Нажмите "Enter", чтобы перейти к содержанию

Построение тригонометрических функций онлайн: Построение графиков онлайн

Содержание

Графики тригонометрических функций

Графики синуса и косинуса

График функции изображен на рисунке 1.

Рис. 1

График функции изображен на рисунке 2.

Рис. 2

Кривая, описывающая функцию синуса, называется синусоидой, а косинуса – косинусоидой.

График функции можно получить из графика функции сдвигом последнего влево на . Аналогично, график функции можно получить из графика функции сдвигом последнего вправо на .

Графики тангенса и котангенса

График функции изображен на рисунке 3. Кривая, задающая функцию тангенса, называется тангенсоидой.

Рис. 3

График функции изображен на рисунке 4.

Рис. 4

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Построить график функции
Решение Искомый график получается из графика функции в результате параллельного переноса вдоль оси абсцисс вправо на (рис. 5).

Рис. 5

ПРИМЕР 2
Задание Построить график функции
Решение Искомый график получается из графика функции в результате параллельного переноса вдоль оси ординат вверх на 1 (рис. 6) .

Рис. 6

ПРИМЕР 3
Задание Построить график функции
Решение Искомый график получается из графика функции растяжением последнего вдоль оси ординат в три раза (увеличением расстояния от каждой точки графика до оси абсцисс в три раза) (рис. 7).

Рис. 7

ПРИМЕР 4
Задание Построить график функции
Решение Заданный график построим с помощью элементарных преобразований графика функции . Осуществив параллельный перенос графика функции вдоль оси абсцисс влево на , получим (рис. 8)

Рис. 8

Затем, отразив график функции симметрично относительно оси абсцисс, получим искомый график (рис. 9).

Рис. 9

Читайте также:

Простейшие тригонометрические уравнения

Тригонометрические функции числового аргумента

Свойства тригонометрических функций

Упрощение тригонометрических выражений

Косинус суммы

Тригонометрические функции: онлайн калькулятор, формулы, графики, значения

Тригонометрия – наука, изучающая свойства тригонометрических функций и их практическое применение. Наука берет начало в древности: с изучения свойств сторон прямоугольного треугольника.

История вопроса

Термин «тригонометрия» впервые встречается в работе немецкого математика Питискуса в далеком 1505 году. Сам термин обозначает «измерение треугольников», так как тригонометрические функции были выведены на основании соотношений катетов и гипотенузы для разных углов. И хотя различные свойства прямоугольного треугольника были известны еще в Древнем Вавилоне, расцвет геометрии пришелся на античные времена.

Интересно, но в Древней Греции рассматривали не сколько прямоугольный треугольник, катеты и гипотенузы, а окружность. Круг и прямая – идеальные геометрические фигуры по мнению античных математиков, поэтому построения производились при помощи циркуля и линейки. Соответственно, для измерения углов и их характеристик древнегреческие геометры использовали технику хорд. Перпендикуляр к хорде, проведенный из центра окружности, делит пополам дугу и опирающуюся хорду. Половина от этой хорды численно представляет собой синус половинного угла.

Позднее индийские учены пришли к выводу, что хорды – ни что иное, как соотношение катетов и гипотенуз для построенного на хорде и радиусе прямоугольного треугольника. Замена хорд значениями синусов позволила математикам использовать в вычислениях функции, связанные со свойствами катетов и гипотенузы. Такой ход считается одной из величайших математических хитростей Средневекового мира. Позднее эта «фишка» попала в руки арабских ученых, после чего тригонометрические функции вошли в мир европейской математики. В последствии, благодаря зависимости хорд и радиусов окружности, были выведены и доказаны не только синус, но и основные тригонометрические функции.

Основные функции

Все тригонометрические функции рассчитываются для определенного угла и представляют собой соотношение сторон. Катеты – это стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Катет и гипотенуза образуют произвольный угол, для которого образующий катет является прилежащим. Второй катет для этого угла называют противолежащим. Функция угла – это соотношение длин определенных сторон треугольника. Такое соотношение представляет собой дробь и выражается численно, например, 1/2. Таким образом, основные тригонометрические функции приобретают следующие формулы:

  • Синус = противолежащий катет / гипотенуза;
  • Косинус = прилежащий катет / гипотенуза;
  • Тангенс = противолежащий катет / прилежащий катет;
  • Котангенс = прилежащий катет / противолежащий катет.

Кроме того, существуют функции секанса (гипотенуза/противолежащий катет) и косеканса (гипотенуза/прилежащий катет), однако они не получили широкого распространения в прикладных науках.

Интересно, что косинус – основная тригонометрическая функция, однако этот термин появился гораздо позднее синуса. Допустим, что в прямоугольном треугольнике непрямой угол обозначен как a. Косинус или complementry sinus угла a – это дополнительный синус для угла (90 – a). Именно поэтому долгое время ученые не вводили дополнительную функцию, а просто пересчитывали угол. Из-за постоянной работы с углами известный ученый Клейн даже предложил переименовать тригонометрию в гониометрию или «измерение углов». Однако такое название не прижилось.

Применение тригонометрии

Невозможно представить область науки, которая обошлась бы без применения тригонометрических функций. Еще в Древнем мире астрономы использовали метод триангуляции для определения приблизительного расстояния до небесных тел. Сегодня этот метод улучшен и автоматизирован и используется во многих прикладных приложениях. Сами же функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса применяются для описания волновых, циклических или нарастающих процессов. Если перед ученым стоит задача описать банальное движение маятника, ускорение вала асинхронного двигателя или экономическое процветание государства, то ему на помощь приходят тригонометрические функции.

Наша программа позволяет вычислить значения основных тригонометрических функций для любых углов с точностью до четырех знаков после запятой. Для определения численного значения выбранной в меню функции вам потребуется задать угол в градусах или радианах и сделать один клик мышью. Если вы хотите произвести обратную операцию и узнать угол по численному значению синуса или тангенса, то введите число от 0 до 1 в ячейку функции, после чего программа вернет величину соответствующего угла.

Пример из жизни

Школьная задача

Благодаря тригонометрическим функциям мы можем без проблем определять длины сторон треугольника. Пусть в школьной задаче задан прямоугольный треугольник, у которого известен угол А, равный 50 градусов. Один из катетов «а» имеет длину 15 см. Требуется найти длину гипотенузы. Это простая задача, которую легко решить при помощи теоремы синусов.

Известно, что стороны любого треугольника соотносятся как a / sinA = b / sinB = c / sinC. Мы знаем угол А и длину катета «а», а требуется найти длину гипотенузы с. Известно, что противолежащий гипотенузе угол С – это всегда прямой угол, а синус прямого угла всегда равен 1. Таким образом, мы получаем соотношение:

a / sinA = c / 1 или c = a / sinA

Нам осталось подсчитать синус угла величиной 50 градусов и выразить гипотенузу. Для этого выберите в меню калькулятора функцию синуса и выберите градусы для ячейки угла. В итоге мы получим:

с = 15 / sin50 = 15/0,766 = 15,55

Заключение

Тригонометрия – раздел математики, важность которого сложно переоценить. Функции синуса и тангенса используются как в физике и механике, так и в биологии, экономике, геодезии и криптографии. Наши онлайн-калькуляторы пригодятся вам при расчете любых тригонометрических функций.

Тригонометрические функции

В школьной программе изучаются четыре тригонометрических функции — синус, косинус, тангенс и котангенс. В этой статье мы рассмотрим графики и основные свойства этих функций.

1. Начнем с построения графика функции y = sin x.

Выберем подходящий масштаб. По оси X: три клетки примем за (это примерно полтора). Тогда — одна клеточка, — две клетки.
По оси Y : две клетки примем за единицу.

Область определения функции y = sin x — все действительные числа, поскольку значение sin α можно посчитать для любого угла α.

Вспомним, что у нас есть тригонометрический круг, на котором обозначены синусы и косинусы основных углов. Удобнее всего отметить на будущем графике точки, в которых значение синуса является рациональным числом.

Можем добавить, для большей плавности графика, точки и . В них значение синуса равно
Соединим полученные точки плавной кривой.

Мы помним, что . Это значит, что
Получается часть графика, симметричная той, которую нарисовали раньше.

Кроме того, значения синуса повторяются через полный круг или через целое число кругов, то есть

Это значит, что функция y = sin x является периодической. Мы уже построили уча-сток графика длиной 2π. А теперь мы как будто «копируем» этот участок и повторяем его с периодом 2π:

Синусоида построена.
Перечислим основные свойства функции y = sin x.

1) D(y): x ∈ R, то есть область определения — все действительные числа.

2) E(y): y ∈ [−1; 1]. Это означает, что наибольшее значение функции y = sin x равно единице, а наименьшее — минус единице.

3) Функция y = sin x — нечетная. Ее график симметричен относительно нуля.

4) Функция y = sin x — периодическая. Ее наименьший положительный период равен 2π.

2. Следующий график: y = cos x. Масштаб — тот же. Отметим на графике точки, в которых косинус является рациональным числом:

Поскольку cos (−x) = cos x, график будет симметричен относительно оси Y , то есть левая его часть будет зеркальным отражением правой.

Функция y = cos x — тоже периодическая. Так же, как и для синуса, ее значения повторяются через 2πn. «Копируем» участок графика, который уже построили, и повторяем периодически.

Перечислим основные свойства функции y = cos x.

1) D(y): x ∈ R, то есть область определения — все действительные числа.

2) E(y): y ∈ [−1; 1]. Это означает, что наибольшее значение функции y = cos x равно единице, а наименьшее — минус единице.

3) Функция y = cos x — четная. Ее график симметричен относительно оси Y .

4) Функция y = cos x — периодическая. Ее наименьший положительный период равен 2π.

Отметим еще одно свойство. Графики функций y = sin x и y = cos x весьма похожи друг на друга. Можно даже сказать, что график косинуса получится, если график синуса сдвинуть на влево. Так оно и есть — по одной из формул приведения,.

Форма графиков функций синус и косинус, которые мы построили, очень характерна и хорошо знакома нам. Такой линией дети рисуют волны. Да, это и есть волны!

Функции синус и косинус идеально подходят для описания колебаний и волн — то есть процессов, повторяющихся во времени.

По закону синуса (или косинуса) происходят колебания маятника или груза на пружине. Переменный ток (тот, который в розетке) выражается формулой I(t) = I cos(ωt+α). Но и это не все. Функции синус и косинус описывают звуковые, инфра– и ультразвуковые волны, а также весь спектр электромагнитных колебаний. Ведь то, что наш глаз воспринимает как свет и цвет, на самом деле представляет собой электромагнитные колебания. Разные длины волн света воспринимается нами как разные цвета. Наши глаза видят лишь небольшую часть спектра электромагнитных волн. Кроме видимого цвета, в нем присутствуют радиоволны, тепловое (инфракрасное) излучение, ультрафиолетовое, рентгеновское и гамма–излучение. Более того — объекты микромира (например, электрон) проявляют волновые свойства.

3. Перейдем к графику функции y = tg x.

Чтобы построить его, воспользуемся таблицей значений тангенса. Масштаб возьмем тот же — три клетки по оси X соответствуют , две клетки по Y — единице. График будем строить на отрезке от 0 до π. Поскольку tg (x + πn) = tg x, функ-ция тангенс также является периодической. Мы нарисуем участок длиной π, а затем периодически его повторим.

