Построение функции y x – Построение графиков функций онлайн

Функции y=|x|, y=[x],y={x}, y=sign(x) и их графики. Функция f(x)=|x|

Функция $f(x)=|x|$

$|x|$ — модуль. Он определяется следующим образом: Если действительное число будет неотрицательным, то значение модуля совпадает с самим числом. Если же отрицательно, то значение модуля совпадает с абсолютным значением данного числа.

Математически это можно записать следующим образом:

Пример 1

Исследуем и построим её график.

1. $D\left(f\right)=R$.
2. По определению модуля действительного числа, получим, что$E\left(f\right)=[0,\infty )$
3. $f\left(-x\right)=|-x|=|x|=f(x)$. Значит, функция четна.
4. При $x=0,\ y=0$. Точка $\left(0,0\right)$ — единственное пересечение с координатными осями.
5. \[f’\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} {1,x >0,} \\ {-1,xФункция будет возрастать на промежутке $x\in (0,+\infty )$

   Функция будет убывать на промежутке $x\in (-\infty ,0)$

6. Значения на концах области определения.

   \[{\mathop{\lim }_{x\to -\infty } y\ }=+\infty \] \[{\mathop{\lim }_{x\to +\infty } y\ }=+\infty \]
   

   Рисунок 1.

Функция $f(x)=[x]$

Функция $f\left(x\right)=[x]$ — функция целой части числа. Она находится округлением числа (если оно само не целое) «в меньшую сторону».

Пример: $[2,6]=2.$

Пример 2

Исследуем и построим её график.

1. $D\left(f\right)=R$.
2. Очевидно, что эта функция принимает только целые значения, то есть $\ E\left(f\right)=Z$
3. $f\left(-x\right)=[-x]$. Следовательно, эта функция будет общего вида.
4. $(0,0)$ — единственная точка пересечения с осями координат.
5. $f’\left(x\right)=0$
6. Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$.

Рисунок 2.

Функция $f\left(x\right)=\{x\}$

Функция $f\left(x\right)=\{x\}$ — функция дробной части числа. Она находится «отбрасыванием» целой части этого числа.

$\{2,6\}=0,6$

Пример 3

Исследуем и построим график функции

1. $D\left(f\right)=R$.

2. Очевидно, что эта функция никогда не будет отрицательной и никогда не будет больше единицы, то есть $\ E\left(f\right)=[0,1)$

3. $f\left(-x\right)=\{-x\}$. Следовательно, данная функция будет общего вида.

   Пересечение с осью $Ox$: $\left(z,0\right),\ z\in Z$

   Пересечение с осью $Oy$: $\left(0,0\right)$

4. $f’\left(x\right)=0$

5. Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$

   Рисунок 3.

Функция $f(x)=sign(x)$

Функция $f\left(x\right)=sign(x)$ — сигнум-функция. Эта функция показывает, какой знак имеет действительное число. Если число отрицательно, то функция имеет значение $-1$. Если число положительно, то функция равняется единице. При нулевом значении числа, значение функции также будет принимать нулевое значение.

Математически это можно записать следующим образом:

Пример 4

Исследуем и построим график функции

1. $D\left(f\right)=R$.
2. Непосредственно из определения, получим
3. \[\ E\left(f\right)=\left\{-1\right\}\cup \left\{0\right\}\cup \{1\}\]

4. $f\left(-x\right)=sign\left(-x\right)=-sign(x)$. Следовательно, данная функция будет нечетной.

   Пересечение с осью $Ox$: $\left(0,0\right)$

   Пересечение с осью $Oy$: $\left(0,0\right)$

5. $f’\left(x\right)=0$

6. Функция имеет точку разрыва (скачка функции) в начале координат.

   

   Рисунок 4.

spravochnick.ru

Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x)

На этом уроке мы рассмотрим построение модификаций графика вида у = f(k∙x). Вначале мы вспомним, как строится график вида у = m*f(x) и общее правило построения таких графиков. Далее мы рассмотрим построение модификаций графиков вида у = f(k∙x) при k>1 на примере функции синуса и сформулируем правило построения. И рассмотрим построение графиков при 0<k<1. В конце урока мы сформулируем общее правило для построения графиков данной модификации при k>0.

Тема: Тригонометрические функции

Урок: Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x)

Ранее мы рассматривали, как построить график функции  когда на число m умножалась вся функция, при этом необходимо было сжать или растянуть исходную кривую в m раз вдоль оси y.

Теперь вместо аргумента x в функцию подставим аргумент  и исходную кривую необходимо будет в  раз сжать или растянуть вдоль оси x.

Вспомним правило построения графика функции  

Дан график  необходимо получить график функции

	0		0		0
	0		0

interneturok.ru

Построение графиков функций по заданным параметрам»

Цели урока:

• научить строить графики элементарных математических функций с помощью табличного процессора Excel;
• показать возможности использования программы Excel для решения задач по математике;
• закрепить навыки работы с Мастером диаграмм.

Задачи урока:

• образовательная – знакомство учащихся с основными приемами построения графиков функций в программе Excel;
• развивающие – формирование у учащихся логического и алгоритмического мышления; развитие познавательного интереса к предмету; развитие умения оперировать ранее полученными знаниями; развитие умения планировать свою деятельность;
• воспитательные – воспитание умения самостоятельно мыслить, ответственности за выполняемую работу, аккуратности при выполнении работы.

Тип урока:

• комбинированный

Учебники:

Информатика. Базовый курс 2-е издание/Под ред. С.В. Симоновича. — СПб.: Питер, 2004.-640с.:ил.

Технические и программные средства:

• Персональные компьютеры;
• Приложение Windows – электронные таблицы Excel.
• Проектор

Раздаточный материал:

• Карточки с индивидуальными заданиями на построение графиков функций.

План урока.

1. Организационный момент – 3 мин.
2. Проверка домашнего задания –10 мин.
3. Объяснение нового материала –20 мин.
4. Применение полученных знаний –20 мин.
5. Самостоятельная работа. – 20 мин
6. Подведение итогов урока. Домашнее задание – 7 мин.

Ход урока

Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку, отметка отсутствующих, объявление темы и цели урока

Проверка домашнего задания. (фронтальный опрос)

Вопросы для проверки

1. Что представляет собой рабочая область программы Excel?
2. Как определяется адрес ячейки?
3. Как изменить ширину столбца, высоту строки?
4. Как ввести формулу в Excel?
5. Что такое маркер заполнения и для чего он нужен?
6. Что такое относительная адресация ячеек?
7. Что такое абсолютная адресация ячеек? Как она задается?
8. Что такое колонтитулы? Как они задаются?
9. Как задать поля печатного документа? Как изменить ориентацию бумаги?
10. Что такое функциональная зависимость у = f(х)? Какая переменная является зависимой, а какая независимой?
11. Как ввести функцию в Excel?
12. Что такое график функции у = f(х)?
13. Как построить диаграмму в Excel?

Объяснение нового материала.

При объяснении нового материала может быть использован файл Excel с шаблонами задач (Приложение 1), который выводится на экран с помощью проектора

Сегодня мы рассмотрим применение табличного процессора Excel для графиков функций. На предыдущих практических вы уже строили диаграммы к различным задачам, используя Мастер диаграмм. Графики функций, так же как и диаграммы строятся с помощью Мастера диаграмм программы Excel.

Рассмотрим построение графиков функций на примере функции у = sin x.

Вид данного графика хорошо известен вам по урокам математики, попробуем построить его средствами Excel.

Программа будет строить график по точкам: точки с известными значениями будут плавно соединяться линией. Эти точки нужно указать программе, поэтому, сначала создается таблица значений функции у = f(х).

Чтобы создать таблицу, нужно определить

• отрезок оси ОХ, на котором будет строиться график.
• шаг переменной х, т.е. через какой промежуток будут вычисляться значения функции.

Задача 1.Построить график функции у = sin x на отрезке [– 2; 2] с шагом h = 0,5.

1. Заполним таблицу значений функции. В ячейку С4 введем первое значение отрезка: – 2
2. В ячейку D4 введем формулу, которая будет добавлять к лево-стоящей ячейки шаг: = В4 + $A$4

3. Маркером заполнения ячейки D4 заполним влево ячейки строки 4, до тех пор, пока получим значение другого конца отрезка: 2.
4. Выделим ячейку С5, вызовем Мастер функций, в категории математические выберем функцию SIN, в качестве аргумента функции выберем ячейку С4.
5. Маркером заполнения распространим эту формулу в ячейках строки 5 до конца таблицы.

Таким образом, мы получили таблицу аргументов (х) и значений (у) функции у = sin x на отрезке [-2;2] с шагом h = 0,5 :

x	-2	-1,75	-1,5	-1,25	-1	-0,75	-0,5	-0,25	0	0,25	0,5	0,75	1	1,25	1,5	1,75	2
y	-0,9092	-0,9839	-0,9974	-0,9489	-0,8414	-0,6816	-0,4794	-0,2474	0	0,2474	0,4794	0,6816	0,8414	0,9489	0,9974	0,9839	0,9092

6. Следующий шаг. Выделим таблицу и вызовем Мастер диаграмм. На первом шаге выберем во вкладке Нестандартные Гладкие графики.
7. На втором шаге во вкладке Ряд выполним:

В поле Ряд необходимо выделить ряд х и нажать на кнопку “Удалить” (график изменений х нам не нужен. График функции – это график изменения значений у)

В поле Подписи оси Х нажать на кнопку. Выделить в таблице ячейки со значениями х и нажмите на кнопку . Подписи по горизонтальной оси станут такими, как у нас в таблице.

8. На третьем шаге заполним вкладку Заголовки.

9. Пример полученного графика.

На самом деле пока это мало похоже на график функции в нашем привычном понимании.

Для форматирования графика:

• Вызовем контекстное меню оси ОУ. Затем, выберем пункт Формат оси…. Во вкладке Шкала установим: цена основного деления: 1. Во вкладке Шрифт установим размер шрифта 8пт.
• Вызовем контекстное меню оси ОХ. Выберем пункт Формат оси….

Во вкладке Шкала установим: пересечение с осью ОУ установите номер категории 5 (чтобы ось ОУ пересекала ось ОХ в категории с подписью 0, а это пятая по счету категория).

Во вкладке шрифт установите размер шрифта 8пт. Нажмите на кнопку ОК.

Остальные изменения выполняются аналогично.

Для закрепления рассмотрим еще одну задачу на построение графика функций. Эту задачу попробуйте решить самостоятельно, сверяясь с экраном проектора.

Применение полученных знаний.

Пригласить к проектору студента и сформулировать следующую задачу.

Задача 2. Построить график функции у = х³ на отрезке [– 3; 3] с шагом h = 0,5.

1. Создать следующую таблицу: Создать таблица значений функции у = f(х).

2. В ячейку С4 ввести первое значение отрезка: –3
3. В ячейку D4 ввести формулу, которая будет добавлять к лево-стоящей ячейки шаг: = В4 + $A$4
4. Маркером заполнения ячейки D3 заполнить влево ячейки строки 3, до тех пор, пока не будет получено значение другого конца отрезка: 3.
5. В ячейку С5 ввести формулу вычисления значения функции: = С4^3
6. Маркером заполнения скопировать формулу в ячейки строки 5 до конца таблицы.

Таким образом, должна получиться таблица аргументов (х) и значений (у) функции у = х³ на отрезке [–3;3] с шагом h = 0,5:

х	-3	-2,5	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
y	-27	-15,625	-8	-3,375	-1	-0,125	0	0,125	1	3,375	8	15,625	27

7. Выделить таблицу и вызвать мастер диаграмм. На первом шаге выбрать во второй вкладке Гладкие графики.
8. На втором шаге во вкладке Ряд выполнит

urok.1sept.ru

Построение графика функции y=k/x

Глава I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ

Урок. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ у = k/x

Цели: ввести понятие функции обратная пропорциональность; формировать умение строить график этой функции.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Выразите из формулы величину х:

III. Объяснение нового материала.

1. Введение функции обратная пропорциональность (рассмотрение реальных процессов и ситуаций).

Пример 1. Пешеходу надо пройти 12 км. Если он будет идти со скоростью V км/ч, то зависимость времени t, которое он затратит на весь путь, от скорости движения выражается формулой 

Пример 2. Площадь прямоугольника равна 60 см², а одно из его измерений равно а см. Тогда второе измерение можно найти по формуле 

Пример 3. Количество товара m, которое можно купить на одну и ту же сумму денег в 500 р., зависит от его стоимости Р (в рублях). Эта зависимость выражается формулой 

Полученные в примерах формулы выносятся на доску:

— Что общего имеют все данные формулы? Запишите полученные зависимости в общем виде: .

Заметить, что в данной формуле величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, поэтому функцию  называют обратной пропорциональностью.

На доску выносится запись:

Функция, заданная формулой вида , где k ≠ 0, называется обратной пропорциональностью.

Задание. Укажите, какие из функций являются обратной пропорциональностью.

2. График функции .

Построим график функции у = 12/x. По этому графику опишем некоторые свойства функции. Затем построим график функции у = -12/x и сопоставим его с графиком функции у = 12/x.

Сделаем вывод о расположении гиперболы в зависимости от коэффициента k (№ 192). Занесем в тетрадь следующую иллюстрацию:

Функция 

График – гипербола

IV. Формирование умений и навыков.

• Выполнение заданий: № 179, 182, 185, 181.

• Дополнительное задание. Графиком какой из функций  является гипербола? Постройте эту гиперболу.

• Задание для сильных учащихся: № 257 (а, д).

а) Для построения графика функции  необходимо рассмотреть два случая. При х > 0 данная функция совпадает с функцией  а при х < 0 — с функцией  Поэтому получим график

д)  Рассуждая аналогично, получим график:

— Функция какого вида называется обратной пропорциональностью?

— Что является графиком функции ?

— В каких координатных четвертях расположен график функции в зависимости от л?

— Какова область определения функции ?

Домашнее задание: № 180, 184, 193, 257 (б, г) (дополнительно).

infourok.ru

Построение графиков функций — урок. Алгебра, 10 класс.

построить график функции y=x2+1×2−1.

Решение 1. Введём обозначение: f(x)=x2&plus;1×2−1. Найдём область определения функции. Она задаётся условиями x≠1,x≠−1. Итак, D(f)=(−∞;−1)∪(−1;1)∪(1;+∞).

2. Исследуем функцию на чётность:

f(−x)=−x2+1−x2−1=x2+1×2−1=f(x).

Значит, заданная функция чётна, её график симметричен относительно оси ординат, а потому можно для начала ограничиться построением ветвей графика при x≥0.

3. Найдём асимптоты. Вертикальной асимптотой является прямая \(x=1\), поскольку при этом значении \(x\) знаменатель дроби обращается в нуль, а числитель отличен от нуля. Для отыскания горизонтальной асимптоты надо вычислить limx→∞f(x):

limx→∞x2&plus;1×2−1=limx→∞x2x2&plus;1x2x2x2−1×2=limx→∞1&plus;1×21−1×2=1.

 Значит, \(y=1\) — горизонтальная асимптота графика функции.

4. Найдём стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:

y′=x2&plus;1×2−1′=(x2&plus;1)′⋅(x2−1)−(x2&plus;1)⋅(x2−1)′x2−12=2x⋅(x2−1)−(x2&plus;1)⋅2xx2−12==−4xx2−12.

Производная существует всюду в области определения функции, значит, критических точек у функции нет.

Стационарные точки найдём из соотношения y′=0. Получаем: \(-4x=0\) — откуда находим, что \(x=0\). При \(x<0\) имеем: y′>0; при \(x>0\) имеем: y′<0. Значит, \(x=0\) — точка максимума функции, причём ymax=f(0)=02+102−1=−1.

При \(x>0\) имеем: y′<0; но следует учесть наличие точки разрыва \(x=1\). Значит, вывод о промежутках монотонности будет выглядеть так: на промежутке 0;1) функция убывает, на промежутке (1;+∞) функция также убывает.

5. Составим таблицу значений функции f(x)=x2&plus;1×2−1 при x≥0:

\(x\)	\(0\)	\(0.5\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(y\)	\(-1\)	−53	53	54	1715

 

6. Отметим найденные точки на координатной плоскости, учтя при этом, что \((0;-1)\) — точка максимума, что \(y=1\) — горизонтальная асимптота, что \(x=1\) — вертикальная асимптота, построим ветви искомого графика при x≥0. Добавив ветви, симметричные построенным относительно оси ординат, получим весь график.

www.yaklass.ru