Нажмите "Enter", чтобы перейти к содержанию

Построение графиков сложных функций онлайн: Построение графиков функций онлайн

Содержание

Исследовательская работа по теме: Построение графиков сложных функций на основе свойства монотонности

1. Исследовательская работа по теме:

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ:

2. Актуальность выбранной темы

АКТУАЛЬНОСТЬ ВЫБРАННОЙ ТЕМЫ
Умение читать графики функций, т.е. по графику
описывать
свойства
функции
(промежутки
монотонности, экстремальные значения, интервалы
знакопостоянства и т.д.), необходимо и врачу
(кардиограмма),
и
экономисту
(график
производительности труда, курсы валют), метеорологу
(суточное изменение температуры) и другим
специалистам.
Поэтому
в
огромном
море
зависимостей величин необходимо
хорошо
ориентироваться.
Проблема:
Зачастую методами математического анализа в курсе школы
невозможно исследовать функцию и построить график.
Цель:
познакомиться с другими методами исследования функций и
построения графика с тем, чтобы применить их при решении
задач с параметрами;
научиться моделировать условия нахождения значения параметра
для различных математических моделей.
Объект исследования:
Многообразие задач, содержащих параметр.
Предмет исследования:
Сложные функции.
Задачи исследования:
Изучить метод построения графиков сложных функций на основе
свойства монотонности функций.
Применить данный метод при моделировании задач с
параметрами.
Научиться ставить вопросы, имея построенный график сложной
функции (картинку, рисунок).
В курсе алгебры 7-9 классов мы изучали
алгебраические
функции,
т.е.
функции,
заданные аналитическими выражениями, в
записи
которых
использовались
алгебраические операции над числами и
переменной
(сложение,
вычитание,
умножение, возведение в степень, извлечение
квадратного корня). К концу 9 класса у нас
формируется
цепочка
следующих
представлений:
При этом десятиклассник
оказывается
в
двусмысленной ситуации:
в 9 классе он научился
строить график функции и по
графику
перечислять
её
свойства; теперь же от него
требуется
исследовать
функцию и затем строить
график.
А
в
старшей
школе
при
изучении
тригонометрических функций, логарифмических
функций,
показательных и алгебраических
функций высших степеней
формулировка
«исследуйте функцию и постройте её график»
предполагает несколько другой подход:
Сложные функции можно исследовать
разными методами.
Один из методов: построение графиков
сложных
функций
на
основе
монотонности. Математические модели
реальных ситуаций часто бывают
связаны с функциями других классов,
которые
называют
сложными.
Рассмотрим сложную функцию y = f(v(x)).
Напомним, что если внутренняя функция
v(x) и внешняя функция f(v) – монотонны,
то сложная функция y = f(v(x)) также
монотонна.
Пусть, например, v(x) и f(x) – убывают.
Тогда при x1
v1 = f(x1) > v2 = f(x2).
Неравенство v1 > v2 влечёт за собой неравенство
f(v1)
f(v(x1))
Итак, большему значению аргумента (x1
соответствует большее значение сложной
функции.
Следовательно, по определению, она является
возрастающей.
Конечно, говоря о монотонности функции, всегда
надо указывать соответствующее множество из
области определения.
АНАЛИТИЧЕСКИЙ АППАРАТ:
найдём производную.
НА ОСНОВЕ МЕТОДА МОНОТОННОСТИ:
D(y):R
Чётная
– внутренняя функция,
— внешняя.
при
Знак y`
Поведение y
+
0
Рассматривается только
,
т.к. функция
чётная, и,
следовательно, её график
симметричен относительно
оси Оy.

12. МОДЕЛИРОВАНИЕ

1)
:
a) При каких значениях a данное уравнение имеет один корень, т.е. горизонтальная
прямая пересекает график 1 раз?
Ответ: a = 1.
a) При каких значениях параметра a данное уравнение не имеет решение, т.е.
горизонтальные прямые не пересекают график?
Ответ: (-∞;0]∩(1;∞).

13. МОДЕЛИРОВАНИЕ

a) При каких значениях параметра a данное уравнение имеет решение, т.е.
горизонтальные прямые пересекают график?
Ответ: (0;1].
Пример 2: Исследовать функцию
и
построить её график.
Можно исследовать функцию методами
математического анализа. Большой сложности
нет. Но объём исследования достаточно
большой: нахождение нулей функции ;
нахождение промежутков возрастания и
убывания…
А можно применить метод на основе свойства
монотонности функций.
А можно применить метод на основе свойства монотонности функций.
2008 г., С3: при каких значениях a неравенство не имеет
решений?
На промежутке (-5;-2] неравенство не
выполняется, т.е. горизонтальные линии не
пересекают полученные области.

Вычисление производной функции в точке

Вычисление производной функции в точке

Если вас интересуют общие вопросы и само понятие производной, вы можете посмотреть цикл демонстрационных видеороликов от автора данного сайта Максима Семенихина на тему «Понятие производной».

  1. Понятие о скорости возрастания и убывания функции (6:01)
  2. Вычисление скорости возрастающей функции (2:05)
  3. Вычисление скорости убывающей функции (2:18)
  4. На разных промежутках – разная скорость (4:15)
  5. Средняя и мгновенная скорости (3:38)
  6. Средняя скорость возрастания функции (1:59)
  7. Определение производной как скорости (2:50)
  8. Пример вычисления производной по определению (3:46)
  9. Обозначение производной (1:41)

а также видеоурок

Вычисление производных сложных функций (14:51)

Для нахождения производной функции в общем случае необходимо знать следующее:

  1. Таблицу производных элементарных функций.
  2. Правила дифференцирования.
  3. Как находить производную сложной функции.

Таблица производных элементарных функций представлена ниже:

Для нахождения производной суммы, произведения и частного функций используются три правила дифференцирования:

Для нахождения производной сложной функции используется формула

f(g(x))’ = f ‘(g(x)) · g‘(x)

Нахождение производной сложной функции – вопрос, заслуживающий отдельного рассмотрения. Вы можете просмотреть видеоурок «Вычисление производных сложных функций».

Нахождение производной функции в точке

Для того, чтобы вычислить значение производной функции в точке, необходимо:

— найти производную функции;
— подставить в производную значение х точки, в которой необходимо найти производную.

Пример. Вычислить производную функции

y = x2 в точке х0 = 3.
Решение. Производная функции: у‘ = (х2)’ = 2х;
подставляя в производную значение х0 = 3, получим: у‘(3) = 2 ∙ 3 = 6.

Онлайн калькулятор
для вычисления значения производной функции в точке

Для того, чтобы вычислить значение производной функции в точке, можно воспользоваться калькулятором на данной странице. Просто введите саму функцию и точку, в которой необходимо вычислить производную. Калькулятор всё посчитает сам и выдаст ответ.

3x 4 график. Калькуляторы для построения графика функции

В золотой век информационных технологий мало кто будет покупать миллиметровку и тратить часы для рисования функции или произвольного набора данных, да и зачем заниматься столь муторной работой, когда можно построить график функции онлайн. Кроме того, подсчитать миллионы значений выражения для правильного отображения практически нереально и сложно, да и несмотря на все усилия получится ломаная линия, а не кривая. Потому компьютер в данном случае – незаменимый помощник.

Что такое график функций

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент другого множества, например, выражение y = 2x + 1 устанавливает связь между множествами всех значений x и всех значений y, следовательно, это функция. Соответственно, графиком функции будет называться множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному выражению.


На рисунке мы видим график функции y = x . Это прямая и у каждой ее точки есть свои координаты на оси X и на оси Y . Исходя из определения, если мы подставим координату X некоторой точки в данное уравнение, то получим координату этой точки на оси Y .

Сервисы для построения графиков функций онлайн

Рассмотрим несколько популярных и лучших по сервисов, позволяющих быстро начертить график функции.


Открывает список самый обычный сервис, позволяющий построить график функции по уравнению онлайн. Umath содержит только необходимые инструменты, такие как масштабирование, передвижение по координатной плоскости и просмотр координаты точки на которую указывает мышь.

Инструкция:

  1. Введите ваше уравнение в поле после знака «=».
  2. Нажмите кнопку «Построить график» .

Как видите все предельно просто и доступно, синтаксис написания сложных математических функций: с модулем, тригонометрических, показательных — приведен прямо под графиком. Также при необходимости можно задать уравнение параметрическим методом или строить графики в полярной системе координат.


В Yotx есть все функции предыдущего сервиса, но при этом он содержит такие интересные нововведения как создание интервала отображения функции, возможность строить график по табличным данным, а также выводить таблицу с целыми решениями.

Инструкция:

  1. Выберите необходимый способ задания графика.
  2. Введите уравнение.
  3. Задайте интервал.
  4. Нажмите кнопку «Построить» .


Для тех, кому лень разбираться, как записать те или иные функции, на этой позиции представлен сервис с возможностью выбирать из списка нужную одним кликом мыши.

Инструкция:

  1. Найдите в списке необходимую вам функцию.
  2. Щелкните на нее левой кнопкой мыши
  3. При необходимости введите коэффициенты в поле «Функция:» .
  4. Нажмите кнопку «Построить» .

В плане визуализации есть возможность менять цвет графика, а также скрывать его или вовсе удалять.


Desmos безусловно – самый навороченный сервис для построения уравнений онлайн. Передвигая курсор с зажатой левой клавишей мыши по графику можно подробно посмотреть все решения уравнения с точностью до 0,001. Встроенная клавиатура позволяет быстро писать степени и дроби. Самым важным плюсом является возможность записывать уравнение в любом состоянии, не приводя к виду: y = f(x).

Инструкция:

  1. В левом столбце кликните правой кнопкой мыши по свободной строке.
  2. В нижнем левом углу нажмите на значок клавиатуры.
  3. На появившейся панели наберите нужное уравнение (для написания названий функций перейдите в раздел «A B C»).
  4. График строится в реальном времени.

Визуализация просто идеальная, адаптивная, видно, что над приложением работали дизайнеры. Из плюсов можно отметить огромное обилие возможностей, для освоения которых можно посмотреть примеры в меню в верхнем левом углу.

Сайтов для построения графиков функций великое множество, однако каждый волен выбирать для себя исходя из требуемого функционала и личных предпочтений. Список лучших был сформирован так, чтобы удовлетворить требования любого математика от мала до велика. Успехов вам в постижении «царицы наук»!

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.3$.
    2. Найдем точку А, координата x, которой равна 1,5. Мы видим, что координата функции находится между значениями 3 и 4 (см. рис. 2). Значит надо заказать 4 куба.

    Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х , а на оси ординат — значения функции у = f (х) .

    Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

    Другими словами, график функции y = f (х) — это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x) .

    На рис. 45 и 46 приведены графики функций у = 2х + 1 и у = х 2 — 2х .

    Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».

    С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции y = f(x) , то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а ) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 47).

    Например, для функции f(х) = х 2 — 2x с помощью графика (рис. 46) находим f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.

    График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция у = х 2 — 2х принимает положительные значения при х и при х > 2 , отрицательные — при 0 у = х 2 — 2х принимает при х = 1 .

    Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х , у которых удовлетворяют уравнению y = f(x) . В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно — с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений — скажем, х 1 , х 2 , x 3 ,…, х k и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.

    Таблица выглядит следующим образом:


    Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции y = f(x) . Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y = f(x).

    Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.

    Пример 1 . Для построения графика функции y = f(x) некто составил таблицу значений аргумента и функции:


    Соответствующие пять точек показаны на рис. 48.

    На основании расположения этих точек он сделал вывод, что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 48 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. надежным.

    Для обоснования своего утверждения рассмотрим функцию

    .

    Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 49). Другим примером может служить функция y = x + l + sinπx; ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.

    Эти примеры показывают, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен. Поэтому для построения графика заданной функции,как правило, поступают следующим образом. Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.

    Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим позже, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.

    График функции у = |f(x)|.

    Нередко приходится строить график функции y = |f(x) |, где f(х) — заданная функция. Напомним, как это делается. По определению абсолютной величины числа можно написать

    Это значит, что график функции y =|f(x)| можно получить из графика, функции y = f(x) следующим образом: все точки графика функции у = f(х) , у которых ординаты неотрицательны, следует оставить без изменения; далее, вместо точек графика функции y = f(x) , имеющих отрицательные координаты, следует построить соответствующие точки графика функции у = -f(x) (т. е. часть графика функции
    y = f(x) , которая лежит ниже оси х, следует симметрично отразить относительно оси х ).

    Пример 2. Построить график функции у = |х|.

    Берем график функции у = х (рис. 50, а) и часть этого графика при х (лежащую под осью х ) симметрично отражаем относительно оси х . В результате мы и получаем график функции у = |х| (рис. 50, б).

    Пример 3 . Построить график функции y = |x 2 — 2x|.

    Сначала построим график функции y = x 2 — 2x. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы имеет координаты (1; -1), ее график пересекает ось абсцисс в точках 0 и 2. На промежутке (0; 2) фукция принимает отрицательные значения, поэтому именно эту часть графика симметрично отразим относительно оси абсцисс. На рисунке 51 построен график функции у = |х 2 -2х| , исходя из графика функции у = х 2 — 2x

    График функции y = f(x) + g(x)

    Рассмотрим задачу построения графика функции y = f(x) + g(x). если заданы графики функций y = f(x) и y = g(x) .

    Заметим, что областью определения функции y = |f(x) + g(х)| является множество всех тех значений х, для которых определены обе функции y = f{x) и у = g(х), т. е. эта область определения представляет собой пересечение областей определения, функций f{x) и g{x).

    Пусть точки (х 0 , y 1 ) и (х 0 , у 2 ) соответственно принадлежат графикам функций y = f{x) и y = g(х) , т. е. y 1 = f(x 0), y 2 = g(х 0). Тогда точка (x0;. y1 + y2) принадлежит графику функции у = f(х) + g(х) (ибо f(х 0) + g(x 0 ) = y1 +y2 ),. причем любая точка графика функции y = f(x) + g(x) может быть получена таким образом. Следовательно, график функции у = f(х) + g(x) можно получить из графиков функций y = f(x) . и y = g(х) заменой каждой точки (х n , у 1) графика функции y = f(x) точкой (х n , y 1 + y 2), где у 2 = g(x n ), т. е. сдвигом каждой точки (х n , у 1 ) графика функции y = f(x) вдоль оси у на величину y 1 = g(х n ). При этом рассматриваются только такие точки х n для которых определены обе функции y = f(x) и y = g(x) .

    Такой метод построения графика функции y = f(x) + g(х ) называется сложением графиков функций y = f(x) и y = g(x)

    Пример 4 . На рисунке методом сложения графиков построен график функции
    y = x + sinx .

    При построении графика функции y = x + sinx мы полагали, что f(x) = x, а g(x) = sinx. Для построения графика функции выберем точки с aбциссами -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Значения f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx вычислим в выбранных точках и результаты поместим в таблице.

    Построение графиков функций, содержащих модули, обычно вызывает немалые затруднения у школьников. Однако, все не так плохо. Достаточно запомнить несколько алгоритмов решения таких задач, и вы сможете без труда построить график даже самой на вид сложной функции. Давайте разберемся, что же это за алгоритмы.

    1. Построение графика функции y = |f(x)|

    Заметим, что множество значений функций y = |f(x)| : y ≥ 0. Таким образом, графики таких функций всегда расположены полностью в верхней полуплоскости.

    Построение графика функции y = |f(x)| состоит из следующих простых четырех этапов.

    1) Построить аккуратно и внимательно график функции y = f(x).

    2) Оставить без изменения все точки графика, которые находятся выше оси 0x или на ней.

    3) Часть графика, которая лежит ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

    Пример 1. Изобразить график функции y = |x 2 – 4x + 3|

    1) Строим график функции y = x 2 – 4x + 3. Очевидно, что график данной функции – парабола. Найдем координаты всех точек пересечения параболы с осями координат и координаты вершины параболы.

    x 2 – 4x + 3 = 0.

    x 1 = 3, x 2 = 1.

    Следовательно, парабола пересекает ось 0x в точках (3, 0) и (1, 0).

    y = 0 2 – 4 · 0 + 3 = 3.

    Следовательно, парабола пересекает ось 0y в точке (0, 3).

    Координаты вершины параболы:

    x в = -(-4/2) = 2, y в = 2 2 – 4 · 2 + 3 = -1.

    Следовательно, точка (2, -1) является вершиной данной параболы.

    Рисуем параболу, используя полученные данные (рис. 1)

    2) Часть графика, лежащую ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно оси 0x.

    3) Получаем график исходной функции (рис. 2 , изображен пунктиром).

    2. Построение графика функции y = f(|x|)

    Заметим, что функции вида y = f(|x|) являются четными:

    y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Значит, графики таких функций симметричны относительно оси 0y.

    Построение графика функции y = f(|x|) состоит из следующей несложной цепочки действий.

    1) Построить график функции y = f(x).

    2) Оставить ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

    3) Отобразить указанную в пункте (2) часть графика симметрично оси 0y.

    4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

    Пример 2. Изобразить график функции y = x 2 – 4 · |x| + 3

    Так как x 2 = |x| 2 , то исходную функцию можно переписать в следующем виде: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. А теперь можем применять предложенный выше алгоритм.

    1) Строим аккуратно и внимательно график функции y = x 2 – 4 · x + 3 (см. также рис. 1 ).

    2) Оставляем ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

    3) Отображаем правую часть графика симметрично оси 0y.

    (рис. 3) .

    Пример 3. Изобразить график функции y = log 2 |x|

    Применяем схему, данную выше.

    1) Строим график функции y = log 2 x (рис. 4) .

    3. Построение графика функции y = |f(|x|)|

    Заметим, что функции вида y = |f(|x|)| тоже являются четными. Действительно, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), и поэтому, их графики симметричны относительно оси 0y. Множество значений таких функций: y 0. Значит, графики таких функций расположены полностью в верхней полуплоскости.

    Чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, необходимо:

    1) Построить аккуратно график функции y = f(|x|).

    2) Оставить без изменений ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней.

    3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

    4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

    Пример 4. Изобразить график функции y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

    1) Заметим, что x 2 = |x| 2 . Значит, вместо исходной функции y = -x 2 + 2|x| – 1

    можно использовать функцию y = -|x| 2 + 2|x| – 1, так как их графики совпадают.

    Строим график y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Для этого применяем алгоритм 2.

    a) Строим график функции y = -x 2 + 2x – 1 (рис. 6) .

    b) Оставляем ту часть графика, которая расположена в правой полуплоскости.

    c) Отображаем полученную часть графика симметрично оси 0y.

    d) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 7) .

    2) Выше оси 0х точек нет, точки на оси 0х оставляем без изменения.

    3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно 0x.

    4) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 8) .

    Пример 5. Построить график функции y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

    1) Сначала необходимо построить график функции y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Для этого возвращаемся к алгоритму 2.

    a) Аккуратно строим график функции y = (2x – 4) / (x + 3) (рис. 9) .

    Заметим, что данная функция является дробно-линейной и ее график есть гипербола. Для построения кривой сначала необходимо найти асимптоты графика. Горизонтальная – y = 2/1 (отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе дроби), вертикальная – x = -3.

    2) Ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней, оставим без изменений.2/16=1)

  • Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете
  • Управление масштабом, цветом линий
  • Возможность построения графиков по точкам, использование констант
  • Построение одновременно нескольких графиков функций
  • Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ(\theta))

С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.

Разберем как строить график с модулем.

Найдем точки при переходе которых знак модулей меняется.
Каждое выражения, которое под модулем приравниваем к 0. У нас их два x-3 и x+3.
x-3=0 и x+3=0
x=3 и x=-3

У нас числовая прямая разделится на три интервала (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞). На каждом интервале нужно определить знак под модульных выражений.

1. Это сделать очень просто, рассмотрим первый интервал (-∞;-3). Возьмем с этого отрезка любое значение, например, -4 и подставим в каждое под модульное уравнение вместо значения х.
х=-4
x-3=-4-3=-7 и x+3=-4+3=-1

У обоих выражений знаки отрицательный, значит перед знаком модуля в уравнении ставим минус, а вместо знака модуля ставим скобки и получим искомое уравнение на интервале (-∞;-3).

y= (x-3)-( (x+3))=-х+3+х+3=6

На интервале (-∞;-3) получился график линейной функции (прямой) у=6

2. Рассмотрим второй интервал (-3;3). Найдем как будет выглядеть уравнение графика на этом отрезке. Возьмем любое число от -3 до 3, например, 0. Подставим вместо значения х значение 0.
х=0
x-3=0-3=-3 и x+3=0+3=3

У первого выражения x-3 знак отрицательный получился, а у второго выражения x+3 положительный. Следовательно, перед выражением x-3 запишем знак минус, а перед вторым выражением знак плюс.

y= (x-3)-(+ (x+3))=-х+3-х-3=-2x

На интервале (-3;3) получился график линейной функции (прямой) у=-2х

3.Рассмотрим третий интервал (3;+∞). Возьмем с этого отрезка любое значение, например 5, и подставим в каждое под модульное уравнение вместо значения х.

х=5
x-3=5-3=2 и x+3=5+3=8

У обоих выражений знаки получились положительными, значит перед знаком модуля в уравнении ставим плюс, а вместо знака модуля ставим скобки и получим искомое уравнение на интервале (3;+∞).

y=+ (x-3)-(+ (x+3))=х-3-х-3=-6

На интервале (3;+∞) получился график линейной функции (прямой) у=-6

4. Теперь подведем итог.Постоим график y=|x-3|-|x+3|.
На интервале (-∞;-3) строим график линейной функции (прямой) у=6.
На интервале (-3;3) строим график линейной функции (прямой) у=-2х.
Чтобы построить график у=-2х подберем несколько точек.
x=-3 y=-2*(-3)=6 получилась точка (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 получилась точка (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 получилась точка (3;-6)
На интервале (3;+∞) строим график линейной функции (прямой) у=-6.

5. Теперь проанализируем результат и ответим на вопрос задания найдем значение k, при которых прямая y=kx имеет с графиком y=|x-3|-|x+3| данной функции ровно одну общую точку.

Прямая y=kx при любом значении k всегда будет проходить через точку (0;0). Поэтому мы можем изменить только наклон данной прямой y=kx, а за наклон у нас отвечает коэффициент k.

Если k будет любое положительное число, то будет одно пересечение прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3|. Этот вариант нам подходит.

Если k будет принимать значение (-2;0), то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет три.Этот вариант нам не подходит.

Если k=-2, решений будет множество [-2;2], потому что прямая y=kx будет совпадать с графиком y=|x-3|-|x+3| на данном участке. Этот вариант нам не подходит.

Если k будет меньше -2, то прямая y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет иметь одно пересечение.Этот вариант нам подходит.

Если k=0, то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| также будет одно.Этот вариант нам подходит.

Ответ: при k принадлежащей интервалу (-∞;-2)U; график f(х) = х + 2 – это прямая, параллельная прямой f(х) = х, но сдвинутая на две единицы вверх и поэтому проходящая через точку с координатами (0,2) (потому что постоянная равна 2).

Построение графика сложной функции

    Найдите нули функции. Нули функции – это значения переменной «х», при которых у = 0, то есть это точки пересечения графика с осью Х. Имейте в виду, что нули имеют не все функции, но это первый шаг процесса построения графика любой функции. Чтобы найти нули функции, приравняйте ее к нулю.{2}}}} ), приравняйте знаменатель к нулю и найдите «х». В полученных значения переменной «х» функция не определена (в нашем примере проведите пунктирные линии через х = 2 и х = -2), потому что на 0 делить нельзя. Но асимптоты существуют не только в случаях, когда функция содержит дробное выражение. Поэтому рекомендуется пользоваться здравым смыслом:

Как быстро построить график функции

Подробности
Опубликовано 26.02.2015 12:01

Существуют некоторые параметры функций, которые можно обнаружить исключительно после графического выражения. Для того чтобы визуализировать математическое выражение, нужно построить его график на системе координат, то есть начертить. Сделать это можно методом подстановки – при каждом значении переменных функция имеет свои значения, которые можно обозначить точками на плоскости и соединить линией. Это самый простой рабочий способ, однако такое построение графиков функций может быть несколько затруднительным, если выражение сложное.

 

Некоторые графики требуют очень сложных математических расчетов, много времени на подбор значений. Для любого вида функций нужно определить экстремумы, асимптоты, интервалы возрастания и убывания, выпуклости, точки перегиба, вогнутости, интервал сохранения знака. Построение вручную хорошо лишь для обучения процессу построения графиков и для несложных примеров, которые очень легко начертить, имея достаточный опыт. Для остальных случаев применяют онлайн-программы.

 

 

Появление компьютеров и программ значительно подтолкнуло развитие остальных областей науки, ведь те задачи, которые раньше исполнялись людьми, теперь делают машины. Это коснулось и математики. Теперь даже самые сложные расчеты можно осуществить за короткий промежуток времени, не прилагая особых усилий.

 

На сегодняшний день существуют онлайн-сервисы, позволяющие построить график функции любой сложности. Для этого необходимо всего лишь ввести исходные данные. В результате вы получаете графическое выражение функции в виде рисунка, который можно оформить так, как нужно, и использовать его в работе. Также в этой программе можно быстро и просто преображать функции путем изменения исходных данных.

 

Плюсы использования программ

 

Компьютерное построение имеет массу преимуществ перед ручным чертежом. Основными можно назвать:

 

  • быстрое получение результата;
  • возможность корректировки и преобразования;
  • минимальная погрешность, исключение ошибки при построении;
  • возможность оформления и изменения графика.

 

Особенно важны такие программы для построения графиков сложных функций, на которые уходит много времени. Обычно при расчетах таких показателей нужны познания в математике, которые есть не у каждого, поэтому вероятность ошибки тут достаточно высока. Программа, в свою очередь, делает все действия абсолютно верно и быстро, экономя ваше драгоценное время.

 

Средство просмотра графиков сложных функций

Средство просмотра сложных функций

Этот инструмент визуализирует любые комплексные функционировать как конформная карта, назначая цвет каждой точке в комплексная плоскость в соответствии со значением функции в этой точке.

Введите любое выражение в z.

Функция идентичности z показывает, как распределяются цвета: серое кольцо в точке | z | = 1 и черный и белый круг вокруг любого нуля и цветные кружки вокруг 1, я, -1, и я. Шашки покрывают самолет на 1/16 единичная сетка.2, з, 12)

Конформные карты на земном шаре

Конформные карты имеют свою историю в картостроении 18 века, когда новые математические разработки позволили картографам понять как точно устранить локальные искажения формы на картах. Нажмите кнопку ⊕ в нижнем правый угол, чтобы переключиться на конформное отображение поверхности земли. Конформные карты всюду сохраняют локальные углы, хотя при этом они могут искажать размеры.

Проекция Меркатора является примером.2

Подробнее о конформных проекциях в картографии на Карлос А. Фурути прекрасно иллюстрировал картографирование сайт . Или книгу Дональда Фенны о математическом картографировании, Картографическая Наука . 2 / (r + z)

Итерированные функции и суммы также могут быть анимированы.(п + 1) / (п + 1))

Хорошо видны радиусы схождения в последних двух примерах

Инструмент
, созданный Дэвид Бау

GeoGebra Tutorial — Комплексные числа

В GeoGebra вы можете ввести комплексное число в поле ввода, используя \ (i \) в качестве мнимой единицы; например w = 2 + 3i . Номер отображается в графическом представлении в виде точки, и вы можете перемещать ее. Вы также можете используйте инструмент Комплексное число .

Есть некоторые функции GeoGebra, которые работайте как с точками, так и с комплексными числами.Функции abs (w), arg (w) и сопряжены (w) говорят сами за себя. Чтобы получить действительную или мнимую часть, используйте x (w) или y (w) соответственно.

Можно выполнять арифметические операции над комплексными числами и использовать некоторые сложные функции.

Комплексные функции

Для функции \ (\ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C} \) вы не можете нарисовать график. Вместо этого вы можете визуализировать, как один набор точек отображается на другой набор точек.

Мы будем использовать следующие методы в GeoGebra для визуализации сложных функций.

Пусть \ (z \) и \ (w \) такие комплексные числа, что \ (w = f (z) \) для некоторой функции \ (f \).

  • Введите функцию \ (f (x) \) (переменной \ (x \)) на панели ввода GeoGebra. Скрыть график функции.
  • Используйте инструмент Комплексное число , чтобы добавить точку как комплексное число. Точка будет называться \ (z_1 \), и вы не сможете переименовать ее в \ (z \), поскольку \ (x, y, z \) — это предопределенные имена переменных.
  • Напишите f (z_1) , чтобы получить еще одно комплексное число. Переименуйте его в \ (w \).

Метод 1 можно использовать для изучения того, как точки отображаются на точки.

Если вы хотите изучить, как отображается набор точек, образующих некоторую кривую, вы можете использовать инструмент Locus .

Пусть \ (z \) и \ (w \) такие комплексные числа, что \ (w = f (z) \) для некоторой функции \ (f \).

Начните с создания кривой, например круга, линии или графика функции.

  • Введите функцию \ (f (x) \) (переменной \ (x \)) на панели ввода GeoGebra. Скрыть график функции.
  • Используйте инструмент Комплексное число и разместите комплексную точку на кривой. Точка будет называться \ (z_1 \).
  • Напишите f (z_1) , чтобы получить еще одно комплексное число. Переименуйте его в \ (w \).
  • Используйте инструмент Locus . Сначала щелкните \ (w \), а затем \ (z_1 \). Скройте точки \ (z_1 \) и \ (w \).

Если вы хотите нанести на карту многоугольник, вы можете разместить сложную точку на каждой стороне многоугольника, а затем использовать Метод 2 для каждой точки. Это утомительно, если вы хотите отобразить несколько полигонов. Более эффективный подход — использовать электронную таблицу.

Пусть \ (z \) и \ (w \) такие комплексные числа, что \ (w = f (z) \) для некоторой функции \ (f \).

Начните с создания кривой, например, квадрата с помощью инструмента Правильный многоугольник .

  • Введите функцию \ (f (x) \) (переменной \ (x \)) на панели ввода GeoGebra. Скрыть график функции.
  • Используйте инструмент Комплексное число и разместите комплексные точки на каждой стороне многоугольника. Переименуйте точки в \ (A1, A2, A3, \ ldots \), так они будут отображаться в столбце A электронной таблицы.
  • Запишите f (A1) в ячейку B1 и сделайте относительные копии вдоль столбца B.
  • Запишите Локус (B1, A1) в ячейку C1 и сделайте относительные копии по столбцу C

Обратите внимание, что эти методы не работают с функциями, которые явно зависят от \ (\ text {Re} z \), \ (\ text {Im} z \), \ (\ text {arg} z \) или \ (\ бар {z} \).Эти методы также не будут работать для полиномиальных функций, имеющих комплексные коэффициенты. Эти методы будут работать только в том случае, если вы используете функции, которые также можно рассматривать как функции с действительным знаком реальной переменной.

Если вы хотите использовать простую функцию, например \ (f (z) = az + b \), где \ (a \) и \ (b \) — комплексные коэффициенты, вы можете написать выражение a * z_1 + b для создания сопоставленной точки.

Преобразования Мебиуса

Переместите ползунки a, b, c, d, чтобы увидеть различные преобразования Мебиуса красных фигур.
Из-за большого количества объектов рекомендуется хороший браузер (Chrome).

Преобразование Мёбиуса — это функция \ (\ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C} \), определенная в

\ [f (z) = \ frac {az + b} {cz + d} \]

, где \ (a, b, c \) и \ (d \) — такие комплексные числа, что \ (ad-bc \ ne 0 \).

Преобразование Мёбиуса не определено при \ (z = -d / c \), поскольку это означало бы деление на ноль. Если вместо этого мы используем так называемую расширенную комплексную плоскость , эта плоскость также будет содержать бесконечно удаленную точку.Расширенная комплексная плоскость представлена ​​точками на так называемой сфере Римана , где бесконечно удаленная точка является самой верхней точкой сферы.

Используя сферу Римана, которую мы можем записать как \ (\ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \} \), мы можем определить преобразование Мёбиуса \ (\ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \ } \ rightarrow \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \} \) следующим образом:

Мы предполагаем, что \ (ad-bc \ ne 0 \).

Если \ (c \ ne 0 \), мы определяем функцию как

\ [ f (z) = \ begin {case} \ frac {az + b} {cz + d} & \ text {if} z \ ne \ infty, z \ ne -d / c \\ a / c & \ text {if} z = \ infty \\ \ infty & \ text {if} z = -d / c \ end {case} \]

Если \ (c = 0 \), мы определяем функцию как

\ [ f (z) = \ begin {case} \ frac {az + b} {d} & \ text {if} z \ ne \ infty \\ \ infty & \ text {if} z = \ infty \ end {case} \]

Обратите внимание, что если \ (c \ ne 0 \), мы не можем иметь это \ (d = 0 \), поскольку \ (ad-bc \ ne 0 \).{-1} (f (z)) = z \).

То, что композиция двух преобразований Мёбиуса является другим преобразованием Мёбиуса, означает, что повторяющиеся преобразования могут быть описаны как составные функции.

Упражнения

Большинство упражнений предполагают, что вы знаете об инверсии круга: неевклидова геометрия & дефис; Инверсия по кругу.

Упражнение 1

Наборы в комплексной плоскости

Опишите следующие наборы, используя бумагу и ручку.

  • \ (1 <\ text {Re} z <5 \)
  • \ (0 <\ arg z <\ pi / 4 \)
  • \ (| z- (2 + i) | <3 \)
Упражнение 2

Найдите набор

Пусть \ (z \) и \ (w \) — такие комплексные числа, что

\ [w = \ frac {z-1} {z + 1}.{-1} \) из \ (f (z) = (z-1) / (z + 1) \).

Упражнение 3

Сравнение с инверсией круга

Сложная карта \ [f (z) = \ frac {1} {z}, \] имеет некоторое сходство с инверсией в единичной окружности.
  • Создайте сложную точку \ (z_1 \) в GeoGebra. Создайте точку \ (1 / z_1 \).

    Создайте единичную окружность и отразите \ (z_1 \) в единичной окружности с помощью инструмента Отражение относительно окружности .

    Сравните две операции \ (1 / z \) и инверсию \ (z \) в единичной окружности.Опишите, как связаны эти две операции.

  • Найдите комплексную функцию, соответствующую инверсии в единичной окружности. Чем эта функция отличается от функции \ (f \)?

  • Вращения, отражения и перемещения — это преобразования с сохранением углов. Ранее мы также показали, что инверсия в круге сохраняет углы. Сохраняет ли функция \ (f (z) = 1 / z \) углы или нет? Объясните свое мышление.

Упражнение 4

Комплексная арифметика и преобразования

Преобразование Мёбиуса — это комбинация четырех функций

  • \ (f_1 (z) = z + d / c \)
  • \ (f_2 (z) = 1 / z \)
  • \ (f_3 (z) = \ frac {bc-ad} {c ^ 2} z \)
  • \ (f_4 (z) = z + a / c \)

такое, что

\ [f_4 \ circ f_3 \ circ f_2 \ circ f_1 (z) = f (z) = \ frac {az + b} {cz + d} ». z.\]
  • Для функции \ (f \) вы должны уметь угадывать, на какую кривую отображается линия. Объясните, что думаете об этой кривой.

  • Существуют ли какие-нибудь простые частные случаи линий, для которых вы можете объяснить отображение функции \ (g \)?

Упражнение 7

Отображение квадрата и треугольника

  • Используйте метод 3, чтобы показать, как квадрат и равносторонний треугольник отображаются функцией

    \ [f (z) = \ frac {1} {z}.\]
  • Показать, как полигоны отображаются функцией

    \ [g (z) = az \]

    и

    \ [h (z) = z + a \]

    где \ (a \) — комплексный коэффициент. Создайте сложную точку, представляющую \ (a \).

    Используйте столбцы D и E, чтобы показать отображение многоугольников с помощью \ (g \). Используйте столбцы F и G, чтобы показать отображения многоугольников с помощью \ (h \). Вы не можете использовать для этого GeoGebra-функции, но можете писать выражения функций напрямую.

  • Опишите и объясните преобразования \ (f, g \) и \ (h \).

Упражнение 8

Преобразование Мёбиуса многоугольника

Для простоты мы будем использовать только действительные коэффициенты \ (a, b, c, d \). Сделайте ползунок для каждого коэффициента и напишите функцию \ (f (x) \) для преобразования Мёбиуса, определяемого ползунками.

Создайте конструкцию GeoGebra, визуализирующую преобразование правильного многоугольника функцией.

Визуализация сложных функций с помощью приложения для презентаций «The Mathematica Journal

Визуализация — бесценный помощник для символьных вычислений в понимании комплексной плоскости и комплексных функций комплексной переменной.Приложение Presentations , дополнение к Mathematica, предоставляет богатый набор инструментов для помощи в такой визуализации. В этой статье демонстрируются некоторые возможности приложения, особенно те, которые имеют отношение к введению в комплексный анализ, и указываются некоторые возникающие проблемы преподавания и обучения. Включены примеры того, как сложные функции отображают объекты на комплексной плоскости и на сфере Римана, и как сложные функции ведут себя вблизи сингулярностей и в точках ветвления.

Введение

Визуализация и символьные вычисления необходимы для понимания поведения функций. Визуализировать поведение действительной функции реальной переменной часто легко, потому что график функции может быть нанесен на плоскость — пространство с двумя реальными измерениями. С другой стороны, визуализировать поведение комплексной функции комплексной переменной сложнее, потому что граф живет в пространстве с четырьмя реальными измерениями. В то время как Mathematica изобилует ресурсами для символьных вычислений со сложными функциями, из коробки он предоставляет лишь скудный набор инструментов для визуализации таких функций.Чтобы сделать гораздо больше, чем то, что предоставляется двухпараметрической формой ParametricPlot — заменой стандартного дополнительного пакета Graphics`ComplexMap` — даже для построения изображения простой кривой на сложной плоскости, требуются усилия по построению набор изображений и его графическое представление, а затем объединение графических объектов. Приложение Presentations [1], написанное вторым автором, является платным дополнением к Mathematica , которое предоставляет, среди прочего, богатый набор инструментов для построения сложных функций и некоторые утилиты для сложных символьных вычислений. Presentations включает полную документацию с отдельными страницами справки и примерами для каждой команды.

Presentations является преемником приложений Cardano3 [2] и DrawGraphics [1]. В вводном курсе комплексного анализа, обогащенном программным обеспечением Mathematica , первый автор подготовил демонстрационные тетради и тетради с упражнениями для Cardano3 [3] и экспериментировал с их использованием студентами; опыт там привел к некоторому усовершенствованию приложения.В курсе использовался учебник Мэтьюза и Хауэлла [4], который является довольно традиционным по подходу, хотя он идет немного дальше, чем некоторые введения, в подчеркивании свойств отображения сложных функций. Презентации особенно подходят для использования с менее традиционным, более визуально ориентированным текстом, например, с текстом Нидхэма [5], который вдохновил и помог направить разработку приложения.

В этой статье мы демонстрируем некоторые возможности пакета Presentations ComplexGraphics , особенно те, которые имеют отношение к введению в комплексный анализ.Примеры включают геометрическую задачу, решаемую комплексными средствами, представление сложных функций в виде отображений, изображение сингулярностей, анализ точек ветвления и визуализацию принципа аргумента. Обычно примеры включают в себя украшения, которые могут быть неподходящими для новичков как в Mathematica , так и в сложном анализе для программирования, но эти украшения иллюстрируют некоторые расширенные функциональные возможности пакетов.

Часто необходимы различные графические представления сложных функций, чтобы подчеркнуть их различные особенности.Графики DrawCartesianMap и DrawPolarMap в выражениях Draw2D могут использоваться для выделения свойств сопоставления. Сферы Римана можно использовать для лучшего изображения поведения вблизи бесконечно удаленной точки или для подчеркивания периодического поведения. ComplexDensityDraw и другие графики раскраски областей дают общее представление функции на плоскости, которая подчеркивает особые точки и линии ответвления.

Представление комплексных значений в виде векторов — это один из способов получения четырехмерного изображения: два измерения на плоскости и два измерения в каждом векторе.Перемещая один вектор в качестве локатора по области, мы можем увидеть, как функция изменяется вдоль пути; наложение движущегося вектора на фоновый график ComplexPolarContour модуля обеспечивает еще дополнительную визуальную информацию. Эта визуальная информация может сопровождаться панелями с динамически изменяющимися числовыми значениями. В более общем плане динамическая интерактивность особенно эффективна в оживлении различных свойств. Презентации могут дать общую картину или увеличить отдельные части домена.Многофункциональность может использоваться с несколькими типами графиков. Все эти методы увеличивают нашу способность понимать поведение сложных функций.

Верхний уровень Презентации сложные графические функции в конечном итоге вызывают более общие процедуры построения графиков, подобные тем, что в DrawGraphics , который обсуждается в [6]; программы построения графиков Presentations , в свою очередь, в конечном итоге вызывают встроенные функции Mathematica . Для воспроизведения всех результатов в этой записной книжке, помимо Mathematica и Presentations , также потребуется пакет Ersek RootSearch [7].

Здесь показаны только некоторые функции Presentations , даже для сложных функций. Визуализации римановых поверхностей обсуждаются в [8]. Доступны онлайн-ресурсы для визуализации сложных функций, которые вообще не включают Mathematica ; см., например, [9].

Эта статья основана на оригинальной статье авторов [10] для восьмого Международного симпозиума Mathematica ( IMS ’06), в котором использовалось Cardano3. Благодаря достижениям в Mathematica 6 и сопутствующей разработке приложения, приведенные здесь примеры выходят далеко за рамки того, что было возможно раньше.

Инициализация

Для начала инициализируем приложение Presentations .

Чтобы открыть документацию для Presentations напрямую, оцените следующую ячейку ввода.

Функция styleText будет использоваться в нескольких местах для форматирования меток точек.

Геометрия на сложной плоскости

Presentations содержит полный набор графических примитивов, которые напрямую используют комплексные числа для точек. Геометрические диаграммы — важная часть математических дискуссий, но студентам сложно рисовать такие диаграммы. Сила комплексной алгебры состоит в том, что многие такие диаграммы легче построить и нарисовать на комплексной плоскости. Такие диаграммы — это не только отличное введение в презентацию , и сложную алгебру, но и ценный метод для математической работы.

Рассматриваемая здесь проблема взята из сообщения на MathGroup [11] (с греческими буквами, используемыми для угловых переменных оригинала):

Я пытаюсь найти угол, соответствующий точкам на окружности круга, которые находятся на расстоянии 7 единиц от точки на окружности круга для углов в первом квадранте.

Ниже представлена ​​диаграмма проблемы.

Для заданного значения угла найдите такие углы, чтобы синяя линия, соединяющая две обведенные точки, имела длину 7.Чтобы решить эту проблему, мы упростим ситуацию, написав сложное уравнение для с параметром as.

Дополнительная геометрическая диаграмма (не показана) показывает, что уравнение для всегда имеет два корня. Корни проще всего найти с помощью пакета Ersek RootSearch [7].

Например, оценка дает результат. Чтобы показать, как решения меняются при изменении от 0 до, мы используем новую динамическую интерактивность, представленную в Mathematica 6, а также ее способность комбинировать графическую и числовую информацию.Во-первых, следующее определение вычисляет два решения с графикой на основе решений и возвращает их в виде списка.

Следующее выражение Manipulate отображает графику вместе с панелями, показывающими значения и соответствующие два значения.

Такое динамическое представление, сочетающее графику и числовые данные, дает превосходный практический опыт взаимоотношений и повышает уверенность в последовательности метода решения.

Комплексные функции как отображения плоскости

Самый прямой способ представить функцию в виде отображения — это отобразить рядом плоскости домена и кодомена (или их компактификации сфер Римана), разместить в домене некоторые интересующие объекты и отобразить соответствующие изображения этих объектов. под в кодомене. Обычно мы размещаем объекты со ссылкой на какую-либо сетку в домене, а затем отображаем их изображения со ссылкой на изображение этой сетки.

Чтобы представить такую ​​функцию в виде сопоставления с Presentations , мы будем использовать два экземпляра Draw2D, первый для домена, а второй для codomain. Функция Draw2D — это базовая конструкция для простого комбинирования графиков и других графических объектов без необходимости использования Пролога, Эпилога или Шоу.

Наш первый пример — это аффинная линейная функция формы.

Этот пример — хорошее место для начала, потому что так легко вычислить напрямую (даже с бумагой и карандашом!) Изображения линий и кругов и, следовательно, понять саму концепцию функции как отображения — концепцию, которую многие новичкам сначала сложно.Сюжет, который мы собираемся построить, покажет, как треугольник и круг на карте с декартовой сеткой находятся внизу. Следующий код просто формирует объекты для построения, но не отображает их.

Функция DrawCartesianMap создает базовую сетку для плоскости домена. Обратите внимание, что хотя DrawCartesianMap является двумерной конструкцией, в ней используется только один комплексный итератор, где zmin и zmax очерчивают прямоугольную область в комплексной плоскости.Это общая особенность сложных программ построения графиков в Presentations . Для полярных графиков итератор будет использовать форму комплексных чисел, предоставленную пакетом, а затем примет форму:

.

Функции Presentations Legacy и HTML, которые также использовались ранее, предоставляют ярлыки для цветов, не определенных в ядре. Их также можно было просто щелкнуть из палитры ColorSchemes.

Наконец, мы вставляем объекты в два выражения Draw2D и объединяем последние в строку.Во втором Draw2D это производная функция, которая преобразует сетку вместе с треугольником и кругом.

Сюжет предполагает, что линии сопоставляются с линиями, а круги — с кругами; это также предполагает, что задействованы вращение, растяжение и перенос. Чтобы проверить аналитически, что это так, нам нужно только записать как композицию вращения вокруг начала координат, расширения и сдвига. Документация для Presentations иллюстрирует действия вращений, расширений и перемещений посредством анимации в комплексной плоскости и их подъема в сферу Римана.

Для новичка такой первый пример наверняка должен быть проще; например, это может включать отображение только одного линейного сегмента, отказ от маркировки точек и использование цветов по умолчанию. Создание такой графики может либо предшествовать анализу, чтобы предложить то, что будет выявлено в результате анализа, либо следовать за анализом, чтобы визуально подтвердить то, что прогнозирует анализ.

Простейшим нелинейным полиномом является функция возведения в квадрат. Это попытка наивного студента показать, как это работает.

Параболические дуги, показанные как изображения горизонтального и вертикального сегментов сетки, правильные, но изображения выделенных горизонтальных и вертикальных сегментов — неправильные . Студент, пытающийся сделать обобщение на примере аффинных линейных отображений, имел необоснованные ожидания относительно того, что будет делать приложение.

Что пошло не так? При использовании ComplexMap для формирования изображения самой сетки, Presentations применяет целевую функцию (здесь) к точкам вдоль линий сетки, а затем соединяет результирующие точки изображения в кодомене.Однако для примитивного графического объекта, такого как ComplexLine, он просто применяет функцию к выделенным точкам объекта — для ComplexLine, к его вершинам — а затем формирует соответствующий объект в кодомене на основе изображений выделенных точек.

Именно столкновение с этим недоразумением студентов привело к новому примитиву ComplexCurve Presentations для представления кривой на комплексной плоскости, параметризованной действительной переменной. Подпрограммы Presentations находят изображение такой кривой так же, как и для линий в сетке — путем выборки точек вдоль кривой, вычисления их изображений и последующего соединения точек изображения.Следующая измененная кривая, использующая объекты ComplexCurve, правильно представляет отображение.

Конечно, прямоугольная сетка — вряд ли лучший способ понять, как отображается функция возведения в квадрат. Полярная сетка, в данном случае покрывающая полудиск, который мы создаем в первую очередь, намного лучше.

Тогда график, созданный с помощью следующего кода, покажет, что функция возведения в квадрат удваивает углы при возведении в квадрат модулей. (Результат был подавлен.)

Благодаря Mathematica и ее особым динамическим функциям преобразование такого статического изображения в динамическое представление не требует дополнительных усилий. Нам нужно только помнить, какие параметры будут переменными или динамическими, и поэтому полезно разработать начальную графику в модуле или выражении With, которое имеет параметры как локальные переменные.

Точно так же код может быть изменен, чтобы динамически показывать, что происходит при различных степенях.

Подъемные комплексные сопоставления с римановой сферой

Свойства отображения некоторых сложных функций можно хорошо визуализировать, рассматривая их как отображения сферы Римана. Позвольте быть расширенной комплексной плоскостью, и позвольте быть стереографической проекцией на экваториальную плоскость, с северным полюсом, идущим в точку на бесконечности. Чтобы визуализировать карту, рассмотрим часть замкнутого диска в замкнутом первом квадранте.

Сначала мы создаем двойную полярную сетку, чтобы отличать точки внутри единичного круга от точек за его пределами и выделять части границы.

Результат из следующего показывает оба и их изображение на сфере Римана. Проекцией плоскости на сферу занимается StereographicMap.

В первом авторском курсе стереографическая проекция описывалась геометрически. Когда этот рисунок был продемонстрирован, студентам было любопытно узнать, как приложение реализовало проекцию. Явная формула для StereographicMap появляется в коде пакета ComplexGraphics , но учащиеся не могли легко это выяснить.Использование приложения побудило студентов открыть для себя формулу и тем самым дало им возможность применить трехмерные векторные методы.

Наш последний пример визуализации сложных функций в виде отображений — это комплексный синус. Ниже показано, как отображается квадратная сетка на плоскости с изображением, поднятым до сферы Римана.

Сетка украшена цветными точками. Синус периодичен с действительным периодом, и ничто лучше не иллюстрирует это, чем то, как изображение обтекает сферу Римана, сводя концы цепочки цветных точек вместе.

Особенности

Один из способов визуализировать поведение функции в сингулярностях — построить график модуля в 3-м пространстве. Это может быть реализовано в ComplexPolarSurface с помощью второго аргумента Abs. (В более общем смысле, второй аргумент функции обеспечивает график составной части. Другими показательными случаями являются и.)

Следующая функция имеет полюсы в,,, и.

Из-за симметрии происхождения двух пар полюсов, уместно построить график для полярной области.Следующий график показывает это на каждом полюсе. (Мы могли бы использовать динамическую интерактивность для увеличения каждого полюса.)

Воронки на полюсах имеют разный обхват. Следующий расчет количественно подтверждает это наблюдение.

Многофункциональность

Следующий пример, подсказанный задачей в Нидхэме [5, с. 117] использует функциональность Presentations , которая является более продвинутой, чем то, что можно было бы представить в первом курсе комплексного анализа.Это касается следующей сложной функции.

Цель состоит в том, чтобы определить природу точек ветвления и то, как изменяется функция, когда мы следуем разными путями в комплексной плоскости. Для этого мы будем использовать другое представление сложной функции, которое использует одну подвижную точку в сложной области с прикрепленным вектором, указывающим от на.

Сначала мы делаем фоновый рисунок, на который накладываем движущийся комплексный вектор.

Строго говоря, нам не нужен фоновый график, мы могли бы просто перемещать локатор в плоскости, возможно, с сеткой домена.Мы также могли выбирать между множеством различных типов фоновых сюжетов. Хотя информация на фоновом графике избыточна, она помогает сориентировать зрителя, а информация о модуле является одним из лучших «ориентиров».

Чтобы найти все ветви многофункционального устройства, мы решаем, взяв шестую степень, чтобы очистить радикал, так что решаемое уравнение принимает вид.

Многофункциональные возможности Presentations позволяют создавать непрерывные наборы решений вдоль пути, даже если ветка пересекается.Путь в комплексной плоскости сначала инициализируется с помощью функции Multivalues. Многозначные значения имеют память, и их первый аргумент обычно будет содержать значения из самой последней оценки. При инициализации нет предыдущих значений, поэтому предоставляется Null. Второй аргумент — это список выражений для решений, а третий — переменная.

Затем мы вычисляем два последовательных значения, которые были удобно выбраны для пересечения ветки, идущей от до.Последовательные наборы многозначных значений вычисляются с помощью сопутствующей функции CalculateMultivalues, которая передает конкретный путь в качестве подзначения. Подпрограмма возвращает список значений и перестановку решений, используемых для этих значений.

Обратите внимание, что значения были переставлены между двумя решениями и что все решения из второй оценки близки к решениям из первой оценки. Часто нас будет интересовать только первое сгенерированное решение.Следующее генерирует таблицу значений первого решения, когда тестовый путь окружает точку ветвления. Чтобы многозначные числа с памятью работали правильно, шаги на пути должны быть достаточно близкими. Здесь они достаточно близки, чтобы работать, и все же дают краткий выходной список угла, первого значения функции и используемой перестановки.

Обратите внимание, что полная схема изменила значение функции на обратное. Как мы покажем, для возврата к исходному значению функции требуется две полных схемы.

Ниже приводится фоновая графика, состоящая из контурного графика модуля, чтобы обеспечить некоторую общую ориентацию для зрителя. Локатор представлен в виде красной CirclePoint. Это можно использовать для выборки в любой точке области изображения. К локатору прикреплен вектор, который дает значение первого решения (в половинном масштабе) в этой точке. Справа от рисунка приведены числовые значения и в декартовой и полярной форме. Обозначение — это форма, возвращаемая функцией Presentations для представления полярной формы, другими словами, значения.

Перетаскивание локатора по точкам ветвления демонстрирует многозначную природу. Локатор нужно перетащить дважды вокруг точки или три раза вокруг точки, чтобы вернуться к исходному значению. Его нужно шесть раз перетащить вокруг комплекса обеих точек ветвления, чтобы вернуться к исходному значению. Это показывает, что невозможно иметь только одну ветвь, соединяющую две точки ветвления. Должна быть хотя бы одна ветвь, уходящая в бесконечность.

Другой способ представить ту же ситуацию, выполненный в [10], — это привязать все шесть векторов решения к каждой точке в массиве. Но удивительно, сколько информации можно получить с помощью одной подвижной точки и одного непрерывного решения. Это истинное четырехмерное представление, хотя и локальное: область определения функции обеспечивает два измерения, а вектор дает еще два измерения. При перемещении локатора раскрываются все четыре измерения. Наконец, показывая только одно решение, мы фактически движемся по римановой поверхности функции, где функция является однозначной.Перемещаясь к различным точкам на поверхности, мы можем восстановить все значения. Таким образом, мы можем исследовать всю поверхность и вернуться к исходной точке без разрывов и артефактов пересекающихся поверхностей. Конечно, мы не видим поверхность как объект в четырехмерном пространстве; он просто улыбается нам, как Чеширский кот.

Риманова поверхность — сложная поверхность. Один из способов визуализировать его как поверхность в реальном трехмерном пространстве — представить его как объект ComplexPolar, но вместо и в качестве аргументов использовать графические объекты, которые задают модуль и аргумент поверхности.

По эстетическим соображениям прямоугольник и топоры изображений не используются. В этой презентации есть один артефакт: в графике аргументов мы должны идентифицировать верхние края (которые встречаются в) с соответствующими нижними краями (которые встречаются в). Более того, довольно сложно отследить пути, которые использовались вокруг точек ветвления в предыдущей презентации, вектор-локатор. Возможно, лучшее представление будет получено при более внимательном рассмотрении одной из точек ветвления, например.

Если внимательно рассмотреть эту точку, поверхность аргумента Римана выглядит как три отдельные поверхности, каждая из которых требует двух оборотов для возврата к исходному значению. Вернитесь к презентации динамического вектора-локатора. Обведите вокруг нуля в точке, и вы увидите одну из поверхностей. Теперь сделайте объезд другого нуля в точке и вернитесь к кругу нуля в точке. Вы окажетесь на другой поверхности. Сделайте еще один объезд, и вы окажетесь на третьей поверхности.Такое поведение могло быть обнаружено не только из презентации локатора векторов. Несколько презентаций, которые дополняют друг друга, часто являются путем к более полному пониманию красоты сложных функций.

Визуализация римановых поверхностей мультифункций с помощью поверхностей в трехмерном пространстве также появляется в [8].

Принцип аргументации

Раскраска доменов также может использоваться для визуализации общих принципов сложных функций. Мы проиллюстрируем это адаптацией примера Лундмарка [9], касающегося принципа аргументации.(Lundmark также предоставляет онлайн-примеры подобных типов графиков раскраски доменов, созданных с использованием инструментов, отличных от Mathematica .)

Следующая функция имеет полюс порядка 3 в точке, ноль порядка 2 в точке и нули порядка 1 в точке и.

Чтобы проиллюстрировать принцип аргументации, мы построим график в два этапа. На первом этапе мы создаем фоновый рисунок, который раскрашивается в соответствии с аргументом функции, а затем накладываем на него контуры модуля.Функцию DomainColoring обычно можно использовать для трехцветной раскраски, чтобы указать аргумент и модуль одновременно. Но здесь мы используем его с подпрограммой ArgColor, которая окрашивает от IndianRed до Yellow, поскольку аргумент изменяется от до. (Это является результатом аргумента «0» в ArgColor, который указывает точку ветвления в домене, которая должна быть в радианах. Обычно она равна.) Наконец, ComplexCartesianContour используется для построения выбранного набора контуров модуля без какой-либо штриховки контура, чтобы они наложите раскраску аргумента.

На втором этапе построения изображения на этом фоне мы строим две простые замкнутые кривые, первая — вокруг точек и, а вторая — вокруг и. (В Mathematica 5 эти точки были получены путем щелчка и копирования точек. В Mathematica 6 они могли быть получены с помощью процедуры LocatorLine в Presentations , которая позволяет размещать любое количество локаторов на графике и использовать для копирования их координаты.) Каждая из точек ветвления помечена своей кратностью со знаком, положительный знак обозначает ноль, а отрицательный знак обозначает полюс.

Как показывает раскраска аргумента, при создании схемы каждой простой замкнутой кривой количество раз, когда аргумент приращений на равен сумме порядков нулей и полюсов внутри этой кривой. И это именно то, что, согласно принципу аргументации, происходит в общем случае с мероморфной функцией: пусть будет положительно ориентированной простой замкнутой кривой, которая не проходит через какие-либо нули или полюса.По мере вращения кривая изображения изгибается во времени, где — количество нулей внутри и — количество полюсов внутри, где каждый ноль и полюс учитываются во столько раз, сколько их кратность.

Заключение

В идеале студенты, приходящие на курс комплексного анализа, в котором используется Presentations , уже должны иметь опыт работы с Mathematica . В действительности, к сожалению, это случается редко: студенты должны изучить основ Mathematica с особенностями, около презентаций , поскольку они изучают комплексные числа и комплексные функции.В курсе, названном первым автором, два дня занятий были потрачены в лабораторных условиях с практическим, быстрым введением в Mathematica , включая первое представление о некоторых функциональных возможностях Cardano3 , которые теперь находятся в Presentations . Хотя такое расположение вряд ли было оптимальным, этого было достаточно для их начала.

Для новичка в Mathematica синтаксис графических подпрограмм в Cardano3 с их множественными аргументами в виде глубоко вложенных списков был устрашающим.В первом авторском курсе немногим студентам удалось построить синтаксически правильную графику сопоставления домен-кодомен без прямого доступа к документации; поэтому в своей работе они полагались на шаблоны, предоставленные инструктором.

В результате преподавательского опыта первого автора и совершенно новых функций, представленных в Mathematica 6, процедуры Cardano3 были полностью переработаны и переписаны, а затем включены в приложение Presentations , преемника DrawGraphics .Одним из основных недостатков дизайна Cardano3 была попытка создать контейнер и пользовательский интерфейс, который бы обрабатывал всю сложную графику. Сейчас признано, что пакеты не должны создавать новые интерфейсы, которые являются просто дополнительными специализированными вещами, которые студенты должны изучить, а вместо этого должны просто расширять Mathematica и объединять с его стандартным использованием.

До тех пор, пока студенты технических специальностей не начнут изучать Mathematica в средней школе, будет по-прежнему непросто научить их использовать Mathematica в курсах колледжа.Временной и несовершенной, но все же полезной альтернативой могло бы быть предоставление видов примеров, показанных здесь, в виде приложений Web Mathematica или демонстраций (демонстрации.wolfram.com). На данный момент лучшим решением могут быть специально разработанные учебные пособия Mathematica , в которых представлены общие конструкции, используемые в курсовых и вводных лабораторных работах. Но есть замечательная выгода, когда студенты могут получить практический визуальный опыт математических объектов в дополнение к своей аналитической работе.

Список литературы

[1] Д. Дж. М. Парк, мл. «Пакет презентаций для Mathematica : настраиваемая графика и презентации с Mathematica ». (12 декабря 2007 г.) home.comcast.net/~djmpark/DrawGraphicsPage.html.
[2] Д. Дж. М. Парк, мл. «Пакет Cardano3». (19 июня 2006 г.) home.comcast.net/~djmpark/Cardano3Page.html.
[3] М. Айзенберг. «Math 421 — осень 2006 г .: комплексные переменные.”(7 января 2007 г.)
[4] Дж. Х. Мэтьюз и Р. У. Хауэлл, Комплексный анализ для математики и инженерии , 5-е изд., Садбери, Массачусетс: Jones and Bartlett Publishers, 2006.
[5] Т. Нидхэм, Визуальный комплексный анализ , Нью-Йорк: Oxford University Press, 1997.
[6] Д. Дж. М. Парк, младший, «DrawGraphics», «Математика в образовании и исследованиях» , 10 (1), 2005 стр.41-66.
[7] Т. Эрсек. «RootSearch ищет все корни уравнения между xmin и xmax ». (2 мая 2006 г.) library.wolfram.com/infocenter/MathSource/4482.
[8] С. Кивеля, «О визуализации римановых поверхностей», в Applied Mathematica, Electronic Proceedings of the VIII International Mathematica Symposium ( IMS ’06), Авиньон, Франция (Я. Папегей, ред.), Sophia Antipolis , Франция: INRIA, 2006 ISBN 2-7261-1289-7.internationalmathematicasymposium.org/IMS2006/IMS2006_CD/html/articles.html.
[9] Х. Лундмарк. «Страницы комплексного анализа Ганса Лундмарка». (28 января 2008 г.)
www.mai.liu.se/~halun/complex.
[10] М. Эйзенберг и Д. Дж. М. Парк-младший, «Визуализация сложных функций с помощью приложения Cardano3», в Applied Mathematica, Electronic Proceedings of the VIII International Mathematica Symposium ( IMS ’06), Авиньон, Франция (Y.Папегай, ред.), София Антиполис, Франция: INRIA, 2006 ISBN 2-7261-1289-7
internationalmathematicasymposium.org/IMS2006/IMS2006_CD/html/articles.html.
[11] Аноним. «Архив MathGroup 2006». (Февраль 2006 г.)
форумов .wolfram.com/mathgroup/archive/2006/Feb/msg00336.html.
М. Айзенберг и Д. Дж. М. Парк-младший, «Визуализация сложных функций с помощью приложения для презентаций», The Mathematica Journal , 2011. dx.doi.org / doi: 10.3888 / tmj.11.2-6.

Об авторах

Мюррей Айзенберг — профессор математики и статистики Массачусетского университета в Амхерсте, получивший степень бакалавра гуманитарных наук. и А. из Пенсильванского университета и его докторская степень. из Уэслианского университета. Главный математический интерес Айзенберга — топология динамических систем. Он опубликовал статьи по топологической динамике, языкам программирования APL и J и использованию компьютеров в обучении математике для студентов вузов, а также является автором трех учебников для студентов.

Дэвид Дж. М. Парк-младший получил степень бакалавра наук. и М.С. в области электротехники от M.I.T. Парк работал над микроволновыми и лучевыми элементами конструкции первых цезиевых лучевых трубок для атомных часов и мазеров. Работая компьютерным консультантом, он стал заниматься биохимией и биологией развития, опубликовал ряд статей в этой области и некоторое время работал в Лаборатории теоретической биологии в НИИГ. На пенсии он использовал Mathematica , чтобы возобновить интерес к математической физике, и в процессе разработал пакеты, используемые многими пользователями Mathematica .Совсем недавно он сотрудничал с Ренаном Кабрерой и Жаном-Франсуа Гуйе для разработки Tensorial , пакета Mathematica для тензорного исчисления.

Мюррей Эйзенберг
Департамент математики и статистики
Массачусетский университет
Lederle Graduate Research Tower
710 North Pleasant Street
Амхерст, Массачусетс .umass.edu / ~ Мюррей

Дэвид Дж.М. Парк, младший
1429 Searchlight Way
Mount Airy, MD 21771 USA
[email protected]
home.comcast.net/~djmpark

Праймер для комплексных чисел

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, разговариваете по мобильному телефону). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Прежде чем я начну с этого, позвольте мне сначала пояснить, что этот документ не предназначен для того, чтобы научить вас всему, что нужно знать о комплексных числах.Это предмет, который может занять (и требует) целый курс. Цель этого документа — дать вам краткий обзор комплексных чисел, обозначений, связанных с комплексными числами, и некоторых основных операций с комплексными числами.

Этот документ был написан с предположением, что вы видели комплексные числа в какой-то момент в прошлом, знаете (или, по крайней мере, знали в какой-то момент времени), что комплексные числа могут быть решениями квадратных уравнений, знаете (или вспомните) \ (i = \ sqrt {-1} \), и что вы видели, как выполнять основную арифметику с комплексными числами.Если вы не помните, как выполнять арифметические действия, я покажу вам один или два примера, чтобы напомнить вам, как выполнять арифметические действия, но я предполагаю, что вам не нужно больше в качестве напоминания.

Для большинства студентов предположения, которые я сделал выше о том, что они подвержены воздействию комплексных чисел, — это степень их воздействия. Однако, как правило, возникают проблемы, потому что большинство преподавателей, кажется, предполагают, что либо ученики будут видеть за пределами этого воздействия в каком-то более позднем классе, либо уже видели за пределами этого в каком-то более раннем классе.Затем от учеников внезапно ожидают, что они будут знать больше, чем основы арифметики комплексных чисел, но зачастую они на самом деле нигде не видят этого, и им приходится быстро усваивать их самостоятельно, чтобы выжить в классе.

Это цель этого документа. Мы выйдем за рамки основ, которые большинство студентов видели в какой-то момент, и покажем вам некоторые обозначения и операции с комплексными числами, которые многие студенты никогда не видят, когда они узнают, как обращаться с комплексными числами как решениями квадратных уравнений.Мы также увидим немного другой способ взглянуть на некоторые основы, которые вы, вероятно, не видели, когда впервые познакомились с комплексными числами, и докажем некоторые из основных фактов.

Первый раздел представляет собой более математическое определение комплексных чисел и на самом деле не требуется для понимания остальной части документа. Представлен исключительно для тех, кому это может быть интересно.

Предполагается, что второй раздел (арифметика) в основном представляет собой обзор для тех, кто читает этот документ, и может быть прочитан, если вам нужно быстро освежить в памяти, как выполнять основную арифметику с комплексными числами.В этот раздел также включено более точное определение вычитания и деления, чем обычно дается, когда человек впервые знакомится с комплексными числами. Опять же, понимание этих определений не требуется для остальной части документа, они представлены только для того, чтобы вы могли сказать, что видели это.

Остальные разделы являются сутью этого документа и включают темы, которые обычно не преподаются, когда учащиеся впервые знакомятся с комплексными числами.

Итак, давайте начнем …

Комплексный анализ — Исчисление Как к


Комплексный анализ — это область математики, которая сосредоточена вокруг комплексных чисел и исследует функции и концепции, связанные с ними.

Отрицательные квадратные корни сначала были отвергнуты как невозможные, а название «мнимые» должно было исключить их из серьезного математического исследования. Однако комплексные числа оказались чрезвычайно полезными во многих областях математики и естествознания. Они играют важную роль во многих областях математики с практическими приложениями в прикладной математике, гидродинамике, термодинамике и квантовой механике. Это делает его частью основы ядерной, электротехнической, аэрокосмической и машиностроительной отраслей.

Основы

Содержание (щелкните, чтобы перейти в этот раздел):

  1. Основы комплексных и мнимых чисел
  2. Что такое сложная плоскость?
  3. Что такое сложная функция?

Определения и функции в комплексном анализе

  1. Абелевы функции
  2. Тест Абеля: определение и пример
  3. Точка разветвления
  4. Декартова форма комплексных чисел.
  5. Комплексное сопряжение: определение, свойства
  6. Комплексный модуль
  7. Контур Интеграл
  8. Полная функция (интегральная)
  9. Essential Singularity
  10. Функция Totient Эйлера / функция Phi: простое определение
  11. Экспоненциальная интегральная функция
  12. Внешний камень
  13. Гипергеометрическая функция Гаусса: простое определение
  14. H-функция (H-функция Фокса)
  15. Функция Ханкеля
  16. Голоморфная функция (аналитическая функция) и универсальная функция
  17. Изотропный
  18. Laurent серии
  19. Мероморфная функция, эллиптическая
  20. Функция Мёбиуса
  21. Нетривиальные нули
  22. Полюс (изолированная сингулярность)
  23. Функция полилогарифма, дилогарифм
  24. Проколотый диск
  25. Съемная сингулярность
  26. Сигма-функция
  27. Унивалентные функции
  28. Функция Вейерштрасса

Комплексные числа — это числа, которые являются частью действительного числа и частью мнимого числа.Мнимая часть кратна мнимому числу i (квадратный корень из -1). Поскольку действительная и комплексная части этих чисел полностью разделимы, их также можно рассматривать как упорядоченные пары действительных чисел, представляющие точки или векторы в R 2 .

Мы часто пишем комплексные числа как


Идея воображаемого числа относительно проста. Все, что вам действительно нужно знать для большинства математических классов, — это то, что
i = √ -1 .
Более широкое определение:

Мнимое число — это любое число, возведение которого в квадрат дает отрицательное число.

Звучит просто, правда? Проблема возникает, когда вы пытаетесь вычислить , из которых чисел являются мнимыми. Давайте возьмем несколько случайных чисел и возведем их в квадрат, чтобы попытаться найти мнимое (то есть отрицательное) число:

  • 10 = 10 2 = 100
  • ,99 = 0,99 2 = 39801
  • -4 = -4 2
  • пи 2 =.986960440109.

Хорошо, похоже, ни один из них не работает. На самом деле, «угадать» мнимое число практически невозможно. Это как если бы я попросил вас угадать, какое слово на суахили означает «велосипед». Или что такое пятьдесят седьмая цифра в пи. Вам нужно будет узнать, что это такое, примерно так же, как вы узнали, что такое «переменная». Возьмем, к примеру, «x». Вы, наверное, знаете, что «x» означает «переменная». Ну, «i» обозначает очень особый тип переменной… мнимое число.В отличие от переменной x , которой может быть что угодно на планете, i равно квадратному корню из -1:

.

я = √-1

Теперь, прежде чем вы скажете: «Погоди… откуда это взялось? Откуда мы знаем, что я — √-1? »
Стой!
Если вы только изучаете мнимые числа, на этом этапе действительно важно сделать глубокий вдох и принять, что i = √-1. Помните, что вы узнали о Пи? Труднее всего было вспомнить, что оно было равно примерно 3.14. Затем вы должны использовать его, чтобы найти окружности и диаметры кругов. А потом, когда-нибудь в будущем, вы, возможно, узнаете историю числа Пи и того, как оно было получено. Воображаемое число i как раз такое. Чтобы повторить то, что я сказал в начале этого раздела: все, что вам нужно знать для большинства элементарных классов математики / алгебры / статистики (и даже базового класса calc), это то, что i = √-1. *
Вернуться к началу

Вы можете увидеть мнимые числа, определенные таким образом: i 2 = -1 (что просто переписывает i = √ -1).Вы будете использовать определение, чтобы попытаться решить уравнения. И если вы проработали достаточно алгебраических уравнений, вы знаете, что первое, что вы делаете с экспонентой, — это избавляйтесь от нее. Как от этого избавиться? Взяв квадратный корень из обеих частей. Если вы хотите использовать определение i 2 вместо √ 1, продолжайте. Для меня это усложняет уравнения. Но если это работает для вас, нет никаких причин, по которым вы не можете его использовать.

Тем не менее, — это случаев, когда вы захотите узнать некоторые варианты i 2 , чтобы вы могли вставить их в уравнения.С некоторыми вы, вероятно, столкнетесь (и большинство из них основаны на правилах, которые вы, вероятно, уже знаете, например, любое число, возведенное в ноль, равно единице):

Взгляните на этот четвертый термин на мгновение и обратите внимание, что это То же, что и я 0 . Вы видите начало шаблона? Шаблон продолжается (1, i, -1, i,), так что очень легко вычислить очень высокие степени i. Нечетные степени, такие как i 20 , будут равны -1 или 1. Четные степени, такие как i 57 , будут равны i или -i.
«i» в отрицательной степени встречаются реже, но они существуют (посмеемся над этим парадоксом!).

  • i -1 = -i
  • i -2 = -1
  • i -3 = -i

Последнее замечание по техническим вопросам: для базовой алгебры, определение, что i = √-1 работает. Но в более продвинутых классах (например, в классе комплексных чисел) вы должны знать, что i также является допустимым решением.
Вернуться к началу

Четыре числа в действительной строке умножаются на целые степени мнимой единицы, что соответствует поворотам, кратным прямому углу.Изображение: Кефир | Wikimedia Commons.

Комплексное число (a + bi) — это просто вращение обычного числа. При использовании отрицательного числа вы ведете обратный отсчет от начала координат (нуля) числовой строки. С мнимым числом вы на поворачиваете вокруг начала координат, как на изображении выше. Знаки + и — в отрицательном числе говорят вам, в каком направлении двигаться: влево или вправо на числовой строке. Таким же образом i сообщает вам, куда идти на декартовой плоскости (ну, выглядит как как декартова плоскость, только вместо этого ось y помечена как i ).Возьмем основное уравнение для i :
X 2 = — 1
Вы можете переписать это как:
x * x = -1
Это то же самое, что сказать:
Какое число, умноженное на само, равно -1?
Если вы пытаетесь представить себе действительное число, например 2 или 3, помните, что мы работаем в другом реальном. Если у вас есть x * x = 4, вы можете использовать числовую строку, чтобы вывести, что 2 * 2 = 4, перейдя прямо в строку 2 пробела, а затем 2 пробела. С мнимыми числами вы хотите вращать, а не умножать. Если вы повернете число «x» на 90 градусов, а затем снова на 90 градусов (что в воображаемом мире равно x * x), вы получите -x.

Если вам трудно обернуть голову, дайте ей немного погрузиться. Подумайте вот о чем: не так давно люди не могли понимать отрицательные числа. В 1798 году британский математик сказал, что они «… затемняют всю доктрину уравнений и затемняют вещи, которые по своей природе являются чрезмерно очевидными и простыми». В настоящее время каждый ученик начальной школы знает, что отрицательное число противоположно положительному.

Сейчас в повседневном мире мнимые числа не используются. Но представьте, что когда-нибудь в будущем они могут стать частью нашего повседневного языка, так же, как число ноль стало обычным явлением (не так давно числа ноль не существовало, но это история для другой статьи). Если вы станете математиком, инженером или физиком, воображаемые числа станут очень важны.

Мнимые числа в основном используются в математическом моделировании . Они могут влиять на значения в моделях, где на состояние модели в определенный момент времени влияет состояние модели в более ранний момент времени.Скорее всего, вы будете использовать мнимые числа в таких областях, как квантовая механика и инженерия, где используются дифференциальные уравнения (дифференциальные уравнения являются частью исчисления). Например, их можно использовать для контроля фазы и амплитуды звукового сигнала или электрических токов. Вы также встретите эти числа в информатике, где некоторые языки программирования (например, C #) используют мнимые числа в своих процедурах. Вы также встретите их в более сложных темах, таких как анализ Фурье.

Херон Александрийский (100 г. н.э.) считается первым человеком, который предположил, что квадратный корень из числа (√63) может быть решением проблемы.

Никколо Фонтана (Тарталья), Джероламо Кардано и Лодовико Феррари разработали в начале 16 века формулу для нахождения корней кубических уравнений. Их работа была опубликована в книге 1545 года Ars Magna . Формула включала корни из -1, которых, как они поняли, не существует. В то время эти несуществующие числа назывались «numeri ficti». Хотя они и фигурировали в уравнениях, в конечном итоге они сокращались, поэтому не было необходимости выяснять, что они из себя представляли на самом деле.В 1572 году Рафаэль Бомбелли объяснил, что такое числа и для чего их можно использовать.

Рене Декарт придумал фразу «мнимые числа» в 17 веке; упомянутый в La Geometrie, это был уничижительный термин. В XVIII веке швейцарский математик Леонард Эйлер ввел обозначение i , равное квадратному корню из -1. Карл Фридрих Гаусс популяризировал использование мнимых чисел в 19 веке.

Комплексные числа vs.Мнимые числа

Комплексные числа = Мнимые числа + Действительные числа

Например, 8 + 4i, -6 + πi и √3 + i / 9 — все комплексные числа.

Мнимые числа и комплексные числа часто путают, но это не одно и то же. Возьмите следующее определение:
«Термин« мнимое число »теперь означает просто комплексное число с действительной частью, равной 0, , то есть число вида b i ».
Некоторые люди читают первую часть предложения (выделенную жирным шрифтом), чтобы прочитать, что они эквивалентны.Это не так: внимательно прочтите вторую часть предложения. Он означает:


  1. Возьмите случайное комплексное число, например 7 + 4i.
  2. Обнулить «действительную» часть уравнения. 0 + 4i.

Это равно 4i, что является мнимым. Другими словами, из комплексного числа можно получить мнимое число . Но это не одно и то же.
Вернуться к началу

Комплексная плоскость (также называемая диаграммой Аргана в честь математика-любителя Аргана 18 века) представляет собой двумерный граф комплексных чисел.Это дает математикам графический способ представления комплексных чисел вместо алгебраического выражения.

Комплексная плоскость с действительной осью (x) и мнимой осью (y).

График комплексной плоскости выглядит почти идентично обычной оси xy,

Ось x на комплексной плоскости представляет действительную часть комплексного числа, а ось y представляет мнимую часть. Поэтому они чаще всего обозначаются как «действительная ось» и «мнимая ось» вместо «x» и «y», но вы также можете увидеть другие метки и обозначения.Но независимо от того, какая вариация появляется на графике, признаком того, что вы смотрите на комплексную плоскость (в отличие от декартовой плоскости), является включение «i», либо в виде уравнения, либо в виде помеченных шагов на ось y.

Как вы наносите числа на комплексную плоскость?

Каждое комплексное число x + y i можно изобразить как упорядоченную пару (x, y).

Комплексное число i — это точка (1, 0) на плоскости, а действительное число 1 представлено точкой (0, 1).На следующем графике показаны три числа: 1 (зеленый), i (оранжевый) и 2 + 3 i (синий):

Уравнение z = 2 + 3 i , изображенное таким образом, имеет вид называется прямоугольной формы числа z ; пунктирные линии заполняют форму прямоугольника на приведенном выше графике.


Обозначение

  • Комплексные числа и на комплексной плоскости обычно обозначаются двойным штрихом C (ℂ).
  • Вещественные переменные: x , y или иногда a , b .
  • Комплексные переменные: z , w

В то время как «обычная» функция имеет одно или несколько действительных чисел, комплексные функции (также называемые комплексными функциями ) определены с одним или несколькими комплексными числами. Комплексные числа состоят из части действительных чисел и части мнимых чисел.

Комплексные функции — это просто функции, которые отображают комплексные числа в комплексные числа. Поскольку комплексные значения из их диапазона и из их области могут быть разделены на действительную и мнимую части, мы также можем разделить сложную функцию на действительную и мнимую части.

Здесь x, y и функции u (x, y) и v (x, y) являются действительными. Мы ничего не изменили, но иногда сложную функцию f легче понять, если представить ее разложенной на эти части с действительным знаком.

Если комплексная функция дифференцируема в каждой точке открытого подмножества Ω комплексной плоскости, мы называем ее голоморфной на Ω. Голоморфные функции бесконечно дифференцируемы, и их изучение составляет большую часть комплексного анализа.

Более формальное определение

В обозначениях можно сказать, что комплексная функция f (z) содержит комплексные переменные, где z ∈ ℂ. Двойная заклейка C (ℂ) — это набор комплексных чисел. Другой способ сказать это: комплексная функция имеет диапазон, полностью состоящий из комплексных чисел.

Примечание : не путайте букву «z» с осью z. Он имеет совершенно другое значение и, несмотря на комплексные числа, представляет собой двумерную задачу.

Формальное определение сложной функции не сильно отличается от определения функций с действительными числами.Определение включает взаимно-однозначное сопоставление, которое является фундаментальной идеей функции. Для функций с действительными числами каждый вход (x) отображается ровно на один выход f (x). В случае сложной функции каждый элемент z (вход) отображается ровно на один выход с комплексным номером — f (z).

Несколько примеров

Для комплексной функции f (z) = u + iv функция u (x, y) является частью f с действительным номером, а v (x, y) — мнимой частью. Таким образом, функция F (z) записывается так же, как и функция с действительным знаком.

Некоторые из более простых сложных функций внешне не сильно отличаются от их аналогов с действительными номерами. Например, функция константы f (z) = c (где c — константа, которая может быть комплексной) или функция абсолютного значения f (z) = | z |. Карта идентичности также выглядит очень похожей: f (z) = z.

Графические сложные функции

Построить график сложной функции сложно, потому что вам нужно 4 измерения: два для домена и два для диапазона. Это потому, что вместо обычного вывода «y» сложная функция выводит другое комплексное число.В Интернете доступно несколько граферов, в том числе этот, который использует раскраску доменов для решения четырехмерной задачи. Графопостроитель будет строить график медленно, хотя вы можете ускорить его, увеличив точность.

График создан с помощью графера Дэна Джутана.

Список литературы

Beck, M. et al. (2018). Первый курс комплексного анализа. Получено 27 ноября 2019 г. с сайта: http://math.sfsu.edu/beck/papers/complexorth.pdf
Cain, George. Комплексный анализ.Получено с https://people.math.gatech.edu/~cain/winter99/complex.html 11 августа 2019 г.
Комплексные функции и уравнения Коши-Римана. Получено 27 ноября 2019 г. по адресу: https://www.math.columbia.edu/~rf/complex2.pdf
Berg, Christian. Комплексный анализ. Получено с http://web.math.ku.dk/noter/filer/koman-12.pdf, 11 августа 2019 г.
Hargittai, Istvan (Ed.). (1994). Пятикратная симметрия. World Publishing.
Джойс, Д. Дэйв. Краткий курс комплексных чисел. Получено 9 декабря 2019 г. по адресу: https: // www2.clarku.edu/faculty/djoyce/complex/plane.html
Maseres, Фрэнсис. (1758). Диссертация об использовании отрицательного знака в алгебре. Получено 31 декабря 2015 г. по адресу: http://lhldigital.lindahall.org/cdm/ref/collection/math/id/4015
The Story of Mathematics. (2010). Математика XVI века — Тарталья, Кардано и Феррари. Проверено 31 декабря 2015 г.
Waldemar Dos Passos. (2011). Численные методы, алгоритмы и инструменты на C #. CRC Press.

————————————————— ————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в этой области.Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!


Визуализация сложных аналитических функций с помощью раскраски областей

Ханс Лундмарк

Математический факультет
Линчёпингский университет, Швеция

[email protected]

май 2004 г.

1 Введение

Цель этого документа — графически проиллюстрировать некоторые поразительные свойства комплексных аналитических функций (также известных как голоморфных функций ).Любой желающий может, конечно, полюбоваться фотографиями. но чтобы понять их значение, вам нужно знать некоторый комплексный анализ. Функция f : R R обычно визуализируется рисование его графика y = f ( x ) в системе координат с одной осью для переменной домена x и одной осью для переменной диапазона y . Однако для сложных функций f : C C мы попадаем в беду; так как комплексная плоскость C двумерна, нам понадобится четырехмерное пространство, чтобы нарисовать график w = f ( z ).А поскольку четырех измерений слишком много для большинства простых смертных, требуются другие техники визуализации. Самый распространенный метод — нарисовать два экземпляра сложного плоскости, один для z и один для w , а затем на плоскости w нарисуйте изображения под f различных кривых и областей в плоскости z . Это очень полезно, но может быть сложно запечатлеть на одном снимке. что на самом деле делает функция f. Этот недостаток можно хотя бы частично преодолеть с помощью простого метода, известного как раскраска домена (термин, введенный профессором Фрэнком Фаррисом).Это работает следующим образом:
  1. «Раскрасьте» плоскость w , скопировав на нее изображение, или используя некоторую формулу для определения цвета каждой точки.
  2. Раскрасьте каждую точку z в области f в цвет соответствующей точки w = f ( z ).
Получающееся в результате цветное изображение в плоскости z является «графиком» функции f . Очевидно, что этот метод очень хорошо подходит для компьютерной графики.Хотя с помощью раскраски домена можно рисовать картинки произвольного функции f : C C (или R 2 R 2 ), я только рассмотрел здесь аналитические функции, так как в них есть очень интересные свойства, которые хорошо видны на фотографиях. Вот некоторые из то, что будет проиллюстрировано:
  • Поведение вблизи нулей, полюсов, сечений ветвей и существенных особенностей.
  • Conformality (сохранение углов).
  • Теорема Лукаса о критических точках многочлена.
  • Преобразования Мебиуса.
  • Некоторые общие элементарные функции.
  • Принцип аргумента.
  • Принцип максимума.

2 Раскраска домена — простой пример

Давайте подробнее рассмотрим, как работает раскраска доменов, рассмотрим пример: функция возведения в квадрат f ( z ) = z 2 . Первым делом нужно выбрать расцветку самолета w .Для примера наша первая раскраска будет очень простой: пусть точка w = 4 будет красной, точка w = −1 синим, точка w = 0 зеленым, а остальной самолет w белый (см. рисунок 1, где оси показаны только для справки; они не относятся к раскраске). Рисунок 1: Простая раскраска самолета w Теперь для каждой точки на плоскости z мы определяем ее цвет по формуле вычисляя w = f ( z ) = z 2 и глядя, какой цвет имеет эта точка в нашем цветной w самолет.Например, z = 3 будет белым, поскольку f (3) = 3 2 = 9 и w = 9 находится в белой области плоскости w . Очевидно, что с выбранной нами расцветкой почти каждый z будет белым. Единственные точки, в которых , а не будут белыми:
  • z = ± 2, который будет красным, так как w = f (± 2) = 2 2 = 4 красный,
  • z = ± i , который будет синим, так как w = f i ) = i 2 = −1 синий,
  • z = 0, который будет зеленым, так как w = f (0) = 0 2 = 0 зеленый.
Следовательно, мы получаем картинку, показанную на рисунке 2. Фигура 2: Соответствующее простое изображение f ( z ) = z 2 . Обратите внимание, что набор красных точек в плоскости z составляет инверсию изображения (при отображении f ) набора красных точек в плоскости w и аналогично для других цветов. Таким образом, вместо того, чтобы смотреть в плоскости w на изображения z точек, как в традиционной технике, мы смотрим в плоскости z на обратных изображений из w точек. Это дает четкое представление о функциях, которые не взаимно однозначны. Используя много цветов, мы можем смотреть на обратные изображения многих точек. (в принципе, все) одновременно. Прежде чем мы продолжим, позвольте мне также указать, что если f является функцией идентичности, f ( z ) = z , тогда изображение в самолете z , конечно, будет выглядеть точно так же, как расцветку выбирал в самолете w .

3 Выбор расцветки

Раскраска рисунка 1, конечно, слишком проста, чтобы быть полезной; единственное, что можно прочитать о функции f ( z ) = z 2 из рисунка 2 где предполагаются значения 4, -1 и 0.Вся остальная информация о f теряется в большой белой пустоте. Попробуем найти способ лучше раскрасить самолет w . Очевидно, желательно, чтобы разные точки были легко различимы; глядя на точку в плоскости z , должно быть легко найти соответствующую точку на плоскости w , так что мы можем быстро определить значение f ( z ). Это, пожалуй, проще всего сделать, наложив реальное изображение на плоскости w , поскольку мозг легко идентифицирует особенности изображения, даже если оно сильно искажено.Пример этого показан на рисунке 3, который показывает мою фотографию. накладывается на часть самолета w , и соответствующее изображение f ( z ) = z 2 в плоскости z . Действительная и мнимая оси, а также квадрат с углами ± 1- i показаны для справки. (масштаб на двух картинках не тот). Фигура 3: Быть квадратным — это круто. Давайте посмотрим на несколько свойств функции f ( z ) = z 2 , видимых на этом рисунке.На z = i мы легко узнаем пятно на моем правом ухе. что представляет собой точку w = −1. То же самое место находится в точке z = — i . Это отражает тот факт, что f ( i ) = f (- i ) = — 1. Так же, мой рот, который представляет область около w = — i , находится около двух квадратных корней из — i , которые равны z = ± (1 — i ) / √2. Фактически, каждая часть моего лица находится в двух местах в плоскости z , за исключением пятна между моими глазами, соответствующего w = 0, что происходит только при z = 0.Область около этой точки «взорвана» ярким пятном около z = 0. Это показывает, что значение f ( z ) изменяется относительно медленно по мере того, как мы приближаемся к z = 0, что, в свою очередь, показывает, что производная f ‘( z ) = 2 z мала, когда z мала. Другой подход — раскрасить плоскость w по какой-то математической формуле. Идеальную раскраску найти, наверное, невозможно, поэтому в зависимости от того, какой аспект f вы хотите изучить, должны использоваться разные цвета.Было предложено несколько вариантов (см. ссылки на стартовой странице). Схема окраски, которую я выбрал здесь, построена следующим образом. (рисунок 4):
  1. Выберите цветовой градиент (плавную последовательность цветов) и расположите его «под углом» около w = 0. Это позволяет нам идентифицировать аргумент (угол) arg w по цвету. Я выбрала прерывистую окраску что позволяет легко найти положительную действительную ось, и в частности найти точку w = 0.
  2. Чтобы отслеживать абсолютное значение | Вт |, сделать полутоновую маску с яркостью (от 0 до 1, где 0 = черный) равной дробной части журнала 2 | w | . Это позволит довольно легко увидеть направление роста | f ( z ) | (от темного к светлому внутри каждого кольца, абсолютное значение удваивается для каждого кольца). Однако точное значение | f ( z ) | невозможно увидеть без какой-либо дополнительной точки отсчета.Логарифмическая шкала уравновешивает эффект раздува вблизи нескольких нулей. Он также приравнивает нули и полюсы, как мы увидим ниже.
  3. Совместите оба изображения, возможно, вместе с изображением, покрывающим какую-то часть плоскости w (например, изображение сетки для дополнительной информации).
Рисунок 4: Схема окраски использована ниже. Цвета отслеживают arg w , а оттенки отслеживают | Вт |. Несколько слов о рисовании сеток.Первое, что приходит в голову, наверное, примерно так: цвет z черный, если действительная или мнимая часть f ( z ) находится в пределах некоторого фиксированного допуска от целого числа, иначе цвет z белый. Это более или менее похоже на использование изображения сетки, наложенной на плоскость w , точно так же, как я использовал свое лицо на рисунке 3. Результатом является первое изображение на рисунке 5, что явно не очень красиво. Черная капля возникает, потому что эта точка сетки оказывается критической точкой. функции (т.е., производная равна нулю). И наоборот, там, где функция быстро растет, линии сетки становятся очень тонкими. Лучшее изображение получается путем интерполяции от черного к белому с использованием шкалы серого, как на втором изображении. У нас все еще есть черная клякса, но выглядит она неплохо, и это может быть даже полезно, если мы хотим легко определять критические точки. Если мы хотим, чтобы все линии сетки были одинаковой толщины, Проще всего нарисовать узор шахматной доски (третье изображение) и пропустить его через фильтр обнаружения краев (четвертое изображение).В этом документе я использовал как интерполированные сетки, так и сетки с обнаружением краев. Фигура 5: Сетки: простые, интерполированные, шахматная, с обнаружением краев. f ( z ) = z 2 .

4 Примеры аналитических функций

Теперь мы начнем наше небольшое графическое путешествие через комплексный анализ. Напомним сначала некоторые основные факты. Слово аналитический означает , расширяемый в сходящийся степенной ряд , которое в комплексном случае оказывается справедливым для всех дифференцируемых функций.Таким образом, аналитическая функция имеет расширение степенного ряда вокруг каждой точки z 0 :
f ( z ) = f ( z 0 ) + f ′ ( z 0 ) ( z z 0 ) + 1 2!
f ′ ′ ( z 0 ) ( z z 0 ) 2 +…
Предположим, что z 0 равно нулю f , так что первый член в степенном ряду обращается в нуль.Тогда для z около z 0 ,
  • f ( z ) ≈ f ′ ( z 0 ) ( z z 0 ), если z 0 — простой ноль,
  • f ( z ) ≈ [1/2!] f ′ ′ ( z 0 ) ( z z 0 ) 2 , если z 0 — это двойной ноль,
  • f ( z ) ≈ [1/3!] f ′ ′ ′ ( z 0 ) ( z z 0 ) 3 , если z 0 — тройной ноль и т. Д.
Следовательно, около нуля z 0 порядка k , f очень похож на то, что моном z k (умноженное на некоторую константу) выглядит около z = 0.

4.1 Мономы

На рисунке 6 показаны первые несколько z k . Напомним, что сложные силы легче всего понять в полярной форме: если z = R e i ϕ , то z k = R k e 10 i 10 i 10 iПостарайтесь понять, как это видно на картинках! Также сравните первые два изображения ( k = 1 и 2) с рисунком 3, который показывает, по сути, то же самое, но с другим цветом (мое лицо). Фигура 6: Мономы f ( z ) = z k для k = 1, 2, 3, 4, начерчено на квадрате с углами ± 2 ± 2 и . Как изображения повлияют на умножение на комплексную константу? На рисунке 7 показана функция f ( z ) = i z .Как видите, он выглядит так: f ( z ) = z , но повернут на −π / 2. (то есть 90 градусов по часовой стрелке ; обратите внимание на знак минус). Это потому, что умножение на i поворачивается на arg i = + π / 2 и мы смотрим на обратных изображений; точки на отрицательной мнимой оси отображаются с помощью f на положительную действительную ось (вращение + π / 2), поэтому желто-черная граница, представляющая положительную действительную ось, заканчивается отрицательной мнимая ось на картинке (вращение −π / 2).Фигура 7: Функция f ( z ) = i z . Два небольших упражнения:
  • Как выглядит f ( z ) = c z , где c — комплексная константа?
  • и f ( z ) = i z 2 ? (Внимание: угол поворота составляет , а не 90 градусов!)
Важная вещь, которую мы узнаем из этого раздела, заключается в следующем. Поскольку f выглядит как моном рядом с нулями, можно распознать ноль z 0 порядка k (с используемой здесь раскраской) по следующим характеристикам:
  • Закрашенные кольца собираются вокруг z 0 .
  • Если мы обведем маленький кружок вокруг z 0 , цвета будут меняться k раз. В частности, мы пересечем k раз от желтого до черного , если идти против часовой стрелки.(Это наша первая встреча с принципом аргумента .)

4.2 Полином четвертой степени

Попробуем все это на полиноме. На рисунке 8 показан полином четвертой степени. f ( z ) = ( z + 2) 2 ( z — 1-2 i ) ( z + i ). Нули четко видны как конечные точки желто-черных границ, представляющих положительную действительную ось, и как точки, вокруг которых накапливаются закрашенные кольца абсолютного значения.Есть две желто-черные «спицы», происходящие от двойного нуля на z = −2 и по одному из каждого из простых нулей в точках z = 1 + 2 i и z = — i . Есть также красные спицы, не такие острые, которые соответствуют (области вблизи) отрицательной действительной оси. Достаточно маленький квадрат вокруг одного из нулей выглядит, при увеличении, как повернутая версия изображений z 2 или z , соответственно, из рисунка 6.Фигура 8: Полином f ( z ) = ( z + 2) 2 ( z — 1-2 i ) ( z + i ), начерчено на квадрате с углами ± 3 ± 3 и . На рисунке 9 показан тот же многочлен, но с сеткой более отчетливо видна. Этот рисунок иллюстрирует еще одну важную особенность аналитических функций; они конформные , Это означает, что угла сохраняются .Точнее, если две кривые пересекаются под углом α в точке z 0 , то их изображения под f пересекаются под тем же углом α в точке f ( z 0 ). Это связано с тем, что обе касательные кривых повернуты на один и тот же угол, а именно arg f ′ ( z 0 ). На картинке явление проявляется в обратном направлении; кривые сетки ортогонально пересекаются в плоскости w , так что их инверсии, которые мы видим в плоскости z , делают то же самое. Соответствие нарушается в точках, где производная f ′ равна нулю (так называемые критические точки из f ). Можете ли вы найти три точки на картинке, где кажется, что с углами происходит что-то странное? Это три нуля для f ′ (который в данном случае является полиномом третьей степени). Фигура 9: Сетка представляет собой квадрат в плоскости w с углами ± 20 ± 20 i , каждый квадрат в сетке имеет длину стороны 2.Есть маленькая красивая теорема, известная как теорема Лукаса , которая утверждает следующее: если f — многочлен, то все нули f ′ лежат в выпуклой оболочке набора нулей f . Рисунок 10 подтверждает, что это действительно так в данном конкретном случае. (Выпуклый корпус набора M является наименьшим выпуклым набором, содержащим M ; «протянутая вокруг M резинка образует границу выпуклого корпуса».) Фигура 10: Теорема Лукаса. Треугольник представляет собой выпуклую оболочку нулей f . Три ярких пятна — это нули производной f ′.

4.3 Рациональные функции

Теперь о рациональных функциях (частных от многочленов). Помимо нулей, теперь есть еще полюсов — особенности из-за нулей в знаменателе. Полюса (рисунок 11) похожи на нули (рисунок 6), но:
  • Цвета меняются в обратном направлении (мы переключаем с черного на желтый , если идти против часовой стрелки).
  • Абсолютное значение возрастает до бесконечности по мере приближения к полюсу. (вместо того, чтобы исчезнуть, как при нуле).
Конечно, при другой расцветке нули и полюсы совсем не обязательно будут похожи друг на друга! Фигура 11: Функции 1/ z и 1/ z 2 , с простым и двойным полюсом, соответственно при z = 0. преобразования Мебиуса , также известные как дробно-линейные преобразования , являются рациональными функциями вида
f ( z ) = a z + b c z + d
( г. до н. Э. г. до н. Э. ≠ 0).
У них много интересных свойств, например, отображение кругов на круги (если рассматривать прямые как окружности бесконечного радиуса). Раскраска доменов, возможно, не отражает всех их свойств, но давайте посмотрим на несколько вещей, которые можно увидеть. На рисунке 12 показано f ( z ) = ( z −1) / ( z +1). Имеется простой ноль при z = 1 и простой полюс z = −1. Действительная ось отображается на действительную ось, так как a , b , c , d все в этом случае действительны.Мнимая ось отображается на единичный круг, поскольку
| f ( z ) | = | z −1 | | z +1 |
= расстояние от z до 1 расстояние от z до −1
,
и точки z , для которых эти два расстояния равны, находятся на мнимой оси. По непрерывности правая полуплоскость отображается внутри единичной окружности.Окружности, содержащие точку −1, отображаются в окружности, содержащие f (−1) = ∞ (т.е. к прямым), как показано на сетке. Например, единичный круг отображается на мнимой оси. Фигура 12: Преобразование Мёбиуса f ( z ) = ( z −1) / ( z +1). Углы под углом ± 2 ± 2 i . Еще одна важная рациональная функция:
f ( z ) = z + 1 г
= г 2 + 1 г
,
который показан на рисунке 13.Есть простые нули на z = ± i и простой полюс на z = 0. Критические точки находятся при z = ± 1. Реальная и мнимая оси нанесены на карту сами по себе, как правый и левый полуплоскости. Также хорошо видно, что единичный круг отображается на действительной оси; на самом деле f ( e i ϕ ) = e i ϕ + e i ϕ = 2 cos ϕ, по формуле Эйлера.Вдали от источника влияние члена 1/ z невелико, так что f ( z ) ≈ z (как подсказывает сетка). Фигура 13: Рациональная функция f ( z ) = z + 1/ z . Углы под углом ± 4 ± 4 i .

4.4 Принцип аргумента

На рисунке 14 показана рациональная функция с двумя простыми нулями, одним двойным нулем и одним тройным полюсом. Фигура 14: Функция f ( z ) = ( z -2) 2 ( z + 1-2 i ) ( z + 2 + 2 i ) / z 3 .Углы под углом ± 3 ± 3 i . Я буду использовать это для иллюстрации принципа аргумента :

Предположим, f является аналитическим (полюсы также разрешены). Пусть γ — простая замкнутая кривая который не проходит ни через ноль, ни через полюс f . Пусть N P ) будет количеством нулей (полюсов) f внутри γ, считается с кратностью. Потом, поскольку z проходит один круг против часовой стрелки вокруг γ, на изображении кривая f (γ) winds N P раз вокруг w = 0.

С нашим использованием цветов для отслеживания arg f ( z ), это то же самое, что сказать, что цвета проходят через цветовой градиент N P раз, когда мы перемещаемся вокруг γ . Подсчет числа проходов (от черного через красный к желтому) особенно прост с нашей прерывистой окраской: переход от желтого к черному добавляет единицу, и переход от черного к желтому вычитает единицу (с тех пор мы движемся назад). На рисунке 15 показаны две кривые, которые это иллюстрируют.(Вы можете создать свои собственные кривые и опробовать их на любой функции в этом документе.) Верхняя кривая окружает двойной ноль и один простой ноль, поэтому N P = (2 + 1) — 0 = 3, и количество переходов от желтого к черному также равно трем. Нижняя кривая окружает другой простой ноль и тройной полюс, поэтому N P = 1-3 = −2, что нормально для изображения, поскольку пересечение черного с желтым считается отрицательным. Фигура 15: Принцип аргумента.На каждой кривой черные числа имеют ту же сумму, что и синие числа.

4.5 Экспонента и логарифм

Довольно скучное первое изображение на рисунке 16 показывает экспоненциальную функцию f ( z ) = e z = e x (cos y + i sin y ). Отчетливо виден период 2π i , а также экспоненциальный рост абсолютной величины слева направо; напомним, что | f | двойники для каждой заштрихованной полосы, так что на левом краю он очень маленький ( e −10 ) а у правого края он очень большой ( e 10 ).Поскольку экспонента периодическая, она равна многим к одному. Следовательно, он не обратим, но его ограничение (например) полосой −π y ≤ π равно. Обратное к этому конкретному ограничению называется главной ветвью логарифма, и показан на втором изображении. Обратите внимание на разрыв в ветви , разрез вдоль отрицательной действительной оси (окрашен в синий цвет). Особая точка z = 0 называется (логарифмической) точкой ветвления . Фигура 16: Экспонента f ( z ) = e z (углы при ± 10 ± 10 i ) и логарифм f ( z ) = log z (углы при ± 3 ± 3 i ).

4.6 Тригонометрические функции

Тригонометрические функции определяются для сложных аргументов с помощью формул Эйлера
cos z = e iz + e iz 2
, Sin z = iz iz e iz 2 i
.
На рисунке 17 показана комплексная синусоидальная функция. Обратите внимание на период 2π, простые нули в π n , и критические точки при π / 2 + π n (целое число n ). Вдоль вещественной оси у нас есть знакомая синусоида, колеблющаяся между -1 и +1, но для комплексных значений функция синуса больше не ограничивается этими пределами. Фактически по формуле
| sin z | 2 = sin 2 x + sinh 2 y
он уходит экспоненциально в вертикальном направлении, как хорошо видно на картинке.Упражнение: найдите точки, в которых sin z = 2. (Подсказка: w = 2 находится на положительной действительной оси, следовательно, искомые точки должны лежать на желто-черной границе. Имеем sin z = 1 при z = π / 2 + 2π n (желто-черные перекрестки), а абсолютное значение удваивается для каждой затемненной полосы, которую мы переходим от темного к яркому. Сетка также может быть полезна.) Фигура 17: Три вида комплексной синусоидальной функции f ( z ) = sin z .Углы при ± 10 ± 10 i и ± π ± π i . Полубесконечная полоса −π / 2 x y > 0 (отмечена синим на третьем рисунке) отображается в верхнюю полуплоскость — Надеюсь, вы можете представить себе, как можно восстановить сетку с помощью изгиб двух вертикальных полупрямых x = ± π / 2, y > 0 вниз до действительной оси и соответственно растягивая область между ними. Путем сдвига влево-вправо и отражения по реальной оси получаем аналогичные полоски; Куда эти полоски отправляет синусоидальная функция? (Если вы знаете о римановых поверхностях, используйте это, чтобы выяснить, как выглядит риманова поверхность для arcsin z .) Изображения функции косинуса будут выглядеть точно так же, за исключением перевода, поскольку cos z = sin ( z + π / 2). На рисунке 18 показаны два изображения комплексной касательной функции tan z = sin z / cos z , с периодом π. На первом рисунке, как обычно, показаны аргумент и абсолютное значение. Второй показывает аргумент вместе с сеткой с единичной длиной стороны, область, окрашенная в синий цвет, отображается в квадрат с углами 0, 1, i , 1+ i .Для tan z все действие происходит вблизи действительной оси, с простыми нулями при π n и простые полюса при π / 2 + π n . На некотором расстоянии от действительной оси функция почти постоянна. (+ i в верхней полуплоскости, — i в нижней полуплоскости):
загар ( x + i y ) = желто-коричневый x + i tanh y 1- i tan x tanh y
желто-коричневый x ± i 1 — (± i желто-коричневый x )
= ± i , y → ± ∞.
Линии x = π / 4 и x = −π / 4 отображаются на правая и левая часть единичного круга соответственно. Фигура 18: Комплексная касательная функция f ( z ) = tan z . Углы в точке ± π ± π i .

4.7 Существенные особенности

Если известно, что f ( z ) является аналитическим в некотором диске (внутри круга) D , кроме, возможно, в центре z 0 , тогда есть три возможных случая:
  1. f ( z ) ограничен рядом с z 0 , и в этом случае он фактически является аналитическим там, и, следовательно, во всем D .(Теорема Римана об устранимых особенностях.)
  2. f ( z ) не ограничено около z 0 , но ( z z 0 ) k f ( z 914 some10) для является аналитическим к > 0. Тогда z 0 называется опорой порядка k .
  3. Ни то, ни другое. Тогда z 0 называется существенной особенностью .
На рисунке 19 показана функция с существенной особенностью в начале координат. Ясно, что рядом с сингулярностью происходит довольно сложный процесс! Может, мы сможем лучше рассмотреть, если немного увеличим масштаб? Нет, на самом деле это не очень поможет, из-за замечательной великой теоремы Пикарда (есть еще и маленькая теорема Пикара):

На любом диске с центром в существенной особенности z 0 , неважно насколько маленький, f принимает все (или, возможно, все, кроме одного) комплексные значения.

Фигура 19: f ( z ) = sin (1/ z ). Углы под углом ± 1 ± i .

4.8 Принцип максимума

Возможно, вы заметили любопытную особенность затенения, которое я использую для обозначения абсолютное значение функций: если какая-то полоса образует замкнутую кривую («заштрихованное кольцо»), то всегда есть хотя бы один ноль или особенность внутри. Фактически, мы распознаем нули и полюсы как точки, где «собираются» закрашенные кольца.Это проявление принципа максимума , который говорит (кратко):

Если f аналитический, то | f | не имеет локальных максимумов.

Более точное утверждение следующее:

Пусть M — область (открытое связное множество) на комплексной плоскости, и предположим, что f является аналитическим в M (никаких особенностей не допускается!). Тогда | f | не имеет максимального значения в M , за исключением тривиального случая, когда f является константой.

Если f не имеет нулей в M , то 1/ f является аналитическим в M и не имеет максимума, откуда следует, что | f | не имеет минимум и в M . (Но если f имеет нули в M , то они, конечно, являются минимумом | f |.) Другое следствие состоит в том, что если M ограничен, и f непрерывно простирается до границы M , тогда | f | достигает максимума на границе (и его минимум, если f не имеет нулей в M ).

4.9 Гамма-функция

Я завершу этот небольшой тур рассмотрением менее распространенной функции, а именно гамма-функции Γ, который определяется
Γ ( z ) =

0

t z −1 e t dt .
Этот интеграл сходится только для z в правой полуплоскости, но гамма-функция может быть аналитически продолжена и в левую полуплоскость, используя свойство Γ ( z + 1) = z Γ ( z ) (что легко доказать с помощью интегрирования по частям).Например, Γ (−0.1) определяется как Γ (−0.1 + 1) / 0.1 = 10 Γ (0.9), где Γ (0.9) уже определено интегралом выше, и так далее. Это отлично работает, если z не равно нулю или отрицательному целому числу, с тех пор мы в конечном итоге вынуждены делить на ноль; гамма-функция имеет простые полюсы в этих точках. Для целых неотрицательных чисел n имеем Γ ( n + 1) = n ! , так что гамма-функция является непрерывной версией n -factorial. Еще одно точно известное значение — Γ (0.5) = √ {π}. Фигура 20: Гамма-функция Γ ( z ). Углы под углом ± 4 ± 4 i .

5 Итерация функций

Возможно, вы когда-нибудь пробовали на своем карманном калькуляторе следующее: введите произвольное положительное число, а затем нажимайте кнопку «извлечение квадратного корня» снова и снова. (Это называется итерацией функции квадратного корня.) Если вы начнете с числа больше 1, оно будет уменьшаться при каждом нажатии клавиши, пока оно не станет настолько близким к 1, что калькулятор считает, что на самом деле равно 1.Точно так же, если вы начнете с числа от 0 до 1, последовательность подойдет 1 снизу. Нажатие какой-либо другой кнопки, например «cos», приводит к менее очевидным (и более интересным) результатам. Еще более интересные вещи происходят, когда мы переходим в комплексную плоскость и повторяем аналитические функции. Обозначение f ( n ) ( z ) используется для обозначения n -й итерации f , это,
f (1) ( z ) = f ( z ), f (2) ( z ) = f ( f ( z )) , f (3) ( z ) = f ( f ( f ( z ))),
и так далее.

5.1 Квадратичные многочлены

Самый известный случай, когда f — квадратичный многочлен. Например, пусть f ( z ) = z 2 + c , где c = −0,75 — 0,2 i . На рисунке 21 показаны первые четыре итерации:
f (2) ( z ) = ( z 2 + c ) 2 + c = z 4 + 2 c z 2 + c 2 + c
f (3) ( z ) = ( z 4 +…) 2 + c = z 8 + …
f (4) ( z ) = ( z 8 + …) 2 + c = z 16 + …
Степень удваивается на каждом шаге, так же как и количество нулей. Фигура 21: Повторяется f ( n ) ( z ) для n = 1, 2, 3, 4, где f ( z ) = z 2 — 0.75 — 0,2 i . Углы под углом ± 2 ± 2 i . На рисунке 22 изображена функция, полученная двадцатью повторением f . Эта функция является полиномом степени 2 20 , так что у него 2 20 = 1048576 нулей! На снимке их можно выделить около сотни. (вот увеличенное изображение). Чёрного региона там быть не должно — он состоит из точек, в которых возникает ошибка переполнения потому что значение функции слишком велико, чтобы представить со стандартной точностью арифметических операций с плавающей запятой.Тем не мение, при больших z в поведении функции доминирует вклад ведущего члена z 1048576 , который является мономом, так что теперь вы должны понять, что функция в конечном итоге будет выглядеть так, если мы достаточно уменьшим масштаб, даже если мы не можем вычислить без специального программного обеспечения. Фигура 22: Двадцатая итерация f (20) ( z ), где f ( z ) = z 2 -0.75 — 0,2 i . Углы под углом ± 1,6 ± 1,1 i . Что произойдет, если мы продолжим итерацию этого многочлена? Нетрудно понять, что f ( n ) ( z ) → ∞ как n → ∞ если, например, | f ( k ) ( z ) | > 2 для некоторых k , поскольку после этого абсолютное значение будет продолжать увеличиваться. Это, конечно, справедливо, если z является одной из черных точек переполнения, и вообще для большинства других z тоже.Те z , для которых f ( n ) ( z ) не стремится к бесконечности составляют заполненный набор Юля из f , что показано на рисунке 23. Собственно, сет Джулии здесь состоит из «фрактальной пыли», спрятанной глубоко внутри яркого «острова» на картинке, так что то, что мы видим, скорее является дополнением множества Julia. Цвета указывают скорость расхождения; для зеленоватых точек повторяется f ( n ) ( z ) стать очень большим уже через несколько шагов (сравните с черной областью перелива на рисунке 22), для красноватых точек итерации расходятся медленнее.Фигура 23: Заполненный набор Джулии f ( z ) = z 2 — 0,75 — 0,2 i . Для других значений c поведение итераций может быть совершенно другим. При изменении c и исследовании итераций f c ( z ) = z 2 + c , получается знаменитое множество Мандельброта, который содержит те c , для которых f c ( n ) (0) не расходится до бесконечности.

5.2 Синусоидальная функция

Итерация по другим функциям также может создавать красивые картинки. На рисунке 24 показан пример. Фигура 24: Пятая итерация f (5) ( z ) из f ( z ) = (1 + i ) sin z . Углы под углом ± 3 ± 3 i .

6 Хотите узнать больше?

На начальной странице вы найдете указатели на дополнительную информацию.
Файл переведен с Т E X от Т Т H, версия 4.10.
10 октября 2017 г., 12:39.

Сложный самолет

Нет, не , эта комплексная плоскость …
это комплексная плоскость :

А самолет для комплексных номеров !

(Также называется «диаграммой Аргана»)

Реальное и воображаемое составляют комплекс

Комплексное число — это комбинация действительного и мнимого числа:

Реальный номер — это тип номера, который мы используем каждый день.

Примеры: 12,38, ½, 0, −2000

Когда мы возводим в квадрат действительное число, мы получаем положительный (или нулевой) результат:

2 2 = 2 × 2 = 4
1 2 = 1 × 1 = 1
0 2 = 0 × 0 = 0

Что мы можем возвести в квадрат, чтобы получить −1?

? 2 = -1

Возведение в квадрат −1 не работает, потому что умножение отрицательных чисел дает положительное значение: (−1) × (−1) = +1, и никакое другое действительное число также не работает.

Значит математика кажется неполной …

… но мы можем заполнить пробел с помощью , представив , есть число, которое при умножении на себя дает −1
(назовем его i мнимым):

i 2 = -1

И вместе:

Комплексное число — это комбинация действительного и мнимого числа

Примеры: 3,6 + 4 i , −0,02 + 1,2 i , 25 — 0.3 и , 0 + 2 и

Отображение комплексного числа на плоскости

Возможно, вам знакома числовая строка:

Но где мы помещаем комплексное число вроде 3 + 4 i ?

Пусть линия вещественных чисел идет влево-вправо, как обычно, а линия мнимых чисел идет вверх и вниз :

Затем мы можем построить комплексное число, например 3 + 4i :

  • 3 единицы по (действительная ось),
  • и 4 единицы вверх (мнимая ось).

А вот 4 — 2i :

  • 4 единицы по (действительная ось),
  • и на 2 единицы вниз (мнимая ось).

А это комплексная плоскость :

  • сложный , потому что это комбинация реального и мнимого,
  • плоскость , потому что она похожа на геометрическую плоскость (2-х мерную).

Весь новый мир

Теперь давайте перенесем идею о плоскости (декартовы координаты, полярные координаты, векторы и т. Д.) В комплексные числа.

Это откроет совершенно новый мир чисел, более полных и элегантных, как вы увидите.

Комплексное число как вектор

Мы можем думать о комплексном числе как о векторе.


Это вектор.
Имеет величину (длину) и направление.

А вот и комплексное число 3 + 4i

как вектор :

Добавление

Вы также можете складывать комплексные числа как векторы:

Чтобы сложить комплексные числа 3 + 5i и 4 — 3i :

  • сложите действительные числа и
  • сложите мнимые числа

отдельно, вот так:

(3 + 5 i ) + (4–3 i ) = (3 + 4) + (5–3) i

= 7 + 2 и

Полярная форма

Давайте снова воспользуемся 3 + 4i :

Вот в полярной форме:

Таким образом, комплексное число 3 + 4i может также отображаться как расстояние (5) и угол (0.927 радиан).

Давайте посмотрим, как преобразовать из одной формы в другую, используя преобразование декартовой формы в полярную:

Пример: номер

3 + 4i

из 3 + 4i :

  • r = √ (x 2 + y 2 ) = √ (3 2 + 4 2 ) = √25 = 5
  • θ = tan -1 (y / x) = tan -1 (4/3) = 0,927 (до 3 десятичных знаков)

И мы получаем расстояние (5) и угол (0.927 радиан)

Снова:

  • x = r × cos ( θ ) = 5 × cos (0,927) = 5 × 0,6002 … = 3 (достаточно близко)
  • y = r × sin ( θ ) = 5 × sin (0,927) = 5 × 0,7998 … = 4 (достаточно близко)

И расстояние 5 и угол 0,927 снова становятся 3 и 4

На самом деле, обычный способ записи комплексного числа в полярной форме —

.

x + i y = r cos θ + i r sin θ

= r (cos θ + i sin θ )

И «cos θ + i sin θ » часто сокращается до «cis θ », поэтому:

x + iy = r цис θ

cis — это просто сокращение для cos θ + i sin θ

Итак, мы можем написать:

3 + 4i = 5 цис 0.927

В некоторых предметах, например, в электронике, «цис» используется очень много!

Сводка

  • Комплексная плоскость — это плоскость, на которой расположены:
      ,
    • вещественных чисел слева направо и
    • мнимых чисел, бегущих вверх-вниз.
  • Чтобы преобразовать из декартовой в полярную форму:
    • r = √ (x 2 + y 2 )
    • θ = загар -1 (y / x)
  • Чтобы преобразовать полярную форму в декартову:
    • x = r × cos ( θ )
    • y = r × sin ( θ )
  • Полярная форма r cos θ + i r sin θ часто сокращается до r cis θ

Далее… узнать об умножении комплексных чисел.

.

Ваш комментарий будет первым

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *