Нажмите "Enter", чтобы перейти к содержанию

Параметрический график: Примеры графиков параметрических функций на плоскости

Содержание

6. Построение графика функции, заданной параметрически

Пусть имеем две функции и , где — общей для и области определения. Вычисляя при и считаем, что полученное значение есть функция от полученного . Тем самым получаем функцию . Такое приведение, параметрически заданной, функции к явной не всегда возможно и может быть потеряна часть информации. Параметрически заданную функцию удобно тракторвать как уравнение движения точки на плоскости. В момент времени мы знаем координаты точки . Множество всех точек , где , называетя графиком функции или траекторией движения точки. При построении графика получаем направление движения точки.

Основной метод построения графика функции, заданной параметрически, состоит в том, чтобы разбить весь график на монотонные и непрерывные куски (ветви). Монотонную и непрерывную ветвь можно строить по точкам, используя при этом исследование функции на концах промежутка, если на концах хотя бы одна из функций или разрывна.

6.1. Порядок построения графика параметрически заданной функции

• Найти — область определения по общую для и и отметить её на числовой оси , там же отметить точки разрыва функций.

• Найти производные и и их область определения и отметить её на той же числовой оси , также отметить точки разрыва производных.

• Решить уравнения , и нули производных отметить на той же оси.

Тем самым ось будет разбита на промежутки, на каждом из которых , и вместе с ними будут монотонны и непрерывны.

Результат исследования на монотонность функций и оформляют в виде таблицы (см. ниже в решении примера). По таблице строится черновик графика, который позже уточняется нахождением асимптот, участков выпуклости определённого знака и точек перегиба.

6. 2. Асимптоты параметрического графика

• Если при некотором или и , то — горизонтальная асимптота. Пределы слева и справа вычисляются отдельно, т.к. это могут быть две разные асимптоты. Эти пределы уже бывают вычислены при заполнении таблицы.

• Если , или , то -вертикальная асимптота.

• Если или и или , то возможно, у этой ветви есть наклонная асимптота , где

Если существует, то ищем :

Если — существует, то у соответствующей ветви будет наклонная асимптота .

6. 3. Точки перегиба

Для нахождения участков выпуклости и точек перегиба нужна производная , которая находится по формуле

Исследуем знак , определяем направдение выпуклости, находим точки перегиба, если есть, и корректируем черновик графика.

6.4. Пример построения графика параметрически заданной функции

Пример 18. 21 Построить эскиз графика , .

Решение. Совокупная область определения: .

Найдем , :

Получаем, что не существует при , при , не существует при и в нуль не обращается.

На ось наносим точки , , (см. рис. 40):

Рис. 40. Ось .

Мы получили четыре интервала. На каждом интервале функции , , а вместе с ними и будут непрерывны и монотонны. Осталось найти промежутки изменения функций и . Другими словами, откуда и куда движется точка по плоскости. Результат такого иследования оформляем в виде таблицы. Основных трок в таблице четыре, а столбцов только, сколько отмечено интервалов на оси .

Таблица 14.

Знак

Убывает

Убывает

Возрастает

Возрастает

от до

от до

от до

от до

Знак

Возрастает

Возрастает

Возрастает

Убывает

от до

от до

от до

от до

Для заполнения первой клетки изменения функции вычисляем

Для первой клетки функции вычисляем

Аналогично заполняются остальные клетки. В точках непрерывности вычисляем просто значение функции.

Для построения графика читаем таблицу по столбцам. Получаем, что переменная точка движется от точки неограниченно влнво ( — убывает) и одновременно поднимается от до .

В данном случае при имеем горизонтальную асимптоту . Получим монотонную ветвь по которой точка движется влево (см. рис. 41). Правый конец ветви на рис. 41 соответствует , левый — .

Рис. 41. Ветвь графика функции , при .

Остальные три ветви строим аналогично как движение точки в нужном направлении.

Для уточнения графика на ветви найдем хотя бы одну точку. Выберем получим округлённо . На ветви возьмем получим .

Исследуем направление выпуклости. Находим

Наносим на ось точки разрыва функций , и нули . Находим и проставляем знаки . (см. рис. 42).

Рис. 42. Ось и знаки .

При получаем точку перегиба .

При кривая будет выпукла вверх, при — выпукла вниз, при — выпукла вверх, при — выпукла вниз, при — выпукла вниз.

При имеем , , поэтому у ветви может быть наклонная асимптота. Проверим это:

Это значит, что асимптоты не существует. У ветви при проверка показывает отсутствие аимптоты. При — горизонтальная асимптота . Заметим также, что при любых , поэтому график функции находится выше оси .

График функции , изображен на рис. 43.

Рис. 43. График функции , .

Построение плоского графика функции

Для того, чтобы построить плоский график функции надо:

Установить курсор в то место, где необходимо построить график.

На математической панели выбрать кнопку Graph Toolbar X-Y Plot (Плоский график).

В шаблоне плоского графика, появившегося на месте курсора вводится на оси абсцисс имя аргумента, на оси ординат – имя функции.

Щелкните вне шаблона графика мышью. График построен для заданного диапазона изменения аргумента.

Если диапазон значений аргумента не задан, то график будет построен автоматически в диапазоне значений аргумента от –10 до 10 .

Чтобы разместить несколько графиков в шаблоне, надо набрать на оси ординат имя первой функции, нажать клавишу запятая, и в появившемся месте ввода вписать имя второй функции и т.д.

Если несколько функций имеют разные аргументы, f(x) и f(y), то на оси ординат через запятую вводятся имена обеих функций, а на оси абсцисс – имена обоих аргументов x и y. Первый график будет построен для первой функции по первому аргументу, второй график для второй функции по второму аргументу и т.д.

Если функций несколько, а аргументов два, то первый график строится по первому аргументу, а графики остальных – по второму.

Если на осях абцисс и ординат ввести имена двух функций одного аргумента, то строится параметрический график функции (рис. б.6)

Рис. Б.6 – Параметрический график функции

Для того, чтобы отформатировать график, необходимо щелкнуть дважды мышкой в поле графика– откроется окно форматирования графика.

Рис. Б.7 – Окно форматирования плоского графика

В открывшемся окне (рис. б.7) видны четыре вкладки:

X-Y Axes –форматирование оси координат:

Log Scale –численные значения на осях в логарифмической шкале.

Grid Lines – нанести сетку линий.

Numbered –численные значения для каждой линии сетки.

Auto Scale – автоматически выбираются предельные значения на осях, большие максимальных вычисленных значений. Предельными будут максимальные вычисленные значения. Если этот пункт не отмечен.

Autogrid – число линий сетки. Необходимо задать число линий Number of Grids, если этот пункт не отмечен.

Show Markers – метки на графике. На каждой оси появляются 2 места ввода, в которые можно ввести численные значения. На графике появятся горизонтальные или вертикальные пунктирные линии, соответствующие значению на оси. В конце линии появляется само число (рис. б.6).

Trace – отформатирование графиков функций. Для каждого графика по отдельности можно изменить: вид линии, цвет линии (Color), тип графика, толщину линии (Weight).

Расчетные точки можно отметить различным символом на графике (Symbol).

Также можно Вписать в область графика заголовок (Label). В окне Tytle (Заголовок) – текст заголовка. Выбрать его положение, а также если необходимо вписать названия аргумента и функции (Axis Label).

Defaults – вернуться к виду графика, принятому по умолчанию (Change to default), или сделанные вами изменения применить по умолчанию для всех графиков данного документа (Use for default).

Если выражения или графики накрывают друг друга, в контекстном меню появляются пункты Bring to Front (Выдвинуть на передний план) и Send to Back (Убрать на задний план). Использование этих пунктов позволяет экономить место в документе.

Если необходимо раздвинуть наложившиеся друг на друга объекты, сначала выделите эти объекты, перечеркнув их мышью при нажатой левой кнопке, затем в главном меню Mathcad выберите Format Separate Region (Разделить Области). Только выделенные области при этом будут раздвинуты.

Если надо раздвинуть два объекта, подведите к объекту курсор. При появлении черной ладошки нажмите левую кнопку мыши и, двигая мышь, переместите объект в нужное место.

Полярный график

Для создания полярного графика необходимо нажать кнопку Polar Plot на панели Graph (рис. б.2) и вставить в местозаполнители имена переменных и функций. Которые будут нарисованы в полярной системе координат: угол (нижний местозаполнитель) и радиус-вектор (левый местозаполнитель). Точно так же, как и при создании плоского графика, по осям могут быть отложены два вектора (рис. б.8, слева), элементы векторов и ранжированные переменные в различных сочетаниях, а также может быть осуществлено быстрое постороение графика функции (рис. б.8, справа)

Рис. Б.8 – Полярные графики

Форматирование полярных графиков практически идентично форматированию плоских, поэтому все, сказанное выше об оформлении двухмерных графиков, в полной мере относится и к полярным.


Как создавать спирографы в Excel / Хабр


«В гудении струн есть геометрия, в расположении сфер есть музыка» — Пифагор

В детстве у меня была игрушка под названием «спирограф», которая досталась мне в наследство от родителей. Я любил её. Она генерировала сложные узоры и шаблоны, многократно повторявшиеся по кругу. Для восьмилетнего меня это было настоящее волшебство.

Рисовать им было очень просто — вставляешь зубчатое колесо с несколькими отверстиями внутрь ещё одного зубчатого кольца побольше, в одно из отверстий засовываешь конец ручки и рисуешь узоры.



Спустя 20 лет мои инструменты немного изменились, но, тем не менее, любовь к сложным узорам никуда не делась. Да, я нашёл новые способы изучения этих узоров, и меня не перестаёт удивлять то, что я могу делать и куда меня может завести воображение. Обычно для генерации красивых изображений я пользуюсь библиотекой Processing (упрощённой формой Java), созданной

Processing Foundation

(примеры можно найти

здесь

). Существуют и другие способы, например,

OpenFrameworks

,

Nannou

и

Cinder

.

Но на этот раз я решил использовать нечто совершенно иное. Всё началось с того, как я занимался по учебнику статистики и снова познакомился с параметрическими уравнениями (представлениями). Я стал исследовать их, запуская уравнения в Excel и выводя их на графики, чтобы убедиться в правильности значений и получить интуитивное понимание таких уравнений.


a = 10; b = 2

Если объяснять просто, то параметрическое уравнение (представление) — это ещё один способ выражения функции. Обычно они используются в задачах или уравнениях кинематики (задачах основ физики) для описания таких свойств, как траектория ракеты или орбита планеты, вращающейся вокруг массивного объекта.

Давайте рассмотрим следующую функцию, которая создаёт параболу.


График параболы (y = x²)

Чтобы получить эту функцию, мы можем разложить (при помощи вузовской алгебры) вышеприведённое уравнение, изолировав X и Y и сгенерировав отдельный параметр, входящими данными которого является t, как показано в функции ниже.



Две параметрические функции параболы

По сути, если мы создадим таблицу этих двух интерпретаций функции, то они будут давать одинаковые ответы.



Обычная функция (сверху) и параметрическая функция (снизу)

Всё довольно легко, правда?

По сути, когда мы используем две функции для генерирования координат X и Y, то можем, как вы увидите ниже, создать огромное количество графики, примеры которой представлены в этом посте. (Помните, что это всего один набор уравнений).



a = 23; b = 2

a=5; b=30


a=5; b=2.51

А теперь самое интересное — ниже я опишу процесс, благодаря которому сгенерировал все представленные в посте изображения.

1. Откройте новую таблицу и создайте на листе следующее.

2. Под всеми изображениями я добавил коэффициенты a, b и растянул вниз листа значения (2 ≥ t ≤ 2000).

3. Для X используйте следующую формулу, начинающуюся в C6

=($C$2-$D$2)*COS(B6)+$D$2*COS(B6*(($C$2/$D$2)-1))

4. Для Y используйте следующую формулу, начинающуюся в D6

=($C$2-$D$2)*SIN(B6)-$D$2*SIN(B6*(($C$2/$D$2)-1))

5. Растяните вниз все формулы, чтобы X и Y были заполнены значениями до t=2000 и выделите X и Y.

6. Перейдите на вкладку «Главная», выберите «Диаграмма рассеяния» (scatterplot) и нажмите «Точечная (XY) с гладкими линиями».

Обратите внимание, что можно менять тип диаграммы и что он выглядит примерно так:

7. Теперь удалим оси X и Y и изменим размер изображения таким образом, чтобы оно выглядело интересно.

Так вы получите изображение, которое затем можно будет экспортировать как графический файл. Теперь можно поэкспериментировать с ним, меняя коэффициенты и наблюдая за различными создаваемыми структурами параметрического изображения. Кроме того, можно изменить цвет фона и изображения, выбрав изменяемый компонент изображения и использовав инструменты форматирования, после чего выбрав форму и контур фигуры.

Или можно скачать готовую таблицу Excel с

Dropbox

.

Чтобы добавить текст, используйте любой графический редактор или даже сам Excel, после чего можно или сделать скриншот, или экспортировать изображение, а затем использовать его в своих графических работах.



a=5; b=1

Графики параметрических функций — Интеллектуальная Кобринщина

Plot Parametric Functions — Wolfram Mathematica

Графики параметрических функций

Mathematica может строить графики параметрических функций в двух и трех измерениях. Воспользуйтесь параметрическим графиком, если Вы можете выразить координаты x, y или x, y, z в каждой точке Вашей кривой как функцию одного или более параметров.

Построим график параметрической кривой (x,y)=(2 sin(t),cos(t)), с параметром t изменяющимся от 0 до 2 ?:

In[1]:=

Out[1]=

    

Вы можете построить график двух параметрических кривых, поместив их в список:

In[2]:=

Out[2]=

    

Чтобы отобразить еще больше графиков кривых, просто добавьте их в список:

In[3]:=

Out[3]=

    

Воспользуемся командой ParametricPlot3D для построения графика поверхности, заданной функцией :

In[4]:=

Out[4]=

    

Построим график параметрической кривой (x,y,z)=(5 cos(u),5 sin(u),u+sin(u)) в трех измерениях:

In[5]:=

Out[5]=

%d0%bf%d0%b0%d1%80%d0%b0%d0%bc%d0%b5%d1%82%d1%80%d0%b8%d1%87%d0%b5%d1%81%d0%ba%d0%b8%d0%b9 po polsku — Słownik Rosyjsko — Polski

Командир отряда 81-го гвардейского бомбардировочного авиационного полка (1-я гвардейская бомбардировочная авиационная дивизия, 6-й гвардейский бомбардировочный авиационный корпус, 2-я воздушная армия, 1-й Украинский фронт) гвардии капитан Пётр Абрамов особенно отличился при выполнении боевых заданий по доставке оружия, боеприпасов и продовольствия партизанам Белоруссии и Украины.

Dowodził oddziałem 81 pułku lotnictwa bombowego 1 Gwardyjskiej Dywizji Lotnictwa Bombowego 6 Gwardyjskiego Korpusu Lotnictwa Bombowego 2 Armii Powietrznej 1 Frontu Ukraińskiego w stopniu kapitana, szczególnie zasłużył się przy dostarczaniu broni, zapasów i żywności dla partyzantów Białorusi i Ukrainy.

WikiMatrix

Ну, в то время, мы говорим о 80-х, в то время это было модно.

Cóż, na tamte czasy, mówimy o latach 80-tych, były bardzo modne.

OpenSubtitles2018.v3

Они стреляли снарядами М-8 (калибр 82-мм) и М-13 (калибр 132-мм).

Strzelały pociskami M–8 (kalibru 82 mm) albo M–13 (kalibru 132 mm).

Literature

Когда в 80-х годах люди якудзы увидели, как легко брать ссуды и «делать» деньги, они создали компании и занялись операциями с недвижимым имуществом и куплей-продажей акций.

W latach osiemdziesiątych możliwość dużych zarobków za pożyczone pieniądze skłoniła yakuzę do zakładania przedsiębiorstw i zajęcia się handlem nieruchomościami oraz spekulacjami giełdowymi.

jw2019

Обычно проводят связь между этим древним городом и современной Газой (Газза, Азза), расположенной примерно в 80 км к З.-Ю.-З. от Иерусалима.

Starożytna Gaza z reguły jest kojarzona ze współczesnym miastem o tej nazwie (Ghazza, ʽAzza), leżącym ok. 80 km na zach. pd. zach. od Jerozolimy.

jw2019

Миссис Смит из Портсмута, Кимберли-роуд, 80… умерла внезапно в пансионе в Блэкпуле.

Mrs Smith z Portsmouth, Kimberley Road 80… zmarła nagle w pensjonacie w Blackpool.

Literature

Ему все так же хотелось знать, насколько его решение применимо к реальному миру. 82 Kerr, R.

Dalej był zainteresowany tym, czy jego rozwiązanie ma jakiś wpływ na świat realny. 83 R.P.

Literature

Через 4 года предполагаемая капитализация достигнет 80 миллиардов долларов.

Szacuje się, że za cztery lata będzie wart ponad 80 mld dolarów.

ted2019

Не должно получиться так, что 200 000 лю- дей приказывают, а 80 миллионов подчиняются.

Nie można dopuścić, by 200 000 ludzi wydawało rozkazy, a 80 milionów je wykonywało.

Literature

Итак, в США с появлением лечения в середине 1990- х годов число ВИЧ- инфицированных детей снизилось на 80%.

W Stanach Zjednoczonych, od pojawienia się nowych metod leczenia w połowie lat 90. nastąpił 80- procentowy spadek w liczbie dzieci zarażonych HIV.

QED

Расчет 81, скорая всё ещё на переезде.

Wóz 81, karetka nadal nie może wyjechać.

OpenSubtitles2018.v3

Расчет 81, Спасатель 3,

/ Wóz 81, ekipa ratunkowa 3,

OpenSubtitles2018.v3

Сегодня он фонтанирует в среднем через каждые 80 минут.

Obecnie gejzer wybucha mniej więcej co 80 minut.

jw2019

На 87° южной широты по счислению мы в последний раз видели на северо-востоке землю.

NA BIEGUNIE Pod 87° S widzieliśmy po raz ostatni ziemię nie pokrytą lodami w stronie północno-zachodniej.

Literature

Это клональная колония осинообразного тополя, растущего в Юте, ему буквально 80 тысяч лет.

To kolonia klonalna osiki w Utah, To kolonia klonalna osiki w Utah, która ma 80 000 lat.

QED

Похоже, мы можем поехать по шоссе 81 и дальше через Даллас.

Możemy dojechać do trasy 81 i jechać w kierunku Dallas.

OpenSubtitles2018.v3

Она распространяет миллионы [19 миллионов каждого выпуска] экземпляров своего материала примерно на 60 [в настоящее время на 81] языках, в том числе на языках пиджин, хилигайнон и зулу.

Swoją publikację ludzie ci rozpowszechniają w milionach egzemplarzy [19 milionów każdego numeru] i w około 60 językach [ściśle w 81], między innymi w neomelanezyjskim, hiligajno i zuluskim.

jw2019

Этот отчисленный ученик умер в 82 года, в здравом уме, будучи основателем и первым директором Еврейского университета в Иерусалиме и основателем издательства Шокен Букс. Это популярное издательство в дальнейшем было поглощено издательским домом Рандом Хаус.

Ten dzieciak bez szkoły zmarł w wieku 82 lat, jako intelektualista, założyciel i pierwszy dyrektor Uniwersytetu Hebrajskiego w Jerozolimie, założyciel Schocken Books, wydawnictwa wykupionego później przez Random House.

ted2019

Ну, если не противоречить фактам, то 80% нарушителей — белые.

Fakty są takie, że 80% oszustów jest biała.

OpenSubtitles2018.v3

Мы облетим эти два пульсара на минимальном расстоянии в 80 миллионов километров.

Oto nasz plan okrążamy pulsary w odległości 80 mln. km.

OpenSubtitles2018.v3

Девочки, мне уже почти 80.

OpenSubtitles2018.v3

Впервые я услышал о Берготте от Блока[87], товарища, который был старше меня и вызывал у меня огромное восхищение.

Nazwisko Bergotte usłyszałem pierwszy raz od jednego z kolegów, starszego ode mnie, którego bardzo podziwiałem, Blocha.

Literature

И потому что оставшиеся 80% были все-равно раз в сто больше того, что вы получили бы при разводе.

Pozostałe 80% nadal wyniosłoby więcej niż to, co dostałabyś w razie rozwodu.

OpenSubtitles2018.v3

А дальше начинается спад на рынке, и рыночная стоимость его облигации снижается до 80.

Wtedy rynek załamuje się i wartość jego obligacji spada do 80 dolarów.

Literature

82-летний мужчина, диабетик, похищен около своего маленького милого дома среди бела дня.

82-letni mężczyzna, cukrzyk, został uprowadzony w biały dzień, sprzed swojego miłego, małego domku.

OpenSubtitles2018.v3

SymPy — Построение графиков

SymPy использует библиотеку Matplotlib в качестве бэкэнда для рендеринга двухмерных и трехмерных графиков математических функций. Убедитесь, что Matplotlib доступен в текущей установке Python. Если нет, установите то же самое, используя следующую команду —

pip install matplotlib

Поддержка печати определяется в модуле sympy.plotting. Следующие функции присутствуют в модуле построения графиков —

  • plot — 2D линейные графики

  • plot3d — трехмерные линейные графики

  • plot_parametric — 2D параметрические графики

  • plot3d_parametric — 3D параметрические графики

Функция plot () возвращает экземпляр класса Plot. Фигура графика может иметь одно или несколько выражений SymPy. Хотя он может использовать Matplotlib в качестве бэкэнда, также могут использоваться другие бэкэнды, такие как texplot, pyglet или Google charts API.

plot(expr, range, kwargs)

где expr — любое допустимое выражение symPy. Если не указано иное, для диапазона используется значение по умолчанию (-10, 10).

В следующем примере показаны значения x2 для каждого значения в диапазоне (-10,10) —

>>> from sympy.plotting import plot 
>>> from sympy import * 
>>> x=Symbol('x') 
>>> plot(x**2, line_color='red')

Чтобы нарисовать несколько графиков для одного диапазона, перед кортежем диапазона укажите несколько выражений.

>>> plot( sin(x),cos(x), (x, -pi, pi))

Вы также можете указать отдельный диапазон для каждого выражения.

plot((expr1, range1), (expr2, range2))

На следующем рисунке показаны графики sin (x) и cos (x) в разных диапазонах.

>>> plot( (sin(x),(x, -2*pi, 2*pi)),(cos(x), (x, -pi, pi)))

В функции plot () могут быть указаны следующие необязательные аргументы ключевого слова.

  • line_color — определяет цвет линии графика.

  • title — строка, которая будет отображаться как заголовок

  • xlabel — строка, которая будет отображаться как метка для оси X

  • ylabel — строка, которая будет отображаться как метка для оси y

>>> plot( (sin(x),(x, -2*pi, 2*pi)),(cos(x), (x, -pi, pi)), line_color='red', title='SymPy plot example')

Функция plot3d () отображает трехмерный график.

plot3d(expr, xrange, yrange, kwargs)

В следующем примере рисуется трехмерный график поверхности —

>>> from sympy.plotting import plot3d 
>>> x,y=symbols('x y') 
>>> plot3d(x*y, (x, -10,10), (y, -10,10))

Как и в 2D-графике, на трехмерном графике также может быть несколько графиков, каждый с разным диапазоном.

>>> plot3d(x*y, x/y, (x, -5, 5), (y, -5, 5))

Функция plot3d_parametric_line () отображает 3-х мерный параметрический линейный график.

>>> from sympy.plotting import plot3d_parametric_line 
>>> plot3d_parametric_line(cos(x), sin(x), x, (x, -5, 5))

Чтобы нарисовать параметрический график поверхности, используйте функцию plot3d_parametric_surface ().

plot3d_parametric_surface(xexpr, yexpr, zexpr, rangex, rangey, kwargs)

>>> from sympy.plotting import plot3d_parametric_surface 
>>> plot3d_parametric_surface(cos(x+y), sin(x-y), x-y, (x, -5, 5), (y, -5, 5))

Урок 8. 2D-графики функций в Mathcad

В этом уроке мы рассмотрим варианты графиков, доступных в PTC Mathcad Prime 3.0.

Типы графиков

Чтобы изменить тип графика, нажмите на него, затем выберите на вкладке Графики –> Кривые –> Изменить тип. Ниже представлены рисунки четырех типов графиков для функции:

В списке есть еще некоторые типы осей – некоторые из них мы будем использовать позднее.

Несколько графиков на одних осях

Чтобы добавить кривую на оси, поместите курсор после обозначения легенды оси Y графика и нажмите Графики –> Кривые –> Добавить кривую. Появится еще один местозаполнитель для оси Y:

Вы можете добавить больше графиков с помощью этой же команды.

С помощью вывода нескольких графиков на одни оси мы посмотрим различные настройки из меню Графики –> Стили. Для этой цели мы создадим оси с пятью различными прямыми линиями. Каждая линия содержит 11 точек:

Ниже этих выражений вставьте график XY, затем добавьте четыре легенды для оси Y. В местозаполнителе для оси Xвведите x[iи нажмите [Enter] – для всех пяти графиков будет использоваться одна легенда по оси X. В последний местозаполнитель для оси Y введите y[0,i и [Enter]:

Выше следует ввести y[1,i, еще выше — y[2,i и т.д. После завершения Вы увидите пять прямых линий. Свойства каждой из них можно изменить, выбрав легенды оси Y соответствующего графика и выбрав необходимые настройки на меню Графики –> Стили.

Ниже представлены получившиеся графики. Использовались различные настройки для толщины, цвета, стиля линий и символов:

Метки и их значения мы убрали с помощью меню Графики –> Оси.

Масштабирование

На графике с двумя кривыми диапазон для одной из них может быть не очень удачным для другой, например, для графиков квадрата и куба x.

Чтобы исправить это, разделите функцию куба на 5. Это называется масштабированием:

Маркеры

Чтобы узнать точные значения по графику, можно использовать маркеры из меню Графики –> Маркеры. Стиль линий маркеров можно изменять таким же способом, как и для обычных графиков:

Кривая «Столбцы»

Рассмотрим тип кривой «Столбцы». Для этого используем таблицу с данными – вкладка Матрицы/таблицы –> Вставить таблицу и в появившейся сетке выберите таблицу с 2 столбцами и 10 строками:

В местозаполнителях заголовка введите x и y. Числа заполните, как на рисунке:

Вставьте график XY. Улучшите вид графика, переместив легенды по осям и отформатировав значения меток. Чтобы поменять тип графика, выберите Графики –> Кривые –> Изменить тип –> Кривая «столбцы»:

Таблица данных в Mathcadцелесообразно использовать, если данных немного. Для большого числа данных лучше совместно использовать Mathcad и Excel – об этом мы поговорим в уроке 17.

Полярный график

Построим график спирали в полярных координатах:

Вставьте полярный график с помощью Графики –> Кривые –> Вставить график –> Полярный график. В местозаполнители введите данные, как на рисунке, и нажмите [Enter]:

Параметрический график

Этот график окружности построен с использованием параметра t:

Графики в логарифмическом масштабе

Логарифмический масштаб часто используется в различных областях науки и техники. Построение графиков в логарифмическом масштабе доступно в Mathcad.

Построим график функции y=2, но с использованием параметра:

Чтобы сделать ось X логарифмической, выберите легенду оси X и нажмите Графики –> Оси –> Логарифмический масштаб. Проделайте то же самое для оси Y. В логарифмическом масштабе эта функция представляет собой прямую линию:

Резюме

В этом уроке мы показали, как можно модифицировать двумерные графики.

  1. Чтобы изменить тип кривой, нажмите на его легенду по оси Y и выберите Графики –> Кривые –> Изменить тип.
  2. Чтобы добавить кривую:
  • поместите курсор на легенду оси Y;
  • нажмите Графики –> Кривые –> Добавить кривую.
  1. Чтобы изменить символы, цвет, стиль или толщину кривой, нажмите по легенде оси Y соответствующего графика и настройте график с помощью меню Графики –> Стиль.
  2. Чтобы промасштабировать график, разделите легенду соответствующей оси на коэффициент масштабирования.
  3. Линии маркеров (горизонтальные и вертикальные) доступны в меню Графики –> Маркеры. Можно добавить любое число линий маркеров или даже сформировать из них сетку. Маркеры можно изменять так же, как и обычные графики.
  4. Полярный график (зависимость радиуса от угла) можно вставить так же, как и график XY – через меню Графики –> Кривые –> Вставить график –> Полярный график.
  5. Изменить масштаб оси на логарифмический можно с помощью команды нажмите Графики –> Оси –> Логарифмический масштаб. Выполнить ее нужно для каждой оси в отдельности (если сделать это только для одной оси, получится полулогарифмический масштаб).

Другие интересные материалы

Задание 10: Параметрические уравнения


Назначение 10

Параметрические уравнения

Марианна Парсонс


Параметрическая кривая на плоскости определяется как непрерывные функции в виде:

Эти два уравнения называются параметрическим уравнением . уравнения этой кривой и определить упорядоченные пары (x,y) .Протяженность параметрической кривой будет зависеть от того, в каком диапазоне из т выбираем. Используя Graphing Calculator 3.2, мы можем исследовать различные типы параметрических уравнений. Начнем с посмотрите на следующие уравнения:

Поскольку нам известны обе непрерывные функции, sin(x) и cos(x), имеют период от 0 до 2pi. Итак, давайте выберем наш параметр t аналогично:  


Важность т

Эти параметрические уравнения определяют набор упорядоченные пары (x,y) на интервале t .График этих параметрические уравнения на интервале выглядят как единичный круг, с доменом [-1,1] и диапазоном [-1,1]. Чтобы увидеть важность соответствующего интервала для t , давайте посмотрим на то же уравнения на разных интервалах t . Что случилось бы если т не прошел весь путь до 2пи?

Из приведенных выше изображений видно, что если мы определить t на более коротком интервале, наш круг не будет полный. График наших параметрических уравнений начинается в точке (1,0) и рисует окружность в направлении против часовой стрелки , но круг не замкнулся.Здесь наши непрерывные функции будут строиться только относительно заданного интервала t , и будет закрыто только в том случае, если мы выберем и соответствующий интервал.


Варьирующие константы a и b

Теперь давайте исследуем различные графики для параметрические уравнения:

куда

Мы уже видели этот график выше, когда а=1 и б=1. Итак, давайте посмотрим на разные значения для , и б . Тут сразу три разных типа значений для a и b мы можем исследовать: когда a < b , когда а = b, и когда а > b .


Когда а

< ​​b


По-видимому, существует очень специфическая связь между значениями из а и б . Каждый приведенный выше граф симметричен относительно ось х и ось у. Когда a = 1, кажется, что b равно количеству «петлей», показанных на графике. Посмотреть анимацию, когда a = 1 и наше значение для b идет от 2 до 20. Обратите внимание, что происходит с количеством петель графически.

Кажется, что когда и являются четными значениями, а b нечетно, как показано выше, наш график не появляется закрыто.Кроме того, каждый график, показанный выше, симметричен только относительно ось х. Посмотрите анимацию, когда a изменяется от 0 до 9, а значение b фиксируется на 10. Кажется, как если бы значение a меньше значения b , графики кажутся расширяющимися и сужающимися по горизонтали направлении или вдоль оси x. Каким образом строятся графики здесь внешний вид отличается от анимации выше?

Какой вывод мы можем сделать для a < b?

Автор изменяя наши константы a и b , наши графики будут по-прежнему имеют домен [-1,1] и диапазон [-1,1].
Каждый график сгенерированный будет симметричен относительно оси x. Только определенные графики также будет симметричным относительно оси Y.


Когда а = b

 

Посмотрите анимацию, когда a=b изменяется от 0 до 200. Обратите внимание на внешний вид нашего круга как a и b менять вместе. Почему график становится толще?

Какой вывод мы можем сделать для a = b?

Еще раз, наш домен и диапазон не изменились при изменении констант а и б .
Пока как a = b , сгенерированный график приведет к кругу радиуса 1.
Когда значения a и b увеличены, наш круг кажется становиться толще. Это потому, что наш интервал t имеет не изменился. Таким образом, по мере увеличения значений a и b , наш круг прослеживается все больше и больше раз.
Если или и b являются отрицательными значениями, их график выглядит так же как если бы они были положительными значениями.Это потому, что наш параметрический уравнения по-прежнему строятся на том же интервале, и так что наш круг всегда будет замкнутым. Отрицательное значение просто изменяет направление «следа» наших параметрических уравнений. Другими словами, как показано выше в разделе «Важность t», наши значения a и b равны 1. Изображения различных интервал t показывает, что наши графики начинаются в точке (1,0) и круг прослеживается в направлении против часовой стрелки .Отрицательное значение для a и b просто означает график наших параметрических уравнений снова начиналось в точке (1.0), но затем был прослежен в направлении по часовой стрелке . Однажды интервал таков, что наш круг замкнулся, мы уже не в состоянии чтобы увидеть разницу между направлениями, в которых наш круг был прослежен.


Когда а > b

Кажется, существует очень специфическая связь между значениями a и b и здесь.Вид анимация, когда b = 1 и наше значение для a идет от 2 до 20. Обратите внимание, что происходит с количеством петель графически.

Когда a больше, чем b , кажется как будто графики расширяются и сжимаются. Посмотреть анимацию при b идет от 0 до 9 и фиксируется на 10. В каком направлении движутся эти графики?

Какой вывод мы можем сделать для a > b?

Еще раз, наш домен и диапазон не изменились при изменении констант а и б .
Каждый график сгенерированный будет симметричен относительно оси x. Только определенные графики также будет симметричным относительно оси Y.


Кривые Лиссажу

Типы сгенерированных кривых по нашим исходным параметрическим уравнениям сравните с тем, что называется Кривые Лиссажу. Эти типы кривых генерируются определенным формулы, аналогичные тем, которые мы использовали выше. Чтобы получить больше информации а чтобы поэкспериментировать с кривыми Лиссажу, посетите следующие веб-сайты:

Key Curriculum Press, Кривые Лиссажу
Математика Мир, Кривые Лиссажу

Ознакомьтесь с более интересными графиками для различных ценности а и б !


Вернуться на страницу класса

Как построить график параметрических уравнений на TI-84 Plus

Все, что можно изобразить в режиме Function на TI-84 Plus, а также представить в виде набора параметрических уравнений.Использование параметрических уравнений позволяет вам исследовать расстояние по горизонтали, x , и расстояние по вертикали, y , относительно времени, T. Это добавляет новое измерение к вашему графику!

Настройка окна

Настройка окна в параметрическом режиме является важным шагом в графическом отображении параметрических уравнений. На самом деле, если у моих студентов возникают проблемы с графическим отображением параметрических уравнений, это обычно происходит из-за того, как они настроили свое окно. В частности, проблемы обычно вызываются тремя настройками окна: Tmin, Tmax и Tstep.

Интервал для T задан в задаче

Таким образом, определить Tmin и Tmax для этой задачи довольно просто. Это может показаться странным, но изменение минимального и максимального значений T не влияет на окно просмотра вашего графика. Вам придется изменить минимальное и максимальное значения X и Y, чтобы изменить окно графика.

На что влияют значения T? Максимальное и минимальное значения T влияют на то, какую часть графика вы видите. В функциональном режиме кусочные функции имеют ограниченный домен, поэтому вы можете видеть только «кусок» функции.В параметрическом режиме значения T могут быть ограничены, что может затруднить прогнозирование того, как выглядел бы «весь» график, если бы значения T не были ограничены определенным интервалом.

Как определить размер Tstep? Tstep — это приращение, которое ваш график использует для построения каждой точки при создании графика, который вы видите на экране. Как правило, чем меньше ваш шаг, тем точнее будет ваш график.

Недостатком является то, что чем меньше шаг, тем больше времени требуется калькулятору для построения параметрических уравнений.Как правило, значение TStep по умолчанию обычно является хорошим балансом между точностью графика и временем, которое требуется для построения графика.

Вот шаги для настройки окна графика:

  1. Нажмите [WINDOW] для доступа к оконному редактору.

    См. первый экран.

  2. Измените значение Tmin и Tmax.

    См. второй экран.

  3. Нажмите [ВВОД].

    Обратите внимание, нажатие [ENTER] оценивает 2π и приблизительное значение 6.Отображается 283185307. Смотрите третий экран.

График параметрических уравнений

Вы сделали всю тяжелую работу; этот шаг прост. Перед тем, как нажать [GRAPH], убедитесь, что вы смотрите направление, в котором создается ваш график. Ваш калькулятор начинает построение графика с подстановки наименьшего значения T в интервале. Если ваш Tstep достаточно мал, вы сможете увидеть развитие графика.

Нажмите [ГРАФИК].

Использование Zoom для изменения окна

Если окно графика вам не нравится, вы можете использовать любую из команд Zoom.Например, если вы рисуете параметрические уравнения, показанные на первом экране, вам может не понравиться окно графика, показанное на втором экране. Нажмите [ZOOM][2][ENTER], чтобы увеличить масштаб, как показано на третьем экране.

Использование трассировки для оценки параметрического уравнения

Вам понравится использовать функцию трассировки для оценки параметрических уравнений. Большая часть информации умещается в рамке графика вокруг экрана графика. Помните, что вы не отслеживаете значения размером x , как в режиме Function.Выполните следующие шаги, чтобы оценить функцию при определенных значениях T:

  1. Нажмите [ТРАССИРОВАТЬ].

    См. первый экран. Ваша трассировка начинается с наименьшего значения T в интервале, заданном в редакторе Window. Значения X, Y и T отображаются на рамке в нижней части экрана графика.

    TI-84 Plus C отображает функции и информацию на границе графического экрана. TI-84 Plus отображает аналогичную информацию непосредственно на экране графика.

  2. Нажмите клавишу со стрелкой вправо, чтобы найти направление движения параметрических уравнений.

    Обратите внимание на направление движения при увеличении значения T.

  3. Введите конкретное значение T.

    После нажатия [TRACE] при вводе числа открывается строка ввода на рамке в нижней части экрана графика, как показано на втором экране.

  4. Нажмите [ВВОД].

    См. результат, показанный на третьем экране.

Просмотр таблицы параметрического графика

Легко просмотреть значения X, Y и T в одной таблице. Нажмите [2nd][GRAPH] для просмотра таблицы, как показано на первом экране.

Прочтите контекстную справку в верхней части таблицы. Чтобы изменить приращение таблицы, нажмите [+] и отредактируйте значение в нижней части экрана, как показано на втором экране.

Другой вариант — показать разделенный экран с графиком и таблицей. Нажмите [MODE], с помощью клавиш со стрелками выделите GRAPH-TABLE и нажмите [ENTER].Нажмите [GRAPH], чтобы увидеть разделенный экран. Использование Trace в режиме Graph-Table автоматически выделяет упорядоченные пары в таблице, как показано на третьем экране.

Страница не найдена — jjw3.com

Страница не найдена — jjw3.com

Вот несколько важных ссылок (Обновите закладки!):


Алгебра
Предварительное исчисление
Статистика
Исчисление I
Исчисление II
Исчисление III
Линейная алгебра

Мои фотографии

Пожалуйста, , сообщите о неработающей ссылке здесь.

Вы можете искать исходные страницы с помощью Wayback Machine на Archive.org.


Несколько интересных математических фактов о числе 404:

  • Множителями числа 404 являются 1, 2, 4, 101, 202 и 404. Так как 1 + 2 + 4 + 101 + 202 неполное число.
  • 404 можно записать как сумму восьми последовательных целых чисел: 47 + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + 54.
  • 404 можно записать как сумму четырех последовательных четных чисел: 98 + 100 + 102 + 104.
  • 404 можно записать как сумму двух последовательных нечетных чисел: 201 + 203.
  • 404 нельзя записать в виде суммы последовательных простых чисел.
  • Гипотеза Гольдбаха: каждое четное n > 2 является суммой двух простых чисел.
    404 можно записать в виде суммы двух различных простых чисел одиннадцатью способами:
    401 + 3 = 397 + 7 = 373 + 31 = 367 + 37 = 337 + 67 = 331 + 73 = 307 + 97 = 277 + 127 = 241 + 163 = 223 + 181 = 211 + 193.
  • 404 можно записать как сумму двух разных квадратных чисел ровно одним способом: 400 + 4.
  • 404 можно записать как сумму двух различных пятиугольных чисел ровно одним способом: 287 + 117.
  • 404 можно записать как сумму восьми последовательных пятиугольных чисел: 5 + 12 + 22 + 35 + 51 + 70 + 92 + 117.
  • 404 можно записать как сумму различных семиугольных чисел ровно двумя способами: 1 + 403 = 7 + 55 + 342.
  • 404 можно записать в виде суммы различных неагональных чисел ровно двумя способами: 46 + 154 + 204 = 9 + 24 + 46 + 325.
  • Если гипотенуза прямоугольного треугольника имеет длину 404 единицы, то длины катетов треугольника 80 и 396.
    По теореме Пифагора 80 2 + 396 2 = 404 2 .
  • Прямоугольник с единицами длины и ширины, имеет периметр 404 единицы и площадь 404 единицы 2 .
  • Задача «четыре четверки» — это задача написать любое целое число, используя любую математическую операцию И. только четыре четверки (т. е. никаких других цифр).
    404 можно выразить как .
  • 0,404404404404… = 404/999.
  • 0,404040404040404… = 4040/9999.
  • Вот представления числа 404 в разных системах счисления: 194 16 = 624 8 = 110010100 2
  • Вот представления числа 404 в различных системах счисления:

    404 римскими цифрами это CDIV

    404 в вавилонской Система счисления (основание 60):

    404 в системе счисления Майя (основание 20):

    404 в Египетские иероглифы:

    404 дюйма традиционный китайский:


Пишите мне сюда, если у вас есть дополнительные математические свойства номер 404, который я могу добавить на эту страницу.Спасибо.

Справка Graphmatica — Рисование параметрических графиков

Справка Graphmatica — Рисование параметрических графиков

ВВЕДЕНИЕ В ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРАФЫ

Параметрический график, как и полярный график, использует другой метод вычисления точек на плоскости для получения кривых, которые может быть трудно вычислить с использованием обычных прямоугольных координат. Они уникальны тем, что декартовы координаты x и y вычисляются на основе третьей переменной («параметр» x и y ), которую традиционно называют t (не путать с t используется Graphmatica для представления тета). t разрешено увеличиваться от начала указанного вами домена до конца. Для каждого значения вычисляются функции x(t) и y(t), чтобы получить координату (x,y), которая отображается на графике. Затем Graphmatica соединяет эти точки, чтобы сформировать гладкую кривую — если что-то, что вы рисуете, начинает выглядеть неровным, вам, вероятно, нужно отрегулировать точность. (Точность параметрического графика связана с тем же контролем точности, что и декартова и полярная графика, и должна быть приличной при значении точности по умолчанию, но если вам нужно, вы можете увеличить или уменьшить это значение.2 = t , где Graphmatica обычно находит как положительный, так и отрицательный корень , не поддерживается (вы можете ввести их, но будет найден только положительный корень). Вы можете вводить уравнения x и y в любом порядке, если они разделены точкой с запятой, и домен будет распознан в любом месте строки. Вы должны указать домен для каждого параметрического уравнения! Разнообразие кривых, которые можно нарисовать с помощью параметрических уравнений, велико и делает невозможным выбор подходящего домена по умолчанию.Некоторые кривые (например, круговые функции синуса и косинуса) лучше всего работают в области {0,2pi} , например полярные графики. Другие будут лучше соответствовать стандартному домену обычных графиков, размеру области просмотра. Некоторые имеют очень компактный домен, скажем, между 0 и 1, где они будут отображаться на экране. Если вы переоцените или недооцените домен, вы всегда можете прервать график и отредактировать уравнение.


kSoft, Inc. [email protected] Последнее обновление: вс, 11 июня 2017 г.

7.2 Исчисление параметрических кривых – Исчисление, том 2

Цели обучения

  • 7.2.1 Определить производные и уравнения касательных для параметрических кривых.
  • 7.2.2 Найдите площадь под параметрической кривой.
  • 7.2.3 Используйте уравнение для длины дуги параметрической кривой.
  • 7.2.4 Примените формулу площади поверхности к объему, созданному параметрической кривой.

Теперь, когда мы ввели понятие параметризованной кривой, наш следующий шаг — научиться работать с этим понятием в контексте исчисления.Например, если мы знаем параметризацию данной кривой, можно ли вычислить наклон касательной к кривой? Как насчет длины дуги кривой? Или площадь под кривой?

Другой сценарий: предположим, мы хотим представить положение бейсбольного мяча после того, как мяч покинет руку питчера. Если положение бейсбольного мяча представлено плоской кривой (x(t),y(t)),(x(t),y(t)), то мы должны быть в состоянии использовать исчисление, чтобы найти скорость мяча. мяч в любое время.Кроме того, мы должны быть в состоянии рассчитать, как далеко пролетел этот мяч в зависимости от времени.

Производные параметрических уравнений

Начнем с вопроса о том, как рассчитать наклон линии, касательной к параметрической кривой в точке. Рассмотрим плоскую кривую, заданную параметрическими уравнениями

x(t)=2t+3,y(t)=3t−4,−2≤t≤3.x(t)=2t+3,y(t)=3t−4,−2≤t≤3.

График этой кривой показан на рис. 7.16. Это отрезок, начинающийся с (−1,−10)(−1,−10) и заканчивающийся на (9,5).(9,5).

Фигура 7.16 График отрезка, описываемого заданными параметрическими уравнениями.

Мы можем исключить этот параметр, сначала решив уравнение x(t)=2t+3x(t)=2t+3 для t :

x(t)=2t+3x-3=2tt=x-32.x(t)=2t+3x-3=2tt=x-32.

Подставив это в y(t),y(t), мы получим

y(t)=3t−4y=3(x−32)−4y=3×2−92−4y=3×2−172.y(t)=3t−4y=3(x−32)−4y=3×2−92− 4y=3×2−172.

Наклон этой линии определяется выражением dydx=32.dydx=32. Далее мы вычисляем x′(t)x′(t) и y′(t).у'(т). Это дает x′(t)=2x′(t)=2 и y′(t)=3.y′(t)=3. Обратите внимание, что dydx=dy/dtdx/dt=32.dydx=dy/dtdx/dt=32. Это не случайно, как показано в следующей теореме.

Теорема 7.1

Производная параметрических уравнений

Рассмотрим плоскую кривую, заданную параметрическими уравнениями x=x(t)x=x(t) и y=y(t).y=y(t). Предположим, что x′(t)x′(t) и y′(t)y′(t) существуют, и предположим, что x′(t)≠0.x′(t)≠0. Тогда производная dydxdydx равна

. dydx=dy/dtdx/dt=y′(t)x′(t).dydx=dy/dtdx/dt=y′(t)x′(t).

(7.1)

Доказательство

Эту теорему можно доказать с помощью цепного правила. В частности, предположим, что параметр t можно исключить, что дает дифференцируемую функцию y=F(x).y=F(x). Тогда y(t)=F(x(t)).y(t)=F(x(t)). Дифференцирование обеих частей этого уравнения с использованием цепного правила дает

y′(t)=F′(x(t))x′(t),y′(t)=F′(x(t))x′(t),

так

F′(x(t))=y′(t)x′(t).F′(x(t))=y′(t)x′(t).

Но F′(x(t))=dydx, F′(x(t))=dydx, что доказывает теорему.

Уравнение 7.1 можно использовать для вычисления производных плоских кривых, а также критических точек. Напомним, что критическая точка дифференцируемой функции y=f(x)y=f(x) — это любая точка x=x0x=x0 такая, что либо f′(x0)=0f′(x0)=0, либо f′(x0 )f′(x0) не существует. Уравнение 7.1 дает формулу наклона касательной к кривой, определенной параметрически, независимо от того, может ли кривая быть описана функцией y=f(x)y=f(x) или нет.

Пример 7.4

Нахождение производной параметрической кривой

Вычислите производную dydxdydx для каждой из следующих параметрически заданных плоских кривых и найдите любые критические точки на соответствующих графиках.

  1. x(t)=t2−3,y(t)=2t−1,−3≤t≤4x(t)=t2−3,y(t)=2t−1,−3≤t≤4
  2. x(t)=2t+1,y(t)=t3−3t+4,−2≤t≤5x(t)=2t+1,y(t)=t3−3t+4,−2≤t ≤5
  3. x(t)=5cost,y(t)=5sint,0≤t≤2πx(t)=5cost,y(t)=5sint,0≤t≤2π
Решение
  1. Чтобы применить уравнение 7.1, сначала вычислите x'(t)x'(t) и y'(t):y'(t):
    x′(t)=2ty′(t)=2.x′(t)=2ty′(t)=2.
    Затем подставьте их в уравнение:
    dydx=dy/dtdx/dtdydx=22tdydx=1t.dydx=dy/dtdx/dtdydx=22tdydx=1t.
    Эта производная не определена, когда t=0.t=0. Вычисление x(0)x(0) и y(0)y(0) дает x(0)=(0)2−3=−3x(0)=(0)2−3=−3 и y(0 )=2(0)−1=−1,y(0)=2(0)−1=−1, что соответствует точке (−3,−1)(−3,−1) на графике. График этой кривой представляет собой параболу, открывающуюся вправо, а точка (−3,−1)(−3,−1) является ее вершиной, как показано.

    Фигура 7.17 График параболы, описываемой параметрическими уравнениями в части а.

  2. Чтобы применить уравнение 7.1, сначала вычислите x'(t)x'(t) и y'(t):y'(t):
    х'(t)=2y'(t)=3t2−3.х'(t)=2y'(t)=3t2−3.
    Затем подставьте их в уравнение:
    dydx=dy/dtdx/dtdydx=3t2−32.dydx=dy/dtdx/dtdydx=3t2−32.
    Эта производная равна нулю, когда t=±1.t=±1. Когда t=−1t=−1, мы имеем
    х(-1)=2(-1)+1=-1andy(-1)=(-1)3-3(-1)+4=-1+3+4=6,x(-1)= 2(−1)+1=−1andy(−1)=(−1)3−3(−1)+4=−1+3+4=6,
    что соответствует точке (−1,6)(−1,6) на графике. При t=1t=1 имеем
    x(1)=2(1)+1=3andy(1)=(1)3−3(1)+4=1−3+4=2,x(1)=2(1)+1=3andy (1)=(1)3−3(1)+4=1−3+4=2,
    что соответствует точке (3,2)(3,2) на графике.Точка (3,2)(3,2) является относительным минимумом, а точка (-1,6)(-1,6) является относительным максимумом, как показано на следующем графике.

    Фигура 7.18 График кривой, описываемой параметрическими уравнениями в части б.

  3. Чтобы применить уравнение 7.1, сначала вычислите x'(t)x'(t) и y'(t):y'(t):
    x'(t)=-5sinty'(t)=5cost.x'(t)=-5sinty'(t)=5cost.
    Затем подставьте их в уравнение:
    dydx=dy/dtdx/dtdydx=5cost-5sintdydx=-cott.dydx=dy/dtdx/dtdydx=5cost-5sintdydx=-cott.
    Эта производная равна нулю, когда cost=0cost=0, и не определена, когда sint=0.sint=0. Это дает t=0,π2,π,3π2 и 2πt=0,π2,π,3π2 и 2π как критические точки для t. Подставив каждое из них в x(t)x(t) и y(t),y(t), мы получим
    тт х(т)х(т) у(т)у(т)
    0 5 0
    π2π2 0 5
    ππ −5 0
    3π23π2 0 −5
    2π2π 5 0

    Эти точки соответствуют сторонам, вершине и низу круга, представленного параметрическими уравнениями (рис. 7.19). На левом и правом краях круга производная не определена, а сверху и снизу производная равна нулю.

    Фигура 7.19 График кривой, описываемой параметрическими уравнениями в части c.

Пропускной пункт 7.4

Вычислить производную dy/dxdy/dx для плоской кривой, определяемой уравнениями

x(t)=t2−4t,y(t)=2t3−6t,−2≤t≤3x(t)=t2−4t,y(t)=2t3−6t,−2≤t≤3

и найдите критические точки на его графике.

Пример 7,5

Нахождение касательной

Найдите уравнение касательной к кривой, определяемой уравнениями

x(t)=t2−3,y(t)=2t−1,−3≤t≤4, когда=2.x(t)=t2−3,y(t)=2t−1,−3≤t≤ 4когда=2.
Решение

Сначала найдите наклон касательной с помощью уравнения 7.1, что означает вычисление x'(t)x'(t) и y'(t):y'(t):

x′(t)=2ty′(t)=2.x′(t)=2ty′(t)=2.

Затем подставьте их в уравнение:

dydx=dy/dtdx/dtdydx=22tdydx=1t.dydx=dy/dtdx/dtdydx=22tdydx=1t.

Когда t=2,t=2, dydx=12,dydx=12, это наклон касательной. Вычисление x(2)x(2) и y(2)y(2) дает

х(2)=(2)2−3=1andy(2)=2(2)−1=3,x(2)=(2)2−3=1andy(2)=2(2)−1= 3,

, что соответствует точке (1,3)(1,3) на графике (рис. 7.20). Теперь используйте форму точки-наклона уравнения линии, чтобы найти уравнение касательной линии:

y−y0=m(x−x0)y−3=12(x−1)y−3=12x−12y=12x+52.y−y0=m(x−x0)y−3=12(x− 1)у-3=12х-12у=12х+52. Фигура 7.20 Касательная к параболе, описываемой данными параметрическими уравнениями при t=2.t=2.

Пропускной пункт 7,5

Найдите уравнение касательной к кривой, определяемой уравнениями

x(t)=t2−4t,y(t)=2t3−6t,−2≤t≤10, когда=5.x(t)=t2−4t,y(t)=2t3−6t,−2≤t≤ 10когда=5.

Производные второго порядка

Наша следующая цель — увидеть, как взять вторую производную функции, заданной параметрически. Вторая производная функции y=f(x)y=f(x) определяется как производная первой производной; то есть

d2ydx2=ddx[dydx].d2ydx2=ddx[dydx].

Поскольку dydx=dy/dtdx/dt, dydx=dy/dtdx/dt, мы можем заменить yy в обеих частях этого уравнения на dydx.dydx. Это дает нам

d2ydx2=ddx(dydx)=(d/dt)(dy/dx)dx/dt.d2ydx2=ddx(dydx)=(d/dt)(dy/dx)dx/dt.

(7.2)

Если мы знаем dy/dxdy/dx как функцию t, , то эту формулу легко применить.

Пример 7.6

Нахождение второй производной

Вычислите вторую производную d2y/dx2d2y/dx2 для плоской кривой, определяемой параметрическими уравнениями x(t)=t2−3,y(t)=2t−1,−3≤t≤4.x(t)=t2−3,y(t)=2t−1,−3≤t≤4.

Решение

Из примера 7.4 мы знаем, что dydx=22t=1t.dydx=22t=1t. Используя уравнение 7.2, мы получаем

d2ydx2=(d/dt)(dy/dx)dx/dt=(d/dt)(1/t)2t=-t-22t=-12t3.d2ydx2=(d/dt)(dy/dx)dx/ dt=(d/dt)(1/t)2t=-t-22t=-12t3.

Пропускной пункт 7.6

Вычислите вторую производную d2y/dx2d2y/dx2 для плоской кривой, определяемой уравнениями

x(t)=t2−4t,y(t)=2t3−6t,−2≤t≤3x(t)=t2−4t,y(t)=2t3−6t,−2≤t≤3

и найдите критические точки на его графике.

Интегралы, использующие параметрические уравнения

Теперь, когда мы увидели, как вычислить производную плоской кривой, возникает следующий вопрос: как найти площадь под кривой, заданной параметрически? Вспомним циклоиду, определяемую уравнениями x(t)=t−sint,y(t)=1−cost.x(t)=t−sint,y(t)=1−cost. Предположим, мы хотим найти площадь заштрихованной области на следующем графике.

Фигура 7.21 График циклоиды с выделенной дугой над [0,2π][0,2π].

Вывести формулу площади под кривой, определяемой функциями

x=x(t),y=y(t),a≤t≤b,x=x(t),y=y(t),a≤t≤b,

мы предполагаем, что x(t)x(t) возрастает на интервале t ∈ [a, b]t ∈ [a, b], а x(t)x(t) дифференцируема, и начинаем с равного разбиения интервал a≤t≤ba≤t≤b. Предположим, что t0=a

Фигура 7.22 Аппроксимация площади под параметрически заданной кривой.

Мы используем прямоугольники для аппроксимации площади под кривой. Высота i-го прямоугольника равна y(ti−1)y(ti−1), поэтому площадь равна

∑i=1ny(ti-1)(x(ti)-x(ti-1)=∑i=1ny(ti-1)(x(ti)-x(ti-1)(ti-ti-1) (ti-ti-1)→∫aby(t)x'(t)dt as max{(ti-ti-1)}→0∑i=1ny(ti-1)(x(ti)-x(ti -1)=∑i=1ny(ti-1)(x(ti)-x(ti-1)(ti-ti-1)(ti-ti-1)→∫aby(t)x'(t) dt as max{(ti-ti-1)}→0

Это следует из результатов, полученных в исчислении 1 для функции y(ti-1)(x(ti)-x(ti-1)(ti-ti-1).y(ti-1)(x(ti)- х(ти-1)(ти-ти-1).

Тогда сумма Римана для площади равна

An=∑i=1ny(x(t–i))(x(ti)−x(ti−1)).An=∑i=1ny(x(t–i))(x(ti)−x( ти−1)).

Умножение и деление каждой площади на ti-ti-1ti-ti-1 дает

An=∑i=1ny(x(t–i))(x(ti)−x(ti−1)ti−ti−1)(ti−ti−1)=∑i=1ny(x(t–i ))(x(ti)−x(ti−1)Δt)Δt.An=∑i=1ny(x(t–i))(x(ti)−x(ti−1)ti−ti−1) (ti−ti−1)=∑i=1ny(x(t–i))(x(ti)−x(ti−1)Δt)Δt.

Принятие предела при приближении nn к бесконечности дает

A=limn→∞An=∫aby(t)x′(t)dt. A=limn→∞An=∫aby(t)x′(t)dt.

Если xx является убывающей функцией для a≤t≤ba≤t≤b, аналогичный вывод покажет, что площадь определяется выражением -∫aby(t)x'(t)dt=∫aby(t)x'( t)dt-∫aby(t)x'(t)dt=∫aby(t)x'(t)dt

Это приводит к следующей теореме.

Теорема 7.2

Площадь под параметрической кривой

Рассмотрим несамопересекающуюся плоскую кривую, определяемую параметрическими уравнениями

x=x(t),y=y(t),a≤t≤bx=x(t),y=y(t),a≤t≤b

и предположим, что x(t)x(t) дифференцируема. Площадь под этой кривой равна

. A=∫aby(t)x′(t)dt. A=∫aby(t)x′(t)dt.

(7.3)

Пример 7.7

Нахождение площади под параметрической кривой

Найдите площадь под кривой циклоиды, определяемой уравнениями

x(t)=t−sint,y(t)=1−стоимость,0≤t≤2π.x(t)=t−sint,y(t)=1−стоимость,0≤t≤2π.
Решение

Используя уравнение 7.3, мы имеем

A=∫aby(t)x′(t)dt=∫02π(1−стоимость)(1−стоимость)dt=∫02π(1−2cost+cos2t)dt=∫02π(1−2cost+1+cos2t2) dt=∫02π(32−2cost+cos2t2)dt=3t2−2sint+sin2t4|02π=3π.A=∫aby(t)x′(t)dt=∫02π(1−cost)(1−cost)dt =∫02π(1−2cost+cos2t)dt=∫02π(1−2cost+1+cos2t2)dt=∫02π(32−2cost+cos2t2)dt=3t2−2sint+sin2t4|02π=3π.

Пропускной пункт 7.7

Найдите площадь под кривой гипоциклоиды, определяемой уравнениями

x(t)=3cost+cos3t,y(t)=3sint−sin3t,0≤t≤π.x(t)=3cost+cos3t,y(t)=3sint−sin3t,0≤t≤π.

Длина дуги параметрической кривой

В дополнение к нахождению площади под параметрической кривой нам иногда нужно найти длину дуги параметрической кривой. В случае линейного сегмента длина дуги равна расстоянию между конечными точками. Если частица движется из точки A в точку B по кривой, то расстояние, которое проходит частица, является длиной дуги. Чтобы разработать формулу для длины дуги, мы начнем с аппроксимации отрезками, как показано на следующем графике.

Фигура 7.23 Аппроксимация кривой отрезками.

Для заданной плоской кривой, заданной функциями x=x(t),y=y(t),a≤t≤b,x=x(t),y=y(t),a≤t≤b, мы начнем с разделения интервала [a,b][a,b] на n равных подинтервалов: t0=a

Мы можем обобщить этот метод в следующей теореме.

Теорема 7.3

Длина дуги параметрической кривой

Рассмотрим плоскую кривую, заданную параметрическими уравнениями

x=x(t),y=y(t),t1≤t≤t2x=x(t),y=y(t),t1≤t≤t2

и предположим, что x(t)x(t) и y(t)y(t) — дифференцируемые функции от t. Тогда длина дуги этой кривой равна

s=∫t1t2(dxdt)2+(dydt)2dt.s=∫t1t2(dxdt)2+(dydt)2dt.

(7.5)

На этом этапе вывод стороны приводит к предыдущей формуле для длины дуги. В частности, предположим, что параметр можно исключить, что приведет к функции y=F(x).y=F(x). Тогда y(t)=F(x(t))y(t)=F(x(t)) и Цепное правило дает y′(t)=F′(x(t))x′(t). y′(t)=F′(x(t))x′(t). Подставляя это в уравнение 7.5, получаем

s=∫t1t2(dxdt)2+(dydt)2dt=∫t1t2(dxdt)2+(F′(x)dxdt)2dt=∫t1t2(dxdt)2(1+(F′(x))2)dt =∫t1t2x′(t)1+(dydx)2dt.s=∫t1t2(dxdt)2+(dydt)2dt=∫t1t2(dxdt)2+(F′(x)dxdt)2dt=∫t1t2(dxdt) 2(1+(F′(x))2)dt=∫t1t2x′(t)1+(dydx)2dt.

Здесь мы предположили, что x′(t)>0,x′(t)>0, что является разумным предположением. Цепное правило дает dx=x′(t)dt, dx=x′(t)dt, и если a=x(t1)a=x(t1) и b=x(t2)b=x(t2), мы получить формулу

s=∫ab1+(dydx)2dx,s=∫ab1+(dydx)2dx,

, которая представляет собой формулу длины дуги, полученную во Введении в приложения интегрирования.

Пример 7,8

Определение длины дуги параметрической кривой

Найдите длину дуги полуокружности, определяемой уравнениями

x(t)=3cost,y(t)=3sint,0≤t≤π.x(t)=3cost,y(t)=3sint,0≤t≤π.
Решение

Значения от t=0t=0 до t=πt=π соответствуют красной кривой на рис. 7.23. Чтобы определить его длину, используйте уравнение 7.5:

s=∫t1t2(dxdt)2+(dydt)2dt=∫0π(−3sint)2+(3cost)2dt=∫0π9sin2t+9cos2tdt=∫0π9(sin2t+cos2t)dt=∫0π3dt=3t|0π=3π. s=∫t1t2(dxdt)2+(dydt)2dt=∫0π(−3sint)2+(3cost)2dt=∫0π9sin2t+9cos2tdt=∫0π9(sin2t+cos2t)dt=∫0π3dt=3t|0π=3π.

Обратите внимание, что формула длины дуги полукруга равна πrπr, а радиус этого круга равен 3.Это отличный пример использования исчисления для вывода известной формулы геометрической величины.

Фигура 7,24 Длина дуги полукруга равна его радиусу, умноженному на π.π.

Пропускной пункт 7,8

Найдите длину дуги кривой, определяемой уравнениями

x(t)=3t2,y(t)=2t3,1≤t≤3.x(t)=3t2,y(t)=2t3,1≤t≤3.

Теперь вернемся к задаче, поставленной в начале раздела, о бейсбольном мяче, вылетающем из руки питчера. Игнорируя эффект сопротивления воздуха (если только это не криволинейный мяч!), мяч движется по параболе.Предполагая, что рука питчера находится в начале координат, а мяч движется слева направо в направлении положительной оси x , параметрические уравнения для этой кривой можно записать как

x(t)=140t,y(t)=-16t2+2tx(t)=140t,y(t)=-16t2+2t

, где t представляет время. Сначала вычислим расстояние, пройденное мячом, как функцию времени. Это расстояние представлено длиной дуги. Мы можем немного изменить формулу длины дуги. Сначала перепишите функции x(t)x(t) и y(t)y(t), используя v в качестве независимой переменной, чтобы избежать путаницы с параметром t :

. х(v)=140v,y(v)=-16v2+2v.х(v)=140v,y(v)=-16v2+2v.

Тогда мы запишем формулу длины дуги следующим образом:

s(t)=∫0t(dxdv)2+(dydv)2dv=∫0t1402+(−32v+2)2dv.s(t)=∫0t(dxdv)2+(dydv)2dv=∫0t1402+(−32v+ 2)2дв.

Переменная v действует как фиктивная переменная, которая исчезает после интегрирования, оставляя длину дуги как функцию времени t. Чтобы проинтегрировать это выражение, мы можем использовать формулу из Приложения А,

∫a2+u2du=u2a2+u2+a22ln|u+a2+u2|+C. ∫a2+u2du=u2a2+u2+a22ln|u+a2+u2|+C.

Устанавливаем a=140a=140 и u=−32v+2.и=-32в+2. Это дает du=-32dv, du=-32dv, поэтому dv=-132du.dv=-132du. Поэтому

∫1402+(-32v+2)2dv=-132∫a2+u2du=-132[(-32v+2)21402+(-32v+2)2+14022ln|(-32v+2)+1402+(- 32v+2)2|]+C∫1402+(−32v+2)2dv=−132∫a2+u2du=−132[(−32v+2)21402+(−32v+2)2+14022ln|(− 32v+2)+1402+(−32v+2)2|]+C

и

s(t)=-132[(-32t+2)21402+(-32t+2)2+14022ln|(-32t+2)+1402+(-32t+2)2|]+132[1402+22 +14022ln|2+1402+22|]=(t2−132)1024t2−128t+19604−12254ln|(−32t+2)+1024t2−128t+19604|+1960432+12254ln(2+19604).s(t )=-132[(-32t+2)21402+(-32t+2)2+14022ln|(-32t+2)+1402+(-32t+2)2|]+132[1402+22+14022ln| 2+1402+22|]=(t2−132)1024t2−128t+19604−12254ln|(−32t+2)+1024t2−128t+19604|+1960432+12254ln(2+19604).

Эта функция представляет расстояние, пройденное мячом, как функцию времени. Для вычисления скорости возьмем производную этой функции по т. Хотя это может показаться сложной задачей, можно получить ответ непосредственно из Фундаментальной теоремы исчисления:

ddx∫axf(u)du=f(x).ddx∫axf(u)du=f(x).

Поэтому

s′(t)=ddt[s(t)]=ddt[∫0t1402+(−32v+2)2dv]=1402+(−32t+2)2=1024t2−128t+19604=2256t2−32t+4901.s ′(t)=ddt[s(t)]=ddt[∫0t1402+(−32v+2)2dv]=1402+(−32t+2)2=1024t2−128t+19604=2256t2−32t+4901.

Через одну треть секунды после того, как мяч покинул руку питчера, расстояние, которое он проходит, равно

s(13)=(1/32−132)1024(13)2−128(13)+19604−12254ln|(−32(13)+2)+1024(13)2−128(13)+19604| +1960432+12254ln(2+19604)≈46,69 футов.с(13)=(1/32−132)1024(13)2−128(13)+19604−12254ln|(−32(13)+2)+ 1024(13)2−128(13)+19604|+1960432+12254ln(2+19604)≈46,69 футов.

Это значение составляет чуть более трех четвертей пути к домашней тарелке. Скорость мяча

. s′(13)=2256(13)2−16(13)+4901≈140,34 фут/с′(13)=2256(13)2−16(13)+4901≈140.34 фута/с.

Эта скорость соответствует примерно 95 милям в час — фастбол высшей лиги.

Площадь поверхности, сгенерированная параметрической кривой

Вспомним задачу о нахождении площади поверхности объема вращения. В разделе «Длина кривой и площадь поверхности» мы вывели формулу для нахождения площади поверхности объема, созданного функцией y=f(x)y=f(x) от x=ax=a до x=b,x=b, вращался вокруг оси x :

S=2π∫abf(x)1+(f′(x))2dx.S=2π∫abf(x)1+(f′(x))2dx.

Теперь рассмотрим объем вращения, образованный вращением параметрически заданной кривой x=x(t),y=y(t),a≤t≤bx=x(t),y=y(t),a≤t ≤b вокруг оси 90 510 x 90 511, как показано на следующем рисунке.

Фигура 7,25 Поверхность вращения, созданная параметрически заданной кривой.

Аналогичная формула для параметрически заданной кривой:

S=2π∫aby(t)(x′(t))2+(y′(t))2dtS=2π∫aby(t)(x′(t))2+(y′(t))2dt

(7.6)

при условии, что y(t)y(t) неотрицательна на [a,b].[a,b].

Пример 7,9

Определение площади поверхности

Найдите площадь поверхности сферы радиусом r с центром в начале координат.

Решение

Начнем с кривой, определяемой уравнениями

x(t)=rcost,y(t)=rsint,0≤t≤π.x(t)=rcost,y(t)=rsint,0≤t≤π.

Создается верхняя полуокружность радиусом r с центром в начале координат, как показано на следующем графике.

Фигура 7,26 Полуокружность, порожденная параметрическими уравнениями.

Когда эта кривая вращается вокруг оси x , она генерирует сферу радиусом r .Чтобы рассчитать площадь поверхности сферы, мы используем уравнение 7.6:

S=2π∫aby(t)(x′(t))2+(y′(t))2dt=2π∫0πrsint(−rsint)2+(rcost)2dt=2π∫0πrsintr2sin2t+r2cos2tdt=2π∫0πrsint2( sin2t+cos2t)dt=2π∫0πr2sintdt=2πr2(−cost|0π)=2πr2(−cosπ+cos0)=4πr2.S=2π∫aby(t)(x′(t))2+(y′(t ))2dt=2π∫0πrsint(−rsint)2+(rcost)2dt=2π∫0πrsintr2sin2t+r2cos2tdt=2π∫0πrsintr2(sin2t+cos2t)dt=2π∫0πr2sintdt=2πr2(−cost|0π)=2πr2(−cosπ +cos0)=4πr2.

Фактически это формула площади поверхности сферы.

Пропускной пункт 7.9

Найдите площадь поверхности, созданную, когда плоская кривая определяется уравнениями

x(t)=t3,y(t)=t2,0≤t≤1x(t)=t3,y(t)=t2,0≤t≤1

вращается вокруг оси x .

Раздел 7.2 Упражнения

В следующих упражнениях каждый набор параметрических уравнений представляет линию. Не исключая параметр, найдите наклон каждой линии.

62 .

х=3+t,y=1-tx=3+t,y=1-t

64 .

х=4-3т, у=-2+6тх=4-3т, у=-2+6т

65 .

х=-5т+7,у=3т-1х=-5т+7,у=3т-1

Для следующих упражнений определите наклон касательной, затем найдите уравнение касательной при заданном значении параметра.

66 .

x=3sint,y=3cost,t=π4x=3sint,y=3cost,t=π4

67 .

x=стоимость,y=8sint,t=π2x=стоимость,y=8sint,t=π2

68 .

х=2t,y=t3,t=-1x=2t,y=t3,t=-1

69 .

х=t+1t,y=t−1t,t=1x=t+1t,y=t−1t,t=1

В следующих упражнениях найдите все точки на кривой с заданным наклоном.

71 .

x=4cost,y=4sint,x=4cost,y=4sint, наклон = 0,5

72 .

x=2cost,y=8sint,slope=-1x=2cost,y=8sint,slope=-1

73 .

х=t+1t,y=t-1t,наклон=1x=t+1t,y=t-1t,наклон=1

74 .

x=2+t,y=2−4t, наклон=0x=2+t,y=2−4t, наклон=0

Для следующих упражнений напишите уравнение касательной в декартовых координатах для заданного параметра t .

75 .

х=et,y=1-lnt2,t=1x=et,y=1-lnt2,t=1

76 .

х=tlnt,y=sin2t,t=π4x=tlnt,y=sin2t,t=π4

77 .

х=et,y=(t−1)2,at(1,1)x=et,y=(t−1)2,at(1,1)

78 .

Для x=sin(2t),y=2sintx=sin(2t),y=2sint, где 0≤t<2π.0≤t<2π. Найдите все значения t , при которых существует горизонтальная касательная.

79 .

Для x=sin(2t),y=2sintx=sin(2t),y=2sint, где 0≤t<2π.0≤t<2π. Найдите все значения t , при которых существует вертикальная касательная.

80 .

Найдите все точки на кривой x=4sin(t),y=4cos(t)x=4sin(t),y=4cos(t), которые имеют наклон 0.50,5

81 .

Найдите dydxdydx для x=sin(t),y=cos(t).x=sin(t),y=cos(t).

82 .

Найдите уравнение касательной к x=sin(t),y=cos(t)x=sin(t),y=cos(t) при t=π4.t=π4.

83 .

Для кривой x=4t,y=3t−2,x=4t,y=3t−2 найдите наклон и вогнутость кривой при t=3.t=3.

84 .

Для параметрической кривой, уравнение которой имеет вид x=4cosθ,y=4sinθ,x=4cosθ,y=4sinθ, найдите наклон и вогнутость кривой при θ=π4.θ=π4.

85 .

Найдите наклон и вогнутость кривой, уравнение которой имеет вид x=2+secθ,y=1+2tanθx=2+secθ,y=1+2tanθ при θ=π6.θ=π6.

86 .

Найдите все точки на кривой x=t+4,y=t3−3tx=t+4,y=t3−3t, в которых есть вертикальные и горизонтальные касательные.

87 .

Найдите все точки на кривой x=secθ,y=tanθx=secθ,y=tanθ, в которых существуют горизонтальные и вертикальные касательные.

Для следующих упражнений найдите d2y/dx2.d2y/dx2.

88 .

х=t4−1,y=t−t2x=t4−1,y=t−t2

89 .

х=sin(πt),y=cos(πt)x=sin(πt),y=cos(πt)

90 .

х=e-t,y=te2tx=e-t,y=te2t

Для следующих упражнений найдите точки на кривой, в которых касательная горизонтальна или вертикальна.

91 .

х=t(t2−3),y=3(t2−3)x=t(t2−3),y=3(t2−3)

92 .

х=3t1+t3,y=3t21+t3x=3t1+t3,y=3t21+t3

Для следующих упражнений найдите dy/dxdy/dx по значению параметра.

93 .

х=стоимость,у=sint,t=3π4x=стоимость,y=sint,t=3π4

94 .

х=т,у=2т+4,т=9х=т,у=2т+4,т=9

95 .

х=4cos(2πs),y=3sin(2πs),s=−14x=4cos(2πs),y=3sin(2πs),s=−14

Для следующих упражнений найдите d2y/dx2d2y/dx2 в заданной точке, не исключая параметр.

96 .

х=12т2,у=13т3,т=2х=12т2,у=13т3,т=2

97 .

х=т,у=2т+4,т=1х=т,у=2т+4,т=1

98 .

Найдите t интервалов, на которых кривая x=3t2,y=t3−tx=3t2,y=t3−t является вогнутой вверх и вогнутой вниз.

99 .

Определить вогнутость кривой x=2t+lnt,y=2t−lnt.x=2t+lnt,y=2t−lnt.

100 .

Нарисуйте и найдите площадь под одной дугой циклоиды x=r(θ−sinθ),y=r(1−cosθ).x=r(θ−sinθ),y=r(1−cosθ).

101 .

Найдите площадь, ограниченную кривой x=cost,y=et,0≤t≤π2x=cost,y=et,0≤t≤π2 и прямыми y=1y=1 и x=0.x=0.

102 .

Найдите площадь, заключенную в эллипс x=acosθ,y=bsinθ,0≤θ<2π.x=acosθ,y=bsinθ,0≤θ<2π.

103 .

Найдите площадь области, ограниченной x=2sin2θ,y=2sin2θtanθ,x=2sin2θ,y=2sin2θtanθ, для 0≤θ≤π2.0≤θ≤π2.

Для следующих упражнений найдите площадь областей, ограниченных параметрическими кривыми и указанными значениями параметра.

104 .

х=2cotθ,y=2sin2θ,0≤θ≤πx=2cotθ,y=2sin2θ,0≤θ≤π

105 .

[T] x=2acost-acos(2t),y=2asint-asin(2t),0≤t<2πx=2acost-acos(2t),y=2asint-asin(2t),0≤t< 2π

106 .

[T] x=asin(2t),y=bsin(t),0≤t<2πx=asin(2t),y=bsin(t),0≤t<2π («песочные часы»)

107 .

[T] x=2acost-asin(2t),y=bsint,0≤t<2πx=2acost-asin(2t),y=bsint,0≤t<2π («слеза»)

Для следующих упражнений найдите длину дуги кривой на указанном интервале параметра.

108 .

x=4t+3,y=3t−2,0≤t≤2x=4t+3,y=3t−2,0≤t≤2

109 .

x=13t3,y=12t2,0≤t≤1x=13t3,y=12t2,0≤t≤1

110 .

х=cos(2t),y=sin(2t),0≤t≤π2x=cos(2t),y=sin(2t),0≤t≤π2

111 .

x=1+t2,y=(1+t)3,0≤t≤1x=1+t2,y=(1+t)3,0≤t≤1

112 .

x=etcost,y=etsint,0≤t≤π2x=etcost,y=etsint,0≤t≤π2 (Используйте для этого CAS и представьте ответ в виде десятичного числа, округленного до трех знаков.)

113 .

x=acos3θ,y=asin3θx=acos3θ,y=asin3θ на интервале [0,2π)[0,2π) (гипоциклоида)

114 .

Найдите длину одной дуги циклоиды x=4(t−sint),y=4(1−cost).x=4(t−sint),y=4(1−cost).

115 .

Найти расстояние, пройденное частицей с положением (x,y)(x,y) при изменении t в заданном интервале времени: x=sin2t,y=cos2t,0≤t≤3π.x=sin2t,y =cos2t,0≤t≤3π.

116 .

Найдите длину одной дуги циклоиды x=θ−sinθ,y=1−cosθ.x=θ−sinθ,y=1−cosθ.

117 .

Покажите, что общая длина эллипса x=4sinθ,y=3cosθx=4sinθ,y=3cosθ равна L=16∫0π/21−e2sin2θdθ,L=16∫0π/21−e2sin2θdθ, где e=cae=ca и с=а2−b2.с=а2−b2.

118 .

Найдите длину кривой x=et−t,y=4et/2,−8≤t≤3.x=et−t,y=4et/2,−8≤t≤3.

Для следующих упражнений найдите площадь поверхности, полученной вращением заданной кривой вокруг оси x .

119 .

х=t3,y=t2,0≤t≤1x=t3,y=t2,0≤t≤1

120 .

x=acos3θ,y=asin3θ,0≤θ≤π2x=acos3θ,y=asin3θ,0≤θ≤π2

121 .

[T] Используйте CAS, чтобы найти площадь поверхности, образованной вращением x=t+t3,y=t−1t2,1≤t≤2x=t+t3,y=t−1t2,1≤t ≤2 относительно оси x .(Ответ с точностью до трех знаков после запятой.)

122 .

Найдите площадь поверхности, полученную вращением x=3t2,y=2t3,0≤t≤5x=3t2,y=2t3,0≤t≤5 вокруг оси y .

123 .

Найдите площадь поверхности, образованной вращением x=t2,y=2t,0≤t≤4x=t2,y=2t,0≤t≤4 вокруг оси x .

124 .

Найдите площадь поверхности, образованную вращением x=t2,y=2t2,0≤t≤1x=t2,y=2t2,0≤t≤1 вокруг оси y .

Точки, векторы и функции Построение графиков параметрических уравнений

Построение графиков параметрических уравнений аналогично построению графиков векторных функций.

Один из способов графического отображения параметрических уравнений состоит в том, чтобы найти точки для определенных значений t , нарисовать эти точки, а затем сыграть в «соедини точки». Точки обычно дают представление о форме графика. Тогда мы знаем, соединять ли точки прямыми линиями или кривыми.

Мы можем пометить точки их t -значениями и поставить стрелки на соединительные линии или кривые, чтобы показать порядок, в котором точки рисуются.

Также можно изобразить параметрические функции в виде графиков, если заданы графики вместо формул для составляющих функций f ( t ) и g ( t ).

График x = f ( t ) имеет t — и x -осей.
График g имеет t — и y -осей.

Берем информацию с этих графиков и строим новый график с осями x и y .

Один из способов собрать информацию, необходимую для нового графика, — построить таблицу значений, как мы это делали раньше.

Вместо использования формул для вычисления значений x и y при определенных значениях t мы считываем значения x и y с соответствующих графиков.

Откуда мы знаем, что линии прямые?

Если обе функции x = f ( t ) и y = g ( t ) состоят из отрезков прямых, то график параметрической функции также будет построен из отрезков прямой линии.

Поверьте нам на слово. Мы обосновываем это, когда будем говорить о наклонах параметрических функций.

Составление таблицы значений может помочь сохранить правильность t , x и y .{1} (x(t) y(t))’ \, dt = x(1) y(1) — x(0) y(0) = 0.∫xdy+∫ydx=∫01​[x(t )y′(t)+y(t)x′(t)]dt=∫01​(x(t)y(t))′dt=x(1)y(1)−x(0)y( 0)=0. Таким образом, две формулы площади равны с точностью до знака .

Это иллюстрирует идею о том, что эта формула на самом деле дает области со знаком , что означает, что значение интеграла ∫y dx\int y\, dx∫ydx положительно или отрицательно в зависимости от того, лежит ли ограниченная область слева или справа от Кривая.

Ваш комментарий будет первым

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.