Пересечение поверхностей фигур с описанием
Пересечение двух сфер рассмотрим на примере, представленное ниже. А для начало необходимо ознакомиться с заданием. Как видите, даны две сферы, у которых центры смещены друг от друга. Алгоритм пересечение двух […]
ПодробнееПересечение сферы и цилиндра в соответствии заданию, которое указал ниже, определяется вспомогательными секущими плоскостями. Если Вы посмотрите, то увидите что секущие плоскости на профильной проекции не будет рационально указывать. Указывают […]
ПодробнееПересечение сферы и призмы согласно заданию, представленным ниже, определяется с помощью вспомогательных секущих плоскостей. Алгоритм построения пересечение сферы и призмы осуществляется в следующем порядке: 1.) Вычерчиваются фигуры согласно заданию. 2.) Чертятся секущие плоскости […]
ПодробнееПересечение сферы и пирамиды определяется методом секущих плоскостей. Построение невозможно без задания. Рассмотрим более подробно шаг за шагом построение линии пересечения фигур: 1.) В соответствии задания, чертятся фигуры. Затем строятся вспомогательные […]
Пересечение конуса и цилиндра имеют сопряжение осевых линий, поэтому вычерчивание осуществлено метод секущих сфер. Ниже представлено задание на эту тему: Рассмотрим Пересечение конуса и цилиндра пошагово: 1.) Вычерчиваются фигуры […]
ПодробнееПересечение цилиндров в этой статье определяется методом секущих сфер. Но для начала необходимо ознакомиться с заданием, расположено снизу. Ознакомившись с данным заданием, можно приступать к выполнению вычерчивания. Порядок выполнения работ […]
ПодробнееПересечение конуса и сферы в данной статье выполняется методом вспомогательных секущих плоскостей. Ниже представлено задание на определение линии пересечения фигур. Порядок построения на пересечение конуса и сферы: Первоначально находятся точки […]
ПодробнееПересечение двух конусов может выполняться двумя методами, исходя из задания. Подробное описание определения линии пересечения геометрических фигур согласно этому заданию (указ на рисунке снизу) выполнялся методом секущих вспомогательных сфер. Последовательность […]
ПодробнееПересечение конусов в данной статье наглядно представлено в виде, расположенном ниже. Определение линии пересечения геометрических фигур осуществлялся метод вспомогательных секущих плоскостей. Здесь предлагаю посмотреть образцы выполненных чертежей.
ПодробнееМной представлено подробное описание выполнения задания на определение линии пересечения взаимно пересекающихся фигур. Выполнение осуществляется с помощью ведения вспомогательных секущих плоскостей. Пример выполненного задания смотрите здесь.
chertegik.ru
Линия пересечения плоскостей онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти линию пересечения плоскостей. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения линии пересечения плоскостей введите коэффициенты в уравнения плоскостей и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Очистить все ячейки?
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Линия пересечения плоскостей − теория, примеры и решения
Две плоскости в пространстве могут быть параллельными, могут совпадать или пересекаться. В данной статье мы определим взаимное расположение двух плоскостей, и если эти плоскости пересекаются, выведем уравнение линии пересечения плоскостей.Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы плоскости α1 и α2:
| α1: A1x+B1y+C1z+D1=0, | (1) |
| α2: A2x+B2y+C2z+D2=0, | (2) |
где n1={A1, B1, C1} и n2={A2, B2, C2} − нормальные векторы плоскостей
Найдем уравнение линии пересеченя плоскостей α1 и α2. Для этого рассмотрим следующие случаи:
1. Нормальные векторы n1 и n2 плоскостей α1 и α2 коллинеарны (Рис.1).
Поскольку векторы n1 и n2 коллинеарны, то существует такое число λ≠0, что выполнено равенство n1=λn2, т.е. A1=λA2, B1=λB2, C1=λC2.
Умножив уравнение (2) на λ, получим:
| α2: A1x+B1y+C1z+λD2=0, | (3) |
Если выполненио равенство D1= λD2, то плоскости α1 и α2 совпадают, если же D1≠λD2то плоскости α1 и α2 параллельны, то есть не пересекаются.
2. Нормальные векторы n1 и n2 плоскостей α1 и α2 не коллинеарны (Рис.2).
Если векторы n1 и n2 не коллинеарны, то решим систему линейных уравнений (1) и (2). Для этого переведем свободные члены на правую сторону уравнений и составим соответствующее матричное уравнение:
Как решить уравнение (4) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или Метод Жоржана-Гаусса онлайн.
