Нажмите "Enter", чтобы перейти к содержанию

Построить кривые по заданным уравнениям онлайн: Привести к каноническому виду — Калькулятор с подробным решением онлайн

{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$ где $$a_{11} = 5$$ $$a_{12} = 2$$ $$a_{13} = 4$$ $$a_{22} = 8$$ $$a_{23} = 7$$ $$a_{33} = 5$$ Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители: $$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$


     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}a_{11} — \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} — \lambda\end{matrix}\right|$$


     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

подставляем коэффициенты $$I_{1} = 13$$


     |5  2|
I2 = |    |
     |2  8|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}5 & 2 & 4\\2 & 8 & 7\\4 & 7 & 5\end{matrix}\right|$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}- \lambda + 5 & 2\\2 & — \lambda + 8\end{matrix}\right|$$


     |5  4|   |8  7|
K2 = |    | + |    |
     |4  5|   |7  5|

$$I_{1} = 13$$ $$I_{2} = 36$$ $$I_{3} = -81$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \lambda^{2} — 13 \lambda + 36$$ $$K_{2} = 0$$ Т.{2}} = 1$$ — приведено к каноническому виду.

Содержание

§4. Построение кривых, заданных параметрически

Рассмотрим способы построения кривых, заданных системой уравнений вида ,.

В ряде случаев эту систему можно решить, получив уравнение, связывающее переменные и. Например, система

,

, дает уравнение . Учитывая, что множеством значений,, является отрезок, получаем, что исходная система уравнений задаёт функцию, определенную на отрезке. Из курса аналитической геометрии также известно, что уравнения,задают окружность радиуса, а также уравнения,, задают эллипс с полуосямии.

Если явно выразить черезне удается, то используется схема, которую мы дадим на примере построения кривой, заданной системой уравнений,.

Начнем с построения графика функции . Эта функция непрерывна на всей числовой прямой,,. Первое из этих утверждений очевидное, второе следует из того, что. Далее, прифункциястремится к 0 (применяется правило Лопиталя), а функциястремится кпри.

Производная . Привыполнено неравенствои, поэтомуубывает. При, поэтомуи функция возрастает. Наименьшего значения функциядостигает при,. При этом и.

График имеет вид:

Каждому значению соответствуют два значения, обозначим ихи, причем,.

Так как функция непрерывна и убывает при, функциятакже непрерывна и возрастает при, а так какнепрерывна и возрастает при,также непрерывна и возрастает (мы использовали теорему об обратной функции).

Следовательно, по теореме о непрерывности сложной функции и- также непрерывные.

Исследуем асимптотическое поведение функций ипри. Прифункцияи, так как,, а. Так как

,

функция не имеет наклонной асимптоты.

При функцияи функция, при этом. Наконец,

.

Поэтому прямая является наклонной асимптотой для.

Вычислим производные функций и. Обе они получаются по формуле. Приполучаем, что, поэтому, как, так и- возрастающие функции.

В точке обе функциииимеют первую производную, равную.

Наконец, вторая производная равна .

Поэтому при получаем, криваявыгнута вверх, а при, криваявыгнута вниз.

Комментарий к графику: идают «клюв» — имеют особую правую касательную с тангенсом угла наклона вравным 4.

§5. Построение кривых, заданных уравнением в полярных координатах.

Рассмотрим задачу построения на плоскости , введенной прямоугольной декартовой системой координат, кривой, уравнение которой имеет вид. При этом мы считаем, что начало координат совпадает с полюсом полярной системы координат и что ось абсцисс совпадает с полярной осью. В этом случае для декартовых координат точки, имеющей полярные координаты, выполняются равенства,и уравнениеравносильно системе.

Поэтому задание кривой полярным уравнением можно рассматривать, как частный случай задания кривой системой параметрических уравнений.

Рассмотрим несколько примеров.

Уравнение или, т.е. задает прямую линию на плоскости.

Построим кардиоиду, заданную уравнением ,.

Так как функция периодическая, с периодом , рассматриваем. Так как функция чётная, достаточно построить кривую, а затем отразить ее симметрично полярной оси, т.е. оси абсцисс. При, меняющейся отдо, величинаубывает от значениядо. Поэтому эскиз части кривой приимеет примерный вид:

Эскиз всей кривой получаем отражением относительно полярной оси.

Осталось ответить на два естественных вопроса. Первый из них: чему равна абсцисса точки ? Второй вопрос – о выпуклости кривой. Для получения ответов на эти вопросы рассмотрим параметрические уравнения части кардиоиды:,.

,

.

Из уравнения при, находим,, откуда,. Этим значениям соответствуют(при),(при), абсцисс 0.

(при ) — абсцисса точки.

Таким образом, на вопрос об абсциссе точки получим ответ.

Производная .

Отметим, что в точках ,кривая имеет вертикальную касательную.

Вторая производная равна .

На промежутке эта величина меньше 0, на промежутке- больше 0.

Поэтому верхняя половина кардиоиды состоит из выгнутой вверх кривой, соединяющей точки ии выгнутой вниз кривой, соединяющей точкии.

Прямая на плоскости. Кривые второго порядка

Раздел «Аналитическая геометрия на
плоскости» курса «Высшая математика»
включает две основные темы:
1.
2.
Прямая на плоскости
Кривые 2-го порядка

2. Прямая на плоскости

Основные уравнения прямой на плоскости
1. Уравнение прямой, проходящей через заданную
точку M 0 ( x0 ; y0 ) перпендикулярно
N A; B
заданному вектору N A; B
A( x x0 ) B( y y0 ) 0
M 0 ( x0 ; y0 )
2. Общее уравнение прямой
N A; B
Ax By C 0
— вектор нормали
3. Уравнение прямой « в отрезках»
x y
1
a b
Y
b
X
a

3. Прямая на плоскости. Основные уравнения

4. Уравнение прямой, проходящей через заданную
точку M 0 ( x0 ; y0 ) параллельно заданному вектору s m; n
x x0 y y 0
m
n
— каноническое уравнение
s m; n — направляющий вектор
s m; n
5. Параметрические уравнения
x mt x0
y nt y 0
M 0 ( x0 ; y0 )
6. Уравнение прямой, проходящей через две
заданные точки M 1 ( x1 ; y1 ) и M 2 ( x2 ; y2 )
x x1
y y1
x2 x1 y2 y1
s M 1M 2
M 2 ( x2 ; y 2 )
M 1 ( x1 ; y1 )

4. Прямая на плоскости. Основные уравнения

7. Уравнение прямой, проходящей через заданную
точку M 0 ( x0 ; y0 ) с заданным угловым коэффициентом
y y0 k ( x x0 )
k tg
Y
y
y0
X
O
x0
x
Угловой коэффициент k — это тангенс угла наклона прямой.
Угол отсчитывается от положительного направления оси OX
8. Уравнение прямой с угловым
коэффициентом
y kx b
Y
b
O
X

5. Задачи на составление уравнений прямой , определение параметров уравнений

1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (2;4)
параллельно прямой
5x 3 y 15 0 . Построить прямую.
Решение. Нам задано уравнение прямой общего вида
Ax By C 0
N A; B
-вектор нормали
Сравнивая с заданным уравнением, получаем координаты
вектора нормали N 5; 3 Так как все параллельные прямые
можно охарактеризовать одним вектором нормали, то можно составить
уравнение параллельной прямой, проходящей через данную
в условии точку. За основу берем уравнение A( x x0 ) B( y y0 ) 0
5( x 2) 3( y 4) 0
5x 10 3 y 12 0
5x 3 y 2 0
Y
Найдем угловой коэффициент
5x 2 3 y
5
2
y x
3
3
N 5; 3
s 3;5 -направляющий вектор
k
5
3
2
3
2
5
O
X
2. Составить уравнение прямой, проходящей через данную точку
M 0 ( 3;4) параллельно прямой x 1 y 3
2
5
Из канонического уравнения заданной прямой можно определить
ее направляющий вектор s 2; 5
Поскольку для всех параллельных прямых можно взять один и тот
же направляющий вектор, то берем за основу каноническое
уравнение x x0 y y 0 и подставляем в него координаты точки
m
n
и направляющего вектора
x 3 y 4
2
5
Это уравнение можно преобразовать к уравнению
общего вида и к уравнению с угловым коэффициентом
x
0
y
7
2
7
5
0
Y
5x 15 2 y 8
5( x 3) 2( y 4)
7
5x 2 y 7 0
7
5
5
( y 4) ( x 3)
2
2
5
k
N 5;2 — вектор нормали
угловой коэффициент
2
X
3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A( 5;2)
параллельно прямой y 3x 5 .
В данном случае прямая задана уравнением с известным
угловым коэффициентом y=kx+b.
K=3
Все параллельные прямые имеют один угловой коэффициент.
Y
Т.о. нам известна точка на прямой и угловой коэффициент.
Y
Берем уравнение y y0 k ( x x0 )
Y
y 2 3( x 5)
17
y 2 3x 15
y 3x 17
Записав уравнение в виде
X
17 / 3
3x y 17 0 , определим вектор нормали
N 3; 1 и направляющий вектор
s 1;3
Для построения прямой используем таблицу
x
y
0
-17/3
17
0
4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (2;4)
перпендикулярно прямой 5x 3 y 15 0
N 5; 3
M 0 (2;4)
5x 3 y 15 0
Из рисунка видно, что вектор
нормали известной прямой
является направляющим для
искомой прямой, поэтому
используем каноническое уравнение
x x0 y y 0
m
n
3( x 2) 5( y 4)
x 2 y 4
5
3
3x 6 5 y 20
3x 5 y 26 0
Таким образом, получили общее уравнение прямой, из которого
определяем вектор нормали N 3;5
Из канонического уравнения можно перейти к уравнению
с угловым коэффициентом
x 2 y 4
5
3
3
x y 4
5
3
y x 4
5
k 3 / 5
5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (4; 1)
перпендикулярно прямой
x 3t 1
y 2t 5
M 0 (4; 1)
s 3; 2
A( x x0 ) B( y y0 ) 0
3( x 4) 2( y 1) 0
Прямая задана параметрическими
уравнениями, из которых найдем
направляющий вектор s 3; 2
Из рисунка видно, что
направляющий вектор известной
прямой является вектором нормали
для искомой прямой, поэтому
используем уравнение прямой с
известной точкой и вектором
нормали
3x 12 2 y 2 0
3x 2 y 14 0
Получили общее уравнение прямой, из которого N 3; 2 ,
Записав уравнение в виде
3
( y 1) ( x 4) ,
2
3
найдем угловой коэффициент k
2
s 2;3
6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
перпендикулярно прямой y 1 x 3
5
M 0 (3;2)
Из уравнения заданной прямой можно взять угловой коэффициент
k
1
5
Из условия перпендикулярности прямых
можно найти угловой коэффициент
перпендикулярной прямой
k2
k1 k 2 1
1
1
5
k1
( 1 / 5)
Теперь берем уравнение прямой с угловым коэффициентом и
подставляем координаты точки и значение углового коэффициента
y y0 k ( x x0 )
y 5x 13
y 2 5( x 3) y 2 5x 15
Или 5x y 13 0 — общее уравнение N 5; 1 ,
s 1;5

11. Взаимное расположение прямых на плоскости

Задачи на взаимное расположение прямых включают слежующие
вопросы:
1.
Нахождение точки пересечения.
2.
Нахождение угла между прямыми
3.
Проверка условий параллельности и перпендикулярности
прямых
Для нахождения точки пересечения нужно решить систему,
составленную из уравнений этих прямых, например
2 x 5 y 4 0
3x 2 y 1 0
2 5
3
y
2
4 ( 15) 19
2 4
3
1
Систему можно решить методом Крамера
2 ( 12) 14
x
4 5
x
1
2
8 ( 5) 3
x 3
19
Точка пересечения
y
y
3 14
M ;
19 19
14
19

12. Нахождение угла между прямыми

.
1 Если прямые заданы общими уравнениями, то угол между
прямыми – это угол между векторами нормалей и используется
формула косинуса угла между векторами
cos
( N1 N 2 )
N1 N 2
A1 A2 B1 B2
A1 B12 A2 B22
2
2
2. Если прямые заданы каноническими уравнениями, то угол между
прямыми – это угол между направляющими векторами
( s1 s2 )
m1m2 n1n2
cos
2
2
s1 s2
m1 n12 m2 n22
3. Если прямые заданы угловыми коэффициентами, то находят
тангенс угла
k k
tg 2 1
1 k1 k 2

13. Проверка условий параллельности и перпендикулярности прямых

1. Условия параллельности прямых
A1 B1
A2 B2
m1 n1
m2 n2
k1 k 2
2. Условия перпендикулярности прямых
1 k1 k 2 0
A1 A2 B1 B2 0
m1m2 n1n2 0
1
k2
k1
Расстояние от точки M 1 ( x1 ; y1 ) до прямой Ax By C 0
d
Ax1 By1 C
A2 B 2
Для нахождения расстояния от точки до прямой нужно координаты точки
Подставить в левую часть уравнения прямой, разделить на длину
вектора нормали и полученное значение взять по абсолютной величине.
Уравнение прямой должно быть приведены к общему виду
x 4 y 9
1. Найти угол между прямыми 2 x y 3 0 и
5
4
Из уравнения первой прямой определяем вектор нормали N1 2; 1
Из уравнения второй прямой находим направляющий вектор s 5;4
Тогда вектор нормали этой прямой N 2 4; 5
Используем формулу cos ( N1 N 2 )
N1 N 2
cos
A1 A2 B1 B2
A1 B12 A2 B22
2
2
2 4 ( 1) ( 5)
13
4 1 16 25
5 41
2. Найти расстояние от точки M 0 ( 1; 4) до прямой
Приведем сначала уравнение прямой к общему виду
x y
1
5 7
7 x 5 y 35
или 7 x 5 y 35 0 . Теперь можно использовать формулу
Ax By C 7( 1) 5( 4) 35 62
62
d 1 2 1 2
74
74
A B
7 2 52

15. Кривые 2-го порядка

Общее уравнение прямой на плоскости – есть уравнение
линейное относительно переменных x и y
Ax By C 0
Уравнение кривой 2-го порядка
Ax 2 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0
Ax 2 2 Bxy Cy 2 квадратичная часть
линейная часть
Dx Ey F 0
В дальнейшем
будем рассматривать уравнения кривых,
.
в которых отсутствует произведениеxy
Ax2 Cy 2 Dx Ey F 0
К кривым 2-го порядка относятся :
окружность, эллипс, гипербола и парабола.
Основная задача состоит в умении по уравнению определить
тип кривой, привести само уравнение к каноническому
виду и построить кривую в системе координат.

