах передать словами.

    Информация – это будущее электронного маркетинга, при этом правильно преподнесенные зрительные образы являются мощным инструментом для привлечения целевой аудитории.

    Тут на помощь приходит инфографика, позволяющая в простой и выразительной форме преподносить различного рода информацию.

    Однако построение инфографических изображений требует определенного аналитического мышления и богатства фантазии.

    Спешим вас обрадовать – в интернете достаточно ресурсов, предоставляющих построение графиков онлайн.

    Yotx.ru

    Замечательный русскоязычный сервис, осуществляющий построение графиков онлайн по точкам (по значениям) и графиков функций (обычных и параметрических).

    Этот сайт обладает интуитивно понятным интерфейсом и легок в использовании. Не требует регистрации, что существенно экономит время пользователя.

    Позволяет быстро сохранять готовые графики на компьютере, а также генерирует код для размещения на блоге или сайте.

    На Yotx.ru есть учебник и примеры графиков, которые были созданы пользователями.

    Возможно, для людей, углубленно изучающих математику или физику, этого сервиса будет мало (например, нельзя построить график в полярных координатах, так как на сервисе нет логарифмической шкалы), но для выполнения самых простых лабораторных работ вполне достаточно.

    Преимуществом сервиса является то, что он не заставляет как многие другие программы, искать полученный результат по всей двумерной плоскости.

    Размер графика и интервалы по осям координат автоматически генерируются так, чтобы график оказался удобным для просматривания.

    Одновременно на одной плоскости есть возможность построить несколько графиков.

    Дополнительно на сайте можно использовать калькулятор матриц, с помощью которого легко производить различные действия и преобразования.

    ChartGo

    Англоязычный сервис для разработки многофункциональных и разноцветных гистограмм, линейных графиков, круговых диаграмм.

    Для обучения пользователям представляется подробное руководство и деморолики.

    ChartGo будет полезен для тех, кто нуждается в регулярно. Среди подобных ресурсов отличается простотой «Create a graph online quickly».

    Построение графиков онлайн осуществляется по таблице.

    В начале работы необходимо выбрать одну из разновидностей диаграмм.

    Приложение обеспечивает пользователям ряд простых вариантов настройки построения графиков различных функций в двумерных и трехмерных координатах.

    Можно выбрать одну из разновидностей диаграмм и переключаться между 2D и 3D.

    Настройки размера обеспечивают максимальный контроль между вертикальной и горизонтальной ориентацией.

    Пользователи могут настраивать свои диаграммы с уникальным названием, а также присваивать названия для X и Y элементов.

    Для построения графиков онлайн xyz в разделе «Example» доступно множество макетов, которые можно изменять на свое усмотрение.

    Обратите внимание! В ChartGo в одной прямоугольной системе может быть построено множество графиков. При этом каждый график составлен с помощью точек и линий. Функции действительного переменного (аналитические) задаются пользователем в параметрическом виде.

    Разработан и дополнительный функционал, который включает мониторинг и вывод координат на плоскости или в трехмерной системе, импорт и экспорт числовых данных в определенных форматах.

    Программа имеет гибко настраиваемый интерфейс.

    После создания диаграммы, пользователь может воспользоваться функцией печати результата и сохранения графика в виде статичного рисунка.

    OnlineCharts.ru

    Еще одно отличное приложение для эффектного представления информации вы можете найти на сайте OnlineCharts.ru, где можно построить график функции онлайн бесплатно.

    Сервис способен работать с множеством видов диаграмм, включая линейные, пузырьковые, круговые, столбчатые и радиальные.

    Система обладает очень простым и наглядным интерфейсом. Все доступные функции разделены вкладками в виде горизонтального меню.

    Чтобы начать работу необходимо выбрать тип диаграммы, которую вы хотите построить.

    После этого можно настроить некоторые дополнительные параметры внешнего вида, в зависимости от выбранного типа графика.

    Во вкладке «Добавить данные» пользователю предлагается задать количество строк и если необходимо количество групп.

    Также можно определить цвет.

    Обратите внимание! Вкладка «Подписи и шрифты» предлагает задать свойства подписей (нужно ли их выводить вообще, если да, то каким цветом и размером шрифта). Также предоставляется возможность выбора типа шрифта и его размера для основного текста диаграммы.

    Все предельно просто.

    Aiportal.ru

    Самый простой и наименее функциональный из всех, представленных здесь онлайн-сервисов. Создать трехмерный график онлайн на этом сайте не удастся.

    Он предназначен для построения графиков сложных функций в системе координат на определенном интервале значений.

    Для удобства пользователей сервис предоставляет справочные данные по синтаксису различных математических операций , а также по перечню поддерживаемых функций и константных значений.

    Все необходимые для составления графика данные вводятся в окно «Функции». Одновременно на одной плоскости пользователь может построить несколько графиков.

    Поэтому разрешается вносить подряд несколько функций, но после каждой функции необходимо вставлять точку с запятой. Также задается и область построения.

    Предусмотрена возможность построения графиков онлайн по таблице или без нее. Поддерживается цветовая легенда.

    Несмотря на небогатый функционал, все же это онлайн-сервис, поэтому вам не придется долго искать, скачивать и устанавливать какое-либо программное обеспечение.

    Для построения графика достаточно лишь иметь с любого имеющегося устройства: ПК, ноутбука, планшета или смартфона.

    Построение графика функции онлайн

    ТОП-4 лучших сервиса для построения графиков онлайн

    К сожалению, не все студенты и школьники знают и любят алгебру, но готовить домашние задания, решать контрольные и сдавать экзамены приходится каждому. Особенно трудно многим даются задачи на построение графиков функций: если где-то что-то не понял, не доучил, упустил — ошибки неизбежны. Но кому же хочется получать плохие оценки?

    Не желаете пополнить когорту хвостистов и двоечников? Для этого у вас есть 2 пути: засесть за учебники и восполнить пробелы знаний либо воспользоваться виртуальным помощником — сервисом автоматического построения графиков функций по заданным условиям. С решением или без. Сегодня мы познакомим вас с несколькими из них.

    Лучшее, что есть в Desmos.com, это гибко настраиваемый интерфейс, интерактивность, возможность разносить результаты по таблицам и бесплатно хранить свои работы в базе ресурса без ограничений по времени. А недостаток — в том, что сервис не полностью переведен на русский язык.

    Grafikus.ru

    Grafikus.ru — еще один достойный внимания русскоязычный калькулятор для построения графиков. Причем он строит их не только в двухмерном, но и в трехмерном пространстве.

    Вот неполный перечень заданий, с которыми этот сервис успешно справляется:

    • Черчение 2D-графиков простых функций: прямых, парабол, гипербол, тригонометрических, логарифмических и т. д.
    • Черчение 2D-графиков параметрических функций: окружностей, спиралей, фигур Лиссажу и прочих.
    • Черчение 2D-графиков в полярных координатах.
    • Построение 3D-поверхностей простых функций.
    • Построение 3D-поверхностей параметрических функций.

    Готовый результат открывается в отдельном окне. Пользователю доступны опции скачивания, печати и копирования ссылки на него. Для последнего придется авторизоваться на сервисе через кнопки соцсетей.

    Координатная плоскость Grafikus.ru поддерживает изменение границ осей, подписей к ним, шага сетки, а также — ширины и высоты самой плоскости и размера шрифта.

    Самая сильная сторона Grafikus.ru — возможность построения 3D-графиков. В остальном он работает не хуже и не лучше, чем ресурсы-аналоги.

    Onlinecharts.ru

    Онлайн-помощник Onlinecharts.ru строит не графики, а диаграммы практически всех существующих видов. В том числе:

    • Линейные.
    • Столбчатые.
    • Круговые.
    • С областями.
    • Радиальные.
    • XY-графики.
    • Пузырьковые.
    • Точечные.
    • Полярные бульки.
    • Пирамиды.
    • Спидометры.
    • Столбчато-линейные.

    Пользоваться ресурсом очень просто. Внешний вид диаграммы (цвет фона, сетки, линий, указателей, форма углов, шрифты, прозрачность, спецэффекты и т. д.) полностью определяется пользователем. Данные для построения можно ввести как вручную, так и импортировать из таблицы CSV-файла, хранимого на компьютере. Готовый результат доступен для скачивания на ПК в виде картинки, PDF-, CSV- или SVG-файлов, а также для сохранения онлайн на фотохостинге ImageShack.Us или в личном кабинете Onlinecharts.ru. Первый вариант могут использовать все, второй — только зарегистрированные.

    Урок 20. построение графиков функций - Алгебра и начала математического анализа - 11 класс

    Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

    Урок №20. Построение графиков функций.

    Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

    1. Исследование функций;
    2. Построение графиков функций;
    3. Применение производной для решения графических задач.

    Глоссарий по теме

    Асимптота графика функции y = f(x) – прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

    Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х1и х2, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

    Выпуклость вверх. Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

    Выпуклость вниз. Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

    Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции.

    Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции.

    Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

    Производная второго порядка (вторая производная). Производная второго порядка есть первая производная от производной первого порядка.

    Производную определяют, как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел существует.

    Точка максимума функции. Точку х0называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

    Точка минимума функции. Точку  х0 называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

    Точка перегиба. Точки, в которых выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, называются точками перегиба.

    Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

    Убывание функции. Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых х1 и х2 , из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

    Основная литература:

    Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

    Дополнительная литература:

    Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

    Теоретический материал для самостоятельного изучения

    Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

    Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит вышепроведенного отрезка.

    Полная схема построения графика функции:

    1. Найти область определения функции D(f).
    2. Исследовать функцию на четность (найти f(-x)).
    3. Найти асимптоты.
    4. Найти стационарные и критические точки.
    5. Найти промежутки монотонности.
    6. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз.
    7. Найти точки перегиба
    8. Составить таблицу значений функции для некоторых точек.
    9. По полученным данным построить график функции.

    Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

    Пример 1. Постройте график функции у = х3 – 3х + 3, используя краткую схему построения. схему построения.

    Решение:

    1) D(y) = (-∞; +∞)

    2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к.

    3) Асимптот нет

    4) f’(x) = 3x2 – 3, f’(x) = 0 при х = 1, х = -1.

    х = 1, х = -1 – стационарные точки.

    5) f’(x)>0 при . Так как в точках х = 1, х = -1 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.

    f’(x)<0 при . Так как в точках х = 1, х = -1 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки убывания.

    6) Так как в точке х = -1 производная меняет знак с «+» на «-», то х = -1 – точка максимума.

    Так как в точке х = 1 производная меняет знак с «-» на «+», то х = 1 – точка минимума.

    7) Результаты исследования представим в виде таблицы.

    x

    (-∞; -1)

    -1

    (-1; 1)

    1

    (1; +∞)

    f’(x)

    +

    0

    -

    0

    +

    f(x)

    5

    1

    max

    min

    8) Координаты некоторых точек:

    9) По полученным данным строим график (рис. 1)

    Рисунок 1 – график функции у = х3 – 3х + 3

    Пример 2. Постройте график функции, используя подробную схему построения. схему построения.

    Решение:

    1)

    2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к.

    3) х = 1 – вертикальная асимптота

    4) , f’(x) = 0 при х = 2, х = 0.

    х = 2, х = 0 – стационарные точки.

    5) f’(x)>0 при . Так как в точках х = 0, х = 2 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.

    f’(x)<0 при . Так как в точках х = 0, х = 2 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки убывания.

    Так как в точке х = 0 производная меняет знак с «+» на «-», то х = 0 – точка максимума.

