Как чертить графики функций: Построить график функции | Онлайн калькулятор

Maxima — Руководства

Впервые было опубликовано в «Linux Format» №11 (85), ноябрь 2006 г.

«А рисовать вы тоже умеете?» — «Рисовать? Кого-нибудь привлечем»

Как мы уже говорили в прошлый раз, количество различных функций в Maxima разработчики постарались свести к минимуму, а широту размаха каждой конкретной функции, соответственно, к максимуму. Соблюдается эта тенденция и в функциях построения графиков: основных таких функций всего две, с очевидными, как всегда, названиями — plot2d и plot3d (одно из значений слова plot — график, а аббревиатуры 2d и 3d переводятся как двумерный и трехмерный). Если говорить точнее, возможности графической отрисовки не встроены в Maxima, а реализованы посредством внешних программ, в чем и прослеживается пресловутый Unix-way: «одна задача — одна программа». По умолчанию, построением графиков занимается gnuplot

Теперь кратко — о возможностях. Начнем с plot2d. Кратчайший вариант ее вызова такой: plot2d(выражение, [символ, начало, конец]), где выражение задает функцию, график которой нужно построить, символ — неизвестное (он, понятное дело, должен быть единственным неопределенным символом, входящим в выражение), а начало и конец задают отрезок оси Х для построения графика; участок по оси Y в таком варианте записи выбирается автоматически, исходя из минимума и максимума функции на заданном промежутке.

После вызова функции plot2d в таком варианте откроется окно gnuplot, в котором будет отображен затребованный график. Никакой интерактивной работы с полученным изображением gnuplot не предусматривает, кроме автоматического его масштабирования при изменении размеров окна. Насмотревшись вдоволь, можно закрыть окно с графиком клавишей Q, либо, в случае работы с Maxima в редакторе TeXmacs или wxMaxima, просто переключиться обратно в интерфейс, оставив окно

В некоторых случаях автоматический подбор отображаемого участка вертикальной оси может нас не устроить. Например, он работает не очень хорошо, если функция имеет на заданном промежутке точку разрыва, хотя бы один из односторонних пределов в которой равен бесконечности: тогда промежуток по оси Y будет выбран слишком большим. Да и в других случаях может понадобиться изменить умолчательное поведение. Для этого предусмотрен такой вариант вызова функции: plot2d(выражение, [символ, начало, конец], [y, начало, конец]). Здесь буква y используется в качестве обозначения вертикальной оси, а остальные два параметра имеют тот же смысл, что и выше.

Чтобы построить на одной и той же картинке одновременно два графика (или больше), просто передайте функции plot2d вместо отдельного выражения их список:

Здесь [x, 0.01, 5] вместо [x, 0, 5] я написал «по привычке» — Maxima 5.9.x выдавала ошибку, если заданная функция была не определена на одном из концов интервала. В 5.10.0 мне эту ошибку воспроизвести не удалось; так что есть основания полагать, что поведение в таких случаях поправили.

Может plot2d строить и графики параметрически заданных функций. Для этого используется список с ключевым словом parametric: plot2d([parametric, x-выражение, y-выражение, [переменная, начало, конец], [nticks, количество]]). Здесь x-выражение и y-выражение задают зависимость координат от параметра, то есть, по сути, это две функции вида x(t), y(t), где t — переменная параметризации. Эта же переменная должна фигурировать в следующем аргументе-списке, а параметры начало, конец, как и в двух других рассмотренных случаях, задают отрезок, в пределах которого этот параметр будет изменяться. Последний аргумент-список, с ключевым словом nticks, задает количество кусочков, на которые будет разбит интервал изменения параметра при построении графика. Этот аргумент опционален, но на практике он нужен почти всегда: умолчательное значение

Кроме parametric, функция plot2d понимает еще одно ключевое слово: discrete. Предназначено оно, как нетрудно догадаться, для отображения на плоскости дискретных множеств; точнее говоря, конечных наборов точек. По записи аргументов такой вариант распадается еще на два: plot2d([discrete, x-список, y-список]) и plot2d([discrete, [x, y]-список]). В первом варианте координаты задаются как два отдельных списка

Если мы, к примеру, имеем набор статистических значений, зависящих от номера, мы можем отобразить его, задав в качестве x-координат сами эти номера, то есть натуральные числа:

По умолчанию множество отображается в виде ломаной с вершинами в заданных точках; такое поведение можно изменить и получить вывод, к примеру, в виде отдельных точек. Это достигается использованием специальных опций, применимых как к plot2d, так и к plot3d, поэтому давайте перейдем к рассмотрению последней.

Придаем объем

Функция plot3d имеет два варианта вызова: один для явного задания функции и один для параметрического. В обоих случаях функция принимает три аргумента. Для явно заданной функции:

Построение нескольких поверхностей на одном графике не поддерживается — потому, вероятно, что на таком рисунке проблематично было бы что-либо разглядеть. Посему для параметрически заданной функции ключевое слово parametric не требуется: вызов с первым аргументом-списком уже не с чем перепутать. График параметрически заданной функции строится так: plot3d([выражение1, выражение2, выражение3], [переменная1, начало, конец], [переменная2, начало, конец]), где выражения отвечают, по порядку, x(u, v), y(

С помощью параметрической формы можно строить и пространственные кривые. Для этого просто нужно задать второй, фиктивный, параметр, чтобы Maxima не ругалась на неправильный синтаксис вызова функции:

И отсюда мы плавно переходим к опциям функций построения графиков, посредством использованной выше опции grid. Каждая опция имеет некоторое умолчательное значение, а изменить его можно, добавив к аргументам список вида [имя-опции, значение]. Строго говоря, рассмотренные выше y и nticks также являются опциями; в предпоследнем примере мы задали опции nticks значение 120, а в примере перед ним в качестве значения опции y использовалась пара чисел 0, 5. В документации к Maxima символ

С претензией на красоту

Первая опция, которую мы рассмотрим, задает формат вывода результата; так она и называется: plot_format. Формат может принимать одно из четырех значений, первое из которых действует по умолчанию: gnuplot, mgnuplot, openmath и ps. В умолчательном варианте (значение gnuplot) данные для отображения передаются напрямую программе gnuplot, которая сама по себе имеет достаточно гибкое управление, и параметры ей можно передавать прямо из Maxima с помощью дополнительных опций функций plot2d/3d. Параметров этих настолько много, что gnuplot могла бы стать темой отдельной статьи; так что обращайтесь за ними к документации по gnuplot. В противовес своим богатым возможностям, gnuplot имеет перед следующими двумя интерфейсами (если откровенно — скорее, лишь перед одним из них) только один недостаток: она генерирует статичное изображение, тогда как mgnuplot и openmath позволяют в реальном времени масштабировать и передвигать картинку, а plot3d — еще и вращать линию или поверхность в разные стороны в пространстве.

Следующий вариант — mgnuplot — является дополнительным интерфейсом к gnuplot, написанным на Tcl/Tk, но динамика у него настолько «задумчивая», а остальные возможности настолько бедны, что я не вижу смысла останавливаться на нем подробнее.

И перехожу сразу к openmath. Он тоже не очень-то поддается управлению, зато предоставляет хорошую интерактивность, особенно ценную в трехмерном варианте: после того, как объект сгенерирован, его можно масштабировать и очень динамично вращать, разглядывая со всех сторон. Особенно это помогает для сложных поверхностей, когда, глядя на статичную «сетку» gnuplot, непросто понять форму поверхности. Справедливости ради нужно отметить, что gnuplot позволяет задавать точку обзора трехмерного объекта в качестве одного из многочисленных параметров, то есть хотя картинка и статична, но с какой стороны на нее смотреть, мы можем указать произвольно.

Ну и последнее значение опции plot_format подталкивает Maxima к непосредственной генерации PostScript-документа с изображением. Но и здесь надо сказать: генерировать PostScript-вывод умеет и все тот же gnuplot.

Большинство остальных опций относятся только к формату вывода gnuplot. А мы рассмотрим еще одну универсальную, пригодную для всех форматов и преобразующую не результирующее изображение, а сам процесс построения графика; точнее, систему координат. Называется эта опция transform_xy, по умолчанию она равна false. Передавать ей нужно выражение, сгенерированное функцией make_transform([x, y, z], f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, z)). Кроме того, существует одно встроенное преобразование, известное как polar_xy и соответствующее make_transform([r, th, z], r*cos(th), r*sin(th), z), то есть переходу к полярной цилиндрической системе координат. В качестве примера использования transform_xy приведу преобразование к полярным сферическим координатам, раз уж во встроенном виде его нет:

Обратите внимание: в первом аргументе-списке к make_transform последним должен идти зависимый символ, то есть тот, который будет выступать функцией от двух других.

Если вам нужно постоянно работать со сферическими координатами, можете задать, скажем, spherical_xy:make_transform([t, f, r], r*sin(f)*sin(t), r*cos(f)*sin(t), r*cos(t)), и затем при построении графиков писать [transform_xy, spherical_xy]. Ветвитесь и повторяйтесь До сих пор мы двигались только по прямой, а теперь поговорим о средствах «изменения траектории»: условном операторе и циклах.

Начнем с условия. В Maxima, в отличие от большинства «традиционных» процедурных и объектных языков программирования, где существует так называемый условный оператор, привычная связка if—then—else является не синтаксической конструкцией, а самым настоящим оператором. По своему действию он больше всего похож на тернарный оператор языка C, только с более «человеческим» синтаксисом: if условие then выражение1 else выражение2. При выполнении «условия» из двух «выражений» вычисляется только первое и возвращается как результат оператора; в противном случае выполняется только второе и оно же является значением всего выражения if—then—else. Часть конструкции else выражение2, как и в большинстве языков программирования, опциональна. Если ее нет, а условие все-таки не выполнилось, результат оператора if будет равен false.

При этом, конечно же, никто вам не мешает использовать этот оператор как обычную условную конструкцию, а возвращаемое значение просто игнорировать. С другой стороны, оператор if можно применять, например, для задания рекурсивных последовательностей:

Немного о самих условиях, которые могут проверяться оператором if. Условия >, <, >=, <= записываются и расшифровываются традиционно, так же как и логические операторы and, or, not. А вот о равенствах-неравенствах нужно сказать пару слов. Равенство в Maxima есть двух видов: синтаксическое и логическое. Знаком = обозначается как раз первое, а второе вычисляется с помощью функции equal(). Чтобы не быть многословными, отличие синтаксического равенства от логического продемонстрируем на примере; здесь дополнительно используется предикат по имени is, которые проверяет на истинность свой аргумент.

Ну и неравенств, соответственно, тоже существует два, с тем же смыслом. Синтаксическое неравенство обозначается достаточно непривычно — через #; видимо, этот символ разработчики сочли наиболее визуально схожим со знаком ≠. Ну а логическое неравенство обозначено через notequal().

Конечно, кроме упомянутых сравнений в условном операторе можно использовать любые предикаты, то есть функции, возвращающие логические значения true/false. Функций таких достаточно много, но все они достаточно просты, поэтому не буду тратить время на их описание: его можно почерпнуть в том же объеме из документации.

Напоследок перейдем к циклам. Цикл в Maxima будто бы тоже один. Но он имеет столько различных вариантов, что назвать это все одним оператором цикла язык не поворачивается. Вот как выглядят основные разновидности:

• for переменная:начало step шаг thru конец do выражение
• for переменная:начало step шаг while условие do выражение
• for переменная:начало step шаг unless условие do выражение

Первый прокручивает цикл, изменяя переменную с заданным шагом от начала до конца; второй — от начала и пока выполняется условие; третий — наоборот, пока условие не выполняется. К примеру, мы можем получить список из первых десяти членов последовательности из позапрошлого примера:

Как видите, в качестве оператора цикл в простейшем его виде, в отличие от условия, использовать смысла нет, так как его возвращаемое значение всегда равно done. В этом примере один из элементов циклического оператора не указан; шаг, как видите, может быть опущен и по умолчанию равен единице. Самое интересное в этом операторе то, что опустить позволяется любую его часть, кроме do; и в том числе в любых комбинациях. К примеру, опустив кроме step еще и for, мы получаем из этого же оператора традиционные циклы while и unless (второй и третий варианты). А проделав то же самое с первым вариантом записи, получим цикл без счетчика вида thru число do выражение, который просто повторится заданное число раз. Можно, наоборот, опустить условие окончания и получить цикл с индексной переменной, но бесконечный. А оставив только do, получим самый простой вариант бесконечного цикла. Из таких бесконечных циклов можно выйти с помощью оператора return(выражение) (точнее, конечно, конструкции из двух операторов вида if условие then return(выражение)), который прервет выполнение цикла и вместо done вернет заданное выражение. Естественно, оператор return() можно применять во всех видах циклов, а не только в бесконечных.

Но и это еще не все. Кроме всех уже рассмотренных вариаций, цикл может принимать еще две ипостаси. Во-первых, вместо step может использоваться конструкция next выражение, смысл которой лучше тоже продемонстрировать на примере

После next может стоять любое вычислимое выражение относительно индекса цикла, и применяться эта конструкция может во всех трех вариантах цикла (thru/while/unless).

А «во-вторых» — это еще один отдельный вариант цикла: for переменная in список do выражение; либо расширенная форма: for переменная in список условие do выражение. Здесь цикл будет прокручен с переменной, изменяющейся по всем элементам списка; плюс можно задать еще и дополнительное условие на прерывание цикла. Вот теперь мы с циклами действительно закончили. Как видите, все достаточно разнообразно. Я, признаться, ничего, что здесь не реализовано, и придумать не смог.

Но рассказ о циклах и условном операторе остается неполным, пока я не рассказал о группировке выражений — ведь в обычном варианте после then или do можно написать всего одно из них. А группировка, или, как ее принято называть, составной оператор, в Maxima — это опять-таки самый настоящий оператор, который тоже, как и положено оператору, возвращает некоторое значение. Обозначается он скобками, самыми что ни на есть круглыми и обыкновенными; а разделяются сгруппированные операторы/выражения внутри этих скобок не менее обыкновенными запятыми. Возвращаемым значением составного оператора является последнее вычисленное выражение.

С условным оператором, столь разнообразными циклами и составным оператором мы уже можем, комбинируя их между собой и с любыми другими функциями и выражениями Maxima, писать полноценные программы с использованием богатого символьного математического аппарата. Естественно, теперь нам захочется сохранять эти программы в виде внешних файлов, чтобы не набирать их каждый раз вручную, а подгружать одной короткой командой. Об этом, а также о математических аналогах объявления переменных — в завершающей статье цикла.

Мы также поговорим о математических аналогах объявления переменных и рассмотрим практические примеры с применением уже достаточно богатого известного нам инструментария.

как построить – сложное простыми словами — ЕГЭ/ОГЭ

График модуля, как построить – очень просто. Особенно, если знать несколько закономерностей. О них расскажу в статье. С помощью них вы поймете как построить график модуля легко и играючи. Без поиска пробных точек.

На самом деле построение графиков функций с модулями – это удовольствие. Раньше они вызывали у вас в лучшем случае пренебрежение? Забудьте – после прочтения статьи вы будете первым по скорости построения графика.

Построение различных видов графиков, содержащих модуль:

• Воландеморт среди модулей

• Как калькулятор может помочь при построении графика?

• Как построить график модуля и одновременно решить уравнение

• Война среди модулей

Господа, перед тем, как мы приступим к светской беседе с модулем. (В которой отдадим дань уважения каждому его виду). Я бы хотел обратить ваше внимание, что модуль никогда не бывает отрицательным. Отсюда и все особенности его графика.

Подмечайте фишки каждой функции, но главное – держите в голове его «неотрицательность».

Забудьте сказки про сложность модуля – ведь теперь вы скоро узнаете о методе «Зеркало».

Модуль всей правой части y = |f(x)| отражает график относительно оси X. Все, что было под осью Ox зеркально отражается наверх.

Почему так? Обратите внимание, что значение функции (то есть y) является результатом вычисления модуля. Оно не может быть отрицательным. Согласны? Значит, его заменяют на противоположное ему по знаку. А в построении функций эти зеркальные превращения и есть смена знака у функции.

Уже чувствуете себя как Алиса в Зазеркалье? Ничего страшного – объясню на примере:

Пример: y = |X – 3|

Видите, график функции y = |X – 3| состоит из двух ветвей. Первая y = X – 3, а вторая y = – (X – 3) = 3 – X. Все по определению модуля – не придраться. Зеркально отраженная функция и есть противоположная по знаку той, которую отражали.

Можете так себя проверять – сначала просто отзеркальте конец, который улетает в отрицательную бесконечность (под ось Ох). А потом посмотрите, действительно ли он совпадает с минусовой версией подмодульного выражения. Уверяю, если вы были аккуратны – совпадет.

*Читайте понятное определение модуля в статье «Простая инструкция: как решать любые уравнения с модулем». После ее прочтения вы научитесь расправляться со всеми видами уравнений с модулем с помощью всего 1 инструкции!

А теперь перейдем к функции, которая заставляет поежиться от недовольства слишком многих. Если б они знали, что ее настолько просто начертитить…то стали бы решать уравнения с ней только графически.

Модуль всей левой части |y| = f(x) отражает график относительно оси X. Все, что было над осью Oх зеркально отражается вниз.

Смотрим, что является результатом вычисления подмодульного выражения? Ага, все, что стоит справа. Значит, в данном случае Рубиконом является ось Oy – отзеркаливаем относительно нее.

Пример: |y| = X – 3

Мы разобрали две базы графиков с модулями. Дальше уже идут вариации с дополнительными математическими па: поднимите график, опустите, сузьте – расширьте. Давайте и их разберем!

Это пример сложной функции, такие функции строятся по этапам. Сложной – не потому что она поддается только сильнейшим умам. Просто в ней собрано несколько последовательных действий: модуль и сложение с «потусторонним членом».

С такими функциями работает способ «калькулятор».

Представьте, что вам нужно вычислить выражение: (217 – 327)/72. С чего вы начнете? Вероятно, с возведения в степень, продолжите подсчетом числителя и только потом перейдете к делению. Будете идти от малого к большому.

Тот же метод работает и со сложной функцией. Начните с ядра и продолжайте справляться со всеми остальными прибамбасами вокруг него.

Пример: y = |x–3| + 5 ( ядром является график прямой y=x-3)

1. Y = X – 3                 {строим график прямой}

2. Y = |X –3|                {отражаем график относительно оси X}

3. Y = |X – 3| + 5        {поднимаем график 2. на +5}.

Вспомните суперспособности графиков – положительное число поднимает график, а отрицательное опускает (вверх/вниз относительно оси Ox). Причем, нет ничего страшного в том, что модульная галка окажется под прямой Ox (в отрицательной области) – это необходимые последующие действия с графиком.

Иногда в качестве «потустороннего члена» выступает переменная. Тут уж хитрить с отражениями и подниманиями – не получится. Придется раскрывать алгебраически модуль для каждого интервала – и уже по вычисленному выражению чертить ветви графика.

О том, как легко раскрыть модуль – написано в статье – Решение уравнений с модулем.

А мы двигаемся навстречу забора из модуля. По правде, такой вид функций очень полезно уметь чертить. Этот скилл способен сэкономить вам время. Ведь частенько по графику намного точнее и проще найти корни уравнения такого вида.

Пример: y = ||X–2|–3|

{Порядок действий как при работе со сложной функцией – пользуемся методом «Калькулятор»}

1. Y = X – 2

2. Y = |X – 2|

3. Y = |X – 2|–3

4. Y = ||X – 2|–3|

Согласитесь, что раскрывать уравнения такого типа довольно муторно. Да и велик риск просчитаться. Начертить график и по нему оценить корни (иногда точно их посчитать) супер просто.

Поэтому графический метод решения уравнений нужно эксплуатировать на все 100% именно в этом случае.

Теперь нас ждет один из самых непредсказуемых графиков из всего рода модулей. Никогда не знаешь, что именно он приподнесет. Но и с этой неприятной неожиданностью научимся работать)

Что делать если в бой вступает сразу несколько модулей? – К сожалению, бороться с ними приходится с помощью арифметики и алгебры. Приходится аккуратно раскрывать на разных областях. Так же, как при решении модульных уравнений – алгебраически.

*Подробнее о том, как раскрывать модуль читайте в статье «Простая инструкция: как решать любые уравнения с модулем». В ней на пальцах объяснено, как раскрыть забор из модулей и НЕ запутаться.

Y = |X–2|+|X+2|

I ) X ∈ (–∞;–2] {1 модуль с «–» , 2 модуль с «–»}

Y₁ = – (X – 2) – (X + 2)

Y₁ = – X + 2 – X – 2

Y₁ = –2X

II ) X ∈ (–2;2] {1 модуль с «–» , 2 модуль с «+»}

Y₂ = – (X – 2) + (X + 2)

Y₂ = – X + 2 + X + 2

Y₂ = 4

III) X ∈ (2; +∞) {1 модуль с «+» , 2 модуль с «+»}

Y₃ = (X – 2) + (X + 2)

Y₃ = 2X

Вот такая галочка получилась из трех кусочков различных функций.

Вы уже заметили, что все модульные функции являются кусочно заданными? Их особенностью является то, что они существуют только на определенных интервалах.

Главное в модулях – понять закономерности. Дальше все пойдет как по маслу. Надеюсь, мне удалось хоть немного прояснить график модуля, как его построить и не надорваться в счете.

Остались вопросы? – обращайтесь! Я с удовольствием проведу первую консультацию бесплатно. Запишитесь на первое бесплатное занятие: напишите мне на почту или в сообщениях ВКонтакте)

До встречи, Ваш Михаил

Графики тригонометрических функций кратных углов. График функции y=sin x График функции y sin x 2

Теперь мы рассмотрим вопрос о том, как строить графики тригонометрических функций кратных углов ωx , где ω — некоторое положительное число.

Для построения графика функции у = sin ωx сравним эту функцию с уже изученной нами функцией у = sin x . Предположим, что при х = x 0 функция у = sin х принимает значение, равное у 0 . Тогда

у 0 = sin x 0 .

Преобразуем это соотношение следующим образом:

Следовательно, функция у = sin ωx при х = x 0 / ω принимает то же самое значение у 0 , что и функция у = sin х при х = x 0 . А это означает, что функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция у = sin x . Поэтому график функции у = sin ωx получается путем «сжатия» графика функции у = sin x в ω раз вдоль оси х.

Например, график функции у = sin 2х получается путем «сжатия» синусоиды у = sin x вдвое вдоль оси абсцисс.

График функции у = sin x / 2 получается путем «растяжения» синусоиды у = sin х в два раза (или «сжатия» в 1 / 2 раза) вдоль оси х.

Поскольку функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция
у = sin x , то период ее в ω раз меньше периода функции у = sin x . Например, период функции у = sin 2х равен 2π / 2 = π , а период функции у = sin x / 2 равен π / x / 2 = 4π .

Интересно провести исследование поведения функции у = sin аx на примере анимации, которую очень просто можно создать в программе Maple :

Аналогично строятся графики и других тригонометрических функций кратных углов. На рисунке представлен график функции у = cos 2х , который получается путем «сжатия» косинусоиды у = cos х в два раза вдоль оси абсцисс.

График функции у = cos x / 2 получается путем «растяжения» косинусоиды у = cos х вдвое вдоль оси х.

На рисунке вы видите график функции у = tg 2x , полученный «сжатием» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси абсцисс.

График функции у = tg x / 2 , полученный «растяжением» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси х.

И, наконец, анимация, выполненная программой Maple:

Упражнения

1. Построить графики данных функций и указать координаты точек пересечения этих графиков с осями координат. Определить периоды данных функций.

а). y = sin 4x / 3 г). y = tg 5x / 6 ж). y = cos 2x / 3

б). у= cos 5x / 3 д). у = ctg 5x / 3 з). у= ctg x / 3

в). y = tg 4x / 3 е). у = sin 2x / 3

2. Определить периоды функций у = sin (πх) и у = tg ( πх / 2 ).

3. Приведите два примера функции, которые принимают все значения от -1 до +1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом 10.

4 *. Приведите два примера функций, которые принимают все значения от 0 до 1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом π / 2 .

5. Приведите два примера функций, которые принимают все действительные значения и изменяются периодически с периодом 1.

6 *. Приведите два примера функций, которые принимают все отрицательные значения и нуль, но не принимают положительные значения и изменяются периодически с периодом 5.

Урок и презентация на тему: «Функция y=sin(x). Определения и свойства»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов
Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»

Что будем изучать:

• Свойства функции Y=sin(X).
• График функции.
• Как строить график и его масштаб.
• Примеры.

Свойства синуса. Y=sin(X)

Ребята, мы уже познакомились с тригонометрическими функциями числового аргумента. Вы помните их?

Давайте познакомимся поближе с функцией Y=sin(X)

Запишем некоторые свойства этой функции:
1) Область определения – множество действительных чисел.
2) Функция нечетная. Давайте вспомним определение нечетной функции. Функция называется нечетной если выполняется равенство: y(-x)=-y(x). Как мы помним из формул привидения: sin(-x)=-sin(x). Определение выполнилось, значит Y=sin(X) – нечетная функция.
3) Функция Y=sin(X) возрастает на отрезке и убывает на отрезке [π/2; π]. Когда мы движемся по первой четверти (против часовой стрелки), ордината увеличивается, а при движении по второй четверти она уменьшается.

4) Функция Y=sin(X) ограничена снизу и сверху. Данное свойство следует из того, что
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Наименьшее значение функции равно -1 (при х = — π/2+ πk). Наибольшее значение функции равно 1 (при х = π/2+ πk).

Давайте, воспользовавшись свойствами 1-5, построим график функции Y=sin(X). Будем строить наш график последовательно, применяя наши свойства. Начнем строить график на отрезке .

Особое внимание стоит обратить на масштаб. На оси ординат удобнее принять единичный отрезок равный 2 клеточкам, а на оси абсцисс — единичный отрезок (две клеточки) принять равным π/3 (смотрите рисунок).

Построение графика функции синус х, y=sin(x)

Посчитаем значения функции на нашем отрезке:

Построим график по нашим точкам, с учетом третьего свойства.

Таблица преобразований для формул привидения

Воспользуемся вторым свойством, которое говорит, что наша функция нечетная, а это значит, что ее можно отразить симметрично относительно начало координат:

Мы знаем, что sin(x+ 2π) = sin(x). Это значит, что на отрезке [- π; π] график выглядит так же, как на отрезке [π; 3π] или или [-3π; — π] и так далее. Нам остается аккуратно перерисовать график на предыдущем рисунке на всю ось абсцисс.

График функции Y=sin(X) называют — синусоидой.

Напишем еще несколько свойств согласно построенному графику:
6) Функция Y=sin(X) возрастает на любом отрезке вида: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k – целое число и убывает на любом отрезке вида: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – целое число.
7) Функция Y=sin(X) – непрерывная функция. Посмотрим на график функции и убедимся что у нашей функции нет разрывов, это и означает непрерывность.
8) Область значений: отрезок [- 1; 1]. Это также хорошо видно из графика функции.
9) Функция Y=sin(X) — периодическая функция. Посмотрим опять на график и увидим, что функция принимает одни и те же значения, через некоторые промежутки.

Примеры задач с синусом

1. Решить уравнение sin(x)= x-π

Решение: Построим 2 графика функции: y=sin(x) и y=x-π (см. рисунок).
Наши графики пересекаются в одной точке А(π;0), это и есть ответ: x = π

2. Построить график функции y=sin(π/6+x)-1

Решение: Искомый график получится путем переноса графика функции y=sin(x) на π/6 единиц влево и 1 единицу вниз.

Решение: Построим график функции и рассмотрим наш отрезок [π/2; 5π/4].
На графике функции видно, что наибольшие и наименьшие значения достигаются на концах отрезка, в точках π/2 и 5π/4 соответственно.
Ответ: sin(π/2) = 1 – наибольшее значение, sin(5π/4) = наименьшее значение.

Задачи на синус для самостоятельного решения

• Решите уравнение: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Построить график функции y=sin(π/3+x)-2
• Построить график функции y=sin(-2π/3+x)+1
• Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin(x) на отрезке
• Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin(x) на отрезке [- π/3; 5π/6]

«Йошкар-Олинский техникум сервисных технологий»

Построение и исследование графика тригонометрической функции y=sinx в табличном процессоре MS Excel

/методическая разработка/

Йошкар – Ола

Тема . Построение и исследование графика тригонометрической функции y = sinx в табличном процессоре MS Excel

Тип урока – интегрированный (получение новых знаний)

Цели:

Дидактическая цель — исследовать поведение графиков тригонометрической функции y = sinx в зависимости от коэффициентов с помощью компьютера

Обучающие:

1. Выяснить изменение графика тригонометрической функции y = sin x в зависимости от коэффициентов

2. Показать внедрение компьютерных технологий в обучение математике, интеграцию двух предметов: алгебры и информатики.

3. Формировать навыки использования компьютерных технологий на уроках математики

4. Закрепить навыки исследования функций и построения их графиков

Развивающие:

1. Развивать познавательный интерес учащихся к учебным дисциплинам и умение применять свои знания в практических ситуациях

2. Развивать умения анализировать, сравнивать, выделять главное

3. Способствовать повышению общего уровня развития студентов

Воспитывающие :

1. Воспитывать самостоятельность, аккуратность, трудолюбие

2. Воспитывать культуру диалога

Формы работы на уроке – комбинированная

Дидактическое оснащение и оборудование:

1. Компьютеры

2. Мультимедийный проектор

4. Раздаточный материал

5. Слайды презентации

Ход урока

I . Организация начала урока

· Приветствие студентов и гостей

· Настрой на урок

II . Целеполагание и актуализация темы

Для исследования функции и построения ее графика требуется много времени, приходится выполнять много громоздких вычислений, это не удобно, на помощь приходят компьютерные технологии.

Сегодня мы научимся строить графики тригонометрических функций в среде табличного процессора MS Excel 2007.

Тема нашего занятия «Построение и исследование графика тригонометрической функцииy = sinx в табличном процессоре»

Из курса алгебры нам известна схема исследования функции и построения ее графика. Давайте вспомним как это сделать.

Слайд 2

Схема исследования функции

1. Область определения функции (D(f))

2. Область значения функции Е(f)

3. Определение четности

4. Периодичность

5. Нули функции (y=0)

6. Промежутки знакопостоянства (у>0, y

7. Промежутки монотонности

8. Экстремумы функции

III . Первичное усвоение нового учебного материала

Откройте программу MS Excel 2007.

Построим график функции y=sinx

Построение графиков в табличном процессоре MS Excel 2007

График данной функции будем строить на отрезке x Є [-2π; 2π]

Значения аргумента будем брать с шагом, чтобы график получился более точным.

Т. к. редактор работает с числами, переведем радианы в числа, зная что П ≈ 3,14 . (таблица перевода в раздаточном материале).

1. Находим значение функции в точке х=-2П. Для остальных значение аргумента соответствующие значения функции редактор вычисляет автоматически.

2. Теперь у нас имеется таблица со значениями аргумента и функции. С помощью этих данных мы должны построить график этой функции с помощью мастера диаграмм.

3. Для построения графика надо выделить нужный диапазон данных, строки со значениями аргумента и функции

4..jpg»>

Выводы записываем в тетрадь (Слайд 5)

Вывод. График функции вида у=sinx+k получается из графика функции у=sinx с помощью параллельного переноса вдоль оси ОУ на k единиц

Если k >0, то график смещается вверх на k единиц

Если k

Построение и исследование функции вида у= k *sinx, k — const

Задание 2. На рабочем Листе2 в одной системе координат постройте графики функций y = sinx y =2* sinx , y = * sinx , на интервале (-2π; 2π) и проследите как изменяется вид графика.

(Чтобы заново не задавать значение аргумента давайте скопируем имеющиеся значения. Теперь вам надо задать формулу, и по полученной таблице построить график.)

Сравниваем полученные графики. Разбираем вместе с обучающимися поведение графика тригонометрической функции в зависимости от коэффициентов. (Слайд 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif»>x , на интервале (-2π; 2π) и проследите как изменяется вид графика.

Сравниваем полученные графики. Разбираем вместе с обучающимися поведение графика тригонометрической функции в зависимости от коэффициентов. (Слайд 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg»>

Выводы записываем в тетрадь (Слайд 11)

Вывод. График функции вида у= sin(x+k) получается из графика функции у=sinx с помощью параллельного переноса вдоль оси ОХ на k единиц

Если k >1, то график смещается вправо вдоль оси ОХ

Если 0

IV . Первичное закрепление полученных знаний

Дифференцированные карточки с заданием на построение и исследование функции при помощи графика

V . Организация домашнего задания

Построить график функции y=-2*sinх+1 , исследовать и проверить правильность построения в среде электронной таблицы Microsoft Excel. (Слайд 12)

VI . Рефлексия

Как построить график функции y=sin x? Для начала рассмотрим график синуса на промежутке .

Единичный отрезок берём длиной 2 клеточки тетради. На оси Oy отмечаем единицу.

Для удобства число π/2 округляем до 1,5 (а не до 1,6, как требуется по правилам округления). В этом случае отрезку длиной π/2 соответствуют 3 клеточки.

На оси Ox отмечаем не единичные отрезки, а отрезки длиной π/2 (через каждые 3 клеточки). Соответственно, отрезку длиной π соответствует 6 клеточек, отрезку длиной π/6 — 1 клеточка.

При таком выборе единичного отрезка график, изображённый на листе тетради в клеточку, максимально соответствует графику функции y=sin x.

Составим таблицу значений синуса на промежутке :

Полученные точки отметим на координатной плоскости:

Так как y=sin x — нечётная функция, график синуса симметричен относительно начала отсчёта — точки O(0;0). С учётом этого факта продолжим построение графика влево, то точки -π:

Функция y=sin x — периодическая с периодом T=2π. Поэтому график функции, взятый на на промежутке [-π;π], повторяется бесконечное число раз вправо и влево.

College Algebra Урок 31: Графики функций, часть I: Функции построения графика по точкам Цели обучения По завершении этого руководства вы сможете: Постройте график функции по точкам. Определите область определения и диапазон функции по графику. Введение В этом уроке рассматриваются функции построения графиков путем построения графиков. очков, а также поиск домена и диапазона функции после того, как она была графически. Графики важны для визуального представления корреляция между двумя переменными. Хотя в этом разделе мы собираемся к посмотрите на это в целом, используя общую переменную x и y , вы можете использовать двумерные графики для любого приложения, где у вас есть две переменные.Например, у вас может быть функция стоимости это зависит от количества произведенных товаров. Если вам нужно покажите своему начальнику наглядно соотношение количества и стоимости, вы можете сделать это на двумерном графике. Я верю что это является для вас важно научиться что-то делать в целом, тогда когда ты нужно применить это к чему-то конкретному, что у вас есть знания так. Переходить от общего к частному намного проще, чем к конкретному. Генеральная. И это то, что мы делаем здесь, глядя на графики в целом, так что позже при необходимости вы можете применить его к чему-то конкретному. Мы также пересмотреть понятие домена и диапазона. На этот раз мы их найдем Ищу на графике. Мы будем использовать обозначение интервалов для записи нашего ответы. В некоторых случаях наш домен и / или диапазон будут недоступны до бесконечности. Думаю, вы готовы пойти дальше и построить график. Учебник Напомним, что домен — это набор всех входных значений к которому применяется правило.Они называются вашими независимыми переменными. Это значения, которые соответствуют первым компонентам упорядоченный пары, с которыми он связан. Если вам нужен обзор домена, смело переходите к Tutorial 30: Введение в функции. На графике домен соответствует горизонтальному ось. С в этом случае нам нужно посмотреть налево и направо, чтобы увидеть, есть ли какие-либо конечные точки, которые помогут нам найти наш домен.Если график продолжает двигаться дальше и дальше вправо, то область бесконечна справа от интервал. Если график продолжает двигаться влево, то область отрицательная бесконечность в левой части интервала. Напомним, что диапазон — это набор всех выходных значения. Эти называются вашими зависимыми переменными.Это ценности, которые вести переписку вторым компонентам упорядоченных пар он связан с участием. Если вам нужен обзор ассортимента, смело переходите к Tutorial 30: Введение в функции. На графике диапазон соответствует вертикали ось. С в этом случае нам нужно посмотреть вверх и вниз, чтобы увидеть, есть ли конец баллы, которые помогут нам найти наш ассортимент.Если график продолжает расти без каких-либо конечная точка тогда диапазон равен бесконечности в правой части интервала. Если график продолжает идти вниз, затем диапазон переходит в отрицательную бесконечность на левая часть интервала. Построение функции по точкам Шаг 1. Найти на минимум четыре упорядоченных парных решения. Функции могут различаться в зависимости от того, как выглядит график. Ну это хорошо иметь много точек, чтобы вы могли получить правильную форму график будь то прямая линия, кривая и т.д .. Шаг 2: Постройте точки, найденные на шаге 1. Шаг 3: Нарисуйте график. Вот основные формы некоторых из наиболее распространенных графики функций. Имейте в виду, что это основные формы этих графиков.Их можно сдвигать и растягивать в зависимости от то функция дана. Основная цель — понять, какой тип функция вы строите график и прогнозируете основную форму на его основе еще до того, как Начало. Обратите внимание, что домен и диапазоны, которые идут с каждым из них также даны. Линейная функция Домен: Диапазон: Постоянная функция Домен: Диапазон: Квадратичная функция Домен: Диапазон: Кубическая функция Домен: Диапазон: Функция квадратного корня Домен: Диапазон: Функция абсолютного значения Домен: Диапазон: Пример 1 : Постройте график функции, используя заданные значения x . Также использовать график для определения области и диапазона функции. x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 Шаг 1. Найти на минимум четыре упорядоченных парных решения. Я собираюсь использовать диаграмму, чтобы организовать свои Информация.Диаграмма отслеживает значения x , которые вы с использованием и соответствующее значение y , найденное при ты используется конкретное значение x . Мы будем использовать семь значений x , которые были дано найти соответствующие функциональные значения, чтобы дать нам семь упорядоченных парные решения. Имейте в виду, что функциональная ценность, которую мы находим соотносится с второй или y стоимость нашей заказанной пары. Шаг 2: Постройте точки, найденные на шаге 1. Шаг 3: Нарисуйте график. Домен Нам нужно найти набор всех входных значения. В терминах упорядоченных пар это коррелирует с первым компонентом каждый. В терминах этого двумерного графа это соответствует со значениями x (по горизонтали ось). В этом случае нам необходимо посмотрите на влево и вправо и посмотрите, есть ли конечные точки. В этом случае в обратите внимание на то, как кривая стрелки на обоих концов, это означает, что он будет продолжаться вечно вправо и в оставил. Это означает, что домен является . Диапазон Нам нужно найти набор всех выходных значения. В терминах упорядоченных пар это коррелирует со вторым компонентом каждый. В терминах этого двумерного графа это соответствует значения y (вертикальная ось). В этом случае нам необходимо посмотри вверх и вниз и посмотрите, есть ли какие-нибудь конечные точки. В таком случае, Примечание как кривая имеет нижнюю конечную точку y = -5 и у него есть стрелки на обоих концах, идущие вверх, это означает, что он будет идти вверх а также навсегда. Это означает, что диапазон равен . Пример 2 : Постройте график функции, используя заданные значения x . Также использовать график для определения области и диапазона функции. x = 0, 1, 4, 9 Шаг 1. Найти на минимум четыре упорядоченных парных решения. Я собираюсь использовать диаграмму, чтобы организовать свои Информация. Диаграмма отслеживает значения x , которые вы с использованием и соответствующее значение y , найденное при ты используется конкретное значение x . Мы будем использовать четыре значения x , которые были дано найти соответствующие функциональные значения, чтобы дать нам четыре упорядоченных пара решения. Имейте в виду, что функциональная ценность, которую мы находим соотносится с второй или y стоимость нашей заказанной пары. Шаг 2: Постройте точки, найденные на шаге 1. Шаг 3: Нарисуйте график. Домен Нам нужно найти набор всех входных значения. В терминах упорядоченных пар это коррелирует с первым компонентом каждый. В терминах этого двумерного графа это соответствует со значениями x (по горизонтали ось). В этом случае нам необходимо посмотрите на влево и вправо и посмотрите, есть ли конечные точки.В этом случае обратите внимание, как есть левый конечная точка при x = 0. Также обратите внимание, что кривая имеет стрелка, идущая вправо, означает, что она будет продолжаться и продолжаться навсегда Направо. Это означает, что домен является . Диапазон Нам нужно найти набор всех выходных значения. Что касается упорядоченных пар, это коррелирует со вторым компонентом каждой из них. В условия этого двухмерный график, который соответствует y значения (вертикальная ось). В этом случае нам необходимо посмотри вверх и вниз и посмотрите, есть ли какие-нибудь конечные точки. В таком случае, Примечание как кривая имеет нижнюю конечную точку y = 3 и на нем стрелка идет вверх, это означает, что он будет продолжать и продолжать навсегда вверх. Это означает, что диапазон равен . Пример 3 : Постройте график функции, используя заданные значения x . Также использовать график для определения области и диапазона функции. x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Шаг 1. Найти на минимум четыре упорядоченных парных решения. Я собираюсь использовать диаграмму, чтобы организовать свои Информация. Диаграмма отслеживает значения x , которые вы с использованием и соответствующее значение y , найденное при ты используется конкретное значение x . Мы будем использовать семь значений x , которые были дано найти соответствующие функциональные значения, чтобы дать нам семь упорядоченных парные решения. Имейте в виду, что функциональная ценность, которую мы находим соотносится с второй или y стоимость нашей заказанной пары. Шаг 2: Постройте точки, найденные на шаге 1. Шаг 3: Нарисуйте график. Домен Нам нужно найти набор всех входных значения. В терминах упорядоченных пар это коррелирует с первым компонентом каждый. В терминах этого двумерного графа это соответствует со значениями x (по горизонтали ось). В этом случае нам необходимо посмотрите на влево и вправо и посмотрите, есть ли конечные точки.В этом случае обратите внимание, как там стрелки на обоих концов, это означает, что он будет продолжаться вечно вправо и в оставил. Это означает, что домен является . Диапазон Нам нужно найти набор всех выходных значения. Что касается упорядоченных пар, это коррелирует со вторым компонентом каждой из них.В условия этого двухмерный график, который соответствует y значения (вертикальная ось). В этом случае нам необходимо посмотри вверх и вниз и посмотрите, есть ли какие-нибудь конечные точки. В таком случае, Примечание как график имеет нижнюю конечную точку y = 0 а также у него есть стрелки, которые идут вверх, это означает, что он будет идти вверх и вниз навсегда. Это означает, что диапазон равен . Пример 4 : Постройте график функции, используя заданные значения x . Также использовать график для определения области и диапазона функции. x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 Шаг 1. Найти на минимум четыре упорядоченных парных решения. Я собираюсь использовать диаграмму, чтобы организовать свои Информация. Диаграмма отслеживает значения x , которые вы с использованием и соответствующее значение y , найденное при ты используется конкретное значение x . Мы будем использовать семь значений x , которые были дано найти соответствующие функциональные значения, чтобы дать нам семь упорядоченных парные решения. Имейте в виду, что функциональная ценность, которую мы находим соотносится с второй или y стоимость нашей заказанной пары. Шаг 2: Постройте точки, найденные на шаге 1. Шаг 3: Нарисуйте график. Домен Нам нужно найти набор всех входных значения. В терминах упорядоченных пар это коррелирует с первым компонентом каждый. В терминах этого двумерного графа это соответствует со значениями x (по горизонтали ось). В этом случае нам необходимо посмотрите на влево и вправо и посмотрите, есть ли конечные точки.В этом случае в обратите внимание на то, как кривая стрелки на обоих концов, это означает, что он будет продолжаться вечно вправо и в оставил. Это означает, что домен является . Диапазон Нам нужно найти набор всех выходных значения. Что касается упорядоченных пар, это коррелирует со вторым компонентом каждой из них.В условия этого двухмерный график, который соответствует значениям y (вертикальная ось). В этом случае нам необходимо посмотри вверх и вниз и посмотрите, есть ли какие-нибудь конечные точки. В таком случае, Примечание как линия не идет вверх или вниз и что все значения и равны -2. Это означает, что диапазон составляет { y | y = -2}. Пример 5 : Постройте график функции, используя заданные значения x . Также использовать график для определения области и диапазона функции. x = -2, -1, 0, 1, 2 Шаг 1. Найти на минимум четыре упорядоченных парных решения. Я собираюсь использовать диаграмму, чтобы организовать свои Информация. Диаграмма отслеживает значения x , которые вы с использованием и соответствующее значение y , найденное при ты используется конкретное значение x . Мы будем использовать пять значений x , которые были дано найти соответствующие функциональные значения, чтобы дать нам пять упорядоченных пара решения. Имейте в виду, что функциональная ценность, которую мы находим соотносится с второй или y стоимость нашей заказанной пары. Шаг 2: Постройте точки, найденные на шаге 1. Шаг 3: Нарисуйте график. Домен Нам нужно найти набор всех входных значения. В терминах упорядоченных пар это коррелирует с первым компонентом каждый. В терминах этого двумерного графа это соответствует со значениями x (по горизонтали ось). В этом случае нам необходимо посмотрите на влево и вправо и посмотрите, есть ли конечные точки.В этом случае в обратите внимание на то, как кривая стрелки на обоих концов, это означает, что он будет продолжаться вечно вправо и в оставил. Это означает, что домен является . Диапазон Нам нужно найти набор всех выходных значения. Что касается упорядоченных пар, это коррелирует со вторым компонентом каждой из них.В условия этого двухмерный график, который соответствует значениям y (вертикальная ось). В этом случае нам необходимо посмотри вверх и вниз и посмотрите, есть ли какие-нибудь конечные точки. В этом случае обратите внимание на то, как изгиб имеет стрелки на обоих концах, это означает, что он будет продолжаться бесконечно вверх а также вниз. Это означает, что диапазон равен . Практические задачи Это практические задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает как и все в противном случае, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковать это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы хорошо освоить свой вид спорта или инструмент. На самом деле не бывает слишком много практики. Чтобы получить максимальную отдачу от них, вы должны решить проблему с . свой, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответа / обсуждения для этой проблемы . По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ. Практика Задачи 1a — 1e: Постройте график данной функции, используя данные значения размером x .Также используйте график для определения домена и диапазон функции. Нужна дополнительная помощь по этим темам? Последний раз редактировал Ким Сьюард 7 апреля 2010 г. Авторские права на все содержание (C) 2002 — 2010, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

Графическое изображение основных функций и их … Пошаговое решение математических задач

4.4 — ИЗОБРАЖЕНИЕ БАЗОВЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ВАРИАЦИИ

Многие из графиков, обсуждаемых в главе 3, являются графиками функций. При проверке вертикальной линии любая прямая линия, которая не является вертикальной, является графиком функции, как и график любой вертикальной параболы.2 + 5 = (g {omicron} h) (x)

В оставшейся части этого раздела мы обсудим графики нескольких основных функций, которые не являются ни линейными, ни квадратичными. Графики этих функций состоят из частей различных прямых линий или прямых линий и кривых.

ФУНКЦИИ АБСОЛЮТНОГО ЗНАЧЕНИЯ Одной из распространенных функций, которая не является линейной и неквадратичной, является функция абсолютного значения, определяемая следующим образом: f (x) = | x | или у = | х |. Поскольку | x | можно найти для любого действительного числа x, домен равен (-inf, inf.Кроме того, | x |> = 0 для любого действительного числа x, поэтому диапазон равен (0, inf. Когда | x |> = 0, тогда y = | x | = x, поэтому y = x отображается на графике для неотрицательных значений x. С другой стороны, если x <0, то y = | x | = -x и y = -x нанесен на график для отрицательных значений x. График представляет собой объединение двух лучей. Окончательный график показан на рисунке 4.6. При проверке вертикальной линии график является графиком функции. Обратите внимание, что график f (x) = | x | симметричен относительно оси y.

Пример 2

ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ АБСОЛЮТНОГО ЗНАЧЕНИЯ

График f (x) = | x-2 |.
Обратите внимание, что это составная функция g {omicron} h, где g (x) = | x | и h (x) = x — 2. Область определения f — (-inf, inf, а диапазон — (0, inf. Этот граф имеет ту же форму, что и y = | x |, но «вершина» .point переводится на 2 единицы вправо, от (0,0) до (2,0). См. рисунок 4.7. Ось симметрии — это вертикальная линия от x = 2 до (2,0)

Пример 3

ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ АБСОЛЮТНОГО ЗНАЧЕНИЯ

График f (x) = | 3x +4 | +1.

Значение f (x) = y всегда больше или равно 1, поскольку | 3x + 4 |> = 0.Таким образом, y-значение «vertax» равно 1, а диапазон равен [1, inf]. Область определения: (-inf, inf. Значение x «вершины» можно найти, подставив 1 вместо y в уравнении.

y = | 3x +4 | +1
1 = | 3x +4 | +1 Пусть y = 1.
0 = | 3x +4 | Вычтем 1.

x = -4 / 3Solve 3x + 4 = 0

Построение нескольких других упорядоченных пар приводит к графику на рисунке 4.8. На графике показана «вершина», переведенная в (-4 / 3,1).Ось симметрии x = -4 / 3. Коэффициент при x, 3, определяет наклон двух лучей, образующих график. У одного наклон 3, у другого -3. Поскольку абсолютное значение наклонов больше 1, лучи круче, чем лучи, образующие график y = | x |.

ЧАСТИ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ФУНКЦИЙ Графики функций абсолютного значения в примерах 2 и 3 состоят из частей двух различных прямых линий. Такие функции, называемые функциями , определенными кусочно , часто определяются разными уравнениями для разных частей области.

Пример 4 ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ОПРЕДЕЛЕННОЙ ЧАСТИ

Построить график функции

Мы должны построить график каждой части домена отдельно. Если x <= 2, эта часть графика имеет конечную точку в x = 2. Найдите значение y, заменив 2 на xin y = x + 1, чтобы получить y = 3. Еще одна точка необходима для построения графика этой части графика. Выберите значение x меньше 2. Выбор x = -1 дает y = -1 + 1 = 0. Нарисуйте график через (2,3) и (-1,0) в виде луча с концом в (2,3).Аналогично изобразите луч для x> 2. Этот луч будет иметь открытую конечную точку, когда x = 2 и y = -2 (2) + 7 = 3. Выбор x = 4givesy = -2 (4) + 7 = -1. Луч, проходящий через (2,3) и (4, -1), завершает граф. В этом примере два луча
встречаются в точке (2,3), хотя это не всегда так. График показан на рисунке 4.9

Пример 5 ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ОПРЕДЕЛЕННОЙ ЧАСТИ

График

Изобразите луч y = x + 2, выбрав x так, чтобы x <= 0, с твердой конечной точкой в ​​точке (0,2).Луч имеет наклон 1 и точку пересечения с y 2. Тогда график y = 1/2 для x> 0. Этот график будет половиной параболы с открытой конечной точкой в ​​точке (0,0). См. Рисунок 4.10. Обратите внимание, что в этом примере две части не совпадают.

НАИБОЛЬШИЕ ЦЕЛОЧНЫЕ ФУНКЦИИ Другой тип функции с графиком, состоящим из отрезков прямой, — это функция наибольшего целого числа, записанная y = [x], и определенная следующим образом:
[x] — наибольшее целое число, меньшее или равное x.
Например, [8] = 8, [- 5] = — 5, [{Pi}] = 3, [12, 1/9] = 12, [-2.001] = -3 и так далее.

Пример 6 ИЗОБРАЖЕНИЕ НАИЛУЧШЕЙ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ

График y = [x]

Для любого значения x в интервале 0,1, [x] = 0. Кроме того, для x в 1,2, [x] = 1. Этот процесс продолжается; x в 2,3, значение [x] равно 2. Значения y постоянны между целыми числами, но они скачут при целых значениях x. Это делает график, показанный на рисунке 4.11, серией отрезков линии. В каждом случае левая конечная точка сегмента включается, а правая конечная точка исключается.Область определения функции: (- inf, inf, а диапазон — это набор целых чисел, {…, — 2, -1,0,1,2, …}.

Каждый из графиков в примерах 6, 7 и 8 состоит из серии горизонтальных отрезков линии. (См. Рисунки 4.11, 4.12 и 4.13.) Функции, формирующие эти графики, называются пошаговыми функциями.

ПРОСТОЙ

Специальные функции, называемые пошаговыми функциями, используются, когда ожидается, что значение диапазона останется постоянным для данного интервала значений домена.Например, плата за парковку часто рассчитывается путем взимания определенной фиксированной платы за первый час и другой платы за каждый дополнительный час (или долю часа).

Предположим, что ежедневная парковка в центре города взимает базовую плату в размере 5 долларов за первый час и 1 доллар за каждый дополнительный час или его часть. Максимальная плата за день составляет 15 долларов США. Парковка на 7 часов будет стоить 5 долларов + 1 доллар (6) = 11 долларов.

РЕШИТЬ КАЖДУЮ ПРОБЛЕМУ

A. Сколько будет стоить парковка у Downtown Daily Parking для 3 человек.5 часов?

Б. Мелисса и ее дети планируют провести весь день в поездке по городу. Сколько ей будет стоить парковка на ежедневной парковке в центре города на 12 часов?

ОТВЕТА A. Это будет стоить 8 долларов. Б. это будет стоить 15 долларов, максимальная суточная оплата.

Пример 7 ИЗОБРАЖЕНИЕ ШАГОВОЙ ФУНКЦИИ

График y = [1 / 2x + 1
Попробуйте некоторые значения x в уравнении, чтобы увидеть, как ведут себя значения y. Здесь приведены некоторые образцы заказанных пар.

Эти упорядоченные пары предполагают, что если x находится в интервале 0,2, то y = 1.Для x в 2,4, y = 2
2 и так далее. График представлен на рисунке 4.12. Опять же, домен (-inf, inf. Диапазон: {…- 1,0,1,2, …}.

Функция наибольшего целого числа может использоваться для описания многих распространенных практик ценообразования, встречающихся в повседневной жизни, как показано в следующем примере.

Пример 8 ПРИМЕНЕНИЕ НАИЛУЧШЕЙ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ

Компания экспресс-почты взимает 10 долларов за посылку весом 1 фунт или меньше. Каждый дополнительный фунт или его часть стоит на 3 доллара больше.Найдите стоимость отправки посылки весом 2 фунта; 2,5 фунта; 5,8 фунтов. Изобразите упорядоченные пары (фунты, стоимость). Это график функции?

Стоимость упаковки весом 2 фунта составляет 10 долларов за первый фунт и 3 доллара за второй фунт, что в сумме составляет 13 долларов. Для пакета на 2,5 фунта стоимость будет такая же, как и для 3 фунтов: 10 + 2 (3) = 16 или 16 долларов. Пакет за 5,8 фунта будет стоить столько же, сколько пакет за 6 фунтов: 10 + 5 (3) = 25 или 25 долларов. График этой ступенчатой ​​функции показан на рисунке 4.13. Обратите внимание, что в этом случае включены nght конечных точек вместо левых конечных точек.

ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ

Сложение и вычитание — обратные операции: начиная с числа x, прибавляя 5 и вычитая 5, в результате возвращается x. Точно так же некоторые функции противоположны друг другу. Например, функции

f (x) = 8x и g (x) = 1 / 8x

инвертируют друг друга. Это означает, что если выбрано значение x, такое как x = 12, так что

ф (х) = 8 * 12 = 96

вычисление g (96) дает

г (96) = 1/8 * 96 = 12

Таким образом, g [f (12)] = 12.
Кроме того, f [g (12)] = 12. Для этих функций f и g можно показать, что f [g (x)] = x и g [f (x)] = x для любого значения x.

В этом разделе будет показано, как начать с такой функции, как f (x) = 8x, и получить обратную функцию g (x) = (1/8) x. Не все функции имеют обратные функции. Единственные функции, у которых есть обратные функции, — это взаимно однозначные функции.

ФУНКЦИИ ОДИН К ОДНОМ Для функции y = 5x-8 любые два разных значения x дают два разных значения y.2 = 16. Такая функция, как y = 5x -8, где разные элементы из домена всегда приводят к разным элементам из диапазона, называется функцией «один-к-одному».

ФУНКЦИЯ ОДИН К ОДНОМУ Функция f является взаимно однозначной функцией, если для элементов aandb из do main функции f из
a! = B следует f (a)! = F (b)
Пример 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СООТВЕТСТВИЯ ФУНКЦИИ ОДИН К ОДНОМУ

Определите, является ли каждая из следующих функций взаимно однозначной.
(a) f (x) = -4x + 12
Предположим, что a! = B.2) = root (25-9) = 4

Здесь, хотя 3! = — 3, f (3)! = F (-3). По определению, это не взаимно однозначная функция.

Как показано в Примере 1 (b), способ показать, что функция не является взаимно однозначной, состоит в том, чтобы создать пару неравных чисел, которые приводят к одному и тому же значению функции. Существует также полезный графический тест, который показывает, является ли функция взаимно однозначной. Этот тест горизонтальной линии для однозначных функций можно резюмировать следующим образом.

ТЕСТ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ЛИНИИ Если каждая горизонтальная линия пересекает график функции не более чем в одной точке, то функция взаимно однозначна.

ПРИМЕЧАНИЕ В примере 1 (b) график функции представляет собой полукруг. Существует бесконечно
горизонтальных линий, которые разрезают график полукруга на две точки, поэтому проверка горизонтальной линии показывает, что функция не является взаимно однозначной.

Пример 2 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕСТА ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ЛИНИИ

Используйте тест горизонтальной линии, чтобы определить, являются ли графики на рисунках 4.14 и 4.15 графиками взаимно однозначных функций.
(а)

Каждая точка, в которой горизонтальная линия пересекает график, имеет то же значение y, но другое значение x.Поскольку более одного (здесь трех) различных значений x приводят к одному и тому же значению y, функция не является взаимно однозначной.
(б)

Каждая горизонтальная линия будет пересекать график на Рисунке 4.15 ровно в одной точке. Эта функция взаимно однозначная.

ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ Как упоминалось ранее, определенные пары взаимно однозначных функций «отменяют» друг друга. Например, если

f (x) = 8x + 5 и g (x) = (x-5) / 8

f (10) = 8 * 10 + 5 = 85 и g (85) = (85-5) / 8 = 10
Начиная с 10, мы «применили» функцию f, а затем «применили» функцию g к результату, который вернул число 10.См. Рисунок 4.16. Аналогичным образом для этих же функций проверьте, что

f (3) = 29 и g (29) = 3,

f (-5) = — 35 и g (-35) = — 5

г (2) = — 3/8 и f (-3/8) = 2

В частности, для этих функций
f [g (x)] = 2 и 8 [f (2)] = 2

Фактически для любого значения x
f [g (x)] = x и g [f (x)] = x
или (f {omicron} g) (x) = x и (g {omicron} f ) (х) = х

Из-за этого свойства g называется инверсией f. -1 — это набор действительных чисел.-1 — зеркальное отображение по отношению к этой линии.

ПРОСТОЙ

Обратные функции используются государственными учреждениями и другими предприятиями для отправки и получения закодированной информации. Используемые ими функции обычно очень сложные. Простой пример включает функцию f (x) = 2x + 5. Если каждой букве алфавита присвоено числовое значение в соответствии с ее положением (a = 1, …, z = 26, слово АЛГЕБРА будет закодировано как 7 29 1

177.-1 (x) = корень (3, x + 1)

Инженерная математика — графики функций

На предыдущем уроке вы узнали о функциях и различных способах представления функции. Один из способов представления функции — использование графиков. В этом уроке вы изучите графики функций и поймете, как определить область и диапазон функции по ее графику. Вы узнаете о тестировании вертикальной линии и о том, как найти ноль функции .

График функции — это упорядоченная пара.

 x = длина по оси x.
y = f (x) = длина по оси y. 

Давайте нарисуем график функции и посмотрим, как он работает.

 pip install matplotlib