16. 1. Окружность

Определение. Окружностью называется множество точек
плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром
Уравнение окружности с центром в начале координат
x2 y2 R2
Уравнение окружности со смещенным центромO ‘ ( x0 ; y0 )
( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 R 2
!
В уравнение окружности входят квадраты переменных,
причем коэффициенты при квадратах и знаки
при них одинаковые.
Y
Y
y0
O
O’
X
O
x0
X

17. Построение окружностей

1. Построить окружность
2. Построить окружность
x2 y2 9
3
( x 1) 2 ( y 2) 2 9
Y
O
Y
R 3
3 X
2
O’
1
3. Построить окружность
y 1 x2
Y
y 2 ( 1 x 2 ) 2
y2 1 x2
y2 x2 1
O
y 0
1
1 X
O
X
2
2
Построить окружность x 6 x y 4 y 12
( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 R 2
Каноническое уравнение
Формула квадрата суммы и разности двух чисел
( a b) 2 a 2 2 a b b 2
1. ( x 6 x) ( y 4 y ) 12
2
2
2
2
2
2
2. ( x 2 x 3 3 3 ) ( y 2 y 2 2 2 ) 12
2
2
Y
3. [( x 3) 9] [( y 2) 4] 12
2
4.
2
( x 3) 2 ( y 2) 2 9 4 12
2
2
(
x
3
)
(
y
2
)
25
5.
2
2
2
(
x
3
)
(
y
2
)
5
6.
O ( 3;2) центр окружности,

R 5 радиус окружности
O’
3
2
O
X

19. 2. Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество точек
плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек,
называемых фокусами , есть величина постоянная, равная
длине большой оси 2a .
Каноническое уравнение эллипса
Y
b B1 M ( x; y)
x2 y2
2 1, причем
2
A2 F2
a
b
F1 A1
c
O
a c
a
X
B2
a 2 b2 c 2
b
A1 (a;0) A2 ( a;0)
F1 (c;0)
F2 ( c;0)
вершины эллипса
B1 (0; b) B2 (0; b)
фокусы эллипса
A1 A2 2a
большая ось эллипса
F1 F2 2c фокусное расстояние
B1 B2 2b
малая ось эллипса
В уравнение эллипса входят квадраты переменных,
причем знаки при квадратах одинаковые, а коэффициенты
при квадратах разные.
!

20. Разновидности эллипса

Уравнение эллипса со смещенным центром
Y
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
1
2
2
a
b
O ‘ ( x0 ; y 0 ) — центр эллипса
b
a
x0
X
y0
a
O’
b
Если в уравнении эллипса b a , то большой осью будет ось
B1 B2 2b , фокусы эллипса будут
B1 b
.
лежать на этой оси и связь
между параметрами эллипса
будет такой:
b2 a 2 c 2
F1 c
a
O
.
F2 c
B2 b
a

21. Построение эллипса

1. Построить эллипс
x2 y2
1
4
2
Для построения эллипса нужно знать координаты центра и
размеры полуосей a и b
Y
Центр эллипса O(0;0)
2
Полуоси a 4 a 2,
b2 2 b 2
2
.
Расстояние между фокусами
2 2
c 2 a 2 b 2 4 2 2,
c 2 , т.е. 2c 2 2
O
.
2
X
2
2
Можно найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом по формуле
S a b
Для данного примера получим
S 2 2 2 2
2. Построить эллипс
9 x 2 5 y 2 45
Для получения канонического уравнения делаем некоторые
преобразования:
1) Делим все члены уравнения на 45, так чтобы получит единицу
в правой части уравнения
9×2 5 y 2
1
45
45
2) Убираем в знаменатель коэффициенты из числителей
x2
y2
1
45 / 9 45 / 5
x2 y2
1
5
9
Получили уравнение эллипса, из которого определяем положение
Y
центра и размеры полуосей
3
O(0;0) — центр эллипса
a 2 5 a 5,
— полуоси
b2 9 b 3
b a
3) Строим эллипс
5
O
5
3
X
3. Построить кривую
x 1 9 4 y 2
Y
2
2
1. ( x 1) 4 y 9
2. x 1
9 4 y2
3. ( x 1) 9 4 y
2
b
a
2
O’
1
O
X
2
2
(
x
1
)
4
y
9
4.
( x 1) 2 4 y 2
1
5.
9
9
( x 1) 2
y2
1
9
9/4
Таким образом, центр эллипса имеет координаты
Полуоси эллипса
O ‘ ( 1;0)
a 2 9 a 3,
b 2 9 / 4 b 3 / 2 , т.е. a b
При построении необходимо учесть, что уравнение определяет
Только правую половинку эллипса, так как по условию имеем x
1
3x 2 6 x 2 y 2 2 y 0
4. Построить кривую
Данное уравнение определяет эллипс, так как есть квадраты
переменных, знаки при которых одинаковые, а коэффициенты
различные. Кроме того, наличие линейной части уравнения
означает, что центр эллипса смещен от начала координат.
Приводим уравнение к каноническому виду
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
1
2
2
a
b
Используем прием выделения полного квадрата согласно формуле
( a b) 2 a 2 2 a b b 2
2
2
1. 3( x 2 x) 2( y y ) 0
2. 3( x 2 x 1 1 1 ) 2( y 2 y 1/ 2 (1/ 2) (1/ 2) ) 0
3. 3[( x 1) 2 1] 2[( y 1 / 2) 2 1 / 4] 0
2
2
2
2
2
4. 3( x 1) 2( y 1 / 2) 3 1 / 2 0
5. 3( x 1) 2 2( y 1 / 2) 2 7 / 2
2
2
( x 1) 2 ( y 1 / 2) 2
6. 3( x 1) 2( y 1 / 2) 1
1
7/2
7/2
7/6
7/4
7
O ‘ ( 1;1/ 2) центр , a 7 / 6 , b
полуоси
2
2
2
Y
2
O’
1/ 2
1
O
X

25. 3. Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество точек
плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек,
называемых фокусами ,по абсолютной есть величина
постоянная, равная длине действительной оси 2a .
Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат
x2 y2
2 1
2
a b
В этом случае
a действительная полуось
b мнимая полуось
Фокусы гиперболы всегда лежат на действительной оси.
Связь между параметрами гиперболы определяется соотношением
c 2 a 2 b2
!
В уравнение гиперболы входят квадраты
переменных, причем знаки при квадратах разные.
Асимптоты гиперболы – это прямые к которым гипербола
неограниченно приближается на бесконечности.

26. Построение гиперболы

x2 y2
2 1
2
a b
Построение гиперболы
Для построения гиперболы удобно пользоваться
вспомогательными построениями.
1. В системе координат строим прямоугольник с размерами 2a 2b
на осях OX и OY соответственно.
2. Проводим диагонали этого прямоугольника.
Уравнения диагоналей – это уравнения асимптот гиперболы
b
y x
a
3. На действительной оси отмечаем вершины гиперболы и от них
ведем ветви гиперболы к асимптотам.
Y
Y
Y
b
a
a
b
b
b
X
a
a
b
X
c a
a c
b
X

27. Виды гипербол

Y
Рассмотрим другие виды гипербол
Сопряженная гипербола
2
c
2
x
y
1
2
2
a b
b
a X
b действительная полуось
a мнимая полуось
c
Равнобочная гипербола
2
2
x
y
x 2 y 2 a 2 или 2 2 1
a
a
Y
b
Гипербола со смещенным центром O ( x0 ; y0 )

( x x0 ) ( y y0 )
1
2
2
a
b
Гипербола, приведенная к своим асимптотам
2
xy a
2
или
a
y
x
X
a
O’
Y
X
Рассмотрим примеры построения гипербол
1. Построить гиперболу 4 x 2 3 y 2 12
2
Y
2
4x 3y
1
12
12
2
x2
y2
1
12 / 4 12 / 3
X
3
x2 y2
1
3
4
2
O(0;0) центр гиперболы
a2 3
3
a 3 действительная полуось
b2 4 b 2
мнимая полуось
c 2 a 2 b 2 3 4 7,
c 7
2c 2 7
расстояние между фокусами
.
2 Построить кривую
y x2 4
Возведем в квадрат обе части уравнения
y2 x2 4
Собираем квадраты переменных в левую часть уравнения
x2 y2 4
Данное уравнение определяет гиперболу, так как знаки при квадратах
переменных разные. Кроме того, данная гипербола
является сопряженной и равнобочной
x2 y2
Можно записать уравнение в виде
1
Y
4
4
a 2 4 a 2 мнимая полуось
2
b 2 4 b 2 действительная
X
полуось
2
2
Оставляем только нижнюю ветвь
2
гиперболы, так как по условию
y 0
3. Построить кривую
4 x 2 3 y 2 12 8 x 12 y
Данное уравнение определяет гиперболу (знаки при квадратах
переменных различные) со смещенным центром (есть линейная часть)
Приведем уравнение к каноническому виду
( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2
1
a2
b2
4( x 2 2 x) 3( y 2 4 y) 12
4 x 2 8 x 3 y 2 12 y 12
Y
4( x 2 2 x 1 12 12 ) 3( y 2 2 y 2 2 2 2 2 ) 12
4[( x 1) 2 1] 3[( y 2) 2 4] 12
4( x 1) 2 4 3( y 2) 2 12 12
1
4( x 1) 2 3( y 2) 2 4
4( x 1) 2 3( y 2) 2
1
4
4
X
2
O’
( x 1) 2 ( y 2) 2
1
1
4/3
O ‘ ( 1; 2) центр гиперболы
4
2
b
мнимая полуось
a 1 действительная полуось
3
3

31. 4. Парабола

Определение. Параболой называется множество точек
плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой
фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.
Виды парабол
Парабола с осью симметрии OX
x 2 2 py
y 2 px
2
Y
Y
y 2 px
2
Парабола c осью симметрии OY
y 2 2 px
X
x 2 2 py
X
x 2 2 py
Парабола со смещенной вершиной O’ ( x0 ; y0 )
Парабола с осью симметрии OX
Парабола c осью симметрии OY
( x x0 ) 2 2 p( y y0 )
( y y0 ) 2 2 p( x x0 )
Y
y0
Y
O’
x0
x0
!
X
y0
Отличительные признаки уравнения параболы:
отсутствует квадрат одной переменной.
O’
X

33. Построение парабол

Для построения параболы нужно знать:
O’ ( x0 ; y0 ) .
Координаты вершины
Ось симметрии параболы (определяется по той переменно,
квадрат которой отсутствует в уравнении)
Направление ветвей (определяется по знаку : если в правой
части канонического уравнения знак плюс, то ветви параболы
идут в положительном направлении оси симметрии, если знак
минус, то в отрицательном )
Параметр параболы p определяется по коэффициенту при
переменной, стоящей в каноническом уравнении в первой
степени, и определяет «ширину» параболы. Знание параметра
помогает более качественно получить начальный участок
параболы.
2
(
y
2
)
4( x 1)
1. Построить параболу
Данное уравнение является каноническим уравнением параболы,
так как отсутствует квадрат переменной x . Поэтому осью
симметрии параболы будет ось OX.
Вершина параболы в точке O’ (1;2)
Ветви параболы направлены в положительном направлении оси OX,
так как в правой части уравнения знак “плюс”.
2 p 4 ширина параболы
p 2 параметр параболы
p
1
2
Y
p
2
O’ p p
2
1
X
2. Построить кривую
y 3 2 1 x
Y
y 3 2 1 x
( y 3) 2 4(1 x)
( y 3) 2 4( x 1)
y 3
3
O’
X
O
1
O’ (1;3) вершина параболы
Ось симметрии параболы OX, так как отсутствует квадрат
переменной x
Ветви параболы направлены влево, так как в правой части уравнения
получился знак “минус”
p 2 параметр параболы
Так как по условию y 3 , то уравнение определяет только
верхнюю ветвь параболы
3. Построить кривую
y 2 x2
Преобразуем уравнение
x2 2 y
x 2 ( y 2)
Уравнение определяет параболу. Сравнивая с уравнением
( x x0 ) 2 2 p ( y y0 ) , определяем координаты вершины
O’ (0;2) . Ось симметрии OY. Ветви направлены вниз.
1 параметр параболы
p
2
Y
O’ 2
p
1
2
1 1
O
X
4. Построить параболу
4×2 6x 3 y 2 0
В уравнении отсутствует квадрат переменной y, поэтому оно
определяет параболу с осью симметрии OY.
Проведем преобразования уравнения, чтобы привести его к
каноническому виду ( x x0 ) 2 2 p ( y y0 )
6
4 x 2 x 3 y 2 0
4
3
2
4 x 2 x (3 / 4) 2 (3 / 4) 2 3 y 2 0
4
2
3 9
3
9
4 x 3 y 2 0
4 x 3 y 2 0
4 4
4 16
Y
2
3
1
O ‘ y0
4 x 3 y
4
4
X
x0 O
2
3
1
4 x 3 y или
4
12
2
3
3
1
x y
4
4
12
3
3 1
O ‘ ; вершина параболы p параметр параболы
8
4 12
Ветви параболы направлены вниз
2

Как построить параметризированную геометрию спирали Архимеда

Спирали Архимеда широко используются при построении геометрий для катушек индуктивности, спиральных теплообменников и микрогидродинамических устройств. В этой заметке мы покажем, как построить спираль Архимеда, используя аналитические выражения и их производные для задания необходимых кривых. Сначала мы создадим двухмерную геометрию, а затем, задав нужную толщину, преобразуем её в трёхмерную с помощью операции Extrude (Вытягивание).

Что такое спираль Архимеда?

Широко распространённые в природе спирали или завитки используются во многих инженерных конструкциях. Например, в электротехнике и электронике с помощью проводников спиралевидной формы наматывают катушки индуктивности или проектируют геликоидные антенны. В машиностроении спирали используются при проектировании пружин, косозубых цилиндрических передач или даже механизмов часов, один из которых изображён ниже.


Пример спирали Архимеда, которая используется в часовом механизме. Изображение представлено Greubel Forsey. Доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 из Wikimedia Commons.

В данной статье мы разберём только один вид спирали, а именно, спираль Архимеда, которая изображена в механизме выше. Спираль Архимеда – это особый вид спирали с постоянным расстоянием между витками. Благодаря этому свойству она широко распространена при проектировании катушек и пружин.

Уравнение спирали Архимеда в полярной системе координат записывается, как:

r=a+b\theta

где a и b — параметры, определяющие начальный радиус спирали и расстояние между витками, которое равно 2 \pi b. Обратите внимание, что спираль Архимеда также иногда называют арифметической спиралью. Это имя связывают с арифметической зависимостью расстояния от начала кривой до точек спирали, находящихся на одной радиальной линии.

