Математика построение графиков: Построение графиков функций — урок. Алгебра, 11 класс.

Общая схема исследования функции и построения графиков (Лекция №11)

1. 1. Найти ОДЗ и точки разрыва функции.
   2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
2. Провести исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания.
3. Исследовать функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
4. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные.
5. На основании проведенного исследования построить график функции.

Заметим, что перед построением графика полезно установить, не является ли данная функция четной или нечетной.

Вспомним, что функция называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не меняется: f(-x) = f(x) и функция называется нечетной, если f(-x) = -f(x).

В этом случае достаточно исследовать функцию и построить её график при положительных значениях аргумента, принадлежащих ОДЗ. При отрицательных значениях аргумента график достраивается на том основании, что для четной функции он симметричен относительно оси Oy, а для нечетной относительно начала координат.

Примеры. Исследовать функции и построить их графики.

1. . 1. Область определения функции D(у)= (–∞; +∞). Точек разрыва нет.

   Пересечение с осью Ox: x = 0,у=0.

   Функция нечетная, следовательно, можно исследовать ее только на промежутке [0, +∞).

   2. . Критические точки: x₁ = 1; x₂= –1.
   3.
   4. а) Вертикальных асимптот нет

   б) . Асимптота – y = 0.

   
   

2. .
   1. D(y)=(–∞; +∞). Точек разрыва нет.

      Пересечение с осью Ox: .

   3. .
   4. а) Вертикальных асимптот нет

      б).

      
      Наклонных асимптот нет.

3. .
   1. D(y)=(0; +∞). Функция непрерывна на области определения.

      Пересечение с осью :

   4. а) .

      Вертикальная асимптота x = 0.

      
      б).

      Наклонная асимптота y = 0.

4. .
   1. D(y)=( –∞;0)È(0;1)È(1;+∞).

      Функция имеет две точки разрыва x= 0 и x= 1.

      Точек пересечения с осями координат нет.

   2. при любых действительных значениях x. Поэтому функция возрастает на всей числовой прямой.
   3.  

   4.  

      а)

      Вертикальные асимптоты x = 0, x = 1.

      б)

      Наклонная асимптота y = x + 1.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Во многих приложениях математического анализа встречаются комбинации показательных функций. Эти комбинации рассматриваются как новые функции и обозначаются:

– гиперболический синус.

– гиперболический косинус.

С помощью этих функций можно определить еще две функции.

– гиперболический тангенс.

– гиперболический котангенс.

Функции sh x, ch x, th x определены, очевидно, для всех значений x, т.е. их область определения (–∞; +∞). Функция же cthx определена всюду за исключением точки x = 0.

Между гиперболическими функциями существуют следующие соотношения, аналогичные соответствующим соотношениям между тригонометрическими функциями.

Найдем: .

Т.е. .

.

Итак, .

Следовательно, .

Найдем производные гиперболических функций

.

Аналогично можно показать .

.

Т.е. и .

Графики гиперболических функций. Для того чтобы изобразить графики функций

shx и chx нужно вспомнить графики функций y = e^x и y = e^—x

Проведем исследования функции y = th x.

1. 1. D(f) = (–∞; +∞), точек разрыва нет.
   2. Точка пересечения с осями координат .
2.  

   , функция возрастает на (–∞; +∞).

4. 1. Вертикальной асимптоты нет.
   2. 
      .

y = cth x

1. D. Точка разрыва x = 0 cth x = 0 – нет
2.  

   убывает на .

4. 2. При x → +∞

Домашний Урок

25 мая 2020 г.
Стереометрия. Построение сечений многогранников	Математика 11 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
Алгебра и начала математического анализа. Задачи с экономическим содержанием на выплаты неравными платежами	Математика 11 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
21 мая 2020 г.
Геометрия. Использование подобия треугольников при решении задач	Математика 9 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
13 мая 2020 г.
Алгебра и начала математического анализа. Задачи с экономическим содержанием	Математика 11 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
Геометрия. Объемы шара, конуса и цилиндра	Математика 11 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
7 мая 2020 г.
Геометрия. Многоугольники	Математика 9 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
Алгебра. Построение графика кусочно-заданной функции	Математика 9 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
5 мая 2020 г.
Алгебра и начала математического анализа. Теория вероятностей	Математика 11 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
Геометрия. Площадь поверхности цилиндра и конуса	Математика 11 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
4 мая 2020 г.
Геометрия. Окружность	Математика 9 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
Алгебра. Решение уравнений, неравенств и их систем. Практикум	Математика 9 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
24 апреля 2020 г.
Алгебра и начала математического анализа. Решение задач с параметром	Математика 11 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
Геометрия. Многогранники. Площади боковых поверхностей призмы и пирамиды	Математика 11 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
22 апреля 2020 г.
Алгебра. Теория вероятностей. Комбинаторика при решении задач теории вероятностей	Математика 9 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
Геометрия. Решение задач о равновеликих фигурах	Математика 9 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
10 апреля 2020 г.
Правильные многогранники	Стереометрия 11 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
Функционально-графический метод решения задач с параметром	Алгебра и начала математического анализа 11 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
8 апреля 2020 г.
Площади треугольников и четырехугольников	Геометрия 9 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
Теория вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей	Алгебра 9 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО

7.

3: Построение точек на плоскости

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

49382

• Денни Бурзински и Уэйд Эллис-младший
• Колледж Южной Невады via Open Стакс CNX

Самолет

Заказанный Пары

Теперь нас интересует изучение графиков линейных уравнений с двумя переменными. Мы знаем, что решения уравнений с двумя переменными состоят из пары значений, по одному значению для каждой переменной. Мы назвали эти пары значений упорядоченными парами. Поскольку у нас есть пара значений для построения графика, у нас должна быть пара осей (числовых линий), на которых можно расположить значения.

Происхождение

Мы рисуем оси так, чтобы они были перпендикулярны друг другу и пересекались друг с другом в своих 0-х точках. Эта точка называется началом координат .

Прямоугольная система координат

Эти две линии образуют так называемую прямоугольную систему координат . Они также определяют самолет.

\(xy\)-плоскость

Плоскость является плоской поверхностью, и согласно геометрии, через любые две пересекающиеся линии (оси) можно пройти ровно одну плоскость (плоскую поверхность). Если мы имеем дело с линейным уравнением с двумя переменными \(x\) и \(y\), мы иногда говорим, что строим уравнение в прямоугольной системе координат, или что мы строим уравнение в \(xy \)-самолет.

Квадрант

Обратите внимание, что две пересекающиеся оси координат делят плоскость на четыре равные области. Поскольку регионов четыре, мы называем каждый из них квадрантом и нумеруем их против часовой стрелки римскими цифрами.

Вспомним, что когда мы впервые изучали числовую прямую, мы заметили следующее:

Для каждого действительного числа существует уникальная точка на числовой прямой, и каждой точке на числовой прямой мы можем связать уникальное действительное число .

У нас аналогичная ситуация с самолетом.

Для каждой упорядоченной пары \((a, b)\) существует единственная точка на плоскости, и каждой точке на плоскости можно поставить в соответствие уникальную упорядоченную пару \((a, b)\) вещественных числа.

Координаты точки

Координаты точки

Числа в упорядоченной паре, связанные с определенной точкой, называются координатами точки. Первая цифра в упорядоченной паре выражает горизонтальное расстояние и направление точки (влево или вправо) от начала координат. Второе число выражает вертикальное расстояние и направление точки (вверх или вниз) от начала координат.

Координаты определяют расстояние и направление

Положительное число означает направление вправо или вверх . отрицательное число означает направление на влево или вниз .

Точки на графике

Поскольку точки и упорядоченные пары очень тесно связаны, эти два термина иногда используются взаимозаменяемо. Следующие две фразы имеют одинаковое значение:

1. Нарисуйте точку \((a, b)\).
2. Постройте упорядоченную пару \((a, b)\).

Построение Точки

Обе фразы означают: Найдите на плоскости точку, связанную с упорядоченной парой \((a, b)\) и нарисуйте метку в этом месте.

Образец набора A

Пример \(\PageIndex{1}\)

Постройте упорядоченную пару \((2, 6)\).

Начнем с начала. Первое число в упорядоченной паре, 2, говорит нам, что мы сдвинулись на 2 единицы вправо (\(+2\) означает 2 единицы вправо). Второе число в упорядоченной паре, 6, говорит нам, что мы сдвинулись на 6 единиц вверх. (\(+6\) означает увеличение на 6 единиц).

Иногда полезно читать \((2,6)\) как «если \(x = 2\), то \(y = 6\).

Практический набор A

Практическая задача \( \PageIndex{1}\)

Постройте упорядоченные пары.

\((1, 3), (4, −5), (0, 1), (−4, 0)\).

Ответить

(Обратите внимание, что пунктирные линии на графике служат только для иллюстрации и не должны использоваться при построении точек.)

Упражнения

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Нарисуйте следующие упорядоченные пары. (Не рисуйте стрелки, как в практическом наборе A.)
\((8, 2), (10, −3), (−3, 10), (0, 5), (5, 0), (0 , 0), (−7, -\dfrac{3}{2})\).

Ответить

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Как можно точнее укажите координаты точек, нанесенных на следующий график.

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Используя упорядоченную парную запись, каковы координаты начала координат?

Ответить

Координаты места исходной точки  равны \((0,0)\).

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Мы знаем, что решения линейных уравнений с двумя переменными можно представить в виде упорядоченных пар. Следовательно, решения можно представить в виде точек на плоскости. Рассмотрим линейное уравнение \(y=2x−1\). Найдите не менее десяти решений этого уравнения, выбирая значения \(x\) между \(−4\) и \(5\) и вычисляя соответствующие значения y. Постройте эти решения в системе координат ниже. Заполните таблицу, чтобы помочь вам отслеживать заказанные пары.

\(х\)

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

\(у\)

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

Имея в виду, что существует бесконечно много упорядоченных парных решений \(y=2x−1\), порассуждайте о геометрической структуре графа всех решений. Заполните следующую инструкцию:

Название типа геометрической структуры графика всех решений линейного уравнения
\(y=2x−1\) похоже на __________ .

Где эта фигура пересекает ось Y? Встречается ли это число в уравнении \(y=2x−1\)?

Поместите карандаш в любую точку на рисунке (возможно, вам придется соединить точки, чтобы четко видеть рисунок). Переместите карандаш ровно на одну единицу вправо (по горизонтали). Чтобы вернуться к рисунку, вы должны переместить карандаш вверх или вниз на определенное количество единиц. На сколько единиц нужно переместиться по вертикали, чтобы вернуться на фигуру, и видите ли вы это число в уравнении \(y=2x−1\)?

Упражнение \(\PageIndex{5}\)

Рассмотрим плоскость \(xy\).

Заполните таблицу, записав соответствующие неравенства.

я	II	III	IV
\(х > 0\)	\(х < 0\)	\(х\)	\(х\)
\(у > 0\)	\(у\)	\(у\)	\(у\)

В следующих задачах графики точек называются диаграммами рассеяния и часто используются статистиками для определения наличия связи между двумя рассматриваемыми переменными. Первый компонент упорядоченной пары называется входной переменной , а второй компонент называется выходной переменной . Построить диаграммы разброса. Определите, существует ли связь между двумя рассматриваемыми переменными, сделав следующие наблюдения: Связь может существовать, если

1. при увеличении одной переменной увеличивается другая переменная
2. при увеличении одной переменной другая уменьшается

Ответить

я	II	III	IV
\(х > 0\)	\(х < 0\)	\(х < 0\)	\(х > 0\)
\(у > 0\)	\(у > 0\)	\(у <0\)	\(у <0\)

Упражнение \(\PageIndex{6}\)

Психолог, изучавший воздействие плацебо на рабочих сборочного конвейера на конкретном промышленном объекте, отметил время, необходимое для сборки определенного предмета, прежде чем испытуемому дали плацебо. , \(x\) и время, необходимое для сборки аналогичного предмета после того, как испытуемому дали плацебо, \(y\). Данные психолога

\(х\)	\(у\)
10	8
12	9
11	9
10	7
14	11
15	12
13	10

Упражнение \(\PageIndex{7}\)

Следующие данные были получены в ходе исследования инженером взаимосвязи между величиной давления, используемого для формирования части машины, \(x\) и количество выпущенных бракованных машин, \(y\).

\(х\)	\(у\)
50	0
60	1
65	2
70	3
80	4
70	5
90	5
100	5

Ответить

Да, связь есть.

Упражнение \(\PageIndex{8}\)

Следующие данные представляют количество пропущенных рабочих дней в году \(x\) сотрудниками страховой компании и количество минут, на которые они опаздывают после обеда. , \(у\).

\(х\)	\(у\)
1	3
6	4
2	2
2	3
3	1
1	4
4	4
6	3
5	2
6	1

Упражнение \(\PageIndex{9}\)

Производитель стоматологического оборудования имеет следующие данные о себестоимости единицы (в долларах), \(y\), конкретного изделия и количестве единиц, \(х\), изготовленных для каждого заказа.

92\).

Упражнение \(\PageIndex{13}\)

Определите уравнение \(x + 2 = x + 1\) как тождество, противоречие или условное уравнение.

Ответить

противоречие

Упражнение \(\PageIndex{14}\)

Введите недостающую фразу. Система осей, построенная для построения графика уравнения, называется

.

---

Эта страница под заголовком 7. 3: Plotting Points in the Plan доступна в соответствии с лицензией CC BY, автором, ремиксом и/или куратором являются Денни Бурзински и Уэйд Эллис-младший (OpenStax CNX).

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Денни Бурзински и Уэйд Эллис-младший

   Лицензия

   СС BY

   Программа OER или Publisher

   OpenStax CNX

2. Теги

   На этой странице нет тегов.

Рождественское математическое задание — Уродливые свитера. Построение точек

Это задание по построению графика на координатной плоскости укрепит навыки ваших учащихся в графическом отображении упорядоченных пар во всех четырех квадрантах.

Включены версии для 1 и 4 квадрантов

• Все 3 изображения/сложности включают версии для 1 и 4 квадрантов

Пожалуйста, просмотрите предварительный просмотр, чтобы увидеть завершенные изображения.

Что включено

• Пустая координатная сетка (с номерами и без них)

• 3 набора упорядоченных пар для построения графиков (простой, средний и сложный)

• Ключи ответов

90 034 Веселая идея

Используйте все 3 картинки в своем классе и получите множество забавных праздничных украшений на математическую тематику! Дайте каждому ученику картинку, соответствующую его способностям, и все ученики будут вовлечены!

Связанные ресурсы

Рождественские сюжетные точки — Mystery Picture

Доступно больше рождественских развлечений

Графики линий и ловля эльфов

Заказ украшений — Рождественский заказ Real Numbers Activity

Аналогичные действия

o Нажмите Здесь вы найдете дополнительные изображения Plotting Points Mystery Pictures

o Щелкните здесь, чтобы узнать больше о рождественских мероприятиях

Этот продукт также входит в следующий набор для экономии денег

Plotting Points Mystery Pictures — годичный пакет

—————————————————- ————————————————— —————-

Подпишитесь на мой информационный бюллетень по математике

, чтобы получить бесплатную картинку Pi-Rate Plotting Points.

————————————————————— ————————————————— ——

Быстро и легко найдите нужный ресурс….

Загрузите БЕСПЛАТНЫЙ каталог ресурсов по математике уже сегодня!

• Каталог ресурсов — 6-й курс математики
• Каталог ресурсов — 7-й курс математики
• Каталог ресурсов — 8-й курс математики
• Каталог ресурсов — алгебра
• Каталог ресурсов — геометрия

90 033 ———— ————————————————— ——————————————————-

© Copyright Amazing Mathematics LLC

Этот продукт должен использоваться только первоначальным покупателем.

Этот продукт НЕ может быть загружен покупателем в Интернет.

Это нарушение авторских прав на этот продукт.

Копирование для более чем одного преподавателя или для всего отдела, школы,

или школьной системы запрещено.

Scroll to the top

\(х\)	\(у\)
1	85
3	92
5	99
3	91
4	100
1	87
6	105
8	111