Построение графика с асимптотами онлайн: Исследование функции и построение графика

Исследование функций и построение графиков

1. Математический анализ

Курс лекций
Составил доцент кафедры ВМ
к.п.н. Гринева Т.В.

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ § 8. Признаки возрастания и убывания функции

Теорема 1 (признак монотонности функции).
Пусть
функция
f(x)
дифференцируема
на
отрезке
[a,b]
и
f ( x ) 0 ( f ( x ) 0 ) x [ a,b ] , причем обращается в ноль конечное число раз.
Тогда функция f(x) – возрастающая (убывающая) на отрезке [a, b].
Доказательство проведём, например, для случая f ( x ) 0 . Возьмём любые
два числа x1, x2 [a, b]: x1 < x2 . Для дифференцируемой функции f(x) на
[x1, x2] можно записать формулу Лагранжа: f ( x2 ) f ( x1 ) f ( c )( x2 x1 ) , где
c ( x1 , x 2 ). Так как x2 x1 0 , f ( c ) 0 (по условию), то f ( x2 ) f ( x1 ) 0 или
f ( x1 ) f ( x2 ) , т.е функция не убывает. Доказательство для случая f ( x ) 0
аналогично.
Замечание.
Аналогично
предыдущему
доказывается,
что
если
f ( x ) 0 ( f ( x ) 0 ) x [a,b ] , то функция f(x) возрастает (убывает) на отрезке
[a, b].

3. § 9. Экстремум функции

Опр.: Точка x0 называется точкой локального максимума
(локального
минимума) функции f(x), если существует окрестность ( x0 ) точки x0, что для
любой
точки
x
из
этой
окрестности
выполнено
условие
f ( x0 ) f ( x ) ( f ( x0 ) f ( x )) .
Слово «локальный» подчеркивает, что
f ( x0 ) является наибольшим
(наименьшим) среди значений функции лишь в точках x, близких к x0.
Очевидно, функция может иметь несколько локальных максимумов и
минимумов, причём может оказаться, что иной локальный максимум окажется
меньше какого–то локального минимума.
На рисунке изображён график функции
Y
y = f(x), у которой x1 и x3 – точки
локального максимума, x2 и x4 – точки
локального минимума. Минимум функции в
точке x4 больше её максимума в точке x1.
Для обозначения локального максимума
0
x1
x2
x3 x4
X
или минимума используют объединяющий
их термин – локальный экстремум. В
дальнейшем слово «локальный» будем опускать.
Теорема 2 (необходимый признак существования экстремума).
Если функция f(x) имеет в точке x0 экстремум и в этой точке
существует производная, то эта производная обращается в нуль, т.е.
f ( x0 ) 0.
Доказательство. Пусть для определённости x0 – точка максимума. Тогда
для всех малых по модулю x справедливо неравенство f ( x0 ) f ( x0 x ) или,
что то же, f f ( x0 x ) f ( x0 ) 0.
f
f
f
Тогда
0
0 при x 0 и
0 при x 0. Поэтому f ( x0 0 ) lim
x 0 0 x
x
x
f
, f ( x0 0 ) lim
0. Так как f ( x0 ) существует, то f ( x0 0 ) f ( x0 0 ),
x 0 0 x
отсюда f ( x0 ) 0 , что и требовалось.
Геометрически это означает, что касательная к графику функции,
соответствующая точке экстремума (если она существует), параллельна оси
OX.
Аналогичное доказательство для случая минимума.
Замечание. Теорема, обратная рассмотренной, неверна: необходимый
признак экстремума не является достаточным. Например, для функции
f ( x ) x 3 её производная f ( x ) 3x 2 обращается в нуль при x = 0, однако,
точка x = 0 не является точкой экстремума.
Итак, точками возможного экстремума (точками, подозрительными на