Задание параметризированной геометрии спирали Архимеда

Теперь, когда вы уже знаете, что такое спираль Архимеда, давайте приступим к параметризации и созданию геометрии в COMSOL Multiphysics.


Спираль Архимеда может быть задана как в полярных, так и в декартовых координатах.

Для начала необходимо преобразовать уравнение спирали из полярной системы координат в декартову и выразить каждое уравнение в параметрической форме:

\begin{align*} x_{component}=rcos(\theta) \\ y_{component}=rsin(\theta) \end{align*}

После преобразования уравнения спирали в параметрической форме в декартовой системе координат примут вид:

\begin{align*} x_{component}=(a+b\theta)cos(\theta) \\ y_{component}=(a+b\theta)sin(\theta) \end{align*}

В COMSOL Multiphysics необходимо определить набор параметров, с помощью которых будем задавать геометрию спирали. В нашем случае — это начальный и конечный радиусы спирали a_{initial} и a_{final}, соответственно, и количество витков n. Показатель роста спирали b находится, как:

b=\frac{a_{final}-a_{initial}}{2 \pi n}

Также необходимо определить начальный и конечный углы спирали — theta_0 и theta_f, соответственно. Давайте с них и начнём — theta_0=0 и theta_f=2 \pi n. Исходя из заданной информации, определяем параметры для построения геометрии спирали.


Параметры, которые используются для построения геометрии спирали.

Начнём наше построение, выбрав трёхмерную задачу (3D Component) и создадим Work Plane (Рабочую плоскость) в разделе Geometry (Геометрия). В геометрии для Work Plane добавляем Parametric Curve (Параметрическую кривую) и записываем параметрические уравнения, описанные выше, чтобы задать двухмерную геометрию спирали Архимеда. Данные уравнения можно сразу вписать в соответствующие поля во вкладке Expression либо сначала можно задать каждое уравнение отдельной Аналитической функцией (Analytic function):

\begin{align*} X_{fun}=(a+bs)cos(s) \\ Y_{fun}=(a+bs)sin(s) \\ \end{align*}


Выражение для X-компоненты уравнения спирали Архимеда, заданное аналитической функцией.

Аналитическая функция затем может использоваться в качестве выражения в узле Parametric Curve. Во вкладке Parameter задаём параметр s от начального угла, theta_0, до его конечного значения, theta_f=2 \pi n.


Настройки для Parametric Curve (Параметрической кривой).

Как только вы зададите все параметры и нажмёте на кнопку «Build Selected», будет построена кривая, изображённая на скриншоте выше. Теперь давайте зададим толщину спирали, чтобы получить твёрдотельную (solid) двухмерную фигуру.

До этого момента параметрами нашей кривой были начальный (a_{initial}) и конечный (a_{final}) радиусы и количество витков n. Теперь мы хотим добавить ещё один – толщину спирали.

Ещё раз напомним главное свойство спирали — расстояние между витками постоянно и равно 2 \pi b. Что эквивалентно \frac{a_{final}-a_{initial}}{n}. Чтобы добавить толщину в наши уравнения, представляем расстояние между витками суммой толщины спирали и зазора thick+gap.


Расстояние между витками определяется толщиной спирали и величиной зазора.

Чтобы ввести параметр толщины и сохранить постоянное расстояние между витками, последнее перепишем, как:

\begin{align*} distance=\frac{a_{initial}-a_{final}}{n} \\ gap=distance-thick \end{align*}

После этого выражаем показатель роста спирали через толщину:

\begin{align*} distance=2\pi b \\ b=\frac{gap+thick}{2\pi} \end{align*}

Также нужно выразить конечный угол спирали через начальный угол и конечный радиус:

\begin{align*} \theta_{final}=2 \pi n \\ a_{final}=\text{total distance}+a_{initial} \\ a_{final}=2 \pi bn+a_{initial} \\ n=\frac{a_{final}-a_{initial}}{2 \pi b} \\ \theta_{final}=\frac{2 \pi (a_{final}-a_{initial})}{2 \pi b} \\ \theta_{final}=\frac{a_{final}-a_{initial}}{b} \end{align*}

Хотите задать отличный от нуля начальный угол спирали? Если так, то его надо будет добавить в выражение для определения конечного угла: theta_f=\frac{a_{final}-a_{initial}}{b}+theta_0.2 }} \end{align*}

где N_x и N_y определяются аналитическими функциями в COMSOL Multiphysics, аналогично X_{fun} и Y_{fun} в первом примере. Внутри функции используется оператор производной, d(f(x),x), как показано на скриншоте ниже.


Примеры оператора производной, который используется в аналитической функции

Функции X_{fun}, Y_{fun}, N_x, и N_y могут быть использованы в выражениях для задания параметрической кривой, как с одной стороны:

\begin{align*} x_{lower}=X_{fun}(s)+N_x(s)\frac{thick}{2} \\ y_{lower}=Y_{fun}(s)+N_y(s)\frac{thick}{2} \end{align*}

Так и с другой:

\begin{align*} x_{upper}=X_{fun}(s)-N_x(s)\frac{thick}{2} \\ y_{upper}=Y_{fun}(s)-N_y(s)\frac{thick}{2} \end{align*}


Выражения для второй смещённой параметрической кривой.

Чтобы соединить концы, добавим ещё две параметрические кривые, используя незначительные изменения уравнений выше. Для кривой, которая будет соединять спираль в центре, необходимо задать X_{fun}, Y_{fun}, N_x, и N_y для начального значения угла, theta. Для кривой, которая будет соединять концы, необходимо задать конечное значение theta. Исходя из этого, уравнения кривой в центре:

\begin{align*} X_{fun}(theta_0)+s\cdot N_x(theta_0)\cdot\frac{thick}{2} \\ Y_{fun}(theta_0)+s\cdot N_y(theta_0)\cdot\frac{thick}{2} \end{align*}

Уравнения кривой на конце:

\begin{align*} X_{fun}(theta_f)+s\cdot N_x(theta_f)\cdot\frac{thick}{2} \\ Y_{fun}(theta_f)+s\cdot N_y(theta_f)\cdot\frac{thick}{2} \end{align*}

В этих уравнениях параметр s изменяется от -1 до 1, как показано на скриншоте ниже.


Уравнения кривой, соединяющей спираль в центре.

В итоге, мы имеем пять кривых, которые определяют осевую линию спирали и её четыре стороны. Осевую линию можно отключить (функция disable) или даже удалить, так как она не является необходимой. Добавив узел Convert to Solid, создаём единый геометрический объект. Последним шагом является вытягивание данного профиля с помощью операции Extrude и создание трёхмерного объекта.


Полная геометрическая последовательность и вытянутая (экструдированная) трёхмерная геометрия спирали.

Краткие выводы по моделированию спирали Архимеда в COMSOL Multiphysics

В данной заметке мы разобрали основные шаги по созданию параметрической спирали Архимеда. С помощью данной модели вы можете сами экспериментировать с различными значениями параметров, а также попробовать решить с использованием данной параметризации оптимизационную задачу. Надеемся, что данная статья оказалась полезной и вы будете применять данную технику в своих последующих моделях.

Дополнительные ресурсы по проектированию и расчёту спиралей

Решение экономических задач 📝 на спрос и предложение

Большинство экономических задач на спрос и предложение однотипны и сводятся к необходимости определить равновесную цену или объем продукции, при которых рынок находится в равновесии. Это одна из самых легких задач экономической теории.

Важно помнить, что равновесие рынка может достигаться только при условии, что спрос равен предложению.

Обычно по условиям задачи даются уравнения спроса и предложения и предлагается по данным уравнениям определить точку равновесия.

Например, уравнение спроса:

QD = 100 — 20P,

уравнение предложения:

QS = 10P + 10

Р – это цена товара (услуги)

Q – количество товара (услуги), который рынок готов продать или покупатель готов приобрести по данной цене.

Для определения равновесной цены и объема товара необходимо два данных уравнения приравнять друг другу и найти решение:

100 — 20P = 10P + 10

30P = 90

P = 90 / 30 = 3

Отсюда Q = 100 — 20 * 3 = 10 * 3 + 10 = 40

Это решение также называется алгебраическим, то есть найденным путем решения уравнений.

Существует также табличный способ решения данной задачи. Когда студент сам произвольным образом задает значения цены (Р) и находит для каждого значения цены значение спроса и предложения по заданным уравнениям. А затем, путем анализа полученных значений, представленных в виде таблицы, находит то, при котором спрос равен предложению. Это и является ответом на задание.

Есть также графический способ решения данной задачи, который заключается в том, что по данным таблицы со значениями спроса и предложения для разных значений цены строятся кривые спроса и предложения и находится точка их пересечения, которая и будет являться точкой равновесия на рынке.

В данном случае точка Е является точкой равновесия, так как в ней пересекаются кривые спроса и предложения.

Также в задачах можно встретить усложнение условий и необходимость рассчитать новую точку равновесия на рынке в условиях, когда в рыночные взаимоотношения начинает вмешиваться государство. Например, оно может облагать налогом производителей или давать им субсидии. Здесь следует помнить, что введение налога на производителей неизбежно ведет к росту цен и изменению точки равновесия, так как производитель будет пытаться «отбить» дополнительные затраты с помощью покупателей. Если же государство вводить субсидии для производителей, то это имеет обратный эффект – цена будет снижаться.

С точки зрения решения задачи в случае с налогами новая равновесная цена будет определяться так. Допустим, государство ввело налог 3 рубля с каждой единицы товара. Тогда с каждой единицы товара производитель будет получать на 3 рубля меньше, и новое уравнение предложения будет выглядеть следующим образом:

QS = 10(P — 3) + 10

Находим равновесную цену:

100 — 20P = 10(P — 3) + 10

120 = 30Р

Р = 120 / 30 = 4

Тогда Q = 100 – 20 * 4 = 20

Таким образом, равновесная цена стала больше, а равновесный объем – меньше.

Кривая предложения при этом сместится вниз вправо.

Если рассматривать случай с субсидиями, то ситуация противоположная. Допустим, государство дает субсидию для производителя в размере 3 рубля на каждую единицу товара. Тогда с каждой единицы товара производитель будет получать на 3 рубля больше, и новое уравнение предложения будет выглядеть следующим образом:

QS = 10(P + 3) + 10

Находим равновесную цену:

100 — 20P = 10(P + 3) + 10

60 = 30Р

Р = 60 / 30 = 2

Тогда Q = 100 – 20 * 2 = 60

Таким образом, равновесная цена стала меньше, а равновесный объем – больше.

Кривая предложения при этом сместится вверх влево.

Аппроксимация данных сплайнами Безье — Виртуальные лаборатории

Вернуться к содержанию

  Сплайн (от англ. spline, – гибкое лекало, гибкая плазовая рейка – полоса металла, используемая для черчения кривых линий) – функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым алгебраическим многочленом. Максимальная степень из использованных полиномов называется степенью сплайна. Разность между степенью сплайна и получившейся гладкостью называется дефектом сплайна. Например, непрерывная ломаная есть сплайн степени 1 и дефекта 1. В современном понимании сплайны – это решения многоточечных краевых задач сеточными методами.

  Чтобы наглядно продемонстрировать приведенные понятия сплайна, степени сплайна и дефекта сплайна, рассмотрим следующую задачу: имеется совокупность экспериментальных данных, необходимо максимально точность аппроксимировать последовательность данных полиномиальной функцией n-го порядка с достоверностью не менее 95 %. В качестве базового выбираем метод полиномиальной аппроксимации с помощью так называемого сплайна Безье. Данный метод наиболее актуален для реализации в компьютерном алгоритме.

   Сплайны (кривые) Безье или Кривые Бернштейна-Безье разработаны в 60-х годах XX века независимо друг от друга Пьером Безье из автомобилестроительной компании «Рено» и Полем де Кастельжо из компании «Ситроен», где применялись для проектирования кузовов автомобилей [1].

 Кривая Безье относится к полиномам третьего порядка и уникально определяется четырьмя точками. Обозначим эти точки p0 (начальная), p1, p2 (две управляющие) и p3 (конечная). Обозначенные точки будут иметь координаты: (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3). Полином третьего порядка, задающий координаты точек в двумерном пространстве, выражается параметрическими уравнениями общего вида:


где ax, bx, cx, dx, ay, by, cy и dy – константы, a параметр t меняется от 0 до 1.

  Любая кривая Безье уникально определяется этими 8 константами. Их значения зависят от координат четырех точек, задающих кривую. Цель этой задачи – вывести уравнения для расчета восьми констант по заданным координатам четырех точек.

  Первое допущение для вывода этих уравнений заключается в том, что кривая Безье начинается в точке с координатами (x0, y0) при t = 0:

 Даже такое простое допущение позволяет продвинуться в выводе уравнений для констант. Подставив в параметрические уравнения t = 0, получим:

  Это означает, что две из констант – это просто координаты начальной точки:



   Второе допущение, касающееся кривой Безье: она заканчивается в точке с координатами (x3, y3) при t = 1:

   Подставив в параметрические уравнения (1) вместо t единицу, получаем:

что означает наличие следующей связи между константами и координатами конечной точки:



   Остальные допущения касаются первых производных параметрических уравнений, описывающих угол наклона кривой. Первую производную параметрического уравнения общего вида, задающего полином третьего порядка как функцию переменной t, можно записать так:

    Нас, в частности, интересует угол наклона кривой в конечных точках. Как известно, прямая, проведенная из начальной точки через первую управляющую точку, проходит по касательной к кривой Безье и направлена в ту же сторону, что и кривая. Обычно эту прямую задают параметрическими уравнениями:

где t изменяется от 0 до 1. Но можно задать ее иначе:

где t изменяется от 0 до 1/3.

   Почему именно 1/3? Дело в том, что длина той части кривой Безье, по касательной к которой проходит прямая, проведенная из точки p0 через p1, направленная в ту же сторону, что и кривая, равна 1/3 от общей длины кривой. Первые производные модифицированных параметрических уравнений можно записать так:

   Если нужно рассчитать по этим уравнениям угол наклона кривой Безье при t = 0, то:

   Подставив t = 0 в уравнение первой производной полинома третьего порядка, получим:

   Это позволяет записать равенство:



 Последнее допущение таково: прямая, проведенная из второй управляющей точки через конечную, является касательной к кривой Безье в ее конечной точке и направлена в ту же сторону, что и кривая. Иначе говоря:

    Из уравнений общего вида следует, что:



  Выражения (2), (4), (6) и (8) дают четыре уравнения с четырьмя неизвестными, которые можно решить относительно ax, bx, cx и dx, выразив их через x0, x1, x2 и x3. Выполнив ряд алгебраических преобразований, получаем:

  Выражения (3), (5), (7) и (9) позволяют сделать то же самое для коэффициентов y. После этого можно подставить константы обратно в параметрическое уравнение общего вида для полинома третьего порядка:

   В сущности, на этом можно было бы закончить. Но лучше раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. В итоге получатся более элегантные параметрические уравнения, с которыми проще работать:



   Уравнения (10) и (11) позволяют построить кривую Безье в декартовых координатах.

  На первом этапе разработки компьютерного алгоритма аппроксимации экспериментальных данных мы будем задавать кривую Безье визуальным способом, перемещая ее узловые точки в декартовой системе координат графической области экрана. Пример графического представления кривой Безье представлен на рисунке 1. Точки P0 и P3 – начальная и конечная точки кривой соответственно, P1 и P2 – управляющие точки (или точки направляющих отрезков).

Рисунок 1 – К построению кривой Безье

  В качестве средства разработки выбираем среду программирования Microsoft Visual Basic 6.0. На рисунке 2 представлена форма графического интерфейса, включающая графическое поле для построения кривых, и панель параметров, расположенную в левой части формы.

Рисунок 2 – Графический интерфейс пользователя программы математической аппроксимации кривой Безье

   С помощью указателя мыши пользователем задаются положения точек P0, P1, P2 и P3 сплайна Безье. Центр системы координат можно смещать, перемещая указатель мыши в графической области при нажатой правой кнопке мыши.

 Далее проведем кривую полиномиальной функции n-го порядка по кривой построенного сплайна Безье. Целью данной процедуры является переход от параметрических уравнений сплайна Безье к аналитической функции вида y=f(x) при аппроксимировании данных. На панели параметров в левой части экрана пользователем выбирается степень n полиномиальной функции. От данного параметра зависит, сколько опорных точек будет выделено на сплайне Безье, через которые проходит полиномиальная кривая, и, следовательно, точность приближения полиномиальной кривой к сплайну, также будет зависеть от выбранной степени полинома.

 Принцип построения полиномиальной кривой базируется на вычислении коэффициентов полинома:


где n – число точек на сплайне Безье, через которые проходит полиномиальная кривая.

  Для вычисления коэффициентов Ci необходимо задать опорные точки на сплайне Безье, координаты которых вычисляются по известным параметрическим уравнениям Безье (10 и 11), и подставить координаты опорных точек (xi, yi) в уравнение (12). В таком случае мы получаем систему линейных уравнений с n неизвестными:


где ai – коэффициенты системы уравнений, а0 – свободные члены.

   В представленном алгоритме система линейных уравнений вида (13) решается методом Крамера, подразумевающем преобразование системы уравнений в матрицы 3×3, 4×4, 5×5 и 6×6 для полиномиальной функции 2, 3, 4 и 5-го порядков, соответственно. Программно вычисления производятся с использованием двумерных массивов, в которые записываются столбцы основной и вспомогательных матриц Крамера, после чего производится вычисление их определителей, и находятся коэффициенты полиномиального уравнения.

 В программе реализован алгоритм автоматической корректировки коэффициентов уравнения полинома. Сущность алгоритма заключается в цикличной проверке максимального расхождения полиномиальной кривой и кривой Безье в направлении оси Y (рисунок 3). Степень сплайна Безье es равна 3, а степень полиномиальной кривой ep выбирается пользователем (2, 3, 4 или 5). Теоретически, при ep ≥ es расхождение кривых сводится к нулю.

Рисунок 3 – К определению степени достоверности аппроксимации (до пересчета координат опорных точек)

   С заданным шагом (по оси абсцисс) вычисляются длины вертикальных отрезков, соединяющих кривую полинома и кривую Безье (закрашенная область на рисунке 3). Длины указанных отрезков записываются в одномерный массив, после чего определяется и фиксируется наибольшая длина отрезка (максимальная величина расхождения кривых Δ). С помощью генератора случайных чисел задаются новые координаты опорных точек на кривой Безье, тем самым происходит их случайное смещение по сплайну, при этом каждая итерация заканчивается пересчетом величины Δ. Если после новой итерации величина Δ уменьшилась по сравнению с предшествующей, то полиномиальная кривая перестраивается. Визуально мы наблюдаем сближение полиномиальной кривой со сплайном Безье (рисунок 4).

Рисунок 4 – К определению степени достоверности аппроксимации (максимальное приближение аппроксимирующей кривой к сплайну Безье)

  Разработанный алгоритм является эффективным инструментом для обработки эмпирических данных с использованием сплайнов. К примеру, если речь идет об интегральных кривых распределения, сплайном Безье можно задавать аппроксимирующую функцию, которая будет проходить через экспериментальные точки. При этом, конфигурация сплайна может задаваться не только ручным способом с помощью конечных и управляющих точек, а процедурно, путем проверки расходимости координат экспериментальных точек и точек, выделенных на сплайне с равной абсциссой. В конечном итоге мы получаем полиномиальную функцию n-й степени, которая будет максимально точно описывать последовательность эмпирических данных (например, как на рисунке 5).

Рисунок 5 – Схематичное представление процесса аппроксимации эмпирических данных

    В случае аппроксимации интегральных кривых распределения на выходе работы алгоритма мы получаем функцию y(x), дифференцирование которой позволит построить закономерную дифференциальную гистограмму распределения dy(x) (например, как на рисунке 6).

Рисунок 6 – Построение дифференциальной гистограммы распределения по аппроксимирующей полиномиальной кривой

Библиографические ссылки:

[1] – Кривая Безье: Материал из Википедии – свободной энциклопедии: Версия 64994710, сохраненная в 23:11 UTC 22 августа 2014 // Википедия, свободная энциклопедия. – Электрон. дан. – Сан-Франциско: Фонд Викимедиа, 2014.

Вернуться к содержанию

При копировании материалов ссылка на сайт www.sunspire.ru обязательна. Также, вы можете использовать библиографическую ссылку на учебное пособие:

 

«Белов, В.В. Компьютерная реализация решения научно-технических и образовательных задач: учебное пособие / В.В. Белов, И.В. Образцов, В.К. Иванов, Е.Н. Коноплев // Тверь: ТвГТУ, 2015. 108 с.»

85912 (Плоские кривые) — документ, страница 6


7. Эксперимент

Некоторые практические материалы. Предложенные в гл. II проверены экспериментально в 10–11 классах ГОУ СОШ с. Новкус-Артезиан.

Тема эксперимента: «Различные уравнения эллипса, гиперболы, параболы и их графики».

Эксперимент проводился в два этапа.

I этап эксперимента.

До изложения теории о линиях второго порядка (до Темы 1) предлагались задания на проверку уровня знаний учащихся о знакомых им линиях второго порядка.

Учащимся было предложено ответить на вопросы и выполнить задания:

  1. Какие из перечисленных ниже графиков представлены на чертеже:

а) окружность;

б) эллипс;

в) гипербола;

г) парабола?

  1. Каким из перечисленных выше уравнений задаётся каждый из них:

а) ,

б)

в)

г)

  1. Какие методы построения графиков функции вы знаете?

  2. Приведите примеры распространения линий второго порядка в жизни, природе, технике.

  3. Какие вы знаете свойства эллипса, гиперболы, параболы, окружности?

II этап поискового эксперимента проводился после проведения факультативных занятий.

Подбирались задачи, аналогичные тем, которые рассматривались на кружковых занятиях. Задания достаточно стандартные, аналогичные тем, которые были проведены на первом этапе эксперимента и задания по нестандартному решению задач.

Учащимся были предложены следующие задания:

  1. Нарисовать схематически графики данных уравнений:

а) ,

б)

в)

г) .

  1. По заданным уравнениям определите название линии второго порядка:

а)

б)

в)

г) .

  1. Построить график функции

  2. Решить уравнения: а)

б)

После проведения эксперимента можно сделать следующий вывод: у учащихся экспериментальной группы значительно поднимается уровень логического мышления и развивается математическая интуиция, они чётко аргументируют ответы, приводят доказательства и хорошо ориентируются в изученном материале, применяя его на уроках.

Результаты эксперимента

Количество учащихся

I этап

II этап

15

28%

75%


Заключение

В квалификационной работе разработана теория плоских кривых и замечательных кривых, предложена разработка факультатива для учащихся 9–11 классов на тему «Плоские кривые».

После изучения научной и методической литературы материал отобран с учётом психологических и физиологических особенностей учащихся старших классов и систематизирован для целостного изложения.

Выдвинутая гипотеза, на наш взгляд подтверждается на основе наблюдений и частичного эксперимента в период педагогической практики.

Содержание всех занятий позволяет углубить представление учащихся об эллипсе, гиперболе. Параболе и ознакомить их с некоторыми, наиболее часто встречающимися замечательными кривыми, приблизить их к пониманию некоторых важных идей современной математики.




Литература

  1. Савелов А.А. Плоские кривые. – М.: ГИФ-МЛ, 1960

  2. Гильберт Д., Кон-Фостен С. Наглядная геометрия. – М.: Наука, 1981.

  3. Моденов П.С. Аналитическая геометрия М.: Наука, 1969

  4. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. – учебное пособие для студентов физ. – мат. факультетов пед. институтов. – М.: Просвещение, 1987

  5. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры с приложениями собрания задач, снабжённых решениями, составленные А.С. Пархоменко. – М.: Наука, 1968

  6. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1979

  7. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика, 1989

  8. Математический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1988

  9. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. – М.: – наука, 1978

  10. Водинчар М.И., Лайкова Г.А., Калинова Т.Ю. Линии второго порядка и графики иррациональных функций // Математика в школе, 1999, №3.

  11. Дубровин В.А., Новиков С.П., Фоменко А.Г. Современная геометрия. Методы и приложения. – М. Наука, 1986

  12. Методика преподавания математики в средней школе. – М.: Просвещение, 1980

  13. Кузнецова Г.Б. Алгебра точек параболы // Математика в школе, 1974, №2

  14. Ткаченко А.А. Об одном свойстве гиперболы // Математика в школе, 1976, №2

  15. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: учебное пособие для физ. – мат. Специальностей пед. институтов \ под редакцией Лященко Е.И. – М., 1988

  16. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: решение задач. Уч. пособие для 10 кл. средней школы. – М., 1989

  17. Абрамов А.Щ., Ивлев Б.М. и др. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: уч. пособие для 10–11 кл. средней школы. – М., 1993

  18. Программа общеобразовательных учреждений. Математика. – М. «Просвещение», 2002

{2} у = х2.

Пример графика простого квадратичного выражения

Существует так много разных типов задач, которые вам могут задать относительно квадратных уравнений. В этой статье основное внимание будет уделено тому, как мы можем построить квадратное уравнение из квадратичного графа, используя несколько разных методов. Но, прежде чем мы перейдем к этим типам задач, найдите момент, чтобы поиграть с квадратичными выражениями в этом замечательном онлайн-калькуляторе для построения графиков. Чем удобнее вы будете работать с квадратичными графиками и выражениями, тем проще будет эта тема!

Теперь давайте приступим к решению задач с этими знаниями, а именно, как найти уравнение параболы!

Как найти квадратное уравнение из графика:

Чтобы найти квадратное уравнение из графика, можно использовать два простых метода: с использованием 2 точек или 3 точек.{2} \ mp dy = a (x ± f) 2∓d

Используя эту формулу, все, что нам нужно сделать, это перебрать вершину и другую точку, решить для a, а затем переписать наше окончательное уравнение. Лучший способ освоить эту форму — решить с ней пример задачи.

Пример:

Определите уравнение параболы, показанное на изображении ниже.

Определите уравнение показанной параболы

Шаг 1. Определите точки

Поскольку в этой задаче нам даны только две точки, вершина и еще одна точка, мы должны использовать форму вершины для решения этого вопроса. {2} 8 = a (−2) 2 8 = 4a8 = 4a8 = 4a а = 2а = 2а = 2 Решите значение a, используя координату

Шаг 3. Запишите квадратное уравнение

После решения «а» у нас теперь есть вся информация, необходимая для написания нашего окончательного ответа.{2} + 4y = 2 (x + 1) 2 + 4

На этом урок о форме вершин и о том, как найти квадратное уравнение по двум точкам, завершен! Если вы хотите освежить свою память на связанных темах, таких как, как решать квадратные выражения в форме вершины, как преобразовать регулярное квадратное уравнение из стандартной формы в форму вершины, заполнив квадрат, и как использовать формулу вершины, убедитесь, что чтобы посмотреть наши уроки.

2) Найдите квадратное уравнение по 3 точкам

В некоторых случаях нам не повезет получить точку на вершине.Если это так, мы больше не сможем найти квадратичное выражение, используя всего две точки, и нам нужно сделать что-то немного другое. В случае, если нам дана информация о пересечениях параболы по оси x, а также об одной другой точке, мы можем найти квадратное уравнение, используя уравнение, которое называется «факторизованной формой». Общее уравнение для формулы факторизованной формы выглядит следующим образом, где b и c являются значениями координаты x точек пересечения с осью x:

y = a (x − b) (x − c) y = a (x — b) (x — c) y = a (x − b) (x − c)

Используя эту формулу, все, что нам нужно сделать, это подставить координаты x точек пересечения по оси x, другую точку, а затем решить для a, чтобы мы могли записать наш окончательный ответ.Опять же, лучший способ освоить эту форму квадратных уравнений — это решить задачу-пример.

Пример:

Определите уравнение параболы, показанное на изображении ниже:

Найдите уравнение параболы

Шаг 1. Определите точки

Поскольку нам даны три точки в этой задаче, x-точки пересечения и еще одна точка, мы можем использовать факторную форму для решения этого вопроса.

Из графика мы видим, что точки пересечения по оси x равны -2 и 5, а точка на параболе равна (8,6).

Шаг 2: Подточки в форме вершины и решение относительно «a»

Теперь все, что нам нужно сделать, это подставить наши значения в формулу факторизованной формы и решить для «a», чтобы получить всю информацию для написания нашего окончательного квадратного уравнения. Напомним, факторизованная форма:

y = a (x − b) (x − c) y = a (x — b) (x — c) y = a (x − b) (x − c)

Используя координаты отрезков x:

ххх-перехват = -2-2-2 х = −2x = -2x = −2 (х + 2) = 0 (х + 2) = 0 (х + 2) = 0 ххх-перехват = 555 х = 5х = 5х = 5 (х-5) = 0 (х — 5) = 0 (х-5) = 0 y = (x + 2) (x − 5) y = (x + 2) (x — 5) y = (x + 2) (x − 5)

Затем мы можем использовать точку на параболе (8,6), чтобы найти «a»:

6 = a (8 + 2) (8−5) 6 = a (8 + 2) (8-5) 6 = a (8 + 2) (8−5) 6 = а (10) (3) 6 = а (10) (3) 6 = а (10) (3) 6 = 30a6 = 30a6 = 30a a = 15a = \ frac {1} {5} a = 51

Шаг 3. Запишите квадратное уравнение

После решения «а» у нас теперь есть вся информация, необходимая для написания нашего окончательного ответа.

y = 15 (x + 2) (x − 5) y = \ frac {1} {5} (x + 2) (x — 5) y = 51 (x + 2) (x − 5)

Вот и все! Это два наиболее важных метода нахождения квадратичной функции по заданной параболе. Для дальнейшего изучения квадратичных функций и их графиков посмотрите эти полезные видео, посвященные дискриминанту и построению графиков квадратичных неравенств. , и конические сечения.

Параметрические уравнения | Алгебра и тригонометрия

Цели обучения

В этом разделе вы:

  • Параметризация кривой.
  • Удалите параметр.
  • Найдите прямоугольное уравнение для параметрической кривой.
  • Найдите параметрические уравнения для кривых, заданных прямоугольными уравнениями.

Рассмотрим путь, по которому следует Луна, вращаясь вокруг планеты, которая одновременно вращается вокруг Солнца, как показано на (Рисунок). В любой момент Луна находится в определенном месте относительно планеты. Но как нам написать и решить уравнение для положения Луны, когда расстояние от планеты, скорость орбиты Луны вокруг планеты и скорость вращения вокруг Солнца — все это неизвестны? Мы можем решать только одну переменную за раз.

Рисунок 1.

В этом разделе мы рассмотрим системы уравнений, задаваемые [latex] \, x \ left (t \ right) \, [/ latex] и [latex] \, y \ left (t \ right) \, [/ латекс], где [латекс] t [/ латекс] — независимая переменная времени. Мы можем использовать эти параметрические уравнения в ряде приложений, когда мы ищем не только конкретное положение, но и направление движения. Когда мы отслеживаем последовательные значения [latex] \, t, \, [/ latex], ориентация кривой становится ясной.Это одно из основных преимуществ использования параметрических уравнений: мы можем отслеживать движение объекта по пути в зависимости от времени. Мы начинаем этот раздел с рассмотрения основных компонентов параметрических уравнений и того, что означает параметризация кривой. Затем мы узнаем, как исключить параметр, преобразовать уравнения кривой, определенной параметрически, в прямоугольные уравнения и найти параметрические уравнения для кривых, определяемых прямоугольными уравнениями.

Параметризация кривой

Когда объект движется по кривой — или криволинейной траектории — в заданном направлении и за заданный промежуток времени, положение объекта в плоскости задается координатой x- и координатой y- .Однако и [латекс] \, x \, [/ latex] и [latex] \, y \, [/ latex]
меняются со временем, и, следовательно, являются функциями времени. По этой причине мы добавляем еще одну переменную, параметр, от которого оба [latex] \, x \, [/ latex] и [latex] \, y \, [/ latex] являются зависимыми функциями. В примере в открывателе раздела параметром является время, [latex] \, t. \, [/ Latex] [latex] \, x \, [/ latex] положение луны во времени, [latex] \ , t, \, [/ latex] представлен как функция [latex] \, x \ left (t \ right), \, [/ latex] и положение [latex] \, y \, [/ latex] луна в момент времени, [латекс] \, t, \, [/ latex] представлена ​​как функция [латекс] \, y \ left (t \ right).\, [/ latex] Вместе [latex] \, x \ left (t \ right) \, [/ latex] и [latex] \, y \ left (t \ right) \, [/ latex] называются параметрическими уравнения, и сгенерировать упорядоченную пару [латекс] \, \ left (x \ left (t \ right), \, y \ left (t \ right) \ right). \, [/ latex] Параметрические уравнения в первую очередь описывают движение и направление. {2}.{2}}. \, [/ Latex] Если построить график [latex] \, {y} _ {1} \, [/ latex] и [latex] \, {y} _ {2} \, [/ latex ] вместе, график не пройдет проверку вертикальной линии, как показано на (Рисунок). Таким образом, уравнение графика круга не является функцией.

Рисунок 2.

Однако, если бы мы построили график для каждого уравнения отдельно, каждое из них прошло бы тест вертикальной линии и, следовательно, представляло бы функцию. В некоторых случаях концепция разделения уравнения для круга на две функции аналогична концепции создания параметрических уравнений, поскольку мы используем две функции для создания нефункции.Это станет яснее по мере продвижения вперед.

Параметрические уравнения

Предположим, [latex] \, t \, [/ latex] — это число на интервале, [latex] \, I. \, [/ Latex] Множество упорядоченных пар, [latex] \, \ left (x \ left (t \ right), \, \, y \ left (t \ right) \ right), \, [/ latex] где [latex] \, x = f \ left (t \ right) \, [/ latex ] и [латекс] \, y = g \ left (t \ right), [/ latex] образует плоскую кривую на основе параметра [latex] \, t. \, [/ latex] Уравнения [latex] \, x = f \ left (t \ right) \, [/ latex] и [latex] \, y = g \ left (t \ right) \, [/ latex] являются параметрическими уравнениями.{2} -1. [/ Латекс]

Попробуй

Постройте таблицу значений и постройте параметрические уравнения: [латекс] \, x \ left (t \ right) = t-3, \, \, y \ left (t \ right) = 2t + 4; \, \ , \, — 1 \ le t \ le 2. [/ Латекс]

Показать решение
[латекс] t [/ латекс] [латекс] х \ левый (т \ правый) [/ латекс] [латекс] у \ влево (т \ вправо) [/ латекс]
[латекс] -1 [/ латекс] [латекс] -4 [/ латекс] [латекс] 2 [/ латекс]
[латекс] 0 [/ латекс] [латекс] -3 [/ латекс] [латекс] 4 [/ латекс]
[латекс] 1 [/ латекс] [латекс] -2 [/ латекс] [латекс] 6 [/ латекс]
[латекс] 2 [/ латекс] [латекс] -1 [/ латекс] [латекс] 8 [/ латекс]

Нахождение пары параметрических уравнений

Найдите пару параметрических уравнений, моделирующих график [latex] \, y = 1- {x} ^ {2}, \, [/ latex], используя параметр [latex] \, x \ left (t \ right ) = t. {3} -2y.{3} -2t \\ y \ left (t \ right) = t \ end {array} [/ latex]

Нахождение параметрических уравнений, моделирующих с учетом критериев

Объект движется с постоянной скоростью по прямому пути [латекс] \, \ left (-5, \, 3 \ right) \, [/ latex] к [latex] \, \ left (3, \, — 1 \ right) \, [/ latex] в одной плоскости за четыре секунды. Координаты измеряются в метрах. Найдите параметрические уравнения для положения объекта.

Показать решение

Параметрические уравнения представляют собой простые линейные выражения, но нам нужно рассматривать эту проблему поэтапно.Значение x объекта начинается с [latex] \, — 5 \, [/ latex] метров и достигает 3 метров. Это означает, что расстояние x изменилось на 8 метров за 4 секунды, что составляет [latex] \, \ frac {\ text {8 m}} {4 \ text {s}}, [/ latex] или [latex] \, 2 \, \ text {m} / \ text {s}. \, [/ latex] Мы можем записать координату x как линейную функцию относительно времени как [latex] \, x \ left (t \ right) = 2t-5. \, [/ latex] В шаблоне линейной функции [latex] \, y = mx + b, 2t = mx \, [/ latex] и [latex] \, — 5 = Б. [/ латекс]

Аналогично, значение y объекта начинается с 3 и переходит в [latex] \, — 1, \, [/ latex], что представляет собой изменение расстояния y на −4 метра за 4 секунды, который представляет собой коэффициент [латекс] \, \ frac {-4 \ text {m}} {4 \ text {s}}, [/ latex] или [латекс] \, — 1 \ text {m} / \ text {s}.\, [/ latex] Мы также можем записать координату y как линейную функцию [latex] \, y \ left (t \ right) = — t + 3. \, [/ latex] Вместе это параметрические уравнения для положения объекта, где [латекс] \, x \, [/ latex]
и [latex] \, y \, [/ latex]
выражены в метрах, а [latex] \, t \, [/ latex]
представляет время:

[латекс] \ begin {array} {l} x \ left (t \ right) = 2t-5 \ hfill \\ y \ left (t \ right) = — t + 3 \ hfill \ end {array} [/ латекс]

Используя эти уравнения, мы можем построить таблицу значений для [latex] \, t, x, \, [/ latex] и [latex] \, y [/ latex] (см. (Рисунок)).В этом примере мы ограничили значения [latex] \, t \, [/ latex] неотрицательными числами. Как правило, можно использовать любое значение [latex] \, t \, [/ latex].

[латекс] t [/ латекс] [латекс] x \ left (t \ right) = 2t-5 [/ латекс] [латекс] y \ left (t \ right) = — t + 3 [/ латекс]
[латекс] 0 [/ латекс] [латекс] x = 2 \ слева (0 \ справа) -5 = -5 [/ латекс] [латекс] y = — \ left (0 \ right) + 3 = 3 [/ латекс]
[латекс] 1 [/ латекс] [латекс] x = 2 \ слева (1 \ справа) -5 = -3 [/ латекс] [латекс] y = — \ left (1 \ right) + 3 = 2 [/ latex]
[латекс] 2 [/ латекс] [латекс] x = 2 \ left (2 \ right) -5 = -1 [/ латекс] [латекс] y = — \ left (2 \ right) + 3 = 1 [/ latex]
[латекс] 3 [/ латекс] [латекс] x = 2 \ слева (3 \ справа) -5 = 1 [/ латекс] [латекс] y = — \ left (3 \ right) + 3 = 0 [/ латекс]
[латекс] 4 [/ латекс] [латекс] x = 2 \ слева (4 \ справа) -5 = 3 [/ латекс] [латекс] y = — \ left (4 \ right) + 3 = -1 [/ латекс]

Из этой таблицы мы можем создать три графика, как показано на (Рисунок).

Рис. 5. (a) График зависимости [латекса] \, x \, [/ latex] от [latex] \, t, \, [/ latex], представляющий горизонтальное положение во времени. (b) График зависимости [латекса] y [/ латекса] от [латекса] \, t, \, [/ latex], представляющий вертикальное положение во времени. (c) График [латекс] \, y \, [/ latex] по сравнению с [latex] \, x, \, [/ latex], представляющий положение объекта в плоскости в момент времени [latex] \, t . [/ латекс]

Анализ

Опять же, мы видим, что на (Рисунок) (c), когда параметр представляет время, мы можем указать движение объекта по пути с помощью стрелок.

Удаление параметра

Во многих случаях у нас может быть пара параметрических уравнений, но оказывается, что проще нарисовать кривую, если уравнение включает только две переменные, такие как [latex] \, x \, [/ latex] и [latex] \ , y. \, [/ latex] Удаление параметра — это метод, который может упростить построение графиков некоторых кривых. Однако, если нас интересует отображение уравнения по времени, тогда также необходимо будет указать ориентацию кривой. Существуют различные методы исключения параметра [латекс] \, t \, [/ latex] из набора параметрических уравнений; не каждый метод работает для всех типов уравнений.Здесь мы рассмотрим методы для наиболее распространенных типов уравнений.

Исключение параметра из полиномиальных, экспоненциальных и логарифмических уравнений

Для полиномиальных, экспоненциальных или логарифмических уравнений, выраженных в виде двух параметрических уравнений, мы выбираем уравнение, которым легче всего манипулировать, и решаем для [латекс] \, t. \, [/ Латекс]. Мы подставляем полученное выражение для [латекс] \ , t \, [/ latex]
во второе уравнение. Это дает одно уравнение в [латексе] \, x \, [/ латексе] и [латексе] \, y.{2} +1 \, [/ latex] и [latex] \, y \ left (t \ right) = 2 + t, \, [/ latex] исключают параметр и записывают параметрические уравнения как декартово уравнение.

Показать решение

Мы начнем с уравнения для [latex] \, y \, [/ latex], потому что линейное уравнение для [latex] \, t решить проще. [/ Latex]

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, y = 2 + t \ hfill \\ y-2 = t \ hfill \ end {array} [/ latex]

Затем замените [латекс] \, y-2 \, [/ latex] на [латекс] \, t \, [/ latex] в [латекс] \, x \ left (t \ right).{2} -4г + 5. [/ Латекс]

Анализ

Это уравнение параболы, в которой в прямоугольных терминах [латекс] \, x \, [/ latex] зависит от [latex] \, y. \, [/ Latex] От вершины кривой в [латексе ] \, \ left (1,2 \ right), \, [/ latex] график выметает вправо. См. (Рисунок). В этом разделе мы рассматриваем системы уравнений, задаваемые функциями [latex] \, x \ left (t \ right) \, [/ latex] и [latex] \, y \ left (t \ right), \, [ / latex], где [latex] \, t \, [/ latex] — независимая переменная времени. Обратите внимание, как [latex] \, x \, [/ latex] и [latex] \, y \, [/ latex] являются функциями времени; так что в целом [латекс] \, y \, [/ latex] не является функцией [latex] \, x.{t} \ hfill \\ y = 3 \ left (\ frac {1} {x} \ right) \ hfill \\ y = \ frac {3} {x} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Декартова форма [latex] \, y = \ frac {3} {x}. [/ Latex]

Анализ

График параметрического уравнения показан на (Рисунок) (a) . Область ограничена [latex] \, t> 0. \, [/ Latex] Декартово уравнение, [latex] \, y = \ frac {3} {x} \, [/ latex] показано на (Рис. ) (b) и имеет только одно ограничение на домен, [latex] \, x \ ne 0. [/ Latex]

Рисунок 7.{2}. [/ Латекс]

Анализ

Чтобы убедиться, что параметрические уравнения эквивалентны декартовому уравнению, проверьте области. Параметрические уравнения ограничивают область [latex] \, x = \ sqrt {t} +2 \, [/ latex] до [latex] \, t> 0; [/ latex] мы ограничиваем область [latex] \ , x \, [/ latex] to [latex] \, x> 2. \, [/ latex] Область для параметрического уравнения [latex] \, y = \ mathrm {log} \ left (t \ right) \ , [/ latex] ограничивается [latex] \, t> 0; [/ latex] мы ограничиваем домен [latex] \, y = \ mathrm {log} {\ left (x-2 \ right)} ^ {2} \, [/ латекс] в [латекс] \, x> 2.{2} \ hfill \\ y \ left (t \ right) = \ mathrm {ln} \, t \, \, \, \, \, \, \, \, t> 0 \ hfill \ end {array} \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] y = \ mathrm {ln} \ sqrt {x} [/ латекс]

Исключение параметра из тригонометрических уравнений

Исключение параметра из тригонометрических уравнений является простой заменой. Мы можем использовать несколько знакомых тригонометрических тождеств и теорему Пифагора.

Сначала мы используем идентификаторы:

[латекс] \ begin {array} {l} x \ left (t \ right) = a \ mathrm {cos} \, t \\ y \ left (t \ right) = b \ mathrm {sin} \, t \ end {array} [/ latex]

Решая для [latex] \, \ mathrm {cos} \, t \, [/ latex] и [latex] \, \ mathrm {sin} \, t, \, [/ latex], получаем

[латекс] \ begin {array} {l} \ frac {x} {a} = \ mathrm {cos} \, t \\ \ frac {y} {b} = \ mathrm {sin} \, t \ end {array} [/ latex]

Затем используйте теорему Пифагора:

[латекс] {\ mathrm {cos}} ^ {2} t + {\ mathrm {sin}} ^ {2} t = 1 [/ latex]

Замена дает

[латекс] {\ mathrm {cos}} ^ {2} t + {\ mathrm {sin}} ^ {2} t = {\ left (\ frac {x} {a} \ right)} ^ {2} + {\ left (\ frac {y} {b} \ right)} ^ {2} = 1 [/ латекс]

Исключение параметра из пары тригонометрических параметрических уравнений

Удалите параметр из данной пары тригонометрических уравнений, где [latex] \, 0 \ le t \ le 2 \ pi \, [/ latex], и нарисуйте график.

[латекс] \ begin {array} {l} x \ left (t \ right) = 4 \ mathrm {cos} \, t \\ y \ left (t \ right) = 3 \ mathrm {sin} \, t \ end {array} [/ latex]

Показать решение

Решая для [latex] \, \ mathrm {cos} \, t \, [/ latex] и [latex] \, \ mathrm {sin} \, t, [/ latex], получаем

[латекс] \ begin {array} {l} \, x = 4 \ mathrm {cos} \, t \ hfill \\ \ frac {x} {4} = \ mathrm {cos} \, t \ hfill \\ \, y = 3 \ mathrm {sin} \, t \ hfill \\ \ frac {y} {3} = \ mathrm {sin} \, t \ hfill \ end {array} [/ latex]

Затем используйте тождество Пифагора и сделайте замены.{2}} {9} = 1 \, [/ latex] в виде эллипса с центром в [latex] \, \ left (0,0 \ right). \, [/ Latex] Обратите внимание, что когда [latex] \, t = 0 \, [/ latex] координаты [latex] \, \ left (4,0 \ right), \, [/ latex], а когда [latex] \, t = \ frac {\ pi} {2} \, [/ latex] координаты [latex] \, \ left (0,3 \ right). \, [/ latex] Показывает ориентацию кривой с увеличивающимися значениями [latex] \, t. [/ латекс]

Попробуй

Исключите параметр из данной пары параметрических уравнений и запишите как декартово уравнение: [latex] \, x \ left (t \ right) = 2 \ mathrm {cos} \, t \, [/ latex] и [latex ] \, у \ влево (т \ вправо) = 3 \ mathrm {sin} \, т.{2}} {9} = 1 [/ латекс]

Нахождение декартовых уравнений по параметрически определенным кривым

Когда нам дается набор параметрических уравнений и нам нужно найти эквивалентное декартово уравнение, мы, по сути, «исключаем параметр». Однако есть различные методы, которые мы можем использовать, чтобы переписать набор параметрических уравнений в декартово уравнение. Самый простой способ — установить одно уравнение, равное параметру, например [латекс] \, x \ left (t \ right) = t. \, [/ Latex] В этом случае [latex] \, y \ left ( t \ right) \, [/ latex] может быть любым выражением.{2} -3. [/ Латекс]

Нахождение декартова уравнения альтернативными методами

Используйте два разных метода, чтобы найти декартово уравнение, эквивалентное заданному набору параметрических уравнений.

[латекс] \ begin {массив} {l} \\ \ begin {array} {l} x \ left (t \ right) = 3t-2 \ hfill \\ y \ left (t \ right) = t + 1 \ hfill \ end {array} \ end {array} [/ latex]

Показать решение

Метод 1 . Сначала давайте решим уравнение [latex] \, x \, [/ latex] для [latex] \, t. \, [/ Latex]. Затем мы можем подставить результат в уравнение [latex] y [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x = 3t-2 \ hfill \\ \ text {} x + 2 = 3t \ hfill \\ \ frac {x + 2} {3} = t \ hfill \ end {array} [/ latex]

Теперь подставьте выражение для [latex] \, t \, [/ latex] в уравнение [latex] \, y \, [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {l} y = t + 1 \ hfill \\ y = \ left (\ frac {x + 2} {3} \ right) +1 \ hfill \\ y = \ frac { x} {3} + \ frac {2} {3} +1 \ hfill \\ y = \ frac {1} {3} x + \ frac {5} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Метод 2 . Решите уравнение [latex] \, y \, [/ latex] для [latex] \, t \, [/ latex] и подставьте это выражение в уравнение [latex] \, x \, [/ latex].

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} y = t + 1 \ hfill \\ y-1 = t \ hfill \ end {array} [/ latex]

Сделайте замену и решите [латекс] \, y. [/ Latex]

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x = 3 \ left (y-1 \ right) -2 \ hfill \\ \ text {} x = 3y-3-2 \ hfill \\ \ текст {} x = 3y-5 \ hfill \\ \, x + 5 = 3y \ hfill \\ \ frac {x + 5} {3} = y \ hfill \\ \ text {} y = \ frac {1} {3} x + \ frac {5} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Попробуй

Запишите заданные параметрические уравнения как декартово уравнение: [latex] \, x \ left (t \ right) = {t} ^ {3} \, [/ latex] and [latex] \, y \ left (t \ справа) = {t} ^ {6}.[/ латекс]

Нахождение параметрических уравнений для кривых, определяемых прямоугольными уравнениями

Хотя мы только что показали, что существует только один способ интерпретировать набор параметрических уравнений как прямоугольное уравнение, существует несколько способов интерпретировать прямоугольное уравнение как набор параметрических уравнений. Любая стратегия, которую мы можем использовать для поиска параметрических уравнений, действительна, если она обеспечивает эквивалентность. Другими словами, если мы выберем выражение для представления [latex] \, x, \, [/ latex], а затем подставим его в уравнение [latex] \, y \, [/ latex], и получится тот же график в той же области, что и прямоугольное уравнение, то система параметрических уравнений справедлива.{2} +1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

См. (Рисунок).

Рисунок 6.

Ключевые концепции

  • Параметризация кривой включает преобразование прямоугольного уравнения с двумя переменными, [latex] \, x \, [/ latex] и [latex] \, y, \, [/ latex] в два уравнения с тремя переменными, x , y и t . Часто больше информации получают из набора параметрических уравнений. См. (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).
  • Иногда уравнения проще изобразить, если они записаны в прямоугольной форме.В результате исключения [latex] \, t, \, [/ latex] получается уравнение в [latex] \, x \, [/ latex] и [latex] \, y \, [/ latex].
  • Чтобы исключить [латекс] \, t, \, [/ latex], решите одно из уравнений для [latex] \, t, \, [/ latex] и подставьте выражение во второе уравнение. См. (Рисунок), (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).
  • Нахождение прямоугольного уравнения для параметрической кривой в основном то же самое, что и удаление параметра. Решите относительно [латекс] \, t \, [/ latex] в одном из уравнений и подставьте выражение во второе уравнение.См. (Рисунок).
  • Существует бесконечное количество способов выбрать набор параметрических уравнений для кривой, определенной как прямоугольное уравнение.
  • Найдите выражение для [latex] \, x \, [/ latex] такое, что область определения системы параметрических уравнений остается такой же, как и в исходном прямоугольном уравнении. См. (Рисунок).

Упражнения по разделам

Словесный

Что такое система параметрических уравнений?

Показать решение

Пара функций, зависящих от внешнего фактора.Две функции записываются с использованием одного и того же параметра. Например, [латекс] \, x = f \ left (t \ right) \, [/ latex] и [latex] \, y = f \ left (t \ right). [/ Latex]

Некоторые примеры третьего параметра: время, длина, скорость и масштаб. Объясните, когда время используется в качестве параметра.

Объясните, как исключить параметр из набора параметрических уравнений.

Показать решение

Выберите одно уравнение, которое нужно решить для [латекс] \, t, \, [/ latex], замените его в другое уравнение и упростите.

В чем преимущество записи системы параметрических уравнений в виде декартового уравнения?

В чем преимущество использования параметрических уравнений?

Показать решение

Некоторые уравнения нельзя записать в виде функций, например круга. Однако, записанные в виде двух параметрических уравнений, по отдельности уравнения являются функциями.

Почему существует множество наборов параметрических уравнений для представления декартовых функций?

Алгебраические

Для следующих упражнений удалите параметр [latex] \, t \, [/ latex], чтобы переписать параметрическое уравнение как декартово уравнение.{3} -2 [/ латекс]

Для следующих упражнений перепишите параметрическое уравнение как декартово уравнение, построив таблицу [latex] x \ text {-} y [/ latex].

[латекс] \ {\ begin {array} {l} x (t) = 2t-1 \\ y (t) = t + 4 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ {\ begin {array} {l} x (t) = 4-t \\ y (t) = 3t + 2 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ {\ begin {array} {l} x (t) = 2t-1 \\ y (t) = 5t \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ {\ begin {array} {l} x (t) = 4t-1 \\ y (t) = 4t + 2 \ end {array} [/ latex]

Для следующих упражнений параметризуйте (напишите параметрические уравнения для) каждое декартово уравнение, задав [latex] x \ left (t \ right) = t [/ latex] или задав [latex] \, y \ left (t \ right ) = t.{2} +3 [/ латекс]

[латекс] y \ left (x \ right) = 2 \ mathrm {sin} \, x + 1 [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ {\ begin {array} {l} x (t) = t \ hfill \\ y (t) = 2 \ mathrm {sin} t + 1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] x \ left (y \ right) = 3 \ mathrm {log} \ left (y \ right) + y [/ latex]

[латекс] x \ left (y \ right) = \ sqrt {y} + 2y [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ {\ begin {array} {l} x (t) = \ sqrt {t} + 2t \ hfill \\ y (t) = t \ hfill \ end {array} [/ latex]

Для следующих упражнений параметризуйте (напишите параметрические уравнения для) каждое декартово уравнение, используя [latex] x \ left (t \ right) = a \ mathrm {cos} \, t [/ latex] и [latex] \, y. \ слева (т \ справа) = Ь \ mathrm {грех} \, т.{2} = 10 [/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ {\ begin {array} {l} x (t) = \ sqrt {10} \ mathrm {cos} t \ hfill \\ y (t) = \ sqrt {10} \ mathrm {sin} t \ hfill \ end {array}; \, [/ latex]
Круг

Параметризуйте строку от [latex] \, \ left (3,0 \ right) \, [/ latex] до [latex] \, \ left (-2, -5 \ right) \, [/ latex] так, чтобы линия находится в [latex] \, \ left (3,0 \ right) \, [/ latex] в [latex] \, t = 0, \, [/ latex] и в [latex] \, \ left ( -2, -5 \ right) \, [/ latex] at [latex] \, t = 1. [/ Latex]

Параметризуйте строку от [latex] \, \ left (-1,0 \ right) \, [/ latex] до [latex] \, \ left (3, -2 \ right) \, [/ latex] так, чтобы линия находится в [latex] \, \ left (-1,0 \ right) \, [/ latex] в [latex] \, t = 0, \, [/ latex] и в [latex] \, \ left (3, -2 \ справа) \, [/ латекс] в [латекс] \, t = 1.[/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ {\ begin {array} {l} x (t) = — 1 + 4t \ hfill \\ y (t) = — 2t \ hfill \ end {array} [/ latex]

Параметрируйте строку от [latex] \, \ left (-1,5 \ right) \, [/ latex] до [latex] \, \ left (2,3 \ right) [/ latex] так, чтобы линия была в [латекс] \, \ влево (-1,5 \ вправо) \, [/ латекс] в [латекс] \, t = 0, \, [/ латекс] и в [латекс] \, \ влево (2, 3 \ right) \, [/ latex] at [latex] \, t = 1. [/ Latex]

Параметризуйте строку от [latex] \, \ left (4,1 \ right) \, [/ latex] до [latex] \, \ left (6, -2 \ right) \, [/ latex] так, чтобы линия находится в [latex] \, \ left (4,1 \ right) \, [/ latex] в [latex] \, t = 0, \, [/ latex] и в [latex] \, \ left (6 , -2 \ right) \, [/ latex] at [latex] \, t = 1. {2} \ hfill \\ {y} _ {1} (t) = 2t-1 \ hfill \ end {array} \ text {and} \ {\ begin {array} {l} {x} _ {2} (t) = — t + 6 \ hfill \\ {y} _ {2} (t ) = t + 1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Показать решение

да, при [латексе] t = 2 [/ латексе]

В следующих упражнениях воспользуйтесь графическим калькулятором, чтобы заполнить таблицу значений для каждого набора параметрических уравнений.{2} -1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] t [/ латекс] [латекс] x [/ латекс] [латекс] y [/ латекс]
1
2
3
Показать решение
[латекс] t [/ латекс] [латекс] x [/ латекс] [латекс] y [/ латекс]
1 -3 1
2 0 7
3 5 17

[латекс] \ {\ begin {array} {l} {x} _ {1} (t) = {t} ^ {4} \ hfill \\ {y} _ {1} (t) = {t} ^ {3} +4 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Глоссарий
параметр
переменная, часто представляющая время, от которого зависят [latex] \, x \, [/ latex] и [latex] \, y \, [/ latex].

Онлайн-калькулятор для построения кривых


Чертеж кривой

Введите здесь свою функцию.4) и
как 3/5.

Что означает построение кривых?

Построение кривой — это расчет для нахождения всех характерных точек функции, например корни, пересечение оси Y, максимальные и минимальные точки поворота, точки перегиба.

Как получить эти баллы?

Расчет производных. Затем вы устанавливаете функцию, а также производную равными нулю: корни являются решениями уравнения.Точки поворота могут лежать в основе деривации, т.е. вам нужно решить уравнение для нахождения максимальных / минимальных точек поворота. (если в корне дифференцирования есть точка поворота, это можно проверить с помощью критерия смены знака.) В точке перегиба должна быть вторая производная, поэтому для нахождения точек перегиба решите уравнение.

Почему в наши дни рисование кривых делается меньше?

Это немного глупо: вам просто нужно научиться каждый раз выполнять одни и те же точечные вычисления, не слишком задумываясь об их значении.Поэтому упражнения, в которых вы должны подумать о значении этих моментов, в наши дни становятся более важными.

Могу я взглянуть на пример?

Конечно. Нарисуем кривую.

Mathepower работает с этой функцией:
Это график вашей функции.
Dein Browser использует HTML-Canvas-Tag nicht. Hol dir einen neuen.: P
  • Корни в -1; 0; 1
  • Пересечение оси Y в (0 | 0)
  • Максимальные и минимальные точки поворота в (-0,577 | 0,385); (0,577 | -0,385)
  • Точки перегиба в (0 | 0)
Это то, что рассчитал Mathepower:

Корни:
Ищем корни

| Фактор.
| Произведение равно 0.Значит, либо коэффициент должен быть равен нулю.
| +
| Извлеките квадратный корень с обеих сторон.
| Извлечь корень
| Извлечь корень
| или коэффициент должен быть равен нулю
Итак, корни: {;;}

Симметрия:
— точка, симметричная относительно начала координат.

Вычислите точку пересечения оси Y, вставив 0.
Вставьте 0 в функцию:

Итак, точка пересечения оси Y находится в точке (0 | 0)

Диффенцируйте функцию

Дифференцируйте функцию:
(производная от) + (производная от)
+ производная + .
Итак, первая производная — это
Вторая производная, то есть производная от :
166 9015 Производная от)
+ (Производная от)
+
Итак, производная от.
Упростите дифференциацию:
| Умножьте на
=
Итак, вторая производная — это

Третья производная, то есть производная от :
Производная от —
Итак, третья производная — это

.
Нам нужно найти корни первой производной.

Ищем корни

| +
| :
| Извлеките квадратный корень с обеих сторон.
| Извлечь корень
| Извлечь корень
Точки поворота могут быть в {;}
Вставить корни первой производной во вторую производную:
Вставить -0.577 в функцию:

-3,464 меньше 0. Таким образом, есть максимум на.
Вставьте -0,577 в функцию:

Максимальная точка поворота (-0,577 | 0,385)
Вставьте 0,577 в функцию:

3,464 больше нуля.
Вставьте 0,577 в функцию:

Минимальная точка поворота (0,577 | -0,385)

Ищем точки перегиба.
Нам нужно найти корни второй производной.

Ищем корни
| :
Точки перегиба могут быть в {}
Вставить корни второй производной в третью производную:
Третья производная не содержит x, поэтому вставка дает 6
6 больше 0, поэтому имеется точка перегиба в.
Вставьте 0 в функцию:

Точка перегиба (0 | 0)


Линейное уравнение с двумя баллами Калькулятор

[1] 2020/10/20 01:31 Моложе 20 лет / Начальная школа / Младший школьник / Полезно /

Цель использования
Помогает понять мою домашнюю работу, потому что я понятия не имел
Комментарий / запрос
Десятичное или дробное число было бы неплохо, но преобразовать это не так уж сложно.

[2] 2020/10/02 23:01 Уровень 20 лет / Средняя школа / Университет / аспирант / Очень /

Цель использования
линейная регрессия для лабораторного отчета. Экономит время!

[3] 2020/03/20 21:05 Моложе 20 лет / Начальная школа / Неполная средняя школа / Очень /

Цель использования
Проверьте мой ответ

[4] 2019 / 12/09 23:44 До 20 лет / Начальная школа / Неполная средняя школа / Полезно /

Цель использования
Делать домашнее задание, потому что я ленивый LOL X3
Комментарий / Запрос
Нет запроса, но было очень полезно.Спасибо.

[5] 2019/10/23 02:27 До 20 лет / Начальная школа / Неполная средняя школа / Очень /

Цель использования
проект

[6] 2019/07 / 16 14:43 До 20 лет / Начальная школа / Неполная средняя школа / Полезно /

Цель использования
jn
Комментарий / Запрос
вариант дробной или десятичной дроби

[7] 2019 / 05/31 04:21 До 20 лет / Начальная школа / Неполная средняя школа / Полезно /

Цель использования
Проект по алгебре перед экзаменом.
Комментарий / запрос
Опцион пут в дробной или десятичной форме.

[8] 2019/03/24 16:42 До 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Очень /

Цель использования
Изготовление диадемы для математического проекта в Desmos

[ 10] это, но мой учитель, скорее всего, сейчас подозрительно, потому что я получил 100, и тот факт, что его 4; 27 утра, и я только что отправил его, да ладно, неважно, fml)

Комментарий / запрос
-n / a

[10] 2019/02/23 20:11 До 20 лет / Средняя школа / Университет / Аспирант / Очень /

Цель использования
Ползунок для изменения deltaTime в моей игре в пользовательском интерфейсе.

Мы не можем найти эту страницу

(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}} *

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}} / 500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$ item}} {{l10n_strings.PRODUCTS}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{l10n_strings.ЯЗЫК}} {{$ select.selected.display}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR}}

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

{{$ select.selected.display}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}

6.1: Области между кривыми — Mathematics LibreTexts

Во введении в интеграцию мы разработали концепцию определенного интеграла для вычисления площади под кривой на заданном интервале. В этом разделе мы расширяем эту идею, чтобы вычислить площадь более сложных регионов. Мы начинаем с поиска области между двумя кривыми, которые являются функциями \ (\ displaystyle x \), начиная с простого случая, когда одно значение функции всегда больше другого. Затем мы рассмотрим случаи, когда графики функций пересекаются.Наконец, мы рассмотрим, как вычислить площадь между двумя кривыми, которые являются функциями \ (\ displaystyle y \).

Площадь области между двумя кривыми

Пусть \ (\ displaystyle f (x) \) и \ (\ displaystyle g (x) \) будут непрерывными функциями на интервале \ (\ displaystyle [a, b] \) так, что \ (\ displaystyle f (x) ≥g (Икс) \) на \ (\ Displaystyle [а, Ь] \). Мы хотим найти область между графиками функций, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {1} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Область между графиками двух функций \ (\ displaystyle f (x) \) и \ (\ displaystyle g (x) \) на интервале \ (\ displaystyle [a, b] \)

Как и раньше, мы собираемся разделить интервал на ось x и аппроксимировать область между графиками функций прямоугольниками.b_a [f (x) −g (x)] dx. \]

Эти результаты резюмируются в следующей теореме.

Определение области между двумя кривыми

Пусть \ (\ displaystyle f (x) \) и \ (\ displaystyle g (x) \) будут непрерывными функциями, так что \ (\ displaystyle f (x) ≥g (x) \) в интервале [\ (\ стиль отображения a, b] \). Пусть R обозначает область, ограниченную сверху графиком \ (\ displaystyle f (x) \), снизу графиком \ (\ displaystyle g (x) \), а слева и справа линиями \ (\ displaystyle x = a \) и \ (\ displaystyle x = b \) соответственно.b_a [f (x) −g (x)] dx. \]

Мы применим эту теорему в следующем примере.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): поиск области области между двумя кривыми I

Если \ (\ textbf {R} \) — это область, ограниченная сверху графиком функции \ (\ displaystyle f (x) = x + 4 \) и ниже графиком функции \ (\ displaystyle g ( x) = 3− \ dfrac {x} {2} \) на интервале \ (\ displaystyle [1,4] \), найдите площадь региона \ (\ textbf {R} \).

Решение

Регион показан на следующем рисунке.2 \).

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Если \ (\ textbf {R} \) — это область, ограниченная графиками функций \ (\ displaystyle f (x) = \ dfrac {x} {2} +5 \) и \ (\ displaystyle g (x ) = x + \ dfrac {1} {2} \) на интервале \ (\ displaystyle [1,5] \), найдите площадь региона \ (\ textbf {R} \).

Подсказка

Изобразите функции, чтобы определить, какой график функции образует верхнюю границу, а какой — нижнюю, а затем выполните процесс, использованный в примере.

Ответ

\ (\ Displaystyle 12 \) шт. 2

В примере \ (\ PageIndex {1} \) мы определили интересующий интервал как часть постановки задачи. Однако довольно часто мы хотим определить интересующий нас интервал на основе того, где пересекаются графики двух функций. 2 \) и ниже графиком функции \ (\ displaystyle g (x) = 6 − x \), найдите площадь области \ (\ textbf {R} \).4 \) найдите площадь области \ (\ textbf {R} \).

Подсказка

Используйте процесс из примера \ (\ PageIndex {2} \).

Ответ

\ (\ displaystyle \ dfrac {3} {10} \) единица 2

Территории составных районов

До сих пор мы требовали \ (\ displaystyle f (x) ≥g (x) \) на всем интересующем интервале, но что, если мы хотим посмотреть на области, ограниченные пересекающимися друг с другом графиками функций? В этом случае мы модифицируем только что разработанный процесс, используя функцию абсолютного значения.b_a | f (x) −g (x) | dx. \]

На практике, применение этой теоремы требует, чтобы мы разбили интервал \ (\ displaystyle [a, b] \) и вычислили несколько интегралов, в зависимости от того, какое из значений функции больше в данной части интервала. Мы исследуем этот процесс на следующем примере.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): поиск области области, ограниченной функциями, пересекающими

Если \ (\ textbf {R} \) — это область между графиками функций \ (\ displaystyle f (x) = \ sin x \) и \ (\ displaystyle g (x) = \ cos x \) над интервал \ (\ displaystyle [0, π] \), найдите площадь области \ (\ textbf {R} \).

Решение

Регион показан на следующем рисунке.

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Область между двумя кривыми можно разбить на две подобласти. Графики функций пересекаются в точке \ (\ displaystyle x = π / 4 \). Для \ (\ Displaystyle x∈ [0, π / 4], \ cos x≥ \ sin x, \) так

\ (\ Displaystyle | е (х) −g (х) | = | \ грех х — \ соз х | = \ соз х- \ грех х. \)

С другой стороны, для \ (\ displaystyle x∈ [π / 4, π], \ sin x ≥ \ cos x, \), поэтому

\ (\ Displaystyle | е (х) −g (х) | = | \ грех х — \ соз х | = \ грех х — \ соз х.π_ {π / 4} \\ [4pt] = (\ sqrt {2} −1) + (1+ \ sqrt {2}) = 2 \ sqrt {2}. \ end {align *} \]

Площадь региона составляет \ (\ displaystyle 2 \ sqrt {2} \) единиц 2 .

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Если \ (\ textbf {R} \) — это область между графиками функций \ (\ displaystyle f (x) = \ sin x \) и \ (\ displaystyle g (x) = \ cos x \) над интервал \ (\ displaystyle [π / 2,2π] \), найдите площадь региона \ (\ textbf {R} \).

Подсказка

Две кривые пересекаются в точке \ (\ displaystyle x = (5π) / 4.\)

Ответ

\ (\ displaystyle 2 + 2 \ sqrt {2} \) шт. 2

Пример \ (\ PageIndex {4} \): поиск области сложной области

Рассмотрим область, изображенную на рисунке \ (\ PageIndex {6} \). Найдите область \ (\ textbf {R} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): Для вычисления площади этой области требуются два интеграла.

Решение

Как и в примере \ (\ PageIndex {3} \), нам нужно разделить интервал на две части.2_1 = \ dfrac {1} {2}. \)

Складывая эти области вместе, получаем

\ (\ Displaystyle A = A_1 + A_2 = \ dfrac {1} {3} + \ dfrac {1} {2} = \ dfrac {5} {6}. \)

Площадь региона равна \ (\ displaystyle 5/6 \) единиц 2 .

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

Рассмотрим регион, изображенный на следующем рисунке. Найдите область \ (\ textbf {R} \).

Подсказка

Две кривые пересекаются в точке x = 1

Ответ

\ (\ displaystyle \ dfrac {5} {3} \) шт. 2

Регионы, определенные в соответствии с y

В примере \ (\ PageIndex {4} \) нам нужно было вычислить два отдельных интеграла, чтобы вычислить площадь области.2 \) как функция от \ (\ displaystyle y \). Однако, судя по графику, ясно, что нас интересует положительный квадратный корень.) Точно так же правый график представлен функцией \ (\ displaystyle y = g (x) = 2 − x \), но может просто так же легко может быть представлено функцией \ (\ displaystyle x = u (y) = 2 − y \). Когда графики представлены как функции от \ (\ displaystyle y \), мы видим, что область ограничена слева графиком одной функции и справа графиком другой функции. Следовательно, если мы интегрируем по \ (\ displaystyle y \), нам нужно вычислить только один интеграл.Давайте разработаем формулу для этого типа интеграции.

Пусть \ (\ displaystyle u (y) \) и \ (\ displaystyle v (y) \) будут непрерывными функциями на интервале \ (\ displaystyle [c, d] \) так, что \ (\ displaystyle u (y) ≥v (y) \) для всех \ (\ displaystyle y∈ [c, d] \). Мы хотим найти область между графиками функций, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {7} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): мы можем найти область между графиками двух функций, \ (\ displaystyle u (y) \) и \ (\ displaystyle v (y) \).d_c [u (y) −v (y)] dy. \ end {align *} \]

Эти результаты резюмируются в следующей теореме.

Нахождение области между двумя кривыми, интегрирование по оси Y

Пусть \ (\ displaystyle u (y) \) и \ (\ displaystyle v (y) \) будут непрерывными функциями, так что \ (\ displaystyle u (y) ≥v (y) \) для всех \ (\ displaystyle y ∈ [c, d] \). Пусть \ (\ textbf {R} \) обозначает область, ограниченную справа графиком \ (\ displaystyle u (y) \), слева графиком \ (\ displaystyle v (y) \ ), а сверху и снизу — линиями \ (\ displaystyle y = d \) и \ (\ displaystyle y = c \) соответственно.d_c [u (y) −v (y)] dy. \]

Пример \ (\ PageIndex {5} \): интеграция с учетом

Вернемся к примеру \ (\ PageIndex {4} \), только на этот раз давайте проинтегрируем по \ (\ displaystyle y \). Пусть \ (\ textbf {R} \) будет областью, изображенной на рисунке \ (\ PageIndex {9} \). Найдите площадь \ (\ textbf {R} \) путем интегрирования по \ (\ displaystyle y \).

Рисунок \ (\ PageIndex {9} \): площадь области \ (\ textbf {R} \) может быть вычислена с использованием одного интеграла, только если кривые рассматриваются как функции от \ (\ displaystyle y \).

Решение

Сначала мы должны выразить графики как функции от \ (\ displaystyle y \). Как мы видели в начале этого раздела, кривая слева может быть представлена ​​функцией \ (\ displaystyle x = v (y) = \ sqrt {y} \), а кривая справа может быть представлена ​​как функция \ (\ Displaystyle x = u (y) = 2 − y \).

Теперь нам нужно определить пределы интеграции. Область ограничена осью x снизу, поэтому нижний предел интегрирования равен \ (\ displaystyle y = 0 \).1_0 \\ [4pt] = \ dfrac {5} {6}. \ end {align *} \]

Площадь региона равна \ (\ displaystyle 5/6 \) единиц 2 .

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

Давайте вернемся к контрольной точке, связанной с примером \ (\ PageIndex {4} \), только на этот раз, давайте проинтегрируем по \ (\ displaystyle y \). Пусть \ (\ textbf {R} \) будет областью, изображенной на следующем рисунке. Найдите площадь \ (\ textbf {R} \) путем интегрирования по \ (\ displaystyle y \).

Подсказка

Следуйте процессу из предыдущего примера.

Ответ

\ (\ displaystyle \ dfrac {5} {3} \) шт. 2

Расчет площади под кривой с использованием сумм Римана

Площадь под кривой

Для функции $ f (x) $, где $ f (x) \ ge 0 $ на интервале $ a \ le x \ le b $, мы исследуем область области, которая находится под графиком $ f (x ) $ и выше отрезка $ [a, b] $ на оси $ x $. Например, пурпурная заштрихованная область ниже — это область над интервалом $ [- 1,10] $ и под графиком функции $ f $.Такую площадь часто называют «площадью под кривой».

Поскольку область под кривой имеет такую ​​странную форму, вычислить ее площадь слишком сложно. Но вычислить площадь прямоугольников просто. Давайте упростим нашу жизнь, представив, что область состоит из группы прямоугольников. Чтобы превратить область в прямоугольники, мы воспользуемся той же стратегией, что и при использовании прямого Эйлера для решения дифференциальных уравнений в чистом времени.

Как показано на следующем рисунке, мы делим интервал $ [a, b] $ на $ n $ подинтервалов длиной $ \ Delta x $ (где $ \ Delta x $ должно быть $ (b-a) / n $).Мы помечаем концы подынтервалов символами $ x_0 $, $ x_1 $ и т. Д., Так что крайняя левая точка равна $ a = x_0 $, а крайняя правая точка — $ b = x_n $. На рисунке представлен случай с четырьмя подынтервалами.

Следующий шаг — сделать вид, что $ f (x) $ не меняется на каждом подынтервале. Мы будем измерять $ f (x) $ в левой части подынтервала и игнорировать любые изменения $ f $ на подынтервале. В результате мы делаем вид, что область под $ f $ состоит из группы прямоугольников, по одному на каждый подинтервал.Возможно, это грубое приближение, но оно упрощает расчет площади.

Пронумеруем $ n $ подинтервалов $ i = 0,1,2, \ ldots, n-1 $. Тогда левая конечная точка подинтервала с номером $ i $ — это $ x_i $, а его правая конечная точка — это $ x_ {i + 1} $. Мы воображаем, что высота $ f $ на всем подынтервале равна $ f (x_ {i}) $, значению $ f $ в левой конечной точке. Поскольку ширина прямоугольника равна $ \ Delta x $, его площадь равна $ f (x_ {i}) \ Delta x $.

Чтобы оценить площадь под графиком $ f $ с этим приближением, нам просто нужно сложить площади всех прямоугольников.{n-1} f (x_ {i}) \ Delta x. \ label {left_riemann} \ end {align} Эта сумма называется суммой Римана.

Сумма Римана — это только приближение к реальной площади под графиком $ f $. Чтобы улучшить приближение, мы можем увеличить количество подынтервалов $ n $, что уменьшит ширину подынтервала $ \ Delta x = (b-a) / n $. Чтобы изучить, что происходит, когда $ n $ становится все больше и больше, вы можете использовать следующий апплет.

Площадь через левую сумму Римана. Площадь под графиком $ f (x) $ (синяя кривая на левой панели) на интервале $ [a, b] $ вычисляется с помощью левой суммы Римана.Левая сумма Римана $ n $ подинтервалов проиллюстрирована прямоугольниками, наложенными на график $ f $. На правой панели показана площадь прямоугольников $ \ hat {A} (x) $ от $ a $ до $ x $, построенная в виде зеленой кривой. Площадь на всем интервале $ [a, b] $ — это значение $ \ hat {A} (b) $. Чтобы исследовать поведение $ \ hat {A} $, вы можете перемещать розовые точки по кривой и вершинам прямоугольников. При перемещении розовых точек выделяется прямоугольник, и расчет его площади отображается в правом верхнем углу.Площадь каждого прямоугольника равна значению $ f $ в его левой конечной точке, умноженному на ширину подынтервала $ \ Delta x $. Текущая сумма площади, $ \ hat {A} (x) $, увеличивается на площадь прямоугольника, когда вы перемещаете розовые точки вправо на один прямоугольник. Если вы установите флажок «точно», истинная область под графиком $ f $ будет заштрихована красным слева, а правая панель отобразит график (красным) истинной области $ A (x) $ под $ f. $ от $ a $ до $ x $. Истинная площадь справа от выделенного прямоугольника вычисляется вместе с ошибкой между истинной площадью и соответствующей площадью, рассчитанной с помощью суммы Римана.2 + 12 $, выпишите все четыре члена суммы Римана с $ n = 4 $, которая оценивает площадь под графиком $ f $ на интервале $ [a, b] = [- 2,7] $. Подставьте числа из $ f $, оцененные на левых конечных точках, и вычислите эту оценку площади. Эта оценка должна соответствовать тому, что вы вычисляете с помощью приведенного выше апплета для этой функции и четырех подинтервалов.

Что происходит, если вы все больше и больше увеличиваете $ n $? Если разделить интервал $ [- 2,7] $ на 100 подинтервалов длины $ \ Delta x = 0.09 $, какова оценка площади под графиком $ f $? Как насчет $ n = 1000 $ и $ \ Delta x = 0.009 $? Сходятся ли оценки площади при увеличении $ n $? Чтобы посмотреть на эту сходимость, проверьте, меняются ли оценки все меньше и меньше по мере того, как вы продолжаете удваивать количество $ n $ подынтервалов.

Определенный интеграл

Поскольку мы позволяем $ n $ становиться все больше и больше (а $ \ Delta x $ все меньше и меньше), значение суммы Римана \ eqref {left_riemann} должно приближаться к единственному числу.b f (x) dx $, что является просто числом. В этом случае мы рассматриваем число как область под функцией $ f $ на интервале $ [a, b] $. {n-1} f (x_ {i + 1}) \ Delta x.\ label {right_riemann} \ end {align} Единственное отличие от левой суммы Римана \ eqref {left_riemann} состоит в том, что мы вычисляем $ f $ в интервале $ i $ на правом конце $ x_ {i + 1} $.

Поскольку $ f $ действительно изменяется в течение подынтервала, мы ожидаем, что левая сумма Римана даст другую площадь, чем правая сумма Римана. Как правая сумма Римана сравнивается с левой суммой Римана? Приведенный ниже апплет позволит вам поэкспериментировать. По мере того, как вы увеличиваете количество интервалов $ n $, сводится ли оценка площади к одному числу? Кажется ли это число таким же, как с левой суммой Римана?

Площадь через правую сумму Римана. Площадь под графиком $ f (x) $ (синяя кривая на левой панели) на интервале $ [a, b] $ вычисляется с помощью правой суммы Римана. Правая сумма Римана $ n $ подинтервалов проиллюстрирована прямоугольниками, наложенными на график $ f $. На правой панели показана площадь прямоугольников $ \ hat {A} (x) $ от $ a $ до $ x $, построенная в виде зеленой кривой. Площадь на всем интервале $ [a, b] $ — это значение $ \ hat {A} (b) $. Чтобы исследовать поведение $ \ hat {A} $, вы можете перемещать розовые точки по кривой и вершинам прямоугольников.При перемещении розовых точек выделяется прямоугольник, и расчет его площади отображается в правом верхнем углу. Площадь каждого прямоугольника равна значению $ f $ в его правой конечной точке, умноженному на ширину подынтервала $ \ Delta x $. Текущая сумма площади, $ \ hat {A} (x) $, увеличивается на площадь прямоугольника, когда вы перемещаете розовые точки вправо на один прямоугольник. Если вы установите флажок «точно», истинная область под графиком $ f $ будет заштрихована красным слева, а правая панель отобразит график (красным) истинной области $ A (x) $ под $ f. $ от $ a $ до $ x $.Истинная площадь справа от выделенного прямоугольника вычисляется вместе с ошибкой между истинной площадью и соответствующей площадью, рассчитанной с помощью суммы Римана. Значения $ A (x) $ и $ \ hat {A} (x) $ являются областями под $ f $ только для случая, когда $ f (x) \ ge 0 $. bf (x) dx $.bf (t) dt $ и соответствующий неопределенный интеграл равен $ \ int f (t) dt $.

Чтобы наш прямой результат Эйлера был подобен задаче оценки площади, давайте используем $ A (t) $ в качестве переменной в дифференциальном уравнении чистого времени, записав его как $ \ diff {A} {t} = f (t ) $. Если мы сделаем начальное условие равным $ A (a) = 0 $, то прямой Эйлер аппроксимирует решение $ A (t) $, т.е. первообразную $ A (t) = \ int f (t) dt $, которая имеет $ А (а) = 0 $. Сравнивая сумму, которую мы написали для прямого Эйлера (уравнение (8) со страницы прямого Эйлера) и левой суммы Римана \ eqref {left_riemann}, мы должны быть в состоянии убедить себя, что они одинаковы, когда начальное условие равно нулю.bf (t) dt $. Но если вы измените метку некоторых переменных, то вычисление будет по существу таким же, как вычисление прямого Эйлера. Ниже мы сделали апплет, который вы можете преобразовать между случаем вычисления площади и случаем прямого Эйлера, который, как мы надеемся, прояснит параллель.

Алгоритм Эйлера или аппроксимация площади суммой Римана. Демонстрация связи между приближением Эйлера к дифференциальному уравнению в чистом времени и вычислением площади под кривой.Когда отмечено поле «площадь», площадь под графиком $ f (t) $ (синяя кривая на левой панели) на интервале $ [a, b] $ вычисляется с помощью суммы Римана. Сумма Римана $ n $ подинтервалов проиллюстрирована прямоугольниками, наложенными на график $ f $. Когда вы перемещаете розовые точки, область прямоугольников слева выделяется, и эта область $ \ hat {A} (t) $ отображается как функция $ t $ зеленой кривой на правой панели. Когда флажок «Площадь» снят, показано решение дифференциального уравнения чистого времени $ \ diff {A} {t} = f (t) $ с помощью алгоритма Эйлера.Остаются только вершины прямоугольников, которые образуют приближение к $ f $, которое является постоянным на каждом подынтервале. Зеленая кривая на правой панели остается, но ее интерпретация является приближенным решением дифференциального уравнения, в котором наклон остается постоянным на каждом подынтервале. Этот наклон показан серыми линиями: постоянным на наклоне на левой панели и касательной на правой панели. В отличие от расчета площади, начальное условие $ A (a) $ можно изменить, перетащив синюю точку на правой панели или введя значение в поле.В любом режиме показаны вычисления для $ \ hat {A} (t) $ для текущего подынтервала, а также точное решение и соответствующая ошибка, если установлен флажок «точное». Точное решение также показано красной кривой и, в случае области, красной штриховкой области под $ f (t) $.

Подробнее об апплете.

Одним из важных различий между прямым вычислением Эйлера и вычислением площади является начальное условие. Для расчета площади мы складываем площадь, начиная с $ A (a) = 0 $.С Forward Euler у нас может быть произвольное начальное условие $ A (a) $, которое вы можете изменить, только сняв отметку с опции «область» в апплете.

Необходимо ли для вычисления площади под кривой придерживаться $ A (a) = 0 $? Или, если мы позволим $ A (a) $ быть другим значением, сможем ли мы оценить площадь по результату? Использование другого значения $ A (a) $ для прямого вычисления Эйлера означает, что он оценивает другую первообразную (поскольку начальное условие определяет произвольную константу).{n-1} f (t_i) \ Delta t. \ label {fe_sum} \ end {align} Возьмите это уравнение, позвольте $ n $ уйти в бесконечность, чтобы переписать уравнение в терминах определенного интеграла от $ f $, который представляет собой площадь под кривой. Исходя из этого, определите, как можно определить площадь из оценки $ A (b) $ с использованием прямого Эйлера с любым начальным условием $ A (a) $. Вы должны проверить, работает ли ваш метод, попробовав различные значения с помощью апплета.

Область отрицательных функций?

При использовании сумм Римана для вычисления площади математические формулы по-прежнему имеют смысл, даже если значение $ f $ отрицательное.Отрицательные значения не должны быть проблемой, поскольку мы показали, что расчет такой же, как и при использовании Форвард Эйлера. При работе с Форвард Эйлер наличие отрицательной функции не было проблемой.

Но если $ f $ станет отрицательным, будет ли определенный интеграл давать площадь? Одна из гипотез состоит в том, что определенный интеграл дает площадь под кривой (над осью $ x $), когда $ f $ положительно, плюс площадь над кривой (под осью $ x $), когда $ f $ равен отрицательный. b f (x) dx $ суммирует как зеленые, так и красные области на следующем рисунке.2 + 12 $, выпишите все четыре члена суммы Римана с $ n = 4 $, которая оценивает площадь под графиком $ f $ на интервале $ [a, b] = [- 2,7] $. Подставьте числа из $ f $, оцененные на левых конечных точках, и вычислите эту оценку площади.

  • Что происходит, если вы все больше и больше увеличиваете $ n $? Если разделить интервал $ [- 2,7] $ на 100 подынтервалов длиной $ \ Delta x = 0,09 $, какова оценка площади под графиком $ f $? Как насчет $ n = 1000 $ и $ \ Delta x = 0.b f (x) dx $, какой объект у вас должен получиться? Функция или что-то попроще?
  • Как это контрастирует с неопределенным интегралом $ \ int f (x) dx $?
  • Правая сумма

    1. Покажите, что правая сумма Римана дает разные оценки площади для малых значений $ n $, например, для случая $ n = 4 $, который вы вычислили выше.
    2. По мере того, как вы увеличиваете интервал $ n $, сводится ли оценка площади к одному числу? Кажется ли это число таким же, как с левой суммой Римана?
  • Форвард Эйлера и области

    1. Начиная с суммы уравнения \ eqref {fe_sum} для прямого Эйлера, пусть $ n $ стремится к бесконечности, чтобы переписать уравнение в терминах определенного интеграла от $ f $, который представляет собой площадь под кривой.
  • Ваш комментарий будет первым

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *