Построение графика в полярной системе координат онлайн: Построить график в полярных координатах на плоскости

Построение графика в полярных координатах. Контрольные онлайн

Построение графика в полярных координатах

Дано уравнение кривой в полярной системе координат .
Требуется:
   а) построить кривую по точкам, придавая j значения из промежутка  с шагом ;
   б) записать уравнение этой кривой в декартовой прямоугольной системе координат, согласованной с полярной, и определить тип этой кривой. Решение
   а) Составим таблицу значений функции.

j	0	p/8	p/4	3p/8	p/2	5p/8	3p/4	7p/8	p	9p/8	5p/8	11p/8	3p/2	13p/8	7p/4	15p/8
r	3	2,8	2,32	1,72	1,5	1,26	1,11	1,02	1	1,02	1,11	1,26	1,5	1,72	2,32	2,8

   По этим данным отметим точки на плоскости и, плавно соединяя соседние точки, построим линию.

б) Перейдём к декартовой прямоугольной системе координат, пользуясь формулами , .
Заданное уравнение примет вид .
Преобразуем это уравнение: ,

, , , .
Выделив полные квадраты переменных  и , получим  или  .

   Это уравнение эллипса с центром в точке  и полуосями  и .

Построение графиков онлайн. График функции y=sin x График sin 2x

Как построить график функции y=sin x? Для начала рассмотрим график синуса на промежутке .

Единичный отрезок берём длиной 2 клеточки тетради. На оси Oy отмечаем единицу.

Для удобства число π/2 округляем до 1,5 (а не до 1,6, как требуется по правилам округления). В этом случае отрезку длиной π/2 соответствуют 3 клеточки.

На оси Ox отмечаем не единичные отрезки, а отрезки длиной π/2 (через каждые 3 клеточки). Соответственно, отрезку длиной π соответствует 6 клеточек, отрезку длиной π/6 — 1 клеточка.

При таком выборе единичного отрезка график, изображённый на листе тетради в клеточку, максимально соответствует графику функции y=sin x.

Составим таблицу значений синуса на промежутке :

Полученные точки отметим на координатной плоскости:

Так как y=sin x — нечётная функция, график синуса симметричен относительно начала отсчёта — точки O(0;0). С учётом этого факта продолжим построение графика влево, то точки -π:

Функция y=sin x — периодическая с периодом T=2π. Поэтому график функции, взятый на на промежутке [-π;π], повторяется бесконечное число раз вправо и влево.

Урок и презентация на тему: «Функция y=sin(x). Определения и свойства»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов
Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»

Что будем изучать:

• Свойства функции Y=sin(X).
• График функции.
• Как строить график и его масштаб.
• Примеры.

Свойства синуса. Y=sin(X)

Ребята, мы уже познакомились с тригонометрическими функциями числового аргумента. Вы помните их?

Давайте познакомимся поближе с функцией Y=sin(X)

Запишем некоторые свойства этой функции:
1) Область определения – множество действительных чисел.
2) Функция нечетная. Давайте вспомним определение нечетной функции. Функция называется нечетной если выполняется равенство: y(-x)=-y(x). Как мы помним из формул привидения: sin(-x)=-sin(x). Определение выполнилось, значит Y=sin(X) – нечетная функция.
3) Функция Y=sin(X) возрастает на отрезке и убывает на отрезке [π/2; π]. Когда мы движемся по первой четверти (против часовой стрелки), ордината увеличивается, а при движении по второй четверти она уменьшается.

4) Функция Y=sin(X) ограничена снизу и сверху. Данное свойство следует из того, что

-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Наименьшее значение функции равно -1 (при х = — π/2+ πk). Наибольшее значение функции равно 1 (при х = π/2+ πk).

Давайте, воспользовавшись свойствами 1-5, построим график функции Y=sin(X). Будем строить наш график последовательно, применяя наши свойства. Начнем строить график на отрезке .

Особое внимание стоит обратить на масштаб. На оси ординат удобнее принять единичный отрезок равный 2 клеточкам, а на оси абсцисс — единичный отрезок (две клеточки) принять равным π/3 (смотрите рисунок).

Построение графика функции синус х, y=sin(x)

Посчитаем значения функции на нашем отрезке:

Построим график по нашим точкам, с учетом третьего свойства.

Таблица преобразований для формул привидения

Воспользуемся вторым свойством, которое говорит, что наша функция нечетная, а это значит, что ее можно отразить симметрично относительно начало координат:

Мы знаем, что sin(x+ 2π) = sin(x). Это значит, что на отрезке [- π; π] график выглядит так же, как на отрезке [π; 3π] или или [-3π; — π] и так далее. Нам остается аккуратно перерисовать график на предыдущем рисунке на всю ось абсцисс.

График функции Y=sin(X) называют — синусоидой.

Напишем еще несколько свойств согласно построенному графику:
6) Функция Y=sin(X) возрастает на любом отрезке вида: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k – целое число и убывает на любом отрезке вида: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – целое число.
7) Функция Y=sin(X) – непрерывная функция. Посмотрим на график функции и убедимся что у нашей функции нет разрывов, это и означает непрерывность.
8) Область значений: отрезок [- 1; 1]. Это также хорошо видно из графика функции.
9) Функция Y=sin(X) — периодическая функция. Посмотрим опять на график и увидим, что функция принимает одни и те же значения, через некоторые промежутки.

Примеры задач с синусом

1. Решить уравнение sin(x)= x-π

Решение: Построим 2 графика функции: y=sin(x) и y=x-π (см. рисунок).
Наши графики пересекаются в одной точке А(π;0), это и есть ответ: x = π

2. Построить график функции y=sin(π/6+x)-1

Решение: Искомый график получится путем переноса графика функции y=sin(x) на π/6 единиц влево и 1 единицу вниз.

Решение: Построим график функции и рассмотрим наш отрезок [π/2; 5π/4].
На графике функции видно, что наибольшие и наименьшие значения достигаются на концах отрезка, в точках π/2 и 5π/4 соответственно.
Ответ: sin(π/2) = 1 – наибольшее значение, sin(5π/4) = наименьшее значение.

Задачи на синус для самостоятельного решения

• Решите уравнение: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Построить график функции y=sin(π/3+x)-2
• Построить график функции y=sin(-2π/3+x)+1
• Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin(x) на отрезке
• Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin(x) на отрезке [- π/3; 5π/6]

«Построение графика функции с модулем» — Y = lnx. Закрепили знания на ранее изученных функциях. Построение графиков функций. Вопрос классу. Y = x2 – 2x – 3. Проектная деятельность. Урок обобщения и систематизации знаний. График функции. Актуализация знаний о графиках функций. Обобщение. Попробуйте самостоятельно построить графики. Y = f(x).

««Графики функций» 9 класс» — Цели урока. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Нули функции. Определение. Заполните пропуски. Установите соответствие между функцией и вершиной. Тренажер. Выберите уравнение, с помощью которого задана линейная функция. Установите соответствие. Выберите уравнение. Обратная пропорциональность.

«Графики функций с модулями» — Найдём вершину функции. Кубическая функция. Отрицательная сторона. Графики функций. Квадратичная функция. Сложная функция. Функция с модулем. Графики функций надо обязательно уметь строить. Подготовка к ЕГЭ. Графики функций с модулями. Парабола. График функции.

«Уравнение касательной к графику функции» — Производная в точке. Правила дифференцирования. График функции. Алгоритм нахождения уравнения. Ответьте на вопросы. Геометрический смысл производной. Номера из учебника. Уравнение касательной к графику функции. Определение. Касательная к графику функции. Основные формулы дифференцирования. Провести касательную.

«Построение графиков функций» — Построение графика функции y = sinx. Линия тангенсов. Алгебра. Тема: Построение графиков функций. График функции y = sinx. Выполнила: Филиппова Наталья Васильевна учитель математики Белоярская средняя общеобразовательная школа №1. Построить график функции y=sin(x) +cos(x).

