Нажмите "Enter", чтобы перейти к содержанию

Как построить график функции системы уравнений: Графики элементарных функций. Графический способ решения систем уравнений

Содержание

Семинары и мероприятия

Для записи на обучение и уточнения информации обращайтесь в Отдел внебюджетных услуг, маркетинга и развития КК ИПК по адресу: г. Красноярск, ул. Матросова, 19, каб. 1-10.  8 (391) 236-00-07, 8 (391) 206-99-19, доб. 153

Обучающие вебинары по методике преподавания английского языка

Ключевые подходы к оцениванию экзаменационных работ ОГЭ по русскому языку (опыт работы предметной комиссии)

Правовые основы организации сетевой формы реализации образовательной программы в образовательной организации

Обобщение и оформление педагогического опыта для Регионального атласа образовательных практик

Финансовая математика на уроках в основной и старшей школе

Опыт работы в сенсорной комнате с разными категориями обучающихся

Как организовать внеурочную деятельность по индивидуальным программам?

Планирование образовательной деятельности в дошкольной образовательной организации

Шкала оценки качества образования в дошкольных образовательных организациях (ECERS)

Шкала оценки качества образовательной среды школы (SACERS)

Обучение работодателей и работников вопросам охраны труда

Проектирование рабочей программы в школе

Тренинг по финансовой математике в старшей школе. Учимся решать задание 17 ЕГЭ по математике профильного уровня

Компьютерный ЕГЭ по информатике: новые вызовы и новые задачи                       

Особенности организации развивающей предметно-пространственной среды для детей раннего и дошкольного возраста

Обновление деятельности школьной библиотеки: цифровая жизнь традиционных форм работы

Творческая мастерская

Проектирование муниципальной и школьной модели инклюзивного образования

Инклюзивные практики в общеобразовательных учреждениях

Актуальные направления современной психокоррекционной работы в образовательной организации

Содержание и организация педагогической супервизии для учителей, реализующих практику формирования функциональной грамотности школьников

Учимся решать задание 19 ЕГЭ по математике профильного уровня

Основные трудности младших школьников при выполнении итоговых работ по математике

Новая модель КИМ ОГЭ по математике 9 класса: как готовить?

Учимся решать задания повышенного уровня сложности ОГЭ и ЕГЭ по математике профильного уровня по планиметрии (модуль «Окружность»)

Организация платных услуг в образовательной организации

Новая модель КИМ ОГЭ по информатике 9 класса: как подготовить обучающихся

Разработка индивидуальных образовательных программ сопровождения интеллектуально одаренных обучающихся

Питание и здоровье или как быть счастливым и успешным

Особенности организации развивающей предметно-пространственной среды для детей раннего и дошкольного возраста в соответствии с требованиями ФГОС ДО

Построение графика квадратного уравнения с двумя переменными.

Как построить график уравнения. Преимущества построения графиков онлайн

На этом уроке мы подробно рассмотрим построение графиков уравнений. Вначале вспомним, что такое рациональное уравнение и множество его решений, образующее график уравнения. Подробно рассмотрим график линейного уравнения и свойства линейной функции, научимся читать графики. Далее рассмотрим график квадратного уравнения и свойства квадратичной функции. Рассмотрим гиперболическую функцию и ее график и график уравнения окружности. Далее перейдем к построению и изучению совокупности графиков.

Тема: Системы уравнений

Урок: Графики уравнений

Мы рассматриваем рациональное уравнение вида и системы рациональных уравнений вида

Мы говорили, что каждое уравнение в этой системе имеет свой график, если конечно имеются решения уравнений. Мы рассмотрели несколько графиков различных уравнений.

Сейчас мы систематически рассмотрим каждое из известных нам уравнений, т.

е. выполним обзор по графикам уравнений .

1. Линейное уравнение с двумя переменными

x, y — в первой степени; a,b,c — конкретные числа.

Пример:

Графиком этого уравнения является прямая линия.

Мы действовали равносильными преобразованиями — y оставили на месте, всё остальное перенесли в другую сторону с противоположными знаками. Исходное и полученное уравнения равносильны, т.е. имеют одно и то же множество решений. График этого уравнения мы умеем строить, и методика его построения такова: находим точки пересечения с координатными осями и по ним строим прямую.

В данном случае

Зная график уравнения, мы можем многое сказать о решениях исходного уравнения, а именно: если сли

Эта функция возрастает, т.е. с увеличением x увеличивается y. Мы получили два частных решения, а как записать множество всех решений?

Если точка имеет абсциссу x, то ордината этой точки

Значит, чисел

У нас было уравнение, мы построили график, нашли решения. Множество всех пар — сколько их? Бесчисленное множество.

Это рациональное уравнение,

Найдем y, равносильными преобразованиями получаем

Положим и получаем квадратичную функцию, ее график нам известен.

Пример: Построить график рационального уравнения.

Графиком является парабола, ветви направлены вверх.

Найдем корни уравнения:

Схематически изобразим график (Рис. 2).

С помощью графика мы получаем всевозможные сведения и о функции, и о решениях рационального уравнения. Мы определили промежутки знакопостоянства, теперь найдем координаты вершины параболы.

У уравнения бесчисленное множество решений, т.е. бесчисленное множество пар , удовлетворяющих уравнению, но все А каким может быть x? Любым!

Если мы зададим любое x, то получим точку

Решением исходного уравнения является множество пар

3. Построить график уравнения

Необходимо выразить y. Рассмотрим два варианта.

Графиком функции является гипербола, функция не определена при

Функция убывающая.

Если мы возьмем точку с абсциссой , то ее ордината будет равна

Решением исходного уравнения является множество пар

Построенную гиперболу можно сдвигать относительно осей координат.

Например, график функции — тоже гипербола — будет сдвинут на единицу вверх по оси ординат.

4. Уравнение окружности

Это рациональное уравнение с двумя переменными. Множеством решений являются точки окружности. Центр в точке радиус равен R (Рис. 4).

Рассмотрим конкретные примеры.

a.

Приведем уравнение к стандартному виду уравнения окружности, для этого выделим полный квадрат суммы:

— получили уравнение окружности с центром в .

Построим график уравнения (Рис. 5).

b. Построить график уравнения

Вспомним, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю, а второй существует.

График заданного уравнения состоит из совокупности графиков первого и второго уравнений, т. е. двух прямых.

Построим его (Рис. 6).

Построим график функции Прямая будет проходить через точку (0; -1). Но как она пройдет — будет возрастать или убывать? Определить это нам поможет угловой коэффициент, коэффициент при x, он отрицательный, значит функция убывает. Найдем точку пересечения с осью ox, это точка (-1; 0).

Аналогично строим график второго уравнения. Прямая проходит через точку (0; 1), но возрастает, т.к. угловой коэффициент положителен.

Координаты всех точек двух построенных прямых и являются решением уравнения.

Итак, мы проанализировали графики важнейших рациональных уравнений, они будут использоваться и в графическом методе и в иллюстрации других методов решения систем уравнений.

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

1. Раздел College.ru по математике ().

2. Интернет-проект «Задачи» ().

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» ().

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 95-102.

Пусть задано уравнение с двумя переменными F(x; y) . Вы уже познакомились со способами решения таких уравнений аналитически. Множество решений таких уравнений можно представить и в виде графика.

Графиком уравнения F(x; y) называют множество точек координатной плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению.

Для построения графика уравнения с двумя переменными сначала выражают в уравнении переменную y через переменную x.

Наверняка вы уже умеете строить разнообразные графики уравнений с двумя переменными: ax + b = c – прямая, yx = k – гипербола, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – окружность, радиус которой равен R, а центр находится в точке O(a; b).

Пример 1.

Построить график уравнения x 2 – 9y 2 = 0.

Решение.

Разложим на множители левую часть уравнения.

(x – 3y)(x+ 3y) = 0, то есть y = x/3 или y = -x/3.

Ответ: рисунок 1.

Особое место занимает задание фигур на плоскости уравнениями, содержащими знак абсолютной величины, на которых мы подробно остановимся. Рассмотрим этапы построения графиков уравнений вида |y| = f(x) и |y| = |f(x)|.

Первое уравнение равносильно системе

{f(x) ≥ 0,
{y = f(x) или y = -f(x).

То есть его график состоит из графиков двух функций: y = f(x) и y = -f(x), где f(x) ≥ 0.

Для построения графика второго уравнения строят графики двух функций: y = f(x) и y = -f(x).

Пример 2.

Построить график уравнения |y| = 2 + x.

Решение.

Заданное уравнение равносильно системе

{x + 2 ≥ 0,
{y = x + 2 или y = -x – 2.

Строим множество точек.

Ответ: рисунок 2.

Пример 3.

Построить график уравнения |y – x| = 1.

Решение.

Если y ≥ x, то y = x + 1, если y ≤ x, то y = x – 1.

Ответ: рисунок 3.

При построении графиков уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, удобно и рационально использовать метод областей , основанный на разбиении координатной плоскости на части, в которых каждое подмодульное выражение сохраняет свой знак.

Пример 4.

Построить график уравнения x + |x| + y + |y| = 2.

Решение.

В данном примере знак каждого подмодульного выражения зависит от координатной четверти.

1) В первой координатной четверти x ≥ 0 и y ≥ 0. После раскрытия модуля заданное уравнение будет иметь вид:

2x + 2y = 2, а после упрощения x + y = 1.

2) Во второй четверти, где x

3) В третьей четверти x

4) В четвертой четверти, при x ≥ 0, а y

График данного уравнения будем строить по четвертям.

Ответ: рисунок 4.

Пример 5.

Изобразить множество точек, у которых координаты удовлетворяют равенству |x – 1| + |y – 1| = 1.

Решение.

Нули подмодульных выражений x = 1 и y = 1 разбивают координатную плоскость на четыре области. Раскроем модули по областям. Оформим это в виде таблицы.

Область
Знак подмодульного выражения
Полученное уравнение после раскрытия модуля
I x ≥ 1 и y ≥ 1 x + y = 3
II x -x + y = 1
III x x + y = 1
IV x ≥ 1 и y x – y = 1

Ответ: рисунок 5.

На координатной плоскости фигуры могут задаваться и неравенствами .

Графиком неравенства с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого неравенства.

Рассмотрим алгоритм построения модели решений неравенства с двумя переменными :

  1. Записать уравнение, соответствующее неравенству.
  2. Построить график уравнения из пункта 1.
  3. Выбрать произвольную точку в одной из полуплоскостей. Проверить, удовлетворяют ли координаты выбранной точки данному неравенству.
  4. Изобразить графически множество всех решений неравенства.

Рассмотрим, прежде всего, неравенство ax + bx + c > 0. Уравнение ax + bx + c = 0 задает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости. В каждой из них функция f(x) = ax + bx + c сохраняет знак. Для определения этого знака достаточно взять любую точку, принадлежащую полуплоскости, и вычислить значение функции в этой точке. Если знак функции совпадает со знаком неравенства, то эта полуплоскость и будет решением неравенства.

Рассмотрим примеры графического решения наиболее часто встречающихся неравенств с двумя переменными.

1) ax + bx + c ≥ 0. Рисунок 6 .

2) |x| ≤ a, a > 0. Рисунок 7 .

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Рисунок 8 .

4) y ≥ x 2 . Рисунок 9.

5) xy ≤ 1. Рисунок 10.

Если у вас появились вопросы или вы хотите попрактиковаться изображать на плоскости модели множества всех решений неравенств с двумя переменными с помощью математического моделирования, вы можете провести бесплатное 25-минутное занятие с онлайн репетитором после того, как зарегистрируетесь . Для дальнейшей работы с преподавателем у вас будет возможность выбрать подходящий для вас тарифный план.

Остались вопросы? Не знаете, как изобразить фигуру на координатной плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Линейное уравнение с двумя переменными — любое уравнение, которое имеет следующий вид: a*x + b*y =с . Здесь x и y есть две переменные, a,b,c — некоторые числа.

Решением линейного уравнения a*x + b*y = с, называется любая пара чисел (x,y) которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает уравнение с переменными x и y в верное числовое равенство. Линейное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Если каждую пару чисел, которые являются решением линейного уравнения с двумя переменными, изобразить на координатной плоскости в виде точек, то все эти точки образуют график линейного уравнения с двумя переменными. Координатами точками будут служить наши значения x и у. При этом значение х будет являться абсциссой, а значение у — ординатой.

График линейного уравнения с двумя переменными

Графиком линейного уравнения с двумя переменными называется множество всевозможных точек координатной плоскости, координаты которых будут являться решениями этого линейного уравнения. Несложно догадаться, что график будет представлять собой прямую линию. Поэтому такие уравнения и называются линейными.

Алгоритм построения

Алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменным.

1. Начертить координатные оси, подписать их и отметить единичный масштаб.

2. В линейном уравнении положить х = 0, и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.

3. В линейном уравнении в качестве у взять число 0, и решить полученное уравнение относительно х. Отметить полученную точку на графике

4. При необходимости взять произвольное значение х, и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.

5. Соединить полученные точки, продолжить график за них. Подписать получившуюся прямую.

Пример: Построить график уравнения 3*x — 2*y =6;

Положим х=0, тогда — 2*y =6; y= -3;

Положим y=0, тогда 3*x = 6; x=2;

Отмечаем полученные точки на графике, проводим через них прямую и подписываем её. Посмотрите на рисунок ниже, график должен получиться именно таким.

Прямоугольная система координат это пара перпендикулярных координатных линий, называемых осями координат, которые размещены так, что они пересекаются в их начале.

Обозначение координатных осей буквами х и у является общепринятым, однако буквы могут быть любые. Если используются буквы х и у, то плоскость называется xy-плоскость . В различных приложениях могут применяться отличные от букв x и y буквы, и как показано с нижерасположенных рисунках, есть uv-плоскости и ts-плоскости .

Упорядоченная пара

Под упорядоченной парой действительных чисел мы имеем в виду два действительных чисел в определённом порядке. Каждая точка P в координатной плоскости может быть связана с уникальной упорядоченной парой действительных чисел путём проведения двух прямых через точку P: одну перпендикулярно оси Х, а другую — перпендикулярно оси у.

Например, если мы возьмём (a,b)=(4,3), тогда на координатной полоскости

Построить точку Р(a,b) означает определить точку с координатами (a,b) на координатной плоскости. Например, различные точки построены на рисунке внизу.

В прямоугольной системе координат оси координат делят плоскость на четыре области, называемые квадрантами. Они нумеруются против часовой стрелки римскими цифрами, как показано на рисунке

Определение графика

Графиком уравнения с двумя переменными х и у, называется множество точек на ху-плоскости, координаты которых являются членами множества решений этого уравнения

Пример: нарисовать график y = x 2

Из-за того, что 1/x не определено, когда x=0, мы можем построить только точки, для которых x ≠0

Пример: Найдите все пересечения с осями
(a) 3x + 2y = 6
(b) x = y 2 -2y
(c) y = 1/x

Пусть y = 0, тогда 3x = 6 or x = 2

является искомой точкой пересечения оси x.

Установив, что х=0, найдем что точкой пересечения оси у является точка у=3.

Таким эе образом вы можете решить уравнение (b), а решения для (c) приведено ниже

x-пересечение

Пусть y = 0

1/x = 0 => x не может быть определено, то есть нет пересечения с осью у

Пусть x = 0

y = 1/0 => y также не определено, => нет пересечения с осью y

На рисунке внизу точки (x,y), (-x,y),(x,-y) и (-x,-y) обозначают углы прямоугольника.

График симметричен относительно оси х, если для каждой точки (x,y) графика, точка (x,-y) есть также точкой на графике.

График симметричен относительно оси y, если для каждой точки графика (x,y) точка (-x,y) также принадлежит графику.

График симметричен относительно центра координат, если для каждой точки (x,y) графика, точка (-x,-y) также принадлежит этому графику.

Определение:

График функции на координатной плоскости определяется как график уравнения y = f(x)

Постройте график f(x) = x + 2

Пример 2. Постройте график f(x) = |x|

График совпадает с линией y = x для x> 0 и с линией y = -x

для x

graph of f(x) = -x

Соединяя эти два графика, мы получаем

график f(x) = |x|

Пример 3. Постройте график

t(x) = (x 2 — 4)/(x — 2) =

= ((x — 2)(x + 2)/(x — 2)) =

= (x + 2) x ≠ 2

Следовательно, эта функция может быть записана в виде

y = x + 2 x ≠ 2

График h(x)= x 2 — 4 Or x — 2

график y = x + 2 x ≠ 2

Пример 4. Постройте график

Графики функций с перемещением

Предположим, что график функции f(x) известен

Тогда мы можем найти графики

y = f(x) + c — график функции f(x), перемещённый

ВВЕРХ на c значений

y = f(x) — c — график функции f(x), перемещённый

ВНИЗ на c значений

y = f(x + c) — график функции f(x), перемещённый

ВЛЕВО на c значений

y = f(x — c) — график функции f(x), перемещённый

Вправо на c значений

Пример 5. Постройте

график y = f(x) = |x — 3| + 2

Переместим график y = |x| на 3 значения ВПРАВО, чтобы получить график

Переместим график y = |x — 3| на 2 значения ВВЕРХ, чтобы получить график y = |x — 3| + 2

Постройте график

y = x 2 — 4x + 5

Преобразуем заданное уравнение следующим образом, прибавив к обеим частям 4:

y + 4 = (x 2 — 4x + 5) + 4 y = (x 2 — 4x + 4) + 5 — 4

y = (x — 2) 2 + 1

Здесь мы видим, что этот график может быть получен перемещением графика y = x 2 вправо на 2 значения, потому что x — 2, и вверх на 1 значение, потому что +1.

y = x 2 — 4x + 5

Отражения

(-x, y) есть отражением (x, y) относительно оси y

(x, -y) есть отражением (x, y) относительно оси x

Графики y = f(x) и y = f(-x) являются отражением друг друга относительно оси y

Графики y = f(x) и y = -f(x) являются отражением друг друга относительно оси x

График может быть получен отражением и перемещением:

Нарисуйте график

Найдём его отражение относительно оси y, и получим график

Переместим этот график вправо на 2 значения и получим график

Вот искомый график

Если f(x) умножена на положительною постояную c, то

график f(x) сжимается по вертикали, если 0

график f(x) растягивается по вертикали, если c > 1

Кривая не является графиком y = f(x) для любой функции f

Построение графиков функции аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ, АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ КОТОРЫХ СОДЕРЖИТ ЗНАК АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Мухаматдинова Динара Рамзиевна,

МОУДОД Центр внешкольной работы Агрызского муниципального района РТ, Кучуковская СОШ

ученик 10 класса.

Научный руководитель:

Бурганиева А.Р., учитель математики высшей категории Кучуковской СОШ Агрызского муниципального района РТ

Оглавление.

I. Введение——————————————————————————3

II. Основная часть.——————————————————————-4-15

1. Историческая справка——————————————————- -4

2. Геометрическая интерпретация понятия |—————————- — -5

3. График функции у=f |(х)|——————————————————5-8

4. График функции у = | f (х)| —————————————————9-11

5. График функции у=|f |(х)| | — —- ——————————————11-14

III. Заключение.———————————————————————- 14-15

IV. Список литературы —————————————————————15

Цель и задачи работы: изучить соответствующие теоретические материалы, выявить алгоритм построения графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

Объект исследования: функции, содержащие знак абсолютной величины.

Предмет исследования: закономерность графиков функции у = f |(х)|,

у = | f (х)|, у = | f |(х)| |.

Методы исследования: решение примеров на построения графиков, сравнение, анализ, обобщение.

I. Введение.

Построение графиков функций одна из интереснейших тем в школьной математике. Один из крупнейших математиков нашего времени Израиль Моисеевич Гельфанд писал: «Процесс построения графиков является способом превращения формул и описаний в геометрические образы. Это – построение графиков – является средством увидеть формулы и функции и проследить, каким образом эти функции меняются. Например, если написано y=x2, то Вы сразу видите параболу; если y=x2-4, Вы видите параболу, опущенную на четыре единицы; если же y=4-x2, то Вы видите предыдущую параболу, перевернутую вниз. Такое умение видеть сразу и формулу, и ее геометрическую интерпретацию – является важным не только для изучения математики, но и для других предметов. Это умение, которое остается с Вами на всю жизнь, подобно умению ездить на велосипеде, печатать на машинке или водить машину».

Хотя уравнения с модулями мы начали изучать уже с 6-го – 7-го класса, где мы проходили самые азы уравнений с модулями. Я выбрал именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования. Я хочу получить более широкие знания о модуле числа, различных способах построения графиков, содержащих знак абсолютной величины.

Цель работы: изучить соответствующие теоретические материалы, выявить алгоритм построения графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

Объект исследования: линейные функции, квадратичные и кубические функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

Методы исследования: решение примеров на построения графиков, сравнение, анализ, обобщение.

II. Основная часть.

1. Историческая справка.

В первой половине XVII века начинает складываться представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой. Так, французские математики Пьер Ферма(1601-1665) и Рене Декарт (1596-1650) представляли себе функцию как зависимость ординаты точки кривой от её абсциссы. А английский ученый Исаак Ньютон(1643-1727) понимал функцию как изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки.

Термин «функция» (от латинского function – исполнение , совершение) впервые ввел немецкий математик Готфрид Лейбниц(1646-1716). У него функция связывалась с геометрическим образом (графиком функции). В дальнейшем швейцарский математик Иоганн Бернулли(1667-1748) и член Петербургской Академии наук знаменитый математик XVIII века Леонард Эйлер(1707-1783) рассматривали функцию как аналитическое выражение. У Эйлера имеется и общее понимание функции как зависимости одной переменной величины от другой.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово(омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

В архитектуре — это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике — это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и .т.п.

Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a, если a больше или равно нулю и равна a, если a меньше нуля:

Из определения следует, что для любого действительного числа a,

2. Геометрическая интерпретация понятия модуля |

Каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой, это точка будет геометрическим изображением данного действительного числа. Каждой точке числовой прямой соответствует её расстояние от начало отсчета, или длина отрезка, начало которого в точке начала отсчета, а конец – в данной точке. Длина отрезка всегда рассматривается как величина неотрицательная. Геометрической интерпретацией действительного числа служит вектор, выходящий из начала отсчета и имеющий конец в точке, изображающей данное число. Длина этого вектора будет геометрической интерпретацией модуля данного действительного числа.

-а 0 а

3. График функции у=f |(х)|

у=f |(х)| — четная функция, т.к. | х | = | -х |, то f |-х| = f | х |

График этой функции симметричен относительно оси координат.

Следовательно, достаточно построить график функции у=f(х) для х>0,а затем достроить его левую часть, симметрично правой относительно оси координат.

Н

у

апример, пусть графиком функции у=f(х) является кривая, изображенная на рис.1, тогда графиком функции у=f |(х)| будет кривая, изображенная на рис. 2.


0

х

Рис.1

Рис.2.

1. Построить график функции у= |х|

  1. Если х≥0, то |х| =х и наша функция у=х, т.е. искомый график совпадает с биссектрисой первого координатного угла.

  2. Если х<0, то |х|= -х и у= -х. При отрицательных значениях аргумента х график данной функции – прямая у= -х, т.е. биссектриса второго координатного угла.

Таким образом, искомый график есть ломанная, составленная из двух полупрямых. (Рис.3)

Из сопоставления двух графиков: у=х и у= |х|, я сделаю вывод, что второй получается из первого зеркальным отображением относительно ОХ той части первого графика, которая лежит под осью абсцисс. Это положение вытекает из определения абсолютной величины.

Из сопоставления двух графиков: у = х и у = -х, я выдвинула гипотезу, что график функции у = f(|х|) получается из графика у = f (x) при х≥0

симметричным отображением относительно оси ОУ.

Можно ли применять этот метод построения графиков для любой функции, содержащей абсолютную величину? Для этого я рассмотрела несколько функций, и сделала для себя выводы.

1. Построить график функции у=0,5 х² — 2|х| — 2,5

1) Поскольку |х| = х при х≥0, требуемый график совпадает с параболой у=0,5 х² — 2х — 2,5 . Если х<0, то поскольку х² = |х| ², |х|=-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,5 х² + 2х — 2,5.

2) Если рассмотрим график у=0,5 х² -2х — 2,5 при х≥0 и отобразить его относительно

оси ОУ мы получим тот же самый график.

Можно ли применять этот метод построения графиков дл квадратичной функции, для графиков обратной пропорциональности, содержащие абсолютную величину? Для этого я рассмотрела несколько функций, и сделала для себя вывод.

2. Например: у=х2 — |х| -3

1) Поскольку |х| = х при х≥0, требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х² — х — 3. Если х<0, то поскольку х² = |х|², |х|=-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х² + х — 3.

2) Если рассмотрим график у=0,25 х² — х — 3 при х≥0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график.

(0; — 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ.

  1. у =0, х2 -х -3 = 0

х2 -4х -12 = 0 Имеем, х1= — 2; х2 = 6.

(-2; 0) и (6; 0) – координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной |х|. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4).

Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0.

б) Поэтому достраиваю для х<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ.

Доказательство гипотезы:

Докажем, что график функции у = f |(х)| совпадает с графиком функции у = f (х) на множестве неотрицательных значений аргумента и симметричен ему относительно оси ОУ на множестве отрицательных значений аргумента.

Доказательство: Если х≥0, то f |(х)|= f (х), т.е. на множестве неотрицательных значений аргумента графики функции у = f (х) и у = f |(х)| совпадают. Так как у = f |(х)| — чётная функция, то её график симметричен относительно ОУ.

Таким образом, график функции у = f |(х)| можно получить из графика функции

у = f (х) следующим образом:

1. построить график функции у = f(х) для х>0;

2. Для х<0, симметрично отразить построенную часть относительно

оси ОУ.

Вывод: Для построения графика функции у = f |(х)|

1. построить график функции у = f(х) для х>0;

2. Для х<0, симметрично отразить построенную часть

относительно оси ОУ.

4. График функции у = | f (х)|

Построить график функции у = |х² — 2х|

Освободимся от знака модуля по определению

Если х² — 2х≥0, т.е. если х≤0 и х≥2, то |х² — 2х|= х² — 2х

Если х² — 2х<0, т.е. если 0<х< 2, то |х² — 2х|=- х² + 2х

Я вижу, что на множестве х≤0 и х≥2 графики функции

у = х² — 2х и у = |х² — 2х|совпадают, а на множестве (0;2)

графики функции у = -х² + 2х и у = |х² — 2х|совпадают. Построю их.

Выдвижение гипотезы:

График функции у = | f (х)| состоит из части графика функции у = f(х) при у ≥0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ.

Проверка гипотезы.

  1. Построить график функции у = |х² — х —6|

1) Если х² — х -6≥0, т.е. если х≤-2 и х≥3, то |х² — х -6|= х² — х -6.

Если х² — х -6<0, т. е. если -2<х< 3, то |х² — х -6|= -х² + х +6.

Построим их.

2) Построим у = х² — х -6 . Нижнюю часть графика

симметрично отбражаем относительно ОХ.

Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые.

Докажем, что график функции у = | f (х)| совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 и симметрично отражённой частью у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ.

Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий:

у = f(х), если f(х) ≥0; у = — f(х), если f(х) <0

Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, то

| f (х)| = f(х), значит в этой части график функции

у = | f (х)| совпадает с графиком самой функции

у = f(х).

Если же f(х) <0, то | f (х)| = — f(х),т.е. точка (х; — f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ «отрицательную» часть графика у = f(х).

Вывод: Гипотеза верна, действительно для построения графика функции

у = |f(х) | достаточно:

1.Построить график функции у = f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где

f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5)

Вывод: Для построения графика функции у=|f(х) |

1.Построить график функции у=f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс.

(Рис.6, 7.)

5. График функции у=|f |(х)| |

Проверка истинности гипотез для графика функции у=|f |(х)| |

Применяя, определение абсолютной величины и ранее рассмотренные примеры построила графиков функции:

у = |2|х| — 3|

у = |х² – 5|х||

у = | |х³| — 2| и сделал выводы.

Для того чтобы построить график функции у = | f |(х)| надо:

1. Строить график функции у = f(х) для х>0.

2. Строить вторую часть графика, т. е. построенный график симметрично отражать относительно ОУ, т.к. данная функция четная.

3. Участки получившегося графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Построить график функции у = | 2|х | — 3| (1-й способ по определению модуля)

1. Строю у = 2|х | — 3 , для 2 |х| — 3 > 0 , |х |>1,5 т.е. х< -1,5 и х>1,5

а) у = 2х — 3 , для х>0

б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

2. Строю у = —2 |х| + 3 , для 2|х | — 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5

а)у = —2х + 3 , для х>0

б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

у = | 2|х | — 3|

1) Строю у = 2х-3, для х>0.

2) Строю прямую, симметричную построенной относительно оси ОУ.

3) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаю симметрично относительно оси ОХ.

Сравнивая оба графика, видим, что они одинаковые.

2.

у = | х² – 5|х| |

1. Строю у = х² – 5 |х|, для х² – 5 |х| > 0 т.е. х >5 и х<-5

а) у = х² – 5 х , для х>0

б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

2. Строю у = — х² + 5 |х| , для х² – 5 |х| < 0. т.е. -5≤х≤5

а) у = — х² + 5 х , для х>0

б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

у = | х² – 5|х| |

а) Строю график функции у = х² – 5 х для х>0.

б) Строю часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые. (Рис.9)

3. у =| |х|³ — 2 |

1). Строю у = |х|³ — 2 , для |х|³ — 2 > 0, x> и x< —

а) у = х³ — 2 , для х>0

б) для х<0, симметрично отражаю построенную часть относительно оси ОУ.

2). Строю у = — |х|³ + 2 , для |х|³ — 2 < 0. т.е. — < x<

а) у = —х³ + 2 , для х>0

б) для х<0, симметрично отражаю построенную часть относительно оси ОУ.

у = ||х|³ — 2 |

а) Строю у = х³ -2 для х > 0.

б) Строю часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые. (Рис.10)

III. Заключение.

При выполнении исследовательской работы я делала такие выводы:

— сформировала алгоритмы построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

Алгоритм построения графика функции у=f |(х)|

1.Построить график функции у=f(х) для х>0;

2.Построить для х<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ.

Алгоритм построения графика функции у=|f(х) |

1.Построить график функции у=f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, строить кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс.

Алгоритм построения графика функции у=|f |(х)| |

1. Построить график функции у=f(х) для х>0.

2. Построить кривую графика, симметричную построенной относительно оси ОУ, т.к. данная функция четная.

3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

— приобрела опыт построения графиков таких функций, как:

у=f |(х)|; у = | f (х)|; у=|f |(х)| |;

— научилось работать с дополнительной литературой и материалами, производить отбор

научных сведений;

— приобрела опыт выполнения графических работ на компьютере.

Список литературы:

  1. И. М.Гельфанд, Е.Г. Глаголева. Функции и графики. Издательство «Наука»

  2. Р.А. Калнин. Алгебра и элементарные функции. Издательство «Наука»

  3. М.К. Потапов, С.Н. Олехник. Конкурсные задачи по математики, Москва. «Наука»

  4. Ю. Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дополнительные главы к школьному учебнику.

Москва, «Просвещение».

Построение графиков функций геометрическими методами / math5school.ru

 

График функции y=f(x)+a

График функции y=f(x–a)

График функции y=kf(x), k>0

График функции y=f(kx), k>0

График функции y=–f(x)

График функции y=f(–x)

График функции y=|f(x)|

График функции y=f(|x|)

 

График функции

y=f(x)+a

Способ построения: параллельный перенос графика функции y=f(x) вдоль оси Oy на а единиц вверх, если a>0, и на |a| единиц вниз, если a<0.

 

       

       

 

 

График функции

y=f(x–a)

Способ построения: параллельный перенос графика функции y=f(x) вдоль оси Ox на а единиц вправо, если a>0, и на |a| единиц влево, если a<0.

 

       

       

 

График функции

y=kf(x), k>0

Способ построения: растяжение графика функции y=f(x) вдоль оси Oy относительно оси Ox в k раз, если k>1, и сжатие в 1/k раз, если 0<k<1.

 

       

       

       

  

 

График функции

y=f(kx), k>0

Способ построения: сжатие графика функции y=f(x) вдоль оси Ox относительно оси Oy в k раз, если k>1, и растяжение в 1/k раз, если 0<k<1.

 

       

       

        

 

 

График функции

y=–f(x)

Способ построения: симметричное отражение графика функции y=f(x) относительно оси Ox.

 

       

       

 

 

График функции

y=f(–x)

Способ построения: симметричное отражение графика функции y=f(x) относительно оси Oy.

 

       

       

 

 

График функции

y=|f(x)|

Способ построения: часть графика функции y=f(x), расположенная ниже оси Ox, симметрично отражается относительно этой оси, остальная его часть остаётся без изменения.

 

       

       

 

 

График функции

y=f(|x|)

Способ построения: часть графика функции y=f(x), расположенная правее оси Oy и на ней, остаётся без изменения, а остальная его часть заменяется симметричным отображением относительно оси Oy части графика, расположенной правее оси Oy.

 

       

       

 

      Смотрите также:

Таблицы чисел

Алгебраические тождества

Степени

Арифметический корень n-й степени

Логарифмы 

Графики элементарных функций

Тригонометрия

Таблицы значений тригонометрических функций

Треугольники

Четырёхугольники

Многоугольники

Окружность 

Площади геометрических фигур

Прямые и плоскости

Многогранники 

Тела вращения 

 

Как построить график функции y = f(x + l) + m. Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания.

1. Вспомогательная система координат

Сложность: лёгкое

1
2. Параллельный перенос графика функции

Сложность: лёгкое

2
3. Направление сдвига графика функции

Сложность: лёгкое

2
4. Формула функции

Сложность: среднее

2
5. Уравнение параболы

Сложность: среднее

2
6. Значение функции

Сложность: среднее

2
7. Построение графика квадратичной функции вида y = (x + a)² + b

Сложность: среднее

3
8. Метод выделения полного квадрата

Сложность: сложное

3
9. Функции

Сложность: сложное

3
10. Графическое решение системы уравнений

Сложность: сложное

3

5.1: Решение систем уравнений с помощью построения графиков

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Определить, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений
  • Решите систему линейных уравнений, построив график
  • Определить количество решений линейной системы
  • Решение приложений систем уравнений с помощью построения графиков

Примечание

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

  1. Для уравнения \ (y = \ frac {2} {3} x − 4 \)
    ⓐ является ли (6,0) решением? Ⓑ является (−3, −2) решением?
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите упражнение 2.1.1.
  2. Найдите наклон и точку пересечения оси Y прямой 3x − y = 12.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите упражнение 4.5.7.
  3. Найдите точки пересечения по оси x и y прямой 2x − 3y = 12.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите упражнение 4.3.7.

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений

В разделе «Решение линейных уравнений и неравенств» мы узнали, как решать линейные уравнения с одной переменной.Помните, что решение уравнения — это значение переменной, которое делает истинное утверждение при подстановке в уравнение. Теперь мы будем работать с системами линейных уравнений , двумя или более линейными уравнениями, сгруппированными вместе.

Определение: СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Когда два или более линейных уравнения сгруппированы вместе, они образуют систему линейных уравнений.

Мы сосредоточим нашу работу здесь на системах двух линейных уравнений с двумя неизвестными.Позже вы сможете решать более крупные системы уравнений.

Пример системы двух линейных уравнений показан ниже. Мы используем скобку, чтобы показать, что два уравнения сгруппированы вместе и образуют систему уравнений.

\ [\ begin {cases} {2 x + y = 7} \\ {x-2 y = 6} \ end {cases} \]

Линейное уравнение с двумя переменными, например 2 x + y = 7, имеет бесконечное количество решений. Его график представляет собой линию. Помните, что каждая точка на линии — это решение уравнения, а каждое решение уравнения — это точка на линии.

Чтобы решить систему двух линейных уравнений, мы хотим найти значения переменных, которые являются решениями обоих уравнений. Другими словами, мы ищем упорядоченные пары ( x , y ), которые делают оба уравнения верными. Они называются решениями системы уравнений .

Определение: РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Решения системы уравнений — это значения переменных, которые делают все уравнения истинными.Решение системы двух линейных уравнений представляется упорядоченной парой ( x , y ).

Чтобы определить, является ли упорядоченная пара решением системы двух уравнений, мы подставляем значения переменных в каждое уравнение. Если упорядоченная пара делает оба уравнения истинными, это решение системы.

Рассмотрим систему ниже:

\ [\ begin {cases} {3x − y = 7} \\ {x − 2y = 4} \ end {cases} \]

Является ли упорядоченная пара (2, −1) решением?

Упорядоченная пара (2, −1) сделала оба уравнения верными.Следовательно, (2, −1) является решением этой системы.

Попробуем еще одну заказанную пару. Является ли упорядоченная пара (3, 2) решением?

Упорядоченная пара (3, 2) сделала одно уравнение истинным, а другое — ложным. Поскольку это не решение обоих уравнений, оно не является решением этой системы.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Определите, является ли упорядоченная пара решением системы: \ (\ begin {cases} {x − y = −1} \\ {2x − y = −5} \ end {ases} \)

  1. (-2, -1)
  2. (-4, -3)
Ответ

1.

(−2, −1) не делает оба уравнения верными. (−2, −1) не является решением.

2.

(−4, −3) не делает оба уравнения верными. (−4, −3) — решение.

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Определите, является ли упорядоченная пара решением системы: \ (\ begin {cases} {3x + y = 0} \\ {x + 2y = −5} \ end {ases} \)

  1. (1, −3)
  2. (0,0)
Ответ
  1. да

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Определите, является ли упорядоченная пара решением системы: \ (\ begin {cases} {x − 3y = −8} \\ {−3x − y = 4} \ end {ases} \)

  1. (2, −2)
  2. (-2,2)
Ответ
  1. да

Решение системы линейных уравнений с помощью построения графиков

В этой главе мы будем использовать три метода для решения системы линейных уравнений. Первый метод, который мы будем использовать, — это построение графиков. График линейного уравнения представляет собой линию. Каждая точка на линии — это решение уравнения. Для системы двух уравнений мы построим график двумя линиями. Затем мы можем увидеть все точки, которые являются решениями каждого уравнения. И, обнаружив, что общего у линий, мы найдем решение системы.

Большинство линейных уравнений с одной переменной имеют одно решение, но мы видели, что некоторые уравнения, называемые противоречиями , не имеют решений, а для других уравнений, называемых тождествами, все числа являются решениями.Точно так же, когда мы решаем систему двух линейных уравнений, представленную графиком из двух линий в одной плоскости, есть три возможных случая, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {1} \):

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)

Для первого примера решения системы линейных уравнений в этом разделе и в следующих двух разделах мы будем решать ту же систему двух линейных уравнений. Но в каждом разделе мы будем использовать разные методы. Увидев третий метод, вы решите, какой метод был наиболее удобным для решения этой системы.

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \): как решить систему линейных уравнений с помощью построения графиков

Решите систему, построив график: \ (\ begin {cases} {2x + y = 7} \\ {x − 2y = 6} \ end {ases} \)

Ответ

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

Решите каждую систему, построив график: \ (\ begin {cases} {x − 3y = −3} \\ {x + y = 5} \ end {ases} \)

Ответ

(3,2)

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

Решите каждую систему, построив график: \ (\ begin {cases} {- x + y = 1} \\ {3x + 2y = 12} \ end {ases} \)

Ответ

(2,3)

Шаги, которые необходимо использовать для решения системы линейных уравнений с помощью построения графиков, показаны ниже.

ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКИ.

  1. Изобразите первое уравнение.
  2. Постройте второе уравнение в той же прямоугольной системе координат.
  3. Определите, пересекаются ли линии, параллельны или совпадают.
  4. Определите решение системы.
    • Если линии пересекаются, укажите точку пересечения. Убедитесь, что это решение обоих уравнений. Это решение системы.
    • Если линии параллельны, у системы нет решения.
    • Если строки совпадают, система имеет бесконечное количество решений.

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

Решите систему, построив график: \ (\ begin {cases} {y = 2x + 1} \\ {y = 4x − 1} \ end {ases} \)

Ответ

Оба уравнения в этой системе имеют форму пересечения наклона, поэтому мы будем использовать их наклоны и точки пересечения y для их построения. \ (\ begin {cases} {y = 2x + 1} \\ {y = 4x − 1} \ end {ases} \)

Найдите наклон и точку пересечения y первого уравнения
.
Найдите наклон и точку пересечения y первого уравнения
.
Постройте график двух линий.
Определите точку пересечения. Прямые пересекаются в точках (1, 3).
Проверьте решение в обоих уравнениях. \ (\ begin {array} {l} {y = 2 x + 1} & {y = 4x — 1} \\ {3 \ stackrel {?} {=} 2 \ cdot 1 + 1} & {3 \ stackrel {?} {=} 4 \ cdot 1-1} \\ {3 = 3 \ checkmark} & {3 = 3 \ checkmark} \ end {array} \)
Решение: (1, 3).

Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)

Решите систему, построив график: \ (\ begin {cases} {y = 2x + 2} \\ {y = -x − 4} \ end {ases} \)

Ответ

(-2, -2)

    Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)

    Решите систему, построив график: \ (\ begin {cases} {y = 3x + 3} \\ {y = -x + 7} \ end {ases} \)

    Ответ

    (1,6)

    Оба уравнения в упражнении \ (\ PageIndex {7} \) были даны в форме углового пересечения.Это упростило нам быстрое построение линий. В следующем примере мы сначала перепишем уравнения в форме углового пересечения.

    Упражнение \ (\ PageIndex {10} \)

    Решите систему, построив график: \ (\ begin {cases} {3x + y = −1} \\ {2x + y = 0} \ end {ases} \)

    Ответ

    Мы решим оба этих уравнения относительно yy, чтобы мы могли легко построить их график, используя их наклоны и интервалы пересечения y . \ (\ begin {cases} {3x + y = −1} \\ {2x + y = 0} \ end {ases} \)

    Решите первое уравнение относительно y .

    Найдите наклон и точку пересечения y .

    Решите второе уравнение относительно y .

    Найдите наклон и точку пересечения y .

    \ (\ begin {align} 3 x + y & = — 1 \\ y & = — 3 x-1 \\ m & = — 3 \\ b & = — 1 \\ 2 x + y & = 0 \ \ y & = — 2 x \\ b & = 0 \ end {align} \)
    Постройте линии.
    Определите точку пересечения. Прямые пересекаются в точке (−1, 2).
    Проверьте решение в обоих уравнениях. \ (\ begin {array} {rllrll} {3x + y} & {=} & {- 1} & {2x + y} & {=} & {0} \\ {3 (-1) + 2} & {\ stackrel {?} {=}} & {- 1} & {2 (-1) +2} & {\ stackrel {?} {=}} & {0} \\ {-1} & {= } & {- 1 \ checkmark} & {0} & {=} & {0 \ checkmark} \ end {array} \)
    Решение (−1, 2).

    Упражнение \ (\ PageIndex {11} \)

    Решите каждую систему, построив график: \ (\ begin {cases} {- x + y = 1} \\ {2x + y = 10} \ end {ases} \)

    Ответ

    (3,4)

    Упражнение \ (\ PageIndex {12} \)

    Решите каждую систему, построив график: \ (\ begin {cases} {2x + y = 6} \\ {x + y = 1} \ end {ases} \)

    Ответ

    (5, −4)

    Обычно, когда уравнения даются в стандартной форме, наиболее удобный способ построить их график — это использовать точки пересечения. Мы сделаем это в упражнении \ (\ PageIndex {13} \).

    Упражнение \ (\ PageIndex {13} \)

    Решите систему, построив график: \ (\ begin {cases} {x + y = 2} \\ {x − y = 4} \ end {ases} \)

    Ответ

    Мы найдем точки пересечения x и y обоих уравнений и будем использовать их для построения графиков линий.

    Упражнение \ (\ PageIndex {14} \)

    Решите каждую систему, построив график: \ (\ begin {cases} {x + y = 6} \\ {x − y = 2} \ end {ases} \)

    Ответ

    (4,2)

    Упражнение \ (\ PageIndex {15} \)

    Решите каждую систему, построив график: \ (\ begin {cases} {x + y = 2} \\ {x − y = -8} \ end {ases} \)

    Ответ

    (5, −3)

    Вы помните, как построить линейное уравнение с одной переменной? Это будет либо вертикальная, либо горизонтальная линия.

    Упражнение \ (\ PageIndex {16} \)

    Решите систему, построив график: \ (\ begin {cases} {y = 6} \\ {2x + 3y = 12} \ end {ases} \)

    Ответ

    Упражнение \ (\ PageIndex {17} \)

    Решите каждую систему, построив график: \ (\ begin {cases} {y = −1} \\ {x + 3y = 6} \ end {ases} \)

    Ответ

    (9, -1)

    Упражнение \ (\ PageIndex {18} \)

    Решите каждую систему, построив график: \ (\ begin {cases} {x = 4} \\ {3x − 2y = 24} \ end {ases} \)

    Ответ

    (4, −6)

    До сих пор во всех системах линейных уравнений линии пересекались, и решение было одной точкой.В следующих двух примерах мы рассмотрим систему уравнений, не имеющую решения, и систему уравнений, которая имеет бесконечное число решений.

    Упражнение \ (\ PageIndex {19} \)

    Решите систему, построив график: \ (\ begin {cases} {y = \ frac {1} {2} x − 3} \\ {x − 2y = 4} \ end {ases} \)

    Ответ

    Упражнение \ (\ PageIndex {20} \)

    Решите каждую систему, построив график: \ (\ begin {cases} {y = — \ frac {1} {4} x + 2} \\ {x + 4y = -8} \ end {ases} \)

    Ответ

    нет решения

    Упражнение \ (\ PageIndex {21} \)

    Решите каждую систему, построив график: \ (\ begin {cases} {y = 3x − 1} \\ {6x − 2y = 6} \ end {ases} \)

    Ответ

    нет решения

    Упражнение \ (\ PageIndex {22} \)

    Решите систему, построив график: \ (\ begin {cases} {y = 2x − 3} \\ {−6x + 3y = −9} \ end {ases} \)

    Ответ

    Упражнение \ (\ PageIndex {23} \)

    Решите каждую систему, построив график: \ (\ begin {cases} {y = −3x − 6} \\ {6x + 2y = −12} \ end {ases} \)

    Ответ

    бесконечно много решений

    Упражнение \ (\ PageIndex {24} \)

    Решите каждую систему, построив график: \ (\ begin {cases} {y = \ frac {1} {2} x − 4} \\ {2x − 4y = 16} \ end {ases} \)

    Ответ

    бесконечно много решений

    Если вы напишете второе уравнение в Упражнении \ (\ PageIndex {22} \) в форме пересечения наклона, вы можете заметить, что уравнения имеют одинаковый наклон и одинаковую точку пересечения y .

    Когда мы нарисовали вторую линию в последнем примере, мы нарисовали ее прямо над первой линией. Мы говорим, что две линии совпадают. Совпадающие линии имеют одинаковый наклон и одинаковое пересечение y .

    СОВПАДАЮЩИЕ ЛИНИИ

    Совпадающие линии имеют одинаковый наклон и одинаковое пересечение y .

    Определите количество решений линейной системы

    Будут моменты, когда нам захочется узнать, сколько решений будет у системы линейных уравнений, но на самом деле нам, возможно, не придется искать решение.Будет полезно определить это без построения графиков.

    Мы видели, что две прямые в одной плоскости должны либо пересекаться, либо быть параллельны. Все системы уравнений в упражнении \ (\ PageIndex {4} \) через упражнение \ (\ PageIndex {16} \) имели две пересекающиеся линии. У каждой системы было одно решение.

    Система с параллельными линиями, такая как Exercise \ (\ PageIndex {19} \), не имеет решения. Что произошло в упражнении \ (\ PageIndex {22} \)? Уравнения имеют совпадающих линий , а значит, у системы было бесконечно много решений.

    Мы систематизируем эти результаты на Рисунке \ (\ PageIndex {2} \) ниже:

    Рисунок \ (\ PageIndex {2} \)

    Параллельные линии имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения y . Итак, если мы запишем оба уравнения в системе линейных уравнений в форме наклон-пересечение, мы сможем увидеть, сколько решений будет без графического представления! Посмотрите на систему, которую мы решили в упражнении \ (\ PageIndex {19} \).

    \ (\ begin {array} {cc} & \ begin {cases} {y = \ frac {1} {2} x − 3} \\ {x − 2y = 4} \ end {cases} \\ \ text {Первая строка имеет наклон с пересечением.} & \ text {Если мы решим второе уравнение для} y, \ text {мы получим} \\ & x-2 y = 4 \\ y = \ frac {1} {2} x -3 & x-2 y = — x + 4 \\ & y = \ frac {1} {2} x-2 \\ m = \ frac {1} {2}, b = -3 & m = \ frac {1} {2}, b = -2 \ конец {массив} \)

    Две линии имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения y . Это параллельные линии.

    На рисунке \ (\ PageIndex {3} \) показано, как определить количество решений линейной системы по наклонам и пересечениям.

    Рисунок \ (\ PageIndex {3} \)

    Давайте еще раз взглянем на наши уравнения в упражнении \ (\ PageIndex {19} \), которые дали нам параллельные линии.

    \ [\ begin {cases} {y = \ frac {1} {2} x − 3} \\ {x − 2y = 4} \ end {cases} \)]

    Когда обе линии были в форме пересечения склона, у нас было:

    \ [y = \ frac {1} {2} x-3 \ quad y = \ frac {1} {2} x-2 \]

    Вы понимаете, что невозможно иметь одну упорядоченную пару (x, y), которая является решением обоих этих уравнений?

    Мы называем такую ​​систему уравнений несовместимой системой . У него нет решения.

    Система уравнений, имеющая по крайней мере одно решение, называется последовательной системой .

    СОГЛАСОВАННЫЕ И НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ

    Согласованная система уравнений — это система уравнений, имеющая по крайней мере одно решение.

    Несогласованная система уравнений — это система уравнений, не имеющая решения.

    Мы также классифицируем уравнения в системе уравнений, называя уравнения независимыми или зависимыми . Если два уравнения представляют собой независимых уравнений , каждое из них имеет свой собственный набор решений.Пересекающиеся линии и параллельные линии независимы.

    Если два уравнения зависимы, все решения одного уравнения также являются решениями другого уравнения. Когда мы наносим на график два зависимых уравнения , мы получаем совпадающие линии.

    НЕЗАВИСИМЫЕ И ЗАВИСИМЫЕ УРАВНЕНИЯ

    Два уравнения являются независимыми , если они имеют разные решения.

    Два уравнения являются зависимыми , если все решения одного уравнения также являются решениями другого уравнения.

    Подведем итог, посмотрев на графики трех типов систем. См. Рисунок \ (\ PageIndex {4} \) и рисунок \ (\ PageIndex {5} \).

    Рисунок \ (\ PageIndex {4} \) Рисунок \ (\ PageIndex {5} \)

    Упражнение \ (\ PageIndex {25} \)

    Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений: \ (\ begin {cases} {y = 3x − 1} \\ {6x − 2y = 12} \ end {ases} \)

    Ответ

    \ (\ begin {array} {lrrl} \ text {Мы сравним наклоны и точки пересечения} & \ begin {cases} {y = 3x − 1} \\ {6x − 2y = 12} \ end {cases} \ \ \ text {из двух строк.} \\ \ text {Первое уравнение уже находится в форме} \\ \ text {наклон-пересечение.} \\ & {y = 3x — 1} \\ \ text {Запишите второе уравнение в} \\ \ text { наклон – форма пересечения.} \\ & 6x-2y & = & 12 \\ & -2y & = & -6x — 12 \\ & \ frac {-2y} {- 2} & = & \ frac {-6x + 12 } {- 2} \\ & y & = & 3x-6 \\\\ \ text {Найдите наклон и точку пересечения каждой линии.} & Y = 3x-1 & y = 3x-6 \\ & m = 3 & m = 3 \\ & b = -1 & b = -6 \\ \ text {Поскольку наклоны одинаковые, а точки пересечения y} \\ \ text {разные, линии параллельны. } \ end {array} \)

    Система уравнений, графики которой представляют собой параллельные прямые, не имеет решения, непоследовательна и независима.

    Упражнение \ (\ PageIndex {26} \)

    Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

    \ (\ begin {cases} {y = −2x − 4} \\ {4x + 2y = 9} \ end {cases} \)

    Ответ

    нет решения, непоследовательный, независимый

    Упражнение \ (\ PageIndex {27} \)

    Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

    \ (\ begin {cases} {y = \ frac {1} {3} x − 5} \\ {x-3y = 6} \ end {cases} \)

    Ответ

    нет решения, непоследовательный, независимый

    Упражнение \ (\ PageIndex {28} \)

    Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений: \ (\ begin {cases} {2x + y = −3} \\ {x − 5y = 5} \ end {ases} \)

    Ответ

    \ (\ begin {array} {lrrlrl} \ text {Мы сравним наклоны и точки пересечения} & \ begin {case} {2x + y = -3} \\ {x − 5y = 5} \ end {cases} \\ \ text {из двух строк. } \\ \ text {Запишите второе уравнение в форме} \\ \ text {наклон – пересечение.} \\ & 2x + y & = & — 3 & x − 5y & = & 5 \\ & y & = & -2x -3 & -5y & = & — x + 5 \\ &&&& \ frac {-5y} {- 5} & = & \ frac {-x + 5} {- 5} \\ &&&& y & = & \ frac {1} {5} x-1 \\\\ \ text {Найдите наклон и пересечение каждой линии.} & y & = & -2x-3 & y & = & \ frac {1} {5} x-1 \\ & m & = & -2 & m & = & \ frac {1} {5} \\ & b & = & — 3 & b & = & — 1 \\ \ text {Так как уклоны одинаковые и точки пересечения y} \\ \ text {разные, линии параллельны.} \ end {array} \)

    Система уравнений, графики которой пересекаются, имеет одно решение, непротиворечива и независима.

    Упражнение \ (\ PageIndex {29} \)

    Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

    \ (\ begin {cases} {3x + 2y = 2} \\ {2x + y = 1} \ end {cases} \)

    Ответ

    одно решение, последовательное, независимое

    Упражнение \ (\ PageIndex {30} \)

    Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

    \ (\ begin {cases} {x + 4y = 12} \\ {−x + y = 3} \ end {cases} \)

    Ответ

    одно решение, последовательное, независимое

    Упражнение \ (\ PageIndex {31} \)

    Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений. \ (\ begin {cases} {3x − 2y = 4} \\ {y = \ frac {3} {2} x − 2} \ end {ases} \)

    Ответ

    \ (\ begin {array} {lrrl} \ text {Мы сравним наклоны и пересечения двух линий.} & \ begin {cases} {3x − 2y} & = & {4} \\ {y} & = & {\ frac {3} {2} x − 2} \ end {cases} \\ \ text {Написать второе уравнение в форме} \\ \ text {наклон – пересечение.} \\ & 3x-2y & = & 4 \\ & -2y & = & -3x +4 \\ & \ frac {-2y} {- 2} & = & \ frac {-3x + 4} {- 2} \\ & y & = & \ frac {3} {2} x-2 \\\\ \ text {Найдите наклон и пересечение каждой линии.} & y & = & \ frac {3} {2} x-2 \\ \ text {Поскольку уравнения одинаковы, они имеют одинаковый наклон} \\ \ text {и одинаковый пересечение, поэтому линии совпадают. } \ end {array} \)

    Система уравнений, графики которой представляют собой совпадающие линии, имеет бесконечно много решений, непротиворечива и зависима.

    Упражнение \ (\ PageIndex {32} \)

    Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

    \ (\ begin {cases} {4x − 5y = 20} \\ {y = \ frac {4} {5} x − 4} \ end {cases} \)

    Ответ

    бесконечно много решений, согласованных, зависимых

    Упражнение \ (\ PageIndex {33} \)

    Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

    \ (\ begin {cases} {−2x − 4y = 8} \\ {y = — \ frac {1} {2} x − 2} \ end {ases} \)

    Ответ

    бесконечно много решений, согласованных, зависимых

    Решение приложений систем уравнений с помощью построения графиков

    Мы будем использовать ту же стратегию решения задач, которую мы использовали в Math Models для создания и решения приложений систем линейных уравнений. Мы немного изменим стратегию, чтобы сделать ее подходящей для систем уравнений.

    ИСПОЛЬЗУЙТЕ СТРАТЕГИЮ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

    1. Прочтите проблему. Убедитесь, что все слова и идеи понятны.
    2. Определите , что мы ищем.
    3. Имя то, что мы ищем. Выберите переменные для представления этих величин.
    4. Переведите в систему уравнений.
    5. Решите систему уравнений, используя хорошие методы алгебры.
    6. Проверьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл.
    7. Ответьте на вопрос полным предложением.

    Шаг 5 — это то место, где мы будем использовать метод, представленный в этом разделе. Мы построим графики уравнений и найдем решение.

    Упражнение \ (\ PageIndex {34} \)

    Сондра делает 10 литров пунша из фруктового сока и содовой. Количество литров фруктового сока в 4 раза больше количества квартов содовой.Сколько литров фруктового сока и сколько литров газированной воды нужно Сондре?

    Ответ

    Шаг 1. Прочтите проблему.

    Шаг 2. Определите , что мы ищем.

    Мы ищем количество литров фруктового сока и количество литров клубной газировки, которые потребуются Сондре.

    Шаг 3. Назовите то, что мы ищем. Выберите переменные для представления этих величин.

    Пусть f = количество литров фруктового сока.
    c = количество кварт клубной соды

    Шаг 4. Переведите в систему уравнений.

    Теперь у нас есть система. \ (\ begin {cases} {f + c = 10} \\ {f = 4c} \ end {cases} \)

    Шаг 5. Решите систему уравнений, используя хорошие методы алгебры.

    Точка пересечения (2, 8) и есть решение. Это означает, что Сондре нужно 2 литра содовой и 8 литров фруктового сока.

    Шаг 6. Проверьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл.

    Есть ли в этом смысл в проблеме?

    Да, количество литров фруктового сока, 8, в 4 раза больше количества квартов содовой, 2.

    Да, 10 литров пунша — это 8 литров фруктового сока плюс 2 литра содовой.

    Шаг 7. Ответьте на вопрос полным предложением.

    Сондре нужно 8 литров фруктового сока и 2 литра газировки.

    Упражнение \ (\ PageIndex {35} \)

    Мэнни делает 12 литров апельсинового сока из концентрата и воды. Количество литров воды в 3 раза превышает количество литров концентрата. Сколько литров концентрата и сколько литров воды нужно Мэнни?

    Ответ

    Мэнни нужно 3 литра концентрата сока и 9 литров воды.

    Упражнение \ (\ PageIndex {36} \)

    Алиша готовит кофейный напиток объемом 18 унций из сваренного кофе и молока. Количество унций сваренного кофе в 5 раз больше, чем количество унций молока. Сколько унций кофе и сколько унций молока нужно Алише?

    Ответ

    Алише нужно 15 унций кофе и 3 унции молока.

    Примечание

    Получите доступ к этим онлайн-ресурсам, чтобы получить дополнительные инструкции и попрактиковаться в решении систем уравнений с помощью построения графиков.

    Ключевые понятия

    • Для решения системы линейных уравнений путем построения графиков
      1. Изобразите первое уравнение.
      2. Постройте второе уравнение в той же прямоугольной системе координат.
      3. Определите, пересекаются ли линии, параллельны или совпадают.
      4. Определите решение системы.
        Если линии пересекаются, укажите точку пересечения. Убедитесь, что это решение обоих уравнений. Это решение системы.
        Если линии параллельны, у системы нет решения.
        Если линии совпадают, система имеет бесконечное количество решений.
      5. Проверьте решение в обоих уравнениях.
    • Определить количество решений по графику линейной системы

    • Определите количество решений линейной системы по уклонам и пересечениям

    • Определите количество решений и классифицируйте систему уравнений

    • Стратегия решения задач для систем линейных уравнений
      1. Прочтите проблему.Убедитесь, что все слова и идеи понятны.
      2. Определите , что мы ищем.
      3. Имя то, что мы ищем. Выберите переменные для представления этих величин.
      4. Переведите в систему уравнений.
      5. Решите систему уравнений, используя хорошие методы алгебры.
      6. Проверьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл.
      7. Ответьте на вопрос полным предложением.

    Глоссарий

    совпадающие линии
    Совпадающие линии — это линии с одинаковым наклоном и одинаковым пересечением y .
    последовательная система
    Непротиворечивая система уравнений — это система уравнений, имеющая по крайней мере одно решение.
    зависимые уравнения
    Два уравнения являются зависимыми, если все решения одного уравнения являются решениями другого уравнения.
    несовместимая система
    Несогласованная система уравнений — это система уравнений без решения.
    независимых уравнений
    Два уравнения независимы, если они имеют разные решения.
    Решения системы уравнений
    Решения системы уравнений — это значения переменных, которые делают все уравнения истинными.Решение системы двух линейных уравнений представляется упорядоченной парой ( x , y ).
    Система линейных уравнений
    Когда два или более линейных уравнения сгруппированы вместе, они образуют систему линейных уравнений.

    Решение систем линейных уравнений

    А система линейные уравнения представляет собой просто набор из двух или более линейных уравнений.

    В двух переменных ( Икс а также у ) , график системы двух уравнений представляет собой пару прямых на плоскости.

    Есть три возможности:

    • Линии пересекаются в нулевых точках. (Линии параллельны.)
    • Линии пересекаются ровно в одной точке. (Большинство случаев.)
    • Прямые пересекаются в бесконечном множестве точек.(Два уравнения представляют собой одну и ту же линию.)

    Нулевые решения:

    у знак равно — 2 Икс + 4 у знак равно — 2 Икс — 3

    Одно решение:

    у знак равно 0.5 Икс + 2 у знак равно — 2 Икс — 3

    Бесконечно много решений:

    у знак равно — 2 Икс — 4 у + 4 знак равно — 2 Икс

    Существует несколько различных методов решения систем линейных уравнений:

    1. Графический метод . Это полезно, когда вам просто нужен приблизительный ответ или вы уверены, что пересечение происходит в целочисленных координатах. Просто нарисуйте две линии и посмотрите, где они пересекаются!
    2. См. Второй график выше. Решение — это место пересечения двух линий, точка ( — 2 , 1 ) .

    3. Метод замены . Сначала решите одно линейное уравнение для у с точки зрения Икс . Затем замените это выражение на у в другом линейном уравнении. Вы получите уравнение в Икс . Решите это, и у вас будет Икс -координата перекрестка. Затем подключите Икс к любому уравнению, чтобы найти соответствующее у -координат. (Если проще, вы можете начать с решения уравнения для Икс с точки зрения у , тоже — такая же разница!)
    4. Пример 1:

      Решите систему { 3 Икс + 2 у знак равно 16 7 Икс + у знак равно 19

        Решите второе уравнение относительно у .

        у знак равно 19 — 7 Икс

        Заменять 19 — 7 Икс для у в первом уравнении и решите относительно Икс .

        3 Икс + 2 ( 19 — 7 Икс ) знак равно 16 3 Икс + 38 — 14 Икс знак равно 16 — 11 Икс знак равно — 22 Икс знак равно 2

        Заменять 2 для Икс в у знак равно 19 — 7 Икс и решить для у .

        у знак равно 19 — 7 ( 2 ) у знак равно 5

        Решение ( 2 , 5 ) .

    5. Метод линейной комбинации , иначе Метод сложения , иначе Метод исключения. Сложить (или вычесть) одно уравнение, кратное другому уравнению (или из него), таким образом, чтобы либо Икс -термы или у -условия аннулируются.Затем решите для Икс (или у , в зависимости от того, что осталось) и подставьте обратно, чтобы получить другую координату.
    6. Пример 2:

      Решите систему { 4 Икс + 3 у знак равно — 2 8 Икс — 2 у знак равно 12

        Умножьте первое уравнение на — 2 и добавьте результат ко второму уравнению.

        — 8 Икс — 6 у знак равно 4 8 Икс — 2 у знак равно 12 _ — 8 у знак равно 16

        Решить для у .

        у знак равно — 2

        Замена для у в любом из исходных уравнений и решите относительно Икс .

        4 Икс + 3 ( — 2 ) знак равно — 2 4 Икс — 6 знак равно — 2 4 Икс знак равно 4 Икс знак равно 1

        Решение ( 1 , — 2 ) .

    7. Матричный метод . На самом деле это просто метод линейной комбинации, упрощенный за счет сокращения записи.

    Системы нелинейных уравнений: графические соображения

    Системы нелинейных уравнений:
    Графические соображения
    (стр. 2 из 6)


    Предыдущая страница освежила нас в отношении взаимосвязи между решениями уравнений и точками на соответствующих графиках линий этих уравнений.Эта тема, вероятно, в последний раз упоминалась в классе, когда вы впервые узнали о построении графиков линейных уравнений, и, возможно, с тех пор о ней забыли. Но вопрос важный для решения систем и уравнений. Почему? Потому что решение системы уравнений будет решением всех уравнений в системе. Тогда это решение должно быть точкой построения всех графиков связанных линий. Но где разных линий будут иметь одну и ту же точку на графике? Где эти линии пересекаются.

    Предположим, у вас есть следующая система уравнений:

    • Решить система в виде графиков:

      Я могу изобразить каждый этих уравнений по отдельности:


      ..и каждая точка на каждый график является решением уравнения этого графика.

      Теперь посмотрим на график системы:

        л = x 2

        y = 8 x 2

      Решение для системы — любая точка, которая является решением обоих уравнений.В других словами, точкой решения для этой системы является любая точка, которая находится на и графики. Другими словами:

    «РЕШЕНИЯ» ДЛЯ СИСТЕМ
    ЯВЛЯЮТСЯ
    ПЕРЕСЕЧЕНИЯМИ ЛИНИЙ

      Тогда графически решения для этой системы отмечены красным цветом на справа:

      То есть решения к этой системе относятся точки (2, 4) и (2, 4) .

    Итак, когда вы пытаетесь решить систему уравнений, вы пытаетесь найти координаты точки пересечения. Copyright 2002-2011 Элизабет Стапель. Все права защищены.


    Система в приведенном выше примере имела два решения, потому что график показывает два пересечения точки. В разных системах может быть разное количество решений. Например:

    У системы может быть одно решение:


    …лосков решений:

    … или нет решений всего:

    (В этой последней ситуации там, где не было решения, система уравнений называется «несовместной».)


    Когда вы смотрите на график, вы можете только догадываться о приближении к решению. Если только точки решения не являются хорошими аккуратными числами (и если вы случайно знаете об этом заранее), вы не можете получить решение из картина. Например, вы не можете сказать, какое решение к системе, изображенной справа, может быть:


    … потому что у вас есть угадывать по картинке. Оказывается, решение ( x, y ) = (1 3 / 7 , 9 / 14 ), но у вас не было бы возможности узнать это по этой картинке.

    Консультации: Ваш текст будет почти наверняка вы выполняете какие-нибудь упражнения «решайте с помощью графиков». Ты можно смело предположить, что для этих упражнений ответы хороши и аккуратны, потому что решения должны быть , если вы хотите иметь шанс угадывать решения по картинке.

    Это «решение с помощью построения графиков» может быть полезен тем, что помогает получить представление о том, что происходит при решении систем. Но это тоже может вводить в заблуждение в том смысле, что это означает, что все решения будут «аккуратными», когда большинство решения на самом деле довольно беспорядочные.

    << Предыдущая Вверх | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Вернуться к указателю Далее >>

    Цитируйте эту статью как:

    Стапель, Елизавета.«Системы нелинейных уравнений: графические соображения». Пурпурная математика .
    Доступно по номеру https://www.purplemath.com/modules/syseqgen2.htm .
    Доступ [Дата] [Месяц] 2016 г.

    Системы линейных уравнений


    Линейное уравнение — это уравнение для линии .

    Линейное уравнение не всегда имеет вид y = 3.5 — 0,5 х ,

    Это также может быть как y = 0,5 (7 — x)

    Или как y + 0,5x = 3,5

    Или как y + 0,5x — 3,5 = 0 и более.

    (Примечание: это одно и то же линейное уравнение!)

    A Система линейных уравнений — это когда у нас есть два или более линейных уравнения , работающих вместе.

    Пример: Вот два линейных уравнения:

    Вместе они представляют собой систему линейных уравнений.

    Сможете ли вы сами определить значения x и y ? (Просто попробуйте, поиграйте с ними немного.)

    Попробуем построить и решить реальный пример:

    Пример: вы против лошади

    Это гонка!

    Вы можете бегать 0,2 км каждую минуту.

    Лошадь может бегать 0,5 км каждую минуту. Но оседлать лошадь нужно за 6 минут.

    Как далеко вы можете уйти, прежде чем лошадь вас поймает?

    Мы можем составить два уравнения ( d = расстояние в км, t = время в минутах)

    • Вы бежите на 0.2 км каждую минуту, поэтому d = 0,2 т
    • Лошадь бежит со скоростью 0,5 км в минуту, но мы берем на ее время 6: d = 0,5 (t − 6)

    Итак, у нас есть система уравнений (это линейных ):

    Решаем на графике:

    Вы видите, как лошадь стартует через 6 минут, а потом бежит быстрее?

    Кажется, тебя поймают через 10 минут … Тебе всего 2 км.

    В следующий раз беги быстрее.

    Итак, теперь вы знаете, что такое система линейных уравнений.

    Давайте продолжим узнавать о них больше ….

    Решение

    Существует множество способов решения линейных уравнений!

    Давайте посмотрим на другой пример:

    Пример: Решите эти два уравнения:

    На этом графике показаны два уравнения:

    Наша задача — найти место пересечения двух линий.

    Ну, мы видим, где они пересекаются, так что это уже решено графически.

    А теперь давайте решим это с помощью алгебры!

    Хммм … как это решить? Способов может быть много! В этом случае оба уравнения имеют «y», поэтому давайте попробуем вычесть все второе уравнение из первого:

    x + y — (−3x + y) = 6 — 2

    А теперь упростим:

    х + у + 3х — у = 6-2

    4x = 4

    х = 1

    Итак, теперь мы знаем, что линии пересекаются в точке x = 1 .

    И мы можем найти совпадающее значение y , используя любое из двух исходных уравнений (потому что мы знаем, что они имеют одинаковое значение при x = 1). Воспользуемся первым (второй можете попробовать сами):

    х + у = 6

    1 + у = 6

    г = 5

    И решение:

    x = 1 и y = 5

    И график показывает, что мы правы!

    Линейные уравнения

    В линейных уравнениях допускаются только простые переменные. Нет x 2 , y 3 , √x и т. Д. :


    Линейные и нелинейные

    Размеры

    Линейное уравнение может быть в двух измерениях …
    (например, x и y )
    … или в 3-х измерениях …
    (делает самолет)
    … или 4 размера …
    … или больше!

    Общие переменные

    Чтобы уравнения «работали вместе», они разделяют одну или несколько переменных:

    Система уравнений состоит из двух или более уравнений в одной или нескольких переменных

    Множество переменных

    Таким образом, Система уравнений может иметь много уравнений и много переменных.

    Пример: 3 уравнения с 3 переменными

    2x + y 2z = 3
    x y z = 0
    x + y + 3z = 12

    Может быть любая комбинация:

    • 2 уравнения с 3 переменными,
    • 6 уравнений с 4 переменными,
    • 9000 уравнений в 567 переменных,
    • и др.

    Решения

    Когда количество уравнений равно , то же , что и количество переменных, , вероятно, будет решением. Не гарантировано, но вероятно.

    На самом деле есть только три возможных случая:

    • Нет решение
    • Одно решение
    • Бесконечно много решений

    Когда нет решения , уравнения называются «несовместимыми» .

    Одно или бесконечно много решений называются «согласованными»

    Вот диаграмма для 2 уравнений с 2 ​​переменными :

    Независимая

    «Независимый» означает, что каждое уравнение дает новую информацию.
    В противном случае это «Зависимые» .

    Также называется «линейная независимость» и «линейная зависимость»

    Пример:

    Эти уравнения — «Зависимые» , потому что на самом деле это то же уравнение , только умноженное на 2.

    Итак, второе уравнение не дало новой информации .

    Истинные уравнения

    Уловка состоит в том, чтобы найти, где все уравнения истинны одновременно .

    Верно? Что это значит?

    Пример: вы против лошади

    Линия «ты» истинна по всей ее длине (но больше нигде).

    В любом месте этой строки d равно 0.2т

    • при t = 5 и d = 1 уравнение истинно (d = 0,2t? Да, поскольку 1 = 0,2 × 5 верно)
    • при t = 5 и d = 3 уравнение неверно (Является ли d = 0,2t? Нет, поскольку 3 = 0,2 × 5 неверно )

    Точно так же линия «лошади» верна на всем протяжении (но больше нигде).

    Но только в точке, где они пересекают (при t = 10, d = 2), они оба истинны .

    Значит, они должны быть правдой одновременно

    … поэтому некоторые люди называют их «Одновременные линейные уравнения»

    Решить с помощью алгебры

    Для их решения принято использовать алгебру.

    Вот пример «Лошади», решенный с помощью алгебры:

    Пример: вы против лошади

    Система уравнений:

    В этом случае кажется, что проще всего установить их равными друг другу:

    d = 0.2т = 0,5 (т − 6)

    Начать с : 0,2t = 0,5 (t — 6)

    Расширить 0,5 (t − 6) : 0,2t = 0,5t — 3

    Вычтем 0,5t с обеих сторон: −0,3t = −3

    Разделим обе части на −0,3 : t = −3 / −0,3 = 10 минут

    Теперь мы знаем , когда тебя поймают!

    Зная t , можно вычислить d : d = 0,2t = 0,2 × 10 = 2 км

    И наше решение:

    t = 10 минут и d = 2 км

    Алгебра против графиков

    Зачем использовать алгебру, если графики настолько просты? Потому что:

    Более 2 переменных не могут быть решены с помощью простого графика.

    Итак, алгебра приходит на помощь двумя популярными методами:

    • Решение заменой
    • Решение методом исключения

    Мы увидим каждую с примерами по 2 переменным и 3 переменным. Вот и …

    Решение заменой

    Это шаги:

    • Напишите одно из уравнений в стиле «переменная = …»
    • Заменить (т.е. заменить) эту переменную в другое уравнение (а).
    • Решите другое уравнение (я)
    • (при необходимости повторить)

    Вот пример с 2 уравнениями с 2 переменными :

    Пример:

    Мы можем начать с любого уравнения и любой переменной .

    Воспользуемся вторым уравнением и переменной «y» (это выглядит как простейшее уравнение).

    Напишите одно из уравнений в стиле «переменная =»… «:

    Мы можем вычесть x из обеих частей x + y = 8, чтобы получить y = 8 — x . Теперь наши уравнения выглядят так:

    Теперь замените «y» на «8 — x» в другом уравнении:

    • 3x + 2 (8 — x) = 19
    • у = 8 — х

    Решите, используя обычные методы алгебры:

    Развернуть 2 (8 − x) :

    • 3x + 16 — 2x = 19
    • у = 8 — х

    Тогда 3x − 2x = x :

    И на последок 19−16 = 3

    Теперь мы знаем, что такое x , мы можем поместить его в уравнение y = 8 — x :

    И ответ:

    х = 3
    у = 5

    Примечание: поскольку — это решение, уравнения «непротиворечивы»

    Проверка: почему бы вам не проверить, работают ли x = 3 и y = 5 в обоих уравнениях?

    Решение подстановкой: 3 уравнения с 3 переменными

    ОК! Давайте перейдем к более длинному примеру : 3 уравнения с 3 переменными .

    Это несложно, сделать … это просто займет у много времени !

    Пример:

    • х + г = 6
    • г — 3у = 7
    • 2x + y + 3z = 15

    Мы должны аккуратно выровнять переменные, иначе мы потеряем из виду то, что делаем:

    x + z = 6
    3 года + z = 7
    2x + y + 3z = 15

    WeI может начать с любого уравнения и любой переменной.Воспользуемся первым уравнением и переменной «x».

    Напишите одно из уравнений в стиле «переменная = …»:

    x = 6 — z
    3 года + z = 7
    2x + y + 3z = 15

    Теперь замените «x» на «6 — z» в других уравнениях:

    (К счастью, есть только одно уравнение с x в нем)

    х = 6 — z
    3 года + z = 7
    2 (6-z) + y + 3z = 15

    Решите, используя обычные методы алгебры:

    2 (6 − z) + y + 3z = 15 упрощается до y + z = 3 :

    x = 6 — z
    3 года + z = 7
    y + z = 3

    Хорошо.Мы добились некоторого прогресса, но пока не достигли этого.

    Теперь повторите процесс , но только для последних 2 уравнений.

    Напишите одно из уравнений в стиле «переменная = …»:

    Выберем последнее уравнение и переменную z:

    x = 6 — z
    3 года + z = 7
    z = 3 — х лет

    Теперь замените «z» на «3 — y» в другом уравнении:

    x = 6 — z
    3 года + 3 — х лет = 7
    z = 3-й год

    Решите, используя обычные методы алгебры:

    −3y + (3 − y) = 7 упрощается до −4y = 4 , или другими словами y = −1

    x = 6 — z
    y = -1
    z = 3-й год

    Почти готово!

    Зная, что y = −1 , мы можем вычислить, что z = 3 − y = 4 :

    x = 6 — z
    y = -1
    z = 4

    И зная, что z = 4 , мы можем вычислить, что x = 6 − z = 2 :

    x = 2
    y = -1
    z = 4

    И ответ:

    х = 2
    у = -1
    г = 4

    Проверка: проверьте сами.

    Мы можем использовать этот метод для 4 или более уравнений и переменных … просто повторяйте одни и те же шаги снова и снова, пока не решите проблему.

    Заключение: Замена работает хорошо, но требует много времени.

    Решение методом исключения

    Уничтожение может быть быстрее … но должно быть аккуратным.

    «Исключить» означает удалить : этот метод работает путем удаления переменных до тех пор, пока не останется только одна.

    По идее, мы можем смело :

    • умножить уравнение на константу (кроме нуля),
    • прибавить (или вычесть) уравнение к другому уравнению

    Как в этих примерах:

    ПОЧЕМУ мы можем складывать уравнения друг в друга?

    Представьте себе два действительно простых уравнения:

    х — 5 = 3
    5 = 5

    Мы можем добавить «5 = 5» к «x — 5 = 3»:

    х — 5 + 5 = 3 + 5
    х = 8

    Попробуйте сами, но используйте 5 = 3 + 2 в качестве второго уравнения

    Он по-прежнему будет работать нормально, потому что обе стороны равны (для этого стоит знак =!)

    Мы также можем поменять местами уравнения, чтобы первое могло стать вторым и т. Д., Если это поможет.

    Хорошо, время для полного примера. Давайте использовать 2 уравнения с 2 переменными , пример из предыдущего:

    Пример:

    Очень важно, чтобы все было в порядке:

    3x + 2 года = 19
    x + y = 8

    Сейчас… наша цель — исключить переменную из уравнения.

    Сначала мы видим, что есть «2y» и «y», так что давайте поработаем над этим.

    Умножьте второе уравнение на 2:

    .
    3x + 2 года = 19
    2 x + 2 y = 16

    Вычтем второе уравнение из первого уравнения:

    x = 3
    2x + 2 года = 16

    Ура! Теперь мы знаем, что такое x!

    Затем мы видим, что во втором уравнении есть «2x», поэтому давайте уменьшим его вдвое, а затем вычтем «x»:

    Умножьте второе уравнение на ½ (т.е.е. разделить на 2):

    x = 3
    x + y = 8

    Вычтем первое уравнение из второго уравнения:

    x = 3
    y = 5

    Готово!

    И ответ:

    x = 3 и y = 5

    А вот график:

    Синяя линия — это где 3x + 2y = 19 истинно

    Красная линия — это место, где x + y = 8 верно

    При x = 3, y = 5 (где линии пересекаются) они равны , оба истинны. Это и есть ответ.

    Вот еще один пример:

    Пример:

    • 2x — y = 4
    • 6x — 3y = 3

    Разложите аккуратно:

    2x y = 4
    6x 3 года = 3

    Умножьте первое уравнение на 3:

    6x 3 года = 12
    6x 3 года = 3

    Вычтем второе уравнение из первого уравнения:

    0 0 = 9
    6x 3 года = 3

    0-0 = 9 ???

    Что здесь происходит?

    Все просто, решения нет.

    На самом деле это параллельные линии:

    И на последок:

    Пример:

    • 2x — y = 4
    • 6x — 3 года = 12

    Аккуратно:

    2x y = 4
    6x 3 года = 12

    Умножьте первое уравнение на 3:

    6x 3 года = 12
    6x 3 года = 12

    Вычтем второе уравнение из первого уравнения:

    0 0 = 0
    6x 3 года = 3

    0 — 0 = 0

    Ну, это на самом деле ИСТИНА! Ноль действительно равен нулю…

    … это потому, что на самом деле это одно и то же уравнение …

    … так что существует бесконечное количество решений

    Это та же строка:

    Итак, теперь мы рассмотрели пример каждого из трех возможных случаев:

    • Нет решение
    • Одно решение
    • Бесконечно много решений

    Решение методом исключения: 3 уравнения с 3 переменными

    Прежде чем мы начнем со следующего примера, давайте рассмотрим улучшенный способ решения задач.

    Следуйте этому методу, и мы с меньшей вероятностью ошибемся.

    Прежде всего удалите переменные в порядке :

    .
    • Сначала удалите x с (из уравнений 2 и 3, по порядку)
    • , затем исключите y (из уравнения 3)

    Вот как мы их устраняем:

    У нас есть «форма треугольника»:

    Теперь начните снизу и вернитесь к предыдущему результату (так называемая «обратная подстановка»)
    (введите z , чтобы найти y , затем z и y , чтобы найти x ):

    И решаемся:

    ТАКЖЕ, мы обнаружим, что проще выполнить расчетов в уме или на бумаге для заметок, чем всегда работать в рамках системы уравнений:

    Пример:

    • х + у + г = 6
    • 2y + 5z = −4
    • 2x + 5y — z = 27

    Аккуратно написано:

    x + y + z = 6
    2 года + 5z = −4
    2x + 5лет z = 27

    Сначала удалите x из 2-го и 3-го уравнения.

    Во втором уравнении нет x … переходите к третьему уравнению:

    Вычтите 2 раза 1-е уравнение из 3-го уравнения (просто проделайте это в уме или на бумаге для заметок):

    И получаем:

    x + y + z = 6
    2 года + 5z = −4
    3 года 3z = 15

    Затем удалите y из 3-го уравнения.

    Мы, , могли бы вычесть 1½ раза 2-е уравнение из 3-го уравнения (потому что 1½ раза 2 равно 3) …

    … но мы можем избежать дробей , если мы:

    • умножьте 3-е уравнение на 2 и
    • умножьте второе уравнение на 3

    и , затем выполняют вычитание … вот так:

    И в итоге получаем:

    x + y + z = 6
    2 года + 5z = −4
    z = -2

    Теперь у нас есть «треугольник»!

    Теперь вернемся снова вверх «с ​​обратной заменой»:

    Мы знаем z , поэтому 2y + 5z = −4 становится 2y − 10 = −4 , тогда 2y = 6 , поэтому y = 3 :

    x + y + z = 6
    y = 3
    z = −2

    Тогда x + y + z = 6 становится x + 3−2 = 6 , поэтому x = 6−3 + 2 = 5

    x = 5
    y = 3
    z = −2

    И ответ:

    x = 5
    y = 3
    z = −2

    Проверка: проверьте сами.

    Общий совет

    Когда вы привыкнете к методу исключения, он станет проще, чем замена, потому что вы просто выполняете шаги, и ответы появляются.

    Но иногда замена может дать более быстрый результат.

    • Замена часто проще для небольших случаев (например, 2 уравнения, а иногда и 3 уравнения)
    • Устранение проще для больших ящиков

    И всегда полезно сначала просмотреть уравнения, чтобы увидеть, есть ли простой ярлык… так что опыт помогает.

    Графические линейные уравнения с двумя переменными — Промежуточная алгебра

    Цели обучения

    К концу этого раздела вы сможете:

    • Построить точки в прямоугольной системе координат
    • Построение линейного уравнения путем нанесения точек
    • График вертикальных и горизонтальных линий
    • Найдите точки пересечения по оси X и Y
    • Постройте линию с помощью точек пересечения

    Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

    1. Оценить, когда

      Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

    2. Оценить, когда

      Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

    3. Решите относительно и :

      Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

    Точки графика в прямоугольной системе координат

    Подобно тому, как карты используют систему сеток для определения местоположений, система сеток используется в алгебре, чтобы показать взаимосвязь между двумя переменными в прямоугольной системе координат.Прямоугольная система координат также называется плоскостью xy или «координатной плоскостью».

    Прямоугольная система координат образована двумя пересекающимися числовыми линиями, горизонтальной и вертикальной. Горизонтальная числовая линия называется осью x . Вертикальная числовая линия называется осью y . Эти оси делят плоскость на четыре области, называемые квадрантами. Квадранты обозначаются римскими цифрами, начиная с верхнего правого угла и продолжаясь против часовой стрелки.См. (Рисунок).

    В прямоугольной системе координат каждая точка представлена ​​упорядоченной парой. Первое число в упорядоченной паре — это координата точки x , а второе число — координата точки y . Фраза «упорядоченная пара» означает, что порядок важен.

    Заказанная пара

    Упорядоченная пара дает координаты точки в прямоугольной системе координат. Первое число — это координата x .Второе число — это координата y .

    Какова упорядоченная пара точек пересечения осей? В этой точке обе координаты равны нулю, поэтому ее упорядоченная пара — Точка имеет особое имя. Это называется происхождение.

    Происхождение

    Точка называется исходной точкой . Это точка пересечения осей x и y .

    Мы используем координаты, чтобы найти точку на плоскости xy .Приведем точку в качестве примера. Сначала найдите 1 на оси x и слегка нарисуйте вертикальную линию, затем найдите 3 на оси y и нарисуйте горизонтальную линию. Теперь найдите точку, где эти две линии встречаются — это точка с координатами См. (рисунок).

    Обратите внимание, что сквозная вертикальная линия и сквозная горизонтальная линия не являются частью графика. Мы просто использовали их, чтобы найти точку

    .

    Когда одна из координат равна нулю, точка лежит на одной из осей.На (Рисунок) точка находится на оси y , а точка — на оси x .

    Очки по топорам

    Точки с координатой y , равной 0, находятся на оси x и имеют координаты

    .

    Точки с координатой x , равной 0, находятся на оси y и имеют координаты

    .

    Знаки координаты x и координаты y влияют на расположение точек.Вы могли заметить некоторые закономерности, когда рисовали точки в предыдущем примере. Мы можем суммировать знаковые паттерны секторов следующим образом:

    Квадранты

    До сих пор все решаемые вами уравнения были уравнениями только с одной переменной. Почти в каждом случае, когда вы решали уравнение, вы получали ровно одно решение. Но уравнения могут иметь более одной переменной. Уравнения с двумя переменными могут иметь вид. Уравнение такой формы называется линейным уравнением с двумя переменными.

    Линейное уравнение

    Уравнение формы, где A и B не равны нулю, называется линейным уравнением с двумя переменными.

    Вот пример линейного уравнения с двумя переменными: x и y .

    Уравнение также является линейным уравнением. Но это не похоже на форму. Мы можем использовать свойство сложения равенства и переписать его по форме.

    Переписав, поскольку мы можем легко увидеть, что это линейное уравнение с двумя переменными, потому что оно имеет форму Когда уравнение находится в форме, мы говорим, что оно находится в стандартной форме линейного уравнения.

    Стандартная форма линейного уравнения

    Линейное уравнение в стандартной форме , когда оно записано

    Большинство людей предпочитают, чтобы значения A , B и C были целыми числами и при написании линейного уравнения в стандартной форме, хотя это не является строго необходимым.

    Линейные уравнения имеют бесконечно много решений. Каждому числу, заменяющему x , соответствует значение y .Эта пара значений является решением линейного уравнения и представлена ​​упорядоченной парой. Когда мы подставляем эти значения x и y в уравнение, результатом будет истинное утверждение, поскольку значение слева равно равно значению справа.

    Решение линейного уравнения с двумя переменными

    Упорядоченная пара — это решение линейного уравнения, если уравнение является истинным утверждением, когда в уравнение подставляются значения x и y упорядоченной пары.

    Линейные уравнения имеют бесконечно много решений. Мы можем построить эти решения в прямоугольной системе координат. Точки будут идеально выровнены по прямой линии. Соединяем точки прямой линией, чтобы получился график уравнения. Мы помещаем стрелки на концах каждой стороны линии, чтобы указать, что линия продолжается в обоих направлениях.

    График — это визуальное представление всех решений уравнения. Это пример поговорки: «Картинка стоит тысячи слов.”Линия показывает вам всех решений этого уравнения. Каждая точка на линии — это решение уравнения. И каждое решение этого уравнения находится на этой линии. Эта линия называется графиком уравнения. Пункты , а не на линии, не являются решением проблемы!

    График линейного уравнения

    График линейного уравнения представляет собой прямую линию.

    • Каждая точка на линии является решением уравнения.
    • Каждое решение этого уравнения — точка на этой прямой.

    Показан график.

    Для каждой заказанной пары определите:

    ⓐ Является ли упорядоченная пара решением уравнения?

    ⓑ Находится ли точка на линии?

    А: В: С: D:

    Подставьте значения x и y в уравнение, чтобы проверить, является ли упорядоченная пара решением уравнения.

    ⓑ Нанесите точки и

    Точки и находятся на линии, а точка не находится на линии.

    Точки, которые являются решениями, находятся на линии, но точка, которая не является решением, не находится на линии.

    Использовать график Для каждой упорядоченной пары определите:

    ⓐ Является ли упорядоченная пара решением уравнения?

    ⓑ Находится ли точка на линии?

    А Б

    ⓐ да, да ⓑ да, да

    Использовать график Для каждой упорядоченной пары определите:

    ⓐ Является ли упорядоченная пара решением уравнения?

    ⓑ Находится ли точка на линии?

    А Б

    Построение линейного уравнения по точкам

    Есть несколько методов, которые можно использовать для построения графика линейного уравнения.Первый метод, который мы будем использовать, называется построением точек или методом точечного построения. Мы находим три точки, координаты которых являются решениями уравнения, и затем строим их в прямоугольной системе координат. Соединив эти точки в линию, мы получим график линейного уравнения.

    Как построить график линейного уравнения по точкам

    Постройте уравнение, нанеся точки.

    Изобразите уравнение, нанеся точки:

    Изобразите уравнение, нанеся точки:

    Шаги, которые необходимо предпринять для построения графика линейного уравнения с помощью точек, приведены здесь.

    Постройте линейное уравнение, нанеся точки.

    1. Найдите три точки, координаты которых являются решениями уравнения. Разложите их в виде таблицы.
    2. Постройте точки в прямоугольной системе координат. Убедитесь, что точки совпадают. Если нет, внимательно проверьте свою работу.
    3. Проведите линию через три точки. Вытяните линию, чтобы заполнить сетку, и поместите стрелки на обоих концах линии.

    Это правда, что для определения линии нужны только две точки, но использование трех точек — хорошая привычка.Если вы нанесете только две точки, и одна из них неверна, вы все равно можете нарисовать линию, но она не будет представлять решения уравнения. Это будет неправильная линия.

    Если вы используете три точки, а одна неверна, точки не выровняются. Это говорит о том, что что-то не так, и вам нужно проверить свою работу. Посмотрите на разницу между этими иллюстрациями.

    Когда уравнение включает дробь в качестве коэффициента, мы все равно можем заменить x любыми числами.Но арифметика будет проще, если мы сделаем «хороший» выбор для значений x . Таким образом мы избежим дробных ответов, которые сложно изобразить точно.

    Изобразите уравнение:

    Найдите три точки, которые являются решениями уравнения. Поскольку это уравнение имеет дробный коэффициент x , мы будем тщательно выбирать значения x . Мы будем использовать ноль в качестве одного варианта и кратное 2 для других вариантов. Почему значение, кратное двум, является хорошим выбором для значений x ? При выборе числа, кратного 2, умножение на упрощается до целого числа

    .

    Точки показаны на (Рисунок).

    Постройте точки, убедитесь, что они совпадают, и проведите линию.

    Изобразите уравнение:

    Изобразите уравнение:

    Вертикальные и горизонтальные линии графика

    Некоторые линейные уравнения имеют только одну переменную. У них может быть только x и не y , или только y без x . Это меняет то, как мы составляем таблицу значений, чтобы получить точки для построения.

    Давайте рассмотрим уравнение. Это уравнение имеет только одну переменную, x . Уравнение говорит, что x — это , всегда равное , поэтому его значение не зависит от y . Независимо от того, какое значение имеет значение y , значение x всегда равно

    .

    Итак, чтобы составить таблицу значений, запишите все значения x . Затем выберите любые значения для y . Поскольку x не зависит от y , вы можете выбирать любые числа, которые вам нравятся.Но чтобы соответствовать точкам на нашем координатном графике, мы будем использовать 1, 2 и 3 для координат y . См. (Рисунок).

    Постройте точки из таблицы и соедините их прямой линией. Обратите внимание, что мы нарисовали вертикальную линию.

    Что делать, если в уравнении указано y , но нет x ? Давайте изобразим уравнение. На этот раз значение y- является константой, поэтому в этом уравнении y не зависит от x . Заполните 4 для всех y (рисунок), а затем выберите любые значения для x .Мы будем использовать 0, 2 и 4 для координат x .

    На этом рисунке мы изобразили горизонтальную линию, проходящую через ось y в точке 4.

    График: ⓐ ⓑ

    ⓐ Уравнение имеет только одну переменную, x , а x всегда равно 2. Мы создаем таблицу, в которой x всегда равно 2, а затем вводим любые значения для y . График представляет собой вертикальную линию, проходящую через ось x в точке 2.

    ⓑ Точно так же уравнение имеет только одну переменную: y . Значение y постоянно. Все упорядоченные пары в следующей таблице имеют одинаковую координату y . График представляет собой горизонтальную линию, проходящую через ось y в точке

    .

    Изобразите уравнения: ⓐ ⓑ

    Изобразите уравнения: ⓐ ⓑ

    В чем разница между уравнениями и

    Уравнение имеет значения x и y .Значение y зависит от значения x , поэтому координата y изменяется в соответствии со значением x . Уравнение имеет только одну переменную. Значение y постоянно, оно не зависит от значения x , поэтому координата y всегда равна 4.

    Обратите внимание: на графике уравнение дает наклонную линию, а дает горизонтальную линию.

    График и в той же прямоугольной системе координат.

    Мы замечаем, что первое уравнение имеет переменную x , а второе — нет. Мы составляем таблицу точек для каждого уравнения, а затем наносим на график линии. Показаны два графика.

    Постройте уравнения в той же прямоугольной системе координат: и

    Постройте уравнения в той же прямоугольной системе координат: и

    Найдите

    x — и y -перехваты

    Каждое линейное уравнение может быть представлено уникальной линией, которая показывает все решения уравнения.Мы видели, что при построении линии с помощью точек вы можете использовать любые три решения для построения графика. Это означает, что два человека, рисующие линию, могут использовать разные наборы из трех точек.

    На первый взгляд, их две линии могут показаться не одинаковыми, поскольку на них будут обозначены разные точки. Но если вся работа была проделана правильно, линии должны быть точно такими же. Один из способов узнать, что это действительно одна и та же линия, — это посмотреть, где линия пересекает ось x и ось y .Эти точки называются пересечениями линии.

    Перехват линии

    Точки, где линия пересекает ось x и ось y , называются пересечением линии .

    Давайте посмотрим на графики линий.

    Во-первых, обратите внимание, где каждая из этих линий пересекает ось x . См. (Рисунок).

    Теперь давайте посмотрим на точки, где эти линии пересекают ось y .

    ось x в точке: Заказанная пара
    для этой точки
    Линия пересекает
    ось y- в точке:
    Заказанная пара
    для этой точки
    Рисунок (a) 36 Рисунок (b) 4 Рисунок (c ) 5 Рисунок (d) 00 Общий рисунок a b

    Вы видите закономерность?

    Для каждой линии координата y точки, в которой линия пересекает ось x , равна нулю. Точка, где линия пересекает ось x , имеет форму и называется пересечением по оси x линии.Перехват x происходит, когда y равно нулю.

    В каждой строке координата x точки, в которой линия пересекает ось y , равна нулю. Точка, где линия пересекает ось y , имеет форму и называется точкой пересечения оси y линии. Перехват y происходит, когда x равно нулю.

    x — перехват и y — перехват линии

    Пересечение x — это точка, в которой линия пересекает ось x .

    Пересечение y — это точка, в которой линия пересекает ось y .

    Найдите точки пересечения x и y на каждом показанном графике.

    ⓐ График пересекает ось x в точке Пересечение x- составляет

    График пересекает ось y в точке Пересечение y составляет

    ⓑ График пересекает ось x в точке Пересечение x составляет

    График пересекает ось y в точке Пересечение y составляет

    ⓒ График пересекает ось x в точке Пересечение x составляет

    График пересекает ось y в точке Пересечение y составляет

    Найдите точки пересечения x и y на графике.

    x -перехват:

    y -перехват:

    Найдите точки пересечения x и y на графике.

    x -перехват:

    y -перехват:

    Признание того, что пересечение x происходит, когда y равно нулю, и что пересечение y происходит, когда x равно нулю, дает нам способ найти точки пересечения линии из ее уравнения.Чтобы найти перехват x , позвольте и решите для x . Чтобы найти перехват y , позвольте и решите для y .

    Найдите точки пересечения x и y из уравнения прямой

    Используйте уравнение линии. Чтобы найти:

    • пересечение линии x , пусть и решит для x .
    • y — перехват линии, пусть и решит для y .

    Найдите перехватчик

    Давайте найдем перехват x , а найдем перехват y .Мы заполним таблицу, которая напоминает нам о том, что нам нужно найти.

    Перехваты — это точки, как показано в таблице.

    x y
    4 0
    0 8

    Найдите точки перехвата:

    x -перехват:

    y -перехват:

    Найдите точки перехвата:

    x -перехват:

    y -перехват:

    Постройте линию с помощью точек пересечения

    Чтобы построить линейное уравнение с помощью точек, необходимо найти три точки, координаты которых являются решениями уравнения.Вы можете использовать точки пересечения x- и y- как две из трех точек. Найдите точки пересечения, а затем найдите третью точку, чтобы обеспечить точность. Убедитесь, что точки совпадают — затем проведите линию. Этот метод часто является самым быстрым способом построить линию.

    Как построить линию с помощью точек пересечения

    График с использованием точек пересечения.

    График с пересечениями:

    График с пересечениями:

    Шаги по построению линейного уравнения с использованием точек пересечения кратко описаны здесь.

    Постройте линейное уравнение, используя точки пересечения.

    1. Найдите точки пересечения линии x и y .
      • Позвольте и решите для x .
      • Позвольте и решить для y .
    2. Найдите третье решение уравнения.
    3. Постройте три точки и убедитесь, что они совпадают.
    4. Проведите линию.

    График с использованием точек пересечения.

    Найдите точки пересечения и третью точку.

    Перечислим точки в таблице и покажем график.

    График с пересечениями:

    График с пересечениями:

    Когда линия проходит через начало координат, точка пересечения x и точка пересечения y являются одной и той же точкой.

    График с использованием точек пересечения.

    Эта линия имеет только одну точку пересечения. Это точка

    Для обеспечения точности нам нужно нанести три точки.Поскольку точки пересечения x и y — это одна и та же точка, нам нужно еще на две точек для построения графика линии.

    Полученные три балла сведены в таблицу.

    Постройте три точки, убедитесь, что они совпадают, и проведите линию.

    График с пересечениями:

    График пересечений:

    Практика ведет к совершенству

    Графические точки в прямоугольной системе координат

    В следующих упражнениях нанесите каждую точку в прямоугольную систему координат и определите квадрант, в котором расположена точка.

    В следующих упражнениях для каждой упорядоченной пары решите

    ⓐ является ли упорядоченная пара решением уравнения? Ⓑ это точка на линии?

    ⓐ A: да, B: нет, C: да, D: да ⓑ A: да, B: нет, C: да, D: да

    ⓐ A: да, B: да, C: да, D: нет ⓑ A: да, B: да, C: да, D: нет

    Построение линейного уравнения по точкам

    В следующих упражнениях построите график путем нанесения точек.

    График Вертикальные и горизонтальные линии

    В следующих упражнениях нанесите на график каждое уравнение.

    ⓐⓑ

    ⓐⓑ

    В следующих упражнениях нарисуйте каждую пару уравнений в одной прямоугольной системе координат.

    и

    и

    Найдите точки пересечения x- и y-

    В следующих упражнениях найдите точки пересечения x и y на каждом графике.

    В следующих упражнениях найдите точки пересечения для каждого уравнения.

    Построение линии с использованием точек пересечения

    В следующих упражнениях построите график с использованием точек пересечения.

    Смешанная практика

    В следующих упражнениях нанесите на график каждое уравнение.

    Письменные упражнения

    Объясните, как выбрать три значения x , чтобы составить таблицу для построения графика линии

    В чем разница между уравнениями вертикальной и горизонтальной линии?

    Вы предпочитаете использовать метод построения точек или метод пересечения точек для построения графика уравнения. Почему?

    Вы предпочитаете использовать метод построения точек или метод пересечения точек для построения графика уравнения. Почему?

    Самопроверка

    ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

    ⓑ Если большая часть ваших чеков была:

    Уверенно. Поздравляю! Вы достигли целей в этом разделе. Поразмышляйте над своими учебными навыками, чтобы вы могли продолжать их использовать. Что вы сделали, чтобы убедиться в своей способности делать эти вещи? Быть конкретным.

    С некоторой помощью. Это нужно решать быстро, потому что темы, которые вы не осваиваете, становятся ухабами на вашем пути к успеху. В математике каждая тема основывается на предыдущей работе. Прежде чем двигаться дальше, важно убедиться, что у вас есть прочный фундамент.К кому вы можете обратиться за помощью? Ваши одноклассники и инструктор — хорошие ресурсы. Есть ли в кампусе место, где доступны репетиторы по математике? Можно ли улучшить свои учебные навыки?

    Нет, не понимаю. Это предупреждающий знак, и вы должны его устранить. Вам следует немедленно обратиться за помощью, иначе вы быстро не справитесь. Как можно скорее обратитесь к своему инструктору, чтобы обсудить вашу ситуацию. Вместе вы сможете составить план оказания вам необходимой помощи.


    Промежуточная алгебра
    Урок 19: Решение систем линейных уравнений
    в двух переменных


    WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория> Алгебра среднего уровня

    Цели обучения


    После изучения этого руководства вы сможете:
    1. Узнайте, является ли упорядоченная пара решением системы линейных уравнений в две переменные или нет.
    2. Решите систему линейных уравнений от двух переменных с помощью построения графиков.
    3. Решите систему линейных уравнений с двумя переменными заменой метод.
    4. Решите систему линейных уравнений с двумя переменными методом исключения метод.

    Введение



    В этом уроке мы будем специально рассматривать системы, которые имеют два уравнения и две неизвестные. Урок 20: Решение систем Линейный Уравнения в трех переменных будут охватывать системы, которые имеют три уравнения и три неизвестных. Мы рассмотрим их решение трех разных способы: построение графиков, метод подстановки и метод исключения. Это приведет нас к решению проблем со словами с системами, которые быть показано в Урок 21: Системы линейных уравнений и задачи Решение . Вот где мы должны ответить на печально известный вопрос, когда мы будем использовать это? Но сначала мы должны научиться работать с системами в Общее. Вот почему на этом этапе мы используем общие переменные, такие как x и y . Если вы знаете, как это решить в целом, тогда, когда у вас есть конкретный проблема что вы решаете, где переменные принимают значение, такое как время или Деньги (две вещи, которых нам, кажется, никогда не бывает достаточно), вы будете готовы к идти. Итак, давайте посмотрим на системы в целом, чтобы подготовить нас к решению предстоящих проблем из нас.

    Учебник




    Система линейных уравнений

    Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнения, которые решаются одновременно.

    В этом руководстве мы рассмотрим системы, которые имеют только два линейных уравнения и две неизвестные.




    В общем, решение системы двух переменных заказанный пара, которая делает ОБЕИХ уравнениями истинными.

    Другими словами, это то место, где пересекаются два графика, что у них есть в общем. Итак, если упорядоченная пара является решением одного уравнения, но не другой, то это НЕ решение системы.

    Согласованная система — это система, в которой хотя бы одно решение.

    Несогласованная система — это система, которая имеет нет решения .

    Уравнения системы зависимы , если ВСЕ решения одного уравнения являются решениями другого уравнения. В Другие словами, они в конечном итоге будут той же строкой .

    Уравнения системы независимы , если они не разделяют ВСЕ решения . У них может быть одна общая черта, только не все из них.




    Одно решение
    Если система с двумя переменными имеет одно решение, это заказанный пара, которая является решением ОБЕИХ уравнений. Другими словами, когда вы вставляете значения упорядоченной пары, она делает ОБА уравнения ПРАВДА.

    Если у вас есть одно решение для окончательного ответа, — это эта система непротиворечива или непоследовательна?
    Если вы сказали «последовательный», похлопайте себя по плечу!

    Если вы получите одно решение для окончательного ответа, будет уравнения быть зависимыми или независимыми?
    Если вы сказали независимый, вы правы!

    График ниже иллюстрирует систему двух уравнений. и два неизвестных у которого есть одно решение:


    Нет решения
    Если две линии параллельны друг другу, они будут никогда не пересекаются. Значит, у них нет ничего общего. В этом ситуация у вас не будет решения.

    Если вы не получили решения для окончательного ответа, — это эта система непротиворечива или непоследовательна?
    Если вы сказали «непоследовательно», вы правы!

    Если вы не получите окончательного ответа, будет уравнения быть зависимыми или независимыми?
    Если вы сказали независимый, вы правы!

    График ниже иллюстрирует систему двух уравнений. и два неизвестных не имеющий решения:


    Бесконечный Решения
    Если две линии в конечном итоге лежат друг на друге, тогда Там есть бесконечное количество решений. В этой ситуации они бы в конечном итоге будут одной и той же строкой, поэтому любое решение, которое будет работать в одном уравнение будет работать в другом.

    Если вы получите бесконечное количество решений для Ваш окончательный ответ, я с эта система непротиворечива или непоследовательна?
    Если вы сказали «последовательный», вы правы!

    Если вы получите бесконечное количество решений для ваш окончательный ответ, будет уравнения быть зависимыми или независимыми?
    Если вы сказали иждивенец, вы правы!

    График ниже иллюстрирует систему двух уравнений. и два неизвестных имеющий бесконечное количество решений:


    Пример 1 : Определите, является ли каждая упорядоченная пара решением из система.
    (3, -1) и (0, 2)

    Давайте проверим упорядоченную пару (3, -1) в первом уравнение:



    * Вставка 3 для x и -1 для y

    * Истинное утверждение


    Пока все хорошо, (3, -1) является решением первое уравнение x + y = 2.

    Теперь давайте проверим (3, -1) во втором уравнении:



    * Вставка 3 для x и -1 для y

    * Истинное утверждение


    Эй, мы закончили с еще одним верным утверждением, которое означает, что (3, -1) является также решение второго уравнения x y = 4.

    Вот большой вопрос, является ли (3, -1) решением данная система ?????
    Поскольку это было решение ОБЕИХ уравнений в системе, Затем это это решение всей системы.

    Теперь поместим (0, 2) в первое уравнение:



    * Вставка 0 для x и 2 для y
    * Истинное заявление


    Это истинное утверждение, поэтому (0, 2) является решением первое уравнение x + y = 2.

    Наконец, поместим (0,2) во второе уравнение:



    * Вставка 0 для x и 2 для y
    * Ложное заявление


    На этот раз мы получили ложное заявление, вы знаете, что это средства. (0, 2) НЕ является решением второго уравнения x y = 4.

    Вот большой вопрос, является ли (0, 2) решением данная система ?????
    Поскольку это не было решением ОБЕИХ уравнений в система, то это не решение всей системы.



    Три способа Решить системы линейных
    Уравнений с двумя переменными



    Шаг 1. Постройте первое уравнение.



    Шаг 2: Изобразите второе уравнение на та же координата система как первая.


    Вы изобразите второе уравнение так же, как и любое другое. уравнение. Обратитесь к первому шагу, если вам нужно рассмотреть различные способы график линия.

    Разница тут в том, что на такой же ставишь система координат как первый. Это как две задачи с графиком в одной.


    Шаг 3. Найдите решение.


    Если две линии пересекаются в одном месте , то точка перекресток является решением системы.

    Если у две линии параллельны , то они никогда не пересекаются, так что нет решения.

    Если у две линии лежат друг на друге , то они та же строка , и у вас есть бесконечное количество решений. . В этом случае вы можете записать любое уравнение как решение указывать это одна и та же линия.


    Шаг 4: Проверьте предложенный заказанный парное решение в ОБА уравнения.


    Предлагаемое решение можно подключить к ОБА уравнения. Если это делает ОБЕИЕ уравнения истинными, тогда у вас есть решение система.

    Если он делает хотя бы одно из них ложным, вам нужно пойти назад и повторить эта проблема.



    Пример 2 : Решите систему уравнений, построив график.




    * Вставка 0 для y для x -int
    * x -intercept


    Перехват x равен (3, 0).

    y -перехват



    * Вставка 0 для x для y -int
    * y -intercept


    Перехват y равен (0, 3).

    Найди другого решение, положив x = 1.



    * Вставка 1 для x

    Другое решение (1, 2).

    Решения:

    х y (х, у)
    3 0 (3, 0)
    0 3 (0, 3)
    1 2 (1, 2)

    Построение упорядоченных парных решений и построение линия:






    * Вставка 0 для y для x -int
    * x -intercept


    Перехват x равен (1, 0).

    Y-перехват



    * Вставка 0 для x для y -int

    * инверсия мульт. на -1 — это div. по -1

    * y -перехват


    Перехват y равен (0, -1).

    Найди другого решение, положив x = 2.



    * Вставьте 2 для x
    * Сумма, обратная сумме 2, является вспомогательной. 2

    * инверсия мульт. на -1 это div по -1


    Другое решение (2, 1).

    Решения:

    х y (х, у)
    1 0 (1, 0)
    0 -1 (0, -1)
    2 1 (2, 1)

    Построение упорядоченных парных решений и построение линия:



    Нам нужно спросить себя, есть ли место, где две линии пересекаются, и если да, то где?

    Ответ — да, они пересекаются в (2, 1).



    Вы обнаружите, что если вы подключите заказанную пару (2, 1) в ОБЕИХ уравнения исходной системы, что это решение ОБЕИХ из них.

    Решение этой системы — (2, 1).




    Пример 3 : Решите систему уравнений, построив график.




    * Вставка 0 для y для x -int
    * x -intercept


    Перехват x равен (5, 0).

    y -перехват



    * Вставка 0 для x для y -int

    * y -перехват


    Перехват y равен (0, 5).

    Найди другого решение, положив x = 1.



    * Вставить 1 для x
    * Сумма, обратная сумме 1, является вспомогательной. 1


    Другое решение — (1, 4).

    Решения:

    х y (х, у)
    5 0 (5, 0)
    0 5 (0, 5)
    1 4 (1, 4)

    Построение упорядоченных парных решений и построение линия:





    * Вставьте 0 для y для x -int
    * Сумма 3, обратная подм.3

    * инверсия мульт. на -1 — это div. по -1

    * x -перехват


    Перехват x равен (3, 0).

    y -перехват



    * Вставка 0 для x для y -int
    * y -intercept


    Перехват y равен (0, 3).

    Найди другого решение, положив x = 1.



    * Вставка 1 для x


    Другое решение (1, 2).

    Решения:

    х y (х, у)
    3 0 (3, 0)
    0 3 (0, 3)
    1 2 (1, 2)

    Построение упорядоченных парных решений и построение линия:



    Нам нужно спросить себя, есть ли место, где две линии пересекаются, и если да, то где?

    Ответ — нет, они не пересекаются.Мы иметь два параллельных линий.



    Нет заказанных пар для проверки.

    Ответ — нет решения.



    Решить методом подстановки

    Шаг 1. При необходимости упростите.


    Это может включать в себя такие вещи, как удаление () и удаление фракций.

    Чтобы удалить (): просто используйте свойство distributive.

    Чтобы удалить дроби: поскольку дроби — это еще один способ написать деление, а обратное деление — умножение, дробь удаляется на умножение обе стороны ЖК-дисплеем всех ваших фракций.


    Шаг 2. Решите одно уравнение для любая переменная.


    Неважно, какое уравнение вы используете или какое переменная, которую вы выбираете решить для.

    Вы хотите сделать это как можно проще.Если один уравнений уже решено для одной из переменных, это быстро и легко способ идти.

