Элементарные функции и их графики | Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике ЕГЭ-Студия
Понятие функции — одно из ключевых в математике. О нём подробно рассказано в статье «Что такое функция».
И конечно, в задачах части 2 Профильного ЕГЭ по математике без них не обойтись. А если вы выбрали технический или экономический вуз — первая же лекция по матанализу будет посвящена именно элементарным функциями и их графикам.
Но это не всё. Математические функции, изучением которых мы занимаемся, — это не что-то такое выдуманное или существующее только в замкнутом пространстве учебника. Они являются отражением реальных взаимосвязей и процессов, происходящих в природе и обществе.
Существует всего пять типов элементарных функций:
1. Степенные
К этому типу относятся линейные, квадратичные, кубические, , , Все они содержат выражения вида xα.
2. Показательные
Это функции вида y = ax
3. Логарифмические
y = log
4. Тригонометрические
В их формулах присутствуют синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы.
5. Обратные тригонометрические
Содержат arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.
Элементарными они называются потому, что из них, как из элементов, получаются все остальные, встречающиеся в школьном курсе. Например, y = x2 · ex — произведение квадратичной и показательной функций; y = sin(ax) — сложная функция, то есть комбинация двух функций — показательной и тригонометрической.
Графики и свойства основных элементарных функций следует знать наизусть.
| a > 1 | |
| 0 < a < 1 |
| a > 1 | |
| 0 < a < 1 |
Выше приведены основные, «базовые» графики. А как будут выглядеть, например, графики функций y = sin(2x) или y = 4x2 + 5? Об этом — статья «Преобразования графиков функций».
Обратите внимание: уравнения, которые вы решаете, обычно относятся к одному из этих пяти типов. Для каждого типа — свои способы решения. Это и понятно: они основаны на тех или иных свойствах функций.
Почему в уравнении 3x = 35 мы можем «отбросить» основания и записать, что x = 5? Да потому что показательная функция y = 3x возрастает и каждое значение принимает только один раз.
Почему уравнение имеет бесконечно много решений, которые записываются в виде серии: , где n — целое? Потому что функция y = sinx — периодическая, то есть каждое свое значение принимает бесконечно много раз.
Зная графики элементарных функций, вы уже не запутаетесь с ОДЗ уравнений и неравенств. Вы сможете решать сложные задачи графически — а это часто во много раз легче и быстрее, чем аналитически.
Есть еще и такие уравнения, где слева и справа стоят функции разных типов. Для их решения есть графический способ, а также специальные приемы, о которых рассказывается в статье «Метод оценки».
| Название функции | Формула функции | График функции | Название графика | Комментарий |
|---|---|---|---|---|
| Линейная, прямая пропорциональность | y = kx | Прямая | Cамый простой частный случай линейной зависимости — прямая пропорциональность у = kx, где k ≠ 0 — коэффициент пропорциональности. На рисунке пример для k = 1, т.е. фактически приведенный график иллюстрирует функциональную зависимость, которая задаёт равенство значения функции значению аргумента. | |
| Линейная, прямая пропорциональность со сдвигом | y = kx + b | Прямая | Общий случай линейной зависимости: коэффициенты k и b — любые действительные числа. Здесь k = 0.5, b = -1. | |
| Квадратичная функция | y = x2 | Парабола | Простейший случай квадратичной зависимости — симметричная парабола с вершиной в начале координат. | |
| Квадратичная функция | y = ax2 + bx + c | Парабола | Общий случай квадратичной зависимости: коэффициент a — произвольное действительное число не равное нулю (a принадлежит R, a ≠ 0), b, c — любые действительные числа | |
| Степенная функция | y = x3 | Кубическая парабола | Самый простой случай для целой нечетной степени. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций». | |
| Степенная — корень квадратный | y = x1/2 | График функции y = √x |
Самый простой случай для дробной степени (x1/2 = √x). Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций». | |
| Степенная — обратная пропорциональность | y = k/x | Гипербола | Самый простой случай для целой отрицательной степени (1/x = x-1) — обратно-пропорциональная зависимость. Здесь k = 1. | |
| Показательная функция | y = ex | Экспонента | Экспоненциальной зависимостью называют показательную функцию для основания e — иррационального числа примерно равного 2,7182818284590… | |
| Показательная функция | y = ax | График показательной функции а>1 | Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 2x (a = 2 > 1). | |
| Показательная функция | y = ax | График показательной функции 0<a<1 | Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 0,5x (a = 1/2 < 1). | |
| Логарифмическая функция | y = ln(x) | График логарифмической функции — натуральный логарифм | График логарифмической функции для основания e (натурального логарифма) иногда называют логарифмикой. | |
| Логарифмическая функция | y = logax | График логарифмической функции — логарифм по основанию а>1 | Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log2x (a = 2 > 1). | |
| Логарифмическая функция | y = logax | График логарифмической функции 0<a<1 | Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log0,5x (a = 1/2 < 1). | |
| Синус | y = sinx | Синусоида | Тригонометрическая функция синус. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций». | |
| Косинус | y = cosx | Косинусоида | Тригонометрическая функция косинус. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций». | |
| Тангенс | y = tgx | Тангенсоида | Тригонометрическая функция тангенс. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций». | |
| Котангенс | y = сtgx | Котангенсоида | Тригонометрическая функция котангенс. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций». |
Построение графика линейной функции. Визуальный гид (ЕГЭ — 2021)
P.S. Последний бесценный совет 🙂
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.
Почему?
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это не главное.
Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…
Но думай сам…
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
Набить руку, решая задачи.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.
Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.
А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.
После регистрации ты сможешь:
Бонус: информатика и физика.
И в заключение…
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Функции и графики — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи
Оглавление:
Основные теоретические сведения
Координаты и базовые понятия о функциях
К оглавлению…
Длина отрезка на координатной оси находится по формуле:
Длина отрезка на координатной плоскости ищется по формуле:
Для нахождения длины отрезка в трёхмерной системе координат используется следующая формула:
Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы) вычисляются по формулам:
Функция – это соответствие вида y = f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой переменной величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение другой переменной величины, y (зависимой переменной, иногда это значение просто называют значением функции). Обратите внимание, что функция подразумевает, что одному значению аргумента х может соответствовать только одно значение зависимой переменной у. При этом одно и то же значение у может быть получено при различных х.
Область определения функции – это все значения независимой переменной (аргумента функции, обычно это х), при которых функция определена, т.е. ее значение существует. Обозначается область определения D(y). По большому счету Вы уже знакомы с этим понятием. Область определения функции по другому называется областью допустимых значений, или ОДЗ, которую Вы давно умеете находить.
Область значений функции – это все возможные значения зависимой переменной данной функции. Обозначается Е(у).
Функция возрастает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки независимой переменной, на которых зависимая переменная сохраняет свой положительный или отрицательный знак.
Нули функции – это такие значения аргумента, при которых величина функции равна нулю. В этих точках график функции пересекает ось абсцисс (ось ОХ). Очень часто необходимость найти нули функции означает необходимость просто решить уравнение. Также часто необходимость найти промежутки знакопостоянства означает необходимость просто решить неравенство.
Функцию y = f(x) называют четной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:
Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения четной функции равны. График чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат ОУ.
Функцию y = f(x) называют нечетной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:
Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения нечетной функции также противоположны. График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат.
Сумма корней чётной и нечетной функций (точек пересечения оси абсцисс ОХ) всегда равна нулю, т.к. на каждый положительный корень х приходится отрицательный корень –х.
Важно отметить: некоторая функция не обязательно должна быть четной либо нечетной. Существует множество функций не являющихся ни четными ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида, и для них не выполняется ни одно из равенств или свойств приведенных выше.
График линейной функции
К оглавлению…
Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой:
График линейной функции представляет из себя прямую и в общем случае выглядит следующим образом (приведен пример для случая когда k > 0, в этом случае функция возрастающая; для случая k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону — слева направо):
График квадратичной функции (Парабола)
К оглавлению…
График параболы задается квадратичной функцией:
Квадратичная функция, как и любая другая функция, пересекает ось ОХ в точках являющихся её корнями: (x1; 0) и (x2; 0). Если корней нет, значит квадратичная функция ось ОХ не пересекает, если корень один, значит в этой точке (x0; 0) квадратичная функция только касается оси ОХ, но не пересекает её. Квадратичная функция всегда пересекает ось OY в точке с координатами: (0; c). График квадратичной функции (парабола) может выглядеть следующим образом (на рисунке примеры, которые далеко не исчерпывают все возможные виды парабол):
При этом:
- если коэффициент a > 0, в функции y = ax2 + bx + c, то ветви параболы направлены вверх;
- если же a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины (p — на рисунках выше) параболы (или точка в которой квадратный трехчлен достигает своего наибольшего или наименьшего значения):
Игрек вершины (q — на рисунках выше) параболы или максимальное, если ветви параболы направлены вниз (a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a > 0), значение квадратного трехчлена:
Графики других функций
К оглавлению…
Степенной функцией называют функцию, заданную формулой:
Приведем несколько примеров графиков степенных функций:
Обратно пропорциональной зависимостью называют функцию, заданную формулой:
В зависимости от знака числа k график обратно пропорциональной зависимости может иметь два принципиальных варианта:
Асимптота — это линия, к которой линия графика функции бесконечно близко приближается, но не пересекает. Асимптотами для графиков обратной пропорциональности приведенных на рисунке выше являются оси координат, к которым график функции бесконечно близко приближается, но не пересекает их.
Показательной функцией с основанием а называют функцию, заданную формулой:
В зависимости от того больше или меньше единицы число a график показательной функции может иметь два принципиальных варианта (приведем также примеры, см. ниже):
Логарифмической функцией называют функцию, заданную формулой:
В зависимости от того больше или меньше единицы число a график логарифмической функции может иметь два принципиальных варианта:
График функции y = |x| выглядит следующим образом:
Графики периодических (тригонометрических) функций
К оглавлению…
Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое, неравное нулю, число Т, что f(x + Т) = f(x), для любого х из области определения функции f(x). Если функция f(x) является периодической с периодом T, то функция:
где: A, k, b – постоянные числа, причем k не равно нулю, также периодическая с периодом T1, который определяется формулой:
Большинство примеров периодических функций — это тригонометрические функции. Приведем графики основных тригонометрических функций. На следующем рисунке изображена часть графика функции y = sinx (весь график неограниченно продолжается влево и вправо), график функции y = sinx называют синусоидой:
График функции y = cosx называется косинусоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Так как и график синуса он бесконечно продолжается вдоль оси ОХ влево и вправо:
График функции y = tgx называют тангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.
Ну и наконец, график функции y = ctgx называется котангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических и тригонометрических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.
| Преобразование y = f (x + c), где c – число |
Описание: В случае c > 0 график функции y = f (x) переносится влево на расстояние | c | Рисунок: |
Описание: В случае c < 0 график функции y = f (x) переносится вправо на расстояние | c | Рисунок: |
| Преобразование y = f (x) + c, где c – число |
Описание: В случае c > 0 график функции y = f (x) переносится вверх на расстояние | c | Рисунок: |
Описание: В случае c < 0 график функции y = f (x) переносится вниз на расстояние | c | Рисунок: |
| Преобразование y = – f (x) |
Описание: График функции y = f (x) симметрично отражается относительно оси Ox. Рисунок: |
| Преобразование y = f ( – x) |
Описание: График функции y = f (x) симметрично отражается относительно оси Oy. Рисунок: |
| Преобразование y = f (kx), где k – число |
Описание: В случае k > 1 происходит сжатие графика функции y = f (x) в k раз к оси Oy. Рисунок: |
Описание: В случае 0 < k < 1 происходит растяжение графика функции y = f (x) в раз от оси Oy. Рисунок: |
Описание: В случае – 1 < k < 0 происходит растяжение графика функции y = f (x) в раз от оси Oy с последующим симметричным отражением графика относительно оси Oy. Рисунок: |
Описание: В случае k < – 1 происходит сжатие графика функции y = f (x) в | k | раз к оси Oy с последующим симметричным отражением графика относительно оси Oy. Рисунок: |
| Преобразование y = k f (x), где k – число |
Описание: В случае k > 1 происходит растяжение графика функции y = f (x) в k раз от оси Ox. Рисунок: |
Описание: В случае 0 < k < 1 происходит сжатие графика функции y = f (x) в раз к оси Ox. Рисунок: |
Описание: В случае – 1 < k < 0 происходит сжатие графика функции y = f (x) в раз к оси Ox с последующим симметричным отражением графика относительно оси Ox. Рисунок: |
Описание: В случае k < – 1 происходит растяжение графика функции y = f (x) в | k | раз от оси Ox с последующим симметричным отражением графика относительно оси Ox. Рисунок: |
| Преобразование y = | f (x)| |
Описание: Часть графика функции y = f (x), расположенная в области , остаётся на месте. Часть графика функции y = f (x), расположенная в области y < 0, симметрично отражается относительно оси Ox. Рисунок: |
| Преобразование y = f (| x|) |
Описание: Ось Oy является осью симметрии графика функции y = f (| x|). Часть графика функции y = f (x), расположенная в области остаётся на месте. Часть графика функции y = f (| x|), расположенная в области x < 0, получается из части графика, расположенной в области при помощи симметричного отражения относительно оси Oy. Рисунок: |
Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа
Схема исследования поведения функций, применяемая для построения графиков функций
Для построения графика функции y = f (x) желательно сначала провести исследование поведения функции y = f (x) по следующей схеме.
Найти область определения D ( f ).
Выяснить, является ли функция y = f (x) четной или нечетной.
Выяснить, является ли функция y = f (x) периодической.
Найти асимптоты графика функции.
Вычислить производную функции f ‘ (x) .
Найти критические точки функции y = f (x) .
Найти интервалы возрастания и убывания функции y = f (x) .
Найти экстремумы функции y = f (x) .
Найти точки пересечения графика функции y = f (x) с осями координат.
Если не удается точно найти нули функции, то есть точки, в которых график функции пересекает ось абсцисс Ox, то нужно попытаться найти интервалы, на которых нули функции располагаются. Часто эти интервалы удается найти, зная точки максимума и минимума функции.
Вычислить вторую производную функции f » (x) .
Найти интервалы, на которых функция y = f (x) выпукла вверх, а также интервалы, на которых функция y = f (x) выпукла вниз.
Найти точки перегиба графика функции y = f (x) .
Замечание. Желательно рисовать схему поведения функции параллельно с проведением исследования свойств функции по описанному выше плану.
Примеры построения графиков функций
Пример 1. Построить график функции
| y = x3 + 8x2 + 16x + 128 | (1) |
Решение. Областью определения функции (1) является вся числовая прямая.
Функция (1) не является ни четной, ни нечетной.
Функция (1) не является периодической.
Вертикальных асимптот у графика функции (1) нет, так как для любого числа x0
Проверим, есть ли у графика функции (1) наклонные асимптоты. Поскольку
то делаем вывод, что наклонных асимптот у графика функции (1) нет.
Теперь вычислим производную функции (1):
y’ (x) = 3x2 + 16x + 16 .
Поскольку y’ (x) существует для всех , то все критические точки функции являются ее стационарными точками, то есть точками, в которых
y’ (x) = 0 .
Найдем стационарные точки функции (1), интервалы, на которых y’ (x) сохраняет знак, а также экстремумы функции. Для этого решим квадратное уравнение
3x2 + 16x + 16 = 0.
Изобразим на рисунке 1 диаграмму знаков производной y’ (x)
Рис.1
На интервалах и производная y’ (x) положительна, значит, функция (1) возрастает. На интервале производная y’ (x) отрицательна, значит, функция (1) убывает. Схематически поведение функции (1) изображено на рисунке 2.
Рис.2
При переходе через точку x = – 4 производная функции y’ (x) меняет знак с «+» на «–» . Следовательно, точка x = – 4 является точкой максимума функции (1). При переходе через точку производная функции y’ (x) меняет знак с «–» на «+» . Следовательно, точка является точкой минимума функции (1).
Найдем значения функции (1) в стационарных точках:
y (–4) = 256 ,
Теперь вычислим вторую производную функции (1):
y» (x) = (y’ (x))‘ = (3x2 + 16x + 16)‘ = 6x + 16 .
y» (x) = (y’ (x))‘ =
= (3x2 + 16x + 16)‘ =
= 6x + 16 .
Вторая производная y» (x) обращается в нуль при . Изобразим на рисунке 3 диаграмму знаков второй производной y» (x)
Рис.3
При переходе через точку вторая производная функции y» (x) меняет знак с «–» на «+» . Следовательно, – точка перегиба графика функции (1). При функция (1) выпукла вверх, при функция (1) выпукла вниз.
Дополним схему поведения функции, представленную на рисунке 2, новыми данными о направлении выпуклости функции (рис. 4).
Рис.4
Для того, чтобы найти точки пересечения функции (1) с осью Ox , решим уравнение
x3 + 8x2 + 16x + 128 = 0 ,
x2 (x + 8) + 16 (x + 8) = 0 ,
(x + 8) (x2 + 16) = 0 .
Таким образом, точка (– 8; 0) является единственной точкой пересечения графика функции (1) с осью Ox . Точкой пересечения графика функции (1) с осью Oy будет точка (0; 128) .
На схеме поведения функции, представленной на рисунке 4, добавим информацию о знаках функции (1) (рис. 5).
Рис.5
Принимая во внимание результаты исследования поведения функции (1) (большая часть данных компактно представлена на рисунке 5), мы можем построить график функции (1) (рис.6):
Рис.6
Пример 2. Построить график функции
| (2) |
Решение. Областью определения функции (2) является вся числовая прямая, за исключением точки x = 0 , то есть .
Функция (2) не является ни четной, ни нечетной.
Функция (2) не является периодической.
Прямая x = 0 является вертикальной асимптотой графика функции (2), так как
Для того, чтобы выяснить, имеются ли у графика функции (2) наклонные асимптоты, представим правую часть формулы (2) в другом виде:
| (3) |
Из формулы (3) получаем равенство
откуда вытекает, что прямая
y = x + 3
является наклонной асимптотой графика функции (2), как при , так и при .
Теперь вычислим производную функции (2). Проще всего это сделать, воспользовавшись формулой (3):
| (4) |
Для того, чтобы найти стационарные точки функции (2), преобразуем правую часть формулы (4):
Следовательно,
| (5) |
и стационарными точками функции (2) являются точки x = – 1 и x = 2 . Поскольку y’ (x) не существует при x = 0 , то критическими точками функции (2) являются точки
x = – 1 , x = 0, x = 2 .
Изобразим на рисунке 7 диаграмму знаков производной y’ (x)
Рис.7
На интервалах , и производная y’ (x) положительна, значит, функция (2) возрастает на этих интервалах. На интервале (0, 2) производная y’ (x) отрицательна, значит, функция (2) убывает на этом интервале. Схематически поведение функции (2) изображено на рисунке 8.
Рис.8
При переходе через точку x = – 1 производная функции y’ (x) знак не меняет, значит, в этой точке экстремума нет. При переходе через точку x = 2 производная функции y’ (x) меняет знак с «–» на «+» . Следовательно, точка x = 2 является точкой минимума функции (2).
Найдем значения функции (1) в стационарных точках:
y (–1) = 0 ,
Теперь перейдем к вычислению второй производной функции (2). Проще всего это сделать, воспользовавшись формулой (4):
Вторая производная y» (x) обращается в нуль при x = – 1 . Изобразим на рисунке 9 диаграмму знаков второй производной y» (x)
Рис.9
При переходе через точку x = – 1 вторая производная функции y» (x) меняет знак с «–» на «+» . Следовательно, x = – 1 – точка перегиба графика функции (2). При x < – 1 функция (2) выпукла вверх, при x > – 1 функция (2) выпукла вниз.
Дополним схему поведения функции, представленную на рисунке 8, данными о направлении выпуклости функции (рис. 10).
Рис.10
Найдем точки пересечения функции (2) с осями координат: точка (– 1; 0) является единственной точкой пересечения графика функции (2) с осью Ox , а точек пересечения графика функции (2) с осью Oy нет, поскольку x = 0 не входит в область определения функции (2).
На схеме поведения функции, представленной на рисунке 10, добавим информацию о знаках функции (2) (рис. 11).
Рис.11
Принимая во внимание результаты исследования поведения функции (2) (большая часть данных компактно представлена на схеме рисунка 11), мы можем построить график функции (2) (рис.12):
Рис.12
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
Что такое функция
Функция связывает вход с выходом.
Это похоже на машину, у которой есть вход и выход. И выход как-то связан с входом. |
| f (x) | « f (x) = … » — классический способ написания функции. |
Вход, отношения, выход
Мы увидим много способов думать о функциях, но всегда есть три основных части:
- Вход
- Отношения
- Выход
Пример: «Умножить на 2» — очень простая функция.
Вот три части:
| Ввод | Отношения | Выход |
|---|---|---|
| 0 | × 2 | 0 |
| 1 | × 2 | 2 |
| 7 | × 2 | 14 |
| 10 | × 2 | 20 |
| … | … | … |
Что будет на выходе при вводе 50?
Некоторые примеры функций
- x 2 (возведение в квадрат) — это функция
- x 3 +1 также является функцией
- Синус, косинус и тангенс — функции, используемые в тригонометрии
- и многое другое!
Но мы не будем рассматривать конкретные функции…
… вместо этого мы рассмотрим общую идею функции.
Имена
Во-первых, полезно присвоить функции имя .
Наиболее распространенное название — « f », но у нас могут быть и другие названия, например, « g » … или даже « мармелад », если захотим.
Но давайте использовать «f»:
Мы говорим: «f x равно x в квадрате»
то, что идет от к , функция помещается в круглые скобки () после имени функции:
Итак, f (x) показывает нам, что функция называется « f », а « x » идет в
.И мы обычно видим, что функция делает с вводом:
f (x) = x 2 показывает нам, что функция « f » берет « x » и возводит его в квадрат.
Пример: с f (x) = x 2 :
- ввод 4
- становится выходом 16.
Фактически мы можем написать f (4) = 16 .
«x» — это просто заполнитель!
Не беспокойтесь о «x», он нужен только для того, чтобы показать нам, куда идет ввод и что с ним происходит.
Это может быть что угодно!
Итак, эта функция:
ф (х) = 1 — х + х 2
Выполняет те же функции, что и:
- f (q) = 1 — q + q 2
- ч (А) = 1 — А + А 2
- ширина (θ) = 1 — θ + θ 2
Переменная (x, q, A и т. Д.) Находится там, поэтому мы знаем, куда поместить значения:
f ( 2 ) = 1 — 2 + 2 2 = 3
Иногда отсутствует название функции
Иногда у функции нет имени, и мы видим что-то вроде:
у = х 2
Но есть еще:
- вход (x)
- отношение (возведение в квадрат)
- и выход (у)
Относительно
Вверху мы сказали, что функция — это , например, — машина.Но у функции на самом деле нет ремней, шестеренок или каких-либо движущихся частей — и на самом деле она не разрушает то, что мы в нее вкладываем!
Функция связывает вход с выходом.
Сказать « f (4) = 16 » — все равно что сказать, что 4 каким-то образом связано с 16. Или 4 → 16
Пример: это дерево вырастает на 20 см каждый год, поэтому высота дерева составляет , отношение к его возрасту с помощью функции h :
ч (возраст) = возраст × 20
Итак, если возраст 10 лет, то рост:
h (10) = 10 × 20 = 200 см
Вот несколько примеров значений:
Ненаправленных графов — Sage 9.2 Справочное руководство: теория графов
Этот модуль реализует функции и операции с неориентированными графами.
Алгоритмически сложный материал
| Вернуть объект |
| Проверяет, существует ли гомоморфизм между двумя графами. |
| Вернуть максимальный независимый набор. |
| Вернуть независимый набор представителей. |
| Проверяет, является ли график идеальным. |
| Вычисляет полином соответствия графа \ (G \). |
| Возвращает вершины минора, изоморфного \ (H \) в текущем графе. |
| Вычислить ширину пути |
| Вычислить оптимальное ранговое разложение данного графа. |
| Вернуть топологический \ (H \) — второстепенный из |
| Вычисляет ширину дерева \ (G \) (и обеспечивает разложение) |
| Вернуть многочлен Тутте графа \ (G \). |
| Возвращает минимальное покрытие вершин самости, представленное набором вершин. |
Основные методы
| Вернуть словарь с вершинами в качестве ключей и классом цвета в качестве значений. |
| Вернуть (расширенный) двудольный дубль этого графа. |
Некоторые специальные простые графы
Частично упорядоченный набор, в котором каждая пара элементов имеет как наименьшую верхнюю, так и наибольшую нижнюю границу, называется решеткой .
Пример . Определите, являются ли множества, представленные каждой из диаграмм Хассе на рисунке ниже, решетками.
Решение : Посеты, представленные диаграммами Хассе в (a) и (c), являются решетками, потому что в каждом poset каждая пара элементов имеет как наименьшую верхнюю границу, так и наибольшую нижнюю границу. С другой стороны, poset с диаграммой Хассе, показанной в (b), не является решеткой, поскольку элементы b и c не имеют наименьшей верхней границы. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что каждый из элементов d, e и f является верхней границей, но ни один из этих трех элементов не предшествует двум другим в отношении порядка этого poset.
Глоссарий
отношение эквивалентности; перегородка
частичный заказ; линейный порядок
упорядоченный набор; связанный
решетка
Графики
Мы представим различные типы графиков, показав, как каждый из них может быть использован для моделирования компьютерной сети. Предположим, что сеть состоит из компьютеров и телефонных линий между компьютерами.Мы можем обозначить расположение каждого компьютера точкой, а каждую телефонную линию — дугой, как показано на рисунке ниже.
Между двумя компьютерами в этой сети есть не более одной телефонной линии, каждая линия работает в обоих направлениях, и ни один компьютер не имеет телефонной линии к себе. Следовательно, эту сеть можно смоделировать с использованием простого графа , состоящего из вершин, которые представляют компьютеры, и неориентированных ребер, которые представляют телефонные линии, где каждое ребро соединяет две различные вершины, и никакие два ребра не соединяют одну и ту же пару вершин.
Простой граф состоит из V , непустого набора из вершин , и E , набора неупорядоченных пар отдельных элементов V , называемых ребрами .
Иногда между компьютерами в сети имеется несколько телефонных линий. Это тот случай, когда между компьютерами идет интенсивный трафик. Сеть с несколькими линиями показана на рисунке ниже.
Простых графов недостаточно для моделирования таких сетей.Вместо этого используются мультиграфы , которые состоят из вершин и неориентированных ребер между этими вершинами, при этом разрешено несколько ребер между вершинами. Каждый простой граф также является мультиграфом. Однако не все мультиграфы являются простыми графами, поскольку в мультиграфе два или более ребра могут соединять одну и ту же пару вершин.
Мультиграф состоит из набора вершин V , набора ребер E и функции f от E до.Ребра e 1 и e 2 называются кратными или параллельными ребрами if.
Компьютерная сеть может соединять телефонную линию от компьютера к самому себе (возможно, в диагностических целях). Такая сеть показана на рисунке ниже.
Мы не можем использовать мультиграфы для моделирования таких сетей, поскольку петли , которые являются ребрами от вершины к самой себе, не допускаются в мультиграфах.Вместо используются псевдографы .
Псевдограф состоит из набора V вершин, набора ребер E и функции f от E до. Ребро — это петля , если на то.
Телефонные линии в компьютерной сети не могут работать в обоих направлениях. Например, на рисунке ниже главный компьютер в Нью-Йорке может получать данные только с других компьютеров и не может отправлять данные.Остальные телефонные линии работают в обоих направлениях и представлены парами ребер в противоположных направлениях.
Ориентированный граф состоит из набора V вершин и набора E ребер, которые представляют собой упорядоченные пары элементов из V . В ориентированном графе петли допускаются упорядоченные пары одного и того же элемента, но нельзя использовать несколько ребер в одном направлении между двумя вершинами.
Наконец, в компьютерной сети может быть несколько линий, так что может быть несколько односторонних линий к хосту в Нью-Йорке из каждого местоположения и, возможно, более одной линии назад к каждому удаленному компьютеру от хоста.
Направленный мультиграф состоит из набора V вершин, набора E ребер и функции f от E до. Ребра e 1 и e 2 называются кратными ребрами if.
Две вершины u и v в неориентированном графе G называются смежными (или соседями ) в G , если { u, v } является ребром G .Если e = {u, v} , ребро e называется , совпадающим с вершинами и и v . Край e также называется , соединяющим u и v . Вершины u и v называются конечными точками ребра { u, v }.
градусов вершины в неориентированном графе — это количество ребер, инцидентных ей, за исключением того, что петля в вершине дает двойной вклад в степень этой вершины.Степень вершины v обозначена как deg (v) .
Пример . Каковы степени вершин у графа G и H ?
Решение : В G , град (a) = 2, град (b) = град (c) = градус (f) = 4, град (d) = 1, град ( д) = 3 и град (g) = 0.
В H , град (а) = 4, град (б) = град (д) = 6, град (в) = 1 и град (г) = 5.
Вершина степени 0 называется изолированной . Вершиной является кулон , если она имеет степень 1.
Что мы получим, если сложим степени всех вершин графа? Каждое ребро дает 2 к сумме степеней вершин, поскольку ребро инцидентно ровно двум (возможно, равным) вершинам. Это означает, что сумма степеней вершин в два раза больше числа ребер. Мы получаем следующий результат, который иногда называют теоремой о подтверждении связи, из-за аналогии между ребром, имеющим два конца, и рукопожатием с участием двух рук.
Теорема 1 (Теорема о подтверждении связи). Позвольте быть неориентированным графом с e ребрами. Потом . (Обратите внимание, что это применимо, даже если присутствует несколько ребер и петель.)
Пример . Сколько ребер в графе с 10 вершинами степени 6 каждая?
Решение : Так как сумма степеней вершин равна, то 2 e = 60. Следовательно, e = 30.
Теорема 2 . Неориентированный граф имеет четное число вершин нечетной степени.
Доказательство : Пусть V 1 и V 2 будут набором вершин четной степени и набором вершин нечетной степени, соответственно, в неориентированном графе. Потом . Поскольку deg (v) четное для, первое слагаемое в правой части последнего равенства четное. Кроме того, сумма двух членов в правой части последнего равенства четная, поскольку эта сумма равна 2 e .Следовательно, второй член в сумме также четный. Поскольку все члены в этой сумме нечетные, их должно быть четное количество. Таким образом, существует четное число вершин нечетной степени.
Когда ( u, v ) является ребром графа G с направленными ребрами, u называется смежным с v , а v считается смежным с u . Вершина u называется начальной вершиной из ( u, v ), а v называется конечной вершиной или конечной вершиной из ( u, v ).Начальная и конечная вершины цикла одинаковы.
В графе с направленными ребрами in-градус вершины v , обозначенный, — это количество ребер с v в качестве конечной вершины. вне степени v , обозначенное, — это количество ребер с v в качестве начальной вершины. Обратите внимание, что цикл в вершине дает 1 как входной, так и исходящей степени этой вершины.
Пример .Найдите входящую и исходящую степень каждой вершины в графе G с направленными ребрами.
Решение :,,,,;
,,,,.
Поскольку каждое ребро имеет начальную и конечную вершины, сумма входных степеней и сумма исходящих степеней всех вершин в графе с ориентированными ребрами одинаковы. Обе эти суммы представляют собой количество ребер в графе. Этот результат формулируется в следующей теореме.
Теорема 3 . Позвольте быть графом с направленными ребрами. Потом .
Некоторые специальные простые графики
Пример . Полный граф на n вершинах, обозначенный как K n , является простым графом, который содержит ровно одно ребро между каждой парой различных вершин.
Пример .Цикл , состоит из n, вершин и ребер и.
Пример . Мы получаем колесо W n , когда мы добавляем дополнительную вершину к циклу C n для и соединяем эту новую вершину с каждой из n вершин в C n , по новые края.
Пример .N-куб , обозначенный как Q n , представляет собой граф, имеющий вершины, представляющие 2 n битовых строк длиной n . Две вершины являются смежными, если битовые строки, которые они представляют, отличаются ровно на одну битовую позицию.
Дата: 02.01.2015; просмотр: 1997
50 лучших стратегий для тестового дня ACT
Когда приближается день тестирования, и вы изучили материал и прошли практические тесты, обязательно просмотрите эти стратегии для тестового дня.Здесь вы найдете 50 основных стратегий, которые определенно помогут вам заработать больше баллов на ACT. Цель этой статьи — предоставить удобное и комплексное напоминание об этих ценных концепциях в последнюю минуту. Используйте этот обзор, чтобы проверить свою готовность к экзамену и убедиться, что вы готовы приложить все усилия и получить лучший результат.
Перед испытанием
- Будьте готовы . Учись и практикуйся последовательно во время тренировочного периода. Быть организованным.
- Познакомьтесь с сами . Определите свои сильные и слабые стороны на ACT. При необходимости пройдите свои практические экзамены и узнайте, в каких областях вам нужно улучшить.
- Измените вредные привычки . Выявляйте вредные привычки на ранней стадии и вносите небольшие необходимые коррективы, чтобы избавиться от них.
- Собери чемодан . Не забудьте, что вам нужно сделать накануне экзамена: входной билет в ACT, удостоверение личности, карандаши, калькулятор, закуски и часы!
- Остальное .Не забывай спать! Ложитесь спать пораньше вечером перед экзаменом, чтобы в день экзамена освежить тело и разум.
В день тестирования
- Носите удобную одежду . Наденьте то, что вам будет удобно. Один совет по одежде — одеваться в несколько слоев, так как температура в тестовых комнатах бывает либо слишком высокой, либо слишком низкой для студентов; снимите футболку, если вам станет слишком тепло, или наденьте толстовку, если вам станет слишком холодно.
- Заправьте свое тело и мозг . Съешьте здоровый завтрак утром в день ACT и постарайтесь не есть сахар. Получите обычную дозу кофеина, если таковая имеется, чтобы помочь вам пройти экзамен.
- Прочтите что-нибудь . Разогрейте свой мозг, читая газету или что-то подобное. Просмотрите некоторые практические материалы.
Общие стратегии сдачи тестов
- Расслабьтесь .Не паникуйте, если у вас возникнут проблемы с ответами на вопросы! Необязательно правильно отвечать на все вопросы, чтобы получить хорошую оценку. Если вы испытываете стресс, уделите несколько минут, чтобы расслабиться. Положите карандаш, закройте глаза, сделайте глубокий вдох и очистите разум. Когда вы вернетесь к тесту, вы почувствуете себя лучше.
- Сначала делайте простые вещи . Необязательно отвечать на вопросы из каждого раздела по порядку. Лучше пропустить сложные в каждом разделе теста и вернуться к ним позже.Продолжайте двигаться, чтобы не терять драгоценное время. Если вы застряли, двигайтесь дальше!
- Управление сеткой . Не заполняйте свой «пузырчатый лист» после каждого вопроса. Отметьте свои ответы в книге и переносите их через каждые 1-2 страницы. Обязательно обращайте внимание на номера вопросов, особенно если вы пропустите вопрос. Ваша оценка зависит от того, что заполнено в листе ответов.
- Воспользуйтесь тестовым буклетом . Буклет — это единственная макулатура, которую вы получите.Обведите варианты ответов, вычеркните ответы, которые вы исключаете, и отметьте вопросы, к которым вам нужно вернуться позже. Если вы считаете, что этот вариант ответа может сработать, подчеркните его. Делать математику! Нарисуйте картинки, которые помогут вам решить проблемы, и используйте доступное место для записи своих расчетов. Делайте пометки и пометки на полях отрывков для чтения.
- Будьте в курсе времени . Успокойтесь. Читайте и активно работайте над тестом. Во время практики вы узнали, на каких вопросах следует сосредоточиться, а к каким вопросам вернуться позже.Используйте часы, чтобы рассчитать время. Оставайся сфокусированным. Не обращайте внимания на окружающую вас среду.
- Угадай с умом . На ACT нет штрафных очков! Никогда не оставляйте пузырек пустым. Исключите варианты ответов, которые, как вы знаете, неверны. Чем больше вы сможете исключить, тем больше у вас шансов правильно ответить на вопрос.
- Держитесь за него . Не сомневайтесь. Ваш первый вариант ответа, скорее всего, будет правильным. Если вас не совсем устраивает ваш первый выбор, поставьте вопросительный знак рядом со своим ответом и вернитесь к нему позже, если у вас будет время.Изменяйте свой ответ только тогда, когда уверены, что он неправильный.
ACT Стратегия тестирования английского языка
- Слушайте свой мозг . Читайте вслух молча. Если вам это кажется правильным, возможно, это так.
- Избегайте избыточности . Многословие и избыточность никогда не вознаграждаются. Обычно чем меньше слов вы используете, тем лучше.
- Отнеситесь серьезно к УДАЛЕНИЮ и БЕЗ ИЗМЕНЕНИЙ . DELETE — это жизнеспособный вариант ответа, когда он устраняет повторяющиеся или нерелевантные утверждения.Не забудьте рассмотреть вариант ответа БЕЗ ИЗМЕНЕНИЙ. Тот факт, что часть отрывка подчеркнута, не означает, что с ней что-то не так.
- Попробуйте варианты ответа . Прочтите каждый из вариантов снова в предложении, а затем выберите тот, который грамматически правильный и / или ясно выражает идею.
- Упростите варианты ответов . Если одна часть выбора ответа неверна, выбор всего ответа неверен!
- Не делайте новых ошибок .Не выбирайте вариант ответа, который вводит новую ошибку в предложение.
- Соответствует автору . Выбирая варианты ответов, убедитесь, что они соответствуют стратегии и стилю автора.
- Пребывание в порядке . Идеи в каждом эссе должны следовать в логической последовательности.
Стратегии тестирования ACT по математике
- Нарисуйте картинки . Это действительно помогает визуализировать проблему.Ваши наброски могут быть быстрыми и немного беспорядочными. Вам также следует создать таблицы и выписать уравнения.
- Подумайте, прежде чем вычислять . Найдите способ решить проблему. Не бери калькулятор. Когда вы все-таки пользуетесь калькулятором, постарайтесь представить себе, каким должен быть ваш ответ.
- Ответьте на вопрос, который вам задают . Вычеркните всю не относящуюся к делу информацию, указанную в вопросе. Выполните все этапы задачи — не бросайте рано.
- Отметьте варианты . Взгляните на варианты, когда читаете задачу. Они могут подсказать, как действовать дальше.
- Проверить ответы . Пробуя варианты ответа, начните со среднего значения. Поскольку ответы расположены по порядку, вы можете исключить варианты ответов в зависимости от того, является ли среднее значение слишком высоким или слишком низким.
- Используйте замену . Используйте эту стратегию, когда у вас есть переменные в вопросе и некоторые из тех же переменных в вариантах ответов.Упростите выбор ответов, подставляя переменные числами.
- Упростите вопрос . При чтении текстовых задач переводите их в математические уравнения, а затем используйте замену.
ACT Стратегии тестирования чтения
- Прочтите сначала основы вопроса . Сделайте пометки в отрывке. Когда вопросы относятся к конкретным строкам или словам, вы можете сразу ответить на вопросы.
- Не изучайте отрывок . Тест по чтению ACT проводится в формате открытой книги. Не нужно запоминать информацию надолго. Читайте свободно и сосредотачивайтесь только на информации, которая, по вашему мнению, важна, потому что она вам нужна для ответа на вопрос.
- Прочтите главную идею . Основная идея состоит из темы, объема и цели.
- Просмотрите проход . Не останавливайтесь на незнакомых словах с первого раза.Возможно, вам не нужно знать значение слова, чтобы отвечать на вопросы. Просто попытайтесь получить общее представление о структуре отрывка.
- Прочтите и ответьте на вопросы . Перефразируйте вопрос, чтобы понять, о чем вам задают.
- Вернемся к отрывку . На вопросы следует отвечать на основе информации в отрывке. Если вопрос содержит ссылки на определенные строки, прочтите немного до и немного после упомянутых строк.
- Предсказать ответ . Найдя в отрывке релевантную информацию, попробуйте ответить на вопрос в уме, прежде чем искать варианты ответа.
- Воспользуйтесь процессом исключения . Это надежно, но медленно. Используйте его, когда вы не можете предсказать ответ или ваш прогноз не указан в списке вариантов ответа.
- Переместитесь вокруг . Не бойтесь пропустить группу из десяти вопросов, которая сопровождает каждый отрывок.
Стратегии тестирования ACT Science
- Установить приоритет . Выбирайте отрывки в том формате, который вам больше всего нравится, и с информацией, которая наименее запутана.
- Сначала подумай . Прежде чем читать вопросы, поймите основную идею (идеи), изложенные в отрывке. Используйте здравый смысл, чтобы вас не обманули отвлекающие факторы.
- Будьте «модными». Отметьте любые отношения между переменными или тенденциями в данных, представленных в диаграммах или графиках.
- Не пугайтесь сложной лексики . ACT обычно определяет термины, которые абсолютно необходимы для вашего понимания. Не теряйте время, пытаясь произнести эти новые термины.
Стратегии письменного теста ACT
- Внимательно прочтите подсказку . Убедитесь, что вы полностью поняли подсказку. Когда в эссе утверждается что-то, о чем никогда не упоминается, максимальная оценка, которую оно может получить, — 3 по шестибалльной шкале.
- Подумайте о подсказке . Найдите время, чтобы сформулировать свое мнение. Нет правильной позиции. Просто нужно уметь отстаивать свое мнение.
- Спланируйте эссе . Это самый важный этап процесса написания эссе. Вы можете потратить до 10 минут, чтобы набросать текст с помощью прилагаемой бумаги для заметок.
- Будьте убедительны . Убедитесь, что у вас есть веские причины и примеры, подтверждающие вашу позицию.Поместите проблему в более широкий контекст.
- Рассмотрим другую сторону . Обязательно укажите, как кто-то может оспорить или поставить под сомнение вашу позицию.
- Напишите свое эссе на страницах ответов .
Ваш комментарий будет первым