График обратной функции онлайн: Калькулятор Обратных Функций

Содержание

График обратной функции

Свойство симметрии графиков обратных функций

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X, и имеет множество значений Y: . И пусть она имеет на множестве X обратную функцию f^-1: . Тогда графики прямой и обратной функций, построенные при значениях их аргументов и , соответственно, симметричны относительно прямой .

Доказательство

Пусть – произвольная точка графика прямой функции , с аргументом, принадлежащим множеству X:
(1) .
Построим точку , симметричную точке относительно прямой , и выразим ее координаты через координаты точки A.

График обратной функции y = f^–1(x) симметричен графику прямой функции y = f(x) относительно прямой y = x.

Для этого через точку A проводим прямую, перпендикулярную прямой . Пусть C – точка пересечения этих прямых. Далее, на проведенной прямой, откладываем точку S, симметричную точке A относительно прямой . При этом
;
.

Из точек A и S опустим перпендикуляры на оси координат. Поскольку прямая составляет угол с осями координат, то и перпендикулярная ей прямая AS также составляет угол с осями координат. Тогда и пересекутся в точке D, принадлежащей прямой . При этом углы у оснований треугольников DAC и SDC равны . По этой причине они являются равнобедренными. А поскольку , то они конгруэнтны. Тогда , и, следовательно,
(2) .

В треугольниках и углы при вершинах O и D равны , а при вершинах равны . Поэтому они равнобедренные и подобные. А поскольку они имеют общее основание OD, то они конгруэнтны. Тогда
(3) .

Используя (2) и (3) имеем:
;
.
Итак, мы выразили координаты симметричной точки S через координаты точки A:
(4) ;
(5) .

Поскольку точка принадлежит графику функции f, то ее координаты связаны уравнением:
(1) .
Поскольку, по условию, f имеет обратную функцию, то
.
Подставляя (4) и (5) находим:
.
То есть мы получили, что симметричная точка S принадлежит графику обратной функции.

Так как мы выбрали точку A произвольно, то это относится ко всем точкам графика .
Все точки графика функции , симметрично отраженные относительно прямой , принадлежат графику обратной функции .
Далее мы можем поменять и местами. В результате получим, что
все точки графика функции , симметрично отраженные относительно прямой , принадлежат графику функции .
Отсюда следует, что графики функций и симметричны относительно прямой .

Свойство доказано.

Примеры графиков обратных функций

Некоторые функции являются непрерывными и строго монотонными на всей области определения. Поэтому они имеют обратные функции, и их графики симметричны относительно прямой . Например, кубическая парабола строго возрастает для всех x. Поэтому она имеет обратную функцию , график которой симметричен графику параболы относительно прямой .

Существуют функции, которые не являются монотонными на всей области определения. Однако можно указать интервал X, на котором такая функция определена, непрерывна и строго монотонна. В этом случае можно выполнить операцию сужения функции на множество X: . То есть рассматривать только значения аргумента, принадлежащие интервалу X. Тогда на этом интервале она будет иметь обратную функцию. В результате графики суженной функции и обратной функции будут симметричны относительно прямой .

Например, квадратичная парабола, , определена и непрерывна для всех x, но не является монотонной. Но она строго возрастает при , то есть на множестве . Тогда сужение параболы имеет обратную функцию . Их графики симметричны относительно прямой .

Тригонометрическая функция также не является монотонной, но она непрерывна и строго возрастает при . Тогда ее сужение имеет обратную функцию . Их графики также симметричны относительно прямой .

Ниже приводятся графики некоторых элементарных функций. Для некоторых из них выполнена операция сужения, и построен график обратной функции.

График параболы y = x² и обратной функции – квадратного корня .
График кубической параболы y = x² и обратной функции – кубического корня .
График показательной функции с основанием 2, y = 2^x и обратной функции – логарифма с основанием 2, y = log₂ x.
График экспоненты y = e^x и обратной функции – натурального логарифма y = ln x.
График синуса y = sin x и обратной функции – арксинуса y = arcsin x.
График косинуса y = cos x и обратной функции – арккосинуса y = arccos x.
График тангенса y = tg x и обратной функции – арктангенса y = arctg x.
График котангенса y = ctg x и обратной функции – арккотангенса y = arcctg x.

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 10-12-2020

Обратная функция — подготовка к ЕГЭ по Математике

Функция — это действие над переменной. Но что будет, если сделать действие — и обратное действие? Открыть дверь и закрыть дверь. Включить свет и выключить свет. Будет то же, что и было раньше, верно? Так и с функциями.

Функции f(x) и g(x) называются взаимно-обратными, если f(g(x)) = x.

Например, при

Сделали действие (возвели в квадрат). Сделали обратное действие (извлекли квадратный корень). И получили то, что и было раньше, то есть переменную .

А вот . Подумайте, почему это так.

Другой пример взаимно-обратных функций: показательная и логарифмическая. Помните основное логарифмическое тождество: для . Для положительных х функции и являются взаимно-обратными.

Еще один пример взаимно-обратных функций:

и при

Вспомним определение функции. Числовая функция y = f(x) — это такое соответствие между двумя числовыми множествами A и B, при котором каждому числу x ∈ A отвечает одно-единственное число y ∈ B. Множество A называется при этом областью определения функции, множество B — областью значений.

Пусть соответствие f является взаимно-однозначным:

Тогда существует функция g, которая действует в обратную сторону: каждому числу y ∈ B она ставит в соответствие одно-единственное число x ∈ A, такое, что f(x) = y:

Функция g называется обратной к функции f. Точно так же и функция f будет обратной к функции g.

Если мы возьмём какое-либо число x ∈ A и подействуем на него функцией f, то получим число y = f(x) ∈ B. Теперь на полученное число y подействуем функцией g. Куда попадём? Правильно, вернёмся к исходному числу x. Это можно записать так:

(1)

Последовательное применение двух взаимно-обратных действий возвращает нас в исходную точку. Как и в жизни: сначала открыли дверь, а потом совершили обратное действие — закрыли дверь; в итоге вернулись к начальной ситуации.

Так, если возвести число 3 в степень x, а затем совершить обратное действие — взять от полученного числа 3^x логарифм по основанию 3 — мы вернёмся к исходному числу x:

Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой у = x.

То, что для функции является областью определения, для обратной функции будет областью значений.

Как вывести формулу обратной функции?

Если вы учитесь в математическом классе или на первом курсе вуза, вам может встретиться такое задание.

Например, у вас есть линейная функция Какая же функция будет к ней обратной?

Действуем следующим образом:

1) Выражаем из формулы функции x через у.

Получаем:

2) В формуле меняем x и у местами. Получаем формулу обратной функции:

Другой пример. Найдем обратную функцию для функции .

1) Выражаем из формулы функции x через у. Получаем:

2) В формуле меняем x и у местами. Получаем формулу обратной функции:

Вычисление производной обратной функции.

Определение. Пусть функция $y=f(x)$ непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки $x_0,$ и пусть в этой точке существует производная $f'(x_0)\neq 0.$ Тогда обратная функция в точке $y_0=f(x_0)$ имеет производную, которая может быть найдена по формуле $\left(f^{-1}(y_0)\right)’=\frac{1}{f'(x_0)}.{0,1x}}.$
Таким образом, $x'(1)=\frac{1}{\frac{2}{10}}=5.$

Ответ: $x'(1)=5.$

Функция. Основные свойства функции. Обратная функция.

Инструкционная карта №3

Тақырыбы/ Тема: «Функция. Способы задания функции. График функции. Обратная функция.»

Мақсаты/ Цель:

1. Познакомить учащихся с понятием функции, ее способами задания функции, понятием графика функции и понятием обратной функции. Нахождением области определения функции.

2. При решении упражнений, развивать у учащихся умения выделять главное, существенное в изучаемом материале, обучить умению рационально находить правильное решение изучаемого вопроса.

3. Развивать самостоятельность и рациональность при решении упражнений, развивать логику мышления.

Теоретический материал:

Определение. Правило, или закономерность, при котором каждому значению х из множества Х соответствует единственное значение у из множества Y, называется функцией. Обозначение: . Функция считается заданной, если указаны:

область определения ;
правило, или закономерность, между значениями х и у;
множество значений .

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости Oxy , для каждой из которых x является значением аргумента, а y – соответствующим значением функции.

Чтобы задать функцию y = f(x), необходимо указать правило, позволяющее, зная x , находить соответствующее значение y.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Если область определения функции y = f(x) не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл.

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию y = f(x).

Графический способ: задается график функции.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность.

Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

Пример 1

Рассмотрим функцию

Рассмотрим теперь область определения. Извлечь квадратный корень из выражения (х — 2) можно, только если эта величина неотрицательная, т. е. х — 2 ≥ 0 или х ≥ 2. Находим

Пример 2

Рациональная функция определена при х — 2 ≠ 0, т. е. x ≠ 2. Поэтому область определения данной функции — множество всех не равных 2 действительных чисел, т. е. объединение интервалов (-∞; 2) и (2; ∞).

Возвращаясь к примеру, можно записать:

Пример 3

Найдем область определения дробно-рациональной функции:

Знаменатели дробей обращаются в нуль при х = 2, х = 1 и х = -3. Поэтому область определения данной функции

Пример 4

Найти область определения функции у = х² +2х – 5

Если функция задана в виде многочлена, то ее значение можно вычислить при любом значении аргумента, следовательно, D (у) = R

Четность и нечетность функций.

Функция f называется четной, если для любого х из её области определения выполняется равенство f(-x) = f(x).
Функция f называется нечетной, если для любого х из её области определения выполняется равенство f(-x) = -f(x).

Понятие об обратной функции

Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения y_o уравнение f(x)=y_o имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция f обратима.
Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y. Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.

Пример

Для функции у = 2х — 4 найдем обратную функцию: у + 4 = 2х, откуда х = 1/2у + 2. Введем переобозначения х ↔ у и запишем обратную функцию в виде у = 1/2х + 2. Таким образом, для функции f(х) = 2х – 4 обратная функция f-1(x) = 1/2х + 2. Построим графики этих функций. Видно, что графики симметричны относительной прямой у = х.

Практическая часть:

1 вариант	2 вариант	3 вариант	4 вариант
Найти область определения функции: 1. у=х³-3х²+2х-6; 2. у=; 3. у=.	Найти область определения функции: 1. у=2х³-5х²+7х-1; 2. у=; 3. у=.	Найти область определения функции: 1. у=-х³+х²-7х-34; 2. у=; 3. у=.	Найти область определения функции: 1. у=-4х 3-14х²+2х-100; 2. у=; 3. у=.
Какие функции являются четными (нечетными): 1. у=3; 2. у=; 3. у= .	Какие функции являются четными (нечетными): 1. у=4; 2. у=; 3. у= .	Какие функции являются четными (нечетными): 1. у=; 2. у=; 3. у= .	Какие функции являются четными (нечетными): 1. у=-; 2. у=; 3. у=х(5- .
Начертите эскиз графика функции f: f – четная функция, х_max=-3, х_min=0, f(-3)=4, f(0)=0.	Начертите эскиз графика функции f: f – нечетная функция, х_max=2, х_min=5, f(2)=3, f(5)=-4.	Начертите эскиз графика функции f: f – четная функция, х_max=0, х_min=4, f(4)=-2, f(0)=2.	Начертите эскиз графика функции f: f – нечетная функция, х_max=-1, х_min₌-4, f(-4)=-3, f(-1)=1.
Найти обратную функцию к заданной функции: у=3х-7	Найти обратную функцию к заданной функции: у=6-2х	Найти обратную функцию к заданной функции: у =	Найти обратную функцию к заданной функции: у=х²+1,х

Контрольные вопросы:

Что такое числовая функция?
Какое множество соответствует области определения функции?
Назовите способы задания функции?
Дайте определение четной (нечетной) функции.
Всякой ли функции можно найти обратную функцию?

Онлайн вычисление обратных тригонометрических функций

Калькулятор онлайн расчитывает обратные тригонометрические функции дугу (число) по заданному значению ее тригонометрической функции: арксинус (arcsin) возвращает угол по значению его синуса; арккосинус (arccos)

возвращает угол по значению его косинуса; арктангенс (arctg) возвращает угол по значению его тангенса.

В разделе I. Для справки приведены графики обратных тригонометрических функций.

Помощь на развитие проекта premierdevelopment.ru

Send mail и мы будем знать, что движемся в правильном направлении.

Спасибо, что не прошели мимо!

I. Для справки:

Арксинус числа a, обозначается arcsin(a) — значение угла x в интервале [−π/2, π/2], при котором sin(x) = a.

Обратная функция y = arcsin (x) определена при x ∈ [−1, 1], область значений арксинуса равна y ∈ [−π/2, π/2].

График функции арксинуса

Арккосинус числа a, обозначается arccos(a) — значение угла x в интервале [0, π], при котором cos(x) = a.

Обратная функция y = arccos (x) определена при x ∈ [−1, 1], область значений арккосинуса равна y ∈ [0, π].

График функции арккосинуса

Арктангенс числа a, обозначается arctan(a) — значение угла x в интервале [−π/2, π/2], при котором tan(x) = a.

Обратная функция y = arctan (x) определена при x ∈ R, область ее значений равна y ∈ [−π/2, π/2].

График функции арктангенса

II. Примечание:

Если обратная тригонометрическая функция не определена в указанной точке, то ее значение не появится в результирующей таблице. Функции arcsin и arccos определены только на отрезке [-1,1].
Округление результатов расчета выполняется до указанного количества знаков после запятой (по умолачанию — округление до сотых).
Блок исходных данных выделен желтым цветом, блок промежуточных вычислений выделен голубым цветом, блок решения выделен зеленым цветом.

Взаимно обратные функции, их графики.

Взаимно обратные функции.

Пусть функция строго монотонная (возрастающая или убывающая) и непрерывная на области определения , область значений этой функции , тогда на интервале определена непрерывная строго монотонная функция с областью значений , которая

является обратной для .

Другими словами, об обратной функции для функции на конкретном промежутке имеет смысл говорить, если на этом интервале либо возрастает, либо убывает.

Функции f и g называют взаимно обратными.

Зачем вообще рассматривать понятие обратных функций?

Это вызвано задачей решения уравнений . Решения как раз и записываются через обратные функции.

Рассмотрим несколько примеров нахождения обратных функций.

Начнём с линейных взаимно обратных функций.

Найти функцию, обратную для .

Эта функция линейная, её графиком является прямая. Значит, функция монотонна на всей области определения. Поэтому, искать обратную ей функцию будем на всей области определения.

Выразим x через y (другими словами, решим уравнение относительно x).

— это и есть обратная функция, правда здесь y – аргумент, а x – функция этого аргумента. Чтобы не нарушать привычки в обозначениях (это не имеет принципиального значения), переставив буквы x и y , будем писать .

Таким образом, и — взаимно обратные функции.

Приведём графическую иллюстрацию взаимно обратных линейных функций.

Очевидно, что графики симметричны относительно прямой (биссектрисы первой и третьей четверти). Это одно из свойств взаимно обратных функций, о которых речь пойдёт ниже.

Найти функцию, обратную .

Эта функция квадратная, графиком является парабола с вершиной в точке .

Функция возрастает при и убывает при . Значит, искать обратную функцию для заданной можно на одном из двух промежутков.

Пусть , тогда , и, меняя местами х и у, получаем обратную функцию на заданном промежутке: .

Проиллюстрируем это на графике.

Найти функцию, обратную .

Эта функция кубическая, графиком является кубическая парабола с вершиной в точке .

Функция возрастает при . Значит, искать обратную функцию для заданной можно на всей области определения.

, и, меняя местами х и у, получаем обратную функцию .

Проиллюстрируем это на графике.

Перечислим свойства взаимно обратных функций и .

и .
Из первого свойства видно, что область определения функции совпадает с областью значений функции и наоборот.
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой .
Если возрастает, то и возрастает, если убывает, то и убывает.

Для заданной функции найдите обратную функцию:
Для заданной функции найдите обратную и постройте графики заданной и обратной функции: Выясните, существует ли обратная функция для заданной функции. Если да, то задайте обратную функцию аналитически, постройте график заданной и обратной функции: Найдите область определения и область значений функции , обратной для функции , если:
1. Найдите область значений каждой из взаимно обратных функций и , если указаны их области определения:
1. Являются ли функции взаимно обратными, если:
1. Найдите функцию, обратную данной. Постройте на одной системе координат графики этих взаимно обратных функций:
  Является ли данная функция обратной по отношению к самой себе: Задайте функцию, обратную данной и постройте её график:
  1. Задайте функцию, обратную данной и постройте её график:
    Рассмотрите данную функцию на каждом из указанных промежутков. Если она на этом промежутке имеет обратную функцию, то задайте её аналитически, укажите её область определения и область значений, постройте её график.
    на
    на
    на
    на
    на
    на
    на
    на
    на
    на
    на
    на
    на
    на
    на
    на
    1. На каждом из указанных промежутков найдите, если это возможно, функцию, обратную данной:
    1. на ; на на ;
    2. на ; на на ;
    3. на ; на на ;
    4. на ; на на ;
    1. Даны взаимно обратные функции и .
    1. . Решите уравнения:
    2. . Решите уравнения:
    3. . Решите уравнения:
    4. . Решите уравнения:
    1. Постройте график функции и определите, существует ли для неё обратная функция. Если да, то на том же чертеже постройте график обратной функции и задайте её аналитически.
      Дана функция , график которой изображён на рисунке. Постройте график обратной функции и найдите области определения и области значений обоих функций.

Понятие обратной функции | Математика, которая мне нравится

Определение. Функция называется обратимой, если для любых двух различных чисел и , принадлежащих , числа и также различны.

Пример 1.

Пример 2. .

Пример 3. .

Пример 4. .

Пример 5. .

Пример 6. .

Обратимость всех этих функций — частный случай следующей теоремы

Теорема. Строго монотонная функция обратима.

Функция является обратимой в том и только в том случае, если любая прямая, перпендикулярная оси ординат, имеет с ее графиком не более одной общей точки.

Определение. Пусть функция обратима, — ее область определения, — множество ее значений. Для каждого числа обозначим через такое число из множества , что (такое число существует и притом только одно). Мы получили новую функцию с областью определения и множеством значений . Эта функция называется обратной функции .

Пример 7. .

Выяснить, обратима ли эта функция, и если обратима, то найти обратную.

Функция обратима, — обратная функция.

Теорема. Графики взаимно обратных функций в одной и той же координатной плоскости симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четверти.

Доказательство. Пусть функция с областью определения и множеством значений имеет обратную функцию . Пусть — графики функций и соответственно. Точка принадлежит точка . Осталось доказать, что точки и симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четверти. Эта биссектриса состоит из точек , где — любое вещественное число. Чтобы доказать, что точки и симметричны относительно биссектрисы, достаточно проверить, что биссектриса является серединным перпендикуляром отрезка , то есть что любая точка равноудалена от точек и .

Задача. Докажите, что функция необратима. Найдите функцию, обратную на промежутке и постройте ее график.

Калькулятор обратной функции — Онлайн-калькулятор обратной функции

Калькулятор обратной функции вычисляет обратное значение для заданной функции. Функция, которая может обратить другую функцию, известна как функция, обратная этой функции. Функция, обратная функции, например f, обычно обозначается как f ^-1.

Что такое калькулятор обратной функции?

Калькулятор обратной функции — это онлайн-инструмент, который помогает найти обратную функцию заданной функции. Предположим, что g (x) является обратным к f (x).Затем f отображает элемент «a» в «b», а g отображает элемент «b» в «a». Чтобы использовать этот калькулятор обратной функции , введите функцию в поле ввода.

Калькулятор обратной функции

Как пользоваться калькулятором обратной функции?

Выполните следующие действия, чтобы найти обратную функцию с помощью онлайн-калькулятора обратной функции:

Шаг 1: Зайдите в онлайн-калькулятор обратной функции Cuemath.
Шаг 2: Введите функцию в данное поле ввода калькулятора обратной функции.
Шаг 3: Нажмите кнопку «Решить» , чтобы найти обратное значение данной функции.
Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поле и ввести новую функцию.

Как работает калькулятор обратной функции?

Если у нас есть функция f такая, что f: A → B. Тогда A называется доменом, а B — ко-доменом. В зависимости от типа отображения функции можно разделить на следующие три типа.

Инъективная функция — Если функция отображает каждый отдельный элемент своей области на каждый отдельный элемент ее ко-области, это называется инъективной функцией.
Сюръективная функция — Если функция отображает один или несколько элементов своей области на один и тот же элемент ее ко-области, это называется сюръективной функцией.
Биективная функция — Биективная функция — это функция, которая одновременно является сюръективной и инъективной функцией.

Функция, обратная функции, может существовать только в том случае, если она является биективной функцией. Следуя приведенным ниже инструкциям, можно найти обратную функцию y = f (x).

Поменять местами переменные x и y.
Решите уравнение через y.
Наконец, y заменяется на f ^-1 (x). Это дает обратную функцию.

Хотите найти сложные математические решения за секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором для решения сложных вопросов.С Cuemath находите решения простым и легким способом.

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

Решенные примеры обратной функции

Пример 1: Найдите обратную функцию y = f (x) = 4x — 9 и проверьте ее с помощью калькулятора обратной функции.

Решение:

Дано: Функция y = f (x) = 4x — 9

Чтобы найти обратную функцию,

Первая замена x и y, x = 4y — 9

И решите относительно y, y = (x + 9) / 4

Заменить y на f ^-1 (x) = (x + 9) / 4

Следовательно, функция, обратная данной функции y = 4x — 9, равна (x + 9) / 4

Пример 2: Найдите обратную функцию y = f (x) = 3x ² + 2 и проверьте ее с помощью калькулятора обратной функции.

Решение:

Дано: Функция y = f (x) = 3x ² + 2

Чтобы найти обратную функцию,

Первая замена x и y, x = 3y ² + 2

И решите относительно y, y = √ [(x — 2) / 3]

Заменить y на f ^-1 (x) = √ [(x — 2) / 3]

Следовательно, функция, обратная данной функции y = 3x ² + 2, равна √ [(x — 2) / 3]

Теперь попробуйте калькулятор обратной функции и найдите обратную для заданных функций:

y = f (x) = 5x ³ + 6
y = f (x) = (x + 5) / (2x — 7)

☛ Математические калькуляторы:

Калькулятор вероятностей

— Примеры, онлайн-калькулятор вероятностей

Калькулятор вероятностей находит вероятность наступления события, вычисляя отношение благоприятных исходов к общим исходам.Вероятность — это поле статистики, которое используется для описания вероятности возникновения события.

Что такое калькулятор вероятностей?

Калькулятор вероятностей

— это онлайн-инструмент, который помогает определить вероятность возникновения события. Вероятность можно разделить на два типа: экспериментальная вероятность и теоретическая вероятность. Вероятность используется в нескольких отраслях для построения прогнозных математических моделей. Чтобы использовать этот калькулятор вероятности , введите значения в поля ввода.

Калькулятор вероятностей

* Используйте только 5 цифр.

Как пользоваться калькулятором вероятностей?

Выполните следующие шаги, чтобы найти вероятность с помощью онлайн-калькулятора вероятностей:

Шаг 1: Зайдите в онлайн-калькулятор вероятностей Cuemath.
Шаг 2: Введите благоприятные исходы и общее количество исходов в поля ввода калькулятора вероятности.
Шаг 3: Нажмите кнопку «Рассчитать» , чтобы определить вероятность события.
Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести новые значения.

Как работает калькулятор вероятностей?

Формула теоретической вероятности имеет следующий вид:

Теоретическая вероятность = количество благоприятных исходов / общее количество исходов.

Существуют определенные аксиомы, которым следуют как теоретическая вероятность, так и экспериментальная вероятность.Они даются следующим образом:

Вероятность любого события всегда будет больше или равна 0.
Набор всех возможных результатов для события дается пространством выборки.
Предположим, у нас есть два события, A и B, которые не могут произойти одновременно. Вероятность возникновения A или B определяется суммированием вероятности A и вероятности B. Кроме того, такие события известны как взаимоисключающие события.

Правила вероятности приведены ниже:

Нулевой набор используется для обозначения вероятности невозможного события.
Вероятность наступления события составляет от 0 до 1.
Событие не может иметь отрицательную вероятность.
Сумма вероятностей того, что событие произойдет, а не произойдет, равна 1.

Хотите найти сложные математические решения за секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором для решения сложных вопросов. С Cuemath находите решения простым и легким способом.

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

Решенных примеров вероятности

Пример 1: Какова вероятность выбрать черный шар из мешка, содержащего 4 желтых шара, 6 синих шаров, 8 красных шаров и 3 черных шара? Проверьте это с помощью калькулятора вероятностей.

Решение:

Общее количество возможных исходов = 21

Благоприятные исходы = 3

Вероятность = 3/21

Вероятность = 1/7 = 0,14

Таким образом, вероятность выбрать черный шар из данного мешка составляет 1/7 или 0,14.

Пример 2: Если мы подбросим монету один раз, какова вероятность выпадения орла? Проверьте это с помощью калькулятора вероятностей.

Решение:

Общее количество возможных исходов = 2

Благоприятные исходы = 1

Вероятность = 1/2

Вероятность = 0.5

Таким образом, вероятность выпадения орла равна 0,5.

Аналогичным образом, чтобы определить вероятность события, вы можете попробовать калькулятор вероятности для следующего:

Узнайте вероятность получить шоколад, если в пакете 10 шоколадных конфет и 5 ирисков.
Какова вероятность выпадения числа 6 при броске кубика?

☛ Математические калькуляторы:

Калькулятор научных обозначений

— Примеры, факты

Калькулятор в научном представлении помогает выразить заданное число в экспоненциальном представлении.Научные обозначения дают нам возможность легко выражать очень большие или очень маленькие числа. Он использует десятичную форму, а также степень 10 для представления числа.

Что такое калькулятор в научной системе обозначений?

Калькулятор научной нотации — это онлайн-инструмент, который помогает вычислить научную нотацию данного числа, используя десятичные дроби и степени 10. Если число очень большое, показатель степени (или степень 10) положительный. Однако, если у нас небольшое число, степень 10 отрицательна.Чтобы использовать этот калькулятор в экспоненциальном представлении , введите значение в поле ввода.

Калькулятор в научной системе обозначений

Как пользоваться калькулятором в научном представлении?

Пожалуйста, выполните следующие действия, чтобы рассчитать научную нотацию с помощью онлайн-калькулятора научной записи:

Шаг 1: Зайдите в онлайн-калькулятор научной записи Cuemath.
Шаг 2: Введите число в поле ввода калькулятора научной записи.
Шаг 3: Нажмите кнопку «Рассчитать» , чтобы найти экспоненциальное представление.
Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести новые значения.

Как работает калькулятор в научной системе обозначений?

Очень большое или маленькое число может быть выражено с использованием научных обозначений. Однако для использования научных обозначений необходимо соблюдать некоторые правила.Они даются следующим образом:

Правило 1: Предположим, у нас есть большое число больше 1. Затем мы перемещаем десятичную точку влево, и степень 10 становится положительной.
Правило 2: Предположим, у нас есть небольшое число, меньшее 1. Десятичная точка смещена вправо, а степень 10 отрицательна.

Ниже приведены шаги для представления числа в экспоненциальном представлении.

Десятичную точку необходимо перемещать до тех пор, пока слева от точки не останется только одна ненулевая цифра.Это число обозначается буквой c.
Теперь посчитайте количество разрядов, на которое была перемещена десятичная точка. Это представлено буквой n.
Если десятичная дробь была перемещена влево, n будет положительным. Это означает, что число большое.
Если десятичная дробь была перемещена вправо, n будет отрицательным. Это показывает, что количество невелико.
Теперь подставьте эти значения в формулу c × 10 ⁿ, чтобы получить научную запись.

Хотите найти сложные математические решения за секунды?

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

Решенных примеров в научной нотации

Пример 1: Найдите экспоненциальное представление для 0,00748 и проверьте его с помощью калькулятора экспоненциального представления.

Решение:

Переместите десятичную запятую вправо от 0,00748 до 3 разрядов.

с = 7,48

n = -3 (десятичная дробь была перемещена вправо, следовательно, n отрицательное)

По формуле: c × 10 ⁿ

Следовательно, научная запись для 0.00748 — это 7,48 × 10 ^-3

Пример 2: Найдите экспоненциальное представление для 7485 и проверьте его с помощью калькулятора экспоненциального представления.

Решение:

Переместите десятичную запятую влево от 7485 до 3 разрядов.

с = 7,485

n = 3 (поскольку десятичная дробь была перемещена влево, следовательно, n положительно)

По формуле: c × 10 ⁿ

Следовательно, 7485 в научном обозначении — 7.485 × 10 ³

Точно так же вы можете попробовать калькулятор в научном представлении, чтобы найти его для следующего:

☛ Математические калькуляторы:

Исчисление I — Обратные функции

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-2: Обратные функции

В последнем примере из предыдущего раздела мы рассмотрели две функции \ (f \ left (x \ right) = 3x — 2 \) и \ (g \ left (x \ right) = \ frac {x} {3 } + \ frac {2} {3} \) и увидел, что

\ [\ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right) = \ left ({g \ circ f} \ right) \ left (x \ right) = x \]

, и, как отмечено в этом разделе, это означает, что между этими двумя функциями существует хорошая взаимосвязь.Посмотрим, что это за отношения. Рассмотрим следующие оценки.

\ [\ require {color} \ begin {align *} f \ left ({\ color {PineGreen} — 1} \ right) & = 3 \ left ({- 1} \ right) — 2 = {\ color {Красный } — 5} \ hspace {0.5in} \ Rightarrow \ hspace {0.25in} & g \ left ({\ color {Red} — 5} \ right) & = \ frac {{- 5}} {3} + \ frac {2} {3} = \ frac {{- 3}} {3} = {\ color {PineGreen} — 1} \\ & & & \\ g \ left ({\ color {PineGreen} 2} \ right ) & = \ frac {2} {3} + \ frac {2} {3} = {\ color {Red} \ frac {4} {3}} \ hspace {0.5 дюймов} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} & f \ left ({\ color {Red} \ frac {4} {3}} \ right) & = 3 \ left ({\ frac {4} {3}} \ справа) — 2 = 4 — 2 = {\ color {PineGreen} 2} \ end {align *} \]

В первом случае мы подключили \ (x = — 1 \) к \ (f \ left (x \ right) \) и получили значение \ (- 5 \). Затем мы развернулись и подключили \ (x = — 5 \) к \ (g \ left (x \ right) \) и получили значение -1, число, с которого мы начали.

Во втором случае мы сделали нечто подобное. Здесь мы подключили \ (x = 2 \) к \ (g \ left (x \ right) \) и получили значение \ (\ frac {4} {3} \), мы развернулись и вставили это в \ ( f \ left (x \ right) \) и получил значение 2, которое снова является числом, с которого мы начали.

Обратите внимание, что здесь мы действительно выполняем некоторую композицию функций. Первый случай действительно,

\ [\ left ({g \ circ f} \ right) \ left ({- 1} \ right) = g \ left [{f \ left ({- 1} \ right)} \ right] = g \ left [ {- 5} \ right] = — 1 \]

а второй случай действительно

\ [\ left ({f \ circ g} \ right) \ left (2 \ right) = f \ left [{g \ left (2 \ right)} \ right] = f \ left [{\ frac {4} {3}} \ right] = 2 \]

Также обратите внимание, что оба они согласуются с формулой композиций, которые мы нашли в предыдущем разделе.Мы возвращаем из оценки функции число, которое мы изначально вставили в композицию.

Итак, что здесь происходит? В некотором смысле мы можем думать об этих двух функциях как об отмене того, что другой сделал с числом. В первом случае мы вставили \ (x = — 1 \) в \ (f \ left (x \ right) \), а затем вставили результат этой оценки функции обратно в \ (g \ left (x \ right) \) и каким-то образом \ (g \ left (x \ right) \) отменил то, что \ (f \ left (x \ right) \) сделал с \ (x = — 1 \), и вернул нам оригинал \ (x \), с которой мы начали.

Пары функций, которые демонстрируют такое поведение, называются обратными функциями . Прежде чем формально определять обратные функции и обозначения, которые мы собираемся использовать для них, нам нужно получить определение.

Функция называется однозначно , если никакие два значения \ (x \) не дают одинаковых \ (y \). Математически это то же самое, что сказать

\ [f \ left ({{x_1}} \ right) \ ne f \ left ({{x_2}} \ right) \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} {\ rm {when}} \ hspace { 0.2} \) во взаимно однозначную функцию, если мы ограничимся \ (0 \ le x <\ infty \). Иногда это можно сделать с помощью functions.

Показать, что функция является индивидуальной, часто бывает утомительно и / или сложно. По большей части мы будем предполагать, что функции, с которыми мы будем иметь дело в этом курсе, либо взаимно однозначны, либо мы ограничили область определения функции, чтобы сделать ее взаимно однозначной. {- 1}} \ left (x \ right) \).Показать решение

Теперь мы уже знаем, что является обратным к этой функции, поскольку мы уже поработали с ней. Однако было бы неплохо начать с этого, поскольку мы знаем, что должны получить. Это будет хорошей проверкой процесса.

Итак, приступим. Сначала заменим \ (f \ left (x \ right) \) на \ (y \).

\ [y = 3x — 2 \]

Затем замените все \ (x \) на \ (y \) и все \ (y \) на \ (x \).{- 1}} \ left (x \ right) \). Показать решение

Тот факт, что мы используем \ (g \ left (x \ right) \) вместо \ (f \ left (x \ right) \), не меняет принцип работы процесса. Вот несколько первых шагов.

\ [y = \ sqrt {x — 3} \ hspace {0,25 дюйма} \, \, \, \, \, \, \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \, \, \, \, \, \, \ , \, \, x = \ sqrt {y — 3} \]

Теперь, чтобы найти \ (y \), нам нужно сначала возвести в квадрат обе стороны, а затем действовать как обычно. {- 1}} \ left (x \ right) = \ frac {{4 + 5x}} {{2x — 1}} \]

Наконец, нам нужно провести проверку.{- 1}}} \ right) \ left (x \ right) & = \ frac {{2x — 1}} {{2x — 1}} \, \, \ frac {{\ frac {{4 + 5x} } {{2x — 1}} + 4}} {{2 \ left ({\ frac {{4 + 5x}} {{2x — 1}}} \ right) — 5}} \\ & = \ frac { {\ left ({2x — 1} \ right) \ left ({\ frac {{4 + 5x}} {{2x — 1}} + 4} \ right)}} {{\ left ({2x — 1} \ right) \ left ({2 \ left ({\ frac {{4 + 5x}} {{2x — 1}}} \ right) — 5} \ right)}} \\ & = \ frac {{4 + 5x + 4 \ left ({2x — 1} \ right)}} {{2 \ left ({4 + 5x} \ right) — 5 \ left ({2x — 1} \ right)}} \\ & = \ гидроразрыв {{4 + 5x + 8x — 4}} {{8 + 10x — 10x + 5}} \\ & = \ frac {{13x}} {{13}} = x \ end {align *} \]

Вау.Это было много работы, но в конце концов все получилось. Мы сделали всю нашу работу правильно, и у нас действительно есть обратное.

Есть еще одна последняя тема, которую нам нужно быстро обсудить, прежде чем мы покинем этот раздел. Существует интересная взаимосвязь между графиком функции и графиком, обратным ей.

Вот график функции и обратной из первых двух примеров.

В обоих случаях мы можем видеть, что график инверсии является отражением фактической функции относительно линии \ (y = x \).Так всегда будет с графиками функции и обратной ей.

Функция обратной ошибки Калькулятор — Расчет высокой точности

Цель использования: Решение данных распределения скорости для неподвижной жидкости в движущаяся труба.

Цель использования: Отношение электрического сигнала к шуму при реализации когерентных оптических систем

Цель использования: Второй закон диффузии Фрика Соливинга для домашних заданий

Цель использования: Вычисление z-значения процентиля при нормальном распределении.

Цель использования: Преобразование коэффициента Джини в стандартное отклонение логарифмического дохода для анализа бедности

Цель использования: Завершить работу по диффузии полупроводников

Цель использования: Толстая бетонная стена (предположим, полубесконечная плита), первоначально при 30 ° C, внезапно увеличила температуру поверхности на
до 600 ° C сильным огнем продолжительностью 25 минут.Материал распадется на глубину, где температура достигнет 400 ° C. Я использовал обратный калькулятор erf, чтобы определить толщину материала, который может разрушиться.

Цель использования: Домашнее задание по материаловедению .. расчет диффузии. Boaziçililere selamlar ..

Цель использования: Просто люблю вычислять некоторые обратные функции ошибок в воскресенье ночь.

Цель использования: Материаловедение — Моделирование затвердевания (кинетика и термодинамика диффузии)
Комментарий / запрос: Очень точно, экономит время.

Обратные функции: Графики

Особенностью пары обратной функции является то, что их упорядоченные пары перевернуты. Например, f (x) = 2x + 1 и его обратная функция, f − 1 (x) = x − 12, имеют следующие упорядоченные пары:

f (x) = 2x + 1: (0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)

f − 1 (x) = x − 12: (1, 0) , (3, 1), (2, 5), (7, 3)

При построении графика функции будут отражением друг друга на линии y = x, как показано ниже.

ГРАФИКИ ОБРАТНЫХ ФУНКЦИЙ:

У обратных функций есть графики, которые являются отражениями по линии y = x и, таким образом, имеют перевернутые упорядоченные пары.

Давайте воспользуемся этой характеристикой, чтобы идентифицировать обратные функции по их графикам.

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИДЕНТИФИКАЦИИ ОБРАТНЫХ ФУНКЦИЙ ПО ИХ ГРАФИКАМ:

1. Нарисуйте оба графика на одной координатной сетке.

2. Проведите линию y = x и обратите внимание на симметрию.

а. Если симметрия не очевидна, функции не являются обратными функциями.
г. Если симметрия очевидна, перейдите к шагу 3 для проверки.

3. Сравните координаты как минимум четырех точек, чтобы определить, поменялись ли они местами. В таком случае функции обратные.

Пример 1. Нарисуйте графики f (x) = 2x ² и g (x) = x2 для x≥0 и определите, являются ли они обратными функциями.

Шаг 1. Постройте оба графика на одной координатной сетке.

Шаг 2: Проведите линию y = x и найдите симметрию.

Если симметрия не заметна, функции не обратные. Если симметрия заметна, дважды проверьте с шага 3.

В этом случае симметрия очевидна, поэтому переходите к шагу 3.

у = х

Шаг 3: Сравните координаты по крайней мере четырех точек, чтобы увидеть, поменялись ли координаты местами.

Поскольку выбранные четыре точки показывают, что координаты f (x) обратны координатам g (x), функции являются обратными функциями.

Пример 2: Нарисуйте графики f (x) = 3x ²-1 и g (x) = x + 13 для x≥0 и определите, являются ли они обратными функциями.

Шаг 1. Постройте оба графика на одной координатной сетке.

Шаг 2: Проведите линию y = x и найдите симметрию.

Если симметрия не заметна, функции не обратные.Если симметрия заметна, дважды проверьте с шага 3.

В этом случае симметрия очевидна, поэтому переходите к шагу 3.

у = х

Шаг 3: Сравните координаты как минимум четырех точек, чтобы увидеть, поменялись ли координаты местами.

Поскольку выбранные четыре точки показывают, что координаты f (x) НЕ обратны координатам g (x), функции НЕ являются обратными функциями. Более пристальный взгляд на линию y = x покажет, что она немного отцентрована.

7.Обратные тригонометрические функции

М. Борна

В разделе Тригонометрические функции любого угла мы решали вопросы типа

«Найдите 2 угла, косинус которых равен 0,7».

В этом вопросе использовалась кнопка cos ^-1 на наших калькуляторах. Мы нашли cos ^-1 0,7, а затем рассмотрели квадранты, в которых косинус был положительным. Помните, что число, которое мы получаем при нахождении функции обратного косинуса, cos ^-1, представляет собой угол .-1`, если говорить об обратной косинусной функции.]

Давайте сначала вспомним график `y = cos \ x` (который мы встречали в Graph of y = a cos x), чтобы мы могли видеть, откуда берется график` y = arccos \ x`.

0.5ππ-0.5π0.511.522.5-0.5-1xy

График y = cos x .

Теперь мы выбираем часть этого графика от x = 0 до x = π , показанную здесь заштрихованной частью:

0.5ππ-0.5π0.511.522.53-0.5-1xy

График y = cos x с заштрихованной частью `0

График , обратный косинуса x , находится путем отражения выбранной части графика `cos x` через линию` y = x`.

0.5ππ-0.5π0.511.522.53-0.5-1xyy = x

График y = cos x и линия `y = x`.

Теперь отразим каждую точку на этой части кривой cos x через линию y = x (я показал только несколько отражаемых типичных точек).

0,5ππ-0,5π123-1xy (π, −1) (- 1, π) 0,5π

Точки отражения на кривой проходят через линию `y = x`.

Результатом является график `y = arccos x`:

См. Анимацию этого процесса здесь: Графические анимации обратной тригонометрической функции.

Вот и все, что касается графика — он не выходит за рамки того, что вы видите здесь. (Если бы это было так, было бы несколько значений y для каждого значения x , и тогда у нас больше не было бы функции.) Я указал «начальную» и «конечную» точки, `(-1 , pi) `и` (1,0) `с точками.

ПРИМЕЧАНИЕ 1: Метки осей также были отражены. То есть теперь есть обычные числа по оси x и кратные 0.5pi по оси y .

ПРИМЕЧАНИЕ 2: Вы также увидите «arccos», записанное как «« acos »« », особенно в компьютерном программировании.

Область (возможные значения x ) для arccos x — это

-1 ≤ x ≤ 1

Диапазон (из значений y для графика) для arccos x составляет

0 ≤ arccos x ≤ π

Функция обратной синусоиды (arcsin)

Мы определяем функцию обратного синуса как

`y = arcsin \ x` для` -pi / 2 <= y <= pi / 2`

, где y — угол, синус которого равен x .Это означает, что

`x = sin y`

График

y = arcsin x

Давайте сначала посмотрим на график y = sin x , а затем построим кривую y = arcsin x .

График y = sin x , с выделенной частью от «-pi / 2» до «pi / 2».

Как мы делали ранее, если мы отразим указанную часть y = sin x (часть между `x = -pi / 2` и` x = pi / 2`) через линию y = x , получаем график y = arcsin x :

Еще раз, что вы видите, то и получаете.График не выходит за указанные границы x и y . Я обозначил точки «начало» и «конец».

Область (возможные значения x ) для arcsin x составляет

-1 ≤ x ≤ 1

Диапазон (из значений y для графика) для arcsin x составляет

`-π / 2 ≤ arcsin \ x ≤ π / 2`

Посмотрите анимацию этого процесса здесь:

Обратные тригонометрические функции графической анимации.

Функция обратной касательной (arctan)

Напоминаем, что вот график y = tan x , который мы встречали ранее на графиках tan, cot, sec и csc.

Отражая заштрихованную часть графика (от `x = -pi / 2` до` pi / 2`) в строке y = x , получаем график y = arctan x :

График `y =» arctan «\ x`.

На этот раз график выходит за пределы того, что вы видите, как в отрицательном, так и в положительном направлении x , и он не пересекает пунктирные линии (асимптоты в `y = -pi / 2` и` y = pi / 2`).

Область (возможные значения x ) для arctan x составляет

Все значения x

Диапазон (из значений y для графика) для arctan x составляет

`-π / 2

Числовые примеры arcsin, arccos и arctan

Используя калькулятор в радианах, получаем:

arcsin ^{0,6294 = sin ^-1 (0.6294) = 0,6808}
arcsin ^{(-0,1568) = sin ^-1 (-0,1568) = -0,1574}
arccos ^{(-0,8026) = cos ^-1 (-0,8026) = 2,5024}
арктан ^{(-1,9268) = загар ^-1 (-1,9268) = -1,0921}

Обратите внимание, что калькулятор выдаст значения которые находятся в пределах определенного диапазона для каждой функции.

Ответы в каждом случае: углов (в радианах).

Функция обратной секущей (угловые секунды)

График y = sec x , который мы встречали ранее на графиках tan, cot, sec и csc:

График y = arcsec x получен путем отражения заштрихованной части приведенной выше кривой в линии y = x :

График `y =» arcsec «\ x`.

Кривая определяется вне участка между -1 и 1. Я обозначил «начальные» точки `(-1, pi)` и `(1,0)` точками.

Домен «arc» sec \ x` равен

Все значения x , кроме −1 < x <1

Диапазон угловых секунд x равно

0 ≤ arcsec x ≤ π , «arcsec» \ x ≠ π / 2`

Функция обратного косеканса (arccsc)

График y = csc x , который мы встречали ранее на графиках tan, cot, sec и csc, выглядит так:

Обратите внимание, что нет значений y между -1 и 1.

Теперь для графика y = arccsc x , который мы получаем, отражая заштрихованную часть кривой выше в строке y = x :

График `y =» arccsc «\ x`.

График не определен между -1 и 1, но простирается оттуда в отрицательном и положительном направлениях x .

Домен arccsc x равен

Все значения x , кроме −1 < x <1

Диапазон arccsc x равен

`-π / 2 ≤» arc «csc \ x ≤ π / 2,` arccsc x ≠ 0

Функция обратного котангенса (arccot)

График y = cot x , который мы встречали ранее на графиках tan, cot, sec и csc, выглядит следующим образом:

Взяв выделенную часть, как указано выше, и отразив ее в линии y = x , мы получим график y = arccot x :

График `y =» arccot »\ x`.

График простирается в отрицательном и положительном направлениях x (он не останавливается на -8 и 8, как показано на графике).

Итак, домен для arccot x :

Все значения x

Диапазон arccot x равно

0 x < π

Альтернативный вид

Некоторые учебники по математике (и некоторые уважаемые математические программы, например,г. Mathematica) рассматривают следующее как область y = детская кроватка x , которую следует использовать:

Это даст следующее при отображении в строке y = x :

График `y =» arccot »\ x`; альтернативный взгляд.

И снова график расширяется в отрицательном и положительном направлениях x .

Домен arccot x также будет:

Все значения x

Используя эту версию, диапазон arccot x будет:

`-π / 2 arccot x ≠ 0)

См. Обсуждение этого вопроса по адресу:

Какой правильный график arccot x ?.(-1) (- 1) = — pi / 4`
`cos (-pi / 4) = 1 / 2sqrt (2)`
.