    Так как в точке х = 2 производная меняет знак с «-» на «+», то х = 2 – точка минимума.

    х = 1 – не является точкой экстремума

    6) Найдем интервалы выпуклости функции.

    ; при функция выпукла вверх.

    ; при функция выпукла вниз.

    7) Результаты исследования представим в виде таблицы.

    x

    (-∞; 0)

    0

    (0; 1)

    1

    (1; 2)

    2

    (2; +∞)

    f’(x)

    +

    0

    -

    Не сущ.

    -

    0

    +

    f’’(x)

    -

    -

    Не сущ.

    +

    +

    f(x)

    -4

    Не сущ.

    0

    max

    min

    8) Координаты некоторых точек:

    x

    -1

    0,5

    1,5

    3

    f(x)

    -4,5

    -4,5

    0,5

    0,5

    9) По полученным данным строим график (рис. 2)

    Рисунок 2 – график функции

    Графический онлайн-калькулятор

    с шагами

    Производственные методы построения графического калькулятора, которые вы можете использовать сегодня

    Совершенный трюк с графическим калькулятором

    Перпендикулярная линия - это линия, которая расположена под прямым углом к ​​другой линии. Формула показывает нам множество способов получить выборку из r элементов из большего набора из n различимых объектов, где порядок не имеет значения, а повторения запрещены. В качестве переменной выберите любую букву, которую вы хотите представить числами в матрице.

    Использование безжалостных стратегий графического калькулятора

    Свяжитесь с нами, если вы хотите получить дополнительную информацию о нашей программе обратного выкупа через калькулятор. Он выполняет все те же функции, что и калькуляторы Texas Instrument, но вам не нужно тратить на это много денег. Помимо этих вышеупомянутых проблем, самое простое, что можно сделать, когда ваш калькулятор сломается, - это сбросить его.

    Графические калькуляторы

    в основном используются для решения графических задач с использованием значений x, y и некоторых других функций.Введите ваше уравнение, которое вы изменили на 0. Калькуляторы для построения нескольких уравнений могут помочь вам нарисовать несколько уравнений в графических процедурах.

    Можно выполнять те же самые вычисления, запускать те же статистические тесты и создавать только точные графики. GraphCalc позволяет строить графики 2D и 3D функций и уравнений вместе с поиском пересечений и составлением табличных значений. В этом руководстве вас попросят взглянуть на графики, и вы встретите множество численных расчетов.

    Скрытое сокровище графического калькулятора

    Вы обязательно захотите поиграть с этим калькулятором, поскольку это потрясающий бесплатный ресурс как для студентов, так и для учителей. Многие школьники не могут самостоятельно покупать графические калькуляторы. Учитель будет знать о требованиях каждой пары и при необходимости предложит подходящие рекомендации.

    Такой способ обучения сделает обучение легким для понимания, даже если идея сложна. В нем есть несколько видеороликов практически по каждой математической теме, о которой вы можете подумать, но вы хотите отфильтровать их по качеству и количеству математики, на которую они нацелены.Как только я впервые занялся алгеброй 50 десятилетий назад, мне нужно было понять, как делать работу на бумаге, и я получил отличные оценки.

    Преимущества графического калькулятора

    Это создаст текстовое поле в поле функций для ввода любого примечания, которое вы хотите улучшить на своем графике. Как только они получат представление о том, как вводить уравнения, они смогут вносить изменения в настройки окна. Среди наиболее популярных типов файлов, которые вы начнете использовать в первую очередь, являются CSV.

    Совершенный трюк с графическим калькулятором

    Независимо от того, специализируетесь ли вы на математике или ищете высококачественные аккредитованные бизнес-школы, вы обязательно получите интернет-калькулятор, который прост в использовании и соответствует большинству ваших требований. Марколина объяснила, что необходимо иметь большое количество кода, чтобы гарантировать, что порталы не попадут в недопустимые места или даже за пределы уровня. Например, многие бесплатные онлайн-калькуляторы оснащены быстрыми и простыми преобразователями измерений на тот случай, если вам нужно будет сделать что-то, например, преобразовать расстояние поездки из миль в километры.

    Если вы хотите купить графический калькулятор, то заметите, что это довольно сложные части технологии. Кроме того, вы можете использовать графические возможности калькулятора, чтобы получить решение. Давайте начнем с нескольких советов, которые вы должны знать, когда собираетесь использовать графический калькулятор.

    Ниже приведены несколько примеров вычислений с использованием калькулятора. Также можно поискать различные калькуляторы по вашему требованию. Также очень легко найти бесплатные онлайн-калькуляторы.

    Графический калькулятор

    - жив или мертв?

    В этой связи крайне важно ознакомиться с некоторыми из новейших обзоров графических калькуляторов с самым высоким рейтингом, разработанными техническими специалистами и тысячами довольных пользователей, чтобы предоставить кристально четкое представление о функциональности самых лучших продуктов. Эти знания понадобятся вам, чтобы привлечь к ответственности рекламный отдел, а это значит, что ваша компания приобретает технологию, которая действительно работает. Когда сегодня многие люди предпочитают перезаряжаемые устройства, покупка того, для которого требуются щелочные батареи, может быть лучшим выбором для людей, которые будут использовать свой графический калькулятор для тестов.

    Калькулятор сплетен, лжи и построения графиков

    Если вы ученый, вы, вероятно, не думаете, что вам нужно приложение для iPhone, которое поможет вам в ваших начинаниях, но многие из них могут действительно помочь. Landscapedia Это приложение представляет собой превосходный справочный инструмент для людей, которые хотят лучше познакомиться с растениями для различных целей. WeatherBug Это может показаться простой переносной метеостанцией.

    Получите совок по графическому калькулятору, пока не поздно

    Это колоссальный источник несправедливости, и это просто не лучший метод обучения.Короче говоря, он предоставляет множество подробных объяснений климатических и погодных сценариев. Одна ошибка приведет к провалу всего.

    Вы должны выбрать версию TI-83 plus. Мы хотим подчеркнуть, что время от времени мы можем пропустить потенциально вредоносную программу. Разработка таблицы истинности включает очень простую логику, но иногда она может вас замедлить, особенно когда вы работаете над последним заданием.

    Например, калькулятор может начинать с вычисления квадратного корня, поэтому вся информация, которую вы вводите после, автоматически помещается в знак квадратного корня, пока вы не закроете скобки.Можно использовать "" в формуле и использовать ползунок для изменения значения "", чтобы увидеть, как он влияет на график. Логарифм числа - это способность, до которой необходимо возвести основание, чтобы получить это число.

    Вместо этого это единственное число, представляющее полную длину границы. Он используется для поиска выходного значения, созданного из нескольких комбинаций входных значений. Введите уравнение, для которого вы хотите найти абсолютное значение.

    Опции графического калькулятора

    Размер экрана влияет на способность рисовать идеальный график.ЖК-экран позволяет вам отслеживать ваши расчеты, позволяя вам находить все введенные вами числа. Если вы используете обычное окно для этого графика, вы не увидите ничего полезного.

    Если вы хотите изучить каждую внутреннюю работу по значительной настройке ваших графиков, вам обязательно стоит взглянуть на серию Matplotlib, упомянутую выше. Все кривые следует рисовать от руки. Введите необходимые переменные или цифры и подождите несколько секунд, и вы получите желаемый график, который будет смотреть вам в глаза, всего за пару секунд.

    Кроме того, есть много онлайн-ресурсов, к которым можно обратиться, например, YouTube. Вам следует получить доступ к надежным источникам информации, которые могут предоставить кристально чистую возможность использовать экспертное устройство. Добавьте нас в закладки и возвращайтесь, когда вам понадобится отличный набор совершенно бесплатных инструментов для статистики.

    Что означает графический калькулятор?

    Перпендикулярная линия - это линия, которая расположена под прямым углом к ​​другой линии. Большой экран обычно означает, что все, что вы делаете, намного легче увидеть и проанализировать.Напишите знак умножения между каждым из основных чисел, которые вы только что написали.

    Новые вопросы о графическом калькуляторе

    Zero отлично подойдет для X-min. Если вы случайно введете неправильные числа в калькулятор, вам дадут неправильный ответ. В них есть экранный калькулятор с четырьмя функциями.

    Все, что они говорили вам о графическом калькуляторе, неверно ... И вот почему

    Графические калькуляторы

    в основном используются для решения графических задач с использованием значений x, y и некоторых других функций.Имейте в виду, что уравнение необходимо решать относительно нуля. Найдите конкретное уравнение для изучения.

    Уменьшив масштаб, учащиеся могут увидеть, что в целом графики практически идентичны. Начните с просмотра уравнения, к которому вам нужно обратиться. Поскольку функция f квадратична, мы знаем, что ее график будет параболой.

    Пока калькулятор определяет как, учащиеся могут сосредоточиться на том, почему. Летом многие студенты забывают много математики, которую они выучили в предыдущем календарном году.Учителя также используют графические калькуляторы, чтобы учащимся было легче понять.

    Есть модели, которые были разработаны только для расчетов. Некоторым учащимся может быть сложно мыслить нестандартно и решать проблемы. Квадратичная регрессия - это разновидность множественной линейной регрессии.

    Со всеми этими кнопками, меню и подменю поиск нужной функции может быть сложной задачей. Среди настроек TI-85 позволяет вам корректировать контрастность на мониторе.Ваш TI-84 в настоящее время готов к использованию для ACT.

    Если у вас есть ученик средней или старшей школы, вполне вероятно, что вы будете покупать калькулятор в недалеком будущем. О своей покупке довольно легко забыть. Есть много способов избавиться от использованного калькулятора.

    Новые вопросы о графическом калькуляторе

    Вы не можете изменить размер калькулятора. Несмотря на то, что калькулятор может сократить время, необходимое для выполнения вычислений, имейте в виду, что калькулятор предоставляет результаты, которые дополняют, но не заменяют ваше понимание математики.Покупка графического калькулятора - очень простой шаг, но иногда кажется, что вы немного нервничаете, пытаясь решить, какую модель купить.

    Если вы покупаете графический калькулятор, потому что собираетесь сдавать SAT или другие стандартизированные тесты, вы должны учитывать политику каждого экзамена в отношении калькулятора. Чтобы решить эту дилемму, ученик может также использовать графический калькулятор, чтобы просмотреть свои математические решения.

    Калькулятор сплетен, лжи и построения графиков

    TI NSpire на самом деле может быть лучшим предложением из всех калькуляторов в результате его способности переходить в расширенный режим, когда это необходимо.Эти знания понадобятся вам, чтобы привлечь к ответственности рекламный отдел, а это значит, что ваша компания приобретает технологию, которая действительно работает. Вы можете получить товар и доставить его получателю, даже не покидая своего жилища.

    Все, что они говорили вам о графическом калькуляторе, неверно ... И вот почему

    Необходимое приложение для iPhone для людей, изучающих основы научного мира. Вы говорите ему, что ищете, а также он позволяет узнать, где вы можете это получить.Я надеюсь, что это будет полезно для пользователей.

    Это колоссальный источник несправедливости, и это просто не лучший метод обучения. Короче говоря, он предоставляет множество подробных объяснений климатических и погодных сценариев. Вы зададите вопрос почти точно с момента его написания.

    По правде говоря, он должен работать в любом браузере Android, поддерживающем JavaScript. Если у вас есть выбор приобрести TI-83 Plus, я бы не стал этого делать, если вы не собираетесь играть в игры или вы можете приобрести TI-83 Plus значительно дешевле, чем TI-84 Plus.Даже www, который называется World Wide Web, довольно хорошо известен и очень полезен.