экстремум) являются критические точки 1–го рода. Рассмотрим
достаточные условия того, что критическая точка 1–го рода является точкой
экстремума.
Теорема 3 (1–й достаточный признак существования экстремума).
Пусть функция f(x) непрерывна в некоторой окрестности U ( x0 ) точки x0
и дифференцируема в каждой её точке, за исключением, быть может, точки
x0. Если при переходе через точку x0 от меньших значений аргумента к
большим («слева направо») производная меняет знак c «+» на « », то x0
точка максимума, если с « » на «+», то x0 точка минимума.
Доказательство. Пусть f ( x ) при переходе через точку x0 меняет знак c
«+» на « », т.е. f ( x ) 0 при x0 < x < x0 и f ( x ) 0 при x0 < x < x0 + .
Тогда по формуле Лагранжа для любой точки
x U ( x0 ) имеем
f ( x ) f ( x0 ) f ( c )( x x0 ), где с лежит между x и x0.
Если x ( x0 , x0 ) , то f ( c ) 0 , x – x0 > 0, поэтому f ( x ) f ( x0 ) 0. Если
то
поэтому
Итак,
x ( x0 , x0 ),
f ( c ) 0, x x0 0,
f ( x ) f ( x0 ) 0.
x U ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) 0, а это означает, что точка x0 точка максимума.
Доказательство случая перемены знака f ( x ) c « » на «+» аналогично.
Алгоритм исследования функции y f ( x ) на монотонность и экстремум
1. Область определения – D( y ) ;
2. Найти производную y f ( x )
3. Найти критические точки, т. е. значения x , при которых
f ( x ) 0 или f ( x ) не существует.
4. По схеме определить промежутки возрастания и убывания функции, точки
экстремума ( xmin и x max ), посчитать соответствующее значение функции
ymin y ( xmin ) и ymax y ( xmax ) .
x max
xmin
f ( x )
f ( x)
Пример. Исследовать функцию
f ( x ) 2 x 3 3 x 2 на
экстремум.
Функция определена и непрерывна при всех x.
Производная
монотонность
и
2 13
1 3 x
f ( x ) 2 3 x 2 3
не существует в точке x1 = 0 и
3
x
обращается в нуль, если 1 3 x 0 , т. е. при x2 = 1. Отметим эти точки на
числовой оси и определим знак f ( x ) на полученных интервалах.
f /(x) «+» 1
« »
0
«+»
X
f (x)
Нетрудно убедиться, что lim f ( x ) (касательная к графику функции в его
x 0
точке О(0; 0) вертикальна).
Итак, функция возрастает на промежутках
1; 0 . Точка x2 = 1
; 1 ; 0; ,
убывает при
точка максимума, при этом максимум функции f( 1) = 1;
точка x1 = 0 точка минимума, минимум функции f(0) = 0.
Теорема 4 (2–й достаточный признак существования экстремума).
Если f(x) – дважды непрерывно дифференцируемая функция в некоторой
окрестности точки x0 и если f ( x0 ) 0, а f ( x0 ) 0, то x0 является точкой
экстремума. При f ( x0 ) 0 точка x0 точка максимума, при f ( x0 ) 0 точка
x0 точка минимума.
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию
x 4 2 x 3 3x 2
f( x)
5 с
4
3
2
помощью 2–го достаточного признака.
Вычислим f ( x ) и найдём критические точки 1–го рода:
f ( x ) x 3 2 x 2 3x, x 3 2 x 2 3x 0, x( x 2 2 x 3 ) 0 .
Полученное уравнение даёт три корня (три критические точки):
x1 1, x2 0, x3 3. Вычислим f ( x ) ( x 3 2 x 2 3x ) 3x 2 4 x 3. Определим
знак f ( x ) в каждой критической точке:
f ( 1 ) 4 0 , f ( 0 ) 3 0 , f ( 3 ) 12 0. Следовательно, x1= 1 точка
53
значение минимума; x2 = 0 точка максимума, f(0) =
12
25
5 значение максимума; x3 = 3 точка минимума, f ( 3 )
значение
4
минимума, f ( 1 )
минимума.

10. § 10. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

Опр.: График дифференцируемой функции y f ( x ) называется выпуклым
(выпуклым вверх) на интервале ( a,b ) , если график на этом промежутке
расположен ниже касательной, проведённой к графику этой функции в любой
точке x ( a,b ) .
Если же на интервале ( a,b ) график функции y f ( x )
располагается выше любой касательной, проведённой к графику этой функции,
то его называют вогнутым (выпуклым вниз).
Y
y=f(x)
f(x0)
0 a
x0
b
На рисунке график функции
y f(x)
является вогнутым на интервале ( a, x0 ) и
выпуклым на интервале ( x0 ,b ) .
Опр.: Точка ( x0 , f ( x0 )) графика функции
y f ( x ) называется точкой перегиба, если она
X разделяет выпуклую и вогнутую части графика.
Теорема 5 (необходимый и достаточный признак выпуклости и вогнутости).
Пусть функция f ( x ) дважды непрерывно дифференцируема на ( a,b ) .
Тогда верно утверждение: график функции f ( x ) выпуклый (вогнутый) на
( a,b ) f ( x ) 0 f ( x ) 0 x ( a,b ) .
Теорема 6 (необходимый признак существования точки перегиба).
Пусть точка x0 , f ( x0 ) – точка перегиба графика дважды непрерывно
дифференцируемой функции f ( x ) , тогда f ( x0 ) 0 .
Доказательство. Допустим, например, что при x x0 график вогнут, т.е.
f ( x ) 0 , а при x x0 – выпуклый, т.е. f
//
( x ) 0 . Тогда, т.к. f ( x ) по условию
непрерывная функция, из условия f ( x0 0 ) f ( x0 0 ) f ( x0 ) следует, что
f ( x0 ) 0 , что и требовалось доказать.
Замечание. График функции может иметь точку перегиба и при x x0 таком,
что f ( x0 )
не существует, поэтому возможными точками перегиба
(«подозрительными на перегиб») являются точки, где вторая производная или
равна нулю, или не существует. Такие точки называют критическими точками
2–го рода. Заметим, что не всякая такая точка является точкой перегиба.
Y
f(x0)
y=f(x)
0
x0
X
Например, для функций y x 3 и y x 4 вторые
x 0
y 6 x
производные
и
при
y 12 x 2
обращаются в нуль. При этом точка (0, 0) для
графика функции y x 3 является точкой перегиба, а
для графика функции y x 4 не является.
Теорема 7 (достаточный признак существования точки перегиба).
Пусть функция f ( x ) определена в окрестности критической точки 2–го
рода x x0 и дважды непрерывно дифференцируема (хотя бы в проколотой
окрестности точки x0 ). Если f ( x ) меняет знак при переходе через x0 , то
x0 , f ( x0 )
– точка перегиба.
Доказательство. Если f ( x ) при переходе через x x0 сменила знак, то это
означает, что с одной стороны от x0 график функции f ( x ) выпуклый, а с
другой вогнутый, т.е. при x x0 произошёл перегиб графика.
Алгоритм исследования графика функции y f ( x ) на выпуклость вверх и
вниз, точки перегиба
1. Область определения – D( y ) ;
2.
3.
4.
5.
Найти производную y f ( x )
Найти вторую производную y f ( x )
Найти точки, в которых f ( x ) 0 или f ( x ) не существует.
По схеме определить множество значений x , при которых график функции
выпуклый вверх, вниз и точки перегиба.
xï
f ( x )
f ( x)
Пример. Исследовать на выпуклость и вогнутость, найти точки перегиба
графика функции f ( x ) 2 | x 5 1 | .
● Используя определение модуля, данную функцию можно записать в виде:
5
1 x , x 1
.
f( x)
5
3 x , x 1
4
5x , x 1
Заметим, что функция непрерывна x R . Вычислим f ( x )
.
4
5
x
,
x
1
x 1
f ( x )
При
производная
не
существует,
так
f ( 1 0 ) 5 f ( 1 0 ) 5 , поэтому, f ( 1 ) также не существует.
как
3
20 x , x 1
При x 1 имеем f ( x )
.
3
20
x
,
x
1
Итак, критические точки 2–го рода: x1 0
(так как f ( 0 ) 0 ) и x 2 1 (так как f ( 1 ) не
сущест-вует). Отметим эти точки на числовой оси. В каждом из полученных
//
Знак f (x) « » 0 «+» 1
« » X
интервалов определим знак f . Например,
f ( 1 ) 20 0 f ( x ) 0 x ( ; 0 ) ;
На интервале ( ; 0 ) график выпуклый, на ( 0; 1 ) – вогнутый, на ( 1; ) –
выпуклый. Точки A ( 0; 1 ) и B ( 1; 2 ) – точки перегиба. Заметим, что точка B –
угловая точка графика.

16. §11. Асимптоты графика функции

При исследовании поведения функции на бесконечности, т.е. при x ,
или вблизи точек разрыва 2–го рода, часто оказывается, что график функции
сколь угодно близко приближается к той или иной прямой. Такие прямые
называют асимптотами. Дадим строгое определение.
Опр.: Прямая L : Ax By C 0 называется асимптотой графика функции
y f ( x ) , если расстояние d от точки M x, f ( x ) графика до этой прямой L
(измеряемое по перпендикуляру к L ) стремится к нулю при неограниченном
удалении этой точки графика от начала координат.
Обычно, отдельно рассматривают
вертикальные асимптоты ( x a – вертикальная прямая) ;
наклонные асимптоты ( L : y kx b – наклонная прямая). Частный случай
L : y b ( k 0 ) будет соответствовать горизонтальной асимптоте.
Теорема
8
(необходимый и достаточный признак существования
вертикальной асимптоты).
Прямая L : x a является вертикальной асимптотой графика функции
тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из соотношений:
lim f ( x ) , lim f ( x ) .
x a 0
Y
d M(x,f(x))
y=f(x)
x=a
0
a
X
x a 0
Доказательство. Любое из четырёх указанных
соотношений означает, что если x a каким–либо
способом, то f ( x ) , т.е. расстояние от точки
M x, f ( x ) графика функции до начала координат
неограниченно возрастает. Условие x a означает, что
расстояние d x a между точкой M и прямой L : x a
стремится к нулю. Всё это говорит о том, что x a –
асимптота.
На рисунке показан случай, когда
lim f ( x ) .
x a 0
Замечание. Теорема 8 показывает, что наличие вертикальных асимптот у
графика функции y f ( x ) тесно связано с наличием точек разрыва 2–го рода у
функции f ( x ) .
Пример. Найти вертикальные асимптоты графика функции
f( x)
x3
2( x 1 )2
.
● Данная функция имеет единственную точку разрыва x1 1 (значение
f ( 1 ) не определено). Так как
1
0 , то прямая x 1 –
x 1 2( x 1 )2
lim
x3
единственная вертикальная асимптота.
Пример. Найти вертикальные асимптоты графика функции
f( x)
x
1 x
2
.
● Данная функция определена и непрерывна на интервале ( 1; 1 ) , т.е. не
имеет точек разрыва. Но
lim
x 1 0
1
f( x)
,
0
1
lim f ( x )
, поэтому
x 1 0
0
прямая x 1 является правосторонней вертикальной асимптотой (точки
графика расположены только справа от этой асимптоты), а прямая x 1
является
левосторонней
вертикальной
асимптотой
(точки
графика
расположены только слева от этой асимптоты). Отметим, что в примере
прямая x 1 – двусторонняя вертикальная асимптота.
Теорема 9 (необходимый и достаточный признак существования наклонной
асимптоты).
Прямая L : y kx b является наклонной асимптотой графика функции
y f ( x ) тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы:
y f(x) L
Y
M(x,f(x)
y kx+b
N
0
k lim
P
x
X
x
f(x)
,
x
b lim f ( x ) kx .
x
Доказательство проведём только для случая
(случай
правосторонней
наклонной
x
асимптоты).
Расстояние от точки M графика функции y f ( x )
до асимптоты L изображается отрезком MN . Так как
NMP ( L,OX ) , то MN MP cos ,
где точка P( x; kx b ) L . Имеем
MP f ( x ) ( kx b ) и cos 0 .
Итак, L : y kx b – правосторонняя наклонная асимптота ( M N 0 при
x ) ( MP 0 при x )
lim f ( x ) kx b 0 b lim f ( x ) kx .
x
x
b
f ( x ) kx
f(x)
f(x)
.
k 0 , то k lim
lim
lim
x
x x
x
x
x
x
x
Так как lim
Если будут существовать соответствующие пределы при x , то прямая
будет
левосторонней
наклонной
асимптотой.
Если
L : y kx b
рассматриваемые пределы как при x , так и при x дадут одинаковые
результаты k и b , то прямая L : y kx b будет двусторонней наклонной
асимптотой (при x ).
Замечание. Если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен,
то наклонной асимптоты нет.
ex
Пример. Найти асимптоты графика функции y
.
x
● Функция определена и непрерывна при всех x , за исключением x 0
ex
( x 0 – точка разрыва). Так как lim
, то прямая с уравнением x 0 (ось
x 0 0 x
OY ) – вертикальная асимптота (двусторонняя).
Ищем наклонные асимптоты в виде y kx b :
y
ex
k lim
lim 2
x x
x x
правило Лопиталя
правило Лопиталя
ex
lim
.
x 2
ex
lim
x 2 x
Так как
k ,
то правой
наклонной асимптоты нет. Ищем левостороннюю наклонную асимптоту:
y
e x 0
k lim
lim 2
0 ,
x x
x x
ex
e x 0
b lim ( y kx ) lim
0 x lim
0 .
x
x x
x x
Коэффициенты k и b найдены, поэтому прямая y kx b 0 x 0 0 , т.е. y 0
(ось OX ) является левосторонней асимптотой (горизонтальной, частный
случай). Проведённое исследование знака числа b говорит о том, что график
функции асимптотически приближается к оси OX снизу.

22. §12. План полного исследования функции и построения её графика

Исследование функции и построение её графика рекомендуется проводить
по следующей схеме.
1) Найти область определения функции.
2) Исследовать функцию на четность/нечетность. При наличии свойства
можно исследовать функцию и строить график для x 0 . После добавить
график, отображая симметрично относительно оси OY /начала координат
соответственно.
3) Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва функции и
её односторонние пределы в этих точках. Сделать вывод о наличии
вертикальных асимптот.
4) Исследовать функцию на наличие наклонных асимптот.
5) С помощью производной первого порядка найти промежутки возрастания и
убывания, точки экстремума, экстремумы функции.
6) С помощью производной второго порядка найти промежутки выпуклости и
вогнутости графика функции, точки перегиба.
7) Найти точки пересечения графика с координатными осями (если
технически не сложно).
8) Используя результаты исследования, построить график функции.