Так как в системе линейных уравнений (4) векторы n1={A1, B1, C1} и n2={A2, B2, C2} не коллинеарны, то решение этой системы линейных уравнений имеет следующий вид:
где x0, y0, z0, m, p, l действительные числа, а t − переменная.
Равенство (5) можно записать в следующем виде:
Мы получили параметрическое уравнение прямой, которое является линией пересечения плоскостей α1 и α2. Полученное уравнение прямой можно записать в каноническом виде:
Пример 1. Найти линию пересечения плоскостей α1 и α2:
Решение. Определим, сначала, взаимное расположение данных плоскостей. Плоскость α1 имеет нормальный вектор n1={A1, B1, C1}={1, 2, 1}. Плоскость α2 имеет нормальный вектор n2={A2, B2, C2}={2, 9, −5}.
Поскольку направляющие векторы n1 и n2 неколлинеарны, то плолскости α1 и α2 пересекаются.
Для нахождения линии пересечения влоскостей α1 и α2 нужно решить систему линейных уравнений (7) и (8). Для этого составим матричное уравнение этой системы:
Решим систему линейных уравнений (9) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a11. Для этого сложим строку 2 со строкой 1, умноженной на −2:
Второй этап. Обратный ход Гаусса.
Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a22. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на −2/5:
Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):
Получим решение:
где t− произвольное действительное число.
Запишем (11) в следующем виде:
Получили уравнение линии пересечения плоскостей α1 и α2 в параметрическом виде. Запишем ее в каноническом виде.
Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:
Ответ. Уравнение линии пересечения плоскостей α1 и α2имеет вид:
Пример 2. Найти линию пересечения плоскостей α1 и α2:
Решение. Определим, сначала, взаимное расположение данных плоскостей. Плоскость α1 имеет нормальный вектор n1={A1, B1, C1}={1, 2, 7}. Плоскость α2 имеет нормальный вектор n2={A2, B2, C2}={2, 4, 14}.
Поскольку направляющие векторы n1 и n2 коллинеарны (n1 можно получить умножением n2 на число 1/2), то плоскости α1 и α2 параллельны или совпадают.
При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α2 умножив на число 1/2:
Так как нормальные векторы уравнений (14) и (16) совпадают, а свободные члены разные, то плоскости α1 и α2 не совпадают. Следовательно они параллельны, т.е. не пересекаются.
Пример 3. Найти линию пересечения плоскостей α1 и α2:
Решение. Определим, сначала, взаимное расположение данных плоскостей. Плоскость α1 имеет нормальный вектор n1={A1, B1, C1}={5, −2, 3}. Плоскость α2 имеет нормальный вектор n
Поскольку направляющие векторы n1 и n2 коллинеарны (n1 можно получить умножением n2 на число 1/3), то плоскости α1 и α2 параллельны или совпадают.
При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α2 умножив на число 1/3:
Так как нормальные векторы уравнений (17) и (19) совпадают, и свободные члены равны, то плоскости α1 и α2 совпадают.
matworld.ru
Точка пересечения прямых на плоскости онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямых на плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямых задайте вид уравнения прямых («канонический», «параметрический» или «общий»), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Очистить все ячейки?
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Точка пересечения прямых на плоскости − теория, примеры и решения
1. Точка пересечения прямых, заданных в общем виде.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:
где n1={A1, B1} и n2={A2, B2} − нормальные векторы прямых L1 и L2, соответственно.
Для нахождения точки пересечения прямых (1) и (2) нужно решить систему линейных уравнений (1) и (2) относительно переменных x,y. Для этого запишем систему (1),(2) в матричном виде:
Построим расширенную матрицу:
Приведем (4) к верхнему диагональному виду. Пусть A1≠0 . Тогда сложим строку 2 со строкой 1, умноженной на −A2/A1:
где
Если B’2=0 и С’2=0, то система линейных уравнений имеет множество решений. Следовательно прямые L1 и L2 совпадают. Если B’2=0 и С’2≠0, то система несовместна и, следовательно прямые параллельны и не имеют общей точки. Если же B’2≠0, то система линейных уравнений имеет единственное решение. Из второго уравнения находим y: y=С’2/B’2 и подставляя полученное значение в первое уравнение находим x: x=(−С1−B1y)/A1. Получили точку пересечения прямых L1 и L2: M(x, y).
Подробнее о решении систем линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн.
2. Точка пересечения прямых, заданных в каноническом виде.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:
где M1(x1, y1) и M2(x2, y2) − точки, лежащие на прямых L1 и L2, соответственно, а q1={m1, p1} и q2={m2, p2} − направляющие векторы прямых L1 и L2, соответственно.
Приведем уравнение L1 к общему виду. Сделаем перекрестное умножение в уравнении (6):
Откроем скобки и сделаем преобразования:
Обозначив A1=p1, B1=−m1, C1=−p1x1+m1y1, получим общее уравнение прямой (6):
Аналогичным методом получим общее уравнение прямой (7):
Терерь можно найти точку пересечения прямых L1 и L2 методом, описанным в параграфе 1.
3. Точка пересечения прямых, заданных в параметрическом виде.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2 в параметрическом виде:
где M1(x1, y1) и M2(x2, y2) − точки, лежащие на прямых L1 и L2, соответственно, а q1={m1, p1} и q2={m2, p2} − направляющие векторы прямых L1 и L2, соответственно.
Приведем уравнение прямой L1 к каноническому виду. Для этого из уравнений (10) найдем параметр t:
Из уравнений (12) следует:
Аналогичным образом можно найти каноническое уравнение прямой L2:
Как найти точку пересечения прямых, заданных в каноническом виде описано выше.
4. Точка пересечения прямых, заданных в разных видах.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:
где n={A1, B1} нормальный вектор прямой L1, q={m, p} − направляющий вектор прямой L2 .
Найдем точку пересечения прямых L1 и L2. Для этого подставим x=x2+mt, y=y2+pt в (13):
Найдем t:
Если числитель и знаменатель в (16) одновременно равны нулю, то любое значение t удовлетворяет уравнению (15), следовательно прямые L1 и L2 совпадают. Если знаменатель равен нулю а числитель отличен от нуля, то прямые L1 и L2 не пересекаются, т.е. они параллельны.
Пусть знаменатель не равен нулю. Подставляя полученное значение t в (14), получим координаты точки пересечения прямых L1 и L2.
5. Примеры нахождения точки пересечения прямых на плоскости.
Пример 1. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:
Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 нужно решить систему линейных уравнений (17) и (18). Представим уравнения в матричном виде:
Решим систему линейных уравнений отностительно x, y. Для этого воспользуемся методом Гаусса. Получим:
Ответ. Точка пересечения прямых L1 и L2 имеет следующие координаты:
Пример 2. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:
Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 нужно решить систему линейных уравнений (20) и (21). Представим уравнения в матричном виде:
Для решения (22) воспользуемся методом Гаусса. Получим:
где λ− произвольное действительное число.
Имеем больше одного решения. Это означает, что прямые L1 и L2 совпадают.
Ответ. Прямые L1 и L2 совпадают.
Пример 3. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:
Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 нужно решить систему линейных уравнений (23) и (24). Представим уравнения в матричном виде:
Применив метод Гаусса получим, что система (25) несовместна. Следовательно эти прямые не пересекаются, т.е. они параллельны.
Ответ. Прямые L1 и L2 не имеют общую точку, т.е. они параллельны.
Пример 4. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:
Приведем, сначала, уравнение прямой (26) к общему виду:
Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 нужно решить систему линейных уравнений (28) и (27). Представим уравнения в матричном виде:
Решим систему линейных уравнений отностительно x, y:
Ответ. Точка пересечения прямых L1 и L2 имеет следующие координаты:
matworld.ru
Пересечение поверхностей фигур с описанием
Пересечение призмы и конуса осуществляется методом секущих плоскостей. В видео предлагаются детальные подробности взаимного пересечения геометрических фигур конуса и призмы. Вы можете посмотреть примеры чертежей здесь
ПодробнееОпределение линии пересечения двух цилиндров осуществляется методом секущих сфер. Ознакомиться с подробным описанием построения линии взаимно пересекающихся фигур можно в видео […]
ПодробнееЗадание на пересечение конуса и призмы. В видео более подробно описано как поэтапно определить линию пересечения фигур: призмы и конуса. Если не нашли то что искали, не огорчайтесь, Вы можете […]
Подробнееchertegik.ru
Архивы ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ФИГУР — Страница 2 из 2
Мной представлено подробное описание выполнения задания на определение линии пересечения взаимно пересекающихся фигур. Выполнение осуществляется с помощью ведения вспомогательных секущих плоскостей. Пример выполненного задания смотрите здесь.
ПодробнееПересечение призмы и конуса осуществляется методом секущих плоскостей. В видео предлагаются детальные подробности взаимного пересечения геометрических фигур конуса и призмы. Вы можете посмотреть примеры чертежей здесь
ПодробнееОпределение линии пересечения двух цилиндров осуществляется методом секущих сфер. Ознакомиться с подробным описанием построения линии взаимно пересекающихся фигур можно в видео […]
ПодробнееЗадание на пересечение конуса и призмы. В видео более подробно описано как поэтапно определить линию пересечения фигур: призмы и конуса. Если не нашли то что искали, не огорчайтесь, Вы можете […]
Подробнееchertegik.ru
Архивы ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ФИГУР — Чертежик
Чертеж пересечения конуса и призмы с последующей разверткой.
ПодробнееПересечение двух сфер рассмотрим на примере, представленное ниже. А для начало необходимо ознакомиться с заданием. Как видите, даны две сферы, у которых центры смещены друг от друга. Алгоритм пересечение двух […]
ПодробнееПересечение цилиндров чертеж выполнен на формате А4. Чертеж выполнен таким образом, что можно наблюдать два метода осуществления поиска линии пересечения фигур. А точнее методы секущих плоскостей (вид слева) и секущих […]
ПодробнееПересечение конуса и цилиндра имеют сопряжение осевых линий, поэтому вычерчивание осуществлено метод секущих сфер. Ниже представлено задание на эту тему: Рассмотрим Пересечение конуса и цилиндра пошагово: 1.) Вычерчиваются фигуры […]
ПодробнееПересечение цилиндров в этой статье определяется методом секущих сфер. Но для начала необходимо ознакомиться с заданием, расположено снизу. Ознакомившись с данным заданием, можно приступать к выполнению вычерчивания. Порядок выполнения работ […]
ПодробнееПересечение конуса и сферы в данной статье выполняется методом вспомогательных секущих плоскостей. Ниже представлено задание на определение линии пересечения фигур. Порядок построения на пересечение конуса и сферы: Первоначально находятся точки […]
ПодробнееПересечение двух конусов может выполняться двумя методами, исходя из задания. Подробное описание определения линии пересечения геометрических фигур согласно этому заданию (указ на рисунке снизу) выполнялся методом секущих вспомогательных сфер. Последовательность […]
ПодробнееПересечение конусов в данной статье наглядно представлено в виде, расположенном ниже. Определение линии пересечения геометрических фигур осуществлялся метод вспомогательных секущих плоскостей. Здесь предлагаю посмотреть образцы выполненных чертежей.
ПодробнееТор и призма (вид слева) представляет собой одним из распространенных чертежей на определение линии взаимно пересекающихся поверхностей. На чертеже представлено два вида определения пересечения:с помощью вспомогательных секущих линий(вид слева) и […]
ПодробнееЛиния пересечения фигур на данном чертеже определяется двумя методами. На виде слева — пересекаются цилиндр и часть усеченного конуса, точки сопряжения определяются методом вспомогательных секущих плоскостей. На виде справа (два […]
Подробнееchertegik.ru
Начертательная геометрия | CADInstructor
В электронный учебно-методический комплекс входят лекции, контрольные работы для студентов разных ВУЗов, рабочая тетрадь, презентации, опорный конспект, видеоматериалы решения типовых задач контрольных заданий. Мы рассмотрим основные теоретические положения начертательной геометрии и примеры их применения на практике:
- Методы проецирования
- Ортогональные проекции точки, прямой, плоскости
- Взаимное положение точки, прямой и плоскости
- Многогранники. Точка на поверхности многогранника, пересечение прямой, плоскости с поверхностью многогранника
- Поверхности вращения. Точка на поверхности, пересечение прямой, плоскости с поверхностью.
Электронный учебно-методический комплекс зарегистрирован в Объединенном фонде электронных ресурсов «Наука и образование» Института научной информации и мониторинга Российской академии образования. Свидетельство о регистрации №17165 от 07.06.2011. Авторы: доцент Бочков Андрей Леонидович, профессор Голдобина Любовь Александровна.
Исключительные права на опубликование, обнародование, копирование, воспроизведение, распространение, переработку, перевод, публичное использование и демонстрацию электронного учебно-методического комплекса «Начертательная геометрия» в информационных, в иных целях принадлежат авторам.
По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты. Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1000 р./ак.ч.
Структура учебно-методического комплекса
Результат обучения
- В результате прохождения курса вы научитесь видеть за плоским изображением пространственные объекты.
- Научитесь строить проекции на плоскости простейших геометрических объектов: точки, прямой, плоскости; определять их взаимное положение и размеры.
- Научитесь строить проекции пространственных объектов: многогранников, криволинейных поверхностей; решать метрические и позиционные задачи.
На кого рассчитан учебник
Электронный учебно-методический комплекс предназначен для изучения курса начертательной геометрии студентами системы заочной и дистанционной форм обучения в режиме онлайн, также может быть использован для самостоятельного изучения некоторых тем дисциплины студентами, как правило, 1 курса очной формы обучения. Преподаватели могут использовать данный комплекс для проведения занятий.
cadinstructor.org
Ваш комментарий будет первым