Нажмите "Enter", чтобы перейти к содержанию

Сайт для построения графиков функций: Построение графиков функций онлайн

Содержание

Построение графиков функций, не являющихся элементарными — КиберПедия

 

Определение функции не предполагает, что функция обязательно задается одной формулой. Может оказаться так, что на различных участках изменения аргумента функция задаетя различными аналитическими выражениями. Приведем некоторые примеры.

Пример 4. Поcтроить график функции сигнум, которая задается выражением

Решение. Если , то функция задана равенством и ее графиком будет полупрямая, параллельная оси , причем точка не будет принадлежать графику сигнума (будет выколотой). Для значений функция и ее графиком будет полупрямая, параллельная оси , причем точка будет выколотой. При сигнум тоже равен нулю, поэтому на графике следует изобразить точку . Таким образом, сигнум является кусочно-постоянной функцией. Его график изображен на рис. 14.

 

 

Рис. 14. График функции .

Пример 5. Пусть , где обозначает наибольшее целое чило, не превосходящее . Функция называется

целой чаcтью числа . Построить график .

Решение. Если — целое число, то . Если , то , если , то и т.д. Рассмотрим отрицательные значения . Если , то , если , то и т.д. График функции показан на рис. 15. Отметим, что левые концы сплошных отрезков принадлежат графику, а правые — не принадлежат.

 

Пример 6. Построить график функции . Функция называется дробной частью числа .

Решение. Дробная часть числа удовлетворяет неравенствам . Если целое, то, очевидно, его дробная часть равна нулю: . При получим , при имеем , при получим и т.д. Если , то . Если , то и т.д. График функции изображен на рис. 16. Заметим, что левые концы сплошных отрезков принадлежат графику, а правые — не принадлежат.

 

 

 

Рис. 15. График функции .

 

Рис. 16. График функции .

Пример 7. Построить график функции, определенной равенством

Решение. Функция задает прямую, проходящую через точки и . Изобразим эту прямую при . Функция — это парабола, ветви которой направлены вниз. Её вершина находится в точке (0,1). Парабола проходит через точки и . Наконец, при , изобразим прямую , проходящую через точки и . Получим график непрерывной функции (см. рис. 17).

 

 

Рис. 17. К примеру 7.

 

4. Действия с графиками функций

 

В этом пункте мы рассмотрим сложение, вычитание, умножение и деление графиков функций. Также по графикам двух известных функций построим график суперпозиции этих функций.

 

4.1. Сложение и вычитание графиков

 

Сложение. Пусть даны две функции и и их графики изветны. Требуется изобразить график функции . Для этого построим на одном чертеже графики слагаемых функций. Затем проведем ряд вертикальных прямых, пересекающих графики этих функций, и пометим на них точки, ординаты которых равны сумме ординат слагаемых функций. Например (см. рис. 18), при имеем , , значит . Заметим, что при сложении нужно учитывать знак ординат, например, при имеем , а , значит .

Соединяя полученные точки плавной кривой, получим эскиз графика функции (см. рис. 18).

 

 

Рис. 18. Графики функций , и .

 

Вычитание. При построении эскиза графика разности двух функций , графики которых известны можно либо сложить графики функций и либо провести вертикальные прямые, пересекающих графики функций и , и отметить на них точки, ординаты которых равны разности ординат функций и .

 

Пример 8. Построить график функции .

Решение. График функции есть прямая, проходящая через точки и , график изображен на рис. 7. Построим график функции сложением графиков функций и (см. рис. 19).

 

Рис. 19. Графики функций , и .

Пример 9. Построить график функции .

Решение. Построим графики функций и и вычтем график второй функции из графика первой (см. рис. 20). При этом, учитывая вид графика вертикальные прямые, пересекающие графики функций, будем проводить на расстоянии друг от друга.

 

 

Рис. 20. Графики функций , и .

 

 

4.2. Умножение и деление графиков

 

Изучим правила перемножения и деления графиков функций. Рассмотрим как построить график суперпозиции двух функций. Приведем некоторые примеры.

Произведение. Пусть известны графики двух функций и . Построим график функции . Для этого изобразим на одном чертеже графики функций, входящих в произведение. Затем проведем ряд вертикальных прямых, пересекающих графики этих функций, и пометим на них точки, ординаты которых равны произведению ординат перемножаемых функций. При этом, если ордината одной их функций, входящих в произведение равна нулю, т.е. ее график пересекает ось , то и ордината произведения будет равна нулю, т.е. график будет пересекать ось при том же значении абсциссы. Если ордината одной их функций или равна , то ордината произведения этих функций будет раположена на графике другой функции. Если перемножаются ординаты одного знака (либо обе ординаты имеют знак » «, либо обе ординаты имеют знак » «), то произведение будет положительно. Если в произведение входят ординаты разных знаков (одна ордината имеет знак » «, а другая » «), то их произведение будет отрицательно. Соединяя полученные точки плавной кривой, получим эскиз графика функции (см. рис. ).

Например (см. рис. 21), при имеем , , значит .

 

Рис. 21. Графики функций , и .

Пример 10. Построить график функции .

Решение. График функций и нам известны. График — бисектрисса первого и третьего координатных углов, а график изображен на рис. 22. Заметим, что функция — нечётная и — нечётная, поэтому их произведение — чётная функция. Следовательно, достаточно построить график только для , а затем симметрично отобразить на полуплоскость . Заметим также, что поскольку , то произведение , т.е. график не выходит за пределы линий и .

Итак, пусть . В точках , где произведение равно нулю, следовательно в этих точках график пересекает ось . Удобно также отметить точки, в которых , поскольку при график попадает на прямую , а при — на прямую .

Проведя вертикальные прямые через точки , …, и перемножая соответствующие ординаты функций и , получим график функции (см. рис. 22).

Рис. 22. Графики функций , и .

Частное.Теперь, зная графики функций и изобразим график функции . Если знаменатель дроби отличен от нуля: , то при делении графиков совершаются действия, аналогичные действиям при умножении графиков. А именно, изображаются графики и , проводится ряд вертикальных прямых, пересекающих эти графики, отмечаются точки, ординаты которых равны , полученные точки соединяются плавной линией (см. рис. 23).

Рис. 23. Графики функций , и .

Точки, в которых заслуживают особого внимания, поскольку в этих точках функция не существует. В окрестнотях точек, в которых знаменатель функция может вести себя по разному. Рассмотрим возможные варианты.

Пусть при ( ). Возможны два случая: или .

При функция неограниченно возрастает или убывает в окрестности точки . В этом случае, нужно обратить внимание на знак частного при и при . Рассмотрим, например, правую окрестность, т.е. точки , которые больше : . Если при , достаточно близких к , таких, что частное , то график функции будет уходить вверх, прижимаясь справа к прямой , но не пересекая её. Если же , то график будет идти вниз, прижимаясь справа к прямой (см. рис. 23).

Аналогично поведет себя график и в левой окрестности, т.е. при (только прижиматься к прямой график будет слева) (см. рис. 23).

Ситуацию когда и и можно тщательно изучить только пользуясь теорией пределов, однако в некоторых случаях можно определить поведение функции исходя из графиков и и в этом случае.

Отметим также, что для построения частного можно перемножить графики и .

Замечание. При построении графиков произведения и частного двух функций полезно помнить, что если обе функции и чётные или обе нечётные, то и произведение и частное будет чётной функцией. Если же одна из функций или нечётная, а другая чётная, то их произведение и частное будет нечётной функцией.

Пример 11.Построить график функции .

Решение. Используя рис. 2 и таблицу 1 изобразим графики функций и (см. рис. 24).

Функции определена и непрерывна во всех точках, за исключением нуля.

Заметим, что — четная функция, причем при , функция тоже четная, причем для всех . Поэтому функция график будет симметричен относительно оси и расположен выше оси .

Построим график при . Проведем вертикальные линии, проходящие через точки , , , и отметим на них значение частного функций и . Так при будем иметь , при получим и т.д.

Замечая, что при знаменатель дроби обращаетя в нуль, а числитель отличен от нуля (равен единице), и учитывая, что для всех (значит, и в любой окрестности точки ) получим, что график рассматриваемой функции при будет уходить вверх, прижимаясь справа к оси .

Рис. 24. Графики функций , и .

Соединяя отмеченные точки и рисуя график функции в промежетке от до уходящим вверх и приближающимся справа к оси , получим график функции при . В силу четности рассматриваемой функции, слева от оси изображаем кривую, симметричную кривой справа от оси , получаем искомый график (см. рис. 24).

4.3. Построение графиков сложных функций

Суперпозиция. Пусть графики функций и известны. Для того, чтобы изобразить график сложной функции (суперпозиции двух функций) (см. рис. 25) составим таблицу (см. таблицу 2).

В первой строке таблицы запишем значения аргумента , при этом выберем интересующую нас область построения (на рис. 25 — это отрезок ) и значения аргумента будем брать на некотором расстоянии друг от друга (на рис. 25 мы берем точки … ).

Во вторую строку таблицы исходя из графика (если есть аналитическое выражение для нужно использовать его) запишем значения внутренней функции в соответствующих точках из первой строки (так в таблице 2 это ; ;…; ; ).

В третьей строке таблицы запишем значения внешней функции от значений из второй строки (в таблице 2 это ; ;…; ; ).

На график нанесем точки с координатами из первой и третьей строк таблицы и соединим их плавной линией. Получим эскиз графика (см. рис. 25).

Таблица 2.

 

 

Продолжение таблицы 2.

 

 

 

Рис. 25. Графики функций и .

Пример 12. Построить эскиз графика .

 

Решение. Функция является суперпозицией функций и . Областью определения функции , как и функции является вся числовая ось. Поэтому областью определения функции также является вся числовая ось. Очевидно, что при любых , поэтому график будет расположен полностью выше оси .

Составим таблицу, в первой строке которой укажем значения аргумента (рассмотрим значения от до с шагом в половину единичного отрезка), во второй — значения функции при соответствующих значениях аргумента, в третьей — значения .

Таблица 3.

 

Отметим точки, соответствующие первой и третьей строкам таблицы 3, на чертеже, соединим их плавной линией и получим эскиз графика функции (см. рис. 26)

 

Рис. 26. График функции .

 

Пример 13.Построить эскиз графика .

 

Решение. Данная функция определения для всех значений . В силу (1), её областью значений является отрезок . Поскольку

то функция является четной и достаточно построить её график в области .

Используя равенство (3), получим

Вспомним, что функция является обратной к только при . Следовательно, при , т.е. при (мы взяли по причине четности рассматриваемой функции).

Имеем, что при выполняется равенство .

Если , то и, отняв из неравенств , получим . Учитывая, что будем иметь

 

Поэтому при график функции совпадает с графиком функции (см. рис. 27).

При получаем, что и . Поскольку , то на указанном промежутке . Следовательно, при график функции совпадает с графиком функции (см. рис. 27).

Аналогично при , , имеем, что график исходной функции совпадет с графиком функции

Начертив график функции при , симметрично изобразим его и при . Эскиз графика функции представлен на рис. 27.

 

 

Рис. 27. График функции .

 

 

5. Графики в полярных координатах

 

5.1. Полярные координаты

 

Положение точки в полярных координатах на плоскости (см. рис. 28) определяется:

1) ее расстоянием от некоторой данной точки , называемой полюсом;

2) углом , который образует отрезок с заданным направлением прямой , которая называется полярной осью).

 

 

Рис. 28. Точка в полярных координатах.

 

При этом называют радиусом-вектором и — полярным углом. Если принять полярную ось за , а полюс — за начало координат, то имеем, очевидно (см. рис. 29):

 

 

Рис. 29. Точка в полярных координатах.

 

Данному положению точки соответствует одно определенное положительное значение и бесчисленное множество значений , которые отличаются слагаемым, кратным . Если совпадает с , то и — неопределенно.

Всякая функциональная зависимость вида (явная) или (неявная) имеет в полярной системе координат свой график.

В дальнейшем мы будем рассматривать не только положительные, но и отрицательные значения , причем если некоторому значению соответствует отрицательное значение , то условимся откладывать это значение в направлении, прямо противоположном тому направлению, которое определяется значением .

 

5.2. Графики кривых в полярных координатах

 

Для того, чтобы построить график в полярных координатах по точкам нужно заполнить таблицу, в первой строке которой записать значения угла из интересующего промежутка, а во второй — соответствующие значения функции . Затем, отметить и соединить эти точки плавной ли




Построение графиков функций и поверхностей в Microsoft Excel

Практическая работа «Построение графиков функций в Microsoft Excel»

Функция это множество точек (x, y), удовлетворяющее выражению y=f(x).

1) График линейной функции: y=5x-2

Г рафиком линейной функции является прямая, которую можно построить по двум произвольным точкам. Создадим таблицу, выполним вычисления.

Для построения графика необходимо выделить полученную таблицу и выбирать опцию меню: Вставка — Точечная – Точечная с гладкими кривыми и маркерами.



Замечание. Для изменения параметров осей используйте опцию меню Конструктор – Выбрать данные

2) График квадратичной функции – параболы y=2x2-2

П араболу по двум точкам уже не построить, в отличии от прямой.

Создадим таблицу, выполним вычисления:

  1. Зададим интервал на оси x, на котором будет строиться парабола, например [-5; 5].

  2. Зададим шаг (чем меньше шаг, тем точнее будет построенный график), например, 0,2.

  3. Рассчитаем столбец значений у.

  4. Действуем аналогично построению графика линейной функции.

П олучим:

Замечание. Чтобы не было точек на графике, поменяйте тип диаграммы на Точечная с гладкими кривыми.

3) Если функция кусочная, то необходимо каждый «кусочек» графика объединить в одной области диаграмм.

Р ассмотрим это на примере функции у=1/х.

Функция определена на интервалах (- беск;0) и (0; +беск)

Создадим график функции на интервалах: [-4;0) и (0; 4].

Подготовим две таблицы, где х изменяется с шагом 0,2:

Находим значения функции от каждого аргумента х аналогично примерам выше.

На диаграмму необходимо добавить два ряда — для первой и второй таблички соответственно.

Далее нажимаем кнопку Добавить и заполняем таблицу Изменение ряда значениями из второй таблицы.



Получаем график функции y=1/x

Самостоятельная работа

Построить графики функций в одной системе координат. Получить рисунок.

1. «Очки»

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

2. «Птица»

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

3. «Динозаврик»

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

4. «Кошка»

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Практическая работа «Трехмерные графики функций в Microsoft Excel»

Трехмерный график функции — это график в трех измерениях. Соответственно каждая точка графика будет иметь три координаты (x, y. z).

Построим график функции, называемый гиперболический параболоид («седло»), в Microsoft Excel.

 

Уравнение гиперболического параболоида (общий вид):

 

где x, y, z — переменные; a, b — константы.

Рассмотрим конкретный случай:

Как и для построения графика функции на плоскости потребуется таблица, на основании которой график и будет построен. По горизонтали — значения х, по вертикали — значения у. Значения z вычисляются по формуле.

Получим таблицу, в которой каждой паре (x, y) соответствует координата z.

В ыделяем диапазон ячеек со значениями z, выбираем Вставка — Другие Диаграммы – Поверхность:

Самостоятельная работа

Построить поверхность z = -sin(x2+y2)+1 при x, yЄ [-1,1].

5

Построение графиков функций

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
Целью данной работы является, в том, чтобы показать методику построения графиков основных элементарных функций в 10 – 11 классах.

Среди совокупности умений и способов деятельности, которыми овладевают учащиеся при изучении математики, существуют такие, которые должен прочно овладеть ученик, для того чтобы учебный процесс протекал нормально.

График функции выступает основным опорным образом при формировании целого ряда понятий – возрастания и убывания функции, четности и нечетности, понятия экстремума и т.д.. Поэтому формирование графических представлений в старших классах наиболее важный этап.

Построение графиков функции вида

Определение. Преобразование графиков функций – это линейные преобразования функции или ее аргумента к виду , а также преобразование с использованием модуля.

Зная, как строить графики функции где и , можно построить график функции .

Для преобразования графиков функций запишем алгоритм раскрывающее «динамику» построения графика заданной функции:

Алгоритм преобразования графиков функций:


    1. По формуле распознать вид функции (линейная, квадратичная и т.д.). определить, чем является графиком функции такого вида (прямая, парабола и т.д.). Построить начальный эскиз графика данной функции.

    2. Построить график функции :

  • если , тогда строим симметричное отражение графика относительно оси абсцисс (Ох), иначе проверяем следующее;

  • если, тогда строим симметричное отражение графика относительно оси ординат (Оу), иначе проверяем следующее;

  • если , выделываем растяжение графика от оси абсцисс (Ох) в а раз;

  • если , то выделываем сжатие графика к оси абсцисс (Ох) в а раз.

После того как проверили и построили график данной функции проверяем следующий шаг.

    1. Построить график функции :

  • если – сжатие графика к оси ординат (Оу) в k раз;

  • если – растяжение графика от оси ординат (Оу) в k раз.

Затем проверяем и строим график по следующему шагу.

    1. Построение графика функции :

  • если – параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс (Ох) на || единиц влево;

  • если – тогда параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс (Ох) на || единиц вправо.

    1. Построить график функции :

  • если , то делаем параллельный перенос графика вдоль оси ординат (Оу) на |m| единиц вверх;

  • если , то делаем параллельный перенос графика вдоль оси ординат (Оу) на |m| единиц вниз.

После проверки и построение графика данной функции проверяем следующий шаг.

Суть алгоритма заключается в том, чтобы на первом шаге обязательно придется указывать все необходимые данные и выкладки, а затем построить график частного случая. Далее постепенно делаем преобразование данного графика, исследуя по алгоритму, прийти к конечному графику функции.

Пример: Построить график функции


сдвиги графика функции (III) на вдоль оси абсцисс вправо и вдоль оси ординат на |1| единиц вверх. Тогда получится графики функции (IV) и (V) – искомый график функции. Построение выполнено на рис. 1.
Построение графиков функции

Для преобразования графиков функций, содержащих модуль, запишем алгоритм раскрывающее «динамику» построения графика заданной функции:

Алгоритм преобразования графиков функций, содержащих модуль:


  1. По формуле распознать вид функции (линейная, квадратичная и т.д.). Определить, чем является графиком функции такого вида (прямая, парабола и т.д.). Построить начальный эскиз графика данной функции.

  2. Построить график функции

  • если , тогда график функции остается без изменений;

  • если есть участки , тогда эти участки построить симметричным отображением относительно оси абсцисс (Ох).

После того как проверили и построили график данной функции проверяем следующий шаг.

  1. Построить график функции

  • если , то график остается без изменений;

  • если , то график симметрично отражается относительно оси ординат.

Суть алгоритма такая же как в алгоритме преобразования графиков функций вида . Надо учитывать, что при построения графиков функций, содержащий модуль, непременно будет использоваться и предыдущий алгоритм.

Пример: Построить график функции .


график функции состоит из двух ветвей. Заметим, что график этой функции не проходит в интервале [-1; 1], т.е. интервал не входит в область определения функции.

Далее замечаем, что при возрастании х от 0 до 1 убывает от 1 до 0, а при возрастании х от 1 до 2 возрастает от 0 до 1, а потому график функции (IV) определена (проходит) в интервале (-1; 1). И график функции на этих интервалах проходит симметрично относительно прямой , а на интервале (-1; 0) график строится симметрично относительно ординат. Построение выполнено на рис. 2.

Дополнительно рассмотрим примеры построения графиков функций: простых гармонических колебаний,

Что надо знать для построения простых гармонических колебаний, т.е. графика функции :


      1. Надо знать величину амплитуды А, чтобы определить «высоту» графика;

      2. Чтобы определить насколько сдвинута заданная синусоида относительно графика , нужно знать величину (- начальная фаза).

      3. Величину (угловая скорость вращения), по которой находится (Т – период функции). Для построения удобнее искать сразу четверть периода ;

      4. Точка на оси t(x) с координатой λ соответствует положению точки М в правом конце горизонтального диаметра. Отсюда и метод построения: из формулы колебания определяем А и проводим две прямые (между ними будет заключен весь график). Определяем и отмечаем на оси абсцисс точку t=λ (с этой точки начинается положительный полупериод синусоиды). Определяем и откладываем от точки t=λ на оси абсцисс четыре таких отрезка, после чего построение графика очевидно.

Пример: Построить график функции вида , если

Рис. 4

Строим график функции , и получаем график заданной функции путем сложения соответствующих ординат: (построение выполнено на рис.4).

При построении следует обратить на два обстоятельства:


  1. , а потому имеет смысл провести через прямые и , параллельные прямой , между этими двумя прямыми и будет располагаться график функции

  2. В тех точках, где у2=0 (т.е. при, где kZ), y=y1, а это означает, что соответствующие точки графика заданной функции лежат на прямой у1=х, а значит соответствующие точки графика лежат на прямых и

Пример: Построить график функции вида , если

Рис. 5

Строим график функции . График заданной функции получим умножением соответствующих ординат: (построение выполнено на рис.5).

Построение производим при , а затем отражаем полученный график относительно оси ординат, так как является четной функцией. При этом учитываем, что в точках с координатами у2=0 произведение у=у1у2=0. Наибольшее значение функции равно 1, при . В этих точках , и соответствующие точки графика заданной функции лежат на прямой у=х . Наименьшее значение функции равно -1, при . В этих точках , и соответствующие точки графика заданной функции лежат на прямой . Очевидно, что график колеблется между прямыми и .

Пример: Построить график функции вида , если


Рис. 6


Строим график функции . График заданной функции получим делением соответствующих ординат: (построение выполнено на рис.6). При этом следует учесть, что это деление возможно для всех х, кроме х=0. В точке у2=0 (у1≠0) заданная функция терпит бесконечный разрыв (ось ордината является вертикальной асимптотой).

Заметим, что при х=1, у1=0, у2=1, а потому . При , значит у=1 является уравнением горизонтальной асимптоты для правой ветви графика. При , и уравнения у=-1 является уравнением горизонтальной асимптоты для левой ветви графика.

Пример: Построить график функции вида , если


Тогда график функции будет выглядеть, как показано на рисунке.
Список использованной литературы:

  1. Галицкий М. Л. и др. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: Метод. рекомендации и дидак. материалы: Пособие для учителя. М.: Просвещение, 1986. – 352 с.

  2. В. К. Егерев и др. Методика построения графиков функций. Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 2-е. М., «Высшая школа», 1970. – 152 с.

  3. Баврин И. И. Высшая математика: Учеб. для студентов хим.-биол. спец. пед. вузов. – 2-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 1993. – 319 с.

  4. Алгебра и начала анализа : Учеб. для 10 – 11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.

  5. Алгебра и математический анализ: Учеб. пособие для 10 кл. с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин и др. – 4-е изд.: М.: Просвещение , 1995. – 335 с.

: Алгоритмы построения графиков функции

Алгоритмы построения графиков функции

График функции у = |х|

а) Если х≥0, то |х| = х функция у = х, т.е. график

совпадает с биссектрисой первого координатного угла.

б) Если х

значениях аргумента х график данной функции – прямая

у = -х, т.е. биссектриса второго координатного угла.

Построить

Далее

Построить график функции у=0,25 х ² — | х | -3.

1) Поскольку | х | = х при х≥0, требуемый график совпадает с

параболой у=0,25 х² — х — 3.

Если х 0, то поскольку х ² = | х , | х | =-х

и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х² + х — 3.

2) Если рассмотрим график у=0,25 х² — х — 3 при х≥0 и

отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же

самый график.

Построить

Далее

0; 2. Для х относительно оси ОУ. «

Для построения графика функции у = f |(х)| достаточно:

1. построить график функции у = f(х) для х0;

2. Для х

относительно оси ОУ.

График функции у = f |(х)|

у = | х ² — х -6 |

Проверь

2. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаем симметрично относительно оси ОХ.

1.Построим график функции

у =х ² — х -6

Далее

Для построения графика функции у = |f(х) | достаточно:

1.Построить график функции у = f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где

f(х)

0 , | х | 1,5 т.е. х 1,5 а) у = 2х — 3 , для х 0 б) д ля х2. Построить у = — 2 |х| + 3 , для 2|х | — 3 а) у = — 2х + 3 , для х 0 б) д ля х»

Построить график функции у = | 2|х | — 3|

1. Построить у = 2|х | — 3 , для 2 |х| — 3 0 , | х | 1,5 т.е. х 1,5

а) у = 2х — 3 , для х 0

б) д ля х

2. Построить у = — 2 |х| + 3 , для 2|х | — 3

а) у = — 2х + 3 , для х 0

б) д ля х

0. 2) Построить прямую, симметричную построенной относительно оси ОУ. 3) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаем симметрично относительно оси ОХ. Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые. «

1. у = | 2|х | — 3|

1) Построить у = 2х-3, для х0.

2) Построить прямую, симметричную построенной относительно оси ОУ.

3) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаем симметрично относительно оси ОХ.

Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые.

0 т.е. х 5 и х а) у = х ² – 5 х , для х 0 б) д ля хотносительно оси ОУ. 2. Построим у = — х ² + 5 |х| , для х ² – 5 |х| а) у = — х ² + 5 х , для х 0 б) д ля х»

у = | х ² – 5|х| |

1. Построим у = х ² – 5 | х| , для х ² – 5 |х| 0 т.е. х 5 и х

а) у = х ² – 5 х , для х 0

б) д ля х

относительно оси ОУ.

2. Построим у = — х ² + 5 |х| , для х ² – 5 |х|

а) у = — х ² + 5 х , для х 0

б) д ля х

0. б) Построим часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываем на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ. Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые. «

2. у = | х ² – 5|х| |

а) Построим график функции у = х ² – 5 х для х0.

б) Построим часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываем на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые.

0 , x и x а) у = х ³ — 2 , для х 0 б) д ля х2). Построить у = — |х| ³ + 2 , для |х| ³ — 2 а) у = — х ³ + 2 , для х 0 б) д ля х»

3. у =| |х| ³ — 2 |

1). Построить у = |х| ³ — 2 , для |х| ³ — 2 0 , x и x

а) у = х ³ — 2 , для х 0

б) д ля х

2). Построить у = — |х| ³ + 2 , для |х| ³ — 2

а) у = — х ³ + 2 , для х 0

б) д ля х

0. б) Строим часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываем на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ. Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые. «

3. у = ||х| ³ — 2 |

а) Построить у = х ³ -2 для х 0.

б) Строим часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываем на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые.

0; 2.Построить для х Для построения графика функции у = | f (х) | 1.Построить график функции у = f (х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f (х) Для построения графика функции у = | f |(х)| | 1. Построить график функции у = f (х) для х0. 2. Строим вторую часть графика, т. е. построенный график симметрично отражаем относительно ОУ 3. Участки получившегося графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываем на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ. «
  • Для построения графика функции у = f |(х)|:

1.Построить график функции у = f (х) для х0;

2.Построить для х

  • Для построения графика функции у = | f (х) |

1.Построить график функции у = f (х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f (х)

  • Для построения графика функции у = | f |(х)| |

1. Построить график функции у = f (х) для х0.

2. Строим вторую часть графика, т. е. построенный график симметрично отражаем относительно ОУ

3. Участки получившегося графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываем на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

0 у = f (х), х0 у = f (х) Построить для х графика, симметричную построенной относительно оси ОУ Построить часть для х симметричную относительно оси ОУ Часть графика, расположенного в нижней полуплоскости симметрично отобразить относительно оси ОХ «

у = f |(х)|

у = | f |(х)| |

у = | f (х)|

у = f (х), х0

у = f (х), х0

у = f (х)

Построить для х

графика, симметричную

построенной относительно

оси ОУ

Построить часть для х

симметричную

относительно

оси ОУ

Часть графика, расположенного

в нижней полуплоскости

симметрично отобразить

относительно оси ОХ

графических функций — Как графические функции?

Графические функции — это процесс построения графика (кривой) соответствующей функции. Графики основных функций, таких как линейные, квадратичные, кубические и т. д., довольно просты, графические функции, которые являются сложными, такими как рациональные, логарифмические и т. д., требуют некоторых навыков и некоторых математических понятий для понимания.

Давайте посмотрим процесс графического отображения функций вместе с примерами.

Что подразумевается под графическими функциями?

Графические функции рисует кривую, представляющую функцию на координатной плоскости.Если кривая (график) представляет собой функцию, то каждая точка кривой удовлетворяет уравнению функции. Например, следующий график представляет линейную функцию f(x) = -x+ 2,

.

Возьмите любую точку на этой линии, скажем, (-1, 3). Подставим (-1, 3) = (x, y) (т.е. x = -1 и y = 3) в функцию f(x) = -x + 2 (заметим, что ее можно записать как y = — х + 2). Затем

3 = -(-1) + 2
3 = 1 + 2
3 = 3, таким образом, (-1, 3) удовлетворяет функции.

Таким же образом можно попробовать взять разные точки и проверить, удовлетворяют ли они функции. Каждая точка на линии (обычно называемая «кривой») удовлетворяет этой функции. Рисование таких кривых, представляющих функции, известно как графическое отображение функций.

Основные графические функции

Графики основных функций, таких как линейные функции и квадратичные функции, очень просты. Основная идея графических функций

  • Идентификация формы, если это возможно.Например, если это линейная функция вида f(x) = ax + b, то ее график будет линией; если это квадратичная функция вида f(x) = ax 2 + bx + c, то это парабола.
  • нахождение на нем некоторых точек путем подстановки некоторых случайных значений x и нахождение соответствующих значений y путем подстановки каждого значения в функцию.

Вот несколько примеров.

Графики линейных функций

Построим график той же линейной функции, что и в предыдущем разделе (f(x) = -x + 2).Для этого мы создаем таблицу значений, взяв несколько случайных чисел для x, скажем, x = 0 и x = 1. Затем подставьте каждое из них в y = -x + 2, чтобы вычислить значения y.

х г
0 -0 + 2 = 2
1 -1 + 2 = 1

Таким образом, на прямой есть две точки (0, 2) и (1, 1). Если мы нанесем их на график и соединим их прямой линией (продолжив линию с обеих сторон), мы получим ее график, как показано в предыдущем разделе.

Графики квадратичных функций

Также для построения графика квадратичной функции мы можем найти на ней несколько случайных точек. Но это может не дать идеальной U-образной кривой. Это потому, что для получения идеальной U-образной кривой нам нужно, где она поворачивает. т. е. надо найти его вершину. Найдя вершину, мы можем найти две или три случайные точки с каждой стороны вершины, и они помогут в построении графика функции.

Пример: Постройте график квадратичной функции f(x) = x 2 — 2x + 5.

Решение:

Сравнивая это с f(x) = ax 2 + bx + c, a = 1, b = -2 и c = 5.

Координата x вершины: h = -b/2a = -(-2)/2(1) = 1.

Его координата y: f(1) = 1 2 — 2(1) + 5 = 4.

Следовательно, вершина (1, 4).

Мы возьмем два случайных числа по обе стороны от 1 (координата x вершины) и создадим таблицу. Затем мы можем вычислить координаты y с помощью функции.

х г
-1 (-1) 2 — 2(-1) + 5 = 8
0 0 2 — 2(0) + 5 = 5
Вершина: 1 4
2 2 2 — 2(2) + 5 = 5
3 3 2 — 2(3) + 5 = 8

Теперь мы нанесем точки (-1, 8), (0, 5), (1, 4), (2, 5) и (3, 8) на лист графика, соединим их, и продлите кривую с обеих сторон.

График сложных функций

Графические функции сравнительно просты, если каждый из их доменов и диапазонов представляет собой набор всех действительных чисел. Но это НЕ относится ко всем типам функций. Есть некоторые сложные функции, для которых необходимо учитывать домен, диапазон, асимптоты и дыры при их построении. Самые популярные такие функции:

  • Рациональные функции. Его родительская функция имеет форму f(x) = 1/x (которая называется обратной функцией).
  • Экспоненциальные функции. Его родительская функция имеет вид f(x) = a x .
  • Логарифмические функции. Его родительская функция имеет вид f(x) = log x.

Просто представьте, как выглядят графики родительских функций каждой из этих функций.

В каждом из этих случаев для графических функций мы выполняем следующие шаги:

  • Найдите область определения и диапазон функции и помните об этом при построении кривой.
  • Найдите точки пересечения по осям x и y и нанесите их на график.
  • Определите отверстия, если они есть.
  • Найдите асимптоты (вертикальную, горизонтальную и наклонную) и нарисуйте их пунктирными линиями, чтобы мы могли разбить график по этим линиям и убедиться, что график их не касается.
  • Постройте таблицу значений, взяв несколько случайных чисел для x (по обе стороны от точки пересечения x и/или по обе стороны от вертикальной асимптоты), вычислите соответствующие значения y.
  • Нанесите точки из таблицы и соедините их, учитывая асимптоты, домен и диапазон.

Давайте посмотрим, как построить график функции в различных случаях, используя описанные выше шаги.

Графики рациональных функций

Построим график рациональной функции f(x) = (x + 1) / (x — 2). Мы следуем вышеуказанным шагам и рисуем график этой функции.

  • Домен = {x ∈ R | х ≠ 2} ; Диапазон = {y ∈ R | у ≠ 1}. Чтобы понять, как найти область определения и область значений рациональной функции, нажмите здесь.
  • Его точка пересечения по оси X равна (-1, 0), а точка пересечения по оси Y равна (0, -0,5).
  • Отверстий нет.
  • Вертикальная асимптота (VA) равна x = 2, а горизонтальная асимптота (VA) равна y = 1.
  • Возьмем несколько случайных значений по обе стороны от вертикальной асимптоты x = 2 и вычислим соответствующие значения y.
    х г
    -1 (-1+1)/(-1-2) = 0 (x-целое)
    0 (0+1)/(0-2) = -0.5 (у-целое)
    2 ВА
    3 (3+1)/(3-2) = 4
    4 (4+1)/(4-2) = 2,5
  • Построим все эти точки вместе с VA и HA.

График экспоненциальных функций

Рассмотрим экспоненциальную функцию f(x) = 2 -x + 2. Мы построим ее график, используя те же шаги, что и упомянутые выше.

  • Его областью определения является множество всех действительных чисел (R), а его диапазон равен y > 2. Чтобы узнать, как их найти, нажмите здесь.
  • Не имеет вертикальных асимптот. Но у него есть горизонтальная асимптота при y = 2,
  • .
  • Нет пересечений по оси x. Его y-пересечение равно (0, 3).
  • Без отверстий.
  • У нас нет данных о VA или x-intercept. Пока у нас есть только одно значение (0, 3). Итак, давайте возьмем несколько случайных чисел по обе стороны от x = 0 и составим таблицу.
    х г
    -2 2 -(-2) + 2 = 6
    -1 2 -(-1) + 2 = 4
    0 3 (г-целое)
    1 2 -1 + 2 = 2,5
    2 2 -2 + 2 = 2.25
  • Нанесем всю информацию на график.

Графики логарифмических функций

Мы построим график логарифмической функции, скажем, f(x) = 2 log 2 x — 2. Сейчас мы построим график, выполнив действия, описанные ранее.

Точно так же вы можете увидеть, как строить графики нелинейных функций, функции тождества, функции модуля, полиномиальных функций, нулевой функции, функции наибольшего целого числа, постоянной функции, тригонометрических функций, функции дробной части и т. д., нажав на соответствующие ссылки.

Графические функции с помощью преобразований

Мы можем построить графики функций, применив преобразования к графикам родительских функций. Вот родительские функции нескольких важных типов функций.

Нам нужно иметь представление о том, как выглядит график каждой из этих родительских функций (нажав на соответствующие ссылки). Затем мы можем применить следующие преобразования для построения графика данной функции.

Трансформация Изменение графика
f(x) + с Смещает график функции c единиц вверх.
ф(х) — с Смещает график функции c единиц вниз.
ф(х + с) Сдвигает график функции c единиц влево.
ф(х — в) Смещает график функции c единиц вправо.
-ф(х) Отражает график функции по оси X (в перевернутом виде).
ф(-х) Отражает график функции по оси Y (т.д., левая и правая стороны меняются местами).
ф(акс) Горизонтальное расширение с коэффициентом 1/a.
а ф(х) Вертикальное расширение в a.

Чтобы подробно понять, как построить график функций с помощью преобразований, нажмите здесь.

Важные замечания по графическим функциям:

  • f(ax) ≠ a f(x). Оба могут иметь разные значения.
  • Значение x, используемое для построения графика любой функции f(x), может быть целым числом, действительным числом или десятичным числом.
  • График функции никогда не должен касаться асимптот.
  • Не выбирайте в таблице значения x, которых НЕТ в домене функции.

☛ Похожие темы:

Часто задаваемые вопросы о графических функциях

Как графически отображать функции?

Для графических функций нам нужно построить его асимптоты, его точки пересечения x и y, дыры и несколько точек на нем, построив таблицу значений.Затем просто присоединитесь к точке, не касаясь асимптот и сохраняя примечание области определения и диапазона функции.

Какие этапы построения графика линейной функции?

Шаги построения графика линейной функции приведены ниже:

  • Убедитесь, что линейная функция имеет форму y=mx+b.
  • Теперь b откладывается по оси Y.
  • м переводится в дробь.
  • Теперь линия продлевается от b с использованием наклона.
  • Линия может быть дополнительно удлинена, используя миллиметры в качестве ориентира.

Альтернативно:

Любые две точки на линии определяют линию. Итак, чтобы нарисовать линейную функцию, нам нужно всего лишь две точки на ней. Чтобы отобразить это, просто создайте таблицу значений с двумя столбцами x и y, возьмите несколько случайных чисел для x и вычислите соответствующие значения y, подставив каждое из них в функцию. Затем просто нанесите точки на график, соедините их линией и бесконечно продлите линию с обеих сторон.

Как узнать, является ли график функцией?

Функция всегда проходит тест вертикальной линии. Чтобы использовать этот тест, просто возьмите вертикальную линию (или просто вертикальную палочку) и проведите ее по графику слева направо по горизонтали. Ни в какой момент времени линия не должна пересекать график более чем в одной точке, чтобы график представлял функцию.

Как построить график кусочной функции?

Кусочная функция определяется по-разному (с помощью разных уравнений) на разных интервалах.Нам просто нужно рассматривать каждое уравнение как другую функцию в заданной области и отображать ее так же, как мы изображаем нормальную функцию. Чтобы узнать больше о построении графика кусочной функции, нажмите здесь.

Как идентифицировать функции с помощью графиков?

Вот несколько приемов для определения функций по графикам:

  • Если график представляет собой линию, то это линейная функция, имеющая форму f(x) = ax + b.
  • Если график имеет форму идеальной буквы U или перевернутой буквы U, то он является квадратичной функцией и имеет вид f(x) = ax 2 + bx + c.
  • Если на графике есть две кривые, симметричные относительно наклонной линии, то это рациональная функция, которая обычно имеет форму f(x) = (ax + b) / (cx + d).
  • Если график имеет форму буквы V или перевернутой буквы V, то это функция абсолютного значения, имеющая форму f(x) = a |bx + c| + д.
  • Если график состоит из нескольких горизонтальных линий, то он представляет собой функцию нижнего или верхнего предела.
  • Если график с единственной кривой является возрастающей или убывающей с вертикальной асимптотой, то это логарифмическая функция.
  • Если график с одной кривой возрастает или убывает с горизонтальной асимптотой, то это экспоненциальная функция.
  • Если на графике несколько волн, это может быть одна из тригонометрических функций:
    Функция синуса
    Функция косинуса
    Функция тангенса
    Функция косеканса
    Функция секанса
    Функция котангенса

Как использовать график для решения уравнения?

Сначала определите тип функции, взглянув на график.Возьмем его общее уравнение. Используйте некоторые точки на графике и общее уравнение, чтобы определить точное уравнение функции.

Как нарисовать график уравнения?

Чтобы нарисовать график уравнения функции, сделайте следующее:

  • Постройте различные точки уравнения.
  • Соедините точки и сформируйте кривую. Полученная таким образом кривая является графиком данного уравнения.

Как строить графики функций на TI-84 Plus

После того, как вы ввели функции в калькулятор TI-84 Plus и отформатировали график, вы почти готовы начать свое увлекательное построение графика.Как только вы освоите построение графиков, вам не нужно будет выполнять все эти шаги.

Отключение графиков статистики (при необходимости)

Верхняя строка в редакторе Y= сообщает вам о графическом статусе графиков статистики. Если Plot1 , Plot2 или Plot3 выделены, то этот график статистики будет отображаться вместе с графиком ваших функций. Если он не выделен, он не будет отображаться на графике. На первом экране выделены Plot1 , и они будут отображаться вместе с функциями в редакторе Y=.

Чтобы отключить выделенный график статистики в редакторе Y=, используйте клавиши

, чтобы поместить курсор на выделенный график статистики, а затем нажмите [ENTER]. Смотрите второй экран. Тот же самый процесс используется для повторного выделения графика статистики, чтобы позднее построить его график.

Когда вы строите графики функций, графики статистики могут доставлять неудобства, если они включены, когда вы на самом деле не хотите, чтобы они отображались на графике. Наиболее распространенным симптомом этой проблемы является сообщение об ошибке ОШИБКА: НЕДОПУСТИМОЕ ИЗМЕРЕНИЕ, которое само по себе почти не дает вам понимания того, что вызывает проблему.Поэтому, если вы не планируете строить график статистики вместе со своими функциями, убедитесь, что все графики статистики отключены!

Выбор и отмена функции на TI-84 Plus

Отмените выбор (выключите) Y 1 и Y 2 , удалив выделение их знаков равенства. Это делается в редакторе Y= с помощью клавиш

, чтобы поместить курсор на знак равенства, а затем нажать [ENTER], чтобы переключить знак равенства между выделенным и невыделенным. Калькулятор отображает функцию только тогда, когда выделен ее знак равенства!

Вы видите разницу между двумя экранами?

Настройка окна графика TI-84 Plus

Когда вы рисуете функцию, вы обычно не можете видеть весь график.Вы ограничены просмотром графического окна, которое обычно показывает только небольшую часть функции. Есть четыре значения, определяющие видимую часть координатной плоскости: Xmin, Xmax, Ymin и Ymax. Нажмите [WINDOW] для отображения текущих переменных окна.

Требуется практика, чтобы найти хорошее окно просмотра функции, которую вы строите. Вот шаги, необходимые для установки окна вашего графика:

  1. Нажмите [WINDOW] для доступа к оконному редактору.

  2. После каждой переменной окна введите числовое значение, подходящее для отображаемых функций.Нажимайте e после ввода каждого числа.

    При вводе нового значения окна старое значение автоматически очищается.

    Убедитесь, что (Xmin < Xmax) и (Ymin < Ymax), иначе вы получите сообщение об ошибке ERROR: WINDOW RANGE.

    Редактирование переменных окна — это хорошее место для начала поиска хорошего окна просмотра. Кроме того, использование функций масштабирования может быть необходимо для улучшения графического окна. Ниже приводится объяснение переменных, которые необходимо установить для настройки окна графика:

    • Xmin и Xmax: Это соответственно наименьшее и наибольшее значения x на оси x .

      Если вы не знаете, какие значения потребуются вашему графику для Xmin и Xmax , нажмите [ZOOM][6], чтобы вызвать команду ZStandard . Эта команда автоматически отображает ваши функции в стандартном окне просмотра.
    • Xscl: Это расстояние между делениями на оси x . (Полегче с делениями; слишком большое их количество делает ось похожей на железнодорожный путь. Двадцать или меньше делений делают ось приятной на вид x .)

      Если вы хотите полностью отключить деления, установите Xscl=0 и Yscl=0 .
    • Ymin и Ymax: Это, соответственно, наименьшее и наибольшее значения y , которые будут размещены на оси y .

      Если вы присвоили значения Xmin и Xmax , но не знаете, какие значения присвоить Ymin и Ymax , нажмите [ZOOM][0], чтобы вызвать команду ZoomFit .Эта команда использует настройки Xmin и Xmax , чтобы определить соответствующие настройки для Ymin и Ymax , а затем автоматически строит график.
    • Yscl: Это расстояние между делениями на оси y . (Как и в случае с осью x , слишком много делений делают ось похожей на железнодорожный путь. Пятнадцать или меньше делений — хорошее число для оси y .)

    • Xres: Этот параметр определяет разрешение графика.Можно задать любое из целых чисел от 1 до 8. Когда Xres установлено равным 1, калькулятор оценивает функцию в каждом из 133 пикселей по оси x и отображает результат в виде графика. Если Xres установлено равным 8, функция оценивается и отображается на каждом восьмом пикселе.

      Xres обычно устанавливается равным 1. Если вы строите график большого количества функций, калькулятору может потребоваться некоторое время для их построения при таком разрешении. Если вы измените Xres на более высокое число, ваша функция будет строиться быстрее, но вы можете получить не такой точный график.

    • TraceStep и

      Эти две переменные связаны друг с другом, и TraceStep всегда в два раза больше, чем

      , которое определяет, как ваш курсор перемещается на экране графика в режиме «свободной трассировки». TraceStep управляет скачком значения X при отслеживании функции на экране графика.

  3. Нажмите [GRAPH], чтобы построить график функций.

Остановка или приостановка графика TI-84 Plus

После нажатия [GRAPH] обычно возникает небольшая задержка перед тем, как вы начнете видеть свою функцию на графике слева направо.Если калькулятору требуется много времени для построения графика ваших функций (возможно, у вас слишком маленькое значение для Xres ), нажмите [ON], чтобы завершить процесс построения графика.

Просто нажмите [ENTER], чтобы приостановить построение графика, а затем снова нажмите [ENTER], чтобы возобновить построение графика. См. следующие два экрана. Обратите внимание на эллиптический индикатор занятости в правом верхнем углу экрана, указывающий на то, что ваш калькулятор активно работает.

Графики из заметок и калькулятора

Графики из заметок и калькулятора

Графики из заметок и калькулятора

Вы можете построить график функции или отношения непосредственно из его контекстного меню.Эта функция доступна для многих функций и взаимосвязей на страницах «Заметки», «Блокнот» и «Калькулятор».

Если параметры макета страницы позволяют, график отображается на той же странице, что и функция или отношение. В противном случае график отображается на отдельной странице Графики.

Тип создаваемого графика зависит от:

Тип функции или отношения.
Любые ограничения, накладываемые активным сеансом Press-to-Test.

Пример графика из примечаний

В этом примере страница Notes используется для интерактивного изучения квадратичной функции.

1. Вставьте математическое поле на новую страницу Notes и введите следующее определение функции:

Определить f1(x)=x2-1·x-4

2. Показать контекстное меню оператора Define.
Windows®: щелкните оператор правой кнопкой мыши.
Mac®: удерживайте «и щелкните утверждение.
Портативный компьютер: наведите указатель на утверждение и нажмите / b.

3. Выберите из контекстного меню.

Появится график. График и математическое поле связаны так, что любая корректировка одного из них влияет на другой.

4. Исследуйте взаимосвязь между заданной функцией и ее графиком:
Перетащите концы или центр графика, чтобы управлять им, и наблюдайте за изменениями в определении функции.

—или—

Отредактируйте заданную функцию в математическом поле и наблюдайте за изменениями на графике.

 

Бесплатные графические онлайн-инструменты для учителей и учащихся

Если вы много строите графики, возможно, вы захотите воспользоваться некоторыми замечательными онлайн-инструментами для построения графиков, перечисленными ниже.

1.) Desmos Calculator and Grapher — превосходный онлайн-инструмент для построения графиков, который может отображать точки, изображать параболы, конические сечения и даже разложения Фурье. Помимо графического редактора, это еще и онлайн-калькулятор.

2.) Graph.tk  – один из самых простых в использовании онлайн-графиков. Он может отображать широкий спектр функций, включая производные, функции абсолютного значения и полярные графики.

3.) Эскиз графика . Graph Sketch — это онлайн-программа для построения графиков, созданная Энди Шмитцем.Он способен отображать стандартные и параметрические функции в виде графиков. Результаты графика можно либо загрузить, либо сохранить как страницу, на которую можно сослаться.

4.) Плоттер Rational Function . Плоттер рациональных функций позволяет строить графики рациональных функций. Апплет позволяет указать домен, диапазон и другие свойства графиков, такие как толщина, линии сетки, деления и т. д.

5.) График функций и калькулятор. Function Grapher and Calculator — еще один инструмент для построения графиков функций.В отличие от других сайтов, в Equation Grapher проще масштабировать.

6.) Вольфрам Альфа . Wolfram Alpha не только строит графики, но также вычисляет критические точки графиков, такие как локальный максимум, минимум, корни и т. д. Wolfram Alpha может делать гораздо больше. Чтобы узнать больше об этом, нажмите здесь.

7.) GeoGebra . У GeoGebra есть онлайн-версия, которую можно использовать для построения графиков. называется Апплет Старт. По сути, это идентичная версия GeoGebra.

8.) Графический онлайн-калькулятор Holt . Графический калькулятор Холта может отображать до четырех функций одновременно. Помимо графика, HOGC также предоставляет таблицу интегральных значений.

Дополнение:

9. Fooplot . Это еще один хороший функциональный плоттер. Вы можете построить до четырех функций. Вывод может быть сохранен в формате eps, png, pdf и svg.

Если вы знаете какое-либо хорошее программное обеспечение для онлайн-графики, пожалуйста, сообщите мне, чтобы мы могли включить его в список.

Графический калькулятор

и многофункциональный плоттер


Нажмите здесь, чтобы запустить графический калькулятор и многофункциональный плоттер Графический калькулятор

и многофункциональный плоттер с поддержкой стандартных алгебраических функций в декартовой плоскости. Особенности включают быстрое, точное построение графиков и полную поддержку масштабирования и панорамирования с помощью мыши. Кроме того, доступно множество графических инструментов, таких как отслеживание функции, поиск корня, поиск производной и т. д.x) и логарифм (ln(x) для натурального логарифма и log(x) для логарифмического основания 10)

  • Абсолютное значение : используйте «abs» следующим образом: abs(x)
  • Гиперболические функции и их обратные: sinh(x), ch(x), tanh(x), arcsinh(x), arccosh(x), arctanh(x)
  • Знак (1, если знак положительный, ?1, если знак функции отрицательный). Например, попробуйте sign(sin(x))
  • Фактически, вы можете использовать большинство математических функций javascript, включая

    • потолок: потолок(x) и круглый : круглый(x)
    • квадратный корень: sqrt(x)

    Вы также можете использовать любые комбинации вышеперечисленных, например «ln(abs(x)).

    Как построить график функции?

    Если представлена ​​таблица значений, просто расположите не менее двух пар точек на графике и соедините их прямой линией. Однако, если известно только уравнение функции, то сначала нужно составить таблицу значений. Мы можем построить график аффинной функции, используя параметры a и b функции. Действительно, если мы знаем точку пересечения (параметр b) и скорость изменения (параметр a), мы можем легко провести линию на декартовой плоскости.Давайте посмотрим на технику, построив следующее уравнение с использованием параметров a и b: y = 2x − 3. В этом уравнении параметр a равен 2, а параметр b равен -3. Следовательно, мы можем сказать, что скорость изменения равна 2, а точка пересечения равна -3. Параметр b представляет точку пересечения (значение y при x = 0). Это даст нам первую точку для размещения на графике, точку (0,−3).

    Справка по графическому калькулятору

    Чтобы построить график функций, щелкните вкладку Eqn .

    В раскрывающемся меню Mode выберите тип функции, которую вы хотите изобразить в виде графика.

    Для графиков функций f(x) введите функции вы хотите построить график, используя x в качестве входной переменной.

    Для r(t) полярных графиков введите уравнения, используя t в качестве входной переменной, вместо θ.

    Для параметрических графиков x(t),y(t) введите уравнения парами, используя t в качестве входной переменной.

    После того, как вы вошли в функции, нажмите кнопку Plot Graphs построить графики и записать уравнения. Теперь вы можете использовать эти функций в калькуляторе или сгенерировать таблицу значений этих функций

    Вы можете изменить цвет графика, щелкнув поле цвета справа от функция. После того, как вы выбрали нужный цвет, нажмите Plot Graphs снова обновить график

    Для настройки окна просмотра графика у вас есть несколько вариантов:

    • Нажмите на вкладку Window и вручную измените минимальное и максимальное значения. значения x и y, а для полярных или параметрических графиков — минимальное и максимальное значения t.Щелкните Обновить после изменения значений, чтобы обновить график или Сброс , чтобы вернуть значения по умолчанию.
    • Удерживая нажатой клавишу Shift , щелкните и перетащите график. Это будет позволяют панорамировать (смещать) графическое окно.
    • Используйте колесо мыши для увеличения и уменьшения масштаба при наведении указателя мыши на график
    • Используйте панель навигации в правом нижнем углу график, чтобы изменить представление. Кнопки + и — увеличивают и уменьшают масштаб, кнопка o сбрасывает масштаб, а кнопки со стрелками панорамирует (сдвигает) графическое окно.

    Чтобы вычислить корни, максимумы, минимумы и пересечения, щелкните вкладку Calc . и выберите элемент, который вы хотите рассчитать из списка. Обратите внимание, что эта вкладка будет доступна только для графиков функции f(x).

    След

    Трассировка позволяет перемещать точку по кривой. После выбора этого параметра нажмите на графике, который вы хотите отслеживать.Это поместит точку на графике, которую вы затем можете перетащите по графику. Приблизительные координаты точки трассировки будут отображаться рядом с точка.

    Корень/ноль

    Root/Zero найдет место пересечения графика с горизонтальной осью. Если есть в настоящее время построено более одного графика, вам будет предложено выбрать, какой график вы хотите найти корень; сделать это, нажав на график. Далее вам будет предложено нарисовать коробку вокруг корня.Щелкните и перетащите график, чтобы нарисовать прямоугольник, окружающий корень. будут отображаться приблизительные координаты корня.

    Макс. и Мин.

    Max и Min найдут местоположение локального максимума или минимума. Если есть в настоящее время построено более одного графика, вам будет предложено выбрать, какой график вы хотите найти макс/мин; сделать это, нажав на график. Далее вам будет предложено нарисовать коробку вокруг макс/мин. Щелкните и перетащите график, чтобы нарисовать рамку, заключающую в себе максимальное/минимальное значение. будут отображаться приблизительные координаты макс./мин.

    Перекресток

    Пересечение найдет место пересечения двух графиков. Если есть построено более двух графиков, вам будет предложено выбрать, какие графики вы хотите найти пересечение; сделайте это, щелкнув два графика. Далее вам будет предложено нарисовать коробку около перекрестка. Щелкните и перетащите график, чтобы нарисовать рамку, охватывающую пересечение. отобразятся приблизительные координаты перекрестка.

    Производная

    Производная аппроксимирует наклон касательной к кривой в точке. Ты будешь будет предложено выбрать, с каким графиком вы хотите работать; сделать это, нажав на график. Вам будет предложено для значения x, где вы хотите вычислить производную. Введите его и нажмите Вычислить . приблизительный будет отображаться производная.

    Интеграл

    Интеграл аппроксимирует площадь под кривой на интервале.Ты будешь будет предложено выбрать, с каким графиком вы хотите работать; сделать это, нажав на график. Вам будет предложено для начального и конечного x-valuex для интервала, по которому вы хотите найти интеграл. Введите эти значения и и нажмите вычислите . Отобразится приблизительный интеграл.

    Чтобы создать таблицу значений графических функций, щелкните вкладку Таблица . У вас есть два варианты значений x : Ask или Auto

    Если выбрать Спросить и нажать Перейти , будет создана таблица с пустыми полями ввода для x значения.Вы можете вручную ввести значения x , в которых вы хотите оценивать функции, и когда вы нажимаете или вкладки, чтобы В следующем поле выходные значения будут рассчитаны автоматически.

    Если вы выберете Авто , введите начальное значение x и размер шага — как далеко друг от друга последовательное значение x должно быть. Например, если вы выберете начало 3 и шаг 2, то таблица будет сгенерирована для x = 3, 5, 7, 9 и т. д.Нажмите Перейти , чтобы сгенерировать таблицу.

    В нижней левой части экрана вы найдете коробку с синей полосой. Это выходной журнал. В в дополнение к записи любых вычисленных корней, макс/мин и т. д., вы также можете выполнять вычисления. В поле ввода под журналом вывода введите любое числовое выражение и нажмите . Введите или нажмите Enter на клавиатуре. результат расчета будет отображаться в выходном журнале.

    Если у вас есть графические функции, вы можете оценить функции в калькуляторе.Например, ввод f(3) оценит построенную на графике функцию f(x) при x=3.

    Если вы хотите отредактировать предыдущее вычисление, щелкните номер строки слева от выражения, чтобы скопировать его. выражение обратно в поле ввода. Кроме того, вы можете использовать клавиши со стрелками вверх и вниз, чтобы перемещаться по предыдущим входным выражениям.

    Если вы хотите использовать результаты предыдущих расчетов в следующем расчете, вы можете сделать это:

    • ## или ANS будет использовать результат последнего вычисления
    • #linenumber , как и #2 , будет использовать результат этой строки
    • #2x или #2y позволит вам получить доступ к координате x или y, соответственно, из предыдущий расчет на графике, который дал точку.2 : Показатель степени 3 2
    • sqrt(5) : Квадратный корень
    • корень(3)(5) : Кубический корень
    • абс.(4) : Абсолютное значение
    • sin, cos, tan, sec, csc, cot : Триггерные функции. Калькулятор всегда работает в радианном режиме
    • arcsin, arccos, arctan, arcsec, arccsc, arccot ​​ : обратные триггерные функции
    • журнал(3) : Общий журнал (база 10)
    • In(3) : натуральное бревно (основание e)

    Статистические функции:

    • 4! : Факториал
    • nCr(n,r) и nPr(n,r) Комбинации и перестановки n объектов, взятых по r за раз.
    • normalcdf(a,b,[mean,stdev]) Вычисляет вероятность нормального распределения Р(а<х<б). При желании можно указать среднее значение и стандартное отклонение, в противном случае используется стандартное нормальное распределение (mean=0, stdev=1).
    • invnorm(p,[mean,stdev]) Находит показатель z стандартного нормального распределения так что площадь слева от этого значения z равна p. При желании можно указать среднее и стандартное отклонение, чтобы найти оценку x, чтобы площадь слева от этой оценки x равнялась p.
    • tcdf(a,b,df) Расчет вероятности распределения t Стьюдента P(a
    • invT(p,df) Находит t-показатель так, чтобы площадь слева от этого t-показателя равнялась p.
    • binompdf(n,p,r) Находит биномиальную вероятность P(X=r), вероятность r успехов из n испытаний, где каждое независимое испытание имеет вероятность успеха p.
    • binomcdf(n,p,r) Подобно binompdf, но находит вероятность P(X≤r), вероятно не более r успехов.

    Как найти возрастающие интервалы с помощью графических функций

    Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

    Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

    Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    Сент-Луис, Миссури 63105

    Или заполните форму ниже:

     

    .

    Ваш комментарий будет первым

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.