Непонятно только, как быть с точкой . Ведь в этой точке значение тангенса не определено. А как же будет вести себя график функции y = tg x при x, близких к , то есть к 90 градусам?

Чтобы ответить на этот вопрос, возьмем значение x, близкое к , и посчитаем на калькуляторе значения синуса и косинуса этого угла. Пусть .

Синус угла — это почти 1. Точнее, sin = 0,9998. Косинус этого угла близок к нулю. Точнее, cos = 0,0175.

Тогда
график уйдет на 59 единиц (то есть на 118 клеток) вверх. Можно сказать, что если x стремится к (то есть к , значение функции y = tg x стремится к бесконечности.

Аналогично, при x, близких к , график тангенса уходит вниз, то есть стремится к минус бесконечности.

Осталось только «скопировать» этот участок графика и повторить его с периодом π.

Перечислим свойства функции y = tg x.

1) .
Другими словами, тангенс не определен для где n ∈ Z.
2) Область значений E(y) — все действительные числа.

3) Функция y = tg x — нечетная. Ее график симметричен относительно начала координат.

4) Функция y = tg x — периодическая. Ее наименьший положительный период равен π.

5) Функция y = tg x возрастает при то есть на каждом участке, на котором она непрерывна.

4. График функции y = ctg x строится аналогично. Вот он:

1) .
Другими словами, котангенс не определен для где n ∈ Z.
2) Область значений E(y) — все действительные числа.

3) Функция y = сtg x — нечетная. Ее график симметричен относительно начала координат.

4) Функция y = сtg x — периодическая. Ее наименьший положительный период равен π.

5) Функция y = сtg x убывает при то есть на каждом участке, на котором она непрерывна.

Построение графиков тригонометрических функций — АЛГЕБРА — Уроки для 10 классов — конспекты уроков — План урока — Конспект урока — Планы уроков

УРОК 9

Тема. Построение графиков тригонометрических функций

 

Цель урока: построение графиков функций у = sin х, у = cos x, у = tg х, у = ctg x.

Формирование умений строить графики функций: у = Asin (kx + b), у = Acos (kx + b), у = Atg (kx + b), у = Actg (kx + b).

И. Проверка домашнего задания

1. Один ученик воспроизводит решение упражнения № 24 (1-3).

2. Фронтальная беседа:

1) Назовите явления в природе, которые периодически повторяются.

2) Дайте определение периодической функции.

3) Если функция у = f(x) имеет периодом число Т, то будет периодом этой функции число 2Т, 3T…? Ответ обоснуйте.

4) Найдите наименьший положительный период функций:

a) y = cos; б) y = sin ; в) у = tg ; г) у = .

5) периодическая функция у = С? Если да, то укажите период этой функции.

 

II. Построение графика функции у = sin х

Для построения графика функции у = sin x воспользуемся единичным кругом. Построим единичный круг радиусом 1 см (2 клетки). Справа построим систему координат, как на рис. 57.

 

На ось ОХ нанесем точки ; π; ; 2π (соответственно 3 ячейки, 6 ячеек 9 ячеек, 12 ячеек). Разделим первую четверть единичного круга на три равные части и на столько же частей отрезок оси абсцисс. Перенесем значение синуса до соответствующих точек оси ОХ. Получим точки, которые надо соединить плавной линией. Затем разделим вторую, третью и четвертую четверть единичного круга также на три равные части и перенесем значение синуса до соответствующей точки оси ОХ. Последовательно соединив все полученные точки, получим график функции у = sin х на промежутке [0;π].

 

За то что функция у = sin x периодическая с периодом 2π, то для построения графика функции у = sin x на всей прямой ОХ достаточно параллельно перенести построен график вдоль оси ОХ на 2π, 4π, 6π… единиц влево и вправо (рис. 58).

 

 

Кривая, которая является графиком функции у = sin x, называют синусоидой.

Выполнение упражнений______________________________

1. Постройте графики функций.

а) у = sin ; б) у = sin 2х; в) у = 2sin х; г) у = sin (-x).

Ответы: а) рис. 59; б) рис. 60; в) рис. 61; г) рис. 62.

 

 

 

 

 

III. Построение графика функции у = cos x

Как известно, cos х = sin , поэтому у = cos x и у = sin — одинаковые функции. Для построения графика функции у = sin воспользуемся геометрич-ими преобразованиями графиков: сначала построим (рис. 63) график функции у = sin х, затем у = sin (-х) и в конце у = sin .

 

 

 

Выполнение упражнений________________________________

1. Постройте графики функций:

a) y = cos ; б) y = cos ; в) y =cos х; г) у = |cos x|.

Ответ: а) рис. 64; б) рис. 65; в) рис. 66; г) рис. 67.

 

 

 

 

 

IV. Построение графика функции у = tg x

График функции у = tg x построим с помощью линии тангенсов на промежутке , длина которого равна периоду π этой функции. Построим единичный круг радиусом 2 см (4 ячейки) и проведем линию тангенсов. Справа построим систему координат, как на рис. 68.

 

 

На ось ОХ нанесем точки ; (6 ячеек). Разделим первую и четвертую четверть окружности на 3 равные части и на столько же частей каждый из отрезков и . Найдем значения тангенсов чисел ; ; 0; ; с помощью линии тангенсов (ординаты точек ; ; ; ; линии тангенсов). Перенесем значения тангенсов до соответствующих точек оси ОХ. Последовательно соединив все полученные точки, получим график функции у = tg x на промежутке .

За то что функция у = tg x периодическая с периодом π, для построения графика функции у = tg x на всей прямой ОХ достаточно параллельно перенести построен график вдоль оси ОХ на π, 2π, 3π, 4π… единиц влево и вправо (рис. 69).

 

 

График функции у = tg x называется тангенсоїдою.

Выполнение упражнений

1. Постройте график функций

а) у = tg 2х; б) у = tgx; в) у = tg x + 2; г) у = tg (-x).

Ответы: а) рис. 70; б) рис. 71; в) рис. 72; г) рис. 73.

 

 

 

 

 

V. Построение графика функции у = ctg x

График функции у = ctg x легко получить, воспользовавшись формулой ctg x = tg и двумя геометрическими преобразованиями (рис. 74) симметрия относительно оси ΟΥ параллельный перенос вдоль оси ОХ на .

 

 

 

 

IV. Домашнее задание

Раздел И § 6. Вопросы и задания для повторения раздела И № 50-51. Упражнения № 28 (а-г).

 

V. Итог урока

Построение неявных функций онлайн. График функции

Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х , а на оси ординат — значения функции у = f (х) .

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Другими словами, график функции y = f (х) — это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x) .

На рис. 45 и 46 приведены графики функций у = 2х + 1 и у = х 2 — 2х .

Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».

С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции y = f(x) , то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а ) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 47).

Например, для функции f(х) = х 2 — 2x с помощью графика (рис. 46) находим f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.

График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция у = х 2 — 2х принимает положительные значения при х и при х > 2 , отрицательные — при 0 у = х 2 — 2х принимает при х = 1 .

Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х , у которых удовлетворяют уравнению y = f(x) . В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно — с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений — скажем, х 1 , х 2 , x 3 ,…, х k и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.

Таблица выглядит следующим образом:


Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции y = f(x) . Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y = f(x).

Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.

Пример 1 . Для построения графика функции y = f(x) некто составил таблицу значений аргумента и функции:


Соответствующие пять точек показаны на рис. 48.

На основании расположения этих точек он сделал вывод, что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 48 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. надежным.

Для обоснования своего утверждения рассмотрим функцию

.

Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 49). Другим примером может служить функция y = x + l + sinπx; ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.

Эти примеры показывают, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен. Поэтому для построения графика заданной функции,как правило, поступают следующим образом. Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.

Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим позже, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.

График функции у = |f(x)|.

Нередко приходится строить график функции y = |f(x) |, где f(х) — заданная функция. Напомним, как это делается. По определению абсолютной величины числа можно написать

Это значит, что график функции y =|f(x)| можно получить из графика, функции y = f(x) следующим образом: все точки графика функции у = f(х) , у которых ординаты неотрицательны, следует оставить без изменения; далее, вместо точек графика функции y = f(x) , имеющих отрицательные координаты, следует построить соответствующие точки графика функции у = -f(x) (т. е. часть графика функции
y = f(x) , которая лежит ниже оси х, следует симметрично отразить относительно оси х ).

Пример 2. Построить график функции у = |х|.

Берем график функции у = х (рис. 50, а) и часть этого графика при х (лежащую под осью х ) симметрично отражаем относительно оси х . В результате мы и получаем график функции у = |х| (рис. 50, б).

Пример 3 . Построить график функции y = |x 2 — 2x|.

Сначала построим график функции y = x 2 — 2x. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы имеет координаты (1; -1), ее график пересекает ось абсцисс в точках 0 и 2. На промежутке (0; 2) фукция принимает отрицательные значения, поэтому именно эту часть графика симметрично отразим относительно оси абсцисс. На рисунке 51 построен график функции у = |х 2 -2х| , исходя из графика функции у = х 2 — 2x

График функции y = f(x) + g(x)

Рассмотрим задачу построения графика функции y = f(x) + g(x). если заданы графики функций y = f(x) и y = g(x) .

Заметим, что областью определения функции y = |f(x) + g(х)| является множество всех тех значений х, для которых определены обе функции y = f{x) и у = g(х), т. е. эта область определения представляет собой пересечение областей определения, функций f{x) и g{x).

Пусть точки (х 0 , y 1 ) и (х 0 , у 2 ) соответственно принадлежат графикам функций y = f{x) и y = g(х) , т. е. y 1 = f(x 0), y 2 = g(х 0). Тогда точка (x0;. y1 + y2) принадлежит графику функции у = f(х) + g(х) (ибо f(х 0) + g(x 0 ) = y1 +y2 ),. причем любая точка графика функции y = f(x) + g(x) может быть получена таким образом. Следовательно, график функции у = f(х) + g(x) можно получить из графиков функций y = f(x) . и y = g(х) заменой каждой точки (х n , у 1) графика функции y = f(x) точкой (х n , y 1 + y 2), где у 2 = g(x n ), т. е. сдвигом каждой точки (х n , у 1 ) графика функции y = f(x) вдоль оси у на величину y 1 = g(х n ). При этом рассматриваются только такие точки х n для которых определены обе функции y = f(x) и y = g(x) .

Такой метод построения графика функции y = f(x) + g(х ) называется сложением графиков функций y = f(x) и y = g(x)

Пример 4 . На рисунке методом сложения графиков построен график функции
y = x + sinx .

При построении графика функции y = x + sinx мы полагали, что f(x) = x, а g(x) = sinx. Для построения графика функции выберем точки с aбциссами -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Значения f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx вычислим в выбранных точках и результаты поместим в таблице.

В золотой век информационных технологий мало кто будет покупать миллиметровку и тратить часы для рисования функции или произвольного набора данных, да и зачем заниматься столь муторной работой, когда можно построить график функции онлайн. Кроме того, подсчитать миллионы значений выражения для правильного отображения практически нереально и сложно, да и несмотря на все усилия получится ломаная линия, а не кривая. Потому компьютер в данном случае – незаменимый помощник.

Что такое график функций

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент другого множества, например, выражение y = 2x + 1 устанавливает связь между множествами всех значений x и всех значений y, следовательно, это функция. Соответственно, графиком функции будет называться множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному выражению.


На рисунке мы видим график функции y = x . Это прямая и у каждой ее точки есть свои координаты на оси X и на оси Y . Исходя из определения, если мы подставим координату X некоторой точки в данное уравнение, то получим координату этой точки на оси Y .

Сервисы для построения графиков функций онлайн

Рассмотрим несколько популярных и лучших по сервисов, позволяющих быстро начертить график функции.


Открывает список самый обычный сервис, позволяющий построить график функции по уравнению онлайн. Umath содержит только необходимые инструменты, такие как масштабирование, передвижение по координатной плоскости и просмотр координаты точки на которую указывает мышь.

Инструкция:

  1. Введите ваше уравнение в поле после знака «=».
  2. Нажмите кнопку «Построить график» .

Как видите все предельно просто и доступно, синтаксис написания сложных математических функций: с модулем, тригонометрических, показательных — приведен прямо под графиком. Также при необходимости можно задать уравнение параметрическим методом или строить графики в полярной системе координат.


В Yotx есть все функции предыдущего сервиса, но при этом он содержит такие интересные нововведения как создание интервала отображения функции, возможность строить график по табличным данным, а также выводить таблицу с целыми решениями.

Инструкция:

  1. Выберите необходимый способ задания графика.
  2. Введите уравнение.
  3. Задайте интервал.
  4. Нажмите кнопку «Построить» .


Для тех, кому лень разбираться, как записать те или иные функции, на этой позиции представлен сервис с возможностью выбирать из списка нужную одним кликом мыши.

Инструкция:

  1. Найдите в списке необходимую вам функцию.
  2. Щелкните на нее левой кнопкой мыши
  3. При необходимости введите коэффициенты в поле «Функция:» .
  4. Нажмите кнопку «Построить» .

В плане визуализации есть возможность менять цвет графика, а также скрывать его или вовсе удалять.


Desmos безусловно – самый навороченный сервис для построения уравнений онлайн. Передвигая курсор с зажатой левой клавишей мыши по графику можно подробно посмотреть все решения уравнения с точностью до 0,001. Встроенная клавиатура позволяет быстро писать степени и дроби. Самым важным плюсом является возможность записывать уравнение в любом состоянии, не приводя к виду: y = f(x).

Инструкция:

  1. В левом столбце кликните правой кнопкой мыши по свободной строке.
  2. В нижнем левом углу нажмите на значок клавиатуры.
  3. На появившейся панели наберите нужное уравнение (для написания названий функций перейдите в раздел «A B C»).
  4. График строится в реальном времени.

Визуализация просто идеальная, адаптивная, видно, что над приложением работали дизайнеры. Из плюсов можно отметить огромное обилие возможностей, для освоения которых можно посмотреть примеры в меню в верхнем левом углу.

Сайтов для построения графиков функций великое множество, однако каждый волен выбирать для себя исходя из требуемого функционала и личных предпочтений. Список лучших был сформирован так, чтобы удовлетворить требования любого математика от мала до велика. Успехов вам в постижении «царицы наук»!

К сожалению, не все студенты и школьники знают и любят алгебру, но готовить домашние задания, решать контрольные и сдавать экзамены приходится каждому. Особенно трудно многим даются задачи на построение графиков функций: если где-то что-то не понял, не доучил, упустил — ошибки неизбежны. Но кому же хочется получать плохие оценки?

Не желаете пополнить когорту хвостистов и двоечников? Для этого у вас есть 2 пути: засесть за учебники и восполнить пробелы знаний либо воспользоваться виртуальным помощником — сервисом автоматического построения графиков функций по заданным условиям. С решением или без. Сегодня мы познакомим вас с несколькими из них.

Лучшее, что есть в Desmos.com, это гибко настраиваемый интерфейс, интерактивность, возможность разносить результаты по таблицам и бесплатно хранить свои работы в базе ресурса без ограничений по времени. А недостаток — в том, что сервис не полностью переведен на русский язык.

Grafikus.ru

Grafikus.ru — еще один достойный внимания русскоязычный калькулятор для построения графиков. Причем он строит их не только в двухмерном, но и в трехмерном пространстве.

Вот неполный перечень заданий, с которыми этот сервис успешно справляется:

  • Черчение 2D-графиков простых функций: прямых, парабол, гипербол, тригонометрических, логарифмических и т. д.
  • Черчение 2D-графиков параметрических функций: окружностей, спиралей, фигур Лиссажу и прочих.
  • Черчение 2D-графиков в полярных координатах.
  • Построение 3D-поверхностей простых функций.
  • Построение 3D-поверхностей параметрических функций.

Готовый результат открывается в отдельном окне. Пользователю доступны опции скачивания, печати и копирования ссылки на него. Для последнего придется авторизоваться на сервисе через кнопки соцсетей.

Координатная плоскость Grafikus.ru поддерживает изменение границ осей, подписей к ним, шага сетки, а также — ширины и высоты самой плоскости и размера шрифта.

Самая сильная сторона Grafikus.ru — возможность построения 3D-графиков. В остальном он работает не хуже и не лучше, чем ресурсы-аналоги.

Построение графиков функций, содержащих модули, обычно вызывает немалые затруднения у школьников. Однако, все не так плохо. Достаточно запомнить несколько алгоритмов решения таких задач, и вы сможете без труда построить график даже самой на вид сложной функции. Давайте разберемся, что же это за алгоритмы.

1. Построение графика функции y = |f(x)|

Заметим, что множество значений функций y = |f(x)| : y ≥ 0. Таким образом, графики таких функций всегда расположены полностью в верхней полуплоскости.

Построение графика функции y = |f(x)| состоит из следующих простых четырех этапов.

1) Построить аккуратно и внимательно график функции y = f(x).

2) Оставить без изменения все точки графика, которые находятся выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, которая лежит ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

Пример 1. Изобразить график функции y = |x 2 – 4x + 3|

1) Строим график функции y = x 2 – 4x + 3. Очевидно, что график данной функции – парабола. Найдем координаты всех точек пересечения параболы с осями координат и координаты вершины параболы.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Следовательно, парабола пересекает ось 0x в точках (3, 0) и (1, 0).

y = 0 2 – 4 · 0 + 3 = 3.

Следовательно, парабола пересекает ось 0y в точке (0, 3).

Координаты вершины параболы:

x в = -(-4/2) = 2, y в = 2 2 – 4 · 2 + 3 = -1.

Следовательно, точка (2, -1) является вершиной данной параболы.

Рисуем параболу, используя полученные данные (рис. 1)

2) Часть графика, лежащую ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно оси 0x.

3) Получаем график исходной функции (рис. 2 , изображен пунктиром).

2. Построение графика функции y = f(|x|)

Заметим, что функции вида y = f(|x|) являются четными:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Значит, графики таких функций симметричны относительно оси 0y.

Построение графика функции y = f(|x|) состоит из следующей несложной цепочки действий.

1) Построить график функции y = f(x).

2) Оставить ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отобразить указанную в пункте (2) часть графика симметрично оси 0y.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 2. Изобразить график функции y = x 2 – 4 · |x| + 3

Так как x 2 = |x| 2 , то исходную функцию можно переписать в следующем виде: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. А теперь можем применять предложенный выше алгоритм.

1) Строим аккуратно и внимательно график функции y = x 2 – 4 · x + 3 (см. также рис. 1 ).

2) Оставляем ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отображаем правую часть графика симметрично оси 0y.

(рис. 3) .

Пример 3. Изобразить график функции y = log 2 |x|

Применяем схему, данную выше.

1) Строим график функции y = log 2 x (рис. 4) .

3. Построение графика функции y = |f(|x|)|

Заметим, что функции вида y = |f(|x|)| тоже являются четными. Действительно, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), и поэтому, их графики симметричны относительно оси 0y. Множество значений таких функций: y 0. Значит, графики таких функций расположены полностью в верхней полуплоскости.

Чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, необходимо:

1) Построить аккуратно график функции y = f(|x|).

2) Оставить без изменений ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 4. Изобразить график функции y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Заметим, что x 2 = |x| 2 . Значит, вместо исходной функции y = -x 2 + 2|x| – 1

можно использовать функцию y = -|x| 2 + 2|x| – 1, так как их графики совпадают.

Строим график y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Для этого применяем алгоритм 2.

a) Строим график функции y = -x 2 + 2x – 1 (рис. 6) .

b) Оставляем ту часть графика, которая расположена в правой полуплоскости.

c) Отображаем полученную часть графика симметрично оси 0y.

d) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 7) .

2) Выше оси 0х точек нет, точки на оси 0х оставляем без изменения.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно 0x.

4) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 8) .

Пример 5. Построить график функции y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Сначала необходимо построить график функции y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Для этого возвращаемся к алгоритму 2.

a) Аккуратно строим график функции y = (2x – 4) / (x + 3) (рис. 9) .

Заметим, что данная функция является дробно-линейной и ее график есть гипербола. Для построения кривой сначала необходимо найти асимптоты графика. Горизонтальная – y = 2/1 (отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе дроби), вертикальная – x = -3.

2) Ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней, оставим без изменений.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразим симметрично относительно 0x.

4) Окончательный график изображен на рисунке (рис. 11) .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Построение и исследование графика тригонометрической функции y=sinx в табличном процессоре MS Excel. Графики тригонометрических функций кратных углов Построить график функции y sin 2

«Йошкар-Олинский техникум сервисных технологий»

Построение и исследование графика тригонометрической функции y=sinx в табличном процессоре MS Excel

/методическая разработка/

Йошкар – Ола

Тема . Построение и исследование графика тригонометрической функции y = sinx в табличном процессоре MS Excel

Тип урока – интегрированный (получение новых знаний)

Цели:

Дидактическая цель исследовать поведение графиков тригонометрической функции y = sinx в зависимости от коэффициентов с помощью компьютера

Обучающие:

1. Выяснить изменение графика тригонометрической функции y = sin x в зависимости от коэффициентов

2. Показать внедрение компьютерных технологий в обучение математике, интеграцию двух предметов: алгебры и информатики.

3. Формировать навыки использования компьютерных технологий на уроках математики

4. Закрепить навыки исследования функций и построения их графиков

Развивающие:

1. Развивать познавательный интерес учащихся к учебным дисциплинам и умение применять свои знания в практических ситуациях

2. Развивать умения анализировать, сравнивать, выделять главное

3. Способствовать повышению общего уровня развития студентов

Воспитывающие :

1. Воспитывать самостоятельность, аккуратность, трудолюбие

2. Воспитывать культуру диалога

Формы работы на уроке – комбинированная

Дидактическое оснащение и оборудование:

1. Компьютеры

2. Мультимедийный проектор

4. Раздаточный материал

5. Слайды презентации

Ход урока

I . Организация начала урока

· Приветствие студентов и гостей

· Настрой на урок

II . Целеполагание и актуализация темы

Для исследования функции и построения ее графика требуется много времени, приходится выполнять много громоздких вычислений, это не удобно, на помощь приходят компьютерные технологии.

Сегодня мы научимся строить графики тригонометрических функций в среде табличного процессора MS Excel 2007.

Тема нашего занятия «Построение и исследование графика тригонометрической функцииy = sinx в табличном процессоре»

Из курса алгебры нам известна схема исследования функции и построения ее графика. Давайте вспомним как это сделать.

Слайд 2

Схема исследования функции

1. Область определения функции (D(f))

2. Область значения функции Е(f)

3. Определение четности

4. Периодичность

5. Нули функции (y=0)

6. Промежутки знакопостоянства (у>0, y

7. Промежутки монотонности

8. Экстремумы функции

III . Первичное усвоение нового учебного материала

Откройте программу MS Excel 2007.

Построим график функции y=sinx

Построение графиков в табличном процессоре MS Excel 2007

График данной функции будем строить на отрезке x Є [-2π; 2π]

Значения аргумента будем брать с шагом, чтобы график получился более точным.

Т. к. редактор работает с числами, переведем радианы в числа, зная что П ≈ 3,14 . (таблица перевода в раздаточном материале).

1. Находим значение функции в точке х=-2П. Для остальных значение аргумента соответствующие значения функции редактор вычисляет автоматически.

2. Теперь у нас имеется таблица со значениями аргумента и функции. С помощью этих данных мы должны построить график этой функции с помощью мастера диаграмм.

3. Для построения графика надо выделить нужный диапазон данных, строки со значениями аргумента и функции

4..jpg»>

Выводы записываем в тетрадь (Слайд 5)

Вывод. График функции вида у=sinx+k получается из графика функции у=sinx с помощью параллельного переноса вдоль оси ОУ на k единиц

Если k >0, то график смещается вверх на k единиц

Если k

Построение и исследование функции вида у= k *sinx, k const

Задание 2. На рабочем Листе2 в одной системе координат постройте графики функций y = sinx y =2* sinx , y = * sinx , на интервале (-2π; 2π) и проследите как изменяется вид графика.

(Чтобы заново не задавать значение аргумента давайте скопируем имеющиеся значения. Теперь вам надо задать формулу, и по полученной таблице построить график.)

Сравниваем полученные графики. Разбираем вместе с обучающимися поведение графика тригонометрической функции в зависимости от коэффициентов. (Слайд 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif»>x , на интервале (-2π; 2π) и проследите как изменяется вид графика.

Сравниваем полученные графики. Разбираем вместе с обучающимися поведение графика тригонометрической функции в зависимости от коэффициентов. (Слайд 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg»>

Выводы записываем в тетрадь (Слайд 11)

Вывод. График функции вида у= sin(x+k) получается из графика функции у=sinx с помощью параллельного переноса вдоль оси ОХ на k единиц

Если k >1, то график смещается вправо вдоль оси ОХ

Если 0

IV . Первичное закрепление полученных знаний

Дифференцированные карточки с заданием на построение и исследование функции при помощи графика

Y=6 *sin(x)

Y= 1-2 sin х

Y= sin (3х+ )

1. Область определения

2. Область значения

3. Четность

4. Периодичность

5. Промежутки знакопостоянства

6. Промежутки монотонности

Функция возрастает

Функция

убывает

7. Экстремумы функции

Минимум

Максимум

V . Организация домашнего задания

Построить график функции y=-2*sinх+1 , исследовать и проверить правильность построения в среде электронной таблицы Microsoft Excel. (Слайд 12)

VI . Рефлексия

Теперь мы рассмотрим вопрос о том, как строить графики тригонометрических функций кратных углов ωx , где ω — некоторое положительное число.

Для построения графика функции у = sin ωx сравним эту функцию с уже изученной нами функцией у = sin x . Предположим, что при х = x 0 функция у = sin х принимает значение, равное у 0 . Тогда

у 0 = sin x 0 .

Преобразуем это соотношение следующим образом:

Следовательно, функция у = sin ωx при х = x 0 / ω принимает то же самое значение у 0 , что и функция у = sin х при х = x 0 . А это означает, что функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция у = sin x . Поэтому график функции у = sin ωx получается путем «сжатия» графика функции у = sin x в ω раз вдоль оси х.

Например, график функции у = sin 2х получается путем «сжатия» синусоиды у = sin x вдвое вдоль оси абсцисс.

График функции у = sin x / 2 получается путем «растяжения» синусоиды у = sin х в два раза (или «сжатия» в 1 / 2 раза) вдоль оси х.

Поскольку функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция
у = sin x , то период ее в ω раз меньше периода функции у = sin x . Например, период функции у = sin 2х равен 2π / 2 = π , а период функции у = sin x / 2 равен π / x / 2 = .

Интересно провести исследование поведения функции у = sin аx на примере анимации, которую очень просто можно создать в программе Maple :

Аналогично строятся графики и других тригонометрических функций кратных углов. На рисунке представлен график функции у = cos 2х , который получается путем «сжатия» косинусоиды у = cos х в два раза вдоль оси абсцисс.

График функции у = cos x / 2 получается путем «растяжения» косинусоиды у = cos х вдвое вдоль оси х.

На рисунке вы видите график функции у = tg 2x , полученный «сжатием» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси абсцисс.

График функции у = tg x / 2 , полученный «растяжением» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси х.

И, наконец, анимация, выполненная программой Maple:

Упражнения

1. Построить графики данных функций и указать координаты точек пересечения этих графиков с осями координат. Определить периоды данных функций.

а). y = sin 4x / 3 г). y = tg 5x / 6 ж). y = cos 2x / 3

б). у= cos 5x / 3 д). у = ctg 5x / 3 з). у= ctg x / 3

в). y = tg 4x / 3 е). у = sin 2x / 3

2. Определить периоды функций у = sin (πх) и у = tg ( πх / 2 ).

3. Приведите два примера функции, которые принимают все значения от -1 до +1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом 10.

4 *. Приведите два примера функций, которые принимают все значения от 0 до 1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом π / 2 .

5. Приведите два примера функций, которые принимают все действительные значения и изменяются периодически с периодом 1.

6 *. Приведите два примера функций, которые принимают все отрицательные значения и нуль, но не принимают положительные значения и изменяются периодически с периодом 5.

Как построить график функции y=sin x? Для начала рассмотрим график синуса на промежутке .

Единичный отрезок берём длиной 2 клеточки тетради. На оси Oy отмечаем единицу.

Для удобства число π/2 округляем до 1,5 (а не до 1,6, как требуется по правилам округления). В этом случае отрезку длиной π/2 соответствуют 3 клеточки.

На оси Ox отмечаем не единичные отрезки, а отрезки длиной π/2 (через каждые 3 клеточки). Соответственно, отрезку длиной π соответствует 6 клеточек, отрезку длиной π/6 — 1 клеточка.

При таком выборе единичного отрезка график, изображённый на листе тетради в клеточку, максимально соответствует графику функции y=sin x.

Составим таблицу значений синуса на промежутке :

Полученные точки отметим на координатной плоскости:

Так как y=sin x — нечётная функция, график синуса симметричен относительно начала отсчёта — точки O(0;0). С учётом этого факта продолжим построение графика влево, то точки -π:

Функция y=sin x — периодическая с периодом T=2π. Поэтому график функции, взятый на на промежутке [-π;π], повторяется бесконечное число раз вправо и влево.

Урок и презентация на тему: «Функция y=sin(x). Определения и свойства»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов
Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»

Что будем изучать:

  • Свойства функции Y=sin(X).
  • График функции.
  • Как строить график и его масштаб.
  • Примеры.

Свойства синуса. Y=sin(X)

Ребята, мы уже познакомились с тригонометрическими функциями числового аргумента. Вы помните их?

Давайте познакомимся поближе с функцией Y=sin(X)

Запишем некоторые свойства этой функции:
1) Область определения – множество действительных чисел.
2) Функция нечетная. Давайте вспомним определение нечетной функции. Функция называется нечетной если выполняется равенство: y(-x)=-y(x). Как мы помним из формул привидения: sin(-x)=-sin(x). Определение выполнилось, значит Y=sin(X) – нечетная функция.
3) Функция Y=sin(X) возрастает на отрезке и убывает на отрезке [π/2; π]. Когда мы движемся по первой четверти (против часовой стрелки), ордината увеличивается, а при движении по второй четверти она уменьшается.

4) Функция Y=sin(X) ограничена снизу и сверху. Данное свойство следует из того, что
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Наименьшее значение функции равно -1 (при х = — π/2+ πk). Наибольшее значение функции равно 1 (при х = π/2+ πk).

Давайте, воспользовавшись свойствами 1-5, построим график функции Y=sin(X). Будем строить наш график последовательно, применяя наши свойства. Начнем строить график на отрезке .

Особое внимание стоит обратить на масштаб. На оси ординат удобнее принять единичный отрезок равный 2 клеточкам, а на оси абсцисс — единичный отрезок (две клеточки) принять равным π/3 (смотрите рисунок).


Построение графика функции синус х, y=sin(x)

Посчитаем значения функции на нашем отрезке:


Построим график по нашим точкам, с учетом третьего свойства.

Таблица преобразований для формул привидения

Воспользуемся вторым свойством, которое говорит, что наша функция нечетная, а это значит, что ее можно отразить симметрично относительно начало координат:


Мы знаем, что sin(x+ 2π) = sin(x). Это значит, что на отрезке [- π; π] график выглядит так же, как на отрезке [π; 3π] или или [-3π; — π] и так далее. Нам остается аккуратно перерисовать график на предыдущем рисунке на всю ось абсцисс.

График функции Y=sin(X) называют — синусоидой.

Напишем еще несколько свойств согласно построенному графику:
6) Функция Y=sin(X) возрастает на любом отрезке вида: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k – целое число и убывает на любом отрезке вида: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – целое число.
7) Функция Y=sin(X) – непрерывная функция. Посмотрим на график функции и убедимся что у нашей функции нет разрывов, это и означает непрерывность.
8) Область значений: отрезок [- 1; 1]. Это также хорошо видно из графика функции.
9) Функция Y=sin(X) — периодическая функция. Посмотрим опять на график и увидим, что функция принимает одни и те же значения, через некоторые промежутки.

Примеры задач с синусом

1. Решить уравнение sin(x)= x-π

Решение: Построим 2 графика функции: y=sin(x) и y=x-π (см. рисунок).
Наши графики пересекаются в одной точке А(π;0), это и есть ответ: x = π


2. Построить график функции y=sin(π/6+x)-1

Решение: Искомый график получится путем переноса графика функции y=sin(x) на π/6 единиц влево и 1 единицу вниз.


Решение: Построим график функции и рассмотрим наш отрезок [π/2; 5π/4].
На графике функции видно, что наибольшие и наименьшие значения достигаются на концах отрезка, в точках π/2 и 5π/4 соответственно.
Ответ: sin(π/2) = 1 – наибольшее значение, sin(5π/4) = наименьшее значение.

Задачи на синус для самостоятельного решения


  • Решите уравнение: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
  • Построить график функции y=sin(π/3+x)-2
  • Построить график функции y=sin(-2π/3+x)+1
  • Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin(x) на отрезке
  • Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin(x) на отрезке [- π/3; 5π/6]

Преобразование графиков

Мы знаем уже несколько «стандартных» функций, например, y = х2, у = f(х) и др. Теперь же рассмотрим варианты их преобразований.

Графики функций y = ах2, y = ах3.

Мы знаем, что графиком функции y = ах2 является парабола. Чтобы построить график функции y = ах2, нужно «растянуть» или «сжать» параболу y = х2 от оси х с коэффициентом |а|. Если а < 0, то график функции нужно еще симметрично отобразить относительно оси х.

Все полученные графики – так же, как и первоначальный график – называются параболами. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, при а < 0 – вниз.

Аналогично строится и график функции y = ах3 – кубическая парабола.

График функции у = f(х – m) + n

Точкой отсчета для построения графика этой функции является построение графика функции у = f(х). Итак, для создания графика функции у = f(х – m) + n нужно:

1. Выполнить параллельный перенос плоскости, выбрав началом новой системы координат х´у´ точку
О (m; n).

2. В новой плоскости построить график функции у = f(х).

Полученный график и будет графиком заданной функции, а именно – у = f(х – m) + n.

График квадратичной функции.

Квадратичной мы называем функцию вида у = ах2 + bх + c, где а, b и c – любые действительные числа и
а ≠ 0.

Чтобы построить график функции у = ах2 + bх + c, нам необходимо:

1. Произвести выделение полного квадрата квадратного трехчлена у = ах2 + bх + c, в результате которого мы получаем

ах2 + bх + c = а(х + b/2а)2 + 4ас – b2/4а.

2. Построим график полученной функции, т.е. у = а(х + b/2а)2 + 4ас – b2/4а.

Для этого нам нужно выполнить параллельный перенос плоскости, поместив в начало новой системы координат х´у´ точку О (-b/2а; 4ас – b2/4а), а также в плоскости х´у´ построить параболу – график функции
у´ = а (х´)2.

Прямая х = -b/2а получила название ось симметрии параболы, а точка О´ (-b/2а; 4ас – b2/4а) – вершина параболы.

Если а > 0, то ветви параболы будут направлены вверх, если а < 0 – вниз.

Построить график квадратичной функции можно несколькими способами.

Способ 1.

Отыскание координат вершины параболы по формулам:

х0 = -b/2а

у0 = 4ас – b2/4а.

Используя приведенные формулы, мы сможем получить координаты вершины нашей параболы и еще нескольких точек.

Способ 2.

Построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного трехчлена
ах2 + bх + c. При построении графика этим способом нам нужно будет решить уравнение, чтобы найти координаты наших двух «опорных» точек. После мы сможем найти координаты вершины параболы и собственно через 3 точки построить параболу.

Способ 3.

Построение параболы по корням квадратного трехчлена. Для этого нам предстоит найти корни квадратного трехчлена х1 и х2. Далее мы определим координаты наших опорных точек и вершины. А после построим сам график.

График функции у = f(kх).

Рассмотрим случай, когда k > 0, k ≠ 1.

Сопоставляя нашу функцию с функцией у = f(х), приходим к выводу, что график функции у = f(kх) получается из графика функции у = f(х) сжатием с коэффициентом k к оси у.

Сжиматься и растягиваться могут и графики тригонометрических функций (например, у = m sin kx, у = m cos kx и др.).

Построение подобных графиков проходят в три стадии:

1. Строим график «простой», знакомой нам функции у = sin x.

2. Строим график функции у = sin kx.

3. Строим график функции у = m sin kx.

На практике же легче всего построить график для функции у = m sin kx сжатием или растяжением одной полуволны графика у = sin x, а затем построить весь график.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Мастер строительства Pro Trig | Расчетные отрасли


[+] Обзор

Усовершенствованный строительно-математический калькулятор с дробями в футах и ​​дюймах с полным набором триггерных функций

Construction Master Pro Trig предоставляет профессионалам-строителям полный набор триггерных функций, которые помогают им быстро и легко решать сложные математические задачи. Это экономит время, снижает затраты и предотвращает повторную работу. Вы можете легко работать и конвертировать между футами, дюймами, дробями и метрическими единицами.Мгновенно рассчитывайте сложные строительные задачи для лестничных площадок, крыш, каркаса и многого другого. Полные триггерные функции с синусом, косинусом, тангенсом, арксинусом, арккосинусом и арктангенсом.

Строительные расчеты:

  • Работа и преобразование между любыми размерами здания, включая метрические
  • Триггерная функция
  • Поиск веса по объему и каркасные решения
  • Круговые: арки, окружности, сегменты и т. д.
  • Лестницы — установка высоты подступенка и решение для проема лестничной клетки
  • Шпильки — найти число по центру для введенной длины Равносторонние многоугольники
Для подрядчиков, архитекторов, инженеров, руководителей проектов, сметчиков, чертежников, строителей, каркасников, плотников, торговцев


[+] Детали

Размерная математика и преобразования
  • Работа и преобразование между всеми размерными форматами зданий: Ярды, футы-дюймы-доли, десятичные футы и дюймы и метрические единицы, включая площадь и объем
  • Преобразование D:M:S в десятичные градусы
  • Вес на единицу объема
  • Полная функция триггера: Синус, косинус, тангенс, арксинус, арккосинус и арктангенс упрощают сложное проектирование и математические расчеты

Встроенные функции экономии времени

  • Полный расчет лестниц для подступенков, ступеней, длины косоура и угла наклона
  • Установить высоту подступенка и решить для проема лестничной клетки
  • Встроенные функции прямого угла
  • Функция крыши находит площадь, связки, квадраты и обшивку 4×8 для плоских или скатных крыш
  • Функция нестандартных стропил обеспечивает стандартные стропила, стандартные и нестандартные вальмы, ендовы и домкраты; мгновенные углы резки (щека, уровень и отвес)
  • Результаты домкрата для крыш с постоянным и неправильным уклоном.Найти стойки для наклонных стен с межосевым расстоянием
  • Соединение под углом — сохраните угол короны и введите угол угла стены для расчета наклона и угла лезвия для резки под углом
  • Усовершенствованные решения для кругов, арок, колонн, конусов, столбов, окон и отверстий для стоек
  • Арочные стены с межцентровым расстоянием
  • Шпильки — Расчет количества центральных шпилек для введенной длины
  • Равносторонний многоугольник — Расчет угла и биссектрисы, длины стороны, периметра и площади
  • Ножки для досок Оценка пиломатериалов

Дополнительные характеристики

  • Пользовательские настройки: Установка настраиваемых параметров, таких как дробные значения от 1/2″ до 1/64″ и высота перемычки лестницы, десятичные градусы и т. д.
  • Экспоненциальное представление: Ввод и отображение экспоненциальных значений
  • Клавиша Backspace: Облегчает изменение только что введенных значений
  • Постоянный оператор: Упрощает повторяющиеся вычисления
  • Стоимость за единицу: Простое решение расчета себестоимости и ценообразования за единицу
  • Накопительная память (M+) плюс три дополнительных ячейки памяти
  • «Безбумажная» лента: Позволяет просмотреть последние 20 записей; перепроверьте итоги
  • Стандартные вычисления: Работает как математический калькулятор с +, -, +/-, ×, ÷, %, π, 1/x, x 2 и √
  • Автоматическое отключение экономит заряд батареи

Включает

  • Прочный корпус Armadillo Gear с защитой от ударов, пыли и влаги
  • Карманные справочники на английском и испанском языках
  • Две батареи LR44 с длительным сроком службы
  • Гарантия на один год

Технические характеристики

Размер:
5.7″ x 3,0″ x 0,65″ (145 мм x 76 мм x 17 мм)

Вес продукта:
4,6 унции (130 грамм)
Включает футляр и карманное справочное руководство

Питание:
Две батареи 1,5 В LR-44/A76 с длительным сроком службы

Тип дисплея:
11 цифр (7 обычных, 4 дробных)

Размеры дисплея:
0,625″ x 2,5″ (16 мм x 63,5 мм)

Точность:
12-разрядная внутренняя точность


[+] Отзывы

Отзывы пользователей
5 из 5.0
Пользователь: Тони Сальвуччи, бригадир плотников Eastwind Corp из Холбрука, штат Массачусетс
Пользовательский рейтинг: ★ ★ ★ ★ ★
отличный товар. Я купил несколько и никогда не разочаровывался в них. использование моего мастера по строительству имеет жизненно важное значение для моей работы и делает когда-то сложные расчеты на одном дыхании! спасибо

Construction Master Pro триг 5 из 5.0
Пользователь: Джон Дж. Норман, архитектор Norman Architects из Сидарбурга, Висконсин
Пользовательский рейтинг: ★ ★ ★ ★ ★
Я использую калькуляторы Calculated Industries не менее 20 лет. Я купил их для всех своих сотрудников, чтобы они не теряли время зря и были более точными. Я теряюсь без моего Construction Master Pro Trig. Отличный инструмент в офисе и на стройке.

Необходимо иметь 5 из 5.0
Пользователь: Энтони Уэлтон, владелец Welton Equipment из Ады, штат Оклахома
Пользовательский рейтинг: ★ ★ ★ ★ ★
Я использую это для всего, от геодезических вычислений до завершения работы. Если у вас его нет, вы тратите много времени на сложные решения.

Именно то, что я искал 5 из 5.0
Пользователь: Крис Кук, руководитель проекта производства стали Sippel из Суикли, штат Пенсильвания
Пользовательский рейтинг: ★ ★ ★ ★ ★
Я задумался о покупке калькулятора, который поможет мне быстро и легко рассчитать размеры лестницы и другие угловые расчеты. Этот продукт находится на

0 из 5.0
Пользователь: Пол Рабинович из PRB Design, Inc.
Пользовательский рейтинг:
Сразу хочу сказать, что я купил Professional Measure Master II около 27 лет назад. Я использовал его около 10 лет, а затем купил Construction Master Pro Trig и положил свой оригинальный калькулятор в ящик стола. Что ж, примерно через 17 лет (недавно) я нашел его в ящике стола, и батарея до сих пор работает! Я использовал его ежедневно в течение последних нескольких месяцев, и он все еще остается сильным.Невероятный! Спасибо за отличный продукт.

Construction Master Pro Trig 5 из 5,0. ★ ★ ★ ★ ★
Этот калькулятор отвечает всем нашим инженерным задачам, которые мы выполняем. Замечательно иметь только один калькулятор вместо двух, чтобы выполнять все функции, предусмотренные в этом калькуляторе.

Хорошая устойчивость к накипи 4 из 5,0. ★ ★ ★ ★ ★
Эти калькуляторы великолепны. Корпус броненосца венчает свое превосходство. Единственная проблема заключается в том, что если вы используете его изо дня в день, кнопки изнашиваются в течение года.

5 из 5.0
Пользователь: pat с сайта mountaintop.pa.
Рейтинг пользователей: ★ ★ ★ ★ ★

Construction Master Pro Trig 5 из 5,0. ★ ★ ★ ★ ★
Компания, в которой я работаю, занимается строительством и ремонтом надземных резервуаров API.Мы ходим по кругу каждый день в течение всего дня! Триггерные функции и функции преобразования просто фантастические! Мы приобрели по 7 калькуляторов Construction Master Pro Trig для каждого из наших сотрудников и будем покупать еще по мере найма новых людей!

строительный мастер про триг 4 из 5.0
★ ★ ★ ★ ★

ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ 5 из 5.0
Пользователь: Тимоти С. Смайли, CAD-чертеж из Artistic Iron Works из Де-Мойна, штат Айова
Рейтинг пользователей: ★ ★ ★ ★ ★
Я ОБОЖАЮ ЭТОТ КАЛЬКУЛЯТОР- СПАСИБО Мастер Про Триг 5 из 5,0. ★ ★ ★ ★ ★
Прод.Master Pro Trig до сих пор работал для меня, очень простой в использовании калькулятор.

Pro Trig 4 из 5,0. ★ ★ ★ ★ ★
Некоторые функции, которые были легко доступны в более ранней модели, теперь трудно найти, например, преобразование метрических единиц.

5 из 5.0
Пользователь: Ларри Дойл из Kiewit Western Co. из Омахи, Небраска
★ ★ ★ ★ ★

Const Master Pro Trig 5 из 5.0
Пользователь: Джеймс Ридер из Чарльстона, Южная Каролина
★ ★ ★ ★ ★
Я трубомонтажник, и этот калькулятор отлично подходит для расчета составных смещений и связанных элементов, таких как длины хорд.Если у вас есть проблемы с математикой, этот калькулятор может это сделать. Он также очень прост в использовании. Это обязательный предмет для трубомонтажника / сварщика.

Пост. Мастер Про Триг 5 из 5,0. ★ ★ ★ ★ ★
Construction Master Pro Trig — это простой и очень полезный инструмент, который я использую каждый день в своей работе.

Pro Trig 5 из 5,0. ★ ★ ★ ★ ★
Мне это нравится. Нет ничего, что мне в нем не нравится.

Pro Trig 5 из 5.0
Пользователь: Уильям Дэниел из отдела управления проектами Exxcel из Колумбуса, штат Огайо
Пользовательский рейтинг: ★ ★ ★ ★ ★
Я купил это для моего сына, который является старшим в управлении строительством. Это замечательный инструмент.

Отлично работает! 5 из 5.0
Пользователь: Дэвид Т. из Гейнсвилля Флорида
★ ★ ★ ★ ★
У меня нет претензий, кроме функции лестницы, которая, как мне кажется, могла бы быть более удобной для пользователя.

Купила бы снова 5 из 5.0
Пользователь: Джейсон Рейл из Сент-Луиса, Миссури
★ ★ ★ ★ ★
Один из лучших калькуляторов, которыми я пользовался. Это гораздо удобнее, чем Jobber или обычный калькулятор.

4 из 5.0
Пользователь: Рэнди Манн из компании Utility Engineering из Денвера, Колорадо
Рейтинг пользователей: ★ ★ ★ ★ ★


[+] Скачать приложение




[+] Запчасти и аксессуары

 Запчасти
Батарея LR44
(используется 2)

Батарея LR44 эквивалентна батарее Duracell® 303/357.

Тригонометрический калькулятор. Простой способ найти sin, cos, tan, cot

Этот калькулятор тригонометрии поможет вам в двух популярных случаях, когда необходима тригонометрия. Если вы хотите найти значения синуса, косинуса, тангенса и их обратных функций, воспользуйтесь первой частью калькулятора. Поиск недостающей стороны или угла в прямоугольном треугольнике с помощью тригонометрии? Наш инструмент также является беспроигрышным вариантом! Введите 2-3 заданных значения во второй части калькулятора и в мгновение ока вы найдете ответ.Прокрутите вниз, если хотите узнать больше о том, что такое тригонометрия и где ее можно применять.

Есть много других инструментов, полезных при решении задач тригонометрии. Ознакомьтесь с двумя популярными тригонометрическими законами: калькуляторами закона синусов и закона косинусов, помогающими решать треугольники любого типа. Если вы хотите узнать больше о тригонометрических функциях, перейдите к нашим специальным инструментам:

.

Что такое тригонометрия?

Тригонометрия — раздел математики. Само слово происходит от греческого trigōnon (что означает «треугольник») и метрон («мера»).Как следует из названия, тригонометрия в основном имеет дело с углами и треугольниками ; в частности, это определение и использование взаимосвязей и соотношений между углами и сторонами в треугольниках. Таким образом, основным приложением является решение треугольников, особенно прямоугольных треугольников, а также любого другого типа треугольника, который вам нравится.

🔎 Все тригонометрические функции (sin, cos, tan) являются отношениями. Таким образом, вы можете найти недостающие члены, используя только наш калькулятор отношений!

Тригонометрия имеет множество применений: от бытовых задач, таких как вычисление высоты или расстояния между объектами, до систем спутниковой навигации, астрономии и географии.Также функции синуса и косинуса являются основополагающими для описания периодических явлений — благодаря им мы можем описывать колебательные движения (как простой маятник) и волны, такие как звук, вибрация или свет.

Многие области науки и техники используют тригонометрию и тригонометрические функции, и это лишь некоторые из них: музыка, акустика, электроника, медицина и медицинская визуализация, биология, химия, метеорология, электротехника, механика и гражданское строительство, даже экономика. Тригонометрические функции равны , а на самом деле вокруг нас!

Калькулятор триггеров для поиска sin, cos, tan, cot, sec, csc

Чтобы найти тригонометрические функции угла, введите выбранный угол в градусах или радианах.Под калькулятором появятся шесть самых популярных триггерных функций — три основные: синус, косинус и тангенс, и их обратные величины: косеканс, секанс и котангенс. Кроме того, если угол острый, будет отображаться прямоугольный треугольник, который может помочь вам понять, как можно интерпретировать функции.

Чтобы найти недостающие стороны или углы прямоугольного треугольника, все, что вам нужно сделать, это ввести известные переменные в калькулятор тригонометрии. Вам нужно только два заданных значения в случае:

  • одна сторона и один угол
  • две стороны
  • площадь и одна сторона

Помните, что если вы знаете два угла, этого недостаточно, чтобы найти стороны треугольника.Два треугольника, имеющие одинаковую форму (что означает, что они имеют равные углы), могут иметь разные размеры (не одинаковую длину стороны) — такое отношение называется сходством треугольника . Если стороны имеют одинаковую длину, то треугольники на конгруэнтны на .

Часто задаваемые вопросы

Что такое тригонометрия?

Тригонометрия — это изучение взаимосвязей внутри треугольника . Для прямоугольных треугольников отношение между любыми двумя сторонами всегда одинаково и выражается в виде тригонометрических отношений cos, sin и tan.Тригонометрия также может помочь найти некоторую недостающую треугольную информацию , например, правило синусов.

Тригонометрия сложна?

Тригонометрия может быть сложной поначалу, но после некоторой практики вы освоите ее! Вот несколько советов по тригонометрии: обозначьте гипотенузой, соседней и противоположной в вашем треугольнике, чтобы помочь вам понять, какое тождество использовать, и запомните мнемонику SOHCATOA для тригонометрических соотношений!

Для чего используется тригонометрия?

Тригонометрия используется для поиска информации обо всех треугольниках и, в частности, о прямоугольных треугольниках.Поскольку треугольников повсюду в природе , тригонометрия используется вне математики, в таких областях, как строительство, физика, химия и астрономия.

Кто изобрел тригонометрию?

Так как тригонометрия — это отношение между углами и сторонами треугольника, ее никто не изобретал , она все равно существовала бы, даже если бы о ней никто не знал! Первыми, кто открыл часть тригонометрии, были древние египтяне и вавилоняне , но Евклид и Архимид первыми доказали тождества, хотя и сделали это с помощью форм, а не алгебры.

Какой класс тригонометрии?

Тригонометрия обычно преподается подросткам в возрасте 13-15 лет , то есть 8 и 9 классы в США и 9 и 10 лет в Великобритании. Точный возраст, в котором преподается тригонометрия, зависит от страны, школы и способностей учеников.

Вычисление тригонометрических функций

Вычисление тригонометрических функций

Это совершенно необязательная страница. Нет необходимости знать, как вычислять триггерные функции и их обратные, чтобы использовать их.Тем не менее, многих интересует, как вычислялись значения этих функций до и после изобретения калькуляторов и компьютеров. Если вам интересно, то читайте дальше. В противном случае переходите к следующему разделу о косых треугольниках.

До компьютеров: столы
Птолемей (100–178) создал одну из первых таблиц для тригонометрии в своей работе, Альмагест , , и он включил математику, необходимую для разработки этой таблицы. Это была таблица хорд (обсуждавшаяся ранее) для каждой дуги от 1/2° до 180° с интервалами в 1/2°.Также он объяснил, как интерполировать между заданными углами.

Вместо того, чтобы повторять то, что он сделал для аккордов, давайте посмотрим, как создавать таблицы для синусов и косинусов, используя его методы. Во-первых, на основе теоремы Пифагора и подобных треугольников можно напрямую вычислять синусы и косинусы определенных углов. В частности, вы можете напрямую найти синусы и косинусы для углов 30°, 45° и 60°, как описано в разделе о косинусах. Птолемей знал еще два угла, которые можно построить, а именно 36° и 72°.Эти углы были построены Евклидом в предложении IV.10 его элементов. Подобно Птолемею, мы можем использовать эту конструкцию для вычисления триггерных функций для этих углов. На данный момент мы можем вычислить триггерные функции для углов 30°, 36°, 45°, 60° и 72°, и, конечно же, мы знаем значения для 0° и 90°.

Имейте в виду, что если известен синус угла θ , то известен и косинус дополнительного угла 90° –  θ ; аналогично, если вы знаете косинус угла θ , то вы знаете синус дополнительного угла 90° – θ :

Таким образом, у вас также есть триггерные функции для 18° и 54°.

Далее вы можете использовать формулы половинного угла для синусов и косинусов, чтобы вычислить значения половины угла, если вы знаете значения угла. Если θ — это угол между 0° и 180°, то

Используя их, из значений 18°, 30° и 54° можно найти значения 27°, 15° и 9° и, следовательно, их дополнения 63°, 75° и 81°.

С помощью формул суммы и разности

Вы можете найти синус и косинус для 3° (от 30° до 27°), а затем заполнить таблицы для синуса и косинуса для углов от 0° до 90° с шагом 3°.

Опять же, используя формулы половинного угла, вы можете создать таблицу с шагом 1,5° (то есть 1&deg 30′), затем 0,75° (что составляет 45′) или даже 0,375° (что составляет 22′ 30′). «). Но как получить таблицу с приращениями в 1°? ​​Птолемей признал, что не существует евклидовой конструкции, позволяющей разделить угол в 3° на три части, чтобы получить угол в 1°, но поскольку функция синуса почти линейна для малых углов, вы можете аппроксимировать sin 1°, просто интерполируя треть пути между значениями sin 0.75&град и sin 1,5&град. С помощью этого шага мы можем построить триггерные таблицы для триггерных функций с шагом 1°.

На протяжении столетий создавались лучшие триггерные таблицы. Например, Улугбек (15 век) построил таблицы синусов и тангенсов для каждой угловой минуты с точностью до девяти знаков!

Улугбек (1394–1449)
   
   
Обсерватория Улугбека, Самарканд, Узбекистан

Между прочим, если у вас есть таблица синусов, вы можете прочитать ее в обратном порядке, чтобы вычислить арксинус, поэтому для обоих требуется только одна таблица.

После компьютеров: силовая серия
Хотя компьютеры и калькуляторы могут просто хранить триггерные таблицы в своей памяти, они также могут напрямую вычислять триггерные функции, что они обычно и делают.

В конце 17 века Ньютон и другие математики разработали степенные ряды. Степенной ряд подобен многочлену неограниченной степени. Для различных триггерных функций эти математики нашли степенные ряды. Вот степенные ряды для синуса и косинуса (где x — это угол, измеренный в радианах):

Три точки… означают, что выражение должно продолжаться бесконечно, добавляя новый термин, затем вычитая термин и т. д. Восклицательный знак ! следует читать как «факториал», и это означает, что вы перемножаете целые числа от 1 до заданного числа. Например, 5!, «факториал пяти», равно 1 умножить на 2 умножить на 3 умножить на 4 умножить на 5, что равно 120, и, следовательно, 6! = 720.

В этих степенных рядах бесконечно много членов, но они так быстро становятся маленькими, что только первые несколько членов дают большой вклад.

Предположим, вы хотите вычислить синус 45&deg, с точностью до некоторого числа разрядов, используя этот степенной ряд. Сначала преобразуйте 45° в радианы, чтобы получить π /4, что равно 0,78539816 в восьми разрядах. Затем вычислить значение

    0,78539816 — 0,78539816 3 /3!&nbsp+ 0,78539816 5  —  0,78539816 7 /7! +…
Вы найдете следующие частичные вычисления
    0,78539816 = 0.78539816
    0,70465265 = 0,78539816 — 0,78539816 3 /3!
    0,70714304 = 0,78539816 — 0,78539816 3 /3!&nbsp+ 0,78539816 5 /5!
    0,70710647 = 0,78539816 — 0,78539816 3 /3!&nbsp+ 0,78539816 5 /5! — 0,78539816 7 /7!
    0,70710678 = 0,78539816 — 0,78539816 3 /3!&nbsp+ 0,78539816 5 /5! —  0,78539816 7 /7! + 0.78539816 9 /9!
Правильный ответ — квадратный корень из 1/2, который равен 0,70710678. Для получения первых пяти мест требовалось всего четыре члена степенного ряда, а следующий член давал следующие два места.

Требуется небольшой анализ, чтобы определить, сколько членов степенного ряда необходимо для достижения желаемой точности. Кроме того, для ускорения вычислений можно использовать некоторые другие приемы. В любом случае основная идея состоит в том, чтобы использовать первые несколько членов степенного ряда для вычисления триггерных функций.

Степенные ряды для остальных триггерных функций и степенные ряды для обратных триггерных функций можно найти в большинстве книг по математическому анализу, в которых обсуждаются степенные ряды.

Calculated Industries Construction Master Pro Trig 4080

Calculated Industries Construction Master Pro Trig, модель 4080

Калькулятор Construction Master Pro Trig 4080 Feet-Inch-Fracction предоставляет профессионалам в области строительства полную тригонометрическую функцию.Этот мощный и продвинутый математический калькулятор отличается новыми встроенными решениями и расширенным выбором предпочтений. Он позволяет легко определять точные измерения углов и решать самые сложные конструкторские и конструкторско-математические задачи. Идеально подходит для оценки материалов и затрат. В полевых условиях или в офисе это помогает обеспечить точность, сэкономить время и деньги.

Расчеты:

Работа и преобразование между любыми
размер здания, в том числе
Метрическая система
Тригонометрическая функция
Найти вес на единицу объема
Встроенные угловые решения
Полные макеты лестниц
Крыша, стропила и каркас
решений
Круговой: дуги, окружность,
сегментов и больше

Новые возможности, функции:

Набор для лестниц Высота подступенка и
решение для открытия лестничной клетки
Шпильки Найти номер по центру
для введенной длины
Соединение под углом с аркой
Грабли-стены
Равносторонние многоугольники

Размерная математика и преобразования

Работа и преобразование между всеми размерными форматами зданий: ярды, футы-дюймы-доли, десятичные футы и дюймы и метрические единицы, включая площадь и объем

Преобразование D:M:S в десятичные градусы

Масса на единицу объема

Полная тригонометрическая функция: синус, косинус, тангенс, арксинус, арккосинус и арктангенс упрощают сложное проектирование и математические расчеты

Технические характеристики:

11-разрядный дисплей
Питание от батарей (2) LR44
Размерная математика и преобразования
Полные тригонометрические функции
Лестница, арка, крыша, угол, круговые решения
Silver с твердой крышкой
1 год гарантии
3″ х 5.6 дюймов х 0,6 дюйма / 4,5 унции

Калькулятор Construction Master Pro Trig Feet-Inch-Fraction обеспечивает профессионалам в области строительства полную тригонометрическую функцию. Этот мощный и продвинутый математический калькулятор отличается новыми встроенными решениями и расширенным выбором предпочтений. Он позволяет легко определять точные измерения углов и решать самые сложные конструкторские и конструкторско-математические задачи. Идеально подходит для оценки материалов и затрат. В полевых условиях или в офисе это помогает обеспечить точность, сэкономить время и деньги.

Расчеты: работа и преобразование между любыми размерами здания, включая метрические; тригонометрическая функция; Найти вес в объеме;
Встроенные угловые решения;
Полные макеты лестниц; Кровельные, стропильные и каркасные решения; Круговой: дуги, окружность, сегменты и многое другое

Посмотреть/загрузить техпаспорт Construction Master Pro Trig

Понимание тригонометрии, ее функций, формул и приложений

В течение года тригонометрия использовалась для определения отношений между элементами треугольника.Но тригонометрия прогрессировала с годами, и сегодня это расчет, в котором вы применяете свои знания о треугольниках и используете полученные формулы для решения задач.

Вычислительная часть геометрии, тригонометрия, включает в себя методы, помогающие вычислить другие стороны треугольника, если вам открыта только одна сторона треугольника. Раздел математики, который в основном занимается прямоугольными треугольниками, тригонометрия может использоваться двумя основными способами, и вы можете выполнить эти методы с помощью онлайн-калькулятора тригонометрии.Итак, не теряя времени, давайте углубимся в два основных способа использования тригонометрии.

Геометрическое приложение

Геометрическое применение тригонометрии включает решение треугольников, обычно прямоугольных. Это означает, что мы можем использовать тригонометрию для нахождения всех других углов и длин сторон треугольника, если некоторые из них нам открыты. Это, вероятно, то, для чего чаще всего используется тригонометрия. Однако он также используется аналитически, и это то, что мы рассмотрим далее.

Аналитическое использование

Более продвинутым применением тригонометрии является ее аналитическое использование. В этом случае тригонометрические функции, такие как синус и тангенс, используются в уравнениях и обрабатываются с помощью алгебры. И как таковой, он имеет множество инженерных приложений, включая машиностроение и электронику. Теперь, когда ясно, что тригонометрия используется в двух различных способах, пришло время начать использовать онлайн-калькулятор тригонометрии и разобраться в функциях, формулах и реальных приложениях тригонометрии.Чтобы сдвинуться с мертвой точки, мы собираемся обсудить различные функции тригонометрии.

Тригонометрические функции

Существует шесть тригонометрических функций, три из которых являются первичными. Если вы хотите стать хорошим специалистом в тригонометрии, вам абсолютно необходимо понять трехмерную тригонометрическую функцию. Три основные функции тригонометрии включают в себя:

  • Синус (sin)
  • Косинус (con)
  • Таннет (желто-коричневый)

Хотя три основные функции не так важны, другие три функции тригонометрии используются часто, и к ним относятся:

  • Секанс (сек)
  • Косеканс (csc)
  • Котангенс (кроватка)

Понимание шести функций

Теперь давайте попробуем разобраться в шести различных функциях тригонометрии — функциях, с которыми вы столкнетесь при использовании онлайн-калькулятора тригонометрии.

Вот прямоугольный треугольник, который мы будем использовать для понимания функций тригонометрии. В этом треугольнике есть 6 функций для каждого угла P или Q, и каждая функция представляет отношение двух сторон треугольника. Единственное, что отличает функции, это то, какая пара сторон используется для них.

Здесь h — длина гипотенузы, o — длина стороны, противоположной углу, а a — длина стороны, примыкающей к углу (X). будь то в радианах или градусах, X демонстрирует меру другого угла.Теперь, обладая этой информацией, вы сможете лучше понять следующие уравнения:

Sin = о/ч

Cos=а/ч

Тан=о/а

Csc=h/o

сек=ч/год

Детская кроватка=а/0

Когда вы посмотрите на вышеупомянутые уравнения, вы заметите, что три неосновные функции тригонометрии взаимно пропорциональны трем ее основным функциям. Вы можете легко выполнить любую из вышеупомянутых функций, используя онлайн-калькулятор тригонометрии, поскольку этот калькулятор имеет кнопки, которые представляют эти функции.После обсуждения функций тригонометрии пришло время взглянуть на формулы, используемые в тригонометрии.

Тригонометрические формулы

Существует широкий спектр тригонометрических задач. Итак, чтобы уметь их решать, нужно понимать различные формулы тригонометрии. Кроме того, для одной тригонометрической задачи может потребоваться более одной формулы. Итак, узнайте, как применить несколько формул к одной и той же тригонометрической задаче. Формулы тригонометрии используются для различных приложений.Например, эти формулы помогают геологу измерять расстояние между местами, а астрономам — измерять, насколько далеко звезды или другие планеты находятся от Земли.

Существуют две основные категории тригонометрических формул: тригонометрические тождества и тригонометрические соотношения. Независимо от того, используете ли вы тригонометрические тождества или уранометрические соотношения, вы можете решить поставленную задачу с помощью онлайн-калькулятора тригонометрии. давайте кратко рассмотрим каждую основную категорию формул тригонометрии.

Тригонометрические тождества

Формулы, которые могут включать тригонометрические функции, тригонометрические тождества точно представляют значения всех переменных.

Тригонометрическое соотношение

Используемые не так часто, как тригонометрические тождества, тригонометрические отношения представляют собой формулы, определяющие связь между величиной углов и длиной стороны прямоугольного треугольника.

Основные формулы тригонометрии

Ниже приведены некоторые основные формулы тригонометрии — формулы, которые можно выполнить с помощью онлайн-калькулятора тригонометрии.Эти формулы разделены по категориям, и первая категория, которую мы собираемся здесь перечислить, — это формулы с тождествами периодичности. В эту категорию входят следующие формулы:

Детская кроватка (x+π) = детская кроватка x

Тангенс (x+π) = тангенс x

Cos (x+π) = cos x

Грех (х+2π) = грех х

Другая категория тригонометрических формул включает тождества суммы/разности, формулы с тождествами кофункций, тождествами произведений, тождествами суммы и произведения, тождествами половинного угла и тождества двойного угла.Вы можете узнать больше об этих категориях и формулах, которые они содержат, зайдя в Интернет и выполнив поиск формул тригонометрии. И пока вы это делаете, вы можете протестировать онлайн-калькулятор тригонометрии.

Помимо классификации, формулы также известны по углам и треугольникам, для которых они используются. К ним относятся:

  • Формулы для прямоугольных треугольников
  • Формулы площади для треугольников, включая формулу Герона и формулу стороны-угла-стороны
  • Формулы для дуг и секторов окружностей, включая формулы для длины дуги и площади сектора
  • Формулы для косоугольных треугольников, включая закон синусов и закон косинусов

Как только вы узнаете обо всех формулах тригонометрии и о том, для решения каких задач они используются, вы сможете начать применять формулы в реальном мире, и это то, что мы рассмотрим далее.

Применение тригонометрии в реальной жизни

Вы уже знаете, что тригонометрия помогает геологам и астрономам делать свою работу, но кому еще она может помочь. Здесь мы рассмотрим некоторые реальные приложения тригонометрии, чтобы помочь вам понять, где вы можете применить свои знания тригонометрии. Ниже приведены X реальных приложений тригонометрии.

Измерение высоты здания

Первое и, вероятно, самое распространенное использование тригонометрии в реальном мире — это измерение высоты здания или любой другой высокой конструкции.Используя свои знания тригонометрии и онлайн-калькулятор тригонометрии, вы легко сможете определить высоту здания, если знаете расстояние между точкой наблюдения и углом возвышения. Кроме того, если вы знаете длину одной стороны здания, вы можете использовать тригонометрические функции и формулы, чтобы найти длину других сторон здания.

Создание музыки

Тригонометрия играет ключевую роль в создании музыки. Удивлен? Ну не будь! Когда звуковые волны создаются музыкальным инструментом, они движутся повторяющимся образом, и для их представления можно использовать тригонометрические функции, такие как косинус и синус.Когда тригонометрические функции используются для графического представления музыки на компьютере, компьютер может понимать и создавать музыку. Разве это не интересно?

Строительство

Независимо от типа конструкции, которую вы строите, вы можете использовать свои знания в области тригонометрии для создания надежной и архитектурно обоснованной конструкции. Используя тригонометрические функции и формулы или онлайн-калькулятор тригонометрии, вы можете выполнить следующие расчеты:

  • Наклон крыши
  • Как сделать стены параллельными и перпендикулярными
  • Высота и ширина здания
  • Как укладывать керамическую плитку
  • Измерение площадей, участков и полей

В дополнение к вышеизложенному, тригонометрические функции и формулы могут использоваться для расчета поверхностей грунта, скатов крыш и структурных нагрузок.

Производство

Тригонометрия так же важна в производстве, как и в производстве музыки. На самом деле все производственные работы связаны с тригонометрией. В обрабатывающей промышленности инженеры используют формулы и функции тригонометрии для определения углов и размеров различных механических компонентов — компонентов, которые используются для производства оборудования, инструментов и машин. Если вы инженер в обрабатывающей промышленности, то вы можете измерить размер и угол наклона механических компонентов с помощью онлайн-калькулятора тригонометрии.

Итак, готовы ли вы использовать тригонометрию в реальном мире

Теперь, когда вы знаете, что такое тригонометрия, а также ее функции, формулы и приложения, вы можете начать использовать онлайн-калькулятор тригонометрии и проверить свои знания тригонометрии в реальном мире. Как только вы начнете это делать, вы заметите, как много вы можете сделать со своими знаниями тригонометрии, и когда вы сможете делать все, что позволяет вам делать тригонометрия, вы сможете безмерно гордиться своими знаниями и собой.

Calculated Industries Construction Master Pro Trig

Калькулятор Construction Master Pro Trig Feet-Inch-Fraction предоставляет специалистам по строительству полную тригонометрическую функцию. Этот мощный и продвинутый математический калькулятор отличается новыми встроенными решениями и расширенным выбором предпочтений. Он позволяет легко определять точные измерения углов и решать самые сложные конструкторские и конструкторско-математические задачи. Идеально подходит для оценки материалов и затрат.В полевых условиях или в офисе это помогает обеспечить точность, сэкономить время и деньги.

Расчеты:

  • Работа и преобразование между любыми размерами здания, включая метрические
  • Тригонометрическая функция
  • Найти вес на объем
  • Встроенные угловые решения
  • Готовые схемы лестниц
  • Решения для крыши, стропил и каркаса
  • Окружность: дуги, окружность, сегменты и многое другое

Новые возможности, функции и улучшенные решения:

  • Лестницы – Задайте высоту подступенка и определите проем лестничной клетки
  • Шпильки — найти число по центру для введенной длины
  • Составные торцевые разрезы арочных перекрытий
  • Равносторонние многоугольники

Для подрядчиков, архитекторов, инженеров, руководителей проектов, сметчиков, чертежников, строителей, рамщиков, плотников, торговцев

 

Размерная математика и преобразования
  • Работа и преобразование между всеми размерными форматами зданий: ярды, футы-дюймы-доли, десятичные футы и дюймы и метрические единицы, включая площадь и объем
  • Преобразование D:M:S в десятичные градусы
  • Масса на единицу объема
  • Полная тригонометрическая функция: Синус, косинус, тангенс, арксинус, арккосинус и арктангенс упрощают сложное проектирование и математические вычисления

Встроенные функции экономии времени

  • Полный расчет лестниц для подступенков, ступеней, длины косоура и угла наклона
  • Установить высоту подступенка и решить для проема лестничной клетки
  • Встроенные функции прямого угла
  • Функция крыши находит площадь, связки, квадраты и обшивку 4×8 для плоских или скатных крыш
  • Функция нестандартных стропил обеспечивает стандартные стропила, обычные и нестандартные вальмы, ендовы и домкраты; мгновенные углы резки (щека, уровень и отвес)
  • Результаты домкрата для крыш с постоянным и неправильным уклоном.Найти стойки для наклонных стен с межосевым расстоянием
  • Составной угол скоса — сохраните угол короны и введите угол угла стены для расчета наклона и угла лезвия для скоса
  • Усовершенствованные решения для кругов, арок, колонн, конусов, столбов, окон и отверстий для стоек
  • Арочные передние стены с межосевым расстоянием
  • Шпильки — Расчет количества центральных шпилек для введенной длины
  • Равносторонний многоугольник — Расчет угла и биссектрисы, длины стороны, периметра и площади
  • Ножки для досок Смета пиломатериалов

Дополнительные функции

  • Пользовательские настройки: Установка настраиваемых параметров, таких как дробные значения от 1/2 до 1/64 дюйма, высота перемычки лестницы, десятичные градусы и т. д.
  • Экспоненциальное представление: Ввод и отображение экспоненциальных значений
  • Клавиша Backspace: Облегчает изменение только что введенных значений
  • Постоянный оператор: Упрощает повторяющиеся вычисления
  • Цена за единицу: Простое решение калькуляции себестоимости и ценообразования
  • Накопительная память (M+) плюс три дополнительных ячейки памяти
  • «Безбумажная» лента: Позволяет просмотреть последние 20 записей; перепроверьте итоги
  • Стандартные вычисления: Работает как математический калькулятор с +, -, +/-, x, ÷, %, π, 1/x, X2 и √
  • Автоматическое отключение экономит заряд батареи

Размер:
5.7″ x 3,0″ x 0,65″ (145 мм x 76 мм x 17 мм)

Вес изделия:
4,6 унции. (130 г)
Включает футляр и карманное справочное руководство

Питание:
Две батареи 1,5 В (LR-44/A76) с длительным сроком службы

Тип дисплея:
11 цифр (7 обычных, 4 дробных) с полными индикаторами

Размеры дисплея:
0,625″ x 2,5″ (16 мм x 63,5 мм)

Точность:
12-разрядная внутренняя точность

К черту тригонометрию | Математика

Я встречаю много людей в аэропортах и ​​на музыкальных фестивалях.Я дружелюбный, разговорчивый человек (по крайней мере, когда две ночи подряд не спал в мокрой палатке). Когда меня спрашивают, чем я зарабатываю на жизнь, я часто отвечаю, что я математик. Потом они почти всегда говорят мне, как сильно они ненавидят математику. Когда я спрашиваю, почему, они часто говорят, что именно тригонометрия убила всякий интерес к этому предмету.

Согласен, тригонометрия отстой. К черту тригонометрию. Это ужасно немотивированный предмет, и как студент вы должны запомнить формулы двойного угла без доказательств.Никогда не понятно, зачем вы его изучаете, за исключением возможности позже запомнить интегралы и производные указанных функций. Это почти пример того, как заставить кого-то почувствовать, что математика должна быть таинственной. Несколько комментариев, прежде чем вы решите, что я несправедлив.

Во-первых, да, тригонометрические функции нужны в анализе Фурье, что очень важно в наше время для музыкальных файлов и сжатия информации. Но к тому времени, когда вы начнете работать с анализом Фурье, у вас будет больше математических технологий, и, в частности, вы будете знать волшебную формулу, которая делает все загадочные формулы двойных и половинных углов очень простыми, а именно формулу Эйлера:

.

Понимая эту формулу, Фурье-аналитик готов работать с триггерными функциями без всякой тайны и абсолютно без запоминания.На самом деле моя мама оказала мне услугу, объяснив мне приведенную выше формулу, когда я учился в старшей школе, чтобы я мог избежать запоминания. Это помогло, но даже тогда я запомнил это, и только в колледже я понял это.

Далее, это не первый раз, когда я какаю на триггере. Некоторое время назад я написал пост о преподавании статистики и алгебры в старших классах, и в этом посте я предложил исключить тригонометрию из учебной программы. Несколько человек встали на защиту триггера в комментариях. Вот что они сказали.

  • Кто-то упомянул, что это необходимо на «классе магазина». Но затем они продолжили объяснять, что мастерских классов больше не существует.
  • Кто-то упомянул, что триггерные функции — отличный пример периодических функций. Хотя это правда, нам не нужно углубляться в предмет — не говоря уже о формулах двойного угла — чтобы объяснить это. Даже простого разговора о муравье, идущем по единичному кругу, было бы достаточно, особенно если бы мы запросили координаты x и y муравья в данный момент времени.Достаточно сказано. Мы могли бы закончить урок исторической ремаркой вроде того, что у этих функций есть имена, они называются функциями синуса и косинуса, и вы узнаете о них больше, когда узнаете о комплексной плоскости и анализе Фурье. .
  • Кто-то упомянул, что они используют триггерные функции каждый день на работе в физических науках. Опять же, я готов поспорить, что они также знают о сложном самолете.
  • Никто не упомянул, что капитанам кораблей нужен триггер, но опять же, теперь у нас есть GPS.

Когда я рассказала мужу о своей ненависти к тригонометрии, он возразил аргументом, который до сих пор не упоминался. А именно, что у нас действительно нет причин учить старшеклассников чему-либо, поэтому мы просто выбираем кучу вещей наугад. Более того, предположил он, если мы удалим триггер, то встреча с людьми в аэропорту вызовет еще одну причину для ненависти к математике. Мы бы просто заменили триг какой-нибудь другой паршивой темой.

Не согласен.

Ваш комментарий будет первым

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.