«График обратной пропорциональности» — Применение гиперболы. Гипербола. Монотонность функции. Чётность, нечётность. Функция «Обратная пропорциональность». График. Построение графика обратной пропорциональности. Гипербола и космические спутники. Однополостной гиперболоид. Асимптота. Применение гиперболоидов. Определение обратной пропорциональности.

Всего в теме 25 презентаций

Построить функцию

Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании

Desmos .2/16=1)

Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете

Управление масштабом, цветом линий

Возможность построения графиков по точкам, использование констант

Построение одновременно нескольких графиков функций

Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ(\theta))

С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.

Построить график y 2×2

Построение графиков онлайн с помощью нашего сервиса является простой задачей.2/16=1)

Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете

Управление масштабом, цветом линий

Возможность построения графиков по точкам, использование констант

Построение одновременно нескольких графиков функций

Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ( heta) )

С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Проверено экспертом

График функции представляет собой параболу.
Учитывая, что а=-2 её ветви направлены вниз.

Вершина параболы находится в точке (0; 0)

Пример поиска промежуточных точек.
Пусть х = 1, тогда у = -2 * 1 ² = -2
х = -1, тогда у = -2 * (-1)² = -2 и т.д.

Сам график и таблица сданными для построение, представлено ниже.

Рассмотрим функцию заданную формулой y = x 2 .

На основании определения функции каждому значению аргумента х
из области определения R ( все действительные числа )
соответствует единственное значение функции y , равное x 2 .

Например, при х = 3 значение функции y = 3 2 = 9 ,
а при х = –2 значение функции y = ( –2 ) 2 = 4 .

Изобразим график функции y = x 2 . Для этого присвоим
аргументу х несколько значений, вычислим соответствующие значения
функции и внесем их в таблицу.

Если: x = –3 , x = –2 , x = –1 , x = 0 , x = 1 , x = 2 , x = 3 ,

то: y = 9 , y = 4 , y = 1 , y = 0 , y = 1 , y = 4 , y = 9 .

Нанесем точки с вычисленными координатами (x ; y) на плоскость и
соединим их плавной непрерывной кривой. Эта кривая, называющаяся
параболой, и есть график исследуемой нами функции.

На графике видно, что ось OY делит параболу на симметричные
левую и правую части (ветви параболы), в точке с координатами (0; 0)
(вершине параболы) значение функции x 2 — наименьшее.
Наибольшего значения функция не имеет. Вершина параболы — это
точка пересечения графика с осью симметрии OY .

На участке графика при x ∈ (– ∞ ; 0 ] функция убывает,
а при x ∈ [ 0; + ∞ ) возрастает.

Функция y = x 2 является частным случаем квадратичной функции.

Рассмотрим ещё несколько её вариантов. Например, y = – x 2 .

Графиком функции y = – x 2 также является парабола,
но её ветви направлены вниз.

Эскиз графика функции (на примере дробно-квадратичной функции). Построение графиков онлайн

В данном уроке мы рассмотрим методику построения эскиза графика функции, приведем разъясняющие примеры.

Тема: Повторение

Урок: Эскиз графика функции (на примере дробно-квадратичной функции)

Наша цель — построить эскиз графика дробно-квадратичной функции. Для примера возьмем уже знакомую нам функцию:

Задана дробная функция, в числителе и знаменателе которой стоят квадратичные функции.

Методика построения эскиза такова:

1. Выделим интервалы знакопостоянства и определим на каждом знак функции (рисунок 1)

Мы подробно рассматривали и выяснили, что функция, непрерывная в ОДЗ, может сменить знак только при переходе аргумента через корни и точки разрыва ОДЗ.

Заданная функция у непрерывна в своей ОДЗ, укажем ОДЗ:

Найдем корни:

Выделим интервалы знакопостоянства. Мы нашли корни функции и точки разрыва области определения — корни знаменателя. Важно отметить, что внутри каждого интервала функция сохраняет знак.

Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции

Чтобы определить знак функции на каждом интервале, можно взять любую точку, принадлежащую интервалу, подставить ее в функцию и определить ее знак. Например:

На интервале функция имеет знак плюс

На интервале функция имеет знак минус.

В этом преимущество метода интервалов: мы определяем знак в единственной пробной точке и заключаем, что функция будет иметь такой же знак на всем выбранном интервале.

Однако можно выставлять знаки автоматически, не высчитывая значений функции, для этого определить знак на крайнем интервале, а далее чередовать знаки.

1. Построим график в окрестности каждого корня. Напомним, что корни данной функции и :

Рис. 2. График в окрестностях корней

Поскольку в точке знак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осью х. В точке наоборот.

2. Построим график в окрестности каждого разрыва ОДЗ. Напомним, что корни знаменателя данной функции и :

Рис. 3. График функции в окрестностях точек разрыва ОДЗ

Когда или знаменатель дроби практически равен нулю, значит, когда значение аргумента стремится к этим числам, значение дроби стремится к бесконечности. В данном случае, когда аргумент подходит к тройке слева функция положительна и стремится к плюс бесконечности, справа функция отрицательна и выходит из минус бесконечности. Около четверки наоборот, слева функция стремится к минус бесконечности, а справа выходит из плюс бесконечности.

Согласно построенному эскизу мы можем в некоторых промежутках угадать характер поведения функции.

Рис. 4. Эскиз графика функции

Рассмотрим следующую важную задачу — построить эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т.е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:

Иногда можно встретить такую запись данного факта:

Рис. 5. Эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек

Мы получили приблизительный характер поведения функции на всей ее области определения, далее нужно уточнять построения с применением производной.

Пример 1 — построить эскиз графика функции:

Имеем три точки, при переходе аргумента через которые функция может менять знак.

Определяем знаки функции на каждом интервале. Имеем плюс на крайнем правом интервале, далее знаки чередуются, так как все корни имеют первую степень.

Строим эскиз графика в окрестностях корней и точек разрыва ОДЗ. Имеем: поскольку в точке знак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осью х. Когда или знаменатель дроби практически равен нулю, значит, когда значение аргумента стремится к этим числам, значение дроби стремится к бесконечности. В данном случае, когда аргумент подходит к минус двум слева функция отрицательна и стремится к минус бесконечности, справа функция положительна и выходит из плюс бесконечности. Около двойки аналогично.

Найдем производную функции:

Очевидно, что производная всегда меньше нуля, следовательно, функция убывает на всех участках. Так, на участке от минус бесконечности до минус двух функция убывает от нуля до минус бесконечности; на участке от минус двух до нуля функция убывает от плюс бесконечности до нуля; на участке от нуля до двух функция убывает от нуля до минус бесконечности; на участке от двух до плюс бесконечности функция убывает от плюс бесконечности до нуля.

Проиллюстрируем:

Рис. 6. Эскиз графика функции к примеру 1

Пример 2 — построить эскиз графика функции:

Строим эскиз графика функции без использования производной.

Сначала исследуем заданную функцию:

Имеем единственную точку, при переходе аргумента через которую функция может менять знак.

Отметим, что заданная функция нечетная.

Определяем знаки функции на каждом интервале. Имеем плюс на крайнем правом интервале, далее знак меняется, так как корень имеет первую степень.

Строим эскиз графика в окрестностях корня. Имеем: поскольку в точке знак функции меняется с минуса на плюс, то кривая сначала находится под осью, потом проходит через ноль и далее расположена над осью х.

Теперь строим эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т.е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:

После выполнения вышеперечисленных действий мы уже представляем себе график функции, но требуется уточнить его с помощью производной.

Найдем производную функции:

Выделяем интервалы знакопостоянства производной: при . ОДЗ здесь . Таким образом, имеем три интервала знакопостоянства производной и три участка монотонности исходной функции. Определим знаки производной на каждом интервале. Когда производная положительна, функция возрастает; когда производная отрицательна, функция убывает. При этом — точка минимум, т.к. производная меняет знак с минуса на плюс; наоборот, точка максимума.

Построить функцию

Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos . Для ввода функций воспользуйтесь левой колонкой. Вводить можно вручную либо с помощью виртуальной клавиатуры внизу окна. Для увеличения окна с графиком можно скрыть как левую колонку, так и виртуальную клавиатуру.

Преимущества построения графиков онлайн

• Визуальное отображение вводимых функций
• Построение очень сложных графиков
• Построение графиков, заданных неявно (например эллипс x^2/9+y^2/16=1)
• Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете
• Управление масштабом, цветом линий
• Возможность построения графиков по точкам, использование констант
• Построение одновременно нескольких графиков функций
• Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ(\theta))

С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.

Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х , а на оси ординат — значения функции у = f (х) .

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Другими словами, график функции y = f (х) — это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x) .

На рис. 45 и 46 приведены графики функций у = 2х + 1 и у = х 2 — 2х .

Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».

С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции y = f(x) , то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а ) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 47).

Например, для функции f(х) = х 2 — 2x с помощью графика (рис. 46) находим f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.

График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция у = х 2 — 2х принимает положительные значения при х и при х > 2 , отрицательные — при 0 у = х 2 — 2х принимает при х = 1 .

Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х , у которых удовлетворяют уравнению y = f(x) . В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно — с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений — скажем, х 1 , х 2 , x 3 ,…, х k и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.

Таблица выглядит следующим образом:

Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции y = f(x) . Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y = f(x).

Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.

Пример 1 . Для построения графика функции y = f(x) некто составил таблицу значений аргумента и функции:

Соответствующие пять точек показаны на рис. 48.

На основании расположения этих точек он сделал вывод, что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 48 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. надежным.

Для обоснования своего утверждения рассмотрим функцию

.

Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 49). Другим примером может служить функция y = x + l + sinπx; ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.

Эти примеры показывают, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен. Поэтому для построения графика заданной функции,как правило, поступают следующим образом. Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.

Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим позже, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.

График функции у = |f(x)|.

Нередко приходится строить график функции y = |f(x) |, где f(х) — заданная функция. Напомним, как это делается. По определению абсолютной величины числа можно написать

Это значит, что график функции y =|f(x)| можно получить из графика, функции y = f(x) следующим образом: все точки графика функции у = f(х) , у которых ординаты неотрицательны, следует оставить без изменения; далее, вместо точек графика функции y = f(x) , имеющих отрицательные координаты, следует построить соответствующие точки графика функции у = -f(x) (т. е. часть графика функции
y = f(x) , которая лежит ниже оси х, следует симметрично отразить относительно оси х ).

Пример 2. Построить график функции у = |х|.

Берем график функции у = х (рис. 50, а) и часть этого графика при х (лежащую под осью х ) симметрично отражаем относительно оси х . В результате мы и получаем график функции у = |х| (рис. 50, б).

Пример 3 . Построить график функции y = |x 2 — 2x|.

Сначала построим график функции y = x 2 — 2x. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы имеет координаты (1; -1), ее график пересекает ось абсцисс в точках 0 и 2. На промежутке (0; 2) фукция принимает отрицательные значения, поэтому именно эту часть графика симметрично отразим относительно оси абсцисс. На рисунке 51 построен график функции у = |х 2 -2х| , исходя из графика функции у = х 2 — 2x

График функции y = f(x) + g(x)

Рассмотрим задачу построения графика функции y = f(x) + g(x). если заданы графики функций y = f(x) и y = g(x) .

Заметим, что областью определения функции y = |f(x) + g(х)| является множество всех тех значений х, для которых определены обе функции y = f{x) и у = g(х), т. е. эта область определения представляет собой пересечение областей определения, функций f{x) и g{x).

Пусть точки (х 0 , y 1 ) и (х 0 , у 2 ) соответственно принадлежат графикам функций y = f{x) и y = g(х) , т. е. y 1 = f(x 0), y 2 = g(х 0). Тогда точка (x0;. y1 + y2) принадлежит графику функции у = f(х) + g(х) (ибо f(х 0) + g(x 0 ) = y1 +y2 ),. причем любая точка графика функции y = f(x) + g(x) может быть получена таким образом. Следовательно, график функции у = f(х) + g(x) можно получить из графиков функций y = f(x) . и y = g(х) заменой каждой точки (х n , у 1) графика функции y = f(x) точкой (х n , y 1 + y 2), где у 2 = g(x n ), т. е. сдвигом каждой точки (х n , у 1 ) графика функции y = f(x) вдоль оси у на величину y 1 = g(х n ). При этом рассматриваются только такие точки х n для которых определены обе функции y = f(x) и y = g(x) .

Такой метод построения графика функции y = f(x) + g(х ) называется сложением графиков функций y = f(x) и y = g(x)

Пример 4 . На рисунке методом сложения графиков построен график функции
y = x + sinx .

При построении графика функции y = x + sinx мы полагали, что f(x) = x, а g(x) = sinx. Для построения графика функции выберем точки с aбциссами -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Значения f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx вычислим в выбранных точках и результаты поместим в таблице.

Визуальное исчисление — полярные координаты

Визуальное исчисление — полярные координаты

Цели: В этом уроке мы определяем полярные координаты. Мы конвертируем от полярных координат к прямоугольным координатам и от прямоугольных координаты в полярные координаты. Мы нарисуем некоторые из основных функций в полярные координаты с помощью LiveMath и графического калькулятора. После работы с этими материалами учащийся должен уметь

• для преобразования прямоугольных координат в полярные;
• для преобразования полярных координат в прямоугольные;
• для распознавания некоторых стандартных полярных графиков;
• для построения точек в полярных координатах;
• для построения полярных уравнений с помощью графического калькулятора или программного обеспечения.

Модули:

Определение. Точка P в плоскости имеет полярные координаты (r, q) , если линия сегмент OP имеет длину r и угол, который OP образует с положительная ось q (измерено в счетчике по часовой стрелке). Это определение требует, чтобы r >  0 . Если r , то мы рассматриваем точку Q , имеющую полярные координаты (-r, q) .Тогда точка P имеет полярные координаты (r, q) , если P точка на прямой, содержащей O и Q , которая -r штук из O с противоположной стороны O из Q .

• Построение точек [с помощью LiveMath].

  Теорема. Если точка P имеет полярные координаты (r, q) , то прямоугольные координаты P равны (r cos(q), r sin(q)) .Другими словами, х = r cos(q) y = r sin(q)

• Примеры [с использованием LiveMath].

  Теорема. Если точка P имеет прямоугольные координаты (x, y) , то полярные координаты P равны (r, q) где r 2 = x 2 + y 2 q = арктангенс (y/x). Мы выбираем положительный квадратный корень из x 2  + y 2 вместо r , если x > 0 , и отрицательный квадратный корень в противном случае.

• Примеры [с использованием LiveMath].
• Построение графиков
• Использование

Как создать полярную диаграмму в Excel

В этом руководстве показано, как создать полярную диаграмму во всех версиях Excel: 2007, 2010, 2013, 2016 и 2019.

Полярный участок — скачать бесплатный шаблон

Загрузите наш бесплатный шаблон полярного графика для Excel.

Загрузить сейчас

Полярный график используется для определения точки в пространстве в так называемой полярной системе координат, где вместо стандартных координат x и y каждая точка на полярной плоскости выражается с использованием следующих двух значений:

• Радиус ( r ) – Расстояние от центра участка
• Тета (θ) – Угол от опорного угла

Сама плоскость состоит из концентрических окружностей, расширяющихся наружу от начала координат или полюса — отсюда и название.Полярный график пригодится, когда анализируемые данные имеют циклический характер.

