Как построить график функции по уравнению: Построение графиков функций онлайн

Как построить график функции в Microsoft Excel?

Знаю что в Excel можно построить разные диаграммы, а можно ли в нем строить графики функций?

В Microsoft Excel можно строить даже графики математических функций, конечно это не так просто как построить те же  графики в специализированной программе MathCAD.

Рассмотрим процесс построения графика функции в Microsoft Excel 2003. Процесс построения графика в Microsoft Excel 2007 будет немного отличаться.

Excel — электронные таблицы, позволяющие производить вычисления. Результаты вычислений можно применить в качестве исходных данных для графика (диаграммы) Excel.

1. Открываем чистый лист книги. Делаем два столбца, в одном из которых будет записан аргумент, а в другом — функция.

2. Заносим в столбец с аргументом x (столбец B) значения x так, чтобы вас устраивал выбранный отрезок, на котором вы будете рассматривать график функции. В ячейку C3 забьём формулу функции, которую вы собираетесь строить.

). То же самое можно реализовать с помощью функции «=B3*B3*B3».

Однако забивать формулу в каждой строке очень неудобно. Создатели Microsoft Excel всё это предусмотрели. Для того, чтобы наша формула появилась в каждой ячейке необходимо «растянуть» её. Растягивание ячеек с формулами и числами — фирменная фишка экзеля (очень полезная).

Щёлкните на ячейке с формулой. В правом нижнем углу ячейки есть маленький квадратик (он отмечен красным цветом на рисунке ниже). Вам нужно навести курсор мышки на него (при этом курсор мышки поменяется), нажать праву кнопку и «растянуть» формулу вниз на столько ячеек, сколько вам нужно.

3. Перейдём непосредственно к построению графика.

 Меню «Вставка» → «Диаграмма»:

4. Выбираем любую из точечных диаграмм. Нажимаем «Далее». Следует заметить, что нам необходима именно точечная диаграмма, т.к. другие виды диаграмм не позволяют нам задать и функцию, и аргумент в явном виде (в виде ссылки на группу ячеек).

5. В появившемся окне нажимаем вкладку «Ряд». Добавляем ряд нажатием кнопки «Добавить».

В появившемся окне надо задать откуда будут взяты числа (а точнее результаты вычислений) для графика. Чтобы выбрать ячейки, нужно щёлкнуть поочередно по кнопкам, обведённым красным овалом на рисунке ниже.

После этого нужно выделить те ячейки, откуда будут взяты значения для x и y.

6. Вот что получилось. Последний шаг — нажимаем «готово» :

Вот таким достаточно простым способом можно строить графики в Microsoft Excel. Стоит заметить, что при любом изменении набора аргументов функции или самой функции график мгновенно перестроится заново

По материалам: how-tos.ru

Как построить график функции у = f(x + l), если известен график функции у = f(x)

1.	Параллельный перенос	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Необходимо ответить на вопрос про параллельный перенос.
2.	Направление сдвига графика функции	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Определить направление сдвига графика функции.
3.	Формула функции	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Необходимо записать формулу функции.
4.	Уравнение параболы	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Необходимо по графику записать уравнение параболы.
5.	Значение функции	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Необходимо найти значение функции.
6.	График функции	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Необходимо построить график функции и ответить на вопрос.
7.	Графическое решение уравнения	3 вид — анализ	сложное	3 Б.	Необходимо графически решить уравнение.
8.	Система уравнений	3 вид — анализ	сложное	1 Б.	Графически решить систему уравнений.
9.	Значение аргумента	3 вид — анализ	сложное	3 Б.	Построить график функции. Определить значение аргумента.

Графики почти совпадают. Попытка решить иррациональное уравнение графически.

Решить иррациональное уравнение

Можно воспользоваться методом возведения обеих частей уравнения в квадрат или пробовать решить уравнение методом введения новой переменной . Это, конечно, позволит избавиться от корня, но очевидно приведет к уравнениям степени выше второй, а их решение обычно является кропотливым занятием. Но мы видим, что в левой и правой части уравнения находятся довольно простые выражения, и можно без труда построить графики соответствующих функций. Поэтому есть смысл обратиться к функционально-графическому методу решения уравнений и начать с построения графиков, вдруг, этого будет достаточно для наших целей. Итак, попробуем решить уравнение графически.

Построим графики функций и .

График первой функции можно построить путем геометрических преобразований графика функции , который нам хорошо известен. Требуется провести сдвиг одну единицу вправо и растяжение втрое вдоль оси ординат. Для удобства возьмем несколько контрольных точек:

Графиком второй функции является парабола. Ее ветви направлены вниз, так как коэффициент при x² отрицательный. Определим координаты ее вершины x

0 и y₀: . И тоже возьмем несколько контрольных точек:

В результате получаем следующий чертеж

Что мы видим? По большей части лишь то, что на промежутке от 1 до 3 графики функций почти совпадают. Сколько там пересечений? Непонятно. Можно точно говорить про два, в точках с координатами (1, 0) и (2, 3), и то, мы их видим не столько по чертежу, сколько из таблиц контрольных точек. А есть ли еще пересечения? Для ответа на этот вопрос нужны дополнительные исследования.

Если есть возможность, то можно построить более детальное изображение графиков в интересующей области от 1 до 3.

Здесь уже видно, что графики имеют три общие точки. Две из них имеют абсциссы 1 и 2, а третья – приблизительно 2,7.

Но обычно под рукой нет компьютера со специализированной программой, а имеется только лист бумаги и пишущий инструмент. Поэтому, детальный чертеж сделать крайне проблематично. Ну и хочется иметь точное значение корня, а не приближенное. Следовательно, в нашем случае графический метод решения оказался не очень хорош. Так что все-таки обратимся к аналитическим методам.

Попробуем решить иррациональное уравнение методом введения новой переменной. Примем , отсюда x=t²+1. Подставив эти результаты в исходное уравнение, получим рациональное уравнение 3·t=−(t²+1)²+6·(t²+1)−5. Преобразуем это уравнение к удобному для решения виду при помощи равносильных преобразований. Перенос всех слагаемых в левую часть, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых приводит к уравнению t⁴−4·t²+3·t=0, и вынесение за скобки переменной t дает t·(t³−4·t+3)=0. Одним корнем этого уравнения является t=0, остальные корни находятся при решении кубического уравнения t³−4·t+3=0. Один его корень очевиден t=1. Это позволяет решаемое кубическое уравнение представить в виде (t−1)·(t²+t−3)=0 и найти остальные его корни, решив квадратное уравнение t²+t−3=0:

Итак, уравнение, полученное после введения новой переменной , имеет четыре корня 0, 1, и . Осталось вернуться к старой переменной.

Для этого составляем совокупность четырех уравнений , , , . Остается найти решение совокупности. Для этого по очереди решим все уравнения совокупности и объединим их решения.

Составляющие совокупность уравнения — это простейшие иррациональные уравнения. Они легко решаются, например, методом решения уравнений по определению корня. Имеем

Таким образом, совокупность уравнений имеет три корня 1, 2, . Значит, иррациональное уравнение имеет три корня 1, 2 и . Последний из них – это как раз тот корень, приближенное значение которого (2,7) мы ранее определили по графикам.

Как построить график в Excel по уравнению правильно

Как предоставить информацию, чтобы она лучше воспринималась. Используйте графики. Это особенно актуально в аналитике. Рассмотрим, как построить график в Excel по уравнению.

Что это такое

График показывает, как одни величины зависят от других. Информация легче воспринимается. Посмотрите визуально, как отображается динамика изменения данных.

А нужно ли это

Графический способ отображения информации востребован в учебных или научных работах, исследованиях, при создании деловых планов, отчетов, презентаций, формул. Разработчики для построения графиков добавили способы визуального представления: диаграммы, пиктограммы.

Как построить график уравнения регрессии в Excel

Регрессионный анализ — статистический метод исследования. Устанавливает, как независимые величины влияют на зависимую переменную. Редактор предлагает инструменты для такого анализа.

Подготовительные работы

Перед использованием функции активируйте Пакет анализа. Перейдите:
Выберите раздел:
Далее:
Прокрутите окно вниз, выберите:
Отметьте пункт:
Открыв раздел «Данные», появится кнопка «Анализ».

Как пользоваться

Рассмотрим на примере. В таблице указана температура воздуха и число покупателей. Данные выводятся за рабочий день. Как температура влияет на посещаемость. Перейдите:
Выберите:
Отобразится окно настроек, где входной интервал:

1. Y. Ячейки с данными влияние факторов на которые нужно установить. Это число покупателей. Адрес пропишите вручную или выделите соответствующий столбец;
2. Х. Данные, влияние на которые нужно установить. В примере, нужно узнать, как температура влияет на количество покупателей. Поэтому выделяем ячейки в столбце «Температура».

Анализ

Нажав кнопку «ОК», отобразится результат.
Основной показатель — R-квадрат. Обозначает качество. Он равен 0,825 (82,5%). Что это означает? Зависимости, где показатель меньше 0,5 считается плохим. Поэтому в примере это хороший показатель. Y-пересечение. Число покупателей, если другие показатели равны нулю. 62,02 высокий показатель.

Как построить график квадратного уравнения в Excel

График функции имеет вид: y=ax2+bx+c. Рассмотрим диапазон значений: [-4:4].