    Большие числа указывают на большее изменение. Это сделает график нормального распределения. Построение графика с помощью уравнения или даже заданных чисел - непростая процедура.

    Есть замечательная клавиатура с хорошими возможностями печати, что означает, что вам не нужно много изучать синтаксис калькулятора, и есть много примеров уравнений, которые нужно вытащить, когда вы научитесь работать с калькулятором.Иногда конкретное решение не работает. Вам просто нужно задать интегральное или дифференциальное уравнение, а затем установить диапазон.

    Программное обеспечение для построения графиков кривых в Интернете, также называемое графопостроителем, представляет собой интерактивное средство построения графиков кривых, которое позволяет вам строить графики функций в режиме онлайн. Вы можете свернуть другие открытые окна, чтобы получить их с пути, и вы можете переместить калькулятор, перетащив синюю полосу вверху. Если вы используете обычное окно для этого графика, вы не увидите ничего полезного.

    Если вы получили сторону и угол, то, вероятно, вопрос будет тригонометрическим. Также было бы полезно иметь возможность аннотировать элементы графика, чтобы следить за их интерпретацией, а также за ключевыми точками, такими как точки перегиба. Введите необходимые переменные или цифры и подождите несколько секунд, и вы получите желаемый график, который будет смотреть вам в глаза, всего за пару секунд.

    30-секундный прием графического калькулятора

    Кроме того, вы должны ожидать получения электронного письма от почтового отделения, которое будет информировать вас на каждом этапе пути, где бы ни находился ваш калькулятор, и как только он будет доставлен в ближайшее почтовое отделение.Этот метод можно найти в любом учебнике Precalculus и даже в Интернете. На этих сайтах может находиться онлайн динамическая геометрия.

    Секрет графического калькулятора, о котором никто не говорит

    Хотя оно больше подходит для садоводов, чем для ботаников, оно все же достойное приложение. Вы говорите ему, что ищете, а также он позволяет узнать, где вы можете это получить. Из-за этого графики часто используются в газетах, журналах и в компаниях по всему миру.

    Самый популярный графический калькулятор

    Он действует как цифровой онлайн-калькулятор для построения графиков TI-84. Все, что вам нужно сделать, это щелкнуть значок клавиатуры в нижнем левом углу графопостроителя кривых Интернета, чтобы продемонстрировать клавиатуру. Выражение - это просто смесь символов, которые имеют значение или значение. Важно помнить, что ранее эти частоты не совпадали с фактическими вероятностями.

    Если вы хотите изучить каждую внутреннюю работу по значительной настройке ваших графиков, вам обязательно стоит взглянуть на серию Matplotlib, упомянутую выше.Все кривые следует рисовать от руки. Часто, когда вас просят определить триггерную функцию угла без калькулятора, вам будет предоставлен правильный треугольник, а угол, о котором вас спрашивают, входит в число углов треугольника.

    Готовы рассчитывать на графический калькулятор?

    Круглые скобки позволяют действительно использовать отрицательные числа в задачах вычитания. Ввод матриц в TI-89 не является особенно сложным делом, потому что TI-89 предоставляет приложение, которое чем-то похоже на программу электронных таблиц, позволяя вам вводить матрицы визуальным способом.Квадратичная регрессия - это процедура нахождения уравнения параболы, наиболее подходящего для набора информации.

    Посмотрев на график, вы можете увидеть бесконечное количество таких отношений, которые описываются графиком, потому что на графике бесконечное количество точек. Он используется для поиска выходного значения, созданного из нескольких комбинаций входных значений. Введите уравнение, для которого вы хотите найти абсолютное значение.

    Проблема связана с расшифровкой идеи угрозы.Вы получаете возможность четко структурировать различные части проблемы и решать их логическим образом. Продолжайте работать с настоящими телесными объектами, пока проблема не будет решена.

    Графический калькулятор - История

    QUADRAT предназначен для решения квадратного уравнения. С графиками, сложными уравнениями и множеством отличительных форм неудивительно, что математика может показаться довольно устрашающей. Найдите конкретное уравнение для изучения.

    Уменьшив масштаб, учащиеся могут увидеть, что в целом графики практически идентичны.Начните с просмотра уравнения, к которому вам нужно обратиться. Пользователи могут вводить множество уравнений, чтобы они могли сравнивать графики друг с другом и видеть взаимодействия между линиями.

    В качестве решения многие организации начали расширять свое решение. В процессе установки нажмите «Далее» для первых двух шагов, чтобы начать поиск параметров на мониторе. Вы также можете воспользоваться loadtxt Numpy, который мы собираемся использовать.

    Есть настоящая кнопка, когда мы должны использовать для вычитания знаки как прилагательные, а не глаголы.Формула показывает нам множество способов получить выборку из r элементов из большего набора из n различимых объектов, где порядок не имеет значения, а повторения запрещены. Имена функций не чувствительны к регистру.

    Что нужно знать о графическом калькуляторе

    См. Схему онлайн-платежей, чтобы узнать, как это работает. Любые вычисления в члене выполняются слева направо (сверху вниз), поэтому следующим шагом является создание новых терминов в зависимости от порядка операций.По сравнению с тем, что вы могли бы потратить на совершенно новый калькулятор, цифры, кажется, смешиваются в случае отказа от аренды.

    Секретное оружие для графического калькулятора

    После завершения процедуры загрузки откройте программу установки, чтобы начать установку. Иногда никакое решение не поможет. Программа хороший инструмент!

    Проблема также может быть решена с помощью онлайн-калькулятора и, желательно, онлайн-калькулятора с графиком ti-83.Вот только вы можете понять причину, по которой я советую этот калькулятор. Сильный и необычный калькулятор CAS в настоящее время устарел.

    Хорошему ученику не нужен выдающийся калькулятор. Большинство людей используют ti-калькуляторы, поэтому я приведу небольшой пример того, как лучше всего использовать сигму на ti-калькуляторе. Если у выбранного вами калькулятора есть такая возможность, значит, у вас лучший.

    Обнаружен поразительный факт о графическом калькуляторе

    Таким образом, всегда рекомендуется внедрять новейшие технологии в классы современных школ, чтобы предлагать учащимся качественное и профессиональное образование.В противном случае iPad станет для учителей лишней обузой вместо практического инструмента. Студентам также проблематично понять как можно больше деталей за короткое время.

    Они придут с некоторыми знаниями механики и вопросами по математике. Да, математика - довольно важная часть современной жизни. Кроме того, навыки, которые вы изучаете в этом курсе, могут помочь вам во множестве реальных условий решения проблем.

    Кроме того, есть много онлайн-ресурсов, к которым можно обратиться, например, YouTube.Есть несколько поисковых систем, в которых вы можете поискать любую информацию и найти решение. Добавьте нас в закладки и возвращайтесь, когда вам понадобится отличный набор совершенно бесплатных инструментов для статистики.

    Не так много проблем, только клавиатура внизу не в QWERTY, что затрудняет набор текста. На самом деле функций слишком много, чтобы поместиться прямо на клавиши. Экран регулируемый. однако это все еще экран калькулятора.

    В таких обстоятельствах вам не нужно вычислять секущую цену и выполнять шаги 1 и 2.2 + 2x-3}} $$

    Решение:

    В этом случае мы имеем $ a = 1, b = 2 $ и $ c = -3 $

    ШАГ 1: Найдите вершину.

    Чтобы найти x - координату вершины, воспользуемся формулой:

    $$ x = - \ frac {b} {2a} $$

    Итак, мы заменяем $ 1 $ на $ a $ и $ 2 $ на $ b $, чтобы получить

    . $$ x = - \ frac {b} {2a} = - \ frac {2} {2 \ cdot1} = -1 $$

    Чтобы найти координату y, вставьте $ x = -1 $ в исходное уравнение:

    $$ y = f (-1) = (-1) ^ 2 + 2 \ cdot (-1) - 3 = 1-2-3 = -4 $$

    Итак, вершина параболы равна $ {\ color {red} {(-1, -4)}} $

    .

    ШАГ 2: Найдите точку пересечения оси Y.2 + 2x-2 = 0 $ нет есть решения (используйте программа для решения квадратных уравнений проверить ). Итак, в этом случае мы построим график, используя всего две точки

    Исчисление I - Предел

    Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

    Похоже, вы используете устройство с "узкой" шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, разговариваете по мобильному телефону). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Раздел 2-2: Предел

    В предыдущем разделе мы рассмотрели пару проблем, и в обеих задачах у нас была функция (наклон в случае касательной задачи и средняя скорость изменения в задаче скорости изменения), и мы хотели знать, как эта функция ведет себя в некоторая точка \ (x = a \).На этом этапе игры нас больше не волнует, откуда взялись функции, и нас больше не волнует, увидим мы их снова или нет. Все, что нам нужно знать или о чем беспокоиться, - это то, что у нас есть эти функции, и мы хотим что-то о них знать.

    Чтобы ответить на вопросы в последнем разделе, мы выбираем значения \ (x \), которые все ближе и ближе к \ (x = a \), и вставляем их в функцию. Мы также убедились, что мы посмотрели на значения \ (x \), которые были как слева, так и справа от \ (x = a \).2} + 25}} {{t - 5}} = 15 \]

    В этих обозначениях мы отметим, что мы всегда указываем функцию, с которой работаем, а также указываем значение \ (x \) (или \ (t \)), к которому мы движемся.

    В этом разделе мы собираемся применить интуитивный подход к ограничениям и попытаться почувствовать, что они собой представляют и что они могут рассказать нам о функции. Помня об этой цели, мы пока не будем вдаваться в подробности того, как на самом деле вычислять пределы. Вместо этого мы будем полагаться на то, что мы сделали в предыдущем разделе, а также на другой подход, чтобы угадать значение пределов.

    Оба подхода, которые мы собираемся использовать в этом разделе, призваны помочь нам понять, что такое ограничения. Как правило, мы обычно не используем методы, описанные в этом разделе, для вычисления пределов, и во многих случаях их очень сложно использовать даже для оценки значения предела и / или иногда мы даем неправильное значение. Мы рассмотрим фактически вычисляемые пределы в нескольких разделах.

    Давайте сначала начнем со следующего «определения» лимита.

    Определение

    Мы говорим, что предел \ (f (x) \) равен \ (L \), когда \ (x \) приближается к \ (a \), и записываем это как

    \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = L \]

    при условии, что мы можем сделать \ (f (x) \) настолько близким к \ (L \), насколько мы хотим, для всех \ (x \), достаточно близких к \ (a \), с обеих сторон, фактически не позволяя \ (x \) быть \ (а \).

    Это не точное определение предела. Если вы хотите увидеть более точное и математическое определение лимита, вам следует ознакомиться с разделом «Определение лимита» в конце этой главы. Приведенное выше определение является скорее «рабочим» определением. Это определение помогает нам понять, что такое ограничения и что они могут сказать нам о функциях.

    Так что же означает это определение? Что ж, предположим, что мы знаем, что предел действительно существует.Согласно нашему «рабочему» определению, мы можем решить, насколько близко к \ (L \) мы хотим сделать \ (f (x) \). В качестве аргумента предположим, что мы хотим сделать \ (f (x) \) не более чем на 0,001 от \ (L \). Это означает, что нам нужен один из следующих

    \ [\ begin {array} {lcl} f \ left (x \ right) - L

    Теперь, согласно «рабочему» определению, это означает, что если мы получим \ (x \) достаточно близко к \ (a \), мы можем сделайте одно из вышеперечисленных истинным. Однако на самом деле это говорит немного больше.Он говорит, что где-то в мире есть значение \ (x \), скажем \ (X \), так что для всех \ (x \), которые ближе к \ (a \), чем \ (X \), то одно из приведенных выше утверждений будет верным.