    Если вам нужно найти переменную, попробуйте выбрать тот, у которого есть 1 как коэффициент. Таким образом, когда вы идете решать это, вы не будет делить на число и рисковать работать с дробная часть (фу !!).


    Шаг 3. Замените то, что вы получаете, на шаг 2 в другое уравнение.


    Вот почему он называется методом подстановки. Убедись в том, что вы подставляете выражение в ДРУГОЕ уравнение, то, которое вы не сделал использовать на шаге 2.

    Это даст вам одно уравнение с одним неизвестным.


    Шаг 4. Решите для оставшаяся переменная.



    Шаг 5: Решите для секунды Переменная.


    Если вы нашли значение переменной в шаге 4, что означает два уравнения имеют одно решение. Вставьте значение, найденное в шаг 4 в любое уравнение задачи и решить для другого Переменная.

    Если ваша переменная выпадает и у вас ЛОЖЬ заявление, что означает ваш ответ не решение.

    Если ваша переменная выпадает и у вас есть ИСТИНА заявление, что означает ваш ответ — бесконечные решения, которые были бы уравнением линия.


    Шаг 6: Проверьте предложенный заказанный парное решение в ОБЕ исходные уравнения.


    Предлагаемое решение можно подключить к ОБА уравнения. Если это делает ОБЕИХ уравнения истинными, тогда у вас есть решение система.

    Если он делает хотя бы одно из них ложным, вам нужно пойти назад и повторить эта проблема.





    Пример 4 : Решите систему уравнений заменой метод.


    Оба эти уравнения уже упрощены. Нет необходимости в работе делать здесь.



    Обратите внимание, что второе уравнение уже решено для y . Мы можем использовать его на этом этапе.

    Неважно, какое уравнение или какую переменную вы выбрать решение для. Но в ваших интересах, чтобы это было так просто, как возможный.

    Второе уравнение, решенное относительно y :


    * Решено для y



    Подставьте выражение 2 x + 4 вместо y в первое уравнение и решите относительно x :
    (когда вы вставляете подобное выражение, это похоже на то, как вы подключаете в число вашей переменной)



    * Под.2 x + 4 дюйма для y
    * Расст. -5 через ()
    * Объединить похожие термины

    * Обратное от sub. 20 добавлено 20

    * Значение, обратное div. by -7 есть мульт. по -7



    Вставить -5 для x в уравнение в шаг 2, чтобы найти значение y .



    * Вставка -5 для x



    Вы обнаружите, что если вы подключите заказанную пару (-5, -6) в ОБЕИХ уравнения исходной системы, что это решение ОБЕИХ из их.

    (-5, -6) — это решение нашей системы.





    Пример 5 : Решите систему уравнений заменой метод.


    Оба эти уравнения уже упрощены. Нет необходимости в работе делать здесь.



    На этот раз проблема была не так хороша для нас, мы придется проделайте небольшую работу, чтобы решить одно уравнение для одной из наших переменных.

    Неважно, какое уравнение или какую переменную вы выбрать решение для.Просто будьте проще.

    Так как x в первом уравнение имеет коэффициент 1, это означало бы, что нам не нужно было бы делить на количество решить эту проблему и рискнуть работать с дробями (УРА !!) Самый простой способ — решить первое уравнение для x , и мы определенно хотим выбрать легкий путь. Ты бы не был неправильный чтобы выбрать другое уравнение и / или решить для y, снова вы хотите чтобы сделать его максимально простым.

    Решая первое уравнение для x , получаем:



    * Обратное от sub. 2 y прибавлено 2 y

    * Решено для x



    Подставьте выражение 5 + 2 y вместо x во второе уравнение и решите относительно y :
    (когда вы вставляете подобное выражение, это похоже на то, как вы подключаете в число вашей переменной)



    * Под.5 + 2 y для x

    * Переменная выпала И ложь


    Погодите, а где наш переменная go ????

    Как упоминалось выше, если ваша переменная выпадает, и вы иметь оператор FALSE, тогда решения нет. Если бы мы изобразили эти два графика, они будут параллельны друг другу.



    Поскольку мы не получили значение для y , там здесь нечего подключать.



    Нет заказанных пар для проверки.

    Ответ — нет решения.



    Решить методом исключения

    Этот метод также известен как сложение или исключение добавлением метод.


    Шаг 1: Упростите и поместите оба уравнения в виде A x + B y = C, если необходимо.


    Это может включать в себя такие вещи, как удаление () и удаление фракций.

    Чтобы удалить (): просто используйте свойство distributive.

    Чтобы удалить дроби: поскольку дроби — это еще один способ написать деление, а обратное деление — умножение, дробь удаляется на умножение обе стороны ЖК-дисплеем всех ваших фракций.


    Шаг 2: Умножьте один или оба уравнения по числу который при необходимости создаст противоположные коэффициенты для x или y .


    Забегая вперед, мы добавим эти два Уравнения вместе . В этом процессе нам нужно убедиться, что одна из переменных падает из, оставив нам одно уравнение и одно неизвестное. Единственный способ, которым мы можем гарантия, что если мы добавляем противоположностей . Сумма противоположности равно 0.

    Если ни одна из переменных не выпадает, то мы застреваем с уравнение с две неизвестные, которые неразрешимы.

    Неважно, какую переменную вы выберете для удаления из. Вы хотите, чтобы это было как можно проще. Если переменная уже имеет противоположные коэффициенты, чем при добавлении двух уравнений вместе. В противном случае вам нужно умножить одно или оба уравнения на число. что создаст противоположные коэффициенты в одной из ваших переменных.Ты жестяная банка думайте об этом как о ЖК-дисплее. Подумайте, какой номер оригинал коэффициенты оба входят и соответственно умножают каждое отдельное уравнение. Делать убедитесь, что одна переменная положительна, а другая отрицательна, прежде чем вы Добавить.

    Например, если у вас есть 2 x в одном уравнении и 3 x в другом уравнении, мы могли бы умножать первое уравнение на 3 и получаем 6 x и в второе уравнение на -2, чтобы получить -6 x . Так когда вы собираетесь сложить эти два вместе, они выпадут.



    Сложите два уравнения.

    Переменная с противоположными коэффициентами будет выпадать из этого шаг, и у вас останется одно уравнение с одним неизвестным.


    Шаг 4: Найдите оставшуюся переменную.


    Решите уравнение, найденное на шаге 3, для переменной что осталось.

    Если вам нужен обзор по этому поводу, перейдите к Tutorial 7: Линейные уравнения с одной переменной.

    Если выпадают обе переменные и вы получаете ЛОЖЬ заявление, что означает ваш ответ не решение.

    Если выпадают обе переменные и у вас есть ИСТИНА заявление, что означает ваш ответ — бесконечные решения, которые были бы уравнением линия.


    Шаг 5: Найдите вторую переменную.


    Если вы нашли значение переменной в шаге 4, что означает два уравнения имеют одно решение. Вставьте значение, найденное в шаг 4 в любое уравнение задачи и решить для другого Переменная.


    Шаг 6: Проверьте предложенный заказанный парное решение в ОБЕ исходные уравнения.


    Предлагаемое решение можно подключить к ОБА уравнения.Если оно делает ОБЕИХ уравнения истинными, тогда у вас есть решение система.

    Если он делает хотя бы одно из них ложным, вам нужно пойти назад и повторить эта проблема.




    Пример 6 : Решите систему уравнений методом исключения метод.



    Это уравнение полно этих неприятных дробей. Мы можем упростить оба уравнения, умножив каждое в отдельности на ЖК-дисплей, как вы можете сделать это, когда работаете с одним уравнением. До тех пор, как вы проделайте то же самое с обеими сторонами уравнения, оставив обе стороны равны друг другу.

    Умножая каждое уравнение на соответствующий ЖК-дисплей, мы получить:



    * Мног. по ЖК № 15

    * Мульт. по ЖК из 6




    Опять же, вы хотите сделать это так просто, как возможный.Обратите внимание, как коэффициенты для и равны 3. Мы должны быть противоположности, поэтому, если один из них равен 3, а другой -3, Oни будут взаимно отменять друг друга, когда мы перейдем к их добавлению.

    Если бы мы сложили их вместе, как сейчас, мы бы закончить с одно уравнение и две переменные, ничего бы не выпало. И мы бы не смогу ее решить.

    Предлагаю умножить второе уравнение на -1, это будет создайте -3 перед x , и мы будем имеют наши противоположности.

    Обратите внимание, что мы могли бы так же легко умножить первое уравнение на -1 а не второй. В любом случае работа будет выполнена.

    Умножая второе уравнение на -1, получаем:



    * Мног.обе стороны 2-го ур. по -1

    * y х иметь противоположное коэффициенты




    * Обратите внимание, что y ‘s выпал




    * Инверсная по отношению к мульт.на 3 — div. по 3



    Вы можете выбрать любое уравнение, используемое в этой задаче, чтобы вставьте найденное значение x .

    Я выбираю подключить 11 для x в первое упрощенное уравнение (найдено на шаге 1), чтобы найти y ’s ценить.



    * Вставка 11 для x

    * сложение 55 является обратным.55

    * инверсия мульт. на 3 — div. по 3



    Вы обнаружите, что если вы подключите заказанную пару (11, -25/3) в ОБЕИХ уравнения исходной системы, что это решение ОБЕИХ из их.

    (11, -25/3) — это решение для нашей системы.





    Пример 7 : Решите систему уравнений методом исключения метод.



    Эта задача уже упрощена.Однако второй уравнение не записывается в виде Ax + By = C. Другими словами, нам нужно записывать это в этой форме, чтобы все было готово к работе, когда мы добавим два уравнения вместе.

    Переписывая второе уравнение, получаем:



    * Инверсия сложения 6 x — sub.6 x

    * Все в порядке



    Обратите внимание, что если мы умножим первое уравнение на 2, то у нас будет a -6 x , что является противоположностью 6 x , найденным во втором уравнении.

    Умножая первое уравнение на 2, получаем:


    * Мног.1-й экв. по 2

    * x имеют противоположные коэффициенты



    * Переменные выпали И истинно



    Эй, откуда у нас переменные идти??

    Как упоминалось выше, если переменная выпадает И мы иметь ИСТИННОЕ заявление, тогда когда есть бесконечное количество решений.Они в конечном итоге та же линия.



    Здесь нет ценности для подключения.



    Здесь нет ценности для подключения.

    Когда они оказываются в одном уравнении, у вас есть бесконечное число решений.Вы можете написать свой ответ, написав либо уравнение, чтобы указать, что это одно и то же уравнение.

    Два способа написать ответ: {( x , y ) | 3 x — 2 y = 1} OR {( x , y ) | 4 y = 6 x — 2}.



    Практические задачи


    Это практические задачи, которые помогут вам следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает так же, как что-нибудь иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться Это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте. На самом деле не бывает слишком много практики.

    Чтобы получить от них максимальную отдачу, вам следует проблема на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответ / обсуждение для этой проблемы . По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые привели к поиску этого ответа.

    Практика Задача 1a: Решите систему, построив график.

    Практика Задача 2а: Решите систему подстановкой метод.

    Практика Задача 3a: Решите систему метод устранения.

    Нужна дополнительная помощь по этим темам?





    Последний раз редактировал Ким Сьюард 10 июля 2011 г.
    Авторские права на все содержание (C) 2001 — 2011, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

    Как построить линию с помощью y = mx + b — Задача 1

    Вот задача, в которой меня просят изобразить уравнение линии. И если эта линия находится в форме y, равной mx плюс b, я могу построить 10-секундный график. Но это еще не совсем в форме y равно mx plus b. Что мне нужно сделать, так это получить все само по себе.

    Итак, первое, что я собираюсь сделать, это отменить эту часть –x, добавив x к обеим сторонам знака равенства.Итак, теперь у меня 2y равно x плюс 7. Следующее, что я хочу сделать, это разделить все на 2, чтобы получить y отдельно. Y равно 1/2 умноженному на x плюс 7/2. Теперь я готов изобразить этого парня. Это будет немного сложно, потому что у меня есть эти дроби, но я все равно смогу поставить свою первую точку на 7/2 на оси Y, которая, кстати, 7/2 равна 3½, это смешанное число. . Оттуда я буду считать 1 квадрат больше 2, 1 больше 2, 1 больше 2, чтобы показать свой наклон.

    Итак, приступим. Первая точка находится на 3½ по оси y.Вот моя ось Y, помните, что это вертикальные 1, 2, 3 и ½, вот моя точка пересечения по оси Y. Оттуда я хочу посчитать наклон, который на 1 квадрат больше 2, но будьте осторожны. Поскольку я начинаю с середины прямоугольника по вертикали, я хочу перейти к следующему центру, вверх на 1 на 2, вверх на 1 на 2. Это сложно, потому что мои точки не попадают в углы прямоугольников, но они все еще точные точки для этой линии.

    Одна вещь, о которой нужно помнить при наклоне, вы также можете двигаться в этом направлении вместо того, чтобы подниматься на 1 и 2 справа, теперь я собираюсь спуститься на 1, пройти 2 слева.Эти точки тоже на кону. Помните, что линия бесконечна в обоих направлениях, используя постоянный коэффициент наклона.

    Обычно рекомендуется наносить на график более двух точек, чтобы убедиться, что он достаточно точный, особенно в таких ситуациях, когда у меня есть дроби, и я могу ошибиться. Пожалуйста, пожалуйста, убедитесь, что вы всегда используете линейку для соединения ваших точек, чтобы ваши графики были действительно точными.

    И, наконец, убедитесь, что вы поставили стрелки на концах, чтобы показать, что эта линия продолжается вечно в обоих направлениях.Если вы, ребята, можете научиться рисовать линии в форме y равно mx плюс b, тогда уравнения, подобные этим, где это почти в форме y равно mx плюс b, могут быть очень быстрыми для вас.

    Когда вас просят построить линию, у вас всегда есть выбор, какой метод использовать. Мне больше всего нравится использовать стратегии y равно mx плюс b, и я собираюсь показать вам, как эта задача может занять у меня 10 секунд. Но повесьте одну, прежде чем мы это сделаем, я хочу убедиться, что вы четко понимаете, в чем проблема.

    На графике прямая y равна 3 1 / 2x минус 4.Хорошо, ребята, готовы? Я собираюсь показать вам мой 10-секундный график. У меня под рукой есть линейка, позвольте мне перейти к графику, чтобы я был готов. Ладно, достаньте секундомеры, готово, ставьте, вперед. Подожди, подожди, подожди, прежде чем я это сделаю, я скажу тебе, что я сделал, после того, как сделаю это. Ладно, поехали, готово, поехали, у меня здесь, возьмите 4, отсюда я заполняю 1, 2, 3, устанавливаю свою линейку, я почти на месте 5, 4, 3, 2, 1. Это довольно хорошо Хм?

    Вы, ребята, рисование линий, когда они уже в форме y равно mx плюс b, — одно из моих любимых занятий.Вы действительно можете выявить своего внутреннего ботаника-математика в подобных задачах. Позвольте мне показать вам, что я сделал за эти удивительные 10 секунд.

    Первое, что я сделал, это нашел точку пересечения оси y. Перехват по оси Y в этой задаче равен -4, поэтому моя первая точка на графике оказалась равной -4. Отсюда я считал уклон. Позвольте мне показать вам на графике, что я имею в виду. Моя первая точка попала на точку пересечения оси Y, равную -4. Первое, что я сделал, это поставил эту точку прямо здесь, на 4 вниз по оси y. Оттуда я посчитал номер наклона, который был 3 на 2, поэтому из этой точки я собираюсь подняться на 3 на 2 и поставить еще одну точку, вот откуда этот парень.Мой уклон был 3/2. Оттуда я просто схватил линейку и соединил их, очень осторожно продлив линию и сделав стрелки на конце, чтобы показать, что она продолжается и идет к бесконечности.

    Итак, вы, ребята, это как супер быстрые задачи, если вы умеете это делать. Позвольте мне еще раз повторить это через вас. Первым делом поставьте точку на стреле пересечения оси Y, отсчитайте оттуда наклонную стрелу, в-третьих, проведите линию, четвертое, нанесите на нее стрелки. Это действительно большие проблемы, ребята, я думаю, вы, возможно, даже повеселитесь, выполняя домашнее задание по математике.

    .

Ваш комментарий будет первым

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.