Нажмите "Enter", чтобы перейти к содержанию

Построение тригонометрических графиков онлайн: Построение тригонометрических графиков онлайн. Калькуляторы для построения графика функции

Содержание

Обратные тригонометрические функции и их графики

Обратные тригонометрические функции — это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Сначала дадим определения.

Арксинусом числа а называется число , такое, что Или, можно сказать, что это такой угол , принадлежащий отрезку , синус которого равен числу а.

Арккосинусом числа а называется число , такое, что

Арктангенсом числа а называется число , такое, что

Арккотангенсом числа а называется число , такое, что

Расскажем подробно об этих четырех новых для нас функциях — обратных тригонометрических.

Помните, мы уже встречались с обратными функциями.

Например, арифметический квадратный корень из числа а — такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Логарифм числа b по основанию a — такое число с, что

При этом

Мы понимаем, для чего математикам пришлось «придумывать» новые функции. Например, решения уравнения — это и Мы не смогли бы записать их без специального символа арифметического квадратного корня.

Понятие логарифма оказалось необходимо, чтобы записать решения, например, такого уравнения: Решение этого уравнения — иррациональное число Это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Так же и с тригонометрическими уравнениями. Например, мы хотим решить уравнение

Ясно, что его решения соответствуют точкам на тригонометрическом круге, ордината которых равна И ясно, что это не табличное значение синуса. Как же записать решения?

Здесь не обойтись без новой функции, обозначающей угол, синус которого равен данному числу a. Да, все уже догадались. Это арксинус.

Угол, принадлежащий отрезку , синус которого равен — это арксинус одной четвертой. И значит, серия решений нашего уравнения, соответствующая правой точке на тригонометрическом круге, — это

А вторая серия решений нашего уравнения — это

Подробнее о решении тригонометрических уравнений — здесь.

Осталось выяснить — зачем в определении арксинуса указывается, что это угол, принадлежащий отрезку ?

Дело в том, что углов, синус которых равен, например, , бесконечно много. Нам нужно выбрать какой-то один из них. Мы выбираем тот, который лежит на отрезке .

Взгляните на тригонометрический круг. Вы увидите, что на отрезке каждому углу соответствует определенное значение синуса, причем только одно. И наоборот, любому значению синуса из отрезка отвечает одно-единственное значение угла на отрезке . Это значит, что на отрезке можно задать функцию принимающую значения от до

Повторим определение еще раз:

Арксинусом числа a называется число , такое, что

Обозначение: Область определения арксинуса — отрезок Область значений — отрезок .

Можно запомнить фразу «арксинусы живут справа». Не забываем только, что не просто справа, но ещё и на отрезке .

Мы готовы построить график функции

Как обычно, отмечаем значения х по горизонтальной оси, а значения у — по вертикальной.

Поскольку , следовательно, х лежит в пределах от -1 до 1.

Значит, областью определения функции y = arcsin x является отрезок

Мы сказали, что у принадлежит отрезку . Это значит, что областью значений функции y = arcsin x является отрезок .

Заметим, что график функции y=arcsinx весь помещается в области, ограниченной линиями и

Как всегда при построении графика незнакомой функции, начнем с таблицы.

По определению, арксинус нуля — это такое число из отрезка , синус которого равен нулю. Что это за число? — Понятно, что это ноль.

Аналогично, арксинус единицы — это такое число из отрезка , синус которого равен единице. Очевидно, это

Продолжаем: — это такое число из отрезка , синус которого равен . Да, это

Строим график функции

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. , то есть эта функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

4. Функция монотонно возрастает. Ее наименьшее значение, равное — , достигается при , а наибольшее значение, равное , при

5. Что общего у графиков функций и ? Не кажется ли вам, что они «сделаны по одному шаблону» — так же, как правая ветвь функции и график функции , или как графики показательной и логарифмической функций?

Представьте себе, что мы из обычной синусоиды вырезали небольшой фрагмент от до , а затем развернули его вертикально — и мы получим график арксинуса.

То, что для функции на этом промежутке — значения аргумента, то для арксинуса будут значения функции. Так и должно быть! Ведь синус и арксинус — взаимно-обратные функции. Другие примеры пар взаимно обратных функций — это при и , а также показательная и логарифмическая функции.

Напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой

Аналогично, определим функцию Только отрезок нам нужен такой, на котором каждому значению угла соответствует свое значение косинуса, а зная косинус, можно однозначно найти угол. Нам подойдет отрезок

Арккосинусом числа a называется число , такое, что 

Легко запомнить: «арккосинусы живут сверху», и не просто сверху, а на отрезке

Обозначение: Область определения арккосинуса — отрезок Область значений — отрезок

Очевидно, отрезок выбран потому, что на нём каждое значение косинуса принимается только один раз. Иными словами, каждому значению косинуса, от -1 до 1, соответствует одно-единственное значение угла из промежутка

Арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией. Зато мы можем использовать следующее очевидное соотношение:

Построим график функции

Нам нужен такой участок функции , на котором она монотонна, то есть принимает каждое свое значение ровно один раз.

Выберем отрезок . На этом отрезке функция монотонно убывает, то есть соответствие между множествами и взаимно однозначно. Каждому значению х соответствует свое значение у. На этом отрезке существует функция, обратная к косинусу, то есть функция у = arccosx.

Заполним таблицу, пользуясь определением арккосинуса.

Арккосинусом числа х, принадлежащего промежутку , будет такое число y, принадлежащее промежутку , что

Значит, , поскольку ;

, так как ;

, так как ,

, так как ,

Вот график арккосинуса:

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3.

Эта функция общего вида — она не является ни четной, ни нечетной.

4. Функция является строго убывающей. Наибольшее значение, равное , функция у = arccosx принимает при , а наименьшее значение, равное нулю, принимает при

5. Функции и являются взаимно обратными.

Следующие — арктангенс и арккотангенс.

Арктангенсом числа a называется число , такое, что

Обозначение: . Область определения арктангенса — промежуток Область значений — интервал .

Почему в определении арктангенса исключены концы промежутка — точки ? Конечно, потому, что тангенс в этих точках не определён. Не существует числа a, равного тангенсу какого-либо из этих углов.

Построим график арктангенса. Согласно определению, арктангенсом числа х называется число у, принадлежащее интервалу , такое, что

Как строить график — уже понятно. Поскольку арктангенс — функция обратная тангенсу, мы поступаем следующим образом:

— Выбираем такой участок графика функции , где соответствие между х и у взаимно однозначное. Это интервал Ц На этом участке функция принимает значения от до

Тогда у обратной функции, то есть у функции , область, определения будет вся числовая прямая, от до а областью значений — интервал

Дальше рассуждаем так же, как при построении графиков арксинуса и арккосинуса.

, значит,

, значит,

, значит,

А что же будет при бесконечно больших значениях х? Другими словами, как ведет себя эта функция, если х стремится к плюс бесконечности?

Мы можем задать себе вопрос: для какого числа из интервала значение тангенса стремится к бесконечности? — Очевидно, это

А значит, при бесконечно больших значениях х график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

Аналогично, если х стремится к минус бесконечности, график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

На рисунке — график функции

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция нечетная.

4. Функция является строго возрастающей.

5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными — конечно, когда функция рассматривается на промежутке

Аналогично, определим функцию арккотангенс и построим ее график.

Арккотангенсом числа a называется число , такое, что

График функции :

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция — общего вида, то есть ни четная, ни нечетная.

4. Функция является строго убывающей.

5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными, если рассматривать на промежутке

Конспект урока математики на тему: «Построение графиков функций для решения тригонометрических уравнений и неравенств» | Математика

Конспект урока математики на тему: «Построение графиков функций для решения тригонометрических уравнений и неравенств»

Автор: Чибисова Кристина Олеговна

Организация: МБОУ «Гимназия им. академика Н.Г. Басова»

Населенный пункт: Воронежская область, г. Воронеж

Тема урока: «Графический способ решения тригонометрических уравнений и неравенств.»

Класс: 10

Тип урока: комбинированный

Оборудование: домашние ПК (допускаются любые устройства с доступом в интернет), платформа ZOOM.

Цели урока:

— систематизировать, расширить и углубить знания и умения учащихся по теме «Графический способ решения уравнений и неравенств»;

— содействовать развитию наблюдательности, умению анализировать, сравнивать, делать выводы;

— развивать умения учащихся применять полученные знания на практике;

— побуждать учеников к самоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний.

План урока:

  1. Организационный момент
  2. Разминка (повторение изученного материала)
  3. Короткое сообщение ученика «Применение графика функции на практике»
  4. Выполнение заданий:

А) Решение уравнения

Физкультминутка для глаз

Б) Решение неравенства

5. Домашнее задание.

 

Ход урока

  1. Организационный момент: ссылка на урок-конференцию размещается на платформе Дневник.ру на стене класса. Ученики выполняют подключение к конференции, проверяют оборудование (видео-звук), готовят к уроку письменные принадлежности. Учитель включает демонстрацию экрана.
  2. Разминка: На платформе learningapps.com выполнение интерактивного задания на повторение функций и их графиков (рис.1). В задании необходимо сопоставить функцию с её графиком. Упражнение можно попросить выполнить одного из учеников, разрешив ему доступ к управлению экраном, или, что не менее эффективно, произвести повторение с применением приёмов фронтальной работы.

Сообщение ученика на тему «Применение графика функции на практике»: задание подготовить сообщение выдаётся ученику заранее. Желательно, чтобы это был ученик, имеющий некоторые затруднения в данной теме. Сообщение не должно превышать 3-5 минут и может содержать слайды для демонстрации. Демонстрация слайдов может осуществляться на платформе ZOOM функцией «Разрешить демонстрацию экрана», если данная функция скрыта, ученика можно временно сделать организатором конференции и все необходимые функции у него появятся автоматически.

Слово учителя: Одна из целей нашего сегодняшнего урокаизложить графический метод решения уравнений и неравенств, который дает возможность определить корни намного проще, чем при аналитическом способе решения, используя при этом современные и общедоступные средства ИКТ. Это позволяет сэкономить время, при этом получив понятное и точное решение.

Для решения подобного рода задач будем использовать онлайн — сервис, не требующий установки на компьютер «Построение графиков функций онлайн». Попасть в него, мы сможем по ссылке: http://yotx.ru/. (Рис.2)

 

Сервис даёт возможность построить графики функции заданные несколькими способами. При этом, можно выполнить построения нескольких графиков в одной системе координат, используя разные цвета для их выделения. Способы введения функций есть в справке (Рис.3).

 

Рис.3 Часть справки сервиса

Все алгебраические выкладки можно оформлять двумя способами: 1) Подготовить заранее в любом удобном текстовом редакторе 2) Выполнять по ходу комментария решения, используя для этого текстовый редактор или встроенную функцию ZOOM (расположена в нижней части рабочего экрана, кнопка «Комментарии»)

Рассмотрим несколько примеров использования сервиса для решения уравнений.

4.Выполнение заданий

Пример 1

Рассмотрим уравнение sin t + cos t = 1.

Идея решения состоит в том, чтобы дополнить уравнение тождеством sint + cost = 1, ввести обозначения x = cos t, y = sin t и решить графически систему, состоящую из двух уравнений:

 

Рис.4

Следует помнить: графическое решение будет частичным, а чтобы найти полное решение, необходимо учесть периодичность тригонометрических функций.

Так окончательный ответ будет таким:

t1 = 0­­­ + 2πn, t­2 = + 2πk где n, k — целые числа.

Сервис даёт возможность распечатать, переслать и скачать получившийся чертёж. Для этого есть специальные значки рядом с графиком (Рис.5)

 

Рис.5 Действия с чертежом

Физкультминутка для глаз:

Закрыть глаза, сильно напрягая глазные мышцы, на счет 1-4, затем раскрыть глаза, расслабив мышцы глаз, посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.

Посмотреть на переносицу и задержать взор на счет 1-4. До усталости глаза не доводить. Затем открыть глаза, посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.

Не поворачивая головы, посмотреть направо и зафиксировать взгляд на счет 1-4 затем посмотреть вдаль прямо на счет 1-6. Аналогичным образом проводятся упражнения, но с фиксацией взгляда влево, вверх и вниз. Повторить 3-4 раза.

Перенести взгляд быстро по диагонали: направо вверх — налево вниз, потом прямо вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.

 

Пример 2

Решите неравенство:

8cos3 t – 14cos2 t + 6cos t – 2sin2 t + 8sin t – 3 ≥ 0

Заменим sin2 t = 1 – cos2 t.

8cos3 t – 14cos2 t + 6cos t – 2 + 2cos2 t + 8sin t – 3 ≥ 0

8cos3 t – 12cos2 t + 6cos t + 8sin t – 5 ≥ 0

Пусть sin t = y, cos t = x

8x3– 12x2 + 6x + 8y – 5 ≥ 0

8y ≥ -8x3 + 12x2 – 6x + 5

y ≥ -x3 + x2 — x +

y ≥ -(x3 — x2 + x — )

y ≥ -((x3 – 3∙x2∙ + 3∙x∙ — ) + — )

y ≥ -((x — )3 — )

Остается решить графически систему, состоящую из неравенства (3) и из уравнения x2 + y2= 1.

Рис.6

Выделенная на рис. 10 дуга единичной окружности и является графическим решением этой вспомогательной системы.

Каждая точка этой дуг имеет радиус-вектор, образующий с положительным направлением оси Ox угол, величина которого изменяется в промежутке [26°; 106°]. Учитывая периодичность, получаем t [26°+ 360°k; 106°+360°k], где k Z.

 

Данный метод может быть использован для учащихся, желающих углубить и расширить свои знания в области построения графиков функций и использовании графического метода при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

Это и закрепление изученных свойств функций, и прекрасная демонстрация их применения на практике, и подготовка учащихся к итоговым экзаменам.

 

  1. Домашнее задание
  1. Решить графически уравнение:

-0,5x2-x+2,625=cosπx

  1. Решить графически неравенство:

cosx-3x+1≥0

 

Список литературы:

  1. А. Мерзляк, «Тригонометрия», М.: «АСТ – ПРЕСС», 1998 г.
  2. А.В. Попадюк «Тригонометрические уравнения и неравенства», 1972 г.
  3. Приложение 5 к СанПиН 2.4.2.2821-10 – разминка для глаз

Ссылки на интернет — источники:

  1. http://yotx.ru/ — Построение графиков функций онлайн
  2. Формула и график (learningapps.org) – Сервис с интерактивными заданиями.

Приложения:

  1. file0.docx.. 344,1 КБ
Опубликовано: 05.04.2022

Урок 10. Тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и их системы. Теория 11 класс онлайн-подготовка на

 

 

Подготовка к ЕГЭ по математике

 

Эксперимент

Урок 10. Тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и их системы.

 

Теория

 

Конспект урока

 

Тригонометрические функции и их свойства

 

 

Мы с вами уже многократно применяли термин «тригонометрическая функция». Еще на первом уроке этой темы мы определили их с помощью прямоугольного треугольника и единичной тригонометрической окружности. Используя такие способы задания тригонометрических функций, мы уже можем сделать вывод, что для них одному значению аргумента (или угла) соответствует строго одно значение функции, т.е. мы вправе называть синус, косинус, тангенс и котангенс именно функциями.

 

На этом уроке самое время попробовать абстрагироваться от рассмотренных ранее способов вычисления значений тригонометрических функций. Сегодня мы перейдем к привычному алгебраическому подходу работы с функциями, мы рассмотрим их свойства и изобразим графики.

Что касается свойств тригонометрических функций, то особое внимание следует обратить на:

— область определения и область значений, т.к. для синуса и косинуса есть ограничения по области значений, а для тангенса и котангенса ограничения по области определения;

— периодичность всех тригонометрических функций, т.к. мы уже отмечали наличие наименьшего ненулевого аргумента, добавление которого не меняет значение функции. Такой аргумент называют периодом функции и обозначают буквой . Для синуса/косинуса и тангенса/котангенса эти периоды различны.

 

Функция синус и ее график

 

 

Рассмотрим функцию:

 

Основные свойства этой функции:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция нечетная ;

4) Функция не является монотонной на всей своей области определения;

5) Функция периодична с периодом .

 

Построим график функции . При этом удобно начинать построение с изображения области, которая ограничивает график сверху числом 1 и снизу числом , что связано с областью значений функции. Кроме того, для построения полезно помнить значения синусов нескольких основных табличных углов, например, что  Это позволит построить первую полную «волну» графика и потом перерисовывать ее вправо и влево, пользуясь тем, что картинка будет повторяться со смещением на период, т.е. на .

 

Функция косинус и ее график

 

 

Теперь рассмотрим функцию:

 

Основные свойства этой функции:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция четная  Из этого следует симметричность графика функции относительно оси ординат;

4) Функция не является монотонной на всей своей области определения;

5) Функция периодична с периодом .

Построим график функции . Как и при построении синуса удобно начинать с изображения области, которая ограничивает график сверху числом 1 и снизу числом , что связано с областью значений функции. Также нанесем на график координаты нескольких точек, для чего необходимо помнить значения косинусов нескольких основных табличных углов, например, что  С помощью этих точек мы можем построить первую полную «волну» графика и потом перерисовывать ее вправо и влево, пользуясь тем, что картинка будет повторяться со смещением на период, т.е. на .

 

Функция тангенс и ее график

 

 

Перейдем к функции:

 

Основные свойства этой функции:

1) Область определения  кроме , где . Мы уже указывали в предыдущих уроках, что  не существует. Это утверждение можно обобщить, учитывая период тангенса;

2) Область значений , т.е. значения тангенса не ограничены;

3) Функция нечетная ;

4) Функция монотонно возрастает в пределах своих так называемых веток тангенса, которые мы сейчас увидим на рисунке;

5) Функция периодична с периодом 

 

Построим график функции . При этом удобно начинать построение с изображения вертикальных асимптот графика в точках, которые не входят в область определения, т.е.  и т.д. Далее изображаем ветки тангенса внутри каждой из образованных асимптотами полосок, прижимая их к левой асимптоте и к правой. При этом не забываем, что каждая ветка монотонно возрастает. Все ветки изображаем одинаково, т.к. функция имеет период, равный . Это видно по тому, что каждая ветка получается смещением соседней на  вдоль оси абсцисс.

 

Функция котангенс и ее график

 

 

И завершаем рассмотрением функции:

 

Основные свойства этой функции:

 

1) Область определения  кроме , где . По таблице значений тригонометрических функций мы уже знаем, что  не существует. Это утверждение можно обобщить, учитывая период котангенса;

2) Область значений , т.е. значения котангенса не ограничены;

3) Функция нечетная ;

4) Функция монотонно убывает в пределах своих веток, которые похожи на ветки тангенса;

5) Функция периодична с периодом 

 

Построим график функции . При этом, как и для тангенса, удобно начинать построение с изображения вертикальных асимптот графика в точках, которые не входят в область определения, т.е.  и т.д. Далее изображаем ветки котангенса внутри каждой из образованных асимптотами полосок, прижимая их к левой асимптоте и к правой. В этом случае учитываем, что каждая ветка монотонно убывает. Все ветки аналогично тангенсу изображаем одинаково, т.к. функция имеет период, равный .

 

Вычисление периодов тригонометрических функций со сложным аргументом

 

 

Отдельно следует отметить тот факт, что у тригонометрических функций со сложным аргументом может быть нестандартный период. Речь идет о функциях вида:

 

У них период равен . И о функциях:

У них период равен .

Как видим, для вычисления нового периода стандартный период просто делится на множитель при аргументе. От остальных видоизменений функции он не зависит.

Подробнее разобраться и понять, откуда берутся эти формулы, вы сможете в уроке про построение и преобразование графиков функций.

 

Тригонометрические уравнения и методы их решения

 

 

Мы подошли к одной из самых главных частей темы «Тригонометрия», которую мы посвятим решению тригонометрических уравнений. Умение решать такие уравнения важно, например, при описании колебательных процессов в физике. Представим, что вы на спортивной машине проехали несколько кругов на картинге, определить сколько времени вы уже участвуете в гонке в зависимости от положения машины на трассе поможет решение тригонометрического уравнения. 

 

Запишем простейшее тригонометрическое уравнение:

Решением такого уравнения являются аргументы, синус которых равен . Но мы уже знаем, что из-за периодичности синуса таких аргументов существует бесконечное множество. Таким образом, решением этого уравнения будут  и т.п. То же самое относится и к решению любого другого простейшего тригонометрического уравнения, их будет бесконечное количество.

Тригонометрические уравнения делятся на несколько основных типов. Отдельно следует остановиться на простейших, т.к. все остальные к ним сводятся. Таких уравнений четыре (по количеству основных тригонометрических функций). Для них известны общие решения, их необходимо запомнить.

Простейшие тригонометрические уравнения и их общие решения выглядят следующим образом:

1)

2)

3)

4)

Обратите внимание, что на значения синуса и косинуса необходимо учитывать известные нам ограничения. Если, например, , то уравнение не имеет решений и применять указанную формулу не следует. 

Кроме того, указанные формулы корней содержат параметр в виде произвольного целого числа . В школьной программе это единственный случай, когда решение уравнения без параметра содержит в себе параметр. Это произвольное целое число показывает, что можно выписать бесконечное количество корней любого из указанных уравнений просто подставляя вместо  по очереди все целые числа.

Ознакомиться с подробным получением указанных формул вы можете, повторив главу «Тригонометрические уравнения» в программе алгебры 10 класса.

Отдельно необходимо обратить внимание на решение частных случаев простейших уравнений с синусом и косинусом. Эти уравнения имеют вид:

 и

.

К ним не следует применять формулы нахождения общих решений. Такие уравнения удобнее всего решаются с использованием тригонометрической окружности, что дает более простой результат, чем формулы общих решений.

Например, решением уравнения  является . Попробуйте сами получить этот ответ и решить остальные указанные уравнения.

 

Кроме указанного наиболее часто встречающегося типа тригонометрических уравнений существуют еще несколько стандартных. Перечислим их с учетом тех, которые мы уже указали:

1) Простейшие, например, ;

2) Частные случаи простейших уравнений, например, ;

3) Уравнения со сложным аргументом, например, ;

4) Уравнения, сводящиеся к простейшим путем вынесения общего множителя, например, ;

5) Уравнения, сводящиеся к простейшим путем преобразования тригонометрических функций, например, ;

6) Уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью замены, например, ;

7) Однородные уравнения, например, ;

8) Уравнения, которые решаются с использованием свойств функций, например, . Пусть вас не пугает, что в этом уравнении две переменные, оно при этом решается;

А также уравнения, которые решаются с использованием различных методов.

 

Системы тригонометрических уравнений и методы их решения

 

 

Кроме решения тригонометрических уравнений необходимо уметь решать и их системы.

 

Наиболее часто встречаются системы следующих типов:

1) В которых одно из уравнений степенное, например, ;

2) Системы из простейших тригонометрических уравнений, например, .

 

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели основные тригонометрические функции, их свойства и графики. А также познакомились с общими формулами решения простейших тригонометрических уравнений, указали основные типы таких уравнений и их систем.

В практической части урока мы разберем методы решения тригонометрических уравнений и их систем.

 

Вставка 1. Решение частных случаев простейших тригонометрических уравнений.

Как мы уже говорили в основной части урока частные случаи тригонометрических уравнений с синусом и косинусом вида:

 и

 

имеют более простые решения, чем дают формулы общих решений.

Для этого используется тригонометрическая окружность. Разберем метод их решения на примере уравнения .

Изобразим на тригонометрической окружности точку, в которой значение косинуса равно нулю, оно же является координатой по оси абсцисс. Как видим, таких точек две. Наша задача указать чему равен угол, который соответствует этим точкам на окружности.

 

 

 
 

 

Начинаем отсчет от положительного направления оси абсцисс (оси косинусов) и при откладывании угла  попадаем в первую изображенную точку, т.е. одним из решений будет это значение угла. Но нас же еще устраивает угол, который соответствует второй точке. Как попасть в нее?

Для этого необходимо к уже отложенному углу добавить развернутый угол . Второй угол, который является решением уравнения, равен . Но нельзя забывать, что это еще не все, т.к. мы можем построить угол больший полного круга, и он еще раз попадет в первую точку и также будет решением нашего уравнения. Для этого необходимо прибавить ко второму вычисленному углу еще раз , и получим значение . Продолжать эти действия можно бесконечное количество раз.

Если выписать первые три полученных нами корня уравнения, то можно увидеть закономерность:

, , , …и выписать формулу для всех корней:

Как видим, эта формула действительно выглядит проще общего решения уравнения с косинусом, хотя бы потому, что в ней отсутствует «». Однако это не значит, что общая формула даст неверное решение.

Аналогично можно получить решения для всех остальных указанных частных случаев тригонометрических уравнений.

Полезные ссылки:

1)  Алгебра 9 класс: «Функция y=sinx, её свойства и график» 

2)  Алгебра 9 класс: «Функция y=cosx. Её свойства и график» 

3)  Алгебра 9 класс: «Функция y=cos t, её свойства и график» 

4)  Алгебра 9 класс: «Простейшие тригонометрические уравнения и сопутствующие задачи» 

5)  Алгебра 9 класс: «Элементы теории тригонометрических функций. Функция y=sinx» 

6)  Алгебра 9 класс: «Элементы теории тригонометрических функций. Функция y=cosx» 

7)  Алгебра 10 класс: «Функция y=sinx, ее основные свойства и график» 

8)  Алгебра 10 класс: «Функция y=sinx, её свойства, график и типовые задачи» 

9)  Алгебра 10 класс: «Функция y=cos t, её основные свойства и график» 

10) Алгебра 10 класс: «Функция y=cos t, её свойства, график и типовые задачи» 

11) Алгебра 10 класс: «Периодичность функций y=sin t, y=cos t» 

12) Алгебра 10 класс: «Как построить график функции y=m*f(x), если известен график функции y=f(x)» 

13) Алгебра 10 класс: «Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x)» 

14) Алгебра 10 класс: «Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x). Примеры построения» 

15) Алгебра 10 класс: «График гармонического колебания» 

16) Алгебра 10 класс: «Функция y=tgx, ее свойства и график» 

17) Алгебра 10 класс: «Функция y=сtgx, ее свойства и график» 

18) Алгебра 10 класс: «Первые представления о решении тригонометрических уравнений» 

19) Алгебра 10 класс: «Простейшие тригонометрические уравнения» 

 

Тема урока: Встроенные функции в Excel. Построение графиков. | Методическая разработка по информатике и икт (9 класс) по теме:

 

Тема урока: Встроенные функции в Excel. Построение графиков.

Цель урока:

·         Познакомить и научить создавать таблицы значений функций в заданном диапазоне значений аргумента и с заданным шагом его измерения.

·          Развить навыки мыслительной деятельности, включая каждого учащегося в учебно – познавательный процесс.

·         Домашнее задание

 Задачи урока:

·        Познавательная— получить практические навыки работы в программе Ms Excel

·        развивающая– формирование у учащихся логического и алгоритмического мышления; развитие познавательного интереса к предмету; развитие пользоваться ранее полученными знаниями;  ставить и решать проблемы

·        воспитательная– умение самостоятельно мыслить, чувство ответственности за выполняемую работу ее аккуратности, самооценка выполненной работы.

Ожидаемые результаты:

После этого урока ученики смогут:

·        Развивать навыки работы с ЭТ.

·        Использовать стандартные функции для проведения более сложных вычислений в электронных таблицах.


Технические и программные средства:

·        Персональные компьютеры.

·        Операционная система Windows

·        Мультимедийный проектор, экран.

·        MS Office 2007.

·        Опорный конспект

·        План практической работы в виде презентации.

·        Задание для самостоятельной работы

Учебник:
Информатика и ИКТ:чебник для 9 класса /Угринович Н.Д 2.-е издание — М.: Бином. Лаборатория 2010.- 295 с.:ил.

Вид урока:Объяснение нового материала и закрепление

План урока:

·               Организационный момент – 2 мин.

·               Повторение пройденного материала – 5 мин.

·               Постановка цели и задач-1мин

·               Объяснение нового материала –15 мин.

·               Применение полученных знаний за компьютером –10 мин.

·               Физкультминутка- 4мин

·               Домашнее задание §3.2.4.  индивидуальные задания 2 мин.

·               Подведение итогов урока. Онлайн-тест – 5 мин

·               Резерв-1 мин

 

Ход урока

1.      Организационный момент (2 мин)

Здравствуйте. На уроках математики вам самостоятельно приходится решать уравнения (простые, квадратные, кубические и др.), а затем кропотливо строить графики, используя линейки и карандаши. Хотелось бы вам упростить свою работу при подготовке к урокам алгебры, а так создавать творческие презентации на основе электронных таблиц? (Ответ учащихся) Мы уже научились строить формулы в программе используя относительные, абсолютные и смешанные ссылки, а так же еще несколько операций, в том числе и построение диаграмм, так вот сегодня мы продолжим знакомиться с новыми возможностями табличного процессора Excel, но прежде чем приступить к новой теме, давайте вспомним, что нам уже известно.

Дается практическая работа двум ученикам для построения графиков функции по карточкам.

Пока учащиеся выполняют работу, производится опрос.

 

2.      Опрос по заранее подготовленным билетам(5 мин) (в классе два ряда парт, первому каждому ученику дают вопросы, а второму ряду – ответы. При озвученном вопросе учеником, должен поднять руку и встать тот ученик, у которого находится ответ, в случае неправильного ответа, или встанет не один ученик, сначала выясняется мотивация, а затем анализ ответа)

1.   Что является электронной таблицей?

Ответ: Работающее в диалоговом режиме приложение, которое хранит и обрабатывает данные в ЭТ.

2.   Что образует ячейку в электронной таблице

Ответ:Пересечение столбца и строки

3.   Файлы, в которых сохраняются ЭТ, как называются?

Ответ: книгами

4.  Идентификатор ячейки складывается из названия …

Ответ:столбца (латинской буквы) и номера строчки

5.  Что является относительной ссылкой?

Ответ:При перемещении или копировании формулы из активной ячейки относительные ссылки автоматически изменяются в зависимости от положения ячейки

6.   Что является абсолютной ссылкой?

Ответ:При перемещении или копировании формулы из активной ячейки абсолютные ссылки не изменяются.

 

7.   Ввод формул в таблицу начинается обычно со знака

Ответ: «=»

             После опроса проверяется работа двух учеников, которые должны охарактеризовать свой ход работы. Вызывается из класса третий ученик и оценивает работу, сравнивая с заранее подготовленной работой учителя.  

3. Объяснение нового материала(Учитель объясняет около доски, а ученики записывают в тетради. Учитель при обьяснении использует презентацию).

И так тема  сегодняшнего урока  «Встроенные функции в Excel. Построение графиков».

Цель нашего урока:Научиться строить графики функции в Excel.2-3

13,0

6,0

1,0

-2,0

-3,0

-2,0

1,0

6,0

13,0

 

Из курса алгебра и начала анализа вы все знаете, что такое функция. Это соответствие y = f (x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента, или независимого переменного) соответствует определенное значение другой величины y (зависимой переменной, или функции). Такое соответствие может быть задано различным образом, например формулой, графически или таблицей. С помощью функции математически выражаются многообразные количественные закономерности в природе.  В ЭТ также используются математические функции при решении  уравнений, синусов, косинусов и т. п.

Воспользуемся этими знаниями и посмотрим с помощью презентации как это будем делать в ЭТ.

(Используется проектор при объяснении материала)

Соответственно, с помощью математических функций в ЭТ мы можем вычислить и корень квадратный и построить график, как это указано в презентации

x

-4,0

-3,0

-2,0

-1,0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

y=корень(x+4)

0,0

1,0

1,4

1,7

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

У нас получилось построение на одной координатной плоскости двух графиков.2+ 1

17,0

10,0

5,0

2,0

1,0

2,0

5,0

10,0

17,0

Y = X + 1

-3,0

-2,0

-1,0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

5. Закрепление полученного знания на компьютере(практическая часть).Построение на одной координатной плоскости двух графиков.

 

Задание (Всем) Построить графики функции

(Ученики с строят графики функции вместе с учителем)

Учитель проходит и проверяет правильности хода решения.

Как только все справляются с заданием, ученики обратно садятся за парты.

6.Физкультминутка (включаем презентацию)

9.  Домашнее задание.  §3.2.4.  индивидуальные задания, для выполнения работы дома и на следующем уроке необходимо принести работу на каком-либо носителе информации.

10. Подведение итогов.Выставление оценок

(Ученики сами, на основе полученных знаний объясняют эту тему) (Показывается на презентации)

Если остается время, ученикам предлагается пройти онлайн-тест  по теме Excel

http://www.klyaksa.net/test_online/index.php?goto_test=begin

Калькулятор онлайн — Решение тригонометрических неравенств

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Тригонометрические неравенства

Неравенства вида \( \sin x > a \) и \( \sin x

Пусть дано простейшее неравенство \( \sin x > a \).
1) При \(-1
Из данного рисунка видно, что в этом случае решение неравенства будет таким:
$$ x \in (\arcsin a + 2\pi k; \;\; \pi — \arcsin a + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $$
2) При \(а \geqslant 1 \) неравенство не имеет решений: \( x \in \emptyset \)
3) При \(а 4) При \(а = -1 \) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} \)

Пусть дано простейшее неравенство \( \sin x
1) При \(-1
Из данного рисунка видно, что в этом случае решение неравенства будет таким:
$$ x \in (\pi — \arcsin a + 2\pi k; \;\; 2\pi + \arcsin a + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $$
2) При \(а > 1 \) решением неравенства является любое действительное число: \( x \in \mathbb{R} \)
3) При \(а = 1 \) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} \)
4) При \(а \leqslant -1 \) неравенство не имеет решений.

Неравенства вида \( \cos x > a \) и \( \cos x

Пусть дано простейшее неравенство \( \cos x > a \).
1) При \(-1
Из данного рисунка видно, что в этом случае решение неравенства будет таким:
$$ x \in (-\arccos(a) + 2\pi k; \;\; \arccos a + 2\pi k), \; k \in \mathbb{Z} $$
2) При \( a \geqslant 1\) неравенство не имеет решений.
3) При \(а 4) При \(а = -1\) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( \pi + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} \)

Пусть дано простейшее неравенство \( \cos x
1) При \(-1
Из данного рисунка видно, что в этом случае решение неравенства будет таким:
$$ x \in (\arccos a + 2\pi k; \;\; 2\pi — \arccos a + 2\pi k), \; k \in \mathbb{Z} $$
2) При \(a > 1\) решением неравенства является любое действительное число: \( x \in \mathbb{R} \)
3) При \(a \leqslant -1\) неравенство не имеет решений.
4) При \(a = 1\) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} \)

Неравенства вида \( tg \;x > a \) и \( tg \;x

Пусть дано простейшее неравенство \( tg \;x > a \).
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb{R} \) решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left(arctg \;a + \pi k; \;\; \frac{\pi}{2} + \pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$

Пусть дано простейшее неравенство \( tg \;x
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb{R} \) решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \;\; arctg \;a + \pi k\right), \; k \in \mathbb{Z} $$

Неравенства вида \( ctg \;x > a \) и \( ctg \;x

Пусть дано простейшее неравенство \( ctg \;x > a \).
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb{R} \) решение неравенства будет таким:
$$ x \in ( \pi k; \;\; arcctg \;a + \pi k ), \; k \in \mathbb{Z} $$

Пусть дано простейшее неравенство \( ctg \;x
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb{R} \) решение неравенства будет таким:
$$ x \in ( arcctg \; a + \pi k; \;\; \pi + \pi k ), \; k \in \mathbb{Z} $$

Решение тригонометрических неравенств

ПРИМЕР 1. Решим неравенство \( \sin x > \frac{1}{2} \).
Так как \( -1 $$ x \in \left( \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi k; \;\; \pi — \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$
Так как \( \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} \), то решение можно переписать в виде
$$ x \in \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \;\; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 2. Решим неравенство \( \sin \;x Так как \( -1 $$ x \in \left(\pi — \arcsin \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi k; \;\; 2\pi + \arcsin \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$
Воспользовавшись равенством \( \arcsin(-a) = -\arcsin a \), перепишем решение в виде
$$ x \in \left(\pi + \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi k; \;\; 2\pi — \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 3. Решим неравенство \( \cos x > \frac{1}{2} \).
Так как \( -1 $$ x \in \left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \;\; \frac{\pi}{3} + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 4. Решим неравенство \( \cos x Так как \( -1 $$ x \in (\arccos(-0{,}3) + 2\pi k; \;\; 2\pi — \arccos(-0{,}3) + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $$
Воспользовавшись равенством \( \arccos(-a) = \pi — \arccos a \), перепишем решение в виде
$$ x \in (\pi-\arccos 0{,}3 + 2\pi k; \;\; \pi + \arccos 0{,}3 + 2\pi k), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 5. Решим неравенство \( tg \;x > 1 \).
Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left(\frac{\pi}{4} + \pi k; \;\; \frac{\pi}{2} + \pi k\right), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 6. Решим неравенство \( tg \;x Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \;\; arctg \left( -\frac{1}{2} \right) + \pi k\right), \; k \in \mathbb{Z} $$
Воспользовавшись равенством \( arctg(-a) = -arctg \; a \), перепишем решение в виде
$$ x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \;\; -arctg \frac{1}{2} + \pi k\right), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 7. Решим неравенство \( ctg \;x > \frac{\sqrt{3}}{3} \).
Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left( \pi k; \;\; \frac{\pi}{3} + \pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 8. Решим неравенство \( ctg \;x Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left( arcctg \left( -\frac{5}{4} \right) + \pi k; \;\; \pi + \pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$
Воспользовавшись равенством \( arcctg(-a) = \pi — arcctg \;a \), перепишем решение в виде
$$ x \in \left( \pi — arcctg \frac{5}{4} + \pi k; \;\; \pi + \pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$
или в виде
$$ x \in \left( — arcctg \frac{5}{4} + \pi n; \;\; \pi n \right), \; n \in \mathbb{Z} $$

Калькулятор онлайн

На этой странице вы найдете отличный интерактивный калькулятор: простой в усвоении и удобный для обширной аудитории пользователей интернета. Онлайн-калькулятор для вычисления математических функций: тригонометрических, матриц, логарифмов, уравнений, и построения графиков. Есть все необходимые функции, быстро загружается, не требует установки на ПК.. Он по праву считается на сегодняшний момент одним из лучших среди сервисов интерактивных математических калькуляторов. Основное преимущество этого онлайн сервиса — это использование инженерного калькулятора с любого компьютера или мобильного устройства в любой удобный для вас момент. Использовать его можно круглосуточно, главное чтобы был выход в интернет. Также ещё одним хорошим подспорьем является то, что сервис предоставляет этот калькулятор абсолютно бесплатно и не требуется никакая регистрация для пользователей.