В качестве примера на приведенной ниже диаграмме сравниваются оценки удовлетворенности клиентов (CSAT), показатель, который иллюстрирует удовлетворенность клиентов брендом или продуктом, двух организаций на протяжении 2019 года: Simpson Ltd и Griffin Ltd.

График позволяет быстро оценить хорошие и плохие месяцы для каждой компании, что облегчает принятие более эффективных решений.

Однако вот в чем загвоздка:

Excel не поддерживает этот тип диаграммы — фактически, он даже не может считывать полярные координаты — это означает, что вам придется создавать его с нуля.Кроме того, не забудьте проверить надстройку Chart Creator, мощный инструмент для создания умопомрачительных расширенных диаграмм и графиков Excel всего за несколько кликов.

В этом подробном пошаговом руководстве вы узнаете, как преобразовать необработанные данные в полярный график в Excel с нуля. Напомним, что эта статья основана на руководстве, созданном Джоном Пельтье.

Начало работы

Поскольку баллы CSAT обычно выражаются в виде процентной шкалы, рассмотрите следующую таблицу:

Шаг № 1. Настройте вспомогательную таблицу.

Сразу набросайте вспомогательную таблицу, в которой будут выполняться все расчеты для вашей диаграммы. Чтобы построить график, вам нужно сначала вычислить полярные координаты, а затем преобразовать их в значения осей x и y, используемые Excel для создания диаграммы.

Настройте отдельную фиктивную таблицу следующим образом:

Обратите внимание, что вспомогательная таблица начинается с фиктивной строки ( E2:h3 ) — это определяет опорный угол. Расскажем о каждом элементе таблицы чуть подробнее:

• Месяц — этот столбец содержит качественные категории, полученные из исходных данных.Введите «Начало» в первой ячейке ( E2 ) и скопируйте категории (в нашем случае месяцы) прямо под ней ( E3:E14 ).
• Угол (тета) — этот столбец содержит тета-значения, отвечающие за рисование спиц, где будут размещены фактические значения. Вы всегда должны вводить «0» в первую ячейку ( F2 ) этого столбца.
• CSAT Simpson LTD (Radius) и CSAT Griffin LTD (Radius) — эти столбцы содержат значения радиуса, иллюстрирующие результаты деятельности каждой компании в течение года.

Шаг № 2. Вычислите значения угла (тета).

Если вы уже вычислили значения r и тета, пропустите эту часть и прокрутите вниз до Шаг № 4 .

На этом шаге наша цель — равномерно наметить спицы на основе количества категорий в наборе данных. Поскольку один полный круговой оборот равен 360 градусам, чтобы выполнить задачу, вам нужно разделить 360 на количество категорий в вашем наборе данных (в нашем случае двенадцать месяцев).

Затем сложите это число по мере продвижения от нуля до 360.И здесь в игру вступает функция COUNTA. По сути, он подсчитывает количество непустых ячеек в указанном диапазоне.

Скопируйте эту формулу в ячейку F3 :

С помощью этой формулы в ячейке F3 используйте другую формулу в ячейке F4 , чтобы сложить заданное значение угла с суммой всех тета-значений, которые идут перед ним в столбце:

=F3+360/СЧЕТЧАСТЬ($A$3:$A$14)

Важно заблокировать диапазон ячеек ( A3:A14 ), чтобы легко скопировать формулу в оставшиеся ячейки.

Теперь выполните формулу для остальных ячеек в столбце ( F5:F14 ), выбрав F4 и перетащив маркер заполнения вниз.

Шаг № 3. Вычислите значения радиуса.

График в полярных координатах будет состоять из 10 колец данных, каждая радиальная точка (расстояние между внутренним и внешним краями кольца) представляет десятипроцентное приращение по шкале от 0 до 100.

Поскольку баллы CSAT также измеряются по процентной шкале, просто разделите каждую таблицу баллов CSAT на 10.

Вот как это сделать быстро и легко. Чтобы найти значения радиуса для первой компании ( Simpson Ltd ), введите эту крошечную формулу в ячейку G3 и скопируйте ее в остальные ячейки ( G4:G14 ):

Теперь по тому же принципу посчитайте радиусы для второй компании ( Griffin Ltd ):

В этот момент вы можете подумать про себя: «Что, если мой тип данных отличается? Как вы корректируете, сравнивая, например, доход, полученный компаниями, с показателями CSAT?»

Проще говоря, вы должны проанализировать свои фактические данные, определить эквивалент одной радиальной точки (скажем, 50 000 долларов США) и разделить все значения в вашем наборе данных на это число.Предположим, что какая-то компания заработала 250 000 долларов в мае. Чтобы найти свой радиус, разделите 250 000 долларов на 50 000. Так просто.

Шаг № 4: Скопируйте последние значения радиуса во вспомогательную строку.

Заполните таблицу, скопировав значения r в самом низу ( G14:h24 ) каждого столбца в соответствующие фиктивные ячейки ( G2:h3 ).

Шаг № 5. Рассчитайте значения по осям X и Y для каждой компании.

Пришло время перейти к преобразованию полярных координат в соответствующие значения осей x и y.Благодаря тригонометрии вы можете осуществить переход, используя две специальные формулы, которые вы собираетесь выучить за несколько секунд.

Сначала начнем со значений по оси X. В ячейку, примыкающую к вспомогательной таблице ( I2 ), введите следующую формулу:

Скопируйте эту формулу в остальные ячейки под ней ( I3:I14 ).

Таким же образом вставьте эту формулу в ячейку J2 , чтобы найти значения по оси Y, и выполните ее для остальных ячеек ( J3:J14 ):

Важное примечание . Имейте в виду, что ячейка строки заголовка (J1) столбца со значениями по оси Y (столбец J) будет выступать в качестве имени ряда, то есть значение в этой ячейке попадет в легенду диаграммы.

Повторите точно такой же процесс для вычисления значений X и Y для второй компании, изменив формулу для использования данных в столбце Griffin Ltd:

Шаг № 6: Настройте вторую вспомогательную таблицу для сетки полярного графика.

Да, вы не ослышались. Вам нужна еще одна вспомогательная таблица. К счастью, худшее уже позади, так как для составления таблицы не требуется единой формулы.

Взгляните на него:

По сути, таблица состоит из трех элементов:

• Качественная шкала (желтая область или N2:N11) – Отражает интервалы значений на основе ваших фактических данных.Заполните ячейки процентами, как показано на скриншоте. В качестве примера альтернативных данных, если бы мы анализировали доход, упомянутый ранее, этот столбец увеличился бы с 50 000 до 500 000 долларов.
• Строка заголовка (красная область или O1:Z1) — содержит все названия категорий, полученные из исходной таблицы данных, просто расположенные вертикально.
• Значения сетки (зеленая область или O2:Z11) — Эти значения разделят будущие кольца данных на равные части, очерчивая сетку графика.Просто выберите число из воздуха и скопируйте его во все ячейки в пределах диапазона.

Шаг № 7: Создайте набор кольцевых диаграмм.

Наконец-то вы собрали все необходимые графические данные — это было довольно напряженно. Попрощайтесь с функциями и формулами, потому что теперь вы можете начать строить сам полярный график.

Начните с настройки полярной плоскости, создав 10 кольцевых диаграмм, расположенных друг над другом:

1. Выделите все значения сетки из второй вспомогательной таблицы ( O2:Z11 ).
2. Перейдите на вкладку Вставка .
3. Нажмите кнопку « Вставить круговую или кольцевую диаграмму ».
4. Выберите « Пончик ».

В результате Excel должен дать вам набор из 10 колец.

Иногда Excel не может правильно прочитать ваши данные. Чтобы обойти проблему, если это произойдет с вами, следуйте нескольким простым инструкциям, чтобы сложить диаграммы вручную. Для наглядности предположим, что вместо этого вы решили проанализировать данные за восемь месяцев.