23. § 13. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Если функция y f ( x ) непрерывна на отрезке [ a,b ] , то она достигает на
нем наибольшего и наименьшего значения.
Рассмотрим вопрос об отыскании наибольшего значения M и наименьшего
значения m функции y f ( x ) , заданной на отрезке [ a,b ] , непрерывной на
этом отрезке и имеющей конечное множество критических точек 1–го рода.
Алгоритм исследования функции y f ( x ) на наибольшее и наименьшее
значение на отрезке a , b
1. Область определения – D( y ) ; убедиться, что функция непрерывна на
отрезке a , b ;
2. Найти производную y f ( x ) ;
3. Найти критические точки, т. е. значения x , при которых f ( x ) 0 или
f ( x ) не существует. Оставить только те, которые принадлежат интервалу
a, b ;
4. Посчитать значение функции в точках, найденных в п.3 и на концах отрезка,
т.е. y ( xкр ) , y (a ) , y (b) . Выбрать среди полученных значений самое большое и
самое маленькое.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=2×3 3×2+1
на отрезке [ 1; 2].
● 1) Ищем критические точки 1–го рода заданной непрерывной функции:
f /(x) = 6×2 6x; f /(x) = 0 6×2 6x = 0 x(x 1) = 0 x1 = 0, x2 = 1 –
критические точки, обе внутри отрезка [ 1; 2].
2) Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
f( 1) = 4; f(0) = 1; f(1) = 0; f(2) = 5.
3) Так как самое большое из этих чисел равно 5, а самое малое равно
( 4), поэтому наибольшее значение M = f(2) = 5 (достигается при x = 2, т.е. на
правом конце отрезка), наименьшее значение m = f( 1) = 4 (достигается при
x = 1, т.е. на левом конце отрезка).
Замечания.
1. Если непрерывная функция f(x) на отрезке [a,b] возрастает (убывает), то
m = f(a), M = f(b) (m = f(b), M = f(a)).
2. Пусть непрерывная функция f(x) на отрезке [a,b] имеет только один
экстремум f(x0), x0 (a,b). Если в этой точке функция имеет максимум
(минимум), то без сравнения с граничными значениями ясно, что M = f(x0) (m =
f(x0)).
Важно подчеркнуть, что сказанное можно применить и к открытому
промежутку (a,b), а также к бесконечному промежутку.
К задачам рассмотренного типа приводятся многие практические задачи.
Особенностью таких задач является то, что не задана функция, подлежащая
исследованию. Поэтому, вначале следует, исходя из условий задачи, выбрать
независимую переменную и выразить исследуемую величину через эту
переменную (т.е. задать функцию аналитически). При этом, промежуток
изменения независимой переменной, который может быть конечным или
бесконечным (т.е. область определения функции), также следует определить из
условия задачи.
А
a
А1 x
С
h
D
b
с
B
Пример. Выбрать место для постройки моста
через реку, чтобы длина дороги между двумя
пунктами A и B, расположенными по разные
стороны от реки, была наименьшей.
● Сделаем схематический план местности вблизи
указанных в условии объектов. Расстояния a, b, c и
h считаем известными постоянными величинами.
Если мост построен в указанном на рисунке
месте, то длина дороги между пунктами A и B будет
равна L = AC + h + DB. Выбрав за независимую
переменную x расстояние A1C, получим
AC a 2 x 2 , DB b 2 ( c x )2 .
Итак, исследуемая функция
L L( x ) a 2 x 2 h b 2 ( c x )2 ,
где x [0, c], что очевидно. Требуется найти наименьшее значение этой
непрерывной функции на отрезке [0, c].
L L( x ) a 2 x 2 h b 2 ( c x )2
Найдём производную L/(x) и критические точки 1–го рода, лежащие внутри
отрезка [0, c]:
L ( x )
x
a x
2
c x
2
b (c x )
2
2
x b 2 ( c x )2 ( c x ) a 2 x 2
(a x ) b (c x )
2
2
2
2
;
L/ ( x ) 0 x b 2 ( c x )2 ( c x ) a 2 x 2
x 2 b2 ( c x )2 ( c x )2 a 2 x 2 b 2 x 2 a 2 ( c x )2 bx a( c x ) ,
т.к. x [0, c]. Поэтому, x x0
внутри [0, c], так как x0
ac
– единственная критическая точка 1–го рода
a b
a
c c , а других критических точек нет.
a b
Рассматриваемая функция L(x) при x = x0 имеет минимум, потому что
L/(x0) = 0, а L ( 0 )
c
b c
2
2
0 , L ( с )
c
a c
2
2
0 . Согласно тому, что это
единственный экстремум, делаем вывод: при x
наименьшее значение.
ac
функция
a b
L(x) имеет
L L( x ) a 2 x 2 h b 2 ( c x )2
Итак, чтобы длина дороги между двумя пунктами, расположенными по
разные стороны от реки, была наименьшая, следует строить мост в том месте,
где расстояние A1C
ac
. При этом, длина дороги
a b
2
ac
L( x0 ) a
h
b
c
( a b )2 c 2 h .
2
a b
(a b)
2
a 2c2
2
c
2
Заметим, что при a = b мост нужно строить на расстоянии A1C .

Асимптоты. Построение эскизов графиков — презентация онлайн

Похожие презентации:

Асимптоты графика функции. Построение эскизов графиков

Исследование функции и построение графика

Асимптоты графика функции

Асимптоты графика функции

Исследование функции и построение графиков

Исследование и построение графиков функции

Асимптоты графика функции

Исследование функций и построение графиков

Схема исследования функций и построение графиков

Исследование функций и построение графиков с помощью производной

2
1
y
D(y) : x 2
x 2
Определение:
прямая вида x=a называется
вертикальной асимптотой для y=f(x), если
lim f(x)
x a 0
x2 x 1
y 2
x x 1
1
Определение: прямая вида y=b
называется горизонтальной асимптотой,
если lim f ( x ) b
x
2
x2 4x 5
y
x 2
Определение:
прямая вида
y=kx+b
называется
наклонной
асимптотой,
если для y=f(x)
lim f(x) (kx b) 0

x
Примечания:
1. Вертикальные асимптоты существуют в точках
разрыва функции.
2. У дробно-рациональной функции горизонтальные
асимптоты существуют, если степень числителя меньше или
равна степени знаменателя.
3. У дробно-рациональной функции наклонная асимптота
существует, если степень числителя больше, чем степень
знаменателя.
4. Для более точного построения эскиза нужно найти:
•промежутки знакопостоянства функции
•нули функции
•точки пересечения графика с осями (по возможности) и
с асимптотами

7. Области существования графика на координатной плоскости.

x 2
y 2
x 2x 8
-4
—
+
-2
2
+
Если y>0, то график
расположен выше
оси ОХ
Если y<0, то график
расположен ниже
оси ОХ
-4
-2
2
Нахождение асимптот и построение эскизов графиков
1
y 2
x 2x 3
x 3
D( y ) :
x 1
+
-3
1
+
—
1
x 3 0 x 2 2 x 3
lim
-3
1
1
2
x 3 0 x 2 x 3
1
lim
x 1 0 x 2 2 x 3
lim
1
lim 2
lim 2 1
0
x 1 0 x 2 x 3
x x 2 x 3
x=-3 и x=1вертикальные
асимптоты
y=0- горизонтальная
асимптота
Для более точного построения возьмем контольные
точки:
x=2
x=0
x=-4
y=1/5
y=-1/3
y=1/5
Нахождение асимптот и построение эскизов графиков
9 x2
y 2
x 2x 3
D ( f ) : x R,
вертикальных асимптот нет
Горизонтальная асимптота y=-1.
x2 2x 3
y 4
x 5x 2 4
x=2, x=1, x=-2
Вертикальные
асимптоты
y=0 – горизонтальная
асимптота
Нахождение асимптот и построение эскизов
графиков
x3 x
y 2
x 2x 2
D( f ) : x R
Вертикальных
асимптот нет.
x3 x
lim 2
x x 2 x 3
Горизонтальных
асимптот нет.
Наклонная
асимптота y=x+2
При x=4/3 график
y=f(x) пересекает
y=x+2 в точке у=3 1/3
Нахождение асимптот и построение эскизов графиков
x2 2x
y
x 2
Вертик. асимптота x=2
Нуль функции x=-2
Горизонт. асимптот нет
-2
Наклонная асимптота
y=x+4
Найдем Е(y):
y ( ;6 4 2 6 4 2 ;
2
Задачи для самостоятельного решения
y
x
x2 2x 3
y
x4 2×2 3
x4 5×2 4
Задачи для самостоятельного решения
x4 2×2 3
y 4
x 5×2 4
Задачи для самостоятельного решения
x4 5×2 4
y
x3 9 x
y
x4 5×2 4
x3 9 x
Задачи для самостоятельного решения
x 3
y 4
x 5×2 4
Задачи для самостоятельного решения
x3 3x
y 2
x x 2
y
x3 3x
x2 x 2
Литература:
1. Богомолов Н.В. «Практические занятия по
математике», М. «Просвещение»2010
2. А.Х.Шахмейстер «Построение графиков функции
элементарными методами»,Издательство
Московского университета, МЦНМО,2003

English     Русский Правила

Калькулятор асимптот

Калькулятор асимптот

Искатель асимптот — это онлайн-инструмент для вычисления асимптот рациональных выражений. Найдите все три горизонтальные, вертикальные и наклонные асимптоты с помощью этого калькулятора.

Пользователь получает все возможные асимптоты и построенный график для определенного выражения.

Что такое асимптоты?

Асимптоты — это сближающиеся линии на декартовой плоскости, которые не соответствуют рациональному выражению дублера.

Глядя на их график, можно предположить, что они в конце концов встретятся, но это неверно (кроме горизонтального). Асимптоты сходятся к рациональному выражению до бесконечности.

См. другой подобный инструмент, калькулятор пределов.

Типы асимптот

Асимптоты подразделяются на три типа в зависимости от их наклона или приближения.

1. Горизонтальные асимптоты перемещаются вдоль горизонтальной оси или оси x. Линия может существовать как сверху, так и снизу асимптоты.

Горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот и показывают, как ведет себя линия по мере приближения к бесконечности. Они могут пересекать линию рационального выражения.

2. Вертикальные асимптоты , как вы можете сказать, движутся вдоль оси Y. В отличие от горизонтальных асимптот, они никогда не пересекают прямую. Но они также встречаются как в левом, так и в правом направлении.

3. Последний тип наклонный или наклонный асимптоты. Он имеет некоторый уклон, отсюда и название. Эта асимптота представляет собой линейное уравнение со значением, равным y=mx+b.

Это объясняет основные определения типов асимптоты. Теперь давайте научимся определять все эти типы.

Заметьте , что рациональное выражение может не иметь сходящейся к нему асимптоты.

Как найти асимптоты?

Попробуйте использовать указанный выше инструмент в качестве калькулятора горизонтальных, вертикальных и наклонных асимптот. Но есть некоторые приемы и советы по ручной идентификации.

Мы изучим их процесс один за другим.

Горизонтальные асимптоты:

Рациональное выражение может иметь одну, нулевую горизонтальную асимптоту или вообще не иметь ее. Чтобы узнать, какие из упомянутых ситуаций существуют, сравнивают числитель и знаменатель.

Два случая, когда асимптота существует горизонтально:

Случай 1 (Больший знаменатель):

Когда знаменатель рационального выражения в градусах больше, чем числитель. Другими словами, когда дробь правильная, асимптота приходится на y=0. То есть по оси х.

Учтите, что у вас есть выражение x+5 / x ² + 2. При сравнении числителя и знаменателя знаменатель оказывается большим выражением.

Это означает, что асимптота этого выражения приходится на y=0 .

Случай 2 (равные степени):

Рациональное выражение с равными степенями числителя и знаменателя имеет одну горизонтальную асимптоту.

Чтобы узнать, где находится эта асимптота, решаются старшие коэффициенты верхнего и нижнего выражений.

Пример этого случая: (9x ³ + 2x — 1) / 4x ³ . Как видите, высшая степень обоих выражений равна 3. Выделите коэффициент этой степени и упростите.

Горизонтальная асимптота приходится на 9/4 .

Если ни одно из этих условий не выполняется, горизонтальной асимптоты нет.

Наклонная/наклонная асимптота:

Наклонные асимптоты легко идентифицировать, но довольно сложно рассчитать. Единственный случай, когда рациональное выражение остается, это когда степень числителя выше знаменателя.

Опять же, есть две возможности.

Случай 1 (на один градус выше): 

Если числитель превышает знаменатель на один градус, то существует наклонная асимптота. Например, если степень числителя равна 6, а знаменатель имеет степень 5, то будет иметь место асимптота.

Так как наклонные асимптоты имеют линейное уравнение, процесс немного отличается от горизонтальной асимптоты. Выполните полиномиальное длинное деление выражения.

Во время этого расчета игнорируйте остаток и сохраняйте частное. См. пример ниже.

Пример:

Решите (2x ² + 7x + 4) / x — 3, чтобы найти наклонную асимптоту.

Частное выражение 2x + 13 является значением y, т.е. y = 2x + 13 .

Случай 2 (более чем на одну степень выше):

Когда числитель превышает знаменатель более чем в одной степени, например, 7x ⁶ / 2x, в таком сценарии наклонная асимптота не возникает.

Вертикальная асимптота:

Не менее сложно определить и вычислить значение вертикальной асимптоты. Вертикальные асимптоты можно найти, ища корни значения знаменателя рационального выражения.

Значение корней — это то место, где будет проведена вертикальная асимптота. Вы можете найти одну, две, пять или даже бесконечную вертикальную асимптоту (как в tanx) для выражения.

По сути, вам нужно упростить полиномиальное выражение, чтобы найти его множители. Для пояснения смотрите пример.

Пример:

Найдите вертикальные асимптоты для (6x ² — 19x + 3) / (x ² — 36).

Возьмите знаменатель и разложите на множители.

= (х ² — 36)

= х ² — 6х + 6х — 36

= х(х — 6) + 6(х — 6)

= (х — 6)(х + 6)

Предлагается решить и числитель, если какие-либо множители сокращаются. Переходя к последним множителям, мы имеем 6x ² — 19x + 3 = (6x — 1) (x — 3). Поскольку ничто не отменяется, асимптоты существуют при x = 6 и x = -6 .

Калькулятор асимптот

Найдите асимптоты для любого рационального выражения с помощью этого калькулятора. Этот инструмент работает как калькулятор вертикальной, горизонтальной и наклонной/наклонной асимптоты.

Вы можете найти значения асимптот с пошаговыми решениями, а также их графики. Попробуйте также использовать несколько примеров вопросов, чтобы устранить двусмысленность.

Как пользоваться калькулятором асимптот?

Следуйте приведенным ниже инструкциям для работы с этим калькулятором.

1. Внимательно введите рациональное выражение.
2. Подтвердите выражение из окна дисплея.
3. Наконец, нажмите на опцию вычислить .

Сбросьте столько раз, сколько хотите. Первый отображаемый результат — это горизонтальная асимптота, но вы можете нажать « Показать шаги » для вертикальной и наклонной асимптоты вместе с графиком.

Теперь давайте посмотрим, как вы определяете асимптоты, каковы их типы и некоторые другие связанные темы.

Что такое асимптоты?

Определение асимптоты:

«Такая линия, к которой приближается кривая, но не пересекается с кривой. Или встречается с линией, когда кривая приближается к бесконечности».

Звучит как предел!?

Типы:

Существует три типа асимптот:

• В Горизонтальные асимптоты , линия приближается к некоторому значению, когда значение кривой приближается к бесконечности (как положительной, так и отрицательной). lim _x → ± ∞  f(x) = L

• Вертикальная асимптота возникает, когда линия как константа приближается к функции, близкой к бесконечности. lim _x →l f(x) =  ∞

• Это Наклонная асимптота , когда линия приближается к кривой с некоторым наклоном и линейной функцией.

Как найти асимптоты?

Теперь возникает главный вопрос, как найти вертикальную, горизонтальную или наклонную асимптоты. Помимо использования искателя асимптот, вы можете изучить некоторые правила и методы, чтобы вычислить их самостоятельно.

Давайте рассмотрим детали по порядку.

Горизонтальные асимптоты:

Существуют три возможности относительно горизонтальных асимптот для конкретного выражения.

1. Один
2. Ноль
3. Нет.

Поскольку асимптоты существуют только для рациональных выражений (форма p/q), это означает, что всегда есть числитель и знаменатель. Вы можете понять это, сравнив оба термина.

Случай — 1:  

Если верхнее и нижнее значения выражения совпадают (по степени или степени), старшие коэффициенты упрощаются для получения асимптотного значения. Например; у вас есть выражение (2x ² — 3) / ( 7x ² ).

Старшие коэффициенты имеют наивысшую степень степени. В нашем примере это значения 2x ² и 7x ² . Таким образом, разделив их, мы получим 2/7 . И это горизонтальное асимптотическое значение.

Случай — 2:

В случае, когда знаменатель больше числителя (правильная дробь), горизонтальная асимптота приходится на 0 . Это означает, что f(x) приближается к нулю с увеличением значения x .

Например, горизонтальные асимптоты в x / x ² + 1 существуют на нуле.

Случай — 3:

Когда ни одно из вышеперечисленных условий не выполняется, горизонтальная асимптота просто не возникает.

Наклонная асимптота:

Здесь опять два случая; он есть или его нет. Его также можно найти, сравнивая числитель и знаменатель.

Случай — 1:

Когда выражение неправильное и числитель на одну степень больше знаменателя, возникают наклонные асимптоты.

Чтобы найти его значение, вам придется выполнить полиномиальное деление в длину. Не обращайте внимания на остаток в конце. Например, если мы найдем асимптотическое значение для (x ² + 3x + 2) / (x — 2), то мы получим (x + 5) с остатком 12. 

Таким образом, линейное уравнение, к которому кривая приближается к y = x + 5 .

Случай — 2:

В случае, когда числитель больше знаменателя более чем на одну степень, горизонтальная или наклонная асимптота невозможна.

Вертикальная асимптота:

Вертикальные асимптоты рисуются там, где значение нижней функции равно нулю, в корнях. Она может существовать наряду с горизонтальной и наклонной асимптотами. Но важно, чтобы выражение было в самом упрощенном виде.