Аппроксимация функции одной переменной методом наименьших квадратов с дополнительными условиями
Данный калькулятор использует метод наименьших квадратов (МНК) для аппроксимации функции одной переменной, аналогично калькулятору Аппроксимация функции одной переменной. Но, в отличии от указанного калькулятора, данный калькулятор поддерживает аппроксимацию функции с использованием ограничений на ее значения. То есть, можно задать условия равенства аппроксимирующей функции определенным значениям в определенных точках. Формулы аппроксимации будут выведены с учетом этих условий.
Используемый метод (метод множителей Лагранжа) накладывает ограничения на набор аппроксимирующих функций, так что этот калькулятор не поддерживает экспоненциальную аппроксимацию, аппроксимацию степенной функцией и показательную аппроксимацию. Одним словом поддерживается только линейная регрессия. Зато в него были добавлены аппроксимация полиномами 4-ой и 5-ой степени. Формулы и немного теории можно найти под калькулятором.
Если не ввести значения x, калькулятор будет считать, что значение x меняется начиная с 0 с шагом 1.
Аппроксимация функции одной переменной методом наименьших квадратов с дополнительными условиями
83 71 64 69 69 64 68 59 81 91 57 65 58 62
Значения x, через пробел
183 168 171 178 176 172 165 158 183 182 163 175 164 175
Значения y, через пробел
Ограничения на значения аппроксимирующей функции в точках
| x | y | ||
|---|---|---|---|
51020501001000
Ограничения на значения аппроксимирующей функции в точках
Импортировать данныеОшибка импорта
Данные
Для разделения полей можно использовать один из этих символов: Tab, «;» или «,» Пример: -50.
5;-50.5
Загрузить данные из csv файла
Аппроксимирующие функции
Линейная аппроксимация
Квадратичная аппроксимация
Кубическая аппроксимация
Аппроксимация полиномом 4-ой степени
Аппроксимация полиномом 5-ой степени
Аппроксимация полиномом 6-ой степени
Аппроксимация полиномом 7-ой степени
Аппроксимация полиномом 8-ой степени
Логарифмическая аппроксимация
Точность вычисления
Знаков после запятой: 4
Квадратичная регрессия
Коэффициент корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Кубическая регрессия
Коэффициент корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Полином 4-ой степени
Коэффициент корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Полином 5-ой степени
Коэффициент корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Линейная регрессия
Коэффициент линейной парной корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Логарифмическая регрессия
Коэффициент корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Гиперболическая регрессия
Коэффициент корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Полином 6-ой степени
Коэффициент корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Полином 7-ой степени
Коэффициент корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Полином 8-ой степени
Коэффициент корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Результат
Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.
Метод наименьших квадратов (МНК) — математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных. Использованием этого метода для вывода формул аппроксимации для различных аппроксимирующих функций можно посмотреть в теоретической части статьи Аппроксимация функции одной переменной.
Подход, описанный по ссылке, можно обобщить для случая линейной комбинации параметров (для построения линейной регрессии).
Если аппроксимирующая функция является линейной комбинацией параметров, которые нужно определить, например
, то набор значений аппроксимирующей функции в заданных точках можно описать следующим образом
При использовании метода наименьших квадратов нам надо найти набор параметров, минимизирующих функцию
Значение этой функции есть расстояние от вектора y до вектора Xa. Для минимизации этого значения Xa должно быть проекцией на пространство столбцов матрицы X и вектор Xa-y должен быть ортогонален этому пространству (подробнее можно посмотреть здесь).
где v — произвольный вектор в пространстве столбцов. Так как этот вектор может быть любым, очевидно что равенство выполняется только в случае
Последняя формула и используется калькулятором выше для построения линейной регрессии без дополнительных ограничений.
Теперь разберемся с построением линейной регрессии при наличии ограничений. Такими ограничениями могут быть ограничения на значение функции в заданных точках. Например, нам известно, что функция, которую мы аппроксимируем ДОЛЖНА проходить через ноль (точку с координатами 0;0). Также могут существовать ограничения на значения производной функции в некоторых точках (наклона кривой функции). Наличие дополнительных ограничений говорит о том, что нам надо искать условный экстремум, то есть экстремум (в нашем случае минимум) функции, достигнутый при условии что переменные функции удовлетворяют
Для решения такой задачи используется метод множителей Лагранжа. В методе множителей Лагранжа осуществляют переход от функции к функции Лагранжа через добавление множителей Лагранжа
Далее ищется экстремум данной функции.
2
— MathCracker.com
Алгебра Решатели
Инструкции:
Используйте этот пошаговый калькулятор экспоненциальной функции, чтобы найти функцию, описывающую экспоненциальную функцию, проходящую через две заданные точки на плоскости XY. Вам нужно указать точки \((t_1, y_1)\) и \((t_2, y_2)\), и этот калькулятор оценит соответствующую экспоненциальную функцию и предоставит ее график.Идея этого калькулятора состоит в том, чтобы оценить параметры \(A_0\) и \(k\) для функции \(f(t)\), определяемой как: 9{кт}\]
так что эта функция проходит через заданные точки \((t_1, y_1)\) и \((t_2, y_2)\).
Но как найти экспоненциальную функцию по точкам?
Технически, чтобы найти параметры, нужно решить следующую систему уравнений: 9{к т_2}} \]
Как рассчитать экспоненциальный рост?
Это не всегда рост. Действительно, если параметр \(k\) положительный, то мы имеем экспоненциальный рост, а если параметр \(k\) отрицательный, то имеем экспоненциальный спад.
Параметр \(k\) будет равен нулю, только если \(y_1 = y_2\) (две точки имеют одинаковую высоту).
Для конкретных экспоненциальных поведений вы можете проверить наш
калькулятор экспоненциального роста
и
калькулятор экспоненциального распада
, которые используют определенные параметры для такого экспоненциального поведения.
Алгебра Калькулятор Алгебра Решатель Базовый пакет алгебры Калькулятор экспоненциальной функции Калькулятор экспоненциальной функции по двум точкам калькулятор экспоненциальной функции с заданными баллами
Калькулятор уклона
Калькулятор Использование
Наклон линии представляет собой ее вертикальное изменение, деленное на ее горизонтальное изменение, также известное как подъем относительно пробега.
Когда у вас есть 2 точки на линии на графике, наклон представляет собой изменение y, деленное на изменение x.
Наклон линии является мерой ее крутизны.
Решения для калькулятора уклона
Введите две точки, используя числа, дроби, смешанные числа или десятичные дроби. Калькулятор уклона показывает работу и дает следующие решения для уклона:
- Уклон м с двумя точками
- График линии для y = mx + b
- Форма уклона точки y — y 1 = m(x — x 1 )
- Форма пересечения наклона y = mx + b
- Стандартная форма Ax + By = C
- y-отрезок, когда x = 0
- x-пересечение, когда y = 0
Вам также будет предоставлена настраиваемая ссылка на
Калькулятор средней точки, который решит и покажет работу, чтобы найти среднюю точку и расстояние для заданных двух точек.
Как рассчитать уклон линии
Рассчитать уклон, м , используя формулу для уклона:
Формула уклона
\[ m = \dfrac {(y_{2} — y_{1})} {(x_{2} — x_{1})} \] \[ m = \dfrac{rise}{run} = \dfrac{ \Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} \]
Здесь вам нужно знать координаты 2-х точек на прямой, (x 1 , y 1 ) и (x 2 , y 2 ).
Как найти наклон линии
- Найти разницу между координатами y, Δy — изменение y
- Найдите разницу между координатами x, Δx — это изменение x
- Разделите Δy на Δx, чтобы найти наклон
Δу = у 2 — у 1
Δх = х 2 — х 1
м = Δy/Δx
Пример: Найдите уклон
Предположим, вы знаете две точки на прямой, и их координаты (2, 5) и (9, 19).
Найдите наклон, найдя разницу в точках y, и разделите ее на разницу в точках x.
- Разница между координатами y Δy равна
- Разница между координатами x Δx равна
- Разделите Δy на Δx, чтобы найти уклон м
Δу = у 2 — у 1
Δy = 19 — 5
Δy = 14
Δх = х 2 — х 1
Δx = 9 — 2
Δx = 7
\( m = \dfrac {14} {2} \)
\(m = 7 \)
Уравнения линий с наклоном
Существует 3 распространенных способа записи уравнений линий с наклоном:
- Точечный наклон форма
- Форма пересечения уклона
- Типовая форма
Точечный уклон формы записывается как
y — y 1 = м (x — x 1 )
Используя координаты одной из точек на линии, вставьте значения в x1 и y1 точек, чтобы получить уравнение линии в форме точечного наклона.
Давайте используем точку из исходного примера выше (2, 5) и наклон, который мы рассчитали как 7. Поместите эти значения в формат наклона точки, чтобы получить уравнение этой линии в форме наклона точки:
y — 5 = 7(x — 2)
Если вы упростите приведенное выше уравнение наклона точки, вы получите уравнение линии в форме пересечения наклона.
Форма точки пересечения уклона записывается как
y = м x + b
Возьмите уравнение формы уклона точки и умножьте его на 7 x и 7 на 2.
y — 5 = 7(x — 2) )
y — 5 = 7x — 14
Продолжайте работать над уравнением так, чтобы y было по одну сторону от знака равенства, а все остальное по другую сторону.
Добавьте 5 к обеим частям уравнения, чтобы получить уравнение в форме точки пересечения:
y = 7x — 9
Стандартная форма уравнения для линии записывается как
Ax + By = C
Вы также можете увидеть стандартную форму, записанную как Ax + By + C = 0 в некоторых ссылках.
Используйте либо формулу формы точки наклона, либо формулу пересечения наклона и выполните математические вычисления, чтобы преобразовать уравнение в стандартную форму. Обратите внимание, что уравнение не должно включать дроби или десятичные знаки, а коэффициент x должен быть только положительным.
Форма пересечения наклона: y = 7x — 9
Вычтите y из обеих частей уравнения, чтобы получить 7x — y — 9 = 0
Добавьте 9 к обеим частям уравнения, чтобы получить 7x — y = 9
Наклон форма перехвата y = 7x — 9 становится 7x — y = 9, записанной в стандартной форме.
Найти наклон по уравнению
Если у вас есть уравнение для прямой, вы можете представить его в форме пересечения наклона. Коэффициент x будет наклоном.
Пример
У вас есть уравнение прямой, 6x — 2y = 12, и вам нужно найти наклон.
Ваша цель — преобразовать уравнение в формат пересечения наклона y = mx + b
- Начните с уравнения 6x — 2y = 12
- Добавьте 2y к обеим сторонам, чтобы получить 6x = 12 + 2y
- Вычтите 12 из обеих частей уравнения, чтобы получить 6x — 12 = 2y
- Вы хотите получить y в одной части уравнения, поэтому вам нужно разделить обе части на 2, чтобы получить y = 3x — 6
- Это форма пересечения наклона, y = 3x — 6.
Наклон — это коэффициент x, поэтому в этом случае наклон = 3
Наклон — это коэффициент x, поэтому в этом случае наклон = 3Как найти точку пересечения по оси y
Пересечение по оси y представляет собой значение y при x=0. Это точка пересечения прямой с осью Y.
Используя уравнение y = 3x — 6, установите x=0, чтобы найти точку пересечения с осью y.
y = 3(0) — 6
y = -6
Точка пересечения с осью y равна -6
Как найти точку пересечения с осью x =0. Это точка пересечения прямой с осью x.
Используя уравнение y = 3x — 6, установите y=0, чтобы найти точку пересечения по оси x.
0 = 3x — 6
3x = 6
x = 2
Х-отрезок равен 2
Наклон параллельных прямых
одинаковый наклон, и эти линии никогда не пересекутся.
Наклон перпендикулярных линий
Если известен наклон линии, любая линия, перпендикулярная к ней, будет иметь наклон, равный отрицательной обратной величине известного наклона.
Перпендикуляр означает, что линии образуют угол 90° при пересечении.
Ваш комментарий будет первым