Сначала выберите любую пустую ячейку и постройте пустую кольцевую диаграмму, следуя описанным выше шагам.

Затем щелкните правой кнопкой мыши график и выберите « Выбрать данные. »

После этого в диалоговом окне Select Data Source нажмите кнопку « Add ».

В поле Edit Series выберите все значения сетки в первой строке ( O2:V2 ) и нажмите « OK ».

Как вы уже догадались, промойте и повторите для каждого ряда, чтобы получить те же самые 10 колец, нанесенных на график.

Шаг № 8. Уменьшите размер отверстия бублика.

Как видите, все кольца сжаты вместе вдали от центра. Давайте изменим это, уменьшив размер отверстия для пончика.

1. Щелкните правой кнопкой мыши любое кольцо данных.
2. Выберите « Формат серии данных. »

В появившейся панели задач измените значение размера отверстия бублика по умолчанию, чтобы произошло волшебство:

1. Перейдите на вкладку Опции серии .
2. Установите для параметра Размер отверстия бублика значение « 10%. »

Шаг № 9. Настройте сетку диаграммы.

В той же области задач преобразуйте кольца в сетку, выполнив следующие простые действия:

1. Перейдите на вкладку Fill & Line .
2. В разделе « Заполнить, » выберите « Без заполнения». »
3. В разделе « Граница, » выберите « Сплошная линия». »
4. Щелкните значок « Цвет контура », чтобы открыть цветовую палитру и выбрать светло-серый.
5. Установите ширину на « 5 pt. »

Промойте и повторите для остальных колец.

Шаг № 10. Добавьте данные диаграммы.

Теперь, когда основа заложена, добавьте на диаграмму значения x и y из первой вспомогательной таблицы.

1. Выделите все значения по осям X и Y, иллюстрирующие результаты CSAT первой компании (Simpson Ltd), а также ячейки строки заголовка ( I1:J14 ) и скопируйте данные (щелкните правой кнопкой мыши и выберите Копировать ).
2. Выберите область диаграммы.
3. Перейдите на вкладку Главная .
4. Нажмите кнопку « Вставить ».
5. Выберите « Специальная вставка. »

В крошечном диалоговом окне Специальная вставка выполните следующие действия:

1. В разделе « Добавить ячейки как » выберите « Новая серия». »
2. В разделе « значений (Y) in, » выберите « столбцов». »
3. Установите флажки «Названия серий в первой строке » и «Категории (метки X) в первом столбце ».
4. Нажмите « ОК. »

Повторите процесс, чтобы добавить данные диаграммы, связанные со второй компанией (Griffin Ltd).

Шаг № 11. Измените тип диаграммы для вставленного ряда данных.

Теперь измените тип диаграммы обоих недавно добавленных рядов, представляющих фактические значения.

1. Щелкните правой кнопкой мыши любой из рядов, представляющих фактические значения (либо Series «Simpson Ltd» , либо Series «Griffin Ltd» ).
2. Выберите « Изменить тип диаграммы серии. »

Оказавшись там, измените тип диаграммы для серии «Simpson Ltd» и серии «Griffin Ltd» на «Scatter with Smooth Lines and Markers».

Шаг № 12. Измените масштаб горизонтальной и вертикальной осей.

После появления всплывающих осей диаграммы измените диапазоны шкал горизонтальной и вертикальной осей для диаграммы, чтобы точно отражать нанесенные на нее данные.

1. Щелкните правой кнопкой мыши по вертикальной оси.
2. Выберите « Формат оси. »

Когда появится панель задач, определите новые диапазоны масштаба оси:

1. Перейдите на вкладку Параметры оси .
2. Установите для параметра Минимальные границы значение «-10».
3. Измените значение параметра Максимальные границы на «10».

После этого перейдите к горизонтальной оси и сделайте то же самое.

Шаг № 13. Удалите линии сетки, оси и ненужные элементы легенды.

Очистите график, удалив элементы диаграммы, которые не имеют никакого практического значения: линии сетки, оси, а также все элементы легенды — за исключением двух, которые вам действительно нужны (отметка информации о компании).

Для этого дважды щелкните каждый элемент, затем снова щелкните его правой кнопкой мыши и выберите « Удалить. »

Шаг № 14. Добавьте метки данных.

По мере того, как мы постепенно приближаемся к концу нашего грандиозного приключения с Excel, пришло время добавить метки данных, представляющие каждую качественную категорию в вашем наборе данных.

Щелкните правой кнопкой мыши внешнее кольцо ( Серия «10» ) и выберите « Добавить метки данных». »

Шаг № 15. Настройте метки данных.

По сути, все, что вам нужно сделать здесь, это заменить метки данных по умолчанию именами категорий из таблицы, содержащей ваши фактические данные.

Щелкните правой кнопкой мыши любую метку данных и выберите « Форматировать метки данных. »

Когда откроется панель задач, замените значения, выполнив следующие действия:

1. Перейдите на вкладку Опции этикетки .
2. Установите флажок « Значение из ячеек ».
3. Выделите значения категории из исходной таблицы данных ( A3:A14 ).
4. Нажмите « ОК. »
5. Снимите флажок « Значение ».
6. Снимите флажок « Показать линии выноски ».

Шаг № 16. Переместите этикетки.

Теперь немного сдвиньте метки, разместив их вдоль края внешнего кольца в порядке, показанном на скриншоте ниже. Это нужно будет сделать вручную, перетащив каждый заголовок в нужное положение.

Наконец, измените название диаграммы, и все готово!

Скачать шаблон полярного графика

Загрузите наш бесплатный шаблон полярного графика для Excel.

Загрузить сейчас

Бесплатная полярная миллиметровка | Бумага для печати полярных координат

Что такое полярная миллиметровка?

Полярная миллиметровая бумага, также известная как полярная координатная бумага, представляет собой миллиметровую бумагу с концентрическими кругами (с равным расстоянием между ними), которые разделены на небольшие дуги. При построении графика в этой статье измеряется радиальное расстояние от полюса (начало координат), а затем выполняется поворот на угол тета-градусов от полярной оси (положительная ось x).

В полярных координатах точка (r, ?) описывается как находящаяся на определенном расстоянии (r) от полюса (начало координат) и под определенным углом (?) от полярной оси (положительная горизонтальная ось).

Пример построения

На приведенном ниже графике полярных координат показано построение трех точек. Красная точка имеет полярные координаты (6, 60 ^o ). Зеленая точка имеет полярные координаты (2, 170 ^o ). И фиолетовая точка имеет полярные координаты (8, 260 ^o ).

РЕКЛАМА

О нашей бумаге с полярными координатами

У нас есть четыре стиля миллиметровой бумаги с полярными координатами…

— шестидюймовая диаграмма, черные чернила, одна диаграмма
— четырехдюймовая диаграмма, черные чернила, две диаграммы
— шестидюймовая диаграмма, синие чернила, одна диаграмма
— — четырехдюймовая диаграмма, синие чернила, две диаграммы

Выберите размер и цвет чернил, которые будут хорошо сочетаться с вашим графиком.Эти диаграммы печатаются на стандартном листе бумаги размером 8 1/2 x 11. Их можно открыть и распечатать с помощью программы чтения документов .pdf, например Adobe Reader.

Подробнее о бумаге с полярными координатами

[1] Миллиметровая бумага для бесплатной печати . Наша коллекция из двадцати различных дизайнов миллиметровки, которые вы можете распечатать и использовать бесплатно. Водонепроницаемая бумага.com.

[2] Полярная система координат, Сводная статья о полярной системе координат. Статья в Википедии, последнее обращение 05/2020.

[3] Преобразователь координат. Калькулятор, который позволяет выполнять преобразование между декартовыми, полярными и цилиндрическими координатами.Random-Science-Tools.com интерактивный, последний доступ 05/2020.

[4] Полярные координаты. Короткая статья с примерами графиков и задач, демонстрирующих полярную систему координат. Статья на веб-сайте Interactive Mathematics, последнее обращение 05/2020.

Графические функции в полярных координатах: процесс и примеры — видео и расшифровка урока

Декартовы координаты в полярные

Вы были бы удивлены, обнаружив, что эти две системы фактически связаны друг с другом математически? Да, они.И да, у нас есть формулы, которые помогут нам перейти от одной системы к другой. Но, во-первых, как они связаны, спросите вы?

Итак, посмотрите на нашу декартову точку координат (1, 20) ниже. Если мы проведем линию из этой точки в начало координат, мы получим наш радиус. Мы можем продолжить и нарисовать наши вертикальные и горизонтальные линии, чтобы представить наши значения x и y . Угол, образованный линией x и линией r , которую мы нарисовали, теперь является нашей тета. Теперь посмотрите, какая форма у нас ниже.-1 я Использовать значение калькулятора II Добавьте 180 градусов к значению калькулятора III Добавьте 180 градусов к значению калькулятора IV Добавить 360 градусов к значению калькулятора

Графики полярных уравнений

Графики полярных уравнений также немного отличаются от графиков декартовых уравнений. Для декартовых уравнений у нас есть то, что мы называем формой пересечения наклона, y = m x + b , где мы смотрим на наш y -отрезок, значение b , а затем на наш наклон, м , чтобы узнать, насколько крута наша линия.Полярные уравнения не так просты. Лучший способ графического отображения полярных уравнений — создать таблицу значений.

Кроме того, полярные уравнения выглядят немного иначе, чем декартовы уравнения. Полярные уравнения часто содержат в себе тригонометрические функции. Например, вы увидите такие уравнения, как r = 2 cos (тета) или r = 2 sin (тета). Другие примеры полярных уравнений включают r = 2 и r = 3 + 2 cos (тета).

Давайте построим график r = 2 cos (тета), чтобы посмотреть, что у нас получится.Мы составим себе таблицу значений r и тета. Мы выбираем различные углы, а затем вычисляем, что мы получаем для r . Затем мы наносим эти полярные координаты, чтобы увидеть, какая форма развивается. Получаем вот такую ​​таблицу значений:

r	тета (градусов)
2	0
1,73	30
1	60
0	90
-1	120
-1.73	150
-2	180
-1,73	210
-1	240
0	270
1	300
1,73	330

Построив их в нашей полярной системе координат, а затем соединив точки, мы получим окружность радиусом 1, касающуюся оси y справа.

Граф для примера проблемы

Итоги урока

Давайте повторим, что мы узнали:

Мы узнали, что система полярных координат — это еще один способ нанесения точек.-1 ( y / x ).

Результаты обучения

После этого урока вы сможете:

• Отличать полярную систему координат от декартовой системы
• Преобразование декартовых точек в полярные точки
• График полярного уравнения

Сферические координаты — Math Insight

Поначалу сферические координаты могут быть немного сложными для понимания. Сферические координаты определяют положение точки в трехмерном пространстве на основе расстояния $\rho$ от начала координат и двух углов $\theta$ и $\phi$.Если кто-то знаком с полярными координатами, то угол $\theta$ понять несложно, так как он практически такой же, как угол $\theta$ в полярных координатах. Но некоторым людям трудно понять, что угол $\phi$ это все о.

Следующая графика и интерактивные апплеты могут помочь вам понять сферические лучше координирует. На этой странице мы выводим взаимосвязь между сферическими и декартовыми координатами, показываем апплет, который позволяет исследовать влияние каждой сферической координаты, и иллюстрируем простые сферические координатные поверхности.

Связь между сферическими и декартовыми координатами

Сферические координаты определяются так, как указано в следующий рисунок, который иллюстрирует сферические координаты точка $P$.

Координата $\rho$ — это расстояние от $P$ до начала координат. Если точка $Q$ является проекцией $P$ на плоскость $xy$, тогда $\theta$ угол между положительной осью $x$ и отрезком от начала координат до $Q$.Наконец, $\phi$ — это угол между положительной осью $z$ и отрезок прямой от начала координат до $P$.

С помощью тригонометрии можно вычислить связь между декартовыми координатами $(x,y,z)$ точки $P$ и ее сферическими координатами $(\rho,\theta,\phi)$. Розовый треугольник вверху — это прямоугольный треугольник, вершинами которого являются начало координат, точка $P$ и ее проекция на ось $z$. Поскольку длина гипотенузы равна $\rho$, а $\phi$ — это угол, который гипотенуза образует с катетом прямоугольного треугольника по оси $z$, координата $z$ точки $P$ (т.е., высота треугольника) равна $z=\rho\cos\phi$. Длина другого катета прямоугольного треугольника — это расстояние от $P$ до оси $z$, равное $r=\rho\sin\phi$. Столько же находится и расстояние точки $Q$ от начала координат.

Голубой треугольник, показанный как в исходной трехмерной системе координат слева, так и в плоскости $xy$ справа, представляет собой прямоугольный треугольник, вершинами которого являются начало координат, точка $Q$ и ее проекция на $ ось x$. На правом графике расстояние от $Q$ до начала координат, которое является длиной гипотенузы прямоугольного треугольника, обозначено как $r$.Поскольку $\theta$ — это угол, который эта гипотенуза образует с осью $x$, $x$- и $y$-компоненты точки $Q$ (которые совпадают с $x$- и $y$-компонентами точки $Q$ $-компоненты точки $P$) задаются выражениями $x=r\cos\theta$ и $y=r\sin\theta$. Поскольку $r=\rho\sin\phi$, эти компоненты можно переписать как $x=\rho\sin\phi\cos\theta$ и $y=\rho\sin\phi\sin\theta$. Таким образом, формулы для декартовых координат в терминах сферических координат: \начать{выравнивать} x &= \rho\sin\phi\cos\theta\notag\\ y &= \rho\sin\phi\sin\theta\label{spherical_cartesian}\tag{1}\\ z &= \rho\cos\phi\notag.\end{выравнивание}

Изучение влияния каждой сферической координаты

Приведенный ниже апплет позволяет увидеть, как меняется положение точки при вы меняете $\rho$, $\theta$ и $\phi$. Точка $P$, соответствующая значению координат, показана большой фиолетовой точкой. Зеленая точка — это точка $Q$, т. е. проекция $P$ на $xy$-плоскость.

Загрузка апплета

Сферические координаты. Учитывая значения сферических координат $\rho$, $\theta$ и $\phi$, которые можно изменить, перетаскивая точки на ползунках, большая красная точка показывает соответствующее положение в Декартовы координаты.Зеленая точка — это проекция точки на $xy$-плоскость. Вы можете визуализировать каждую из сферических координат с помощью геометрических структур, которые окрашены в соответствии с цветами ползунка. Длина отрезка красной линии от начала координат равна $\rho$. Угол зеленой части диска в плоскости $xy$ равен $\theta$. Угол синей части вертикального диска равен $\phi$. Вы также можете перемещать большую красную точку и зеленую проекцию этой точки непосредственно с помощью мыши.

Дополнительная информация об апплете.

Обратите внимание, как вы можете получить любую точку, даже если мы ограничиваем $\rho \ge 0$, $0 \le\тета

Эти ограничения устранили большую часть неуникальности сферических координаты. Обратите внимание, что в точке $\rho =0$ все еще присутствует неединственность, в точке $\phi = 0$ и при $\phi=\pi$. Когда любое из этих условий верно, вы можете изменить значение одной или нескольких других координат без перемещения точки.

К сожалению, соглашение об обозначении сферических координат не стандартизировано в разных дисциплинах.Например, в физике роли $\theta$ и $\phi$ обычно меняются местами. Чтобы правильно понять, как кто-то использует сферические координаты, вы должны сначала определить, какие обозначения используются при этом. Вы не можете предположить, что они следуют соглашению, используемому здесь.

Простые сферические координатные поверхности

Эти три следующих апплета могут помочь вам понять, что делает каждый из трех значит сферические координаты. Они показывают, какие поверхности $\phi=$ константа, константа $\theta=$ и константа $\rho=$ выглядят так.То значение константы определяется положением ползунков. Во всех случаях мы ограничиваем поверхности областью $\rho

Константа $\phi$

Что означает, что точка имеет сферическую координату $\phi=\pi/3$? Взгляните на поверхности, которые определяется уравнением $\phi=$ постоянная.

Загрузка апплета

Поверхности постоянных $\phi$ в сферических координатах. Показана коническая поверхность константы $\phi=$, где значение $\phi$ определяется синей точкой на бегунке.Только часть поверхности где $\rho

Подробнее о апплете.

Поверхностная константа $\phi=$ представляет собой просто одиночный конус, направленный либо вверх или вниз. Если вы знаете, что $\phi=\pi/3$, то вы знаете точка находится где-то на (широком) единственном конусе, который открывается вверх, т. е. Уравнение $\phi=\pi/3$ задает поверхность, которая представляет собой одно конусное отверстие вверх. Уравнение $\phi=\pi/2$ соответствует плоскости $xy$.

Поверхностная константа $\phi=$ осесимметрична относительно оси $z$.2}$$ где $C=1/\tan \phi$, что действительно является уравнением для конуса.

Константа $\theta$

Константа $\theta=$ представляет собой полуплоскость вне оси $z$. (Это отображается как полукруг только потому, что мы ограничиваем график $\ро

Загрузка апплета

Поверхности постоянных $\theta$ в сферических координатах. Показана полуплоская поверхность константы $\theta=$, где значение $\theta$ определяется синей точкой на бегунке.Только часть поверхности где $\rho

Подробнее о апплете.

Если точка имеет $\theta=\pi/2$, то вы знаете, что точка находится на половина плоскости $yz$, где значения $y$ положительны. Уравнение $\theta=\pi/2$ — уравнение для этой полуплоскости.

Из соотношения \eqref{spherical_cartesian} отношение между $x$ и $y$ можно записать, например, как $y/x = \tan \theta$. Если $\theta$ поддерживается постоянным, то отношение между $x$ и $y$ остается постоянным.Таким образом, константа $\theta=$ дает прямую, проходящую через начало координат в плоскости $xy$. Так как $z$ не имеет ограничений, мы получаем вертикальную плоскость. Оглядываясь назад на отношение \eqref{spherical_cartesian}, мы видим, что это всего лишь полуплоскость, потому что $\rho\sin\phi$ не может быть отрицательным.

Константа $\rho$

У большинства людей нет проблем с пониманием того, что означает $\rho=3$. Это сфера радиуса 3 с центром в начале координат. В общем, поверхность Константа $\rho=$ — это сфера радиуса $\rho$ с центром в начале координат.2 \конец{выравнивание*} проверяя, что константа $\rho=$ есть сфера радиуса $\rho$ с центром в начале координат.

полярных координат 🌀 | Varun Vachhar

23 ноября 2017 г.

Декартова система координат

Система координат позволяет нам использовать числа для определения положения точек в 2D или 3D пространстве. Наиболее популярной системой координат является, вероятно, декартова система координат. Он позволяет найти каждую точку по паре числовых координат (x, y) .Есть очень хороший шанс, что вы использовали эту систему. Он везде — SVG, Canvas, WebGL и даже Sketch & Illustrator.

(x, y)xyPO Рисунок 1: Декартова система координат

Полярная система координат

Полярная система координат — это двумерная система координат, в которой каждая точка определяется r и θ . Где r — расстояние от начала координат, а θ — угол от оси x.

θ = 30°r = 2xyPO Рис. 2: Полярная система координат

Преобразование полярных и декартовых координат

Тригонометрия! Любите это или ненавидите, это везде.Вы можете преобразовать точку из полярных координат (r, θ) в декартовы координаты (x, y) , используя приведенные ниже уравнения. Это очень удобно, так как большинство инструментов принимают только x и y в качестве точек.

  const x = r * Math.cos(тета);
const y = r * Math.sin(theta);  

Узоры

Ниже у меня есть несколько анимаций Дэйва Уайта, также известного как пчелы и бомбы. Все они имеют одну общую черту: они используют полярные координаты для создания шаблона.

Рисунок 3: Шаблоны , сгенерированные с использованием полярных координат

Декартовы координаты — отличный выбор для равномерного размещения элементов на прямоугольной сетке. Однако, если вы хотите равномерно распределить объекты по кругу, лучше всего использовать полярные координаты. Сохраняя радиус постоянным, мы вычисляем угол для каждой точки как угол = 360° * индекс / количество сторон .

360°30°60°90°120°150°180°210°240°270°300°330° Рисунок 4: Равномерное размещение элементов по кругу

Ниже приведена реализация этой идеи на JavaScript.Функция точек также принимает необязательный аргумент offset для смещения точек по периметру круга. Например, крайний круг точек в Рисунок 4 может быть сгенерирован с использованием точек(12, 200) . Следующий внутрь с использованием очков (12, 175, 15) . Следующий за этим использует очков (12, 150, 30) и так далее. Моя заставка CodePen была построена с использованием этого.

  функциональных точек (количество, радиус, смещение = 0) {
  постоянный угол = 360/счет;
  const vertexIndices = диапазон (количество);

  вернуть вершинные индексы.карта (индекс => {
    возвращение {
      тета: смещение + градусы к радианам (смещение + угол * индекс),
      г: радиус,
    };
  });
}


диапазон функций (количество) {
  вернуть Array.from(Array(count).keys());
}

функция DegreesToRadians (angleInDegrees) {
  return (Math.PI * angleInDegrees) / 180;
}  

Генератор многоугольников

Правильный многоугольник — это равноугольный многоугольник, т. е. все его углы равны и все его стороны имеют одинаковую длину. Это означает, что все вершины правильного многоугольника являются точками, равномерно расположенными на окружности.И как же удобно, что мы только что создали функцию, которая генерирует именно это!

360°30°60°90°120°150°180°210°240°270°300°330° Рисунок 5: Рисование многоугольника путем соединения полярных координат

Для создания полигона SVG мы создадим список точки с помощью функции точек , а затем просто соедините точки. С SVG у нас есть два варианта для этого: или . В приведенном ниже примере создается атрибут точек для элемента .

 
function polygon (noOfSides, радиус описанной окружности, вращение) {
  точки возврата (noOfSides, окружность, вращение)
    .map(в декартово)
    .присоединиться(' ');
}

функция toCartesian({r, theta}) {
  return [r * Math.cos(тета), r * Math.sin(тета)];
}  

Кажется простым, но с ним можно сделать много интересного. Вот пара примеров:

Драгоценные камни, сгенерированные с использованием полярных координат

Относительные полярные координаты

Когда вы определяете точку как (r, θ) , по умолчанию это относительно начала координат (0, 0) .Мы можем определить точки относительно других точек, сдвинув начало координат. Это часто используется для определения положения маркеров кривой относительно вершины.

  const x = cx + r * Math.cos(theta);
const y = cy + r * Math.sin(theta);  

60 градусов = 3cxcyPOC Рисунок 6: Относительные полярные координаты

Мы можем изменить генератор полигонов, чтобы мы могли рисовать многоугольник с центром в любом месте на холсте SVG.

  function polygon(noOfSides, окружность, вращение, [cx = 0, cy = 0]) {
  точки возврата (noOfSides, окружность, вращение)
    .map(pt => toCartesian(pt, [cx, cy]))
    .присоединиться(' ');
}

function toCartesian({r, theta}, [cx, cy]) {
  return [cx + r * Math.cos(тета), cy + r * Math.sin(тета)];
}  

Вращение

Другим распространенным применением полярных координат является вращение объектов вокруг точки. Здесь (cx, cy) — это точка, вокруг которой вы хотите вращаться.

  x = cx + r * Math.cos(тета);
y = cy + r * Math.sin(theta);


window.setInterval(() => {
  тета++;
}, 1000/60);  

Полярные кривые

Мы начали с рассмотрения отдельных точек.Затем мы сгруппировали несколько точек в набор для определения форм. Для этого мы использовали функцию генератора полигонов для вычисления местоположения каждой вершины фигуры. Мы можем написать аналогичные функции, используя другие математические уравнения. Это позволяет нам создавать более сложные формы и кривые.

Двумерные кривые описываются уравнениями типа y = f(x) . Например, уравнение окружности x 2 + y 2 = r 2 . Мы можем сгенерировать набор точек, называемый локусом, путем повторения x и вычисления соответствующего значения y или наоборот.Следовательно, каждая точка будет иметь вид (x, f(x)) или (g(y), y) .

С полярными координатами мы можем аналогичным образом рисовать полярные кривые. Например, полярное уравнение окружности r = 2 * cos(0) . Точки на полярной кривой имеют вид (r(0), 0) .

 


const r = fn (тета);

const x = cx + r * Math.cos(theta);
const y = cy + r * Math.sin(theta);  

Eukleides

Все диаграммы в этом посте были созданы с использованием языка eukleides.Это фантастический инструмент для создания геометрических рисунков. Просто посмотрите на этот декларативный API 😍

  c = круг(точка(3, 0), 3)
P = точка (c, 170°)
М = точка (0, 0)
N = точка (6, 0)

ничья (M.N.P)
метка M, P, N справа, 0,6  

Введение в полярные координаты

 

В некотором смысле может показаться странным, что первый способ, которым нас учат представлять положение объектов в математике, — это использование декартовых координат, тогда как этот метод определения местоположения не самый естественный или самый удобный.Для начала вам нужно использовать как положительные, так и отрицательные числа для описания всех точек на плоскости, и вы должны создать сетку (оси скважин), чтобы использовать ее в качестве ссылка.

Когда вы спросите ребенка, где он оставил свой мяч, он ответит: «вон там» и покажет пальцем. Он описывает (хотя и очень приблизительно) расстояние «вон там» и направление «вон там» или кивок головой). Когда вы спрашиваете кого-то, где находится их город, они часто говорят что-то вроде «примерно в 30$ милях к северу от Лондона».Опять же, расстояние и направление. Не так уж часто кто-то дает широту и долготу своего города!

 

Таким образом, использование расстояния и направления в качестве средства описания положения гораздо более естественно, чем использование двух расстояний на сетке. Это средство определения местоположения используется в полярных координатах и ​​пеленгах.

Полярные координаты точки описывают ее положение в терминах расстояния от фиксированной точки (начала координат) и угла, измеренного от фиксированного направления, которое, что интересно, не является «севером» (или вверх на странице), а «восток» (вправо).То есть в направлении $Ox$ по декартовой оси.

Итак:

На плоскости мы выбираем фиксированную точку $O$, известную как «полюс».

Затем мы выбираем ось $Ox$ через полюс и называем ее «полярной осью».

Теперь нам нужен способ описания этих точек таким образом, чтобы он был эффективным и понятным для всех.c$… к углу и все еще в конечном итоге указывают в том же направлении! В приведенном выше примере общие координаты для $A$ будут $(90,2n\pi + \frac{\pi}{2})$, где $n$ — целое число.

 

Это также означает, что полярные координаты полюса $O$ равны $(0,\theta)$, где $\theta$ может быть любым углом.

 

Связь между полярными и декартовыми координатами

Представьте себе точку $P$ с полярными координатами $(r,\theta)$. Попробуем использовать эту информацию для получения декартовых координат $P$. Мы можем опустить перпендикуляр из точки $P$ на $Ox$, пересекающий $Ox$ в точке $Q$.Длины $OQ$ и $OP$ представляют собой координаты $x$ и $y$ в декартовой форме, поэтому нам просто нужно найти эти два расстояния.

 

$$\begin{eqnarray} PQ &=& r \sin \theta \\ OQ &=& r \cos \theta \end{eqnarray}$$

Следовательно, декартовы координаты $P$ равны $(r \ sin \theta, r \cos \theta)$

Теперь пойдем другим путем:

Начнем с декартовой системы координат.

Мы возьмем декартовы координаты $P$ как $(x,y)$.в)$!!

Используя знаки $\sin\theta$ и $\cos\theta$, вы можете быть уверены, что угол находится в правильном квадранте.

Итак, давайте закончим с использованием этой системы координат. Было бы неплохо попробовать некоторые уравнения и посмотреть на их графики (полярные диаграммы).

Рассмотрим несколько примеров:

Рассмотрим график:

$r= \theta$

Он имеет форму спирали (каждая точка смещается от центра по мере увеличения угла).

На приведенной ниже диаграмме показаны графики $r= a\theta$ для различных значений $a$. Можете ли вы определить, что это за графики?

 

 

 

 

Теперь твоя очередь.Графический калькулятор или графический пакет были бы очень полезны!

Как будет выглядеть серия графиков

$r=1, r=2, r=3, $…?

Как насчет $r = 2a(1 + \cos\theta )$ для разных значений $a$? Кстати, эти графики называются кардиоидами.

Ответы:

$$\begin{eqnarray} \mbox{D }\rightarrow(60,0)\\ \mbox{E }\rightarrow(30, 270)\\ \mbox{C }\rightarrow(120 , 225)\\ \mbox{A}\стрелка вправо(90, 90)\\ \mbox{F}\стрелка вправо(60,60)\\ \mbox{B}\стрелка вправо(120, 180) \end{eqnarray} $$ И $$\begin{eqnarray} (60,0)\rightarrow(60,0)\\ (30, 270)\rightarrow(30, \frac{3\pi}{2})\\ (120, 225)\стрелка вправо(120, \frac{5\pi}{4})\\ (90, 90)\стрелка вправо(90, \frac{\pi}{2})\\ (60,60)\rightarrow(60,\frac{\pi}{3})\\ (120, 180)\rightarrow(120,\pi) \end{eqnarray}$$

 

 

Сомните его, чтобы получился веер вокруг точки, или .. . .

. . . . как использовать график xy, чтобы помочь визуализировать полярный график

Когда вы пытаетесь представить себе, как будет выглядеть полярный график функции, иногда может быть полезно сначала взглянуть на декартов (xy) график для этой функции, используя значения от $0$ до $2\pi$ (от $0$ до $360$). градусов), а затем представьте, что график превратился в веер.

 

Представьте, что ось X втянута в точку, а значения функций разбросаны вокруг нее веером.

 

 

Например: $y = 5 \sin 2x$ выглядит как декартова диаграмма.

 

 

 

 

 

 

Но как полярный график $r = 5\sin 2\theta$:

На интервале от $0$ до $2\pi$ граф $\sin 2x$ имеет $4$ областей

В области $1$ функция возрастает до максимального значения $5$, а затем симметрично падает до нуля.

 

В области $2$ функция падает до минимального значения $-5$, после чего возвращается к нулю.

 

 

Обратите внимание на положение области $2$ на полярной диаграмме: когда $\theta$ перемещает второй квадрант от $\pi/2 $ до $\pi$, все значения r отрицательны, проецируя каждую точку графика назад, в четвертый квадрант. .

 

 

Область $3$ такая же простая, как и область $1$, а область $4$, как и область $2$, также имеет отрицательные значения $r$ и поэтому находится во втором квадранте.