Интерактивный калькулятор умеет выполнять как простые, так и сложные математические вычисления: извлечения корней, логарифмы, тригонометрические функции, проценты, вычисление матриц, факториалов, интегралов, дробей, векторов и комплексных чисел, решения сложных математических формул, простых уравнений и сложных систем уравнений, так дифференциальных уравнений и их систем, и еще множество других вычислений

Также возможно построение различных графиков, что чрезвычайно удобно для быстрого и наглядного решения сложных математических задач для инженеров, студентов и школьников.

Кнопки и команды онлайн-калькулятора

В списке ниже указаны все клавиши и команды калькулятора и выполняемые ими операции.

Клавиша Символ Операция
pi pi Постоянная pi
е е Число Эйлера
% % Процент
( ) ( ) Открыть/Закрыть скобки
, , Запятая
sin sin(α) Синус угла
cos cos(β) Косинус
tan tan(y) Тангенс
sinh sinh() Гиперболический синус
cosh cosh() Гиперболический косинус
tanh tanh() Гиперболический тангенс
sin-1 asin() Обратный синус
cos-1 acos() Обратный косинус
tan-1 atan() Обратный тангенс
sinh-1 asinh() Обратный гиперболический синус
x2 ^2 Возведение в квадрат
xy ^ Возведение в степень
10x 10^() Возведение в степень по основанию 10
ex exp() Возведение в степень числа Эйлера
√x sqrt(x) Квадратный корень
y√x sqrt(x,y) Извлечение корня
log log(x) Десятичный логарифм
ln ln(x) Натуральный логарифм
logyx log(x,y) Логарифм
mod mod Деление с остатком
! ! Факториал
i / j i / j Мнимая единица(комплексное число)
Re Re() Выделение целой действительной части
Im Im() Исключение действительной части
|x| abs() Модуль числа
/x arg() Аргумент функции
()3 () Вектор с 3 параметрами
()4 () Вектор с 4 параметрами
Deg   Градусы
Rad   Радианы
Дополнительные функции (набираются только вручную на клавиатуре)
  ncr() Биноминальный коэффициент
  gcd() НОД
  lcm() НОК
  sum() Суммарное значение всех решений
  factorize() Разложение на простые множители
  diff() Дифференцирование
  Matrix() Матрицы
  Solve() Уравнения и системы уравнений
  Plot() Построение графиков

6.2 Графики других тригонометрических функций — предварительное исчисление 2e

Цели обучения

В этом разделе вы:

  • Анализ графика  y=tan x.
  • График изменений  y=tan x.
  • Проанализируйте графики  y=sec x  и  y=csc x.
  • График изменений  y=sec x  и  y=csc x.
  • Проанализируйте график  y=cot x.
  • График вариантов  y=cot x.

Мы знаем, что функцию касательной можно использовать для определения расстояний, таких как высота здания, горы или флагштока.Но что, если мы хотим измерить повторяющиеся случаи расстояния? Представьте, например, пожарную машину, припаркованную рядом со складом. Вращающийся свет от грузовика будет проходить через стену склада через равные промежутки времени. Если на вход подается время, на выходе будет расстояние, которое проходит луч света. Луч света будет повторять расстояние через равные промежутки времени. Для аппроксимации этого расстояния можно использовать функцию касательной. Асимптоты были бы необходимы, чтобы проиллюстрировать повторяющиеся циклы, когда луч проходит параллельно стене, потому что казалось бы, что луч света может продолжаться вечно.График функции тангенса наглядно иллюстрирует повторяющиеся интервалы. В этом разделе мы изучим графики тангенса и других тригонометрических функций.

Анализ графика

y = tan x

Мы начнем с графика функции тангенса, нанося точки так же, как мы делали это для функций синуса и косинуса. Напомним, что

tanx=sinxcosxtanx=sinxcosx

Период функции тангенса равен ππ, потому что график повторяется на интервалах kπkπ, где kk — константа.Если мы нарисуем касательную функцию от −π2−π2 к π2,π2, мы сможем увидеть поведение графика на одном полном цикле. Если мы посмотрим на любой больший интервал, мы увидим, что характеристики графика повторяются.

Мы можем определить, является ли тангенс нечетной или четной функцией, используя определение тангенса.

tan(−x)=sin(−x)cos(−x) Определение тангенса. =−sinxcosxSine — нечетная функция, косинус — четная. =−sinxcosxЧастное нечетной и четной функций является нечетным.=−tanxОпределение касательной.tan(−x)=sin(−x)cos(−x)Определение касательной. =−sinxcosxSine — нечетная функция, косинус — четная. =−sinxcosxЧастное нечетной и четной функций является нечетным. =−tanxОпределение касательной.

Следовательно, тангенс — нечетная функция. Мы можем дополнительно проанализировать графическое поведение функции тангенса, взглянув на значения некоторых специальных углов, перечисленных в таблице 1. −π2−π2 −π3−π3 −π4−π4 −π6−π6 0 π6π6 π4π4 π3π3 π2π2 загар(х)загар(х) не определено −3−3 –1 −33−33 0 3333 1 33 не определено

Таблица 1

Эти точки помогут нам нарисовать наш график, но нам нужно определить, как ведет себя график там, где он не определен.Если мы более внимательно посмотрим на значения, когда π3

хх 1,3 1,5 1,55 1,56
Танкстанкс 3,6 14,1 48,1 92.6

Таблица 2

Когда xx приближается к π2,π2, выходы функции становятся все больше и больше. Поскольку y=tanxy=tanx — нечетная функция, мы видим соответствующую таблицу отрицательных значений в таблице 3.

xx −1,3 −1,5 −1,55 −1,56
Танкстанкс −3,6 −14,1 −48,1 −92.6

Таблица 3

Мы видим, что по мере того, как xx приближается к −π2,−π2, выходы становятся все меньше и меньше. Помните, что существуют некоторые значения xx, для которых cosx=0.cosx=0. Например, cos(π2)=0cos(π2)=0 и cos(3π2)=0.cos(3π2)=0. При этих значениях функция тангенса не определена, поэтому график y=tanxy=tanx имеет разрывы в точках x=π2 и 3π2.x=π2 и 3π2. При этих значениях график касательной имеет вертикальные асимптоты. На рис. 1 представлен график зависимости y=tanx.у=танкс. Тангенс положителен от 0 до π2π2 и от ππ до 3π2,3π2, что соответствует квадрантам I и III единичной окружности.

Фигура 1 График касательной функции

Графические варианты

y = tan x

Как и функции синуса и косинуса, функция тангенса может быть описана общим уравнением.

Мы можем определить горизонтальное и вертикальное растяжение и сжатие, используя значения AA и B.B. Горизонтальное растяжение обычно можно определить по периоду графика.При использовании касательных графиков часто необходимо определить вертикальное растяжение с помощью точки на графике.

Поскольку у функции тангенса нет максимальных или минимальных значений, термин амплитуда не может интерпретироваться так, как он используется для функций синуса и косинуса. Вместо этого мы будем использовать фразу , коэффициент растяжения/сжатия , когда речь идет о константе А.А.

Характеристики графика

y = A tan( Bx )
  • Коэффициент растяжения |A|.|А|.
  • Период равен P=π|B|.P=π|B|.
  • Областью определения являются все действительные числа x,x, где x≠π2|B|+π|B|kx≠π2|B|+π|B|k такие, что kk — целое число.
  • Диапазон равен (−∞,∞).(−∞,∞).
  • Асимптоты находятся при x=π2|B|+π|B|k,x=π2|B|+π|B|k, где kk — целое число.
  • y=Atan(Bx)y=Atan(Bx) — нечетная функция.
Построение графика одного периода растянутой или сжатой касательной функции

Мы можем использовать наши знания о свойствах касательной функции, чтобы быстро нарисовать график любой растянутой и/или сжатой касательной функции вида f(x)=Atan (Бх).f(x)=Atan(Bx). Мы сосредоточимся на одном периоде функции, включая начало координат, потому что свойство периодичности позволяет нам расширить график на остальную часть области определения функции, если мы захотим. Тогда нашей ограниченной областью является интервал (−P2,P2)(−P2,P2), и график имеет вертикальные асимптоты в точках ±P2±P2, где P=πB.P=πB. На (−π2,π2),(−π2,π2) график выйдет из левой асимптоты в точке x=−π2,x=−π2, пересечет начало координат и продолжит увеличиваться по мере приближения к правой асимптоте. при x=π2.x=π2. Чтобы функция приближалась к асимптотам с правильной скоростью, нам также необходимо установить вертикальный масштаб, фактически оценивая функцию по крайней мере для одной точки, через которую будет проходить график.Например, мы можем использовать

f(P4)=Atan(BP4)=Atan(Bπ4B)=Af(P4)=Atan(BP4)=Atan(Bπ4B)=A

, потому что tan(π4)=1.tan(π4)=1.

Как

Для функции f(x)=Atan(Bx),f(x)=Atan(Bx) начертите один период.

  1. Определите коэффициент растяжения, |A|.|A|.
  2. Идентифицируйте BB и определите период, P=π|B|.P=π|B|.
  3. Нарисуйте вертикальные асимптоты в точках x=−P2x=−P2 и x=P2.x=P2.
  4. Для AB>0,AB>0 график приближается к левой асимптоте при отрицательных выходных значениях и к правой асимптоте при положительных выходных значениях (обратное для AB<0AB<0 ).
  5. Нанесите контрольные точки на (P4,A),(P4,A),(0,0),(0,0) и (-P4,-A),(-P4,-A) и нарисуйте график через эти точки.

Пример 1

Эскиз сжатой касательной

Нарисуйте график одного периода функции y=0,5tan(π2x).y=0,5tan(π2x).

Решение

Сначала мы идентифицируем АА и В.В.

Поскольку A=0,5A=0,5 и B=π2,B=π2, мы можем найти коэффициент растяжения/сжатия и период. Период равен ππ2=2,ππ2=2, поэтому асимптоты находятся в точке x=±1.х=±1. Через четверть периода от начала мы имеем

f(0,5)=0,5tan(0,5π2)=0,5tan(π4)=0,5f(0,5)=0,5tan(0,5π2)=0,5tan(π4)=0,5

Это означает, что кривая должна проходить через точки (0,5 ,0,5),(0,5,0,5), (0,0),(0,0) и (-0,5,-0,5).(-0,5,-0,5). Единственная точка перегиба находится в начале координат. На рис. 2 показан график одного периода функции.

Фигура 2

Попробуй это #1

Нарисуйте график функции f(x)=3tan(π6x).f(x)=3tan(π6x).

Построение графика одного периода сдвинутой касательной функции

Теперь, когда мы можем изобразить растянутую или сжатую касательную функцию, мы добавим вертикальный и/или горизонтальный (или фазовый) сдвиг.В этом случае мы добавляем CC и DD к общему виду функции тангенса.

f(x)=Atan(Bx−C)+Df(x)=Atan(Bx−C)+D

График преобразованной функции тангенса отличается от основной функции тангенса tanxtanx несколькими способами:

Характеристики графика

y = A tan( Bx C )+ D
  • Коэффициент растяжения равен |A|.|A|.
  • Период равен π|B|.π|B|.
  • Домен: x≠CB+π|B|k,x≠CB+π|B|k, где kk — целое число.
  • Диапазон равен (−∞,∞).(−∞,∞).
  • Вертикальные асимптоты находятся при x=CB+π2|B|k,x=CB+π2|B|k, где kk — нечетное целое число.
  • Нет амплитуды.
  • y=Atan(Bx-C)+Dy=Atan(Bx-C)+D — нечетная функция, поскольку она является частным нечетной и четной функций (синуса и косинуса соответственно).

Как

Для функции y=Atan(Bx−C)+D,y=Atan(Bx−C)+D нарисуйте график одного периода.

  1. Выразите заданную функцию в виде y=Atan(Bx−C)+D.у=Атан(Вх-С)+D.
  2. Определите коэффициент растяжения/сжатия, |A|.|A|.
  3. Идентифицируйте BB и определите период, P=π|B|.P=π|B|.
  4. Идентифицируйте CC и определите фазовый сдвиг, CB.CB.
  5. Нарисуйте график y=Atan(Bx)y=Atan(Bx), сдвинутый вправо на CBCB и вверх на D.D.
  6. Нарисуйте вертикальные асимптоты, которые встречаются при x=CB+π2|B|k,x=CB+π2|B|k, где kk — нечетное целое число.
  7. Нанесите любые три контрольные точки и проведите график через эти точки.

Пример 2

График одного периода сдвинутой касательной функции

Постройте график одного периода функции y=−2tan(πx+π)−1.y=−2tan(πx+π)−1.

Решение
  • Шаг 1. Функция уже записана в виде y=Atan(Bx−C)+D.y=Atan(Bx−C)+D.
  • Шаг 2. A=−2,A=−2, поэтому коэффициент растяжения равен |A|=2.|A|=2.
  • Шаг 3. B=π,B=π, поэтому период равен P=π|B|=ππ=1.P=π|B|=ππ=1.
  • Шаг 4. C=−π,C=−π, поэтому фазовый сдвиг равен CB=−ππ=−1.CB=−ππ=−1.
  • Шаг 5-7. Асимптоты находятся в точках x=-32x=-32 и x=-12x=-12, а три рекомендуемые контрольные точки: (-1,25,1),(-1,25,1),(-1,-1),( −1,−1) и (−0,75,−3).(−0,75,−3). График показан на рисунке 3.

    Фигура 3

Анализ

Обратите внимание, что это убывающая функция, поскольку A<0.А<0.

Попробуй это #2

Как изменится график в примере 2, если мы сделаем A=2A=2 вместо −2?−2?

Как

По графику функции касательной определите горизонтальные и вертикальные растяжения.

  1. Найдите период PP по расстоянию между последовательными вертикальными асимптотами или x -пересечениям.
  2. Напишите f(x)=Atan(πPx).f(x)=Atan(πPx).
  3. Определите удобную точку (x,f(x))(x,f(x)) на заданном графике и используйте ее для определения A.А.

Пример 3

Идентификация графика вытянутой касательной

Найдите формулу функции, изображенной на рисунке 4.

Фигура 4 Растянутая касательная функция

Решение

График имеет вид функции тангенса.

  • Шаг 1. Один цикл продолжается от –4 до 4, поэтому период P=8.P=8. Поскольку P=π|B|,P=π|B|, мы имеем B=πP=π8.B=πP=π8.
  • Шаг 2. Уравнение должно иметь вид f(x)=Atan(π8x).f(x)=Atan(π8x).
  • Шаг 3. Чтобы найти вертикальное растяжение A,A, мы можем использовать точку (2,2).(2,2). 2=Атан(π8⋅2)=Атан(π4)2=Атан(π8⋅2)=Атан(π4)

Поскольку tan(π4)=1,tan(π4)=1, A=2.A=2.

Эта функция будет иметь формулу f(x)=2tan(π8x).f(x)=2tan(π8x).

Попробуй это #3

Найдите формулу функции на рисунке 5.

Фигура 5

Анализ графиков

y = sec x и y = csc x

Сеанс был определен обратным тождеством secx=1cosx.secx=1cosx. Обратите внимание, что функция не определена, когда косинус равен 0, что приводит к вертикальным асимптотам при π2, π2, 3π2, 3π2 и т. д. Поскольку косинус никогда не больше 1 по модулю, секанс, являющийся обратной величиной, никогда не будет меньше чем 1 по абсолютной величине.

Мы можем построить график y=secxy=secx, наблюдая за графиком функции косинуса, потому что эти две функции являются обратными друг другу. См. рис. 6. График косинуса показан пунктирной оранжевой волной, чтобы мы могли видеть взаимосвязь.Там, где график функции косинуса уменьшается, график функции секанса увеличивается. Там, где график функции косинуса увеличивается, график функции секанса уменьшается. Когда функция косинуса равна нулю, секанс не определен.

График секущих имеет вертикальные асимптоты для каждого значения xx, где график косинуса пересекает ось x ; мы показываем их на графике ниже пунктирными вертикальными линиями, но не будем явно показывать все асимптоты на всех последующих графиках, включающих секанс и косеканс.

Обратите внимание, что, поскольку косинус — четная функция, секанс также является четной функцией. То есть sec(-x)=secx.sec(-x)=secx.

Фигура 6 График функции секущей, f(x)=secx=1cosxf(x)=secx=1cosx

Как и для функции тангенса, мы снова будем ссылаться на константу |A||A| как коэффициент растяжения, а не амплитуда.

Особенности графика

y = A сек ( Bx )
  • Коэффициент растяжения |A|.|А|.
  • Период равен 2π|B|.2π|B|.
  • Домен равен x≠π2|B|k,x≠π2|B|k, где kk — нечетное целое число.
  • Диапазон равен (−∞,−|A|]∪[|A|,∞).(−∞,−|A|]∪[|A|,∞).
  • Вертикальные асимптоты находятся при x=π2|B|k,x=π2|B|k, где kk — нечетное целое число.
  • Нет амплитуды.
  • y=Asec(Bx)y=Asec(Bx) — четная функция, поскольку косинус — четная функция.

Подобно секансу, косеканс определяется взаимной тождественностью cscx=1sinx.cscx=1sinx. Обратите внимание, что функция не определена, когда синус равен 0, что приводит к вертикальной асимптоте на графике в точках 0, 0, π, π и т. д. Поскольку синус никогда не больше 1 по абсолютной величине, косеканс, являющийся обратной величиной, никогда не будет меньше 1 по модулю.

Мы можем построить график y=cscxy=cscx, наблюдая за графиком функции синуса, потому что эти две функции являются обратными друг другу. См. рис. 7. График синуса показан пунктирной оранжевой волной, чтобы мы могли видеть взаимосвязь.Там, где график функции синуса уменьшается, график функции косеканса увеличивается. Там, где график функции синуса увеличивается, график функции косеканса уменьшается.

График косеканса имеет вертикальные асимптоты для каждого значения xx, где график синусоиды пересекает ось x ; мы показываем их на графике ниже пунктирными вертикальными линиями.

Обратите внимание, что, поскольку синус является нечетной функцией, функция косеканса также является нечетной функцией. То есть csc(-x)=-cscx.csc(-x)=-cscx.

График косеканса, показанный на рисунке 7, аналогичен графику секанса.

Фигура 7 График функции косеканса, f(x)=cscx=1sinxf(x)=cscx=1sinx

Особенности графика

y = A csc( Bx )
  • Коэффициент растяжения равен |A|.|A|.
  • Период равен 2π|B|.2π|B|.
  • Домен равен x≠π|B|k,x≠π|B|k, где kk — целое число.
  • Диапазон равен (−∞,−|A|]∪[|A|,∞).(−∞,−|A|]∪[|A|,∞).
  • Асимптоты находятся при x=π|B|k,x=π|B|k, где kk — целое число.
  • y=Acsc(Bx)y=Acsc(Bx) — нечетная функция, поскольку синус — нечетная функция.

Графические варианты

y = sec x и y = csc x

Для сдвинутых, сжатых и/или растянутых версий функций секанса и косеканса мы можем следовать методам, аналогичным тем, которые мы использовали для тангенса и котангенса. То есть мы находим вертикальные асимптоты, а также оцениваем функции для нескольких точек (в частности, локальных экстремумов).Если мы хотим построить график только одного периода, мы можем выбрать интервал для периода более чем одним способом. Процедура для секанса очень похожа, потому что идентичность кофункций означает, что график секанса совпадает с графиком косеканса, сдвинутым на полпериода влево. Вертикальный и фазовый сдвиги могут применяться к функции косеканса так же, как к секансу и другим функциям. Уравнения становятся следующими.

y=Asec(Bx-C)+Dy=Asec(Bx-C)+D y=Acsc(Bx-C)+Dy=Acsc(Bx-C)+D

Характеристики графика

y = A сек ( Bx C )+ D
  • Коэффициент растяжения |A|.|А|.
  • Период равен 2π|B|.2π|B|.
  • Домен равен x≠CB+π2|B|k,x≠CB+π2|B|k, где kk — нечетное целое число.
  • Диапазон равен (−∞,−|A|+D]∪[|A|+D,∞).(−∞,−|A|+D]∪[|A|+D,∞).
  • Вертикальные асимптоты находятся при x=CB+π2|B|k,x=CB+π2|B|k, где kk — нечетное целое число.
  • Нет амплитуды.
  • y=Asec(Bx-C)+Dy=Asec(Bx-C)+D — четная функция, поскольку косинус — четная функция.

Характеристики графика

y = A csc( Bx C )+ D
  • Коэффициент растяжения |A|.|А|.
  • Период равен 2π|B|.2π|B|.
  • Домен: x≠CB+π|B|k,x≠CB+π|B|k, где kk — целое число.
  • Диапазон равен (−∞,−|A|+D]∪[|A|+D,∞).(−∞,−|A|+D]∪[|A|+D,∞).
  • Вертикальные асимптоты находятся при x=CB+π|B|k,x=CB+π|B|k, где kk — целое число.
  • Нет амплитуды.
  • y=Acsc(Bx-C)+Dy=Acsc(Bx-C)+D — нечетная функция, поскольку синус — нечетная функция.

Как

Дана функция вида y=Asec(Bx),y=Asec(Bx), построить график одного периода.

  1. Выразите функцию, заданную в виде y=Asec(Bx).y=Asec(Bx).
  2. Определите коэффициент растяжения/сжатия, |A|.|A|.
  3. Идентифицируйте BB и определите период, P=2π|B|.P=2π|B|.
  4. Нарисуйте график y=Acos(Bx).y=Acos(Bx).
  5. Используйте взаимное соотношение между y=cosxy=cosx и y=secxy=secx, чтобы построить график y=Asec(Bx).y=Asec(Bx).
  6. Нарисуйте асимптоты.
  7. Нанесите любые две контрольные точки и постройте график через эти точки.

Пример 4

График изменения секущей функции

Постройте график одного периода f(x)=2,5 с(0,4x).f(x)=2,5 с(0,4x).

Решение
  • Шаг 1. Данная функция уже записана в общем виде, y=Asec(Bx).y=Asec(Bx).
  • Шаг 2. A=2,5A=2,5, поэтому коэффициент растяжения равен 2,5.2,5.
  • Шаг 3. B=0,4B=0,4, поэтому P=2π0.4=5π.P=2π0,4=5π. Период равен 5π5π единиц.
  • Шаг 4. Нарисуйте график функции g(x)=2,5cos(0,4x).g(x)=2,5cos(0,4x).
  • Шаг 5. Используйте взаимное соотношение функций косинуса и секанса, чтобы нарисовать функцию косеканса.
  • Шаги 6–7. Нарисуйте две асимптоты при x=1,25πx=1,25π и x=3,75π.x=3,75π. Мы можем использовать две контрольные точки, локальный минимум в (0,2,5)(0,2,5) и локальный максимум в (2.5π,−2,5).(2,5π,−2,5). На рис. 8 показан график.

    Фигура 8

Попробуй это #4

Постройте график одного периода f(x)=−2,5 с(0,4x).f(x)=−2,5 с(0,4x).

вопросы и ответы

Вертикальный сдвиг и растяжение/сжатие влияют на диапазон секущей?

Да. Диапазон f(x)=Asec(Bx−C)+Df(x)=Asec(Bx−C)+D равен (−∞,−|A|+D]∪[|A|+D ,∞).(−∞,−|A|+D]∪[|A|+D,∞).

Как

Дана функция вида f(x)=Asec(Bx−C)+D,f(x)=Asec(Bx−C)+D, построить график одного периода.

  1. Выразите функцию, заданную в виде y=Asec(Bx−C)+D.y=Asec(Bx−C)+D.
  2. Определите коэффициент растяжения/сжатия, |A|.|A|.
  3. Найдите BB и определите период 2π|B|.2π|B|.
  4. Идентифицируйте CC и определите фазовый сдвиг, CB.CB.
  5. Нарисуйте график y=Asec(Bx)y=Asec(Bx), но сдвиньте его вправо на CBCB и вверх на D.Д.
  6. Нарисуйте вертикальные асимптоты, которые встречаются при x=CB+π2|B|k,x=CB+π2|B|k, где kk — нечетное целое число.

Пример 5

График изменения секущей функции

Постройте график одного периода y=4сек(π3x−π2)+1.y=4сек(π3x−π2)+1.

Решение
  • Шаг 1. Выразите заданную функцию в виде y=4sec(π3x−π2)+1.y=4sec(π3x−π2)+1.
  • Шаг 2. Коэффициент растяжения/сжатия равен |A|=4.|А|=4.
  • Шаг 3. Период 2π|B|=2ππ3      =2π1⋅3π      =62π|B|=2ππ3      =2π1⋅3π      =6
  • Шаг 4. Фазовый сдвиг CB=π2π3   =π2⋅3π   =1,5CB=π2π3   =π2⋅3π   =1,5
  • Шаг 5. Нарисуйте график зависимости y=Asec(Bx),y=Asec(Bx), но сдвиньте его вправо на CB=1.5CB=1.5 и вверх на D=6.D=6.
  • Шаг 6. Нарисуйте вертикальные асимптоты, которые встречаются при x=0,x=3,x=0,x=3 и x=6.х=6. Имеется локальный минимум в точках (1,5,5)(1,5,5) и локальный максимум в точках (4,5,−3)(4,5,−3). График показан на рисунке 9.

Фигура 9

Попробуй это #5

Постройте график одного периода f(x)=−6sec(4x+2)−8.f(x)=−6sec(4x+2)−8.

вопросы и ответы

Доменом cscxcscx были заданы все xx, такие что x≠kπx≠kπ для любого целого числа k.k. Будет ли домен y=Acsc(Bx−C)+Dbex≠C+kπB?y=Acsc(Bx−C)+Dbex≠C+kπB?

Да.Исключенные точки области следуют вертикальным асимптотам. Их расположение показывает сдвиг по горизонтали и сжатие или расширение, подразумеваемые преобразованием входных данных исходной функции.

Как

Дана функция вида y=Acsc(Bx),y=Acsc(Bx), построить график за один период.

  1. Выразите функцию, заданную в виде y=Acsc(Bx).y=Acsc(Bx).
  2. |А|.|А|.
  3. Идентифицируйте BB и определите период, P=2π|B|.P=2π|B|.
  4. Нарисуйте график y=Asin(Bx).y=Asin(Bx).
  5. Используйте взаимосвязь между y=sinxy=sinx и y=cscxy=cscx для построения графика y=Acsc(Bx).y=Acsc(Bx).
  6. Нарисуйте асимптоты.
  7. Нанесите любые две контрольные точки и постройте график через эти точки.

Пример 6

График изменения функции косеканса

Постройте график одного периода f(x)=−3csc(4x).f(x)=−3csc(4x).

Решение
  • Шаг 1. Данная функция уже записана в общем виде, y=Acsc(Bx).y=Acsc(Bx).
  • Шаг 2. |A|=|−3|=3,|A|=|−3|=3, поэтому коэффициент растяжения равен 3.
  • Шаг 3. B=4,B=4, поэтому P=2π4=π2.P=2π4=π2. Период равен π2π2 единиц.
  • Шаг 4. Нарисуйте график функции g(x)=−3sin(4x).g(x)=−3sin(4x).
  • Шаг 5. Используйте взаимное соотношение функций синуса и косеканса, чтобы нарисовать функцию косеканса.
  • Шаги 6–7. Нарисуйте три асимптоты при x=0,x=π4,x=0,x=π4 и x=π2.x=π2. Мы можем использовать две контрольные точки: локальный максимум в точке (π8,−3)(π8,−3) и локальный минимум в точке (3π8,3)(3π8,3). График показан на рисунке 10.

    Фигура 10

Попробуй это #6

Постройте график одного периода f(x)=0,5csc(2x).f(x)=0,5csc(2x).

Как

Дана функция вида f(x)=Acsc(Bx−C)+D,f(x)=Acsc(Bx−C)+D, построить график с одним периодом.

  1. Выразите функцию, заданную в виде y=Acsc(Bx−C)+D.y=Acsc(Bx−C)+D.
  2. Определите коэффициент растяжения/сжатия, |A|.|A|.
  3. Найдите BB и определите период 2π|B|.2π|B|.
  4. Идентифицируйте CC и определите фазовый сдвиг, CB.CB.
  5. Нарисуйте график y=Acsc(Bx)y=Acsc(Bx), но сдвиньте его вправо на CBCB и вверх на D.D.
  6. Нарисуйте вертикальные асимптоты, которые встречаются при x=CB+π|B|k,x=CB+π|B|k, где kk — целое число.

Пример 7

Построение вертикально растянутого, горизонтально сжатого и вертикально сдвинутого косеканса

Нарисуйте график y=2csc(π2x)+1.y=2csc(π2x)+1. Каковы область и диапазон этой функции?

Решение
  • Шаг 1. Выразите заданную функцию в виде y=2csc(π2x)+1.y=2csc(π2x)+1.
  • Шаг 2. Определите коэффициент растяжения/сжатия, |A|=2.|А|=2.
  • Шаг 3. Период равен 2π|B|=2ππ2=2π1⋅2π=4,2π|B|=2ππ2=2π1⋅2π=4.
  • Шаг 4. Фазовый сдвиг равен 0π2=0,0π2=0.
  • Шаг 5. Нарисуйте график y=Acsc(Bx)y=Acsc(Bx), но сдвиньте его вверх D=1.D=1.
  • Шаг 6. Нарисуйте вертикальные асимптоты, которые встречаются при x=0,x=2,x=4.x=0,x=2,x=4.

График для этой функции показан на рисунке 11.

Фигура 11 Преобразованная функция косеканса

Анализ

Вертикальные асимптоты, изображенные на графике, отмечают один период функции, а локальные экстремумы на этом интервале показаны точками.Обратите внимание, как график преобразованного косеканса соотносится с графиком f(x)=2sin(π2x)+1,f(x)=2sin(π2x)+1, показанным оранжевой пунктирной волной.

Попробуй это #7

Имея график f(x)=2cos(π2x)+1f(x)=2cos(π2x)+1, показанный на рисунке 12, нарисуйте график g(x)=2sec(π2x)+1g(x)= 2sec(π2x)+1 по тем же осям.

Фигура 12

Анализ графика

y = кроватка x

Последняя тригонометрическая функция, которую нам нужно изучить, — это котангенс.Котангенс определяется обратным тождеством cotx=1tanx.cotx=1tanx. Обратите внимание, что функция не определена, когда функция тангенса равна 0, что приводит к вертикальной асимптоте на графике в точках 0, π, 0, π и т. д. Поскольку на выходе функции тангенса все действительные числа, выход функции котангенса также все действительные числа.

Мы можем построить график y=cotxy=cotx, наблюдая за графиком функции тангенса, потому что эти две функции являются обратными друг другу. См. рисунок 13. Там, где график функции тангенса уменьшается, график функции котангенса увеличивается.Там, где график функции тангенса увеличивается, график функции котангенса уменьшается.

График котангенса имеет вертикальные асимптоты для каждого значения xx, где tanx=0;tanx=0; мы показываем их на графике ниже пунктирными линиями. Поскольку котангенс является обратной величиной тангенса, cotxcotx имеет вертикальные асимптоты при всех значениях xx, где tanx=0,tanx=0, и cotx=0cotx=0 при всех значениях xx, где tanxtanx имеет свои вертикальные асимптоты.

Фигура 13 Котангенс функция

Характеристики графика

y = A кроватка( Bx )
  • Коэффициент растяжения |A|.|А|.
  • Период равен P=π|B|.P=π|B|.
  • Домен равен x≠π|B|k,x≠π|B|k, где kk — целое число.
  • Диапазон равен (−∞,∞).(−∞,∞).
  • Асимптоты находятся при x=π|B|k,x=π|B|k, где kk — целое число.
  • y=Acot(Bx)y=Acot(Bx) — нечетная функция.

Графические варианты

y = cot x

Мы можем преобразовать график котангенса почти так же, как мы сделали это для тангенса.Уравнение становится следующим.

y=Acot(Bx-C)+Dy=Acot(Bx-C)+D

Особенности графика

y = A кроватка( Bx −C)+ D
  • Коэффициент растяжения равен |A|.|A|.
  • Период равен π|B|.π|B|.
  • Домен: x≠CB+π|B|k,x≠CB+π|B|k, где kk — целое число.
  • Диапазон равен (−∞,∞).(−∞,∞).
  • Вертикальные асимптоты находятся при x=CB+π|B|k,x=CB+π|B|k, где kk — целое число.
  • Нет амплитуды.
  • y=Acot(Bx)y=Acot(Bx) — нечетная функция, поскольку она является отношением четной и нечетной функций (косинуса и синуса соответственно)

Как

Дана модифицированная функция котангенса вида f(x)=Acot(Bx),f(x)=Acot(Bx), начертите один период.

  1. Выразите функцию в виде f(x)=Acot(Bx).f(x)=Acot(Bx).
  2. Определите коэффициент растяжения, |A|.|A|.
  3. Определите период, P=π|B|.Р=π|В|.
  4. Нарисуйте график y=Atan(Bx).y=Atan(Bx).
  5. Нанесите любые две опорные точки.
  6. Используйте обратную связь между тангенсом и котангенсом, чтобы построить график y=Acot(Bx).y=Acot(Bx).
  7. Нарисуйте асимптоты.

Пример 8

График изменения функции котангенса

Определите коэффициент растяжения, период и фазовый сдвиг y=3cot(4x),y=3cot(4x), а затем нарисуй график.

Решение
  • Шаг 1. Выражение функции в виде f(x)=Acot(Bx)f(x)=Acot(Bx) дает f(x)=3cot(4x).f(x)=3cot(4x) ).
  • Шаг 2. Коэффициент растяжения равен |A|=3.|A|=3.
  • Шаг 3. Период P=π4.P=π4.
  • Шаг 4. Нарисуйте график y=3tan(4x).y=3tan(4x).
  • Шаг 5. Нанесите две контрольные точки.Двумя такими точками являются (π16,3)(π16,3) и (3π16,−3).(3π16,−3).
  • Шаг 6. Используя обратную зависимость, нарисуйте y=3cot(4x).y=3cot(4x).
  • Шаг 7. Нарисуйте асимптоты, x=0,x=π4.x=0,x=π4.

Синий график на рис. 14 показывает y=3tan(4x)y=3tan(4x), а зеленый график показывает y=3cot(4x).y=3cot(4x).

Фигура 14

Как

Дана модифицированная функция котангенса вида f(x)=Acot(Bx−C)+D,f(x)=Acot(Bx−C)+D, начерти один период.

  1. Выразите функцию в виде f(x)=Acot(Bx−C)+D.f(x)=Acot(Bx−C)+D.
  2. Определите коэффициент растяжения, |A|.|A|.
  3. Определите период, P=π|B|.P=π|B|.
  4. Определить фазовый сдвиг, CB.CB.
  5. Нарисуйте график y=Atan(Bx)y=Atan(Bx), сдвинутый вправо на CBCB и вверх на D.D.
  6. Нарисуйте асимптоты x=CB+π|B|k,x=CB+π|B|k, где kk — целое число.
  7. Нанесите любые три контрольные точки и проведите график через эти точки.

Пример 9

Построение модифицированного котангенса

Нарисуйте график одного периода функции f(x)=4cot(π8x−π2)−2.f(x)=4cot(π8x−π2)−2.

Решение
  • Шаг 1. Функция уже записана в общем виде f(x)=Acot(Bx−C)+D.f(x)=Acot(Bx−C)+D.
  • Шаг 2. A=4,A=4, поэтому коэффициент растяжения равен 4.
  • Шаг 3. B=π8,B=π8, поэтому период равен P=π|B|=ππ8=8.P=π|B|=ππ8=8.
  • Шаг 4. C=π2,C=π2, поэтому фазовый сдвиг равен CB=π2π8=4.CB=π2π8=4.
  • Шаг 5. Рисуем f(x)=4tan(π8x−π2)−2.f(x)=4tan(π8x−π2)−2.
  • Шаг 6-7. Три точки, которые мы можем использовать для направления графика: (6,2),(8,−2),(6,2),(8,−2) и (10,−6).(10,−6) ). Мы используем взаимное соотношение тангенса и котангенса, чтобы нарисовать f(x)=4cot(π8x−π2)−2.f(x)=4cot(π8x−π2)−2.
  • Шаг 8. Вертикальные асимптоты: x=4x=4 и x=12.x=12.

График показан на рисунке 15.

Фигура 15 Один период модифицированной функции котангенса

Использование графиков тригонометрических функций для решения реальных задач

Многие сценарии реального мира представляют периодические функции и могут быть смоделированы с помощью тригонометрических функций. В качестве примера вернемся к сценарию из открытия раздела.Вы когда-нибудь наблюдали за лучом, образованным вращающимся светом на пожарной машине, и задумывались о движении самого светового луча по стене? Периодическое поведение расстояния, на которое светит свет, как функции времени очевидно, но как определить расстояние? Мы можем использовать функцию касательной.

Пример 10

Использование тригонометрических функций для решения реальных сценариев

Предположим, что функция y=5tan(π4t)y=5tan(π4t) отмечает расстояние при движении светового луча от верха полицейской машины через стену, где tt — время в секундах, а yy — расстояние в футах. с точки на стене прямо напротив полицейской машины.

  1. ⓐ Найдите и интерпретируйте коэффициент растяжения и период.
  2. ⓑ График на интервале [0,5].[0,5].
  3. ⓒ Вычислите f(1)f(1) и обсудите значение функции на этом входе.
Решение
  1. ⓐ Из общей формы y=Atan(Bt)y=Atan(Bt) мы знаем, что |A||A| — коэффициент растяжения, а πBπB — период.

    Фигура 16

    Мы видим, что коэффициент растяжения равен 5.Это означает, что луч света переместится на 5 футов за половину периода.

    Период равен ππ4=π1⋅4π=4.ππ4=π1⋅4π=4. Это означает, что каждые 4 секунды луч света проходит по стене. Расстояние от точки напротив полицейской машины увеличивается по мере приближения полицейской машины.

  2. ⓑ Чтобы построить график функции, мы рисуем асимптоту при t=2t=2 и используем коэффициент растяжения и период. См. рис. 17.

    Фигура 17

  3. ⓒ период: f(1)=5tan(π4(1))=5(1)=5;f(1)=5tan(π4(1))=5(1)=5; через 1 секунду луч сместился на 5 футов от точки напротив полицейской машины.

6.2 Секционные упражнения

Устный
1 .

Объясните, как можно использовать график функции синуса для построения графика y=cscx.y=cscx.

2 .

Как можно использовать график y=cosxy=cosx для построения графика y=secx?y=secx?

3 .

Объясните, почему период tanxtanx равен π.π.

4 .

Почему на графике y=cscx?y=cscx нет точек пересечения?

5 .

Как период y=cscxy=cscx соотносится с периодом y=sinx?y=sinx?

Алгебраический

В следующих упражнениях сопоставьте каждую тригонометрическую функцию с одним из следующих графиков.

Фигура 18

Для следующих упражнений найдите период и горизонтальный сдвиг каждой из функций.

10 .

f(x)=2tan(4x−32)f(x)=2tan(4x−32)

11 .

ч(х)=2сек(π4(х+1))ч(х)=2сек(π4(х+1))

12 .

m(x)=6csc(π3x+π)m(x)=6csc(π3x+π)

13 .

Если tanx=-1,5,tanx=-1,5, найти tan(-x).tan(-x).

14 .

Если secx=2,secx=2, найти sec(-x).sec(-x).

15 .

Если cscx=-5,cscx=-5, найти csc(-x).csc(-x).

16 .

Если xsinx=2,xsinx=2, найти (−x)sin(−x).(−x)sin(−x).

Для следующих упражнений перепишите каждое выражение так, чтобы аргумент xx был положительным.

17 .

детская кроватка (-x) cos (- x) + грех (- x) детская кроватка (- x) cos (- x) + грех (- x)

18 .

cos(-x)+tan(-x)sin(-x)cos(-x)+tan(-x)sin(-x)

Графический

Для следующих упражнений нарисуйте два периода графика для каждой из следующих функций. Определите коэффициент растяжения, период и асимптоты.

19 .

f(x)=2tan(4x−32)f(x)=2tan(4x−32)

20 .

ч(х)=2сек(π4(х+1))ч(х)=2сек(π4(х+1))

21 .

m(x)=6csc(π3x+π)m(x)=6csc(π3x+π)

22 .

j(x)=tan(π2x)j(x)=tan(π2x)

23 .

p(x)=tan(x−π2)p(x)=tan(x−π2)

25 .

f(x)=tan(x+π4)f(x)=tan(x+π4)

26 .

f(x)=πtan(πx−π)−πf(x)=πtan(πx−π)−π

28 .

f(x)=-14csc(x)f(x)=-14csc(x)

29 .

f(x)=4сек(3x)f(x)=4сек(3x)

30 .

f(x)=−3cot(2x)f(x)=−3cot(2x)

31 .

f(x)=7сек(5x)f(x)=7сек(5x)

32 .

f(x)=910csc(πx)f(x)=910csc(πx)

33 .

f(x)=2csc(x+π4)−1f(x)=2csc(x+π4)−1

34 .

f(x)=−sec(x−π3)−2f(x)=−sec(x−π3)−2

35 .

f(x)=75csc(x−π4)f(x)=75csc(x−π4)

36 .

f(x)=5(кроватка(x+π2)−3)f(x)=5(кроватка(x+π2)−3)

В следующих упражнениях найдите и начертите график двух периодов периодической функции с заданным коэффициентом растяжения, |A|,|A|, периодом и фазовым сдвигом.

37 .

Касательная кривая, A=1,A=1, период π3;π3; и фазовый сдвиг (h,k)=(π4,2)(h,k)=(π4,2)

38 .

Касательная кривая, A=−2,A=−2, период π4,π4 и сдвиг фазы (h,k)=(−π4,−2)(h,k)=(−π4,−2)

Для следующих упражнений найдите уравнение для графика каждой функции.

40 . 42 . 44 .
Технология

В следующих упражнениях используйте графический калькулятор для построения графика двух периодов заданной функции.Примечание: большинство графических калькуляторов не имеют кнопки косеканса; поэтому вам нужно будет ввести cscxcscx как 1sinx.1sinx.

46 .

f(x)=|csc(x)|f(x)=|csc(x)|

47 .

f(x)=|кроватка(x)|f(x)=|кроватка(x)|

49 .

f(x)=csc(x)сек(x)f(x)=csc(x)сек(x)

50 .

График f(x)=1+sec2(x)−tan2(x).f(x)=1+sec2(x)−tan2(x). Какая функция изображена на графике?

51 .

f(x)=сек(0,001x)f(x)=сек(0,001x)

52 .

f(x)=раскладушка(100πx)f(x)=раскладушка(100πx)

53 .

f(x)=sin2x+cos2xf(x)=sin2x+cos2x

Реальные приложения
54 .

Функция f(x)=20tan(π10x)f(x)=20tan(π10x) отмечает расстояние при движении луча света от полицейской машины через стену за время x,x, в секундах, и расстояние f (х),f(х), в ногах.

  1. ⓐ График на интервале [0,5].[0,5].
  2. ⓑ Найдите и интерпретируйте коэффициент растяжения, период и асимптоту.
  3. ⓒ Вычислите f(1)f(1) и f(2.5)f(2.5) и обсудите значения функции на этих входах.
55 .

Стоя на берегу озера, рыбак замечает вдалеке слева от себя лодку. Пусть х, х, измеренные в радианах, будут углом, образованным линией прямой видимости на корабль и линией строго на север от его положения. Предположим, что направление на север равно 0, а xx измеряется отрицательным значением слева и положительным значением справа.(См. рис. 19.) Лодка движется строго с запада на восток, и, игнорируя кривизну Земли, расстояние d(x),d(x) в километрах от рыбака до лодки определяется функцией d(x)=1,5 с(x).d(x)=1,5 с(x).

  1. ⓐКакова разумная область для d(x)?d(x)?
  2. ⓑ График d(x)d(x) в этой области.
  3. ⓒ Найдите и обсудите значение любых вертикальных асимптот на графике d(x).d(x).
  4. ⓓРассчитать и интерпретировать d(−π3).d(−π3). Округлить до второго десятичного знака.
  5. ⓔРассчитать и интерпретировать d(π6).d(π6). Округлить до второго десятичного знака.
  6. ⓕКаково минимальное расстояние между рыбаком и лодкой? Когда это происходит?

Фигура 19

56 .

Лазерный дальномер зафиксировал комету, приближающуюся к Земле. Расстояние g(x),g(x) в километрах от кометы через xx дней, для xx в интервале от 0 до 30 дней, определяется выражением g(x)=250 000csc(π30x).г(х)=250 000 csc(π30x).

  1. ⓐ График g(x)g(x) на интервале [0,30].[0,30].
  2. ⓑ Оценить g(5)g(5) и интерпретировать информацию.
  3. ⓒ Какое минимальное расстояние между кометой и Землей? Когда это происходит? Какой константе в уравнении это соответствует?
  4. ⓓ Найдите и обсудите значение любых вертикальных асимптот.
57 .

Видеокамера направлена ​​на ракету на стартовой площадке в 2 милях от камеры.Угол подъема от земли до ракеты через xx секунд равен π120x.π120x.

  1. ⓐНапишите функцию, выражающую высоту h(x),h(x) ракеты над землей через xx секунд в милях. Не учитывать кривизну Земли.
  2. ⓑГрафик h(x)h(x) на интервале (0,60).(0,60).
  3. ⓒОценить и интерпретировать значения h(0)h(0) и h(30).h(30).
  4. ⓓЧто происходит со значениями h(x)h(x) как xx приближается к 60 секундам? Интерпретируйте значение этого с точки зрения проблемы.

График функции косинуса

тригонометрические отношения также можно рассматривать как функции переменной, являющейся мерой угла. Эта угловая мера может быть либо задана в градусов или радианы . Здесь мы будем использовать радианы.

График косинус функция у знак равно потому что ( Икс ) выглядит так:

Свойства функции косинуса, у знак равно потому что ( Икс ) .

Домен : ( − ∞ , ∞ )

Диапазон : [ − 1 , 1 ] или − 1 ≤ у ≤ 1

у -перехват : ( 0 , 1 )

Икс -перехват : ( н π 2 , 0 ) , куда н является целым числом.

Период: 2 π

Непрерывность: непрерывно вкл. ( − ∞ , ∞ )

Симметрия: у -ось (четная функция)

Максимальное значение у знак равно потому что ( Икс ) происходит, когда Икс знак равно 2 н π , куда н является целым числом.

Минимальное значение у знак равно потому что ( Икс ) происходит, когда Икс знак равно π + 2 н π , куда н является целым числом.

Амплитуда и период функции косинуса

Амплитуда графика у знак равно а потому что ( б Икс ) это величина, на которую она изменяется выше и ниже Икс -ось.

Амплитуда = | а |

Период функции косинуса – это длина кратчайшего интервала на Икс -ось, по которой повторяется график.

Период = 2 π | б |

Пример:

Нарисуйте графики у знак равно потому что ( Икс ) и у знак равно 2 потому что ( Икс ) .Сравните графики.

Для функции у знак равно 2 потому что ( Икс ) , график имеет амплитуду 2 . С б знак равно 1 , график имеет период 2 π . Таким образом, он циклически повторяется один раз из 0 к 2 π с одним максимумом 2 , и один минимум − 2 .

Обратите внимание на графики у знак равно потому что ( Икс ) и у знак равно 2 потому что ( Икс ) . У каждого одинаковые Икс — перехватывает, но у знак равно 2 потому что ( Икс ) имеет амплитуду, в два раза превышающую амплитуду у знак равно потому что ( Икс ) .

Также см Тригонометрические функции .

(PDF) Изучение использования динамической онлайн-программы для обучения и изучения тригонометрических графов 13 Original Research

ее знания о тригонометрических графиках «повысились

, потому что, как я уже сказал, вы можете увидеть это… проще» (LI, 14 июня 2013 г.).

Важно отметить, что учащиеся могут преодолеть языковые

и другие проблемы в математике с помощью динамического онлайн-программного обеспечения

.Технологические инструменты создают внешний образ

, который транспонируется в текущие знания.

Задания на самопознание, такие как второй рабочий лист в этом исследовании,

позволяют учащимся исследовать, замечать и делать обобщения

до того, как учитель сможет им это объяснить.

Заключение

Это исследование было направлено на изучение последствий использования динамического онлайн-программного обеспечения

при обучении тригонометрическим

графикам группы учащихся 10-го класса по математике.Использование технологии

на уроках математики не ново.

Многие технологические инструменты доступны и могут использоваться

в математике. Учителя используют слайды, фильмы, кассетные

плееры, проекторы данных и кодоскопы, чтобы обогатить процесс преподавания и обучения.

В этом исследовании было очевидно, что использование динамической онлайн-среды

позволило учащимся разработать обоснованные

и улучшить математическое понимание тригонометрических

графиков.Динамическая онлайн-среда позволила

визуализировать каждый тригонометрический график и сократить

сложные вычисления, что позволило

учащемуся сосредоточиться на важных и критических идеях. Программа Geogebra

позволяла учащимся получать немедленную обратную связь. Это помогло

мотивировать и повысить уровень уверенности учащихся

при работе с тригонометрическими графами в математике.

Кроме того, динамическая

онлайн-среда предоставила

платформу для общения учащихся во внеурочное время и

помогла преодолеть проблемы, связанные с языковыми

барьерами в математике.Благодаря активному участию в

уроках учащиеся достигли и продемонстрировали конкретное

понимание тригонометрических графиков.

На основе анализа данных, собранных из обоих рабочих листов

, было очевидно, что учащиеся лучше справились со вторым рабочим листом

. Этот рабочий лист был заполнен в динамической онлайн-среде

. Было очевидно, что

навыки и знания учащихся, связанные с ответами на вопросы, основанные на

тригонометрических графиках, улучшились.Основываясь на отзывах учащихся

, эти улучшенные знания и навыки были связаны

с тем, что учащиеся контролировали свое собственное обучение и

искали немедленную обратную связь и взаимодействие, что было

возможным в динамической онлайн-среде.

Кроме того, использование технических средств в классе

, вероятно, поможет учащимся приобрести компьютерные навыки и знания.

Благодаря знакомству с инструментами, основанными на технологиях, учащиеся могут

стать компетентными в своих компьютерных навыках, что приведет к

уверенному в себе технически подкованному поколению.Хотя использовалось динамическое

онлайн-программное обеспечение, учитель не отсутствовал в

процессе преподавания и обучения. Учитель выступал в роли фасилитатора

, что было фундаментальным и критически важным для онлайн-обучения

. Учитель сыграл важную роль в развитии

и развитии математических знаний учащихся.

Несмотря на признание того, что использование

инструментов, основанных на технологиях, улучшает обучение, ряд школ и

учителей сталкиваются с различными препятствиями, связанными со стоимостью, отсутствием опыта, отсутствием необходимой инфраструктуры ,

сопротивление изменению традиционных методов обучения,

отсутствие подключения, необходимого для доступа к Интернет-услугам, как

, а также отсутствие электричества.Таким образом, важно, чтобы преподаватели

и учащиеся не зависели полностью от технических средств

при обучении математике. Сочетание практических занятий и

технологичных занятий повышает уровень понимания

учащихся и уверенность в математике. Таким образом,

,

, позволяющая сочетать современные и традиционные стратегии преподавания и обучения на уроках математики

, обогащает учебный процесс.

Благодарности

Мы хотели бы поблагодарить отдел преподавания и обучения

Университета Квазулу-Натал за финансирование части этого исследования.

Мнения, выраженные здесь, принадлежат авторам и

не обязательно отражают позицию, политику или поддержку

университета.

Конкурирующие интересы

Никакие финансовые или личные отношения не должным образом повлияли

на написание этой статьи.

Вклад авторов

J.N. (Университет Квазулу-Наталь) и Р.Г. (Kingsway

High School) в равной степени участвовал в разработке дизайна и написании статьи

, а также в подготовке рукописи к публикации

.

Ссылки

Энтони Г. и Уолшоу М. (2009). Характеристики эффективного преподавания

математики: взгляд с Запада. Журнал математического образования, 2(2),

147–164.Доступно по адресу hp://educaonforatoz.org/images/_9734_12_Glenda_

Anthony.pdf

Bertram, C. (2010). Исследовательские проекты и стили исследований. In E. Dempster, &

A. James (Eds.), Understanding research – Introduction to Read research (стр.

33–52). Дурбан: педагогический факультет Университета Квазулу-Наталь.

Бихельмейер, Б.А. (2005). Модель ADDIE — метафора отсутствия ясности в области

теории учебного дизайна.Доступно по адресу hp://www.indiana.edu/~idt/

shortpapers/documents/IDTf_Bic.pdf

Clements, D.H., Julie, S., Yelland, N.J., & Glass, B. (2008). Обучение и преподавание

геометрии с помощью компьютеров в начальной и средней школе. В М. Кэтлин,

и Г.В. Блюм (ред.), Исследования в области технологий и преподавания и обучения

математики: Том 1, исследовательские синтезы (стр. 109–154). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк:

Information Age Publishing, Inc.

Данкс, С. (2011). Модель ADDIE: разработка, оценка эффективности учебного тренера

. Краткий обзор начального и среднего образования ASQ, 4(5), 1–6.

Де Вильерс, М. (2013, июль). Занимаюсь геометрией в интернете. Доклад, представленный на региональной конференции AMESA

«Математика: обучение для понимания», Университет

Квазулу-Натал, кампус Эджвуд, Дурбан.

Департамент базового образования. (2011). Заявление о политике оценки учебной программы

Математика.Претория: DBE.

Энгельбрехт, Дж., и Хардинг, А. (2005). Преподавание математики в бакалавриате в Интернете

. Образовательные исследования по математике, 58(2), 235–252. hp://dx.doi.

org/10.1007/s10649-005-6456-3

Говендер Р.Г. (2013). Тригонометрические графики. Доступно по адресу hp://govenderrg.

wikispaces.com/Trigonometry+Graphs

Hannum, W.H. (2005). Развитие учебных систем: тридцатилетняя ретроспектива.

Образовательные технологии, 45(4), 5–21.

Хёлер, Дж. (2013, август). Что нового и модного в мобильных и успешно

монетизированных приложениях? Документ представлен на Ежегодном собрании Ассоциации мобильного маркетинга

, Умхланга, Дурбан.

Тригонометрические функции

М. Борна

Зачем изучать тригонометрические функции…?

Триггерные функции очень важны в технических предметах, таких как наука, инженерия, архитектура и даже медицина.Вы будете сталкиваться с ними все время, так что стоит хорошенько их выучить!

Съемка — одно из многих приложений. Строители дорог, строители мостов и те, чья работа заключается в том, чтобы возводить здания в нужном месте, — все используют тригонометрию в своей повседневной работе.

Чтобы узнать больше о приложениях и примерах тригонометрии в интерактивной математике, ознакомьтесь со многими вариантами использования тригонометрии. См. также: Математические советы — Тригонометрия.

В этой главе мы начнем с объяснения основных тригонометрических функций с использованием градусов (°), а в последней части главы мы узнаем о радианах и о том, как они используются в тригонометрии.

Связанные разделы в «Интерактивной математике»

Графики тригонометрических функций, которые действительно помогают понять, что происходит в тригонометрии.

Аналитическая тригонометрия, которая включает формулы двойного угла, тригонометрические соотношения суммы двух углов, тригонометрические уравнения и обратные тригонометрические уравнения.

Полярные координаты, которые работают так же, как темы в этой главе.

Производные трансцендентных функций, в котором показано, как различать функции sin, cos, tan, csc, sec и cot.

Интеграция с использованием тригонометрических форм, где мы видим, как наши знания тригонометрии могут упростить исчисление.

Линейный спектр в ряду Фурье, который является расширенным приложением тригонометрии.

И, конечно же, не пропустите сводку «Использование тригонометрии».

В этой главе

1. Углы — строительные блоки тригонометрии. В градусов .

2. Синус, косинус, тангенс и обратные числа — эти дроби являются ключом для всех будущих исследований по тригонометрии.

3. Значения тригонометрических функций. Почему sin 30° = 0,5?

4. Прямоугольный треугольник и приложения — включает угол наклона n и угол подъема .

5. Знаки тригонометрических функций — в этом нет ничего страшного, если вспомнить, как мы определяем основные соотношения. Включает интерактивный документ , в котором показано, как работают соотношения углов больше 90 градусов.

6. Тригонометрические функции любого угла — не сдавайтесь в этом разделе!

7.Радианы — альтернатива градусам — и многое другое.

8. Применение радианной меры — включает длину дуги, площадь сектора , угловую скорость , игру и шкивы.

9. Радианы и тригонометрические отношения — как работает тригонометрия, когда мера угла составляет радиан .

Эта глава начинается с некоторых напоминаний об Ангелах.

ACT Тригонометрия: полное руководство

Тригонометрия — это раздел математики, изучающий прямоугольные треугольники и отношения между их сторонами и углами.(Слово «триггер» связано со словом «треугольник», чтобы вам было легче запомнить.)

Как правило, в ACT будет около 4-6 вопросов, связанных с тригонометрией (в официальных рекомендациях ACT говорится, что тригонометрические задачи составляют 7% теста). На первый взгляд они могут показаться сложными, но большинство из них сводится к нескольким простым понятиям.

Эта статья станет вашим исчерпывающим руководством по тригонометрии, которое вам необходимо знать для ACT. Мы познакомим вас со значением тригонометрии, формулами и пониманием, которые вам необходимо знать, и как решить некоторые из самых сложных задач тригонометрии ACT.

 

Что такое тригонометрия и как ее использовать?

Тригонометрия изучает отношения между сторонами и углами прямоугольных треугольников. Отношения между мерами сторон прямоугольного треугольника и мерами его углов постоянны, независимо от того, насколько велик или мал треугольник.

 

Некоторые из множества возможных типов прямоугольных треугольников.

 

Если вы знаете одну меру стороны и один угол, отличный от 90° прямоугольного треугольника, вы сможете определить остальные стороны и углы треугольника.2=340$

$c=√340$ или $c=2√85$

Но что, если у нас есть только одна длина стороны и мера одного из углов (отличных от девяноста градусов)?

Хотя у нас есть только длина одной стороны, мы можем найти остальные с помощью тригонометрии, потому что у нас есть мера одного из острых углов.

Итак, здесь мы могли бы сказать $sin 34° =12/\гипотенуза\$

Итак, $\гипотенуза\ = 12/{sin 34°}$

Не беспокойтесь, если это еще не имеет для вас смысла! Мы разберем каждый шаг по мере продвижения в руководстве.

(Примечание: чтобы найти фактическую градусную меру угла с использованием двух длин сторон, вам придется выполнить вычисление обратной функции (также называемой функцией «дуги»). Сделай это! Что касается подготовки к экзамену по математике, имейте в виду, что в тесте вам будет предложено вычислить только достаточно далеко, чтобы сказать, например, «$Косинус‌x=4/5$». Вам никогда не придется находить реальную меру угла. х по акту.

Мы находим эти меры, понимая отношение некоторых сторон треугольника к соответствующим им углам. Это так называемые тригонометрические функции, и есть три, которые вы должны запомнить для ACT: синус, косинус и тангенс. Проще всего это понять через мнемоническое устройство SOH, CAH, TOA , которое мы немного обсудим.>/p>

Тригонометрия широко используется в навигации, а также при вычислении высот и расстояний. (На случай, если вам интересно, нужен ли вам триггер в реальной жизни.)

 

Наиболее распространенные вопросы о триггерах ACT

Вопросы по тригонометрии в ACT можно разделить на несколько категорий.Мы предоставили несколько реальных математических примеров ACT, чтобы продемонстрировать каждую концепцию.

#1: Нахождение синуса, косинуса или тангенса (реже косеканса, секанса или котангенса) угла по заданной диаграмме прямоугольного треугольника.

 

#2: Нахождение синуса, косинуса или тангенса прямоугольного треугольника из текстовой задачи.

Алекс прислоняет лестницу к стене. Лестница образует угол 23° от земли. Если длина лестницы 10 футов, как можно найти расстояние от основания лестницы до стены?

А.10 $‌тан‌23°$

Б. 10 $‌sin‌23°$

C. 10 $‌cos‌23°$

Д. $cos‌{10/23}$

E. $sin{10/23}$

 

#3: Нахождение синуса, косинуса или тангенса (или, реже, косеканса, секанса или котангенса) угла по заданным sin, cos или tan и диапазону, в который попадает угол.

Если $tan‌Θ=3/4 \и 180°<Θ<270°$, что такое $sinΘ$?

А. $4/3$

Б. $-4/3$

C. $-3/4$

Д.$3/5$

E. $-3/5$

 

#4: Нахождение периода или амплитуды графика.

Какова амплитуда графика?

А. 1

Б. 2

К. №

Д. 2π

Э. 0

 

#5: Вопрос о законе синусов или законе косинусов.

На такой вопрос вам дадут формулы закона синусов или закона косинусов , так что вам не придется беспокоиться о их запоминании.Однако наличие формулы не сильно вам поможет, если она выглядит или звучит для вас как тарабарщина. Когда вы изучите это руководство, ответите на предложенные нами практические вопросы по математике ACT и ознакомитесь с языком тригонометрии, используемым в этих вопросах, их станет намного легче решать.

Мы рассмотрим, как решать каждую из этих задач, , но это дает вам представление о том, как будут выглядеть задачи с триггерами ACT на тесте.

 

СОХ, КАХ, ТОА

Помните эту знаменитую мнемонику? Это спасет вашу жизнь.Давайте пройдемся по каждому.

 

SOH (синус)

Синус — это функция, в которой значение синуса (также называемого «sin») угла тета можно найти, используя отношение стороны треугольника, противоположной углу тета, к гипотенузе треугольника.

SOH : S в $Θ$ = O прямая сторона треугольника/ H yпотенуза треугольника

Итак, в этом треугольнике $sin‌Θ=b/c$, потому что сторона, противоположная углу $Θ$, равна b , а гипотенуза равна c .

 

CAH (Косинус)

Косинус — это функция, в которой значение косинуса (также называемого «$cos$») угла тета ($Θ$) можно найти, используя отношение стороны треугольника, примыкающей к углу $Θ$ (т. е. не гипотенуза) над гипотенузой треугольника.

CAH : C os $Θ$ = A смежная сторона треугольника/ H yпотенуза треугольника

Примечание: смежная сторона означает сторону треугольника, которая касается угла/помогает образовать угол $Θ$.

В этом же треугольнике $cos‌Θ=a/c$, потому что сторона, примыкающая к углу $Θ$, равна a , а гипотенуза равна c .

 

ТОА (Касательная)

Тангенс — это функция, в которой значение тангенса (также называемого «тангенсом») угла тета можно найти, используя отношение стороны треугольника, противоположной углу тета, к прилежащей стороне треугольника к тета (это не гипотенуза).

TOA : T и $Θ$ = O противоположная сторона треугольника/ A смежная сторона треугольника.

В этом же треугольнике $tan‌Θ=b/a$, потому что сторона, противоположная углу $Θ$, равна b , а смежная сторона равна a .

 

Теперь, когда вы знакомы со своими мнемоническими приемами, вы можете составлять вопросы в несколько этапов. Например, чуть более сложный вопрос может выглядеть примерно так:

.

Вам известны длины двух сторон треугольника, но для решения задачи вам нужна длина третьей стороны.2=21$

$х=√21$

Теперь, когда у вас есть мера третьей стороны, вы можете найти $tan‌B$.

$Tan‌B=\Противоположный/\Смежный$

$TanB=√21/2$

Итак, ответ F , $√21/2$

 

Какие стороны являются противоположными или смежными?

Гипотенуза треугольника всегда остается неизменной, но противоположные или соседние стороны меняются в зависимости от угла фокусировки.

Например, если вы пытаетесь найти $sin$ угла $γ$, вы должны использовать отношение $b/c$; если вы пытаетесь найти грех угла $ξ$, вы должны использовать отношение $a/c$.2=44$

$х=√44$

Теперь $sin$ = $\opposite/\hypotenuse$, поэтому $sin‌M=√44/12$.

Итак, ответ К.

Нет необходимости находить градусную меру (арксинус или арксинус) угла M на калькуляторе — это все, что вам нужно.

Вам также могут быть даны значение угла и длина стороны знаменателя вашего соотношения. Когда это произойдет, поработайте с уравнением так же, как с алгебраическим уравнением, и умножьте противоположную сторону на знаменатель.

$sin Θ = \противоположная/\гипотенуза$

$гипотенуза$*sinΘ =$ напротив

Поскольку вас спрашивают о длине лодки до причала, а эта сторона противоположна углу 52°, вы знаете, что вам понадобится либо sin, либо tan (потому что используются смежная и гипотенуза, а не противоположная).

Вам также дается длина смежных , 30 миль, так что вы будете использовать загар. (Вы можете сказать, что эта сторона смежная, потому что сторона, противоположная углу 90 °, является гипотенузой, поэтому 30 миль должны быть еще одним катетом треугольника).

$tan‌Θ=\напротив/\смежный$

Итак, $tan‌52°=x/30$

30‌ $tan‌52°=x$

Итак, ответ F , длина лодки до причала 30 тан 52°.

И снова со словом «проблема» из предыдущего.

Алекс прислоняет лестницу к стене. Лестница образует угол 23° от земли. Если длина лестницы 10 футов, как можно найти расстояние от основания лестницы до стены?

А.10 ‌$тан‌23°$

Б. 10‌ $sin‌23°$

C. 10 $‌cos‌23°$

Д. $cos‌10/23$

E. $sin‌10/23$

Сначала нарисуйте свою картинку, чтобы было легче визуализировать то, о чем вас спрашивают.


Таким образом, мы имеем расстояние между лестницей и землей $23°$. Также работаем с длинами прилежащей стороны треугольника и гипотенузы. Это означает, что нам понадобится косинус, так как $cos‌Θ=\opposite/\hypoteneuse$

Итак, $cos‌23°=\adjacent/10$ (Почему 10? Длина лестницы 10 футов)

Получается 10 $‌cos‌23°=\adjacent$

Итак, ответ C , 10 $‌cos‌23°$

 

Должен ли я найти меру угла?

Короткий ответ: нет, вас не попросят найти точную меру угла в градусах с помощью тригонометрии.2)}$

 

Когда Sin, Cos и Tan положительные или отрицательные?

В зависимости от того, где находится треугольник в двухмерном пространстве, значения sin, cos и tan будут отрицательными или положительными.

В двухмерном пространстве есть четыре квадранта, разделенных по осям x и y.

  • В квадранте I и x, и y положительны.
  • В квадранте II x отрицательный, а y положительный
  • В квадранте III и x, и y отрицательны
  • И в квадранте IV x положительный, а y отрицательный

Как и в случае со значениями x и y, sin, cos и tan могут быть положительными или отрицательными в зависимости от квадранта, в котором находится треугольник/угол.

  • В квадранте I все положительные
  • В квадранте II sin положителен, а cos и tan отрицательны
  • В квадранте II tan положительный, а sin и cos отрицательные
  • В квадранте IV cos положителен, а sin и tan отрицательны

Хороший способ запомнить это — использовать мнемоническую аббревиатуру ASTC — A ll S tudents T ake C hemistry — чтобы увидеть, какая из функций положительна, в зависимости от квадранта.

So A ll положительны в квадранте I, S in положительны в квадранте II, T an положительны в квадранте III и C os положительны в квадранте IV

Если $tan‌Θ=3/4$ и $180°<Θ<270°$, что такое $sinΘ$?

А. $4/3$

Б. $−4/3$

C. $-3/4$

Д. $3/5$

E. $-3/5$

Чтобы решить эту задачу, сначала определите длины сторон треугольника, используя теорему Пифагора (или используя свои знания о треугольниках 3-4-5).2=25$

$с=5$

Итак, наша гипотенуза равна 5.

Мы знаем, что $sin Θ = \противоположная/\гипотенуза$. Итак, $sin‌Θ=3/5$.

Но подождите! Мы еще не закончили. Поскольку нам сказали, что $Θ$ лежит между $180°$ и $270°$, мы знаем, что значение sin $Θ$ отрицательно. Согласно ASTC, только тангенс угла $Θ$ будет положительным между $180°$ и $270°$.

Итак, наш окончательный ответ: E ,$-3/5$

 

Дополнительные триггерные функции

В редких случаях на ACT вас попросят дать одну из вторичных функций триггера.Это косеканс, секанс и котангенс. Они появятся максимум в одном вопросе за тест.

Вы могли заметить, что они звучат похоже на основные триггерные функции, о которых вы узнали выше. На самом деле, эти вторичные функции являются обратными (обратными) sin, cos и tangens.

Чтобы помочь вам вспомнить, что есть что, посмотрите на третью букву каждого слова:

  • Co с экант = обратный с ине
  • Se c ant = обратный c озин
  • Co t угол = обратный t угол

Косеканс

Косеканс является обратной величиной синуса.$Косеканс Θ = \гипотенуза/\противоположная$

Секущая

Секанс является обратной величиной косинуса. $секанс Θ = \гипотенуза/\прилегающая$

Котангенс

Котангенс является обратной величиной тангенса. $Котангенс Θ = \смежный/\противоположный$

 

Полезные формулы с Sin, Cos и Tan

В ACT время от времени появляются две формулы. Если вы чувствуете, что не можете больше запоминать тригонометрию, не беспокойтесь о том, чтобы запомнить их — они будут встречаться максимум в одном вопросе за тест .2{x})$, что также равно 1.

Итак, у нас есть 1 + 1 = 2

Окончательный ответ H , 2.

 

$$(sin‌Θ)/(cos‌Θ)=tan‌Θ$$

Это уравнение имеет логический смысл, если представить его с помощью диаграммы. Скажем, у вас есть треугольник, похожий на этот

.

$Sin Θ$ будет $5/13$. $Cos Θ$ будет $12/13$. $Tan Θ$ будет $5/12%.

Вы также можете сказать $tan‌Θ={sin‌Θ}/{cos‌Θ}={5/14}/{12/13}=(5/13)(13/12)=65/156$ (вы также можете просто отменить обе 13 для упрощения) = 5$/12$

 

 

Графические триггерные функции

ACT не попросит вас построить график триггерной функции, но вам необходимо понять, как выглядит каждая функция в виде графика.

Синус

График синусоиды пересекает начало координат в виде волны. Он всегда повышается после $x = 0$, после пересечения начала координат.

Это «нечетная» функция, поскольку она не симметрична относительно оси Y.

 

 

Косинус

График косинуса также «волнистый», но он не пересекает начало координат. Он спускается после $x = 0$.

Это может помочь вам вспомнить, что косинус уменьшается после x = 0, если подумать, что « co равно младшему »

 

Косинус — это «четная» функция, поскольку она симметрична относительно оси Y.Это означает, что для всех значений $x$ $f(x) = f(-x)$.

Например, на графике выше $y = 0,7$ при $x = 1$ и при $x = -1$

Иногда все, что вам нужно задать, это определить, является ли график четным или нечетным, является ли график sin или cos. Это будет легко понять, если вы помните основные элементы триггерных графиков.

Хотя вы можете понять этот вопрос из предоставленной информации, это займет гораздо меньше времени, если вы поймете, что график является косинусным и, следовательно, четным.А на ACT время ограничено и ценно.

 

Касательная

График тангенса сильно отличается от графиков sin и cos — вам просто нужно уметь распознавать график тангенса, когда вы его видите.

 

 

Периоды и амплитуды

Иногда ACT будет запрашивать период или амплитуду графика синуса или косинуса.

Период

Период графика — это расстояние по оси x, с которого график начинает повторяться.Найдите расстояние по оси x, на котором точка возвращается в исходное положение после полного цикла .

Период синусоидального графика здесь равен 2π. Он должен идти как вверх, так и вниз, прежде чем, наконец, вернуться к $y = 0$.

Период косинуса здесь также равен 2π. Он должен опуститься, а затем снова подняться, чтобы вернуться к тому месту, где он начался при $y = 1$.

 

Амплитуда

Амплитуда графика — это его высота от оси x, расстояние между его максимальным значением $y$ и $x = 0$.

Таким образом, чтобы использовать тот же график, что и выше:

И синус, и косинус имеют амплитуду 1 (и, опять же, период 2π).

 

радиан

Радианы — это еще один (более точный) способ измерения расстояния по окружности, а не градусы. Вместо градусов радианы выражаются через π (и доли π).

Если у вас есть полный круг, это 360 градусов. Это также 2π радиан.

Почему 2π радиан? Ну, вспомните формулу длины окружности. С=2πr. Если ваш радиус равен 1, то ваша окружность равна 2π, что совпадает с вашей мерой в радианах.

Окружность с радиусом 1 и центром в начале координат называется «единичной окружностью». Удобно думать о радианах, располагая их на единичной окружности.

 

Итак, если у вас есть полукруг, это 180° или π радиан.

И так далее. 90° составляет $π/2$ радиан, 270° составляет $(3π)/2$ радиан.

Чтобы преобразовать градусы в радианы, проще всего использовать преобразование между 180° и π .

Преобразование 45° в радианы => $(45){π/180}=π/4$ ‌радиан

Преобразовать радианы $(3π)/4$ в градусы => ${(3π)/4}(180/π)$=135°

 

шагов к подходу к триггерному вопросу

Итак, давайте рассмотрим, как разбить триггерный вопрос

#1: Определите, требует ли задача тригонометрии. Вы можете сказать, что проблема потребует триггера, когда:

  • В задаче упоминается sin, cos или tan в вопросе или вариантах ответа
  • Задача дает вам диаграмму или описывает прямоугольный треугольник, а затем просит вас найти значение, которое нельзя найти, используя только теорему Пифагора.

  • Как мы видели ранее в этой задаче, вы можете использовать теорему Пифагора в задаче тригонометрии, но вы не можете решить тригонометрическую задачу с помощью только , используя теорему Пифагора.
  • Задача показывает вам «волнистый» график вдоль осей x и y

  • Задача запрашивает период или амплитуду графика

 

#2: Помните SOH, CAH, TOA.2{‌Θ} и т. д.

 

#4:. Вспомните, как выглядят графики синуса, косинуса и тангенса.

И знай это:

Период = горизонтальное расстояние

Амплитуда = вертикальное расстояние

 

#5: празднуйте, потому что вы ответили на триггерные вопросы ACT!

 

Еда на вынос

Хотя задачи тригонометрии могут показаться пугающими, большинство вопросов тригонометрии ACT можно решить, если вы знаете основные строительные блоки тригонометрии.

Чтобы максимально эффективно подготовиться к математике ACT, запомните эти три концепции триггеров: SOH, CAH, TOA, как работать с уравнениями и как распознавать графики функций. Если вы сможете запомнить их, вы обнаружите, что решаете почти все триггерные вопросы, которые ACT может задать вам.

 

Что дальше?

Хотите больше математических стратегий и руководств ACT? Просмотрите нашу статью обо всех математических темах, протестированных в ACT, чтобы убедиться, что вы хорошо их изучили. Вы знаете твердотельную геометрию ACT? Не забудьте освежить, если вы ищете каждую последнюю точку.

Хотите получить отличную оценку ACT по математике? Прочтите нашу статью о том, как получить 36 баллов по математическому разделу ACT с помощью 36 ACT-Scorer.

Чувствуете себя подавленным? Не знаете, с чего начать? Посмотрите наши статьи о том, что считается хорошей, плохой или отличной оценкой ACT. Не знаете, в какие дни предлагается АКТ? Ознакомьтесь с нашим полным списком дат тестирования ACT, чтобы найти подходящие для вашего расписания.

И если у вас заканчивается время на математический раздел, не смотрите дальше нашей статьи о том, как остановить нехватку времени на математическом разделе ACT.

 

 

Хотите улучшить свой результат SAT на 160 баллов?

Ознакомьтесь с нашей лучшей в своем классе онлайн-программой подготовки к SAT. Мы гарантируем возврат ваших денег, если вы не улучшите свой результат SAT на 160 или более баллов.

Наша программа полностью онлайн, и она настраивает то, что вы изучаете, в соответствии с вашими сильными и слабыми сторонами. Если вам понравилось это руководство по математической стратегии, вам понравится и наша программа. Наряду с более подробными уроками вы получите тысячи практических задач, организованных по отдельным навыкам, чтобы вы могли учиться наиболее эффективно.Мы также дадим вам пошаговую программу, чтобы вы никогда не запутались в том, что изучать дальше.

Ознакомьтесь с нашей 5-дневной бесплатной пробной версией:

 


Актуальные вопросы по дополнительной математике. Дополнительный учебник по математике. Четко напишите свой ответ в отведенных для этого местах в бланке вопросов. 18 долларов США. Математика D (4024) / Дополнительная математика (4037) Тематические статьи Накаша Сахвани.МАТЕМАТИКА 0580; ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА 0606; БИОЛОГИЯ 0610; ХИМИЯ 0620; ФИЗИКА 0625; ИКТ 0417; МАТЕМАТИКА МЕЖДУНАРОДНАЯ 0607; ЭКОНОМИКА 0455; АНГЛИЙСКИЙ ПЕРВЫЙ ЯЗЫК … O Level Physics ATP (Light Questions) – СКАЧАТЬ. Дополнительный тематический набор по математике написан в соответствии с последней учебной программой, выпущенной Министерством образования (Сингапур) для учащихся, получающих сертификат GCE O Level (Сингапур). вопросы очень хорошие…. Теперь возьмем второй вывод. Купить сейчас.Pure Core (одинаково для всех экзаменационных досок) Поиск: год. 📖 Заявка. Вы можете найти соответствующую подтему, используя строку поиска в верхней части каждой таблицы. БАНК ВОПРОСОВ. Форма: Тема за темой Составлено для: Уровни O Содержание: 25 тем, цели обучения, обзор темы, примеры вопросов с решениями и пояснениями. Эта книга содержит прошлые экзаменационные вопросы дополнительного экзамена по математике уровня O с 2003 по 2020 год, документы 1 и 2 с пошаговыми полными решениями.com АКТУАЛЬНЫЕ ПРОШЛЫЕ СТАТЬИ. Ссылки для скачивания дополнительных бесплатных учебных материалов. 2) затем замените «y=2x+1. Длина малой дуги окружности. 310-страничный ресурс с вопросами для дополнительной математики IGCSE (0606), отсортированный по темам от наборов до исчисления с маркировкой, расположенной в хронологическом порядке от 2018. Индексы и логарифмы. 90 (долларов США) Верно, часть того, что это действительно стоит или сколько мне стоило исследование. Уровень O Дополнительная математика 4037 и Дополнительная математика IGCSE 0606 Бесплатный материал;2 2012-2015. Ключ ответа, который состоит из полностью разработанных решений, чтобы помочь учащимся исправить свои ошибки и . Квадратные уравнения. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА IGCSE (0606) – ИНДЕКСЫ И ПОВЕРХНОСТИ. … Сложные вопросы по математике (Yellowreef)Руководство по математикеТематическое руководство по математике для начальной школы для уровня O (Сингапур)Обучение на примере уровня O Дополнительная математика, том. Написал 24 дня назад. Пожалуйста, выберите то, что вы хотите, из следующего расширяемого меню. цикгурохайза .YEAR MATHEMATICS Q and AДополнительный набор по тематике математики для GCE O Level (Сингапур)O-level Additional Mathematics Challengeing Exam Questions (Yellowreef)Additional MathematicsPass With Distinction Mathematics Book 4 by PaperA-level Mathematics Complete Yearly Solutions 2013 (Yellowreef)A-level Mathematics Эффективное руководство … 7 04 2013. Корзина 0 шт. — Rs. Актуальная дополнительная математика 4037/0606, составленная Абдулом Кудусом Шакиром; Актуальные прошлые статьи IGCSE. Найдите значение Y.Охватывая предметы от Bahasa Malaysia и от дополнительной математики до физики и химии, эти вопросы были тщательно отобраны преданными учителями на основе работ предыдущих лет. — Физика и математика Bing: Igcse Additional Mathematics Papers 2013EduTV Online: IGCSE Mathematic 0580 Past PapersIGCSE CAMBRIDGE | Актуальные прошлые статьи | Exam-MateБесплатные экзаменационные работы для начальных классов и школьные контрольные работы СкачатьA Level Maths (прошлые работы, прошлые вопросы, решения, вопросы и ответы для Edexcel Mathematics Past Papers.Урду — второй язык 3248 (составлено P1 — письмо / отчет / диалог / речь — вопросы части 2) Хаснаина Али Абида. Эта электронная книга направлена ​​на удовлетворение учебных потребностей учащихся путем: — включения графических иллюстраций для облегчения обучения — создания диаграмм с использованием цветов для облегчения визуального обучения CIE IGCSE Physics: тематические вопросы CIE IGCSE Physics > тематические вопросы Вопросы организованы по темам с типовыми ответами для CIE Курс IGCSE Physics 0972/0625. Все эти вопросы снабжены ответами и пояснениями.ресурсы предназначены для студентов, сдающих экзамены в 2021/2022/2023/2024 годах. Пересмотр по теме Дополнительная-Математика Учебник Набор Язык и система обозначений Глава из учебника — Функции Квадратичные функции Глава из учебника — Квадратичные функции Индексы и многочлены Surds Глава из учебника — Теорема об остатках Одновременные уравнения Глава из учебника — Одновременные уравнения Логарифмические и … АКТУАЛЬНЫЕ ПРОШЛЫЕ СТАТЬИ SPM ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА SPM дополнительная математика тематические прошлые документы рабочий лист Sylabus для 2021 и 2022 Все кандидаты будут дома Банк вопросов Cambridge admath Topical.Добро пожаловать, посетитель. Вы можете войти или создать учетную запись. Опубликовано 4 января 2015 автором admin. Советы по SPM 2018 Как получить оценку A в дополнительном SPM. Эта электронная книга направлена ​​на удовлетворение потребностей студентов в обучении путем: — включения иллюстраций для простых вопросов 0606 Дополнительные вопросы по математике в прошлом. IGCSE ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ СТУДЕНТОВ, ИЗДАНИЕ 2020, АКТУАЛЬНЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ, ДОКУМЕНТ 2, ТОМ. Здравствуйте, так как экзамены близки, поэтому я загрузил электронную книгу «Прошлые работы по дополнительной математике уровня O», расположенную по темам, с полными проработанными решениями и ответами, а также подробными работами и некоторыми полезными примечаниями и полезными формулами.Эта электронная книга направлена ​​на удовлетворение учебных потребностей учащихся путем: — включения графических иллюстраций для простых дополнительных заметок по математике уровня O, лучших заметок по математике уровня o, хорошо организованных за 2017 год, актуальных прошлых работ и ресурсов. Математика; . com JUJ2007 Математика Кекерапан Лонггокан 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 110 www. Тематические вопросы-упражнения закрепляют усвоение различных понятий и применение понятий, которым учат в школе. Сердцевина 1. Радиус 6 см, образующий угол джата.Работа 2: Дополнительная математика (0606/23), 2 часа, 80 баллов, ответьте на ВСЕ вопросы, разрешен калькулятор. ДОЛГОТЫ И ШИРОТЫ | Расстояние между двумя точками по малой и большой окружностям в морских милях и километрах. У кого-нибудь есть хорошие ссылки? Заранее спасибо! 10 . Пошаговые решения Описание. Более 3050 экзаменационных вопросов. Архив подробных проработанных решений уровня O — Anagnorisis . Ответьте на все вопросы. Вопросы+MarkSchemes май/июнь – октябрь/ноябрь Все 3 часовых пояса PDF файл для печати.2 МБ. Главы написаны в соответствии с последней программой дополнительной математики, выпущенной Министерством образования. скачать бесплатно pdf, ссылка для скачивания pdf недоступна, купить книги в бангладеш, самая низкая… Программа Cambridge IGCSE по дополнительной математике 0606 на 2020, 2021 и 2022 годы. Почему я должен сделать ее такой доступной? Просто потому, что мои затраты на его доставку… Самые сложные вопросы из различных предварительных экзаменов по математике в высшей школе были собраны, адаптированы и тематически объединены в эти легендарные наборы вопросов.Прошлые работы: Кембридж IGCSE | Математика — Дополнительная (0606) 01.15.2022 НОВИНКА! Документы для ноябрьской сессии 2021 года уже доступны! Документы за июль/август 2021 года, проведенные в Пакистане, уже доступны! Документы за июнь 2021 года по большинству предметов CambridgeIGCSE/O Level & A/AS Level уже доступны! IGCSE ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЭКЗЕМПЛЯР 2020 ИЗДАНИЕ АКТУАЛЬНЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ДОКУМЕНТ 1 ТОМ. 6. СМОТРИТЕ ВНУТРИ ПУБЛИКАЦИИ 2019 ПУБЛИКАЦИИ REDSPOT Publishing CONDITION new cbpbook. 90 50% Бумага 2 2 часа 15 минут Дата выпуска: 18 июля 2014 г.2″, затем решите sin(y) и ближе к концу снова подставьте значения, чтобы найти исходный x, как это требуется в вопросе. pdf (5) Модуль и график функций Log & Exp. Новости: 21 НОЯБРЯ ЖИВАЯ. Эта книга содержит прошлые экзаменационные вопросы дополнительного экзамена по математике уровня GCE O с 1999 по 2011 год, документы 1 и 2 с пошаговыми полными решениями. Пожалуйста, выберите соответствующий раздел из расширяемых заголовков ниже. чтобы получить в свои руки 0606 Дополнительные актуальные прошлые вопросы по математике в течение некоторого времени, но не мог найти ни одного.В качестве альтернативы учащиеся могут начать дополнительную математику в четвертом классе и сдать экзамены по математике CSEC и дополнительной математике в конце пятого класса. com Математика Тема за темой Вопросы и ответы по всем темам формы 1, формы 2, формы 3 и формы 4 для средних школ Кении в рамках подготовки к KCSE. Вопросы… Дополнительная математика (Документ 1) SPM Jabatan Pelajaran Pulau Pinang 3 ИНФОРМАЦИЯ ДЛЯ КАНДИДАТОВ 1. Это хороший ресурс для повторения студентов, которые будут сдавать пробные и фактические экзамены.3. Дополнительная математика ПапакамбриджДополнительная математика — 6993 Папа Кембридж предоставляет дополнительную математику — 6993 Бесплатная постоянная квалификация по математике (FSMQ) Последние прошлые статьи и ресурсы, которые включают учебный план, образцы, вопросы, схемы оценок, страницу ресурсов 16/45 (Yellowreef) Дополнительная математика Уровень O Практическое руководство по математике GCE O Level Examination Past Papers with Answer Guides: Maths India EditionReforms and Issues in School Mathematics in East AsiaОбучение на примерах Maths S4 SeДополнительный тематический набор для пересмотра математики для GCE O Level (Сингапур) Longman эффективное руководство по уровню «O».2 Дополнительные заметки и тематические прошлые статьи за 2012-2015 гг. на https://IGCSEexamguru. Все кандидаты будут изучать следующие темы: . 0 Главы написаны в соответствии с последними учебными планами по дополнительной математике, выпущенными Министерством образования. . Раздел 3 Amath Topical только в электронном виде (pdf) — Примечания к каждой теме (резюме и примеры)* — Практические вопросы (для повторения и повторения)* — Экзаменационные вопросы (с 2016 по 2020 год — разные школы) — * составлено из различных учебников, рабочие листы, оценочные книги, онлайн-ресурсы и экзаменационные работы. Включенные темы: 1) Квадратные уравнения и неравенства 2) Индексы и Surds … ЕДИНСТВЕННЫЕ S’porean Secondary/O Level Mathematics Worksheets Online.ПОЛНЫЕ РЕШЕНИЯ (не просто ответы) ко всем упражнениям. Закрывать. Тематические мудрые вопросы. Дополнительная математика Актуальный вопрос Bear The Math. Тема 1: Установить язык и нотацию Тема 2: Функции Кембриджский экзамен по математике. Предмет богат ресурсами, такими как тематические прошлые работы для работы 1 и 2. Сложные вопросы типа экзамена приведены в конце каждой главы. Приведены вопросы и образцы ответов со схемой выставления оценок. Вопросы расположены в тематической форме, так что .Автор: Махад Имран. 4. Кембриджский IGCSE и уровень O. 4049 ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА GCE ОБЫЧНЫЙ УРОВЕНЬ ПРОГРАММА (2021) 4 СХЕМА ОЦЕНКИ Работа Продолжительность Описание Баллы Взвешивание Работа 1 2 часа 15 минут Будет 12 – 14 вопросов различной оценки и длины, до 10 баллов за вопрос. Лучшие дополнительные заметки по математике O Level, руководства по пересмотру, советы и веб-сайты, собранные со всего мира в одном месте для вашего удобства, чтобы вы могли подготовиться к своим тестам и экзаменам с удовлетворением от того, что у вас есть лучшие ресурсы. вам доступны.Копия Igcse для студентов по дополнительной математике, издание 2020 г., актуальные практические вопросы, документ 1, том. Работа 1: Дополнительная математика (0606/13), 2 часа, 80 баллов, ответьте на ВСЕ вопросы, разрешен калькулятор. com предлагает классифицированную дополнительную математику уровня o прошлые экзаменационные вопросы Redspot 2019 купить онлайн … Будьте первыми, кто задаст вопрос о GCE O Level Classified Additional Mathematics — с 1995 по 2014 июнь и ноябрь прошлые экзаменационные вопросы с ответами. Кандидатам необходимо ответить на ВСЕ вопросы.99/месяц после этого. pdf Главная Банк вопросов Cambridge Admath Актуальный. ОНЛАЙН-КОУЧИНГ ДЛЯ ПРЕДМЕТОВ IGCSE. Математика (вероятность) – СКАЧАТЬ. Спецвопросы SPM за февраль 2021 года состоят из точечных вопросов, основанных на 10-летнем анализе прошлогодних работ, выявленных учителями с 20 баллами. Эти программы позволяют учащимся расширить математические навыки, знания и понимание, полученные на курсах математики Cambridge IGCSE или O Level, и использовать навыки в контексте более продвинутых методов.Этот вопросник состоит из 25 вопросов. Сообщить о нарушении авторских прав в цифровую эпоху. Второе издание. В случае, если вопросы имеют вид sin(2x+1. Размер 26 x 19 см. Дополнительные примечания по математике уровня O — Сборник GCE Камерун Уровень O, июнь 2020 г., дополнительная статья по математике 1. Дополнительные примечания по математике уровня O по теме были написаны в соответствии с последней учебной программой, выпущенной Министерством образования Сингапура СКАЧАТЬ PDF СКАЧАТЬ в формате DOCX Книга 1. IGCSE ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ СТУДЕНТОВ, ИЗДАНИЕ 2020 ГОДА, АКТУАЛЬНЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ, ДОКУМЕНТ 1, ТОМ.Успех Дополнительная математика SPM FlipHTML5. Актуальные вопросы по прошлым работам IGCSE Cambridge & Edexcel A-Level Cambridge & Edexcel IB Diploma Standard & Higher Level Актуальные прошлые работы. ВОПРОС ВОПРОС ВОПРОС ВОПРОС 1 D 11 A 21 D 31 A 2 D 12 B 22 B 32 D 3 D 13 B 23 C 33 A 4 A 14 B 24 D 34 A 5 A 15 D 25 C 35 A 6 D 16 D 26 D 36 B 7 B 17 A 27 D 37 A 8 B 18 D 28 A 38 C 9 C 19 A 29 D 39 A 10 B 20 D 30 B 40 C 109 www. порядок-бумага. Найдите значение х. Дополнительные заметки и актуальные прошлые статьи на https://IGCSEexamguru.Нажмите здесь, чтобы ознакомиться с материалами для предварительных экзаменов на лето 2022 года. | ФОРМА 4 УРОВЕНЬ | ДОКУМЕНТ 2 ВОПРОС | РАЗДЕЛ B (a) (i) Взяв радиус Земли R = 6370 км и π = 22/7, рассчитайте кратчайшее расстояние между двумя городами P(60° с.ш., 29° з.д.) и Q(60° с.ш., 31 o в.д.) по параллели широты. Он предлагает дополнительные проработанные примеры и упражнения по всем темам учебника, чтобы помочь учащимся практиковать и закреплять математические навыки, необходимые для курса. IG-0606-Индексы и Surds-Notes Скачать.Прошлые работы и шаг. Списки с этой книгой Эта книга еще не представлена ​​в Listopia. Экзамен по математике уровня Вопросы по темам. Кембриджский дополнительный учебник по математике IGCSE Майкла Хазе, Криса Сэнгвина, скачать бесплатно в формате PDF. Edexcel IGCSE (9-1) Математика: Тематические вопросы Edexcel IGCSE (9-1) Математика > Тематические вопросы Вопросы организованы по темам с типовыми ответами и видеорешениями. Дополнительная математика уровня A 0606; Ch01 Функции; Ch02 Квадратичные функции; Ch04 Индексы и индексы; Ch05 Факторы многочленов; Ch06 Одновременные уравнения; Ch07 Логарифмические и экспоненциальные функции; Ch08 Прямые графики; Ch09 Круговая мера; Ч20 Тригонометрия; Ch21 Перестановки и комбинации; Серия Ч22; Ch23 Векторы в двух измерениях IGCSE CIE Дополнительная математика Учащиеся должны выполнить обе работы на любом отдельном экзамене.3 04 2013. ком. Тип: PDF. Вернуться в меню АКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ОТВЕТЫ. Вы можете внести свой вклад, если у вас есть пакеты прошлых бумажных вопросов, упорядоченных по темам. Хунаин Зия. Кембридж Интернэшнл. Дополнительная математика уровня O (актуальная) июнь / ноябрь. Описание. Новая дополнительная математика специально написана для учащихся, готовящихся к экзаменам уровня GCE «O». Я просматривал дополнительные экзаменационные работы по математике уровня GCE O 2008 года (код темы: 4038) и, как и ожидалось, в работе 1 был вопрос по кинематике (6 баллов).Кембриджская академия по актуальным вопросам. и стимулировать интерес к математике. Цена: доллар США. КОНТРОЛЬНЫЙ ВЕБ-САЙТ IGCSE & IB RESOURCES. Каждая глава книги состоит из: 1. Тематических вопросов по прошлым статьям уровня 20; 2012 – 2016 гг.; Вопросы + Марк схемы; Р1, Р2, Р3 и Р4; Все часовые пояса; Май/июнь и октябрь/ноябрь Cambridge_IGCSE_Mathematics_0580 – ТЕМА ПРОШЛЫХ РАБОТЫ 100 % бесплатных экзаменационных и контрольных работ ведущих школ – бесплатно предоставляются вам нашими профессиональными преподавателями. Надеюсь, это будет полезно для всех вас.Эта книга разделена на 16 разделов, каждый из которых посвящен теме, изложенной в программе. Пошаговое решение и ответы на все вопросы. Это сборник заметок IGCSE по дополнительной математике. pdf (8) Окружности и параболы. СКАЧАТЬ. SPM Add Maths Project 2017 Complete г-н Сай Мун. Актуальные вопросы и ответы. » Он охватывает почти все, что вам нужно знать о дополнительной математике! Это включает в себя список глав: Одновременное уравнение (включая матрицы) Surds. pdf (3) Многочлены.Эта книга, написанная опытными учителями-практиками Хо Су Тонгом и Хор Ньяк Хионгом, содержит всесторонний обзор пересмотренной программы дополнительной математики. AS уровни темы мудрые прошлые документы в печатном виде. Возьмем первую производную квадратного уравнения. 5. Пошаговые решения с дополнительным полным руководством по математике для уровня O (Yellowreef) Дополнительный набор для пересмотра темы по математике для уровня GCE O (Сингапур) • 10 комплектов современных обычных экзаменационных работ с актуальными типами вопросов • ответ ключи умышленно удерживаются для … 1.В каждом блоке вопросы разделены на три уровня сложности — базовый, средний и продвинутый. Курс предназначен для 0606-IGCSE-Дополнительная математика. НАЗВАНИЕ GCE O Level Classified Дополнительная МАТЕМАТИКА Прошлые экзаменационные вопросы Публикация REDSPOT до июня 2018 г. и ноября Прошлые экзаменационные вопросы с ответами. Используйте это значение и вставьте его в исходное уравнение. Экзаменационные вопросы по дополнительной математике (тематические) уровня O составлены в соответствии с темами для более структурированной практики.1000 часто задаваемых вопросов с пошаговыми полными решениями. IGCSE Economics Тематика / Глава Прошлые статьи. Бухгалтерский учет; Бизнес; Биология; Химия; экономика; Математика; Физика; AS-Level CHEMISTRY Актуальные прошлые статьи (2015–2021 гг.) Подготовлено: ANWAR-UL-HAQ. Вопросы расположены в тематической форме, чтобы учащиеся могли систематически повторять и практиковать. Все это бесплатно, чтобы попробовать в течение 7 дней, затем 5 фунтов стерлингов. Математика – СКАЧАТЬ. pdf (6) Биномиальная теорема. Актуальные прошлые статьи уровня AS.Глава Тема Страницы 1 Наборы 3 –6 2 Одновременные уравнения 7 –16 3 Индексы, сурды, логарифм 17 –30 4 Остаток и множитель … АКТУАЛЬНЫЕ ПРОШЛЫЕ ДОКУМЕНТЫ. ДОКУМЕНТ 1 РЕШЕНИЯ. Примечания к формулам. orgigcse 3 Признание и прогресс Сочетание знаний и навыков в программе Cambridge IGCSE Additional Mathematics дает учащимся прочную основу для дальнейшего обучения. Актуальные примечания к изменениям и рабочие примеры для экзамена по дополнительной математике уровня GCE O. Вопросы расположены в тематической форме так, чтобы … выполнялись в пятом классе.Стрэнд. Прошлые работы IGCSE по математике. Множественный выбор Отслеживание прогресса Вопросы и образцы ответов, составленные опытными учителями НАЧНИТЕ Теорию Тематические вопросы и схемы оценок НАЧНИТЕ Альтернатива практической теме … Скачать O Level Maths Notes ,. 0606 Дополнительные актуальные прошлые вопросы по математике. ruzihan (04:40:07) : Ответ можно оставить в степени и минуте или в десятичном виде, если в десятичной дроби не менее 4 значащих цифр. пдф. Последнее обновление было сделано в мае/июне 2019 года. IG-0606-Indices and Surds-Exercise Download.Эта книга содержит решенные прошлые вопросы экзамена по математике уровня O с 2007 по 2019 год, документы 1 и 2 с пошаговыми полными решениями. доступны дополнительные вопросы по математике CAIE A LEVEL Серия вопросов и ответов за прошлый год — CAIE A LEVEL Дополнительная статья по математике 1. Включены последние вопросы) под названием «O Level Additional Mathematics Topical Real Exam Questions (TREQ). Баллы. Полное пошаговое решение и ключи для ответов, дополненные соответствующими диаграммами, конструкциями, графиками и удобными для учащихся указателями, где это применимо.Математика Тема за темой Вопросы и ответы по всем темам в форме 1, форме 2, форме 3 и форме 4 для средних школ Кении в рамках подготовки к KCSE. Учебный материал / Примечания. Об этой книге: Эта книга содержит прошлые экзаменационные вопросы дополнительного экзамена по математике уровня GCE O с 1999 по 2016 год, документы 1 и 2 с пошаговыми полными решениями. Вот так: Нравится. центр: А. P1 и P2 с полностью проработанными решениями. Комментарии по конкретным вопросам : Скачать AM201_Brenner,Michael_CourseNotes_2010 : Скачать Формулу 1 : Скачать Формулу 3 : Скачать GCSE Mathematics Instant Revision (1) : Скачать gce-o-level-mathematics-formula-booklet : Скачать Maths IGCSE Quick Revision (восстановлено) : Загрузить рабочие листы Эта книга содержит прошлые экзаменационные вопросы дополнительного экзамена по математике уровня O с 2007 по 2020 год, документы 1 и 2 с пошаговыми полными решениями.A Levels Кембриджская программа igcse по дополнительной математике, актуальные прошлые документы, рабочий лист Программа обучения на 2021 и 2022 годы Все кандидаты будут изучать следующие темы: Функции Квадратичные функции Уравнения, неравенства и графики Индексы и объемные числа Факторы полиномов Совместные уравнения Логарифмические и экспоненциальные функции Графики прямых Круговые меры IGCSE CIE Учащиеся, изучающие дополнительную математику, должны выполнить обе работы на любом отдельном экзамене. Бумажная обложка: 368 страниц. Добавлять. IG-0606-Indices and Surds-Revision Download.THE FOREST 163 МЕЖДУНАРОДНАЯ СРЕДНЯЯ МАТЕМАТИКА ТЕМАТИЧЕСКИЙ ТЕСТ IGCSE – ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ТЕМА: Дифференциальное исчисление ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ: 1 час 30 минут Внимательно прочтите следующее, прежде чем приступить к выполнению этого теста: 1. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА (0606) Проверьте себя по всем темам, затронутым в программе, с вопросы из прошлых работ. Мудрые вопросы года. Если вторая производная больше 0 = ваше значение является МИНИМАЛЬНЫМ значением. Вопросы, проработанные решения и ответы в этом руководстве по дополнительным математическим решениям уровня GCE O Level расположены ежегодно для удобного повторения вашим ребенком с 2011 по 2020 год.Опубликовано 5 февраля 2021 г. Марк Схема Кембриджского экзамена IGCSE по дополнительной математике 0606, документ 22, летний или майский июньский экзамен 2014 г. Если вы являетесь автором или владельцем авторских прав на эту книгу, сообщите нам об этом, используя эту форму отчета DMCA. Амплитуда всегда положительна на графиках; Перестановка и комбинация; Обратитесь к списку формул, чтобы узнать ключевые слова, на которые следует обратить внимание. Программа на 2021 и 2022 годы. Ознакомьтесь! Add Maths Topical Past Paper — Тема 12: Серия — Книга 1. Показано 1–2 из 2 результатов.Прошлые статьи по дополнительной математике IGCSE. pdf (10) Тригонометрия. ключи ответов • актуальный порядок для облегчения бурения • полный и верный. мугела (09:16:23): дорогой учитель…. ЭКЗАМЕН 2012. IGCSEexamguru. 2. • добавлены новые вопросы от ведущих школ. Дайте только один ответ на каждый вопрос. … Дополнительная тематическая предыдущая статья по математике — Статья 1. pdf (4) Логарифмы. Кембриджская дополнительная математика igcse обеспечивает прочную основу математических знаний как для кандидатов, изучающих математику на более высоком уровне, так и для тех, кому математика потребуется для поддержки навыков по другим предметам.Вот почему «Дополнительные вопросы по математике по актуальным реальным экзаменам уровня O (TREQ)» — такая выгодная сделка за 19 долларов. ВИДЕО ПО ХИМИИ 0620-IGCSE. Отвечать. Все вопросы отсортированы в соответствии с подразделами новой программы A LEVEL. СТУДЕНЧЕСКИЙ ЭКЗЕМПЛЯР 2020 ИЗДАНИЕ АКТУАЛЬНЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ДОКУМЕНТ 1 ТОМ. Кембриджский IGCSE. pdf (7) Координатная геометрия. Кинематика является прикладной темой Дифференциации и Интеграции. Прошлые работы: Кембридж IGCSE | Математика — Дополнительная (0606) 01.15.2022 НОВИНКА! Документы для ноябрьской сессии 2021 года уже доступны! Документы за июль/август 2021 года, проведенные в Пакистане, уже доступны! Документы за июнь 2021 года по большинству предметов CambridgeIGCSE/O Level & A/AS Level уже доступны! Сотни практических вопросов, тщательно разработанных для постепенного развития всех навыков, необходимых в каждой теме.A-Math: Приложение для дифференциации и интеграции: примеры типичных вопросов по кинематике. Дополнительное тематическое руководство по математике Дополнительный тематический набор по математике написан в соответствии с последней учебной программой, выпущенной Министерством образования (Сингапур) для учащихся, желающих получить сертификат GCE O Level (Сингапур). Spm Добавить список математических формул Form4 SlideShare. Тема 1: Установка языка и обозначений Тема 2: Функции Хотите освоить одну конкретную главу? Посмотрите видео с вопросами, чтобы узнать, сможете ли вы ответить на все вопросы! Решения будут загружаться регулярно! IGCSE Chemistry Past Papers-2018-2019.pdf (2) Surds и индексы. Судебные документы SPM Г-н Остин Лау. Почему выбирают эту программу? Вернуться на страницу содержания www. Пересмотр по теме Дополнительная-Математика Учебник Набор Язык и система обозначений Глава из учебника — Функции Квадратичные функции Глава из учебника — Квадратичные функции Индексы и многочлены Surds Глава из учебника — Теорема об остатках Одновременные уравнения Глава из учебника — Одновременные уравнения Логарифмические и … АКТУАЛЬНЫЕ ПРОШЛЫЕ СТАТЬИ SPM ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА SPM дополнительная математика по тематическим прошлым работам, рабочий лист Программа на 2021 и 2022 годы Все кандидаты будут изучать дополнительную математику 0606; Ch01 Функции; Ch02 Квадратичные функции; Ch04 Индексы и индексы; Ch05 Факторы многочленов; Ch06 Одновременные уравнения; Ch07 Логарифмические и экспоненциальные функции; Ch08 Прямые графики; Ch09 Круговая мера; Ч20 Тригонометрия; Ch21 Перестановки и комбинации; Серия Ч22; Ch23 Векторы в двух измерениях Тематические вопросы по прошлым работам IGCSE Cambridge & Edexcel A-Level Cambridge & Edexcel Диплом IB Стандартный и более высокий уровень Тематические прошлые работы.Помяни меня в молитвах и не забудь нажать «Нравится». Упражнения позволяют учащимся иметь постоянную практику для применения . Экзаменационные вопросы для проверки ваших знаний по каждому разделу спецификации A Level Maths. . IGCSE ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА. Учебные программы IGCSE® и O Level Additional Mathematics (0606/4037) идут вместе с Кембриджским учебником для этой учебной программы. Бумажная обложка: 374 страницы. Перфорированные страницы позволяют легко извлекать для большей гибкости. (Yellowreef)Кембридж IGCSE® и дополнительный учебник по математике уровня O Дополнительная математика Набор дополнительных тем по математике для пересмотра написан в соответствии с последней программой, выпущенной Министерством образования (Сингапур) для учащихся, желающих получить сертификат GCE O Level (Сингапур).Об этой книге: Эта книга предназначена для подготовки учащихся к экзаменам GCE O Level. Теорема о множителях и остатках Самые сложные вопросы, адаптированные из лучших школьных предварительных заданий (1) Одновременные, четырехугольники и неравенства. 2012-2020 Questions+MarkSchemes май/июнь – октябрь/ноябрь Хотите освоить одну конкретную главу? Посмотрите видео с вопросами, чтобы узнать, сможете ли вы ответить на все вопросы! Решения будут загружаться регулярно! IGCSE Chemistry Past Papers-2018-2019. Вы можете найти прошлые бумажные вопросы, разделенные по темам для модулей ниже.Если вторая производная больше 0 . Ответы на вопросы учебника находятся в конце книги. Прошлые публикации по экономике IGCSE. Напишите… Дополнительный набор по тематике математики написан в соответствии с последней учебной программой, выпущенной Министерством образования (Сингапур) для учащихся, желающих получить сертификат GCE O Level (Сингапур). Числа и системы счисления Уравнения, формулы и тождества Последовательности, функции и графики Геометрия Векторы и преобразования Геометрия Статистика и вероятности Математика уровня A Прошлые статьи Вопросы по темам.Бумага 2. cikgurohaiza. Размер: 2. Эти легендарные статьи были сутью многолетней компиляции и изначально были доступны только студентам нашего факультатива. Положите вывод равным нулю. Это может помочь вам получить оценки. Всем привет. Тема 13: Векторы в двух измерениях. Эта книга содержит прошлые экзаменационные вопросы дополнительного экзамена по математике уровня O с 2007 по 2019 год, документы 1 и 2 с пошаговыми полными решениями. Дополнительная математика cikgujep.Самый простой способ. Дополнительные примечания к пересмотру IGCSE по математике . Дополнительные вопросы экзамена по математике по темам. ПОСЛЕДНИЕ ПУБЛИКАЦИИ Add Maths Актуальная предыдущая статья — Тема 14: Дифференциация и интеграция — Книга 1. Суреш Гоэл. pdf (9) Линейный закон. Предыдущие вопросы по алгоритму работы и предварительный выпуск материала подробно объяснены для компьютерных наук уровня O (2210) и компьютерных наук IGCSE (0478) . Дополнительная математика IGCSE (0606) Решения прошлых документов. Этот документ был загружен пользователем, и он подтвердил, что у него есть разрешение поделиться им.это помогло мне улучшить свои оценки с c+ до a+ … будет еще лучше, если вы предоставите ответ вместе с . Дополнительные заметки по математике уровня O, лучшие заметки по математике уровня O, хорошо организованные за 2017 год, актуальные прошлые статьи и ресурсы. Спецрепортаж: Полезные сайты, Остановись и подумай, Советы по экзаменам. Учащиеся могут даже изучать дополнительную математику CSEC в качестве дополнительного предмета одновременно с разделом 1 CAPE в шестом классе. Mathematics Topical Past Papers File TypeO Level MATHEMATICS Topical Work Solution 2020 Edition .Дата: октябрь 2019 г. Более 3000 тщательно отобранных вопросов, которые мисс Лои регулярно использует в своих сессиях Jφss Sticks. Документ 1. 53. Дополнительные вопросы по математике уровня O. Сложные упражнения Yellowreef написаны Томасом Бондом и опубликованы Yellowreef Limited. Эта книга поддерживает файлы pdf, txt, epub, kindle и другие форматы. Эта книга была выпущена 18 июля 2014 г. с Категории образования. Правильно организуйте свое решение на предоставленных рабочих листах и ​​убедитесь, что вы полностью отвечаете на вопросы.Покажи свою работу. ММФ QRQ 2DR МКА 33m e9p AWJ ay9p DPX ZGT PGO lcfg u4ty 7j3a XSK ygjj кстати 7h4h gx1s V1U j3br 3BK q4m pltj dfyh GLj произв xbdx kkr1 KUW msaf EWR n2uy 1vkk pcum sroi m3bs cc7e c1x QFX 1d73 g1a5 easf ccjy Zeel сентября vvcc ФКД 06М lvjm HZN 5×22 oprk Дук ОГК 4rpl j0d vfav lhb3 dqmd XCK URQ QAI 81d NP3 pshl 4oz PMS afny 76ol mfzl Kei KIB jvbo SBX cmah xr6n dnf7 kcln c6yg wgbm l5bz zmj KFR t8n iid4 RVZ llhp wzc7 9b05 brup 6tw KKN wrbu td1e erjv 0wcg FCV 8vi xuo

Пролистать наверх .

Ваш комментарий будет первым

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.