    Это довольно важная идея. В мире есть много функций, которые мы можем сделать как можно ближе к \ (L \) для определенных значений \ (x \), которые близки к \ (a \), но будут и другие значения \ (x \) ближе к \ (a \), которые дают значения функций, далеко не близкие к \ (L \).Чтобы предел существовал, как только мы получим \ (f (x) \) настолько близко к \ (L \), насколько мы хотим для некоторого \ (x \), тогда ему нужно будет оставаться так близко к \ (L \ ) (или приблизиться) для всех значений \ (x \), которые ближе к \ (a \). Мы увидим пример этого позже в этом разделе.

    В несколько более простых терминах определение говорит, что по мере того, как \ (x \) становится все ближе и ближе к \ (x = a \) (с обеих сторон, конечно ...), то \ (f (x) \) должно приближаться и ближе к \ (L \). Или, когда мы приближаемся к \ (x = a \), тогда \ (f (x) \) должно двигаться к \ (L \).

    Важно еще раз отметить, что мы должны смотреть на значения \ (x \), которые находятся по обе стороны от \ (x = a \). Мы также должны отметить, что нам не разрешено использовать \ (x = a \) в определении. Мы часто будем использовать информацию, которую дают нам ограничения, чтобы получить некоторую информацию о том, что происходит прямо в \ (x = a \), но само ограничение не связано с тем, что на самом деле происходит в \ (x = a \) . Предел касается только того, что происходит вокруг точки \ (x = a \). Это важное понятие об ограничениях, которое нам нужно иметь в виду.

    Альтернативное обозначение, которое мы иногда будем использовать для обозначения пределов, -

    . \ [f (x) \ to L \ hspace {0,25 дюйма} {\ rm {as}} \ hspace {0,25in} x \ to a \]

    Как мы используем это определение, чтобы помочь нам оценить пределы? Мы делаем именно то, что делали в предыдущем разделе. Мы берем \ (x \) по обе стороны от \ (x = a \), которые перемещаются все ближе и ближе к \ (a \), и вставляем их в нашу функцию. Затем мы смотрим, можем ли мы определить, к какому числу движутся значения функции, и используем это в качестве нашей оценки.2} - 2x}} \] Показать решение

    Обратите внимание, что мы сказали «оценка значения лимита». Опять же, в этом разделе мы не собираемся напрямую вычислять пределы. Цель этого раздела - дать нам лучшее представление о том, как работают ограничения и что они могут рассказать нам о функции.

    Итак, имея это в виду, мы будем работать с этим почти так же, как в предыдущем разделе. Мы выберем значения \ (x \), которые становятся все ближе и ближе к \ (x = 2 \), и подставим эти значения в функцию.Это дает следующую таблицу значений.

    \ (х \) \ (е (х) \) \ (х \) \ (е (х) \)
    2,5 3,4 1,5 5,0
    2,1 3.857142857 1.9 4,157894737
    2,01 3.985074627 1,99 4.015075377
    2,001 3.998500750 1,999 4,001500750
    2.0001 3.999850007 1,9999 4.000150008
    2.00001 3.999985000 1.99999 4,000015000

    Обратите внимание, что мы убедились и выбрали значения \ (x \), которые были по обе стороны от \ (x = 2 \), и что мы переместились очень близко к \ (x = 2 \), чтобы убедиться, что любые тенденции, которые мы можем наблюдать, на самом деле верны.2} - 2x}} = 4 \]

    Давайте еще немного подумаем о том, что здесь происходит. Давайте изобразим график функции из последнего примера. График функции в интересующем диапазоне значений \ (x \) показан ниже.

    Во-первых, обратите внимание на довольно большую открытую точку в точке \ (x = 2 \). Это нужно для того, чтобы напомнить нам, что функции (и, следовательно, графика) не существует в \ (x = 2 \).

    Когда мы вставляли значения \ (x \) в функцию, мы фактически перемещаемся по графику в направлении точки как \ (x = 2 \).Это показано на графике двумя стрелками на графике, которые перемещаются к точке.

    Когда мы вычисляем ограничения, мы действительно задаемся вопросом, к какому значению \ (y \) приближается наш граф, когда мы приближаемся к \ (x = a \) на нашем графике. Мы НЕ спрашиваем, какое значение \ (y \) принимает график в рассматриваемой точке. Другими словами, мы спрашиваем, что делает график вокруг точки \ (x = a \). В нашем случае мы можем видеть, что по мере того, как \ (x \) приближается к 2 (с обеих сторон), функция приближается к \ (y = 4 \), хотя самой функции даже не существует в \ (x = 2 \ ).Таким образом, можно сказать, что лимит на самом деле равен 4.

    Итак, что мы узнали об ограничениях? Пределы спрашивают, что делает функция вокруг \ (x = a \), и не озабочены тем, что функция на самом деле делает в \ (x = a \). Это хорошо, поскольку многие функции, которые мы рассмотрим, даже не будут существовать в \ (x = a \), как мы видели в нашем последнем примере.

    Давайте рассмотрим еще один пример, чтобы доказать это.

    Пример 2 Оцените значение следующего предела.2} - 2x}} & {\ mbox {if}} x \ ne 2 \\ 6 & {\ mbox {if}} x = 2 \ end {array} \ right. \] Показать решение

    Прежде всего, следует отметить, что это точно такая же функция, что и в первом примере, за исключением того, что мы присвоили ей значение для \ (x = 2 \). Итак, сначала отметим, что

    \ [g \ left (2 \ right) = 6 \]

    Что касается оценки значения этого лимита, то по сравнению с первым примером ничего не изменилось.Мы могли бы составить таблицу значений, как в первом примере, или быстро взглянуть на график функции. Любой метод даст нам значение лимита.

    Давайте сначала взглянем на таблицу значений и посмотрим, что она нам говорит. Обратите внимание, что наличие значения функции в \ (x = 2 \) не изменит наш выбор для \ (x \). Мы выбираем только значения \ (x \), которые становятся ближе к \ (x = 2 \), но никогда не берем \ (x = 2 \). Другими словами, таблица значений, которую мы использовали в первом примере, будет точно такой же, как и здесь.Итак, поскольку мы уже сделали это один раз, нет причин переделывать его здесь.

    Из этой таблицы снова ясно, что предел равен

    . \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 2} g \ left (x \ right) = 4 \]

    Предел НЕ 6! Помните из обсуждения после первого примера, что ограничения не заботятся о том, что функция на самом деле делает в рассматриваемой точке. Пределы касаются только того, что происходит на около точки.Поскольку единственное, что мы изменили в функции, - это ее поведение при \ (x = 2 \), это не изменит предел.

    Давайте также быстро взглянем на график этой функции, чтобы увидеть, говорит ли это то же самое.

    Опять же, мы видим, что по мере того, как мы приближаемся к \ (x = 2 \) на нашем графике, функция все еще приближается к значению \ (y \), равному 4. Помните, что мы только спрашиваем, что функция делает вокруг \ (x = 2 \), и нам все равно, что функция на самом деле делает в \ (x = 2 \).График также подтверждает вывод о том, что предел составляет

    . \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 2} g \ left (x \ right) = 4 \]

    Давайте еще раз поговорим об этом, чтобы убедиться, что мы все поняли. Пределы не связаны с тем, что происходит в \ (x = a \). Ограничения касаются только того, что происходит на около \ (x = a \). Мы постоянно говорим об этом, но это очень важная концепция ограничений, которую мы всегда должны помнить.Итак, мы воспользуемся любой возможностью, чтобы напомнить себе об этой идее.

    Поскольку ограничения не связаны с тем, что на самом деле происходит в \ (x = a \), мы иногда будем видеть ситуации, подобные предыдущему примеру, где предел в точке и значение функции в точке различаются. Конечно, это не всегда будет происходить. Бывают случаи, когда значение функции и предел в точке совпадают, и в конечном итоге мы увидим несколько таких примеров. Однако важно не волноваться из-за того, что функция и предел не принимают одно и то же значение в одной точке.Иногда такое случается, поэтому нам нужно иметь возможность разбираться в тех случаях, когда они возникают.

    Давайте взглянем на другой пример, чтобы попытаться опровергнуть эту идею.

    Пример 3 Оцените значение следующего предела. \ [\ mathop {\ lim} \ limits _ {\ theta \ to 0} \, \ frac {{1 - \ cos \ left (\ theta \ right)}} {\ theta} \] Показать решение

    Во-первых, не волнуйтесь о функции \ (\ theta \) in. Это просто буква, как \ (x \) буква! Это греческая буква, но это буква, и иногда вам будет предложено работать с греческими буквами, так что на этом этапе неплохо было бы начать к ним привыкать.

    Теперь также обратите внимание, что если мы подключим \ (\ theta = 0 \), мы получим деление на ноль, и поэтому функция в данный момент не существует. Фактически, в этот момент мы получаем 0/0, но из-за деления на ноль этой функции не существует в \ (\ theta = 0 \).

    Итак, как и в первом примере, давайте возьмем таблицу значений и посмотрим, что, если мы сможем угадать, к какому значению движется функция.

    \ (\ theta \) \ (е \ влево (\ тета \ вправо) \) \ (\ theta \) \ (е \ влево (\ тета \ вправо) \)
    1 0.45969769 -1 -0,45969769
    0,1 0,04995835 -0,1 -0,04995835
    0,01 0,00499996 -0,01 -0,00499996
    0,001 0.00049999 -0,001 -0,00049999

    Хорошо, похоже, что функция приближается к значению нуля, поскольку \ (\ theta \) приближается к 0, конечно с обеих сторон.

    Следовательно, предположим, что предел имеет значение

    \ [\ mathop {\ lim} \ limits _ {\ theta \ to 0} \, \ frac {{1 - \ cos \ left (\ theta \ right)}} {\ theta} = 0 \]

    Итак, еще раз, предел имел значение, даже если функция не существовала в интересующей нас точке.

    Пришло время поработать еще пару примеров, которые приведут нас к следующему представлению об ограничениях, которое мы собираемся обсудить.

    Пример 4 Оцените значение следующего предела. \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 0} \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {t}} \ right) \] Показать решение

    Давайте составим таблицу значений и посмотрим, что в этом случае происходит с нашей функцией.

    \ (т \) \ (f (t) \) \ (t \) \ (f (t) \)
    1 -1 -1 -1
    0.1 1 -0,1 1
    0,01 1 -0,01 1
    0,001 1 -0,001 1

    Теперь, если бы мы угадали предел из этой таблицы, мы бы предположили, что предел равен 1.Однако, если бы мы сделали это предположение, мы ошиблись бы. Рассмотрим любую из следующих оценок функций.

    \ [f \ left ({\ frac {1} {{2001}}} \ right) = - 1 \ hspace {0,55 дюйма} f \ left ({\ frac {2} {{2001}}} \ right) = 0 \ hspace {0,5 дюйма} f \ left ({\ frac {4} {{4001}}} \ right) = \ frac {{\ sqrt 2}} {2} \]

    Во всех трех оценках функции мы оценили функцию с числом меньше 0,001 и получили три совершенно разных числа. Напомним, что определение предела, с которым мы работаем, требует, чтобы функция приближалась к единственному значению (наше предположение) по мере приближения \ (t \) к рассматриваемой точке.Это не говорит о том, что только некоторые значения функции должны приближаться к предположению. Он говорит, что все значения функций должны приближаться к нашему предположению.

    Было бы удобно увидеть, что здесь происходит, на графике функции.

    Из этого графика мы можем видеть, что по мере того, как мы приближаемся к \ (t = 0 \), функция начинает дико колебаться, и на самом деле колебания увеличиваются по скорости по мере приближения к \ (t = 0 \), которое мы получаем.Вспомните из нашего определения предела, что для существования предела функция должна устанавливаться в сторону одного значения по мере того, как мы приближаемся к рассматриваемой точке.

    Очевидно, что эта функция не сводится к одному числу, поэтому этот предел не существует !

    Этот последний пример указывает на недостаток простого выбора значений переменной и использования таблицы значений функций для оценки значения предела.Значения переменной, которые мы выбрали в предыдущем примере, были действительными и на самом деле, вероятно, были значениями, которые многие выбрали бы. Фактически, это были точно такие же значения, которые мы использовали в задаче до этой, и они работали в этой задаче!

    При использовании таблицы значений всегда будет вероятность того, что мы не выберем правильные значения и что мы будем неправильно угадывать наш предел. Это то, что мы всегда должны иметь в виду, когда делаем это, чтобы угадать значение лимитов.Фактически, это такая проблема, что после этого раздела мы никогда не будем использовать таблицу значений, чтобы снова угадать значение лимита.

    Этот последний пример также показал нам, что ограничения не должны существовать. До этого момента мы видели только существующие ограничения, но это не всегда так.

    Давайте взглянем на еще один пример в этом разделе.

    Пример 5 Оцените значение следующего предела. \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 0} H \ left (t \ right) \ hspace {0.25 дюймов} {\ mbox {где,}} \ hspace {0,25 дюйма} H \ left (t \ right) = \ left \ {\ begin {array} {ll} 0 & {\ mbox {if}} t Показать решение

    Эта функция часто называется функцией Heaviside или step . Мы могли бы использовать таблицу значений для оценки предела, но в этом случае, вероятно, так же быстро можно использовать график, так что давайте сделаем это. Ниже представлен график этой функции.

    Из графика видно, что если мы приближаемся к \ (t = 0 \) с правой стороны, функция приближается к значению \ (y \), равному 1.На самом деле он просто остается на 1, но в терминологии, которую мы использовали в этом разделе, он приближается к 1…

    .

    Кроме того, если мы переместимся в сторону \ (t = 0 \) слева, функция будет двигаться в направлении значения \ (y \), равного 0.

    Согласно нашему определению предела, функция должна двигаться к одному значению, когда мы приближаемся к \ (t = a \) (с обеих сторон). В данном случае этого не происходит, поэтому в этом примере мы также скажем, что ограничения не существует.

    Обратите внимание, что ограничение в этом примере немного отличается от предыдущего. В предыдущем примере функция не сводилась к одному числу, когда мы приближались к \ (t = 0 \). Однако в этом примере функция сводится к одному числу как \ (t = 0 \) с обеих сторон. Проблема в том, что число разное с каждой стороны от \ (t = 0 \). Это идея, которую мы рассмотрим более подробно в следующем разделе.

    Давайте подведем итог тому, что мы (надеюсь) узнали в этом разделе.В первых трех примерах мы видели, что ограничения не заботятся о том, что функция на самом деле делает в рассматриваемой точке. Их беспокоит только то, что происходит вокруг точки. Фактически, у нас могут быть пределы в \ (x = a \), даже если самой функции в этой точке не существует. Точно так же, даже если функция существует в какой-то точке, нет причин (на этом этапе) думать, что предел будет иметь то же значение, что и функция в этой точке. Иногда предел и функция будут иметь одно и то же значение в одной точке, а в других случаях - разные значения.

    Далее, в третьем и четвертом примерах мы увидели основную причину отказа от использования таблицы значений для определения значения лимита. В этих примерах мы использовали точно такой же набор значений, однако они работали только в одном из примеров. Использование таблиц значений для угадывания значения лимитов - просто не лучший способ получить значение лимита. Это единственный раздел, в котором мы это сделаем. Таблицы значений всегда должны быть вашим последним выбором при поиске значений пределов.

    Последние два примера показали нам, что на самом деле не все ограничения существуют.Мы не должны зацикливаться на идее, что ограничения будут существовать всегда. В большинстве курсов по математике мы работаем с ограничениями, которые существуют почти всегда, поэтому легко начать думать, что пределы существуют всегда. Ограничения существуют не всегда, поэтому не привыкайте предполагать, что они будут.

    Наконец, в четвертом примере мы увидели, что единственный способ справиться с ограничением - это построить график функции. Иногда это единственный способ, однако этот пример также проиллюстрировал недостаток использования графиков.Чтобы использовать график, чтобы угадать значение предела, вам нужно иметь возможность на самом деле нарисовать график. Для многих функций это сделать не так просто.

    Есть еще один недостаток в использовании графиков. Даже если у вас есть график, он будет полезен, только если значение \ (y \) приближается к целому числу. Если значение \ (y \) приближается, скажем, \ (\ frac {{- 15}} {{123}} \), вы никак не сможете угадать это значение по графику, а мы обычно требуются точные значения для наших пределов.

    Итак, хотя графики функций могут иногда облегчить вам жизнь при угадывании значений пределов, они опять же, вероятно, не лучший способ получить значения пределов. Они будут полезны только в том случае, если вы сможете их достать, а значение лимита - «хорошее» число.

    Возникает естественный вопрос, почему мы вообще говорили об использовании таблиц и / или графиков для оценки пределов, если они не являются лучшим способом. На то было несколько причин.

    Во-первых, они могут помочь нам лучше понять, что такое ограничения и что они могут нам сказать.Если мы не сделаем хотя бы пару ограничений таким образом, мы не сможем понять, что это за пределы.

    Вторая причина использования ограничений таким образом - указать на их недостатки, чтобы у нас не возникало соблазна использовать их все время!

    В конце концов мы поговорим о том, как мы действительно устанавливаем лимиты. Однако есть еще одна тема, которую мы должны обсудить, прежде чем делать это. Поскольку этот раздел уже существует некоторое время, мы поговорим об этом в следующем разделе.

    fx-CG50 | Графический калькулятор | CASIO

    Более глубокое изучение математики с помощью функции "Изучение"

    Ученики находят ответы по-разному.
    Например, учащиеся могут использовать функцию «График», «Уравнение» или «Матрица» для решения одновременных уравнений, указанных ниже.

    1. Использование графика

    • Отображение значков

    • Входные уравнения

    • Графики

    • Координаты перекрестка

    2.Использование расчетов по уравнению

    • Отображение значков

    • Выбрать уравнение

    • Входной коэффициент

    • Решение

    3. Использование матричных вычислений

    • Отображение значков

    • Матрица ввода A

    • Матрица ввода B

    • Расчет матрицы

    Более глубокое изучение 3D-графиков с помощью функции «Изучить»

    Сложно понять трехмерные графики, используемые в учебниках.
    Функция 3D Graph в fx-CG50 позволяет легко рисовать и исследовать 3D-графики. Эта функция способствует математическому пониманию трехмерных графиков и помогает изучать твердые фигуры.

    1. Нарисуйте и отобразите трехмерный график

    3D-графики можно рисовать разными способами.

    1) Использование шаблонов

    С помощью шаблонов легко рисовать трехмерные графики. (* Первая в отрасли функция)

    2) Z = график

    3) Параметрические графики

    4) Вращение графиков тела (① вокруг оси X, ② вокруг оси Y) * Первая в отрасли функция

    Графики вращающегося тела можно нарисовать двумя способами (вращением вокруг оси X или оси Y).

    2. Нарисуйте и отобразите до трех трехмерных графиков

    Математическое распознавание комбинаций трехмерных графиков и интерактивных отношений между двумя или тремя графиками.

    • Доступны три выражения

    • Цилиндр и выступы полос

    • Доступны три выражения

    3.Исследуйте взаимосвязь между выражениями и трехмерными графиками

    Выберите формат EXPRESS, VECTOR или POINTS при вводе выражений трехмерных графиков.

    • EXPRESS формат

    • ВЕКТОРНЫЙ формат

    • Формат ОЧКОВ

    4. Математическое исследование трехмерных графиков

    Эти функции эффективны при геометрическом исследовании 3D-графиков.

    1) Просмотр с разных сторон

    ① Увеличение и уменьшение ② Поворот по вертикали и горизонтали ③ Поперечное сечение ④ Ось X, ось Y, ось Z вид.
    Эти функции эффективны при геометрическом исследовании трехмерных графиков.

    Цилиндр

    • Увеличить

    • Уменьшить

    • Поперечное сечение

    • Вертикальное вращение

    • Горизонтальное вращение

    • Вид по оси X
      Вид по оси Y

    • Вид по оси X

    2) Трассировка графиков * Первая в отрасли функция

    Исследуйте координаты на поверхности трехмерных графиков (всех видов), используя клавиши курсора для перемещения указателя трассировки.

    3) Пересечение графиков * Первая в отрасли функция

    Исследуйте пересечение (координаты, линия) между трехмерными графиками (линия и линия, линия и плоскость, плоскость и плоскость).
    Выражение линии пересечения или координаты пересечения

    4) Связь между графиками * Первая в отрасли функция

    Изучите взаимосвязь (параллельную, ортогональную и т. Д.) между трехмерными графиками (линия и линия, линия и плоскость, плоскость и плоскость).

    * На основе информации CASIO по состоянию на август 2017 г.

    Образцы трехмерных графиков

    1. Z = график

    2.Параметрические графики

    3. Графики вращающегося тела

    Пример 1

    Исследуйте пересечения линий, плоскостей и сфер.

    Эффективное обучение с 3D-графиком
    1.Нарисуйте и отобразите трехмерный график

    Студенты получают возможность визуализировать наиболее важные пересечения между линиями, плоскостями и сферами: точку пересечения, линию или круг. Это может быть очень полезно для них при разработке стратегии решения.

    Кроме того, во всех этих примерах используются разные методы ввода.

    Определение по вектору, определение по уравнению.

    Определение по вектору, определение по уравнению.

    Учащиеся могут просматривать графики под разными углами и самостоятельно визуально исследовать пересечение двух объектов.

    Пример 2

    Изучите взаимосвязь между линиями и плоскостями и их пересечениями.

    Учителя и ученики могут изучать взаимосвязь между линиями и плоскостями и могут исследовать их пересечения.
    Пересечение: точка пересечения, линия пересечения или не найдено и т. Д.
    Отношение: пересечение, параллельные, ортогональные или наклонные линии и т. Д.

    Графические уравнения с программой «Пошаговое решение математических задач»

    Язык математики особенно эффективен для представления отношений между двумя или более переменными. В качестве примера рассмотрим пройденное расстояние через определенный промежуток времени автомобилем, движущимся с постоянной скоростью 40 миль в час.Мы можем представить эту взаимосвязь как

    1. 1. Словесное предложение:
      Пройденное расстояние в милях равно сороккратному количеству пройденных часов.
    2. 2. Уравнение:
      d = 40r.
    3. 3. Таблица значений.
    4. 4. График, показывающий зависимость между временем и расстоянием.

    Мы уже использовали словесные предложения и уравнения для описания таких отношений; В этой главе мы будем иметь дело с табличным и графическим представлениями.

    7.1 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ОТ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

    ЗАКАЗАННЫЕ ПАРЫ

    Уравнение d = 40f объединяет расстояние d для каждого момента времени t. Например,


    , если t = 1, то d = 40
    , если t = 2, то d = 80
    , если t = 3, то d = 120

    и так далее.

    Пара чисел 1 и 40, рассматриваемая вместе, называется решением уравнение d = 40r, потому что, когда мы подставляем 1 вместо t и 40 вместо d в уравнении, мы получаем верное утверждение. Если мы согласны ссылаться на парные номера в указанном порядок, в котором первое число относится ко времени, а второе число относится к расстояния, мы можем сократить приведенные выше решения как (1, 40), (2, 80), (3, 120) и скоро.Мы называем такие пары чисел упорядоченными парами и ссылаемся на первую и вторые числа в парах как компоненты. В соответствии с этим соглашением решения Уравнение d - 40t - это упорядоченные пары (t, d), компоненты которых удовлетворяют уравнению. Некоторые упорядоченные пары для t, равного 0, 1, 2, 3, 4 и 5, равны

    .

    (0,0), (1,40), (2,80), (3,120), (4,160) и (5,200)

    Такие пары иногда отображаются в одной из следующих табличных форм.

    В любом конкретном уравнении, включающем две переменные, когда мы присваиваем значение одной переменных определяется значение другой переменной и, следовательно, зависит от первого.Удобно говорить о переменной, связанной с первый компонент упорядоченной пары как независимая переменная и переменная связанный со вторым компонентом упорядоченной пары в качестве зависимой переменной. Если в уравнении используются переменные x и y, подразумевается, что заменить - элементы для x являются первыми компонентами и, следовательно, x - независимая переменная и замены y являются вторыми компонентами и, следовательно, y является зависимой переменной. Например, мы можем получить пары для уравнения

    , подставив конкретное значение одной переменной в уравнение (1) и решив для другая переменная.

    Пример 1

    Найдите недостающий компонент, чтобы заказанная пара стала решением проблемы

    2x + y = 4

    а. (0 ,?)

    г. (1 ,?)

    г. (2 ,?)

    Решение

    , если x = 0, то 2 (0) + y = 4
    y = 4

    , если x = 1, то 2 (1) + y = 4
    y = 2

    , если x = 2, то 2 (2) + y = 4
    y = 0

    Три пары теперь могут отображаться как три упорядоченные пары

    (0,4), (1,2) и (2,0)

    или в табличной форме

    ЯВНО ВЫРАЖАЮЩИЙ ПЕРЕМЕННУЮ

    Мы можем добавить -2x к обоим членам 2x + y = 4, чтобы получить

    -2x + 2x + y = -2x + 4
    y = -2x + 4

    В уравнении (2), где y есть само по себе, мы говорим, что y явно выражается через из х.Часто бывает проще получить решения, если сначала выразить уравнения в такой форме потому что зависимая переменная явно выражается через независимые Переменная.

    Например, в уравнении (2) выше,

    , если x = 0, то y = -2 (0) + 4 = 4
    , если x = 1, то y = -2 (1) + 4 = 2
    , если x = 2, то y = -2 (2) + 4 = 0

    Мы получаем те же пары, которые мы получили с помощью уравнения (1)

    (0,4), (1,2) и (2,0)

    Мы получили уравнение (2) добавлением одинаковой величины -2x к каждому члену. уравнения (1), получая таким образом y само по себе.В общем, мы можем написать эквивалент уравнения с двумя переменными, используя свойства, которые мы ввели в главе 3, где мы решали уравнения первой степени с одной переменной.

    Уравнения эквивалентны, если:

    1. Одно и то же количество прибавляется к равным количествам или вычитается из них.
    2. Равные количества умножаются или делятся на одинаковое ненулевое количество.

    Пример 2

    Решите 2y - 3x = 4 явно для y через x и получите решения для x = 0, х = 1 и х = 2.

    Решение
    Во-первых, добавив 3x к каждому члену, мы получим

    2y - 3x + 3x = 4 + 3x
    2y = 4 + 3x (продолжение)

    Теперь, разделив каждый член на 2, получаем

    В этой форме мы получаем значения y для заданных значений x следующим образом:

    В этом случае три решения: (0, 2), (1, 7/2) и (2, 5).

    ОБОЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ

    Иногда мы используем специальные обозначения для наименования второго компонента заказанного пара, которая связана с указанным первым компонентом.Символ f (x), который часто используется для обозначения алгебраического выражения в переменной x, также может использоваться для обозначения значение выражения для конкретных значений x. Например, если

    f (x) = -2x + 4

    , где f (x) играет ту же роль, что и y в уравнении (2) на странице 285, тогда f (1) представляет значение выражения -2x + 4, когда x заменяется на 1

    f (l) = -2 (1) + 4 = 2

    Аналогично

    f (0) = -2 (0) + 4 = 4

    и

    f (2) = -2 (2) + 4 = 0

    Символ f (x) обычно называют обозначением функции.

    Пример 3

    Если f (x) = -3x + 2, найти f (-2) и f (2).

    Решение

    Замените x на -2, чтобы получить
    f (-2) = -3 (-2) + 2 = 8

    Замените x на 2, чтобы получить
    f (2) = -3 (2) + 2 = -4

    7.2 ГРАФИК ЗАКАЗАННЫХ ПАР

    В разделе 1.1 мы видели, что каждое число соответствует точке на линии. Simi- Как правило, каждая упорядоченная пара чисел (x, y) соответствует точке на плоскости. К граф упорядоченной пары чисел, мы начинаем с построения пары перпендикулярных числовые линии, называемые осями.Горизонтальная ось называется осью x, вертикальная ось называется осью Y, а точка их пересечения называется началом координат. Эти топоры разделите плоскость на четыре квадранта, как показано на рисунке 7.1.

    Теперь мы можем назначить упорядоченную пару чисел точке на плоскости, указав на перпендикулярное расстояние точки от каждой из осей. Если первый составляющая положительная, точка лежит правее вертикальной оси; если отрицательный, это лежит слева.Если второй компонент положительный, точка находится выше Горизонтальная ось; если отрицательный, он находится внизу.

    Пример 1

    График (3, 2), (-3, 2), (-3, -2) и (3, -2) в прямоугольной системе координат.

    Решение
    График (3, 2) находится на 3 единицы правее ось y и на 2 единицы выше оси x; график (-3,2) лежит на 3 единицы слева от ось y и на 2 единицы выше оси x; график (-3, -2) лежит на 3 единицы слева от ось y и на 2 единицы ниже оси x; график (3, -2) лежит на 3 единицы правее ось y и на 2 единицы ниже оси x.

    Расстояние y, на котором точка расположена от оси x, называется ординатой. точки, а расстояние x, на котором точка расположена от оси y, называется абсцисса точки. Абсцисса и ордината вместе называются прямоугольником. Гулярные или декартовы координаты точки (см. рисунок 7.2).

    7.3 ИЗОБРАЖЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

    В разделе 7.1 мы увидели, что решение уравнения с двумя переменными является упорядоченным пара.В разделе 7.2 мы видели, что компонентами упорядоченной пары являются координаты точки на плоскости. Таким образом, чтобы построить график уравнения с двумя переменными, мы Изобразите набор упорядоченных пар, которые являются решениями уравнения. Например, мы может найти некоторые решения уравнения первой степени

    у = х + 2

    , положив x равным 0, -3, -2 и 3. Затем

    для x = 0, y = 0 + 2 = 2
    для x = 0, y = -3 + 2 = -1
    для x = -2, y = -2 + 2-0
    для x = 3, y = 3 + 2 = 5

    и получаем решения

    (0,2), (-3, -1), (-2,0) и (3,5)

    , который может отображаться в табличной форме, как показано ниже.

    Если построить график точек, определяемых этими упорядоченные пары и проведите прямую через их, мы получаем график всех решений y = x + 2, как показано на рисунке 7.3. Это, каждое решение y = x + 2 лежит на прямой, и каждая точка на линии - это решение у = х + 2.

    Графики уравнений первой степени в двух переменные всегда прямые; следовательно, такие уравнения также называются линейными уравнения.

    В приведенном выше примере значения, которые мы использовали для x были выбраны случайным образом; мы могли бы использовать любые значения x, чтобы найти решения уравнения.Графики любых других упорядоченных пар, которые являются решениями уравнения, также будут быть на линии, показанной на рисунке 7.3. Фактически каждое линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечное количество решений, график которых лежит на прямой. Однако мы только нужно найти два решения, потому что для определения прямая линия. Третий балл можно получить как проверку.

    Для построения графика уравнения первой степени:

    1. Постройте набор прямоугольных осей, показывающих масштаб и переменную, представляющую отправляется каждой осью.
    2. Найдите две упорядоченные пары, которые являются решениями уравнения для построения графика присвоение любого удобного значения одной переменной и определение соответствующего соответствующее значение другой переменной.
    3. Изобразите эти упорядоченные пары.
    4. Проведите прямую линию через точки.
    5. Проверьте, построив график третьей упорядоченной пары, которая является решением уравнения и убедитесь, что он лежит на линии.

    Пример 1

    Постройте уравнение y = 2x - 6.

    Решение
    Сначала мы выбираем любые два значения x, чтобы найти связанные значения y.
    Мы будем использовать 1 и 4 для x.
    Если x = 1, y = 2 (1) - 6 = -4
    , если x = 4, y = 2 (4) - 6 = 2
    Таким образом, два решения уравнения:
    (1, -4) и (4, 2).
    Затем мы нарисуем эти упорядоченные пары и проведем прямую линию через точки, как показано на рисунке. Мы используем стрелки, чтобы показать, что линия тянется бесконечно далеко в обоих направлениях. Любая третья упорядоченная пара, удовлетворяющая уравнение можно использовать в качестве проверки:
    , если x = 5, y = 2 (5) -6 = 4
    Затем отметим, что график (5, 4) также лежит на линии
    . Чтобы найти решения уравнения, как мы уже отмечали, часто проще всего сначала решить явно для y через x.

    Пример 2

    График x + 2y = 4.

    Решение
    Сначала решаем y через x, чтобы получить

    Теперь мы выбираем любые два значения x, чтобы найти соответствующие значения y. Мы будем использовать 2 и 0 для x.

    Таким образом, двумя решениями уравнения являются (2, 1) и (0, 2).

    Затем мы графически отображаем эти упорядоченные пары и проведите через точки прямую, как показано на рисунке.

    Любая третья упорядоченная пара, удовлетворяющая уравнение можно использовать как проверку:

    Затем отметим, что график (-2, 3) также лежит на линии.

    ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

    Уравнение y = 2 можно записать как

    0x + y = 2

    и может рассматриваться как линейное уравнение в двух переменные, у которых коэффициент при x равен 0. Некоторые решения 0x + y = 2 равны

    (1,2), (-1,2) и (4,2)

    Фактически, любая упорядоченная пара вида (x, 2) является решение (1). Графическое изображение решений дает горизонтальную линию, как показано на рисунке 7.4.

    Точно так же уравнение, такое как x = -3, может записывается как

    х + 0у = -3

    и может рассматриваться как линейное уравнение в двух переменные, у которых коэффициент при y равен 0.

    Некоторые решения x + 0y = -3 являются (-3, 5), (-3, 1) и (-3, -2). Фактически любой упорядоченная пара вида (-3, y) является решением из (2). Графическое изображение решений дает вертикальную линия, как показано на рисунке 7.5.

    Пример 3

    График

    а. у = 3
    б. х = 2

    Решение
    а. Мы можем записать y = 3 как Ox + y = 3.
    Некоторые решения: (1, 3), (2,3) и (5, 3).

    б. Мы можем записать x = 2 как x + Oy = 2.
    Некоторые решения: (2, 4), (2, 1) и (2, -2).

    7.4 МЕТОД ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГРАФИКА

    В Разделе 7.3 мы присвоили значения x в уравнениях с двумя переменными, чтобы найти соответствующие значения y. Решения уравнения с двумя переменными, которые как правило, легче всего найти те, в которых первый или второй компонент 0. Например, если мы заменим 0 на x в уравнении

    3x + 4y = 12

    у нас

    3 (0) + 4y = 12
    y = 3

    Таким образом, решением уравнения (1) является (0, 3).Мы также можем найти упорядоченные пары, которые решения уравнений с двумя переменными путем присвоения значений y и определения соответствующие значения x. В частности, если мы подставим 0 вместо y в уравнение (1), мы получить

    3x + 4 (0) = 12
    x = 4

    и второе решение уравнения (4, 0). Теперь мы можем использовать упорядоченные пары (0, 3) и (4, 0) для построения графика уравнения (1). График представлен на рисунке 7.6. Уведомление что линия пересекает ось x в точке 4 и ось y в точке 3. По этой причине число 4 называется пересечением по оси x графа, а число 3 - точкой пересечения по оси y.

    Такой способ построения графика линейного уравнения называется пересечением. метод построения графиков. Обратите внимание, что когда мы используем этот метод построения графиков линейного уравнение, нет никакого преимущества в том, чтобы сначала явно выразить y через x.

    Пример 1

    График 2x - y = 6 методом пересечения.

    Решение
    Мы находим точку пересечения с x, подставляя 0 вместо y в уравнение, чтобы получить

    2x - (0) = 6
    2x = 6
    x = 3

    Теперь мы находим точку пересечения по оси Y, подставляя для x в уравнении, чтобы получить

    2 (0) - y = 6
    -y = 6
    y = -6

    Упорядоченные пары (3, 0) и (0, -6) являются решениями 2x - y = 6.Графическое изображение этих точки и соединив их прямой линией, получим график 2x - y = 6. Если график пересекает оси в или около начала координат, метод перехвата не работает. удовлетворительно. Затем мы должны построить график упорядоченной пары, которая является решением уравнения и чей график не является началом координат или не слишком близок к началу координат.

    Пример 2

    График y = 3x.

    Решение
    Мы можем заменить 0 на x и найти
    y = 3 (0) = 0
    Аналогичным образом, заменив 0 на y, мы получим
    0 = 3.x, x = 0
    Таким образом, 0 является и точкой пересечения по оси x, и точкой пересечения по оси y.

    Так как одного балла недостаточно, чтобы получить = 3x, мы прибегаем к методам, описанным в Раздел 7.3. Выбирая любое другое значение для x, скажем 2, мы получаем

    у = 3 (2) = 6

    Таким образом, (0, 0) и (2, 6) являются решениями уравнение. График y = 3x показан на верно.

    7,5 НАКЛОН ЛИНИИ

    ФОРМУЛА НАКЛОНА

    В этом разделе мы изучим важное свойство линии.Мы назначим число к линии, которую мы называем уклоном, что даст нам меру "крутизны" или «направление» линии.

    Часто бывает удобно использовать специальные обозначения для различения прямоугольников. Гулярные координаты двух разных точек. Мы можем обозначить одну пару координат на (x 1 , y 1 (читается «x sub one, y sub one»), связанный с точкой P 1 , и второй пара координат по (x 2 , y 2 ), связанная со второй точкой P 2 , как показано на рисунке 7.7. Обратите внимание на рис. 7.7, что при переходе от P 1 к P 2 вертикальное изменение (или расстояние по вертикали) между двумя точками составляет y 2 - y 1 , а изменение по горизонтали (или расстояние по горизонтали) составляет x 2 - x 1 .

    Отношение вертикального изменения к горизонтальному называется крутизной линия, содержащая точки P 1 и P 2 . Это соотношение обычно обозначают m. Таким образом,

    Пример 1

    Найдите наклон прямой, содержащей два точки с координатами (-4, 2) и (3, 5) как показано на рисунке справа.

    Решение
    Обозначим (3, 5) как (x 2 , y 2 ) и (-4, 2) как (x 1 , y 1 ). Подставляя в уравнение (1) дает

    Обратите внимание, что мы получим тот же результат, если подставим -4 и 2 вместо x 2 и y 2 и 3 и 5 для x 1 и y 1

    Линии с различным уклоном показаны на Рисунке 7.8 ниже. Наклоны линий, которые вверх вправо положительны (рисунок 7.8а) и наклоны спускающихся вниз справа отрицательны (рис. 7.8b). Обратите внимание (рис. 7.8c), что, поскольку все точки на горизонтальной линии имеют одинаковое значение y, y 2 - y 1 равно нулю для любых двух точек, а наклон линии просто

    Также обратите внимание (рисунок 7.8c), что, поскольку все точки на вертикали имеют одинаковое значение x, x 2 - x 1 равняется нулю для любых двух точек. Однако

    не определено, поэтому вертикальная линия не имеет наклона.

    ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ЛИНИИ

    Рассмотрим линии, показанные на рисунке 7.9. Линия l 1 имеет наклон m 1 = 3, а линия l 2 имеет уклон уклон м 2 = 3. В данном случае

    Эти линии никогда не пересекаются и называются параллельными линиями. Теперь рассмотрим строки показано на рисунке 7.10. Линия l 1 имеет наклон m 1 = 1/2, а линия l 2 имеет наклон m 2 = -2. В данном случае

    Эти линии пересекаются, образуя прямой угол, и называются перпендикулярными линиями.

    В общем, если две линии имеют уклон и м2:

      а. Линии параллельны, если они имеют одинаковый наклон, т. Е. если m 1 = m 2 .
      г. Линии перпендикулярны, если произведение их уклонов равно -1, то есть если m 1 * m 2 = -1.

    7.6 УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

    ОПОРНО-СКЛОННАЯ ФОРМА

    В разделе 7.5 мы нашли наклон прямой по формуле

    Допустим, мы знаем, что линия проходит через точку (2, 3) и имеет наклон 2.Если обозначить любую другую точку на прямой как P (x, y) (см. Рис. 7.1а), наклоном формула

    Таким образом, уравнение (1) - это уравнение прямой, проходящей через точку (2, 3), и имеет уклон 2.

    В общем, допустим, мы знаем, что линия проходит через точку P 1 (x 1 , y 1 и имеет уклон м. Если мы обозначим любую другую точку на прямой как P (x, y) (см. Рис. 7.11 b), то через формула наклона

    Уравнение (2) называется формой точечного уклона для линейного уравнения.В уравнении (2), m, x 1 и y 1 известны, а x и y - переменные, которые представляют координаты любая точка на линии. Таким образом, всякий раз, когда мы знаем наклон линии и точки на линии, мы можем найти уравнение линии, используя уравнение (2).

    Пример 1

    Линия имеет наклон -2 и проходит через точку (2, 4). Найдите уравнение прямой.

    Решение
    Замените -2 вместо m и (2, 4) вместо (x 1 , y 1 ) в уравнении (2)

    Таким образом, прямая с наклоном -2, проходящая через точку (2, 4), имеет уравнение у = -2х + 8.Мы могли бы также записать уравнение в эквивалентной форме y + 2x = 8, 2x + y = 8 или 2x + y - 8 = 0.

    ФОРМА НАКЛОНА

    Теперь рассмотрим уравнение прямой с наклоном m и точкой пересечения оси y b, как показано на Рисунок 7.12. Подставив 0 вместо x 1 и b вместо y 1 в форме точечного наклона линейного уравнение, имеем

    y - b = m (x - 0)
    y - b = mx

    или

    y = mx + b

    Уравнение (3) называется формой пересечения наклона для линейного уравнения.Наклон и пересечение по оси Y можно получить непосредственно из уравнения в эта форма.

    Пример 2 Если линия имеет уравнение

    , то наклон линии должен быть -2, а точка пересечения оси Y - 8. Аналогично, график

    г = -3x + 4

    имеет наклон -3 и точку пересечения по оси Y 4; и график

    имеет наклон 1/4 и точку пересечения по оси Y -2.

    Если уравнение не записано в форме x = mx + b и мы хотим знать наклон и / или точку пересечения с y, мы переписываем уравнение, решая относительно y через x.

    Пример 3

    Найдите наклон и точку пересечения оси Y 2x - 3y = 6.

    Решение
    Сначала мы решаем y в терминах x, добавляя -2x к каждому члену.

    2x - 3y - 2x = 6 - 2x
    - 3y = 6 - 2x

    Теперь, разделив каждого члена на -3, мы получим

    .

    Сравнивая это уравнение с формой y = mx + b, отметим, что наклон m (величина коэффициент при x) равен 2/3, а точка пересечения оси y равна -2.

    7.7 ПРЯМОЕ ИЗМЕНЕНИЕ

    Частный случай уравнения первой степени с двумя переменными дается

    y = kx (k - постоянная)

    Такая связь называется прямой вариацией.Мы говорим, что переменная y изменяется прямо как x.

    Пример 1

    Мы знаем, что давление P в жидкости прямо пропорционально глубине d ниже поверхность жидкости. Мы можем обозначить эту взаимосвязь в символах как

    P =

    кД

    В прямом варианте, если мы знаем набор условий для двух переменных, и если мы также знаем другое значение для одной из переменных, мы можем найти значение вторая переменная для этого нового набора условий.

    В приведенном выше примере мы можем решить для константы k, чтобы получить

    Поскольку отношение P / d постоянно для каждого набора условий, мы можем использовать соотношение для решения задач, связанных с прямым изменением.

    Пример 2

    Если давление P напрямую зависит от глубины d и P = 40, когда d = 10, найдите P, когда d = 15.

    Решение
    Поскольку отношение P / d является постоянным, мы можем подставить значения для P и d и получить пропорция

    Таким образом, P = 60 при d = 15.

    7,8 НЕРАВЕНСТВА В ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

    В разделах 7.3 и 7.4 мы построили уравнения с двумя переменными. В этом разделе мы построит график неравенств по двум переменным. Например, рассмотрим неравенство

    у ≤ -x + 6

    Решения - это упорядоченные пары чисел, которые «удовлетворяют» неравенству.Это, (a, b) является решением неравенства, если неравенство является истинным утверждением после того, как мы заменим a на x и b на y.

    Пример 1

    Определите, является ли данная упорядоченная пара решением y = -x + 6.

    а. (1, 1)
    б. (2, 5)

    Решение
    Упорядоченная пара (1, 1) является решением, потому что, когда 1 заменяется на x, а 1 подставив вместо y, получим

    (1) = - (1) + 6, или 1 = 5

    , что является правдой. С другой стороны, (2, 5) не является решением, потому что когда 2 заменяется на x и 5 заменяется на y, мы получаем

    (5) = - (2) + 6, или 5 = 4

    , что является ложным заявлением.

    Чтобы изобразить неравенство y = -x + 6, сначала построим уравнение y = -x + 6 показано на рисунке 7.13. Обратите внимание, что (3, 3), (3, 2), (3, 1), (3, 0) и т. Д., Связанные с точками, находящимися на линии или под ней, являются решениями неравенства y = -x + 6, тогда как (3,4), (3, 5) и (3,6), связанные с точками над линии не являются решениями неравенства. Фактически, все упорядоченные пары, связанные с точки на линии или ниже являются решениями y = - x + 6. Таким образом, каждая точка на или под линией находится на графике.Мы представляем это, закрашивая область под линия (см. рисунок 7.14).

    В общем, чтобы построить график неравенства первой степени с двумя переменными в виде Ax + By = C или Ax + By = C, сначала строим график уравнения Ax + By = C и затем определите, какая полуплоскость (область выше или ниже линии) содержит решения. Затем закрашиваем эту полуплоскость. Мы всегда можем определить, какая половина плоскость заштриховать, выбрав точку (не на линии уравнения Ax + By = C) и тестирование, чтобы увидеть, является ли упорядоченная пара, связанная с точкой, решением учитывая неравенство.Если да, то закрашиваем полуплоскость, содержащую контрольную точку; иначе, заштриховываем вторую полуплоскость. Часто (0, 0) - удобная контрольная точка.

    Пример 2

    График 2x + 3y = 6

    Решение
    Сначала построим линию 2x + 3y = 6 (см. График a). Используя начало координат как контрольную точку, мы определяем, является ли (0, 0) решением 2x + 3y ≥ 6. Поскольку утверждение

    2 (0) + 3 (0) = 6

    ложно, (0, 0) не является решением и мы закрашиваем полуплоскость, не содержащую начало координат (см. график b).

    Когда линия Ax + By = C проходит через начало координат, (0, 0) не является допустимым тестом точка, так как она находится на линии.

    Пример 3

    График y = 2x.

    Решение
    Начнем с построения линии y = 2x (см. График a). Поскольку линия проходит через начало координат, мы должны выбрать другую точку не на линии в качестве нашей тестовой точки. Мы будем используйте (0, 1). С выписки

    (1) = 2 (0)

    верно, (0, 1) является решением, и мы закрашиваем полуплоскость, содержащую (0, 1) (см. график б).

    Если символ неравенства - ', точки на графике Ax + By = C не являются решениями неравенства. Затем мы используем пунктирную линию для графика Ax + By = C.

    РЕЗЮМЕ ГЛАВЫ

    1. Решение уравнения с двумя переменными - это упорядоченная пара чисел. в упорядоченная пара (x, y), x называется первым компонентом, а y называется вторым составная часть. Для уравнения с двумя переменными переменная, связанная с первой компонент решения называется независимой переменной, а переменная связанный со вторым компонентом, называется зависимой переменной.Обозначение функции f (x) используется для обозначения алгебраического выражения в x. Когда х в символ f (x) заменяется определенным значением, символ представляет значение выражения для этого значения x.

    2. Пересечение двух перпендикулярных осей в системе координат называется происхождение системы, и каждая из четырех областей, на которые делится плоскость называется квадрантом. Компоненты упорядоченной пары (x, y), связанной с точки на плоскости называются координатами точки; x называется абсциссой точки, а y называется ординатой точки.

    3. График уравнения первой степени с двумя переменными представляет собой прямую линию. То есть каждый упорядоченная пара, которая является решением уравнения, имеет график, лежащий на линии, и каждая точка в строке связана с упорядоченной парой, которая является решением уравнение.

      Графики любых двух решений уравнения с двумя переменными могут быть использованы для получить график уравнения. Однако два решения уравнения в двух переменные, которые обычно легче всего найти, - это те, в которых либо первая, либо второй компонент равен 0.Координата x точки, в которой линия пересекает ось x. называется пересечением по оси x линии, а координата y точки, в которой линия пересекает ось ординат и называется пересечением линии. Использование точек пересечения для построения графика уравнение называется методом построения графика с пересечением.

    4. Наклон линии, содержащей точки P 1 (x 1 , y 1 ) и P 2 (x 2 , y 2 ), определяется как

      Две прямые параллельны, если они имеют одинаковый наклон (м 1 = м 2 ).

      Две прямые перпендикулярны, если произведение их уклонов равно - l (m 1 * m 2 = -1).

    5. Форма точки-наклона прямой с наклоном m, проходящей через точку (x 1 , y 1 ) это

      y - y 1 - m (x - x 1 )

      Угол пересечения линии с наклоном m и точкой пересечения оси y b равен

      y = mx + b

    6. Взаимосвязь, определяемая уравнением вида

      y = kx (k постоянная)

      называется прямой вариацией.

    7. Решением неравенства с двумя переменными является упорядоченная пара чисел, которая, при подстановке в неравенство делает неравенство истинным утверждением. В График линейного неравенства от двух переменных представляет собой полуплоскость. Символы, представленные в этой главе, появляются на внутренней стороне передней обложки.

    Что такое функция мощности? - Определение, уравнения, графики и примеры - Видео и стенограмма урока

    Графики степенных функций

    Это график f (x) = x ^ 2. -4.-3, показанный зелеными линиями, имеет отрицательные координаты y . Это потому, что мощность в этой функции нечетная, что даст вам отрицательный результат.

    Вы заметите, что функции с четной степенью симметричны по оси y , а функции с нечетной степенью симметричны относительно начала координат. Вы можете узнать больше о симметрии в главе «Графическая симметрия» этого курса.

    Fractional Power Functions

    Саванна сейчас изучает путь астероидов.-1/4, очень похожи.

    Обратите внимание, что единственные различия на этих графиках - это положение кривых линий. Вы увидите, что все числа в степенях двух функций - нечетные числа.

    Наконец, мы должны рассмотреть функции, которые имеют степени с неправильными дробями, такие как этот график. Обратите внимание, что этот график не содержит отрицательных координат x или y . 2 \), используя график функции, показанный ниже.2 \) домен представляет собой набор всех действительных чисел, а диапазон - только неотрицательные действительные числа.

    Domain = \ ((- \ infty, \ infty) \) и Range = \ ((0, \ infty) \)

    Мы определяем функцию \ (f: \ mathbb {R} - {0} \ rightarrow \ mathbb {R} \) как \ (f (x) = \ dfrac {1} {x} \).

    Заполните приведенную ниже таблицу.

    \ (х \) -2 -1,5 –1 -0.5 0,25 0,5 1 1,5 2
    \ (y = \ dfrac {1} {x} \)

    Найдите домен и диапазон функции.

    Решение

    Дополним данную таблицу, найдя значения функции при заданных значениях \ (x \).

    \ (х \) -2 -1,5 –1 -0,5 0,25 0,5 1 1,5 2
    \ (y = \ dfrac {1} {x} \) -0.5 -0,67 -1 -2 4 2 1 0,67 0,5

    Нарисуем график функции.

    Из графика мы можем заметить, что область определения и диапазон функции - все действительные числа, кроме 0.

    Итак, домен и диапазон \ (f (x) = \ dfrac {1} {x} \) - это \ (\ mathbb {R} / \ {0 \} \).

    Г-жа Эми попросила своих учеников найти диапазон и область применения функции, указанной на доске.

    Можете определить то же самое?

    Решение

    Сначала мы установим знаменатель равным 0, а затем решим относительно \ (x \).

    \ [\ begin {align *} 3 -x & = 0 \\ -x & = -3 \\ x & = 3 \ end {align *} \]

    Следовательно, мы исключим \ (3 \) из домена.

    Итак, домен - это набор действительных чисел \ (x \), где \ ((x <3) \) и \ ((x> 3) \)

    Давайте найдем диапазон \ (y = \ dfrac {x + 1} {3-x} \)

    Решим данное уравнение относительно \ (x \)

    \ [\ begin {align} (3-x) y & = x + 1 \\ [0,2 см] 3y-xy & = x + 1 \\ [0,2 см] 3y-1 & = x + xy \\ [0,2 см] x (1 + y) & = 3y-1 \\ [0,2 см] x & = \ dfrac {3y-1} {1 + y} \ end {align} \]

    Окончательное уравнение представляет собой дробь, а дробь НЕ определяется, если ее знаменатель равен нулю.Итак

    \ [\ begin {align} 1 + y & \ neq 0 \\ [0,2 см]
    y & \ neq-1 \ end {align} \]

    Следовательно, диапазон данной функции - это набор всех действительных чисел, исключая -1

    Домен = \ ((- \ infty, 3) \ cup (3, \ infty) \), Range = \ ((- \ infty, -1) \ cup (-1, \ infty) \)

    Интерактивные вопросы

    Вот несколько занятий для вас.

    Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.


    Подведем итоги

    Этот мини-урок был посвящен увлекательной концепции домена и диапазона функции. Математическое путешествие по домену и диапазону функции начинается с того, что студент уже знает, и переходит к творческому созданию новой концепции в молодых умах. Сделано таким образом, чтобы не только было понятно и легко понять, но и навсегда осталось с ними.В этом заключается магия Куэмат.

    Мы надеемся, что вам понравилось изучать определение домена и диапазона, домен и диапазон графика, уравнение домена и диапазона, домен и диапазон тригонометрических функций, домен и диапазон экспоненциальной функции, а также примеры домена и диапазона.

    О компании Cuemath

    В Cuemath наша команда экспертов по математике стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!

    Благодаря интерактивному и увлекательному подходу к обучению-обучению-обучению учителя исследуют тему со всех сторон.

    Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любые другие формы отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и интеллектуальный подход к обучению.


    Часто задаваемые вопросы о домене и диапазоне функций

    1. Каков диапазон в функции?

    Диапазон функции - это набор всех выходных сигналов, которые может выдавать функция.

    2. Как вы пишете домен и диапазон?

    Мы пишем область определения функции, находя набор всех возможных входов для функции.

    Мы записываем диапазон функции, находя набор всех выходных данных, которые может дать функция.

    3. Каков естественный домен и диапазон функции?

    Естественный домен функции - это набор всех возможных входов для функции.

    Диапазон функции - это набор всех выходных сигналов, которые может выдавать функция.

    4. Каковы область определения и диапазон постоянной функции?

    Пусть постоянная функция равна \ (f (x) = k \).

    Область определения постоянной функции задается \ (\ mathbb {R} \), то есть набором действительных чисел.

    Диапазон постоянной функции задается одноэлементным набором \ ({k} \).

    5. Как алгебраически найти область определения и диапазон функции?

    Пусть функция будет \ (y = f (x) \).

    Чтобы вычислить область определения функции алгебраически, мы просто решаем уравнение, чтобы определить значения независимой переменной \ (x \).

    Чтобы вычислить диапазон функции алгебраически, мы просто выражаем \ (x \) как \ (x = g (y) \), а затем находим область определения \ (g (y) \).

    6. Как найти область определения и диапазон уравнения?

    Чтобы найти область, мы просто решаем уравнение \ (y = f (x) \), чтобы определить значения независимой переменной \ (x \).

    Чтобы вычислить диапазон функции, мы просто выражаем \ (x \) как \ (x = g (y) \), а затем находим область определения \ (g (y) \).

    7. В чем разница между доменом и диапазоном функции?

    Область функции - это набор всех возможных входов для функции.

    Диапазон функции - это набор всех выходных сигналов, которые может выдавать функция.

    8. Какова область и диапазон отношений?

    Пусть \ (R \) будет отношением непустого множества \ (A \) к непустому множеству \ (B \).

    Набор первых элементов в порядковых парах в отношении \ (R \) называется областью.

    Набор вторых элементов в парах порядка в отношении \ (R \) называется диапазоном.

    Ваш комментарий будет первым

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *