Как построить график по функции: Урок 13. Построение и преобразование графиков функций. Обзор графиков основных функций. Практика

Функции. Основные виды, графики, способы задания

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Понятие «функция» человеческим языком

Понятие «функция» пронизывает все сферы математики и не только.

Мы все знаем, что функция записывается как  , но можешь ли ты ответить, что обозначает эта формула?

Если да, то ты большой молодец! А если нет – не страшно! Сейчас быстренько во всем разберемся!

Так вот, функция отражает зависимость величин друг от друга: то есть при изменении одного числа  , по некоторому закону   изменяется  .

Зависимость, или взаимосвязь — вот ключевые слова при определении понятия функции.

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ

---

Попробуй самостоятельно придумать несколько примеров из жизни, где четко проявляется зависимость одного от другого.

И?… Не можешь придумать ни один пример? Как так! Смотри:

Допустим автомобиль движется со средней скоростью   км/ч, как тогда выразить зависимость пути   от времени  ?

Правильно:

 

То есть чем больше времени автомобилист проведет за рулем, тем больше расстояние он преодолеет на своем автомобиле. Чем не зависимость?

Что в этом случае будет  , что  , и как будет выражено в итоге  ? Проведем параллели между физической формулой и привычной нам записью функции  :

•  , то есть путь, который проедет автомобилист;
•  , время, которое он проведет в пути;
•   — зависимость пути от времени, учитывая, что скорость на всем пути постоянна.

Разобрался что к чему? Теперь перейдем на математический язык.

Итак. Еще раз смотрим на нашу формулу:

 

Слева стоит   — это и есть функция. За этой буквой может быть все что угодно: температура, скорость, сила, путь – неважно!   — зависимая величина. Она может зависеть от множества критериев. Например, как в нашем случае, зависимость пути от времени, проведенном в дороге при движении с постоянной скоростью.

Справа у нас стоит  . Эта величина переменная, или, как говорят математики, «аргумент». Логично, что чем больше времени проведет автомобилист в дороге, тем большее расстояние он проедет (конечно, если скорость будет постоянна, и он не встрянет намертво в московских пробках).

Справа у нас также есть  , за этим скрываются все действия, совершаемые над  . В нашем случае мы говорим, что  , а так как  км/ч, то под   скрывается умножение на  , вот мы и получаем —  .

Теперь думаю тебе все понятно?

Подведем краткий итог:

1.   — это формула, обозначающая функцию, то есть зависимость одной переменной от другой;
2.   — переменная величина, или, аргумент;
3.   — зависимая величина – изменяется при изменении аргумента, то есть   согласно какой-либо определенной формуле  , отражающей зависимость одной величины от другой.

Теперь, когда ты понял суть понятия «функция», знаешь что такое переменная величина, а что постоянная, посмотрим на определение функции, каким его дают математики.

Определение функции, каким его дают математики.

Функцией называется правило  , по которому каждому элементу   множества   ставится в соответствие единственный элемент   множества  .

 

Вроде и   есть… и   есть, и даже правило   есть, но что это за множества такие? «О них мы ни слова не говорили!» — воскликнешь ты.

Не паникуй!:) Множества – это очень просто, сейчас все-все проясним!

Вернемся к нашему примеру

Автомобилист едет с постоянной скоростью и проезжает расстояние, которое зависит от того, сколько времени он провел в пути.

Все верно?

Разбираемся дальше. Мы говорили, что  , это как раз и есть время, проведенное в пути.

Каким оно может быть?

Ты сейчас можешь быть крайней удивлен  такой постановкой вопроса, но все же, каким может быть это время? 

Правильно, чисто теоретически от   до  .

Вот ты сам и определил для нашего конкретного случая множество  , а иначе говоря, допустимые значения аргумента или область определения функции  .

Запомнить очень легко: что определяет нашу функцию? От чего зависит игрек, и что мы меняем?

Функцию определяет икс! Соответственно, область определения – это возможные значения

 .

Теперь давай рассматривать, что такое множество  .

Думаю, ты сам ответишь, что путь не может быть отрицательным, так что   в нашей с тобой придуманной функции так же может принимать значения в промежутке от   до  .

Это называется областью значений функции  , то есть множество  , которые существуют для данной функции.

Итак, сделаем небольшой вывод по последнему:

Допустимые значения аргумента, или область определения функции   — это то, что связано с возможными  , при которых функция имеет смысл. Область значений функции  — это то, какие значения принимает  , при допустимых значениях  .

Легко? То-то же.

Давай потренируемся находить области определения функции и ее допустимые значения.

Как найти область определения функции и ее допустимые значения

 

 

Для начала попробуй найти область определения функции:

Справился? Сравним​ ответы:

А)  

Б)  

В)  

Г)  

Все верно? Молодец!

Теперь попробуем найти область значений функции:

Нашел? Сравниваем:

А)  

Б)  

В)  

Г)  

Сошлось? Молодец!

Еще раз поработаем с графиками, только теперь чуть-чуть посложнее – найти и область определения функции, и область значений функции.

Как найти и область определения и область значений функции (продвинутый вариант)

Вот что получилось:

А)  
 

Б)  
 

С графиками, я думаю, ты разобрался. Теперь попробуем в соответствии с формулами найти область определения функции (если ты не знаешь как это сделать, прочитай раздел про ОДЗ):

1.  
2.  
3.  
4.  

Справился? Сверим

ответы:

1.  , так как подкоренное выражение   должно быть больше или равно нулю.
2.  , так как на ноль делить нельзя и подкоренное выражение не может быть отрицательным.
3.  , так как  , соответственно   при всех  .
4.  , так как на ноль делить нельзя.

Однако, у нас остался еще один не разобранный момент…

Еще раз повторю определение и сделаю на нем акцент:

Функцией называется правило  , по которому каждому элементу   множества   ставится в соответствие единственный элемент   множества  .

 

Заметил? Слово «единственный» — это очень-очень важный элемент нашего определения. Постараюсь объяснить тебе на пальцах.

Допустим, у нас есть функция, заданная прямой.  . При  , мы подставляем данное значение в наше «правило» и получаем, что  . Одному значению   соответствует одно значение  . Мы даже можем составить таблицу различных значений и построить график данной функции, чтобы убедится в этом.

 

А вот и график с нашими отмеченными точками:

Как ты убедился – графиком является прямая, в которой одному значению   соответствует одно значение   (данный факт показан красными линиями).

Соответственно, данная зависимость подходит под определение функции.

А что ты скажешь о такой зависимости:  , то есть параболы? Является ли она функцией? Давай составим также табличку значений:

 

«Смотри! — скажешь ты, -«  » встречается два раза!» Так быть может парабола не является функцией? Нет, является!

То, что « » встречается два раза далеко не повод обвинять параболу в неоднозначности!

Дело в том, что, при расчёте для  , мы получили один игрек. И при расчёте с   мы получили один игрек. Так что все верно, парабола является функцией. Посмотри на график:

Разобрался? Если нет, вот тебе жизненный пример сооовсем далекий от математики!

Допустим, у нас есть группа абитуриентов, познакомившихся при подаче документов, каждый из которых в разговоре рассказал, где он живет:

Согласись, вполне реально, что несколько ребят живут в одном городе, но невозможно, чтобы один человек жил в нескольких городах одновременно. Это как бы логичное представление нашей «параболы» — нескольким разным икс соответствует один и тот же игрек.

Теперь придумаем пример, когда зависимость не будет функцией. Допустим, эти же ребята рассказывали, на какие специальности они подали документы:

Здесь у нас совершенно другая ситуация: один человек может спокойно подать документы как на одно, так и на несколько направлений. То есть одному элементу   множества   ставится в соответствие несколько элементов   множества  . Соответственно, это не функция.

Проверим твои знания на практике.

Определи по рисункам, что является функцией, а что нет:

Разобрался? А вот и ответы:

• Функцией является – В,Е.
• Функцией не является – А, Б, Г, Д.

Ты спросишь почему? Да вот почему:

На всех рисунках кроме В) и Е) на один   приходится несколько  !

Уверена, теперь, ты с легкостью отличишь функцию от не функции, скажешь, что такое аргумент и что такое зависимая переменная, а так же определишь область допустимых значений аргумента и область определения функции. Приступаем к следующему разделу – как задать функцию?

Способы задания функции

Как ты думаешь, что означают слова «задать функцию»? Правильно, это значит объяснить всем желающим, о какой функции в данном случае идет речь. Причем объяснить так, чтобы каждый понял тебя правильно и нарисованные людьми по твоему объяснению графики функций были одинаковы.

Как это можно сделать? Как задать функцию? Самый простой способ, который уже не раз применялся в этой статье – с помощью формулы. Мы пишем формулу, и, подставляя в нее значение  , высчитываем значение  . А как ты помнишь, формула – это закон, правило, по которому нам и другому человеку становится ясно, как икс превращается в игрек.

Обычно, именно так и делают – в заданиях мы видим уже готовые функции, заданные формулами, однако, существуют и другие способы задать функцию, про которые все забывают, в связи с чем вопрос «как еще можно задать функцию?» ставит в тупик. Разберемся во всем по порядку, а начнем с аналитического способа.

Аналитический способ задания функции

Аналитический способ это и есть задание функции с помощью формулы. Это самый универсальный и исчерпывающий и однозначный способ. Если у тебя есть формула, то ты знаешь о функции абсолютно все – ты можешь составить по ней табличку значений, можешь построить график, определить, где функция возрастает, а где убывает, в общем, исследовать ее по полной программе.

Рассмотрим функцию  . Чему равно  ?

«Что это значит?» – спросишь ты. Сейчас объясню.

Напомню, что в записи   выражение в скобках

Построение графиков функций — урок. Алгебра, 10 класс.

построить график функции y=x2+1×2−1.

Решение 1. Введём обозначение: f(x)=x2+1×2−1. Найдём область определения функции. Она задаётся условиями x≠1,x≠−1. Итак, D(f)=(−∞;−1)∪(−1;1)∪(1;+∞).

2. Исследуем функцию на чётность:

f(−x)=−x2+1−x2−1=x2+1×2−1=f(x).

Значит, заданная функция чётна, её график симметричен относительно оси ординат, а потому можно для начала ограничиться построением ветвей графика при x≥0.

3. Найдём асимптоты. Вертикальной асимптотой является прямая \(x=1\), поскольку при этом значении \(x\) знаменатель дроби обращается в нуль, а числитель отличен от нуля. Для отыскания горизонтальной асимптоты надо вычислить limx→∞f(x):

limx→∞x2+1×2−1=limx→∞x2x2+1x2x2x2−1×2=limx→∞1+1×21−1×2=1.

 Значит, \(y=1\) — горизонтальная асимптота графика функции.

4. Найдём стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:

y′=x2+1×2−1′=(x2+1)′⋅(x2−1)−(x2+1)⋅(x2−1)′x2−12=2x⋅(x2−1)−(x2+1)⋅2xx2−12==−4xx2−12.

Производная существует всюду в области определения функции, значит, критических точек у функции нет.

Стационарные точки найдём из соотношения y′=0. Получаем: \(-4x=0\) — откуда находим, что \(x=0\). При \(x<0\) имеем: y′>0; при \(x>0\) имеем: y′<0. Значит, \(x=0\) — точка максимума функции, причём ymax=f(0)=02+102−1=−1.

При \(x>0\) имеем: y′<0; но следует учесть наличие точки разрыва \(x=1\). Значит, вывод о промежутках монотонности будет выглядеть так: на промежутке 0;1) функция убывает, на промежутке (1;+∞) функция также убывает.

5. Составим таблицу значений функции f(x)=x2&plus;1×2−1 при x≥0:

\(x\)	\(0\)	\(0.5\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(y\)	\(-1\)	−53	53	54	1715

 

6. Отметим найденные точки на координатной плоскости, учтя при этом, что \((0;-1)\) — точка максимума, что \(y=1\) — горизонтальная асимптота, что \(x=1\) — вертикальная асимптота, построим ветви искомого графика при x≥0. Добавив ветви, симметричные построенным относительно оси ординат, получим весь график.

Построение графиков функций по заданным параметрам»

Цели урока:

• научить строить графики элементарных математических функций с помощью табличного процессора Excel;
• показать возможности использования программы Excel для решения задач по математике;
• закрепить навыки работы с Мастером диаграмм.

Задачи урока:

• образовательная – знакомство учащихся с основными приемами построения графиков функций в программе Excel;
• развивающие – формирование у учащихся логического и алгоритмического мышления; развитие познавательного интереса к предмету; развитие умения оперировать ранее полученными знаниями; развитие умения планировать свою деятельность;
• воспитательные – воспитание умения самостоятельно мыслить, ответственности за выполняемую работу, аккуратности при выполнении работы.

Тип урока:

• комбинированный

Учебники:

Информатика. Базовый курс 2-е издание/Под ред. С.В. Симоновича. — СПб.: Питер, 2004.-640с.:ил.

Технические и программные средства:

• Персональные компьютеры;
• Приложение Windows – электронные таблицы Excel.
• Проектор

Раздаточный материал:

• Карточки с индивидуальными заданиями на построение графиков функций.

План урока.

1. Организационный момент – 3 мин.
2. Проверка домашнего задания –10 мин.
3. Объяснение нового материала –20 мин.
4. Применение полученных знаний –20 мин.
5. Самостоятельная работа. – 20 мин
6. Подведение итогов урока. Домашнее задание – 7 мин.

Ход урока

Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку, отметка отсутствующих, объявление темы и цели урока

Проверка домашнего задания. (фронтальный опрос)

Вопросы для проверки

1. Что представляет собой рабочая область программы Excel?
2. Как определяется адрес ячейки?
3. Как изменить ширину столбца, высоту строки?
4. Как ввести формулу в Excel?
5. Что такое маркер заполнения и для чего он нужен?
6. Что такое относительная адресация ячеек?
7. Что такое абсолютная адресация ячеек? Как она задается?
8. Что такое колонтитулы? Как они задаются?
9. Как задать поля печатного документа? Как изменить ориентацию бумаги?
10. Что такое функциональная зависимость у = f(х)? Какая переменная является зависимой, а какая независимой?
11. Как ввести функцию в Excel?
12. Что такое график функции у = f(х)?
13. Как построить диаграмму в Excel?

Объяснение нового материала.

При объяснении нового материала может быть использован файл Excel с шаблонами задач (Приложение 1), который выводится на экран с помощью проектора

Сегодня мы рассмотрим применение табличного процессора Excel для графиков функций. На предыдущих практических вы уже строили диаграммы к различным задачам, используя Мастер диаграмм. Графики функций, так же как и диаграммы строятся с помощью Мастера диаграмм программы Excel.

Рассмотрим построение графиков функций на примере функции у = sin x.

Вид данного графика хорошо известен вам по урокам математики, попробуем построить его средствами Excel.

Программа будет строить график по точкам: точки с известными значениями будут плавно соединяться линией. Эти точки нужно указать программе, поэтому, сначала создается таблица значений функции у = f(х).

Чтобы создать таблицу, нужно определить

• отрезок оси ОХ, на котором будет строиться график.
• шаг переменной х, т.е. через какой промежуток будут вычисляться значения функции.

Задача 1.Построить график функции у = sin x на отрезке [– 2; 2] с шагом h = 0,5.

1. Заполним таблицу значений функции. В ячейку С4 введем первое значение отрезка: – 2
2. В ячейку D4 введем формулу, которая будет добавлять к лево-стоящей ячейки шаг: = В4 + $A$4
3. Маркером заполнения ячейки D4 заполним влево ячейки строки 4, до тех пор, пока получим значение другого конца отрезка: 2.
4. Выделим ячейку С5, вызовем Мастер функций, в категории математические выберем функцию SIN, в качестве аргумента функции выберем ячейку С4.
5. Маркером заполнения распространим эту формулу в ячейках строки 5 до конца таблицы.

Таким образом, мы получили таблицу аргументов (х) и значений (у) функции у = sin x на отрезке [-2;2] с шагом h = 0,5 :

x	-2	-1,75	-1,5	-1,25	-1	-0,75	-0,5	-0,25	0	0,25	0,5	0,75	1	1,25	1,5	1,75	2
y	-0,9092	-0,9839	-0,9974	-0,9489	-0,8414	-0,6816	-0,4794	-0,2474	0	0,2474	0,4794	0,6816	0,8414	0,9489	0,9974	0,9839	0,9092

6. Следующий шаг. Выделим таблицу и вызовем Мастер диаграмм. На первом шаге выберем во вкладке Нестандартные Гладкие графики.
7. На втором шаге во вкладке Ряд выполним:

В поле Ряд необходимо выделить ряд х и нажать на кнопку “Удалить” (график изменений х нам не нужен. График функции – это график изменения значений у)

В поле Подписи оси Х нажать на кнопку. Выделить в таблице ячейки со значениями х и нажмите на кнопку . Подписи по горизонтальной оси станут такими, как у нас в таблице.

8. На третьем шаге заполним вкладку Заголовки.

9. Пример полученного графика.

На самом деле пока это мало похоже на график функции в нашем привычном понимании.

Для форматирования графика:

• Вызовем контекстное меню оси ОУ. Затем, выберем пункт Формат оси…. Во вкладке Шкала установим: цена основного деления: 1. Во вкладке Шрифт установим размер шрифта 8пт.
• Вызовем контекстное меню оси ОХ. Выберем пункт Формат оси….

Во вкладке Шкала установим: пересечение с осью ОУ установите номер категории 5 (чтобы ось ОУ пересекала ось ОХ в категории с подписью 0, а это пятая по счету категория).

Во вкладке шрифт установите размер шрифта 8пт. Нажмите на кнопку ОК.

Остальные изменения выполняются аналогично.

Для закрепления рассмотрим еще одну задачу на построение графика функций. Эту задачу попробуйте решить самостоятельно, сверяясь с экраном проектора.

Применение полученных знаний.

Пригласить к проектору студента и сформулировать следующую задачу.

Задача 2. Построить график функции у = х³ на отрезке [– 3; 3] с шагом h = 0,5.

1. Создать следующую таблицу: Создать таблица значений функции у = f(х).

2. В ячейку С4 ввести первое значение отрезка: –3
3. В ячейку D4 ввести формулу, которая будет добавлять к лево-стоящей ячейки шаг: = В4 + $A$4
4. Маркером заполнения ячейки D3 заполнить влево ячейки строки 3, до тех пор, пока не будет получено значение другого конца отрезка: 3.
5. В ячейку С5 ввести формулу вычисления значения функции: = С4^3
6. Маркером заполнения скопировать формулу в ячейки строки 5 до конца таблицы.

Таким образом, должна получиться таблица аргументов (х) и значений (у) функции у = х³ на отрезке [–3;3] с шагом h = 0,5:

х	-3	-2,5	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
y	-27	-15,625	-8	-3,375	-1	-0,125	0	0,125	1	3,375	8	15,625	27

7. Выделить таблицу и вызвать мастер диаграмм. На первом шаге выбрать во второй вкладке Гладкие графики.
8. На втором шаге во вкладке Ряд выполнить:

• В поле Ряд выделить ряд х и нажать на кнопку “Удалить” (график изменений х нам не нужен. График функции – это график изменения значений у)
• В поле Подписи оси Х нажать на кнопку . Выделить в таблице ячейки со значениями х и нажать на кнопку . Подписи по горизонтальной оси станут такими, как у нас в таблице.

9. На третьем шаге заполнить вкладку Заголовки.

10. Пример полученного графика:
11. Оформить график.
12. Установить параметры страницы и размеры диаграмм таким образом, что бы все поместилось на одном листе альбомной ориентации.
13. Создать колонтитулы для данного листа (Вид Колонтитулы…):
14. Верхний колонтитул слева: график функции у = x³

Сохранить документ своей папке под именем График.

Самостоятельная работа.

Работа по карточкам с индивидуальными заданиями. (Приложение 2)

Пример карточки, с задачей в общем виде, выводится на экран с помощью проектора.

1. Построить график функции y=f(x) на отрезке [a;b] с шагом h=c
2. Установить параметры страницы и размеры графика таким образом, что бы все поместилось на одном листе альбомной ориентации.
3. Создать колонтитулы для данного листа (Вид Колонтитулы…):

• Верхний колонтитул слева: график функции y=f(x)
• Нижний колонтитул в центре: ваши Ф.И.О. и дата

4. Сохранить в своей папке под именем “Зачетный график”
5. Вывести документ на печать.

После выполнения задания правильность каждого варианта проверяется с помощью проектора.

Подведение итогов.

Домашнее задание.

Оценки за урок.

Как построить график функции в Excel

Чтобы правильно построить линейный график функций в Excel необходимо выбрать точечную диаграмму с прямыми отрезками и маркерами. Естественно это не единственный, но весьма быстрый и удобный способ.

Для разного рода данных нужно использовать разные типы графиков. Убедимся в этом, разобрав практический пример с построением математического графика функций в Excel.

Построение графиков функций в Excel

Начнем из анализа и создания графика функций в Excel. Мы убедимся в том, что линейный график в Excel существенно отличается от графика линейной функции, который преподают в школе.

Линейная функция x=y имеет следующие значения: x1=0, x2=1, x3=7. Заполните таблицу этими значениями как показано на рисунке:

Выделите диапазон A1:B4 и выберите инструмент: «Вставка»-«Диаграммы»-«График»-«График с маркерами».

В результате у нас созданы 2 линии на графике, которые наложены одна сверх другой. Так же мы видим, что линии сломаны, а значит, они не соответствуют презентации школьному графику линейной функции. Излом линий, получается, по причине того, что на оси X у нас после значений: 0, 1 сразу идет значение 7 (упущены 2,3,4,5,6).

Вывод один: данный способ графического построения данных нам не подходит. А значит щелкните по нему левой кнопкой мышки (чтобы сделать его активным) и нажмите клавишу DELETE на клавиатуре, чтобы удалить его.



Как построить график линейной функции в Excel

Чтобы создать правильный график функций в Excel выберите подходящий график.

Выделите диапазон A1:B4 и выберите инструмент: «Вставка»-«Диаграммы»-«Точечная»-«Точечная с прямыми отрезками и маркерами».

Как видно на рисунке данный график содержит одинаковое количество значений на осях X и Y. По умолчанию в шаблоне данного графика цена делений оси X равна 2. При необходимости ее можно изменить. Для этого:

• наведите курсор мышки на любое значение оси X чтобы появилась всплывающая подсказка «Горизонтальная ось (значений)» и сделайте двойной щёлочек левой кнопкой мышки;
• в появившемся окне «Формат оси» выберите пункт опции: «Параметры оси»-«цена основных делений»-«фиксированное» и установите значение 1 вместо 2.
• нажмите на кнопку «Закрыть».

Теперь у нас отображается одинаковое количество значений по всем осям.

Очень важно понимать разницу в предназначениях графиков Excel. В данном примере мы видим, что далеко не все графики подходят для презентации математических функций.

Примечание. В принципе первый способ можно было-бы оптимизировать под отображение линейной функции, если таблицу заполнить всеми значениями 0-7. Но это не всегда работающее решение, особенно в том случае если вместо значений будут формулы изменяющие данные. Одним словом если нужно забить гвоздь лучше взять молоток, чем микроскоп. Несмотря на то, что теоретически гвозди можно забивать и микроскопом.

Не существует универсальных графиков и диаграмм, которыми можно отобразить любой отчет. Для каждого типа отчета наиболее подходящее то или иное графическое представление данных. Выбор зависит от того что и как мы хотим презентовать. На следующих примерах вы убедитесь, что выбор имеет большое значение. Существует даже целая наука «Инфографика», которая учит лаконично презентовать информацию с максимальным использованием графики вместо текста, насколько это только возможно.

Преобразование графиков функций — подготовка к ЕГЭ по Математике

Анна Малкова

В этой статье мы расскажем об основных преобразованиях графиков функций. Что нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали. Как задать растяжение графика по горизонтали или вертикали. Как отразить график относительно оси Х или Y.

Очень жаль, что эта тема — полезная и очень интересная — выпадает из школьной программы. На нее не постоянно хватает времени. Из-за этого многим старшеклассникам не даются задачи с параметрами — которые на самом деле похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов. Хотя бы для того, чтобы решать задачи с параметрами, стоит научиться строить графики функций.

Но конечно, не только для того, чтобы сдать ЕГЭ. Первая лекция на первом курсе технического или экономического вуза посвящена функциям и графикам. Первые зачеты в курсе матанализа связаны с функциями и графиками.

Начнем со сдвигов графиков по Х и по Y.

Сдвиг по горизонтали.

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции сдвинут относительно исходной на а вправо. График функции сдвинут относительно исходной на а влево.

 

1. Сдвиг по вертикали.

Пусть функция задана формулой и С — некоторое положительное число. Тогда график функции сдвинут относительно исходного на С вверх. График функции сдвинут относительно исходного на С вниз.

Теперь растяжение графика. Или сжатие.

2.  Растяжение (сжатие) по горизонтали.

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в k раз по горизонтали, если , и сжат относительно исходного в k раз по горизонтали, если

3.  Растяжение (сжатие) по вертикали

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в М раз по вертикали, если , и сжат относительно исходного в М раз по вертикали, если

И отражение по горизонтали.

4. Отражение по горизонтали

График функции симметричен графику функции относительно оси Y.

5. Отражение по вертикали.

График функции симметричен графику функции относительно оси Х.

Друзья, не возникло ли у вас ощущения, что вы все это где-то видели? Да, наверняка видели, если когда-либо редактировали изображения в графическом редакторе на компьютере. Изображение можно сдвинуть (по горизонтали или вертикали). Растянуть (по горизонтали или вертикали). Отразить. И все это мы делаем с графиками функций.

И еще два интересных преобразования. Здесь в формулах присутствует знак модуля. Если не помните, что такое модуль, — срочно повторите эту тему.

6. Графики функций и

На рисунке изображен график функции Она специально взята такая — несимметричная относительно нуля.

Построим график функции

Конечно же, мы пользуемся определением модуля.

Это мы и видим на графике. Для неотрицательных значений х график остался таким же, как был. А вместо каждого отрицательного х мы взяли противоположное ему положительное число. И поэтому вся та часть графика функции, что лежала слева от оси Х, заменилась на зеркально отраженную правую часть графика.

Теперь график функции Вы уже догадались, что будет. Вся часть графика, лежащая ниже оси Х, зеркально отражается в верхнюю полуплоскость. А верхняя часть графика, лежащая выше оси Х, остается на месте.

Как определить по формуле функции, будет график преобразован по горизонтали (по Х) или по вертикали (по Y)? Разница очевидна. Если сначала мы что-либо делаем с аргументом х (прибавляем к нему какое-либо число, умножаем на какое-либо число или берем модуль) — преобразование по Х. Если сначала мы нашли функцию, а затем уже к значению функции что-то прибавили, или на какое-нибудь число умножили, или взяли модуль, — преобразование по Y.

Вот самые простые задачи на преобразование графиков.

1. Построим график функции 

Это квадратичная парабола, сдвинутая на 3 влево по x и на 1 вниз по y.

Вершина в точке

2. Построим график функции

Выделим полный квадрат в формуле.

График — квадратичная парабола, сдвинутая на 2 вправо по x и на 5 вниз по y.

Обратите внимание: график функции пересекает ось y в точке На нашем графике это точка

Продолжение — в статье «Построение графиков функций».

 

Как построить график в Excel

С помощью графика можно наглядно показать зависимость одних данных от других, а также проследить изменение значений. Такой метод визуализации очень востребован и используется как в учебных и деловых презентациях, так и в области точных наук и различных исследований. Давайте разберемся, как можно построить и настроить график в Microsoft Excel.

Как построить график

1. Для создания графика в программе Эксель, в первую очередь, потребуется ее основа с информацией. Другими словами, сначала необходимо создать таблицу и внести в неё все значения, на базе которых будет строиться график. Или же можно открыть файл, который содержит таблицу.
2. Переходим во вкладку «Вставка». Выделяем всю таблицу или только ту часть, которую необходимо отразить в виде графика. Нажимаем на кнопку «График».
3. На выбор будет предоставлены различные варианты графиков.
   • График. Привычные нам простые линии.
   • График с накоплением. При выборе данного варианта будет отображаться динамика изменения вклада каждого значения с течением времени или по категориям данных, которые разделены на равные интервалы.
   • Нормированный график с накоплением. Если выбрать данный вариант, будет отображаться динамика вклада каждой величины в процентах с течением времени или по категориям данных, которые разделены на равные интервалы.
   • График с маркерами (обычный, с накоплением или нормированный с накоплением). Будут отображаться конкретные значения данных на графике.
   • Объёмный график. Имеет кроме высоты и длины, еще и глубину. Кривая графика изображается в виде ленты.
   • График с областями (обычный, с накоплением, нормированный с накоплением). Сами принцип построения линий в зависимости от выбранного подвида аналогичен описанным выше вариантам. Однако, в данном случае, график представляет из себя не просто линии, а закрашенные области согласно построенными линиям.
   • Объемный график с областями (обычный, с накоплением, нормированный с накоплением). Все то же самое, что и в варианте выше, только в трехмерном исполнении.
4. Выбираем из перечисленных вариантов наиболее понравившийся или тот, что лучше всего отобразит необходимую информацию, и щелкаем по нему.
   
5. Об остальном позаботится Эксель, выведя результат в виде готового графика в отдельном окне, которое, к тому же, можно изменять по размерам путем растягивания или сжатия, а также, перемещать внутри листа.

Редактирование графика

Чтобы улучшить внешний вид и упростить восприятие данных, график можно отредактировать как целиком, так и изменить его отдельные элементы.

1. Если необходимо изменить название графика, щелкаем по нему, чтобы выделить. Теперь правой кнопкой мыши вызываем контекстное меню, где выбираем “Изменить текст”.Редактируем название, после чего щелкаем мышкой в любом свободном месте графика за пределами названия, чтобы сохранить его.
2. Чтобы изменить размер шрифта названия, в контекстном меню выбираем пункт “Шрифт…”.Откроется окно, в котором можно задать параметры шрифта, в том числе, его размер.
3. Название можно перемещать внутри графика на своей усмотрение. Для этого наводим на область названия курсор, затем зажимаем левую кнопки мыши, двигаем его в нужное место и отпускаем кнопку.
4. Чтобы вносить более существенные корректировки, необходимо перейти во вкладку «Конструктор», если вы находитесь не в ней.В некоторых случаях, когда размеры окна с программой сжаты по ширине, возможно, вам не удастся найти требуемую вкладку, так как она скрыта. Вы можете либо растянуть размеры окна, либо нажать на небольшую стрелку вправо, чтобы раскрыть скрытые элементы и выбрать среди них тот, что нужен.
5. В данной вкладке представлены широкие возможности по редактированию внешнего вида графика. Одной из главных кнопок здесь является “Добавить элемент диаграммы”.Нажатие на нее раскрывает список, который позволяет скорректировать все элементы, отображающиеся на графике.
6. Давайте попробуем изменить расположение названия. Для этого щелкаем по пункту “Название диаграммы”. Здесь мы видим все варианты, предложенные программой. Выбирать название с наложением не особо рекомендуется, так как в данном случае оно может в определенных случаях перекрывать собой часть полезной информации, отображаемой на графике.
7. В дополнительных параметрах названия можно настроить границы, заливку, выравнивание, а также определить заливку и контуры самого текста. Открыть их можно путем выбора соответствующего пункта в списке, или просто двойным щелчком мыши по элементу на самом графике.
8. Для того, чтобы подписать наименование осей, нажимаем «Название осей». Здесь есть возможность выбрать вертикальную или горизонтальную ось. Допустим, мы выбрали добавить основную горизонтальную ось. Задать ей имя и изменить расположение можно также, как это делается для название (описано выше). Также, можно в дополнительных параметрах настроить формат названия оси.
9. При необходимости добавляем вертикальную ось и настраиваем ее.
10. Аналогичным образом в разделе “Добавить элемент диаграммы” настраиваются другие параметры, такие как подписи данных, легенда, сетка, линии и т.д.
11. У пользователя также есть возможность воспользоваться быстрой настройкой графика, воспользовавшись шаблонами, которые предлагает программа. Для этого, находясь во вкладке “Конструктор”, нужно нажать кнопку “Экспресс-макет”.Здесь будут представлены все доступные варианты оформления.
12. Помимо этого в Эксель предусмотрены разнообразные стили оформления графика. Просто выберите тот, что вам больше нравится, и щелкните по нему.
13. После этого программа автоматически внесет соответствующие изменения.

Добавление в график вспомогательной оси

Нередко возникает необходимость на одной диаграмме разместить несколько графиков. В этом нет никакой сложности, если они имеют одинаковые меры исчисления. Но порой приходится совмещать несколько графиков с различными мерами исчисления, к примеру, чтобы показать зависимость одних данных от других. Делается это следующим образом.

1. Первые шаги такие же, как и описанные выше. Выделяем таблицу, переходим во вкладку “Вставка” и выбираем наиболее подходящий вариант графика.
2. В полученной диаграмме построено несколько графиков в соответствии с количеством столбцов выделенной таблицы. Теперь нужно нажать правой кнопкой мыши на тот, для которого необходима вспомогательная ось. Внизу появившегося списка выбираем «Формат ряда данных…».
3. Откроются настройки формата данных, в котором выбираем “Построить ряд по вспомогательной оси”.
4. После этого будет добавлена вспомогательная ось, и график перестроится. Далее можно скорректировать название, подписи данных, легенду, и выбрать для них подходящее место.

Примечание: в диаграмму можно добавить только одну дополнительную ось, что ограничивает возможность построения графиков для трёх и более различных мер исчисления.

Как построить график функции

Эта возможность в Excel может здорово сократить время выполнения некоторых задач, например, по алгебре. Поэтому, давайте подробнее рассмотрим такой вариант и в качестве примера возьмем функцию y=x²+5.

1. Как и полагается для всех диаграмм, сперва составляем исходную таблицу. В левый столбец записываем значение х с нужным шагом, а в правый – формулу, которая будет рассчитывать значение у. В таблице это будет выглядеть так:
2. Рассчитав значение для первой ячейки, нужно протянуть формулу на остальные строки таблицы. Для этого наводим курсор на правый нижний угол ячейки, он меняет вид на крестик, теперь зажав левую кнопку тянем выделение до нижней ячейки, чтобы скопировать формулу и автоматически рассчитать значения по ней для оставшихся строк.
3. Выделив таблицу, переходим во вкладку «Вставка», где нажимаем на кнопку “Точечная” и из вариантов, выданных всплывающим окном, лучше всего подходит под нашу задачу вид “Точечная с гладкими кривыми и маркерами”.
4. После того, как сформируется диаграмма, привычным способом ее редактируем и удаляем за ненадобностью лишние элементы.

Заключение

Наряду с работой данных в табличном виде, в программе Microsoft Excel можно строить графики. Программа предлагает большое разнообразие видов и подвидов, которые прекрасно покрывают потребности пользователей в предоставлении информации в наиболее наглядном виде, значительно облегчающем ее восприятие.

Справка в Интернете — Быстрая справка

Графические функции Последнее обновление: 04.09.2019 Создание новой функциональной диаграммы Origin поддерживает построение четырех видов функций: 2D-функции, 2D-параметрические функции, 3D-функции и 3D-параметрические функции. Нажмите Файл: Новое: Функциональная диаграмма или Нажмите кнопку функционального графика на стандартной панели инструментов. Когда вы выбрали график функции в меню, откроется диалоговое окно, позволяющее вам определить функцию. Чтобы построить 3D параметрическую функцию, вы можете выбрать Файл: Новый: График функции: Меню 3D параметрической функции, чтобы открыть диалоговое окно Создать трехмерный график параметрической функции . В этом диалоговом окне введите Mesh Grid , установите Scale для двух параметров, введите параметрические уравнения для переменных X, Y и Z, а затем определите константы, которые можно использовать в определении функции в нижней таблице, если необходимо.Нажмите ОК, чтобы получить график. См. Больше [образцы функций 3D] Примечание: После того, как вы построили функцию, вы можете переопределить или настроить график функции на вкладке Function диалогового окна Plot Details , которое можно открыть, дважды щелкнув график функции в окне графика. Добавить график функции к существующему графику При активном окне графика щелкните File: New: Function Plot или щелкните кнопку графика функции на стандартной панели инструментов, как описано выше. Выберите Добавить в активный график в раскрывающемся списке внизу диалогового окна. Примечание: Если вы выберете 3D-график функции, когда активное окно графика является двухмерным, этот раскрывающийся список не будет отображаться. Альтернативный метод добавления графика функции к существующему графику При активном графике щелкните Insert: Function Plot or Insert: Parametric Plot . Примечание: В более старых версиях это находится в График: Добавить график функции . Ключевые слова: график математических функций, трехмерный график параметрической функции, двухмерный график параметрической функции, график функции, сетка Требуется минимальная исходная версия: 9.0SR0

.

R plot () Функция (добавление заголовков, меток, изменение цветов и наложение горшков)

В этой статье вы научитесь использовать функцию построения графика в R. Она используется для построения графиков в соответствии с типом переданного объекта.

Наиболее часто используемой функцией построения графиков в программировании на R является функция plot () . Это общая функция, то есть у нее есть много методов, которые вызываются в зависимости от типа объекта, переданного в plot () .

В простейшем случае мы можем передать вектор и получить диаграмму разброса величины и индекса.Но обычно мы передаем два вектора и строим диаграмму рассеяния этих точек.

Например, команда plot (c (1,2), c (3,5)) построит точки (1,3) и (2,5) .

Вот более конкретный пример, где мы строим график синусоидальной функции в диапазоне от -pi до pi .

  x <- seq (-pi, pi, 0,1)
сюжет (x, sin (x))
  

---

Добавление заголовков и маркировки осей

Мы можем добавить заголовок к нашему графику с помощью параметра main .Точно так же xlab и ylab можно использовать для обозначения оси x и оси y соответственно.

  участок (x, sin (x),
main = "Функция синуса",
ylab = "грех (х)")
  

---

Изменение цвета и типа графика

Выше видно, что график состоит из круглых точек и имеет черный цвет. Это цвет по умолчанию.

Мы можем изменить тип графика с помощью аргумента типа . Он принимает следующие строки и имеет заданный эффект.

 "p" - баллов
"l" - линии
«б» - и точки, и линии
«c» - пустые точки, соединенные линиями
«o» - точки и линии, нанесенные поверх графика
«s» и «S» - ступеньки лестницы
"h" - вертикальные линии в виде гистограммы
«n» - не создает точек или линий
 

Точно так же мы можем определить цвет, используя col .

  участок (x, sin (x),
main = "Функция синуса",
ylab = "грех (х)",
TYPE = "л",
цв = «синий»)
  

---

Наложение графиков с помощью функции legend ()

Вызов plot () несколько раз приведет к построению текущего графика в том же окне, заменяющего предыдущий.

Однако иногда мы хотим наложить графики, чтобы сравнить результаты.

Это стало возможным с помощью функций линий () и точек () для добавления линий и точек соответственно к существующему графику.

  участок (x, sin (x),
main = "Наложение графиков",
ylab = "",
TYPE = "л",
цв = «синий»)
строки (x, cos (x), col = "red")
Легенда ( «верхний-левый»,
с ( "грех (х)", "сов (х)"),
заливка = с ( «синий», «красный»)
)
  

Мы использовали функцию legend () , чтобы правильно отобразить легенду.Посетите функцию legend (), чтобы узнать больше.

Также посетите функцию plot (), чтобы узнать больше о различных аргументах. Функция plot () может принимать и другие примеры.

.

r - Как построить график функции плотности вероятности с помощью ggplot

Переполнение стека

1. Товары
2. Клиенты
3. Случаи использования

1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
2. Команды Частные вопросы и ответы для вашей команды
3. предприятие Частные вопросы и ответы для вашего предприятия
4. работы Программирование и связанные с ним возможности технической карьеры
5. Талант Нанять технических талантов
6. реклама Обратитесь к разработчикам по всему миру

,

График функций и калькулятор

Описание :: Все функции

Описание

Function Grapher - это полнофункциональная программа для построения графиков, которая поддерживает одновременное построение графиков двух функций.

Он имеет уникальную особенность: вы можете сохранить свою работу как URL (ссылка на веб-сайт).

Использование

Чтобы построить функцию, просто введите ее в поле функции.2)

(х-3) (х + 3)

Масштабирование и повторное центрирование

Для увеличения используйте ползунок масштабирования. Влево увеличивает масштаб, вправо - уменьшает. Когда вы отпускаете ползунок, он возвращается к середине, чтобы вы могли увеличить масштаб.

Для перемещения графика можно щелкнуть и перетащить.

Если вы просто щелкнете и отпустите (не двигаясь), то место, на котором вы щелкнули, станет новым центром

Чтобы сбросить масштаб до исходного, нажмите кнопку Сбросить .

Использование значений "a"

Есть ползунок с «a =» на нем. Вы можете использовать «a» в своей формуле, а затем использовать ползунок, чтобы изменить значение «a», чтобы увидеть, как оно влияет на график.

Обратите внимание, как я использовал a * x для умножения a и x . Если бы я использовал ax (или xa ), программа просто запуталась.

Все функции

Операторы

	+	Оператор сложения
	–	Оператор вычитания
	*	Оператор умножения
	/	Оператор отдела
	^	Оператор экспоненты (степени)

Функции

	кв.	Квадратный корень значения или выражения.
	грех	синус значения или выражения
	cos	Косинус значения или выражения
	загар	тангенс значения или выражения
	asin	обратный синус (арксинус) значения или выражения
	acos	обратный косинус (arccos) значения или выражения
	атан	Арктангенс (арктангенс) значения или выражения
	шин	Гиперболический синус (sinh) значения или выражения
	кош	Гиперболический косинус (cosh) значения или выражения
	танх	Гиперболический тангенс (tanh) значения или выражения
	эксп.	e (константа Эйлера) в степени значения или выражения
	пер.	Натуральный логарифм значения или выражения
	журнал	Логарифм по основанию 10 значения или выражения
	этаж	Возвращает наибольшее (ближайшее к положительной бесконечности) значение, которое не больше аргумента и равно математическому целому числу.
	ceil	Возвращает наименьшее (ближайшее к отрицательной бесконечности) значение, которое не меньше аргумента и равно математическому целому числу.
	абс	Абсолютное значение (расстояние от нуля) значения или выражения
	знак	Знак (+1 или -1) значения или выражения
	факт	факториальная функция

Константы

	пи	Константа π (3.141592654 ...)
	e	Число Эйлера (2,71828 ...), основание натурального логарифма

,