Кусочно заданная функция онлайн: Построение графиков кусочно-непрерывных функций | Онлайн калькулятор

2 + 2x + 3 при x >= 0

Как задавать условия?

Приведём примеры, как задавать условия:

x≠0

x не равен нулю

x > pi

x больше, чем число Пи

-pi/2

x меньше или равно, чем Пи пополам, но нестрого больше, чем Пи пополам

true

означает «в любых других случаях»

На данной странице вы можете выполнить различные действия с кусочно-заданной функцией, а также для большинства сервисов — получить подробное решение.

• Производная кусочно-заданной функции
• Построить график
• Исследовать график
• Определённый интеграл
• Неопределённый интеграл от таких функций
• Предел кусочно-заданной
• Ряд Фурье (в примерах для нахождения ряда в основном используются кусочно-заданные функции)
• Ряд Тейлора

Сначала задайте соответствующую функцию:

• Кусочно-заданные
• Кусочно-непрерывные

Указанные выше примеры содержат также:

• модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс acot(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x), гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
• другие тригонометрические и гиперболические функции:
  секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x), арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x), гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x), гиперболический арккосеканс acsch(x)
• функции округления:
  в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
• знак числа:
  sign(x)
• для теории вероятности:
  функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности), функция Лапласа laplace(x)
• Факториал от x:
  x! или factorial(x)
• Гамма-функция gamma(x)
• Функция Ламберта LambertW(x)
• Тригонометрические интегралы: Si(x), Ci(x), Shi(x), Chi(x)

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x

— умножение

3/x

— деление

x^2

— возведение в квадрат

x^3

— возведение в куб

x^5

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

Действительные числа

вводить в виде 7. 5, не 7,5

Постоянные

pi

— число Пи

e

— основание натурального логарифма

i

— комплексное число

oo

— символ бесконечности

График кусочно заданной функции | Алгебра

Построить график кусочно заданной функции — один из видов задания 23 из ОГЭ по математике.

Рассмотрим примеры построения таких графиков.

1) Постройте график функции

   

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Область определения функции D(y): x∈R.

График данной функции состоит из трёх частей.

Значения x=3 и x=4 разбивают числовую прямую на три промежутка, на каждом из которых рассмотрим отдельную функцию.

Соответственно, прямые  x=3 и x=4 разбивают координатную плоскость на три области.

Каждый из графиков строится в своей области и не должен выходить за её пределы.

Чтобы не нарушить это правило, можно прямые x=3 и x=4 (прямые, параллельные оси Oy) выделить на черновике тонкой линией либо пунктиром. В чистовой вариант, разумеется, их переносить не нужно.

Итак, рассмотрим на трёх промежутках три различные функции.

1) Если x<4, y=2x-2.

y=2x-2 — линейная функция. Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять две точки.

При x=0 y=2·0-2=-2, получили точку (0;-2).

При x=2 y=2·2-2=2, получили точку (2;2).

Обычно для построения графика оформляют таблицу:

   

Значения x можно брать, вообще говоря, любые. Главное, не забыть, что данная прямая не должна выходить правее x=3. Поэтому всё же лучше выбирать x, удовлетворяющие условию x<3.

2) Если 3≤x≤4, y=-3x+13.

y=-3x+13 — линейная функция. График — прямая. Для построения прямой берём две точки.

   

3) Если x>4, y=1,5x-5.

y=1,5x-5 — линейная функция. График — прямая. для построения прямой берём две точки.

   

Отметим каждую пару точек и проведём через них прямые, не забывая об ограничениях.

Получим график, состоящий их двух лучей и одного отрезка:

Прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки, если она проходит через точки соединения двух частей графика, то есть при m=1 и m=4:

Ответ: 1; 4.

2) Постройте график функции

   

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Область определения функции D(y): x∈R.

1) Если x≥4, y=x²-10x+27.

y=x²-10x+27 — квадратичная функция. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх (так как a=1>0).

Ищем координаты вершины параболы.

   

   

Таким образом, (5;2) — вершина параболы.

Так как a=1, от вершины строим параболу y=x².

(Другой вариант — переписать правую часть формулы в виде y=(x²-10x+25)+2=(x-5)²+2 и построить график параллельным переносом графика y=x² на 5 единиц вправо вдоль оси Ox и на 2 единицы вверх вдоль оси Oy).

2) Если x<4, y=x-1.

y=x-1 — линейная функция. График — прямая. Для построения прямой берём две точки:

   

Хотя на x наложено условие x<4, для построения прямой можно брать любые значение. Главное — не забыть, что правее x=4 прямая не должна выходить.

Итак, график данной функции состоит из двух частей. Прямая x=4 разделяет плоскость на две полуплоскости. Справа от неё расположена часть параболы с вершиной в точке (5;2), слева — прямая:

Прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки, если она проходит через вершину параболы и через точку соединения параболы и прямой, то есть при m=2 и m=3:

Ответ: 2; 3.

3) Построить график функции

   

и определить, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком одну или две общие точки.

Решение:

Область определения функции D(y): x∈R.

1) Если x≥-3, y=x²+4x+4.

y=x²+4x+4 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Можно найти координаты вершины параболы и от вершины построить график функции y=x².

(Если заметить в правой части формулу квадрата суммы и переписать формулу функции y=(x+4)², то можно построить параболу параллельным переносом параболы y=x² на 4 единицы влево вдоль оси Ox).

2) Если x<-3,

   

— функция обратной пропорциональности. График — гипербола. Для построения гиперболы нужно взять несколько точек:

   

Таким образом, график данной функции состоит из двух частей. Справа от прямой x=-3 строим параболу с вершиной в точке (-2;0), слева — ветвь гиперболы:

Прямая y=m имеет с графиком одну или две общие точки при m=0 и m≥1:

Ответ: m=0 и m∈[1;∞).

Рубрика: ОГЭ задание 22 | Комментарии        

кусочно-определяемых функций | Колледж Алгебра

Результаты обучения

• Запись кусочно определенных функций.
• График кусочно определенных функций.

Иногда мы сталкиваемся с функцией, которая требует более одной формулы для получения заданного результата. Например, в функциях инструментария мы ввели функцию абсолютного значения [latex]f\left(x\right)=|x|[/latex]. С доменом всех действительных чисел и диапазоном значений больше или равным 0, 9Абсолютное значение 0011

может быть определено как величина или модуль действительного числового значения независимо от знака. Это расстояние от 0 на числовой прямой. Все эти определения требуют, чтобы вывод был больше или равен 0.

Если мы вводим 0 или положительное значение, вывод совпадает с вводом.

[латекс]f\left(x\right)=x\text{ if }x\ge 0[/latex]

Если мы вводим отрицательное значение, вывод будет противоположен вводу.

[латекс]f\left(x\right)=-x\text{ if }x<0[/latex]

Поскольку для этого требуются два разных процесса или части, функция абсолютного значения является примером кусочной функции . Кусочная функция

— это функция, в которой используется более одной формулы для определения выходных данных для разных частей области.

Мы используем кусочные функции для описания ситуаций, в которых правило или отношение изменяются, когда входное значение пересекает определенные «границы». Например, в бизнесе мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда цена за единицу определенного товара снижается, когда количество заказанного товара превышает определенное значение. Налоговые скобки — еще один реальный пример кусочных функций. Например, рассмотрим простую налоговую систему, в которой доходы до [латекс]10 000 долларов[/латекс] облагаются налогом по ставке [латекс]10%[/латекс], а любой дополнительный доход облагается налогом по ставке [латекс]20\%[/латекс]. ]. Налог на общий доход, [латекс] S[/латекс] , будет [латекс]0,1 ш[/латекс], если [латекс]{S}\le$10 000[/латекс] и [латекс]1000 + 0,2 (с — 10 000 долларов США)[/latex] , если [латекс] S> 10 000 долларов США[/latex] .

A Общее примечание: кусочные функции

Кусочная функция — это функция, в которой для определения выходных данных используется более одной формулы. У каждой формулы есть свой домен, а домен функции представляет собой объединение всех этих меньших доменов. Обозначим эту идею следующим образом:

[латекс] f\left(x\right)=\begin{cases}\text{формула 1, если x находится в домене 1}\\ \text{формула 2, если x находится в домене 2}\\ \text{формула 3, если x находится в домене 3}\end{cases} [/latex]

В кусочной записи функция абсолютного значения равна

[латекс]|x|=\begin{cases}\begin{align}x&\text{ if }x\ge 0\\ -x&\text{ if }x<0\end{align}\end{cases }[/latex]

Как сделать: учитывая кусочную функцию, напишите формулу и определите домен для каждого интервала.

1. Определите интервалы, для которых применяются разные правила.
2. Определите формулы, описывающие, как вычислить выход из входа в каждом интервале.
3. Используйте фигурные скобки и операторы if для записи функции.

Пример: Написание кусочной функции

Музей берет 5 долларов США с человека за экскурсию с группой от 1 до 9 человек или фиксированную плату 50 долларов США за экскурсию с группой из 10 и более человек. Напишите функцию , связывающую количество людей [latex]n[/latex] со стоимостью [latex]C[/latex].

Показать раствор

Пример: Работа с кусочной функцией

Компания сотовой связи использует приведенную ниже функцию для определения стоимости [latex]C[/latex] в долларах за [latex]g[/latex] гигабайт передачи данных.

[латекс]C\left(g\right)=\begin{cases}\begin{align}{25} \hspace{2mm}&\text{ if }\hspace{2mm}{ 0 }<{ g } <{ 2 }\\ { 25+10 }\left(g - 2\right) \hspace{2mm}&\text{ if }\hspace{2mm}{ g}\ge{ 2 }\end{align}\ end{cases}[/latex]

Найдите стоимость использования 1,5 гигабайт данных и стоимость использования 4 гигабайт данных.

Показать раствор

Как сделать: по заданной кусочной функции нарисуйте график.

1. Укажите на оси [latex]x[/latex] границы, определяемые интервалами на каждой части домена. 9{3} \hspace{2mm}&\text{ if }\hspace{2mm}{ x }&lt{-1 }\\ { -2 } \hspace{2mm}&\text{ if } \hspace{2mm}{ -1 }&lt{ x }&lt{ 4 }\\ \sqrt{x} \hspace{2mm}&\text{ if }\hspace{2mm}{ x }&gt{ 4 }\end{align}\end{cases }[/latex]
   Показать решение

    

   Попробуйте

   Вы можете использовать онлайн-инструмент построения графиков для построения графиков кусочно определенных функций. Посмотрите это обучающее видео, чтобы узнать, как это сделать.

   Постройте график следующей кусочной функции с помощью графического онлайн-инструмента. 9{3} \hspace{2mm}&\text{ if }\hspace{2mm}{ x }&lt{-1 }\\ { -2 } \hspace{2mm}&\text{ if } \hspace{2mm}{ -1 }&lt{ x }&lt{ 4 }\\ \sqrt{x} \hspace{2mm}&\text{ if }\hspace{2mm}{ x }&gt{ 4 }\end{align}\end{cases }[/latex]

   Попробуйте

   Вопросы и ответы

   Можно ли применить более одной формулы кусочной функции к значению в домене?

   Нет. Каждое значение соответствует одному уравнению в кусочной формуле.

    

   У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.

   Улучшить эту страницуПодробнее

   Кусочно-определенные функции | College Algebra Corequisite

   Результаты обучения

   • Запись кусочно определенных функций.
   • График кусочно определенных функций.

   Иногда мы сталкиваемся с функцией, которая требует более одной формулы для получения заданного результата. Например, в функциях инструментария мы ввели функцию абсолютного значения [latex]f\left(x\right)=|x|[/latex]. С доменом всех действительных чисел и диапазоном значений больше или равным 0, 9Абсолютное значение 0011

   может быть определено как величина или модуль действительного числового значения независимо от знака. Это расстояние от 0 на числовой прямой. Все эти определения требуют, чтобы вывод был больше или равен 0.

   Если мы вводим 0 или положительное значение, вывод совпадает с вводом.

   [латекс]f\left(x\right)=x\text{ if }x\ge 0[/latex]

   Если мы вводим отрицательное значение, вывод будет противоположен вводу.

   [латекс]f\left(x\right)=-x\text{ if }x<0[/latex]

   Поскольку для этого требуются два разных процесса или части, функция абсолютного значения является примером кусочной функции . Кусочная функция

   — это функция, в которой используется более одной формулы для определения выходных данных для разных частей области.

   Мы используем кусочные функции для описания ситуаций, в которых правило или отношение изменяются, когда входное значение пересекает определенные «границы». Например, в бизнесе мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда цена за единицу определенного товара снижается, когда количество заказанного товара превышает определенное значение. Налоговые скобки — еще один реальный пример кусочных функций. Например, рассмотрим простую налоговую систему, в которой доходы до [латекс]10 000 долларов[/латекс] облагаются налогом по ставке [латекс]10%[/латекс], а любой дополнительный доход облагается налогом по ставке [латекс]20\%[/латекс]. ]. Налог на общий доход, [латекс] S[/латекс] , будет [латекс]0,1 ш[/латекс], если [латекс]{S}\le$10 000[/латекс] и [латекс]1000 + 0,2 (с — 10 000 долларов США)[/latex] , если [латекс] S> 10 000 долларов США[/latex] .

   A Общее примечание: кусочные функции

   Кусочная функция — это функция, в которой для определения выходных данных используется более одной формулы. У каждой формулы есть свой домен, а домен функции представляет собой объединение всех этих меньших доменов. Обозначим эту идею следующим образом:

   [латекс] f\left(x\right)=\begin{cases}\text{формула 1, если x находится в домене 1}\\ \text{формула 2, если x находится в домене 2}\\ \text{формула 3, если x находится в домене 3}\end{cases} [/latex]

   В кусочной записи функция абсолютного значения равна

   [латекс]|x|=\begin{cases}\begin{align}x&\text{ if }x\ge 0\\ -x&\text{ if }x<0\end{align}\end{cases }[/latex]

   Как сделать: учитывая кусочную функцию, напишите формулу и определите домен для каждого интервала.

   
   
   1. Определите интервалы, для которых применяются разные правила.
   2. Определите формулы, описывающие, как вычислить выход из входа в каждом интервале.
   3. Используйте фигурные скобки и операторы if для записи функции.

   Совет для достижения успеха: кусочные функции

   Фигурная скобка, которая появляется в кусочной формуле, не обозначает множество, поскольку с другой стороны оператора нет соответствующей скобки. Вместо этого это указывает на то, что правая часть формулы функции состоит из разных частей, каждая из которых зависит от входных данных.

   Вы можете прочитать его как список операторов if-then для значения функции.

   Кусочные функции сложны для понимания. Дайте себе время поработать с ними несколько раз на бумаге, оценивая и рисуя графики различных функций. Естественно, вам нужно решить много проблем, прежде чем вы почувствуете себя комфортно с ними.

   Пример: Написание кусочной функции

   Музей берет 5 долларов США с человека за экскурсию с группой от 1 до 9 человек или фиксированную плату 50 долларов США за экскурсию с группой из 10 и более человек. Напишите функцию , связывающую количество людей [latex]n[/latex] со стоимостью [latex]C[/latex].

   Показать раствор

   Пример: Работа с кусочной функцией

   Компания сотовой связи использует приведенную ниже функцию для определения стоимости [latex]C[/latex] в долларах за [latex]g[/latex] гигабайт передачи данных.

   [латекс]C\left(g\right)=\begin{cases}\begin{align}{25} \hspace{2mm}&\text{ if }\hspace{2mm}{ 0 }<{ g } <{ 2 }\\ { 25+10 }\left(g - 2\right) \hspace{2mm}&\text{ if }\hspace{2mm}{ g}\ge{ 2 }\end{align}\ end{cases}[/latex]

   Найдите стоимость использования 1,5 гигабайт данных и стоимость использования 4 гигабайт данных.

   Показать раствор

   Как сделать: по заданной кусочной функции нарисуйте график.

   1. Укажите на оси [latex]x[/latex] границы, определяемые интервалами на каждой части домена. 9{2} \hspace{2mm}&\text{ if }\hspace{2mm}{ x }\le{ 1 }\\ { 3 } \hspace{2mm}&\text{ if }\hspace{2mm} { 1 }&lt{ x }\le 2\\ { x } \hspace{2mm}&\text{ if }\hspace{2mm}{ x }&gt{ 2 }\end{align}\end{cases}[/latex]
      Показать раствор

      Попробуйте

      https://ohm.