1. Составьте таблицу как на скриншоте;
2. В третьей строке указываем коэффициенты и их значения;
3. Пятая — диапазон значений;
4. В ячейку B6 вписываем формулу =$B3*B5*B5+$D3*B5+$F3;

Копируем её на весь диапазон значений аргумента вправо. 2-4, -1<x≤2. \end {cases}$

Построение функций, содержащих модули

Здравствуйте, уважаемые посетители! В этой статье мы попробуем подробно разобраться, как построить график функции, если эта функция содержит модуль. В статье разобраны различные примеры с пошаговым построением и подробным объяснением, как получен тот или иной график.

1. Начнем с построения графика

 

В “основе” его лежит график функции

и все мы знаем, как он выглядит:

Теперь построим график

Чтобы получить этот график, достаточно всего лишь сдвинуть полученный ранее график на три единицы вправо. Заметим, что, если бы в знаменателе дроби стояло бы выражение х+3, то мы сдвинули бы график влево:

Теперь необходимо умножить на два все ординаты, чтобы получить график функции

Наконец, сдвигаем график вверх на две единицы:

Последнее, что нам осталось сделать, это построить график данной функции, если она заключена под знак модуля. Для этого отражаем симметрично вверх всю часть графика, ординаты которой отрицательны (ту часть, что лежит ниже оси х):

2. Теперь построим график функции

Выражение, стоящее под знаком модуля, меняет знак в точке х=2/3. При х<2/3 функция запишется так:

При х>2/3 функция запишется так:

То есть точка х=2/3 делит нашу координатную плоскость на две области, в одной из которых (правее) мы строим функцию

 

а в другой (левее) – график функции

Строим:

3. Следующий график – также ломаная, но имеет две точки излома, так как содержит два выражения под знаками модуля:

Посмотрим, в каких точках подмодульные выражения меняют знак:

Расставим знаки для подмодульных выражений на координатной прямой:

Раскрываем модули на первом интервале:

На втором интервале:

На третьем интервале:

Таким образом, на интервале (-∞; 1. 5] имеем график, записанный первым уравнением, на интервале [1.5; 2] – график, записанный вторым уравнением, и на интервале [2;∞) – график по третьему уравнению:

Строим:

4. Теперь можем построить  график, похожий на один из предыдущих, и все же отличающийся:

В основе опять знакомый нам график функции

но, если в знаменателе x стоит под знаком модуля,

то график имеет вид:

Теперь произведем сдвиг на три единицы,

 при этом сдвинутся обе части: правая – вправо, левая – влево (своеобразное зеркало : отходишь дальше – видно больше)

График этой функции, умноженной на два,

выглядит так:

Теперь можно поднять график по оси у:

и тогда он будет таким:

Наконец, строим окончательный вид графика, отражая все, что ниже оси абсцисс, вверх:

5.Очень интересно выглядит график функции

В точках 2 и (-2) знак подмодульного выражения меняет знак, поэтому функция состоит из трех кусков (точки 2 и (-2) выколоты). На участках  (-∞; -2) и (2; ∞) справедливо первое уравнение, а на участке (-2;2) – второе:

6. Две следующие функции отличаются знаком, и графики их выглядят по-разному:

7. Еще два похожих графика, вид которых меняется в зависимости от х в показателе степени:

Первый:

Второй:

 

8.Теперь построим график такой функции:

Здесь точкой перемены знака подмодульного выражения является х=4. Тогда на интервале (-∞; 4] функция выглядит так:

А на интервале [4; ∞)  так:

Точка вершины первой параболы (2;-12), она обращена вниз ветвями, точка вершины второй параболы (6, -20), ветви ее обращены вверх. В итоге имеем:

9. Построим график функции, которая, на первый взгляд, выглядит устрашающе:

Однако многочлен в числителе раскладывается на множители:

Точки перемен знака подмодульных выражений – 4 и (-2). Точки эти (они выколоты) разбивают числовую прямую на три интервала, на которых данная функция будет выглядеть:

На первом интервале (-∞; -2):

На втором интервале (-2;4):

На третьем интервале (4;∞):

Строим:

Внесем небольшие изменения, добавив двойку в знаменатель исходной функции:

Тогда точки перемены знака остаются те же, но функция выглядит иначе на разных интервалах:

На первом интервале (-∞; -2):

На втором интервале (-2;4):

На третьем интервале (4;∞):

График изменится:

10. Наконец, последний график мы построим для функции

Начнем построение с “базовой” для этого графика функции

она выглядит так:

Далее добавим знак модуля под корень:

Теперь опустим этот график вниз на 4 единицы по оси у:

“Опрокинем” все, что ниже оси х, вверх,

и не забудем поделить все ординаты на 2:

Функции и линейные уравнения (Алгебра 2, Как построить график функций и линейных уравнений) — Mathplanet

Если в следующем уравнении y = x + 7 присваивает значение x, уравнение даст нам значение для y.

---

Пример

$$ y = x + 7 $$

$$ если \; х = 2 \; затем

$

$$ y = 2 + 7 = 9 $$

Если бы мы присвоили другое значение x, уравнение дало бы нам другое значение y. Вместо этого мы могли бы присвоить значение y и решить уравнение, чтобы найти совпадающее значение x.

В нашем уравнении y = x + 7 у нас есть две переменные, x и y. Переменная, которой мы присваиваем значение, мы называем независимой переменной, а другая переменная является зависимой переменной, поскольку ее значение зависит от независимой переменной. В нашем примере выше x — независимая переменная, а y — зависимая переменная.

Функция — это уравнение, которое имеет только один ответ для y для каждого x. Функция назначает ровно один выход каждому входу указанного типа.

Обычно функцию называют f (x) или g (x) вместо y.f (2) означает, что мы должны найти значение нашей функции, когда x равно 2.

---

Пример

$$ f (x) = x + 7 $$

$$ если \; х = 2 \; затем

$

$$ f (2) = 2 + 7 = 9 $$

Функция линейна, если ее можно определить с помощью

$$ f (x) = mx + b $$

f (x) — значение функции.
м — уклон линии.
b — значение функции, когда x равно нулю, или координата y точки, где линия пересекает ось y в координатной плоскости.
x — значение координаты x.

Эта форма называется формой пересечения наклона. Если m (наклон) отрицательный, значение функции уменьшается с увеличением x и наоборот, если наклон положительный.

Уравнение, такое как y = x + 7 , является линейным, и существует бесконечное количество упорядоченных пар x и y, которые удовлетворяют этому уравнению.

Наклон m здесь равен 1, а наш b (точка пересечения с y) равен 7.
Наклон прямой, проходящей через точки (x1, y1) и (x2, y2), равен

$$ m = \ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} $$

$$ x_ {2} \ neq x_ {1} $$

Если двум линейным уравнениям задан один и тот же наклон, это означает, что они параллельны, а если произведение двух наклонов m1 * m2 = -1, два линейных уравнения называются перпендикулярными.

---

Видеоурок

Если x равен -1, какое значение имеет f (x), когда f (x) = 3x + 5?

Построение графиков и запись уравнений линейных функций

Результаты обучения

• Построение графика линейных функций путем построения точек, с использованием наклона и точки пересечения по оси Y, а также с использованием преобразований.
• Напишите уравнение линейной функции по ее графику.
• Сопоставьте линейные функции с их графиками.
• Найдите точку пересечения с координатой x функции, заданной ее уравнением.
• Найдите уравнения вертикальных и горизонтальных линий.
• Определите, параллельны ли прямые или перпендикулярны по их уравнениям.
• Найдите уравнения прямых, параллельных или перпендикулярных данной прямой.
• Постройте график функции абсолютного значения.
• Найдите точки пересечения функции абсолютного значения.

Теперь мы можем описать множество характеристик, которые объясняют поведение линейных функций. Мы будем использовать эту информацию, чтобы проанализировать построенную на графике линию и написать уравнение, основанное на ее наблюдаемых свойствах. Что вы можете определить об этой линейной функции, оценив график?

• начальное значение (точка пересечения оси Y)?
• одно или два очка?
• наклон?
• увеличивается или уменьшается?
• вертикальный или горизонтальный?

В этом разделе вы попрактикуетесь в написании уравнений линейных функций, используя собранную вами информацию.Мы также попрактикуемся в построении графиков линейных функций с использованием различных методов и предсказываем, как графики линейных функций изменятся при изменении частей уравнения.

[латекс] \ [/ латекс]

Графические линейные функции

Ранее мы видели, что график линейной функции представляет собой прямую линию. Мы также смогли увидеть точки функции, а также начальное значение на графике.

Есть три основных метода построения графиков линейных функций. Первый заключается в нанесении точек и последующем проведении линии через точки. Второй — с использованием точки пересечения y- и наклона. Третий — применение преобразований к тождественной функции [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].

Построение графика функции по точкам

Чтобы найти точки функции, мы можем выбрать входные значения, оценить функцию по этим входным значениям и вычислить выходные значения. Входные значения и соответствующие выходные значения образуют пары координат.Затем мы наносим пары координат на сетку. В общем, мы должны оценивать функцию как минимум на двух входах, чтобы найти как минимум две точки на графике функции. Например, учитывая функцию [latex] f \ left (x \ right) = 2x [/ latex], мы могли бы использовать входные значения 1 и 2. Оценка функции для входного значения 1 дает выходное значение 2, которое представлен точкой (1, 2). Оценка функции для входного значения 2 дает выходное значение 4, которое представлено точкой (2, 4). Часто рекомендуется выбирать три точки, потому что, если все три точки не попадают на одну линию, мы знаем, что совершили ошибку.

Как сделать: для данной линейной функции построить график с помощью точек.

1. Выберите минимум два входных значения.
2. Оценить функцию для каждого входного значения.
3. Используйте полученные выходные значения для определения пар координат.
4. Постройте пары координат на сетке.
5. Проведите линию через точки.

Пример: построение графика по точкам

График [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex] путем нанесения точек.

Показать решение

Начните с выбора входных значений. Эта функция включает дробь со знаминателем 3, поэтому давайте выберем в качестве входных значений числа, кратные 3. Мы выберем 0, 3 и 6.

Оцените функцию для каждого входного значения и используйте выходное значение для определения пар координат.

[латекс] \ begin {array} {llllll} x = 0 & & f \ left (0 \ right) = — \ frac {2} {3} \ left (0 \ right) + 5 = 5 \ Rightarrow \ left ( 0,5 \ right) \\ x = 3 & & f \ left (3 \ right) = — \ frac {2} {3} \ left (3 \ right) + 5 = 3 \ Rightarrow \ left (3,3 \ вправо) \\ x = 6 & & f \ left (6 \ right) = — \ frac {2} {3} \ left (6 \ right) + 5 = 1 \ Rightarrow \ left (6,1 \ right) \ end {array} [/ latex]

Постройте пары координат и проведите линию через точки. На приведенном ниже графике показана функция [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex].

Анализ решения

График функции представляет собой линию, как и ожидалось для линейной функции. Кроме того, график имеет наклон вниз, что указывает на отрицательный наклон. Это также ожидается от отрицательной постоянной скорости изменения уравнения для функции.

Попробуйте

График [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {3} {4} x + 6 [/ latex] путем нанесения точек.

Показать решение

Построение линейной функции с использованием точки пересечения по оси y и наклона

Другой способ построения графиков линейных функций — использование конкретных характеристик функции, а не построение точек.Первая характеристика — это точка пересечения y-, которая является точкой, в которой входное значение равно нулю. Чтобы найти точку пересечения y- , мы можем установить [latex] x = 0 [/ latex] в уравнении.

Другой характеристикой линейной функции является ее наклон, м , который является мерой ее крутизны. Напомним, что наклон — это скорость изменения функции. Наклон линейной функции равен отношению изменения выходов к изменению входов.Другой способ подумать о наклоне — разделить вертикальную разницу или подъем между любыми двумя точками на горизонтальную разницу или бег. Наклон линейной функции будет одинаковым между любыми двумя точками. Мы встретили точку пересечения y- и наклон в линейных функциях.

Рассмотрим следующую функцию.

[латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x + 1 [/ latex]

Уклон [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex]. Поскольку наклон положительный, мы знаем, что график будет наклоняться вверх слева направо.Пересечение y- — это точка на графике, когда x = 0. График пересекает ось y в точке (0, 1). Теперь мы знаем наклон и точку пересечения y . Мы можем начать построение графика с построения точки (0, 1). Мы знаем, что уклон возрастает над пробегом, [latex] m = \ frac {\ text {rise}} {\ text {run}} [/ latex]. В нашем примере [latex] m = \ frac {1} {2} [/ latex], что означает, что подъем равен 1, а диапазон равен 2. Начиная с нашего интервала y (0, 1) , мы можем подняться на 1, а затем на 2 или на 2 и затем на 1.Мы повторяем, пока не получим несколько точек, а затем проводим линию через точки, как показано ниже.

Общее примечание: графическая интерпретация линейной функции

В уравнении [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex]

• b — это пересечение графика y и указывает точку (0, b ), в которой график пересекает ось y .
• м — наклон линии и указывает вертикальное смещение (подъем) и горизонтальное смещение (пробег) между каждой последовательной парой точек.Напомним формулу уклона:

[латекс] m = \ frac {\ text {изменение вывода (подъем)}} {\ text {изменение ввода (запуск)}} = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ frac { {y} _ {2} — {y} _ {1}} {{x} _ {2} — {x} _ {1}} [/ latex]

Вопросы и ответы

Все ли линейные функции имеют точки пересечения y ?

Да. Все линейные функции пересекают ось Y и, следовательно, имеют точки пересечения по оси Y. (Примечание: Вертикальная линия, параллельная оси y, не имеет точки пересечения оси y.Имейте в виду, что вертикальная линия — единственная линия, которая не является функцией.)

Практическое руководство. Получив уравнение для линейной функции, постройте график функции, используя точку пересечения y и наклон.

1. Оцените функцию при нулевом входном значении, чтобы найти точку пересечения y-.
2. Определите уклон.
3. Постройте точку, представленную точкой пересечения y-.
4. Используйте [latex] \ frac {\ text {rise}} {\ text {run}} [/ latex], чтобы определить еще как минимум две точки на линии.
5. Проведите линию, проходящую через точки.

Пример: построение графика с использованием точки пересечения y- и наклона

График [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex] с использованием точки пересечения и наклона y- .

Показать решение

Оцените функцию при x = 0, чтобы найти точку пересечения y-. При x = 0 выходное значение равно 5, поэтому график пересекает ось y в точке (0, 5).

Согласно уравнению для функции, наклон линии равен [латекс] — \ frac {2} {3} [/ latex].Это говорит нам, что для каждого вертикального уменьшения «подъема» на [латекс] –2 [/ латекс] единиц, «пробег» увеличивается на 3 единицы в горизонтальном направлении. Теперь мы можем построить график функции, сначала построив точку пересечения и . От начального значения (0, 5) мы перемещаемся на 2 единицы вниз и на 3 единицы вправо. Мы можем продлить линию влево и вправо, повторяя, а затем провести линию через точки.

Анализ решения

График наклонен вниз слева направо, что означает, что он имеет отрицательный наклон, как и ожидалось.

Попробуйте

Найдите точку на графике, который мы нарисовали в предыдущем примере: Построение графика с помощью интервала y и угла наклона, имеющего отрицательное значение x .

Показать решение

Возможные ответы: [латекс] \ left (-3,7 \ right) [/ latex], [latex] \ left (-6,9 \ right) [/ latex] или [латекс] \ left (-9, 11 \ справа) [/ латекс].

Построение линейной функции с помощью преобразований

Другой вариант построения графиков — использовать преобразований для функции идентичности [latex] f \ left (x \ right) = x [/ latex].Функция может быть преобразована сдвигом вверх, вниз, влево или вправо. Функция также может быть преобразована с помощью отражения, растяжения или сжатия.

Вертикальное растяжение или сжатие

В уравнении [латекс] f \ left (x \ right) = mx [/ latex], m действует как вертикальное растяжение или сжатие функции идентичности. Когда м отрицательно, также наблюдается вертикальное отражение графика. Обратите внимание, что умножение уравнения [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex] на m растягивает график f на коэффициент m единиц, если m > 1, и сжимает график f с коэффициентом м единиц, если 0 < м <1. Это означает, что чем больше абсолютное значение м , тем круче уклон.

Вертикальные растяжки, сжатия и отражения на функции [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].

Вертикальный сдвиг

В [latex] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex], b действует как вертикальный сдвиг , перемещая график вверх и вниз, не влияя на наклон линии. Обратите внимание, что добавление значения b к уравнению [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex] сдвигает график f в общей сложности на b единиц вверх, если b равно положительный и | b | единиц вниз, если значение b отрицательное.

Этот график иллюстрирует вертикальные сдвиги функции [латекс] f \ влево (x \ вправо) = x [/ латекс].

Использование вертикального растяжения или сжатия вместе с вертикальным сдвигом — еще один способ взглянуть на определение различных типов линейных функций. Хотя это может быть не самый простой способ построить график функций такого типа, все же важно практиковать каждый метод.

Практическое руководство. Учитывая уравнение линейной функции, используйте преобразования для построения графика линейной функции в виде [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex].

1. График [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].
2. Растянуть или сжимать график по вертикали в м .
3. Сдвинуть график вверх или вниз. b единиц.

Пример: построение графиков с использованием преобразований

График [латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x — 3 [/ latex] с использованием преобразований.

Показать решение

Уравнение для функции показывает, что [latex] m = \ frac {1} {2} [/ latex], поэтому функция идентичности сжимается по вертикали с помощью [latex] \ frac {1} {2} [/ latex].Уравнение для функции также показывает, что [latex] b = -3 [/ latex], поэтому функция идентичности смещена по вертикали на 3 единицы.

Сначала нарисуйте функцию идентичности и покажите вертикальное сжатие.

Функция [latex] y = x [/ latex] сжата в [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex] раз.

Затем покажите вертикальный сдвиг.

Функция [latex] y = \ frac {1} {2} x [/ latex] сдвинута на 3 единицы вниз.

Попробуйте

График [латекс] f \ left (x \ right) = 4 + 2x [/ latex], с использованием преобразований.

Показать решение

Вопросы и ответы

В примере: построение графиков с использованием преобразований, могли бы мы изобразить график, изменив порядок преобразований на обратный?

Нет. Порядок преобразований соответствует порядку операций. Когда функция оценивается на заданном входе, соответствующий выход вычисляется в соответствии с порядком операций. Вот почему мы сначала выполнили сжатие. Например, следуя порядку операций, пусть на входе будет 2.

[латекс] \ begin {array} {l} f \ text {(2)} = \ frac {\ text {1}} {\ text {2}} \ text {(2)} — \ text {3} \ hfill \\ = \ text {1} — \ text {3} \ hfill \\ = — \ text {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Написание уравнений линейных функций

Ранее мы писали уравнение для линейной функции из графика. Теперь мы можем расширить наши знания о построении графиков линейных функций для более тщательного анализа графиков. Начните с просмотра графика ниже. Сразу видно, что график пересекает ось y в точке (0, 4), так что это пересечение y .

Затем мы можем рассчитать наклон, найдя подъем и пробег. Мы можем выбрать любые две точки, но давайте посмотрим на точку (–2, 0). Чтобы добраться из этой точки до точки пересечения y-, мы должны переместиться на 4 единицы вверх (подъем) и вправо на 2 единицы (бег). Итак, уклон должен быть:

[латекс] m = \ frac {\ text {rise}} {\ text {run}} = \ frac {4} {2} = 2 [/ latex]

Подстановка угла наклона и точки пересечения y- в форму линии пересечения откоса дает:

[латекс] y = 2x + 4 [/ латекс]

Практическое руководство. Учитывая график линейной функции, найдите уравнение для описания функции.

1. Найдите точку пересечения y- на графике.
2. Выберите две точки для определения наклона.
3. Замените точку пересечения y- и уклон в форму линии с пересечением уклона.

Пример: сопоставление линейных функций с их графиками

Сопоставьте каждое уравнение линейной функции с одной из линий на графике ниже.

1. [латекс] f \ left (x \ right) = 2x + 3 [/ латекс]
2. [латекс] g \ left (x \ right) = 2x — 3 [/ латекс]
3. [латекс] h \ left (x \ right) = — 2x + 3 [/ латекс]
4. [латекс] j \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x + 3 [/ latex]

Показать решение

Проанализируйте информацию по каждой функции.

1. Эта функция имеет наклон 2 и пересечение y — 3. Она должна проходить через точку (0, 3) и наклоняться вверх слева направо. Мы можем использовать две точки, чтобы найти наклон, или мы можем сравнить его с другими перечисленными функциями. Функция g имеет тот же наклон, но другую точку пересечения y- . Линии I и III имеют одинаковый уклон, потому что они имеют одинаковый уклон. Строка III не проходит через (0, 3), поэтому f должно быть представлено строкой I.
2. Эта функция также имеет наклон 2, но угол пересечения y составляет –3. Он должен проходить через точку (0, –3) и наклоняться вверх слева направо. Он должен быть представлен линией III.
3. Эта функция имеет наклон –2 и точку пересечения y- , равную 3. Это единственная функция в списке с отрицательным наклоном, поэтому она должна быть представлена ​​линией IV, потому что она наклонена вниз слева направо.
4. Эта функция имеет наклон [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] и точку пересечения y- равную 3.Он должен проходить через точку (0, 3) и наклоняться вверх слева направо. Линии I и II проходят через (0, 3), но наклон j меньше, чем наклон f , поэтому линия j должна быть более пологой. Эта функция представлена ​​линией II.

Теперь мы можем перемаркировать строки.

Нахождение перехвата x линии

До сих пор мы находили точки пересечения функций y- : точку, в которой график функции пересекает ось y . Функция может также иметь точку пересечения x , , которая является координатой x точки, в которой график функции пересекает ось x . Другими словами, это входное значение, когда выходное значение равно нулю.

Чтобы найти точку пересечения x , установите функцию f ( x ) равной нулю и найдите значение x . Например, рассмотрим показанную функцию:

[латекс] f \ left (x \ right) = 3x — 6 [/ латекс]

Установите функцию равной 0 и решите для x .

[латекс] \ begin {array} {l} 0 = 3x — 6 \ hfill \\ 6 = 3x \ hfill \\ 2 = x \ hfill \\ x = 2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

График функции пересекает ось x в точке (2, 0).

Вопросы и ответы

Все ли линейные функции имеют точки пересечения x ?

Нет. Однако линейные функции вида y = c , где c — ненулевое действительное число, являются единственными примерами линейных функций без перехвата x . Например, y = 5 — это горизонтальная линия на 5 единиц выше оси x . Эта функция не имеет x — перехватывает .

A Общее примечание: x — интервал

Перехват x функции — это значение x , где f ( x ) = 0. Его можно найти, решив уравнение 0 = mx + b .

Пример: поиск точки перехвата x

Найдите точку пересечения x [latex] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x — 3 [/ latex].

Показать решение

Установите функцию равной нулю, чтобы найти x .

[латекс] \ begin {array} {l} 0 = \ frac {1} {2} x — 3 \\ 3 = \ frac {1} {2} x \\ 6 = x \\ x = 6 \ end {array} [/ latex]

График пересекает ось x в точке (6, 0).

Анализ решения

График функции показан ниже. Мы видим, что перехват x равен (6, 0), как и ожидалось.

График линейной функции [латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x — 3 [/ latex].

Попробуйте

Найдите точку пересечения x [latex] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {4} x — 4 [/ latex].

Показать решение

[латекс] \ left (16, \ text {0} \ right) [/ latex]

Описание горизонтальных и вертикальных линий

Есть два особых случая линий на графике — горизонтальные и вертикальные линии. Горизонтальная линия указывает на постоянный выход или значение y . На графике ниже мы видим, что выход имеет значение 2 для каждого входного значения.Изменение выходных сигналов между любыми двумя точками равно 0. В формуле наклона числитель равен 0, поэтому наклон равен 0. Если мы используем м = 0 в уравнении [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex], уравнение упрощается до [latex] f \ left (x \ right) = b [/ latex]. Другими словами, значение функции постоянно. Этот график представляет функцию [латекс] f \ left (x \ right) = 2 [/ latex].

Горизонтальная линия, представляющая функцию [латекс] f \ left (x \ right) = 2 [/ latex].

Вертикальная линия указывает постоянный ввод или значение x .Мы видим, что входное значение для каждой точки на линии равно 2, но выходное значение меняется. Поскольку это входное значение отображается более чем на одно выходное значение, вертикальная линия не представляет функцию. Обратите внимание, что между любыми двумя точками изменение входных значений равно нулю. В формуле наклона знаменатель будет равен нулю, поэтому наклон вертикальной линии не определен.

Обратите внимание, что вертикальная линия имеет точку пересечения x , но не имеет точки пересечения y-, если только это не линия x = 0.Этот график представляет собой линию x = 2.

Вертикальная линия [латекс] x = 2 [/ latex], которая не представляет функции.

A Общее примечание: горизонтальные и вертикальные линии

Линии могут быть горизонтальными или вертикальными.

Горизонтальная линия — это линия, определяемая уравнением вида [латекс] f \ left (x \ right) = b [/ latex], где [latex] b [/ latex] — константа.

Вертикальная линия — это линия, определяемая уравнением вида [латекс] x = a [/ latex], где [latex] a [/ latex] — константа.

Пример: запись уравнения горизонтальной линии

Напишите уравнение линии, изображенной ниже.

Показать решение

Для любого значения x значение y равно [latex] –4 [/ latex], поэтому уравнение [latex] y = –4 [/ latex].

Пример: запись уравнения вертикальной прямой

Напишите уравнение линии, изображенной ниже.

Показать решение

Константа x — значение 7, поэтому уравнение [латекс] x = 7 [/ латекс].

Попробуйте

• Запишите уравнение функции, проходящей через точки [латекс] (2,6) [/ латекс] и [латекс] (4,4) [/ латекс] в форме пересечения наклона.
• Напишите уравнение функции, наклон которой равен 2 и проходит через точку [latex] (- 1,0) [/ latex]
• Напишите уравнение функции, наклон которой не определен.

Параллельные и перпендикулярные прямые

Две линии на графике ниже — это параллельных линий : они никогда не пересекаются.Обратите внимание, что они имеют одинаковую крутизну, что означает, что их наклоны идентичны. Единственное различие между двумя линиями — перехват y . Если бы мы сместили одну линию по вертикали в сторону пересечения и другой, они стали бы той же линией.

Параллельные линии.

Мы можем определить из их уравнений, параллельны ли две прямые, сравнив их наклон. Если уклоны одинаковые, а точки пересечения и разные, линии параллельны.Если уклоны разные, линии не параллельны.

В отличие от параллельных прямых, перпендикулярных прямых пересекаются. Их пересечение образует прямой или 90-градусный угол. Две линии ниже перпендикулярны.

Перпендикулярные линии.

Перпендикулярные линии не имеют одинакового наклона. Наклоны перпендикулярных линий определенным образом отличаются друг от друга. Наклон одной линии является обратной величиной наклона другой линии. Произведение числа на обратную единицу.Если [latex] {m} _ {1} \ text {и} {m} _ {2} [/ latex] являются отрицательными обратными друг другу, их можно перемножить, чтобы получить [latex] -1 [/ latex] .

[латекс] {m} _ {1} * {m} _ {2} = — 1 [/ латекс]

Чтобы найти обратное число, разделите 1 на число. Таким образом, обратное значение 8 равно [latex] \ frac {1} {8} [/ latex], а обратное значение [latex] \ frac {1} {8} [/ latex] равно 8. Чтобы найти обратное обратное значение, сначала найдите обратное, а затем измените знак.

Как и в случае с параллельными линиями, мы можем определить, являются ли две прямые перпендикулярными, сравнивая их наклон.Наклон каждой линии ниже обратен другой, поэтому линии перпендикулярны.

[латекс] \ begin {array} {ll} f \ left (x \ right) = \ frac {1} {4} x + 2 \ hfill & \ text {отрицательная обратная величина} \ frac {1} {4} \ text {is} -4 \ hfill \\ f \ left (x \ right) = — 4x + 3 \ hfill & \ text {отрицательная обратная величина} -4 \ text {is} \ frac {1} {4} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Произведение наклонов равно –1.

[латекс] -4 \ влево (\ frac {1} {4} \ right) = — 1 [/ латекс]

Общее примечание: параллельные и перпендикулярные линии

Две прямые являются параллельными линиями , если они не пересекаются.Наклон линий одинаковый.

[латекс] f \ left (x \ right) = {m} _ {1} x + {b} _ {1} \ text {and} g \ left (x \ right) = {m} _ {2} x + {b} _ {2} \ text {параллельны, если} {m} _ {1} = {m} _ {2} [/ latex].

Если и только если [латекс] {b} _ {1} = {b} _ {2} [/ latex] и [latex] {m} _ {1} = {m} _ {2} [/ latex] , мы говорим, что линии совпадают. Совпадающие линии — это одна и та же линия.

Две прямые — это перпендикулярных прямых , если они пересекаются под прямым углом.

[латекс] f \ left (x \ right) = {m} _ {1} x + {b} _ {1} \ text {and} g \ left (x \ right) = {m} _ {2} x + {b} _ {2} \ text {перпендикулярны, если} {m} _ {1} * {m} _ {2} = — 1, \ text {и} {m} _ {2} = — \ frac { 1} {{m} _ {1}} [/ latex].

Пример: определение параллельных и перпендикулярных линий

Для указанных ниже функций определите функции, графики которых представляют собой пару параллельных линий и пару перпендикулярных линий.

[латекс] \ begin {array} {l} f \ left (x \ right) = 2x + 3 \ hfill & \ hfill & h \ left (x \ right) = — 2x + 2 \ hfill \\ g \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x — 4 \ hfill & \ hfill & j \ left (x \ right) = 2x — 6 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Показать решение

Параллельные прямые имеют одинаковый наклон. Поскольку функции [латекс] f \ left (x \ right) = 2x + 3 [/ latex] и [latex] j \ left (x \ right) = 2x — 6 [/ latex] имеют наклон 2, они представляют собой параллельные линии.Перпендикулярные линии имеют обратный отрицательный наклон. Поскольку −2 и [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] являются обратными отрицательными числами, уравнения [latex] g \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x — 4 [ / latex] и [latex] h \ left (x \ right) = — 2x + 2 [/ latex] представляют собой перпендикулярные линии.

Анализ решения

График линий показан ниже.

График показывает, что линии [латекс] f \ left (x \ right) = 2x + 3 [/ latex] и [latex] j \ left (x \ right) = 2x — 6 [/ latex] параллельны, и линии [латекс] g \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x — 4 [/ latex] и [latex] h \ left (x \ right) = — 2x + 2 [/ latex] перпендикулярны.

Написание уравнений параллельных линий

Если мы знаем уравнение прямой, мы можем использовать то, что мы знаем о наклоне, чтобы написать уравнение прямой, параллельной или перпендикулярной данной прямой.

Предположим, нам дана следующая функция:

[латекс] f \ left (x \ right) = 3x + 1 [/ латекс]

Мы знаем, что наклон линии равен 3. Мы также знаем, что точка пересечения y- равна (0, 1). Любая другая линия с наклоном 3 будет параллельна f ( x ).Линии, образованные всеми следующими функциями, будут параллельны f ( x ).

[латекс] \ begin {array} {l} g \ left (x \ right) = 3x + 6 \ hfill \\ h \ left (x \ right) = 3x + 1 \ hfill \\ p \ left (x \ справа) = 3x + \ frac {2} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Предположим, мы хотим написать уравнение прямой, параллельной f и проходящей через точку (1, 7). Мы уже знаем, что наклон равен 3. Нам просто нужно определить, какое значение для b даст правильную линию. Мы можем начать с использования формы точечного уклона уравнения для прямой. Затем мы можем переписать его в форме пересечения наклона.

[латекс] \ begin {array} {l} y- {y} _ {1} = m \ left (x- {x} _ {1} \ right) \ hfill \\ y — 7 = 3 \ left ( x — 1 \ right) \ hfill \\ y — 7 = 3x — 3 \ hfill \\ \ text {} y = 3x + 4 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Итак, [латекс] g \ left (x \ right) = 3x + 4 [/ latex] параллелен [latex] f \ left (x \ right) = 3x + 1 [/ latex] и проходит через точку (1 , 7).

Практическое руководство. Учитывая уравнение линейной функции, напишите уравнение линии, КОТОРАЯ проходит через заданную точку и параллельна заданной линии.

1. Найдите наклон функции.
2. Подставляет уклон и заданную точку в форму «точка-уклон» или «пересечение уклона».
3. Упростить.

Пример: поиск прямой, параллельной заданной

Найдите прямую, параллельную графику [латекса] f \ left (x \ right) = 3x + 6 [/ latex], которая проходит через точку (3, 0).

Показать решение

Наклон данной линии равен 3. Если мы выберем форму пересечения наклона, мы можем заменить [латекс] m = 3 [/ латекс], [латекс] x = 3 [/ латекс] и [латекс] f (x ) = 0 [/ latex] в форму пересечения наклона, чтобы найти точку пересечения y-.

[латекс] \ begin {array} {l} g \ left (x \ right) = 3x + b \ hfill \\ \ text {} 0 = 3 \ left (3 \ right) + b \ hfill \\ \ text {} b = -9 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Линия, параллельная f ( x ), которая проходит через (3, 0), равна [latex] g \ left (x \ right) = 3x — 9 [/ latex].

Анализ решения

Мы можем подтвердить, что две линии параллельны, построив их график. На рисунке ниже показано, что две линии никогда не пересекутся.

Написание уравнений перпендикулярных прямых

Мы можем использовать очень похожий процесс, чтобы написать уравнение линии, перпендикулярной данной линии.Однако вместо того, чтобы использовать один и тот же наклон, мы используем отрицательную обратную величину заданного наклона. Предположим, нам дана следующая функция:

[латекс] f \ left (x \ right) = 2x + 4 [/ латекс]

Наклон линии равен 2, и его отрицательная обратная величина равна [латекс] — \ frac {1} {2} [/ latex]. Любая функция с наклоном [латекс] — \ frac {1} {2} [/ latex] будет перпендикулярна f ( x ). Линии, образованные всеми следующими функциями, будут перпендикулярны f ( x ).

[латекс] \ begin {array} {l} g \ left (x \ right) = — \ frac {1} {2} x + 4 \ hfill \\ h \ left (x \ right) = — \ frac { 1} {2} x + 2 \ hfill \\ p \ left (x \ right) = — \ frac {1} {2} x- \ frac {1} {2} \ hfill \ end {array} [/ latex ]

Как и раньше, мы можем сузить наш выбор для конкретной перпендикулярной линии, если мы знаем, что она проходит через данную точку. Предположим, что мы хотим написать уравнение линии, которая перпендикулярна f ( x ) и проходит через точку (4, 0). Мы уже знаем, что наклон [латекс] — \ frac {1} {2} [/ latex]. Теперь мы можем использовать точку, чтобы найти точку пересечения y , подставляя заданные значения в форму пересечения линии с наклоном и решая для b .

[латекс] \ begin {array} {l} g \ left (x \ right) = mx + b \ hfill \\ 0 = — \ frac {1} {2} \ left (4 \ right) + b \ hfill \\ 0 = -2 + b \ hfill \\ 2 = b \ hfill \\ b = 2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Уравнение для функции с наклоном [латекс] — \ frac {1} {2} [/ latex] и точкой пересечения y- , равной 2, составляет

[латекс] g \ left (x \ right) = — \ frac {1} {2} x + 2 [/ latex].

Итак, [латекс] g \ left (x \ right) = — \ frac {1} {2} x + 2 [/ latex] перпендикулярен [латексу] f \ left (x \ right) = 2x + 4 [/ латекс] и проходит через точку (4, 0). Имейте в виду, что перпендикулярные линии могут не выглядеть явно перпендикулярными на графическом калькуляторе, если мы не используем функцию квадратного масштабирования.

Вопросы и ответы

Горизонтальная линия имеет нулевой наклон, а вертикальная линия имеет неопределенный наклон. Эти две линии перпендикулярны, но произведение их наклонов не равно –1. Не противоречит ли этот факт определению перпендикулярных линий?

№Для двух перпендикулярных линейных функций произведение их наклонов равно –1. Однако вертикальная линия не является функцией, поэтому определение не противоречит.

Практическое руководство. Учитывая уравнение линейной функции, напишите уравнение линии, КОТОРАЯ проходит через заданную точку и перпендикулярна данной линии.

1. Найдите наклон заданной функции.
2. Определите отрицательную обратную величину наклона.
3. Подставьте новый наклон и значения для x и y из данной точки в [latex] g \ left (x \ right) = mx + b [/ latex].
4. Решите относительно b .
5. Напишите уравнение прямой.

Пример: поиск уравнения перпендикулярной прямой

Найдите уравнение линии, перпендикулярной [латексу] f \ left (x \ right) = 3x + 3 [/ latex], которая проходит через точку (3, 0).

Показать решение

Исходная линия имеет наклон [латекс] m = 3 [/ latex], поэтому наклон перпендикулярной линии будет обратной обратной величиной [латекс] — \ frac {1} {3} [/ latex]. Используя этот наклон и данную точку, мы можем найти уравнение для прямой.

[латекс] \ begin {array} {l} g \ left (x \ right) = — \ frac {1} {3} x + b \ hfill \\ 0 = — \ frac {1} {3} \ left (3 \ right) + b \ hfill \\ \ text {} 1 = b \ hfill \\ b = 1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Линия, перпендикулярная к f ( x ), которая проходит через (3, 0), равна [latex] g \ left (x \ right) = — \ frac {1} {3} x + 1 [/ latex] .

Анализ решения

График из двух линий показан ниже.

Попробуйте

1. Для какого пересечения по оси Y график [latex] f (x) [/ latex] будет проходить через точку [latex] (- 2,5) [/ latex]?
2. Добавьте новую функцию, которая использует уклон м , которая создаст линию, перпендикулярную функции [latex] f (x) = mx-2 [/ latex].
3. Для какого Y-пересечения новая функция будет проходить через точку [latex] (4,1) [/ latex], но при этом будет перпендикулярна [latex] f (x) [/ latex]

Показать решение

1. Когда точка пересечения оси Y равна [latex] (0,3) [/ latex], функция будет [latex] f (x) = mx + 3 [/ latex] и функция будет проходить через точку [latex] (-2,5) [/ латекс].
2. [латекс] f (x) = \ frac {-1} {m} x-2 [/ latex] например. Подойдет любое значение точки пересечения по оси Y.
3. Пересечение оси y [latex] (0, -3) [/ latex] даст линию, перпендикулярную [latex] f (x) [/ latex], которая проходит через точку [latex] (4,1) [/ латекс].

Практическое руководство. Имея две точки на линии и третью точку, напишите уравнение перпендикулярной линии, проходящей через точку.

1. Определите наклон линии, проходящей через точки.
2. Найдите отрицательное значение, обратное наклону.
3. Используйте форму наклона-пересечения или форму точки-наклона, чтобы написать уравнение, подставляя известные значения.
4. Упростить.

Пример: поиск уравнения прямой, проходящей через точку и перпендикулярной заданной прямой

Линия проходит через точки (–2, 6) и (4, 5).Найдите уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку (4, 5).

Показать решение

По двум точкам данной линии мы можем вычислить наклон этой линии.

[латекс] \ begin {array} {l} {m} _ {1} = \ frac {5–6} {4- \ left (-2 \ right)} \ hfill \\ {m} _ {1} = \ frac {-1} {6} \ hfill \\ {m} _ {1} = — \ frac {1} {6} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Найдите отрицательное значение, обратное наклону.

[латекс] \ begin {array} {l} {m} _ {2} = \ frac {-1} {- \ frac {1} {6}} \ hfill \\ {m} _ {2} = — 1 \ left (- \ frac {6} {1} \ right) \ hfill \\ {m} _ {2} = 6 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Затем мы можем найти точку пересечения y- прямой, проходящей через точку (4, 5).

[латекс] \ begin {array} {l} g \ left (x \ right) = 6x + b \ hfill \\ 5 = 6 \ left (4 \ right) + b \ hfill \\ 5 = 24 + b \ hfill \\ -19 = b \ hfill \\ b = -19 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Уравнение линии, проходящей через точку (4, 5) и перпендикулярной линии, проходящей через две заданные точки, есть [латекс] y = 6x — 19 [/ латекс].

Попробуйте

Линия проходит через точки (–2, –15) и (2, –3). Найдите уравнение перпендикулярной прямой, проходящей через точку (6, 4).

Показать решение

[латекс] y = — \ frac {1} {3} x + 6 [/ латекс]

Функции абсолютного значения

Расстояния в глубоком космосе можно измерить во всех направлениях. Таким образом, полезно рассматривать расстояние в абсолютных величинах. (кредит: «s58y» / Flickr)

До 1920-х годов считалось, что так называемые спиральные туманности представляют собой облака пыли и газа в нашей галактике на расстоянии нескольких десятков тысяч световых лет от нас. Затем астроном Эдвин Хаббл доказал, что эти объекты сами по себе являются галактиками на расстояниях в миллионы световых лет.Сегодня астрономы могут обнаруживать галактики, удаленные от нас на миллиарды световых лет. Расстояния во Вселенной можно измерить во всех направлениях. Таким образом, полезно рассматривать расстояние как функцию абсолютного значения. В этом разделе мы исследуем функций абсолютного значения .

Понимание абсолютного значения

Напомним, что в своей базовой форме [latex] \ displaystyle {f} \ left ({x} \ right) = {| x |} [/ latex], функция абсолютного значения, является одной из функций нашего набора инструментов. Абсолютное значение Функция обычно рассматривается как определение расстояния от нуля до числа на числовой прямой.Алгебраически, для любого входного значения, выход — это значение без учета знака.

A Общее примечание: функция абсолютного значения

Функция абсолютного значения может быть определена как кусочная функция

[латекс] f (x) = \ begin {cases} x, \ x \ geq 0 \\ -x, x <0 \\ \ end {cases} [/ latex]

Пример: определение числа в пределах заданного расстояния

Опишите все значения [latex] x [/ latex] в пределах или включая расстояние 4 от числа 5.

Показать решение

Мы хотим, чтобы расстояние между [latex] x [/ latex] и 5 было меньше или равно 4. Мы можем нарисовать числовую линию, чтобы обозначить условие, которое должно быть выполнено.

Расстояние от [latex] x [/ latex] до 5 может быть представлено с помощью [latex] | x — 5 | [/ latex]. Нам нужны значения [latex] x [/ latex], которые удовлетворяют условию [latex] | x — 5 | \ le 4 [/ latex].

Анализ решения

Обратите внимание, что

[латекс] \ displaystyle {-4} \ le {x — 5} [/ latex]
[латекс] \ displaystyle {1} \ le {x} [/ latex]
и:
[латекс] \ displaystyle {x -5} \ le {4} [/ latex]
[латекс] \ displaystyle {x} \ le {9} [/ latex]

Итак, [латекс] | x — 5 | \ le 4 [/ latex] равен [латексу] 1 \ le x \ le 9 [/ latex].

Однако математики обычно предпочитают запись абсолютных значений.

Попробуйте

Опишите все значения [latex] x [/ latex] на расстоянии 3 от числа 2.

Показать решение

[латекс] | x — 2 | \ le 3 [/ латекс]

Пример: сопротивление резистора

Электрические детали, такие как резисторы и конденсаторы, поставляются с указанными значениями рабочих параметров: сопротивления, емкости и т. Д. Однако из-за неточности изготовления фактические значения этих параметров несколько варьируются от детали к детали, даже если они предполагаются. быть таким же.Лучшее, что могут сделать производители, — это попытаться гарантировать, что отклонения останутся в пределах указанного диапазона, часто [latex] \ pm 1 \%, \ pm5 \%, [/ latex] или [latex] \ displaystyle \ pm10 \%. [/латекс].

Предположим, у нас есть резистор на 680 Ом, [латекс] \ pm 5 \% [/ latex]. Используйте функцию абсолютного значения, чтобы выразить диапазон возможных значений фактического сопротивления.

Показать решение

5% от 680 Ом составляет 34 Ом. Абсолютное значение разницы между фактическим и номинальным сопротивлением не должно превышать заявленную изменчивость, поэтому с сопротивлением [латекс] R [/ латекс] в Ом

[латекс] | R — 680 | \ le 34 [/ латекс]

Попробуйте

Учащиеся, набравшие в пределах 20 баллов из 80, пройдут тест.Запишите это как расстояние от 80, используя обозначение абсолютного значения.

Показать решение

Использование переменной [latex] p [/ latex] для передачи, [latex] | p — 80 | \ le 20 [/ latex].

Наиболее важной особенностью графика абсолютных значений является угловая точка, в которой график меняет направление. Эта точка отображается в исходной точке .

На графике ниже [латекс] y = 2 \ left | x — 3 \ right | +4 [/ latex]. График [латекс] y = | x | [/ latex] был сдвинут вправо на 3 единицы, растянут по вертикали в 2 раза и сдвинут на 4 единицы вверх.Это означает, что угловая точка расположена в [latex] \ left (3,4 \ right) [/ latex] для этой преобразованной функции.

Пример: написание уравнения для функции абсолютного значения

Напишите уравнение для функции, изображенной ниже.

Показать решение

Базовая функция абсолютного значения изменяет направление в начале координат, поэтому этот график был сдвинут вправо на 3 единицы и на 2 единицы вниз от базовой функции инструментария.

Мы также замечаем, что график выглядит растянутым по вертикали, потому что ширина окончательного графика на горизонтальной линии не равна двукратному расстоянию по вертикали от угла до этой линии, как это было бы для функции абсолютного значения без растяжения. Вместо этого ширина равна 1 вертикальному расстоянию.

Из этой информации мы можем написать уравнение

[латекс] \ begin {array} {l} f \ left (x \ right) = 2 \ left | x — 3 \ right | -2, \ hfill & \ text {обработка растяжения как вертикального растяжения, или} \ hfill \\ f \ left (x \ right) = \ left | 2 \ left (x — 3 \ right) \ right | -2, \ hfill & \ text {обработка растяжения как горизонтального сжатия}. \ hfill \ конец {array} [/ latex]

Анализ решения

Обратите внимание, что эти уравнения алгебраически одинаковы — растяжение для функции абсолютного значения может быть взаимозаменяемо записано как вертикальное или горизонтальное растяжение или сжатие.

Вопросы и ответы

Если бы мы не могли наблюдать растяжение функции по графикам, могли бы мы определить его алгебраически?

Да. Если мы не можем определить растяжение на основе ширины графика, мы можем вычислить коэффициент растяжения, подставив известную пару значений для [latex] x [/ latex] и [latex] f \ left (x \ справа) [/ латекс].

[латекс] f \ left (x \ right) = a | x — 3 | -2 [/ латекс]

Теперь подставляем в точку (1, 2)

[латекс] \ begin {array} {l} 2 = a | 1 — 3 | -2 \ hfill \\ 4 = 2a \ hfill \\ a = 2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Попробуйте

Напишите уравнение для функции абсолютного значения, которая сдвигается по горизонтали на 2 единицы влево, переворачивается по вертикали и смещается по вертикали на 3 единицы.

Показать решение

[латекс] f \ left (x \ right) = — | x + 2 | +3 \\ [/ латекс]

Вопросы и ответы

Всегда ли графики функций абсолютных значений пересекают вертикальную ось? Горизонтальная ось?

Да, они всегда пересекают вертикальную ось. График функции абсолютного значения будет пересекать вертикальную ось, когда вход равен нулю.

Нет, они не всегда пересекают горизонтальную ось. График может пересекать или не пересекать горизонтальную ось в зависимости от того, как график был смещен и отражен. Функция абсолютного значения может пересекать горизонтальную ось в нуле, одной или двух точках.

(a) Функция абсолютного значения не пересекает горизонтальную ось. (b) Функция абсолютного значения пересекает горизонтальную ось в одной точке. (c) Функция абсолютного значения пересекает горизонтальную ось в двух точках.

Найдите точки пересечения функции абсолютного значения

Знать, как решать задачи, связанные с функциями абсолютного значения. полезно.Например, нам может потребоваться определить числа или точки на линии, которые находятся на заданном расстоянии от заданной контрольной точки.

Как: по формуле для функции абсолютного значения найдите горизонтальные пересечения ее графика.

1. Выделите член абсолютного значения.
2. Используйте [latex] | A | = B [/ latex] для записи [latex] A = B [/ latex] или [latex] \ mathrm {-A} = B [/ latex], предполагая, что [latex] B> 0 [/латекс].
3. Решите для [латекс] х [/ латекс].

Пример: поиск нулей функции абсолютного значения

Для функции [latex] f \ left (x \ right) = | 4x + 1 | -7 [/ latex] найдите такие значения [latex] x [/ latex], что [latex] \ text {} f \ left (x \ right) = 0 [/ латекс].

Показать решение

[латекс] \ begin {array} {l} 0 = | 4x + 1 | -7 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text {Заменить 0 на} f \ left ( x \ right). \ hfill \\ 7 = | 4x + 1 | \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text {Изолировать абсолютное значение на одной стороне уравнения}. \ hfill \\ \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ 7 = 4x + 1 \ hfill & \ text {или} \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & -7 = 4x + 1 \ hfill & \ text {Разделите на два отдельных уравнения и решите}.\ hfill \\ 6 = 4x \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & -8 = 4x \ hfill & \ hfill \\ \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ x = \ frac {6} {4} = 1. 5 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text {} x = \ frac {-8} {4} = — 2 \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

Функция возвращает 0, если [латекс] x = 1,5 [/ латекс] или [латекс] x = -2 [/ латекс].

Попробуйте

Для функции [latex] f \ left (x \ right) = | 2x — 1 | -3 [/ latex] найдите такие значения [latex] x [/ latex], что [latex] f \ left (x \ right) = 0 [/ латекс].

Показать решение

[латекс] x = -1 [/ latex] или [латекс] x = 2 [/ latex]

Ключевые понятия

• Линейные функции могут быть построены на графике путем нанесения точек или с использованием точки пересечения y и наклона.
• Графики линейных функций можно преобразовать, сдвигая график вверх, вниз, влево или вправо, а также используя растяжения, сжатия и отражения.
• Пересечение y и наклон линии можно использовать для записи уравнения линии.
• Пересечение x — это точка, в которой график линейной функции пересекает ось x .
• Горизонтальные линии записываются в виде [латекс] f (x) = b [/ latex].
• Вертикальные линии записываются в виде [латекс] x = b [/ латекс].
• Параллельные прямые имеют одинаковый наклон.
• Перпендикулярные линии имеют отрицательный обратный наклон, если ни один из них не является вертикальным.
• Линия, параллельная другой линии, проходящая через данную точку, может быть найдена путем подстановки значения наклона этой линии и значений x и y данной точки в уравнение [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex] и используя b , что дает.Точно так же можно использовать форму уравнения «точка-наклон».
• Линия, перпендикулярная другой линии, проходящая через данную точку, может быть найдена таким же образом, за исключением использования отрицательного обратного наклона.
• Функция абсолютного значения обычно используется для измерения расстояний между точками.
• Прикладные задачи, такие как диапазоны возможных значений, также могут быть решены с помощью функции абсолютного значения.
• График функции абсолютного значения напоминает букву V.У него есть угловая точка, в которой график меняет направление.
• В уравнении абсолютного значения неизвестная переменная является входом функции абсолютного значения.
• Если абсолютное значение выражения установлено равным положительному числу, ожидайте два решения для неизвестной переменной.
• Уравнение абсолютного значения может иметь одно решение, два решения или не иметь решений.
• Неравенство абсолютного значения аналогично уравнению абсолютного значения, но принимает форму [latex] | A | B, \ text {или} | A | \ ge B [ /латекс].Ее можно решить, определив границы набора решений и затем проверив, какие сегменты входят в набор.
• Неравенства абсолютных значений также могут быть решены графически.

Глоссарий

уравнение абсолютного значения

уравнение вида [латекс] | A | = B [/ латекс], где [латекс] B \ ge 0 [/ латекс]; у него будут решения, когда [латекс] A = B [/ latex] или [latex] -A = B [/ latex]

неравенство по абсолютной величине

отношение в форме [латекс] | {A} | <{B}, | {A} | \ le {B}, | {A} |> {B}, \ text {или} | {A} | \ ge {B} [/ latex]

горизонтальная линия

строка, определяемая как [латекс] f \ left (x \ right) = b [/ latex], где b — действительное число. Наклон горизонтальной линии 0.

параллельных линий

две или более линий с одинаковым уклоном

перпендикулярные линии

две линии, пересекающиеся под прямым углом и имеющие отрицательные значения, обратные друг другу

вертикальная линия

строка, определяемая как [latex] x = a [/ latex], где a — действительное число. Наклон вертикальной линии не определен.

x — интервал

точка на графике линейной функции, когда выходное значение равно 0; точка, в которой график пересекает горизонтальную ось

Узнайте, как построить график правила функции, график входов (x) и выходов (y)

В этом видео мы узнаем, как построить график функции. Чтобы построить график функции, вы должны выбрать значения x и вставить их в уравнение.Как только вы подставите эти значения в уравнение, вы получите значение y . Ваши значения x и y составляют ваши координаты для одной точки. Продолжайте вводить значения x, чтобы получить координаты для построения большего количества точек на графике, и тогда вы увидите свою графическую функцию, как только точки будут соединены. Обязательно пометьте свой график. После того, как вы закончите этот урок, просмотрите все наши уроки Алгебры 1 и попрактикуйтесь.

Пример построения графика функции-правила

Эти координаты будут выглядеть так:
и

Стенограмма видеоурока

Пример 1

Давайте выберем значения x, а затем решим соответствующие им значения y.

У нас есть значения x как.

Наша функция.

Итак, давайте заменим значения, чтобы получить значения.

А теперь нарисуем координаты.

Пример 2

Давайте выберем значения x, а затем решим соответствующие им значения y.

У нас есть значения x как.

Наша функция.

Итак, давайте заменим значения, чтобы получить значения.

А теперь нарисуем координаты.

Давайте рассмотрим график функции-правила.

Например:

Давайте выберем значения и решим соответствующие им значения.

У нас есть значения as.

Наша функция.

Итак, давайте заменим значения, чтобы получить значения.

Если

, затем

т.

Если

, затем

т.

Если

, затем

т.

Если

, затем

так

Если

, затем

так

Если

, затем

т.

И, наконец, если

, затем

так

Так что давайте также напишем наши координаты и

Теперь давайте изобразим это.

После соединения точек важно поставить стрелки на обоих концах отрезка линии.

Потому что мы знаем, что эти точки являются точками функции. Но дело не только в этом.

Функция может перемещаться на обоих концах, обозначенных стрелками.

А затем пометьте график.

Function Plot — 2d-функциональный плоттер на базе d3

Function Plot — 2d-функциональный плоттер на d3

Function Plot — это библиотека построения графиков, построенная на основе D3.2 $)

В настоящее время библиотека поддерживает интерактивные линейные диаграммы и диаграммы рассеяния, при изменении масштаба графика функция снова оценивается с помощью новые границы, результат: бесконечные графы!

Функциональная диаграмма в отличие от других плоттеров, в которых используются $ n $ точки с равным интервалом, соединенные отрезками линии использует интервальную арифметику для правильно определять участки экрана, которые необходимо построить с помощью нескольких образцов

У большинства наивных плоттеров будут проблемы с построением слишком быстрых функций, например, $ f (x) = sin (e ^ x) $ быстро колеблется, когда $ x> 5 $, независимо от того, сколько раз функция оценивается, мы никогда не сможем правильно отобразить эту функцию

График функции вместо этого будет оценивать функцию, используя математические интервалы, что означает, что когда прямоугольник, границы которого $ x $ равны $ [x_i, x_ {i + 1}] $, появляется на экране, это гарантирует, что он содержит все возможные $ f (\ xi) $ для $ \ xi \ in [x_i, x_ {i + 1}] $, результат: pixel perfect представление кривых

Установка и API

 
      npm я функция-график
      

 
      import functionPlot из 'function-plot'
      functionPlot ({
        //. .опции
      })
      

---

Старый способ:

Ознакомьтесь с документами, созданными с помощью TypeDocs API Docs

Примеры

Ознакомьтесь с дополнительными примерами в этом блокноте ObservableHQ!

А также в моем блоге!

Рецепты

способов определить, является ли что-то функцией.

Обновлено 2 ноября 2020 г.3 — 1

— это функции, потому что каждое значение x дает другое значение y . В графических терминах функция — это отношение, в котором первые числа в упорядоченной паре имеют одно и только одно значение в качестве второго числа, другой части упорядоченной пары.

Проверка упорядоченных пар

Упорядоченная пара — это точка на координатном графике x — y со значениями x и y. Например, (2, −2) — это упорядоченная пара с 2 в качестве значения x и −2 в качестве значения y .При наличии набора упорядоченных пар убедитесь, что ни одно значение x не имеет более одного парного значения y . Когда задан набор упорядоченных пар [(2, −2), (4, −5), (6, −8), (2, 0)], вы знаете, что это не функция, потому что x -Значение — в данном случае — 2, имеет более одного значения y . Однако этот набор упорядоченных пар [(−2, 4), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)] является функцией, потому что y -value может иметь более одного соответствующего значения x .

Решение для Y

Относительно легко определить, является ли уравнение функцией, решив для y . Когда вам задают уравнение и конкретное значение для x , должно быть только одно соответствующее значение y для этого значения x . Например,

y = x + 1

— это функция, потому что y всегда будет на единицу больше x . Уравнения с показателями также могут быть функциями.2 = 9

имеет два возможных ответа (3 и −3).

Тест вертикальной линии

Определить, является ли отношение функцией на графике, относительно легко с помощью теста вертикальной линии. Если вертикальная линия пересекает отношение на графике только один раз во всех местах, отношение является функцией. Однако, если вертикальная линия пересекает отношение более одного раза, отношение не является функцией. При использовании теста вертикальной линии все линии, кроме вертикальных, являются функциями. Круги, квадраты и другие замкнутые формы не являются функциями, но параболические и экспоненциальные кривые — это функции.

Использование диаграммы ввода-вывода

Диаграмма ввода-вывода отображает вывод или результат для каждого ввода или исходного значения. Любая диаграмма ввода-вывода, в которой вход имеет два или более разных выхода, не является функцией. Например, если вы видите число 6 в двух разных входных пространствах, а на выходе получается 3 в одном случае и 9 в другом, отношение не является функцией. Однако, если два разных входа имеют одинаковый выход, все еще возможно, что отношение является функцией, особенно если задействованы квадратные числа.

Графические уравнения, система уравнений с программой «Пошаговое математическое решение задач»

Описание

Команда plot генерирует график практически любой функции или отношения, обнаруживаемого в математике средней школы и колледжа. Он будет отображать функции, заданные в форме y = f (x), например y = x ² или y = 3x + 1, а также отношения вида f (x, y) = g (x, y) , например x ² + y ² = 4.

Чтобы использовать команду построения графика, просто перейдите к основному страницу графика, введите свое уравнение (в терминах x и y), введите набор значения x и y, для которых должен быть построен график, и нажмите «График» кнопка. 2 от x = 0 до x = 2, y = 0 до y = 3, показывающий линии сетки, но без галочки.2 = 1 от x = -2 до x = 2, y = -1,8 до y = 1,8

Параметры (только расширенная страница)

Деления

Значения: отмечен или не установлен
По умолчанию: установлен

Если установлен флажок Отметки, оси на графике будут отображать отметки и числовые шкалы.

---

Линии сетки

Значения: отмечен или не отмечен
По умолчанию: не установлен

Если установлен флажок Линии сетки, на график будет наложена синяя сетка.

---

Оси

Значения: Нет или Автоматическая исходная точка или Исходная точка в (#, #)
По умолчанию: Автоматическая исходная точка

Параметр «Оси» управляет внешним видом и расположением осей на графике. Если установлен флажок «Нет», оси вообще отображаться не будут. Когда установлен флажок «Автоматическое начало координат», будут отображаться оси. Две оси обычно пересекаются в точке (0,0), но иногда эта точка пересечения может быть расположена в другом месте. Когда установлен флажок «Исходная точка в (#, #)» и вводится точка, оси будут отображаться, и их точка пересечения будет принудительно находиться в указанной точке.

---

Соотношение сторон

Значения: Один к одному или Золотое сечение или #: #
По умолчанию: Один к одному

Параметр Соотношение сторон управляет отношением высоты графика к его ширине. Когда установлен флажок «Один к одному», соотношение составляет 1: 1, и масштабы на двух осях будут идентичными. Это гарантирует, что круги, например, действительно будут отображаться на экране круглыми. Когда выбрано золотое сечение, соотношение сторон составляет 1: 1 / г, где g — золотое сечение (приблизительно 1.6180). Это якобы дает соотношение высоты к ширине, которое особенно «приятно» для глаз. Когда выбрано #: # и введены два значения, будет применяться указанное соотношение сторон. Это полезно, если сюжет сильно сжат в одном или другом направлении и его необходимо «растянуть», чтобы сделать его более четким.

Уравнений и графиков

Уравнений и графиков

Обзор: В этом модуле мы рассматриваем основы интерпретации и подготовки графических данных, а также графическое сложение векторов.

Навыков:

• Определение наклонов и пересечений по оси Y из графиков
• Оценка конкретных значений данных по графикам

---

В науке много раз необходимо уметь интерпретировать графики а также уметь строить графики некоторых уравнений. Часто данные доступны в графическом формате, и вы должен уметь извлекать необходимую информацию. В других случаях может быть полезно построить уравнение в чтобы полностью понять проблему.Однако для некоторых студентов построение графиков может быть затруднено. Формат в этот раздел немного отличается. Первая часть просто покажет, как выглядят некоторые специальные уравнения. например, в графической форме, а вторая часть будет представлять собой серию вопросов, которые помогут вам лучше понять графики.

На этом графике изображена прямая линия, и соответствующее уравнение имеет вид y = mx + b. Y — значение y (расстояние по оси y, которая является вертикальной ось), а x — значение x (расстояние по оси x, которое является Горизонтальная ось).Наклон линии равен м, что также является подъемом / спуском. или Dx / Dy. В y-точка пересечения линии равна b. Это значение y, где линия пересекает ось Y (когда x = 0). На графике здесь наклон равен 1, а b равно +2. Обратите внимание, что линия пересекает каждую ось только один раз (максимум).

Этот график представляет собой квадратичную функцию, которая равна y = ax 2 + bx + c. Параметры a, b и c являются постоянными. На этом графике фактические уравнение y = 2x 2 + 3x — 2. Обратите внимание, что на этом графике функция пересекает ось Y один раз и ось X дважды. Это нужно сделать с тем фактом, что x возведен в квадрат в уравнении, а y — нет. Функция пересекает ось (до) столько же раз, сколько мощность этого ценность. На этом графике x возведен в квадрат, поэтому линия пересекает ось x до два раза.

На этом графике показано кубическое уравнение, которое математически выражается как y = ax 3 + bx 2 + cx + d. Для этой конкретной функции y = x 3 + 2 x 2 — 2 x — 3. Поскольку x повышается до в третьей степени функция пересекает ось абсцисс 3 раза. Он пересекает Однако по оси Y только один раз.

Это график журнала.Обратите внимание, что ось абсцисс сильно отличается от другой. графики. На этом графике, если мы посмотрим на ось Y, мы увидим, что расстояние от 1 до 10 то же самое, что и от 10 до 100. Но мы знаем, что диапазон от 10 до 100 представляет гораздо больший диапазон значений x, чем этот от 1 до 10. Это свойство бревенчатой ​​делянки. Обязательно посмотрите на ось на графике журнала (а также на всех графиках), чтобы точно понять что пытается показать график.

Чтобы ответить на следующие вопросы, вам необходимо хорошо разбираться в предыдущих предметах. в учебнике.

1.	Справа показано движение частицы. Используйте информацию, чтобы ответьте на следующие вопросы. а. Как далеко переместилась частица за 4 с? Ответ г. Сколько времени нужно, чтобы частица переместилась на 6 м? Ответ г. Какова скорость частицы? Ответ
2.	Другая частица движется по траектории, описанной на графике справа. а. Сколько времени нужно, чтобы частица переместилась на 16 м от исходного положения? Ответ г. Как далеко перемещается частица за первые 5 с? Ответ г. Частица ускоряется? Ответ
3.	Мяч падает с вершины здания, и его падение отображается на график справа. а. Мяч ускоряется? Ответ г. Какая скорость при 1 с? Ответ г. Сколько времени нужно, чтобы мяч достиг скорости 49 м / с? Ответ г. Что происходит с потенциальной энергией мяча, когда он падает? Ответ
4.	а. Сколько раз следующая функция пересекает ось y? 5лет 6 + 7лет 3 + 5x 4 — 2x 2 = 0? Ответ г. Сколько раз оно пересечет ось x для того же уравнения? Ответ

---

Резюме

В этом модуле мы рассмотрели основные навыки, необходимые для устного перевода данные представлены в графическом формате. Интерпретация графических данных — рутина навыки, используемые практикующими учеными, врачами и инженерами. Вы будете развивать эти навыки в вашей конкретной дисциплине в Вашингтонском университете.