Исследование функции и построение ее графика
1) Найдем область определения функции. Функция представляет собой рациональную дробь, поэтому нужно исключить значения обнуляющие знаменатель.
таким образом, область определения функции:
2) Точки пересечения графика функции с осями координат:
с осью ;
с осью .
Таким образом, функция проходит через начало координат — точку .
3) Функция не периодическая. Исследуем функции на четность:
Ни одно из равенств или не выполняется, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. График функции не будет иметь никакой симметрии.
4) Найдем асимптоты графика функции.
В точке функция разрывная. Определим, как ведет себя точка в окрестности этой точки
Таким образом, — уравнение вертикальной асимптоты.
Найдем наклонные асимптоты , где
Получаем уравнение наклонной асимптоты .
5) Найдем экстремум функции и интервалы возрастания и убывания. Для этого вычислим первую производную, используя правило дифференцирования частного:
Найдем критические точки: при
не существует при , но эта точка не принадлежит области определения. Находим знак производной в каждом из интервалов и результаты занесем в таблицу
То есть точка — точка максимума.
6) Найдем точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости. Для этого находим вторую производную
Найдем критические точки: при не существует при , но эта точка не принадлежит области определения. Находим знак второй производной в каждом из интервалов и результат занесем в таблицу:
Значение функции в точке перегиба . Точка — точка перегиба.
7) Используя полученные данные, строим пунктиром асимптоты и жирным график функции.
ru.solverbook.com
Исследование функции с помощью производной онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ
Вы можете выполнить исследование функции с помощью производной. Для этого воспользуйтесь онлайн калькулятором с подробным решением, как исследовать функцию.
Для это введите свою функцию в калькулятор:
Где при исследовании функции пригодится помощь производной?
Здесь перечислим, где используется производная, чтобы исследовать функцию:
- Чтобы найти точки экстремумов: найти наименьшее или наибольшее значение функции, а также промежутки возрастания и убывания функции
- Также чтобы найти точки перегибов функции — интервалы выпуклости и вогнутости (здесь используется производная второго порядка).
Рассмотрим пример
Найдём с помощью производной экстремумы и точки перегибов для функции (x^2 — 1)/(x^2 + 1):
Получим результат:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
Первая производная
/ 2 \
2*x 2*x*\x - 1/
------ - ------------ = 0
2 2
x + 1 / 2 \
\x + 1/ Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
Вторая производная
/ 2 2 2 / 2\\
| -1 + x 4*x 4*x *\-1 + x /|
2*|1 - ------- - ------ + --------------|
| 2 2 2 |
| 1 + x 1 + x / 2\ |
\ \1 + x / /
----------------------------------------- = 0
2
1 + x Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
(-oo, -sqrt(3)/3] U [sqrt(3)/3, oo)
www.kontrolnaya-rabota.ru
Исследование функций и построение графиков
Опорными точками при исследовании функций и построения их графиков служат характерные точки – точки разрыва, экстремума, перегиба, пересечения с осями координат. С помощью дифференциального исчисления можно установить характерные особенности изменения функций: возрастание и убывание, максимумы и минимумы, направление выпуклости и вогнутости графика, наличие асимптот.
Эскиз графика функции можно (и нужно) набрасывать уже после нахождения асимптот и точек экстремума, а сводную таблицу исследования функции удобно заполнять по ходу исследования.
Обычно используют следующую схему исследования функции.
1. Находят область определения, интервалы непрерывности и точки разрыва функции.
2. Исследуют функцию на чётность или нечётность (осевая или центральная симметрия графика.
3. Находят асимптоты (вертикальные, горизонтальные или наклонные).
4. Находят и исследуют промежутки возрастания и убывания функции, точки её экстремума.
5. Находят интервалы выпуклости и вогнутости кривой, точки её перегиба.
6. Находят точки пересечения кривой с осями координат, если они существуют.
7. Составляют сводную таблицу исследования.
8. Строят график, учитывая исследование функции, проведённое по вышеописанным пунктам.
Пример. Исследовать функцию
и построить её график.
Решение.
1. Область определения функции – вся числовая прямая. Множеством значений данной функции, как и всякой показательной функции, служит интервал ]0, +∞[. Поэтому график функции расположен выше оси Ox,
2. Напомним: из школьного курса известно, что функция y = f(x) называется чётной, если
для всех x, принадлежащих области определения функции.
.График чётной функции симметричен относительно оси Oy, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; y).
Функция y = f(x) называется нечётной, если
для всех x, принадлежащих области определения функции.
График нечётной функции симметричен относительно начала координат, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (
Наша исследуемая функция чётная, так как
её график симметричен относительно оси Oy. Поэтому исследование можно выполнять только для ]0, +∞[.
3. Вертикальных асимптот у графика нет, поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой. Горизонтальной асимптотой является ось Ox, так как
Поскольку кривая имеет двустороннюю горизонтальную асимптоту y = 0, у неё не может быть наклонных асиптот.
4. Находим . Из уравнения имеем .
Так как при переходе через значение x = 0 меняет знак с плюса на минус, то функция в точке x = 0 переходит от возрастания к убыванию, а (0; 1) – точка максимума. Касательная к кривой в этой точке горизонтальна, поскольку .
5. Находим Из уравнения получаем т.е. .
Учитывая чётность функции, исследуем знаки в окрестности только точки .
Следовательно, при x = 1 кривая меняет выпуклость на вогнутость. Так как то — точка перегиба кривой. Угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке . Поэтому в точке перегиба касательная образует с осью Ox тупой угол.
6. График не пересекает оси Ox, поскольку он расположен выше неё. Найдём точки пересечения кривой с осью Oy: полагая x=0, имеем
Тем самым получим точку (0; 1) графика, которая совпадает с точкой максимума.
7. Составим сводную таблицу исследования функции, куда внесём все характерные точки и интервалы между ними. Учитывая чётность функции, получаем следующую таблицу:
Особенности графика |
||||
[-1, 0[ |
+ |
— |
Возрастает |
Выпуклый |
0 |
0 |
— |
1 |
(0; 1) – точка максимума |
]0, 1[ |
— |
— |
Убывает |
Выпуклый |
1 |
— |
0 |
— точка перегиба, образует с осью Ox тупой угол |
|
]1, +∞[ |
— |
+ |
Убывает |
Вогнутый |
+∞ |
— |
+ |
|
y = 0 – горизонтальная асимптота |
8. Используя результаты исследования, строим график функции (см. рисунок).
Весь блок «Производная»
function-x.ru
Онлайн калькулятор: Аппроксимация функции одной переменной
Данный калькулятор по введенным данным строит несколько моделей регрессии: линейную, квадратичную, кубическую, степенную, логарифмическую, гиперболическую, показательную, экспоненциальную. Результаты можно сравнить между собой по корреляции, средней ошибке аппроксимации и наглядно на графике. Теория и формулы регрессий под калькулятором.
Аппроксимация функции одной переменной
83 71 64 69 69 64 68 59 81 91 57 65 58 62Значения x, через пробел
183 168 171 178 176 172 165 158 183 182 163 175 164 175Значения y, через пробел
Линейная аппроксимация Квадратичная аппроксимация Кубическая аппроксимация Аппроксимация степенной функцией Показательная аппроксимация Логарифмическая аппроксимация Гиперболическая аппроксимация Экспоненциальная аппроксимацияТочность вычисленияЗнаков после запятой: 4
Линейная регрессия
Коэффициент линейной парной корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Квадратичная регрессия
Коэффициент корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Кубическая регрессия
Коэффициент корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Степенная регрессия
Коэффициент корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Показательная регрессия
Коэффициент корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Логарифмическая регрессия
Коэффициент корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Гиперболическая регрессия
Коэффициент корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Экспоненциальная регрессия
Коэффициент корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
save Сохранить share Поделиться extension Виджет
Линейная регрессия
Уравнение регрессии:
Коэффициент a:
Коэффициент b:
Коэффициент линейной парной корреляции:
Коэффициент детерминации:
Средняя ошибка аппроксимации:
Квадратичная регрессия
Уравнение регрессии:
Система уравнений для нахождения коэффициентов a, b и c:
Коэффициент корреляции:
,
где
Коэффициент детерминации:
Средняя ошибка аппроксимации:
Кубическая регрессия
Уравнение регрессии:
Система уравнений для нахождения коэффициентов a, b, c и d:
Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.
Степенная регрессия
Уравнение регрессии:
Коэффициент b:
Коэффициент a:
Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.
Показательная регрессия
Уравнение регрессии:
Коэффициент b:
Коэффициент a:
Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.
Гиперболическая регрессия
Уравнение регрессии:
Коэффициент b:
Коэффициент a:
Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.
Логарифмическая регрессия
Уравнение регрессии:
Коэффициент b:
Коэффициент a:
Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.
Экспоненциальная регрессия
Уравнение регрессии:
Коэффициент b:
Коэффициент a:
Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.
Вывод формул
Сначала сформулируем задачу:
Пусть у нас есть неизвестная функция y=f(x), заданная табличными значениями (например, полученными в результате опытных измерений).
Нам необходимо найти функцию заданного вида (линейную, квадратичную и т. п.) y=F(x), которая в соответствующих точках принимает значения, как можно более близкие к табличным.
На практике вид функции чаще всего определяют путем сравнения расположения точек с графиками известных функций.
Полученная формула y=F(x), которую называют эмпирической формулой, или уравнением регрессии y на x, или приближающей (аппроксимирующей) функцией, позволяет находить значения f(x) для нетабличных значений x, сглаживая результаты измерений величины y.
Для того, чтобы получить параметры функции F, используется метод наименьших квадратов. В этом методе в качестве критерия близости приближающей функции к совокупности точек используется суммы квадратов разностей значений табличных значений y и теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии.
Таким образом, нам требуется найти функцию F, такую, чтобы сумма квадратов S была наименьшей:
Рассмотрим решение этой задачи на примере получения линейной регрессии F=ax+b.
S является функцией двух переменных, a и b. Чтобы найти ее минимум, используем условие экстремума, а именно, равенства нулю частных производных.
Используя формулу производной сложной функции, получим следующую систему уравнений:
Для функции вида частные производные равны:
,
Подставив производные, получим:
Далее:
Откуда, выразив a и b, можно получить формулы для коэффициентов линейной регрессии, приведенные выше.
Аналогичным образом выводятся формулы для остальных видов регрессий.
planetcalc.ru
Ваш комментарий будет первым